bernoulli 2013

7/16/2019 Bernoulli 2013

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A Equação de Bernoulli da Hidráulica

Miguel Moreira

Agosto de 2007

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Conteúdo

1 Introdução 2

2 A Equação de Bernoulli 2

3 Dedução da Equação de Bernoulli 4

4 Formas da Equação de Bernoulli 6

5 Aplicações da Equação de Bernoulli 7

5.1 Descarga de reservatórios pressurizados . . . . . . . . . . . . . 8

5.2 Escoamentos através de restrições . . . . . . . . . . . . . . . . 95.3 Jactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.4 Medição de velocidades e caudais . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.4.1 O Tubo Venturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.4.2 O Tubo Pitot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

6 Outras aplicações da Equação de Bernoulli 15

7 Conclusões 16

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1 Introdução

A escolha do tema “A Equação de Bernoulli” para objecto desta lição deve-se, em primeiro lugar, ao facto de ser um tema da mecânica de ‡uidos commúltiplas, interessantes e importantes aplicações na Engenharia.

Como se sabe, a Equação de Bernoulli é utilizada para, entre outras apli-cações em hidráulica, quanti…car velocidades de escoamentos estacionários dedescarga de reservatórios, estimar a velocidade de uma escoamento atravésduma restrição à sua passagem e medir velocidades de escoamentos e os cor-respondentes caudais. A aplicação da Equação de Bernoulli está portantopresente quer nas operações de previsão feitas pelo Engenheiro, quer nas

correspondentes operações de veri…cação e experimentação em geral. As-pectos estes que constituem as duas faces do mundo em que um Engenheirose movimenta.

Por outro lado, a “maquinaria matemática” e física, necessária para justi-…car o enunciado da Equação de Bernoulli, é adequada ao nível de um alunodo …m do primeiro ano, princípio do segundo ano de um curso de Engenharia,possibilitando a ilustração da aplicação de conceitos de cálculo vectorial e defísica de uma forma integrada, obtendo um resultado de utilidade evidentepara aluno. Acresce que ao nível das aplicações a Equação de Bernoullioferece-nos facilmente, alguns resultados, já conhecidos do aluno e obtidosaplicando outras metodologias. Ora, estes factos constituem elementos ex-tremamente motivadores da aprendizagem.

2 A Equação de Bernoulli

Daniel Bernoulli foi um físico e matemático Suíço do século XVIII. Oriundode uma notável família ligada à Ciência — particularmente à matemática1

— nasceu em 1700 e investigou, entre muitos outros assuntos, as forças as-sociadas a um ‡uido em movimento. Desenvolveu a teoria cinética dos gasese foi quem pela primeira vez caracterizou a pressão de um gás através dos

choques elásticos, das suas partículas, numa superfície.Viria a estabelecer, em 1738, uma das equações mais utilizadas na mecânicade ‡uidos conhecida por Equação de Bernoulli.

A Equação de Bernoulli traduz o princípio de conservação de energianuma mesma linha de corrente num escoamento suposto estacionário,com massa volúmica constante, invíscido, sujeito adicionalmente a forças

volúmicas de origem gravítica.

1 tais como, Jacob Bernoulli notabilizado pelos seus estudos sobre sucessões e séries eJohan Bernoulli que investigou questões ligadas à teoria da integração.

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Lembremos que uma linha de corrente é caracterizada pela tangência do

vector velocidade do escoamento em cada um dos seus pontos. Um escoa-mento é dito estacionário quando os parâmetros que o caracterizam, taiscomo a massa volúmica , a velocidade V, a pressão p e outros, não de-pendem do tempo. A massa volúmica diz-se constante se não dependerquer do tempo, quer da posição. Um escoamento diz-se invíscido quando aviscosidade do ‡uido é nula. Nesta última situação o ‡uido diz-se perfeito.

O estabelecimento da Equação de Bernoulli tem por base a Equação deEuler

DV

Dt= 5 p + g (1)

a qual representa a Lei Fundamental da Dinâmica, ou Segunda Lei de Newtonma =

XFi (2)

aplicada a um ‡uido perfeito (invíscido) sujeito a forças de origem gravítica.Nesta última espressão, m, a e

PFi, representam respectivamente a massa

a aceleração e a soma vectorial das forças exteriores aplicadas.Na expressão (1), , V, p e g representam respectivamente a massa

volúmica, a velocidade, a pressão e a aceleração da gravidade. A derivadaDVDt

; no primeiro membro da Equação de Euler, traduz o conceito de derivadamaterial da velocidade

DVDt

= @ V@t

+ (V:5)V (3)

que desenvolvido evidencia a presença de um termo de aceleração local @ V@t

eum outro de aceleração convectiva (V:5)V. Este desenvolvimento permite-nos reescrever a equação de Euler na forma

@ V

@t+ (V:5)V

= 5 p + g: (4)

Os termos do primeiro membro representam, como já referimos, os termosde aceleração local e aceleração de natureza convectiva das forças volúmicas

de inércia. Os termos do segundo membro representam as forças exterioresno elemento de volume, nomeadamente o gradiente da pressão 5 p e o pesovolúmico g do elemento de volume.

Notemos que , p são campos escalares e V, g campos vectoriais. Ocampo de forças gravítico g; é vertical podendo ser representado como

g = kg (5)

em que k é o versor unitário orientado no sentido oposto ao do campo emquestão.

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3 Dedução da Equação de Bernoulli

Comecemos por considerar a Figura 1 que representa uma linha de correntede um escoamento planar. Nesta …gura podemos observar a representação

z Linha de corrente

TN

Vector tangente unitárioVector normal unitário

TV V =

k

g ρ

rd θ

dz

ds d Tr =

ds

dz sin =θ

θ

z Linha de corrente

TN

Vector tangente unitárioVector normal unitário

TV V =

k

g ρ

rd θ

dz

ds d Tr =

ds

dz sin =θ

θ

Figura 1: Linha de corrente.

dos vectores unitários tangente T e normal N, à linha de corrente ilustradaassim como o versor k e o campo gravítico g. O comprimento in…nitesimal

de arco de linha de corrente está denotado por ds. Iremos supor a linha decorrente parametrizada em termos das coordenadas do referencial de…nidopelos versores T e N em cada ponto.

Nestas circunstâncias poderemos exprimir o vector velocidade V em cadaponto da linha de corrente por

V =V T T + V N N (6)

em que V T e V N representam, respectivamente, as correspondentes compo-nente tangencial e normal. Como se sabe, por de…nição de linha de corrente,o vector velocidade V de um escoamento, é tangente a cada um dos pontos da

linha de corrente. Desta forma, numa linha de corrente, a component normalV N da velocidade é nula e a componente tangencial é igual ao valor absolutode V, tornando-se assim possível representar a velocidade do escoamento emcada ponto, por

V = V T: (7)

Em (7), V = V T ; representa, como já foi referido, o valor absoluto da veloci-dade vectorial V em cada ponto da linha de corrente.

Representemos a Equação de Euler (1) em termos das coordenadas asso-ciadas à linha de corrente e na sua direcção.

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Comecemos por observar que o primeiro membro da Equação de Euler se

reduz aDV

Dt=

@ V

@t+ V

@ (V T)

@s

, (8)

já que a velocidadeV tem uma componente normal nula na linha de corrente.Notemos que esta última expressão ainda se pode escrever como

DV

Dt=

@ V

@t+ V

@ (V T)

@s

= @ V

@t+ V

@V

@sT+V 2

@ T

@s =

@ V

@t+ V

@V

@sT

, (9)

já que o termo V 2 @ T@s

representa uma aceleração normal à linha de corrente.Por outro lado, a componente do gradiente de pressão 5 p na direccão

tangencial tangencial à linha de corrente reduz-se a

(5 p)T =@p

@s: (10)

Quanto à componente tangencial, à linha de corrente, do peso volúmico g,

considerando a Figura 1, facilmente concluimos que

(g)T = g sin = gdz

ds: (11)

Tendo em conta as expressões (9), (10) e (11) e supondo adicionalmenteo escoamento estacionário, @ V

@t= 0, a Equação de Euler na direcção da linha

de corrente assume a forma

V @V

@s=

@p

@s g

dz

ds; (12)

isto é,@

@s

V 2

2

+@p

@s+ g

dz

ds= 0: (13)

Naturalmente se a massa volúmica for constante, obtemos

@

@s

V 2

2

+@p

@s+ g

dz

ds= (14)

@

@s

V 2

2+ p + gz

= 0; (15)

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condição esta que só se veri…ca quando

V 2

2+ p + gz = constante (16)

ao longo de uma linha de corrente. Esta última expressão é a Equação de

Bernoulli.

4 Formas da Equação de Bernoulli

Como foi referido anteriormente, a equação de Bernoulli (16) é válida numlinha de corrente de um qualquer escoamento estacionário, invíscido, demassa volúmica constante e sujeito a um campo de forças gravítico.Esta equação estabelece uma relação precisa entre as variáveis velocidade V ,pressão p e altura z , que caracterizam este tipo de escoamento ao longo deuma linha de corrente. Note-se que nos termos da Equação de Bernoulli estesparâmetros não podem variar independentemente uns dos outros.

A Equação de Bernoulli é apresentada habitualmente numa das seguintesformas equivalentes:

V 2

2+ p + gz = constante, (17)

V 2

2+ p

+ gz = constante, (18)

V 2

2g+

p

g+ z = constante. (19)

Na forma correspondente à expressão (17) cada um dos termos do primeiromembro apresenta dimensões de energia por unidade de volume:

o termo V 2

2representa a chamada pressão dinâmica do escoamento,

ou energia cinética por unidade de volume;

o termo p representa a chamada pressão estática do escoamento; o termo gz representa a energia potencial por unidade de vol-

ume.

À quantidade

pT = V 2

2+ p

é habitual chamar pressão total ou pressão de estagnação, isto é, numponto da mesma linha de corrente em que a velocidade se anula.

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Na forma correspondente à expressão (18) a Equação de Bernoulli apre-

senta termos com dimensões de energia por unidade de massa. Finalmentena forma (19) os seus termos têm dimensões de comprimento:

o termo V 2

2gdesigna-se habitualmente por altura cinética;

o termo pg

por altura estática ou piezométrica;

o termo z , simplesmente altura geométrica.

De referir que alguns autores designam por altura piezométrica a quan-tidade p

g+ z e altura total H , a quantidade

H =V 2

2g+

p

g+ z:

5 Aplicações da Equação de Bernoulli

Se bem que na prática não existam ‡uidos perfeitos, em muitas circunstânciasos efeitos da viscosidade e outros fenómenos dissipativos podem ser despreza-dos na presença dos diferentes termos da Equação de Bernoulli.

Na obtenção de resultados através da aplicação da Equação de Bernoulli,

o princípio de conservação da massa é habitualmente invocado, daí que se justi…que uma breve referência ao mesmo. Sejam A1 e A2 as áreas de duassuperfícies de controlo normais às linhas de corrente de um mesmo tubo decorrente num dado escoamento estacionário. Nestas circuntâncias

2A2V 2

1A1V 1 = 0;

isto é, a quantidade de massa que por unidade de tempo, se acumula entre asduas secções de controlo, é nula. Se suposermos adicionalmente que a massavolúmica é constante, o princípio de conservação da massa assume a forma

A2V 2 = A1V 1; (20)

habitualmente utilizada nas aplicações da Equação de Bernoulli.Seguidamente ilustraremos algumas das aplicações mais usuais da Equação

de Bernoulli.

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Almofada gasosa

Líquido

Válvula

Linhas de corrente

2

1

h

Almofada gasosa

Líquido

Válvula

Linhas de corrente

2

1

h

Figura 2: Reservatório pressurizado.

5.1 Descarga de reservatórios pressurizados

Muitos ‡uidos são armazenados em reservatórios pressurizados: água paraconsumo doméstico, gases combustíveis, ar comprimido ou vapor de água

em instalações industriais, etc. Normalmente, a descarga destes ‡uidos pararegiões com pressões inferiores é regulada por válvulas ou orifícios. A veloci-dade de descarga e consequentemente o correspondente caudal de descargapode ser determinado com base na Equação de Bernoulli.

Consideremos a Figura 2 na qual se pode observar esquematicamenteum reservatório pressurizado no interior do qual é mantida uma “almofada”gasosa a uma pressão p1. Uma válvula no reservatório permite regular adesgarga do líquido na parte inferior do reservatório para uma região a umapressão inferior p2. O escoamento supõe-se estacionário, invíscido e a massavolúmica constante.

A velocidade de descarga V 2 através da válvula pode ser estimada recor-rendo à Equação de Bernoulli. Com efeito nas secções 1 e 2 da linha decorrente idealizada

V 22

2g+

p2

g+ z 2 =

V 21

2g+

p1

g+ z 1: (21)

Notemos também que em resultado do princípio de conservação da massa(supondo a massa volúmica constante e o escoamento estacionário)

V 1A1 = V 2A2;

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em que A1 e A2 representam as áreas das correspondentes secções normais

de passagem, V 1 V 2 pois A1 A2: Assim, na equação (5), o termo V 2

1

2g

pode ser desprezado na presença do termo V 22

2g. Deduz-se sucessivamente

V 22

2g=

p1 p2

g+ z 1 z 2 )

V 2 =

s 2 ( p1 p2)

+ 2g (z 1 z 2):

Fazendo h = z 1 z 2 a expressão anterior assume a forma

V 2 =

s 2 ( p1 p2)

+ 2gh:

Naturalmente o caudal volúmico de descarga pode ser caracterizado pelaexpressão

Q = A2V 2:

5.2 Escoamentos através de restrições

Escoamentos entre reservatórios podem realizar-se através de orifícios de pas-sagem limitadores do caudal, isto é restrições. Veja-se a Figura 3. É possívelmostrar, com base na equação de Bernoulli que o escoamento invíscido deum ‡uido através de uma restrição é realizado a uma velocidade que dependeda diferença de pressões entre os dois reservatórios.

Com efeito, observemos a Figura 18 em que o conjunto de linhas de cor-rente representadas caracteriza um tubo de corrente dum escoamento supostoestacionário, invíscido de massa volúmica constante. Comecemos por notarque como a área da secção de passagem A1 é muito maior do que a área dasecção de descarga A2. Assim, em resultado do princípio de conservação damassa, a velocidade V 1 será muito menor do que V 2, já que (supondo a massa

volúmica constante e o escoamento estacionário):

V 1A1 = V 2A2:

Por outro lado o escoamento veri…ca-se a uma altura geométrica z =constante, donde z 1 = z 2. Desta forma, na Equação de Bernoulli

V 22

2g+

p2

g+ z 2 =

V 21

2g+

p1

g+ z 1;

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1 p

2 p

Linhas de corrente

01 ≈V

2 A

21 A A >>

1 p

2 p

Linhas de corrente

01 ≈V

2 A

21 A A >>

Figura 3: Escoamento invíscido através de uma restrição de passagem.

poderemos desprezar o termo V 21

2gna presença de V 2

2

2ge eliminar z 1z 2, obtendo

V 2 =s 2 ( p1 p2)

. (22)

A expressão obtida permite con…rmar, como foi a…rmado que a velocidadede passagem do ‡uido na restrição depende da diferença de pressão p1 p2.

5.3 Jactos

Um clássico exemplo de escoamento invíscido e estacionário é de um escoa-mento vertical (de água no seio de ar, por exemplo) com uma velocidade dedescarga V 1 su…cientemente baixa. Veja-se a Figura 4. Como se sabe, por

efeito da tensão super…cial, a coluna de líquido instabiliza e fragmenta-se emgotículas após percorrer uma certa distância. No entanto iremos supor nesteexemplo que essa distância não foi ainda percorrida e que o efeito da tensãosuper…cial é insigni…cante não afectando a pressão no interior do jacto. Destaforma podermos considerar a pressão estática, nas secções 1 e 2, no interiordo jacto relacionadas da seguinte forma:

p1 + argz 1 = p2 + argz 2: (23)

Consideremos, a Equação de Bernoulli aplicada entre as secções 1 e 2:

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1

2

ÁguaAr

1V

2V

1 p

2 p

1 z

2 z

D

1

2

ÁguaAr

1V

2V

1 p

2 p

1 z

2 z

D

Figura 4: Jacto vertical de água.

V 22

2g +

p2

g + z 2 =

V 21

2g +

p1

g + z 1: (24)

Resolvendo a expressão (24) em ordem a V 2 após substituir a expressão (23)nesta última, obtemos

V 22

= V 21

+2arg (z 2 z 1)

+ 2g (z 1 z 2)

= V 21

+ 2

1

ar

g (z 1 z 2) : (25)

Notemos que a massa volúmica do ar ar é muito menor do que a da água

poisar

103

. Assim podemos simpli…car a expressão anterior e obter,

V 2 =q V 21

+ 2g (z 1 z 2); (26)

expressão esta que caracteriza a velocidad V 2 do ‡uido na correspondentesecção. É interessanter observar que este resultado é o que se obteria apli-cando directamente o princípio de conservação de energia mecânica a umaporção de ‡uido em queda livre:

E c + E p = constante.

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Reforcemos no entanto a ideia de que a simpli…cação 1 1 ar , efectu-

ada, só é válida quando as massas volúmicas do ‡uido em escoamento e do‡uido exterior são muito diferentes. Com efeito, se tal não acontecer, tem de

se considerar na expressão (25), o factor

1 ex t

; atenuador da aceleração

da gravidade g.A título de curiosidade registemos que a utilização adicional do princípio

de conservação da massa permite deduzir e quanti…car a variação do diâmetrodo jacto. Assim, considerando a expressão do referido princípio aplicado àssecções 1 e 2 do jacto da Figura 4, suposto, naturalmente constituído peloescoamento estacionário de um ‡uído com massa volúmica constante, deduz-

se:

V 1

D2

1

4

= V 2

D2

2

4

)

D2 = D1

r V 1

V 2:

Donde, tendo em conta (26),

D2 = D1

r V 1

V 2

= D1

s V 1p

V 21

+ 2g (z 1 z 2)

= D1

V 21

V 21

+ 2g (z 1 z 2)

1

4

: (27)

5.4 Medição de velocidades e caudais

Em diferentes ocasiões é necessário conhecer a velocidade ou caudal de um‡uido num tubo ou passagem. Tais medições podem ser realizadas recor-

rendo quer ao chamadoTubo Venturi

quer ao conhecidoTubo Pitot

cujospricípios de funcionamento descreveremos de seguida com base na Equaçãode Bernoulli.

5.4.1 O Tubo Venturi

O dispositivo conhecido por Tubo Venturi encontra-se ilustrado na Figura5. Para tal, o ‡uido em escoamento estacionario invíscido que se supõe demassa volúmica constante, é obrigado a passar pelo dispositivo referido.

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1 2

h

1V 2V

Fluido manométrico

M ρ

Linha de corrente

1 2

h

1V 2V

Fluido manométrico

M ρ

Linha de corrente

Figura 5: Tubo Venturi para medição de caudais.

Notemos que em virtude do princípio de conservação da massa teremosa seguinte relação entre as áreas das secções de passagem normais A1 e A2 eas respectivas velocidades V 1, V 2

V 1A1 = V 2A2: (28)

Por outro lado, atendendo à idêntica altura geométrica a que se veri…ca oescoamento, no dispositivo, a Equação de Bernoulli reduz-se a

V 22

2g+

p2

g=

V 21

2g+

p1

g:

Donde se deduz, recorrendo a alguma álgebra

V 22

= V 21

+2 ( p1 p2)

)

V 1 =v uuut 2 ( p1 p2)

V 2V 1

2

1

:

Sabendo que p1 p2 = (M ) gh e atendendo à expressão (28) conclui-se…nalmente

V 1 =

v uuut 2 (M ) ghA1

A2

2

1

;

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expressão esta que caracteriza a velocidade do escoamento em termos do

quociente das áreas de passagem nas secções 1 e 2 e da diferença de pressõesestáticas que aí se veri…ca.

Notemos que no dispositivo da Figura (5) o líquido do ‡uido manométricodeve ter uma massa volúmica maior do que a do ‡uido em escoamento.

5.4.2 O Tubo Pitot

Na Figura 6 representamos um Tubo Pitot . Este dispositivo é inserido doseio do escoamento de forma a fazer coincidir o seu eixo longitudinal coma direcção da velocidade.Naturalmente o escoamento é suposto invíscido,

Fluido manométrico

Linhas de corrente

h

1V

M ρ

1 p

21

parede

ρ

Fluido em escoamento

2V

2 p

Fluido manométrico

Linhas de corrente

h

1V

M ρ

1 p

21

parede

ρ

Fluido em escoamento

2V

2 p

Figura 6: Tubo Pitot .

estacionário e com massa volúmica constante. Consideremos a Equação deBernoulli aplicada nas secções 1 e 2 da linha de corrente que se ilustra na…gura, notando que a altura geométrica do escoamento é constante e que avelocidade V 2 é nula:

p2

g=

V 21

2g+

p1

g)

V 1 =

s 2 ( p2 p1)

:

Observemos que p2 p1 = (M ) gh. Assim,

V 1 =

s 2 (M ) gh

: (29)

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A expressão (29) permite, da forma descrita, obter a velocidade V 1 do escoa-

mento em termos dos parâmetros h e das diferenças das massas volúmicasdo ‡uido manométrico e de trabalho. Naturalmente supõe-se que a diferençaM é positiva.

6 Outras aplicações da Equação de Bernoulli

Como foi referido, a utilização correcta da Equação de Bernoulli pressupõeque a mesma seja aplicada numa linha de corrente de um escoamento esta-cionário, invíscido com massa volúmica constante. No entanto, em muitassituações de interesse na Engenharia, quer efeitos dissipativos distribuídos deorigem viscosa ou turbulenta, quer efeitos dissipativos de natureza singular,não podem ser ignorados. Isto é, parte da energia do escoamento ao longoda linha de corrente é dissipada. Nestas situações a adequada modi…caçãoda Equação de Bernoulli pode revelar-se, também, de grande utilidade. Talé o caso da situação que ilustraremos de seguida.

Consideremos a conduta horizontal representada na Figura 7 que sesupõe com uma secção recta de área constante. Suponha-se que a massavolúmica do ‡uido real em escoamento estacionário no seu interior é, tam-bém, constante.

1 2

Linhas de corrente

1 2

Linhas de corrente

Figura 7: Escoamento estacionário numa conduta horizontal.

Em resultado do processo de dissipação de energia ao longo do trajectodo ‡uido entre as secções referidas a Equação de Bernoulli assume a forma

V 21

2g+

p1

g+ z 1 =

V 22

2g+

p2

g+ z 2 + hf (30)

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em que hf representa a referida dissipação de energia.

Em virtude do princípio de conservação da massa aplicado às secções 1 e2 deduz-se

A1V 1 = A2V 2 )

V 1 = V 2.

Por outro lado, a altura geométrica do escoamento mantém-se constante.Donde, z 1 = z 2.

Assim, destas hipóteses, deduz-se com base na formulação (21)

hf =

p1 p2

g : (31)

Esta última expressão permite quanti…car a dissipação de energia distribuídaao longo do escoamento entre as secções 1 e 2, em termos da diferença depressão estática que se pode medir experimentalmente nas correspondentessecções.

O resultado anterior tem um alcance prático enorme pois possibilita car-acterizar as condutas em termos das dissipações que originam em condiçõessemelhantes de escoamento. Esta possibilidade, permitindo, antecipar e pre-ver as quedas de pressão estática em escoamentos reais, é essencial no projecto

de sistemas de condutas.

7 Conclusões

Nesta lição foi deduzida a Equação de Bernoulli

V 2

2+ p + gz = constante,

com base na integração da Equação de Euler numa linha de corrente de umaescoamento estacionário, invíscido, com massa volúmica constante e sujeito

à acção do campo gravítico.Diversas aplicações elementares da Equação de Bernoulli, que traduz

o princípio de conservação de energia, nas condições das hipóteses, foramilustradas, nomeadamente:

previsão de caudais em descarga de reservatórios pressurizados;

estimativa de velocidade dum escoamento através duma restrição;

estudo de jactos de escoamentos;

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medição de caudais;

determinação de perdas de carga.

As aplicações ilustradas — uma pequena parte das utilizações da Equaçãode Bernoulli — mostram a enorme utilidade desta equação na Mecânicade Fluidos nos aspectos relacionados com a previsão e quanti…cação de

fenómenos da hidráulica e nas técnicas experimentais de medição de

velocidades de escoamento.

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Referências

[1] Bird, R. B., Stewart, W. E. & Lightfoot, E. N., Transport Phenomena,Willey International Edition, New York, 1960.

[2] Dampier, W. C., A History of Science, Cambridge, 1971.

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[4] Kinsky, R., Applied Fluid Mechanics, McGraw-Hill Book Company, Syd-ney, 1989.

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