book2013 oct 05-math

โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 25 ____________________________________ คณตศาสตร (1)

สวนท 1 (O NET) .........โดย อ.ไพโรจน โองตว .....................................หนา 2-50

สวนท 2 (PAT 1) ..........โดย อ.ภาคภม อรามวารกล (พแทป) ..............หนา 51-112

สวนท 3 (PAT 1) ..........โดย อ.ศภฤกษ สกลชยพรเลศ (คร sup’k) .....หนา 113-218 สวนท 4 ชดเกงขอสอบ ..........................................................................หนา 219-240

คณตศาสตร (2)____________________________________ โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 25

เซต เซตทควรรจก 1. เซตจากด (Finite Set) หมายถง เซตทมจานวนสมาชกจากด 2. เซตอนนต (Infinite Set) หมายถง เซตทมจานวนสมาชกไมจากด หรอเปนเซตซงไมใชเซตจากด 3. เซตวาง (Empty Set) หมายถง เซตทไมมสมาชก เขยนแทนดวยสญลกษณ φ หรอ { } 4. สมบตของสบเซต ถา A เปนเซตจากดใดๆ ทมสมาชก n ตว 1) จานวนสบเซตทงหมดของเซต A = 2n เซต 2) จานวนสบเซตแททงหมดของเซต A = 2n – 1 เซต 3) จานวนสบเซตทมสมาชกอยางนอย 1 ตว = 2n – 1 เซต 4) จานวนสบเซตทมสมาชกอยางนอย 2 ตว = 2n – n – 1 เซต 5. สมบตของเพาเวอรเซต ให A เปนเซตใดๆ เพาเวอรเซตของ A เขยนแทนดวย P(A) 1) P(A) ≠ φ สาหรบทกๆ เซต A (P(A) จะตองมสมาชกอยางนอย 1 ตวเสมอ) 2) A ∈ P(A) 3) ถา A เปนเซตจากดใดๆ ทมสมาชก n ตว จานวนสมาชกของ P(A) = 2n 4) ถา A ⊂ B แลว P(A) ⊂ P(B) 5) P(A)I P(B) = P(AI B) 6) P(A)U P(B) ⊂ P(AU B) ขอสงเกต 1. A ⊂ (AU B) และ B ⊂ (AU B) 2. (AI B) ⊂ A และ (AI B) ⊂ B 3. ถา A ⊂ B แลว AU B = B 4. ถา A ⊂ B แลว AI B = A


สมบตของเซต ยเนยน อนเตอรเซคชน

1. Idempotent Laws AU A = A AU φ = A AU U = U

AI A = A AI φ = φ AI U = A

2. สมบตการเปลยนกลม (AU B)U C = AU BU C (AI B)I C = AI BI C 3. สมบตการสลบท AU B = BU A AI B = BI A 4. สมบตการแจกแจง AU (BI C) = (AU B)I (AU C) AI (BU C) = (AI B)U (AI C) 5. เอกลกษณของเซต AU φ = A AI U = A 6. Complement Laws AU A′ = U AI A′ = φ 7. De Morgan’s Laws (AU B)′ = A′I B′ (AI B)′ = A′U B′ 8. ผลตาง A - B = AI B′

6. การหาจานวนสมาชกของเซต 1) ถา A และ B เปนเซตจากด และ AI B = φ แลว n(AU B) = n(A) + n(B) 2) ถา A และ B เปนเซตจากด และ AI B ≠ φ แลว n(AU B) = n(A) + n(B) – n(AI B) 3) n(AU BU C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(AI B) – n(AI C) – n(BI C) + n(AI BI C) 4) n(A′) = n(U) – n(A) การหาจานวนสมาชกจากแผนภาพ มวธการพอสงเขป คอ การลงจานวนสมาชกในแตละสวนทเปนรปปดทละสวนตามททราบ แลวจงพจารณาความสมพนธจากโจทยถงสวนทเหลออกครงเพอคานวณหาจานวนสมาชกในสวนทเหลอจบครบ แลวตอบคาถามตามทโจทยตองการทราบ

ตวอยางขอสอบ 1. กาหนดให A, B และ C เปนเซตใดๆ ซง A ⊂ B พจารณาขอความตอไปน ก. (C – A) ⊂ (C – B) ข. A′I C ⊂ A′I B ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด


2. ให A เปนเซตจากด และ B เปนเซตอนนต ขอความใดตอไปนเปนเทจ 1) มเซตจากดทเปนสบเซตของ A 2) มเซตจากดทเปนสบเซตของ B 3) มเซตอนนตทเปนสบเซตของ A 4) มเซตอนนตทเปนสบเซตของ B 3. ให A = {1, 2, 3, ...} และ B = {{1, 2}, {3, 4, 5}, 6, 7, 8, ...} ขอใดเปนเทจ 1) A - B มสมาชก 5 ตว 2) จานวนสมาชกของเพาเวอรเซตของ B - A เทากบ 4 3) จานวนสมาชกของ (A - B)U (B - A) เปนจานวนค 4) AI B คอ เซตของจานวนนบทมคามากกวา 5 4. ถา A – B = {2, 4, 6}, B – A = {0, 1, 3} และ AU B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} แลว AI B เปน

สบเซตของเซตในขอใดตอไปน 1) {0, 1, 4, 5, 6, 7} 2) {1, 2, 4, 5, 6, 8} 3) {0, 1, 3, 5, 7, 8} 4) {0, 2, 4, 5, 6, 8} 5. กาหนดให A และ B เปนเซต ซง n(AU B) = 88 และ n[(A – B)U (B – A)] = 76 ถา n(A) = 45 แลว

n(B) เทากบขอใดตอไปน 1) 45 2) 48 3) 53 4) 55 6. นกเรยนกลมหนงจานวน 46 คน แตละคนมเสอสเหลองหรอเสอสฟาอยางนอยสละหนงตว ถานกเรยน 39

คนมเสอสเหลอง และ 19 คนมเสอสฟา แลวนกเรยนกลมนทมเสอสเหลองและเสอสฟามจานวนเทากบขอใด 1) 9 คน 2) 10 คน 3) 11 คน 4) 12 คน 7. ในการสารวจความชอบในการดมชาเขยวและกาแฟของกลมตวอยาง 32 คน พบวา ผชอบดมชาเขยวม 18 คน ผชอบดมกาแฟม 16 คน ผไมชอบดมชาเขยวและไมชอบดมกาแฟม 8 คน จานวนคนทชอบดมชาเขยวอยางเดยวเทากบขอใดตอไปน 1) 6 คน 2) 8 คน 3) 10 คน 4) 12 คน 8. นกเรยนกลมหนงจานวน 50 คน ม 32 คน ไมชอบเลนกฬาและไมชอบฟงเพลง ถาม 6 คน ชอบฟงเพลงแต

ไมชอบเลนกฬา และม 1 คน ชอบเลนกฬาแตไมชอบฟงเพลง แลวนกเรยนในกลมนทชอบเลนกฬาและชอบฟงเพลงมจานวนเทากบขอใดตอไปน

1) 11 คน 2) 12 คน 3) 17 คน 4) 18 คน 9. ถากาหนดจานวนสมาชกของเซตตางๆ ตามตารางตอไปน

เซต AU B AU C BU C AU BU C AI BI C จานวนสมาชก 25 27 26 30 7

จานวนสมาชกของ (AI B)U C เทากบขอใดตอไปน 1) 23 2) 24 3) 25 4) 26


10. ให A และ B เปนเซตซง n(A) = 5, n(B) = 4 และ n(AI B) = 2 ถา C = (A – B)U (B – A) แลว n(P(C)) เทากบเทาใด

11. ในการสารวจงานอดเรกของนกเรยน 200 คนปรากฏวา ชอบอานหนงสอม 120 คน ชอบดภาพยนตรม 110 คน ชอบเลนกฬาม 130 คน ชอบอานหนงสอและดภาพยนตรม 60 คน ชอบอานหนงสอและเลนกฬาม 70 คน ชอบดภาพยนตรและเลนกฬาม 50 คน นกเรยนทชอบเลนกฬาเพยงอยางเดยวมกคน 12. ในการสอบถามพอบานจานวน 300 คน พบวา มคนทดมชา 100 คน มคนทดมกาแฟ 150 คน มคนทไมดมทงนาชาและกาแฟ 100 คน พอบานทดมทงชาและกาแฟมจานวนเทาใด 13. ในการสอบของนกเรยนชนประถมศกษากลมหนง พบวา มผสอบผานวชาตางๆ ดงน คณตศาสตร 36 คน สงคมศกษา 50 คน ภาษาไทย 44 คน คณตศาสตรและสงคมศกษา 15 คน ภาษาไทยและสงคมศกษา 12 คน คณตศาสตรและภาษาไทย 7 คน ทงสามวชา 5 คน จานวนผทสอบผานอยางนอยหนงวชามกคน


การใหเหตผล การใหเหตผลทางคณตศาสตรโดยทวไปสามารถแบงออกได 2 ลกษณะ คอ 1. การใหเหตผลแบบอปนย เปนการใหเหตผลโดยอาศยขอสงเกต หรอผลการทดลองจากหลายๆ ตวอยาง มาสรปเปนขอตกลง หรอขอคาดเดาทวไป หรอคาพยากรณ 2. การใหเหตผลแบบนรนย เปนการใหเหตผลโดยนาขอความทกาหนดให ซงตองยอมรบวาเปนจรงทงหมด มาเปนขออางและสนบสนนเพอสรปเปนขอความจรงใหม การตรวจสอบความสมเหตสมผลโดยใชแผนภาพเวนน–ออยเลอร รปแบบท 1 “a เปนสมาชกของ A” รปแบบท 2 “a ไมเปนสมาชกของ A”

Aa

Aa

เขยนวงกลม A โดยให a อยภายใน A เขยนวงกลม A โดยไมให a อยภายใน A รปแบบท 3 “A ทกตวเปน B” รปแบบท 4 “A บางตวเปน B”

B

A

BA

เขยนวงกลม A และ B ซอนกน โดย A อยภายใน B เขยนวงกลม A และ B ซอนกนบางสวน สวนทแรเงาแสดงวา “A ทกตวเปน B” สวนทแรเงาแสดงวา “A บางตวเปน B” รปแบบท 5 “A บางตวไมเปน B” รปแบบท 6 “ไมม A ตวใดเปน B”

BA

BA

เขยนวงกลม A และ B ซอนกนบางสวน เขยนวงกลม A และ B แยกกน สวนทแรเงาแสดงวา “A บางตวไมเปน B” เพอแสดงวา “ไมม A ตวใดเปน B”


ตวอยางขอสอบ 1. จากแบบรปทกาหนดให

1 2 47

2 4 814

3 6 1221

... a b c77

โดยการใหเหตผลแบบอปนย 2a – b + c มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 11 2) 22 3) 33 4) 44 2 พจารณาผลตางระหวางพจนของลาดบ 2, 5, 10, 17, 26, ... โดยการใหเหตผลแบบอปนย พจนท 10 ของ

ลาดบคอขอใดตอไปน 1) 145 2) 121 3) 101 4) 84 3. จงพจารณาขอความตอไปน 1. นกกฬาทกคนมสขภาพด 2. คนทมสขภาพดบางคนเปนคนด 3. ภราดรเปนนกกฬา และเปนคนด แผนภาพในขอใดตอไปนมความเปนไปไดทจะสอดคลองกบขอความทงสามขอขางตน เมอจดแทนภราดร

1) 2) 3) 4)

4. จงพจารณาขอความตอไปน 1. คนตกอลฟเกงทกคนเปนคนสายตาด 2. คนทตกอลฟไกลกวา 300 หลา บางคนเปนคนสายตาด 3. ธงชยตกอลฟเกงแตตไมไดไกลกวา 300 หลา แผนภาพในขอใดตอไปน มความเปนไปไดทจะสอดคลองกบขอความทงสามขางตน เมอจดแทนธงชย

1) 2)

3) 4)


5. เหต 1. ไมมคนขยนคนใดเปนคนตกงาน 2. มคนตกงานทเปนคนใชเงนเกง 3. มคนขยนทไมเปนคนใชเงนเกง ผล 1. มคนขยนทเปนคนใชเงนเกง 2. มคนใชเงนเกงทเปนคนตกงาน 3. มคนใชเงนเกงทเปนคนขยน 4. มคนตกงานทเปนคนขยน ในขอใดตอไปนเปนการสรปผลจาก เหต ขางตนทเปนไปอยางสมเหตสมผล 1) 1. 2) 2. 3) 3. 4) 4. 6. พจารณาการใหเหตผลตอไปน เหต 1. A 2. เหดเปนพชมดอก ผล เหดเปนพชชนสง ขอสรปขางตนสมเหตสมผล ถา A แทนขอความใด 1) พชชนสงทกชนดมดอก 2) พชชนสงบางชนดมดอก 3) พชมดอกทกชนดเปนพชชนสง 4) พชมดอกบางชนดเปนพชชนสง 7. พจารณาการอางเหตตอไปน ก. เหต 1. ถาฝนไมตกแลวเดชาไปโรงเรยน 2. ฝนตก ผล เดชาไมไปโรงเรยน ข. เหต 1. รตนาขยนเรยน หรอ รตนาสอบชงทนรฐบาลได 2. รตนาไมขยนเรยน ผล รตนาสอบชงทนรฐบาลได ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. สมเหตสมผล และ ข. สมเหตสมผล 2) ก. สมเหตสมผล และ ข. ไมสมเหตสมผล 3) ก. ไมสมเหตสมผล และ ข. สมเหตสมผล 4) ก. ไมสมเหตสมผล และ ข. ไมสมเหตสมผล


ระบบจานวนจรง

แผนผงของระบบจานวนจรง

จานวนจรง

จานวนตรรกยะ จานวนอตรรกยะ

จานวนเตม เศษสวนทไมใชจานวนเตม

ศนยจานวนเตมลบ จานวนเตมบวก จานวนจรง : Real Number (ใชสญลกษณ R แทนเซตของจานวนจรง) คอ เซตทเกดจากการยเนยนกนของเซตของจานวนตรรกยะกบเซตของจานวนอตรรกยะ เขยนบนเสนจานวนแบงออก ดงน 1. จานวนอตรรกยะ (ใชสญลกษณ Q′ แทนเซตของจานวนอตรรกยะ) คอ จานวนทไมสามารถเขยนในรปเศษสวนของจานวนเตมได ซงกคอทศนยมไมซาทงหลาย เชน π, e, ทศนยมไมรจบทไมซา 2. จานวนตรรกยะ (ใชสญลกษณ Q แทนเซตของจานวนตรรกยะ) คอ จานวนทเขยนเปนเศษสวนของ

จานวนเตมได ซงกคอ ทศนยมซาทงหลายดงนน Q = {x | x = ba เมอ a, b ∈ I และ b ≠ 0}

จานวนเตม แบงออกเปน 3 ชนด คอ 1. จานวนเตมบวก เขยน I+ หรอ I+ แทนเซตของจานวนเตมบวก หมายถง {1, 2, 3, ...} จานวนเตมบวกเรยกชออกอยางวา จานวนนบหรอจานวนธรรมชาต ซงเขยนแทนเซตของจานวนธรรมชาตไดดวย N 2. จานวนเตมศนย เซตทม 0 เปนสมาชกเพยงตวเดยว นนคอ {0} 3. จานวนเตมลบ เขยน I- หรอ I- แทนเซตของจานวนเตมลบ หมายถง {..., -3, -2, -1} เซตของจานวนเตมเขยนแทนดวย I ดงนน I = I+U I-U {0}

คณตศาสตร (10)___________________________________ โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 25

การบวกและการคณในระบบจานวนจรง สมบตเกยวกบการบวกและการคณในระบบจานวนจรงมดงน ถา a, b และ c เปนจานวนจรง

สมบต การบวก การคณ ปด 1. a + b ∈ R 6. ab ∈ R การสลบท 2. a + b = b + a 7. ab = ba การเปลยนกลม 3. (a + b) + c = a + (b + c) 8. (ab)c = a(bc) การมเอกลกษณ 4. มจานวนจรง 0

ซง 0 + a = a = a + 09. มจานวนจรง 1 ซง 1a = a = a ⋅ 1

การมอนเวอรส 5. สาหรบ a จะมจานวนจรง -a โดยท (-a) + a = 0 = a + (-a) อาน -a วา อนเวอรสการบวกของ a

10. สาหรบ a ทไมเปน 0 จะม จานวนจรง a-1 โดยท (a-1)a = 1 = a(a-1)

เรยก a-1 วา อนเวอรสการคณของ a การแจกแจง 11. a(b + c) = ab + ac

การแกสมการกาลงสอง การแกสมการ หรอการหาคาตอบของสมการกาลงสองตวแปรเดยว คอ การหาคาตอบของสมการทเขยนอยในรป ax2 + bx + c = 0 เมอ a, b, c เปนคาคงตว และ a ≠ 0 ทาไดโดยอาศยความรเกยวกบจานวนจรงและการแยกตวประกอบของพหนาม ดงน แยกตวประกอบของพหนาม • พหนามในรปกาลงสองสมบรณ จะแยกตวประกอบ ดงน (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 • พหนามในรปผลตางกาลงสอง จะแยกตวประกอบดงน A2 – B2 = (A – B)(A + B) • พหนามในรปผลบวกกาลงสาม จะแยกตวประกอบดงน A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) • พหนามในรปผลตางกาลงสาม จะแยกตวประกอบดงน A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)

การหาคาตอบของสมการ ax2 + bx + c = 0 โดยใชสตร x = 2a 4ac b b 2 -- ±

โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 25 ___________________________________ คณตศาสตร (11)

สมบตของกรณฑทสอง 1. x = x1/2 เมอ x ≥ 0

2. 2x = |x| 3. ถา x ≥ 0 และ y ≥ 0 แลว yx = yx ⋅

4. ถา x ≥ 0 และ y > 0 แลว yx = yx

การไมเทากน ความหมายและสญลกษณแทนการไมเทากน ในการเปรยบเทยบจานวนสองจานวน นอกจากการเปรยบเทยบวาเทากนและไมเทากนแลว ยงมการเปรยบเทยบวา มากกวาหรอนอยกวาไดโดยเขยนอยในรปประโยคสญลกษณ การเขยนสญลกษณแทนชวง ถา a, b ∈ R และ a < b 1. ชวงเปด a, b เขยนแทนดวย (a, b) และ (a, b) = {x|a < x < b} 2. ชวงปด a, b เขยนแทนดวย [a, b] และ [a, b] = {x|a ≤ x ≤ b} 3. ชวงครงปดครงเปด a, b เขยนแทนดวย [a, b) และ [a, b) = {x|a ≤ x < b} หรอ (a, b] และ (a, b] = {x|a < x ≤ b} 4. ชวงอนนต 4.1 (a, ∞) = {x|a < x < ∞} = {x|x > a} 4.2 [a, ∞) = {x|a ≤ x < ∞} = {x|x ≤ a} 4.3 (-∞, a) = {x|-∞ < x < a} = {x|x < a} 4.4 (-∞, a] = {x|-∞ < x ≤ a} = {x|x ≤ a} 4.5 (-∞,∞) = เซตของจานวนจรง = R การเขยนชวงบนเสนจานวนจรง (a, b) =

a b

[a, b] =

a b

[a, b) =

a b

(a, b] =

a b

(a, ∞) =

a

[a, ∞) =

a

(-∞, a) =

a

(-∞, a] =

a

(-∞, ∞) = 0

สมบตของการไมเทากน กาหนด x, a, b เปนจานวนจรง และ a 0 จะได x < a หรอ x > b 2. ถา (x – a)(x – b) < 0 จะได a < x 0 จะได x < a หรอ x > b

6. ถา bx

a x -- < 0 จะได a < x b

8. ถา bx

a x -- ≤ 0 จะได a ≤ x 0 |a| = 0 ถา a = 0 -a ถา a < 0 สมบตการเทากนของคาสมบรณ เมอ x และ y เปนจานวนจรง 1. |x| = |y| กตอเมอ x = y หรอ x = -y 2. |x| = |-x| 3. |xy| = |x||y|

4. yx = |y|

|x| , y ≠ 0

5. |x – y| = |y – x| 6. |x2| = |x|2 = x2 7. |x + y| = |x| + |y| กตอเมอ xy ≥ 0 8. |x - y| = |x| + |y| กตอเมอ xy ≤ 0

9. 2x = |x|

สมบตการไมเทากนของคาสมบรณ เมอ x และ y เปนจานวนจรง และ a เปนจานวนจรงบวก 1. |x| < a ความหมายตรงกบ -a < x < a 2. |x| ≤ a ความหมายตรงกบ -a ≤ x ≤ a 3. |x| > a ความหมายตรงกบ x < -a หรอ x > a 4. |x| ≥ a ความหมายตรงกบ x ≤ -a หรอ x ≥ a 5. x2 < y2 กตอเมอ |x| < |y| 6. |x + y| ≤ |x| + |y| 7. |x| - |y| ≤ |x - y| 8. |y| - |x| ≤ |x - y| 9. -|x| ≤ x ≤ |x|

ตวอยางขอสอบ 1. พจารณาขอความตอไปน ก. มจานวนตรรกยะทนอยทสดทมากกวา 0 ข. มจานวนอตรรกยะทนอยทสดทมากกวา 0 ขอสรปใดตอไปนกลาวถกตอง 1) ก. ถก ข. ถก 2) ก. ถก ข. ผด 3) ก. ผด ข. ถก 4) ก. ผด ข. ผด 2. พจารณาขอความตอไปน ก. จานวนทเปนทศนยมไมรจบบางจานวนเปนจานวนอตรรกยะ ข. จานวนทเปนทศนยมไมรจบบางจานวนเปนจานวนตรรกยะ ขอใดถกตอง 1) ก. ถก ข. ถก 2) ก. ถก ข. ผด 3) ก. ผด ข. ถก 4) ก. ผด ข. ผด 3. พจารณาขอความตอไปน ก. สมบตการมอนเวอรสการบวกของจานวนจรงกลาววา สาหรบจานวนจรง a จะมจานวนจรง b ท b + a = 0 = a + b ข. สมบตการมอนเวอรสการคณของจานวนจรงกลาววา สาหรบจานวนจรง a จะมจานวนจรง b ท ba = 1 = ab ขอสรปใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก ข. ถก 2) ก. ถก ข. ผด 3) ก. ผด ข. ถก 4) ก. ผด ข. ผด

4. ให a และ b เปนจานวนตรรกยะทแตกตางกน และให c และ d เปนจานวนอตรรกยะทแตกตางกน พจารณาขอความตอไปน

ก. a – b เปนจานวนตรรกยะ ข. c – d เปนจานวนอตรรกยะ ขอสรปใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก ข. ถก 2) ก. ถก ข. ผด 3) ก. ผด ข. ถก 4) ก. ผด ข. ผด 5. กาหนดให s, t, u และ v เปนจานวนจรง ซง s < t และ u < v พจารณาขอความตอไปน ก. s - u < t - v ข. s - v < t - u ขอใดถกตอง 1) ก. ถก ข. ถก 2) ก. ถก ข. ผด 3) ก. ผด ข. ถก 4) ก. ผด ข. ผด 6. พจารณาขอความตอไปน ก. ถา a และ b เปนจานวนจรงซง |a| < |b| แลว a3 < b3 ข. ถา a, b และ c เปนจานวนจรงซง ac = bc แลว a = b ขอใดถกตอง 1) ก. ถก ข. ถก 2) ก. ถก ข. ผด 3) ก. ผด ข. ถก 4) ก. ผด ข. ผด 7. กาหนดให a, b และ c เปนจานวนจรงซง |a|b3c > 0 พจารณาขอความตอไปน ก. ac > 0 ข. bc > 0 ขอใดถกตอง 1) ก. ถก ข. ถก 2) ก. ถก ข. ผด 3) ก. ผด ข. ถก 4) ก. ผด ข. ผด 8. กาหนดใหคาประมาณทถกตองถงทศนยมตาแหนงท 3 ของ 3 และ 5 คอ 1.732 และ 2.236 ตามลาดบ พจารณาขอความตอไปน ก. 2.235 + 1.731 ≤ 5 + 3 ≤ 2.237 + 1.733 ข. 2.235 – 1.731 ≤ 5 – 3 ≤ 2.237 – 1.733 ขอสรปใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก ข. ถก 2) ก. ถก ข. ผด 3) ก. ผด ข. ถก 4) ก. ผด ข. ผด 9. (|4 3 - 5 2 | - |3 5 - 5 2 | - |4 3 - 3 5 |)2 เทากบขอใด 1) 0 2) 180 3) 192 4) 200

10. 35

2732- + 3/2

6

(64)2 มคาเทากบขอใดตอไปน

1) - 2413 2) - 6

5 3) 32 4) 24

19


11. 2

152

65

- มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 10

3 2) 107 3) 5 - 2 4) 6 - 2

12. 2

1 21 - - |2 - 2 | มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 23 - 2

2 2) 22 - 2

3 3) 25 - 2

23 4) 223 - 2

5 13. (1 - 2 )2(2 + 8 )2(1 + 2 )3(2 - 8 )3 มคาเทากบขอใดตอไปน 1) –32 2) -24 3) -32 - 16 2 4) -24 - 16 2 14. ถา x ≤ 5 แลวขอใดตอไปนถก 1) x2 ≤ 25 2) |x| ≤ 25 3) x|x| ≤ 25 4) (x - |x|)2 ≤ 25 15. ผลเฉลยของสมการ 2|5 - x| = 1 อยในชวงใด 1) (-10, -5) 2) (-6, -4) 3) (-4, 5) 4) (-3, 6) 16. ถา 4

3 เปนผลเฉลยหนงของสมการ 4x2 + bx - 6 = 0 เมอ b เปนจานวนจรงแลว อกผลเฉลยหนงของสมการนมคาตรงกบขอใด

1) –2 2) - 21 3) 2

1 4) 2 17. พจารณาสมการ |x - 7| = 6 ขอสรปใดตอไปนเปนเทจ 1) คาตอบหนงของสมการมคาระหวาง 10 และ 15 2) ผลบวกของคาตอบทงหมดของสมการมคาเทากบ 14 3) สมการนมคาตอบมากกวา 2 คาตอบ 4) ในบรรดาคาตอบทงหมดของสมการ คาตอบทมคานอยทสดมคานอยกวา 3 18. ถาสมการ (x2 + 1)(2x2 – 6x + c) = 0 มรากทเปนจานวนจรงเพยง 1 ราก คาของ c จะอยในชวงใดตอไปน 1) (0, 3) 2) (3, 6) 3) (6, 9) 4) (9, 12)

19. จานวนสมาชกของเซต {x | x = 2

|a|1 a

+ -

2a1 |a|

- เมอ a เปนจานวนจรงซงไมเทากบ 0} เทากบ

ขอใดตอไปน 1) 1 2) 2 3) 3 4) มากกวาหรอเทากบ 4 20. ผลบวกของคาตอบทกคาตอบของสมการ x3 - 2x = |x| เทากบขอใดตอไปน 1) 0 2) 3 3) 3 - 1 4) 3 + 1 21. กาหนดให I เปนเซตของจานวนเตม และ

= ≤∈ 32 |1 x |

1 |1 x |I x A --- แลวจานวนสมาชกของเซต A

เทากบขอใดตอไปน 1) 4 2) 5 3) 6 4) 7

22. เซตของจานวนจรง m ซงทาใหสมการ x2 - mx + 4 มรากเปนจานวนจรง เปนสบเซตของเซตใดตอไปน 1) (-5, 5) 2) (-∞, -4)U [3, ∞) 3) (-∞, 0)U [5, ∞) 4) (-∞, -3)U [4, ∞) 23. เซตคาตอบของอสมการ -1 ≤ 2 + 21

x- ≤ 1 คอเซตในขอใดตอไปน

1) [ 2 - 1, 1] 2) [ 2 - 1, 2] 3) [3 - 2 2 , 1] 4) [3 - 2 2 , 2] 24. กาหนดให ABC เปนสามเหลยมทมมม C เปนมมฉาก มดาน BC ยาวเทากบ 10 3 หนวย และดาน AB

ยาวเทากบ 20 หนวย ถาลากเสนตรงจากจด C ไปตงฉากกบดาน AB ทจด D แลวจะไดวาดาน CD ยาวเทากบขอใดตอไปน

1) 5 2 หนวย 2) 5 3 หนวย 3) 10 2 หนวย 4) 10 3 หนวย 25. รปสามเหลยมมมฉากรปหนง มพนท 600 ตารางเซนตเมตร ถาดานประกอบมมฉากดานหนงยาวเปน 75%

ของดานประกอบมมฉากอกดานหนงแลว เสนรอบรปสามเหลยมมมฉากรปนยาวกเซนตเมตร 1) 120 2) 40 3) 60 2 4) 20 2 26. ขบวนพาเหรดรปสเหลยมผนผาขบวนหนง ประกอบดวยผเดนเปนแถว แถวละเทาๆ กน (มากกวา 1 แถว

และแถวละมากกวา 1 คน) โดยเฉพาะผอยรมดานนอกทงสดานของขบวนนน ทสวมชดสแดง ซงมทงหมด 50 คน ถา x คอจานวนแถวของขบวนพาเหรด และ N คอจานวนคนทอยในขบวนพาเหรดแลว ขอใดถกตอง

1) 31x - x2 = N 2) 29x - x2 = N 3) 27x - x2 = N 4) 25x - x2 = N 27. รปสเหลยมผนผาสองรป มขนาดเทากน โดยมเสนทแยงมมยาวเปนสองเทาของดานกวาง ถานารป

สเหลยมผนผาทงสองมาวางตอกนดงรป จด A และจด B อยหางกนเปนระยะกเทาของดานกวาง A

C

B

1) 1.5 2) 3 3) 2 4) 2 2 28. ถา x = 3 2

3 2-+ และ y = 3 2

3 2+

- แลว x2 – 4xy + y2 เทากบเทาใด

29. ถา 4

278

= 1/x

8116

และ y = 3x แลว y เทากบเทาใด

30. ถาชวงเปด (a, b) เปนเซตคาตอบของอสมการ |x - 1| + |6 - 3x| < 17 และ x > 2 แลว a + b

เทากบเทาใด

เลขยกกาลง เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนเตม บทนยาม ถา a เปนจานวนจรงใดๆ และ n เปนจานวนเตมบวก แลว an = a × a × a × ... × a (เมอ

a มจานวน n ตว) เรยก an วา เลขยกกาลง ม a เปนฐาน และ n เปนเลขชกาลง เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนตรรกยะ บทนยาม ถา a เปนจานวนจรงบวกใดๆ และ n เปนจานวนตรรกยะทมากกวา 1 n a = a1/n สมบตของเลขยกกาลง ถา x และ y เปนจานวนจรงใดๆ m และ n เปนจานวนเตมบวก 1. xm ⋅ xn = xm+n

2. nm

xx = xm-n

3. (xm)n = xmn 4. (x ⋅ y)n = xn ⋅ yn

5. n

yx

= n

n

yx

6. nx

1 = x-n ขอสงเกต : x0 = 1 สมการของเลขยกกาลง ถา x และ y เปนจานวนจรงบวกใดๆ m และ n เปนจานวนตรรกยะ 1. xm = xn กตอเมอ m = n 2. xm = ym กตอเมอ x = y โดยท x, y ≠ 0 อสมการของเลขยกกาลง ถา x และ y เปนจานวนจรงบวกใดๆ m และ n เปนจานวนตรรกยะ 1. xm < xn และ x > 1 จะไดวา m < n 2. xm < xn และ 0 < x < 1 จะไดวา m > n

ตวอยางขอสอบ 1. กาหนดให a และ b เปนจานวนจรงใดๆ แลวขอใดตอไปนถกตอง 1) ถา a < b แลวจะได a2 < b2 2) ถา a 0 แลว a-x > 0 4) ถา a > 0 แลว ax > a 3. ขอใดมคาตางจากขออน 1) (-1)0 2) (-1)0.2 3) (-1)0.4 4) (-1)0.8 4. ขอใดตอไปนผด 1) 10 0.9 + < 0.9 + 10 2) ( 0.9 )( 4 0.9 ) < 0.9 3) ( 0.9 )( 3 1.1 ) < ( 1.1 )( 3 0.9 ) 4) 300 125 < 200 100 5. อสมการในขอใดตอไปนเปนจรง 1) 21000 < 3600 < 10300 2) 3600 < 21000 < 10300 3) 3600 < 10300 < 21000 4) 10300 < 21000 < 3600 6. ขอใดตอไปนผด 1) (24)30 < 220 ⋅ 330 ⋅ 440 2) (24)30 < 230 ⋅ 320 ⋅ 440 3) 220 ⋅ 330 ⋅ 440 < (24)30 4) 230 ⋅ 340 ⋅ 420 < (24)30 7. คาของ x ทสอดคลองกบสมการ )2x(2 = 4

(4x)

42

1) 2 2) 3 3) 4 4) 5

8. 42/3

1448 ⋅ 6

(18)1/2 มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 3

2 2) 23

3) 2 4) 3 9. ถา

3x83 3

+ = 8116 แลว x มคาเทากบขอใดตอไปน

1) - 94 2) - 9

2

3) - 91 4) 9

1


10. ถา 8x - 8(x+1) + 8(x+2) = 228 แลว x มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 3

1 2) 32

3) 34 4) 3

5 11. เซตคาตอบของอสมการ 4(2x2-4x-5) ≤ 32

1 คอเซตในขอใดตอไปน

1)

25 ,2

5- 2)

1 ,2

5-

3)

1 ,2

1- 4)

25 ,2

1-

12. ถา 4

1258

= 1/x

62516

แลว x มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 43 2) 3

2

3) 23 4) 3

4 13. ถา 4a = 2 และ 16-b = 4

1 แลว a + b เทากบเทาใด


ความสมพนธและฟงกชน คอนดบ คอนดบ (a, b) กลาวคอ a แทน สมาชกตวหนา และ b แทน สมาชกตวหลง ผลคณคารทเซยน “ถา A และ B เปนเซตใดๆ ผลคณคารทเซยนของ A และ B เขยนแทนดวย A × B” นยาม A × B = {(x, y) | x ∈ A และ y ∈ B} สมบตของผลคณคารทเชยน ให A, B และ C เปนเซตใดๆ 1. ถา n(A) = m และ n(B) = n แลว n(A × B) = n(B × A) = mn 2. A × B = B × A กตอเมอ A = B หรอ A = φ หรอ B = φ แลวจะไดวา 3. A × (BU C) = (A × B)U (A × C) 4. A × (BI C) = (A × B)I (A × C) 5. A × (B - C) = (A × B) - (A × C) ความสมพนธ นยาม ให A และ B เปนเซตใดๆ r เปนความสมพนธจาก A ไป B กตอเมอ r เปนสบเซตของ A × B โดเมนของความสมพนธ คอ เซตของสมาชกตวหนาของทกคอนดบ (Dr) นนคอ Dr = {x | (x, y) ∈ r} เรนจของความสมพนธ คอ เซตของสมาชกตวหลงของทกคอนดบ (Rr) นนคอ Rr = {y | (x, y) ∈ r}

ถา n(A) = m และ n(B) = n แลว จานวนความสมพนธทงหมดจาก A ไป B เทากบ 2mn การหาโดเมนและเรนจในกรณท r ⊂ R × R 1. ถาเงอนไขของความสมพนธอยในรป y = ax + b โดยท a ≠ 0 จะได โดเมนและเรนจเปนจานวนจรง 2. ถาเงอนไขของความสมพนธอยในรป y = cbx

a+

โดยท a, b ≠ 0

จะได โดเมน = {x|x ≠ - dc } เรนจ = {y|y ≠ 0}

3. ถาเงอนไขของความสมพนธอยในรป y = dcx

bax ++ โดยท a, c ≠ 0

จะได โดเมน = {x|x ≠ - dc } เรนจ = {y|y ≠ c

a } 4. ถาเงอนไขความสมพนธอยในรป y = |ax + b| โดยท a ≠ 0 จะได โดเมน = R เรนจ = {y|y ≥ 0}


5. ถาเงอนไขความสมพนธอยในรป y = |ax + b| + c โดยท a ≠ 0 จะได โดเมน = R เรนจ = {y|y ≥ c} 6. ถาเงอนไขความสมพนธอยในรป y = ax2 + b ; a ≠ 0 และ a > 0 จะได โดเมน = R เรนจ = {y|y ≥ b} 7. ถาเงอนไขความสมพนธอยในรป y = bax + จะได โดเมน = {x|x ≥ - a

b }; a ≠ 0 เรนจ = {y|y ≥ 0} 8. ถาเงอนไขความสมพนธอยในรป y = bx2 + ; b > 0 จะได โดเมน = R เรนจ = {y|y ≥ b } 9. ถาเงอนไขความสมพนธอยในรป y = 22 ax - จะได โดเมน = {x|x ≤ -a หรอ x ≥ a} เรนจ = {y|y ≥ 0} 10. ถาเงอนไขความสมพนธอยในรป y = 22 xa - จะได โดเมน = {x|-a ≤ x ≤ a} เรนจ = {y|0 ≤ y ≤ a} ฟงกชน นยาม ความสมพนธ r จะเปนฟงกชน กตอเมอ ถา (x, y) ∈ r และ (x, z) ∈ r แลว y = z การพจารณาความสมพนธใดเปนฟงกชน ไดดงน 1. ความสมพนธแบบแจกแจงสมาชก : ใหพจารณาวาเปนฟงกชนหรอไม สงเกตสมาชกตวหนาของคอนดบทเปนสมาชกแตละตว ถาสมาชกไมซากน 2. กราฟของความสมพนธ : ใหพจารณาวาเปนฟงกชนหรอไม โดยลากเสนตรงขนานแกน y ใหตดกราฟ ถาเสนตรงทลากตดกราฟเพยง 1 จด ความสมพนธนนเปนฟงกชน ถาเสนตรงทลากตดกราฟมากกวา 1 จด ความสมพนธนนไมเปนฟงกชน 3. ความสมพนธเปนแบบบอกเงอนไข : พจารณาจากตวแปร y ของสมการในเงอนไข ดงน 3.1 ถา yn เมอ n เปนจานวนค จะไมเปนฟงกชน 3.2 ถา y เปนคาสมบรณ จะไมเปนฟงกชน 3.3 ถาไมมตวแปร y จะไมเปนฟงกชน 3.4 ถาเปนอสมการ จะไมเปนฟงกชน การหาคาของฟงกชน : การหาคาของฟงกชน ทาไดโดยการแทนคา ตวแปรในฟงกชนนนดวยคาทตองการ

ฟงกชนประเภทตางๆ ฟงกชนเชงเสน นยาม ฟงกชนเชงเสน คอ ฟงกชนทอยในรป f(x) = ax + b เมอ a, b เปนจานวนจรง และ a ≠ 0 ฟงกชนคงตว คอ ฟงกชน f(x) = ax + b เมอ a = 0 และ b เปนจานวนจรง จะไดฟงกชนทอยในรป f(x) = b ฟงกชนกาลงสอง นยาม ฟงกชนกาลงสอง (Quadratic function) คอ ฟงกชนทอยในรป f(x) = ax2 + bx + c เมอ a, b, c เปนจานวนจรงใดๆ และ a ≠ 0 ลกษณะของกราฟของฟงกชนขนอยกบคาของ a, b และ c เมอคาของ a เปนบวกหรอลบ จะทาใหไดกราฟเปนเสนโคงหงายหรอควา เรยกวา กราฟพาราโบลา ดงรป

เมอ a > 0 เมอ a < 0 พจารณา ฟงกชนทอยในรป f(x) = ax2 + bx + c เมอ a, b, c เปนจานวนจรงใดๆ และ a ≠ 0 สามารถจดฟงกชนในรป f(x) = a(x – h)2 + h เมอ h และ k เปนจานวนจรงใดๆ และ a ≠ 0

1. จดวกกลบ (h , k) =

4ab 4ac ,2a

b 2 --

2. คาสงสดหรอคาตาสด คอ k 3. สมการแกนสมมาตร คอ x = h 4. โดเมน คอ R และเรนจ คอ [h, ∞) กรณ a > 0 หรอ (-∞, h] กรณ a < 0 ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล คอ ฟงกชนทอยในรปของ y = ax เมอ a > 0 และ a ≠ 1

y = ax a > 0 และ a ≠ 1

(0, 1)

(0, 1)

- a > 1 เปนฟงกชนเพมหรอกลาวไดวา เมอ x มคาเพมใน y จะมคาเพมขน - Dr = R - Rr = R+

- 0 < a < 1 เปนฟงกชนลดหรอกลาวไดวา เมอ x มคาเพมขน y จะมคาลดลง - Dr = R - Rr = R+

ฟงกชนคาสมบรณ คอ เปนฟงกชนทอยในรป y = |x – a| + c เมอ a และ c เปนจานวนจรง กราฟจะมลกษณะเปนรปตวว (V) ฟงกชนขนบนได คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนสบเซตของ R และมคาฟงกชนเปนชวงมากกวา 2 ชวง

ตวอยางขอสอบ 1. ความสมพนธในขอใดเปนฟงกชน 1) {(0, 1), (0, 2), (2, 1), (1, 3)} 2) {(0, 2), (1, 1), (2, 2), (3, 0)} 3) {(1, 1), (2, 0), (2, 3), (3, 1)} 4) {(1, 2), (0, 3), (1, 3), (2, 2)} 2. กาหนดให A = {a, b, c} และ B = {0, 1} ฟงกชนในขอใดตอไปน เปนฟงกชนจาก B ไป A 1) {(a, 1), (b, 0), (c, 1)} 2) {(0, b), (1, a), (1, c)} 3) {(b, 1), (c, 0)} 4) {(0, c), (1, b)} 3. กาหนดให A ={1, 2} และ B = {a, b} คอนดบในขอใดตอไปน เปนสมาชกของผลคณคารทเชยน A × B 1) (2, b) 2) (b, a) 3) (a, 1) 4) (1, 2) 4. ให A = {1, 99} ความสมพนธใน A ในขอใดไมเปนฟงกชน 1) เทากน 2) ไมเทากน 3) หารลงตว 4) หารไมลงตว 5. กาหนดให r = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B และ b หารดวย a ลงตว} ถา A = {2, 3, 5} แลวความสมพนธ

r จะเปนฟงกชน เมอ B เทากบเซตใดตอไปน 1) {3, 4, 10} 2) {2, 3, 15} 3) {0, 3, 10} 4) {4, 5, 9} 6. กาหนดให f(x) = -x2 + 4x – 10 ขอความใดตอไปนถกตอง 1) f มคาตาสดเทากบ 6 2) f ไมมคาสงสด

3) f มคาสงสดเทากบ 6 4) f

29 < -6

7. จานวนในขอใดตอไปนเปนสมาชกของโดเมนของฟงกชน y =

23x xx

2 ++ +

1 x1 2x

2 --

1) –2 2) –1 3) 0 4) 1 8. ถา f(x) = 3 - 2 x4 - แลว ขอใดตอไปนถกตอง 1) Df = [-2, 2] และ Rf = [0, 3] 2) Df = [-2, 2] และ Rf = [1, 3] 3) Df = [0, 2] และ Rf = [0, 3] 4) Df = [0, 2] และ Rf = [1, 3] 9. ถา f(x) = x 3 - และ g(x) = -2 + |x - 4| แลว DfU Rg คอขอใด 1) (-∞, 3] 2) [-2, ∞) 3) [-2, 3] 4) (-∞, ∞) 10. กราฟของฟงกชนในขอใดตอไปน ตดแกน X มากกวา 1 จด

1) y = 1 + x2 2) y = |x| - 2 3) y = |x - 1| 4) y = x

21

11. ถา f(x – 2) = 2x – 1 แลว f(x2) มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 2x2 – 1 2) 2x2 + 1 3) 2x2 + 3 4) 2x2 + 9


12. ถา P เปนจดวกกลบของพาราโบลา y = -x2 + 12x – 38 และ O เปนจดกาเนดแลวระยะทางระหวางจด P และจด O เทากบขอใดตอไปน

1) 10 หนวย 2) 2 10 หนวย 3) 13 หนวย 4) 2 13 หนวย 13. พาราโบลารปหนงมเสนสมมาตรขนานกบแกน Y และมจดสงสดอยทจด (a, b) ถาพาราโบลารปนตดแกน X

ทจด (-1, 0) และ (5, 0) แลว a มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 0 2) 1 3) 2 4) 3 14. ถากราฟของ y = x2 – 2x – 8 ตดแกน X ทจด A, B และ ม C เปนจดวกกลบแลวรปสามเหลยม ABC ม

พนทเทากบขอใดตอไปน 1) 21 ตารางหนวย 2) 24 ตารางหนวย 3) 27 ตารางหนวย 4) 30 ตารางหนวย 15. ทก x ในชวงใดตอไปนทกราฟ y = -4x2 - 5x + 6 อยเหนอแกน X

1)

31 ,3

2 -- 2)

23 ,2

5 -- 3)

76 ,4

1 4)

23 ,2

1 16. ถาเสนตรง x = 3 เปนเสนสมมาตรของกราฟของฟงกชน f(x) = -x2 + (k + 5)x + (k2 – 10) เมอ k เปน

จานวนจรง แลว f มคาสงสดเทากบขอใดตอไปน 1) –4 2) 0 3) 6 4) 14 17. ถา f(x) = -x2 + x + 2 แลวขอสรปใดถกตอง 1) f(x) ≥ 0 เมอ -1 ≤ x ≤ 2 2) จดวกกลบของกราฟของฟงกชน f อยในจตภาคทสอง 3) ฟงกชน f มคาสงสดเทากบ 2 4) ฟงกชน f มคาตาสดเทากบ 2 18. พาราโบลาหนงเปนกราฟของฟงกชน f(x) = 2x2 – 4x – 6 พจารณาขอความตอไปน ก. พาราโบลารปนมแกนสมมาตร คอ เสนตรง x = -1 ข. พาราโบลารปนมจดวกกลบอยในจตภาคทส ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด 19. ฟงกชน y = f(x) ในขอใดมกราฟดงรปตอไปน

y

x

y = f(x)

(0, 1)

1) f(x) = 1 - |x| 2) f(x) = 1 + |x| 3) f(x) = |1 - x| 4) f(x) = |1 + x|


20. กาหนดใหกราฟของฟงกชน f เปนดงน

y

x-5

5

-10

คาของ 11f(-11) - 3f(-3)f(3) คอขอใด 1) 57 2) 68 3) 75 4) 86 21. ขอใดตอไปนเปนความสมพนธทมกราฟเปนบรเวณทแรเงา

y

x

y = -x

y = x

1) {(x, y) ||y| ≥ x} 2) {(x, y) ||y| ≤ x} 3) {(x, y) | y ≥ |x|} 4) {(x, y) | y ≤ |x|}


22. เมอเขยนกราฟของ y = ax2 + bx + c โดยท a ≠ 0 เพอหาคาตอบของสมการ ax2 + bx + c = 0 กราฟในขอใดตอไปนแสดงวาสมการไมมคาตอบทเปนจานวนจรง

1)

y

5

-5-5 5

x

2)

y

5

-5-5 5

x

3)

y

5

-5-5 5

x

4)

y

5

-5-5 5

x


อตราสวนตรโกณมต AB คอ ดานตรงขามมมฉาก (ฉาก) AC คอ ดานประชดมม A (ชด) BC คอ ดานตรงขามมม A (ขาม) เราจะเรยกอตราสวนตางๆ ดงน 1. AB

BC คอ ไซน (sine) ของมม A เขยนยอวา sin A 2. AB

AC คอ โคไซน (cosine) ของมม A เขยนยอวา cos A 3. AC

BC คอ แทนเจนต (tangent) ของมม A เขยนยอวา tan A 4. BC

AB คอ โคซแคนต (cosecant) ของมม A เขยนยอวา cosec A 5. AC

AB คอ ซแคนต (secant) ของมม A เขยนยอวา sec A 6. BC

AC คอ โคแทนเจนต (cotangent) ของมม A เขยนยอวา cot A

โดย 1. sin A = Aมมมดานตรงขาความยาวของ มมมฉากดานตรงขาความยาวของ

= ฉากขาม

2. cos A = Aมมดานประชดความยาวของ

มมมฉากดานตรงขาความยาวของ = ฉาก

ชด 3. tan A = Aมมมดานตรงขาความยาวของ

Aมมดานประชดความยาวของ = ชด

ขาม 4. cosec A = ความยาวของดานตรงขามมมฉาก

ความยาวของดานตรงขามมม A = ขาม

ฉาก 5. sec A = ความยาวของดานตรงขามมมฉาก

ความยาวของดานประชดมม A = ชด

ฉาก 6. cot A = ความยาวของดานประชดมม A

ความยาวของดานตรงขามมม A = ขาม

ชด

A

B

C

คาของอตราสวนตรโกณมต

ขนาดของมม มม

π / (0°) 6π / (30°) 4

π / (45°) 3π / (60°) 2

π / (90°)

sin θ 0 21 2

2 23 1

cos θ 1 23 2

2 21 0

tan θ 0 31 1 3 หาคาไมได

ความสมพนธระหวาง sin θ, cos θ, tan θ, cosec θ, sec θ และ cot θ 1. cosec θ = θ sin

1 2. sec θ = θcos1

3. tan θ = θθ

cossin 4. cot θ = θtan

1

5. sin2 θ + cos2 θ = 1 6. tan2 θ + 1 = sec2 θ 7. 1 + cot2 θ = cosec2 θ สตรการหาความสมพนธของอตราสวนตรโกณมตเพมเตม เมอ 0 < θ ≤ 2

π

sin(π - θ) = sin θ sin

θπ 2 - = cos θ

sin(π + θ) = -sin θ sin

+ θπ 2 = cos θ

cos(π - θ) = -cos θ cos

θπ 2 - = sin θ

cos(π + θ) = -cos θ cos

+ θπ 2 = -sin θ การประยกตของอตราสวนตรโกณมต เสนระดบสายตา คอ เสนตรงทขนานกบผวนาทะเลหรอขนานกบพนราบ มมเงย (Angle of Elevation) คอ มมทวดสงกวาระดบสายตาขนไป มมกม (Angle of Depression) คอ มมทวดตากวาระดบสายตาลงมา

A แนวระดบสายตา

แนวระดบสายตา

มมเงยมมกม

B

C

A

B

C

ตวอยางขอสอบ 1. ขอใดตอไปนถกตอง 1) sin 30° < sin 45° 2) cos 30° < cos 45° 3) tan 45° < cot 45° 4) tan 60° < cot 60° 2. จากรป ขอสรปใดตอไปนถกตอง 1) sin 21° = cos 69° 2) sin 21° = cos 21° 3) cos 21° = tan 21° 4) tan 21° = cos 69° 3. พจารณารปสามเหลยมตอไปน โดยท EFCˆ , BACˆ ,

BEAˆ และ BDEˆ ตางเปนมมฉาก ขอใดตอไปนผด 1) sin ( 1 ) = sin ( 5 ) 2) cos ( 3 ) = cos ( 5 ) 3) sin ( 2 ) = cos ( 4 ) 4) cos ( 2 ) = sin ( 3 ) 4. โดยการใชตารางหาอตราสวนตรโกณมตของมมขนาดตางๆ ทกาหนดใหตอไปน

θ sin θ cos θ 72° 0.951 0.309 73° 0.956 0.292 74° 0.961 0.276 75° 0.966 0.259

มมภายในทมขนาดเลกทสดของรปสามเหลยมทมดานทงสามยาว 7, 24 และ 25 หนวย มขนาดใกลเคยง

กบขอใดมากทสด 1) 15° 2) 16° 3) 17° 4) 18° 5. กาหนดใหสามเหลยม ABC ม B = A + C ให D เปนจดกงกลางดาน AC ถา A = 20° แลว BDAˆ

มขนาดกองศา 1) 80 องศา 2) 100 องศา 3) 120 องศา 4) 140 องศา

A

B

C21°

A D B

EF

C

12 3 4

5


6. กาหนดใหตาราง A ตาราง B และตาราง C เปนตารางหาอตราสวนตรโกณมตของมมขนาดตางๆ ดงน

ตาราง A ตาราง B ตาราง C θ sin θ θ cos θ θ tan θ

40° 0.643 40° 0.766 40° 0.839 41° 0.656 41° 0.755 41° 0.869 42° 0.669 42° 0.743 42° 0.900

ถารปสามเหลยม ABC มมม B เปนมมฉาก มม C มขนาด 41° และสวนสง BX ยาว 1 หนวย แลวความ

ยาวของสวนของเสนตรง AX เปนดงขอใดตอไปน

A X C

B

1) ปรากฏอยในตาราง A 2) ปรากฏอยในตาราง B 3) ปรากฏอยในตาราง C 4) ไมปรากฏอยในตาราง A, B และ C 7. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม B เปนมมฉาก มมม A เทากบ 30° และมพนทเทากบ 24 3

ตารางหนวย ความยาวของดาน AB เทากบขอใดตอไปน 1) 12 หนวย 2) 14 หนวย 3) 16 หนวย 4) 18 หนวย 8. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม C เปนมมฉาก มดาน BC ยาวเทากบ 10 3 หนวย และดาน

AB ยาวเทากบ 20 หนวย ถาลากเสนตรงจากจด C ไปตงฉากกบดาน AB ทจด D แลว จะไดวาดาน CD ยาวเทากบขอใดตอไปน

1) 5 2 หนวย 2) 5 3 หนวย 3) 10 2 หนวย 4) 10 3 หนวย 9. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมพนทเทากบ 15 ตารางหนวย และมมม C เปนมมฉาก ถา sin B = 3

sin A แลวดาน AB ยาวเทากบขอใดตอไปน 1) 5 หนวย 2) 5 3 หนวย 3) 5 2 หนวย 4) 10 หนวย 10. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยม ซงมมม A เปนมมฉาก และมมม B = 30° ถา D และ E เปนจด บน

ดาน AB และ BC ตามลาดบ ซงทาให DE ขนานกบ AC โดยท DE ยาว 5 หนวย และ EC ยาว 6 หนวย แลว AC ยาวเทากบขอใดตอไปน

1) 7.5 หนวย 2) 8 หนวย 3) 8.5 หนวย 4) 9 หนวย 11. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม C เปนมมฉาก และ cos B = 3

2 ถาดาน BC ยาว 1 หนวย แลวพนทของรปสามเหลยม ABC เทากบขอใดตอไปน

1) 55 ตารางหนวย 2) 4

5 ตารางหนวย 3) 35 ตารางหนวย 4) 2

5 ตารางหนวย


12. กาหนดให ABCD เปนรปสเหลยมผนผาซงมพนทเทากบ 12 ตารางหนวย และ tan DBAˆ = 31 ถา AE

ตงฉากกบ BD ทจด E แลว AE ยาวเทากบขอใดตอไปน

1) 310 หนวย 2) 5

2 10 หนวย 3) 210 หนวย 4) 5

3 10 หนวย 13. มมมมหนงของรปสามเหลยมมมฉากมขนาดเทากบ 60 องศา ถาเสนรอบรปของรปสามเหลยมนยาว 3 -

3 ฟตแลว ดานทยาวเปนอนดบสองมความยาวเทากบขอใด 1) 2 - 3 ฟต 2) 2 + 3 ฟต 3) 2 3 - 3 ฟต 4) 2 3 + 3 ฟต 14. วงกลมวงหนงมรศม 6 หนวย และ A, B, C เปนจดบนเสนรอบวงของวงกลม ถา AB เปนเสนผานศนยกลาง

ของวงกลม และ BACˆ = 60° แลวพนทของรปสามเหลยม ABC เทากบขอใดตอไปน 1) 15 3 ตารางหนวย 2) 16 3 ตารางหนวย 3) 17 3 ตารางหนวย 4) 18 3 ตารางหนวย 15. กลองวงจรปดซงถกตดตงอยสงจากพนถนน 2 เมตร สามารถจบภาพไดตาทสดทมมกม 45° และสงทสดท

มมกม 30° ระยะทางบนพนถนนในแนวกลองทกลองนสามารถจบภาพไดคอเทาใด (กาหนดให 3 ≈ 1.73) 1) 1.00 เมตร 2) 1.46 เมตร 3) 2.00 เมตร 4) 3.46 เมตร 16. นาย ก. และนาย ข. ยนอยบนพนราบซงหางจากกาแพงเปนระยะ 10 เมตร และ 40 เมตร ตามลาดบ

ถานาย ก. มองหลอดไฟบนกาแพงดวยมมเงย α องศา ในขณะทนาย ข. มองหลอดไฟดวงเดยวกนดวย มมเงย 90 - α องศา ถาไมคดความสงของนาย ก. และนาย ข. แลวหลอดไฟอยสงจากพนราบกเมตร

1) 10 2) 10 2 3) 10 3 4) 20 17. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม B เปนมมฉาก ถา cot A = 5

12 แลว 10cosec A + 12sec A มคาเทาใด

18. ถา ABC เปนรปสามเหลยมทมมม B เปนมมฉาก และ cos A = 53 แลว cos(B - A) มคาเทากบเทาใด

19. ถา 2cos2 θ + cos θ = 1 โดยท 0 ≤ θ ≤ 90° แลว θ เปนมมกองศา 20. cosec 30°

°°°°

59 cos 35 cos35 sin 31 sin tan 55° มคาเทากบเทาใด


ลาดบและอนกรม ลาดบ ลาดบ (Sequences) คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจานวนเตมบวกทเรยงจากนอยไปหามาก 1. ลาดบจากด คอ ลาดบทมโดเมนเปนเซตของจานวนเตมบวก n ตวแรก {1, 2, 3, ..., n} 2. ลาดบอนนต คอ ลาดบทมโดเมนเปนเซตของจานวนเตมบวก {1, 2, 3, ...} การเขยนลาดบจะเขยนเฉพาะสมาชกทเปนเรนจเรยงกน เชน a1, a2, a3, ..., an เรยก an วาพจนท n หรอพจนทวไป ลาดบเลขคณต คอ ลาดบทมผลตาง ซงไดจากพจนท n + 1 ลบดวยพจนท n ไดคาคงตว เรยกคาคงตวนวา “ผลตางรวม” (d) โดย an = a1 + (n – 1)d เมอ d = an+1 – an ลาดบเรขาคณต คอ ลาดบทมอตราสวนของพจนท n + 1 ตอพจนท n ไดคาคงตว เรยกคาคงตวนวา “อตราสวนรวม” (r) โดย an = a1rn-1

เมอ r = n1n

aa +

อนกรม อนกรม (Series) คอ ผลบวกของพจนทกพจนของลาดบ ให Sn แทนผลบวก n พจนแรกของอนกรม เชน S1 = a1 S2 = a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3 M = M Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an อนกรมเลขคณต คอ อนกรมทไดจากการบวกกนของลาดบเลขคณต 1. Sn = 2

n [2a1 + (n - 1)d]

2. Sn = 2n [a1 + an]

อนกรมเรขาคณต คอ อนกรมทไดจากการบวกกนของลาดบเรขาคณต

1. Sn = r 1)r (1a n

1-- เมอ r ≠ 1 และ r < 1 หรอ Sn = 1r

1) (ra n1

-- เมอ r ≠ 1 และ r > 1

2. Sn = r 1

ra a n1-- เมอ r ≠ 1 และ r < 1 หรอ Sn = 1r

ar a 1n-- เมอ r ≠ 1 และ r > 1

สญลกษณแทนการบวก ถา x1, x2, x3, ..., xN เปนคาขอมลชดหนง

∑=

N

1i 1x คอ ผลรวมของคาทกตวของขอมล

1. ∑=

N

1ic = cN เมอ c เปนคาคงตว

2. ∑=

N

1i 1x = x1 + x2 + x3 + ... + xN = 2

)1N(N +

3. ∑=

N

1i21x = 2

1x + 22x + 2

3x + ... + 2Nx =

6)1N2)(1N(N ++

4. ∑=

N

1i31x = 3

1x + 32x + 3

3x + ... + 3Nx =

4)1N(N 22 +

5. ∑=

N

1i 1cx = cx1 + cx2 + cx3 + ... + cxN = ∑=

N

1i 1xc = c2

)1N(N +

6. ∑=

+N

1i 11 ) y (x = ∑=

N

1i 1x + ∑=

N

1i 1y

ตวอยางขอสอบ 1. ลาดบเรขาคณตขอใดตอไปนมอตราสวนรวมอยในชวง (0.3, 0.5) 1) 3, 4

5 , 4825 , ... 2) 2, 3

4 , 98 , ... 3) 4, 3, 4

9 , ... 4) 5, 4, 516 , ...

2. ลาดบในขอใดตอไปนเปนลาดบเรขาคณต 1) an = 2n ⋅ 32n 2) an = 2n + 4n 3) an = 3n2 4) an = (2n)n 3. พจนท 31 ของลาดบเลขคณต - 20

1 , - 301 , - 60

1 , ... มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 125 2) 30

13 3) 209 4) 15

7


4. พจนท 16 ของลาดบเรขาคณต 6251 , 5125

1 , 1251 , ... เทากบขอใดตอไปน

1) 25 5 2) 125 3) 125 5 4) 625 5. ใน 40 พจนแรกของลาดบ an พจนแรกของลาดบ ab = 3 + (-1)n มกพจน ทมคาเทากบพจนท 40 1) 10 2) 20 3) 30 4) 40 6. ถาผลบวกของ n พจนแรกของอนกรมหนง คอ Sn = 3n2 + 2 แลวพจนท 10 ของอนกรมนมคาเทากบ ขอ

ใดตอไปน 1) 57 2) 82 3) 117 4) 302

7. ∑=

+50

1kk k1)( 1 )( - มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 1300 2) 1350 3) 1400 4) 1450 8. ถาผลบวกและผลคณของสามพจนแรกของลาดบเลขคณตทม d เปนผลตางรวมเทากบ 15 และ 80

ตามลาดบ แลว d2 มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 1 2) 4 3) 9 4) 16 9. ลาดบเรขาคณตหนงมผลบวกและผลคณของ 3 พจนแรกเปน 13 และ 27 ตามลาดบ ถา r เปนอตราสวน

รวมของลาดบนแลว r + r1 มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 310 2) 3

7 3) 34 4) 3

1 10. กาหนดให 2

3 , 1, 21 , ... เปนลาดบเลขคณต ผลบวกของพจนท 40 และพจนท 42 เทากบขอใด

1) –18 2) –19 3) –37 4) –38 11. กาหนดให a1, a2, a3, ... เปนลาดบเลขคณตซง a30 - a10 = 30 แลว ผลตางรวมของลาดบเลขคณตน ม

คาเทากบขอใดตอไปน 1) 1.25 2) 1.5 3) 1.75 4) 2.0 12. ปาจเรมขายขนมครกในวนท 3 มกราคม ในวนแรกขายไดกาไร 100 บาท และวนตอๆ ไปจะขายไดกาไร

เพมขนจากวนแรกกอนหนาวนละ 10 บาททกวน ขอใดตอไปนเปนวนทของเดอนมกราคมทปาจขายไดกาไร เฉพาะในวนนน 340 บาท

1) วนท 24 2) วนท 25 3) วนท 26 4) วนท 27 13. ผลบวกของอนกรมเรขาคณต 1 – 2 + 4 – 8 + ... + 256 เทากบขอใดตอไปน 1) -171 2) -85 3) 85 4) 171 14. คาของ 1 + 6 + 11 + 16 + ... + 101 เทากบขอใดตอไปน 1) 970 2) 1020 3) 1050 4) 1071


15. ถา a1, a2, a3, ... เปนลาดบเลขคณตซง a2 + a3 + a4 + ... + a9 = 100 แลว S10 = a1 + a2 + a3 + ... + a10 มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 120 2) 125 3) 130 4) 135 16. กาหนดให a1, a2, a3, ... เปนลาดบเรขาคณต ถา a2 = 8 และ a5 = -64 แลวผลบวกของ 10 พจนแรก

ของลาดบนเทากบขอใด 1) 2048 2) 1512 3) 1364 4) 1024 17. กาหนดให S = {101, 102, 103, ..., 999} ถา a เทากบผลบวกของจานวนคทงหมดใน S และ b เทากบ

ผลบวกของจานวนคทงหมดใน S แลว b – a มคาเทากบขอใดตอไปน 1) -550 2) -500 3) -450 4) 450 18. กาหนดให Sn เปนผลบวก n พจนแรกของลาดบเลขคณต a1 , a2 , a3 , … ถา Sn = 90 และ S10 = 5

แลว a11 มคาเทากบขอใดตอไปน 1) –39 2) –38 3) –37 4) –36 19. ในสวนปาแหงหนง เจาของปลกตนยคาลปตสเปนแถวดงน แถวแรก 12 ตน แถวทสอง 14 ตน แถวทสาม

16 ตน โดยปลกเพมเชนน ตามลาดบเลขคณต ถาเจาของปลกตนยคาลปตสไวทงหมด 15 แถว จะม ตนยคาลปตสในสวนปานทงหมดกตน

20. ผลบวกของอนกรมเลขคณต 1 + (-2) + 4 + (-8) + ... + 256 เทากบเทาใด


ความนาจะเปน กฎการนบเบองตน 1. กฎการคณ ถาตองการทางาน k อยาง โดยทงานอยางแรกทาได n1 วธ และในแตละวธเลอกทางานอยางแรกนมวธทางานอยางทสองได n2 วธ และในแตละวธทเลอกทางานอยางแรกและทางานอยางทสองมวธทจะเลอกทางานอยางทสามได n3 วธ ฯลฯ 2. กฎการบวก ถาตองการทางานอยางใดอยางหนงใน k อยาง โดยทอยางแรกทาได n1 วธ อยางทสอง ทาได n2 แตกตางจากวธตางๆ ททางานอยางแรก อยางทสามทาได n3 วธ แตกตางจากวธตางๆ ททาในงานสองอยางแรก ฯลฯ ความนาจะเปน 1. ถาแซมเปลสเปซ S มสมาชก n(S) ตว ซงมโอกาสเกดขนเทาๆ กน และเปนเหตการณใน E ซงมสมาชก n(E) ตว 2. สมบตของความนาจะเปน 1. 0 ≤ P(E) ≤ 1 2. ถา A, B และ C เปนเหตการณใดๆ ใน S จะได • P(AU B) = P(A) + P(B) - P(AI B) • P(AU B) = P(A) + P(B) เมอ A และ B ไมเกดเหตการณรวมกน AI B = φ • P(AU BU C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AI B) - P(AI C) - P(BI C) + P(AI BI C) 3. ถา E เปนเหตการณใน S และ E′ เปนเหตการณตรงขาม แลว

จานวนวธทงหมดทจะเลอกทางานทง k อยางเทากบ n1 + n2 + n3 + … + nk วธ

จานวนวธทจะเลอกทางานอยางใดอยางหนงใน k อยาง เทากบ k321 n ... nnn ×××× วธ

ความนาจะเปนของ E เทากบ P(E) = n(S)n(E)

P(E) = 1 - P(E′)


ตวอยางขอสอบ 1. พจารณาขอความตอไปน ก. การทดลองสมเปนการทดลองททราบวาผลลพธอาจเปนอะไรไดบาง ข. แตละผลลพธของการทดลองสมมโอกาสเกดขนเทาๆ กน ขอสรปใดตอไปนถกตอง 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด 2. มาลตองการเดนทางจากเมอง A ไปยงเมอง C โดยตองเดนทางผานไปยงเมอง B กอนจากเมอง A ไปเมอง

B มาลสามารถเลอกเดนทางโดยรถยนต รถไฟ หรอเครองบนได แตจากเมอง B ไปเมอง C สามารถเดนทางไปทางเรอ รถยนตรถไฟ หรอเครองบน ขอใดตอไปนคอจานวนวธในการเดนทางจากเมอง A ไปยงเมอง C ทจะตองเดนทางโดยรถไฟเปนจานวน 1 ครง

1) 5 2) 6 3) 8 4) 9 3. ขอสอบชดหนงมสองตอน ตอนทหนงม 5 ขอ ใหเลอกตอบวาจรงหรอเทจ ตอนทสองม 5 ขอ เปนขอสอบ

แบบ 4 ตวเลอก ถาตองตอบขอสอบชดนทกขอโดยไมเวนแลว จะมวธตอบขอสอบชดนไดตางๆ กนทงหมดเทากบขอใดตอไปน 1) 52 × 54 วธ 2) 25 × 54 วธ 3) 25 × 45 วธ 4) 52 × 45 วธ

4. ครอบครวหนงมพนอง 6 คน เปนชาย 2 คน หญง 4 คน จานวนวธทจะจดใหคนทงหกยนเรยงกนเพอถายรป โดยใหชายทงสองคนยนอยรมสองขางเสมอ เทากบขอใดตอไปน

1) 12 วธ 2) 24 วธ 3) 36 วธ 4) 48 วธ 5. ในการคดเลอกคณะกรรมการหมบานซงประกอบดวยประธานฝายชาย 1 คน ประธานฝายหญง 1 คน

กรรมการฝายชาย 1 คน และกรรมการฝายหญง 1 คน จากผสมครชาย 4 คน และหญง 8 คน มวธการเลอกคณะกรรมการไดกวธ

1) 168 วธ 2) 324 วธ 3) 672 วธ 4) 1344 วธ 6. ในการออกรางวลแตละงวดของกองสลาก ความนาจะเปนทรางวลเลขทาย 2 ตว จะออกหมายเลขทมหลก

หนวยเปนเลขค และหลกสบมากกวาหลกหนวยอย 1 เทากบขอใดตอไปน 1) 0.04 2) 0.05 3) 0.20 4) 0.25 7. โยนลกเตา 3 ลก ความนาจะเปนทลกเตาจะขนแตมคอยางนอย 1 ลก เทากบขอใดตอไปน 1) 3

2 2) 85 3) 4

3 4) 87


8. กาหนดให A = {1, 2, 3}, B = {5, 6, ..., 14} และ r = {(m, n) | m ∈ A, n ∈ B} ถาสมหยบ คอนดบ 1 ค จากความสมพนธ r แลว ความนาจะเปนทจะไดคอนดบ (m , n) ซง 5 หาร n แลวเลอกเศษ 3 เทากบขอใดตอไปน

1) 151 2) 10

1 3) 51 4) 5

3 9. ในการหยบบตรสามใบ โดยหยบทละใบจากบตรสใบ ซงมหมายเลข 0, 1, 2 และ 3 กากบ ความนาจะเปนท

จะไดผลรวมของตวเลขบนบตรสองใบแรกนอยกวาตวเลขบนบตรใบทสามเทากบขอใด 1) 4

1 2) 43 3) 2

1 4) 32

10. โรงเรยนแหงหนงมรถโรงเรยน 3 คน นกเรยน 9 คน กาลงเดนไปขนรถโรงเรยนโดยสม ความนาจะเปนท

ไมมนกเรยนคนใดขนรถคนแรกเทากบขอใดตอไปน

1) 9

31

2)

932

3)

991

4)

992

11. กลองใบหนงบรรจสลากหมายเลข 1-10 หมายเลขละ 1 ใบ ถาสมหยบสลากจานวนสองใบ โดยหยบทละใบ

แบบไมใสคน ความนาจะเปนทจะหยบไดสลากหมายเลขตากวา 5 เพยงหนงใบเทานน เทากบขอใด 1) 9

2 2) 158 3) 35

2 4) 15611

12. จากการสารวจนกเรยนหองหนงจานวน 30 คน พบวา มนกเรยนไมชอบรบประทานปลา 12 คน และ ชอบ

รบประทานปลาหรอกง 23 คน ถาสมนกเรยนมา 1 คน แลวความนาจะเปนทจะไดนกเรยนทชอบรบประทานกงเพยงอยางเดยวมคาเทากบขอใดตอไปน

1) 61 2) 5

1 3) 52 4) 5

3 13. กลองใบหนงมลกบอล 10 ลก เปนสแดง 1 ลก สนาเงน 2 ลก สขาว 2 ลก นอกนนเปนสอนๆ ความนาจะเปน

ทจะหยบลกบอล 3 ลกจากกลองใบนใหไดสแดง 1 ลก สนาเงน 1 ลก และไมไดสขาว เทากบขอใดตอไปน 1) 12

1 2) 101 3) 60

7 4) 152

14. ชางไฟคนหนงสมหยบบนได 1 อน จากบนได 9 อน ซงมความยาว 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 และ 12 ฟต

แลวนามาพาดกาแพงโดยใหปลายดานหนงหางจากกาแพง 3 ฟต ความนาจะเปนทบนไดจะทามมกบพนราบนอยกวา 60 องศา มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 91 2) 9

2 3) 93 4) 9

4 15. โรงแรมแหงหนงมหองวางชนทหนง 15 หอง ชนทสอง 10 หอง ชนทสาม 25 หอง ถาครสมใจตองการ

เขาพกในโรงแรมแหงนโดยวธสมแลว ความนาจะเปนทครสมใจจะไดเขาพกหองชนทสองของโรงแรมเทากบ ขอใดตอไปน

1) 101 2) 5

1 3) 103 4) 2

1


16. สลากชดหนงม 10 ใบ มหมายเลข 1-10 กากบ ความนาจะเปนทจะหยบสลากพรอมกน 3 ใบ ใหมแตมรวมเปน 10 และไมมสลากใบใดมหมายเลขสงกวา 5 มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 601 2) 40

1 3) 301 4) 20

1 17. จานวนวธในการจดหญง 3 คน และชาย 3 คน นงเรยงกนเปนแถว โดยใหสามภรรยาคหนงนงตดกนเสมอ ม

ทงหมดกวธ 18. ในการเขยนตวเลข 3 ตว จากเลขโดด 1 ถง 7 โดยทเลขโดดในหลกทงสามไมซากนเลย จะมวธเขยนตวเลข

เหลานทแสดงจานวนคไดกวธ 19. ถานาตวอกษรทงหมดจากคาวา AVATAR มาจดเรยงเปนคาตางๆ โดยไมจาเปนตองมความหมาย จะ

จดเปนคาทแตกตางกนไดกวธ 20. จากการสารวจนกเรยนกลมหนงจานวน 100 คน ไดขอมลวามนกเรยนทสวมรองเทาขนาดตางๆ ดงน

เบอรรองเทา จานวนนกเรยน (คน) 5 3 6 12 7 35 8 27 9 16 10 7 รวม 100 คน

ถาเลอกนกเรยน 1 คน จากนกเรยนกลมนอยางสม แลวความนาจะเปนทจะเลอกไดนกเรยนสวมรองเทา

เบอร 6 หรอเบอร 7 เทากบเทาใด


สถต สถตม 2 ความหมาย ดงน สถต หมายถง ตวเลขทแทนจานวนหรอขอเทจจรงของสงทเราศกษา สถต หมายถง ศาสตรทวาดวยระเบยบวธการทางสถต ซงประกอบดวย 1. การเกบรวบรวมขอมล 2. การนาเสนอขอมล 3. การวเคราะหขอมล 4. การสรปและตความหมายของขอมล ลกษณะของขอมล แยกเปน 2 ประเภท 1. ขอมลเชงปรมาณ 2. ขอมลเชงคณภาพ ขอมลเบองตนเกยวกบสถต 1. ความถ คอ ขอมลชดหนงทประกอบดวยคาคะแนนสามารถแบงออกไดเปน 1.1 ขอมลไมแจกแจงความถ (ขอมลดบ, ตารางทไมมชวงชน) 1.2 ขอมลแจกแจงความถ (ตารางทมชวงชน) 2. ความถสะสม คอ ผลรวมของความถนนกบความถของคาทนอยกวาทงหมดหรอสงกวาทงหมดอยางใดอยางหนง 3. ขดจากด คอ คากงกลางระหวางอนตรภาคชนทอยตดกน 3.1 ขดจากดบนของอนตรภาคชนใด คอ คากงกลางระหวางคะแนนทสงสดของอนตรภาคชนนนกบคะแนนตาสดของอนตรภาคชนทมคะแนนสงกวาทอยตดกน 3.2 ขดจากดลางของอนตรภาคชนใด คอ คากงกลางระหวางคะแนนตาสดของอนตรภาคชนนนกบคะแนนสงสดของอนตรภาคชนทมคะแนนตากวาทอยตดกน 4. ความกวางของอนตรภาคชน คอ ผลตางระหวางขดจากดบนและขดจากดลางของชนนน

5. คากงกลางของอนตรภาคชนใด คอ ขดจากดบน + ขดจากดลาง2

6. พสย คอ xmax - xmin คากลางของขอมล 1. คาเฉลยเลขคณต ( x ) หาไดจาก x = N

xΣ

2. มธยฐาน (Me) คอ คากลางของขอมลซงเมอเรยงขอมลจากนอยไปมากหรอจากมากไปนอย แลวจานวนขอมลทนอยกวาคานนจะเทากบจานวนขอมลทมากกวาคานน 3. ฐานนยม (Mo) ขอมลทมความถสงสดในขอมลชดนน ขอมลชดใดถามขอมลซากนหรอมความถสงสดเพยงจานวนเดยวจานวนนนเปนคาฐานนยม


คากลางของขอมล กรณขอมลไมแจกแจงความถ กรณขอมลมการแจกแจงความถ

คาเฉลยเลขคณต ( x ) x = NxΣ x = N

x fΣ

มธยฐาน (Me) Me = ขอมลตาแหนงท 21N + Me = L +

MM

fF 2

N -I

ฐานนยม (Mo) Mo = ความถทมมากทสด Mo = L +

+ 211d d

d I

ควอไทล Qr = 41)r(N + Qr = L +

fF 2

rN -I

เดไซล Dr = 101)r(N + Dr = L +

fF 10

rN -I

เปอรไซล Pr = 1001)r(N + Pr = L +

fF 100

rN -I

หมายเหต : 1. L คอ ขดจากดลางของอนตรภาคชนทมขดจากดลางอย 2. N คอ จานวนขอมลทงหมด 3. F คอ ผลรวมของความถของอนตรภาคชนทมคาตากวาอนตรภาคชนทตองการ 4. f คอ ความถของอนตรภาคชนทตองการ 5. I คอ ความกวางของอนตรภาคชนนน 6. dn คอ ผลตางระหวางความถของอนตรภาคทมความถสงสดกบความถของอนตรภาคชนทมคาตากวาทอยตดกน 7. r คอ ตาแหนง ควอไทล เดไซล หรอเปอรเซนตไทล ทตองการ คาเฉลยสะสม รวมx = N1 1x + N2 2x + N3 3x + ... + + Nk kx สวนเบยงเบนมาตรฐาน

S = N)x (x 2

i -Σ หรอ S = 22

i )x( N)(x -Σ


คาความแปรปรวน (S2) S2 = N

1 ∑ (x - x )2 (กรณขอมลไมไดแจกแจงความถ)

= N1 ∑ x2 - x 2 (สตรลด)

หรอ S2 = N1 ∑ f(x - x )2 (กรณขอมลไมไดแจกแจงความถ)

= N1 ∑ fx2 - x 2 (สตรลด)

คามาตรฐาน z = S

x x - (S = 2S คอ คาเบยงเบนมาตรฐาน)

ความสมพนธของ x , Med., Mod. 1. ขอมลเปนโคงปกต 2. ขอมลเบซาย 3. ขอมลเบขวา

แผนภาพกลอง (Box-and-Whisker Plot หรอ Box-Plot) แผนภาพกลองทาใหเราทราบถงลกษณะการกระจายของขอมล

คาตาสด คาสงสด

25%25%25%25%

1Q 2Q 3Q

จากแผนภาพพบวา ขอมลทอยระหวาง Q1 กบ Q2 มการกระจายมากทสด รองลงมาคอขอมลทอยระหวาง Q3 ถงคาสงสด ขอมลระหวางคาตาสดกบ Q1 และขอมลระหวาง Q2 กบ Q3 ตามลาดบ แผนภาพตน-ใบ เปนการจดขอมลเปนกลมเพอแจกแจงความถและวเคราะหขอมลเบองตนไปพรอมกน เรยกวา แผนภาพตน-ใบ (Stem-and-Leaf Plot หรอ Stem Plot) สวนประกอบของแผนภาพตน-ใบ 1. ตน เปนขอมลตงแตหลกสบขนไป 2. ใบ เปนขอมลในหลกหนวย


ตวอยางขอสอบ 1. ในการใชสถตเพอการตดสนใจและวางแผน สาหรบเรองทจาเปนตองมการใชขอมลและสารสนเทศ ถาขาด

ขอมลและสารสนเทศดงกลาว ผตดสนใจควรทาขนตอนใดกอน 1) เกบรวบรวมขอมล 2) เลอกวธวเคราะหขอมล 3) เลอกวธเกบรวบรวมขอมล 4) กาหนดขอมลทจาเปนตองใช 2. ครสอนวทยาศาสตรมอบหมายใหนกเรยน 40 คน ทาโครงงานตามความสนใจ หลงจากตรวจรายงาน

โครงงานของทกคนแลว ผลสรปเปนดงน

ผลการประเมน จานวนโครงงานดเยยม ด

พอใช ตองแกไข

3 20 12 5

ขอมลทเกบรวบรวม เพอใหไดผลสรปขางตนเปนขอมลชนดใด 1) ขอมลปฐมภม เชงปรมาณ 2) ขอมลทตยภม เชงปรมาณ 3) ขอมลปฐมภม เชงคณภาพ 4) ขอมลทตยภม เชงคณภาพ 3. สาหรบขอมลเชงปรมาณใดๆ ทมคาสถตตอไปน คาสถตใดจะตรงกบคาของขอมลคาหนงเสมอ 1) พสย 2) คาเฉลยเลขคณต 3) มธยฐาน 4) ฐานนยม 4. ถาขอมลชดหนงประกอบดวย 10, 12, 15, 13 และ 10 แลวขอความใดเปนเทจ สาหรบขอมลชดน 1) มธยฐาน เทากบ 12 2) ฐานนยม นอยกวา 12 3) ฐานนยม นอยกวา คาเฉลยเลขคณต 4) คาเฉลยเลขคณต มากกวา 12 5. ขอมลตอไปนแสดงนาหนกในหนวยกโลกรม ของนกเรยนกลมหนง 41, 88, 46, 42, 43, 49, 44, 45, 43, 95, 47, 48 คากลางในขอใดเปนคาทเหมาะสมทจะเปนตวแทนของขอมลชดน 1) มธยฐาน 2) ฐานนยม 3) คาเฉลยเลขคณต 4) คาเฉลยของคาสงสดและคาตาสด


6. จากตารางแสดงนาหนกของนกเรยนจานวน 50 คน เปนดงน

ชวงนาหนก (กโลกรม) จานวน (คน) 30-39 4 40-49 5 50-59 13 60-69 17 70-79 6 80-89 5

ขอสรปในขอใดตอไปนไมถกตอง 1) นกเรยนกลมนสวนใหญมนาหนก 60-69 กโลกรม 2) นกเรยนทมนาหนกตากวา 50 กโลกรม ม 9 คน 3) นกเรยนทมนาหนกในชวง 50-59 กโลกรม ม 26% 4) นกเรยนทมนาหนกมากกวา 80 กโลกรม ม 10% 7. ในการแขงขนกฬามหาวทยาลยโลกครงท 24 ซงประเทศไทยเปนเจาภาพ มการสงรายชอนกกฬาจาก

ประเทศไทย 379 คน มอายเฉลย 22 ป ถามการถอนตวนกกฬาไทยออก 4 คน ซงมอาย 24, 25, 25 และ 27 ป และมการเพมนกกฬาไทยอก 5 คน ซงมอายเฉลย 17 ป แลวอายเฉลยของนกกฬาจากประเทศไทย จะเทากบขอใดตอไปน 1) 21.6 ป 2) 21.7 ป 3) 21.8 ป 4) 21.9 ป

8. คาเฉลยเลขคณตของนาหนกของพนกงานของบรษทหนง เทากบ 48.01 กโลกรม บรษทนมพนกงานชาย 43 คน พนกงานหญง 57 คน ถาคาเฉลยเลขคณตของนาหนกพนกงานหญงเทากบ 45 กโลกรม แลวนาหนกของพนกงานชายทงหมดรวมกนเทากบขอใด

1) 2236 กโลกรม 2) 2279 กโลกรม 3) 2322 กโลกรม 4) 2365 กโลกรม 9. อายเฉลยของคนกลมหนงเทากบ 31 ป ถาอายเฉลยของผหญงในกลมนเทากบ 35 ป และอายเฉลยของ

ผชายในกลมนเทากบ 25 ป แลว อตราสวนระหวางจานวนผหญงตอจานวนผชายในกลมเทากบขอใดตอไปน 1) 2 : 3 2) 2 : 5 3) 3 : 2 4) 3 : 5 10. ตารางแจกแจงความถ แสดงจานวนนกเรยนในชวงอายตางๆ ของนกเรยนกลมหนงเปนดงน

ชวงอาย (ป) ความถ (คน) 1-5 4 6-10 9 11-15 2 16-20 5

อายเฉลยของนกเรยนกลมนเทากบขอใดตอไปน 1) 9 ป 2) 9.5 ป 3) 10 ป 4) 10.5 ป

11. กาหนดใหตารางแจกแจงความถสะสมของคะแนนของนกเรยนหองหนง เปนดงน

ชวงคะแนน ความถสะสม (คน)30-39 1 40-49 11 50-59 18 60-69 20

ขอสรปในขอใดตอไปนถกตอง 1) นกเรยนทไดคะแนน 40-49 คะแนน มจานวน 22% 2) นกเรยนสวนใหญไดคะแนน 60-69 คะแนน 3) นกเรยนทไดคะแนนมากกวา 53 คะแนน มจานวนนอยกวา นกเรยนทไดคะแนน 40–49 คะแนน 4) นกเรยนทไดคะแนนนอยกวา 47 คะแนน มจานวนมากกวา นกเรยนทไดคะแนนมากกวา 50 คะแนน 12. ขอมลชดหนง มบางสวนถกนาเสนอในตารางตอไปน

อนตรภาคชน ความถ ความถสะสม ความถสมพทธ2-6 7-11 12-16 17-21

6

11 14

0.2

0.3 ชวงคะแนนใดเปนชวงคะแนนทมความถสงสด 1) 2-6 2) 7-11 3) 12-16 4) 17-21 13. ถาสมตวเลขหนงตวจากขอมลชดใดๆ ซงประกอบดวยตวเลข 101 ตวแลว ขอใดตอไปนถก 1) ความนาจะเปนทตวเลขทสมไดมคานอยกวาคามธยฐาน < 2

1

2) ความนาจะเปนทตวเลขทสมไดมคานอยกวาคาเฉลยเลขคณต < 21

3) ความนาจะเปนทตวเลขทสมไดมคามากกวาคามธยฐาน > 21

4) ความนาจะเปนทตวเลขทสมไดมคามากกวาคาเฉลยเลขคณต > 21

14. คะแนนของผเขาสอบ 15 คน เปนดงน 45, 54, 59, 60, 62, 64, 65, 68, 70, 72, 73, 75, 76, 80, 81 ถาเกณฑในการสอบผาน คอ ตองไดคะแนนไมตากวาเปอรเซนตไทลท 60 แลว ขอใดตอไปนเปนคะแนน

ตาสดของผทสอบผาน 1) 68 2) 70 3) 72 4) 73


15. ขอมลชดหนงประกอบดวย 19 จานวน ตอไปน 6 8 9 12 12 15 15 16 18 19 20 20 21 22 23 24 25 30 30 ควอไทลท 3 มคาตางจากเปอรเซนตไทลท 45 เทากบขอใดตอไปน 1) 4 2) 5 3) 6 4) 7 16. เมอพจารณาผลการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 39 คน พบวา เปอรเซนตไทลท 25 ของคะแนนสอบ

เทากบ 35 คะแนน และมนกเรยน 30 คน ไดคะแนนนอยกวาหรอเทากบ 80 คะแนน ถามนกเรยนทสอบได 35 คะแนนเพยงคนเดยวแลว จานวนนกเรยนทสอบไดคะแนนในชวง 35-80 คะแนน เทากบขอใดตอไปน

1) 18 คน 2) 19 คน 3) 20 คน 4) 21 คน 17. นกเรยนกลมหนงจานวน 80 คน ซงม ลาเจยก ลาดวน และลาพ รวมอยดวย ปรากฏผลการสอบดงน ลาดวนไดคะแนนตรงกบควอไทลทสาม ลาพไดคะแนนตรงกบเปอรเซนตไทลท 50 ลาเจยกไดคะแนนเปนลาดบท 30 เมอเรยงคะแนนจากมากไปหานอย ขอใดตอไปนเปนการเรยงรายชอของผทไดคะแนนนอยไปหาผทไดคะแนนมาก 1) ลาพ ลาเจยก ลาดวน 2) ลาพ ลาดวน ลาเจยก 3) ลาเจยก ลาพ ลาดวน 4) ลาเจยก ลาดวน ลาพ 18. จากการตรวจสอบลาดบทของคะแนนสอบของนาย ก และนาย ข ในวชาคณตศาสตร ทมผเขาสอบ 400 คน

ปรากฏวานาย ก สอบไดคะแนนอยในตาแหนงควอไทลท 3 และนาย ข สอบไดคะแนนอยในตาแหนงเปอรเซนตไทลท 60 จานวนนกเรยนทสอบไดคะแนนระหวางคะแนนนาย ก และคะแนนนาย ข มประมาณ กคน

1) 15 คน 2) 30 คน 3) 45 คน 4) 60 คน 19. ถานาหนก (คดเปนกโลกรม) ของนกเรยน 2 กลม กลมละ 6 คน เขยนเปนแผนภาพตน-ใบ ไดดงน นกเรยนกลมท 1 นกเรยนกลมท 2 8 6 4 3 4 9 8 6 6 4 2 2 4 5 0 ขอสรปในขอใดตอไปนถกตอง 1) นาหนกเฉลยของนกเรยนกลมท 2 มากกวานาหนกเฉลยของนกเรยนกลมท 1 2) ฐานนยมของนาหนกของนกเรยนกลมท 2 มากกวาฐานนยมของนาหนกของนกเรยนกลมท 1 3) มธยฐานของนาหนกของนกเรยนกลมท 2 มากกวามธยฐานของนาหนกของนกเรยนกลมท 1 4) มธยฐานของนาหนกของนกเรยนทงหมด มากกวามธยฐานของนาหนกของนกเรยนกลมท 1

20. กาหนดแผนภาพตน-ใบ ของขอมลชดหนง ดงน 0 3 7 5 1 6 4 3 2 0 2 1 2 3 0 1 สาหรบขอมลชดน ขอใดตอไปนเปนจรง 1) มธยฐาน < ฐานนยม < คาเฉลยเลขคณต 2) มธยฐาน < คาเฉลยเลขคณต < ฐานนยม 3) คาเฉลยเลขคณต < ฐานนยม < มธยฐาน 4) คาเฉลยเลขคณต < มธยฐาน < ฐานนยม 21. แผนภาพตน-ใบ ของนาหนกในหนวยกรมของไขไก 10 ฟอง เปนดงน 5 7 8 6 7 8 9 7 0 4 4 7 8 1 ขอสรปใดเปนเทจ 1) ฐานนยมของนาหนกของไขไกมเพยงคาเดยว 2) คาเฉลยเลขคณตและมธยฐานของนาหนกของไขไกมคาเทากน 3) มไขไก 5 ฟองทมนาหนกนอยกวา 70 กรม 4) ไขไกทมนาหนกสงกวาฐานนยม มจานวนมากกวา ไขไกทมนาหนกเทากบฐานนยม 22. แผนภาพกลองตอไปนแสดงคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหญง และนกเรยนชาย

คะแนนสอบ0 100

คะแนนสอบของนกเรยนชาย

คะแนนสอบของนกเรยนหญง

ขอใดตอไปนถกตอง 1) คะแนนสอบเฉลยวชาคณตศาสตรของนกเรยนชาย สงกวาคะแนนสอบเฉลยวชาคณตศาสตรของนกเรยนหญง 2) คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนชายมการกระจายเบขวา 3) คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหญง มการกระจายมากกวาคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของ

นกเรยนชาย 4) คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหญงมการกระจายเบขวา


23. จากการทดสอบนกเรยนจานวน 100 คน ใน 2 รายวชา แตละรายวชามคะแนนเตม 150 คะแนน ถาผลการทดสอบทงสองรายวชาเขยนเปนแผนภาพกลองไดดงน

0 140

คะแนนสอบรายวชาท 1

คะแนนสอบรายวชาท 2

20 40 60 80 100 120 ขอสรปในขอใดตอไปนถก 1) คะแนนสอบทงสองรายวชามการแจกแจงแบบปกต 2) จานวนนกเรยนทไดคะแนนไมเกน 80 คะแนน ในรายวชาท 1 มากกวาจานวนนกเรยนทไดคะแนนไมเกน

80 คะแนน ในรายวชาท 2 3) คะแนนสงสดทอยในกลม 25% ตาสด ของผลการสอบรายวชาท 1 นอยกวาคะแนนสงสดทอยในกลม

25% ตาสด ของผลการสอบรายวชาท 2 4) จานวนนกเรยนทไดคะแนนระหวาง 60–80 คะแนน ในการสอบรายวชาท 2 นอยกวาจานวนนกเรยนท

ไดคะแนนในชวงเดยวกน ในการสอบรายวชาท 1 24. ขอมลชดหนงม 10 จานวน ประกอบดวยจานวนตอไปน 4, 8, 8, 9, 14, 15, 18, 18, 22, 25 ควอไทลทสามของขอมลชดนมคาเทากบเทาใด 25. ในการสารวจนาหนกตวของนกเรยนในชนเรยนทมนกเรยน 30 คน เปนดงน

ชวงนาหนก (กโลกรม) ความถสะสม (คน) 30-49 10 50-69 26 70-89 30

คาเฉลยของนาหนกตวของนกเรยนในชนเรยนนเทากบกกโลกรม


เฉลย เซต 1. 4) 2. 3) 3. 3) 4. 3) 5. 4) 6. 4) 7. 2) 8. 1) 9. 1) 10. 32 11. 30 12. 50 13. 101 การใหเหตผล 1. 4) 2. 3) 3. 4) 4. 4) 5. 2) 6. 3) 7. 3) ระบบจานวนจรง 1. 4) 2. 1) 3. 2) 4. 2) 5. 3) 6. 4) 7. 3) 8. 1) 9. 2) 10. 1) 11. 1) 12. 4) 13. 1) 14. 3) 15. 4) 16. 1) 17. 3) 18. 2) 19. 2) 20. 3) 21. 3) 22. 4) 23. 3) 24. 2) 25. 3) 26. 4) 27. 4) 28. 64 29. 6 30. 8 เลขยกกาลง 1. 2) 2. 3) 3. 2) 4. 2) 5. 3) 6. 3) 7. 3) 8. 3) 9. 1) 10. 2) 11. 4) 12. 2) 13. 0.75 ความสมพนธและฟงกชน 1. 2) 2. 4) 3. 1) 4. 3) 5. 4) 6. 4) 7. 3) 8. 2) 9. 4) 10. 2) 11. 3) 12. 2) 13. 4) 14. 3) 15. 1) 16. 2) 17. 1) 18. 3) 19. 2) 20. 4) 21. 1) 22. 4) อตราสวนตรโกณมต 1. 1) 2. 1) 3. 3) 4. 2) 5. 4) 6. 3) 7. 1) 8. 2) 9. 4) 10. 2) 11. 2) 12. 4) 13. 3) 14. 4) 15. 2) 16. 4) 17. 39 18. 0.8 19. 60 20. 2


ลาดบและอนกรม 1. 1) 2. 1) 3. 3) 4. 3) 5. 2) 6. 1) 7. 1) 8. 3) 9. 1) 10. 3) 11. 2) 12. 4) 13. 4) 14. 4) 15. 2) 16. 3) 17. 1) 18. 2) 19. 390 20. 171 ความนาจะเปน 1. 2) 2. 1) 3. 3) 4. 4) 5. 3) 6. 1) 7. 4) 8. 3) 9. 1) 10. 2) 11. 2) 12. 1) 13. 1) 14. 2) 15. 2) 16. 1) 17. 240 18. 120 19. 120 20. 0.47 สถต 1. 4) 2. 3) 3. 4) 4. 4) 5. 1) 6. 4) 7. 4) 8. 1) 9. 3) 10. 3) 11. 3) 12. 1) 13. 3) 14. 3) 15. 2) 16. 4) 17. 1) 18. 4) 19. 1) 20. 4) 21. 4) 22. 1) 23. 3) 24. 19 25. 55.5


แนวขอสอบ PAT 1 จานวนเชงซอน 1. ให z เปนจานวนเชงซอน ซงอยในจตภาคท 1 บนระนาบเชงซอน ถา i5i)z(1

i) i)(1 (z+++

++ = 1 และ |z| = 6

จงหาคาผลคณของสวนจรงกบสวนจนตภาพของ z (แนว PAT 1 ม.ค. 56) 2. กาหนดให z เปนจานวนเชงซอนทสอดคลองกบสมการ 3|z + 1| = |z + 9| แลวคาของ | z | มคา

เทากบเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55)


3. ให z1, z2, z3, ... เปนลาดบของจานวนเชงซอนโดยท z1 = 0, zn+1 = 2nz + i สาหรบ n = 1, 2, 3, ...

เมอ i = 1- คาสมบรณของ z111 เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 53) 1) 1 2) 2 3) 3 4) 110 4. ให z1 และ z2 เปนจานวนเชงซอนใดๆ และ 2z แทนสงยค (Conjugate) ของ z2 ถา 5z1 + 2z2 = 5

และ 2z = 1 + 2i เมอ i2 = -1 แลวคาของ |5 11z- | เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 53)

5. ให z1 และ z2 เปนจานวนเชงซอน ถา 11z- = 5

3 - 54 i เมอ i2 = -1 และ 5z1 + 2z2 = 5 แลว 2z

เทากบขอใดตอไปน (เมอ 2z แทนสงยค (Conjugate) ของ z2) (PAT 1 ก.ค. 53) 1) 3 - 2i 2) 3 + 2i 3) 1 - 2i 4) 1 + 2i

6. ถา n เปนจานวนเตมบวกทนอยทสดททาให n

22i 2

2

+ = 1 เมอ i2 = -1 แลว n มคาเทากบเทาใด

(PAT 1 ก.ค. 53) 7. พจารณาขอความตอไปน ก. ถา z เปนจานวนเชงซอนทสอดคลองกบสมการ z2 = i2

i2-+ + 2i1

4i3++ + i 3

15i 5-+ เมอ i = 1-

แลวคาสมบรณของ z เทากบ 37 ข. ถา x และ y เปนจานวนจรงทสอดคลองกบสมการ yix

2i5++- = 4) 3)(i 2)(i 1)(i i(i

10++++

แลวคา x + y = 15 ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 ต.ค. 53) 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก แต ข. ผด 3) ก. ผด แต ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด 8. ถา (1 + bi)3 = -107 + ki เมอ b, k เปนจานวนจรง และ i = 1- แลว |k| เทากบเทาใด (PAT 1 ต.ค. 53) 9. กาหนดให a, b และ z เปนจานวนเชงซอน โดยท |a| ≠ |b|, |a| ≠ 1 และ |b| ≠ 1 ถา |az + b| = | zb + a | แลว |z| เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 54) 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 10. ถา x - 1 + i เปนตวประกอบของพหนาม P(x) = x3 + ax2 + 4x + b เมอ a และ b เปนจานวนจรง

แลวคาของ a2 + b2 เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 54) 1) 17 2) 13 3) 8 4) 5 11. กาหนดให z1 และ z2 เปนจานวนจรงเชงซอน โดยท |z1| = |z1 + z2| = 3 และ |z1 - z2| = 3 3

คาของ |zz zz||5z| |z11|212121

+

- เทากบเทาใด ( z แทนสงยค (Conjugate) ของ z) (PAT 1 ม.ค. 54)

12. กาหนดให z = 1

2i 12 i

---

จงหาคาของ |3z2 + z - 1 - 3i| (แนว PAT 1 ธ.ค. 54)

13. ใช z1 และ z2 เปนเชงซอน โดยท |z1 - z2| = 1 และ |z1 + z2| = 2 คาของ |z1|2 + |z2|2

เปนเทาใด (แนว PAT 1 ม.ค. 55)


14. ให A เปนเซตของจานวนเชงซอน z ทงหมดทสอดคลองกบสมการ |z| - 2z = 1 - 2i

และ B =

+= ∈A z เมอ 2i 1

i)z (2 w |w| - ผลบวกของสมาชกทงหมดในเซต B คอเทาใด

(แนว PAT 1 ม.ค. 55) 15. กาหนดให z1, z2 เปนจานวนเชงซอนทสอดคลองกบสมการ z2 - z + 2 = 0

แลวคาของ (|z1|2 + |z2|2)

2121 zz

z z + เทากบเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55)

1) 1 2) 2 3) 2 4) 2 2 16. กาหนดให z1, z2, z3 เปนเปนรากของสมการ (z + 2)3 = 8 จงหาคาของ |z1| + |z2| + |z3| (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 1) 3 2) 2 3 3) 4 3 4) 12

เกงขอสอบ “จานวนเชงซอน” 1. ให z1, z2 เปนจานวนเชงซอน โดยท |z1| = |z1 + z2| = 4 และ |z1 - z2| = 2 5

จงหาคาของ |z3z z3z||zz| |z4|1221

221+

+ เฉลยวธคด Q |z1 + z2| = 4 → |z1|2 + z1 2z + z2 1z + |z2|2 = 16 ...(1) APoint 2 Q |z1 - z2| = 2 5 → |z1|2 - z1 2z - z2 1z + |z2|2 = 20 ...(2) APoint 3 (1) + (2) ; 2|z1|2 + 2|z2|2 = 36 ∴ |z1|2 + |z2|2 = 18 ...(3) แทนคา |z1| = 4 ใน (3) จะได |z2|2 = 18 - 42 ∴ |z2| = 2 แทนคา |z1|, |z2| ใน (1) จะได z1 2z + z2 1z = 16 - 42 - ( 2 )2 = -2 APoint 4 APoint 1

ดงนน |z3z z3z||zz| |z4|1221

221+

+ = |zz zz|3||z|| |z|41221

221

+

+ = |2|3|)2(| 4(4) 2

-+ = 6

18 = 3 Ans

APoint ทตองร : 1 z ⋅ z = |z|2 2 |z1 + z2|2 = |z1|2 + z1 2z + z2 1z + |z2|2 3 |z1 - z2|2 = |z1|2 - z1 2z - z2 1z + |z2|2 4 | z | = |z|


2. ให z เปนจานวนเชงซอนทสอดคลองกบ z3 + 2z2 + 4z = 0 ถาอารกวเมนตของ z อยในชวง

ππ ,2

แลว |Re(z6) + Im(z6)| เทากบเทาใด (กาหนดให 2 = 1.4 และ 3 = 1.7) Q z3 + 2z2 + 4z = 0 z(z2 + 2z + 4) = 0 ∴ z = 0, -1 + 3 i, -1 - 3 i APoint 3 จดรปเชงขว จะได z = 0 z = 2 cis

π

32 Q θ ∈

ππ ,2 APoint 1

z = 2 cis

π

34

ดงนน z = 2 cis

π

32 ทสอดคลองกบเงอนไข

z6 = 26 cis

π⋅ 3

2 6 APoint 2

∴ z6 = 64 cis (4π) = 64 ∴ คาของ |Re(z6) + Im(z6)| = 64 Ans

APoint ทตองร : รปเชงขว z = r cis (θ) 1 อารกวเมนตของ z = θ 2 zn = rn cis (nθ)

3 ถา ax2 + bx + c = 0 แลว x = 2a 4ac b b 2 -- ±


แนวขอสอบ PAT 1 ความนาจะเปน 1. ตองการนาเลขโดด 1, 1, 2, 3, 3, 4 ทงหมด 6 ตว มาจดเรยงเปนจานวนทม 6 หลก จะสรางจานวนทม 6 หลก

ไดทงหมดกจานวน เมอเลข 1 ทงสองตวไมตดกน และเลข 3 ทงสองตวไมตดกน (แนว PAT 1 ม.ค. 56) 2. จงหวดหนงม 6 อาเภอ แตละอาเภอสงผแทน 2 คน เปนชาย 1 คน และหญง 1 คน ในการเลอก

คณะกรรมการ 6 คน จากผแทน 12 คน จะตองมชาย 3 คน หญง 3 คน ถาความนาจะเปนทคณะกรรมการดงกลาว มชายหญงอยางนอย 1 ค มาจากอาเภอเดยวกน เทากบ b

a โดยท ห.ร.ม. ของ a กบ b เทากบ 1 แลว a + b มคาเทาใด (แนว PAT1 ม.ค. 56)


3. กลองใบหนงบรรจเสอยด 13 ส สละ 4 ตว โดยท เสอยดในแตละสมขนาด S, M, L และ XL ตามลาดบ สมหยบเสอจากกลองมา 3 ตว พรอมๆ กน ความนาจะเปนทจะไดเสอมสเหมอนกน 2 ตว เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 53)

1) 42572 2) 5525

72 3) 2213 4) 22100

3 4. กาหนดให S เปนแซมเปลสเปซ และ A, B เปนเหตการณใดๆ ใน S จงพจารณาขอความตอไปน ก. P(A) = P(AI B) + P(AI B′) ข. ถา P(A) = 0.5, P(B) = 0.6 และ P(AU B′) = 0.7 แลว P(A - B) = 0.4 ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 ม.ค. 53) 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก แต ข. ผด 3) ก. ผด แต ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด 5. ให A เปนเซตของจานวนเฉพาะบวกทมคานอยกวาหรอเทากบ 10 B เปนเซตของจานวนเตมบวกทมคานอยกวาหรอเทากบ 10 และ C เปนเซตของฟงกชน f : A → B ทงหมดทเปนฟงกชนหนงตอหนง และ ห.ร.ม. ของ a และ f(a) ไมเทากบ 1 สาหรบทกคา a ∈ A จานวนสมาชกในเซต C เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 53) 6. กาหนดให A = {0, 1, 2, 3, 4} จานวนเตมบวกทมคานอยกวา 300 โดยสรางมาจากตวเลขในเซต A และ

ตวเลขแตละหลกไมซากนเทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 53) 7. คณะกรรมการชดหนงม 7 คน ประกอบดวยประธาน รองประธาน เลขานการ และกรรมการอก 4 คน

จานวนวธทจดกลมคน 7 คนนนงประชมรอบโตะกลม โดยใหประธานและรองประธานนงตดกนเสมอ แตเลขานการไมนงตดกบรองประธานเทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 53)

8. ในการทอดลกเตา 2 ลกพรอมๆ กน ความนาจะเปนทผลบวกของหนาลกเตาทงสองเทากบ 7 หรอผลคณของหนาลกเตาทงสองเทากบ 12 เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ก.ค. 53)

1) 181 2) 6

1 3) 92 4) 9

4 9. มขอสอบปรนย 20 ขอ คะแนนเตม 50 คะแนน โดยกาหนดขอ 1-10 ขอละ 4 คะแนน และขอ 11-20

ขอละ 1 คะแนน ถาหากนกเรยนตอบขอใดถกตอง จะไดคะแนนเตมของขอนน แตถาตอบผดหรอไมตอบ จะไดคะแนน 0 คะแนน จะมกวธทนกเรยนคนหนง จะทาขอสอบชดนไดคะแนนรวม 45 คะแนน

(PAT 1 ก.ค. 53) 10. กาหนดให A = {1, 2, 3, ..., 9, 10} จงหาจานวนสบเซตของ A ทงหมดทประกอบดวยสมาชก 8 ตวท

แตกตางกน โดยทผลรวมของสมาชกทง 8 ตว เปนพหคณของ 5 (PAT 1 ก.ค. 53)


11. ในการสอบถามนกเรยน จานวน 100 คน ปรากฏวา ม 50 คน ชอบวชาคณตศาสตร , ม 40 คน ชอบวชาฟสกส, ม 33 คน ชอบวชาภาษาองกฤษ, ม 5 คน ชอบทงสามวชา, ม 10 คน ชอบวชาภาษาองกฤษอยางเดยว, ม 12 คน ชอบวชาฟสกสอยางเดยว และม 20 คน ชอบวชาคณตศาสตรและวชาฟสกส

พจารณาขอความตอไปน ก. ความนาจะเปนทนกเรยนคนหนงไมชอบทงสามวชา เทากบ 0.15 ข. ความนาจะเปนทนกเรยนคนหนงชอบวชาคณตศาสตรอยางเดยว เทากบ 0.40 ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 ต.ค. 53) 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก แต ข. ผด 3) ก. ผด แต ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด 12. โยนเหรยญบาท (เทยงตรง) หนงเหรยญ จานวน 10 ครง ความนาจะเปนทไดหวอยางนอย 2 ครงตดกน

เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 54) 1) 512

193 2) 512314 3) 64

9 4) 6455

13. มถงยงชพ 5 ถง ตองการแจกใหครอบครวทถกนาทวม 4 ครอบครว ครอบครวละไมเกน 2 ถง ความนาจะเปน

ทครอบครวของสมชายซงเปนหนงในสครอบครวนนไมไดรบของแจกเลย เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 54) 1) 0.15 2) 0.2 3) 0.4 4) 0.6 14. ถา S เปนผลบวกของจานวนเตมบวกทงหมดทสรางมาจากเลขโดด 1, 2, 3 หรอ 4 โดยทตวเลขในแตละ

หลกไมซากน แลวเศษเหลอจากการหาร S ดวย 9 เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 54) 15. กาหนดให A และ B เปนเหตการณในปรภมตวอยาง ถา P(B - A) = 0.5, P(B) = 0.6 และ P(A′U B) = 0.7 แลว จงหา P(AU B′) (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 1) 0.1 2) 0.3 3) 0.4 4) 0.5 16. สมเลอกจานวนตงแต 3 ถง 17 มา 5 จานวน จงหาจานวนวธทจะไดจานวนซงมผลรวมของทง 5 จานวน

หารดวย 3 ลงตว (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 17. มบตรอกษร 9 ใบ ไดแก X, X, X, O, O, O, S, S, S เลอกมา 3 ใบ เพอสรางรหส 3 หลก จะสรางรหสท

แตกตางกนไดกวธ (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 18. ให S เปนเซตของพหนาม P(x) = ax3 + bx2 + cx + d โดยท a, b, c, d เปนสมาชกในเซต {x ∈ I|x ≥ 0}

ซงมสมบตสอดคลองกบ a + 2b + c + d = 4 จานวนสมาชกของเซต S เทากบเทาใด (แนว PAT 1 ม.ค. 55) 19. มลกบอลสแตกตางกน 5 ลก คอ สขาว, สแดง, สเขยว, สเหลอง และสดา สมเลอกลกบอลเหลานมาครงละ

3 ลก ความนาจะเปนทจะไดสแดงหรอสเหลองเทากบเทาใด (แนว PAT 1 ม.ค. 55) 20. จงหาจานวนวธทงหมดในการจดสาม ภรรยา 3 ค ซงมเจนภพและนพนภา รวมอยดวยใหยนเปนแถวตรง

2 แถว แถวละ 3 คน โดยทเจนภพและนพนภาไมไดยนตดกนในแถวเดยวกน (แนว PAT 1 ม.ค. 55)

21. ในการทอดลกเตา 2 ลก พรอมกน 1 ครง โอกาสทลกเตาลกหนงออกแตม x อกลกออกแตม y โดยท

x1 + y

1 = 21 คอเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55)

1) 91 2) 6

1 3) 181 4) 12

1 22. จากการสอบถามนกเรยน 22 คน พบวาทกคนเปนคนชอบเลนกฬาอยางนอย 1 ชนด ม 10 คน ชอบเลน

เปตอง, ม 12 คน ชอบเตะตะกรอ, ม 12 คน ชอบตกอลฟ, ม 5 คน ชอบเลนเปตองและตะกรอ, ม 3 คน ชอบเลนเปตองและกอลฟ, ม 6 คน ชอบเตะตะกรอและตกอลฟ ถาตองการเลอกเดกนกเรยนทชอบกฬาชนดละ 1 คน โดยทเดกคนนนตองชอบกฬาเพยงชนดเดยวเทานน จะสามารถเลอกไดกวธ (แนว PAT 1 ต.ค. 55)

23. สาหรบเหตการณ E ใดๆ ให P(E) แทนความนาจะเปนของเหตการณ E ถา P(A) = 0.34, P(AI B) = 0.15, P((AU B) - (AI B)) = 0.43 แลวคาของ P(B - A) คอเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55)

24. ในการจดทนงรอบโตะกลมของคน 8 คน ทมวกจและมตตารวมอยดวย จงหาความนาจะเปนททงสองคนไมไดนงตดกน (แนว PAT 1 ธ.ค. 54)

1) 43 2) 5

4 3) 75 4) 8

7 25. กาหนดให S = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16} สมหาสบเซตของ S ทมสมาชก 3 ตว ความนาจะเปนทจะได

สบเซต {x, y, z} ⊂ S โดยท x < y < z และ x, y, z เปนลาดบเลขคณตเทากบขอใดตอไปน (แนว PAT 1 ม.ค. 55) 1) 35

9 2) 3511 3) 210

6 4) 2109

26. กาหนดให P(E) แทนความนาจะเปนของเหตการณ E ถา A และ B เปนเหตการณใดๆ ในแซมเปลสเปซ โดยท

P(A) = 21 , P(B′) = 8

5 และ P(A′I B′) = 41 จงพจารณาขอความตอไปน (แนว PAT 1 ม.ค. 56)

ก. P(AI B) = 81 ข. P(AU B′) = 4

3

ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด 27. ในการโยนลกเตา 2 ลก พรอมกนหนงครง ความนาจะเปนทจะไดผลคณของแตมบนลกเตาทงสองหารดวย 3

ไมลงตวเทากบขอใดตอไปน (แนว PAT 1 ม.ค. 56) 1) 9

1 2) 92 3) 9

4 4) 96


เกงขอสอบ “ความนาจะเปน” 1. พจารณาขอความตอไปน ก. ในการจดโตะกลมของคน 9 คน มนาย ก และนาย ข รวมอยดวย ความนาจะเปนททง 2 คน ไมนงตดกน

มคาเทากบ 43

ข. ถา P(A) = 0.5, P(B) = 0.3 และ P(AU B′) = 0.8 แลว P(A - B) = 0.2 ขอใดสรปไดถกตอง 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก แต ข. ผด 3) ก. ผด แต ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด เฉลยวธคด พจารณาขอความ ก. n(S) ; จดเรยงคน 9 คน ได (9 - 1)! = 8! วธ APoint 1 n(E) ; i) จดคน 7 คน (ไมรวม ก, ข) ได (7 - 1)! = 6! APoint 1 ii) จบ ก. และ ข. แทรกได

27

⋅ 2! = 2!5!7!

⋅ 2! = 42

เลอกชองนง จดนาย ก, ข นง APoint 2 ∴ n(E) = 42 ⋅ 6! ∴ P(E) = n(S)

n(E) = 8!6!42 ⋅ = 56

42 = 43 ดงนน ก. ถก

ข. จากทกาหนดให P(A) = 0.5 , P(B) = 0.3 และ P(AU B′) = 0.8

P(A) U

0.5

P(B)

P(A) UP(B)

0.3

U

0.8

P(B)P(A)

จากแผนภาพเวนน-ออยเลอร ไดดงน จะได P(A - B) = 0.4 ดงนน ข. ผด Ans 2)

APoint ทตองร : 1 นงเปนวงกลม 2 จบแทรก 3 แผนภาพเวนน-ออยเลอร

127

6 3

45

1 2

3

4

5

6

7

P(A) U

0.4

P(B)

0.1 0.20.3

APoint 3


2. ในการสรางเมทรกซในรป

1 x y0 4 x

22

-- แบบสม โดยท x, y ∈ {0, 1, 2, 3, 4} ความนาจะเปนทจะได

เมทรกซทหาผกผนการคณได มคาเทากบขอใด 1) 5

2 2) 53 3) 25

6 4) 257

เฉลยวธคด

ให A =

1 x y0 4 x

22

--

ดงนน det A = (x2 - 4)(x2 - 1) = (x - 2)(x + 2)(x - 1)(x + 1) det A ≠ 0 เมอ x ≠ -2, 2, -1, 1 หา A-1 เมอ x ≠ -2, 2, -1, 1 APoint 1 หา n(S) ; เนองจาก x, y ∈ {0, 1, 2, 3, 4} ∴ n(S) = 5 × 5 = 25 APoint 2 หา n(E) ; x ≠ -2, 2, -1, 1 ∴ n(E) = 3 × 5 = 15 APoint 2 x = 0, 3, 4 y = 0, 1, 2, 3, 4 ดงนน P(E) = n(S)

n(E) = 2515 = 5

3 Ans 2)

APoint ทตองร : 1 A-1 หาได ↔ det A ≠ 0 2 กฎการคณ


แนวขอสอบ PAT 1 ลาดบและอนกรม 1. สาหรบ n = 2, 3, 4, ... ให an = 1 + 2 + 3 + ... + n

จงหาคาของ ∞→n

lim 121

⋅ 1) (a ... 1) 1)(a 1)(a (aa...aaa

n432n432

---- ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (แนว PAT 1 ม.ค. 56)

2. กาหนด a1, a2, a3, ..., an, ... เปนลาดบเรขาคณตและมอตราสวนรวมเทากบ r

ถา 4231

a aa a

+

+ + 6453

a aa a

+

+ + 8675

a aa a

+

+ + ... + 2016201420152013

a aaa

+

+ = 2014

จงหาคาของ 1 + 5r + 13r2 + 25r3 + ... (แนว PAT 1 ม.ค. 56)


3. ผลบวกของอนกรม 3 + 411 + 16

33 + ... + 1nnn

42 2 3

--+ + ... เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 53)

1) 320 2) 3

29

3) 331 4) 3

40 4. ถา {an} เปนลาดบของจานวนจรงท an = 2n

2n...642 ++++ สาหรบทกจานวนเตมบวก n

แลว nnalim

∞→ เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 53)

5. กาหนดให Sn = ∑=

+++

n

1k 1 kk 1) (kk1 สาหรบ n = 1, 2, 3, ... คาของ nn

Slim∞→

เทากบเทาใด

(PAT 1 ม.ค. 53) 6. พจารณาการจดเรยงลาดบของจานวน 2, 3, 4, 5, 6, ... ในตารางดงตอไปน (PAT 1 ม.ค. 53)

แถวท 1 9 17 ...2 2 8 10 16 ...3 3 7 11 15 ...4 4 6 12 14 ...5 5 13 ...

จานวน 2400 อยในแถวทเทาใด 7. กาหนดให x, y, z เปนลาดบเรขาคณต มอตราสวนรวมเทากบ r และ x ≠ y ถา x, 2y, 3z เปนลาดบ

เลขคณต แลวคา r เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ก.ค. 53) 1) 4

1 2) 31

3) 21 4) 2

8. กาหนดใหอนกรมตอไปน

A = ∑=

1000

1k1)k( - B = ∑

=

20

3k2k C = ∑

=

100

1kk D = ∑

∞

=

1k

k212

คาของ A + B + C + D เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ก.ค. 53) 1) 7917 2) 7919 3) 7920 4) 7922


9. พจารณาการจดเรยงลาดบของจานวนค 1, 3, 5, 7, 9, ... ในตารางดงตอไปน แถวท 1 1แถวท 2 3 5แถวท 3 7 9 11แถวท 4 13 15 17 19แถวท 5 M M M M M M

M M M M M M M จากตารางจะเหนวา จานวน 15 อยตาแหนงท 2 (จากซาย) ของแถวท 4 อยากทราบวา จานวน 361 จะอย

ตาแหนงใดในแถวทเทาใด (PAT 1 ก.ค. 53) 1) ตาแหนงท 9 (จากซาย) ของแถวท 18 2) ตาแหนงท 10 (จากซาย) ของแถวท 19 3) ตาแหนงท 11 (จากซาย) ของแถวท 20 4) ตาแหนงท 12 (จากซาย) ของแถวท 21 10. ให {an} เปนลาดบของจานวนจรงโดยท a1 + a2 + a3 + ... + an = n2an สาหรบ n = 1, 2, 3, ... ถา

a1 = 100 แลว n2

nanlim

∞→ มคาเทากบเทาใด (PAT 1 ก.ค. 53)

11. กาหนดให β เปนจานวนจรง และให {an} เปนลาดบของจานวนจรงทนยามโดย an = 2 n

7 n+

β - สาหรบ n = 1, 2, 3, ... ถาผลบวก 9 พจนแรกมคามากกวาผลบวก 7 พจนแรกของลาดบ {an} เปนจานวนเทากบ a108 แลว nn

alim∞→

มคาเทากบเทาใด (PAT 1 ก.ค. 53) 12. กาหนดให an =

2n1 1 1

++ + 2

n1 1 1

+ - สาหรบ n = 1, 2, 3, ...

คาของ 1a1 +

2a1 + ... +

20a1 เทากบเทาใด (PAT 1 ก.ค. 53)

13. ให k เปนคาคงทและถา ∞→n

lim 545

2)(n2 3n n) k(n

+

+++ = 15 + 6 + 512 + ... + 15

1n52 -

+ ... แลว k

มคาเทากบเทาใด (PAT 1 ก.ค. 53) 14. พจารณาการจดเรยงลาดบของจานวน 2, 5, 8, 11, 14, ... ในตารางดงตอไปน

หลกท 1 หลกท 2 หลกท 3 หลกท 4 หลกท 5 2 5 8

23 20 17 14 11 26 29 32

47 44 41 38 35 M M M M M

จานวน 2012 อยในหลกทเทาใด (PAT 1 ก.ค. 53)


15. ให T(x) = sin x - cos2 x + sin3 x - cos4 x + sin5 x - cos6 x + ... แลวคาของ 3T

π3 เทากบ

ขอใดตอไปน (PAT 1 ต.ค. 53) 1) 4 3 - 1 2) 5 3 - 1 3) 6 3 - 1 4) 7 3 - 1

16. กาหนดให {an} เปนลาดบของจานวนจรงโดยท an = ∑=

+

n

1k

21) 1)(2k (2k

k - สาหรบ n = 1, 2, 3, ...

∞→nlim n

16 an เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ต.ค. 53)

1) 4 2) 316 3) 8 4) 16

17. กาหนดให {an} เปนลาดบเลขคณต โดยมสมบต ดงน ก. a15 - a13 = 3 ข. ผลบวก m พจนแรกของลาดบเลขคณตน เทากบ 325 และ ค. ผลบวก 4m พจนแรกของลาดบเลขคณตน เทากบ 4900 แลวพจน a2m เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ต.ค. 53) 1) 2

61 2) 2121 3) 2

125 4) 119 18. กาหนดให {an} เปนลาดบของจานวนจรงโดยท a1 = 2 และ an =

+

1n1 n

- (a1 + a2 + ... + an-1)

สาหรบ n = 2, 3, ... แลวคาของ ∞→n

limn21 a ... a a

n+++

เทากบเทาใด (PAT 1 ต.ค. 53) 19. บทนยาม ให {an} เปนลาดบของจานวนจรง เรยกพจน an วา พจนค ถา n เปนจานวนค และ เรยกพจน an วา พจนค ถา n เปนจานวนค กาหนดให {an} เปนลาดบเลขคณต โดยทมจานวนพจนเปนจานวนคและผลบวกของพจนคทงหมด เทากบ

36 และผลบวกของพจนคทงหมดเทากบ 56 ถาพจนสดทายมากกวาพจนแรก เปนจานวนเทากบ 38 แลวลาดบเลขคณต {an} น มทงหมดกพจน (PAT 1 ต.ค. 53)

20. ให {bn} เปนลาดบของจานวนจรง โดยท b1 = -3 และ bn+1 = nn

b 1b1

-+ สาหรบ n = 1, 2, 3, ... คาของ

b1000 เทากบเทาใด (PAT 1 ต.ค. 53)

21. คาของ ∑= ++ ++

9999

1n )1 n n)(1 n n(1 44

เทากบเทาใด (PAT 1 ต.ค. 53) 22. กาหนดให Sk = 13 + 23 + 33 + ... + k3 สาหรบ k = 1, 2, 3, ...

คาของ ∞→n

lim

++++n321 S

1 ... S1

S1

S1 เทากบเทาใด (PAT 1 ต.ค. 53)

23. ถาผลคณของลาดบเรขาคณต 3 จานวนทเรยงตดกน เทากบ 343 และผลบวกของทงสามจานวนน เทากบ

57 แลว คามากทสดในบรรดา 3 จานวนน เทากบเทาใด (PAT 1 ต.ค. 53)


24. กาหนดให {an} เปนลาดบของจานวนจรง โดยท an+1 = n2 - an สาหรบ n = 1, 2, 3, ... คาของ a1 ททาให a101 = 5100 เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 54) 1) 50 2) 25 3) 1 4) 0 25. กาหนดให 4 พจนแรกของลาดบเลขคณต คอ 2a + 1, 2b - 1, 3b - a และ a + 3b เมอ a และ b เปน

จานวนจรง พจนท 1000 ของลาดบเลขคณตนเทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 54) 1) 3,997 2) 3,999 3) 4,001 4) 4,003 26. ให a, b, c เปนจานวนจรง โดยท 2a, 3b, 4c เปนลาดบเรขาคณต และ a

1 , b1 , c

1 เปนลาดบเลขคณต

คาของ ca + a

c เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 54) 27. กาหนดให {an} เปนลาดบของจานวนจรง โดยท a1 = 1 และ an + 1 ≤ an+1 และ an+5 ≤ an + 5

สาหรบ n = 1, 2, 3, ... แลวคาของ ∞→n

lim n1

+∑

=

n

1kk k) 6 (a - เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 54)

28. กาหนดอนกรมเลขคณต a1 + a2 + a3 + ... + a51 ถา a1 + a2 + a3 + ... + a51 = 52 แลวจงหาคาของ

a2 + a4 + a6 + ... + a50 (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 1) 44 2) 46 3) 48 4) 50 29. จงหาจานวนจรง x > 0 ซง 1 + x 1

5+

+ 2x)(112+

+ 3x)(122+

+ ... = 10 (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 30. กาหนดให {an} เปนลาดบของจานวนจรง โดยท a1 = 0 และ an = (-1)n

21 logn

31 log 1n- ...

n1 log2 ; n > 1

bn = ∑=

n

2k 2 1 k1 -

จงหาคา c ททาให ∞→n

lim (an + cbn) = 5 (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 31. กาหนดให 1)n(n ... 3(4) 2(3) 1(2)

n ... 3 2 1 2222+++++

++++ = 9289 จงหาคา n (แนว PAT 1 ธ.ค. 54)

32. พจารณาขอความตอไปน

ก. ถา a, b ∈ I+ แลว ∑∞

= +1n nnn

b) (a b a - = ab

b a 22 -

ข. ถา a1, a2, a3, ... เปนลาดบเลขคณต โดยท 2n21

na...aa +++ = 2

m21m

a ... aa +++ ; n ≠ m

แลว na

1 2n - = ma

1 2m -

ขอใดตอไปนถก (แนว PAT 1 ม.ค. 55) 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก แต ข. ผด 3) ก. ผด แต ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด


33. ลาดบเรขาคณตชดหนง มอตราสวนรวมเปนจานวนจรงบวก ถาผลบวกของสองพจนแรก เทากบ 3 และผลบวกของสพจนแรก เทากบ 15 แลว ผลบวกของหกพจนแรก เทากบเทาใด (แนว PAT 1 ม.ค. 55)

34. กาหนดให an = 2bn + 2-bn เมอ n = 1, 2, 3, ... และ bn = 2n เมอ n = 1, 2, 3, ...

คาของ ∞→n

lim1n321

na ... aaa

a-

มคาเทากบเทาใด (แนว PAT 1 ม.ค. 55) 35. กาหนดให an = 2 sin

ππ 2 n - + cos nπ และ bn = 4 cos

ππ 3 2n -

แลวคาของ 11

ba +

2

22

ba

+

3

33

ba

+ ... มคาเทากบเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55)

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 36. กาหนดให an = 1 + 2 + 3 + ... + n และ bn = a1 + a2 + a3 + ... + an

แลวคาของ ∞→n

lim

+++++n321 b2 n ... b

5 b4 b

3 มคาเทากบเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55)

37. จงหาคาของ 2n1lim

n ∞→

+++++++++ 222222 n

1 1) (n

1 1 ... 31

21 1

21

11 1

-

(แนว PAT 1 ม.ค. 55) 38. กาหนดใหลาดบเลขคณตมผลบวก 5 พจนแรกเทากบ 105 และมผลบวก 5 พจนถดไป เทากบ 180 แลว

ผลบวก 31 พจนแรกของลาดบเลขคณตนมคาเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55) 39. กาหนด a1, a2, a3, a4, a5 และ b1, b2, b3, b4, b5, b6 เปนลาดบเลขคณต โดยท a1 = b2 ; a5 = b5 ;

a1 ≠ a5 ถา 242846

a a) b (b )b (b

--- + = y

x และ ห.ร.ม. ของ x และ y เทากบ 1 แลว จงหาคาของ xy

(แนว PAT 1 ม.ค. 56) 40. กาหนดให {an} เปนลาดบของจานวนจรง โดยท an = 5n...15105

1++++ กบ n = 1, 2, 3, ...

ผลบวกของอนกรม a1 + a2 + a3 + ... เทากบขอใดตอไปน (แนว PAT1 ม.ค. 56) 1) 5

1 2) 52 3) 5

3 4) 54


เกงขอสอบ “ลาดบและอนกรม” 1. กาหนดใหลาดบ an สอดคลองกบสมการ 2a1 + 3a2 + 4a3 + ... + (n + 1)an = 3 n

2 n++ ; n ∈ I+

จงหาคาตอบของ ∑∞

=3nn12a

เฉลยวธคด ∴ 2a1 + 3a2 + 4a3 + ... + (n + 1)an = 3n

2n++ ...(1)

2a1 + 3a2 + 4a3 + ... + nan-1 = 2n1n

++ ...(2)

(1) - (2) ; (n + 1)an = 3n2n

++ - 2n

1n++

an = 3) 2)(n1)(n(n3) 1)(n (n2)2)(n(n

+++++++ -

an = 3) 2)(n1)(n(n3) 4n (n 4) 4n (n 22

+++++++ -

an = 3) 2)(n1)(n(n1

+++

จะได Sn = ∑=

n

3kk12a = 12 ∑

=

n

3kka = 12 ∑

=

++++

n

3k 3) 2)(k (k1 2) 1)(k (k

121

- APoint 1

Sn = 12

⋅⋅ 6 51 5 4

121 - + 2

1

⋅⋅ 761 65

1 - + ... + 21

++++ 3) 2)(n (n1 2) 1)(n(n

1 -

Sn = 12

++⋅ 3) 2)(n (n1 5 4

121 -

ดงนน ∑∞

=3nn12a = S∞ =

∞→nlim Sn APoint 2

= ∞→n

lim 12

++⋅ 3) 2)(n (n1 5 4

121 -

= 12 ⋅ 21

⋅ 0 541 - APoint 3

= 206 = 0.3 Ans

APoint ทตองร : 1 อนกรมเศษสวนยอย

∑ 2d)d)(nn(n1

++ = 2d1 ∑

+++ 2d) d)(n(n1 d)n(n

1 -

2 S∞ = ∞→n

lim Sn

3 ลมตของฟงกชนพหนาม : ดกรสงสดของเศษนอยกวาสวน


2. ให an เปนลาดบเลขคณต โดยท 9a51 = a55 + 60 จงหาคาของ ∑=

100

1nna

เฉลยวธคด 9a51 = a55 + 60 9(a1 + 50d) = (a1 + 54d) + 60 APoint 1 9a1 + 450d = a1 + 54d + 60 8a1 + 396d = 60 2a1 + 99d = 15

คาของ ∑=

100

1nna = S100 = 2

100 (a1 + a100) APoint 2

= 50[a1 + (a1 + 99d)] APoint 1 = 50(2a1 + 99d) = 50(15) = 750 Ans

APoint ทตองร : 1 an = a1 + (n - 1)d 2 Sn = 2

n (a1 + an)

แนวขอสอบ PAT 1 แคลคลส

1. กาหนดให f(x) =

+

≥

<

4 x ; 3kx

4 x ; 12 3x 4x 2x

8 2x 2 ---

โดย k เปนจานวนจรง ถา f ตอเนองทจด x = 4

จงหาคา f(k + 4) (แนว PAT 1 ม.ค. 56) 2. ให f เปนฟงกชน ซงมโดเมนและเรนจ เปนสบเซตของจานวนจรง โดยทมอตราการเปลยนแปลงของ f(x)

เทยบกบ x เทากบ ax3 + bx เมอ a และ b เปนจานวนจรง และให g(x) = (x3 + 2x)(f(x)) ถา f′(1) = 18, f″(0) = 6 และ f(2) = f(1) + f(-1) จงหาคาของ g′(-1) (แนว PAT 1 ม.ค. 56)

3. กาหนดให R แทนเซตของจานวนจรง ถา f : R → R และ g : R → R เปนฟงกชน โดยท f(x) = 3x2/3, g(1) = 8 และ g′(1) = 3

2 คาของ (fog)′(1) เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 53)

1) 31 2) 3

2 3) 1 4) 34

4. กาหนดให a และ b เปนจานวนจรง และ f เปนฟงกชน ซงกาหนดโดย f(x) =

++

=

>

<

2 x , 1 ax x2 x , b a 2 x , 2 x

2 3x x

2

2

--

--

ถา f เปนฟงกชนตอเนองบนเซตของจานวนจรงแลว คาของ a2 + b2 เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 53) 5. กาหนดให R แทนเซตของจานวนจรง ถา f : R → R เปนฟงกชนโดยท f′(x) = 3 x + 5 สาหรบทก

จานวนจรง x และ f(1) = 5 แลวคา 4x

lim→ f(x)

2 )f(x2 - เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 53) 6. กาหนดให R แทนเซตของจานวนจรง ถา f : R → R เปนฟงกชนโดยท f″(x) = 6x + 4 สาหรบทกจานวน

จรง x และความชนของเสนสมผสเสนโคง y = f(x) ทจด (2, 19) เทากบ 19 แลวคาของ f(1) เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 53)

7. กาหนดให a และ b เปนจานวนจรง และให f เปนฟงกชน โดยท f(x) =

+

≥<≤<<

5 x , 5 5 x 1 , bax 1 x 1 , 1 x

|1 x|

3 ---

ถา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง (-1, ∞) แลวคาของ ab เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ก.ค. 53) 1) 4

5 2) - 47 3) 15 4) -10

8. โรงงานผลตตกตาแหงหนง มตนทนในการผลตตกตา x ตว โรงงานจะตองเสยคาใชจาย x3 - 450x2 +

60200x + 10000 บาท ถาขายตกตาราคาตวละ 200 บาท โรงงานจะตองผลตตกตากตวจงจะไดกาไร มากทสด (PAT 1 ก.ค. 53)

9. กาหนดให f(x) เปนฟงกชนพหนามกาลงสอง ถาความชนของเสนสมผสเสนโคง y = f(x) ทจด (1, 2) มคา

เทากบ 4 และ ∫21f(x)dx

- = 12 แลว f(-1) + f″(-1) มคาเทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 53)

10. กาหนดให h(x) = f(x)g(x) โดยทความชนของเสนสมผสเสนโคง y = f(x) ทจด (x, y) เทากบ 2 - 2x และ

เสนโคง y = f(x) มคาสงสดสมพทธ เทากบ 5 ถา g เปนฟงกชนพหนาม ซงมสมบต g(2) = g′(2) = 5 แลว h′(2) มคาเทากบเทาใด (PAT 1 ก.ค. 53)


11. กาหนดให R แทนเซตของจานวนจรง ให f : R → R เปนฟงกชนตอเนอง ท x = 1 และให g เปนฟงกชนท

กาหนดโดย g(x) =

+

+

≤

>

1 x เมอ 7 |x|f(x)

1 x เมอ 1 x

2 3 x -

- ถาฟงกชน g มความตอเนองท x = 1 แลวคาของ

(gof)(1) เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ต.ค. 53) 1) 2 - 3 2) 2 3) 2 - 7 4) 7 - 2 12. กาหนดให a และ b เปนจานวนจรง และให f เปนฟงกชนพหนาม โดยท f(x) = x4 + 2x3 - x2 + ax + b

ถามฟงกชนพหนาม Q(x) โดยท f(x) = (Q(x))2 แลวคาของ ∫ 10 f(x)dx เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ต.ค. 53) 1) 30

71 2) 3031 3) 30

11 4) 301

13. ให f เปนฟงกชนซงมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของเซตของจานวนจรง โดยท f(2x + 1) = 4x2 + 14x

คาของ f(f′(f″(2553))) เทากบเทาใด (PAT 1 ต.ค. 53)

14. คาของ -0x

lim→

223

x x x x ++ เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 54)

1) - 21 2) 2

1 3) -1 4) 1 15. กาหนดให f เปนฟงกชนพหนามทม f″(x) = ax + b เมอ a และ b เปนจานวนจรง ถา f(0) = 2 และกราฟ

ของ f มจดตาสดสมพทธท (1, -5) แลว 2a + 3b เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 54) 1) -12 2) 20 3) 42 4) 48 16. กาหนดให R แทนเซตของจานวนจรง ให g : R → R เปนฟงกชนกาหนดโดย g(x) = 3 2x

1+

เมอ

x ≠ - 23 ถา f : R → R เปนฟงกชนท (fog)(x) = x สาหรบทกจานวนจรง x แลว f″

21 เทากบขอใด

ตอไปน (PAT 1 ม.ค. 54) 1) - 2

1 2) 21 3) -8 4) 8

17. กาหนดให R แทนเซตของจานวนจรง ถา f : R → R และ g : R → R เปนฟงกชนทหาอนพนธไดทก

x ∈ R โดยท g(x) = x2 - 2x + 5, (gof)(x) = x6 + 2x4 - 2x3 + x2 - 2x + 5 และ f(0) = 0 คาของ (f′og′)(1) + (g′of′)(0) เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 54)

18. กาหนดใหเสนโคง y = f(x) สมผสกบเสนตรง 2x - y + 3 = 0 ทจด (0, 3) และ ∫ ′′20 (x)dxf = -3

ถา g(x) = 2 x + f(x) และ g′(2) = 0 แลว f(2) เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 54)


19. กาหนดให f(x) =

++

=

≠

3 x เมอ a

3 x เมอ 13 x 10 2x

3 x --

โดยท a เปนจานวนจรง ถา f เปนฟงกชน

ตอเนองทจด x = 3 แลว a เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 54) 20. กาหนดให f(x) = x2 ถา L เปนเสนตรงทตงฉากกบเสนสมผสกราฟของ f(x) ทจด (a, f(a)) ; a > 0 และ L

มระยะตดแกน y เทากบ 25 หนวย แลวขอใดเปนพกดบนเสนตรง L (แนว PAT 1 ธ.ค. 54)

1) (-2, 2) 2) (0, 5) 3) (2, 2) 4) (3, 1) 21. กาหนดให A(0, 0), B(2, 0) และ C(1, 4) เปนจดยอดของรปสามเหลยม ABC ถากราฟ f(x) = ax2 + bx + c

ผานจด A, B โดยท AC และ BC เปนเสนสมผสกราฟของ f ทจด A และ B ตามลาดบ แลวพนททปดลอมดวยกราฟของ f กบเสนตรง AB มคาเทาใด (แนว PAT 1 ธ.ค. 54)

1) 31 2) 3

2 3) 1 4) 34

22. ฟงกชน f, g, h มสมบตวา (fog)(x) = 3x + 1, f

21 x - = x - 5, h(2x - 1) = 4g(x) + 7 จงหาคาของ

h′(1) (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 23. กาหนดให f″(x) = 0 ทกจานวนจรง x ถา f(0) = 12 และ f(1) = 52 แลว ∫

10 f(x)dx เทากบเทาใด

(แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 24. ให l เปนเสนตรงทผานจด (0, 5) และมความชนมากกวา -1 แตนอยกวา 0 ถาพนทของอาณาบรเวณท

ถกปดลอมดวย l กบแกน x จาก x = 0 ถง 4 มคาเทากบ 16 ตารางหนวย แลว จงหาพนทปดลอมดวยเสนตรง l กบแกน x จาก x = 0 ถง 2 (แนว PAT 1 ธ.ค. 54)

25. จงหาคาของ 0x

lim→ 33 1 x 1 x

x-++

(แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 26. กาหนดให f″(x) = 2x - 1 และ f′(2) = 3 สมการของเสนตรงทตงฉากกบเสนสมผสเสนโคง y = f(x) ทจด

(1, -1) คอขอใดตอไปน (แนว PAT 1 ม.ค. 55) 1) y = -2x + 1 2) y = x - 2 3) y = 2x - 3 4) y = 3x - 4 27. ให f, g, h เปนฟงกชนทมอนพนธทกอนดบ โดยท h(x) = x2 - 1, g(x) = h(f(x) + 1) และ f′(-1) = g′(-1) = 7

แลวคาของ f(-1) เทากบขอใดตอไปน (แนว PAT 1 ม.ค. 55) 1) - 2

7 2) - 21 3) 2

1 4) 27

28. กาหนดให f(x) = x - 1 และ (gof)(x) = x3 - 6x2 + 8x - 3 แลวคาของ

20

dxg(x) f )(∫ เทากบเทาใด

(แนว PAT 1 ม.ค. 55)

29. จงหาคาของ 4x

limπ→ xsin 2 2x cos 1

x x)sec tan (12

23

--

+ (แนว PAT 1 ม.ค. 55)

30. กาหนดให f(x) = x3 - 14x2 + kx - 64 ถารากของสมการ f(x) = 0 เปนจานวนจรง ทเรยงกนเปนลาดบ

เรขาคณต แลวคาของ f′(1) มคาเทากบเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55) 1) -45 2) -31 3) 31 4) 45 31. กาหนดให f เปนฟงกชนพหนามกาลงสอง โดยท f(0) = -1 และ f(x + 1) = f(x) + x - 1 สาหรบทก

จานวนจรง x แลวคาของ ∫11f(x)dx- มคาเทากบเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55)

1) - 35 2) - 2

3 3) 23 4) 3

5

32. จงหาคาของ +→1x

lim 1 1 2x |2 x x| 2

---+ (แนว PAT 1 ต.ค. 55)

1) -3 2) 0 3) 3 4) หาคาไมได 33. กาหนดให f และ g เปนฟงกชนทสอดคลองกบคณสมบตตอไปน 1. (fg)(x) = 3x + 3 2. f และ g เปนฟงกชนทสามารถหาอนพนธไดทกอนดบ 3. f มคาสงสดสมพทธเทากบ 3 ท x = 1 4. g″(x) = 2 สาหรบทกจานวนจรง x แลวฟงกชน g มคาตาสดสมพทธเทากบเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55) 34. กาหนดให P(x) เปนฟงกชนพหนามซง P(x2 - 1) = 3x4 - 2x2 - 2 สาหรบทกจานวนจรง x และ

กาหนดให f(x) = ∫x0 P(t)dt

แลวคาของ 1x

lim-→

f(x)P(x) + มคาเทากบเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55) 35. กาหนดให P(x) เปนฟงกชนพหนามซง P(0) = 1 ถา

0hlim→ P(1) 1) P(x 1)P(h1)hP(x

3h4xh--

-+++++

= 1

แลวคาของ P(6) มคาเทากบเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55)

36. กาหนดให f(x) = 1 x1 ax

2 +

- , g(x) = (2x - 1)f′(x) และ h(x) =

<≥

1 x เมอ g(x)1 x เมอ f(x) ถา h ตอเนองท x = 1

แลวคาของ 3h(2) + h(-2) มคาเทากบเทาใด (แนว PAT 1 ม.ค. 55) 1) -1 2) 0 3) 1 4) 2 37. กาหนดให f(x) = x3 + ax + b + 2 โดยท a ≠ b และให L1 และ L2 เปนเสนสมผสโคงท x = a และ

x = b ตามลาดบ ถา L1 ขนานกบ L2 และ 0hlim→ f(1)h)f(1

4h-+

= 1 แลวคาของ ∫10f(x)dx เทากบ

เทาใด (แนว PAT 1 ม.ค. 55)


38. คาของ ∞→x

lim 1) x(x - - x + 4 เทากบขอใดตอไปน (แนว PAT 1 ม.ค. 56)

1) 24 2) 2

5 3) 26 4) 2

7 39. กาหนดให C เปนเสนโคง y = 3

4

x2 3x - เมอ x > 0 และ ให L เปนเสนตรงทสมผสกบเสนโคง C ทจด

(1, 1) ถาเสนตรง L ตดกบเสนพาราโบลา x(x - 1) = y - 1 ทจด A และ จด B แลวกาลงสองของระยะหางระหวางจด A และจด B เทากบขอใด (แนว PAT 1 ม.ค. 56)

1) 5247 2) 5248 3) 5249 4) 5250 40. กาหนดให f(x) เปนพหนามดกรสาม ซงสมประสทธเปนจานวนจรง โดยม x + 1 เปนตวประกอบของ f(x)

ถา 4 + 3i เปนคาตอบของสมการ f(x) = 0 และ f(0) = 50 จงหาคาของ ∫1

dxx) f( f(x) ][1- -- (แนว PAT 1 ม.ค. 56)


เกงขอสอบ “แคลคลส” 1. กาหนดให y = f(x) เปนฟงกชนพหนาม ซงมคาตาสดสมพทธเทากบ 2 ท x = 1 และมเสนตรง

2x + y - 11 = 0 เปนเสนสมผสกราฟทจด (2, 7) ถา g(x2) = x2f(x) แลวคาของ ∫ ′′4

(x)dxg 1 เทากบเทาใด

เฉลยวธคด

พจารณา ∫ ′′4

(x)dxg 1 = g′(4) - g′(1) APoint 1 Q g(x2) = x2f(x) APoint 2 g′(x2)(2x) = x2f′(x) + f(x)(2x) APoint 3 แทน x = 2 ; g′(4)(4) = 4f′(2) + f(2)(4) g′(4) = f′(2) + f(2) APoint 5 = -2 + 7 = 5 ∴ g′(4) = 5 แทน x = 1 ; g′(1)(2) = f′(1) + f(1)(2)

g′(1) = 2(1)f′ + f(1) APoint 4

= 2 + 0 = 2 ∴ g′(1) = 2 ดงนนคาของ ∫ ′′

4(x)dxg 1 = 5 - 2 = 3 Ans

APoint ทตองร : 1 อนทเกรตจากดเขต 2 กฎลกโซ 3 dx

d (uv) = uv′ + vu′ 4 จดตาสดสมพทธ : f(1) = 2, f′(1) = 0 5 ความชนของเสนตรง ; f(2) = 7, f′(2) = -2


2. ถา f′(x) = 3x2 - 6x + 1 และ ∫1 f(x)dx0 = 0 แลว f(4) มคาเทาใด

เฉลยวธคด Q f(x) = ∫ f′(x)dx = ∫ (3x2 - 6x + 1)dx APoint 2 ∴ f(x) = x3 - 3x2 + x + C ; เมอ C เปนคาคงท

และ ∫1 f(x)dx0 = 0

∴ ∫ ++1 23 C)dx x 3x (x 0 - = 0 APoint 1

1x

0x

234 Cx 2x x 4

x=

=

++- = 0

++ C 21 1 4

1 - - 0 = 0

∴ C = 41

ดงนน f(x) = x3 - 3x2 + x + 41

∴ f(4) = 43 - 3(4)2 + 4 + 41

= 64 - 48 + 4 + 41

= 20 41

= 20.25 Ans

APoint ทตองร : 1 อนทเกรตจากดเขต 2 อนทเกรตไมจากดเขต

3. ให a เปนจานวนจรงททาให พนททปดลอมดวยเสนโคง y = 3a2x2 + 2ax + 10 จาก x = 0 ถง x = 1 มคานอยทสด แลวพนทปดลอมดงกลาวมคาเทากบเทาใด

เฉลยวธคด พจารณา y = 3a2x2 + 2ax + 10 ...(1) คา b2 - 4ac = (2a)2 - 4(3a2)(10) = 4a2 - 120a2 = -116a2 < 0 เสมอ APoint 1 แสดงวา สมการ (1) ไมตดแกน x

∴ พนทปดลอม (A) = ∫ ++1 22 10)dx 2ax x(3a 0 APoint 2

A = 1x0x

232 10x] ax x[a =

=++

∴ A = a2 + a + 10 หาพนทปดลอม นอยทสด : Q A′ = 2a + 1 ให A′ = 0 → a = - 2

1 APoint 3

∴ A

21

- = 2

21

- +

21

- + 10

= 41 - 2

1 + 10

= 9.75 ตารางหนวย Ans

APoint ทตองร : 1 ถา x = 2a 4ac b b 2 -- ± แลว x จะไมมจานวนจรงเปน

คาตอบ เมอ b2 - 4ac < 0 2 อนทเกรตจากดเขต 3 โจทยประยกตคาตาสด


แนวขอสอบ PAT 1 สถต 1. กลมคนทางาน กลมหนงมสมาชก 6 คน มคาเฉลยของอายเทากบ 36 ป ความแปรปรวนของอายเทากบ

64 ป อก 6 ป ตอมา มคน 2 คน มาเขากลมเพมเตม โดยทง 2 คนนมอายเทากน เทากบอายเฉลยของคนทง 6 คนแรกพอด ความแปรปรวนของอายของคนทง 8 คนน เทากบขอใดตอไปน (แนว PAT 1 ม.ค. 56)

1) 12 2) 24 3) 36 4) 48 2. ในการสอบของนกเรยนหองหนงมการแจกแจงแบบโคงปกต พบวา มนกเรยนทไดคะแนนมากกวานาย ก

คดเปนรอยละ 9.48 และมนกเรยนทไดคะแนนนอยกวานาย ข คดเปนรอยละ 10.64 ถาหากนาย ข ไดคะแนนนอยกวานาย ก อย 38.25 คะแนน จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนนกเรยนหองน (แนว PAT 1 ม.ค. 56)

z 0.24 0.27 1.24 1.31

พนท 0.0948 0.1064 0.3936 0.4052


3. นกเรยนหองหนงสอบวชาคณตศาสตรไดคะแนนเฉลยเลขคณต เทากบ 40 คะแนน ถานกเรยนชายสอบไดคะแนนเฉลยเลขคณต 35 คะแนน และนกเรยนหญงสอบไดคะแนนเฉลยเลขคณต 50 คะแนน อตราสวนของนกเรยนชายตอนกเรยนหญงตรงกบขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 53)

1) 3 : 2 2) 2 : 3 3) 2 : 1 4) 1 : 2 4. คาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบของนกเรยนกลมหนงเทากบ 72 คะแนน ความแปรปรวน (ประชากร)

เทากบ 600 ถามนกเรยนมาเพมอก 1 คน ซงสอบได 60 คะแนน ทาใหคาเฉลยเปลยนไปเปน 70 คะแนน ความแปรปรวนของขอมลชดใหมเทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 53)

5. จากการสารวจนาหนกของนกเรยนกลมหนงจานวน 4 คน ม 2 คน นาหนกเทากนและหนกนอยกวาอก 2 คนทเหลอ ถาฐานนยม มธยฐาน และพสยของนาหนกของนกเรยน 4 คนนคอ 45, 46 และ 6 กโลกรม ตามลาดบ แลวความแปรปรวนของนาหนกของนกเรยน 4 คนนเทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 53)

6. ในการสอบคดเลอกเขาศกษาตอของโรงเรยนแหงหนง ถาสอบไดคะแนน 700 คะแนน แปลงคะแนนเปน คามาตรฐานได 4 แตถาสอบได 400 คะแนน แปลงเปนคามาตรฐานได -2 แลวสมประสทธการแปรผนเทากบรอยละเทาใด (PAT 1 ม.ค. 53)

7. ถาคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 30 คน มคะแนนเฉลยเลขคณตเทากบ 60 คะแนน และม สวนเบยงเบนมาตรฐาน เทากบ 10 ถาผลรวมของคามาตรฐานของคะแนนของนกเรยนกลมนเพยง 29 คน เทากบ 2.5 แลวนกเรยนอก 1 คนทเหลอสอบไดคะแนนเทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ก.ค. 53)

1) 35 2) 58 3) 60 4) 85 8. มนกเรยน 5 คน รวมกนบรจาคเงนไดเงนรวม 360 บาท ความแปรปรวน (ประชากร) เทากบ 660 ถาม

นกเรยนเพมอก 1 คน มารวมบรจาคเปนเงน 60 บาท ความแปรปรวนจะเพมขนหรอลดลงตรงกบขอใดตอไปน (PAT 1 ก.ค. 53)

1) เพมขน 80 2) เพมขน 90 3) ลดลง 80 4) ลดลง 90 9. ในการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหองหนง ถานกเรยนคนหนงในหองนสอบได 55 คะแนน คดเปน

คะแนนมาตรฐาน ไดเทากบ 0.5 และสมประสทธของการแปรผน (Coefficient of Variation) ของคะแนนนกเรยนหองน เทากบ 20% คะแนนเฉลยของนกเรยนหองนเทากบเทาใด (PAT 1 ก.ค. 53)

10. สรางตารางแจกแจงความถของคะแนนการสอบของนกเรยนกลมหนง โดยใหความกวางของแตละอนตร-ภาคชนเปน 10 แลวปรากฏวามธยฐานของคะแนนการสอบเทากบ 57 คะแนนซงอยในชวง 50-59 ถามนกเรยนทสอบไดคะแนนตากวา 49.5 คะแนน อยจานวน 12 คน และมนกเรยนไดคะแนนตากวา 59.5 คะแนน อยจานวน 20 คน จงหาวานกเรยนกลมนมทงหมดกคน (PAT 1 ก.ค. 53)


11. นกเรยนกลมหนง จานวน 50 คน มสวนสงแสดงดงตารางตอไปน สวนสง (เซนตเมตร) จานวนนกเรยน (คน)

156-160 6 161-165 15 166-170 21 171-175 8

ให a เปนคาเฉลยเลขคณตของสวนสง และ b เปนสวนสง โดยทมจานวนนกเรยน 75% ของนกเรยนทงหมดทมสวนสงนอยกวา b ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 ต.ค. 53) 1) a = 166.1 และ b = 168.73 2) a = 166.1 และ b = 169.43 3) a = 166.7 และ b = 168.73 4) a = 166.7 และ b = 169.43 12. พจารณาขอความตอไปน ก. ในการสอบของนกเรยน 3 คน พบวาคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบเทากบ 80 คะแนน คามธยฐาน

เทากบ 75 คะแนน และพสยเทากบ 25 คะแนน คะแนนสอบของนกเรยนทไดคะแนนทไดคะแนนตาสดเทากบ 70 คะแนน

ข. ขอมลชดทหนงม 5 จานวน คอ x1, x2, x3, x4, x5 และขอมลชดทสองม 4 จานวน คอ x1, x2, x3, x4 โดยทคาเฉลยเลขคณตของขอมลทงสองชดเทากน ถา a และ b เปนสวนเบยงเบนมาตรฐานของ

ขอมลชดทหนงและชดทสองตามลาดบ แลว ab = 2

5

ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 ต.ค. 53) 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก แต ข. ผด 3) ก. ผด แต ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด 13. ในการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 2 หอง ซงทาคะแนนเฉลยได 60 คะแนน โดยหองแรกมนกเรยน

จานวน 40 คน และหองทสองมนกเรยนจานวน 30 คน ถาคะแนนสอบในหองแรกเปอรเซนไทลท 50 มคา 64 คะแนน และฐานนยมมคาเปน 66 คะแนน แลวคะแนนเฉลยของนกเรยนหองทสองมคาเทากบเทาใด (PAT 1 ต.ค. 53)

14. ขอมลชดหนงม 6 จานวน คอ 2, 3, 6, 11, a, b ถาคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดน เทากบ 8 และ คามธยฐาน เทากบ 7 แลว |a - b| เทากบเทาใด (PAT 1 ต.ค. 53)

15. ในการสอบวชาคณตศาสตรคะแนนเตม 60 คะแนน มนกเรยนเขาสอบ 30 คน นาย ก. เปนนกเรยนคนหนงทเขาสอบในครงน นาย ก. สอบได 53 คะแนน และมจานวนนกเรยนทมคะแนนสอบนอยกวา 53 คะแนน อย 27 คน ถามการจดกลมคะแนนสอบเปนชวงคะแนน โดยมอนตรภาคชนกวางเทาๆ กน คะแนนสอบของนาย ก. อยในชวงคะแนน 51-60 จานวนนกเรยนทสอบไดคะแนนในชวงคะแนน 51-60 น มทงหมดกคน (PAT 1 ม.ค. 54)

1) 3 2) 4 3) 5 4) 9


16. กาหนดตารางแสดงพนทใตโคงปกตมาตรฐาน ทอยระหวาง 0 ถง z z 1.14 1.24 1.34 1.44

พนท 0.373 0.392 0.410 0.425 ความสงของนกเรยน 2 กลม มการแจกแจงปกต ดงน

กลม คาเฉลยเลขคณต สวนเบยงเบนมาตรฐาน นกเรยนหญง 158 เซนตเมตร 4 เซนตเมตร นกเรยนชาย 169.06 เซนตเมตร 5 เซนตเมตร

ถานกเรยนหญงคนหนงมความสงตรงกบเปอรเซนไทลท 91 ของกลมนกเรยนหญงนแลว จานวนนกเรยนชายทมความสงนอยกวาความสงของนกเรยนหญงคนน คดเปนรอยละเทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 54)

1) 12.7 2) 11.4 3) 10.7 4) 9.4 17. บรษทผลตหลอดไฟตองการรบประกนคณภาพผลตภณฑของบรษท โดยจะเปลยนเปนหลอดใหม ถาหลอด

เดมชารด บรษทจะรบประกนไมเกน 4.1% ของจานวนทผลตหลอดไฟมอายใชงานเฉลย 2500 ชวโมง มสมประสทธของความแปรผนเทากบ 0.20 ถาคาดวาตามปกตคนจะใชหลอดไฟวนละ 5 ชวโมง บรษทนควรกาหนดเวลาประกนมากทสดกวน (PAT 1 ม.ค. 54)

กาหนดตารางแสดงพนทใตโคงปกตมาตรฐาน ทอยระหวาง 0 ถง z

z 1.34 1.44 1.54 1.74 1.84 พนท 0.410 0.425 0.438 0.459 0.467

1) 362 วน 2) 352 วน 3) 346 วน 4) 326 วน 18. ขอมลความสง (เซนตเมตร) และนาหนก (กโลกรม) ของนกเรยนหญง 4 คน ดงน

นกเรยนหญง คนท 1 คนท 2 คนท 3 คนท 4 ความสง (เซนตเมตร) 150 152 154 156 นาหนก (กโลกรม) 45 45 48 50

ถาสวนสงและนาหนกของนกเรยนมความสมพนธเชงฟงกชนเปนเสนตรง y = a + 0.9x เมอ x เปนสวนสง

และ y เปนนาหนก แลวนกเรยนทมสวนสง 155 เซนตเมตร จะมนาหนกกกโลกรม (PAT 1 ม.ค. 54)

19. กาหนด ∑=

=N

1 ii 1800, x N = 45, x เปนคาเฉลยเลขคณต และความแปรปรวนเทากบ 121 ถานาย ก

และนาย ข เปนนกเรยนของหองน นาย ก ได 38 คะแนน มคามาตรฐานมากกวาคามาตรฐานของนาย ข อย 1 แลวนาย ข ไดกคะแนน (แนว PAT 1 ธ.ค. 54)

1) 27 2) 28 3) 29 4) 31 20. ขอมลชดหนงม 5 จานวน มฐานนยมเทากบมธยฐานเทากบ 25 คาเฉลยเลขคณตเทากบ 26 มควอไทล ท 1

เทากบ 20 และพสยเปน 20 จงหาความแปรปรวนของขอมลชดน (แนว PAT 1 ธ.ค. 54)


21. คะแนนสอบของนกเรยน 1000 คน คะแนนเตม 100 คะแนนมการแจกแจงปกต โดยมคาเฉลยเลขคณต และความแปรปรวนเปน 60 และ 64 คะแนนตามลาดบ จงหาจานวนนกเรยนทไดคะแนนมากกวา 52 แตนอยกวา 76 คะแนน กาหนดพนทใตโคงปกตมาตรฐานดงน (แนว PAT 1 ธ.ค. 54)

z 0.5 1.0 1.5 2.0A 0.191 0.341 0.433 0.477

22. ขอมลชดหนงมการแจกแจงปกต โดยทฐานนยมของขอมลชดน คอ 16 สวนเบยงเบนมาตรฐานเปน 9 และ

∑=

N

1 i2

i 6) (x - = 6740 เมอ N คอ จานวนขอมล จงหาคา N (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 23. ขนมปง 40 ชน มนาหนกเฉลย 25 กรม และมสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 5 กรม ถานาขนมปงอก 2 ชน

ซงหนก 30 กรม และ 20 กรม มารวมดวยแลว ความแปรปรวนจะเทากบขอใดตอไปน (แนว PAT 1 ม.ค. 55) 1) 4 2) 5 3) 20 4) 25 24. ตารางตอไปนเปนคะแนนสอบปลายภาคของนกเรยนจานวน 100 คน

คะแนนไมเกน จานวนนกเรยน (คน)15 14 20 36 25 63 30 91 35 96 40 100

ถาคะแนนตาสดของนกเรยน คอ 11 คะแนน แลวคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนเทากบขอใดตอไปน (แนว PAT 1 ม.ค. 55) 1) 15 2) 17.5 3) 21 4) 23 25. นกเรยนจานวน 20 คน แบงเปน 2 กลม กลมละ 10 คน ทาแบบทดสอบฉบบหนงมคะแนนเตม 20 คะแนน

ไดคะแนนของนกเรยนแตละคนดงน

กลมท 1 8 7 6 5 7 6 9 10 3 6 กลมท 2 6 12 8 7 9 6 15 7 1 5

พจารณาขอความตอไปน ก. ขอมลกลมท 1 มความแตกตางกนนอยกวาขอมลกลมท 2 ข. สมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทลของกลมท 1 และกลมท 2 เทากบ 28

5 และ 149 ตามลาดบ

ขอใดตอไปนถกตอง (แนว PAT 1 ม.ค. 55) 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก แต ข. ผด 3) ก. ผด แต ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด

คณตศาสตร (100)__________________________________ โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 25

26. ขอมลชดหนงประกอบดวยจานวน 9, 1, 4, 1, 3, 1, x ให A เปนเซตของ x ทเปนไปไดทงหมด ซงทาให คาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยม ของขอมลชดน มคาแตกตางกนทงหมด และในบรรดาคาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยม เหลานนามาจดเรยงกนใหมจากนอยไปมากแลวเปนลาดบเลขคณต จงหาผลบวกของสมาชกทงหมดในเซต A (แนว PAT 1 ม.ค. 55)

ขอมลตอไปน สาหรบตอบคาถามขอ 27 และขอ 28 ในการสอบวชาภาษาญปนของนกเรยนหองหนงจานวน 60 คน ม 34 คน ไดคะแนนในชวง 10 ถง 39 คะแนน ม 20 คน ไดคะแนนในชวง 40 ถง 49 คะแนน และม 6 คน ไดคะแนนในชวง 50 ถง 59 คะแนน 27. ถาแบงคะแนนเปน 3 ระดบ คอ เกรด A, เกรด B, เกรด C โดยท 5% ของนกเรยนทไดคะแนนสงสดได

เกรด A และ 25% ของนกเรยนไดเกรด B แลวคะแนนสงสดของเกรด C เทากบกคะแนน (แนว PAT 1 ม.ค. 55) 28. ถาคะแนนขางตนมการแจกแจงแบบปกต โดยทสมประสทธการแปรผนเปน 2

1 ถาคะแนนสงสดของเกรด B เทากบ 55.5 คะแนน คะแนนมาตรฐานเปน 1 แลวคะแนนเฉลยของนกเรยนหองนเปนเทาใด

(แนว PAT 1 ม.ค. 55) 29. จากขอมล

x 5 10 15 20 25 y 10 12 15 14 14

พจารณาขอความตอไปน ก. ถาขอมลดงกลาวมความสมพนธเชงเสนตามสมการ y = ax + b แลว |a - b| = 9.8 ข. ถา x = 30 แลว y = 16 ขอใดถกตอง (แนว PAT 1 ต.ค. 55) 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ผด แต ข. ถก 3) ก. ถก แต ข. ผด 4) ก. และ ข. ผด 30. กาหนดตารางแสดงพนทใตเสนโคงปกตมาตรฐานดงน

z 0.50 1.00 1.50 2.00 พนท 0.192 0.341 0.433 0.477

พจารณาขอความตอไปน ก. ถาคะแนนสอบของนกเรยนกลมหนงมการแจกแจงปกต แลวนกเรยนทไดคะแนนสอบมากกวามธยฐาน

อย 3 เทาของสวนเบยงเบนมาตรฐาน แลวคะแนนสอบของนกเรยนคนนนจะมคามาตรฐานคดเปน 1.5

ข. ถามนกเรยนทไดคะแนนสงกวา 66 คะแนนอย 15.9% และมฐานนยม คอ 60 คะแนน จะไดวา สมประสทธของการแปรผนคะแนนสอบครงนเทากบ 0.1

ขอใดตอไปนสรปไดถกตอง (แนว PAT 1 ต.ค. 55) 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด 31. ขอมลชดหนงม 3 จานวน เมอนามาบวกกนไดเทากบ 180 คามธยฐานเทากบ 60 และสมประสทธพสยของ

ขอมลชดนเทากบ 0.1 แลวความแปรปรวนของขอมลชดนมคาเทากบเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55)

โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 25 __________________________________ คณตศาสตร (101)

32. กาหนดตารางแสดงคะแนนสอบ ของนกเรยนกลมหนงดงตาราง คะแนนสอบ จานวนนกเรยน (คน)

1-10 10 11-20 20 21-30 30 31-40 40

ถาคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของขอมลดงกลาว เขยนไดในรปของ k + yx โดยท

k, x, y เปนจานวนเตมบวก และ ห.ร.ม. ของ x และ y เทากบ 1 และ x < y แลวคาของ k + x + y มคาเทากบเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55)

33. ตารางแจกแจงความถของคะแนนสอบวชาคณตศาสตร ม.6 จานวน 50 คน เปนดงน

คะแนน จานวนนกเรยน (คน)10-14 5 15-19 11 20-24 9 25-29 15 30-35 10

ถา a คอคาเฉลยเลขคณต และ b คอ P90 คาของ |b - a| เทากบขอใด (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 1) 5.6 2) 15.6 3) 8.6 4) 18.6 34. ในการสอบครงหนงซงมคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบเปน 66 คะแนน โดยทหองแรกม 35 คน และหอง

ทสอง 40 คน นาย ก. ซงเปนนกเรยนหองแรกสอบได 56 คะแนนคดเปนคามาตรฐานเทากบ 1.2 และหองแรกมสมประสทธการแปรผนเทากบ 0.1 นาย ข. เปนนกเรยนในหองทสองซงมคะแนนสอบคดเปน คามาตรฐานเทากบ -1 โดยทคะแนนหองทสองมสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 9 คะแนน จงหาคะแนนสอบของนาย ข. (แนว PAT 1 ต.ค. 55)

35. ขอมลชดหนงมดงน 2, 4, 3, 6, 12, 7, 15, 6, 4, 2, 9, 4

ขอใดตอไปนถกตอง (แนว PAT 1 ม.ค. 56) 1) คาเฉลยเลขคณตนอยกวาฐานนยม 2) คาเฉลยเลขคณตเทากบมธยฐาน 3) ฐานนยมมากกวามธยฐาน 4) มธยฐานนอยกวาคาเฉลยเลขคณต 36. ในการสารวจนกเรยน 6 คน ซงมคะแนนฟสกสและคะแนนคณตศาสตร คาเฉลยเลขคณตของคะแนนฟสกส

( y ) = 9 และคาเฉลยเลขคณตของคะแนนคณตศาสตร ( x ) = 6

∑=

6

1iii y x = 72, ∑

=

6

1i2i x = 24, ∑

=

6

1i2i y = 36

ถาหากคะแนนฟสกส และคะแนนคณตศาสตร มความสมพนธกนแบบเชงเสนตรง ถานกเรยนคนหนงสอบคณตศาสตรได 2 คะแนน นกเรยนคนนนจะสอบฟสกสไดประมาณกคะแนน (แนว PAT 1 ม.ค. 56)


เกงขอสอบ “สถต” 1. บรษทแหงหนงมพนกงานจานวน 40 คน กาหนดให ตารางแจกแจงความถสะสมอาย ของพนกงานเปนดงน

อาย (ป) ความถสะสม 11-20 6 21-30 14 31-40 26 41-50 36 51-60 40

ถาผจดการมอาย 53 ป พนกงานทมอายระหวางคามธยฐานของอายพนกงาน และอายของผจดการม

จานวนประมาณรอยละเทาใด เฉลยวธคด Pr = 53

∴ 53 = 50.5 + 410

36 10040r - APoint 2

2.5 = 2.5[0.4r - 36] r = 92.5% ดงนนทอาย 53 ป ตรงกบ P92.5 APoint 1 P50 = Med P92.5 จานวนพนกงานทมอายระหวาง Med กบ P92.5 คดเปนรอยละ = 92.5 - 50 = 42.5 Ans

APoint ทตองร : 1 P50 = Med

2 P = L + I (ตาแหนง - ความถสะสมชนกอนหนา) ความถชน Pr

อาย (ป) F f 11-20 6 6 21-30 14 8 31-40 26 12 41-50 36 10 51-60 40 4

ผจดการอาย 53 ป

42.5%

2. ขอมลชดหนงม 3 จานวน มคามธยฐาน เทากบ 5 ผลบวกของทง 3 จานวน เทากบ 15 และสมประสทธพสยของขอมลชดน เทากบ 0.6 แลวคาสมประสทธของความแปรผนของขอมลชดน เทากบเทาใด

1) 23 2) 5

3 3) 56 4) 10

6 เฉลยวธคด ให x1 < x2 < x3 และ x1 + x2 + x3 = 15 ↓ Med = 5 x1 + 5 + x3 = 15 → x1 + x3 = 10 ...(1)

∴ 0.6 = 1313

x xxx

+- APoint 3

0.6 = 10xx 13 - → x3 - x1 = 6 ...(2)

(1) + (2) ; 2x3 = 16 ∴ x3 = 8 แทนคาใน (1) ; ∴ x1 = 2 ดงนน ขอมล คอ 2, 5, 8 x = 3

15 = 5

∴ S = N)x (x 2i -Σ APoint 1

= 3

5) (8 5) (5 5) (2 222 --- ++

= 6 ∴ CV = 5

6 APoint 2 Ans

APoint ทตองร : 1 S = N)x (x 2i -Σ

2 CV = xS

3 CR = minmaxminmax

x xxx

+-


3. ขอมลชดหนงม n จานวน มการกระจายปกต มฐานนยมเทากบ 10 และความแปรปรวนเทากบ 36

ถากาหนดให ∑=

n

1 i2

i 8) (x - = 1440 เมอ xi คอขอมล จงหาจานวนของขอมล เฉลยวธคด ให yi = xi - 8 S.D.y = S.D.x APoint 3 และ y = x - 8 APoint 2

2xS = 2

yS = N

yN

1i2i∑

= - ( y )2 APoint 4

36 = n

8) (x n

1i2

i∑=

- - ( x - 8)2

36 = n1440 - (10 - 8)2 APoint 1

n = 401440 = 36 Ans

APoint ทตองร : 1 แจกแจงปกต → x = Med = Mode 2 yi = axi + b → y = a x + b 3 yi = axi + b → Sy = |a|Sx

4 S2 = Nx2

iΣ - 2x


4. ความสงของนกเรยน 2 หอง มการแจกแจงปกต ดงน

หอง คาเฉลยเลขคณต (cm) สวนเบยงเบนมาตรฐาน 1 158 4 2 169.06 5

ถาเดกชายเอเปนนกเรยนหองท 1 มความสงตรงกบเปอรเซนไทลท 91 ของหองน แลวจานวนนกเรยน

ในหองท 2 ทมความสงมากกวาเดกชายเอคดเปนรอยละเทาใด • กาหนดใหตารางแสดงพนทใตเสนโคงปกตดงน

Z 1.14 1.24 1.34 1.44 A 0.373 0.342 0.410 0.425

เฉลยวธคด หองท 1 ( 1x = 158, S1 = 4)

Z = 1.34 = 1

iS

xx - APoint

1.34 = 4158xเอ - → xเอ = 163.36 cm

หองท 2 ( 2x = 169.06, S2 = 5) Z2 = 5

169.06163.36 - APoint = -1.14 A = 0.5 + 0.373 = 0.873 คดเปนรอยละ 87.3 Ans

APoint ทตองร : Zi = Sxx i -

0.410.09

91P1x

0.5163.36 xเอ =

0.373

A

169.06x2 =

1.14 Z2 -=


5. กาหนดใหสมการปกตของความสมพนธเชงฟงกชนอยในรป Y = mX + c ถาใหขอมล X และ Y มความสมพนธกนดงตารางตอไปน

X 3 1 4 2 Y 4 1 6 3

แลว เมอ x = 10 คาของ Y เทากบเทาใด เฉลยวธคด จากตาราง Σx = 10, Σy = 14, Σx2 = 30 แล Σxy = 43, N = 4 จะได 14 = 10m + 4c ...(1) 43 = 30m + 10c ...(2) (2) - (1) × 3 ; 1 = -2c c = - 2

1 = -0.5

และนา c = -0.5 แทนใน (1) ; m = 1.6 ดงนน y = 1.6x - 0.5 แทน x = 10 ; y = 1.6(10) - 0.5 = 15.5 Ans

APoint ทตองร : ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล แบบเสนตรง y = mx + c → Σy = mΣx + nc xy = mx2 + cx → Σxy = mΣx2 + cΣx

APoint

x y X2 xy 3 4 9 12 1 1 1 1 4 6 16 24 2 3 4 6

รวม 10 14 30 43


แนวขอสอบ PAT 1 กาหนดการเชงเสน 1. สมการจดประสงค คอ P = a(x + y) + 7y มอสมการขอจากดดงน 3x + 4y ≤ 48, x + 2y ≤ 22, 3x + 2y ≤ 42 และ x ≥ 0, y ≥ 0 จงหาคา a ทเปนจานวนเตมบวกททาให

คาสงสดของ P เทากบ 388 วาเทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 56) 1) 22 2) 23 3) 24 4) 25 2. ถา C เปนปรมาณทมคาขนกบคาของตวแปร x และ y ดวยความสมพนธ C = 3x + 5y เมอ x, y เปนไป

ตามเงอนไข 3x + 4y ≥ 5, x + 3y ≥ 3, x ≥ 0 และ y ≥ 0 แลวคาตาสดของ C ตามเงอนไขขางตน มคาเทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 52)

1) 521 2) 5

29 3) 425 4) 4

27

3. ถา P = 5x + 4y เมอ x, y เปนไปตามเงอนไข x + 2y ≤ 40, 3x + 2y ≤ 60, x ≥ 0 และ y ≥ 0 แลวคาสงสดของ P เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ก.ค. 52)

1) 90 2) 100 3) 110 4) 115 4. กาหนดให a และ b เปนจานวนจรงบวกซง a < b ถาคามากสดและคานอยสดของ P = 2x + y เมอ x, y

เปนไปตามเงอนไข a ≤ x + 2y ≤ b, x ≥ 0 และ y ≥ 0 มคาเทากบ 100 และ 10 ตามลาดบ แลว a + b มคาเทาใด (PAT 1 ต.ค. 52)

5. จงหาผลคณของคาสงสดและคาตาสดของฟงกชน f(x, y) = x + y + 2 ภายใตเงอนไขขอจากดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 54)

(1) x + 2y ≥ 8 (2) 5x + 2y ≥ 20 (3) x + 4y ≤ 22 (4) x ≥ 1 (5) 1 ≤ y ≤ 8 6. รานคาผลตสนคา A วนละ x ชน และสนคา B วนละ y ชน โดยท 400 ≤ 2x + y ≤ 600 1050 ≤ 2x + 3y ≥ 1500 ถาสนคา A ขายชนละ 100 บาท ในแตละวนขายสนคาทง 2 แบบ ไดเงนมากสด 12,000 บาท แลวขาย

สนคา B ชนละกบาท (PAT 1 ธ.ค. 54) 1) 5 2) 10 3) 15 4) 20 7. กาหนดสมการจดประสงคคอ P = 6x + 3y โดยมอสมการขอจากด ดงน x + 2y ≤ 6, 2x + y ≤ 8,

y - x ≤ 1, x ≥ 0 และ 2 ≤ y ≤ 3 คาของ P มคามากสด เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 52) 1) 12 2) 18 3) 20 4) 24 8. กาหนดสมการจดประสงคคอ P = 2x + y มอสมการขอจากดเปน 5x - 2y ≤ 30 x + y ≥ 4 0 ≤ y ≤ x พจารณาขอความตอไปน ก. คาตาสดของ P คอ 6 ข. ถาจด (a, b) ทาให P มคาสงสด แลวจด (a, b) สอดคลองกบสมการ x - y = 0 ขอใดตอไปนถกตอง (แนว PAT1 ต.ค. 55) 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก แต ข. ผด 3) ก. ผด แต ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด

เกงขอสอบ “กาหนดการเชงเสน” 1. กาหนดให a และ b เปนจานวนจรงบวก ซง a < b ถาคามากทสดและคานอยทสดของ P = x + 2y

เมอ x, y เปนไปตามเงอนไข a ≤ 2x + y ≤ b, x ≥ 0 และ y ≥ 0 มคาเทากบ 200 และ 49 ตามลาดบ จงหาคาของ |a - b|

เฉลยวธคด 1. สรางเงอนไข จากโจทย a ≤ 2x + y ≤ b, x ≥ 0 และ y ≥ 0 จะได a ≤ 2x + y และ 2x + y ≤ b, x ≥ 0, y ≥ 0 2. กาหนดฟงกชนจดประสงค P = x + 2y, Pmax = 200, Pmin = 49 3. วาดกราฟ พจารณาสมการ 2x + y = b จะผานจด (0, b),

0 ,2b

และ 2x + y = a จะผานจด (0, a),

0 ,2a

4. พจารณาคาตอบ จาก P = x + 2y P มคามากทสดเมอ x, y มคามากๆ มความเปนไปได 2 จด คอ (0, b),

0 ,2b

ถา Pmax ทจด (0, b) Check!!

0 ,2b = (50, 0)

จะได P(0, b) = 2b P(50, 0) = 50 (นอยกวา Pmax = 200) 200 = 2b ∴ b = 100 b = 100 P มคามากทสดเมอ x, y มคามากๆ มความเปนไปได 2 จด คอ (0, b),

0 ,2b

ถา Pmin ทจด (0, a) Check!!

0 ,2a =

0 ,449

จะได P(0, a) = 2a P

0 ,449 = 4

49 (นอยกวา Pmin = 49 ทาใหขดแยง)

49 = 2a a = 2

49

∴ Pmin ทจด

0 ,2a

APoint ทตองร : กาหนดการเชงเสน (ทาตามขนตอน)

X

Y

b

a

2a

2b


จะได P

0 ,2a = 2

a ∴ |a - b| = |98 - 100| = |-2| = 2 Ans

49 = 2a

a = 98

เฉลย จานวนเชงซอน 1. 16 2. 3 3. 2) 4. 5 5. 4) 6. 8 7. 4) 8. 198 9. 1) 10. 2 ) 11. 2 12. 10 13. 2.5 14. 1 15. 2) 16. 3) ความนาจะเปน 1. 84 2. 39 3. 1) 4. 2) 5. 25 6. 44 7. 192 8. 3) 9. 352 10. 9 11. 4) 12. 4) 13. 1) 14. 4 15. 4) 16. 1001 17. 27 18. 22 19. 0.9 20. 528 21. 4) 22. 12 23. 0.24 24. 3) 25. 1) 26. 1) 27. 3) ลาดบและอนกรม 1. 0.25 2. 18 3. 4) 4. 1 5. 1 6. 2 7. 2) 8. 1) 9. 2) 10. 200 11. 2 12. 7 13. 25 14. 2 15. 3) 16. 1) 17. 2) 18. 0 19. 20 20. 2 21. 9 22. 2 23. 49 24. 1) 25. 3) 26. 2.5 27. 6 28. 4 29. 1 30. 4 31. 44 32. 1) 33. 63 34. 3.75 35. 1) 36. 6 37. 0.5 38. 1860 39. 48 40. 2)


แคลคลส 1. 32 2. 324 3. 2) 4. 53 5. 6 6. 7 7. 4) 8. 200 9. 18 10. 10 11. 4) 12. 3) 13. 120 14. 1) 15. 3) 16. 4) 17. 1 18. 8 19. 8 20. 3) 21. 4) 22. 3 23. 32 24. 9 25. 1.5 26. 2) 27. 2) 28. 8 29. 3 30. 3) 31. 1) 32. 3) 33. 1.75 34. 0 35. 51 36. 4) 37. 1.75 38. 4) 39. 2) 40. 0 สถต 1. 4) 2. 15 3. 3) 4. 520 5. 6 6. 10 7. 1) 8. 4) 9. 50 10. 36 11. 2) 12. 1) 13. 56 14. 10 15. 2) 16. 1) 17. 4) 18. 48.80 19. 1) 20. 44 21. 818 22. 20 23. 4) 24. 4) 25. 2) 26. 18 27. 43.5 28. 37 29. 1) 30. 3) 31. 24 32. 28 33. 3) 34. 71 35. 4) 36. 3.75 กาหนดการเชงเสน 1. 4) 2. 2) 3. 3) 4. 70 5. 157.50 6. 2) 7. 2) 8. 1)

book2013 oct 05-math

Education

z2 1z

a2 b2

z1 z2

z1 z2

z1 2z

mx

2y

im