bocaditos electromagneticos … · this article is based on a talk given on occasion of the...

´BOCADITOS ELECTROMAGNETICOS

ELECTROMAGNETIC SNACKS

Juan G. Roederer*

Geophysical Institute, University of Alaska Fairbanks

Resumen

´

Este artıculo esta basado en una charla que di en oportunidad de la presentacion de mi libroElectromagnetismo Elemental1 durante la 101a Reunion de la Asociacion Fısica Argentina, enTucuman (octubre de 2016). Presenta una serie de preguntas significativas hechas por estudiantesinteresados en el porque de las cosas en fısica, durante el curso de muchas decadas de instrucciony seminarios sobre esta materia, y cuenta mis reflexiones y las contestaciones que recuerdo haberdado. Se trata de cuestiones basicas del electromagnetismo clasico, pero que no suelen estar en loslibros de texto —incluso los mıos—.

Palabras claves: Electromagnetismo, campos electromagneticos, potenciales, conservacion de lacarga electrica, ecuaciones de Maxwell, relacion causa-y-efecto.

Abstract

This article is based on a talk given on occasion of the presentation of my new textbook Elec-tromagnetismo Elemental during the 101st Annual Meeting of the Argentine Physical Associationin Tucuman (October 2016). It presents a series of poignant questions formulated by studentsinterested in the why of things in physics, during my many decades of teaching and seminars onthis subject, and it elaborates on the answers I remember having given to each. These questionsdeal with some very basic issues of classical electromagnetism which, however, are not usuallydiscussed in textbooks—including my own.

Keywords: Electromagnetism, electromagnetic fields, potentials, conservation of electric charge,Maxwell’s equations, cause-and-effect relationships.

1. Sandwich de campo electriconulo

Erase una vez un estudiante que vino al pi-zarron despues de mi clase, y dibujo dos pla-nos paralelos. Me comento: “Tengo dos planosinfinitos separados por una distancia d, mante-nidos en equilibrio por fuerzas exteriores, car-gados con densidad uniforme positiva +σ (verFig. 1). El campo electrico encima y debajo de

las placas es uniforme, suma lineal de los cam-pos producidos por cada una, o sea, en modulo,|E|arriba = |E|abajo = σ/ε0. Entre las dos pla-cas, las contribuciones de cada placa se cancelan,y el campo es nulo. Pero si recorto un pedacitocircular de la placa de arriba, esta saldra volandohacia arriba. ¿Como es posible, si el campo entrelas dos tapas de este ‘sandwich’ es cero absoluto?En terminos mas infantiles, ¿como ‘sabe’ la pla-ca cargada de arriba que hay una placa cargada

*Direccion permanente: 4875 Sioux Drive, Apt 102, Boulder, Colorado 80303, USA. URL:www2.gi.alaska.edu/∼Roederer

1Electromagnetismo Elemental, Eudeba (2015)

ANALES AFA Vol. 27 N.4 (134-143)

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Recibido: 23/11/16; aceptado: 26/12/16

abajo, si no hay nada entre ellas? Y en el mo-delo mecanicista de Maxwell, ¿de donde vienenlas tensiones ‘elasticas’ que tienden a separar lasdos placas, si no hay campo entre las dos?”

Figura 1 Sandwich de campo nulo entre dos pla-nos infinitos, portadores de la mismadensidad de carga σA = σB = σ.

Mi primer impulso fue decirle que el ejemploque me daba era una abstraccion doble: en larealidad fısica no hay planos cargados de espe-sor infinitesimal ni de extension infinita. Perolo pense mejor, y le propuse proceder en forma‘polıticamente correcta’. En fısica, eso significaseguir rigurosamente las normas impuestas porla sociedad (cientıfica), que aplicadas a este casoexigen determinar a que campo estarıa expuestauna carga puntual q en el punto O de la Fig.2. Ello requerira varios pasos: 1) Recortar untrozo de dimensiones muy pequenas (con res-pecto a la distancia d) de la distribucion σ; 2)colocar una carga de prueba (de tamano muypequeno con respecto al agujerito) en O; 3) me-dir la fuerza f sobre esa carga; 4) verificar que(i) el cociente f/q es independiente de q (condi-cion requerida por la misma definicion de campoelectrico), ası como (ii) que es independiente delradio R del agujerito (condicion requerida porcuanto el agujerito practicado es una perturba-cion del sistema que estamos midiendo). Si sehace todo eso, se encuentra experimentalmenteque E = f/q = σ/2ε0, o sea, efectivamente, igualal campo de la placa de abajo (valor que es solola mitad del campo uniforme en el semi-espaciosuperior del sistema entero).

Figura 2 Sandwich con agujero en la tapa.

Y si lo que afirmo sobre el resultado de este pro-ceso experimental no convence, hagamoslo todoen forma puramente teorica, en base a la Fig. 2.El campo resultante de ese sistema en el hemisfe-rio superior z > 0 es la suma del campo uniformeσ/2ε0 (dirigido hacia arriba) de la placa de aba-jo, mas el campo de la placa superior con unagujero. El campo de un plano cargado con unagujero circular es facil de calcular a lo largo deleje de simetrıa z. Usando la Ley de Coulomb,basta integrar las contribuciones de anillos deespesor dr, entre r = R y ∞, obteniendo:

Ez =σ

2ε0

z√R2 + z2

.

La representacion grafica esta dada en la Fig.3. El campo en O es cero; por lo tanto, enel sistema de dos placas paralelas cargadas,¡el campo total en el punto O sera igual alde la placa de abajo! Mas aun, se puededemostrar que Ez es cero en todo el planodel agujero (con integrales mas complicadasque revelan una singularidad geometrica en elborde). Las lıneas de campo del sistema comple-to estan esbozadas cualitativamente en la Fig. 4.

Figura 3 Campo a lo largo del eje de simetrıa, ylıneas de campo de un plano cargadocon agujero circular.

Figura 4 Esbozo del campo total de un sistemacon agujero en la tapa.

El estudiante quedo un poco intrigado con elrequerimiento arriba mencionado de que el co-ciente f/q sea independiente de q, lo que califico

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de pedanterıa. Le recorde que esta condicionno es trivial: por ejemplo, si quisieramos medirel campo electrico cerca de un conductor des-cargado usando una carga de prueba puntual q(Fig. 5), nunca obtendrıamos un valor cero —acausa del fenomeno de induccion electrostatica(recuerdese el metodo de las imagenes)—. Peroen ese caso se observa que el cociente f/q no esindependiente de q: ¡resulta proporcional a q! Esprecisamente por esta razon que en la definicionde campo se exige que valga ~E = lim(~f/q) paraq → 0. 2

Figura 5 Carga de prueba frente a un conductordescargado.

¿Y la cuestion de las tensiones tipo ‘elasticas’de Maxwell actuando sobre las dos placas car-gadas, separadas por vacıo y campo nulo? O lade ¿como sabe la placa de arriba de que hayuna abajo? Ahı sı insistı en que un sistema ex-tendido hasta el infinito en las direcciones x, yno existe en la practica, que habrıa que ver quepasa en sus lımites, y que en un sistema realde dimensiones finitas, son las lıneas de campodel semiespacio superior e inferior las que ‘tiran’de las cargas electricas +σ en que nacen. Con-vencido solo a medias, el estudiante murmuro:“¿Y si nos limitamos a la nocion de acciones adistancia, o sea, la vieja imagen filosofica de unobjecto dado influenciando a otro sin que ‘hayaalgo fısico’ entre los dos que transmita punto apunto la interaccion?” Esto me recordo lo que

Maxwell mismo escribio: “... mi teorıa debe sercontemplada como una mera pintura de la na-turaleza, una mera analogıa...”.3 Mas sobre estoen la seccion 4.

2. Corrientes finitas y corrientesgorditas

Una vez un alumno vino a mi oficina, me mostroun dibujo (Fig. 6) y dijo:“Tengo un conductor rectilıneo finito que llevauna corriente I constante entre los puntos A yB. Hay dos alternativas

Figura 6 Conductor rectilıneo finito.

para calcular el campo magnetico ~B en un pun-to P del plano mediano. La primera es usar laley de Biot-Savart e integrar la contribucion delelemento de corriente Iδ~ entre A y B:

~B(~r) =

∫ B

A

δ ~B(~r) =µ0I

4π

∫ B

A

δ~× ~r

r3.

Esto me lleva a la expresion para el modulo de~B (ver Fig. 6):

B(r) =µ0I

4πr2

∫ π/2

arctan (2r/L)

sin2 θdθ =µ0I

2πr

1√1 + 2r/L

. (1)

Para un conductor infinito (L � r), en efecto,obtengo el resultado bien conocido de la ley deBiot-Savart tradicional.La segunda alternativa es usar la propiedad inte-gral de Ampere y argumentos de simetrıa parael plano mediano (Fig. 7):∮

c

~B · d~r = µ0

∫S

~ · d~S .

2Irrealizable fısicamente, por cuanto la carga electrica mınima libre es (en valor absoluto) la del electron.3C. Cercignani, Vorlesungen zu Maxwells Theorie der Elektrizitat und des Lichts, Bd.II (Oxford University Press,

Oxford, 2010).


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Figura 7 Metodo de Gauss 1.

Pero con este segundo metodo tengo un proble-ma: como la superficie que se apoya en la cur-va cerrada de integracion puede ser cualquiera,¡usando la superficie S de la Fig. 7 me darıa elmismo resultado que para un conductor infinito(o sea 2πrB = µ0I), y para la superficie S’ de laFig. 8 me darıa 2πrB ≡ 0!”

Figura 8 Metodo de Gauss 2.

Ejem, ejem... tuve que pensar un poco y le dije:“Bueno, la expresion de Biot-Savart en forma dife-rencial expresa la esencia del magnetismo, repre-sentando la interaccion de cargas en movimiento.Una carga puntual q pasando por el origen convelocidad ~v (que por el momento supondremosmucho menor que c, la velocidad de la luz), gene-

ra un campo magnetico ~B(~r) = (µ0/4π)q~v×~r/r3en un punto ~r. Cuando hay muchas cargas pun-tuales en movimiento, eso lleva a la relacion deBiot-Savart que usaste en la integracion. Pun-to. Eso es todo, no hay otras condiciones; elconductor entre A y B podrıa tener cualquierforma, como un gusano ondulante, o como enun solenoide (excepto que la integral y el camporesultante serıan mas complicados). Por eso, elprimer metodo esta bien.

Por otra parte, la propiedad integral (Ampere)se puede deducir como una mera consecuenciade Biot-Savart, pero solo para corrientes cerra-das. Fue justamente Maxwell quien le dio validezgeneral para corrientes abiertas, postulando laexistencia de corrientes de desplazamiento (nom-bre puramente historico) en todo punto del espa-cio en que hay un campo electrico variable en eltiempo. Aplicando el principio de conservacionde la carga, se demuestra que estas corrientespostuladas (que no representan movimiento decargas) tienen la propiedad de cerrar cualquiercorriente ‘real’ abierta. Y en el ejemplo (Fig. 6)las hay, ¡porque no podemos ignorar ese omnipo-tente principio!”En efecto, en los puntos A y B inevita-blemente habra una descarga y acumula-cion de cargas electricas, respectivamente:−dqA/dt = +dqB/dt = I. O sea, en todo elvolumen circundante al conductor finito hayun campo electrico variable, o sea, una ‘gorda’distribucion de corrientes de desplazamiento~des = ε0∂ ~E/∂t, que cierran el segmento decorriente real abierta entre A y B (Fig. 9):

Figura 9 Acumulacion de cargas y las corrientesde desplazamiento.

Veamos como funciona esto para el caso encuestion. El campo electrico, en cada instantet, sera el de un dipolo de cargas puntualessi inicialmente |qA| = |qB | = q.4 En el plano

4Ojo: para mantener un sistema como el de la Fig. 9, hay que proporcionar una fuerza electromotriz (trabajode origen externo) que mantenga las cargas reales en el conductor lineal en movimiento con velocidad constante encontra del campo electrico dipolar (si las cargas en A y B en efecto son puntuales (deltas), ¡la potencia necesariadeberıa ser infinita!) La potencia ası proporcionada se convierte en energıa del campo electrico creciente. Otraposibilidad fısica del sistema de la Fig. 9 serıa el de dos esferitas inicialmente cargadas con +q y −q, respectivamente,que se descargan a I constante de A a B. En ese caso, el campo electrico se invierte, decrece en el tiempo, y en elconductor AB la f.e.m. debera proporcionar una fuerza de frenamiento, para mantener la velocidad de las cargasconstante.


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de simetrıa, ese campo sera paralelo a ABdirigido hacia la izquierda, de una intensidadE(r) = (2q/πε0L

2)[1 + (2r/L)2]−3/2. Para unaintensidad I que va de A a B, el flujo Ides de ladensidad de corriente de desplazamiento se ob-tiene integrando la expresion de ~des = ε0∂ ~E/∂tsobre la superficie S. El flujo total de corrientea traves de la superficie S en la Fig. 9 resulta(ojo con la regla del tirabuzon):

Itotal = I − Ides =I√

(1 + 2r/L).

Insertando en la relacion de Ampere, ¡obtene-mos el mismo resultado para B que usando Biot-Savart (ecuacion 1)!El estudiante se quedo pensativo y al cabo de unrato comento: “entonces, segun el metodo inte-gral de Ampere las corrientes de desplazamientocontribuyen en la creacion del campo ~B, perousando Biot-Savart, ¿no intervienen para nada?¿Que esta pasando?” Le dije: “depende de loque llamas ‘crear un campo’. Desde un punto devista causa-efecto, cargas electricas ‘crean’ ~E, ycorrientes de conveccion (o sea, cargas en mo-

vimiento) ‘crean’ ~B. Las corrientes de desplaza-

miento no ‘crean’ ~B; prefiero llamarlas corrientesvirtuales. En tu ejemplo del trozo de corrientefinita, no hay cargas en movimiento fuera de este.Pero el rotor del vector ~B en la expresion (1) ¡no

es cero! 5 Vale ~∇× ~B = µ0ε∂ ~E/∂t, segun una delas ecuaciones de Maxwell; ¡verificalo matemati-camente con la expresion (1)!”En resumen, cargas en movimiento crean el cam-po ~B, variaciones temporales de ~E le dan forma!¿Pero acaso no puede haber corrientes de des-plazamiento en ausencia de corrientes reales?El principio de conservacion de la carga no nospermite modificar in situ cargas electricas. Launica forma de crear un campo electrico variable(o sea corrientes de desplazamiento) es poner car-gas en movimiento (esto incluso vale en el casode la creacion local de pares de carga opuesta,como un electron y positron); o sea, corrientes~des necesariamente vienen acopladas a corrien-tes de conveccion—con una excepcion fundamen-tal: ¡las ondas electromagneticas! Pero aun enese caso, en algun momento anterior, en algunpunto del espacio debe haber habido corrientesreales. Mas de esto en la seccion 4.

3. O Sole Noide

En un dıa de sol brillante, despues de dar unaclase sobre transformadores, un estudiante mepresento el siguiente problema (Fig. 10):“Tengo un solenoide infinitamente largo, alimen-tado con una corriente I constante. Dentro delsolenoide el campo magnetico es uniforme y demodulo B = µ0nI (n = numero de espiras por

unidad de longitud). Afuera, el campo ~B es nulo,

pero el vector potencial ~A no lo es (ver Fig 10):

A(r) =µ0nIS

2πr. (2)

Figura 10 Campo y potencial vectorial en un so-lenoide infinito, a intensidad I cons-tante.

Ahora agrego una espira exterior concentrica condos bornes, e impongo un incremento lento de laintensidad, dI/dt = const. > 0 (Fig. 11). Fuera

del solenoide, el campo ~B seguira siendo nulo,pero el vector potencial variara linealmente enel tiempo. De acuerdo a la ley de Faraday, es-to hace aparecer un campo electrico inducido∂ ~A(r)/∂t en el espacio exterior:

Eind =µ0nS

2πr

dI

dt. (3)

Figura 11 Caso en que la intensidad aumenta.

5Notar que el rotor de ~E permanece cero siempre que la corriente I y por lo tanto ~B sean constantes.


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En el aro conductor habra una fuerza electromo-triz, de la cual puedo extraer energıa si conectouna carga (por ej. una resistencia) entre los bor-nes. Y todo esto vale, no importa como esa espiraeste colocada alrededor del solenoide. ¿De dondeviene esa energıa, si entre el solenoide y la espirano hay campo magnetico alguno? ¿Donde esta elvector de Poynting ~P = ( ~E× ~B)/µ0, que siemprenos muestran en el caso de una tıpica lınea detransmision?”Ejem, ejem. ¡Otro problema de campo nulo!Pense: solenoide infinito → campo magneticocero afuera. ¿Quizas habra que decirle que so-lenoides infinitos no existen en la practica? No

—debe haber gato encerrado en eso de la corrientevariable, sincronizada a lo largo del solenoide—.El electromagnetismo es relativista de nacimien-to, por lo tanto ¡hay que tener mucho cuidadocon eso de tener una corriente que varıa tempo-ralmente en unısono a lo largo de un solenoideinfinito!Veamos si el campo magnetico en el espacio ex-terior de una bobina infinitamente larga es real-mente cero. Consideremos la Fig. 12, y para sermas preciso, supongamos que el solenoide con-siste de espiras individuales (de densidad linealn), cada una controlada individualmente por unreloj sincronizado con todos los otros, contribu-yendo con un campito δ ~B en el punto P.Observando la figura se ve que las espiras cerca-nas contribuyen con vectorcitos dirigidos haciala izquierda, mientras que las mas lejanas contri-buyen con vectorcitos dirigidos hacia la derecha.Se puede demostrar (laboriosamente) que en unsolenoide infinito, las contribuciones de espirascercanas compensan exactamente las de las leja-nas, efectivamente dando un campo magneticototal nulo.

Figura 12 Contribucion de espiras individualesen el caso de corriente constante.

Pero cuando la intensidad en cada espira varıa,por ej., aumenta con el tiempo, la contribucion delas espiras lejanas viene atrasada: en un dado ins-tante t, en que una espira muy cercana contribu-ye con el campito correspondiente a la intensidadI(t), una espira lejana contribuye con un cam-pito de una corriente menor I(t − d/c) < I(t),donde d es la distancia a la espira lejana, y c es lavelocidad de propagacion de la informacion elec-tromagnetica (o sea, de la luz en el vacıo). El re-sultado es que no hay mas compensacion en P, yel campo resultante, por pequeno que sea, tendrauna direccion hacia la izquierda. Multiplicandovectorialmente ~Eind con ese campo resultante,se obtiene el vector de Poynting (apuntando delsolenoide para afuera, Fig. 13). En un solenoidede extension finita, como es en cualquier transfor-mador, el campo magnetico exterior no es nuloaun para I constante, y sera ese el que predomi-nara en el vector de Poynting cunado la intensi-dad I varıa.6

Figura 13 Caso de no-compensacion de contri-buciones distantes.

4. Pasando bocaditos de una ban-deja a otra

Durante los anos 50-60 fui participante en unabatalla multinacional para erradicar el uso delvector ~H de todos los libros de texto. Ahora,mas modestamente, estoy tratando de convencera docentes de electromagnetismo de presentar lasecuaciones basicas de Maxwell (en el vacıo) enotra forma, simplemente pasando ciertos termi-nos de un lado al otro. Eso no altera su signifi-cado matematico ni fısico, pero puede ayudar auna mejor comprension por parte del estudian-

6En realidad, el campo δ ~B que resulta de la no-compensacion de contribuciones en un solenoide infinito, esun campo ‘tipo onda electromagnetica’. Por ejemplo, el vector de Poynting correspondiente no se invierte (sigueapuntando hacia afuera) cuando la intensidad decrece (dI/dt < 0), porque ambos campos, el electrico y el magneticose invierten. Dejo al lector investigar si todo esto tiene alguna relacion con el ‘efecto Aharonov-Bohm’ en mecanicacuantica.

7Por supuesto que hay razones historicas por las cuales las ecuaciones de Maxwell se escriben en la forma tradi-cional, mas que nada, para resaltar el hecho matematico de que todo campo vectorial esta definido unıvocamente


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te.7 Yo prefiero reordenarlas para hacerlas apa-recer como ‘ecuaciones de evolucion’ (tal comolo son la ecuaciones de Hamilton-Jacobi y deSchrodinger), y anadiendo explıcitamente la to-dopoderosa ecuacion de la conservacion de lacarga electrica:

∂ ~E

∂t=

1

µ0ε0

(~∇× ~B − µ0~

), (4)

∂ ~B

∂t= −~∇× ~E , (5)

∂ρ

∂t= −~∇ · ~ . (6)

A estas agrego las siguientes ecuaciones, que sonmera consecuencia de las anteriores (tomandodivergencia a las primeras dos), pero que tienensu propio significado fısico:

~∇ · ~E =1

ε0ρ , (7)

~∇ · ~B = 0 . (8)

Como primer punto, un llamado de atencion. Fre-cuentemente se habla de las ecuaciones de Max-well (en cualquiera de sus formas) como repre-sentando un punto de vista ‘localista’, en el queel campo electromagnetico en todo punto del es-pacio esta determinado por ρ y ~ ‘ahı y ahora’.¡No! Lo que esta determinado por las fuentesen un punto dado son las variaciones espacio-temporales del campo en su entorno—o sea su‘configuracion geometrica y variacion temporallocal’. El campo electromagnetico en un punto einstante dados ¡esta determinado por las fuentesen todas partes, alla y en el pasado! En otraspalabras, para encontrar los valores de ~E y ~Bhay que integrar las ecuaciones de Maxwell sobretodo el espacio y el tiempo anterior. Es como enacustica: el campo acustico ahora y aca (o sea,lo que estamos oyendo en este mismo instante)¡depende de las fuentes de sonido alla en el pa-sado!Como segundo punto, una observacion: cuandose trata de campos en el vacıo, en ausencia demateriales (aisladores, conductores o plasma),las cargas ρ y corrientes ~ estan dadas, o sea,son controladas por agentes exteriores. En cuan-to a las corrientes ‘virtuales’ de desplazamientomencionadas en la seccion 2, no aparecen explıci-tamente en la formulacion ‘tipo evolucion’ (4),

evitando ası posible confusion en discusiones decausa-efecto en electrodinamica.Analicemos unos casos particulares. Para un ca-so estacionario en que nada cambia en el tiempo,las ecuaciones precedentes nos dicen que hay doscondiciones que nosotros, los observadores o ex-perimentadores debemos respetar a priori : (i) ρy ~ deben ser independientes del tiempo en todopunto del espacio (razon obvia); (ii) las corrien-tes deben ser todas cerradas (porque debe ser~∇ · ~ = 0). En ese caso se desacoplan los cam-pos electrico y magnetico estaticos, y quedan lasecuaciones diferenciales basicas de la electrostati-ca y magnetostatica:

~∇ · ~E =1

ε0ρ , (9)

~∇× ~E = 0 , (10)

~∇× ~B = µ0~ , (11)

~∇ · ~B = 0 , (12)

con ρ, ~ constantes en el tiempo y ∇~· = 0 comopre-condiciones. La ecuacion 12 muestra que laslıneas de campo magnetico son siempre cerradas(y que ‘cargas magneticas’ no existen, ¡aunqueno estan prohibidas!).El segundo ejemplo es el caso de una distribucionde corrientes inicialmente estatica en ausenciade cargas electricas, que a partir de un momentodado comienza a variar lentamente en el tiem-po: ~ = ~(~r, t).8 Supongamos que la distribucionde corrientes esta confinada a un volumen deorden L3. Examinemos la ecuacion de Maxwell(4). Inicialmente, ~E = 0; cuando ~ comienza avariar, el ‘equilibrio’ entre el rotor del campomagnetico y la densidad de corriente se rompeen cada punto del volumen en que hay corrientes.Pero el vector ~B que aparece en el rotor se origi-na en todas las corrientes en ese volumen. Si lainformacion electromagnetica se propagase convelocidad infinita, el vector ~B se ajustarıa ins-tantaneamente a la condicion estatica (11). Tal

ajuste implica un cambio temporal de ~B, y por lotanto, segun la (5) aparecera un campo electricosolenoidal—¡precisamente el campo de induccionde Faraday—! Y ese campo no esta limitado a laregion de corrientes: aparece en todo el espacio.Dentro de la distribucion de corrientes, la varia-cion temporal de ese campo electrico inducidodeberıa interferir con el equilibrio ‘estatico’ entrerotor de ~B y ~ por efecto de la primera ecuacion

cuando su rotor y su divergencia estan dados en cada punto del espacio.8Nada prohibe esto para corrientes cerradas: no podemos variar ρ in situ sin mover cargas de un lado a otro,

pero sı podemos variar ~—con tal que los tubos de corriente permanezcan cerrados.


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de Maxwell (4), pero allı hay un factor (µ0ε0)−1

que resulta ser enorme; pasandolo a la izquierda,darıa una perturbacion despreciable.El siguiente caso es el ejemplo tratado en la sec-cion 2: un hilo de corriente abierta de intensidadconstante, con variacion de cargas electricas ensus extremos (Fig. 5). Ahora la distribucion decorrientes reales es una funcion delta a lo largodel conductor lineal, y cero en todo el espacio cir-cundante. El campo magnetico es constante y nohay campo electrico solenoidal. En la ecuacion deMaxwell (4) el rotor de ~B esta solito, totalmentedesbalanceado en todo el espacio circundante alconductor; por lo tanto es la variacion temporalde ~E la que impone la configuracion espacial (el

rotor no nulo) de ~B. Pero la causa del campomagnetico sigue siendo la corriente de convec-cion en el conductor finito, como insistimos enla seccion 2.El ultimo ejemplo es el de una distribucion decorrientes cerradas confinada en un volumende dimension L3, pero que ahora apagamos‘rapidamente’, tan rapido, que el campo ~B notiene chance de reajustarse para lograr equilibrioentre su rotor y la densidad de corriente, porquela informacion electromagnetica de otras partesde la distribucion de corrientes no llega a tiempoal punto en cuestion. En ese caso, la primeraecuacion (4) nos darıa un ‘pulso’ de campo

electrico, cuyo rotor en la (5) da un pulso a ~B,que entonces actua sobre el parentesis en la (4)

en puntos vecinos, afectando el ~E alla, etc. etc.(Fig. 14):

Figura 14 Generacion y propagacion de unaperturbacion electromagnetica en elvacıo.

Este jueguito de calesita representa, en terminosaptos para jardın de infantes, la generacion ypropagacion de una perturbacion en el campo

electromagnetico que se desprende de la zonade corrientes que cambian bruscamente —¡o sea,una onda electromagnetica—! En terminos decausa-y-efecto, y volviendo a introducir el con-cepto de corrientes de desplazamiento, el juegui-to es: desbalance entre rotor de ~B y densidadlocal de corriente ‘real’ → corrientita de despla-zamiento → perturbacion del campo magneti-co → perturbacion inducida del campo electrico→ corrientita de desplazamiento → etc. Lo im-portante es reconocer que sin excepcion la cau-sa fısica de toda onda electromagnetica es unavariacion temporal de la corriente real —o sea,en ultima instancia, la aceleracion de una cargaelectrica—.9 Observando las relaciones (4) y (5),se ve como la cantidad µ0ε0 controla la rapidezde este proceso; en efecto, c = (µ0ε0)−1/2 es lavelocidad de propagacion de una perturbacionelectromagnetica en el vacıo. El mero hecho deque esa velocidad depende de dos constantes uni-versales de la electrostatica y magnetostatica, yde que es independiente del sistema de referen-cia, fue lo que derrumbo el edificio clasico de lamecanica basado en la nocion de tiempo absolu-to.

5. Bocaditos vegetarianos, sincampos

Historicamente, los estudios de la magnetostati-ca y electrostatica comenzaron con medicionesde fuerzas sobre pequenos imanes y conductorescargados electricamente, en equilibrio. Se llegoası, en los tiempos de Faraday, al concepto fısi-co y matematico de ‘campo’ como describiendocuantitativamente propiedades ponderomotricesespecıficas del espacio que rodea a imanes y car-gas electricas. Maxwell perfecciono este cuadrocreando un modelo en el que el espacio vacıo enpresencia de cargas electricas adquiere propieda-des similares a las de un medio elastico. Pero,como citado en la nota al pie No. 3, esta des-cripcion, por mas util e intuitiva que sea, no esmas que un modelo de lo que sucede ‘ahı afuera’.Para crear un campo, para detectar y medir uncampo, para modificar un campo, para anular uncampo —¡hay que manipular cargas electricas—!En el correr de los anos aparecieron otras funcio-nes del espacio-tiempo: los potenciales escalar Vy vectorial ~A, que pueden existir incluso en regio-

9Ondas planas sinusoidales yendo de −∞ a +∞ (que es lo que en general se introduce primero como ejemplo enlos libros), no existen en el mundo fısico real. Pero no estan prohibidas matematicamente—tomando el rotor a las

ecuaciones (4) y (5) en ausencia de cargas y corrientes, se llega a sendas ecuaciones de onda para ~E y ~B.


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nes en las que los campos son nulos (por ej. enel interior de conductores en equilibrio, fuera deun solenoide largo, respectivamente). Tambienaparecen en el proceso de integracion de las ecua-ciones de Maxwell, y lejos de ser meras funcionesmatematicamente utiles, representan las inter-acciones electromagneticas en los Lagrangianos,Hamiltonianos —y en toda la electrodinamicacuantica—.En cursos mas avanzados, los estudiantes fre-cuentemente preguntan: “¿Cuales son mas im-portantes: los campos o los potenciales? ¿Cualestienen mas significado fısico? ¿Se podrıa desa-rrollar un electromagnetismo sin campos?” Res-pecto a esto ultimo, les contesto: “¡sı, se puede!Y es muy instructivo hacerlo como ejercicio.”¡Hagamoslo! Empecemos por formular un nume-ro limitado de postulados, basados en experien-cias ideales.10 En primer lugar, adoptemos laconservacion de la carga electrica (6) como elprincipio fundamental, que escribiremos en suforma integral :

d

dt

∫V

ρ(~r, t)dr3 = −∮S

~j(~r, t) · ~dS . (13)

V es un volumen dado, encerrado por la superfi-cie cerrada S. Es importante notar que todo setoma al tiempo simultaneo t.11

Luego, construyamos una distribucion estaticade cargas ρ(~r), y otra de corrientes cerradas~j(~r),12 y determinemos experimentalmente laenergıa total Ue que se debe proveer (o extraer)en este proceso por medio de la accion de fuerzasexternas (no-electromagneticas), partiendo des-de cero. ¿Que quiere decir esto ultimo? Una dis-tribucion de cargas electricas no se puede crearin situ de la nada (lo prohibe el principio deconservacion): tenemos que traer cada elementi-to ρdr3 uno por uno del infinito, muy despacito,sin aceleracion apreciable —o sea, cada uno man-tenido en equilibrio durante el proceso por unafuerza exterior—. Se encuentra que la energıainvolucrada es independiente de la manera enque se traen las cargas del infinito, y que vale:

Ue =1

4πε0

1

2

∫∫ρ(~r)ρ(~r′)∣∣~r − ~r′∣∣ dr3dr′3 .

En esta relacion, las dos integrales (triples) setoman sobre todos los puntos en que hay cargas

electricas, y el factor que las precede representauna constante universal. Notese la forma bili-neal en ρ, que fısicamente representa el caractersimetrico de la interaccion entre pares de elemen-tos de volumen cargados electricamente.Una distribucion de corrientes estacionarias sı sepuede crear in situ—por ejemplo incrementan-do una f.e.m lentamente en cada espira cerradainfinitesimal. Tambien aquı se encuentra que laenergıa total requerida Um es independiente dela forma en que se crea la distribucion; su valorresulta ser la expresion bilineal

Um =µ0

4π

1

2

∫∫ ~j(~r) ·~j(~r′)∣∣~r − ~r′∣∣ dr3dr′3 .

µ0 es otra constante universal.Introduciendo los potenciales como una funcionescalar V (~r) y vectorial ~A(~r), respectivamente:

V (~r) = 14πε0

∫ ρ(~r′)∣∣~r−~r′∣∣dr′3 , (14)

~A(~r) = µ0

4π

∫ ~j(~r′)∣∣~r−~r′∣∣dr′3 , (15)

permite expresar las dos energıas totales en laforma:

Ue = 12

∫ρ(~r)V (~r)dr3 y

Um = 12

∫~j(~r) · ~A(~r)dr3 . (16)

De aquı se puede deducir que las densidades defuerza actuando sobre una distribucion en equi-librio de cargas y corrientes cerradas son, respec-tivamente:

~fe = −ρ~∇V , (17)

~fm = ~j × (~∇× ~A) . (18)

Por supuesto reconocemos la presencia de los vec-tores campo electrostatico ~E = −~∇V y magne-tostatico ~B = ~∇× ~A—pero que por el momentoestos conceptos no son necesarios.Consideremos ahora el caso general de una distri-bucion dada de cargas y corrientes variables en eltiempo ρ(~r, t),~j(~r, t), y ligadas por el principiode conservacion de la carga (13). Siguiendo elmismo procedimiento que arriba, determinemosla energıa total necesaria para crear este sistema

10Experiencias muy difıciles de conducir en la realidad, pero cuyas consecuencias pueden ser verificadas experi-mentalmente.

11La simultaneidad requerida en esta igualdad tiene importancia en la teorıa de la relatividad restringida.12El principio de conservacion de la carga (6) o (13) exige esto ultimo, para que las corrientes sean realmente

estaticas.


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electromagnetico integral. Se encuentra que, pa-ra un instante dado t en un sistema de referenciainercial dado, las relaciones (16) siguen siendovalidas como tal, pero ahora los potenciales de-ben expresarse en la siguiente forma ‘retardada’:

V (~r, t) =1

4πε0

∫ρ(~r′, tret)∣∣~r − ~r′∣∣ dr′3 , (19)

~A(~r, t) =µ0

4π

∫ ~j(~r′, tret)∣∣~r − ~r′∣∣ dr′3 , (20)

donde

tret = t− |~r′ − ~r|c

, (21)

es el tiempo retardado, y c es otra constanteuniversal, representando la velocidad de propa-gacion de informacion sobre el estado electricode cada punto fuente ~r′ en el instante retardadoapropiado. Aplicando el operador ∂/∂t a la (19)

y el operador ~∇· a la (20) (con mucho cuidado,teniendo presente la definicion (21) y la existen-cia de dos vectores posicion ~r y ~r′), y teniendoen cuenta la relacion (6), obtenemos como unaconsecuencia:

~∇ · ~A+1

c2∂V

∂t= 0 (Lorentz gauge), (22)

c = 1√ε0µ0

(cte. universal). (23)

Esto es extraordinario: con los postulados (16),(19) y (20), y la ley (13) ¡la famosa relacion de‘gauge’ de Lorentz y la expresion de la velocidadde la luz aparecen ‘automaticamente, de yapa’ !La densidad de fuerza electromagnetica sobre unsistema de cargas y corrientes se puede calcular,pero es una tarea difıcil y demasiado larga paraeste artıculo, y que requiere apelar a otro princi-pio fundamental: el Principio de Relatividad.13

Se obtiene:

~fρ = −ρ(~∇V +

∂ ~A

∂t

)~fj = ~j × (~∇× ~A) , (24)

y los vectores campo (como meras definicionesen esta presentacion) son

~E = −~∇V − ∂ ~A

∂t, (25)

~B = ~∇× ~A . (26)

Tomando rotores y divergencias, y teniendo encuenta (19) y (20), se obtienen las ecuaciones deMaxwell (como mera curiosidad matematica enesta presentacion.)Despues de un seminario sobre la introducciondel electromagnetismo en esta forma ‘sin cam-pos’, un estudiante una vez me comento, indig-nado: “¡Pero este es un cuadro del tipo accion adistancia, como en los viejos tiempos pre-Faradayy pre-Maxwell! Ademas, creo que eso de que lasecuaciones de Maxwell ’son una mera curiosidad’es un sacrilegio.” Mentalmente me puse una so-tana negra y le dije: “Hijo mıo, el cuadro quepinte en mi sermon sobre un electromagnetismosin campos vale solo para cargas electricas enel vacıo. En presencia de materia, como ser con-ductores, medios polarizables y plasma, aparecencargas y corrientes equivalentes por la accionde fuerzas del tipo (24) sobre cargas elementa-

les, y en las que V y ~A, o los vectores campo(25) y (26) correspondientes, son promedios ma-croscopicos tomados sobre sus valores puntualesen el entorno del punto en cuestion. En otraspalabras, en presencia de un medio material lasecuaciones de Maxwell, con la debida inclusionde cargas y corrientes equivalentes como funcio-nes del campo local, son imprescindibles para ladescripcion fısica del sistema electromagnetico!”El estudiante no parecio muy convencido, y meretruco: “Dejemos los medios materiales y volva-mos a su electromagnetismo ’sin campos’: ¿quediablos son los fotones?”. Dejo la contestacional lector...

5.1. Agradecimientos

Mi mas sincero agradecimiento a la AsociacionFısica Argentina por la invitacion para presen-tar mi libro Electromagnetismo Elemental en la101a Reunion Anual en Tucuman; a GabrielaSimonelli, Coodinadora del Comite Organizadorlocal; ası como a Mario Mariscotti y Darıo Ro-drigues por sus gentiles palabras de introduccionen esa ocasion y a Daniel Cartelli por convertirmis dibujos a mano alzada en figuras de jerar-quıa profesional.Boulder, Colorado (EEUU), noviembre de 2016.

13Ver por ejemplo seccion 3.j en Roederer J.G., Mecanica Elemental. Eudeba.


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bocaditos electromagneticos … · this article is based on a talk given on occasion of the...

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