be n
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8/17/2019 BE n
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TRAN DORIS Master ProMécanique 2006/2007
BE n°3 :schéma décentré d’un problème de convection-diffusion
Enoncé :Soit une quantité φ transportée par convection et diffusion à travers le domaine 1D de
longueur 1m :Données : x=0 et x=L ; 0φ =1 et Lφ =0 ; ρ =1.0 g!m" ; Γ =0.1 g!m!s
équation discrétiser :
Γ =
dx
d
dx
d
dx
ud φ φ ρ #$ et sa solution anal%tique :
#!exp$#!exp$
#$#$ 00 Γ
Γ −+=
uL
ux x L
ρ ρ
φ φ φ φ ;
&pplication du sc'éma décentré du pro(l)me convection*diffusion :u=0.1 m!s+ u=*0.1 m!s;u=,.- m!s+ u=*,.- m!s
réponse:n utilise un sc'éma décentré pour discrétiser notre équation et en comparant au solution
anal%tique+ on o(tient les résultats suivants pour - volumes de contr/le:
rap'e 1 rap'e ,
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
X
P h i
phi pour 5 vol umes d e co ntrôle
solution discrétisée pour u=2.5 m /ssolution discrétisée pour u=-2.5 m /ssolution discrétisée pour u=0.1 m /ssolution discrétisée pour u=-0.1 m /s
10-3
10-2
10-1
10-4
10-3
10-2
10-1
100
h=L/N
e r r e u r
Variation loga rithmique de Err(h)
Erreur pour u=2.5m/s ou u =-2.5m/sErreur pour u=0.1m/s ou u =-0.1m/s
Pour le graphe 1 + nous o(tenons des cour(es parfaitement s%métriques entre le flux positif etle flux négatif. ous constatons pour une vitesse u=,.- m!s ou u=*,.-m!s+ nous o(tenons unemeilleure sta(ilité et une meilleure consistance par rapport au sc'éma centré. Le sc'éma
décentré converge mieux à la solution anal%tique et donc n2appara3t aucun 4iggles. Donc lesc'éma décentré est (eaucoup plus proc'e de la p'%sique.
Pour le graphe +en tra5ant l2évolution de l2erreur en fonction de delta x+ nous trouvonscomme ordre de précision pour c'acun des vitesses : α 6.0≈ . D2o7 un ordre de précision de1.Donc pour c'aque itération+ l2erreur diminue de facteur 10 *1.
!onclusion :Le sc'éma décentré apporte une meilleure convergence à notre solution discrétisée avec unfai(le volume de contr/le et (eaucoup plus proc'e de la p'%sique.