bolet in de problemas de introduccion a la matematica discreta · pdf filede introduccion a la...

E.T.S. DE INGENIERIA INFORMATICA

BOLETIN DE PROBLEMAS

de

INTRODUCCION

A LA

MATEMATICA DISCRETA

para la titulacion de

GRADO EN INGENIERIA INFORMATICA.TECNOLOGIAS INFORMATICAS

2 Introduccion a la Matematica Discreta

1. Teorıa de conjuntos. Logicaproposicional y algebras de Boole

Ejercicio 1.1 Dados los conjuntos A,B,C,X, probar que:

a) X − (A ∪B) = (X − A) ∩ (X −B)

b) X − (A ∩B) = (X − A) ∪ (X −B).

c) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C).

Ejercicio 1.2 Probar que:

a) S ⊆ T si y solo si S ∩ T = S.

b) S ⊆ T si y solo si S ∪ T = T .

c) S ⊆ T si y solo si (T − S) ∪ S = T .

Ejercicio 1.3 Hallar la tabla de verdad de ¬p ∧ q.

Ejercicio 1.4 Hallar la tabla de verdad de ¬(p ∨ q).

Ejercicio 1.5 Hallar la tabla de verdad de ¬(p ∨ ¬q).

Ejercicio 1.6 Verificar que la proposicion p ∨ ¬(p ∧ q) es una tautologıa.

Ejercicio 1.7 Verificar que la proposicion (p ∧ q) ∧ ¬(p ∨ q) es una con-tradiccion.

Ejercicio 1.8 Probar la propiedad distributiva: p∨ (q∧ r) ≡ (p∨ q)∧ (p∨ r).

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Ejercicio 1.9 Probar que la disyuncion puede ser escrita en terminos de lasoperaciones de conjuncion y negacion; es decir, que son equivalentes:

p ∨ q ≡ ¬(¬p ∧ ¬q).

Ejercicio 1.10 Probar las leyes de Morgan:

a) ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q;

b) ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q.

Ejercicio 1.11 Se pide:

a) Demostrar que ”p implica q” y ” q implica p” es logicamente equivalenteal bicondicional ”p si y solo si q”; es decir, (p→ q) ∧ (q → p) ≡ p↔ q.

b) Demostrar que p↔ q ≡ (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p).

Ejercicio 1.12 Consideremos la proposicion condicional p→ q y otras proposi-ciones simples que contienen p y q:

q → p, ¬p→ ¬q y ¬q → ¬p

que se llaman respectivamente recıproca, inversa y contrarecıproca de la proposi-cion original p → q. ¿Cual de estas proposiciones, si la hay, es logicamenteequivalente a p→ q?.

Ejercicio 1.13 El conector proporcional ∨ se llama disyuncion exclusiva; p∨qy se lee p o q pero no ambos. Se pide:

a) Construir una tabla de verdad para p∨q.

b) Probar: p∨q ≡ (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q) (es decir, puede escribirse en terminosde los tres conectores originales ∨, ∧ y ¬).

Ejercicio 1.14 Construir un circuito para cada una de las siguientes funcionesde conmutacion

a) x+ yz; c) x(y + z); e) (x+ y) · (z + k);b) xy + zk; d) (x+ y) · (x′ + zy′); f) (xy + z) · (k + x′y).

Ejercicio 1.15 Construir un circuito para cada una de las siguientes funcionesde conmutacion

a) xy + x′(y′ + x+ y);

b) (x+ y)z(x′ + y′ + z′).

Teorıa de conjuntos. Logica proposicional y algebras de Boole 5

Ejercicio 1.16 Halla las funciones de conmutacion que producen los siguien-tes circuitos:

2. Tecnicas de demostracion

Ejercicio 2.1 ¿Se puede probar directamente, por induccion matematica, queuna propiedad es cierta para cualquier n ∈ Z? Justifıquese la respuesta.

Ejercicio 2.2 Probar que

1 + 3 + · · ·+ (2n− 1) = n2 ∀n ∈ Z+

Ejercicio 2.3 Usar el principio de induccion para probar que para todo n ≥ 0se tiene:

a) n2 + 3n es divisible por 2.

b) n3 + 3n2 + 2n es divisible por 6.

Ejercicio 2.4 Utilizar el metodo de induccion para probar que para cualquierentero n ≥ 2 se verifica que 2n > n+ 1.

Ejercicio 2.5 Utilizar el metodo de induccion para demostrar que para todon ≥ 1 se cumple que:

13 + 23 + · · ·+ n3 =n2(n+ 1)2

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Ejercicio 2.6 Demostrar por induccion que si un es la sucesion definida por:

u1 = 3, u2 = 5, un = 3un−1 − 2un−2 ∀n ≥ 3

entonces, un = 2n + 1 ∀n ∈ Z+.

Ejercicio 2.7 Demostrar por induccion que si Fn es la sucesion de Fibonaccidefinida por:

F0 = 0, F1 = 1, Fn = Fn−1 + Fn−2 (∀n ≥ 2),

entonces Fn =1√5

(1 +√

5

2

)n

− 1√5

(1−√

5

2

)n

para n ∈ N.

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Ejercicio 2.8 Sean a,b y n numeros enteros positivos verificando que n = a·b.Demostrar por reduccion al absurdo que o bien a o bien b es menor o igualque b

√nc.

Ejercicio 2.9 Sean A y B dos conjuntos finitos y la funcion f : A −→ B.Demostrar por reduccion al absurdo:

a) Si f es inyectiva entonces |A| ≤ |B|.

b) Si f es sobreyectiva entonces |A| ≥ |B|.

Ejercicio 2.10 Probar que si n es impar, entonces n2 tambien es impar

Ejercicio 2.11 Decidir que realiza el siguiente algoritmo que recibe n ≥ 2como entrada, y demostrar que es correcto:

P1 p1 ← 2, p2 ← 3, l ← 2, m← 3P2 si l = n retorna (p1 . . . pn). FINP3 m← m+ 2P4 para j ← 1 hasta lP5 si pj |m ir al Paso 3P6 l← l + 1, pl ← m, ir al Paso 2.

Ejercicio 2.12 Se considera el algoritmo siguiente:

P1 Entrada: m,n dos enteros positivos.P2 q ← m, b← 1, t← uP3 mientras q > 0P4 si q es impar, entonces b← t · bP5 t← t2

P6 q ← bq/2cP7 retorna b. FIN

a) Realizar un seguimiento del algoritmo para m = 6 y u = 2.

b) Demostrar que el algoritmo es finito. Hallar en funcion de q el numerode veces que se ejecuta el bucle mientras. Calcular la complejidad ycomprobar que es O(logm).

c) Demostrar que la expresion I = b · tq es un invariante. Deducir queretorna el algoritmo.

Tecnicas de demostracion 9

Ejercicio 2.13 Sea Fn la sucesion de Fibonacci, definida como F1 = F2 = 1,y ∀ n > 2, Fn = Fn−1 + Fn−2. Se considera el siguiente algoritmo:

P1 leer un entero positivo MP2 l← () (lista vacıa), i← 0P3 mientras M 6= 0P4 elegimos n tal que Fn ≤M < Fn+1

P5 anadimos Fn a la lista lP6 M ←M − FnP7 i← i+ FnP8 retorna l. FIN

a) Demostrar que todos los pasos pueden ejecutarse y que en cada iteracionM y n decrecen sin ser nunca negativos. Deducir de aquı la finitud delalgoritmo.

b) Demostrar que i + M es un invariante y deducir que la suma de loselementos de la lista retornada es exactamente M .

c) Deducir de los apartados anteriores que todo entero positivo se puedeexpresar como suma de terminos de la sucesion de Fibonacci sin repetirninguno. Es unica esta descomposicion?

Ejercicio 2.14 Se considera el algoritmo siguiente, que pretende descomponerun entero positivo n en k sumandos n = s1 + s2 + · · ·+ sk, (1 ≤ k ≤ n) lo masiguales posible:

P1 r ← n, d← kP2 mientras r > 0P3 sd ← br/dcP4 r ← r − sdP5 d← d− 1P6 retorna s1, . . . , sk

a) Probar que el algoritmo es finito, carece de errores, se obtienen k suman-dos y su suma es n.

b) Hallar el numero de veces que se ejecuta el bucle mientras y probar queno depende de n. Calcular la complejidad.

c) Demostrar que si n es multiplo de k entonces todos los sumandos que seobtienen son iguales.

3. Aritmetica Entera

Ejercicio 3.1 Probar que c | a y c | b si, y solo si, c | mcd (a, b).

Ejercicio 3.2 Determinar el valor del mcd (1066, 1492) y mcd (1485, 1745)mediante el algoritmo del mınimo resto y comparar el numero de pasos requeri-dos por este algoritmo con los que se requieren con el algoritmo de Euclides.

Ejercicio 3.3 Calcular mcd (1485, 1745) y expresarlo de la forma 1485u +1745v.

Ejercicio 3.4 En un bar utilizan cada dıa 110 huevos cocinando tortillas (de 5huevos) y revueltos (de 3 huevos). Calcular, razonadamente, todas las posiblesformas de emplear los 110 huevos. De entre todas ellas, ¿cuantas unidadesde cada plato han cocinado un dıa en el que se hicieron 6 tortillas mas querevueltos?

Ejercicio 3.5 Dada la ecuacion diofantica 11x+ 29y = m se pide:

a) Encontrar en funcion de m la solucion general de la ecuacion.

b) Hallar todas las soluciones no negativas.

c) Determinar el menor valor positivo de m para el cual la ecuacion tieneexactamente una solucion de enteros no negativos.

Ejercicio 3.6 ¿Tiene soluciones enteras la ecuacion 12x + 21y = 46? Jus-tifıquese la respuesta.

Ejercicio 3.7 Hallar la solucion general de la ecuacion 1485x+ 1745y = 15.

Ejercicio 3.8 Encontrar todas las soluciones positivas de la ecuacion diofan-tica lineal 5x+ 12y = 71.

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Ejercicio 3.9 Sea c ∈ Z+ con 10 ≤ c ≤ 1000.

a) Determinar el mınimo valor de c para el que la ecuacion 84x+ 990y = cadmite soluciones. Resolverla en dicho caso.

b) ¿Existe algun valor de c (en el rango especificado) para el que dichaecuacion admita soluciones positivas?

Ejercicio 3.10 Una determinada empresa desea emitir un anuncio por 2 cade-nas de television con el objetivo de que sea visto diariamente por 910 personas.Al realizar un estudio de audiencia de las dos cadenas se sabe que cada vezque se emite en la primera cadena CTV1 va a ser visto por 325 personas,mientras que en la segunda CTV2 solo sera visto por 26. ¿Cuantas veces aldıa debe emitirse en cada una de las cadenas para cubrir el objetivo previstode las, exactamente, 910 personas teniendo en cuenta que CTV1 cobra 600euros cada vez que lo emite y CTV2 solo cobra 60?

Ejercicio 3.11 Un coleccionista de obras de arte ha adquirido varios cuadrosy dibujos de un artista moderno. Las pinturas le han costado 649 euros cadauna y los dibujos se los han dejado a 132 euros cada uno. Cuando el colec-cionista llega a su casa, no recuerda si el coste total de las obras de arte hasido de 2716 o 2761 euros.

a) ¿Cuanto les han costado exactamente?

b) ¿Cuantos cuadros y cuantos dibujos ha comprado?

Ejercicio 3.12 Un grupo de 23 viajeros llega a un campamento y se encuentra63 montones de sacos, todos con el mismo numero de sacos, y un montonadicional con 7 sacos. Si sabemos que los viajeros no podıan cargar con masde 50 sacos y pudieron repartırselos por igual, ¿cuantos sacos habıa en cadauno de los montones?

Ejercicio 3.13 Enviamos por correo dos tipos de paquetes A y B. Por enviarlos del tipo A nos cobran 15 centimos de euro mas que por los del tipo B.Sabiendo que hemos enviado mas paquetes del tipo B que del tipo A, que entotal hemos enviado 12 paquetes y que nos han cobrado un total de 13 euroscon 20 centimos, ¿cuantos hemos enviado de cada tipo y que nos han cobradopor cada uno?

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Ejercicio 3.14 La companıa Cabitele nos cobra por llamar desde una desus cabinas 50 centimos de euro el minuto por una llamada a Madrid y 1 eurocon 20 centimos si es a Parıs. No contabiliza fracciones, es decir, por 1 minutoy 1 segundo nos cobra 2 minutos.

Si la cabina no devuelve cambio pero podemos (sin colgar) volver a marcarotro telefono mientras exista credito, ¿se pueden consumir 10 euros sin perderdinero y sin que se nos corte la llamada teniendo en cuenta que queremoshablar necesariamente con dos personas, una que se encuentra en Madrid yotra que se encuentra en Paris? ¿Cuantos minutos podremos hablar con cadauna de ellas? ¿Existe mas de una solucion?

Ejercicio 3.15 Se considera la ecuacion diofantica lineal 3x + 7y = c dondec ∈ Z+.

a) Hallar la solucion general de la ecuacion.

b) ¿Cual es el mınimo valor que puede tomar c para que la ecuacion poseasoluciones positivas?

c) ¿A partir de que valor de c podemos garantizar que la ecuacion siempreva a tener soluciones positivas? (independientemente de que para algunvalor anterior tambien puede admitirla).

d) ¿Entre que dos valores debe situarse c para poder garantizar la exis-tencia de dos soluciones positivas, sin poder garantizar la existencia deuna tercera? ¿Podrıa darse el caso de que para alguno de los valoresencontrados tuviese tres soluciones positivas?

e) ¿Cual es el mınimo valor que puede tomar c para que la ecuacion admitasoluciones pares (tanto x como y deben ser pares)? Hallar para dichovalor de c todas las soluciones pares de la ecuacion.

Ejercicio 3.16 Probar que si p es primo y p | ak, entonces p | a y, por tanto,pk | ak; ¿es tambien valido si p es compuesto?

Ejercicio 3.17 ¿Cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas y cua-les falsas, donde a y b son enteros positivos y p primo? En cada caso, dar unademostracion o un contraejemplo.

a) Si mcd (a, p2) = p entonces mcd (a2, p2) = p2.

b) Si mcd (a, p2) = p y mcd (b, p2) = p2 entonces mcd (ab, p4) = p3.

c) Si mcd (a, p2) = p y mcd (b, p2) = p entonces mcd (ab, p4) = p2.


d) Si mcd (a, p2) = p entonces mcd (a+ p, p2) = p.

Ejercicio 3.18 Probar que cualquier numero primo p 6= 3 es de la forma3q + 1 o 3q + 2 para algun entero q. Probar que existen infinitos primos de laforma 3q + 2.

Ejercicio 3.19 Encontrar cinco enteros compuestos consecutivos. Probar quepara cada entero k ≥ 1 existe una secuencia de k enteros compuestos conse-cutivos.

Ejercicio 3.20 Probar que si a ≥ 2 y am + 1 es primo (como por ejemplo37 = 62 + 1), entonces a es par y m es una potencia de 2.

Ejercicio 3.21 Probar que si m > 1 y am − 1 es primo, entonces a = 2 y mes primo.

Ejercicio 3.22 Se considera la sucesion:

e1 = 2 en+1 = e1 · e2 · · · en + 1 n ≥ 1

a) ¿Son primos todos los numeros ei?

b) Demostrar que si i 6= j entonces mcd(ei, ej) = 1

c) Sea pi el menor primo que aparece en la descomposicion en factoresprimos de ei. Demostrar que p1,p2,· · ·,pn,· · · es una sucesion infinita deprimos distintos.

d) Demostrar la igualdad en+1 = en2 − en + 1

Ejercicio 3.23 ¿Para que primos p es tambien primo p2 + 1?

Ejercicio 3.24 Se consideran los numeros de Fermat Fn = 22n + 1. Probar,mediante induccion en n, que

F0F1 · · ·Fn−1 = Fn − 2. ∀n ≥ 1

Ejercicio 3.25 Sean p y q dos numeros primos con p > q y tales que p · q+ 1tambien es primo. Probar, razonadamente, las siguientes afirmaciones:

a) q ha de ser, necesariamente, 2.

b) Si p 6= 3 entonces p+ 1 es multiplo de 6.

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c) Si p 6= 3, p no puede ser un primo de Mersenne.

d) Probar que los numeros Fn de Fermat verifican la recurrencia{F0 = 3

Fn = (Fn−1 − 1)2 + 1 ∀n ≥ 1

y hacer uso de dicha propiedad para probar que si n ≥ 3 entonces Fntermina en 7.

e) Si p 6= 3 y p 6= 5, p no puede ser un primo de Fermat.

Ejercicio 3.26 Demostrar que todo numero primo mayor que 3 es de la forma6n+ 1 o 6n+ 5.

4. Tecnicas de contar

Ejercicio 4.1 De entre todas las permutaciones de los dıgitos del 1 al 6, cal-cular el numero de ellas que NO empiezan por 12, ni tienen al 3 en el lugartercero, ni acaban por 456.

Ejercicio 4.2 En una clase de musica con 73 alumnos hay 52 que tocan elpiano, 25 el violın, 20 la flauta, 17 tocan piano y violın, 12 piano y flauta,7 violın y flauta y solo hay 1 que toque los tres instrumentos. ¿Hay algunalumno que no toque ninguno de los tres instrumentos?

Ejercicio 4.3 Una multinacional tiene 10000 empleados de los cuales 5600hablan ingles, 4400 frances y 2200 castellano. Se sabe que cualquiera de elloshabla, al menos, uno de los tres idiomas, que 1600 hablan ingles y frances, 200frances y castellano y 100 hablan los tres idiomas. Si el director general hablaingles y castellano, ¿con cuantos empleados puede comunicarse sin necesidadde interprete? ¿Cuantos empleados hablan unicamente castellano?

Ejercicio 4.4 Probar que en cualquier grupo de 6 personas, o hay 3 que seconocen entre sı o hay 3 que son mutuamente desconocidos.

Ejercicio 4.5 Sea C un conjunto de 5 enteros positivos no superiores a 9.Demostrar que existen, al menos, dos subconjuntos de C cuyos elementossuman lo mismo.

Ejercicio 4.6 ¿De cuantas maneras puede un fotografo de boda ordenar ungrupo de 6 personas si

a) los novios deben salir juntos en la foto?

b) los novios no pueden salir juntos en la foto?

c) la novia debe salir en algun puesto a la izquierda del novio?

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Ejercicio 4.7 ¿Cuantas matrıculas se pueden formar utilizando bien tres le-tras mayusculas seguidas de tres dıgitos o bien cuatro letras mayusculas seguidasde dos dıgitos? (Las letras se extraen del alfabeto ingles que consta de 26 le-tras)

Ejercicio 4.8 En un grupo hay n hombres y n mujeres. ¿De cuantas formasse pueden ordenar estas personas en una fila si los hombres y las mujeres sedebe alternar?

Ejercicio 4.9 ¿Cuantas cadenas de diez bits contienen

a) exactamente cuatro unos?

b) como mucho cuatro unos?

c) al menos cuatro unos?

d) una cantidad igual de unos que de ceros?

Ejercicio 4.10 ¿De cuantas formas se puede seleccionar una comision paradisenar el programa de un curso de matematica discreta en la escuela deinformatica si la comision debe estar compuesta por tres miembros del de-partamento de informatica (que tiene nueve miembros en total) y cuatro deldepartamento de matematicas (que tiene once)?

Ejercicio 4.11 ¿De cuantas maneras se pueden ordenar las letras de la pal-abra XSIAON de modo que las palabras ASI y NO nunca aparezcan?

Ejercicio 4.12 Definimos la distancia entre dos secuencias binarias de longi-tud n como el numero de lugares en que difieren. ¿Cuantas secuencias estan auna distancia d de una secuencia dada? Obtener una expresion para el numerode secuencias que estan a una distancia ≤ d de una dada.

Ejercicio 4.13 Por un canal de comunicacion, se va a transmitir un mensajeusando 12 sımbolos diferentes. Ademas de estos 12 sımbolos, el transmisortambien enviara un total de 45 espacios en blanco entre los sımbolos, con tresespacios como mınimo entre cada par de sımbolos consecutivos ¿de cuantasformas se puede mandar el mensaje?

Ejercicio 4.14 a) ¿De cuantas formas se pueden colocar diez bolas igualesen ocho cajas distintas?

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b) ¿En cuantas de ellas queda al menos una caja vacıa?

Ejercicio 4.15 ¿Cuantas cadenas de 8 bits comienzan por 101 o tienen elcuarto bit igual a 1?

Ejercicio 4.16 ¿Cuantos numeros de telefono de 5 dıgitos tienen un dıgitoque aparece mas de una vez?

Ejercicio 4.17 Determinar el numero b de formas en que podemos ordenarlas letras de la palabra EXAMEN teniendo en cuanta que las dos letras E nopueden ir juntas.

Ejercicio 4.18 ¿Cuantas palabras de longitud 3 (sin repetir signos) puedenescribirse con un alfabeto de 256 letras teniendo en cuenta que dos deter-minados signos (por ejemplo, las letras “a” y “b”) no figuren nunca juntos(consecutivos)?

Ejercicio 4.19 La cuadrıcula de la figura representa las calles de una pequenaciudad.

rr

rrA

P2

P1

B

a) ¿Que caracterısticas debe tener un camino de A a B de forma que noexista otro mas corto que el?

b) ¿Cuantos caminos distintos puede seguir un ladron que roba una joyerıasituada en la esquina A para ir a su casa, situada en la esquina B,teniendo que cuenta que pretende ir por uno de los caminos mas cortos yque debe evitar pasar por las esquinas P1 y P2 en las que se encuentranlas dos comisarıas de policıa de la ciudad?


Ejercicio 4.20

a) Los padres de una familia de 3 hijos deciden repartir semanalmente entreellos 32 euros para sus gastos. Si desean dar un numero entero de euros,no menor de 4, a cada hijo (salvo al mayor, al que desean darle nomenos de 10) ¿de cuantas maneras distintas pueden hacer la asignacionsemanal?

b) Si ademas, desean darle no mas de 10 euros a los dos mas pequenos, nimas de 15 al mayor, ¿de cuantas formas diferentes pueden hacer ahorala asignacion?

c) Si ademas de las restricciones del primer apartado, no quieren que losdos pequenos tengan la misma asignacion, ¿cual serıa ahora en numerode asignaciones posibles?

Ejercicio 4.21 ¿Como se pueden distribuir 25 caramelos entre cuatro ninos?¿Y si se anade la condicion de que cada nino recibe al menos tres caramelos?

Ejercicio 4.22 Probar las igualdades:

a)

(rk

)=r

k

(r − 1k − 1

)b) r

(r − 1k

)= (r − k)

(rk

)Ejercicio 4.23 Probar la identidad:(

r0

)+

(r + 1

1

)+ · · ·+

(r + nn

)=

(r + n+ 1

n

)Ejercicio 4.24 Hallar el coeficiente de

a) x11 en (2x+ 3x2)8 b) x17 en (x− 2x2)15

Ejercicio 4.25 a) Probar que si n es un entero positivo, entonces(2(n+ 1)n+ 1

)= 2

2n+ 1

n+ 1

(2nn

)b) Probar por induccion sobre n que para todo n ≥ 2 se verifica que

2n <

(2nn

)< 4n

Ejercicio 4.26 Probar la identidad del hexagono.(n− 1k − 1

)(n

k + 1

)(n+ 1k

)=

(n− 1k

)(n

k − 1

)(n+ 1k + 1

)

5. Aritmetica Modular

Ejercicio 5.1 Sin realizar los productos, calcular los restos de dividir:

a) 37× 45 entre 35.

b) 79× 70 entre 75.

c) 34× 27 entre 29.

Ejercicio 5.2 Hacer uso de congruencias para probar que la condicion nece-saria y suficiente para que un numero sea divisible por 4 es que lo sea el numeroformado por sus dos ultimas cifras.

Ejercicio 5.3 Hallar la solucion general de la congruencia 12x≡ 9 (mod 15).

Ejercicio 5.4 Hallar el numero de soluciones distintas que tienen las sigu-ientes congruencias (en caso de que tengan solucion):

a) 225x ≡ 18 (mod 31315),

b) 1235x ≡ 65 (mod 25948).

Ejercicio 5.5 Para cada una de las siguientes congruencias, decidir cualestienen solucion y cuales no, encontrando la solucion general.

a) 3x ≡ 5 (mod 7).

b) 12x ≡ 15 (mod 22).

c) 19x ≡ 42 (mod 50).

d) 18x ≡ 42 (mod 50).

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Ejercicio 5.6 ¿Existe algun multiplo positivo de 91 terminado en 15? Encaso afirmativo, hallar todos los comprendidos entre 10000 y 30000.

Ejercicio 5.7

a) Probar que si am ≡ 1 (mod n) con m ∈ Z y m ≥ 2, entonces

mcd (a, n) = 1.

b) Si a no es una unidad de Z26 y a10 ≡ 10 (mod 26), ¿cuanto puede valerel mcd (a, 26)?

Ejercicio 5.8 Determinar si los siguientes sistemas de congruencias tienensolucion, y en caso afirmativo, hallar la solucion general

a) x ≡ 1 (mod 4), x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5).

b) x ≡ 2 (mod 7), x ≡ 7 (mod 9), x ≡ 3 (mod 4).

c) 3x ≡ 6 (mod 12), 2x ≡ 5 (mod 7), 3x ≡ 1 (mod 5).

d) x ≡ 13 (mod 40), x ≡ 5 (mod 44), x ≡ 38 (mod 275).

e) 2x ≡ 2 (mod 12), x ≡ 5 (mod 14), x ≡ 4 (mod 21).

f) 5x ≡ 5 (mod 6), 3x ≡ 1 (mod 14), x ≡ −2 (mod 21).

Ejercicio 5.9 Resolver la congruencia 91x ≡ 419 (mod 440).(Indicacion: transformarla en un sistema).

Ejercicio 5.10 Hallar la solucion general de la congruencia

54x ≡ 342 (mod 23400).

Ejercicio 5.11 Encontrar todas las soluciones comprendidas entre 1000 y2000 del sistema

2x ≡ 4 (mod 10)7x ≡ 19 (mod 24)2x ≡ −1 (mod 45)

Ejercicio 5.12 Dado el sistemax ≡ 4 (mod 8)x ≡ a (mod 6)x ≡ −1 (mod 15)

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a) Determinar todos los posibles valores del parametro a ∈ Z que hacenque el sistema tenga solucion.

b) Probar que la solucion del sistema, en caso de tener solucion, es inde-pendiente del parametro a.

c) Resolver el sistema en los casos en que tiene solucion.

Ejercicio 5.13 Hallar el valor de n sabiendo que se trata del menor multiplode 4, no inferior a 250, que da de resto 4 tanto si lo dividimos entre 6 como silo hacemos entre 9.

Ejercicio 5.14 Siete ladrones tratan de repartir, entre ellos y a partes iguales,un botın de lingotes de oro. Desafortunadamente, sobran seis lingotes y en lapelea que se desata muere uno de ellos. Como al hacer de nuevo el reparto so-bran dos lingotes, vuelven a pelear y muere otro. En el siguiente reparto vuelvea sobrar una barra y solo despues de que muera otro es posible repartirlas porigual. ¿Cual es el mınimo numero de barras para que esto ocurra?

Ejercicio 5.15 Una banda de 20 piratas trata de repartirse un botın de entre5000 y 10000 monedas de oro. Al intentar hacer un reparto equitativo lessobran 15 monedas que se disputan entre ellos y como consecuencia de lapelea muere uno de los piratas. Deciden hacer de nuevo un reparto equitativopero les vuelven a sobrar 15 monedas. En una nueva disputa vuelve a morirotro de los piratas y al volver a efectuar el reparto les sobran 3 monedas.

a) Calcular el numero de monedas del botın.

b) Si la historia continua, es decir, siempre que sobren monedas se organizauna reyerta y muere uno de los piratas, ¿cuantos quedaran vivos cuandoen el reparto no sobre ninguna moneda? La respuesta no tendra validezsi se calcula eliminando sucesivamente piratas hasta dar con la solucion.

Ejercicio 5.16 Se dispone de una cantidad par de monedas. Si formamosmontones de 17 monedas cada uno nos sobran 8 monedas, mientras que si,con la mitad de las monedas iniciales, se forman montones de 7 nos sobran 3.Calcular la cantidad de monedas de que se disponıa sabiendo que su numeroera inferior a 600. En caso de existir mas de una solucion ¿existe alguna deellas para la que 7N mod 31 = p donde N representa la solucion buscada y pun numero primo? ¿Es ahora unica la solucion?

Ejercicio 5.17 Laura trabaja cuatro dıas seguidos y descansa al quinto. Ma-rıa trabaja dos y descansa al tercero.


a) Si solo se ven cuando ambas descansan y hay Luna llena (la Luna tieneun perıodo de 28 dıas) ¿cuando volveran a verse si Marıa descanso ayer,Laura lo hara pasado manana y hace diez dıas que hubo Luna llena?

b) Hasta esa fecha, ¿cuantos dıas habran descansado ambas pero no sehabran visto por falta de Luna llena?

Ejercicio 5.18 Se han lanzado, en un ordenador, tres procesos que periodi-camente acceden a un recurso compartido. Si dos de ellos acceden de formasimultanea no hay problemas, pero si lo hacen los tres se producira un bloqueo.Considerando los datos de la siguiente tabla, se pide:

Proceso accede por primera vez al recurso accede cada

1 10:00 horas 5 minutos2 10:02 horas 12 minutos3 c minutos despues de las 10 horas 4 minutos

a) Llamando x al numero de minutos transcurridos desde las 10:00 horashasta la ocurrencia de un bloqueo, razonar que x debe verificar el sistemade congruencias

x ≡ 0 (mod 5) x ≡ 2 (mod 12) x ≡ c (mod 4)

b) Demostrar que se producira un bloqueo si, y solo si, c ≡ 2 (mod 4).

c) Si c = 6, encontrar la hora del primer bloqueo que se producira entre las10:00 y las 11:00 horas. ¿Y para c = 10?

Ejercicio 5.19 Utilizar el teorema de Fermat para calcular los restos de di-vidir

a) 528574 entre 17.

b) 35346 entre 41.

Ejercicio 5.20 a) Utiliza el Teorema de Fermat para calcular 3302 (mod 5),3302 (mod 7) y 3302 (mod 11)

b) Utilizando el resultado del apartado anterior y el teorema chino del restocalcular 3302 (mod 385)

Ejercicio 5.21 Encontrar los valores φ(19), φ(20) y φ(21).

25

Ejercicio 5.22 Encontrar todos los valores de n para los que φ(n) = 16.

Ejercicio 5.23 ¿Para que valores de n es φ(n) ≡ 2 (mod 4)?

Ejercicio 5.24 Enumerar todas las posibilidades para n de modo que φ(n)sea multiplo de 4.

Ejercicio 5.25 Sea p un numero primo mayor que 3 y α, β dos enterospositivos. Si la descomposicion en factores primos de un numero n es n =2α · 3α · pβ, se pide:

a) Hallar n sabiendo que φ(n) = 216, siendo φ la funcion de Euler.

b) En el caso de existir mas de una solucion del apartado anterior, elegirdos de ellas, n1 y n2 y hallar φ(|n1 − n2|).

Ejercicio 5.26 Realizar la codificacion RSA de “HELLO” con r = 1, y laclave publica (101, 3). Comprobar decodificando el resultado.(Nota: utilizar la conversion A=1, B=2, C=3, . . . , Y=26, Z=27).

Ejercicio 5.27 Decodificar el mensaje 1914, sabiendo que la clave publica es(2803, 113).(Nota: utilizar la conversion A=1, B=2, C=3, . . . , Y=26, Z=27).

Ejercicio 5.28 Realizar la codificacion RSA de la palabra HOLA, tomandor = 4, y con la clave publica (3524084471, 5), sabiendo que 3524084471 =59359× 59369. Calcular la clave privada.

Ejercicio 5.29 Utilizando el alfabeto { , E, M, N, O, P, R, S} y numerandosus elementos del 0 al 7 respectivamente, descifrar el mensaje 061−026−091−014− 035− 094− 021 sabiendo que fue cifrado mediante un codigo RSA conr = 2 y que la clave publica es (101, 67).

Ejercicio 5.30 Utilizando el alfabeto { , A, B, C, D, E} y numerando suselementos del 0 al 5 respectivamente. Si tomamos, para un codigo RSA, laclave publica (12, 5) con r = 2 se pide:

a) Cifrar el mensaje BECA.

b) Descifrar el mensaje cifrado en el apartado anterior.

c) ¿Que es lo que falla? Justifica la respuesta.


Ejercicio 5.31 Utilizando el alfabeto { , A, D, E, I, L, N, O, R, U} y nu-merando sus elementos del 0 al 9 respectivamente, descifrar el mensaje

798− 012− 450− 847− 822

sabiendo que fue cifrado mediante un codigo RSA con r = 3 y clave publica(1009, 605).

Ejercicio 5.32 Utilizando el alfabeto { ,A, B, C, D, E, I, N, O, S, T } y nu-merando sus elementos del 0 al 10 respectivamente, se pide:

a) Si queremos cifrar mensajes mediante RSA tomando r = 2 (dividiendo eltexto en grupos de dos letras) ¿es correcta la clave (n, e) = (1213, 485)?Justifica la respuesta.

b) Teniendo en cuenta que se ha utilizado dicha clave, descifrar el mensaje

466− 1117− 952− 533− 295− 359

Ejercicio 5.33 El identificador ISBN de los libros es un codigo de 10 dıgitos(x1−x2x3−x4x5x6x7x8x9−x10) con identificadores por bloques, donde el ultimox10 es un dıgito de control (un dıgito o la letra X), que verifica

∑10i=1 ixi ≡ 0

(mod 11)

a) Si los nueve primeros valores del ISBN de un libro es 0−07−053945.¿Cuales el valor de x10?

b) Si para otro libro, su ISBN es 0 − 201 − 57a89 − 1. Encontrar el valorde a

6. Recursion

Ejercicio 6.1 Encontrar una formula explıcita para los terminos de la sucesiondefinida por:

u0 = 0 , u1 = 1 , un = 5un−1 − 6un−2 (n ≥ 2)

Ejercicio 6.2 Hallar una formula explıcita para los terminos de la sucesiondefinida por:

u0 = 1 , u1 = 0 , un = 6un−1 − 8un−2 (n ≥ 2)


u0 = 1 , u1 = 2 , u2 = 3 , un = 5un−1 − 8un−2 + 4un−3 (n ≥ 3)

Ejercicio 6.4 Hallar una formula explıcita para el termino general de lasucesion definida mediante

a0 = 0, a1 = 1, a2 = 3, siendo an−an−1 = 4[(an−1−an−2)−(an−2−an−3)] (n ≥ 3)

Ejercicio 6.5 Hallar el termino general de las sucesiones definidas por:

a) un+1 − un = 2n+ 3 para n ≥ 0 con u0 = 1.

b) un+1 − un = 3n2 − n para n ≥ 0 con u0 = 3.

c) un+1 − 2un = 5 para n ≥ 0 con u0 = 1.

d) un+1 − 2un = 2n para n ≥ 0 con u0 = 1.

Ejercicio 6.6 Hallar el termino general de las sucesiones definidas por:

27


a) un+2 + 3un+1 + 2un = 3n (n ≥ 0) con u0 = 0 y u1 = 1.

b) un+2 + 4un+1 + 4un = 7 (n ≥ 0) con u0 = 1 y u1 = 2.

Ejercicio 6.7

a) Determinar una formula explıcita para el termino general de la sucesionun definida por la recurrencia lineal y homogenea

u0 = 1 , u1 = 6un = 6un−1 − 9un−2 ∀ n ≥ 2

b) Determinar una formula explıcita para el termino general de la sucesionun definida por la recurrencia lineal no homogenea

u0 = 1 , u1 = 6un = 4n+ 6un−1 − 9un−2 ∀ n ≥ 2

Ejercicio 6.8 Nos regalan tres sellos y decidimos iniciar una coleccion. Elano siguiente, la incrementamos con 8 sellos mas (tendrıamos entonces 11sellos). Si cada ano compramos un numero de sellos igual al doble de los quecompramos el ano anterior, ¿al cabo de cuantos anos habremos superado elmillon de sellos?

Ejercicio 6.9 Los dos primeros terminos de una sucesion valen, respectiva-mente, 1 y 2. Sabiendo que cada termino es la media aritmetica del anteriorcon la media aritmetica de los dos adyacentes (anterior y posterior), se pide:

a) Hallar una formula explıcita para los terminos de dicha sucesion.

b) Describir un procedimiento para calcular el termino 40 realizando, a lomas, 10 operaciones (sumas, restas, multiplicaciones o divisiones).

Ejercicio 6.10 Sea un el numero de palabras de longitud n en el alfabeto{0, 1} con la propiedad de no tener ceros consecutivos. Probar que:

u1 = 2, u2 = 3, un = un−1 + un−2 (n ≥ 3)

Ejercicio 6.11 Llamamos Dn al numero de formas en que pueden distribuirsen cartas en n sobres sin que ninguna este en el sobre correcto. Demostrar quepara todo n > 2 se verifica la relacion

Dn = (n− 1)(Dn−1 +Dn−2).


u0 = 1 , un − 3un−1 = n (n ≥ 1)

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