- 164 -

Bezeichnungen

Kleine lateinische Buchstaben

a Abstand ao dimensionslose Frequenz b Fundamentlänge c Wellenausbreitungsgeschwindingkeit, Dämpfungskoeffizient d relative Verschiebung, Deformation e Ei nbettung f Frequenz h Höhe

imaginäre Zahl k Steifigkeit, Steifigkeitskoeffizient

Spannwei te m konzentrierte Masse n natürl iche ganze Zahl r Fundamentradius t Zei t u totale horizontale Verschiebung w totale vertikale Verschiebung y modale Verschiebung

Grosse 1 atei ni sche Buchstaben

A Amplitude der einfallenden Erdbebenwellen B Ampiltude der reflektierten Erdbebenwellen Bo dimensionlose Rotationsträgheit des Bodens D dynamischer Vergrösserungsfaktor E Energie,

E-Modul F Kraft FS Fourieramplitudenspektren G Schubmodul H Horizontalschub in den Stützen I Rotationsträgheitsmoment

Flächenträgheitsmoment Ei nehi tsmatri x

K statische Steifigkeit des Bodens M Moment, verallgemeinerte Masse PLast S dynamische Steifigkeit

spektrale Grösse T Transformatinsmatrix

Griechische Buchstaben

...:. Winkel f-l Faktor r Faktor ~ Dämfpungsrate für Hysteresisdämpfung

e totale Rotation des Fundamentes ). Lame-Konstante

Eigenwert

r- Verteilte Masse

V' Querdehnugszahl des Bodenmaterials

J Dämfpungsrate für viskose Dämpfung

~ Dichte des Bodenmateri al s

'f' Eigenschwingungsform, Eigenvektor

i Matrix der Eigenvektoren

l' Einfallwinkel der Körperwellen

w Krei s frequenz .n. Diagonalmatrix mit den Eigenwerten

Tiefgesetzte Indizes

ascheinbar (apparent) Beschleunigung

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b Freiheitsgrad der Struktur in Kontakt mit dem Boden eingespannt (built-in) Brückenträger

cp Kontrollpunkt D Dämpfung d Freiheitsgrad E el asti sch e Brückenende g Boden h gelenkig (hinged)

natürl iche ganze Zahl j natürl i che ganze Zahl i nf unten P P-Well e R R-Welle res Resonanz s Struktur S S-Welle SV vertikaler Anteil der S-Wellen SH horizontaler Anteil der S-Wellen sup obere st stati sch t Fahrbahnträger tot total v Geschwindigkeit x x-Richtung 1 erste Eigenscwhingung 2 zweite Eigenschwingung e Rotation

Hochgesetzte Indizes

d dynamisch e Einbettung f Frei fel d g Baugrund

- 166 -

k ki nemati sch

i nerti a1

L Schi cht (1 ayer)

r re1 ativ

R Fe1 s (rock)

s Struktur .. komplexer Wert

dimensi ons1 ose Grösse

'" Näherungswert

- 167 -

LIteraturverzeichnis

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- 169 -

Zusammenfassung

~e Ergebnisse einer umfangreichen Parameterstudie über das elastische Erdbebenverhalten schwimmend gela­gerter Balkenbrücken werden dargestellt. Dabei wird sowohl die Boden-Struktur-Interaktion als auch die ho­rizontale Ausbreitung der Erdbebenwellen berücksichtigt. ~e Arbeit beschränkt sich auf eine Anregung längs zur Brückenachse und es werden nur Brücken mit Flachfundamenten untersucht.

~e Parameterstudie wird mittels einfacher mathematischer Modelle durchgeführt, welche das dynamische Ver­halten der Brücke sehr zuverlässig wiedergeben. Jede berücksichtigte Eigenschwingung der an den Fundamen­ten eingespannten Brücke wird durch einen Einmassenschwinger dargestellt. Seine Masse, Höhe, Steifigkeit und Länge (bei im Fahrbahnträger eingespannten Stützen) sind so gewählt, dass dieselbe Boden-Struktur-In­teraktion auftritt wie beim genauen System.

Als erstes wird der Einfluss der Boden-Struktur-Interaktion auf das Erdbebenverhalten der Brücke darge­stellt. Untersucht wird sowohl eine harmonische als auch eine transiente Erdbebenanregung. Es lässt sich dabei feststellen, dass bei Brücken mit Gelenken zwischen den Stützen und dem Fahrbahnträger die Ergebnis­se praktisch nur von der dimensionslosen Steifigkeit abhängig sind. Die dimensionslose Steifigkeit ent­spricht dem Verhältnis zwischen der horizontalen statischen Steifigkeit der Stütze und der statischen Steifigkeit des Bodens fuer eine Fundamentrotation, welches mit dem Quadrat der Stützenhöhe dimensionslos gemacht wird. Sind die Stützen im Fahrbahnträger eingespannt, so sind die Ergebnisse zusätzlich vom Ver­hältnis der Stützenhöhe zum Fundamentradius abhängig.

Auf Grund der dabei gewonnenen Erkenntnisse werden Näherungsformeln hergeleitet, welche es erlauben, den Einfluss der Boden-Struktur-Interaktion abzuschätzen. Ferner werden Kriterien angegeben, welche im konkre­ten Fall auf einfache Weise eine Aussage über die Wichtigkeit der Boden-Struktur-Interaktion erlauben. Zur Ermittlung der Schnittkräfte in den Stützen sowie zur Ermittlung der relativen Verschiebungen zwischen Brückenträger und Widerlager wird ein einfaches, allgemeines Verfahren vorgestellt.

Als zweites wird der Einfluss der horizontal wandernden Erdbebenwellen auf das Erdbebenverhalten der Brük­ke dargestellt. Dabei wird wiederum sowohl eine harmonische als auch eine transiente Erdbebenanregung un­tersucht. Horizontal wandernde Erdbebenwellen haben nicht nur zur Folge, dass die verschiedenen Brücken­fundamente nicht mehr gleichzeitig horizontal angeregt werden, sondern dass auch eine zusätzliche Rota­tionsanregung auftritt, welche das horizontale Erdbebenverhalten der Brücke entscheidend beeinflussen kann. Wird die Erdbebenanregung durch Körperwellen erzeugt, so spielt es für die SChnittkräfte in den Stützen kaum eine Rolle, ob die Wellen vertikal oder flach einfallen. Erfolgt hingegen die Anregung durch Oberfiächenwellen (Rayleigh-Wellen), so sind sowohl die Schnittkräfte als auch die relativen Verschiebun­gen zwischen Fahrbahnträger und Widerlager höher als wenn sie durch vertikal einfallende Wellen erzeugt werden. Das hängt im wesentlichen mit der durch die Rayleigh-Wellen erzeugten, retrograden Bewegung an der Oberfläche zusammen, welche dazu führt, dass die beiden Belastungsanteile infolge der horizontalen Anre­gung und der Rotationsanregung in Phase sind. Das relativ rasche Abklingen der Rayleigh-Wellen infolge Dämpfung im Bodenmaterial wird dadurch berücksichtigt, dass der Kontrollpunkt, wo die Bodenbewegung infol­ge eines Erdbebens vorgeschrieben ist, in einer gewissen Entfernung von der Brücke angenommen wird.

Aufgrund der gewonnenen Erkenntnisse werden wiederum Näherungsformeln hergeleitet. Damit kann der Einfluss der horizontal wandernden Erdbebenwellen auf die Schnittkräfte abgeschätzt werden.

Einige praktische Beispiele veranschaulichen die Auswirkungen der Boden-Struktur-Interaktion und der hori­zontal wandernden Erdbebenwellen sowohl auf die Schnittkräfte in den Stützen als auch auf die relativen Verschiebungen zwischen Fahrbahnträger und Widerlager.

- 170 -

Summary

The results of an extensive parametrie study for earthquake excitation on the elastic response of floating supported continuous girder bridges are presented. The study fs restricted to bridges with shallow founda­tions excfted in'the axis of the brfdges.

The parametrfc study fs performed using simple mathematical models, whfch represent very reliably the dy­namic behaviour of the various bridges. Each considered vibrational mode of the brfdge fixed at its base fs represented by a one-degree-of-freedom system with well defined mass, hefght, stiffness and length (for columns buflt-in at the gfrder).

First, the effects of the interaction between the sofl and the bridge are investfgated for harmonie as well as for transient earthquake excitatfon. For the case of a column which is connected with a hinge to the girder, the results (frequency decay, damping of the soil-structure system, internal forces in the co­lumns) are in essence dependent on the dimensionless stiffness. The dfmensionless stiffness represents the ratio of the horizontal static stiffness of the bridge fixed at its base to the static rocking stiffness of the foundation, non-dimensionalised with the square of the height of the column. For the ca se of a co­lumn built-in at the girder the results are, in addition, dependent on the ratio of the height of the co­lumn to the radius of the foundation.

Approximate formulas are derfved based on the results of the parametrfc study which allow the effects of sofl-stucture interaction to be estfmated. In addftion simple criterfa are derfved indicating when for a specific case soil-structure interactfon is important and must be consfdered. For the computation of the internal forces in the columns as well as of the relative displacement between the girder and the abutment a simple general procedure is presented.

Second, the effects of horfzontally propagating seismic waves on the response of bridges are investigated for harmonie and transfent earthquake excitatfon. Horfzontally propagating seismic waves do not only re­sult in a nonsfmultaneous translational excitation of the foundatfons of the brfdge, but also in an addi­tional rotational excitation, whfch infiuences the horizontal seismic response of the bridge. The effect from inclfned body waves, fs negligfble for the internal forces of the bridge. On the other hand for Ray­leigh-waves both the fnternal forces fn the columns and the relative dfsplacement between the grider and the abutment are increased compared to vertfcally incfdent waves. Thfs fs essentfally caused by the retro­grade motfon at the sofl surface resulting from Raylefgh-waves. In this case the sefsmic loads arising from the horizontal and rotatfona1 excftations are fn phase.

The attenuation of Ray1eigh-waves due to the materfa1 damping fn the soi1 fs taken fnto account, by consi­dering a certain dfstance between the bridge and the contro1 point, where the sefsmic motion is prescri­bed.

Again approximate formu1as are derived based on the results of the parametrie study which a110w to estima­te the effect of horfzontally propagating waves on the interna1 forces fn the columns.

Some practfcal examples fllustrate the effects of sofl-structure f.nteraction and horizonta1ly propagating sefsmfc waves on the internal forces in the columns as well as on the relative displacement between the girder and the abutment.

- 171 -

Anhang 1: Vergleich Hysteresis - viskose Dämpfung

Der Begriff Hysteresisdämpfung (hYsteretic damping) wird nicht in allen Lehrbücher gleich verwendet. Des­halb werden die Eigenschaften dieser Dämpfung, so wie sie in dieser Arbeit verwendet wird, am Einmassen­schwinger kurz erläutert.

In komplexer Schreibweise lautet die Bewegungsdi fferenti al gleichung

(Al.ll

Geht man vom exponenti ell en Lösungsansatz aus

(Al.2)

dann kann die obige Gleichung in folgender Form geschrieben werden

(Al.3)

Bild Al.l zeigt die Darstellung der einzelnen Kraftanteile im Argand Diagramm.

Imaginär

kluol

-------~:___'--------t_ Reell

Bild Al.l: Argand Di ag ramm für die stati onäre Schwi ngung des Ei nmassenschwi nger mi t Hysteresi sdämpfung

Trägt man die Dämpfungskraft Fo in Abhängigkeit der Verschiebung u auf, so entsteht eine Ellipse analog zur viskosen Dämpfung (siehe z.B. Clough, Penzien 1975 [6]). Der einzige Unterschied ist die Amplitude der Dämpfungskraft. Im Falle der Hysteresisdämpfung ist diese unabhängig von der Frequenz und beträgt 2k~uc. Bei der viskosen Dämpfung hingegen beträgt sie 2kJ(mV1(wuc • Die von der Ellipse beschriebene Fläche ent­spricht der Dämpfungsenergie En, die während einer vollen Schwingung im stationären Zusatand erzeugt wird. Für Hysteresisdämpfung beträgt En

- 172 -

(Al. 4)

und fOr viskose Dämpfung

(A1.5)

wobei

(A1.6)

Die erzeugten Dämpfungsenergie ist fOr die Hysteresisdämpfung frequenzunabhängig und entspricht eher dem effektiven Materialverhalten als die viskose Dämpfung, deren Dämpfungsenergie frequenzabhängig ist. Die partiku1 äre Lösung der Bewegungsdffferential gl eichung (ALl) beträgt unter Anwendung der Gleichung (Al. 6)

p (Al. 7)

fOr den Fall der viskosen Dämpfung lautet sie

p (ALB) =

Setzt man voraus, dass bei Resonanz die beiden Bewegungsamplituden gleich sein sollen, so erhält man

(Al. 9)

Bild A1.2 zeigt die Verläufe der Absolutwerte der Bewegungsamplituden und deren Phasen fOr die beiden Be­wegungsarten. Die Frequenzganglinien der Bewegungsamplituden und ihrer Phasen weisen fOr die bei den Dämpfungsarten sehr kleine Unterschiede auf. Bei der Berechung einer transienten Anregung weichen die Ergebnisse deshalb kaum voneinander ab. Die Berücksichtigung der Hysteresisdämpfung im Zeitbereich ist nicht ohne weiteres mög­lich, da die Dämpfungskonstante in diesem Falle frequenzabhängig ist. Die Anwendung der ~stereisdämpfung

im Zeitbereich wie sie bei C10ugh, Penzien [6] oder Hurty, Rubinstein [17] dargestellt ist, führt zu ganz anderen Ergebnissen, da dort von eienr nichtlinearen Bewegungsdifferentia1g1efchung ausgegangen wird.

- 173 -

10 3.14

" 8 a.... HYSTERESI SDAEMPFUNG ..........

VISKOSE DAEMPFUNG .::J. a.... 6 0 .......... :J .::J. '-" O. 00

0 4 W

\ :J Cf) ce

2 I a....

0 -3.14 0 1 2 3 0 1 2 3

~/~o ~/~o Bild 11.1.2: Frequenzganglinie der Bewegungsamplitude und Phase für! = J = 0.05

- 174 -

Anhang 2: Kurze Ueberslcht der Bodenkennwerte

Der Boden weist im allgemeinen ein äusserst komplexes dynamisches Verhalten auf. Da die Bodenkennwerte von einer grossen Anzahl Einflussfaktoren abhängen, ist es schwierig, zuverlässige Anhaltswerte über sie anzu­geben. So ist zum Beispiel die Scherwellengeschwindigkeit ·stark abhängig von der Dehnungsamplitude, den Spannungsverhältnissen der Porenziffer, der Anzahl Belastungszyklen und bei kohesiven Böden auch noch vom sättigungsgrad. Dies si nd jedoch nur di e wi chtigsten Parameter. Tabell e A2.1 zei gt Anhaltswerte für di e Wellenausbreitungsgeschwindigkeiten. Sie stammen von Studer [34], der sich vorwiegend auf Ergebnisse von Seed und Idriss [32] und Hardin Drnevich [16] abstützt. Es sei noch bemerkt, dass diese Anhaltswerte für relativ kleine Dehnungen gelten, welche bei einem Erdbe­ben vor allem in unmittelbarer Fundamentnähe überschritten werden. Die effektiven Werte für die dynamische Steifigkeitdes Fundamentes dürften deshalb eher tiefer liegen.

Bodenart

Lockergesteine

Deckschichten, locker gelagert, verwittert, nicht gesättigt (3m bis 6 m) Schotter (Kiessand), nicht gesättigt Schotter, grundwassergesättigt verkitteter Schotter Seebodenlehm;. nicht vollständig gesättigt Seebodenlehm, gesättigt Gehängelehm, nicht gesättigt Moräne Löss

Fels

Molasse-Mergel und Molasse-Sandstein, weich, Mergel, nicht verwittert Molasse-Sandstein, hart Nagel fluh Schiefer Kalk Gneis Granit

verwittert

110 - 500 200 - 500 200 - 500

1000 - 1400 300 - 600 400 - 700 100 - 400 600 - 1000 150 - 300

500 - 1100 1200 - 2100 1200 - 2400 700 - 2700

1200 - 3300 2000 - 4000 2000 - 4000 2700 - 4000

200 - 800 400 - 800

1300 - 2000 1800 - 2500 700 - 1300

1300 - 1800 300 - 1000

1200 - 2400 300 - 600

900 - 1800 1800 - 3200 1800 - 3500 1000 - 4000 1800 - 5000 3000 - 6000 3000 - 5500 4000 - 6000

Tabelle A2.1: Anhaltswerte für die Wellenausbreitungsgeschwindigkeiten in verschiedenen Böden

- 175 -

Anhang 3: Näherung fUr die bezogene relative Verschiebung

Geht man von dem in Bild 2.23 dargestellten System aus und setzt voraus, dass die Bodensteifigkeit für die horizontale Fundamentverschiebung viel grösser ist als diejenige für die Fundamentrotation, so beträgt die

totale Steifigkeit (verg1. auch Gleichung (5.1))

(A3.1)

Nimmt man ferner an, dass die Struktur nur einen sehr geringen Einfluss auf die horizontale Bodenbewegung

hat, dann gi1 t

U ~ LI f o 0

(A3.2)

bzw.

(A3.3)

Ist die Fundamentmasse vernachlässigbar klein, so gilt zudem mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingung

de- k d 3E1 -1 h3 (A3.4)

bzw.

'2

de d fs~ 1r (A3.5)

wobei fSi die Grund frequenz der Struktur auf stei fem Boden darstell t. Di ese Gl ei chung gi 1t auc h für di e Resonanzfrequenz, bei der die Deformation dj auch in Abhängikeit der Dämpfungsrate des Systems ausgedrückt werden kann (Gleichungen (4.3) und (4.4)). Daraus erhält man

(A3.6)

Mit Gleichung (4.5) führt dies zu

= (A3.7l