BEC Meeting 23 May 2006

CNRINFM BEC CENTER  &  Physics Department

Cold Atoms in Optical LatticesG. Orso

●Sound propagation and oscillations of a superfluid Fermi gas in a 1D optical lattice, PRA 2005 

●Formation of molecules near a Feshbach resonance in 1D optical lattice, PRL 2005●Twobody problem in periodic potentials, PRA 2006

●Umklapp collisions and oscillations of a trapped Fermi gas, PRL 2004

 2. twobody problem in optical lattices 

 1. how to detect BCS transition in Fermi gases ? 

●Sound propagation and oscillations of a superfluid Fermi gas in a 1D optical lattice, PRA 2005 

●Formation of molecules near a Feshbach resonance in 1D optical lattice, PRL 2005●Twobody problem in periodic potentials, PRA 2006

●Umklapp collisions and oscillations of a trapped Fermi gas, PRL 2004

 2. twobody problem in optical lattices 

 1. how to detect BCS transition in Fermi gases ? 

Superfluid Fermi gas in a 1D optical lattice, PRL 2005

+

=

 1D tight optical lattice + weak harmonic trapping  

 

    

Kohn's theorem  does not apply 

collisional regime: oscillations killed by umklapp collisions

Relaxation rate              from quantum Boltzmann equation

Question: what happens in interacting Fermi gases ? 

1/uk

1uk

=C2 a2

d22 tℏ

F TF

,F4 t

T /F

F /4 t=5

21

PRL 2004

    

superfluid phase: persistent Josephson oscillations why ? phonons protected by energy gap 

Can write hydrodynamic equations as for BEC.  Ingredients: effective mass and compressibility (from BCS theory) 

1ms=

∫ ∂2

∂ k z2

n0kd k

∫ n0 kd kn0k=2F−k

 Quasimomentum       distribution

eff. mass is density dependent. Recover BEC limit for 

BEC:  n0k=nk1/msb=1/m*

F≪4 t

●study of dynamical instability●application to trapped gasesPRA 2005

V ext z=s E R sin2 z /d no confinement

in xy directions

s  laser intensity,  ER=ℏ22

2 m d2recoil energy, d  lattice spacing (0.11 m)

  Bound states in 1D optical lattice  

interparticle interactions modeled  via swave pseudopotential   Ur =gr ∂r rr

r=r1−r2 relative distance g=4ℏ2 a

mswave scattering 

length

 Green function for relative motion 

1g= ∂∂r

r GE r r=0 GE r =−∑nnr n0

En−E

=CM Rr r V ext r1V ext r2=V CM RV r r

e.g. harmonic potential V ext r =12

m2 r2

COM separates

R=r1r2

2centerofmass coordinate

Binding energy given by algebraic equation

what about optical lattices ? e.g. 1D lattice

 c.o.m. and relative    motion coupledV opt z1V opt z2≠V CM Z V r z

!!

r , Z =∫ dZ ' GE r , Z ; 0, Z ' g ∂∂ r 'r 'r ' , Z ' r '=0

 Solution via 2particle Green's function

Y Z =g∫dZ ' K E Z , Z ' Y Z '

regular kernel

Binding energy given by integral equation in COM variable

binding energy  depends  on quasimomentum  

 quasimomentum  Q     is conserved 

                    invariant  under Z Zd

f QZd =ei Q d f QZ solutions are Bloch states

K E Z , Z '

COM and relative motion coupled

For given Q, integral equation has been solved ●numerically     PRL 2005●analytically (tightbinding)     PRA 2006

s=20

10

5

0

Binding energy versus inverse scattering length 

dots: lattice as   perturbation

harmonic trap 

d /acr binding energy vanishes

(Q=0)

Q=qB

Q=0

Critical value of scattering length 

anisotropic 3D regime4t

∣Eb∣≪4 t

qz

qz

 Regimes in tight 1D optical lattices 

3D regime●bound state spread over many lattice sites●binding energy takes universal form ∣E b∣~

ℏ2

m C 1a− 1acr 2

renormalization of coupling constantg gC

*

g≫∣Eb∣≫4 t quasi2D regime

anisotropic 3D regime

dimensional   crossover

4t∣Eb∣≪4 t

qz

qz

 Regimes in tight 1D optical lattices 

3D regime●bound state spread over many lattice sites●binding energy takes universal form ∣E b∣~

ℏ2

m C 1a− 1acr 2

renormalization of coupling constantg gC

*

 quasi2D regime

∣Eb∣=ℏ0 exp−2 ∣a∣●tunneling is irrelevant: effective harmonic oscillator ●binding energy approaches asymptotic value

0.29

0

harmonic oscillator length

dacr=−C ln ℏ02 t

yields formula for 

ℏ/m0 1/2

acr numericst. b.

BCS transition in 1D optical lattice 

QUESTION: how is Tc modified by 1D lattice ?

1geff

=P∫ d3 q

231q

1exp q /T c

01

q=ℏ2 q p

2

2 mqz− dispersion relation with  =F

   effective coupling constant for Cooper pairs   related to 2body scattering amplitude

geff

1geff

=m

4ℏ2ℜ[ 1f scE=2 ]

 incident 2particle state 

  Scattering   amplitude  

f scE =a∫ dZE 0, Z ∂r rr , Z r=0

E r , Z =ei q p⋅r pqz z1−qzz2

E=ℏ2 q p

2

m2qz  energy 

Bloch statesqzz

Y Z ≡∂r rr , Z r=0

Y Z =E 0, Z g∫dZ ' K E Z , Z ' Y Z '

 Tightbinding solution 

Y Z ~A∑ j w2Z− j d w z=

11/41/2

exp [ −z2

22]

f sc E =aC

1−a /acra /2E

describes  dimensional crossoverE

=i arccos(1 E/4t)       (E8t)

ansatz:

Wannier state

anisotropic 3D regime     (E  8t)

f scE =C

1/a−1/acri C E m /ℏ*

shift of Feshbach resonance

1geff

=m

4ℏ2 C 1a− 1acr density independent   e.g. dilute BEC in optical lattices ∣a∣≪∣acr∣ geff≃Cg

lattice enters through effective mass and coupling constant 

4 t1

geff=

m4ℏ2 C 1a 12 ln ℏ2 411−4 t /2

density dependent

change in behaviour occurs exactly at   =4 t

f scE =C

1a

1

2 [ ln ℏE i]=0.29 quasi2D regime   (E  8t) 

 Results for transition temperature 

F4 t

T c0=

2

e−F F /4 t F exp [ −2 qzF C 1∣a∣− 1∣acr∣]3D regime  T c0=0.61F exp [ −2 qzF C 1∣a∣− 1∣acr∣]F≪4 t

F4 t

T c0=

2 11− 4 tF F 4 t exp [− 2 1∣a∣− 1∣acr∣]quasi 2D regime

F≫4 tT c

0=0.43F ℏexp−2 ∣a∣KosterlitzThouless  

 Gorkov's corrections 

Gorkov's corrections reduce mean field result   T c /T c01

1/e

Van Hove singularity

  Quantum  phase model 

  SuperfluidMott Insulator QPT  

●zero temperature●discs are finite size  and tunneling is weak

t

phase of order parameter 

Question:  what is critical tunneling rate for  transition to Mott phase ?

N j=NN j

in each disc relevant variables arenumber of atoms 

j

HYDRODYNAMIC APPROACH 

HQP=∑ j E c /2N j2−E J cos j1− j

[N j , j ]=1

Ec charging energy E J Josephson energy

(N 1)

 weakly interacting  BEC   BCS  superfluid 

E J=t2

FN

E c0.81 E J superfluidE c0.81 E J Mott insulator

tc~FN

Ec=2

N

E JB=t N

tcB~

N 2

BradleyDoniach, PRB (1984)

Complete analogy with BEC: 

...but Josephson term is different !

Cooper pairs single atom

 3body losses quenched       by Fermi statistics

Question: can this QPT be achieved with cold gases ?Answer: only if critical tunneling rate large compared to atom loss rate due to 3body recombination 

● BEC:  NO, unless● BCS superfluids:   YES, up to  N~103−104

N~1−5

Ultracold gases

 Conclusions 

umklapp collisions in Fermi gasespropagation of sound in superfluid Fermi gases twobody problem BCS transition temperature SuperfluidMott insulator QPT in Fermi superfluids

 Conclusions 

umklapp collisions in Fermi gasespropagation of sound in superfluid Fermi gases twobody problem BCS transition temperature SuperfluidMott insulator QPT in Fermi superfluids