biblioth`que d’exercices e l1-l2

8/14/2019 Biblioth`Que dexercices e L1-L2

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Bibliotheque dexercices Bonus

L1-L2

Exercices dAvignon

Table des matieres

I Analyse (S1 mias 2002-2003) 2

1 Reels 3

2 Limites de suites 4

3 Fonctions : limites et continuite 5

4 Derivabilite 7

5 Examen : Janvier 2003 8

6 Examen : Septembre 2003 9

II Analyse (S1 mias 2003-2004) 10

7 Reels 10

8 Limites de suites 11

9 Fonctions : limites et continuite 14

10 Derivabilite 15

11 Examen : Janvier 2004 17

III Algebre (S1 mias 2003-2004) 19

12 Nombres complexes 19

13 Ensembles 20

14 Groupes, anneaux, corps 21

15 Interrogation 1 21

16 Interrogation 2 22

1


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IV Algebre (S2 sm 2002-2003) 22

17 Espaces et sous-espaces vectoriels, somme, supplementaire 22

18 Applications lineaires, image et noyau 24

19 Famille libre, generatrice, base, dimension 25

20 Matrices : generalites 27

21 Matrices : rang, changement de base, inversion 29

22 Matrices : resolution de systemes 31

23 Determinant et inversion de matrices 32

V Analyse (S4 mias 2003-2004) 33

24 Integrales impropres 34

25 Integrales et equivalents 36

26 Normes, continuite des fonctions de plusieurs variables 37

27 Derivabilite des fonctions de plusieurs variables, derivees partielles 40

VI Algebre (S4 sm 2003-2004) 41

28 Formes lineaires, dualite 41

29 Formes quadratiques, espaces euclidiens 43

30 Continuite des fonctions de plusieurs variables 45

31 Derivees partielles, differentielle, extremums 45

32 Equations differentielles 48

33 Examen : Juin 2004 49

34 Examen : Juin 2004 (bis) 50

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Premiere partie

Analyse (S1 mias 2002-2003)

1 Reels

Exercice 1 Soient x et y deux reels tels que 0 < x 1 y. Classer par ordre croissant : x,x, x2,

y, y, y2, 0 et 1.

Exercice 2 Resoudre dans R

1.

1 + x = 1 x.2.

3x + 1 x + 1 = 1.

3.

4 x > x + 5.

Exercice 3 Etablir les inegalites suivantes, ou a, b et c sont des reels.

1. 2ab a2

+ b2

.2. ab + bc + ca a2 + b2 + c2. Dans quel cas y a-t-il egalite ?

Exercice 4 Soient a,b,c R. Montrer que |a + b| = |a| + |b| si et seulement si a et b sont tousdeux positifs ou tous deux negatifs. En deduire que |a b| = |a c| + |b c| si et seulement sia c b ou b c a.

Exercice 5 Montrer que :

1. (x, y) R2, E(x) + E(y) E(x + y) E(x) + E(y) + 1.2.

x

R, 0 E(2x)

2E(x) 1.

3. x R, 2 3E(2x) 2E(3x) 1.

Exercice 6 Soit I un intervalle ouvert non vide de R. En utilisant laxiome dArchimede,montrer que I contient a la fois une infinite de nombres rationnels et une infinite de nombresirrationnels.

Exercice 7 1. Soit A = [1, 0[]1, 2]. Lensemble A est-il borne ? Determiner les bornesinferieure et superieure de A si elles existent. A admet-il un plus petit element, un plusgrand element ?

2. Memes questions pour B =]0, +

[, C =

{1n

; n

N

}, D =

{1

1+|x|; x

R

}et E =

{cos 2n7

; n Z}.

Exercice 8 Soient A et B deux parties non vides de R. On definit :

A + B = {x R; a A, b B, x = a + b}.

1. A quoi est egal A + B dans le cas ou A = [1, 3] et B = [2, 4[? dans le cas ou A =] , 0]et B = [1, 2] ?

2. On suppose A et B majores. Montrer que A + B est majore, et que :

sup(A + B) = sup A + sup B.

3


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2 Limites de suites

Exercice 9 Etudier la convergence des suites de terme general un definies ci-dessous.

1. un =n2+5n7

2n23 ;

2. un =

n + 2 n + 1;3. u

n= n

(n + 1)(n + 2);4. un =

n+(1)nn(1)n ;

5. un =3

n3 + n + 1 3n3 n + 1;6. un =

sin nn+1

;

7. un =n sin2 ncos3 n

n2+1;

8. un = E

nn+1

(1)n.

Exercice 10 1. Soit (un) une suite de nombres reels tels que les suites extraites (u2n) et

(u2n+1) convergent vers une meme limite. Montrer que la suite (un) converge.2. et prouver un enonce analogue concernant (u3n), (u3n+1), (u3n+2).

Exercice 11 Soit (un) une suite de nombres reels strictement positifs.

1. On suppose quil existe k ]0, 1[ tel que limn

un+1un

= k. Montrer que limn

un = 0.

2. On suppose quil existe k > 1 tel que limn

un+1un

= k. Montrer que limn

un = +.3. Etudier la convergence des suites de terme general xn, x

n

n!.

4. Chercher des exemples montrant que si limn

un+1

un= 1, on ne peut pas conclure.

Exercice 12 On considere la suite (sn)n1 definie par :

sn =n

k=1

1

k.

Montrer que s2n sn 12 pour tout n 1. En deduire que la suite (sn) est divergente.

Exercice 13 Montrer que la somme dune suite convergente et dune suite divergente estdivergente.

Exercice 14 On considere la suite de terme general un =1n

+cos

2n3

. Montrer que cest une

suite divergente. Meme question pour vn =(1)nn2+n

3n2+1.

Exercice 15 Soit (un)nN une suite verifiant la relation de recurrence :

un+1 =1

2(1 + u2n).

1. Montrer que la suite (un)nN est croissante.

2. Si (un

)nN est convergente, quelle est sa limite ?

3. Montrer que si 1 u0 1, alors la suite (un)nN est convergente.

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4. Montrer que la suite (un)nN est divergente dans les autres cas.

Exercice 16 Pour tout entier n non nul, on pose :

un =n

k=1

1

k2, vn = un +

1

n.

Montrer que les suites (un)n1 et (vn)n1 sont adjacentes. Que peut-on en deduire ?

Exercice 17 Soient (un)nN et (vn)nN deux suites convergentes, de limites respectives 1 et2. On suppose que 1 < 2. Montrer qualors il existe un entier n0 tel que pour tout N n0,on a : un < vn.

Exercice 18 Soit (un)nN une suite reelle. On definit une suite (vn)nN par la formule :

vn = un+1 un.

1. Calculer la somme :n

k=0

vk.

2. On pose un =n(n+1)(n+2)

6. Calculer vn. En deduire la valeur de la somme :

nk=0

k2.

3. Trouver un polynome P de degre 4 tel que P(X+ 1) P(X) = X3. En deduire la valeurde la somme :

nk=0

k3.

4. Calculer la valeur des sommes :

nk=1

ln

1 +

1

n

et

nk=0

k.k!

Exercice 19 Soit (an)nN une suite decroissante qui tend vers 0.

1. Montrer que la suite (an)nN est a termes positifs ou nuls.

2. On definit une suite (bn)nN en posant bn =n

k=0

(1)kak. Montrer que les suites extraites(b2n)nN et (b2n+1)nN sont adjacentes. En deduire que la suite (bn)nN est convergente.

3 Fonctions : limites et continuite

Exercice 20 Donner des intervalles de R sur lesquels la fonction partie entiere est constante.Donner les plus grands tels intervalles au sens de linclusion. La fonction partie entiere est-ellecroissante, decroissante ? La representer graphiquement.

Exercice 21 Calculer les limites suivantes si elles existent :

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1. limx2

x3 3x 2x2 4 .

2. limx3

x2 x 6x2 9 cos x.

3. limx0

x

aE

b

x

ou a, b > 0.

4. limx+

(x + 2x) 1x .

Exercice 22 1. Soit f : [0, +[ R une fonction croissante et negative. Montrer que f aune limite finie en + et que = sup{f(x); x 0}.

2. Soit f : R R un fonction croissante ; montrer quelle admet en tout point x R unlimite a gauche et une limite a droite. Donner un exemple dune telle fonction nayantpas de limite en 0.

Exercice 23 Pour chacune des fonctions suivantes, donner son ensemble de definition dire sielle est prolongeable par continuite sur R.

1. f(x) = cos

1x

;

2. f(x) = sin x sin

1x

.

Exercice 24 1. Montrer que toute application continue dun segment dans lui-meme admetun point fixe (i.e. il existe x tel que f(x) = x).

Indication : on utilisera la fonction g = f Id.2. Soit f : R R une fonction continue et bornee. Montrer quelle a un point fixe : il existe

x0 R tel que f(x0) = x0.3. Soit f : R

R une fonction continue et periodique. Montrer quelle est bornee. En

deduire quelle admet un point fixe.

Exercice 25 1. Soit f : [0, +[ R une fonction continue qui admet une limite finie en+. Montrer que f est bornee sur [0, +[.

2. Soit f : R+ R+ continue telle que la limite de f en + existe et soit nulle ; prouverque, pour tout a 0, il existe b a en lequel f atteint son maximum sur [a, +[.

Exercice 26 Soit f : I R une fonction continue (I intervalle). Que pensez-vous des af-firmations suivantes (on justifiera avec soin chaque reponse, soit en utilisant des resultats ducours soit en construisant des contre-exemples) :

1. limage dun intervalle est un intervalle ;

2. limage dun intervalle ouvert est un intervalle ouvert ;

3. limage dun intervalle ferme est un intervalle ferme ;

4. limage dun intervalle borne est un intervalle borne ;

5. limage dun intervalle ferme borne est un intervalle ferme borne.

Exercice 27 Soit f la fonction definie sur R par : x R, f(x) = x E(x).1. Montrer que : x R, 0 f(x) < 1.2. Montrer que la fonction f est periodique, donner sa periode.

3. Faire une representation graphique de f.

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Exercice 28 Soit f : R R une fonction continue. Montrer quau moins une des troissituations suivantes se produit :

(i) f admet un point fixe x R ;(ii) lim

x+f(x) = + ;

(iii) limx

f(x) = .Indication : on utilisera la fonction g = f Id.

Exercice 29 Montrer quune fonction periodique de R dans R ayant une limite quand x tendvers + est constante sur R.

Exercice 30 On considere la fonction g definie sur lintervalle J1 =]

ln 3,

ln 2[ par :

g(x) = ln

sin(x ln2)

sin(x ln3)

.

Calculer les limites de g aux bornes de J1, demontrer que limage de J1 par g est R.

4 Derivabilite

Exercice 31 Soit > 0 et f la fonction definie sur R par : f(x) = |x|. Dites a quellecondition sur elle se prolonge en une fonction derivable sur R.

Exercice 32 Dans les cas suivants, donner lensemble de definition de la fonction f, lensembledes points ou elle est derivable, et calculer sa derivee en chacun de ces points :

1. f(x) = ln(1 + x + x2) ;

2. f(x) = ln(cos x) ;

3. f(x) = exp

x2+3x+2x+1

.

Exercice 33 Comment construire une boite de volume donne, parallelepipedique rectangle, afond carre, sans couvercle, avec la plus grande economie de materiau possible (la boite est doncouverte, sans couvercle) ?

Exercice 34 Soit P un polynome a coefficients reels. On veut montrer que lequation lequationP(x) = ex, dinconnue x R, nadmet quun nombre fini de solutions.

1. Montrer que si n et k 1 sont deux entiers naturels, si lequation P(n)

(x) = ex

a aumoins k solutions, alors lequation P(n+1)(x) = ex a au moins k 1 solutions.2. En deduire que lequation P(x) = ex a au plus degP + 1 solutions. Conclure.

Exercice 35 1. Determiner une fonction polynomiale de degre 2, P, telle que, si on definitsur ] 1, 1[ une fonction f par : f(x) = ln(1 + x) P(x), alors f(0) = f(0) = f(0) = 0.

2. (a) Montrer que : x ] 12

, 12

[, |f(x)| 2x2.(b) En deduire que : x ] 1

2, 1

2[, | ln(1 + x) P(x)| 2|x|3.

(c) En deduire si elle existe la valeur de : limx

0

ln(1 + x) x

x

2.

Quelle autre methode (plus rapide) connaissez-vous pour calculer cette limite ?

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Exercice 36 1. Chercher limx0

cos x 1x2

.

2. Soit n 1 un entier. Chercher limx0

exp x nk=0 xkk!xn+1

.

Exercice 37 On pose, pour tout x R, f(x) = 1 sin x

x.

1. Montrer que f est continue sur R et admet un prolongement par continuite en 0 donton justifiera soigneusement lexistence.

2. (a) Montrer que f est derivable en tout point de R et calculer f en ces points.

(b) Montrer lexistence et determiner la valeur de limx0+

f(x) et en deduire que f est

derivable a droite en 0.

(c) Deduire a laide dune propriete de parite sur R que f est derivable a gauche en 0sans etre derivable.

Exercice 38 Etudier la derivabilite des applications suivantes (eventuellement prolongees par

continuite) :1. f(x) = ln(1 + |x|);2. f(x) =

|x|;

3. f(x) = xln x

;

Exercice 39 (Theoreme des accroissements finis generalises) On considere deux fonc-tions, f et g continues sur un segment [a, b] et derivable sur ]a, b[. Montrer quil existe un reelc de ]a, b[ tel que le determinant suivant soit nul :

f(b) f(a) f(c)

g(b) g(a) g(c)(On utilisera la fonction h definie sur [a, b] par : h(t) = (f(b) f(a))g(t) (g(b) g(a))f(t))On donnera une interpretation geometrique de ce theoreme en tracant la courbe parametreex (f(x), g(x)).

5 Examen : Janvier 2003

Exercice 40 On fixe un reel [0, 1]. On definit alors deux suites de reels (un) et (vn) par :

n N, un = E(2n)2n

et vn = un + 12n

.

1. (a) Montrer que : n N, un < vn.(b) En deduire que : n N, |un | vn un et |vn | vn un.(c) La suite de terme general (vn un) est-elle convergente ? Conclure en ce qui concerne

la convergence eventuelle de (un) et (vn).

2. (a) Soit n N. Justifier que : 2E(2n) 2n+1 < 2E(2n) + 2.(b) En deduire que si n N :

soit un+1

= un

et vn+1

= vn

1

2n+1 ;

soit un+1 = un +1

2n+1et vn+1 = vn.

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(c) On definit alors pour chaque n N : an+1 = 2n+1(un+1 un) . Justifier que cettesuite est a valeurs dans {0, 1} et que si on pose a0 = u0 :

n N, un = a0 + a12

+ + an2n

.

La suite (an)nN sappelle le developpement dyadique de .

3. Dites si les suites (an) suivantes sont les developpements dyadiques dun [0, 1], et sioui dites a quoi est egal .

(a) On suppose que tous les termes de (an) sont nuls sauf : a1 = a3 = a4 = 1.

(b) a0 = 0 et tous les autres termes de la suite sont egaux a 1.

Exercice 41 On considere la fonction definie sur R par : f(x) = x2 sin 1x

.

1. Montrer que f est prolongeable par continuite en 0. Soit g son prolongement.

2. g est-elle derivable en 0 ?

3. Calculer la derivee de g sur R.

4. La derivee de g est-elle continue en 0 ?

Exercice 42 On definit f : R R par : f(x) = x21x2+3

.

1. (a) La fonction f est-elle paire ?

(b) Montrer que f|[0,+[ est strictement croissante.

(c) f a-t-elle une limite en + ?(d) Faire la representation graphique de f dans un repere orthonorme.

2. f est-elle bornee ? Si oui, donner ses bornes inferieure et superieure, et sils existent sonmaximum, minimum.

3. (a) Calculer f.

(b) Montrer que : x R, 3|x| 3 + x2.(c) En deduire que : x R, |f(x)| 8

9.

(d) Montrer que : x, y R, |f(x) f(y)| 89|x y|.

4. On definit une suite (un) par : u0 = 0 et : n N, un+1 = f(un).(a) Montrer que f([1, 0]) [1, 0]. En deduire que (un) est a valeurs dans [1, 0].(b) Justifier que les suites (u2n) et (u2n+1) sont monotones de sens inverses. Justifier

quelles sont convergentes.

(c) En utilisant 3.d, montrer que : n N, |u2n u2n+1| 892n.(d) En deduire que (un) converge.

6 Examen : Septembre 2003

Exercice 43 Soit f : R R definie par : f(x) = ex x si x < 0 , f(x) = cos2 x si x [0, 1] ;

f(x) = 1 +nx

x si x > 1 .Premiere partie

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1. Etudier la continuite de la fonction f.

2. Etudier la derivabilite de la fonction f.

3. Etudier les variations de la fonction f. On precisera ce qui se passe en , 0, 14

, 12

, 34

,1, e, +.

4. Construire (approximativement) la courbe representative de f dans un repere orthonorme.On representera soigneusement ce qui se passe au voisinage des points 0, 1

4, 1

2, 3

4, 1, e (trace

de demi-tangentes).

Deuxieme partie

1. On rappelle que e 2, 7. Montrer que f

]1, +[) ]1, e[.2. (a) Montrer que : x > 1, f(x) < 1.

(b) En deduire que : x > 1 , 1 < f(x) < x.3. On considere une suite (xn)nN definie par son premier terme x0 1 et qui verifie :

n 0 xn+1 = f(xn).(a) Montrer que (xn)nN est decroissante.

(b) Montrer que (xn)nN converge vers 1.

4. (a) Soit x 0. Justifier que f(x) 1.

(b) En deduire que toute suite (xn)nN definie par : x0 0, n 0 , xn+1 = f(xn)converge vers 1.

Troisieme partie

1. Justifier que f([0, 1]) [0, 1].2. Calculer la derivee en 1 de la fonction g definie par : g(x) = cos2 x.

En utilisant la definition de la derivee, en deduire quil existe > 0 tel que :

x ]1 , 1 + [ > |g(x) 1| 12|x 1| .

3. (a) Montrer que : x ]1 , 1] , f(x) [0, 1] et |f(x) 1| 12|x 1|.

(b) En deduire : x ]1 , 1] , f(x) ]1 , 1].4. En deduire que toute suite (xn)nN definie par : x0 ]1 , 1] ;n 0 , xn+1 = f(xn)

converge vers 1.

Deuxieme partie


7 Reels

Exercice 44 Soient x et y deux reels.

1. Simplifier

x2.

2. Supposons 0 < x 1 y. Classer par ordre croissant :

x, x, x2,

y, y, y2, 0 et 1.

Exercice 45 Representer lallure des graphes des fonctions suivantes : x x2

, x x3

, x x, x 1x

, x ln x, x ex, x |x|, x E(x).

10


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Exercice 46 a et b etant deux reels strictement positifs, montrer quon a les inegalites suivantesentre moyennes harmonique, geometrique et arithmetique :

21a

+ 1b

ab a + b

2.

Exercice 47 (a, b)N2. A quelle condition a-t-on

a +

bQ ?

Exercice 48 Montrer que pour n N, 1n2+4+

n2+3

12n

.

Exercice 49 Etablir les inegalites suivantes, ou a, b et c sont des reels.

1. 2ab a2 + b2.

2. ab + bc + ca a2 + b2 + c2. Dans quel cas y a-t-il egalite ?

Exercice 50 Resoudre dans R :

1. 2 < |x 1| < 3.

2. |x 1| < |x 2|.3. |x 1| < x.4. (x2 2x + 1)3 1.

Exercice 51 1. Determiner E(x) pour x = 1 +

12

2+

13

2+ + 1

2003

22. Soit x R une solution de linegalite E(x)2 xE(x) + 3 0. Montrer que x 4, 75.

Exercice 52 Soient x R et p N. Montrer que :1.

p1

i=0 Ex +i

p = E(px).2. E

E(px)p

= E(x).

Exercice 53 Soient (ai)iI et (bi)iI deux familles de nombres reels. Montrer que : supiI

(ai) supiI

(bi) sup

iI|ai bi| .

8 Limites de suites

Exercice 54 1. un =n+(1)nn(1)n ;

2. un = n (n + 1)(n + 2) ;3. un =

n sin2 ncos3 nn2+1

;

4. un = E

nn+1

(1)n;

5. un =10000nn2+1

;

6. un =3

n2 sin n!n+1

;

7. un = 2n+1 + (2)n sin(n) ;

8. un = cosa2 cos

a22 cos

a2n ;

9. un =

1 + xn

n (x R) ;11


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Exercice 55 Soit xn =n

n+1, n N. Montrer que lim

n+xn = 1. Pour > 0, donner explicite-

ment N() N tel que : n N, n N() = |xn 1| < .

Exercice 56 Etudier la convergence de la suite de terme general

xn = 1 +1

22

+1

32

+

+

1

n2

(on ne demande pas la limite). On pourra remarquer que pour n 2, on a 1n2

< 1n1 1n .

Exercice 57 En utilisant le critere de Cauchy, montrer que la suite de terme general

xn = 1 +1

2+

1

3+ + 1

n

diverge. (on pourra essayer de minorer x2n xn)

Exercice 58 Soient deux suites (xn) et (yn).

1. On suppose (xn) convergente et (yn) divergente. Que pouvez-vous dire sur la convergencede (xn + yn) ? Meme question pour (xn yn). Donner un exemple pour chaque situationpossible.

2. On suppose maintenant (xn) convergente vers 0 et (yn) arbitraire. Que peut-on dire de

limn+

(xn yn)?

Donner un exemple pour chaque situation possible.

Exercice 59 Montrer que les suites de terme general un definies ci-dessous sont divergentes.

1. un = (1)nn + cos(n) ;

2. un = (1)n ;3. un =

n+(1)nn2E

n2+ 3n

;4. un = E

cos((1/4 + n))

.

Exercice 60 1. Soit (un)n0 une suite dont les deux sous-suites : (u2k)k0 et (u2k+1)k0convergent vers une meme limite. Montrer que la suite (un)n0 est convergente.

2. On considere une suite (un)n0 dont les deux sous-suites : (u2k)k0 et (u3k)k0 sont conver-

gentes. Prouver que ces deux suites extraites ont la meme limite. Peut-on affirmer que lasuite (un)n0 est convergente ?

Exercice 61 Soit (an)n0 une suite reelle bornee verifiant : n N, 2an an1 + an+1.Montrer que (an) est convergente.

Exercice 62 Etudier la convergence de la suite de terme general un definie ci-dessous (on nedemande pas de preciser sa limite, si elle existe) :

un = 1 1

21 1

4. . .

1 1

2n.

12


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Exercice 63 On associe a une suite (un)n1 la suite (sn)n1 de terme general :

sn =u1 + u2 + + un

n=

1

n

nk=1

uk .

1. On suppose limn+

un = 0. Etablir que : > 0 , N N tel que n > N, |sn| 0 ;2. limx0 (cos x)x

2

;

3. limx1 x2x

x1+ln x ;

4. limx0(tan x)tan(2x) ;

5. limx+

4 tan xx

1x .

Exercice 73 La fonction g est definie par

g(x) =x2 + |x|

x

2

|x|.

Preciser son ensemble de definition. Etudier le comportement de g au voisinage des points 1,0 et 1. Peut-elle etre prolongee par continuite en certains points ?

Exercice 74 Etudier la continuite de f(x) = (E(x) + E(x)) sin x sur R.

Exercice 75 Etudier la continuite de la fonction f definie par ln(1+x2)

xsi x < 0 et par cos x

exsi

x 0.

Exercice 76 Trouver toutes les fonctions f : R R continues telles que (x, y) R2, f(x +y) = f(x) + f(y).

Exercice 77 1. Montrer que deux fonctions continues sur R qui concident sur Q sontegales.

2. (a) Soit f : [0 ; +[ R une fonction croissante et negative. Montrer que f a une limitefinie l en + et que l = sup{f(x) ; x 0}.

(b) Soit f : R R une fonction croissante ; montrer quelle admet en tout point x Rune limite a gauche et une limite a droite. Donner un exemple dune telle fonctionnayant pas de limite en 0.

Exercice 78 Soit f : R R continue sur R telle quelim

x+f(x) et lim

xf(x)

existent. Montrer que f est bornee sur R. Atteint-elle ses bornes ?

Exercice 79 1. Montrer que toute application continue dun segment dans lui-meme admetun point fixe (i.e. il existe x tel que f(x) = x). (Indication : on utilisera la fonctiong = f Id).

2. Soit f : R R une fonction continue et bornee. Montrer quelle a un point fixe.

3. Soit f : R R une fonction continue et periodique. Montrer quelle est bornee. Endeduire quelle admet un point fixe.

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Exercice 80 Soit la fonction f definie par

f(x) =xx

(E(x))E(x).

Les suites (un) et (vn) sont definies sur N par un = n et vn = n +12

. Calculer limn

f(un) et

limn

f(vn

). Que peut-on conclure pour limx

f(x) ?

Exercice 81 Etudier la continuite de f(x) =

x E(x).

Exercice 82 Montrer quune fonction f definie sur un intervalle ferme [a, b] de R, qui estmonotone et prend toutes les valeurs entre f(a) et f(b), est continue sur [a, b].

Exercice 83 Soit f : [0, +[ R definie par

f(x) =

0 si x / Q

1p+q

si x = pq

Q (avec pq

forme irreductible)

En quels points de R f est-elle continue ?

Exercice 84 On considere la fonction g definie sur lintervalle J =] ln 3

; ln 2

[ par

g(x) = ln

sin(x ln2)

sin(x ln3)

.

Calculer les limites de g aux bornes de J, demontrer que limage de J par g est R.

10 DerivabiliteExercice 85 Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont derivables en 0 ?

1. f(x) = x ;

2. f(x) = |x| ;3. f(x) =

x ;

4. f(x) = cos x ;

5. f(x) = E(x) ;

6. f(x) = sin xx

;

7. f(x) = |x 2| ;Exercice 86 1. Determiner tous les couples de reels (a, b) tels que la fonction g definie par

g(x) =

ax

2 x + 2 si x 1b

xsi x > 1

soit continue en 1 ; derivable en 1.

2. On pose ici : a = 1 et b = 1. Calculer, si elle existe, la valeur de limx1

g(x), puis tracer

Cg

, la courbe representative de g.

3. La fonction g est-elle derivable en 1 ? Pourquoi ?

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4. Comment se manifeste graphiquement le resultat obtenu pour la valeur de limx1

g(x) ?

Exercice 87 Soit f derivable en x R, calculer limh0

f(x+3h)f(xh)h

.

Exercice 88 Soit f : [1, 1] R definie par

1+x21x2x

si x = 0 et f(0) = 0. Etudier lacontinuite et la derivabilite de f sur [

1, 1]. Montrer que f est C1 sur ]

1, 1[.

Exercice 89 Demontrer que la derivee dune fonction paire est impaire et la derivee dunefonction impaire est paire. Expliquer le sens geometrique de ce fait.

Exercice 90 Determiner f(a) pour f(x) = (x a)(x), ou la fonction est continue en a.Application : determiner f(1) pour f(x) = (x 1)(x 2) . . . (x 1000).

Exercice 91 Determiner les limites suivantes en utilisant la regle de LHospital :

a) limx

1

x3 2x2 x + 2

x3

4x + 3; b) lim

x

0

1 cos x

x2

; c) limx

1

(x2 1)x

|x 1|; d) lim

x

+

x2 + 3x + 2

(x + 2)ln(x + 1)

;

e) limx0

(cos2x)3

x2 ; f) limx0

x sin x

1 cos x ; g) limx+x sin1

x; h) lim

x0ln(1 + x)

x;

i) limx0

cos x 1

x; j) lim

x0

1

sin2(x) 1

x2

.

Exercice 92 Appliquer la formule des accroissements finis a f(x) = ln(| ln x|) entre k et k + 1(k N \ {1}). En deduire que

nk=2

1k ln k

> ln(ln(n + 1)) ln(ln 2)),

puis la valeur de limn+

nk=2

1k ln k

.

Exercice 93 Soit f une fonction 2 fois derivable sur [a, b] telle que f(a) = f(b) = 0, et soitx0 ]a, b[.

1. Determiner le reel Ktel que la fonction , definie sur [a, b] par : (t) = f(t)K(ta)(tb)sannule au point x0.

2. En appliquant le theoreme de Rolle a la fonction sur [a, x0], puis sur [x0, b] (K ayant lavaleur trouvee au 1.), demontrer quil existe un c ]a, b[ tel que : f(x0) = (x0a)(x0b)2 f(c).

Exercice 94 Soit une fonction continue sur [a, b] et n fois derivable sur ]a, b[. Sachant quef sannule en n + 1 valeurs reelles distinctes dans [a, b], montrer quil existe c ]a, b[ tel quef(n)(c) = 0 (n N).

Exercice 95 Soient f et g deux fonctions de classe C2 sur [a, b], telles que f(a) = g(a) etf(b) = g(b) et x [a, b], f(x) g(x). Demontrer que x [a, b], g(x) f(x).

Exercice 96 Soit f : [0, 1]R de classe C1 telle que

x

[0, 1], f(x) > 0.

1. Montrer que > 0 tel que x [0, 1], f(x) .

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2. Si f(0) = 0, montrer que x [0, 1], f(x) x.

Exercice 97 On pose, pour tout x R, f(x) =

1 sin xx

.

1. Montrer que f est continue sur R et admet un prolongement par continuite en 0 donton justifiera soigneusement lexistence.

2. (a) Montrer que f est derivable en tout point deR et calculer f en ces points.

(b) Montrer lexistence et determiner la valeur de limx0

f(x) et en deduire que f est

derivable a droite en 0.

(c) Deduire a laide dune propriete de parite sur R que f est derivable a gauche en 0sans etre derivable.

Exercice 98 1. ln(1 + |x|) ;2. f(x) =

|x| ;

3. f(x) = xln x

.

Exercice 99 Soit f fonction definie sur R par f(x) = e 1x si x > 0 et f(x) = 0 si x 0.

1. Demontrer que f est derivable sur R (en particulier en x = 0).

2. Etudier lexistence de f(0).

3. Demontrer par recurrence sur n que que pour tout x > 0, f(n)(x) = Pn(x)x2n

e1

x ou Pn estun polynome dont on precisera le degre. Donner P1 et P2.

4. Montrer alors que f est de classe C sur R.

Exercice 100 Soit P un polynome a coefficients reels. On veut montrer que lequation P(x) =ex, dinconnue x

R, nadmet quun nombre fini de solutions.

1. Soit n un entier naturel. Montrer que si lequation P(n)(x) = ex a au moins k solutions(k N), alors lequation P(n+1)(x) = ex a au moins k 1 solutions.

2. En deduire que lequation P(x) = ex a au plus deg P+ 1 solutions. Conclure.

Exercice 101 Sous quel angle se coupent les courbes y = x2 et x = y2 ?

11 Examen : Janvier 2004

Exercice 102 Soit (an)nN une suite de nombres reels strictement positifs telle que :

() limn+

an+1 an = +.1. (a) Justifier quil existe N1 N tel que : n N1, an+1 an 1.

(b) Montrer que : n N1, an (n N1)2.(c) Quel est le comportement de la suite

ann

n1

?

2. Soit (un)n1 definie par :

n 1, un =n

k=11

k2.

(a) Verifier que (un)n1 est strictement croissante.

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(b) Montrer que n 2, 1n2 1

n1 1n .(c) En deduire un majorant de (un)n1 puis que (un)n1 converge.

3. On associe a la suite a = (an)nN la suite

bn(a)

nN definie par :

n N, bn(a) =n

k=01

ak.

(a) Justifier que

bn(a)

nN est strictement croissante.

(b) En prenant pour N1 la meme notation quen question 1), montrer que :

n > N1, bn(a) bN1(a) + unN1.

(c) En deduire un ma jorant de

bn(a)

nN puis que

bn(a)

nN est convergente.

4. (a) Dites si la condition () est verifiee lorsque : an = n!

an = n2

n

(b) Quen conclure en ce qui concerne les suites :

nk=0

1k!

nN

nk=1

1k2k

nN

5. (a) La suite a = (an)nN definie par an = (n + 1)2 verifie-t-elle () ?(b) Que dire de la suite

bn(a)

nN qui lui est associee ?

(c) Conclusion : la condition () est-elle equivalente a la convergence de la suite

bn(a)

nN ?

Exercice 103 Soit f : R R definie par :

f(x) =

ln(x +

1 + x2) si x 0

2 x ln(1 + x)x

si x > 0

1. f est-elle continue ?

2. f est-elle derivable ?

3. Calculer limx

(x +

1 + x2). En deduire lim

f.

4. Calculer lim+

f.

5. (a) Calculer pour x > 0 : f(x).

(b) On definit g : R+ R par : g(x) = (1 + x) ln(1 + x) x. Verifier que : x > 0,f(x) > 0 g(x) > 0.

(c) Montrer que : x > 0, g(x) > 0.(d) En deduire que : x > 0, g(x) > 0 puis que : x 0, f(x) > 0.

6. (a) Calculer pour x < 0 : f(x).

(b) Faire le tableau de variation de f.

(c) Tracer la courbe representative de f.

7. (a) Calculer lim

f.

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(b) En deduire la valeur de limx

f(x)

x.

Exercice 104 Soit f : R R telle que : pour toute suite reelle (un)nN verifiant limn+

un =

+, alors la suite f(un)nN est convergente.1. Soient (un)n

N et (vn)n

N deux suites tendant vers +

. Montrer que les suites f(un)nNet f(vn)nN ont meme limite finie.

Indication : on construira une suite (wn)nN dont (un)nN et (vn)nN sont des suites ex-traites.Desormais, on note l = lim

n+f(n).

2. Montrer que l = lim+

f.

Indication : supposer que ce nest pas le cas et construire une suite (un)nN telle quelim

n+un = + et telle que

f(un)

nN ne converge pas vers l.

Troisieme partieAlgebre (S1 mias 2003-2004)

12 Nombres complexes

Exercice 105 1. Simplifier les expressions suivantes et exprimer le resultat sous formecartesienne :

(2 + 3i)(4

5i) + (2

3i)(4 + 5i) ;

4 + 5i

2 + i

; ei ; ei2 .

2. Donner module et argument des nombres suivants :

3 ; i ; 1 + i

3 ;1 + i

1 i ;

1 i31 + i

4.

Exercice 106 Simplifier lex expressions suivantes ( R, n N) :1 + i tan

1 i tan ;(1 + 2i)2 (2 i)3(1 i)3 + (2 + i)2 ; (1 + cos + i sin )

n .

Exercice 107 Pour z = 2i, on pose : (z) = z3+i2iz .

1. Determiner {z C | (z) R}.2. Determiner {z C | arg((z)) =

2[]}.

3. Determiner {z C | |(z)| = 2}.

Exercice 108 1. Donner la liste des racines cubiques de lunite. Calculer leur somme.

2. Donner la liste des racines huitiemes de lunite.

3. Soit n N. Montrer que la somme des racines niemes de lunite est nulle.

Exercice 109 Trouver les racines carrees de 4, i, 1 i et 3 + 4i.

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Exercice 110 Soient n N et x R. Exprimer sous forme simple :n

k=0

cos(kx).

Exercice 111 Montrer que S = cos 17

+ cos 317

+ + cos 1517

Q.

Exercice 112 Resoudre dans C les equations suivantes :

1. 2iz = 2z ;

2. z2 (3 + 2i)z + 5 + i = 0 ;3. ez = 1 + i

3.

Exercice 113 Determiner les lieux de points suivants :

a) |z| < 2 ; b) |z 1 i| 1 .

Exercice 114 1. ] Soit A et B deux points distincts daffixes a et b. Donner une CNSportant sur laffixe z du point M pour quon ait M (AB).

2. Determiner les nombres z

C tels que les points daffixes respectives z,z2 et z4 soient

alignes.

Exercice 115 Soient z1 et z2 deux nombres complexes tels que |z1| < 1 et |z2| = 1. Montrerque z2z1

1z1z2 est de module 1.

Exercice 116 Soient A, B et C trois points daffixes respectives a, b et c. Montrer que ABCforme un triangle equilateral ssi a +jb +j2c = 0. (On rappelle que j designe classiquement laracine cubique de lunite de partie imaginaire strictement positive.)

13 Ensembles

Exercice 117 Soient E = {a, b} et F = {1;2;3}. Dresser la liste de toutes les applications deE dans F, puis celles de F dans E. Dire lesquelles sont injectives, ou surjectives, ou bijectives.Dresser egalement la liste des elements de P(E) et P(F).

Exercice 118 Soit f : E F, A E et B F. Montrer que f(A f1(B)) = f(A) B.

Exercice 119 Soient E et F deux ensembles, card(E) = p, card(F) = n. Compter :

1. le nombre dapplications de E dans F ;

2. le nombre dapplications injectives de E dans F ;

3. le nombre dapplications strictement croissantes de E dans F (on supposera E et F munisdun ordre total).

Exercice 120 A toute partie A de E, on associe lapplication A : E {0 ; 1}, appeleefonction caracteristique de A, definie par :x A, A(x) = 1 et x E\ A, A(x) = 0.Au moyen de A et B, expliciter les fonctions caracteristiques de EA, A B, A B et A \ B(si B A).

Exercice 121 Soit Eun ensemble de cardinal n. Montrer que P(E) a 2n elements. (Indication :

montrer que A A est une bijection de P(E) dans A(E, {0 ; 1}), lensemble des applicationsde E dans {0 ; 1})

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Exercice 122 Montrer que :

1. (A B) C = (A C) (B C) ;2. E(A B) = EA EB ;3. (A B) C = (A C) (B C) ;4. E(A B) = EA EB.

Exercice 123 Montrer par contraposition les assertions suivantes, E etant un ensemble :

1. A, B P(E), (A B = A B) A = B ;2. A,B,C P(E), (A B = A C et A B = A C) B = C.

Exercice 124 Soit f : N N definie par f(n) = n si n est pair, f(n) = (n + 1)/2 si n estimpair. Etudier linjectivite et la surjectivite de f.

Exercice 125 Soit f : E F une application. Montrer que :1. f injective h : F E telle que h f = IdE ;2. f surjective

k : F

E telle que f

k = IdF.

14 Groupes, anneaux, corps

Exercice 126 Sur R, on definit la loi par : a b = a + b + ab. Montrer que est une loiinterne, associative, commutative et possedant un element neutre. Montrer que (R \ {1}, )est un groupe. Resoudre lequation 2 3 x 5 = 5 3.Exercice 127 Soit f un morphisme de groupes de (G, ) dans (G, ). On note e lelementneutre de (G, ). Montrer que {x G | f(x) = e} et {f(x) | x G} sont des groupes. On lesappelle respectivement noyau et image de f, et on les note Ker(f) et Im(f).

Exercice 128 Montrer que tout sous-groupe de Z est du type nZ, pour un certain n N.(Indication : utiliser la division euclidienne.)

Exercice 129 Soit G un groupe, et H un sous-groupe. On definit sur G une relation GGen posant :

(x, y) xy1 H.Montrer que cest une relation dequivalence, et definir une bijection entre H et la classedequivalence de chaque element de G. En deduire que le nombre delements de H divise celui

de G.

15 Interrogation 1

Exercice 130 Soit E un ensemble. Montrer que pour toutes parties A, B, C de E, on a :

A (B C) = (A B) (EA C)Exercice 131 Soit f : R2 R2 definie par f(x, y) = (2x + y, x + y).f est-elle injective ? surjective ? bijective ?

Soit A = {(2;1)} et B = {(x, y) R2

| y = 0} deux parties deR2

. Determiner f(B), f1

(A),f(R2) et f1(R2).

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16 Interrogation 2

Exercice 132 Soit E un ensemble. Si A et B sont deux parties de E, montrer que

(A B) (A B) = (A B) (B A) .

Exercice 133 Soit f : E

F une application, et A

E. Montrer que A

f1(f(A)).

Montrer quil y a egalite si f est injective. Donner un contre-exemple a legalite lorsque f nestpas injective.

Quatrieme partie

Algebre (S2 sm 2002-2003)

17 Espaces et sous-espaces vectoriels, somme, supplementaire

Exercice 134 1. Montrer que lensemble F(R,R) des fonctions deR dans R est un R-espacevectoriel.

2. Les sous-ensembles suivants de F(R,R) sont-ils des sous-espaces vectoriels ?(a) Lensemble des fonctions bornees.

(b) Lensemble des fonctions non bornees.

(c) Lensemble des fonctions continues.

(d) Lensemble des fonctions positives.

(e) Lensemble des fonctions qui sannulent en 0.

(f) Lensemble des fonctions periodiques.(g) Lensemble des fonctions qui tendent vers 0 en +.(h) Lensemble des fonctions f continues telles que

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f(x)dx = 0.

Exercice 135 On considere RN, lespace vectoriel (sur R) des suites reelles. Dites lesquels,parmi les sous-ensembles suivants, sont des sous-espaces vectoriels :

1. {suites reelles bornees}2. {suites reelles convergentes}3. {(un) RN | u0 = a}, a R4. {(un) RN | un+1 = 3 un}5. {(un) RN | un+2 = un+1 un}

e) {(un) RN | un+1 = u2n}

Exercice 136 On considere le R-espace vectoriel R[X] des polynomes a coefficients reels.

1. R3[X] = {P R[X] | deg(P) 3} est-il un sous-espace vectoriel ?2. E = {P R[X] | deg(P) = 3} est-il un sous-espace vectoriel ?3. Determiner le plus petit sous-espace vectoriel de R[X] contenant E.

Exercice 137 Parmi les sous-ensembles suivants, trouver ceux qui sont des sous-espaces vec-toriels :

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E1 = {(x, y) R2 ; x2 + y2 = 1}E2 = {(x, y) R2 ; x + y = 1}E3 = {(x, y) R2 ; 2x + y = 0}E4 = {(x,y,z) R3 ; x = y = 2z}E5 = {(x,y,z) R3 ; x = 0}E6 = E4 E5E7 = E4 E5E8 = {(x , y, z, t) R4 ; x + y z = 0 et x = t}E9 = {P R2[X] ; P(3) = 0}E10 = {P R[X] ; dP 2}

Exercice 138 Les ensembles suivants, munis de laddition et de la multiplication par un reel,sont-ils des espaces vectoriels ?

1. E = {(x,y,z) R3 | x y + 2z = 0} ;2. E = {(x,y,z) R3 | x y + 2z = 1} ;3. E = {(x,y,z) R3 |

x y + z = 0x + y

z = 0

} ;

4. E = {(x,y,z) R3 | x y + z = 0

x + y z = 1 } ;5. Lensemble des matrices 2 5 a coefficients reels ;6. R2[X] lensemble des polynomes a coefficients reels de degre au plus 2 ;

7. Lensemble des polynomes a coefficients reels de degre exactement 2 ;

8. E = {P(X) R2[X] | P(1) = 0}.Exercice 139 Soit E un espace vectoriel, F et G deux sous-espaces vectoriels.

1. Montrer que F + G et F G sont des espaces vectoriels.2. F

G est-il un espace vectoriel ?

Exercice 140 1. Soit F(R,R) lespace vectoriel des fonctions de R dans R. Montrer queles sous-ensembles Fp(R,R) (fonctions paires) et Fi(R,R) (fonctions impaires) sont dessous-espaces vectoriels supplementaires dans F(R,R).

2. Expliciter la decomposition de la fonction exponentielle sous la forme f + g avec f Fp(R,R) et g Fi(R,R). Idem avec h(x) = x4 + 2x3 1, et k(x) = sin(x2) 2 cos(x3).

Exercice 141 Soit F = {(x,y,z) R3 | x + y + z = 0} et G = {(x,y,z) R3 | xy = 0 et z =0}. Montrer que F et G sont deux sous-espaces vectoriels supplementaires de R3.Exercice 142 Soit F = {(x,y,z) R3 | x + y + z = 0}, G = {(x,y,z) R3 | x = y = z}.

1. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de R

3

. Determiner la dimension deF et celle de G.

2. Montrer que R3 = F G.3. Montrer que

H = {(x1, x2, . . . , xn) Rn | x1 + x2 + + xn = 0}est un sous-espace vectoriel de Rn. Quelle est sa dimension ? Determiner un supplementairede H dans Rn.

Exercice 143 Soit E1 le sous-espace vectoriel de R4 engendre par (1; 2; 0; 1) et (0; 1; 1; 3). SoitE2 le sous-espace vectoriel de R4 engendre par (1; 1; 1; 0).

1. Determiner E1

E2.

2. Donner une base de E1 + E2.

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18 Applications lineaires, image et noyau

Exercice 144 Parmi les applications suivantes, indiquer lesquelles sont lineaires et lesquellesne le sont pas :

f1 : R R , x 3x f5 : R2 R2 , (x, y) (x + y , xy)f2 : R R , x 3x + 2 f6 : R2 R3 , (x, y) (x + y , x y , 2x)f3 : R

R , x

ln(x) f7 : R3

R2 , (x,y,z)

(x + y , z , x + 1)

f4 : R R , x |x| f8 : R2 R , (x, y) xey

Exercice 145 Soient f :R3R3, (x,y,z)(x , y , 0),g :R2R3, (x, y)(x y , x + y , x + 2y) et h :R3R(x,y,z)x 3y + 2z .

1. Montrer que f, g et h sont lineaires.

2. Determiner noyau et image dans chaque cas.

Exercice 146 Soit (e1, e2, e3, e4) la base canonique de R4 et f lapplication lineaire de R4 danslui-meme definie par f(e1) = 3e1 + e2 + e3 + e4, f(e2) = e1 + e2

e3 + e4, f(e3) = e1

e2 + e3

e4

et f(e4) = e1 + e2 e3 + e4.1. Calculer f(x , y, z, t) pour (x , y, z, t) R4.2. Determiner Ker(f).

3. Soit F = Vect(e3, e4). F et Ker(f) sont-ils supplementaires ?

Exercice 147 Montrer que les applications usuelles suivantes : symetrie, projection, homothetie,rotation sont lineaires. Determiner leur image et noyau.

Exercice 148 Soit E1 la droite de R2 engendree par (1; 1), E2 celle engendree par (1; 1).Exprimer :

1. la projection suivant E1 parallelement a E2 ;

2. la projection suivant E2 parallelement a E1 ;

3. la symetrie par rapport a E1 parallelement a E2.

Exercice 149 Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. Montrer que lapplication :

s : F G E(x, y) x + y

est lineaire. Montrer ensuite que :

1. s est injective ssi F G = {0} ;2. s est surjective ssi F + G = E;

3. s est un isomorphisme ssi F G = E.Exercice 150 Soit E un espace vectoriel, et f un endomorphisme de E.

1. Montrer que Ker(f) = Ker(f2) Ker(f) Im(f) = {0}.2. Montrer que Im(f) = Im(f2) Ker(f) + Im(f) = E.3. Montrer que si E est de dimension finie, on a

Ker(f) = Ker(f2)

Im(f) = Im(f2)

Ker(f)

Im(f) = E .

(votre enseignant de TD pourra vous donner des contre-exemples en dimension infinie)

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Exercice 151 On considere lequation differentielle

(E) x2y(x) + 2xy(x) 12y(x) = 0

et lapplication :R3[X]R[X], P(X)X2P(X) + 2XP(X) 12P(X)1. Montrer que est un endomorphisme de R3[X]. Calculer les images par des vecteurs

de la base (1, X , X 2

, X3

).2. Determiner Ker().

3. Donner une solution particuliere (non nulle) y0 de E.

4. Resoudre (E) sur ]0;+[ (indication : poser y(x) = y0(x)z(x)).

19 Famille libre, generatrice, base, dimension

Exercice 152 Considerons un espace vectoriel. La famille composee du seul vecteur nul est-ellelibre ?

Exercice 153 Montrer que les vecteurs (1, 1), (1, 1) et (1, 2) deR2 sont deux a deux independants.Montrer que ces vecteurs sont lies, et trouver une combinaison lineaire nulle non triviale entreces vecteurs.

Exercice 154 Donner un exemple dune famille de 3 vecteurs (u1, u2, u3) de R3 qui soit liee,mais telle que u1 ne sexprime pas comme combinaison lineaire de u2 et u3.

Exercice 155 On considere les vecteurs u1 = (1, 1, 1), u2 = (0, 1, 1), u3 = (1, 1, 3) et u4 =(1, 0, 1) de R3. Montrer que (u1, u2, u4) forme une base de R3 et determiner les coordonnees duvecteur u3 dans cette base.

Exercice 156 Dans lespace vectoriel R5, on considere les vecteurs U, V1, V2, V3, V4, V5 definispar U = (0; 0;2;2;2), V1 = (1;0;1;1;0), V2 = (1;1;0;2;0), V3 = (1;1;2;3;1), V4 = (1; 1;3; 0;2)et V5 = (0; 1; 0; 0; 3). Existent-ils des reels x1, x2, x3, x4, x5 tels que

U = x1V1 + x2V2 + x3V3 + x4V4 + x5V5 ?

Sont-ils determines de maniere unique ? Expliquer pourquoi.

Exercice 157 Montrer que R2[X] admet pour base la famille (1, X , X 2). Montrer que la famille(1, X+ 1, X2 + X+ 1) est egalement une base de R2[X].

Exercice 158 Donner une base des sous-espaces vectoriels de R3 suivants :

1. E = {(x,y,z) R3 | x y + 2z = 0} ;2. E = {(x,y,z) R3 |

x y + z = 0x + y z = 0 }.

Exercice 159 Soit F le sous-espace vectoriel de R3 engendre par les vecteurs v1 = (0; 1;2) etv2 = (1;2;3).

1. Quelle est la dimension de F?

2. Donner une condition necessaire et suffisante pour que (x,y,z) soit un element de F.

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Exercice 160 1. Montrer que la famille(1;1;1;0) , (1;0;1;1) , (1;0;0;1)

est libre dans R4. Est-ce une base ?

2. Soient

B1 = (1;1;1), (1; 1;1), (1; 1;1)B2 =

(1;1;0), (1;0;1), (0;1;1)

Montrer que B1 et B2 sont des bases de R3 ; exprimer le vecteur X = (x; y; z) dans la baseB1 et dans la base B2.

Exercice 161 Soit (u,v,w) trois vecteurs dun K-espace vectoriel E. Si (u,v,w) est libre, quepeut-on dire de : (u, u + v, u + v + w) ; (u + v, v + w, u + w) ; (u v, v w, w u)? Et si (u,v,w)est liee ?

Exercice 162 Soit (pour n N) fn : R R la fonction definie par fn(x) = enx. Montrer quepour tout n N, (f0, . . . , f n) est une famille libre dans lespace vectoriel des fonctions reellesde la variable reelle.

Exercice 163 Soit n N et Rn[X] lespace vectoriel des polynomes de degre n. Soit(P0, . . . , P n) une famille de (n + 1) polynomes telle que deg(Pi) = i pour 0 i n (doncP0 est un polynome constant non nul). Montrer que (P0, . . . , P n) est une base de Rn[X].

Exercice 164 Soient les polynomes de degre 3 suivants : P0 = (X 1)(X 2)(X 3), P1 =X(X 2)(X 3), P2 = X(X 1)(X 3), P3 = X(X 1)(X 2). Montrer que (P0, P1, P2, P3)est une base de R3[X].

Exercice 165 (Polynomes dinterpolation de Lagrange) Soient (a0, . . . , an) Rn+1 et (l0, . . . , ln) Rn+1. Introduisons la notation suivante pour 0 i n :

(X a0) . . . (X ai) . . . (X an) = (X a0) . . . . . . (X an)X ai .

Autrement dit, le terme sous le chapeau napparat pas dans la liste. A titre dexemple, (Xa0) . . . (X

a2) . . . (X

a4) = (X

a0)(X

a1)(X

a3)(X

a4). Avec ce meme principe de

notation, posons

Pi(X) =(X a0) . . . (X ai) . . . (X an)(ai a0) . . . (ai ai) . . . (ai an)

.

Finalement, soit P(X) =n

i=0 li Pi(X).1. Calculer P(ai) (pour 0 i n).

2. Montrer que la famille (P0, . . . , P n) est une base de Rn[X].

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20 Matrices : generalites

Exercice 166 On considere les matrices : A =

1 2 1

, B =

11

0

,

C = 1 10 1

, D = 0 1 11 1 00 1 0

, E = 1 00 11 1

et F = 1 1 00 1 1

.1. Effectuer tous les produits de ces matrices deux a deux lorsquils existent.

2. Calculer si possible A + 2B, 2A + tB, tA +3B, EF C, EF D, F EC, ADB.

Exercice 167 On considere dans Mn(R) les matrices A et B definies par A = (aij)1i,jn avecaij = i +j et B = (bij)1i,jn avec bij = ij. Calculer le terme general des matrices C = ABet D = AB.

Exercice 168 Soit f lapplication lineaire de R4 dans R3 definie par : f(x , y, z, t) = (x + t, x +y + t, y + z + t).

1. Ecrire la matrice A de f relativement aux bases canoniques {e1, e2, e3, e4} de R4 et{e1, e2, e3} de R3.

2. Calculer la matrice B de f dans les bases {u1, u2, u3, u4} de R4 et {v1, v2, v3} de R3definies par u1 = e1 + e2 + e3 + e4 ; u2 = e1 + e2 + e3 ; u3 = e1 + e2 ; u4 = e1 ;v1 = e

3 ; v2 = e

2 + e

3 ; v3 = e

1 + e

2 + e

3 .

Exercice 169 Montrer que les applications suivantes sont lineaires. Determiner leur noyau etleur image et ecrire dans chaque cas la matrice correspondante rapportee aux bases canoniques.

1. f : R3 R3 ; (x,y,z) (x,y, 0)2. g : R2 R3 ; (x, y) (x y, x + y, x + 2y)3. h : R3 R ; (x,y,z) x 3y + 2z4. : R3[X] R3[X] ; P P (polynome derive).

Exercice 170 Soient f, g et h les applications lineaires de R3 dans R2 ou de R2 dans R3

representees par les matrices respectives, dans les bases canoniques :

A = 1 1 01 1 2 , B = 1 0 12 1 0 , C = 2 3

1 01 2 .1. Calculer limage dun vecteur X = (x,y,z) par les applications suivantes : f; g ; f + g ;

2g et f + 2g.

2. Ecrire, lorsquelles ont un sens, les matrices dans les bases canoniques des applicationssuivantes : f + h ; f g ; f h ; h f; g h.

Exercice 171 Soit A = 13

2 1 11 2 1

1

1 2

consideree comme matrice dun endomorphisme

de K3. En determiner limage et le noyau. Montrer quil sagit dun pro jecteur.

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Exercice 172 Soit E = F F, avec F = 0 et F = 0. Prendre une base B de F, une base Bde F et notons C la base de E obtenue par reunion de B et B. Notons P le projecteur (deE) sur F parallelement a F, et S la symetrie par rapport a F parallelement a F. Donner lesmatrices MC(P) et MC(S) ainsi que le polynome caracteristique de P et de S.

Exercice 173 Soit L : R3 R3 lapplication lineaire definie par L(x,y,z) = (x + 2y z , y +z , x + y

2z).

1. Ecrire la matrice associee a L dans la base canonique de R3.2. Trouver une base et determiner la dimension de chacun des sous-espaces vectoriels sui-

vants : Ker(L), Im(L) et Ker(L) Im(L).3. Determiner L L = L2 et L L L = L3. Quelle est la matrice de L16 dans la base

canonique ?

Exercice 174 Soit u : R4 R3 lineaire, de matrice 11 7 0 30 1 11 2

1 0 7 1

dans les bases cano-

niques de R4 et R3.

1. Quel est le rang de u ? Donner une base de Im(u).2. Calculer dim

Ker(u)

. Donner une base de Ker(u).

Exercice 175 Soit lapplication : R3[X] R3[X] definie par (P)(X) = P(X+ 2) P(X).1. Montrer que est un endomorphisme de R3[X].

2. Determiner la matrice de dans la base canonique de R3[X].

3. Determiner Ker() et Im().

4. Determiner P R3[X] tel que (P) = X(X + 1) et P(1) = 0, puis ecrire P commeproduit de facteurs du premier degre.

5. Donner une expression condensee de la valeur de la somme

1.2 + 3.4 + 5.6 + . . . + (2n + 1)(2n + 2) .

Exercice 176 Soit E = R4, f1 = (1, 1, 1, 0), f2 = (0, 0, 0, 1) et E1 le sous-espace vectoriel deE engendre par f1 et f2.

1. Donner la matrice (dans la base canonique) de la projection orthogonale sur E1.

2. Donner la matrice (dans la base canonique) de la symetrie orthogonale par rapport a E1.

Exercice 177 Soit f lendomorphisme de R2 (i.e. lapplication lineaire de R2 dans R2) de

matrice

1 3

3 1

dans la base canonique B = (i, j) de R2.

1. Quel est langle entre les vecteurs i et f(i) ?

2. Quel est langle entre les vecteurs j et f(j) ?

3. Decrire f comme la composee (commutative) de deux transformations simples.

Exercice 178 Soient A =

1 0 10 0 0

1 0 1

et B =

1 1 11 1 1

1 1 1

. Calculer Ap et Bp (p N).

Exercice 179 Soit E un espace vectoriel sur R de dimension 3. Soit f un endomorphisme deE tel que f2 = 0 et f3 = 0. Soit x E nappartenant pas a Ker(f2).

1. Preciser pourquoi x = 0, f(x) = 0, f2(x) = 0, f3(x) = 0.2. Montrer que

{x, f(x), f2(x)

}est une base de E.

3. Quelle est la matrice de f dans la base {x, f(x), f2(x)} de E (dans cet ordre) ?

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21 Matrices : rang, changement de base, inversion

Exercice 180 Determiner le rang des matrices suivantes :

A =

1 2 1

1 0 13 2 2

, B =

2 0 1

1 1 21 1 1

, C =

1 2 11 0 10 a 1

(a R) .

Exercice 181 Soit lapplication lineaire T : R3 R2 donnee par :(x,y,z) (x + 2y + 3z, 4x + y + 2z) .

1. Ecrire la matrice de T dans les bases canoniques E= {e1, e2, e3} et V= {v1, v2} de R3 etR2.

2. Soit f1 = e1 + e2, f2 = e1 e2, f3 = e3, w1 = v1 v2 et w2 = 2v1 + v2. Verifier que F= {f1, f2, f3} et W= {w1, w2} sont des bases respectivement de R3

et R2.

Ecrire les matrices de passage PEF, PFE, PVW et PWV. Donner la matrice de T dans les nouvelles bases F= {f1, f2, f3} et W= {w1, w2}.

Exercice 182 Soit L : R3 R3 lapplication lineaire definie par L(x,y,z) = (x+2y +2z , 2x+y 2z , 2x 2y + z).

1. Ecrire la matrice associee a L dans la base canonique B1 = (e1, e2, e3).2. Soit B2 = (e1 + e2 , e1 e2 + 2e3 , e1 e2 e3) : montrer que B2 est une base de R3, et

trouver les matrices de passage PB1,B2 et PB2,B1 .

3. Quelle est la matrice de L dans la base B2 ?

Exercice 183 Soit E = R3[X] lespace vectoriel des polynomes a coefficients reels de degre 3. Soient B1 = (1, X , X 2, X3) et B2 = (1 , X 1 , (X 1)2 , (X 1)3) deux bases de E.Ecrire la matrice de passage de B1 a B2, ainsi que la matrice de passage de B2 a B1.

Exercice 184 Soit a, b et c trois reels. On considere lapplication lineaire f de R3 dans R3, dematrice dans la base canonique B = (e1, e2, e3) de R3 :

A =

a b cb c ac a b

.

1. Soit B = (e1 + e2 + e3 , e2 , e3) : trouver la matrice de passage de B a B.

2. Soit u =

11

4

(coordonnees dans B) : quelles sont les composantes de u dans la base

B ?3. Quelle est la matrice de f dans la base B ?

Exercice 185 Soit D =

1 0

. . .

0 n

matrice diagonale n n, avec i R. A quelle

condition D est-elle inversible ? Calculer alors D1.

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Exercice 186 Inverser, lorsque cest possible, les matrices suivantes :

A =

3 1 21 0 3

4 0 2

, B = 5 4

6 5

, C =

ch t sh tsh t ch t

et D =

1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1

.

Exercice 187 Soit A = 1 2 00 1 3

0 0 1

.1. Calculer (A I)n pour tout n 1.2. En deduire An pour tout n 1.

3. Montrer que A est inversible et calculer A1.

Exercice 188 Soit A une matrice carree inversible. Montrer que tA est inversible, et exprimerson inverse en fonction de celui de A.

Exercice 189 Pour tout reel t, on considere la matrice carree dordre quatre suivante :

R(t) =

et 2tet (t2 4t)et 2 + 2(t 1)et0 et tet et 10 0 et 00 0 0 1

.

1. Montrer que pour tout reel t et tout reel s, on a R(t)R(s) = R(t + s).

2. Soit t un reel. Montrer que la matrice R(t) est inversible, et calculer son inverse.

Exercice 190 Soit A =

0 1 11 0 1

1 1 0

.

1. Trouver deux reels et tels que A2 = I3 + A.

2. En deduire que A est inversible et donner son inverse.

Exercice 191 Soit A une matrice carree verifiant la relation 2A5 A4 + 7A2 3A + I = 0, ouI est la matrice identite de meme taille que A. Montrer que A est inversible, et exprimer A1

en fonction de A (et de ses puissances).

Exercice 192 Soient A, B Mn(K) telles que AB = A + B. Montrer que A et B commutent.[Indication : Calculer (I A)(I B)]

Exercice 193 Soit lendomorphisme deR4

determine relativement a la base canonique parla matrice

A =

2 0 1 17 3 1 54 6 11 1

4 6 7 5

.

Determiner le noyau de .

Exercice 194 Montrer que la matrice M =

1 3 1 42 5 1 30 4 3 1

3 1 5 2

est reguliere, et calculer

son inverse.

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22 Matrices : resolution de systemes

Exercice 195 Discuter selon m R la possibilite du systeme dinconnues (x,y,z) R3

mx + 2my + 2mz = 12x + (2 m)y + 2z = 02x + 2y + (2 + m)z = 0

et le resoudre effectivement en cas de possibilite.

Exercice 196 1. Resoudre le systeme :

x + 3y z = 1x y + 2z = 2

2x 4y + 2z = 1x + y 3z = 1

a linconnue (x,y,z) R3.2. Discuter, selon (a, b)

R2 la possibilite du nouveau systeme deduit du precedent en

conservant les premiers membres et en remplacant les seconds :1

21

1par

1a1b

et le resoudre effectivement dans le cas de possibilite.

Exercice 197 1. Resoudre le systeme :

x + 2y + 3z + 4t = 0

2x + 3y + 4z + 5t = 03x + 4y + 5z + 6t = 04x + 5y + 6z + 7t = 0

dinconnues (x , y, z, t) R4.2. Discuter la possibilite de resolution (et resoudre si possible) du systeme deduit du precedent

en remplacant le membre de droite :

000

0

par

XYZ

T

puis par

1a

a2

a3

ou (X , Y , Z, T) R4 et a Q.Exercice 198 Discuter, selon (a, b) R2 le rang puis discuter selon (a,b,X,Y,Z,T) R6 lapossibilite du systeme :

2x 4y + z + at = X2x + 7y 3t = Y

x 5y + 4z + 3t = Zx + 3y + z + bt = T

a linconnue (x , y, z, t) R4

et le resoudre effectivement dans le cas ou le systeme est possiblemais nest pas un systeme de Cramer.

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23 Determinant et inversion de matrices

Exercice 199 Calculez le determinant des matrices suivantes :

A =

1 2 33 1 5

8 3 6

, B =

0 1 11 0 11 1 0

, C =

2 1 11 2 11 1 2

,

D =

0 1 11 2 3

1 1 2

, E =

0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0

, F =

1 1 12 0 23 2 74 5 6

.

Avez-vous une remarque a faire ? Precisez les matrices qui sont inversibles.

Exercice 200 Inversez, lorsque cest possible, les matrices suivantes :

A = 1 22 1 , B = 1 1 32 16 10 0 4

, C = 3 4 1

1 2 01 1 3 , D =

2 1 51 1 40 3 3

.Exercice 201 Pour chaque affirmation suivante, dites si elle est vraie ou fausse. Dans le casou elle est fausse, donnez un contre-exemple et essayez de la corriger si possible.

1. (A, B) Mn(R)2, det(A + B) = det(A) + det(B) ;2. (A, B) Mn(R)2, det(AB) = det(BA) ;3. (A, B) Mn(R)2, det(AB) = det(A) det(B) ;4. A Mn(R), det( tA) = det(A) ;

5. A Mn(R), R, det(A) = .det(A) ;6. A Mn(R), P Mn(R) inversible, det(P1AP) = det(A).

Recommencez lexercice en remplacant le determinant par la trace.

Exercice 202 Soit n N un entier impair, et A Mn(R) une matrice antisymetrique.Montrez que A nest pas inversible. Est-ce encore vrai pour n pair?

Exercice 203 Soit P Mn(R) telle que tPP = In. Quelles valeurs peut prendre det(P) ?

Exercice 204 Montrez que les determinants ci-dessous sont nuls :1 1 1a b c

b + c c + a a + b

,

1 cos(x) cos(2x)cos(x) cos(2x) cos(3x)

cos(2x) cos(3x) cos(4x)

.Exercice 205 Deux matrices A et B sont telles que :

AB =

5 11

11 25

et BA =

x 14

14 y

.

En utilisant trace et determinant, trouvez x et y.

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Exercice 206 Calculez les determinants suivants :

D1 =

a b c da b c da b c da b c d

; D2 =

a b c 2a 2a2b b c a 2b2c 2c c a b

; D3 =

a x x bx a b xx b a xb x x a

.

Exercice 207 Calculez le determinant suivant dordre n + 1.

an an1 an2 a1 a01 x 0 00 1 x 0 ...... 0 1 . . . . . . ......

.... . .

. . . 00 0 0 1 x

Exercice 208 Soient (xi)i=1,...,n et (yj)j=1,...,n des scalaires. Calculez le determinant n de lamatrice de terme general 1 + xiyj.

Exercice 209 Developpez le determinant

D =

1 a b ab1 a b ab1 a b ab

1 a b ab

.Vous trouverez D = (a a)2(b b)2.

Exercice 210 Soient (ai)i=1,...,n des scalaires et Dn le determinant suivant :

Dn =

1 1

a1 an...

...an11 an1n

.

1. Montrez que pour tout polynome P de la forme P(X) = Xn1+n1Xn2+ +1X+0,on a

Dn =

1

1

a1 an...

...an21 an2n

P(a1) P(an)

.

2. En deduire, en choisissant P comme il faut, que Dn =n1i=1

(an ai) Dn1.3. En deduire (par recurrence) Dn.

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Cinquieme partie


24 Integrales impropres

Exercice 211 Calculer les integrales ou primitives suivantes :

I =

10

x + 1

exdx ; J =

32

ln(x21)dx ; K =

2x 1x2 + x + 1

dx ; L =

ln(x)dx ; M =

dx

sin x.

Exercice 212 Soient I, J deux intervalles de R, , : I J deux fonctions derivables, etf : J R continue. On pose

F(x) =

(x)(x)

f(t)dt .

Montrer que F est derivable, et calculer sa derivee.

Exercice 213 Soient f, g : [a, b] R continues. Montrer linegalite de Cauchy-Schwartz :b

a

f(x)g(x)dx

b

a

f2(x)dx

ba

g2(x)dx .

Traiter le cas degalite.

Exercice 214 Soit f : [a, b] C continue. Montrer linegalite suivante :

b

a

f(x)dx b

a |f(x)

|dx .

Traiter le cas degalite.

Exercice 215 A laide de changements de variables, calculer les integrales suivantes :

1. I1 =

51

2x 1 dx ;

2. I2 =

30

dx25 3x ;

3. I3 = 2

1

dx

x(1 + ln x) ;

4. I4 =

40

dx

1 +

x;

5. I5 =

10

x2

1 + x3 dx ;

6. I6 =

ln 8ln 3

ex + 1 dx.

Exercice 216 Etudier la convergence des integrales suivantes :

1. 11

dxx2

;

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2.

10

ln(1 + x)

xdx ;

3.

10

x ln x dx ;

4. 1

0

ln x

1 + xdx ;

5.

10

dx1 x4 ;

6.

10

dx

x3 5x2 .

Exercice 217 Calculer

3/20

dx

(2 + cos x)2. (On prendra garde a etre rigoureux dans les calculs)

Exercice 218 Les integrales suivantes sont-elles convergentes ? Si oui, les calculer.

1.+

1

dxx

4x2 + x;

2.

+0

x2 dxx5 + 1

;

3.

+e

dx

x ln x;

4.

+e

dx

x(ln x)2;

5. +

1

ln x

x dx ( R) ;6.

+0

1 + x

1 + x2dx.

Exercice 219 Etudier la convergence des integrales suivantes

1.

+0

ex2

dx ;

2.

+0

x

ex 1 dx ;

3. +

dx(1 + ex)(1 + ex)

;

4.

+0

x1ex dx ( R).

Exercice 220 Soit f : R R une fonction continue periodique telle que +0

f(t)dt converge.Montrer que f est constante.

Exercice 221 Soit f : R R une fonction continue telle que limx+

f(x) = l et limx

f(x) = l.

1. Determiner limB+

B+1B

f(x)dx et limA

A+1A

f(x)dx.

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2. Montrer que les integrales

+0

f(x + 1) f(x)

dx et

0

f(x + 1) f(x)

dx sont

convergentes.

3. Montrer que

+

f(x + 1) f(x)

dx = l l.

Exercice 222 Soit f : R+ R uniformement continue sur R+ telle que +0

f(x)dx converge.

Montrer que limx+

f(x) = 0.

Exercice 223 Soit f : R+ R de classe C1 telle que :1.+

0f(x)dx converge

2. x x+1x

f2(t) dt soit bornee sur R+.

Determiner limx+

f(x).

Exercice 224 (Integrales de Bertrand) 1. Montrer que+

2

dtt(ln t)

converge ssi >

1 ou ( = 1 et > 1).

2. Montrer que

1/20

dt

t(ln t)converge ssi < 1 ou ( = 1 et > 1).

Exercice 225 Convergence et calcul (le cas echeant) de

/20

ln(sin x)dx.

25 Integrales et equivalentsExercice 226 On pose, pour n 1 : In =

+1

exn

dx.

1. Poser le changement de variable u = xn.

2. Soit A 1. Montrer que

A1

eu

uu1/ndu

n+

A1

eu

udu.

3. En deduire un equivalent de In.

Exercice 227 Posons, pour > 0, f() = +

1

et

tdt.

1. Trouver h :]0; +[ R telle que h(u) u+

euu

.

2. Donner un equivalent de f() quand +.

Exercice 228 Soit une application f : R+ R continue, decroissante, telle que+

0f(x)dx

converge. Montrer que

h +n=1

f(nh) h0+

+0

f(x)dx .

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Exercice 229 1. Discuter la convergence des trois integrales

+0

sin(x2)dx,

+0

sin2(x)dx

et

+0

eix2

dx.

2. Donner un equivalent den

k=11k

quand n +.

3. Donner un equivalent de In =

n

| sin u|u

du.

4. Donner un equivalent de

x0

| sin(t2)|dt quand x +.

Exercice 230 Soit une application f :]0; +[ R continue. On suppose que limx0

f(x) = a et

limx+

f(x) = b. Montrer que pour , > 0, lintegrale

J(, ) = +

0

f(t) f(t)t

dt

est convergente, et exprimer sa valeur en fonction de , , a et b.

26 Normes, continuite des fonctions de plusieurs variables

Exercice 231 Determiner toutes les normes sur R.

Exercice 232 Soit E = C1([0; 1],R). On definit, pour f E :

fC

1 =|f(0)

|+ sup

t[0;1] |f(t)

|.

Montrer que C1 est une norme sur E.

Exercice 233 Soit E = C0([0; 1],R). On definit, pour f E :

f1 =1

0

|f(t)| dt , f = supt[0;1]

|f(t)| .

1. Montrer que 1 et sont des normes sur E.2. Montrer quelles ne sont pas equivalentes.

Exercice 234 Soit E = {f C1([0;1],R) | f(0) = 0}. Posons, pour f E :

N1(f) = supt[0;1]

|f(t) + f(t)| , N2(f) = f + f .

Montrer que N1 et N2 sont deux normes equivalentes sur E.

Exercice 235 Soit P R[X]. Montrer quil existe une norme sur R[X] telle que la suite(Xn)nN converge vers P.

Exercice 236 1. Donner des exemples dintervalles de R qui sont ouverts (resp. fermes)pour la topologie de R.

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2. Dites si les ensembles suivants sont ouverts ou fermes :

A = {1/n, n N} B = {z C | 1 < |z| < 2} C = {(x, sin(1/x)) | x R}D = C {0} [1;1] E = {(x, y) R2 | y Z} F = {(x, y) R2 | y2 |x|}

3. Soit I un intervalle ferme de R et f : I R une fonction continue. Montrer que

{(x, f(x)) , x

I

}est un ferme de R2.

4. Soit I un intervalle ouvert de R et f : I R une fonction continue. Lensemble{(x, f(x)) , x I} est-il un ouvert de R2 ?

Exercice 237 Soit A, B deux sous-ensembles non vides de Rn. On definit

A + B = {a + b ; (a, b) A B} .

1. Montrer que si A est ouvert ou B est ouvert, alors A + B est ouvert.

2. Montrer que si A et B sont bornes, alors A + B est borne.

3. Montrer que si A est compact et B est ferme, alors A + B est ferme.

Exercice 238 Soit K = R ou C, et la norme associee au produit scalaire (ou hermitien)canonique sur Kn. Pour A Mn(K), notons

As = supx=0 , xKn

Axx et A2 =

tr(AA) .

1. Montrer que s est bien definie et est une norme sur Mn(K).2. Montrer que 2 est une norme prehilbertienne sur Mn(K).3. Montrer que

A

B

s

A

s

B

s pour tous (A, B)

Mn(K).

4. Montrer que As = supx=y=1

|x,Ay|.

5. Montrer que (A) = supx=1

|x,Ax| est une norme sur Mn(C). Quen est-il sur Mn(R) ?

Exercice 239 Soit E = Mn(K) lespace vectoriel (sur K = R ou C) des matrices carreesdordre n a coefficients dans K. Pour toute matrice A E, on definit : N(A) = max

1in

nj=1

|aij|

.

1. Montrer que N est une norme sur E.

2. Montrer que N verifie la propriete : N(A

B) N(A)N(B),

(A, B)

E2.

3. En deduire que A E, k N, N(Ak) N(A)k.

Exercice 240 Soit N une norme sur Rn et N une norme sur Rp. Une application f : Rn Rpest dite lipschitzienne sil existe k R+ tel que

(x, y) Rn Rn , N(f(y) f(x)) kN(y x) .

1. Montrer que si f : Rn Rp est lipschitzienne, alors f est continue sur Rn.2. Montrer que cette definition est independante du choix des normes N et N.

(On admettra dans cet exercice, si on ne la pas encore vu, lequivalence de toutes les normes en dimension

finie.)

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Exercice 241 Soit E un espace vectoriel norme, et K un compact de E.

1. Soit F est espace vectoriel norme et f : E F une application continue. Montrer quef(K) est compact.

2. Soit f : E R une application continue. Montrer que f est bornee sur K et atteint sesbornes.

Exercice 242 Soit E un espace vectoriel norme de dimension finie, A une partie fermee de E,et x E. On pose d(x, A) = inf{x a , a A}.

1. Montrer que d(x, A) est atteinte : a A tel que d(x, A) = x a.2. Montrer que x d(x, A) est lipschitzienne. En deduire quelle est continue.

Exercice 243 Soit (E, ) un espace vectoriel norme, et A une partie compacte (non vide) deE. Soit f : A A telle que f(x) f(y) < x y (x, y) A2, x = y. Montrer que f a ununique point fixe dans A.Indication : montrer que x A x f(x) admet un minimum surA.

Exercice 244 1. Soient E, F deux espaces vectoriels normes, f , g : E F deux applica-tions continues. Montrer que {x | f(x) = g(x)} est un ferme de E.2. Soit E un espace vectoriel norme et soient f , g : E R continues. Montrer que {x

| f(x) g(x)} est un ferme de E et que {x | f(x) < g(x)} est un ouvert de E.Exercice 245 Soit f : R2 R definie par f(0, 0) = 1 et f(x, y) = (x2 + y2)x si (x, y) = (0, 0).Montrer que f est continue sur R2.

Exercice 246 Soit f : R2 \ {(0, 0)} R definie par f(x, y) = xyx2 + y2

. Pour R, on poseg(x) = f(x,x). Determiner lim

x0g(x). En deduire que f(x, y) na pas de limite en (0, 0).

Exercice 247 Montrer que lapplication f : R2 R definie par

f(0, 0) = 0 et f(x, y) =x2y2

x2 + y4si (x, y) = (0, 0)

est continue.

Exercice 248 Soit E = C0([0; 1],R), muni des normes N1(f) =1

0|f(t)|dt et N(f) =

supt[0;1] |f(t)|. Soit u : E E definie par u(f)(x) =x

0tf(t)dt.

1. Montrer que u L(E).

2. Montrer que u : (E, N) (E, N1) est continue. Determiner la norme de u associee aN et N1.Exercice 249 Soit E = {f C1([0; 1],R) | f(1) = 0}, et f = supt[0;1] |f(t)|. Definissonsu : E R par u(f) = 1

0f(t)dt.

1. Montrer que est une norme sur E.2. Montrer que u : (E, ) R est une forme lineaire continue. Preciser sa norme.3. Determiner les elements de f verifiant : |u(f)| = f/2.

Exercice 250 On munit C[X] de la norme n

i=0 ai Xi = max0in |ai|. Soit x0 C. Lapplicationx0 : C[X] C definie par x0(P) = P(x0) est-elle continue ?

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27 Derivabilite des fonctions de plusieurs variables, deriveespartielles

Exercice 251 1. Soit g : R R une fonction derivable. Montrer que f : R2 R definiepar f(x, y) =

g(xy)

1 + y2admet des derivees partielles a lordre 1. Les calculer en fonction de

g et g.

2. Soit une fonction continue. Montrer que f : R2 R definie par f(x, y) =x+y

xy(t)dt

admet des derivees partielles a lordre 1 ; les calculer en fonction de .

Exercice 252 Soit g : R2 R definie par g(u, v) = 0 si uv = 0 et g(u, v) = 1 si uv = 0.1. Montrer que g admet des derivees partielles premieres en (0, 0) et nest pas continue en

(0, 0).

2. Montrer que la fonction h : R2 R definie par h(x, y) = g(x2 + y2, x2 + y2) nadmet pasde derivees partielles en (0, 0).

Exercice 253 Soit f : R2 R definie par

f(x, y) =x|y|

x2 + y2si (x, y) = (0, 0) , f(0, 0) = 0 .

Montrer que f est continue sur R2. En quels points f admet-elle une derivee partielle parrapport a x ? Meme question pour f/y.

Exercice 254 On considere les fonctions f et g definies pour x R par

f(x) =x

0

et2

dt2

; g(x) =1

0

ex2(1+t2)

1 + t2dt .

1. Montrer que f et g sont de classe C1 sur R. Donner les expressions de f(x) et g(x).2. Montrer que lon a, pour tout x R, f(x) +g(x) = 0 et determiner limx+ f(x) +g(x).

En deduire que +0

et2

dt =

2.

Exercice 255 Soit : R2

R continue.

1. Montrer quon peut definir une fonction f : R2 R par

f(x, y) =

x0

y0

(s, t)dt

ds .

2. Montrer que f admet des derivees partielles dordre 1 et les calculer.

3. Montrer que f/x admet une derivee partielle par rapport a la variable y, que f/yadmet une derivee partielle par rapport a la variable x, et que

y f

x =

xf

y = .

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Exercice 256 1. (a) Montrer que la fonction (t sin t/t) se prolonge sur R tout entieren une fonction continue g.

(b) Montrer que pour tout y 0, lintegrale

f(y) =

+0

eytg(t)dt =+

0

eytsin t

tdt

est convergente. On definit ainsi une fonction f : [0; +[ R.(c) Pour n N, on definit fn : [0; +[ R par

fn(y) =

n0

eytg(t)dt .

Montrer que fn est continue.

(d) Montrer a laidre dune integration par parties que

y [0;+[ , n N ,+

n

eytsin t

tdt

3

n.

En deduire que (fn) converge uniformement vers f sur lintervalle [0; +[, et que fest continue.

2. (a) Montrer que fn est de classe C1 sur [0; +[ et exprimer fn(y) a laide dune integrale.(b) Montrer que pour y > 0, lintegrale

F(y) =

+0

eyt sin tdt

est convergente. Montrer que pour tout a > 0, (fn) converge uniformement surlintervalle [a; +[ vers la fonction f ainsi definie. En deduire que f est derivableen tout point de ]0; +

[, et que f(y) = F(y) pour y > 0.

(c) Calculer F(y). En deduire quil existe une constante K telle que

y ]0;+[ , f(y) = K arctan y .(d) Montrer que limy+ f(y) = 0. En deduire la valeur de K.

(e) Deduire de ce qui precede la valeur de lintegrale+0

sin t

tdt .

Sixieme partieAlgebre (S4 sm 2003-2004)

28 Formes lineaires, dualite

Exercice 257 Parmi les applications suivantes, indiquer lesquelles sont lineaires. Lorsquellessont lineaires, determiner leur noyau.

f1 : R R , x x f5 : R2 R2 , (x, y) (x2y , x y)f2 : R R , x 2x 2 f6 : R2 R3 , (x, y) (x y , x , x + 2y)f3 : R R , x x f7 : R

3

R2

, (x,y,z) (x + y + z , x + 1 , x + z)f4 : R R , x |x| f8 : R2 R , (x, y) x y

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Exercice 258 Soit F = {(x,y,z) R3 | x + y + z = 0}, G = {(x,y,z) R3 | x = y = z}.1. Determiner les dimensions de F et G.

2. Montrer que R3 = F G.

Exercice 259 Soit S= {A Mn(R) | tA = A} et A = {A Mn(R) | tA = A}. Montrerque

S A= Mn(R).

Exercice 260 1. Montrer que tr : Mn(R) R est une forme lineaire.2. Donner un supplementaire de Ker(tr).

Exercice 261 Soit (e1, e2, e3) la base canonique de R3 et f : R3 R lunique applicationlineaire telle que f(e1) = 2, f(e2) = 0 et f(e3) = 1. Trouver une base et une equation deKer(f).

Exercice 262 Soit F le sous-espace vectoriel de R3 engendre par les vecteurs u1 = (0;1;2) etu2 = (1;2;3).

1. Quelle est la dimension de F?2. Donner une equation de F.

Exercice 263 Soit f : R2 R3 definie par f(x, y) = (x + 2y, 2x y, y x).1. f est-elle lineaire ?

2. Determiner une base de Im(f). Quel est le rang de f?

3. Determiner une equation de Im(f).

Exercice 264 Determiner de deux manieres (elementairement, et en utilisant la formule ma-tricielle du cours) la base duale de chacune des bases ci-dessous :

1. (u1, u2, u3) base de R3, ou u1 = (1;0;0), u2 = (2; 1;0) et u3 = (3;2;1).2. (f1, f2) base de (R2), ou f1(x, y) = x + 2y et f2(x, y) = 2x + 5y.

Exercice 265 Trouver la base duale de chacune des bases suivantes :

1. (u1, u2) base de E, ou E = R2, u1 = (2; 1) et u2 = (1; 1).

2. (f1, f2) base de E, ou E = R2, f1(x, y) = 5x 6y et f2(x, y) = 4x + 5y.

3. (u1, u2, u3) base de E, ou E = R3, u1 = e1, u2 = 2e1 + e2 et u3 = 3e2 + e3 ((e1, e2, e3)designant la base canonique de R3).

4. (f1, f2, f3) base de E, ou E = R3 et f1, f2, f3 sont les uniques formes lineaires verifiant :

f1(e1) = 1 , f1(e2) = 1 , f1(e3) = 1 , f2(e1) = 4 , f2(e2) = 5 , f2(e3) = 6 ,f3(e1) = 3 , f3(e2) = 3 , f3(e3) = 4 .

((e1, e2, e3) designant la base canonique de R3).

5. (u1, u2, u3, u4) base de E, ou E = R4, u1 = (1;1; 1;1), u2 = (1; 1;1; 1), u3 = (1; 1;1; 1)et u4 = (1; 1; 1;1).

Exercice 266 Rappelons que R2[X] designe lespace vectoriel (reel) des polynomes de degreinferieur ou egal a 2. Considerons P0(X) = (X 1)(X 2), P1(X) = X(X 2) et P2(X) =

X(X 1). Montrer que (P0, P1, P2) est une base deR

2[X].(Indication : Trouver une famille de formes lineaires (f0, f1, f2) surR2[X] telles que fi(Pj ) = i,j)

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Exercice 267 Soit H = {(x,y,z) R3 | x + y z = 0}, u1 = (2;1;0), u2 = (1;0;2) etu3 = (0; 0; 1). Donner une equation de H dans la base (u1, u2, u3).

Exercice 268 Soit E un espace vectoriel de dimension finie, et p L(E) tel que p2 = p.1. Montrer que E = Im(p) Ker(p).2. Montrer quil existe une base

Bde E dans laquelle p admette pour matrice la matrice par

blocs Ir 0

0 0

, ou r = rg(p).

3. En deduire que tr(p) = rg(p).

29 Formes quadratiques, espaces euclidiens

Exercice 269 Soit E un R-espace vectoriel de dimension 5, B une base de E et (x1, . . . , x5) lescoordonnees dun vecteur dans cette base. Soit Q la forme quadratique definie en coordonneespar

Q(x) = 2x21 + 2x22 + 2x23 + 4x1x2 + 5x2x3 x2x4 + 4x1x3 x2x5 + x3x4 + 2x3x5 x4x5 .1. Determiner MB(Q).

2. Determiner le rang et la signature de Q. Q est-elle degeneree ?

3. Donner une base Q-orthogonale.

Exercice 270 Determiner le rang et la signature des formes quadratiques suivantes :

1. E = R3, Q(x) = 2x2 + 2y2 z2 + zx + zy .2. E = R2, Q(x) = x2 + 3xy + y2.

3. E = R3

, Q(x) = (x2 x1)2

+ (x3 x1)2

+ (x3 x2)2

.4. E = R3, Q(x) = x2 + y2 + z2 4(yz + zx + xy).5. E = R4, Q(x) = x2 + y2 3t2 + 5xy 3xt + 2yt 7zt.

Exercice 271 Soit M =

1 0 20 3 0

0 0 2

M3(R) et X =

xy

z

R3. On considere la forme

quadratique Q(X) = tXMX.

1. Determiner la matrice de Q dans la base canonique de R3.

2. Decomposer Q en somme de carres et en deduire quelle est definie positive.

Exercice 272 (Le determinant vu comme forme quadratique) 1. Montrer que det :M2(R) R est une forme quadratique.

2. Donner sa matrice dans la base canonique de M2(R).

3. Determiner le rang et la signature de det.

4. Determiner la forme polaire associee au determinant.

Exercice 273 Soit E un R-espace vectoriel de dimension n, B une base de E et Q une formequadratique sur E.

On note A = MB(Q), et pour x E, on note X = MB(x).Montrer que x Ker(Q) X Ker(A).

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Exercice 274 Decomposer en carres :

1. Q(x , y, z, t) = xy + yz + zt + tx

2. Q(x , y, z, t) = yz + xz + xy + (x + y + z)t + t2

3. Q(x,y,z) = 11x2 + 10y2 + 6z2 8yz + 4xz 12xy4. Q(x , y, z, t) = 9x2 6y2 8z2 + 6xy + 18xt + 8yz + 12yt 4zt5. Q(x,y,z) = x2 + y2 + z2 + 2yz cos + 2xz cos + 2xy cos

Exercice 275 Soit E = R2[X] lespace vectoriel des polynomes reels de degre inferieur ou egala 2. On definit

Q :ER, aX2 + bX+ c = b2 4ac .1. Montrer que Q est une forme quadratique.

2. Exprimer sa forme polaire en coordonnees dans la base canonique Bc.3. Determiner MBc(Q). Verifier que Q est non degeneree.

4. Appliquer lalgorithme de Gauss a Q et determiner sa signature.

Exercice 276 Soit A GLn(R). Montrer que toute forme quadratique representee par tA Aest definie positive.

Exercice 277 Soit Q une forme quadratique positive sur E (espace vectoriel de dimensionfinie), et sa forme polaire.

1. Demontrer linegalite de Cauchy-Schwartz : |(x, y)|

Q(x)

Q(y)(Indication : developper (x + ty,x + ty), t R).

2. En deduire que si Q(x) = 0, alors x Ker(Q).3. Traiter le cas degalite dans linegalite de Cauchy-Schwartz (question 1).

Exercice 278 Rang et signature de Q(x) =

1i,jn

i,jxixj,

ou i,j =b

afi(t)fj (t)dt et (fi)1in est une famille libre de C0([a, b],R).

Exercice 279 1. Montrer que (A, B) tr( tA B) definit un produit scalaire sur Mn(R).2. Montrer que (f, g) 1

0f(t)g(t)dt definit un produit scalaire sur C0([0, 1],R).

Exercice 280 Soit (E, , ) un espace euclidien, et la norme associee. Soient (x, y) E2.Montrer que

x + y

=

x

+

y

x = 0 ou

R+ tq y = x.

Exercice 281 Soit (E, , ) un espace euclidien, et la norme associee.1. Demontrer lidentite du parallelogramme : si (x, y) E2,

x + y2 + x y2 = 2(x2 + y2) .

2. Demontrer legalite de la mediane : si (x,a,b) E3,

x a + b2

=x a2 + x b2

2 1

4a b2 .

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30 Continuite des fonctions de plusieurs variables

Exercice 282 Dites si les ensembles suivants sont ouverts, fermes, bornes, compacts :A = R2 \ {(0, 0)}, B = {(x, y) R2 | x Z ou y Z}, C = { 1

n, n N} {0}.

Exercice 283 Soit D = {(x, y) R2 | x = 0 ou y = 0 ou |y| = x2}. On definit f : R2 Rpar f(x, y) = 1 si (x, y)

D et f(x, y) = 0 si (x, y) /

D.

1. Faire un dessin et representer D.

2. Dites en quels points de R2 la fonction f est continue.

Exercice 284 Soit f : R2 \ {(0, 0)} R definie par f(x, y) = xyx2 + y2

. Pour R, on poseg(x) = f(x,x). Determiner lim

x0g(x). En deduire que f(x, y) na pas de limite en (0, 0).

Exercice 285 Etudier la continuite des applications suivantes :

f1 :R2

R

, (x, y) = (0, 0)xyx2 + y2 , f1(0, 0) = 0 ; f2 :R2R, (x, y) = (0, 0)

xy3

x2 + y2 f2(

f3 :R2R, (x, y) = (0, 0) x

2y2

x4 + y2f3(0, 0) = 0 ; f4 :R

2R, (x, y) = (0, 0) xyx2 + 2y2 2xy f

Exercice 286 Soit la fonction f : R2 R definie par

f(0, 0) = 0 et f(x, y) =xn yn

x4 + 3y4 3x2y2 si (x, y) = (0, 0) .

Etudier la continuite de f suivant les valeurs de n

N.

Exercice 287 On considere la fonction g : R R R definie par g(x, y) = x arctan(y/x).Montrer que g admet un prolongement continu sur R2.

Exercice 288 1. Montrer que la fonction : R R definie par (t) = et 1

tsi t = 0 et

(0) = 1 est continue sur R.

2. En deduire que la fonction f : R R R definie par f(x, y) = exy 1

xse prolonge en

une fonction continue sur R2.

31 Derivees partielles, differentielle, extremums

Exercice 289 1. Calculer la derivee de la fonction f(x, y) = ex2+y2 au point (1, 0) suivant

le vecteur (1, 1).

2. Calculer la derivee de la fonction f(x,y,z) = x2 3yz + 5 au point (1, 2, 1) suivant levecteur (1, 1, 1).

3. Calculer la derivee de la fonction f(x,y,z) = xy + yz + zx au point (1, 2, 3) suivant levecteur (3, 4, 12).

Exercice 290 1. Montrer que Rp R, (x1, . . . , xp) x1 est differentiable sur Rp.

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2. Montrer que Rp R, (x1, . . . , xp) ex1 est differentiable sur Rp.On calculera dans chaque cas la differentielle de lapplication.

Exercice 291 Soit f : R2 R definie par f(x, y) = x2 yex.1. Justifier que f est differentiable sur R2.

2. Calculer les derivees partielles de f, sa differentielle et sa matrice jacobienne.

Exercice 292 Calculer df(1, 1) si f(x, y) = x/y2.

Exercice 293 Soit f : R R derivable. Calculer les derivees partielles de :g(x, y) = f(x + y) ; h(x, y) = f(x2 + y2) ; k(x, y) = f(xy) .

Exercice 294 Soit f : R R derivable en a R. Montrer que f est differentiable en a, etexprimer la differentielle df(a) a laide de la derivee f(a).

Exercice 295 Soient f : Rn R et g : Rn R deux fonctions differentiables. En utilisantdes proprietes de la differentielle, montrer que (f g) = f g + g f.Exercice 296 Soit f : R2 R une fonction C2. On pose g(x, y) = f(x2 y2, 2xy). Calculer(g) en fonction de (f).

Exercice 297 Soit f : R2 R differentiable sur R2 et R. On dit que f est homogene dedegre si (x, y) R2 , r > 0 , f(rx,ry) = rf(x, y) . Montrer que

xf

x(x, y) + y

f

y(x, y) = f(x, y) .

Exercice 298 Soit f : R3 R2 de classe C1, et g : R2 R2 definie par g(u, v) = (cos u +sin v, sin u + cos v, euv).

1. Montrer que g est de classe C1.2. Supposons que Jac(f)(1, 1, 1) =

1 3 42 1 3

. Determiner dg au point (/2, /2).

Exercice 299 1. Soit f : R2 R3 definie par f(x, y) = (cos x+sin y, sin x+cos y, 2sin x cos y).Calculer Jac(f)(x, y).

2. Soit g : R3 R, g(u,v,w) = u2 + v2 + w. Calculer Jac(g)(u,v,w).

3. Calculer Jac(g f)(x, y) de 2 manieres : en explicitant g f et a laide dun produit dematrices.

Exercice 300 Soit f : R2 R2, (r, ) (r cos , r sin ) et g : R2 R, (x, y) x2 + y2 + xy.1. Exprimer gf

ret gf

a laide de g

xet g

y, r et .

2. Calculer explicitement gfr

et gf

.

3. Retrouver le resultat a laide des matrices jacobiennes.

Exercice 301 Soit f(x, y) = (x2 + y2)x pour (x, y) = (0, 0) et f(0, 0) = 1. Montrer que fest continue sur R2. Calculez les derivees partielles et la differentielle de f, aux points ou elles

existent.

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Exercice 302 Soit f : R2 R definie par f(0, 0) = 0 et f(x, y) = x4+y3x2+y2

. f est-elle differentiable

en (0, 0) ? (On pourra calculer la derivee de f suivant un vecteur (, ))

Exercice 303 On definit la fonction f : R2 R par f(x, y) = x3y3x2+y2

si (x, y) = (0, 0) etf(0, 0) = 0. Montrer que f

x(x, y) et f

y(x, y) existent en tout point de R2 et que f est continue

mais pas differentiable en (0, 0).

Exercice 304 Soit f : R2 R definie par f(x, y) = x2y+xy2x2+y2

si (x, y) = (0, 0) et f(0, 0) = 0.Montrer que f est continue en (0, 0) et admet des derivees partielles dans toutes les directions,mais ny est pas differentiable.

Exercice 305 Soit la fonction f : R2 R definie par

biblioth`que d’exercices e l1-l2

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