Estabilidad de taludesCálculo del factor de seguridad en la estabilidad de taludes considerando rotura

circular

Calculation of security factor in slope stability considering circular failure

Cálculo do fator de segurança na estabilidade de taludes considerando rompimento circular

1 2Roberto Ucar Norly Belandria

Recibido: 13-2-15; Aprobado: 13-3-15

Resumen Abstract ResumoLa inestabilidad de las laderas y The instability of slopes and A instabilidade das ladeiras e talu-taludes en obras viales y minería hillsides in roadwork and min- des em obras rodoviárias e mine-generada por factores externos ing generated by external ração gerada por fatores externos y antrópicos ayudan a desenca- and anthropogenic factors e antrópicos ajudam a desenca-denar movimientos en masa pro- help to trigger mass move- dear movimentos em massa pro-duciendo el desprendimiento del ments causing the detach- duzindo o desprendimento do ma-material y obstaculizando la ca- ment of material obstructing terial e obstaculizando a estrada rretera o la extracción del mine- circulation or mineral extrac- ou a extração do mineral. A massa ral. La masa deslizante tiende a tion. The sliding mass tends deslizante tende a gerar e procu-generar y buscar la superficie de to generate and search the rar a superfície de rompimento ma-rotura más propensa al desliza- failure surface more likely to is propensa ao deslizamento, a miento, la cual se asemeja geo- slip which geometrically re- qual se assemelha geometrica-métricamente a un arco de círcu- sembles a circular arc or cir- mente a um arco de círculo ou rom-lo o rotura circular. En la siguien- cular failure. The aim of this pimento circular. Na seguinte in-te investigación se propone de- research is to determine of vestigação propõe-se determinar terminar el factor de seguridad the security factor consider- o fator de segurança consideran-considerando rotura circular apli- ing circular failure by applying do rompimento circular aplicando cando las condiciones de equili- the equilibrium conditions as condições de equilíbrio através brio a través de los métodos del through the rotation of axes, dos métodos do cálculo de varia-cálculo de variaciones, Bishop, variational calculus, Bishop ções, Bishop, a rotação de eixos e la rotación de ejes y el programa and Slide program methods. o programa Slide. A comparação Slide. La comparación se lleva a The comparison is performed leva-se a cabo em um talude com cabo en un talud con corte verti- in a slope vertical section of corte vertical de 13,86 metros de cal de 13,86 metros de altura, en 13.86 meters high, in which altura, no qual se divide a massa el cual se divide la masa desli- the sliding mass is divided deslizante em oito fatias. Os resul-zante en ocho rebanadas. Los re- into eight slices. In this study, tados obtidos com respeito ao fa-sultados obtenidos con respecto the value of the security fac- tor de segurança são praticamen-al factor de seguridad son prácti- tor is practically the same for te os mesmos pelos diferentes mé-camente los mismos por los dife- the different methods, allow- todos, o que permite validar o mé-rentes métodos, lo que permite ing validate the proposed nu- todo numérico proposto para re-validar el método numérico pro- merical method to solve the solver o sistema de equações não puesto para resolver el sistema system of nonlinear equa- lineares ao aplicar o cálculo de va-de ecuaciones no lineales al apli- tions by applying variational riações.car el cálculo de variaciones. calculus. Palavras-chave: Bishop, cálculo Palabras clave: Bishop, cálcu- Keywords: Bishop, circular de variações, circular, rotação de lo de variaciones, circular, rota- fa i lu re , ro ta t ion axes, eixos.ción de ejes. variational calculus.

1 IngºMinº, Dr, Profesor, ULA, e-mail: robertoucar@gmail.com2 IngºGeoº, MSc, Grupo de Investigación en Geología Aplicada. GIGA, Profesora, ULA, e-mail: nbelandria@ula.ve

GEOMINAS, Vol. 43, N° 66, abril 2015 15

R. Ucar, N. Belandria

16 GEOMINAS, Vol. 43, N° 66, abril 2015 GEOMINAS, abril 2015 17

Cálculo del factor de seguridad en la estabilidad de taludes …

Introducción Antecedentes · La curva pasa por el origen, es La modelación matemática de los Son muchos los investigadores decir, cuando x=0, y=0, la ecua-taludes es parte de la práctica de la que han aplicado diferentes técni- ción de la circunferencia queda:ingeniería geotécnica, con el obje- cas para diseñar taludes estables to de analizar las condiciones de en las diferentes obras de ingenie- (2)estabilidad en el diseño de taludes, ría. Entre los métodos utilizados se asì como, la seguridad y su funcio- encuentra el equilibrio límite que · En la cresta del talud, cuando nalidad. Dentro de las metodolo- fue ampliamente estudiado por Fe- y=H , x =x , por lo tanto, al emplear B

gías disponibles, se encuentran el llenius, (1936), Janbu (1954), Bis- la ecuación 1, queda:método de límite de equilibrio. El hop (1955), Morgenstern & Price Factor de seguridad en la estabili- (1965), Spencer (1967). La aplica- (3)dad de taludes se basa en la apli- ción del cálculo variacional en el es-cación del método de equilibrio lími- tudio de estabilidad de taludes en · De la ecuación anterior al despe-te. principio fue propuesta por Baker jar x se obtiene que:BLos taludes están formados por & Garber (1977), Chen (1975),

suelo o macizo rocoso, dependien- Castillo & Revilla, (1976), Castillo

(4)do del material del talud se pueden & Revilla (1976), Leshchinsky & generar diferentes tipos de superfi- Huang, (1992), Rojas & Úcar,

Donde, H, es la altura del talud, X , Bcies de falla, por ejemplo en maci- (2001), Mac-Lennan (2004), Baker es la coordenada en la cresta del ta-

zos rocosos la superficie de falla (2005). La siguiente investigación lud y permite determinar el corte de

depende de las discontinuidades se basa en la determinación del la superficie de rotura con la cresta

presentes y pueden generarse ro- Factor de Seguridad por diferentes del talud.

turas plana, cuña y en vuelco, mien- métodos de equilibrio límite, donde Finalmente, la ecuación de la cir-

tras que en suelos la superficie de se aplica una metodología para re-cunferencia, está definida por la si-

falla forma aproximadamente un ar- solver el sistema de ecuaciones no guiente expresión, (ver figura 1).

co de círculo o lo que es lo mismo lineales presentadas en Ucar

una rotura circular. (2004), generadas por la aplica-(5)

La presente investigación estudia ción del cálculo variacional, el mé-la superficie de rotura circular para todo analítico de rotación de ejes

Derivando la ecuación anterior se un talud en el que se emplean dife- propuesto por Belandria & Ucar(

obtiene el ángulo de rotura (a) que rentes métodos basados en el equi- 2008) y el método simplificado de forma la tangente a la curva con la librio límite. El método de rotación Bishop aplicando la ecuación y a horizontal y puede escribirse como de ejes, junto con las ecuaciones través del programa Slide para una sigue:de equilibrio y las condiciones de superficie de rotura circular.

borde permite determinar los es- fuerzos normales y tangenciales Metodología empleada

(6)en cualquier punto de la superficie de rotura y por ende, el factor de se- Determinación de la superficie

Donde, a, es el ángulo que forma guridad. El método del cálculo de de rotura circular en un taludvariaciones, se utilizan los procedi- Se analiza un talud con una incli- la superficie circular de rotura con mientos matemáticos conjunta- nación (β), en el que se desea de- la abscisa.mente con las condiciones de equi- terminar la distribución de los es-librio estático a lo largo de la línea fuerzos normales y cortantes al Método analítico de la rotura cir-potencial de falla, que formuladas considerar que la superficie de rotu- cular aplicando la técnica de ro-en forma de integrales con ciertas ra es circular. A continuación se pre- tación de ejescondiciones de contorno, es posi- senta en la figura 1, las caracterís- a) Determinación del esfuerzo ble minimizar dichas integrales, y ticas tomadas en cuenta para este normal y tangencialpor ende, determinar la superficie tipo de rotura. La ecuación de la distribución de que resulta en el mínimo Factor de Para una rotura circular la ecua- los esfuerzos normales y cortantes Seguridad. El cálculo de variacio- ción de la circunferencia es la si- a lo largo de la superficie de rotura nes genera un sistema de ecuacio- guiente: se determina relacionando el pla-nes no lineales y para la solución n o d e c o o r d e n a d a s x ' y ' q u e c o i n c i - se apoya en los métodos numéri- (1) de con la cara libre del talud, con cos y en software como el Maple. otro plano x''y'' que coincide con la El método de Dovelas se basa en Siendo, (b , b ) las coordenadas superficie de rotura (ver figura 1), a 1 2

dividir la masa deslizante en reba- través de la matriz de rotación se-del circulo crítico, R, radio del nadas y aplicar la metodología de gún Apostol(1965).círculo. Bishop que permite obtener el fac- Considerando la figura 1 y aplican-tor de seguridad por corte en sue- (7)do las condiciones de contorno es los con superficies de deslizamien- posible reducir la expresión de la to circular. Donde, es la matriz de rotación circunferencia, teniendo en cuen- ,

ta: que incluye los cosenos directores

(Belandria & Ucar, 2008) y (Belandria, et al., 2011), es decir:

(10)

Reemplazando las condiciones in-dicadas en la ecuación (10), la cur-va circular de la ecuación (5), las re-laciones y obtenida por re-laciones geométricas de la figura (1) y dividiendo entre gH para adi-

mensionar la ecuación, la expre-sión del esfuerzo normal (10) toma la forma:

que relacionan ambos planos, esfuerzos referida al plano x'y', esfuerzos referida al plano x''y''. (11)La distribución de los esfuerzos (Goncalves, 1999) so-bre la superficie de rotura, se realiza con la ayuda de la aplicación de las ecuaciones de equilibrio en la figu-ra 1, donde se realizan sumatoria de fuerzas y mo- Para determinar el esfuerzo cortante (t ), se resuel-ntmentos en el plano x'y', los cuales permiten la obten-

ve el sistema matricial de la expresión (7), donde ción de las tensiones normales y cortantes, las cua-

t = , (Belandria & Ucar, 2008) y (Belandria, et al., x”y”les son:2011), es decir:

(12)

(8)

Realizando el mismo procedimiento aplicado para el esfuerzo normal, se obtiene: Donde g, representa el peso por unidad de volumen

del material rocoso, b, buzamiento del talud, ,

esfuerzos normales referidos al plano x'y', el es-fuerzo cortante referido al plano x'y'.Considerando que el esfuerzo cortante es una fun- (13)ción lineal de x', es decir, , luego derivando, integrando y simplificando la expresión (8) se obtie-ne:

b) Determinación de las constantes de integra-(9) ción a y b

Las constantes a y b se calculan teniendo en cuenta la siguiente expresión que relaciona el plano xy con

Donde a y b son constantes de integración. respecto al plano x'y' aplicando la rotación de ejes Para determinar el esfuerzo normal ( ), se resuel- (Belandria & Ucar, 2008) y Belandria, et al. (2011):ve el sistema matricial de la expresión 7, donde,

, es la matriz de , es la matriz de

tnt

( ) ( )2 2 21 2x b y b R- + - =

( ) ( )2 2 21 2b b R+ =

( ) ( )2 2 2B 1 2x b H b R- + - =

( )22B 2 1x R H b b= ± - - +

( )22

2 1y b R x b= - - -

( )

( )

1

221

x bdytan

dx R x b

-æ öa = =ç ÷

è ø - -

T

x ''y '' x 'y 'R Rs s=

x 'y 's x ''y''s

Figura 1. Representación de la superficie de rotura circular y sus relaciones geométricas.

R

y xx xx '

y 'y ' x 'y 'y '

x ' y 'x ' x 'y '

F 0 cosx y

F 0 seny ' x '

M 0

tsg b

s tg b

t t

¢¢¢¢¶¶

= + =¢ ¢¶ ¶

¶ ¶= + = -

¶ ¶

= =

å

å

å

x'x' y'y'ys s

x 'y 't

x 'y ' ax 't =

( )x 'x '

y 'y '

x 'y '

cos x '

sen a y b

ax

s g b

s g b

t

=

¢= - - +

¢=

nns

x ''x '' nns s=

( ) ( ) ( ) ( )2 2nn x x y y x ycos sen 2 sen cos¢¢ ¢¢ ¢¢= - + - + - -s s b a s b a t b a b a

x x sen ycosb b¢= - y x cos ysenb b¢= +

( )

( ) ( )

( )( )

( )

22nn 2 1 2

222 1 2

b R x bxsen cos cos cos asen 2

H H H

b R x bxb sen a cos sen sen

H H

sb b b b a b a

g

b b b b a

ì üæ ö- - -ï ïç ÷ é ù= - × - - - +é ùí ý ë ûë ûç ÷ç ÷ï ïè øî þ

ì üé ùæ ö- - -ï ïê úç ÷- + + × -í ýê úç ÷ç ÷ï ïê úè øë ûî þ

( )

( )( )

( )( )

( )

22n t 2 1

222 1

222 1

b R x b1 xcos sen cos

H 2 H H

b R x bxsen a cos sen b

H H

b R x bxsen 2 a sen cos cos 2

H H

é æ öæ ö- - -ê ç ÷ç ÷= - +ê ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ê è øè øë

ùæ öæ ö- - - úç ÷ç ÷+ + - ×úç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ úè øè ø û

é ùæ ö- - -ê úç ÷- + - × -é ù é ùë û ë ûê úç ÷ç ÷ê úè øë û

tb b b

g

b b b

b a b b b a

R. Ucar, N. Belandria

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Cálculo del factor de seguridad en la estabilidad de taludes …

Introducción Antecedentes · La curva pasa por el origen, es La modelación matemática de los Son muchos los investigadores decir, cuando x=0, y=0, la ecua-taludes es parte de la práctica de la que han aplicado diferentes técni- ción de la circunferencia queda:ingeniería geotécnica, con el obje- cas para diseñar taludes estables to de analizar las condiciones de en las diferentes obras de ingenie- (2)estabilidad en el diseño de taludes, ría. Entre los métodos utilizados se asì como, la seguridad y su funcio- encuentra el equilibrio límite que · En la cresta del talud, cuando nalidad. Dentro de las metodolo- fue ampliamente estudiado por Fe- y=H , x =x , por lo tanto, al emplear B

gías disponibles, se encuentran el llenius, (1936), Janbu (1954), Bis- la ecuación 1, queda:método de límite de equilibrio. El hop (1955), Morgenstern & Price Factor de seguridad en la estabili- (1965), Spencer (1967). La aplica- (3)dad de taludes se basa en la apli- ción del cálculo variacional en el es-cación del método de equilibrio lími- tudio de estabilidad de taludes en · De la ecuación anterior al despe-te. principio fue propuesta por Baker jar x se obtiene que:BLos taludes están formados por & Garber (1977), Chen (1975),

suelo o macizo rocoso, dependien- Castillo & Revilla, (1976), Castillo

(4)do del material del talud se pueden & Revilla (1976), Leshchinsky & generar diferentes tipos de superfi- Huang, (1992), Rojas & Úcar,

Donde, H, es la altura del talud, X , Bcies de falla, por ejemplo en maci- (2001), Mac-Lennan (2004), Baker es la coordenada en la cresta del ta-

zos rocosos la superficie de falla (2005). La siguiente investigación lud y permite determinar el corte de

depende de las discontinuidades se basa en la determinación del la superficie de rotura con la cresta

presentes y pueden generarse ro- Factor de Seguridad por diferentes del talud.

turas plana, cuña y en vuelco, mien- métodos de equilibrio límite, donde Finalmente, la ecuación de la cir-

tras que en suelos la superficie de se aplica una metodología para re-cunferencia, está definida por la si-

falla forma aproximadamente un ar- solver el sistema de ecuaciones no guiente expresión, (ver figura 1).

co de círculo o lo que es lo mismo lineales presentadas en Ucar

una rotura circular. (2004), generadas por la aplica-(5)

La presente investigación estudia ción del cálculo variacional, el mé-la superficie de rotura circular para todo analítico de rotación de ejes

Derivando la ecuación anterior se un talud en el que se emplean dife- propuesto por Belandria & Ucar(

obtiene el ángulo de rotura (a) que rentes métodos basados en el equi- 2008) y el método simplificado de forma la tangente a la curva con la librio límite. El método de rotación Bishop aplicando la ecuación y a horizontal y puede escribirse como de ejes, junto con las ecuaciones través del programa Slide para una sigue:de equilibrio y las condiciones de superficie de rotura circular.

borde permite determinar los es- fuerzos normales y tangenciales Metodología empleada

(6)en cualquier punto de la superficie de rotura y por ende, el factor de se- Determinación de la superficie

Donde, a, es el ángulo que forma guridad. El método del cálculo de de rotura circular en un taludvariaciones, se utilizan los procedi- Se analiza un talud con una incli- la superficie circular de rotura con mientos matemáticos conjunta- nación (β), en el que se desea de- la abscisa.mente con las condiciones de equi- terminar la distribución de los es-librio estático a lo largo de la línea fuerzos normales y cortantes al Método analítico de la rotura cir-potencial de falla, que formuladas considerar que la superficie de rotu- cular aplicando la técnica de ro-en forma de integrales con ciertas ra es circular. A continuación se pre- tación de ejescondiciones de contorno, es posi- senta en la figura 1, las caracterís- a) Determinación del esfuerzo ble minimizar dichas integrales, y ticas tomadas en cuenta para este normal y tangencialpor ende, determinar la superficie tipo de rotura. La ecuación de la distribución de que resulta en el mínimo Factor de Para una rotura circular la ecua- los esfuerzos normales y cortantes Seguridad. El cálculo de variacio- ción de la circunferencia es la si- a lo largo de la superficie de rotura nes genera un sistema de ecuacio- guiente: se determina relacionando el pla-nes no lineales y para la solución n o d e c o o r d e n a d a s x ' y ' q u e c o i n c i - se apoya en los métodos numéri- (1) de con la cara libre del talud, con cos y en software como el Maple. otro plano x''y'' que coincide con la El método de Dovelas se basa en Siendo, (b , b ) las coordenadas superficie de rotura (ver figura 1), a 1 2

dividir la masa deslizante en reba- través de la matriz de rotación se-del circulo crítico, R, radio del nadas y aplicar la metodología de gún Apostol(1965).círculo. Bishop que permite obtener el fac- Considerando la figura 1 y aplican-tor de seguridad por corte en sue- (7)do las condiciones de contorno es los con superficies de deslizamien- posible reducir la expresión de la to circular. Donde, es la matriz de rotación circunferencia, teniendo en cuen- ,

ta: que incluye los cosenos directores

(Belandria & Ucar, 2008) y (Belandria, et al., 2011), es decir:

(10)

Reemplazando las condiciones in-dicadas en la ecuación (10), la cur-va circular de la ecuación (5), las re-laciones y obtenida por re-laciones geométricas de la figura (1) y dividiendo entre gH para adi-

mensionar la ecuación, la expre-sión del esfuerzo normal (10) toma la forma:

que relacionan ambos planos, esfuerzos referida al plano x'y', esfuerzos referida al plano x''y''. (11)La distribución de los esfuerzos (Goncalves, 1999) so-bre la superficie de rotura, se realiza con la ayuda de la aplicación de las ecuaciones de equilibrio en la figu-ra 1, donde se realizan sumatoria de fuerzas y mo- Para determinar el esfuerzo cortante (t ), se resuel-ntmentos en el plano x'y', los cuales permiten la obten-

ve el sistema matricial de la expresión (7), donde ción de las tensiones normales y cortantes, las cua-

t = , (Belandria & Ucar, 2008) y (Belandria, et al., x”y”les son:2011), es decir:

(12)

(8)

Realizando el mismo procedimiento aplicado para el esfuerzo normal, se obtiene: Donde g, representa el peso por unidad de volumen

del material rocoso, b, buzamiento del talud, ,

esfuerzos normales referidos al plano x'y', el es-fuerzo cortante referido al plano x'y'.Considerando que el esfuerzo cortante es una fun- (13)ción lineal de x', es decir, , luego derivando, integrando y simplificando la expresión (8) se obtie-ne:

b) Determinación de las constantes de integra-(9) ción a y b

Las constantes a y b se calculan teniendo en cuenta la siguiente expresión que relaciona el plano xy con

Donde a y b son constantes de integración. respecto al plano x'y' aplicando la rotación de ejes Para determinar el esfuerzo normal ( ), se resuel- (Belandria & Ucar, 2008) y Belandria, et al. (2011):ve el sistema matricial de la expresión 7, donde,

, es la matriz de , es la matriz de

tnt

( ) ( )2 2 21 2x b y b R- + - =

( ) ( )2 2 21 2b b R+ =

( ) ( )2 2 2B 1 2x b H b R- + - =

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( )22

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( )

( )

1

221

x bdytan

dx R x b

-æ öa = =ç ÷

è ø - -

T

x ''y '' x 'y 'R Rs s=

x 'y 's x ''y''s

Figura 1. Representación de la superficie de rotura circular y sus relaciones geométricas.

R

y xx xx '

y 'y ' x 'y 'y '

x ' y 'x ' x 'y '

F 0 cosx y

F 0 seny ' x '

M 0

tsg b

s tg b

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å

å

å

x'x' y'y'ys s

x 'y 't

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y 'y '

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x ''x '' nns s=

( ) ( ) ( ) ( )2 2nn x x y y x ycos sen 2 sen cos¢¢ ¢¢ ¢¢= - + - + - -s s b a s b a t b a b a

x x sen ycosb b¢= - y x cos ysenb b¢= +

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( )( )

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222 1

b R x b1 xcos sen cos

H 2 H H

b R x bxsen a cos sen b

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é ùæ ö- - -ê úç ÷- + - × -é ù é ùë û ë ûê úç ÷ç ÷ê úè øë û

tb b b

g

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18 19

(14)

Donde s

, es la matriz de rotación que incluye los cosenos directores que relacionan ambos planos.,

Al resolver la ecuación matricial anterior se obtiene la expresión del esfuerzo s , que representa el esfuerzo yy

normal y t es el esfuerzo tangencial, ambos referidos al plano xy de la figura 1.xy

(15)

Por otra parte, las condiciones de borde en la cresta del talud son:

(16)

Donde q, es una carga externa uniformemente distribuida sobre la cresta del talud o sobrecarga.Al reemplazar s de la ecuación 15 en las condiciones de borde de la ecuación 16. Así mismo de acuer-

do a la figura (1) se sabe que para una rotura circular los valores de x y x en la cresta del talud corresponden A B

a: y siguientes expresiones:

(17)

Donde: , representan las constantes de integración adimensionales y

c) Determinación del factor de seguridadLa ecuación del factor de seguridad (FS), considerando el método de equilibrio límite y el criterio de rotura de Morh-Coulomb, se puede expresar a través de la conocida ecuación:

(18)

Donde, C, cohesión, tanF, coeficiente de rozamiento, FS, factor de seguridad, u, presión de poros y t, ten-

sión tangencial en la superficie de falla.Para determinar el valor medio del esfuerzo normal y tangencial se aplica la ecuación del teorema del valor medio definido a través de la siguiente expresión:

(19)

Donde x y x representan los límites en la cresta del talud siendo y A B

Aplicación del cálculo de variacionesPreviamente a la aplicación del cálculo de variaciones y conocida la superficie de rotura de tipo circular, a con-tinuación se indica la ecuación de equilibrio expresada vectorialmente de acuerdo a la figura 2:

(20)

Donde, t= t(x) = la tensión tangencial actuando sobre y(x), s= s(x) = la tensión normal actuando sobre

y(x), = peso unitario del suelo o roca, ds = diferencial de longitud de la superficie potencial de rotura, K = coe-h

xy x´y´

yy xy

, es la matriz de esfuerzos referida al plano xy, s , es la matriz de esfuerzos referida al plano x'y'

y t

. Adicionalmente, al reemplazar

.

se obtienen las

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R. Ucar, N. Belandria Cálculo del factor de seguridad en la estabilidad de taludes …

T

xy x 'y 'R Rs s= × ×

R

2 2yy y'y ' x 'x ' x 'y 'sen cos 2 sen coss s b s b t b b= + -

( )xy y'y' x 'x ' x 'y '

1sen2 cos2

2t s s b t b= - -

( )B

A

X

yyX

dx qH cot cots b aÞ -òB

A

x

xyxdx 0 y Ht = \ =ò

Ax Hcot b= ( )22

B 2 1x R H b b= - - + a ba y bHg g

= =

( )( )

3 3 3 32

3 3

q 2cos sen q aa ; b

2 cos sen sen

x b m b x y

y b q b b

- - - -= =

+

a ba y bHg g

= =

( )

( )

( ) ( )

223 2 1

22 2 23 2 1

22 23 2 1

3

3 3R H b b Hcot sen sen2 sen2 cos sen

4H 2

1R H b b Hcot sen cos cos 2 cos cos 2 sen

2H

13cos 1 Hcot R H b b sen 2cos 2Hcos

H

2 sen

y b b b b b b

x b b b b b b b

q b b b b b

m b

é ùæ ö= - - - + + + -ç ÷ê úè øë û

é ùæ ö= - - + + - -ç ÷ê úè øë û

ì üé ùæ ö= - + - - + - +í ýç ÷ê úè øë ûî þ

= ( )22 22 1

1cos Hcot R H b b sen 2cos sen2

Hb b b b bé ùæ ö+ - - + - +ç ÷ê úè øë û

( )tanC  uFS

s f

t

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( )

B

A

x

medioB A x

1y f x dx

x x=

- ò Ax Hcot b=

( )22B 2 1x R H b b= - - +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t s g

bé ù é ù= + + - + - - -ë û ë ûò ò ò ò

rur uur r rm m m

0 0 0

x x x

1 0 0 v hx x xt

qJ t n ds dx 1 K g x y x jdx K g x y x jdx

cos

ficiente sísmico horizontal, K = coeficiente sísmico vertical, g(x) = función de la superficie del talud, y(x) = fun-v

ción de la superficie de roturaA la vez las sumatorias de fuerzas horizontales, verticales y de momento, pueden expresarse mediante las ecuaciones:

(21)

( )

( ) ( ) ( )( )m

0

x

xx

h

t

C u tan 

dx 0qFS  y ' x K     g x y x  

cos

s f

s gb

ì ü+ -ï ï

=é ùí ý- + - -ê úï ï

ë ûî þ

ò

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

m

0

x

yx

v

t

C u tan   y '  x

dx 0qFS  1 K g x y x

cos

s f

s gb

ì üé ù+ -ë ûï ïï ï=í ýé ù

+ + - + -ï ïê úï ïë ûî þ

ò

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

0

 

2 2

      '

1  '  

     0

 1      2

s f

sb

g g

ì üé ù é ù+ - -ë û ë ûï ïï ïé ù

+ + -ï ïê ú=í ýê ú

-ï ïê úé ù-ï ïê úê ú- + - +ï ïê úê úë ûë ûî þ

òmx y x

t

x

v h

C u tan y x x y x

x y x y x xq q g xcos dx

FSg x y x

x K g x y x K

Donde, C, es la cohesión del material, u, presión de poros, s, es el tensión normal a la superficie de rotura,

FS, factor de seguridad, q y q sobrecarga referida a la abscisa y ordenada, tanF, es el coeficiente de fricción x y

interna y

Para la solución de estas integrales (ecuación 21) se utiliza la integración numérica compuesta (regla com-puesta del punto medio). Cabe destacar que puede aplicarse cualquier integración numérica con menor error de aproximación.Posteriormente se requiere un funcional (G) que agrupe las ecuaciones de equilibrio incorporando para esto los multiplicadores de Lagrange (l y l ), es decir, 1 2

( ) ( )dyy ' xdx

=

h 1 v 2G F F Ml l= + +å å å

Figura 2. Parámetros involucrados en el talud aplicando cálculo de variaciones.

18 19

(14)

Donde s

, es la matriz de rotación que incluye los cosenos directores que relacionan ambos planos.,

Al resolver la ecuación matricial anterior se obtiene la expresión del esfuerzo s , que representa el esfuerzo yy

normal y t es el esfuerzo tangencial, ambos referidos al plano xy de la figura 1.xy

(15)

Por otra parte, las condiciones de borde en la cresta del talud son:

(16)

Donde q, es una carga externa uniformemente distribuida sobre la cresta del talud o sobrecarga.Al reemplazar s de la ecuación 15 en las condiciones de borde de la ecuación 16. Así mismo de acuer-

do a la figura (1) se sabe que para una rotura circular los valores de x y x en la cresta del talud corresponden A B

a: y siguientes expresiones:

(17)

Donde: , representan las constantes de integración adimensionales y

c) Determinación del factor de seguridadLa ecuación del factor de seguridad (FS), considerando el método de equilibrio límite y el criterio de rotura de Morh-Coulomb, se puede expresar a través de la conocida ecuación:

(18)

Donde, C, cohesión, tanF, coeficiente de rozamiento, FS, factor de seguridad, u, presión de poros y t, ten-

sión tangencial en la superficie de falla.Para determinar el valor medio del esfuerzo normal y tangencial se aplica la ecuación del teorema del valor medio definido a través de la siguiente expresión:

(19)

Donde x y x representan los límites en la cresta del talud siendo y A B

Aplicación del cálculo de variacionesPreviamente a la aplicación del cálculo de variaciones y conocida la superficie de rotura de tipo circular, a con-tinuación se indica la ecuación de equilibrio expresada vectorialmente de acuerdo a la figura 2:

(20)

Donde, t= t(x) = la tensión tangencial actuando sobre y(x), s= s(x) = la tensión normal actuando sobre

y(x), = peso unitario del suelo o roca, ds = diferencial de longitud de la superficie potencial de rotura, K = coe-h

xy x´y´

yy xy

, es la matriz de esfuerzos referida al plano xy, s , es la matriz de esfuerzos referida al plano x'y'

y t

. Adicionalmente, al reemplazar

.

se obtienen las

GEOMINAS, Vol. 43, N° 66, abril 2015 GEOMINAS, abril 2015

R. Ucar, N. Belandria Cálculo del factor de seguridad en la estabilidad de taludes …

T

xy x 'y 'R Rs s= × ×

R

2 2yy y'y ' x 'x ' x 'y 'sen cos 2 sen coss s b s b t b b= + -

( )xy y'y' x 'x ' x 'y '

1sen2 cos2

2t s s b t b= - -

( )B

A

X

yyX

dx qH cot cots b aÞ -òB

A

x

xyxdx 0 y Ht = \ =ò

Ax Hcot b= ( )22

B 2 1x R H b b= - - + a ba y bHg g

= =

( )( )

3 3 3 32

3 3

q 2cos sen q aa ; b

2 cos sen sen

x b m b x y

y b q b b

- - - -= =

+

a ba y bHg g

= =

( )

( )

( ) ( )

223 2 1

22 2 23 2 1

22 23 2 1

3

3 3R H b b Hcot sen sen2 sen2 cos sen

4H 2

1R H b b Hcot sen cos cos 2 cos cos 2 sen

2H

13cos 1 Hcot R H b b sen 2cos 2Hcos

H

2 sen

y b b b b b b

x b b b b b b b

q b b b b b

m b

é ùæ ö= - - - + + + -ç ÷ê úè øë û

é ùæ ö= - - + + - -ç ÷ê úè øë û

ì üé ùæ ö= - + - - + - +í ýç ÷ê úè øë ûî þ

= ( )22 22 1

1cos Hcot R H b b sen 2cos sen2

Hb b b b bé ùæ ö+ - - + - +ç ÷ê úè øë û

( )tanC  uFS

s f

t

+ -é ùë û=

( )

B

A

x

medioB A x

1y f x dx

x x=

- ò Ax Hcot b=

( )22B 2 1x R H b b= - - +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t s g

bé ù é ù= + + - + - - -ë û ë ûò ò ò ò

rur uur r rm m m

0 0 0

x x x

1 0 0 v hx x xt

qJ t n ds dx 1 K g x y x jdx K g x y x jdx

cos

ficiente sísmico horizontal, K = coeficiente sísmico vertical, g(x) = función de la superficie del talud, y(x) = fun-v

ción de la superficie de roturaA la vez las sumatorias de fuerzas horizontales, verticales y de momento, pueden expresarse mediante las ecuaciones:

(21)

( )

( ) ( ) ( )( )m

0

x

xx

h

t

C u tan 

dx 0qFS  y ' x K     g x y x  

cos

s f

s gb

ì ü+ -ï ï

=é ùí ý- + - -ê úï ï

ë ûî þ

ò

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

m

0

x

yx

v

t

C u tan   y '  x

dx 0qFS  1 K g x y x

cos

s f

s gb

ì üé ù+ -ë ûï ïï ï=í ýé ù

+ + - + -ï ïê úï ïë ûî þ

ò

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

0

 

2 2

      '

1  '  

     0

 1      2

s f

sb

g g

ì üé ù é ù+ - -ë û ë ûï ïï ïé ù

+ + -ï ïê ú=í ýê ú

-ï ïê úé ù-ï ïê úê ú- + - +ï ïê úê úë ûë ûî þ

òmx y x

t

x

v h

C u tan y x x y x

x y x y x xq q g xcos dx

FSg x y x

x K g x y x K

Donde, C, es la cohesión del material, u, presión de poros, s, es el tensión normal a la superficie de rotura,

FS, factor de seguridad, q y q sobrecarga referida a la abscisa y ordenada, tanF, es el coeficiente de fricción x y

interna y

Para la solución de estas integrales (ecuación 21) se utiliza la integración numérica compuesta (regla com-puesta del punto medio). Cabe destacar que puede aplicarse cualquier integración numérica con menor error de aproximación.Posteriormente se requiere un funcional (G) que agrupe las ecuaciones de equilibrio incorporando para esto los multiplicadores de Lagrange (l y l ), es decir, 1 2

( ) ( )dyy ' xdx

=

h 1 v 2G F F Ml l= + +å å å

Figura 2. Parámetros involucrados en el talud aplicando cálculo de variaciones.

20 21GEOMINAS, Vol. 43, N° 66, abril 2015 GEOMINAS, abril 2015

R. Ucar, N. Belandria Cálculo del factor de seguridad en la estabilidad de taludes …

, donde el primer término representa la sumatoria de fuerzas horizontales, el segundo la sumatoria de fuer-zas verticales y el tercero la sumatoria de momentos expresadas en la ecuación 21. Además considerando que

y simplificando se obtiene:

(22)

Donde, x y y , es un centro geométrico que depende de los multiplicadores de Lagrange (l y l ).c c 1 2

Por otra parte, al considerar las ecuaciones de Euler, para el caso estudiado,

y

y hallando cada una de las derivadas del funcional (G), se tiene:

(23)

Según Mac-Lennan (2004) se deben combinar ambas ecuaciones de Euler en una, lo que permite determi-nar la superficie crítica, ésto da como resultado la siguiente expresión:

(24)

Cabe destacar que las pendientes o derivadas de la tensión , presión de poros y coordenada

de la superficie de rotura en cada rebanada 'n' de las ecuaciones 21,22, 23 y 24 se utilizan las si-guientes expresiones:

(25)

Aplicación del método simplificado de Bishop y SlideEl método de Bishop permite obtener el factor de seguridad por corte en suelos con superficies de desliza-miento circular. El factor de seguridad está contenido de forma implícita, donde es necesario dar valores al FS, hasta lograr el valor correcto, tal como se muestra en la ecuación (26). Generalmente son suficientes dos tanteos.

(26)

2

c1

2c

1 ;  y   xl

ll

= - =

( )( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( )

c c

yxc c c c

t t

2 2

c c

G C u tan y y C u tan y ' x x x

FSqFSqFS x x FS y ' x y y g y x x

cos cos

g yy FSKh g y FSKh FS 1 Kv g y x x 0

2

s f s f

s sb b

g g g

= + - - - + - -

- - - - + - - -

æ ö-+ - - + + - - =ç ÷

è ø

G d G

dx 's s

¶ ¶æ ö= ç ÷¶ ¶è ø

G d G

y dx y '

æ ö¶ ¶= ç ÷

¶ ¶è ø

( ) ( ) ( ) ( ) ( )c c c cy ' x tan    x x FS  y y FS  x x tan    y y 0f fé ù- + - + - - - =ë û

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

v

h

c c c

c

d dutan    x x FS  y y   x x tan     1 K FS

dx dx

2C 2  u tan  FS K   y y 0

sf f g

s f g

é ùæ ö æ öé ù- + - - - + +ç ÷ ç ÷ê úë û

è ø è øë û

+ + - + - =

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

c

h c

vc c

dud dytan    y y FS x x     x x tan     1 K FS

dx dx dx

2C 2  u tan  FS K   y y 0

sf f g

s f g

é ùæ öæ ö æ öé ù- + - - - + +ç ÷ ç ÷ ç ÷ê úë û

è ø è ø è øë û

+ + - + - =

( )ddx

s ( )dudx

( )dydx

( )

( )

( )

nn n 1 n 2

n 1 n 2

nn 1

nn

n n 2

d 13  4

dx 2  x

du 13 u 4u u

dx 2  x

dy 13 y 4y y

dx 2  x

ss s s- -

- -

- -

æ ö= - +ç ÷ Dè ø

æ ö= - +ç ÷ Dè ø

æ ö= - +ç ÷ Dè ø

i i i i

i ii

i i

C x W tan

sen tancos

FSFSW sen

D + D f

a fa +

=D a

å

å

Donde, C, es la cohesión en cada rebanada, Dx, ancho de cada rebanada, DW, peso de cada rebanada, a , i i i i

ángulo de que forma la superficie de rotura con la horizontal en cada rebanada, F , ángulo de fricción interna i

de cada rebanada.

Análisis de resultadosPara el estudio en la estabilidad de taludes considerando rotura circular a través de diferentes métodos, co-mo el cálculo de variaciones, rotación de ejes, Bishop y el programa Slide, se realiza un ejemplo con un talud de corte vertical mostrado en la figura 3, cuyas propiedades geotécnicas son las siguientes: altura del talud, H=13,86 m, ángulo que forma la cara libre del talud con respecto a la horizontal, b= 90°, peso unitario, g= 20

3 2kN/m , cohesión igual a 40 kN/m , ángulo de fricción interna (F) igual a 30°, coeficiente sísmico horizontal

(Kh) y vertical (Kv) igual a cero, presión de poros (u) igual a cero, sobrecarga igual a cero. Para efectos de di-seño se ha considerado que el centro (b , b ) del círculo tiene de coordenadas (-10, 15) y el radio del círculo 1 2

es de 18,03 m.

Figura 3. Representación de la geometría del talud en estudio.

Resultados del método analítico utilizando la técnica de rotación de ejesPara la aplicación de las ecuaciones del método analítico se debe determinar en primer lugar el valor de x B

que representa la coordenada en la cresta del talud y permite determinar el corte de la superficie de rotura con la cresta del talud, (ecuación 4), el cual arroja un valor de x igual a 8 m. Posteriormente se divide la masa B

deslizante en 8 rebanadas, tal como se muestra en la figura 3, con un ancho de rebanada (Dx) igual a 1 m.

Luego se buscan los puntos medios (x, y) de cada rebanada (ecuación 5) que pertenezcan a la ecuación de la circunferencia y de esta manera determinar los esfuerzos normales a cada punto y el Factor de Seguridad para luego compararse con los otros métodos (ver tabla 1).Seguidamente se determina cada una de las variables de la ecuación 17, es decir, y , e , Q , m , las cuales 3 3 3 3

permiten determinar las constantes de integración adimensionales , arrojando los resultados que se muestran en la tabla 2.Finalmente, se determinan los esfuerzos normales y tangenciales en cada punto de la superficie de rotura se-ñalados en la tabla 1, aplicando las ecuaciones 11 y 13, respectivamente. Los resultados se muestran en la tabla 3.Los esfuerzos s y s , representan los valores de los esfuerzos en la cabecera y pie del talud, mientras que 0 9

los esfuerzos s , s , s , s , s , s , s , s , representan los valores del esfuerzo en el punto medio de cada re-1 2 3 4 5 6 7 8

banada. Los esfuerzos normales en el punto medio de cada rebanada está representado por (s ), mientras nn

que los esfuerzos tangenciales, por ( ).nt

El factor de seguridad obtenido a través de la ecuación 18, aplicando el teorema del valor medio de la ecua-ción 19 en las expresiones 11 y 13 que corresponden al esfuerzo normal y tangencial, respectivamente, en el

a y b

20 21GEOMINAS, Vol. 43, N° 66, abril 2015 GEOMINAS, abril 2015

R. Ucar, N. Belandria Cálculo del factor de seguridad en la estabilidad de taludes …

, donde el primer término representa la sumatoria de fuerzas horizontales, el segundo la sumatoria de fuer-zas verticales y el tercero la sumatoria de momentos expresadas en la ecuación 21. Además considerando que

y simplificando se obtiene:

(22)

Donde, x y y , es un centro geométrico que depende de los multiplicadores de Lagrange (l y l ).c c 1 2

Por otra parte, al considerar las ecuaciones de Euler, para el caso estudiado,

y

y hallando cada una de las derivadas del funcional (G), se tiene:

(23)

Según Mac-Lennan (2004) se deben combinar ambas ecuaciones de Euler en una, lo que permite determi-nar la superficie crítica, ésto da como resultado la siguiente expresión:

(24)

Cabe destacar que las pendientes o derivadas de la tensión , presión de poros y coordenada

de la superficie de rotura en cada rebanada 'n' de las ecuaciones 21,22, 23 y 24 se utilizan las si-guientes expresiones:

(25)

Aplicación del método simplificado de Bishop y SlideEl método de Bishop permite obtener el factor de seguridad por corte en suelos con superficies de desliza-miento circular. El factor de seguridad está contenido de forma implícita, donde es necesario dar valores al FS, hasta lograr el valor correcto, tal como se muestra en la ecuación (26). Generalmente son suficientes dos tanteos.

(26)

2

c1

2c

1 ;  y   xl

ll

= - =

( )( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( )

c c

yxc c c c

t t

2 2

c c

G C u tan y y C u tan y ' x x x

FSqFSqFS x x FS y ' x y y g y x x

cos cos

g yy FSKh g y FSKh FS 1 Kv g y x x 0

2

s f s f

s sb b

g g g

= + - - - + - -

- - - - + - - -

æ ö-+ - - + + - - =ç ÷

è ø

G d G

dx 's s

¶ ¶æ ö= ç ÷¶ ¶è ø

G d G

y dx y '

æ ö¶ ¶= ç ÷

¶ ¶è ø

( ) ( ) ( ) ( ) ( )c c c cy ' x tan    x x FS  y y FS  x x tan    y y 0f fé ù- + - + - - - =ë û

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

v

h

c c c

c

d dutan    x x FS  y y   x x tan     1 K FS

dx dx

2C 2  u tan  FS K   y y 0

sf f g

s f g

é ùæ ö æ öé ù- + - - - + +ç ÷ ç ÷ê úë û

è ø è øë û

+ + - + - =

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

c

h c

vc c

dud dytan    y y FS x x     x x tan     1 K FS

dx dx dx

2C 2  u tan  FS K   y y 0

sf f g

s f g

é ùæ öæ ö æ öé ù- + - - - + +ç ÷ ç ÷ ç ÷ê úë û

è ø è ø è øë û

+ + - + - =

( )ddx

s ( )dudx

( )dydx

( )

( )

( )

nn n 1 n 2

n 1 n 2

nn 1

nn

n n 2

d 13  4

dx 2  x

du 13 u 4u u

dx 2  x

dy 13 y 4y y

dx 2  x

ss s s- -

- -

- -

æ ö= - +ç ÷ Dè ø

æ ö= - +ç ÷ Dè ø

æ ö= - +ç ÷ Dè ø

i i i i

i ii

i i

C x W tan

sen tancos

FSFSW sen

D + D f

a fa +

=D a

å

å

Donde, C, es la cohesión en cada rebanada, Dx, ancho de cada rebanada, DW, peso de cada rebanada, a , i i i i

ángulo de que forma la superficie de rotura con la horizontal en cada rebanada, F , ángulo de fricción interna i

de cada rebanada.

Análisis de resultadosPara el estudio en la estabilidad de taludes considerando rotura circular a través de diferentes métodos, co-mo el cálculo de variaciones, rotación de ejes, Bishop y el programa Slide, se realiza un ejemplo con un talud de corte vertical mostrado en la figura 3, cuyas propiedades geotécnicas son las siguientes: altura del talud, H=13,86 m, ángulo que forma la cara libre del talud con respecto a la horizontal, b= 90°, peso unitario, g= 20

3 2kN/m , cohesión igual a 40 kN/m , ángulo de fricción interna (F) igual a 30°, coeficiente sísmico horizontal

(Kh) y vertical (Kv) igual a cero, presión de poros (u) igual a cero, sobrecarga igual a cero. Para efectos de di-seño se ha considerado que el centro (b , b ) del círculo tiene de coordenadas (-10, 15) y el radio del círculo 1 2

es de 18,03 m.

Figura 3. Representación de la geometría del talud en estudio.

Resultados del método analítico utilizando la técnica de rotación de ejesPara la aplicación de las ecuaciones del método analítico se debe determinar en primer lugar el valor de x B

que representa la coordenada en la cresta del talud y permite determinar el corte de la superficie de rotura con la cresta del talud, (ecuación 4), el cual arroja un valor de x igual a 8 m. Posteriormente se divide la masa B

deslizante en 8 rebanadas, tal como se muestra en la figura 3, con un ancho de rebanada (Dx) igual a 1 m.

Luego se buscan los puntos medios (x, y) de cada rebanada (ecuación 5) que pertenezcan a la ecuación de la circunferencia y de esta manera determinar los esfuerzos normales a cada punto y el Factor de Seguridad para luego compararse con los otros métodos (ver tabla 1).Seguidamente se determina cada una de las variables de la ecuación 17, es decir, y , e , Q , m , las cuales 3 3 3 3

permiten determinar las constantes de integración adimensionales , arrojando los resultados que se muestran en la tabla 2.Finalmente, se determinan los esfuerzos normales y tangenciales en cada punto de la superficie de rotura se-ñalados en la tabla 1, aplicando las ecuaciones 11 y 13, respectivamente. Los resultados se muestran en la tabla 3.Los esfuerzos s y s , representan los valores de los esfuerzos en la cabecera y pie del talud, mientras que 0 9

los esfuerzos s , s , s , s , s , s , s , s , representan los valores del esfuerzo en el punto medio de cada re-1 2 3 4 5 6 7 8

banada. Los esfuerzos normales en el punto medio de cada rebanada está representado por (s ), mientras nn

que los esfuerzos tangenciales, por ( ).nt

El factor de seguridad obtenido a través de la ecuación 18, aplicando el teorema del valor medio de la ecua-ción 19 en las expresiones 11 y 13 que corresponden al esfuerzo normal y tangencial, respectivamente, en el

a y b

22 GEOMINAS, Vol. 43, N° 66, abril 2015

R. Ucar, N. Belandria

23GEOMINAS, abril 2015

Cálculo del factor de seguridad en la estabilidad de taludes …

Tabla1. Valores de los puntos medios perteneciente a la superficie de rotura circular con sus respectivos ángulos de rotura.

Tabla 2. Valores de las variables que permiten determinar los parámetros adimensionales a y b.

Tabla 3. Esfuerzos normales y tangenciales determinados a lo largo de la superficie de rotura circular por rotación de ejes.

intervalo de 0 a 8, arroja un factor de seguridad FS igual a 1,017.

Resultados obtenidos aplicando la técnica del cálculo de variacionesPara la aplicación del cálculo de variaciones se realiza la programación en el software de Maple, en el que se introdujeron diferentes subrutinas y programaciones, donde: n y r, representa el número de rebanadas en que se subdivide la masa deslizante, d, es un parámetro utilizado para las dos primeras rebanadas y es igual a r-2, h , es la constante de integración para resolver de manera numérica las integrales propuestas en la b

ecuación 21, Dx, el ancho de la rebanada, y, es el coeficiente de fricción (tan F), pu, es el peso unitario.

A continuación se presentan las expresiones introducidas en el programa: Sumatoria de las fuerzas horizon-tales de la ecuación 21, aplicando la integración numérica compuesta para "n" rebanadas, se expresa de la si-guiente manera:

for n from 3 by 1 to r do

if n > d then

end ifend do

La sumatoria de fuerzas verticales aplicando la técnica de integración compuesta para la ecuación 21 con "n" rebanadas, queda:

for n from 3 by 1 to r do

if n > d then

end ifend do

La sumatoria de los momentos aplicando la técnica de integración compuesta para la ecuación 21, conside-rando "n" rebanadas:

for n from 3 by 1 to r do

if n > d then

end ifend do

( )1 1 n n n n 1 n 2

1f : f hb C FS 3y 4y y

2 xs y s - -

æ öæ ö= + + - - +ç ÷ç ÷

Dè øè ø

( )1 1 n d n d n d n d 1 n d 2

1f : f hb C FS 3y 4y y

2 xs y s- - - - + - +

æ öæ ö= + + - - + -ç ÷ç ÷

Dè øè ø

( ) ( )

( )

n n n 1 n 22 2

n n n

1C 3y 4y y

2 xf : f hb

FS FS pu g y

s y

s

- -

æ öæ ö+ - +ç ÷ç ÷

D= + è øç ÷ç ÷+ - -è ø

( ) ( )

( )

n d n d n d 1 n d 22 2

n d n d n d

1C 3y 4y y

2 xf : f hb

FS FSpu g y

s y

s

- - - + - +

- - -

æ öæ ö+ - + -ç ÷ç ÷

D= + è øç ÷ç ÷+ - -è ø

( ) ( )

( )

( )

n n n n n 1 n 2

3 3 n n n n n 1 n 2

n n n

1C y x 3y 4y y

2 x

1f : f hb FS x y 3y 4y y

2 x

FS x pu g y

s y

s

- -

- -

æ öæ öæ ö+ - - +ç ÷ç ÷ç ÷

Dè øè øç ÷ç ÷æ öæ öç ÷= + - + - +ç ÷ç ÷

Dç ÷è øè øç ÷+ -ç ÷ç ÷è ø

( )

( )

( )

( )

n d n dn d

n d n d 1 n d 2

3 3 n d n d n d n d n d 1 n d 2

n d n d n d

1y x

2 xC

3y 4y y

1f : f hb FS x y 3y 4y y

2 x

FS x pu g y

s y

s

- --

- - + - +

- - - - - + - +

- - -

æ öæ öæ ö-ç ÷ç ÷ç ÷

D+ è øç ÷ç ÷ç ÷ç ÷× - + -è øç ÷

ç ÷æ öæ ö= + - + - + -ç ÷ç ÷ç ÷

Dè øè øç ÷ç ÷+ -ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷è ø

22 GEOMINAS, Vol. 43, N° 66, abril 2015

R. Ucar, N. Belandria

23GEOMINAS, abril 2015

Cálculo del factor de seguridad en la estabilidad de taludes …

Tabla1. Valores de los puntos medios perteneciente a la superficie de rotura circular con sus respectivos ángulos de rotura.

Tabla 2. Valores de las variables que permiten determinar los parámetros adimensionales a y b.

Tabla 3. Esfuerzos normales y tangenciales determinados a lo largo de la superficie de rotura circular por rotación de ejes.

intervalo de 0 a 8, arroja un factor de seguridad FS igual a 1,017.

Resultados obtenidos aplicando la técnica del cálculo de variacionesPara la aplicación del cálculo de variaciones se realiza la programación en el software de Maple, en el que se introdujeron diferentes subrutinas y programaciones, donde: n y r, representa el número de rebanadas en que se subdivide la masa deslizante, d, es un parámetro utilizado para las dos primeras rebanadas y es igual a r-2, h , es la constante de integración para resolver de manera numérica las integrales propuestas en la b

ecuación 21, Dx, el ancho de la rebanada, y, es el coeficiente de fricción (tan F), pu, es el peso unitario.

A continuación se presentan las expresiones introducidas en el programa: Sumatoria de las fuerzas horizon-tales de la ecuación 21, aplicando la integración numérica compuesta para "n" rebanadas, se expresa de la si-guiente manera:

for n from 3 by 1 to r do

if n > d then

end ifend do

La sumatoria de fuerzas verticales aplicando la técnica de integración compuesta para la ecuación 21 con "n" rebanadas, queda:

for n from 3 by 1 to r do

if n > d then

end ifend do

La sumatoria de los momentos aplicando la técnica de integración compuesta para la ecuación 21, conside-rando "n" rebanadas:

for n from 3 by 1 to r do

if n > d then

end ifend do

( )1 1 n n n n 1 n 2

1f : f hb C FS 3y 4y y

2 xs y s - -

æ öæ ö= + + - - +ç ÷ç ÷

Dè øè ø

( )1 1 n d n d n d n d 1 n d 2

1f : f hb C FS 3y 4y y

2 xs y s- - - - + - +

æ öæ ö= + + - - + -ç ÷ç ÷

Dè øè ø

( ) ( )

( )

n n n 1 n 22 2

n n n

1C 3y 4y y

2 xf : f hb

FS FS pu g y

s y

s

- -

æ öæ ö+ - +ç ÷ç ÷

D= + è øç ÷ç ÷+ - -è ø

( ) ( )

( )

n d n d n d 1 n d 22 2

n d n d n d

1C 3y 4y y

2 xf : f hb

FS FSpu g y

s y

s

- - - + - +

- - -

æ öæ ö+ - + -ç ÷ç ÷

D= + è øç ÷ç ÷+ - -è ø

( ) ( )

( )

( )

n n n n n 1 n 2

3 3 n n n n n 1 n 2

n n n

1C y x 3y 4y y

2 x

1f : f hb FS x y 3y 4y y

2 x

FS x pu g y

s y

s

- -

- -

æ öæ öæ ö+ - - +ç ÷ç ÷ç ÷

Dè øè øç ÷ç ÷æ öæ öç ÷= + - + - +ç ÷ç ÷

Dç ÷è øè øç ÷+ -ç ÷ç ÷è ø

( )

( )

( )

( )

n d n dn d

n d n d 1 n d 2

3 3 n d n d n d n d n d 1 n d 2

n d n d n d

1y x

2 xC

3y 4y y

1f : f hb FS x y 3y 4y y

2 x

FS x pu g y

s y

s

- --

- - + - +

- - - - - + - +

- - -

æ öæ öæ ö-ç ÷ç ÷ç ÷

D+ è øç ÷ç ÷ç ÷ç ÷× - + -è øç ÷

ç ÷æ öæ ö= + - + - + -ç ÷ç ÷ç ÷

Dè øè øç ÷ç ÷+ -ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷è ø

24 GEOMINAS, Vol. 43, N° 66, abril 2015

R. Ucar, N. Belandria Cálculo del factor de seguridad en la estabilidad de taludes …

25GEOMINAS, abril 2015

La integración de las ecuaciones de Euler (ecuación 24), para "n" rebanadas, queda:

for n from 3 by 1 to r do

end do

Otra característica importante de resaltar es que la ecuación de Euler genera tantas ecuaciones como reba-nadas se divida la masa que tiende al deslizamiento. De esta manera si se tiene en cuenta que la masa desli-zante se divide en ocho rebanadas la programación en Maple arroja ocho ecuaciones.Finalmente, se resuelve el sistema de ecuaciones no lineales mediante el comando 'fsolve' considerando pa-ra este estudio que el número de rebanadas a dividir la masa deslizante es igual a ocho, es decir, se tienen on-ce ecuaciones y once incógnitas, las cuales son:s , ,s , s , s , s , s , s , son los esfuerzos normales en el punto medio de cada rebanada.

FS, representa el factor de seguridad.x y y , es un centro geométrico que está en función de l y l el cual se muestra en la figura 2.c c 1 2

En la tabla 4 se puede presentar los resultados obtenidos al resolver el sistema de ecuaciones no lineales.

s1 2 3 4 5 6 7 8

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )

n n 1 n 2n c n c

n n 1 n 2n 1

n c n

3 4y y FS x x

3y 4y yf :

x x FSpu 2 C

s s sy

s y

- -

- -+

æ öæ ö- +- + -ç ÷ç ÷ç ÷- += ç ÷è ø

ç ÷ç ÷- - + +è ø

Tabla 4. Esfuerzos normales, valores de x y y y Factor de seguridad obtenidos mediante el c c

cálculo de variaciones.

Resultados obtenidos aplicando el método de rebanadas por Bishop y SlideLa tabla 5 muestra el procedimiento llevado a cabo para la determinación de los esfuerzos y el factor de segu-ridad aplicando la ecuación 26.La figura 4 muestra los resultados obtenidos a través del programa Slide, considerando los datos del proble-ma estudiado.

Tabla 5. Resultados obtenidos de los esfuerzos y Factor de seguridad aplicando el método de Bishop.

Figura 4. Resultado del Factor de seguridad según el método de Bishop a través del programa slide.

La tabla 6 muestra el valor del factor de seguridad determinada por los diferentes métodos de equilibrio lími-te.

ConclusionesEl método analítico utilizando la técnica de rotación de ejes, es un método aplicado exclu-sivamente a geometrías idea-les, es decir, la geometría del talud está representada por rectas y la superficie de rotura circular tiene la característica que comienza en el pie del ta-lud, la cual corresponde a una condición de contorno.

El método de Bishop es un método de rebanadas que presenta simplificaciones en su ecuación consideran-do el equilibrio de forma aproximada y sólo se puede aplicar para superficies de rotura circulares.La técnica del cálculo variacional es un método muy versátil, cumple con las condiciones de equilibrio, pre-sión de poros (U), sismo, diferentes estratos que arroja un sistema de ecuaciones no lineales. Con la ayuda de los métodos numéricos permite dar solución a las integrales y al sistema de ecuaciones no lineales. Pue-de ser utilizado a geometrías irregulares y reales (cualquier forma).

Tabla 6. Resultados obtenidos del Factor de seguridad aplicando los diferentes métodos.

24 GEOMINAS, Vol. 43, N° 66, abril 2015

R. Ucar, N. Belandria Cálculo del factor de seguridad en la estabilidad de taludes …

25GEOMINAS, abril 2015

La integración de las ecuaciones de Euler (ecuación 24), para "n" rebanadas, queda:

for n from 3 by 1 to r do

end do

Otra característica importante de resaltar es que la ecuación de Euler genera tantas ecuaciones como reba-nadas se divida la masa que tiende al deslizamiento. De esta manera si se tiene en cuenta que la masa desli-zante se divide en ocho rebanadas la programación en Maple arroja ocho ecuaciones.Finalmente, se resuelve el sistema de ecuaciones no lineales mediante el comando 'fsolve' considerando pa-ra este estudio que el número de rebanadas a dividir la masa deslizante es igual a ocho, es decir, se tienen on-ce ecuaciones y once incógnitas, las cuales son:s , ,s , s , s , s , s , s , son los esfuerzos normales en el punto medio de cada rebanada.

FS, representa el factor de seguridad.x y y , es un centro geométrico que está en función de l y l el cual se muestra en la figura 2.c c 1 2

En la tabla 4 se puede presentar los resultados obtenidos al resolver el sistema de ecuaciones no lineales.

s1 2 3 4 5 6 7 8

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )

n n 1 n 2n c n c

n n 1 n 2n 1

n c n

3 4y y FS x x

3y 4y yf :

x x FSpu 2 C

s s sy

s y

- -

- -+

æ öæ ö- +- + -ç ÷ç ÷ç ÷- += ç ÷è ø

ç ÷ç ÷- - + +è ø

Tabla 4. Esfuerzos normales, valores de x y y y Factor de seguridad obtenidos mediante el c c

cálculo de variaciones.

Resultados obtenidos aplicando el método de rebanadas por Bishop y SlideLa tabla 5 muestra el procedimiento llevado a cabo para la determinación de los esfuerzos y el factor de segu-ridad aplicando la ecuación 26.La figura 4 muestra los resultados obtenidos a través del programa Slide, considerando los datos del proble-ma estudiado.

Tabla 5. Resultados obtenidos de los esfuerzos y Factor de seguridad aplicando el método de Bishop.

Figura 4. Resultado del Factor de seguridad según el método de Bishop a través del programa slide.

La tabla 6 muestra el valor del factor de seguridad determinada por los diferentes métodos de equilibrio lími-te.

ConclusionesEl método analítico utilizando la técnica de rotación de ejes, es un método aplicado exclu-sivamente a geometrías idea-les, es decir, la geometría del talud está representada por rectas y la superficie de rotura circular tiene la característica que comienza en el pie del ta-lud, la cual corresponde a una condición de contorno.

El método de Bishop es un método de rebanadas que presenta simplificaciones en su ecuación consideran-do el equilibrio de forma aproximada y sólo se puede aplicar para superficies de rotura circulares.La técnica del cálculo variacional es un método muy versátil, cumple con las condiciones de equilibrio, pre-sión de poros (U), sismo, diferentes estratos que arroja un sistema de ecuaciones no lineales. Con la ayuda de los métodos numéricos permite dar solución a las integrales y al sistema de ecuaciones no lineales. Pue-de ser utilizado a geometrías irregulares y reales (cualquier forma).

Tabla 6. Resultados obtenidos del Factor de seguridad aplicando los diferentes métodos.

26 GEOMINAS, Vol. 43, N° 66, abril 2015

R. Ucar, N. Belandria

Al comparar el factor de seguridad sidad de Los Andes. ción al análisis de esfuerzos. obtenido por los diferentes méto- Belandria, N., Ucar, R. & Bongior- Caracas: Industria Gráfica In-dos, se puede decir, que práctica- no, F. (2011). Determinación tegral, C.A.mente se obtienen los mismos re- de expresiones matemáticas Janbu (1954). Stability Analysis of sultados sólo variando el centési- para el cálculo de los esfuer- Slopes with Dimensionless mo valor de los resultados. El valor zos aplicados a la estabilidad Parameters. Cambridge del factor de seguridad varía entre de ta ludes. Cienc ia e (Massachussetts): Harvard 1,017 a 1,06, siendo el mayor el ob- I n g e n i e r i a , a g o s t o - University.tenido por el cálculo de variacio- noviembre, 32(3), pp. 115- leshchinsky & Huang( 1992). Gen-nes. 122. eralized slope stability analy-Con respecto a los esfuerzos nor- Bishop, A.(1955). The Use of the sis: Interpretation, modifica-males obtenidos a la mitad de cada Slip Circle in the Stability Anal- tion and comparation. Journal rebanada los mayores esfuerzos ysis of Slopes. Geothechni- of Geotechnical Engineering, se presentan en el pie del talud, dis- que, Volumen 5, pp. 7-17. 118(10, 1192), pp. 1559-minuyendo hacia la cresta del ta- Castillo, E. & Revilla, J. (1976) Una 1576.lud, siendo ligeramente mayores aplicación del cálculo de va- Mac-Lennan, J. J.( 2004). Rotura los obtenidos por el cálculo de va- riaciones a la estabilidad de ta- de un talud. Revista de Obras riaciones. ludes. Boletin de Información Públicas, julio - agosto, Issue

del Laboratorio del Transpor- 3446, pp. 53 - 60.Bibliografía te y Mecánica del Suelo, ma- Morgenstern & Price (1965). The Apostol, T.( 1965) Matemática bási- yo - junio, Issue 115, pp. 3-23. analysis of stability of general

ca para Ingenieros. I ed. Bar- Chen, W.-F.( 1975). Limit Analysis slip surfaces. Geotechnique, celona: Reverseté, S.A. and soil plasticity, New york: Volumen 15, pp. 79-93.

Baker, R.( 2005) Variational Slope Elselver Scientific Publishing Rojas, S. & Úcar, R.( 2001). El Stability Analysis of Materials Company. cálculo variacional en la esta-with Nonlinear Failure Crite- Duncan, J. M., Buchignani, A. L. & bilidad de taludes. Ciencia e rion. EJGE. De Wet, M.(1987). An Ingeniería, 22(1), pp. 30-40.

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Belandria, N. & Ucar, R.( 2008). g in ia Tech Cente r fo r Inter-Slice Forces. Geotech-“Método analítico para deter- Geotechnical Practice and Re- nique, Volumen 17, pp. 11-26.minar la distribución de los es- search. Ucar, R.( 2004). Manual de Ancla-fuerzos normales y cortantes Fellenius, W.( 1936). Calculation of jes en Ingeniería Civil. 1 ed. actuando sobre superficies Stability of Earth Dams. s.l., Madrid: Universidad Politec-potenciales de rotura en talu- s.n., p. 445. nica de Madrid. des rocosos”. Mérida: Univer- Goncalves, R.( 1999). Introduc-

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