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Dinámica

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  • Mecnica para ingenieraD I N M I C A

    QUINTA EDICIN

    Anthony Bedford Wallace FowlerUniversity of Texas at Austin

    Alex Elas ZigaDepartamento de Ingeniera Mecnica Instituto Tecnolgico y de Estudios Superioresde Monterrey, Campus Monterrey

    Miguel ngel Ros SnchezDepartamento de Ingeniera Mecnica y MecatrnicaInstituto Tecnolgico y de Estudios Superioresde Monterrey, Campus Estado de Mxico

    TRADUCCIN

    Jess Elmer Murrieta MurrietaMaestro en Investigacin de OperacionesInstituto Tecnolgico y de Estudios Superioresde Monterrey, Campus Morelos

    REVISIN TCNICA

  • Authorized translation from the English language edition, entitled Engineering mechanics: Dynamics, 5th edition by Anthony Bedford and Wallace T.Fowler, published by Pearson Education, Inc., publishing as Prentice Hall. Copyright 2008. All rights reserved. ISBN 0136129161

    Traduccin autorizada de la edicin en idioma ingls titulada Engineering mechanics: Dinamics 5th edition por Anthony Bedford y Wallace T. Fowler,publicada por Pearson Education, Inc., publicada como Prentice Hall. Copyright 2008. Todos los derechos reservados.

    Esta edicin en espaol es la nica autorizada.

    Edicin en espaolEditor: Luis Miguel Cruz Castillo

    e-mail: [email protected] Editor de desarrollo: Bernardino Gutirrez HernndezSupervisor de produccin: Rodrigo Romero Villalobos

    Edicin en ingls

    Datos de catalogacin bibliogrfica

    BEDFORD, ANTHONY; FOWLER, WALLACE T.

    Mecnica para ingeniera. DinmicaQuinta edicin

    PEARSON EDUCACIN, Mxico, 2008ISBN: 978-970-26-1278-0rea: Ingeniera

    Formato: 20 25.5 cm Pginas: 672

    Vice President and Editorial Director, ECS: Marcia J. HortonAcquisitions Editor: Tacy QuinnAssociate Editor: Dee BernhardManaging Editor: Scott DisannoMedia Editor: David AlickMarketing Manager: Tim GalliganProduction Editor: Craig LittleMedia Project Manager: Rich Barnes

    Director of Creative Services: Paul BelfantiCreative Director: Juan LopezArt Director: Jonathan BoylanInterior Designer: Kenny BeckCover Designer: Jonathan BoylanArt Editor: Xiaohong ZhuManufacturing Manager: Alexis Heydt-LongManufacturing Buyer: Lisa McDowell

    QUINTA EDICIN, 2008

    D.R. 2008 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V. Atlacomulco 500-5o. pisoCol. Industrial Atoto53519, Naucalpan de Jurez, Estado de Mxico

    Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Nm. 1031.

    Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V.

    Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperacinde informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico o electroptico, por fotocopia, grabacin ocualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.

    El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de sus representantes.

    ISBN 10: 970-26-1278-0ISBN 13: 978-970-26-1278-0

    Impreso en Mxico. Printed in Mexico.1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 11 10 09 08

  • iii

    Contenido

    Prefacio xiii

    Acerca de los autores xxi

    Crditos de fotografas xxiii

    12 Introduccin 312.1 Ingeniera y mecnica 4

    Resolucin de problemas 4Nmeros 5Espacio y tiempo 5Leyes de Newton 6Sistema internacional de unidades 7Unidades de uso comn en Estados Unidos 8Unidades angulares 8Conversin de unidades 8

    12.2 Gravitacin de Newton 15

  • 13 Movimiento de un punto 2113.1 Posicin, velocidad y aceleracin 22

    13.2 Movimiento en lnea recta 24Descripcin del movimiento 24Anlisis del movimiento 26Cuando se conoce la aceleracin como una funcin del tiempo 29Cuando se conoce la velocidad como una funcin del tiempo 29Cuando la aceleracin es constante 30

    13.3 Movimiento en lnea recta cuando la aceleracindepende de la velocidad o de la posicin 41

    13.4 Movimiento curvilneo: Coordenadas cartesianas 49

    13.5 Movimiento angular 61Movimiento angular de una lnea 61Rotacin de un vector unitario 61Movimiento angular de una lnea 63Rotacin de un vector unitario 63

    13.6 Movimiento curvilneo: Componentes normal y tangencial 67Movimiento planar 67Movimiento circular 70Movimiento tridimensional 71Componentes normal y tangencial en el movimiento planar 72Movimiento en el plano xy de un marco de referencia

    cartesiano 73Movimiento en una trayectoria circular 73

    13.7 Movimiento curvilneo: Coordenadas polares y cilndricas 84Coordenadas polares 88Coordenadas cilndricas 89

    13.8 Movimiento relativo 99Problemas de repaso 104

    iv Contenido

  • 14 Fuerza, masa y aceleracin 10714.1 Segunda ley de Newton 108

    Ecuacin de movimiento para el centro de masa 108Marcos de referencia inerciales 110

    14.2 Aplicaciones: Coordenadas cartesianas y movimientoen lnea recta 112

    14.3 Aplicaciones: Componentes normal y tangencial 133

    14.4 Aplicaciones: Coordenadas polares y cilndricas 146

    14.5 Mecnica de rbitas 153Determinacin de la rbita 153Tipos de rbitas 156Problemas de repaso 160

    15 Mtodos energticos 16515.1 Trabajo y energa cintica 166

    Principio del trabajo y la energa 166Evaluacin del trabajo 167Potencia 168Principio del trabajo y la energa 169Evaluacin del trabajo 170Potencia 170

    15.2 Trabajo realizado por fuerzas particulares 180Peso 180Resortes 182

    15.3 Energa potencial y fuerzas conservativas 196Energa potencial 196Fuerzas conservativas 197Fuerzas conservativas y energa potencial 200Conservacin de la energa 200Energas potenciales asociadas con fuerzas particulares 201

    15.4 Relaciones entre la fuerza y la energa potencial 213Problemas de repaso 217

    Contenido v

  • 16 Mtodos de la cantidad de movimiento 22316.1 Principio del impulso y la cantidad de movimiento 224

    16.2 Conservacin de la cantidad de movimientolineal y los impactos 238Conservacin de la cantidad de movimiento lineal 238Impactos 239Colisin perfectamente plstica 242Impactos 242Conservacin de la cantidad de movimiento lineal 242Impacto central directo 243Impacto central oblicuo 243

    16.3 Cantidad de movimiento angular 255Principio del impulso y de la cantidad de movimiento angular 255Movimiento bajo una fuerza central 256Cantidad de movimiento angular 257Principio del impulso y de la cantidad de movimiento angular 257Movimiento bajo una fuerza central 258

    16.4 Flujos de masa 263Problemas de repaso 272

    17 Climtica plana de cuerpos rgidos 27917.1 Cuerpos rgidos y tipos de movimiento 280

    Traslacin 281Rotacin respecto a un eje fijo 281Movimiento plano 282

    17.2 Rotacin respecto a un eje fijo 283

    17.3 Movimientos generales: velocidades 290Velocidades relativas 290Vector de la velocidad angular 292Velocidades relativas 294Movimiento de rodadura 295Vector de velocidad angular 295

    17.4 Centros instantneos 308

    17.5 Movimientos generales: aceleraciones 315Velocidades y aceleraciones relativas 318Movimiento plano 318Movimiento de rodadura 318

    17.6 Contactos deslizantes 328

    17.7 Marcos de referencia mviles 342Movimiento de un punto respecto a un marco

    de referencia mvil 342Marcos de referencia inerciales 343Movimiento de un punto respecto a un marco

    de referencia mvil 347Marcos de referencia 348Problemas de repaso 359

    vi Contenido

  • 18 Dinmica plana de cuerpos rgidos 36518.1 Principios de la cantidad de movimiento para

    un sistema de partculas 366Principio de la fuerza y la cantidad de movimiento lineal 366Principios del momento y la cantidad de movimiento angular 367Principio de la fuerza y la cantidad de movimiento lineal 369Principios del momento y la cantidad de movimiento angular 369

    18.2 Ecuaciones de movimiento plano 369Rotacin alrededor de un eje fijo 369Movimiento plano general 370

    Apndice: Momentos de inercia 395Objetos simples 395Teorema de los ejes paralelos 398Problemas de repaso 408

    19 Energa y cantidad de movimiento en la dinmica de cuerpos rgidos 413

    19.1 Trabajo y energa 414Energa cintica 415Trabajo y energa potencial 417Potencia 419Principio del trabajo y la energa 419Energa cintica 420Trabajo realizado por una fuerza 420Trabajo realizado por un par 421Conservacin de la energa 421Potencia 422

    19.2 Impulso y cantidad de movimiento 436Cantidad de movimiento lineal 436Cantidad de movimiento angular 437Cantidad de movimiento lineal 440Cantidad de movimiento angular de un cuerpo rgido

    en movimiento plano 440

    19.3 Impactos 450Conservacin de la cantidad de movimiento 450Coeficiente de restitucin 451Cantidad de movimiento lineal 454Cantidad de movimiento angular 455Coeficiente de restitucin 455Problemas de repaso 468

    Contenido vii

  • 20 Cinemtica y dinmica tridimensionales de cuerpos rgidos 475

    20.1 Cinemtica 476Velocidades y aceleraciones 476Marcos de referencia en movimiento 477

    20.2 Ecuaciones de Euler 491Rotacin respecto a un punto fijo 491Movimiento tridimensional general 494Ecuaciones de movimiento plano 496Segunda ley de Newton 497Giro respecto a un punto fijo 497Movimiento tridimensional general 498

    20.3 ngulos de Euler 513Objetos con un eje de simetra 513Objetos arbitrarios 517ngulos de Euler para un objeto con un eje de simetra 519Precesin estable 520Precesin estable libre de momento 521Conos espacial y de cuerpo 522ngulos de Euler para un objeto arbitrario 522

    Apndice: Momentos y productos de inercia 529Objetos simples 529Placas delgadas 530Teoremas de los ejes paralelos 532Momento de inercia respecto a un eje arbitrario 534Ejes principales 534Problemas de repaso 544

    21 Vibraciones 54921.1 Sistemas conservativos 550

    Ejemplos 550Soluciones 551

    21.2 Vibraciones amortiguadas 566Amortiguamiento subcrtico 566Amortiguamientos crtico y supercrtico 567Amortiguamiento subcrtico 569Amortiguamiento crtico y supercrtico 570

    21.3 Vibraciones forzadas 578Funcin forzante de excitacin oscilatoria 579Funcin forzante de excitacin polinomial 581Solucin particular para una funcin forzante de excitacin

    oscilatoria 583Solucin particular para una funcin de excitacin polinomial 583Problemas de repaso 592

    viii Contenido

  • APNDICES

    A Repaso de matemticas 597A.1 lgebra 597

    Ecuaciones cuadrticas 597Logaritmos naturales 597

    A.2 Trigonometra 598

    A.3 Derivadas 598

    A.4 Integrales 599

    A.5 Series de Taylor 600

    A.6 Anlisis vectorial 600

    Coordenadas cartesianas 600Coordenadas cilndricas 600

    B Propiedades de reas y lneas 601B.1 reas 601

    B.2 Lneas 604

    C Propiedades de volmenes y objetoshomogneos 605

    D Coordenadas esfricas 608

    E Principio de DAlembert 609

    Soluciones a los problemas de prctica 611

    Respuestas a los problemas con nmero par 637

    ndice 645

    Contenido ix

  • xi

    Prefacio

    El desarrollo de la quinta edicin de Mecnica para Ingeniera:Esttica y Dinmica comenz al preguntarnos de qu manerapodran reestructurarse nuestros libros de texto para ayudar alos estudiantes a aprender mecnica de manera ms eficaz yeficiente.

    Desde las primeras ediciones, nuestro objetivo ha sido pre-sentar el material de una forma que emule el desarrollo de losconceptos por parte del profesor en el saln de clases y enfaticeel anlisis visual para mejorar la comprensin del estudiante.

    Ahora, con base en nuestras experiencias a travs de mu-chos aos en el saln de clases y los comentarios de colegas yestudiantes, hemos diseado la quinta edicin para apegarnosa la manera en que los estudiantes actualmente usan los librosde texto para aprender mecnica. Durante el desarrollo delos nuevos elementos descritos anteriormente seguimos ape-gados a nuestros objetivos originales de ensear procedimien-tos eficaces para la resolucin de problemas y la importanciacentral de los diagramas de cuerpo libre.

    Novedades en esta edicin

    Ejemplos activosUn nuevo formato de ejemplo diseado para ayudar a los estu-diantes a aprender conceptos y mtodos, y a probar la compren-sin de los mismos. Los anlisis se relacionan de manera visualcon figuras y ecuaciones en un diseo con ilustraciones y textointegrados para una lectura eficiente. Al final del ejemplo activose proporciona un problema de prctica de manera que losestudiantes se vean motivados a verificar si comprendieron elmaterial; y pueden evaluar fcilmente sus conocimientos al con-sultar la respuesta, que se proporciona en la misma pgina, oestudiando la solucin completa que se presenta en el apndice,con el mismo formato de ilustraciones y texto integrados.

    Problemas con enfoque en ejemplosSe incluyen nuevos problemas de tarea diseados para incen-tivar a los alumnos a estudiar los ejemplos dados y expandir su

    comprensin de los conceptos. Los nmeros de estos proble-mas se mencionan al inicio de cada ejemplo, de manera que losprofesores puedan usarlos con facilidad para estimular el estu-dio de ciertos temas seleccionados.

    ResultadosLa mayora de las secciones del libro ahora concluye con unanueva subseccin de resultados, una descripcin completa ysuficiente de los resultados necesarios para entender los ejem-plos y problemas siguientes. Para una comprensin ms fcil,se presentan en el mismo formato de ilustraciones y texto inte-grados que se usa en los ejemplos activos y se puede consultarde manera eficiente estas subsecciones mientras se estudia elejemplo y trabaja con los problemas.

    Conjunto de problemasEn este texto, treinta por ciento de los problemas son nuevos.Se han marcado con un asterisco aquellos que son relativa-mente ms largos o difciles. Tambin es posible generar pro-blemas adicionales usando el sistema de tareas en lnea con suscapacidades algortmicas (vea el sitio Web de este libro).

    Elementos especiales de este texto

    EjemplosAdems de los nuevos ejemplos activos, mantenemos losque siguen una estructura con tres partes Estrategia/Solucin/Razonamiento crtico diseados para ayudar a losestudiantes a desarrollar sus habilidades en la resolucin deproblemas de ingeniera. En las secciones de estrategia, demos-tramos cmo planear la solucin de un problema, la cual pre-senta los pasos detallados necesarios para llegar a los resulta-dos requeridos.

    Algunos de los ejemplos se concentran en el diseo y pro-porcionan anlisis detallados de aplicaciones de la dinmica aldiseo de ingeniera.

  • Mecnica en computadorasAlgunos profesores prefieren ensear dinmica sin dar nfa-sis al uso de la computadora. Otros la usan como una oportu-nidad de introducir a los estudiantes al uso de las computado-ras en ingeniera, y piden a los alumnos que escriban suspropios programas en un lenguaje de nivel bsico o que uti-licen software de nivel superior para la resolucin de proble-mas. Nuestro libro es compatible con ambos enfoques. Existematerial opcional de mecnica en computadoras en el sitioWeb Companion, donde se incluyen tutoriales en MathCad yMATLAB. Para mayor informacin, vea la seccin de suple-mentos.

    Programa de ilustracionesReconocemos la importancia de ayudar a los estudiantes avisualizar los problemas de mecnica. Los alumnos prefiereny se sienten ms motivados con situaciones reales. Nuestrostextos incluyen muchas fotografas y figuras realistas queayudan a visualizar las aplicaciones y proporcionar una cone-xin ms fuerte con la prctica de la ingeniera.

    Uso del segundo colorPara ayudar a reconocer e interpretar los elementos de las figu-ras, hemos usado ciertos valores de identificacin:

    Triple verificacin de la exactitud:Compromiso con los estudiantesy profesoresNuestro compromiso con los estudiantes y profesores es tomarprecauciones para asegurar la exactitud del texto hasta dondenuestra capacidad lo permita. Usamos un sistema de triple veri-ficacin de la exactitud en el cual tres participantes, adems delos autores, resuelven los problemas en un esfuerzo por asegurarque las respuestas son correctas y que tienen un nivel de dificul-tad apropiado. Nuestro equipo de exactitud se compone de:

    Scott Hendricks, de la Virginia Polythecnic University Karim Nohra de la University of South Florida Kurt Norlin del Laurel Technical Services

    Estos participantes tambin revisaron el texto, los ejemplos y losproblemas para asegurar su exactitud. Cualquier error sigue sien-do responsabilidad de nosotros, los autores, y agradeceremos lacomunicacin de estudiantes y profesores en relacin con yerroso reas de mejoramiento. Nuestra direccin de correo es Depart-ment of Aerospace Engineering and Engineering Mechanics,University of Texas at Austin, Texas 78712. Nuestra direccinde correo electrnico es: [email protected].

    Recursos adicionales

    Recursos para el estudianteEl paquete de estudio Dynamics est diseado para pro-porcionar a los estudiantes herramientas que mejoren sus habi-lidades al dibujar diagramas de cuerpo libre, y para repasar lostemas antes de los exmenes. Contiene una ayuda para los dia-gramas de cuerpo libre con cincuenta problemas de prctica dedificultad ascendente, los cuales incluyen soluciones comple-tas. Las estrategias y recomendaciones adicionales ayudan alos estudiantes a comprender cmo utilizar los diagramas enla resolucin de problemas relacionados. Este suplemento ymaterial de repaso adicional para cada captulo fue preparadopor Peter Schiavone de la University of Alberta.

    Evaluacin en la red y tutoriales: Los estudiantes puedenacceder a los recursos de ayuda, como los problemas de prcti-ca complementarios, en el sitio Web de este libro.

    www.pearsoneducacion.net/bedford

    El sitio Web cuenta con archivos de ayuda para MATLAB yMathCad. En cada uno de estos archivos se analiza un concep-to bsico de mecnica, y despus se demuestra cmo resolverun problema especfico relacionado con este concepto usandoMATLAB y MathCad. Existen veinte archivos de ayuda tantoen MATLAB como en MathCad. La hojas de clculo fueron desa-rrolladas por Ronald Larsen y Stephen Hunt de la Montana StateUniversity-Bozeman.

    xii Prefacio

    Vectores unitarios

    Fuerzas

    Pares

    Posiciones

  • Prefacio xiii

    Adicionalmente, los profesores pueden asignar tareas enlnea a los estudiantes usando PH GradeAssist. Las respuestasy los resultados se califican y registran de manera electrnica.

    Recursos para el profesorManual de soluciones para el profesor: Este suple-mento, disponible para los profesores en la pgina Web, con-tiene soluciones completas. Cada solucin viene con el enunciadodel problema e ilustraciones asociadas. Cabe aclarar que todosestos complementos se encuentran en idioma ingls.

    Evaluacin en la red y recursos adicionales: A travsde PH GradeAssist, el profesor puede crear tareas en lnea paralos estudiantes usando problemas del texto, los cuales estn enun formato algortmico, de manera que cada alumno trabaje conproblemas un poco diferentes. Las respuestas a los problemas seregistran en un libro de calificaciones en lnea que puede ba-jarse en Excel. Para recursos adicionales, acceda al sitio Web dellibro, donde encontrar series de problemas complementariosy dems informacin. Para mayores detalles contacte a su re-presentante de Pearson Educacin.

    ReconocimientosLos siguientes colegas realizaron revisiones con base en suconocimiento y experiencia en la enseanza, las cuales fueronde gran ayuda al preparar tanto esta edicin como las anteriores.

    Shaaban AbdallahUniversity of Cincinnati

    Edward E. AdamsMichigan Technological University

    George G. AdamsNortheastern University

    Raid S. Al-AkkadUniversity of Dayton

    Jerry L. AndersonMemphis State University

    James G. AndrewsUniversity of Iowa

    Robert J. AsaroUniversity of California, San Diego

    Leonard B. BaldwinUniversity of Wyoming

    Haim BaruhRutgers University

    Gautam BatraUniversity of Nebraska

    David M. BayerUniversity of North Carolina

    Glenn BeltzUniversity of California-Santa Barbara

    Mary BergsMarquette University

    Don L. BoyerArizona State University

    Spencer BrinkerhoffNorthern Arizona University

    L. M. BrockUniversity of Kentucky

    William (Randy) BurkettTexas Tech University

    Donald CarlsonUniversity of Illinois

    Major Robert M. CarpenterU.S. Military Academy

    Douglas CarrollUniversity of Missouri, Rolla

    Paul C. ChanNew Jersey Institute of Technology

    Namas ChandraFlorida State University

    James CheneyUniversity of California, Davis

    Ravinder ChonaTexas A & M University

    Daniel C. DecklerThe University of Akron Wayne College

    Anthony DeLuzioMerrimack College

    Mitsunori DendaRutgers University

  • James F. DevineUniversity of South Florida

    Craig DouglasUniversity of Massachussets, Lowell

    Marijan DravinskiUniversity of Southern California

    S. Olani DurrantBrigham Young University

    Estelle EkeCalifornia State University, Sacramento

    Bogdan I. EpureanuUniversity of Michigan

    William FerranteUniversity of Rhode Island

    Robert W. FitzgeraldWorcester Polytechnic Institute

    George T. FlowersAuburn University

    Mark FrisinaWentworth Institute

    Robert W. FuessleBradley University

    Walter GerstleUniversity of New Mexico

    William GurleyUniversity of Tennessee, Chattanooga

    John HansberryUniversity of Massachusetts, Dartmouth

    Mark J. HarperUnited States Naval Academy

    W. C. HauserCalifornia Polytechnic University, Pomona

    Linda HayesUniversity of Texas-Austin

    R. Craig HendersonTennessee Technological University

    Paul R. HeyligerColorado State University

    James HillUniversity of Alabama

    Robert W. HinksArizona State University

    Allen HoffmanWorcester Polytechnic Institute

    Edward E. HornseyUniversity of Missouri, Rolla

    Robert A. HowlandUniversity of Notre Dame

    Joe IanelliUniversity of Tennessee, Knoxville

    Ali IranmaneshGadsden State Community College

    David B. JohnsonSouthern Methodist University

    E. O. Jones, Jr.Auburn University

    Serope KalpakjianIllinois Institute of Technology

    Kathleen A. KeilCalifornia Polytechnic University, San Luis Obispo

    Yohannes KetemaUniversity of Minnesota

    Seyyed M. H. KhandaniDiablo Valley College

    Charles M. KrousgrillPurdue University

    B. Kent LallPortland State University

    Chad M. LandisRice University

    Kenneth W. LauUniversity of Massachusetts, Lowell

    xiv Prefacio

  • Prefacio xv

    Norman LawsUniversity of Pittsburgh

    William M. LeeU.S. Naval Academy

    Donald G. LemkeUniversity of Illinois, Chicago

    Richard J. LeubaNorth Carolina State University

    Richard LewisLouisiana Technological University

    John B. LigonMichigan Tech University

    Bertram LongNortheastern University

    V. J. LopardoU.S. Naval Academy

    Frank K. LuUniversity of Texas, Arlington

    Mark T. LuskColorado School of Mines

    K. MadhavenChristian Brothers College

    Nels MadsenAuburn University

    James R. MatthewsUniversity of New Mexico

    Gary H. McDonaldUniversity of Tennessee

    James McDonaldTexas Technical University

    Jim MeagherCalifornia Polytechnic State University, San Luis Obispo

    Lee MinardiTufts University

    Norman MunroeFlorida International University

    Shanti NairUniversity of Massachusetts, Amherst

    Saeed NikuCalifornia Polytechnic State University, San Luis Obispo

    Mohammad NooriNorth Carolina State University

    Harinder Singh OberoiWestern Washington University

    James OConnorUniversity of Texas, Austin

    Samuel P. Owusu-OforiNorth Carolina A & T State University

    Venkata PanchakarlaFlorida State University

    Assimina A. PelegriRutgers University

    Noel C. PerkinsUniversity of Michigan

    Corrado PoliUniversity of Massachusetts-Amherst

    David J. PurdyRose-Hulman Institute of Technology

    Yitshak RamLouisiana State University

    Colin E. RatcliffeU.S. Naval Academy

    Daniel RiahiUniversity of illinois

    Charles RitzCalifornia Polytechnic State University, Pomona

    George RosboroughUniversity of Colorado, Boulder

    Edwin C. RossowNorthwestern University

    Kenneth SawyersLehigh University

  • xvi Prefacio

    Robert SchmidtUniversity of Detroit

    Robert J. SchultzOregon State University

    Richard A. ScottUniversity of Michigan

    Brian SelfU.S. Air Force Academy

    William SemkeUniversity of North Dakota

    Patricia M. ShamamyLawrence Technological University

    Sorin SieglerDrexel University

    Peng SongRutgers State University

    Candace S. SulzbachColorado School of Mines

    L. N. TaoIllinois Institute of Technology

    Craig ThompsonWestern Wyoming Community College

    John TomkoCleveland State University

    Kevin Z. TrumanWashington University

    John ValasekTexas A & M University

    Christine ValleGeorgia Institute of Technology

    Dennis VandenBrinkWestern Michigan University

    Thomas J. VaskoUniversity of Hartford

    Mark R. VirklerUniversity of Missouri, Columbia

    William H. Walston, Jr.University of Maryland

    Andrew J. WaltersMississippi University

    Reynolds WatkinsUtah State University

    Charles WhiteNortheastern University

    Norman WittelsWorcester Polytechnic Institute

    Julius P. WongUniversity of Louisville

    T. W. WuUniversity of Kentucky

    Constance ZiemianBucknell University

    Los elementos nuevos que diferencian esta edicin de lasanteriores, particularmente la integracin de texto e ilustraciones,fueron desarrollados con ayuda de estudiantes, colegas yeditores. Los revisores de las primeras pruebas nos motivarony sugirieron refinamientos tiles. Despus de haber establecidoel nuevo formato, el apoyo que recibimos de Prentice Hall en eldesarrollo de los libros fue estupendo. Nuestra editora TacyQuinn organiz el gran esfuerzo en equipo que requieren loslibros de este tipo y nos ofreci una ayuda entusiasta y consejosvaliosos. Marcia Horton y Tim Galligan hicieron la revisinms importante desde las conversaciones iniciales acerca denuestras ideas hasta la publicacin del libro. Craig Littlecontinu ensendonos los detalles de la produccin del libro yfue el instrumento para mantener el proyecto dentro del calendarioestablecido. De nuevo, Xiaohong Zhu nos proporcion un apoyoconsumado en los aspectos relativos a ilustraciones y foto-grafas. Dee Bernhard y Mack Patterson administraron nuestracomunicacin con los revisores y usuarios de los libros. JenniferLonschein proporcion apoyo editorial y de produccin. DavidAlick, Ben Paris y Kristin Mayo coordinaron el desarrollo de losrecursos en lnea que se han convertido en herramientas tanesenciales para los usuarios. Jonathan Boylan dise lasportadas. Agradecemos a Peter Schiavone por desarrollar los

  • paquetes de estudio que acompaan a los libros, y a StephenHunt y Ronald Larsen por escribir los apoyos en MATLAB yMathCad. Scout Hendricks, Karim Nohra y Kart Norlin,valiosos colegas de nuestras campaas anteriores, nos dieronconsejos con respecto al estilo y la claridad, corrigieron muchosde nuestros errores y revisaron los manuales de solucin. Somosresponsables por los errores que an quedan. Nancy Bedford

    nos ofreci consejo editorial y nos ayud con la revisin.Muchas otras personas talentosas y profesionales tanto dePrentice Hall como de otras partes tambin contribuyeron en larevisin de este texto, por lo que les estamos agradecidos. Yuna vez ms agradecemos a nuestras familias, especialmente aNancy y Marsha, por su paciencia y comprensin en la reali-zacin de las nuevas ediciones.

    Anthony Bedford y Wallace FowlerAustin, Texas

    Prefacio xvii

  • xix

    Acerca de los autores

    Anthony Bedford es profesor emrito de Ingeniera Aero-espacial e Ingeniera Mecnica en la University of Texas atAustin, y ha ejercido la docencia desde 1968. Es miembro de laAcademia de Maestros Distinguidos de la University of Texas.Su actividad profesional principal ha sido la educacin y la in-vestigacin en la mecnica para ingeniera. Ha escrito artculossobre teora mixta, propagacin de ondas y la mecnica de im-pactos a alta velocidad, y es autor de los libros Principio deHamilton en Mecnica Continua, Introduccin a la PropagacinElstica de Ondas (con D. S. Drumheller) y Mecnica de Ma-teriales (con K. M. Liechti). Tiene experiencia industrial enDouglas Aircraft Company, TRW, y Sandia National Laborato-ries.

    Wallace T. Fowler es Profesor Centenario Paul D. & BettyRobertson de ingeniera en la University of Texas y es directordel Consorcio de Apoyo Espacial de Texas. Pertenece al Ame-rican Institute of Aeronautics and Astronautic (AIAA) y a laAmerican Society for Engineering Education (ASEE). ElDr. Fowler recibi el premio de excelencia en la enseanza dedinmica general en 1976, el premio John Leland Atwoodde AIAAA y ASEE en 1985 (para el mejor profesor en inge-niera aeroespacial), el premio a la enseanza del concejo demaestros de la University of Texas en 1990-1991, ademsdel premio a la enseanza en diseo Fred Merryfield de ASEEen 1994. En 1997 fue seleccionado para pertenecer a la acade-mia de profesores distinguidos de la University of Texas. ElDr. Fowler tambin se desempe como presidente de la Ame-rican Society for Engineering Education de 2000 a 2001. Los in-tereses del Dr. Fowler relativos a la investigacin y la enseanzaen la UT en Austin, se enfocan en la ingeniera y el diseo desistemas espaciales.

    Anthony Bedford (l ) y Wallace T. Fowler

  • Mecnica para ingenieraD I N M I C A

  • C A P T U L O

    12Introduccin

    Cmo disean y construyen los ingenieros los disposi-tivos que se usan en la vida diaria, desde objetos simplescomo sillas y sacapuntas hasta estructuras complica-das como presas, automviles, aviones y naves espacia-les? Ellos deben tener un conocimiento profundo de lafsica subyacente al diseo de tales dispositivos y ser ca-paces de usar modelos matemticos para predecir sucomportamiento. Al estudiar mecnica, los estudiantesde ingeniera comienzan a aprender cmo analizar y pre-decir los comportamientos de los sistemas fsicos.

    Los movimientos del bobsled (trineo) y su tripulacin sus posiciones,velocidades y aceleraciones pueden analizarse usando las ecuaciones de ladinmica. Los ingenieros emplean la dinmica para predecir los movimientosde los objetos.

  • 4 Captulo 12 Introduccin

    12.1 Ingeniera y mecnica

    ANTECEDENTESCmo pueden los ingenieros disear sistemas complejos y predecir sus caractersti-cas antes de construirlos? Los ingenieros siempre han confiado en su conocimientode diseos anteriores, en experimentos y en su ingenio y creatividad para producirnuevos diseos. Los ingenieros modernos tienen adems una poderosa tcnica: desa-rrollan ecuaciones matemticas basadas en las caractersticas fsicas de los objetosque disean. Con estos modelos matemticos predicen el comportamiento de susdiseos, los modifican y los prueban antes de su construccin real. Los ingenierosaeroespaciales usan modelos matemticos para predecir las rutas que seguir un tras-bordador espacial durante su vuelo; los ingenieros civiles usan modelos matemti-cos para analizar los efectos de las cargas sobre edificios y sus cimientos.

    En su nivel ms bsico, la mecnica es el estudio de las fuerzas y sus efectos.La mecnica elemental se divide en esttica, que es el estudio de los objetos enequilibrio, y dinmica, que es el estudio de los objetos en movimiento. Los resul-tados obtenidos en la mecnica elemental se aplican directamente a muchos cam-pos de la ingeniera. Los ingenieros civiles y mecnicos que disean estructurasusan ecuaciones de equilibrio obtenidas por medio de la esttica. Los ingenierosciviles que analizan las respuestas de edificios frente a terremotos y los ingenie-ros aeroespaciales que determinan las trayectorias de satlites, usan las ecuacionesde movimiento obtenidas de la dinmica.

    La mecnica fue la primera ciencia analtica, por eso los conceptos funda-mentales, los mtodos analticos y las analogas de la mecnica se encuentran encasi todas las ramas de la ingeniera. Los estudiantes de ingeniera qumica y elc-trica aprecian de una manera ms profunda conceptos bsicos de sus campos,como el equilibrio, la energa y la estabilidad, al aprenderlos en sus contextosmecnicos originales. Cuando estudian mecnica vuelven a trazar el desarrollohistrico de esas ideas.

    La mecnica consiste en principios generales que rigen el comportamiento delos objetos. En este libro se describen esos principios y se proporcionan ejemplosque muestran algunas de sus aplicaciones. Aunque es esencial que el estudianteresuelva problemas similares a esos ejemplos, y se incluyen muchos problemasde este tipo, el objetivo del texto es ayudar a entender los principios suficiente-mente bien para aplicarlos a las nuevas situaciones que se presenten. Cada genera-cin de ingenieros se enfrenta a problemas nuevos.

    Resolucin de problemasEn el estudio de la mecnica usted aprender procedimientos para resolver pro-blemas que usar en cursos posteriores y a lo largo de su carrera. Aunque los dife-rentes tipos de problemas requieren distintos mtodos, los siguientes pasos se apli-can a muchos de ellos:

    Identifique la informacin dada y la informacin, o respuesta, que debe deter-minarse. Con frecuencia resulta til reformular el problema en sus propiaspalabras. Cuando sea apropiado, asegrese de que entiende el sistema fsico oel modelo involucrado.

    Desarrolle una estrategia para el problema. Esto es, identifique los principiosy ecuaciones aplicables y decida cmo los usar. Cuando sea posible, dibujediagramas para visualizar y resolver el problema.

    Siempre que pueda, trate de predecir la respuesta. Esto desarrollar su intui-cin y lo ayudar a reconocer una respuesta incorrecta.

    Resuelva las ecuaciones y, cuando sea posible, interprete sus resultados ycomprelos con su prediccin. El ltimo paso se llama verificacin en la rea-lidad. Es razonable su respuesta?

  • 12.1 Ingeniera y mecnica 5

    NmerosLas mediciones, los clculos y los resultados de ingeniera se expresan en n-meros. Usted necesita saber cmo se expresan los nmeros en los ejemplos yproblemas de este libro, y cmo deber expresar los resultados de sus propiosclculos.

    Dgitos significativos Este trmino se refiere al nmero de dgitos significati-vos (o sea, exactos) en un nmero, contando hacia la derecha a partir del primerdgito distinto de cero. Los nmeros 7.630 y 0.007630 estn expresados con cua-tro dgitos significativos. Si se sabe que slo los primeros cuatro dgitos del nme-ro 7,630,000 son exactos, esto se puede indicar escribiendo el nmero en notacincientfica como 7.630 106.

    Si un nmero es el resultado de una medicin, los dgitos significativos quecontiene estn limitados por la exactitud de la medicin. Si el resultado de unamedicin es 2.43, esto significa que el valor real estar ms cercano a 2.43 que a2.42 o a 2.44.

    Los nmeros pueden redondearse a cierta cantidad de dgitos significativos.Por ejemplo, el valor de puede expresarse con tres dgitos significativos, 3.14, ocon seis dgitos significativos, 3.14159. Cuando se usa una calculadora o una com-putadora, el nmero de dgitos significativos est limitado por la cantidad de cifrassignificativas que la mquina puede manejar segn su diseo.Uso de nmeros en este libro Los nmeros dados en los problemas debentratarse como valores exactos sin importar cuntos dgitos significativos conten-gan. Si un problema establece que una cantidad es igual a 32.2, se puede suponerque su valor es 32.200. . . . Por lo general se utilizarn al menos tres dgitos sig-nificativos para expresar los resultados intermedios y las respuestas en los ejem-plos, as como las respuestas a los problemas. Si usa calculadora, sus resultadosdeben tener esa exactitud. Asegrese de evitar los errores que ocurren al redon-dear resultados intermedios cuando realice una sucesin de clculos. En vez deesto, efecte sus clculos con la exactitud disponible reteniendo los valores en sucalculadora.

    Espacio y tiempoEl espacio se refiere simplemente al universo tridimensional en que vivimos. Lasexperiencias diarias proporcionan una nocin intuitiva del espacio y las ubicacio-nes, o posiciones, de los puntos en ste. La distancia entre dos puntos en el espa-cio es la longitud de la lnea recta que los une.

    Para medir la distancia entre puntos en el espacio se requiere una unidad delongitud. Se usarn tanto las unidades del Sistema Internacional, o unidades SI,como las unidades de uso comn en Estados Unidos. En unidades SI, la unidad delongitud es el metro (m); en unidades de uso comn en Estados Unidos la unidadde longitud es el pie.

    Por supuesto, el tiempo resulta familiar; la vida se mide por medio de l. Losciclos diarios de luz y oscuridad, y las horas, minutos y segundos medidos por unreloj proporcionan una nocin intuitiva del tiempo. ste se mide mediante losintervalos entre eventos repetidos, como las oscilaciones del pndulo de un reloj olas vibraciones en un reloj de cristal de cuarzo. Tanto en las unidades SI, comoen las de uso comn en Estados Unidos, la unidad de tiempo es el segundo (s);tambin se usan comnmente minutos (min), horas (h) y das.

    Si la posicin de un punto en el espacio en relacin con algn punto de refe-rencia cambia con el tiempo, la razn del cambio de su posicin se llama veloci-dad, y la razn del cambio de su velocidad se denomina aceleracin. En unidadesSI, la velocidad se expresa en metros por segundo (m/s) y la aceleracin en metrospor segundo cuadrado (m/s2). En las unidades de uso comn en Estados Unidos, la

  • 6 Captulo 12 Introduccin

    velocidad se expresa en pies por segundo (pie/s) y la aceleracin en pies por segun-do cuadrado (pie/s2).

    Leyes de NewtonLa mecnica elemental se estableci sobre una base slida con la publicacin en1687 de Philosophiae Naturalis Principia Mathematica de Isaac Newton. Aunquesumamente original, este trabajo se bas en conceptos fundamentales desarrolla-dos durante una lucha larga y difcil hacia el conocimiento (figura 12.1).

    Guerra del Peloponeso 400 a.C.

    400 d. C.

    800

    1200

    1400

    1600

    1650

    1700

    Invasin de Roma a Bretaa

    Coronacin de Carlomagno

    Conquista normanda de Bretaa

    Firma de la Carta Magna

    Peste bubnica en Europa

    Impresin de la Biblia de Gutenberg

    Viaje de Coln

    Fundacin de la colonia de Jamestown

    Guerra de los Treinta AosLlegada de los peregrinos a Massachusetts

    Fundacin de la Universidad de Harvard

    Colonizacin de Carolina

    Cesin de Pennsylvania a William Penn

    Juicios a brujas de Salem

    Aristteles: Esttica de palancas, especulaciones sobre dinmicaArqumedes: Esttica de palancas, centros de masa, flotacin

    Hero de Alejandra: Esttica de palancas y poleasPapo: Definicin precisa del centro de masa

    Juan Filopono: Concepto de inercia

    Jordano de Nemora: Estabilidad del equilibrio

    Alberto de Sajonia: Velocidad angularNicola dOresme: Cinemtica grfica, coordenadasWilliam Heytesbury: Concepto de aceleracin

    Nicols Coprnico: Concepto del sistema solar Dominic de Soto: Cinemticas de objetos que caen

    Tycho Brahe: Observaciones de movimientos planetarios

    Simon Stevin: Principio del trabajo virtualJohannes Kepler: Geometra y cinemtica demovimientos planetarios

    Galileo Galilei: Experimentos y anlisis en esttica ydinmica, movimiento de un proyectil

    Ren Descartes: Coordenadas cartesianasEvangelista Torricelli: Experimentos sobre hidrodinmica

    Blaise Pascal: Anlisis en hidrosttica

    John Wallis, Christopher Wren, Christiaan Huyghens:Impactos entre objetos

    Isaac Newton: Concepto de masa, leyes de movimiento,postulado de la gravitacin universal, anlisisde movimientos planetarios

    0

    Figura 12.1Cronologa de desarrollos en mecnica hasta la publicacin del Principia de Newton en relacin con otros eventos en la historia de Estados Unidos.

  • 12.1 Ingeniera y mecnica 7

    Newton enunci tres leyes del movimiento que, expresadas en trminosmodernos, son:

    1. Cuando la suma de las fuerzas que actan sobre una partcula es igual a cero,su velocidad es constante. En particular, si inicialmente la partcula se en-cuentra en reposo, permanecer en reposo.

    2. Cuando la suma de las fuerzas que actan sobre una partcula no es igual acero, la suma de las fuerzas es igual a la razn de cambio de la cantidad demovimiento lineal de la partcula. Si la masa es constante, la suma de lasfuerzas es igual al producto de la masa de la partcula y su aceleracin.

    3. Las fuerzas ejercidas por dos partculas entre s son iguales en magnitud yopuestas en direccin.

    Observe que no se defini fuerza ni masa antes de enunciar las leyes de Newton. Lavisin moderna es que estos trminos se definen mediante la segunda ley. Parademostrarlo, suponga que se elige un cuerpo arbitrario y se especifica que tienemasa unitaria. Luego se define una unidad de fuerza como la fuerza que imparte aesta masa unitaria una aceleracin de magnitud unitaria. En principio, es posibledeterminar la masa de cualquier cuerpo: se le aplica una fuerza unitaria, se mide laaceleracin resultante y se usa la segunda ley para determinar la masa. Tambin sepuede determinar la magnitud de cualquier fuerza: se le aplica a la masa unitaria,se mide la aceleracin resultante y se usa la segunda ley para determinar la fuerza.

    De esta manera, la segunda ley de Newton proporciona significados precisosa los trminos masa y fuerza. En unidades SI, la unidad de masa es el kilogramo(kg). La unidad de fuerza es el newton (N), que es la fuerza requerida paraimpartir a una masa de un kilogramo una aceleracin de un metro por segundo alcuadrado (m/s2). En las unidades del uso comn en Estados Unidos, la unidad defuerza es la libra (lb). La unidad de masa es el slug, que es la cantidad de masa ace-lerada a un pie por segundo cuadrado por una fuerza de una libra.

    Aunque los resultados que se analizan en este libro son aplicables a muchosde los problemas que surgen en la prctica de la ingeniera, hay lmites para la vali-dez de las leyes de Newton. Por ejemplo, stas no dan resultados precisos si unproblema implica velocidades que no son pequeas comparadas con la velocidadde la luz (3 108 m/s). La teora de la relatividad especial de Einstein se aplica atales problemas. La mecnica elemental tambin falla en problemas que implicandimensiones que no son grandes comparadas con las dimensiones atmicas. Paradescribir los fenmenos en la escala atmica se debe usar la mecnica cuntica.

    Sistema internacional de unidadesEn unidades SI, la longitud se mide en metros (m) y la masa en kilogramos (kg). Eltiempo se mide en segundos (s), aunque cuando es conveniente tambin se usanlos minutos (min), las horas (h) y los das. A los metros, kilogramos y segundos seles llama unidades bsicas del SI. La fuerza se mide en newtons (N). Recuerde queesas unidades estn relacionadas por la segunda ley de Newton: un newton es lafuerza requerida para imprimir a un objeto de un kilogramo de masa una acelera-cin de un metro por segundo cuadrado:

    Como el newton se puede expresar en funcin de las unidades bsicas, se le llamaunidad derivada.

    Para expresar cantidades por medio de nmeros de tamao conveniente, losmltiplos de unidades se indican por medio de prefijos. En la tabla 12.1 se mues-tran los prefijos ms comunes, sus abreviaturas y los mltiplos que representan.Por ejemplo, 1 km es 1 kilmetro, o sea 1000 m, y 1 Mg es 1 megagramo, que son106 g o 1000 kg. Con frecuencia se usan los kilonewtons (kN).

    1 N = 11 kg211 m/s22 = 1 kg-m/s2.

    Tabla 12.1 Prefijos comunes usados en las unidades SI y los mltiplos querepresentan.

    Prefijo Abreviatura Mltiplonano- n

    micro-milli- mkilo- kmega- Mgiga- G 109

    10610310-310-6m10-9

  • 8 Captulo 12 Introduccin

    s

    s

    R

    u

    u R

    Figura 12.2Definicin de un ngulo en radianes.

    Tabla 12.2 Conversin de unidades.

    Tiempo 1 minuto 60 segundos1 hora 60 minutos1 da 24 horas

    Longitud 1 pie 12 pulgadas1 milla 5280 pies1 pulgada 25.4 milmetros1 pie 0.3048 metros

    ngulo 2p radianes 360 gradosMasa 1 slug 14.59 kilogramos

    Fuerza 1 libra 4.448 newtons

    Unidades de uso comn en Estados UnidosEn las unidades de uso comn en Estados Unidos, la longitud se mide en pies y lafuerza en libras (lb). El tiempo se mide en segundos (s). stas son las unidadesbsicas de uso comn en Estados Unidos. En este sistema de unidades la masa esuna unidad derivada. La unidad de masa es el slug, que es la masa de material ace-lerado a un pie por segundo cuadrado mediante una fuerza de una libra. La segun-da ley de Newton establece que

    1 lb (1 slug)(1 pie/s2).

    A partir de esta expresin se obtiene

    1 slug = 1 lb-s2/pie.

    En este sistema se usan otras unidades como la milla (1 mi 5280 pies) yla pulgada (1 pie 12 pulg). Tambin se utiliza la kilolibra (kip), que es igual a1000 lb.

    Unidades angularesEn ambos sistemas de unidades los ngulos se expresan normalmente en radianes(rad). En la figura 12.2 se muestra el valor de un ngulo u en radianes. Se definecomo la razn de la parte de la circunferencia subtendida por u y el radio del crcu-lo. Los ngulos tambin se expresan en grados. Como hay 360 grados (360) enun crculo completo y la totalidad de la circunferencia del crculo es 2pR, 360 soniguales a 2p rad.

    Las ecuaciones que contienen ngulos casi siempre se obtienen suponiendoque los ngulos se expresan en radianes. Consecuentemente, cuando se desee sus-tituir el valor de un ngulo expresado en grados en una ecuacin, primero se debeconvertir a radianes. Una excepcin notable a esta regla es que muchas calculado-ras estn diseadas para aceptar ngulos expresados ya sea en grados o en radia-nes cuando se utilizan para evaluar funciones como sen u.

    Conversin de unidadesEn la prctica de la ingeniera surgen muchas situaciones que requieren convertirvalores expresados en unidades de una clase a valores en otras unidades. Porejemplo, si algunos de los datos que deben usarse en una ecuacin estn dados enunidades SI y otros en unidades de uso comn en Estados Unidos, todos ellos sedeben expresar en trminos de un solo sistema de unidades antes de ser sustitui-dos en la ecuacin. La conversin de unidades es directa pero debe hacerse concuidado.

    Suponga que se desea expresar 1 milla por hora (mi/h) en trminos de pie porsegundo (pie/s). Como 1 milla es igual a 5280 pies y 1 hora equivale a 3600 segun-dos, se pueden emplear las expresiones

    como razones cuyos valores son iguales a 1. De esta forma se obtiene

    En la tabla 12.2 se proporcionan algunas conversiones tiles entre unidades.

    1 mi/h = 11 mi/h2a 5280 pies1 mi

    b a 1 h3600 s

    b = 1.47 pies/s.

    5280 1pies1 mi

    y h3600 s

  • 12.1 Ingeniera y mecnica 9

    Identifique la informacin dada y la informacinque debe determinarse.Desarrolle una estrategia; identifique los principiosy ecuaciones aplicables y decida cmo los usar.Siempre que sea posible, trate de predecir la respuesta.Obtenga la respuesta y, cuando sea posible,interprtela y comprela con su prediccin

    Unidades SI: Las unidades bsicas son el tiempo en segundos (s),la longitud en metros (m) y la masa en kilogramos (kg). La unidadde fuerza es el newton (N), que es la fuerza requerida para acele-rar una masa de un kilogramo a un metro por segundo cuadrado.

    Unidades de uso comn en Estados Unidos: Las unidades bsicasson el tiempo en segundos (s), la longitud en pies y la fuerza enlibras (lb). La unidad de masa el slug, que es la masa acelerada aun pie por segundo cuadrado mediante una fuerza de una libra.

    Las cantidades equivalentes, como 1 hora 60 minutos,pueden escribirse como razones cuyos valores son 1:

    y usarse para realizar la conversin de unidades.Por ejemplo,15 min 15 min 0.25 h.

    Resolucin de problemas:Estos pasos se aplican amuchos tipos de problemas.

    Sistemas de unidades.

    Definicin de unngulo en radianes.

    Conversin de unidades.1 h

    60 min 1,

    1 h60 min

    su R

    s

    R

    u

    RESULTADOS

    Existe un documento muy completo sobre unidades recopilado por Russ Rowlettde la University of North Carolina en Chapel Hill, el cual est disponible en lneaen www.unc.edu/~rowlett/units.

  • 10 Captulo 12 Introduccin

    Ejemplo 12.2 Conversin de unidades de presin ( Relacionado con el problema 12.6)

    Vehculo de sumersin profunda.

    La presin ejercida en un punto del casco del vehculo de sumersin profunda es de3.00 106 Pa (pascales). Un pascal es 1 newton por metro cuadrado. Determine lapresin en libras por pie cuadrado.

    EstrategiaA partir de la tabla 12.2, 1 libra 4.448 newtons y 1 pie 0.3048 metros. Con estasconversiones de unidades es posible calcular la presin en libras por pie cuadrado.

    SolucinLa presin (con tres dgitos significativos) es

    62,700 lb/pie2

    Razonamiento crticoCmo podra haberse obtenido este resultado de una manera ms directa?Observe en la tabla para conversin de unidades de la contraportada de este libroque 1 Pa 0.0209 lb/pie2. Por lo tanto,

    3 00 10 3 00 10 0 02096 6. ( . ) . = N/m N/m lb/pie2 22

    11 N/m2

    = 62,7700 lb/pie2.

    3.00 * 106 N/m2 = 13.00 * 106 N/m22a 1 lb4.448 N

    b a0.3048 m1 ft

    b2

    Ejemplo activo 12.1 Conversin de unidades ( Relacionado con el problema 12.11)Un hombre maneja una bicicleta a una velocidad de 6 metros por segundo (m/s).Qu tan rpido se desplaza en kilmetros por hora (km/h)?EstrategiaUn kilmetro equivale a 1000 metros y una hora a 60 minutos 60 segundos 3600 segundos. Estas unidades de conversin pueden utilizarse para determinar suvelocidad en km/h.

    Solucin

    Problema de prctica Un hombre maneja una bicicleta a una velocidad de 10 pies porsegundo (pie/s). Qu tan rpido se desplaza en millas por hora (mi/h)?Respuesta: 6.82 mi/h.

    21.6 km/h.

    Convierta de metros a kilmetros.

    Convierta de segundos a horas.

    6 m/s 6 m/s1 km

    1000 m 3600 s

    1 h

    1 pie

  • 12.1 Ingeniera y mecnica 11

    Ejemplo 12.3 Determinacin de unidades a partir de una ecuacin ( Relacionado con el problema 12.20)Suponga que en la ecuacin de Einstein

    la masa m est en kilogramos y la velocidad de la luz c en metros por segundo.

    a) Cules son las unidades SI de E?b) Si el valor de E en unidades SI es igual a 20, cul es su valor en las unidadesbsicas de uso comn en Estados Unidos?

    Estrategia

    a) Como se conocen las unidades de los trminos m y c, es posible deducir las uni-dades de E a partir de la ecuacin dada.b) Pueden usarse las conversiones de unidades para la masa y la longitud dadas enla tabla 12.2 para convertir E de unidades SI a unidades de uso comn en EstadosUnidos.

    Solucin

    a) De la ecuacin para E,

    las unidades SI de E son kg-m2/s2.

    b) De la tabla 12.2, 1 slug 14.59 kg y 1 pie 0.3048 m. Por lo tanto,

    El valor de E en unidades de uso comn en Estados Unidos es

    E = (20)(0.738) = 14.8 slug-pie2/s2.

    Razonamiento crticoEn el inciso a), cmo se supo que era posible determinar las unidades de E aldeterminar las unidades de mc2? Las dimensiones, o unidades, de cada trmino enuna ecuacin deben ser las mismas. Por ejemplo, en la ecuacin a + b = c, lasdimensiones de cada uno de los trminos a, b, y c deben ser las mismas. Se diceque la ecuacin es dimensionalmente homognea. Este requisito se expresa me-diante la frase coloquial. No se pueden comparar peras con manzanas.

    1 1kg-m /s kg-m /s ) 1 slug14.59 kg

    2 2 2 2=

    (

    11 pie0.3048 m

    =

    2

    0 738. sslug-pie /s .2 2

    E = 1m kg21c m/s22,

    E = mc2,

  • 12 Captulo 12 Introduccin

    12.1 El valor p es 3.14159265. . . . Si C es la circunferencia deun crculo y r su radio, determine el valor de r/C con cuatro dgi-tos significativos.

    Problemas

    Problema 12.1

    C

    r

    12.2 La base de los logaritmos naturales es e 2.718281828. . . .a) Exprese e con cinco dgitos significativos.b) Determine el valor de e2 con cinco dgitos significativos.c) Use el valor de e obtenido en el inciso a) para determinar elvalor de e2 con cinco dgitos significativos.[El inciso c) demuestra el peligro de usar valores redondeados du-rante los clculos].

    12.3 Un tcnico perfora un agujero circular en un panel con unradio nominal r 5 mm. El radio real del agujero est en el rangor 5 0.01 mm.a) Con cuntos dgitos significativos se puede expresar el radio?b) Con cuntas cifras significativas se puede expresar el rea delagujero?

    5 mm

    Problema 12.3

    12.5 El Burj Dubai, que debe estar terminado en 2008, ser eledificio ms alto del mundo, con una altura de 705 m. El rea desu base ser de 8000 m2. Convierta su altura y su rea de base aunidades de uso comn en Estados Unidos con tres dgitos signifi-cativos.

    Problema 12.5

    Problema 12.4

    12.4 Una portera de ftbol tiene 24 pies de ancho y 8 pies dealto, por lo que el rea es 24 pies 8 pies 192 pies2. Cul esel rea en m2 con tres dgitos significativos?

  • Problemas 13

    Problema 12.8

    12.7 Suponga que se sabe que la altura del Monte Everest estentre 29,032 pies y 29,034 pies. Con base en esta informacin, acuntos dgitos significativos puede expresarse la altura a) en piesy b) en metros?

    12.8 El tren maglev (levitacin magntica) que viaja de Shanghaial aeropuerto en Pudong alcanza una velocidad de 430 km/h. De-termine su velocidad a) en mi/h y b) en pies/s.

    12.6 Suponga que acaba de comprar un Ferrari F355 coupe ydesea saber si puede usar su juego de llaves SAE (unidades de usocomn en Estados Unidos) para trabajar en l. Usted tiene llaves conanchos w 1/4 pulg, 1/2 pulg, 3/4 pulg y 1 pulg y el automviltiene tuercas con dimensiones n 5 mm, 10 mm, 15 mm, 20 mmy 25 mm. Si se establece que una llave ajusta si w no es 2% mayorque n, cul de sus llaves puede usar?

    w n

    Problema 12.6

    12.11 La energa cintica del hombre del ejemplo activo 12.1se define mediante donde m es su masa y v es su velocidad.La masa del hombre es 68 kg y se mueve a 6 m/s, de forma que suenerga cintica es Cul es su energa cintica en unidades de uso comn en Estados Unidos?

    12.12 La aceleracin debida a la gravedad al nivel del mar enunidades SI es g = 9.81 m/s2. Mediante la conversin de unidades,utilice este valor para determinar la aceleracin debida a la grave-dad al nivel del mar en unidades de uso comn en Estados Unidos.

    12.13 Un estadio por quincena es una unidad de velocidad enbroma, inventada tal vez por un estudiante como comentario sat-rico sobre la gran variedad de unidades con la que deben tratar losingenieros. Un estadio equivale a 660 pies (1/8 milla). Una quin-cena consta de 2 semanas (14 noches). Si usted camina rumbo asu clase a 2 m/s, cul es su velocidad en estadios por quincenacon tres dgitos significativos?

    12.14 Determine el rea de la seccin transversal de la viga a) enm2; b) en pulg2.

    12(68 kg)(6 m/s)2 = 1224 kg-m2/s2.

    12 mv

    2,

    Problema 12.10

    12.9 En los Juegos Olmpicos de Invierno de 2006, la carrera deski a campo traviesa de 15 km fue ganada por Andrus Veerpalu deEstonia en un tiempo de 38 minutos, 1.3 segundos. Determine suvelocidad promedio (la distancia viajada entre el tiempo utilizado)con tres dgitos significativos a) en km/h; b) en mi/h.

    12.10 El motor del Porsche ejerce un par de torsin de 229 pies-lb (pies-libra) a 4600 rpm. Determine el valor del par de torsinen N-m (newton-metros).

    Problema 12.14

    120 mm x

    y

    40 mm

    40 mm

    40mm

    200 mm

  • 14 Captulo 12 Introduccin

    x

    y

    A

    Problema 12.15

    12.15 El rea de la seccin transversal de la viga de acero CanalEstndar Americano C12 30 es A 8.81 pulg2. Cul es el reade su seccin transversal en mm2?

    12.16 Un transductor de presin mide un valor de 300 lb/pulg2.Determine el valor de la presin en pascales. Un pascal (Pa) esigual a un newton por metro cuadrado.

    Problema 12.17

    12.17 Un caballo de fuerza equivale a 550 pies-lb/s. Un watt esigual a 1 N-m/s. Determine cuntos watts son generados por losmotores de un jet comercial, si stos producen 7000 caballos defuerza.

    12.18 Las cargas distribuidas sobre vigas se expresan en unida-des de fuerza por unidad de longitud. Si el valor de una carga dis-tribuida es de 400 N/m, cul es su valor en lb/pie?

    12.19 El momento de inercia del rea rectangular con respectoal eje x est dado por la ecuacin

    Las dimensiones del rea son b 200 mm y h 100 mm. Deter-mine el valor de I con cuatro dgitos significativos en trminos dea) mm4, b) m4, y c) pulg4.

    I = 13 bh3.

    h

    bx

    y

    Problema 12.19

    12.20 En el ejemplo 12.3, en vez de la ecuacin de Einstenconsidere la ecuacin L mc, donde la masa m est en kilogra-mos y la velocidad de la luz c est en metros por segundo. a) Cules son las unidades SI de L? b) Si el valor de L en unida-des SI es 12, cul es el valor en unidades bsicas de uso comnen Estados Unidos?

    12.21 La ecuacin

    se usa en la mecnica de materiales para determinar esfuerzos nor-males en vigas.a) Cuando esta ecuacin se expresa en trminos de unidades bsi-cas SI, M est en newton-metros (N-m), y est en metros (m) e Iest en metros a la cuarta potencia (m4). Cules son las unidadesSI de s? b) si M 2000 N-m, y 0.1 m e I 7 105 m4, cul es elvalor de s en unidades bsicas de uso comn en Estados Unidos?

    s =MyI

  • 12.2 Gravitacin de Newton 15

    12.2 Gravitacin de Newton

    ANTECEDENTESNewton postul que la fuerza gravitatoria entre dos masas m1 y m2 que estn sepa-radas por la distancia r (figura 12.3) es

    (12.1)

    donde G se denomina constante de gravitacin universal. El valor de G en unida-des SI es 6.67 1011 N-m2/kg2. Con base en su postulado, Newton calcul lafuerza gravitatoria entre una partcula de masa m1 y una esfera homognea de masam2, y encontr que tambin est dada por la ecuacin (12.1), donde r denota la dis-tancia de la partcula al centro de la esfera. Aunque la Tierra no es una esferahomognea, es posible usar este resultado para obtener el peso aproximado de uncuerpo de masa m debido a la atraccin gravitatoria de la Tierra. Se tiene

    (12.2)

    donde mE es la masa de la Tierra y r es la distancia del centro de la Tierra al obje-to. Observe que el peso de un cuerpo depende de su posicin con respecto al cen-tro de la Tierra, mientras que la masa del cuerpo es una medida de la cantidad demateria que contiene y que no depende de su posicin.

    Cuando el peso de un objeto es la nica fuerza que acta sobre l, la acelera-cin resultante se denomina aceleracin debida a la gravedad. En este caso lasegunda ley de Newton establece que W = ma, y de la ecuacin (12.2) se observaque la aceleracin debida a la gravedad es

    (12.3)

    La aceleracin debida a la gravedad al nivel del mar se denota con g. Si elradio de la Tierra se representa mediante RE, se observa a partir de la ecuacin(12.3) que Sustituyendo este resultado en la ecuacin (12.3), seobtiene una expresin para la aceleracin debida a la gravedad a una distancia rdel centro de la Tierra en funcin de la aceleracin debida a la gravedad al nivel delmar:

    (12.4)

    Como el peso del cuerpo es W ma, el peso de un cuerpo a una distancia rdel centro de la Tierra es

    (12.5)

    Al nivel del mar (r RE), el peso de un cuerpo est dado en funcin de sumasa mediante la simple relacin

    (12.6)El valor de g vara de lugar a lugar sobre la superficie de la Tierra. Los valo-

    res que se usarn en los ejemplos y problemas son g 9.81 m/s2 en unidades SIy g 32.2 pies/s2 en unidades de uso comn en Estados Unidos.

    W = mg.

    W = mg RE2

    r 2.

    a = g RE2

    r 2.

    GmE = gRE2.

    a =GmE

    r 2.

    W =GmmE

    r 2,

    F =Gm1 m2

    r 2,

    m2F

    m1

    F

    r

    Figura 12.3Las fuerzas gravitatorias entre dos partculasson iguales en magnitud y estn dirigidas a lolargo de la lnea que las une.

  • 16 Captulo 12 Introduccin

    donde G es la constante de gravitacin universal.El valor de G en unidades SI es

    6.67 1011 N-m2/kg2.

    donde g es la aceleracin debida a la gravedad al niveldel mar.

    donde m es la masa del objeto y g es la acele-racin debida a la gravedad al nivel del mar.

    W mg, (12.6)

    F (12.1),

    Cuando la Tierra se modela como una esfera homog-nea de radio RE, la aceleracin debida a la gravedad auna distancia r desde el centro es

    La fuerza gravitatoria entre dos masas m1 y m2 queestn separadas por la distancia r es

    Gravitacin de Newton.

    Aceleracin debida ala gravedad de la tierra.

    Peso de un objeto alnivel del mar.

    Gm1m2r2

    ,a g (12.4)R2

    E

    r2

    Ejemplo activo 12.4 Peso y masa ( Relacionado con el problema 12.22)La prensa C que se muestra en la figura pesa 14 oz al nivel del mar. [16 oz (onzas) 1 lb]. La aceleracin debida a la gravedad al nivel del mar es g 32.2 pies/s2.Cul es la masa de la prensa C en slugs?

    EstrategiaPrimero debe determinarse el peso de la prensa C en libras. Despus puede usarsela ecuacin (12.6) para determinar la masa en slugs.

    Solucin

    Problema de prctica La masa de la prensa C es 0.397 kg. La aceleracin debida ala gravedad al nivel del mar es g = 9.81 m/s2. Cul es el peso de la prensa C al niveldel mar en newtons?

    Respuesta: 3.89 N.

    Convierta el peso deonzas a libras.

    Use la ecuacin (12.6) paracalcular la masa en slugs.

    0.875 lb32.2 pies/s2

    1 lb16 oz

    Wgm 0.0272 slug.

    14 oz 14 oz 0.875 lb.

    RESULTADOS

  • 12.2 Gravitacin de Newton 17

    Ejemplo 12.5 Determinacin del peso de un objeto ( Relacionado con el problema 12.27)Cuando el vehculo exploratorio de Marte (Mars Exploration Rover) se ensamblpor completo, su masa fue de 180 kg. La aceleracin debida a la gravedad en la su-perficie de Marte es 3.68 m/s2 y el radio de Marte es 3390 km.

    a) Cul era el peso del Rover cuando estaba al nivel del mar en la Tierra?b) Cul es el peso del Rover sobre la superficie de Marte?c) La fase de introduccin comenz cuando la nave espacial alcanz el punto de in-terfaz con la atmsfera de Marte a 3522 km desde el centro de Marte. Cul era elpeso del Rover en ese punto?

    Operacin de ensamble del vehculo exploratorio de Marte.

  • 18 Captulo 12 Introduccin

    Estrategia

    El peso del Rover al nivel del mar en la Tierra est dado por la ecuacin (12.6) cong 9.81 m/s2.

    El peso sobre la superficie de Marte puede determinarse mediante el uso de la ecua-cin (12.6), con la aceleracin debida a la gravedad igual a 3.68 m/s2.

    Para determinar el peso del Rover al inicio de la fase de introduccin, se puede es-cribir una ecuacin para Marte equivalente a la ecuacin (12.5).

    Solucin

    a) El peso al nivel del mar en la Tierra es

    b) Sea gM 3.68 m/s2 la aceleracin debida a la gravedad en la superficie de Marte.Entonces el peso del Rover sobre la superficie de Marte es

    c) Sea RM 3390 km el radio de Marte. A partir de la ecuacin (12.5), el peso delRover cuando ste se encuentra a 3522 km por encima del centro de Marte es

    Razonamiento crticoEn el inciso c), cmo se supo que la ecuacin (12.5) poda aplicarse a Marte? Laecuacin 12.5 se aplica a la Tierra con base en su modelacin como una esferahomognea. La ecuacin puede ser aplicada a otros cuerpos celestes bajo el mismosupuesto. La exactitud de los resultados depende de qu tan poco esfrico y nohomogneo sea el objeto.

    = 614 N 1138 lb2. = 1180 kg213.68 m/s22 13,390,000 m2

    2

    13,522,000 m22

    W = mgM RM2

    r 2

    = 662 N 1149 lb2. = 1180 kg213.68 m/s22

    W = mgM

    = 1770 N 1397 lb2. = 1180 kg219.81 m/s22

    W = mg

  • Problema 12.29

    Problemas 19

    12.28 Si un objeto est cerca de la superficie de la Tierra, a me-nudo la variacin de su peso con la distancia desde el centro de laTierra puede ignorarse. La aceleracin debida a la gravedad alnivel del mar es g 9.81 m/s2. El radio de la Tierra es de 6370km. El peso de un objeto al nivel del mar es mg, donde m es sumasa. A que altura sobre la superficie terrestre el peso del objetose reduce a 0.99 mg?

    12.29 El planeta Neptuno tiene un dimetro ecuatorial de 49,532km y su masa es 1.0247 1026 kg. Si el planeta se modela comouna esfera homognea, cul es la aceleracin debida a la grave-dad en su superficie? (La constante gravitatoria universal es G 6.67 1011 N-m2/kg2).

    12.22 La aceleracin debida a la gravedad en la superficie dela Luna es 1.62 m/s2. a) Cul sera la masa de la prensa C delejemplo activo 12.4 sobre la superficie de la Luna? b) Cul serael peso de la prensa C en newtons sobre la superficie de la Luna?

    12.23 El cubo de hierro de 1 pie 1 pie 1 pie pesa 490 lb al nivel del mar. Determine el peso en newtons de un cubo de 1 m 1 m 1 m del mismo material al nivel del mar.

    Problemas

    1 pie

    1 pie 1 pie

    Problema 12.23

    12.24 El rea del Ocano Pacfico es 64,186,000 millas cuadra-das y tiene una profundidad promedio de 12,925 pies. Supongaque el peso por unidad de volumen del agua del ocano es 64lb/pie3. Determine la masa del Ocano Pacfico a) en slugs y b) enkilogramos.

    12.25 La aceleracin debida a la gravedad al nivel del mar es g 9.81 m/s2. El radio de la Tierra es de 6370 km. La constantegravitatoria universal es G 6.67 1011 N-m2/kg2. Use esta in-formacin para determinar la masa de la Tierra.

    12.26 Una persona pesa 180 lb al nivel del mar. El radio de laTierra es de 3960 millas. Qu fuerza ejerce la atraccin gravitato-ria de la Tierra sobre la persona si sta se encuentra en una esta-cin espacial en rbita a 200 millas sobre la superficie de laTierra?

    12.27 La aceleracin debida a la gravedad en la superficie dela Luna es 1.62 m/s2. El radio de la Luna es RM 1738 km. (Veael ejemplo 12.5).a) Cul es el peso en newtons en la superficie de la Luna de unobjeto que tiene una masa de 10 kg?b) Usando el mtodo descrito en el ejemplo 12.5, determine lafuerza ejercida sobre el objeto por la gravedad de la Luna si stese encuentra a 1738 km por encima de la superficie lunar.

    12.30 En un punto entre la Tierra y la Luna, la magnitud de lafuerza ejercida sobre un objeto por la gravedad de la Tierra esigual a la magnitud de la fuerza ejercida sobre el objeto por lagravedad de la Luna. Cul es la distancia desde el centro de la Tierra hasta ese punto con tres dgitos significativos? La dis-tancia desde el centro de la Tierra hasta el centro de la Lunaes 383,000 km y el radio de la Tierra es 6370 km. El radio de laLuna es 1738 km y la aceleracin debida a la gravedad en su superficie es 1.62 m/s2.

  • an at

    Movimiento de un punto

    En este captulo se inicia el estudio del movimiento. Aqu no setiene inters en las propiedades de los objetos ni en las causas desus movimientos; el objetivo consiste slo en describir y analizarel movimiento de un punto en el espacio. Despus de definir laposicin, velocidad y aceleracin de un punto, se considera elcaso ms sencillo: el movimiento a lo largo de una lnea recta.Posteriormente se muestra la manera en que el movimiento deun punto a lo largo de una trayectoria arbitraria se expresa yanaliza usando diversos sistemas coordenados.

    C A P T U L O

    13

    Las lneas muestran las trayectorias seguidas por partculas subatmicas quese mueven en un campo magntico. Las partculas con trayectorias curvastienen tanto componentes de aceleracin tangenciales como normales.

  • 22 Captulo 13 Movimiento de un punto

    (a)

    (b)

    O

    O

    r

    r

    y

    x

    x

    z

    z

    y

    Figura 13.1Marcos de referencias convenientes para espe-cificar posiciones de objetos(a) en una habitacin;(b) en un avin.

    13.1 Posicin, velocidad y aceleracin

    ANTECEDENTESSi alguien observa a la gente que se encuentra dentro de una habitacin, por ejem-plo un grupo de personas en una fiesta, podr percibir las posiciones en relacincon la habitacin. Algunas personas estarn en el fondo de la habitacin, otras enmedio del cuarto, etctera. La habitacin es su marco de referencia. Para preci-sar esta idea se puede introducir un sistema de coordenadas cartesianas con susejes alineados con las paredes del cuarto como en la figura 13.1a y especificar laposicin de una persona (en realidad, la posicin de algn punto de la persona, porejemplo su centro de masa) indicando las componentes del vector de posicin r enrelacin con el origen del sistema coordenado. Este sistema de coordenadas es unmarco de referencia conveniente para los objetos en la habitacin. Si alguien estsentado en un avin, podr percibir las posiciones de los objetos dentro del avinen relacin con ste. En tal caso, el interior del avin es su marco de referencia.Para especificar de manera precisa la posicin de una persona dentro del avin, sepuede introducir un sistema de coordenadas cartesianas que est fijo en relacincon el avin y mida la posicin del centro de masa de una persona especificandolas componentes del vector de posicin r en relacin con el origen (figura 13.1b).Un marco de referencia es simplemente un sistema coordenado que es adecuadopara especificar posiciones de puntos. Se recomienda familiarizarse por lo menoscon las coordenadas cartesianas. En este captulo se analiza otro ejemplo y a lolargo del libro se contina el estudio de los marcos de referencia.

    Se puede describir la posicin de un punto P en relacin con un marco dereferencia dado con origen O mediante el vector de posicin r desde O hasta P(figura 13.2a). Suponga que P est en movimiento respecto al marco de referenciaescogido, de manera que r es una funcin del tiempo t (figura 13.2b). Lo anteriorse expresa mediante la notacin

    r r(t).

    La velocidad de P respecto al marco de referencia dado en el tiempo t se define como

    (13.1)v = drdt

    = lmt: 0

    r1t + t2 - r1t2t

    ,

  • 13.1 Posicin, velocidad y aceleracin 23

    P

    r

    P

    (a) (b)

    O

    r(t t)

    P(t t)

    r(t t) r(t)

    P(t)

    r(t)

    (c)

    O

    O

    Figura 13.2(a) Vector de posicin r de P respecto a O.(b) Movimiento de P respecto al marco de

    referencia.(c) Cambio en la posicin de P de t a t t.

    v(t t)

    v(t t)v(t t) v(t)

    v(t)

    v(t)

    O

    r

    r

    P

    O

    O

    (a)

    r

    r

    R

    P

    O

    O

    (b)

    Figura 13.4(a) Vectores de posicin de P relativos a O y O.(b) Vector de posicin de O relativo a O.

    donde el vector r(t t) r(t) es el cambio de posicin, o desplazamiento de P,durante el intervalo de tiempo t (figura 13.2c). As, la velocidad es la razn decambio de la posicin de P.

    Las dimensiones de una derivada se determinan como si fuera una proporcin,por lo que las dimensiones de v son (distancia)(tiempo). El marco de referenciausado suele ser obvio, y se llamar simplemente v a la velocidad de P. Sin embargo,recuerde que la posicin y la velocidad de un punto pueden especificarse slo conrespecto a un marco de referencia.

    Observe en la ecuacin (13.1) que la derivada de un vector con respecto altiempo se define exactamente igual que la derivada de una funcin escalar. Por loanterior, la derivada de un vector comparte algunas propiedades de la derivada deuna funcin escalar. Se usarn dos de esas propiedades: la derivada con respectoal tiempo, o derivada del tiempo, de la suma de dos funciones vectoriales u y w es

    y la derivada respecto al tiempo del producto de una funcin escalar f y una funcinvectorial u es

    La aceleracin de P respecto al marco de referencia dado en el tiempo t se definecomo

    (13.2)

    donde v(t t) v(t) es el cambio en la velocidad de P durante el intervalo detiempo t (figura 13.3). La aceleracin es la razn de cambio de la velocidad de Pen el tiempo t (la segunda derivada respecto al tiempo del desplazamiento), y susdimensiones son (distancia)(tiempo)2.

    Se ha definido la velocidad y la aceleracin de P en relacin con el origen Odel marco de referencia. Se puede demostrar que un punto tiene la misma velocidady aceleracin en relacin con cualquier punto fijo en un marco de referencia dado.Sea O un punto fijado de manera arbitraria, y sea r el vector de posicin de O aP (figura 13.4a). La velocidad de P relativa a O es v drdt. La velocidad de P

    d1fu2dt

    =df

    dt u + f

    du

    dt.

    d

    dt 1u + w2 = du

    dt+

    dw

    dt,

    Figura 13.3Cambio en la velocidad de P desde t hasta t t.

    a =dv

    dt= lm

    t:0v1t + t2 - v1t2

    t,

  • 24 Captulo 13 Movimiento de un punto

    13.2 Movimiento en lnea recta

    ANTECEDENTESEste tipo simple de movimiento se analiza primordialmente para que usted obtengaexperiencia antes de pasar al caso general del movimiento de un punto. Sin embar-go, en muchas situaciones prcticas los ingenieros deben analizar movimientos enlnea recta, como el movimiento de un vehculo sobre un camino recto o el movi-miento de un pistn en un motor de combustin interna.

    Descripcin del movimientoConsidere una lnea recta que pasa por el origen O de un marco de referencia dado.Se supone que la direccin de la lnea relativa al marco de referencia est fija (porejemplo, el eje x de un sistema de coordenadas cartesianas pasa por el origen y

    relativa al origen O es v drdt. Se desea demostrar que v v. Sea R el vectorde O a O (figura 13.4b), de modo que

    r r R.

    Como el vector R es constante, la velocidad de P relativa a O es

    La aceleracin de P relativa a O es a dvdt, y la aceleracin de P relativa a Oes a dvdt. Como v v, a a. As, la velocidad y aceleracin de un punto Prelativas a un marco de referencia dado no dependen de la ubicacin del punto dereferencia fijo usado para especificar la posicin de P.

    RESULTADOS

    v =drdt

    =dr

    dt-

    dRdt

    =dr

    dt= v.

    PosicinLa posicin de un punto P en relacin conun sistema coordenado especfico, o marcode referencia, con origen O puede describir-se mediante el vector de posicin r de O a P.

    r

    P

    O

    VelocidadLa velocidad de P relativa a O en el tiem-po t es la derivada de la posicin r conrespecto a t (la razn de cambio de r).

    drdt

    v . (13.1)

    AceleracinLa aceleracin de P relativa a O en untiempo t es la derivada de la velocidad vcon respecto a t (la razn de cambio de v).

    dvdt

    a . (13.2)

    Un punto tiene la misma velocidad y ace-leracin relativas a cualquier punto fijo enun marco de referencia dado.

  • 13.2 Movimiento en lnea recta 25

    t

    v

    a

    t

    1

    Figura 13.7La pendiente de la lnea recta tangente a lagrfica de v contra t es la aceleracin en eltiempo t.

    tiene una direccin fija en relacin con el marco de referencia). Se puede especi-ficar la posicin de un punto P sobre una lnea recta respecto a O por medio de unacoordenada s medida a lo largo de la lnea que va de O a P. En la figura 13.5a sedefine a s como positiva hacia la derecha, por lo que s es positiva cuando P est ala derecha de O y negativa cuando P est a la izquierda de O. El desplazamientode P durante un intervalo de tiempo de t0 a t es el cambio de posicin s(t) s(t0),donde s(t) denota la posicin en el tiempo t.

    Al introducir un vector unitario e que es paralelo a la lnea y que apunta en ladireccin positiva de s (figura 13.5b), es posible escribir el vector de posicin deP respecto a O como

    r se.

    Como la magnitud y la direccin de e son constantes, dedt 0, por lo que la velo-cidad de P respecto a O es

    Se puede escribir el vector velocidad como v ve, y obtener la ecuacin escalar

    La velocidad v de un punto P a lo largo de la lnea recta es la razn de cambio de suposicin s. Observe que v es igual a la pendiente en un tiempo t de la lnea tangentea la grfica de s como una funcin del tiempo (figura 13.6).

    La aceleracin de P respecto a O es

    Al escribir el vector de aceleracin como a ae se obtiene la ecuacin escalar

    La aceleracin a es igual a la pendiente en el tiempo t de la lnea tangente a la gr-fica de v como una funcin del tiempo (figura 13.7).

    Con la introduccin del vector unitario e, se han obtenido ecuaciones escalaresque describen el movimiento de P. La posicin queda especificada por la coordena-da s, y la velocidad y la aceleracin estn regidas por las ecuaciones

    (13.3)

    y

    (13.4)

    Aplicando la regla de la cadena del clculo diferencial, es posible escribir la deri-vada de la velocidad con respecto al tiempo como

    con lo que se obtiene una expresin alternativa para la aceleracin que frecuente-mente resulta til:

    (13.5)a = dvds

    v.

    dv

    dt=

    dv

    ds

    ds

    dt,

    a =dv

    dt.

    v =ds

    dt

    a =dv

    dt=

    d2s

    dt2.

    a =dv

    dt=

    d

    dt 1ve2 = dv

    dt e.

    v =ds

    dt.

    v =dr

    dt=

    ds

    dt e.

    O P

    s

    (a)

    s

    O Pr

    (b)

    se

    Figura 13.5(a) Coordenada s de O a P.(b) Vector unitario e y vector de posicin r.

    t

    s

    v

    t

    1

    Figura 13.6La pendiente de la lnea recta tangente a lagrfica de s contra t es la velocidad en eltiempo t.

  • 26 Captulo 13 Movimiento de un punto

    Anlisis del movimientoEn algunas situaciones se conoce la posicin s de algn objeto como funcin deltiempo. Los ingenieros usan mtodos como el radar y la interferometra de lserpara medir posiciones en funcin del tiempo. En este caso, con las ecuaciones(13.3) y (13.4) pueden obtenerse por diferenciacin la velocidad y la aceleracincomo funciones del tiempo. Por ejemplo, si la posicin del camin de la figura13.8 durante el intervalo de tiempo de t 2 s a t 4 s est dada por la ecuacin

    entonces, su velocidad y aceleracin durante ese intervalo de tiempo son

    y

    Sin embargo, es ms comn conocer la aceleracin de un cuerpo que su posicin,porque la aceleracin de un cuerpo se puede determinar mediante la segunda ley deNewton cuando se conocen las fuerzas que actan sobre l. Cuando se conoce laaceleracin, con las ecuaciones (13.3) a (13.5) se pueden determinar por integracinla velocidad y la posicin.

    Aceleracin especificada como funcin del tiempo Si la aceleracin esuna funcin conocida del tiempo, se puede integrar la relacin

    (13.6)

    con respecto al tiempo para determinar la velocidad en funcin del tiempo. Seobtiene

    donde A es una constante de integracin. Despus se puede integrar la relacin

    (13.7)

    para determinar la posicin en funcin del tiempo,

    donde B es otra constante de integracin. Para determinar las constantes A y B senecesita informacin adicional acerca del movimiento, por ejemplo los valores dev y s en un tiempo dado.

    En vez de usar integrales indefinidas, la ecuacin (13.6) puede escribirse como

    dv a dt

    s = Lv dt + B,

    ds

    dt= v

    v = La dt + A,

    dv

    dt= a

    a =dv

    dt= 2t m/s2.

    v =ds

    dt= t2 m/s

    s = 6 +1

    3 t3 m,

    s

    O

    Figura 13.8La coordenada s mide la posicin del centrode masa del camin respecto a un punto dereferencia.

  • 13.2 Movimiento en lnea recta 27

    tt t

    t0

    a v

    (a)

    rea v(t) v(t0)

    tt0

    (b)

    rea s(t) s(t0)

    Figura 13.9Relaciones entre reas definidas por las grficasde la aceleracin y la velocidad de P, y cambiosen su velocidad y posicin.

    e integrar en trminos de integrales definidas:

    (13.8)

    El lmite inferior v0, es la velocidad en el tiempo t0 y el lmite superior v es la velo-cidad en un tiempo t cualquiera. Evaluando la integral del lado izquierdo de laecuacin (13.8), se obtiene una expresin para la velocidad en funcin del tiempo:

    (13.9)

    Se puede escribir la ecuacin (13.7) como

    ds v dt

    e integrar en trminos de integrales definidas,

    donde el lmite inferior s0 es la posicin en el tiempo t0 y el lmite superior s esla posicin en un tiempo t arbitrario. Evaluando la integral del lado izquierdo, seobtiene la posicin como una funcin del tiempo:

    (13.10)

    Aunque se ha mostrado cmo determinar la velocidad y la posicin cuando seconoce la aceleracin como una funcin del tiempo, no es recomendable memorizarresultados como las ecuaciones (13.9) y (13.10). Como se demostrar en los ejem-plos, se recomienda que los problemas de movimiento en lnea recta se resuelvanusando las ecuaciones (13.3) a (13.5).

    Se pueden realizar algunas observaciones tiles sobre las ecuaciones (13.9) y(13.10):

    El rea definida por la grfica de la aceleracin de P como una funcin deltiempo de t0 a t es igual al cambio en la velocidad de t0 a t (figura 13.9a).

    El rea definida por la grfica de la velocidad de P como una funcin deltiempo de t0 a t es igual al cambio en la posicin de t0 a t (figura 13.9b).

    A menudo estas relaciones pueden usarse para obtener una apreciacin cualitativadel movimiento de un cuerpo, y en algunos casos incluso se pueden usar para deter-minar su movimiento en forma cuantitativa.

    s = s0 + Lt

    t0

    v dt.

    Ls

    s0

    ds = Lt

    t0

    v dt,

    v = v0 + Lt

    t0

    a dt.

    Lv

    v0

    dv = Lt

    t0

    a dt.

  • Aceleracin constante En algunas situaciones, la aceleracin de un objeto esconstante, o casi constante. Por ejemplo, si se deja caer un objeto denso, como unapelota de golf o una roca, y ste no cae muy lejos, la aceleracin de este cuerpo esaproximadamente igual a la aceleracin debida a la gravedad al nivel del mar.

    Sea la aceleracin una constante conocida a0. A partir de las ecuaciones (13.9)y (13.10), la velocidad y la posicin como funciones del tiempo son

    v v0 a0(t t0) (13.11)

    y

    (13.12)

    donde s0 y v0 son la posicin y la velocidad, respectivamente, en el tiempo t0. Observeque si la aceleracin es constante, la velocidad es una funcin lineal del tiempo.

    A partir de la ecuacin (13.5), puede escribirse la aceleracin como

    Escribiendo esta expresin como v dv a0 ds e integrando,

    se obtiene una ecuacin para la velocidad como una funcin de la posicin:

    (13.13)

    Aunque las ecuaciones (13.11) a (13.13) pueden ser tiles cuando la aceleracin esconstante, no deben ser usadas en otros casos.

    RESULTADOS

    v2 = v20 + 2a01s - s02.

    Lv

    v0

    v dv = Ls

    s0

    a0 ds,

    a0 =dv

    ds v.

    s = s0 + v01t - t02 + 12 a01t - t022,

    28 Captulo 13 Movimiento de un punto

    PosicinLa posicin de un punto P sobre una lnea rectarespecto a un punto de referencia O puede descri-birse mediante la coordenada s medida a lo largode la lnea desde O hasta P. El desplazamiento deP durante un intervalo de tiempo de t0 a t es elcambio en posicin s(t) s(t0), donde s(t) denotala posicin en el tiempo t.

    O P

    ss

    VelocidadLa velocidad de P respecto a O en el tiempo t esla derivada de la posicin s con respecto a t (larazn de cambio de s).

    v (13.3).dsdt

  • Cuando se conoce la aceleracin como una funcin del tiempo

    13.2 Movimiento en lnea recta 29

    AceleracinLa aceleracin de P respecto a O en untiempo t es la derivada de la velocidad vcon respecto a t (la razn de cambio de v).

    a (13.4).dvdt

    La velocidad puede integrarse con respectoal tiempo para determinar la posicin comouna funcin de ste. B es una constante deintegracin.

    v,dsdt

    Lv dt B.s

    Aplicando la regla de la cadena

    se obtiene una expresin alternativa para laaceleracin que con frecuencia resulta til.

    a (13.5)v.dvds

    a dvdt

    dvds

    dsdt

    La aceleracin puede integrarse conrespecto al tiempo para determinar lavelocidad como una funcin del tiempo.A es una constante de integracin.

    a,dvdt

    La dt A.v

    De manera alternativa se pueden usar inte-grales definidas para determinar la veloci-dad. Aqu v0 es la velocidad en el tiempot0, y v es la velocidad en el tiempo t. Esteresultado muestra que el cambio en la velo-cidad del tiempo t0 al tiempo t es igual alrea definida por la grfica de la acelera-cin desde el tiempo t0 hasta el tiempo t.

    v v0 a dt.

    a dt,dv v0

    v

    tt

    t0

    a

    rea v(t) v(t0)

    L t0t

    L

    t0

    t

    L

    Cuando se conoce la velocidad como una funcin del tiempo

  • Cuando la aceleracin es constante

    30 Captulo 13 Movimiento de un punto

    Suponga que la aceleracin es una constantea a0. Las ecuaciones (13.3) a (13.5) puedenintegrarse para obtener estos resultados conve-nientes para la velocidad v y la posicin s en eltiempo t. Aqu v0 es la velocidad en el tiempo t0,y s0 es la posicin en el tiempo t0.

    v v0 a0(t t0),

    v2 v20 2a0(s s0).s s0 v0(t t0)

    (13.11)

    (13.13)(13.12)a0(t t0)2,

    12

    Ejemplo activo 13.1 Aceleracin que es una funcin del tiempo ( Relacionado con el problema 13.12)

    La aceleracin (en m/s2) del punto P mostrado respecto al punto O est dada como unafuncin del tiempo por a 3t2, donde t est en segundos. En t 1 s, la posicin deP es s 3 m y en t 2 s, la posicin de P es s 7.5 m. Cul es la posicin de P ent 3 s?

    EstrategiaDebido a que la aceleracin est dada como una funcin del tiempo, sta puedeintegrarse para obtener una ecuacin para la velocidad en funcin del tiempo.Despus se puede integrar la velocidad para obtener una ecuacin para la posicinen funcin del tiempo. Las ecuaciones resultantes contendrn dos constantes deintegracin. Estas expresiones pueden evaluarse usando los valores dados de la po-sicin en t 1 s y t 2 s.

    O P

    ss

    Pueden usarse integrales definidas para determinarla posicin. Aqu, s0 es la posicin en el tiempo t0,y s es la posicin en el tiempo t. Este resultadomuestra que el cambio en la posicin del tiempo t0al tiempo t es igual al rea definida por la grficade la velocidad desde el tiempo t0 hasta el tiempo t.

    s s0 v dt.

    v dt,dv s0

    s

    t

    v

    tt0

    rea s(t) s(t0)

    L t0t

    L

    t0

    t

    L

  • 13.2 Movimiento en lnea recta 31

    Solucin

    Problema de prctica La aceleracin (en pies/s2) del punto P respecto al punto O estdado como una funcin del tiempo por a 2t, donde t est dado en segundos. Cuandot 3 s, la posicin y la velocidad de P son s 30 pies y v 14 pies/s. Qu valorestienen la posicin y la velocidad de P en t 10 s?

    Respuesta: s 389 pies, v 105 pies/s.

    O P

    ss

    Integre la aceleracin para determinar la velocidad comouna funcin del tiempo. A es una constante de integracin.

    3t2,dvdt

    a

    v t3 A.

    Integre la velocidad para determinar la posicin comouna funcin del tiempo. B es una constante de integracin.

    t3 A,dsdt

    v

    s t4 At B.14

    Use las posiciones conocidas en t 1 s y en t 2 spara determinar A y B, obteniendo A 0.75 y B 2.

    s t2 s 7.5

    (1)4 A(1) B,s t1 s 3 14

    (2)4 A(2) B.14

    Determine la posicin en t 3 s.s t3 s

    t4 0.75t 2 :s 14

    (3)4 0.75(3) 2 24.5 m.14

  • 32 Captulo 13 Movimiento de un punto

    h

    Ejemplo 13.2 Movimiento en lnea recta con aceleracin constante ( Relacionado con el problema 13.1)Los ingenieros que prueban un vehculo que debe lanzarse por paracadas estimanque la velocidad vertical del automvil al tocar el suelo ser de 6 m/s. Si sueltan elvehculo desde el bastidor de prueba mostrado, a qu altura h se debe soltar parasimular la cada con paracadas?

    EstrategiaSi la nica fuerza significativa que acta sobre un objeto cerca de la superficie dela Tierra es su peso, la aceleracin del objeto es aproximadamente constante e iguala la aceleracin debida a la gravedad al nivel del mar. Por lo tanto, se supone quela aceleracin del vehculo durante su corta cada es g 9.81 m/s2. Se pueden in-tegrar las ecuaciones (13.3) y (13.4) para obtener la velocidad y la posicin delvehculo como funciones del tiempo y despus usarlas para determinar la posicindel vehculo cuando su velocidad es igual a 6 m/s.

    SolucinSea t 0 el tiempo en el que el vehculo se suelta, y sea s la posicin del fondo dela plataforma que soporta al vehculo respecto a su posicin en t 0 (figura a). Laaceleracin del vehculo es a 9.81 m/s2.

    De la ecuacin (13.4),

    Integrando, se obtiene

    v 9.81t A,

    donde A es una constante de integracin. Como el vehculo se encuentra en reposoal soltarlo, v 0 cuando t 0. Por lo tanto, A 0, y la velocidad del vehculo enfuncin del tiempo es

    v 9.81t m/s.

    dv

    dt= a = 9.81 m/s2.

  • 13.2 Movimiento en lnea recta 33

    s

    a) La coordenada s mide la posicin del fondo de la plataforma respecto a suposicin inicial.

    Se sustituye este resultado en