c6 slides rom

8/18/2019 C6 Slides Rom

1/35

Analiza sistemelor liniare şi continue

Paula RaicaDepartamentul de Automatic˘a

Str. Dorobantilor 71, sala C21, tel: 0264 - 401267Str. Baritiu 26, sala C14, tel: 0264 - 202368

email: [email protected]

http://rocon.utcluj.ro/ts

Universitatea Tehnic˘ a din Cluj-Napoca


http://find/http://goback/


2/35

Analiza sistemelor utilizând locul rădăcinilor


http://find/


3/35

Introducere

Caracteristicile de bază ale răspunsului tranzitoriu a unuisistem ı̂n bucl ă ı̂nchisă sunt legate de localizarea polilorsistemului ı̂nchis.Dacă sistemul are un parametru variabil, locaţia polilorsistemului ı̂nchis depinde de parametru.

Este important s ă determinăm cu se mişcă polii ı̂n planul scând parametrul este variabil.

R(s) C(s)k G(s)

H(s)


http://find/


4/35

Exemplu

Funcţia de transfer ı̂n bucl ă deschisă:

kG (s ) = k 1

s (s + 2)

Polii sistemului deschis: 0, −2, nu depind de k Funcţia de transfer a sistemului ı̂nchis:

G 0(s ) = kG (s )1 + kG (s )

= k

s 2 + 2 s + k

Polii sistemului ı̂nchis: depind de k


http://find/


5/35

Exemplu

k = 1 , G 0(s ) = 1

s 2 + 2 s + 1

Polii s 1 = s 2 = −1Răspunsul la treapt ă estecritic amortizat.

0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t(sec)

k=1

k = 50, G 0(s ) = 50

s 2 + 2 s + 50

Polii: s 1, 2 = −1 ±7 j ,Răspunsul la treapt ă estesupra-amortizat.

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

2

t(sec)

k=50


http://find/


6/35

Locul rădăcinilor

Locul rădăcinilor este reprezentarea gracă a rădăcinilor ecuaţieicaracteristice a sistemului ı̂nchis pentru toate valorile unuiparametru din sistem, k ∈[0, ∞).

R(s) C(s)k G(s)

H(s)

Funcţia de transfer a sistemului deschis

H d (s ) = kG (s )H (s )Funcţia de transfer a sistemului ı̂nchis

C (s )R (s )

= kG (s )

1 + kG (s )H (s )


http://find/


7/35


Ecuat ̧ia caracteristic˘ a a sistemului ı̂nchis:

1 + kG (s )H (s ) = 0 ⇒ kG (s )H (s ) = −1Ideea: valorile lui s pentru carekG (s )H (s ) = −1 trebuie săsatisfacă ecuaţia caracteristic ă a sistemului.kG (s )H (s ) este un raport de polinoame ı̂n s şi kG (s )H (s )

este o cantitate complex ă:

| kG (s )H (s ) | ∠kG (s )H (s ) = −1 + j 0Condit ̧ia de faz˘ a:

∠kG (s )H (s ) = ±180o (2q + 1) , q = 0 , 1, 2,...Condit ̧ia de modul:

|kG (s )H (s )

|= 1


http://find/


8/35

Numere complexe. Recapitulare.

Valoarea absolut ă (sau modulul ):

|s | = |a + jb | = a2 + b 2Faza (sau argumentul):

∠s = arg( s ) = arctan b a

, if a > 0

Faza se măsoară de la axa reală pozitivă ı̂n sens trigonometric.Analiza sistemelor liniare şi continue

http://find/http://goback/


9/35


10/35

Numere complexe. Recapitulare.

Se consideră un număr complex r . Dorim să calculăm faza luir + 3.Punctele r , r + 3, 0 şi −3 formează un paralelogram.Faza lui r + 3 = unghiul (m˘asurat ı̂n sens trig.) de la axa real ăpozitivă la linia care uneşte r cu rădăcina lui r + 3, adic ă −3.


http://goforward/http://find/http://goback/


11/35

Exemplu

Se consideră un sistem ı̂n buclă ı̂nchisă cu funcţia de transfera sistemului deschis:

kG (s )H (s ) = k (s + 3)(s + 5)( s 2 + 2 s + 2)

Pentru un punct de test s = r , faza lui kG (s )H (s ) este:∠kG (s )H (s )

|s = r = ∠k + ∠(r +3)

−∠(r +5)

−∠(r +1

− j )

−∠(r +1+ j )

∠kG (s )H (s )|s = r = 0 + ϕ1 −ϕ2 −ϕ3 −ϕ4


l l d l d d l

http://find/


12/35

Exemplu. Locul rădăcinilor pentru un sistem de ordinul 2

Funcţia de transfer a sistemului deschis G (s ):

G (s ) = k

s (s + 2)Funcţia de transfer a sistemului ı̂nchis:

G 0(s ) = G (s )1 + G (s )

= k

s 2 + 2 s + k

Ecuaţia caracteristic ă:

1 + k

s (s + 2) = 0 or s 2 + 2 s + k = 0

Se va desena locul rădăcinilor pentru k

∈

[0,

∞).


E l L l d̆˘ i il i d di l 2

http://find/


13/35


Rădăcinile ecuaţiei caracteristice (polii sistemului ı̂nchis):

s 1 = −1 + √ 1 −k , s 2 = −1 −√ 1 −k Rădăcinile sunt reale pentru k

≤1 şi complexe pentru k > 1.

Pentru k = 0, polii sistemului ı̂nchis = polii sistemuluideschis: s 1 = 0, s 2 = −2.Când k creşte ı̂n intervalul (0 , 1), poli sistemului ı̂nchis semişcă spre (−1, 0). Poli reali: sistem supraamortizat.Pentru k = 1, polii sistemului ı̂nchis: s 1 = s 2 = −1. Sistemuleste critic amortizat.


E l L l d̆˘ i il i d di l 2

http://find/


14/35


k ∈(1, ∞): poliisistemului ı̂nchis sedesprind de pe axa realăşi devin complecşi.Poli complecşi:s 1, 2 = −1 ±√ k −1 j .Polii se mişcă de-s lungulunei linii verticales = −1,simetrick > 1: sistemsupra-amortizat, r ăspunsoscilant.


E l L l d̆˘ i il t i t d di l 2

http://find/


15/35

Exemplu. Locul radacinilor pentru un sistem de ordinul 2

Condiţia de fază esteı̂ndeplinit ă:

∠ k

s (s + 2) = −∠s −∠(s + 2)

= ±180o (2q + 1) ,q = 0 , 1, 2, ..Pentru un punct P: θ1 = ∠s şiθ2 = ∠(s + 2)

θ1 + θ2 = 180 o


E l L l d̆˘ i il t i t d di l 2

http://find/


16/35

Exemplu. Locul radacinilor pentru un sistem de ordinul 2

Pentru o pereche de poli com-

plecşi: s 1, 2 = −1 ± j 1, factorulk se determină din condiţia demodul:

|G (s )H (s )

|=

k

s (s + 2) s 1, 2= 1

sau

k = |s (s + 2) |s = − 1+ j 1k = | −1 + j 1| · |1 + j 1|

k = 11 + 1 2 12 + 1 2 = 2


Locul rădăcinilor procedura

http://find/


17/35

Locul radacinilor - procedura

Se scrie ecuaţia caracteristic ă sub forma:

1 + kP (s ) = 0 .

Se factorizează P (s ) ı̂n termenii a np poli şi nz zerouri

1 + k n

z i =1 (s + z i )np i =1 (s + p j )

= 0

Se localizează polii şi zerourile sistemului deschis ı̂n planul s: x- polii, o - zerourile.Se determină numărul de ramuri SL. SL = np , unde np ≥nz ,np = num ărul de poli ai sistemului deschis, nz = num ărul dezerouri ai sistemului deschis.





18/35


Se determină numărul de ramuri SL. SL = np .Se localizează segmentele de pe axa reală care aparţin loculuirădăcinilor:

1 LR se aă pe axa reală la stânga unui număr impar de poli şizerouri

2 LR ı̂ncepe ı̂ntr-un pol al sistemului deschis şi se termină la unzer (sau innit)

Locul rădăcinilor este simetric faţ̆a de axa reală.LR tinde la innit de-a lungul asimptotelor centrate ı̂n σA cuunghiurile ΦA faţ̆a de axa reală pozitivă.

σA = (p j ) − (z i )np −nz , ΦA = 2q + 1np −nz ·

180o , q =0 , 1 ,... (np − n z − 1)

Din criteriul Routh-Hurwitz ⇒ intersecţia cu axa imaginară(dacă există).Analiza sistemelor liniare şi continue


http://find/


19/35


Se determină punctul de desprindere de pe axa reală (dac ăexistă)

1 Se calculează k =

− 1

P (s ) = p (s ), (din 1 + kP (s ) = 0)

2 Se obţine dp (s )/ ds = 03 Se determină rădăcinile de la (b) sau se utilizează o metodă

gracă pentru a aa maximul lui p (s ).Se determină unghiul de plecare din polii complecşi şi unghiul

cu care LR ajunge ı̂n zerouri, din condit¸ia de fază∠P (s ) = ±180o (2q + 1) , at s = p j or z i .

Dacă este necesar, se verică localizarea rădăcinilor caresatisfac condiţia de fază

∠P (s ) = ±180o (2q + 1) la un pol s x Dacă este necesar, se determină factorul k x pentru o anumit ărădăcină s x

k x =np j =1 |s + p j |n z i =1 |s + z i | |

s = s x


Locul rădăcinilor Exemplu

http://find/


20/35

Locul radacinilor. Exemplu

Se va schiţa locul rădăcinilor şi se va determina valoarea lui k pentru care factorul de amortizare ζ a unei perechi de polidominanţi complecşi este 0.5, pentru sistemul ı̂nchis:


1 + kG (s ) = 0 , or 1 + k

s (s + 1)( s + 2) = 0

Funcţia de transfer ı̂n bucl ă deschisă nu are zerouri: nz = 0, şiare trei poli, p 1 = 0, p 2 = −1, p 3 = −2: np = 3.



http://find/


21/35


Se plasează polii sistemului deschis ı̂n planul complex cusimbolul

×.

LR are np = 3 ramuri.Se localizează segmentele de pe axa reală care aparţ in de loculrădăcinilor: ı̂ntre p 1 = 0 şi p 2 = −1, şi de la p 3 = −2 la −∞.Deoarece LR ı̂ncepe ı̂ntr-un pol şi se termină ı̂n zerou (sauinnit), ı̂ntre 0 şi −1 vom găsi un punct de desprindere.

Polii sistemului deschis şi LR pe axa real˘a



http://find/


22/35


LR este simetric faţ̆a de axareală.Ramurile LR care tind la innit, sunt de-a lungul unorasimptote, centrate ı̂n σA şi cu unghiurile ΦA .

σA =(p j )

−(z i )

np −nz = 0

−1

−2

3 = −1

ΦA = 2q + 1np −nz ·

180o , q = 0 , 1, 2

sau ΦA = 60 o , 180o , 300o


Locul rădăcinilor. Exemplu

http://find/


23/35


Asimptote



http://find/


24/35


Criteriul Routh-Hurwitz:

s 3 + 3 s 2 + 2 s + k = 0

Tabelul Routh:s 3 : 1 2s 2 : 3 k s 1 : (6 −k )/ 3s 0 : k

⇒ k = 6 (sistemul este la limita de stabilitate ⇒ rădăcini pe axa

imaginară):

s 3 + 3 s 2 + 2 s + 6 = 0 or ( s + 3)( s 2 + 2) = 0

s 1, 2 = ± j √ 2



http://find/


25/35

. p

Punctul de desprindere:

p ′ (s ) = 0 unde p (s ) = k = −1/ G (s ) = −s (s + 1)( s + 2)dp (s )

ds = −(3s 2 + 6 s + 2) = 0 ⇒ s 1 = −0.4226, s 2 = −1.5774

Punctul de desprindere este ı̂ntre 0 şi -1, ⇒ s 1 = −0.4226



http://find/


26/35

p

Intersecţia cu axa imaginară şi punctul de desprindere



http://find/


27/35

p



Locul rădăcinilor. Exemplu. Analiză



28/35

p

Valoarea lui k ı̂n punctul de desprindere se calculează dincondiţia de modul:

|kG (s )|s = − 0. 42 = 1 , k s (s + 1)( s + 2) s = − 0. 42 = 1k = | −0.42(−0.42 + 1)( −0.42 + 2) | = 0 .384

k = 0, un pol ı̂n origine, sistemul este la limita de stabilitate

k ∈(0, 0.384), poli reali negativi, ı̂n semiplanul stâng, sistemstabil şi supra-amortizatk = 0 .384, doi poli reali negativi şi egali, un pol negativ,sistemul este critic amortizatk

∈(0.384, 6), un pol negativ real şi doi poli complecşi cu

partea real ă negativa, sistem stabil, subamortizatk = 6, un pol real negativ, doi poli pe axa imaginară, sistemla limita de stabilitatek > 6, un pol real negativ şi doi poli complecşi cu partea reală

pozitivă, sistem instabil Analiza sistemelor liniare şi continue


http://find/


29/35

Recapitulare. Polii complecşi ai unui sistem de ordinul 2:

s 1, 2 =

−ζωn

± j ωn 1

−ζ 2

cos β = ζωn

ωn= ζ

β = arccos ζ



http://find/


30/35

Polii sistemului ı̂nchis cu ζ = 0 .5 se aă pe liniile care trec prinorigine şi fac unghiurile

±arccos ζ =

±arccos 0.5 =

±60o cu axa

reală negativă.

Figura : Locul rădăcinilor şi poliicu ζ = 0 .5

s 1, 2 = −0.3337 ± j 0.5780Valoarea lui k pentru s 1, 2 se de-termină din condiţia de modul:

k = |s (s +1)( s +2) |s 1, 2 = 1 .0383Al treilea pol se găseşte las = −2.3326.Aceste valori precise se pot de-termina numai utilizând un cal-culator



http://find/


31/35

Locul rădăcinilor pentru orice parametru variabil

G (s ) = 20

s (s + 1)( s + 4), H (s ) = 1 + ks

Funcţia de transfer ı̂n bucl ă deschisă:

G (s )H (s ) = 20(1 + ks )s (s + 1)( s + 4)



http://find/


32/35


1 + G (s )H (s ) = 1 + 20(1 + ks )s (s + 1)( s + 4)

= 0

s 3 + 5 s 2 + 4 s + 20 + 20 ks = 0

Se notează 20k = K şi se ı̂mparte cu suma termenilor care nuconţin pe k , şi rezultăt:

1 + Ks

s 3 + 5 s 2 + 4 s + 20 = 0

Se schiţeaz ă locul rădăcinilor pe baza noii ecuaţiicaracteristice.



http://find/


33/35

Ecuaţia caracteristic ă se poate scrie:

1 + K s

(s + 5)( s 2 + 4) = 0

Polii sistemului deschis: p 1, 2 = ± j 2, p 3 = −5 şi zerourilesistemului deschis: z 1 = 0. ⇒ nz = 1, np = 3LR are np = 3 ramuri.

Pe axareală: LR este ı̂ntre polul −5 şi zeroul din origine.Celelalte două ramuri ı̂ncep din polii ± j 2 şi tind spreasimptote pentru K crescător.Centrul asimptotelor:

σA = −5

− j 2 + j 2

−0

2 = −52 = −2.5

şi unghiurile asimptotelor:

ΦA = ±180o (2q + 1)

2 , q = 0 , 1, ⇒ ΦA = 90 o , 270o



http://find/


34/35


Locul rădăcinilor. Exemplu. Analiza

http://find/


35/35

Pentru k = 0 sistemul ı̂nchis este la limita de stabilitatepentru că doi poli ai sistemului ı̂nchis se aă pe axa imaginară(= doi poli ai sistemului deschis)Pentru orice k > 0 toţi cei trei poli ai sistemului ı̂nchis sunt ı̂nsemiplanul stâng al planului s. Sistemul este stabil.Pentru orice k > 0 sistemului ı̂nchis va avea doi poli complecşicu partea reală negativă şi un pol real negativ. Sistemul estesub-amortizat şi r ăspunsul este oscilant.

http://find/

c6 slides rom

Documents