be volumes finis n.doc
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8/17/2019 BE volumes finis n.doc
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TRAN DORIS MASTER PRO MECANIQUE
BE volumes finis n°1 :Refroidissement d’une ailette
Soit l’équation de la diffusion : 0=+
qdx
dT K
dx
d
Nous allons inté!e! "ette équation en a##liquant la $ét%ode des &olu$es finis et on o'tient
don" :
0=+− hqdx
dT K
dx
dT K
w
w
e
e
Sa"%ant que ( et la se"tion sont "onstantes et % !e#!ésente le taille de l’élé$ent)
Nous de&ons $ett!e "ette équation sous la fo!$e :
µ S T aT aT a E E P P W W =−+− a&e" P E W P S aaa −+=
A##liquons "ette équation au* e*t!é$ités de la #a!oi et au "ent!e et nous o'tenons don":
aP aE a+ S,
E*t!é$ité du #ointA h K -
h K 0 AT
h K hq
.+
Au "ent!e
h
K .
h
K
h
K hq
E*t!é$ité du
#oint / h
K - 0
h
K BT
h
K hq
.+
!1"e 2 "es !ésultats3 nous #ou&ons la $ett!e sous fo!$e $at!i"ielle :4A 56T7 86/7 d’ o9 en
!ésol&ons "ette sst;$e linéai!e3 on #eut dédui!e le &e"teu! te$#é!atu!e ) Don" #ou! !ésoud!e
"ette solution dis"!étisée3 on &a fai!e a##el au loi"iel Matla' <&oi! #!o!a$$e au &e!so=)
Résultat :
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02360
380
400
420
440
460
480
500
520
540
X
T
distribution de la température pour 10 volumes de contrôle
solution discrétisée
solution exacte
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02360
380
400
420
440
460
480
500
520
540
X
T
distribution de la température pour 30 volumes de contrôle
solution discrétisée
solution exacte
Conclusion :
En déte!$inant la dist!i'ution de la te$#é!atu!e #a! la $ét%ode des &olu$es finis3 on #eut
"onstate! que "ette solution dis"!étisée s’a##!o*i$e 'ien a la solution e*a"te $ais il !este
tou>ou!s des e!!eu!s d a##!o*i$ation #ou! un fai'le no$'!e d’élé$ents d’a#!;s la fiu!e #ou!
?0 élé$ents) Pa! "ont!e si on au$ente le no$'!e d’élé$ents dans la dist!i'ution de
te$#é!atu!e3 nous o'tenons une solution tout 2 satisfaisante #ou! un !ésultat équi&alent 2 la
solution e*a"te)
Programmation matlab :
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TRAN DORIS MASTER PRO MECANIQUE
%-----------------définition------------------------%
L=0.02;k=0.5;q=1000000;Ta=273.15+100;Tb=273.15+200;
%----------nombre de volme de !ontr"le------------------%
#=in$t&donner le nombre de volme' de !ontr"le(&);
%-------------taille d&n volme de !ontr"le-------------%
*=L#;
,=0(0.001(L;%-----------------------matri!e /-------------------%
/=ero'##);
for i=2(#
/ii)=2k*;
/ii-1)=-k*;
/i-1i)=-k*;
end
%!ondition limite
/11)=3k*;/##)=3k*;
%---------------------'e!ond membre -----------------%
=*qone'#1);
%!ondition limite
11)=*q+2kTa*;#1)=*q+2kTb*;
%-------ré'oltion de la tem$ératre di'!réti'ée---------%
T=/4;
T1=ero'#+21);
for i=1(#
T1i+11)=Ti1);
end
%!ondition limite
T111)=Ta;T1#+21)=Tb;
%$o'ition de la 'oltion di'!réti'ée
,1=ero'1#);
for i=0(#+1
,11i+1)=i*-*2);
end
,111)=0;,11#+2)=L;
%-----------------traa6e de' !orbe'----------------%
fi6re1);
*old on
6rid on
$lot,1T1,Tb-Ta)L+qL-,)2k)).,+Ta &r&);
label&,&);
8label&T&);
title&di'tribtion de la tem$ératre $or # volme' de !ontr"le&);
le6end&'oltion di'!réti'ée&&'oltion ea!te&)
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