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Branch and Bound

Branch and Bound – p. 1/30

Branch-and-bound

Un esempio di problema di PLI:

P0 : max x1 + 3x2

(u1) x1 ≥1

2(u2) −5x1 + 3x2 ≤ 5

(u3) x1 +7

5x2 ≤

13

2x1, x2 ≥ 0

x1, x2 ∈ I


Continua

Risoluzione (grafica) del rilassamento lineare P ′0 di P0.

��

��

u1

u2

A

B

C D

+-

z

u31

1

2 3 4 5 6

2

4

3


Continua

Sott = {A} A =

(

5

4,15

4

)

Valore ottimo=U(P0) = 504

U(P0) = upper bound o limitazione superiore del valoreottimo di P0


Divide et impera: Branching

Suddivisione del problema originario in due sottoproblemiP1 e P2. Come?

Seleziono, secondo una determinata regola, una variabilexi con valore non intero x∗

inella soluzione ottima del

rilassamento lineare di P0 e:

creo P1 aggiungendo ai vincoli di P0, il vincolo xi ≤ ⌊x∗i⌋;

creo P2 aggiungendo ai vincoli di P0, il vincoloxi ≥ ⌊x∗

i⌋ + 1

Esistono molte regole di scelta della variabile. Qui neuseremo una semplicissima non preoccupandocidell’efficienza: seleziona quella con valore non intero nelrilassamento lineare di P0 con indice più piccolo.


Nell’esempio

Sottoproblema P1

P1 : max x1 + 3x2

(u1) x1 ≥1

2(u2) −5x1 + 3x2 ≤ 5

(u3) x1 +7

5x2 ≤

13

2

(u′4) x1 ≤

⌊

5

4

⌋

= 1

x1, x2 ≥ 0

x1, x2 ∈ I


Nell’esempio

Sottoproblema P2

P2 : max x1 + 3x2

(u1) x1 ≥1

2(u2) −5x1 + 3x2 ≤ 5

(u3) x1 +7

5x2 ≤

13

2

(u′′4) x1 ≥

⌊

5

4

⌋

+ 1 = 2

x1, x2 ≥ 0

x1, x2 ∈ I


Lower Bound

LB =Lower bound o limitazione inferiore del valore ottimo diP0. È un qualsiasi valore che soddisfa:

LB ≤ opt(P0) = valore ottimo P0

Come si ottiene?Se durante l’esecuzione dell’algoritmo (tipicamente durantela risoluzione dei rilassamenti lineari di P0 e dei suoisottoproblemi) si osserva il valore della funzione obiettivocx nei punti y1, . . . ,yh ∈ Za, ciascuno di questi valori èutilizzabile come lower bound, in quanto: cyi ≤ opt(P0) peri = 1, . . . , h. Per avere un valore di lower bound il più vicinopossibile a opt(P0) si pone:

LB = max{cyi : i = 1, . . . , h}


Rilassamento lineare di P1

��

��

u1

u2

u3

B

C D

+-

z

AE

F1

1

2 3 4 5 6

2

3

4

u′

4

Sott = {E}, E = (1, 10/3)U(P1) = 11


Rilassamento lineare di P2

��

��

u1

u2

A

B

C D

+-

z

H

Gu′′

4

u31

1

2 3 4 5 6

2

3

4

Sott = {H}, H = (2, 45/14)U(P2) = 163/14


Albero di branch-and-bound

��

��

��

""

""

QQ

QQ

x1 ≤ 1 x1 ≥ 2

P0

P1 P2 U(P2) = 163

14

LB = −∞

U(P1) = 11


Ulteriore suddivisione

Dopo aver suddiviso il problema P0 nei due sottoproblemiP1 e P2, possiamo selezionare uno dei due sottoproblemi.Quale nodo selezionare?Diverse regole possibili. Qui ne vedremo una soltanto:seleziona un sottoproblema/nodo foglia con upper boundmassimo.Perché? Ci si aspetta di trovare piú facilmente la soluzioneottima del problema in un sottoproblema con un valore diupper bound elevato.


Nell’esempio

Nel nostro esempio selezioniamo P2.

P2 suddiviso in due sottoproblemi P3 e P4. Come?Esattamente come abbiamo fatto per P0: facendobranching su una variabile con valore non intero nellasoluzione ottima del rilassamento lineare di P2.


Il sottoproblema P3

P3 : max x1 + 3x2

(u1) x1 ≥1

2(u2) −5x1 + 3x2 ≤ 5

(u3) x1 +7

5x2 ≤

13

2(u′′

4) x1 ≥ 2

(u′5) x2 ≤

⌊

45

14

⌋

= 3

x1, x2 ≥ 0

x1, x2 ∈ I


Il sottoproblema P4

P4 : max x1 + 3x2

(u1) x1 ≥1

2(u2) −5x1 + 3x2 ≤ 5

(u3) x1 +7

5x2 ≤

13

2(u′′

4) x1 ≥ 2

(u′′5) x2 ≥

⌊

45

14

⌋

+ 1 = 4

x1, x2 ≥ 0

x1, x2 ∈ I


Il rilassamento lineare di P3

��

��

u1

u2

A

B

C D

+-

z

G

u′

5

HJK

u3u′′

4

1

1

2 3 4 5 6

2

3

4

Sott = {J}, J = (23/10, 3)U(P3) = 113/10



u1

u3

A

B

C D

+-

z u′′

4

H

G

u2 u′′

5

1

1

2 3 4 5 6

2

3

4

Sa = ∅, quindi P4 é risolto → P4 ha regione ammissibilevuota.



��

��

��

��

��

""

""

QQ

QQ

��PPPPP

QQQQ

��

��

x1 ≤ 1 x1 ≥ 2

P0

P1 P2

LB = −∞

P3P4

U(P3) = 113

10

x2 ≤ 3 x2 ≥ 4

U(P1) = 11


Continua

Al momento: il problema iniziale P0 é suddiviso in tresottoproblemi P1, P3, P4, di cui P4 é giá risolto(cancellazione del nodo nell’albero).

Ora: seleziono il nodo foglia/sottoproblema non ancoracancellato con upper bound maggiore (nell’esempio P3) e losuddivido in due sottoproblemi (nell’esempio P5 e P6).


Il sottoproblema P5

P5 : max x1 + 3x2

(u1) x1 ≥1

2(u2) −5x1 + 3x2 ≤ 5

(u3) x1 +7

5x2 ≤

13

2(u′′

4) x1 ≥ 2

(u′5) x2 ≤ 3

(u′6) x1 ≤

⌊

23

10

⌋

= 2

x1, x2 ≥ 0

x1, x2 ∈ I


Il sottoproblema P6

P6 : max x1 + 3x2

(u1) x1 ≥1

2(u2) −5x1 + 3x2 ≤ 5

(u3) x1 +7

5x2 ≤

13

2(u′′

4) x1 ≥ 2

(u′5) x2 ≤ 3

(u′′6) x1 ≥

⌊

23

10

⌋

+ 1 = 3

x1, x2 ≥ 0

x1, x2 ∈ I



u1

u2

u3

A

B

C D

+-

z u′′

4

G

u′

5

HJ

u′

6

K

1

1

2 3 4 5 6

2

3

4

Sott = {K}, K = (2, 3): coordinate intere, quindi K risolveanche P5! Valore ottimo di P5 = 11Posso aggiornare LB → LB = 11



��

��

u1

u2

A

B

C D

+-

z u′′

4

G

u′

5

HJK

L

Mu′′

6

u31

1

2 3 4 5 6

2

3

4

Sott = {L}, L = (3, 5/2)U(P6) = 21/2


Cancellazione nodi

Oltre ai nodi/sottoproblemi “risolti”, posso anche cancellarenodi foglia/sottoproblemi “non risolti”:

cancella un nodo Pi se U(Pi) ≤ LB

In tal caso tutte le soluzioni in Pi sono non migliori rispettoalla migliore osservata sino ad ora (valore LB) e quindi nonvale la pena esplorarle.

Nel nostro esempio, cancella P1 e P6.



��

��

��

��

��

��

��

""

""

QQ

QQ

��PPPPP

QQQQ

��

��!!!!!

aaaa@@

@

%%

%%

bbbb

��

�

@@

@

%%

%

x1 ≤ 1 x1 ≥ 2

P0

P1 P2

P3P4

P5 P6U(P6) = 21

2

U(P5) = 11

LB = 11

x2 ≤ 3 x2 ≥ 4

x1 ≤ 2 x1 ≥ 3

U(P1) = 11


Regola di arresto

STOP quando tutti i nodi foglia sono stati cancellati.

Al momento dell’arresto LB restituisce il valore ottimo di P0.Se LB = −∞, allora P0 ha regione ammissibile vuota.


Algoritmo generale

Inizializzazione Inizializza F (insieme nodi foglia noncancellati) con P0, F = {P0}. Risolvi il rilassamentolineare P ′

0 di P0 e sia (x∗1(P0), . . . , x

∗n(P0)) la soluzione

ottima trovata e U(P0) il corrispondente valore ottimo.Se tutti i valori x∗

i(P0), i = 1, . . . , n sono interi, STOP: la

soluzione (x∗1(P0), . . . , x

∗n(P0)) é soluzione ottima anche

per P0 ed il valore ottimo di P0 é pari a U(P0). Altrimentisi ponga LB = −∞ e si vada al Passo 1.

Passo 1 Seleziona in F un nodo Q ∈ F tale che

U(Q) = maxP∈F

U(P )

Sia (x∗1(Q), . . . , x∗

n(Q)) una soluzione ottima delrilassamento lineare Q′ di Q.


Continua

Passo 2 Seleziona una variabile x∗i(Q) a valore non

intero (quella con indice minimo).

Passo 3 Rimuovi il nodo Q da F (cioé F = F \ {Q}) esuddividi Q in due nuovi nodi Q1 e Q2 ottenutiaggiungendo ai vincoli di Q rispettivamente il vincoloxi ≤ ⌊x∗

i(Q)⌋ (in Q1) ed il vincolo xi ≥ ⌊x∗

i(Q)⌋+ 1 (in Q2).


Continua

Passo 4 Per ciascuno dei due nuovi nodi Qi, i = 1, 2,risolvi il rilassamento lineare Q′

i. Se Q′

iha regione

ammissibile vuota, cancella il nodo Qi e non lo siaggiunge a F . Altrimenti se la soluzione ottima(x∗

1(Qi), . . . , x∗n(Qi)) é a coordinate intere si cancelli il

nodo Qi senza aggiungerlo a F ed inoltre, seU(Qi) > LB si ponga

LB = U(Qi) e y1 = x∗1(Qi), . . . , yn = x∗

n(Qi).

Altrimenti, se la soluzione ottima di Q′i

non é acoordinate intere, si aggiunga Qi a F , ovvero si pongaF = F ∪ {Qi}.


Continua

Passo 5 Si cancellino tutti i nodi in F con valoredell’upper bound non superiore a LB, ovvero si ponga

F = F \ {P ∈ F : U(P ) ≤ LB}.

Passo 6 Se F = ∅, STOP: se LB ha valore pari a −∞,allora il problema P0 non ha soluzioni ammissibili,altrimenti il valore LB é il valore ottimo del problema P0

e (y1, . . . , yn) é una soluzione ottima di tale problema.Altrimenti si ritorni al Passo 1.


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