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Università del Salento

Facoltà di scienze matematiche, fisiche e naturali

Corso di Laurea Triennale in Fisica

Calcolo variazionale degli stati legati delnucleo 12C in teoria effettiva halo

Candidato:Francesco Alemanno

Relatore:Luca Girlanda

Anno Accademico 2015-2016

2

Abstract

The primary aim of this thesis is to determine the bound states of the 12C nucleus, using a low-energy effective theory valid in a regime in which α particles can be considered as structureless, andthe nucleus be treated as a 3−α cluster. Using a previously developed α −α local potential which isadjusted to reproduce the low energy S and D wave experimental phase shifts, the three-body boundstate Schrödinger equation is solved by the numerical implementation of the Rayleigh-Ritz variatio-nal principle. The generic state vector is expanded in the hyperspherical harmonic basis followinga method pioneered by Fabre de la Ripelle. The adopted basis is not symmetrized with respect toexchanges of particles but the proper eigenvectors can be identified from symmetry considerations.A bound state with Jπ = 0+ is found, so that the 12C emerges in this picture as a Borromean system,however in order to reproduce the experimental binding energy a three-body force has to be intro-duced in the form of a hyperradial local potential. On the other hand no bound state is found withquantum numbers of Jπ = 2+.

Indice

1 Introduzione 5

2 Interazione α −α 72.1 Potenziale Coulombiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Termini di contatto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Potenziale d’interazione α −α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 Determinazione dei coefficienti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Il problema a 3 corpi 133.1 Hamiltoniana del problema e coordinate di Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Espressione in coordinate ipersferiche di ∇2

r e Λ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3 Armoniche ipersferiche in 6 dimensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4 Costruzione della base di potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 Metodo variazionale e sua implementazione 214.1 Principio variazionale di Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2 Espansione di uno stato con L = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.3 Calcolo degli elementi di matrice di Hr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.4 Imposizione del principio di Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5 Risultati e conclusioni 295.1 Test di convergenza: potenziale di Volkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.2 Energia di legame dello stato fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.3 Energia dello stato L = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

A Coordinate ipersferiche 37

B Polinomi omogenei e armonici 41

C Calcolo elementi di matrice 43

Ringraziamenti 49

3

4 INDICE

Capitolo 1

Introduzione

Oggetto di questa tesi è lo studio degli stati legati di 3 particelle α, che costituiscono un modello acluster per il 12C. Queste particelle sono coinvolte in numerosi e importanti processi fisici come lanucleosintesi stellare e il decadimento di nuclei pesanti che avviene proprio con l’emissione di par-ticelle α. In particolare la nucleosintesi stellare è di grande interesse e importanza in fisica, infatti,questa costituisce il tassello fondamentale per la produzione di nuclei come il 12C che sono la basedella vita stessa sulla terra. La nucleosintesi primordiale [1, 2], avvenuta durante il Big Bang, per-mette di spiegare solo la formazione dei nuclei leggeri, come 4He, mentre la formazione del 12C èresa possibile solo dai processi di fusione termonucleare che avvengono all’interno delle stelle. Ilprocesso che consente la formazione di questo nucleo è noto come processo triplo-α. Questa processoconsiste di due reazioni che avvengono in sequenza; la prima avviene con la fusione di due particelleα e produce il nucleo instabile di 8Be che ha una vita media di ∼ 6.7× 10−17s, la seconda avviene conla fusione del nucleo di 8Be con una terza particella α e porta alla produzione di un nucleo di 12Cnello stato di Hoyle (stato eccitato del nucleo di 12C previsto da Hoyle e successivamente osservatosperimentalmente). Il nucleo 12C prodotto nello stato eccitato successivamente decade emettendo unnucleo di 12C nello stato fondamentale e radiazione elettromagnetica,

α +α→ 8Be +α→ 12C (Hoyle) → 12C +γ. (1.1)

Studiare in termini rigorosi questa reazione è compito arduo, poiché anche solo il sistema α − α ècostituito da 8 nucleoni e questi oltre a interagire mediante forze di natura elettromagnetica, intera-giscono mediante forze di natura nucleare forte il cui studio rigoroso nell’ambito della cromodinami-ca quantistica (QCD) è precluso dal carattere non perturbativo dell’interazione. Fortunatamente leparticelle α sono molto stabili e di conseguenza sondarne la struttura interna richiede energie moltograndi dell’ordine della separazione tra il livello fondamentale e il primo livello eccitato, pari a circa20 MeV (cfr. Fig. 1.1). La stabilità di queste particelle consente di trattare l’interazione 2α in unregime di basse energie in cui le particelle α possono essere considerate puntiformi (trascurandonedel tutto la struttura interna, cluster di 4 nucleoni) e il problema fisico si semplifica notevolmente.Nel capitolo 2 è condotto lo studio del sistema α −α costruendo un potenziale effettivo in regime dibasse energie, con l’intento di studiare gli stati legati di un sistema più complesso, il sistema 3α. Nelcapitolo 3 si introduce il problema a 3 corpi (α−α−α) e si costruiscono gli elementi necessari a poterlotrattare: l’Hamiltoniana del problema, le coordinate relative di Jacobi, e una tecnica per sviluppareil potenziale in multipoli. Nel capitolo 4 si introduce e si spiega il principio variazionale di Ritz, che

5

6 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

Figura 1.1: Livelli energetici dell’4He [3]

consentirà la risoluzione quantitativa del problema a 3 corpi. Nel capitolo 5 vengono presentati irisultati del lavoro di tesi, un benchmark che attesta la validità del metodo implementato, la scopertadi stati Borromeiani prodotti dal potenziale locale α −α sviluppato. Alcuni dettagli sui calcoli svoltisono relegati nelle appendici.

Capitolo 2

Interazione α −α

Per trattare il problema oggetto di questa tesi occorre conoscere prima di tutto il potenziale che gover-na l’interazione α −α e si è appurato che ciò presenta alcune difficoltà di fondo. Il comportamento alunga distanza dell’interazione α−α è regolato da un potenziale Coulombiano (∼ 1

r ), il comportamen-to a corto raggio non è noto, tuttavia in un regime di basse energie si può procedere effettuando unosviluppo in serie. La decimazione dei gradi di libertà è effettuata in pratica introducendo un cutoff Λnello spazio dei momenti, accompagnato dall’introduzione di termini di interazione di contatto, chesimulano l’effetto dei gradi di libertà trascurati [4]. Valori ragionevoli per tale cutoff corrispondono a100−200 MeV considerando che l’impulso relativo delle particelle α deve essere limitato a valori percui

k2

2µ 20MeV, (2.1)

essendo µ ∼ 2 GeV/c2 la massa ridotta del sistema α −α.

2.1 Potenziale Coulombiano

Effettuiamo la trasformata di Fourier (regolarizzata) del potenziale di Coulomb:

Vc(q) = Fq[1/r] = limε→0

∫d3r

ei~q·~r~−εr

r= limε→0

4π~2

q2 + ε2 =4π~2

q2 , (2.2)

dove q è l’impulso relativo trasferito, variabile coniugata a r, la distanza relativa tra le due particelle.Se si introduce un cutoff Λ di tipo gaussiano nello spazio dei momenti (con Λa = ~c)

Vc(q) = Vc(q)e−a2q2

2~2 =4π~2

q2 e−a2q2

2~2 , (2.3)

effettuando l’inversa della trasformata di Fourier si ottiene:

Vc(r) =1

(2π~)3

∫d3q

4π~2

q2 e−i~q·~r~ e−

a2q2

2~2 =erf

(r√2a

)r

, (2.4)

7

8 CAPITOLO 2. INTERAZIONE α −α

dove erf(x) è definita come:

erf(x) =2√π

∫ x

0e−t

2dt, (2.5)

quindi tenendo conto delle cariche del sistema α −α si ottiene come potenziale Coulombiano:

V1(r) = 4~cαerf

(r√2a

)r

. (2.6)

2.2 Termini di contatto

Per tenere conto dell’interazione a corto raggio nel sistema α−α si introduce un potenziale di contattosviluppato in serie nello spazio dei momenti fino al secondo ordine nell’impulso q e con il medesimocutoff gaussiano,

Vnc(q) = (c0 + c1q2)e−

a2q2

2~2 . (2.7)

Applicando l’inversa della trasformata di Fourier si ottiene il potenziale nello spazio delle coordinateche è di tipo locale

Vnc(r) =1

(2π~)3

∫d3q Vnc(q)e−i

~q·~r~ = (2π~2a2)−3/2e−

r2

2a2

c0 +

c1

a2

[3−

( ra

)2], (2.8)

dove l’integrale è stato svolto usando le coordinate sferiche con l’asse polare orientato lungo ~r e si èsfruttato la tecnica del completamento del quadrato e della derivazione rispetto ad un parametro perridurre il calcolo a integrali gaussiani. Ridefinendo i coefficienti in modo da assorbire tutte le costantisi ottiene:

V2(r) = e−r2

2a2

C1 +C2

[3−

( ra

)2]. (2.9)

2.3 Potenziale d’interazione α −α

In definitiva il potenziale effettivo che governa l’interazione α −α si ottiene come somma del poten-ziale Coulombiano regolarizzato e dei termini di contatto:

V (r) = V1(r) +V2(r) = 4~cαerf

(r√2a

)r

+ e−r2

2a2

C1 +C2

[3−

( ra

)2], (2.10)

2.4 Determinazione dei coefficienti

I coefficienti del potenziale (2.10) si sono determinati per ogni scelta del cutoff Λ fittando gli sfasa-menti ottenuti risolvendo l’equazione di Schrödinger relativa al processo di scattering α +α→ α +αcon i dati sperimentali degli sfasamenti osservati in onda S e in onda D nel medesimo processo discattering [5]. Per far questo ci si è avvalsi dei risultati della referenza [6].

2.4. DETERMINAZIONE DEI COEFFICIENTI 9

Λ (MeV) C1 (MeV) C2 (MeV)100 -16.117 -4.4966120 -25.983 -12.249140 -32.468 -16.173160 -39.272 -20.489180 -45.699 -40.358200 -52.951 -49.241

Tabella 2.1: Coefficienti ottenuti tramite procedura di fitting per ogni scelta di Λ.

Elab (MeV) δs−wave () δd−wave () δg−wave ()0.4 180.0 ± 0.5 0.0 ± 0.0 0.0± 0.00.6 178.0 ±1.0 0.0 ± 0.0 0.0± 0.0

0.85 175.0 ±1.0 0.0 ± 0.0 0.0± 0.00.95 173.0 ±1.0 0.0 ± 0.0 0.0± 0.01.0 171.0 ±1.0 0.0 ± 0.0 0.0± 0.01.5 159.0 ±1.0 0.0 ± 0.0 0.0± 0.02.0 148.0 ±1.0 0.0 ± 0.1 0.0± 0.02.5 137.5 ±1.0 1.0 ± 0.2 0.0± 0.03.0 128.4 ±1.0 2.5 ± 0.3 0.0± 0.0

3.84 114.1 ±1.0 7.5 ± 1.0 -0.1 ±0.055.26 96.6 ±2.0 37.5 ± 2.0 0.2 ± 0.05

Tabella 2.2: Sfasamenti osservati in onda S, D e G.


Figura 2.1: Sfasamenti in onda S, D e G confrontati con i dati sperimentali. Le bande indicano lavariazione del cutoff Λ tra 100 MeV e 200 MeV.

2.4. DETERMINAZIONE DEI COEFFICIENTI 11

I coefficienti ottenuti al variare del cutoff Λ sono contenuti in tabella 2.1, mentre i dati speri-mentali usati sono contenuti in tabella 2.2. Per il fit si sono usati solo i dati sperimentali relativi aElab ≤ 1 MeV e agli sfasamenti in onda S e D.

L’accordo tra i dati sperimentali e gli sfasamenti che i vari potenziali con Λ distinto produconoè mostrato nei grafici in Fig 2.1. Si può osservare che l’accordo è ottimo nella regione Elab ≤ 4 MeV,perciò il potenziale effettivo dimostra avere potere predittivo in un range di energie più esteso diquello usato esplicitamente per determinarne i coefficienti.

Capitolo 3

Il problema a 3 corpi

Studiare un sistema a 3 corpi è un problema difficile, esso ha 9 gradi di libertà, però con la giustascelta del sistema di coordinate si può fare a meno di studiare il moto del centro di massa. Ciò puòessere fatto utilizzando coordinate relative, note col nome di coordinate di Jacobi.

3.1 Hamiltoniana del problema e coordinate di Jacobi

Dette ~r1,~r2,~r3 le coordinate di ogni particella, si possono definire le coordinate di Jacobi nel modoseguente:

~R = ~r1+~r2+~r3

3 ,~ξ2 = ~r1 − ~r2,~ξ1 =

√43

(~r3 −

~r1+~r22

).

(3.1)

1

2

3

ξ2

ξ1

È possibile invertire il sistema per ottenere ~r1,~r2 ed ~r3 e sostituendo queste nella Lagrangiana libera

L0 =12mα( ~r1

2+ ~r2

2+ ~r3

2), (3.2)

si ottiene:

L0 =12mα(3~R

2+

12~ξ1

2+

12~ξ2

2). (3.3)

Tramite l’usuale trasformazione di Legendre H = ~p · ~q −L si ottiene l’Hamiltoniana libera:

H0 =~P 2

2(3mα)+~π1

2

mα+~π2

2

mα, (3.4)

13

14 CAPITOLO 3. IL PROBLEMA A 3 CORPI

dove ~P , ~π1 e ~π2 sono i momenti coniugati a ~R, ~ξ1 ed ~ξ2; la trasformazione è canonica e ciò dimo-stra che è possibile esprimere l’Hamiltoniana del sistema (dotata di potenziale) come somma diun’Hamiltoniana relativa (Hr ) e di un’Hamiltoniana che descrive il moto del centro di massa HCM ,

H =Hr +HCM . (3.5)

Poiché ~R è variabile ciclica il momento coniugato ~P del sistema è conservato e di conseguenza il motodel centro di massa sarà descritto da un’onda piana. Pertanto si è interessati solo ad Hr che nellecoordinate di Jacobi scelte (3.1) come dimostrato sopra assume la forma:

Hr = − ~2

mα∇2r +

∑1≤i<j≤3

V (∣∣∣~ri − ~rj ∣∣∣), (3.6)

dove∣∣∣~ri − ~rj ∣∣∣ è da esprimersi in funzione delle coordinate ~ξi definite dalle equazioni (3.1) e l’operatore

∇2r è definito da

∇2r = ∇2

ξ1+∇2

ξ2=

2∑i=1

∂2

∂ξi2 +

2ξi

∂∂ξi− l

2(ξi)

ξ2i

. (3.7)

L’operatore ∇2r può essere visto come il Laplaciano 6-dimensionale e analogamente a quanto succede

nel caso 3-dimensionale risulta conveniente introdurre coordinate ipersferiche (ρ,φ, ξ1, ξ2) definitecome

ρ2 = ξ2

1 + ξ22 ,

ξ2 = ρcosφ,

ξ1 = ρ sinφ,

[ ~ξ1]x = ξ1 sinθ1 sinϕ1,

[ ~ξ1]y = ξ1 sinθ1 cosϕ1,

[ ~ξ1]z = ξ1 cosθ1,

[ ~ξ2]x = ξ2 sinθ2 sinϕ2,

[ ~ξ2]y = ξ2 sinθ2 cosϕ2,

[ ~ξ2]z = ξ2 cosθ2.

(3.8)

3.2 Espressione in coordinate ipersferiche di ∇2r e Λ2

In questa sezione verrà ricavata una formula per l’operatoreΛ2 che costituisce la parte angolare di ∇2r

e generalizza l’operatore momento angolare L2. Sfruttando la (A.23), l’operatore Laplaciano per 3Acoordinate in un sistema di coordinate ipersferico (A.1) (dove A è il numero di particelle “relative”,pari al numero di coordinate di Jacobi) assume la forma:

∇2A =

∂2

∂ρ2 +3A− 1ρ

∂∂ρ− Λ

2(ΩA)ρ2 . (3.9)

Se si vuole aggiungere una particella, quindi altre tre coordinate il Laplaciano per A+1 particelle sarà:

∇2A+1 = ∇2

A +∂2

∂rA+12 +

2rA+1

∂∂rA+1

− l2(ωA+1)

r2A+1

, (3.10)

3.2. ESPRESSIONE IN COORDINATE IPERSFERICHE DI ∇2R E Λ2 15

dove l2(ωi) è l’operatore momento angolare per l’i-esima particella e ωi ≡ (θi ,ϕi) è una coppia diangoli polari relativi all i-esima particella.Effettuando la seguente trasformazione di coordinate:

r2 = ρ2 + r2A+1,

rA+1 = r cosφA+1,

ρ = r sinφA+1,(3.11)

il Laplaciano per A+1 particelle diventa:

∇2A+1 =

∂2

∂r2 +3(A+ 1)− 1

r∂∂r− 1r2

Λ2(ΩA)

sin2φA+1+l2(ωA+1)cos2φA+1

− ∂2

∂φA+12

+[2

sinφA+1

cosφA+1− (3A− 1)

cosφA+1

sinφA+1

]∂

∂φA+1

. (3.12)

Isolando completamente la dipendenza angolare, il termine tra graffe sarà l’operatore grand-angolareper A+1 particelle, si ottiene quindi la seguente relazione di ricorrenza [7]:

Λ2(ΩA+1) =Λ2(ΩA)

sin2φA+1+l2(ωA+1)cos2φA+1

− ∂2

∂φA+12 +

[2

sinφA+1

cosφA+1− (3A− 1)

cosφA+1

sinφA+1

]∂

∂φA+1. (3.13)

Pertanto nel caso dei 3 corpi (2 coordinate di Jacobi) in coordinate ipersferiche l’operatore Λ2 assumela forma

Λ2(Ω2) =l2(ω1)

sin2φ+l2(ω2)cos2φ

− ∂2

∂φ2 − 4cos(2φ)sin(2φ)

∂∂φ

. (3.14)

È possibile ottenere la medesima espressione partendo direttamente da una naturale generalizzazionedell’operatore L2 in forma cartesiana [8]

Λ2 = −N∑j=1

N∑i>j

(xi

∂∂xj− xj

∂∂xi

)2

, (3.15)

con N = 3A; si può esplicitare l’operatore Λ2 per ottenere:

Λ2 ≡ −N∑j=1

N∑i>j

(xi

∂∂xj− xj

∂∂xi

)2

= −12

N∑i,j=1

−xi ∂∂xi − 2xixj∂2

∂xj∂xi− xj

∂∂xj

+ x2j∂2

∂xi2 + x2

i∂2

∂xj2

= −1

2

N∑i=1

−(N − 1)xi∂∂xi− 2

N∑j=1

xixj∂2

∂xj∂xi− ~x · ~∇+ ρ2 ∂2

∂xi2 + x2

i ∆

= −1

2

−(N − 1)~x · ~∇− 2N∑i,j=1

xixj∂2

∂xj∂xi− (N − 1)~x · ~∇+ ρ2∆+ ρ2∆

, (3.16)


dove ρ2 =∑Ni=1 x

2i . Si ha

Λ2 = (~x · ~∇)2 + (N − 2)~x · ~∇− ρ2∆. (3.17)

Applicando Λ2 ad un polinomio HG armonico e omogeneo di grado G in N dimensioni, avvalendosidella proprietà (B.8) si ottiene:

Λ2HG = (G2 + (N − 2)G+ 0)HG = G(G+N − 2)HG. (3.18)

Inoltre riprendendo la (3.17) e osservando che in coordinate ipersferiche ~x · ~∇ = ρ ∂∂ρ si ottiene esat-

tamente l’espressione del Laplaciano (A.23) espresso in coordinate ipersferiche; con ciò è dimostra-to che la parte angolare del Laplaciano coincide con l’operatore (3.15) e se ne sono trovati i suoiautovalori.

3.3 Armoniche ipersferiche in 6 dimensioni

In questa sezione si costruiranno le armoniche ipersferiche 6-dimensionali autofunzioni dell’opera-tore Λ2 (3.14). Si è dimostrato che i polinomi omogenei armonici sono autofunzioni dell’operatoreΛ2. Ogni polinomio può essere scritto come combinazione lineare di polinomi omogenei. D’altraparte ogni polinomio omogeneo di grado G in ~ξ1, ~ξ2 può essere scritto come combinazione lineare diprodotti di polinomi omogenei in ~ξ1 e in ~ξ2

PG( ~ξ1, ~ξ2) =∑

n1+n2=G

Pn1( ~ξ1)Pn2

( ~ξ2), (3.19)

a loro volta i polinomi omogenei Pn1( ~ξ1) e Pn2

( ~ξ2) possono essere espansi in polinomi armonici [8], adesempio

Pn1( ~ξ1) =

∑2k1≤n1

(ξ21 )k1Hn1−2k1

( ~ξ1). (3.20)

Pertanto un polinomio PG di grado G è esprimibile come

PG( ~ξ1, ~ξ2) =∑

n1+n2=G

∑k1,k2

(ξ21 )k1(ξ2

2 )k2Hn1−2k1( ~ξ1)Hn2−2k2

( ~ξ2), (3.21)

osservando che le potenze in ξ1 e ξ2 costituiscono volta per volta un polinomio omogeneo di gradoopportuno e cambiando indici (ni − 2ki → li) si ha

PG( ~ξ1, ~ξ2) =∑

l1+l2+2n=G

Pn(ξ21 ,ξ

22 )Hl1( ~ξ1)Hl2( ~ξ2). (3.22)

Pertanto come elementi di base utilizzeremo un polinomio omogeneo scritto come prodotto di unpolinomio armonico di grado l1 in ~ξ1, un polinomio armonico di grado l2 in ~ξ2 e un polinomio digrado n nelle variabili (ξ2

1 ,ξ22 ) che può essere visto come un polinomio di grado 2n nelle variabili

(ξ1 = ρ sinφ,ξ2 = ρcosφ),

Pl1+l2+2n( ~ξ1, ~ξ2) =Hl1( ~ξ1)Hl2( ~ξ2)Pn(ξ21 ,ξ

22 ). (3.23)

3.3. ARMONICHE IPERSFERICHE IN 6 DIMENSIONI 17

Sfruttando la (B.12) e il fatto che un qualunque polinomio armonico di 3 variabili quando valutatosulla sfera unitaria è una combinazione lineare di armoniche sferiche si ha

Pl1+l2+2n( ~ξ1, ~ξ2) = ξ l11 Yl1(ξ1)ξ l22 Yl2(ξ2)ρ2nPn(sin2φ,cos2φ)

= ρl1+l2+2n(sinφ)l1(cosφ)l2Yl1(ξ1)Yl2(ξ2)Pn(φ), (3.24)

dove si è posto Pn(sin2φ,cos2φ) −→ Pn(φ).Con un cambio di variabile cos(2φ)→ u, valutando il polinomio sull’ipersfera unitaria (ρ = 1),

otteniamo una funzione Y degli iperangoli che può essere usata come ansatz per ricavare un setcompleto di autofunzioni per Λ2

Y = (1−u)l12 (1 +u)

l22 Pn(u)Yl1,m1

(θ1,ϕ1)Yl2,m2(θ2,ϕ2), (3.25)

infatti effettuando lo stesso cambio di variabile su Λ2 (3.14)

Λ2 = 2l2(θ1,ϕ1)

1−u+ 2

l2(θ2,ϕ2)1 +u

− 4(1−u2)∂2

∂u2 + 12u∂∂u, (3.26)

e imponendo che l’azione di Λ2 su Y coincida con quanto ricavato sopra per un polinomio armonicodi grado G = l1 + l2 + 2n

Λ2Y = G(G+ 4)Y = (l1 + l2 + 2n)(l1 + l2 + 2n+ 4)Y , (3.27)

si può dimostrare sfruttando le proprietà delle armoniche sferiche che deve essere soddisfatta l’equa-zione differenziale

(1−u2)∂2Pn

∂u2 + (l2 − l1 −u(l2 + l1 + 3))∂Pn∂u

+n(n+ l2 + l1 + 2)Pn = 0, (3.28)

che ha come soluzioni i polinomi ortogonali di Jacobi P [α,β]n (u) con (α,β) = (l1 + 1

2 , l2 + 12 ) (cfr. [9]).

Tornando alle variabile angolare φ e preoccupandosi di normalizzare, possiamo finalmente scriverele armoniche ipersferiche per 2 coordinate di Jacobi:

Y[l1,m1,l2,m2,n] =N[n,l1,l2](sinφ)l1(cosφ)l2P[l1+ 1

2 ,l2+ 12 ]

n (cos(2φ))Yl1,m1(θ1,ϕ1)Yl2,m2

(θ2,ϕ2), (3.29)

dove la normalizzazione [9] è data da:

N[n,l1,l2] =

√2(2n+ l1 + l2 + 2)n!Γ (n+ l1 + l2 + 2)

Γ (n+ l1 + 32 )Γ (n+ l2 + 3

2 ), (3.30)

con il fine di garantire l’ortonormalità rispetto a ogni numero quantico.∫dΩY ∗[l′1,m′1,l′2,m′2,n′]Y[l1,m1,l2,m2,n] = δ

l′1l1δm′1m1δ

l′2l2δm′2m2δ

n′n , (3.31)

con dΩ = (cosφsinφ)2dφdω1dω2 e dωi = dcosθidϕi .Le armoniche ipersferiche (HH) sono autofunzioni di Λ2, l21 , l1z, l

22 , l2z

Λ2Y[l1,m1,l2,m2,n] = (l1 + l2 + 2n)(l1 + l2 + 2n+ 4)Y[l1,m1,l2,m2,n], (3.32)

l2i Y[l1,m1,l2,m2,n] = li(li + 1)Y[l1,m1,l2,m2,n], (3.33)

lizY[l1,m1,l2,m2,n] =miY[l1,m1,l2,m2,n], (3.34)


dove i = 1,2 a seconda della coordinata di Jacobi che si sta considerando.Al numero quantico n sostituiamo da ora in poi G il grado dell’armonica ipersferica:

n→ G, G ≡ l1 + l2 + 2n. (3.35)

È tuttavia necessario effettuare un cambiamento di base, poiché i numeri quantici scelti consentonosoltanto di studiare il momento angolare delle singole particelle, mentre è più utile studiare il mo-mento angolare totale del sistema ~L = ~l1 + ~l2.Per effettuare il cambiamento di base voluto si possono sfruttare i coefficienti di Clebsch-Gordan (ot-tenendo così una base di armoniche ipersferiche che diagonalizza simultaneamente Λ2,L2,Lz, l

21 , l

22 )

nel seguente modo:

Y[G] =∑m1,m2

〈l1, l2;m1,m2|l1, l2;L,M〉Y[l1,m1,l2,m2,n→G]. (3.36)

Per chiarezza e compattezza di notazione definiamo:

[G] ≡ [G,L,M,l1, l2], (3.37)

Ω ≡ (θ1,ϕ1,θ2,ϕ2,φ). (3.38)

Le armoniche così costruite soddisfano le relazioni di ortonormalizzazione (per costruzione) e dicompletezza.∫

Ω

[Y[G]

]∗Y[G′]dΩ = δ[G],[G′], (3.39)∑

[G]

[Y[G](Ω)

]∗Y[G](Ω

′) = δ5(Ω−Ω′). (3.40)

3.4 Costruzione della base di potenziale

Considerando una funzione che dipende solo dalla posizione relativa di due particelle è possibilecostruire una base sufficiente per sviluppare il potenziale usando un sottogruppo delle armonicheipersferiche [7]. Per il momento consideriamo le funzioni V ( ~ξ2) dove ~ξ2 è definito dalle (3.1); ilsottoinsieme di HH cercato è definito da:

l2(θ1,ϕ1)P l2,m2l2+2n = 0, (3.41)

Λ2P l2,m2l2+2n = (l2 + 2n)(l2 + 2n+ 4)P l2,m2

l2+2n. (3.42)

. Ciò corrisponde a imporre nella (3.29) delle condizioni sui numeri quantici:l1,m1→ 0,

l2→ l,

m2→m.

(3.43)

Si ottiene quindi semplificando:

P l,ml+2n =1

2√πN[n,0,l](cosφ)lP

[ 12 , l+

12 ]

n (cos(2φ))Yl,m(θ2,ϕ2), (3.44)

3.4. COSTRUZIONE DELLA BASE DI POTENZIALE 19

che dipende solo da tre numeri quantici (n, l,m) e da tre angoli, dove la normalizzazione è data dalla(3.30). La formula vale solo per la coordinata di Jacobi ~ξ2, ma può essere generalizzata cambiandoil set di coordinate di Jacobi per fare in modo che ~ξ2 coincida con ~ri − ~rj dove i, j identificano lacoppia di particelle che si vuole esaminare. Ora quindi rimane da stabilire come si comporta la basedi potenziale appena ottenuta sotto permutazione di due particelle qualunque. In tal caso si puòdefinire quindi la funzione:

P l,ml+2n(ωij ,φij ) =1

2√πN[n,0,l](cosφij )

lP[ 1

2 , l+12 ]

n (cos(2φij ))Yl,m(ωij ), (3.45)

dove ωij indica la coppia di angoli polari; se (i, j) = (1,2) allora ω12 ≡ (θ2,ϕ2). Per costruzione ilsottogruppo di HH appena creato rispetta la condizione di ortonormalizzazione:∫ [

P l,ml+2n

]∗P l′ ,m′

l′+2n′dΩij = δn,n′ δl,l′ δm,m′ , (3.46)

dove dΩij = (cosφij )2(sinφij )2dφij dωij .La base di potenziale (PB) così definita può essere espressa nel set di coordinate di Jacobi definitodalle (3.1) (le cui variabili angolari indichiamo con Ω12) tramite:

P l,ml+2n(Ωij ) =∑

[K ′=2n+l]

Cn,l,m[K ′] (i, j)Y[K ′](Ω12), (3.47)

dove la somma è ristretta a valori del momento grandangolare fissati, dato che questo è conservatosotto permutazioni di particelle. I coefficienti Cn,l,m[K ′] (i, j) li si può ricavare sfruttando l’espansionedell’onda piana in 6 dimensioni; a tal proposito definiamo il vettore di rotazione cinematica:

~z(γ) = sinγ ~ξ1 + cosγ ~ξ2; (3.48)

per particolari valori di γ che denotiamo con γij il vettore ~z assume la forma:

~z(γij ) = ~ri − ~rj . (3.49)

Definendo i vettori 6 dimensionali

~k = (sinγ~q,cosγ~q), (3.50)

~x = ( ~ξ1, ~ξ2), (3.51)

lo sviluppo d’onda piana 6-dimensionale in coordinate ipersferiche assume la forma

ei~x·~k =

(2π)3

(qρ)2

∑[K]

iKY ∗[K](Ωk)Y[K](Ωx)JK+2(qρ), (3.52)

dove ρ e q sono i moduli di ~x e ~k e Ωx (=Ω12) e Ωk i corrispondenti iperangoli.Considerando il modo in cui abbiamo definito i due vettori, il tutto si riduce a:

ei~q·~z(γ) =(2π)3

(qρ)2

∑[K]

iKY ∗[K](Ωk)Y[K](Ωx)JK+2(qρ); (3.53)


inoltre Y[K](Ωk) assume la forma:

Y[K](Ωk) = (sinγ)l1(cosγ)l2N[n,l1,l2]P[l1+ 1

2 ,l2+ 12 ]

n (cos2γ)Ym1l1

(ωq)Ym2l2

(ωq). (3.54)

Per la completezza delle armoniche sferiche si può scrivere:

Y l,m[K] (γ) =

∫dωqY ∗[K](ωq,γ)Yml (ωq), (3.55)

Y ∗[K](Ωk) =∑l,m

Y l,m[K] (γ)[Yml (ωq)]

∗; (3.56)

sostituendo questo nell’espansione d’onda piana e riordinando le sommatorie si ottiene:

ei~q·~z(γ) =(2π)3

(qρ)2

∑n,l,m

i2n+lJ2n+l+2(qρ)[Yml (ωq)]∗

∑[K ′=2n+l]

Y l,m[K ′](γ)Y[K ′](Ωx). (3.57)

Imponendo che γ si in realtà γij si ottiene:

ei~q·(~ri−~rj ) =(2π)3

(qρ)2

∑n,l,m

i2n+lJ2n+l+2(qρ)[Yml (ωq)]∗

∑[K ′=2n+l]

Y l,m[K ′](γij )Y[K ′](Ωx). (3.58)

Sfruttando il teorema di addizione delle armoniche sferiche, la funzione parametrica Y l,m[K ′](γij ) assu-

me la forma:

Y l,m[K] (γ) = (sinγ)l1(cosγ)l2Nn,l1,l2P

[l1+ 12 ,l2+ 1

2 ]n (cos2γ)

√(2l1 + 1)(2l2 + 1)

4π(2l + 1)

× 〈l1 l2;m1m2|l m〉〈l1 l2;00|l 0〉 . (3.59)

e nel caso in cui (i, j) = (1,2) risulta l1 = m1 = γ12 = 0 e si ottiene per la quantità sottolineata nella(3.58) il risultato

∑[K ′=2n+l,l1=0]

Y l,m[K ′](0)Y[K ′](Ωx) =

√1

4πN[n,0,l]P

[ 12 ,l+

12 ]

n (1) P l,ml+2n(φ12,ω12). (3.60)

Nel caso particolare in cui (i, j) = (1,2) si è ottenuta la PB, pertanto dato che la parte non sottolineatadella (3.58) è invariante per permutazioni nel caso di una permutazione generale vale:

P l,ml+2n(Ωij ) =∑

[K ′=2n+l]

√4πY l,m

[K ′](γij )

N[n,0,l]P[ 1

2 ,l+12 ]

n (1)Y[K ′](Ω12), (3.61)

dove P[ 1

2 ,l+12 ]

n (1) = 2√π

Γ (n+ 32 )

Γ (n+1) . Nello specifico per la configurazione (2,3) risulta γ2,3 = −2π3 , mentre per

la configurazione (3,1) risulta γ3,1 = 2π3 .

Capitolo 4

Metodo variazionale e suaimplementazione

In questa sezione verrà presentato il principio variazionale di Ritz e come questo viene usato perricavare l’energia dello stato fondamentale del sistema 3α.

4.1 Principio variazionale di Ritz

L’equazione di Schrödinger può essere sempre risolta usando il metodo variazionale [10] (anche quan-do non si può ricorrere a metodi analitici). Nella sua applicazione più comune si espandono gli statiin una base completa e si trasforma l’equazione di Schrödinger in un problema di algebra lineare.Dato un qualunque sistema la cui Hamiltoniana èH (ed ha spettro discreto) e un suo qualunque statofisico

∣∣∣φ⟩(non necessariamente un autostato) il funzionale W di Ritz è dato da:

W [φ] =⟨φ|H|φ

⟩⟨φ∣∣∣φ⟩ ; (4.1)

in accordo ai postulati della meccanica quantisticaW [φ] è il valor medio dell’energia del sistema nellostato

∣∣∣φ⟩. Il principio variazionale di Ritz afferma che il funzionaleW assume il valore minimo quan-

do∣∣∣φ⟩

coincide con l’autostato di H relativo allo stato fondamentale. Ciò è semplice da dimostrare,cominciamo quindi prendendo uno stato generico |Φ〉 e espandendolo nella base (ortonormalizzata)degli autostati di H che godono delle proprietà:

H|hn〉 = En |hn〉 , (4.2)⟨hi

∣∣∣hj⟩ = δij , (4.3)∑n

|hn〉〈hn| = I. (4.4)

Espandendo |Φ〉 in tale base

|Φ〉 =∑n

Cn |hn〉 , (4.5)

21

22 CAPITOLO 4. METODO VARIAZIONALE E SUA IMPLEMENTAZIONE

si ottiene che il funzionale W applicato a |Φ〉 assume la seguente forma:

W [Φ] =〈Φ |H|Φ〉〈Φ |Φ〉

=∑nEn |Cn|2∑n |Cn|2

, (4.6)

e sfruttando il fatto che lo stato fondamentale è lo stato di minima energia e rispetta quindi lacondizione ∀n ∈N : E0 < En possiamo dimostrare l’asserto infatti

W [Φ] =∑nEn |Cn|2∑n |Cn|2

≥E0

∑n |Cn|2∑

n |Cn|2= E0. (4.7)

Quindi risolvere l’equazione di Schrödinger per lo stato fondamentale, coincide con minimizzare ilfunzionale W al variare di uno stato

∣∣∣φ⟩. La vera potenza del teorema appena dimostrato la si osser-

va quando si espande∣∣∣φ⟩

in una base completa e si procede alla minimizzazione variando i coeffi-cienti dell’espansione (Linear Variational Method, Rayleigh-Ritz). Difatti data una base ortonormale|an〉 ,n = 0,1, ..., e dato uno stato

∣∣∣φ⟩espanso in tale base∣∣∣φ⟩

=∑n

cn |an〉 , (4.8)

il funzionale W [φ] assume la forma

W [φ] =

∑i,j c∗i cj

⟨ai |H|aj

⟩∑j

∣∣∣cj ∣∣∣2 , (4.9)

che può essere riscritto come

W [φ]∑j

∣∣∣cj ∣∣∣2 =∑i,j

c∗i cj⟨ai |H|aj

⟩. (4.10)

Ricordando che ora W è una funzione implicita dei coefficienti d’espansione, differenziando rispettoa ogni coefficiente c∗k e imponendo che le derivate di W rispetto a ogni coefficiente siano nulle, si puòtrovare il minimo di W caratterizzato dalle condizioni:∑

j

cjHk,j = w0ck ∀k, (4.11)

con Hk,j =⟨ak |H|aj

⟩e dove w0 è il minimo di W . In notazione matriciale con ~c = (c0, c1, ...) si ottiene:

H~c = w0~c, (4.12)

che è l’equazione secolare equivalente all’equazione di Schrödinger. Se fosse possibile usare tutti ivettori di base nell’espansione di φ alloraw0 coinciderebbe con E0 (energia dello stato fondamentale),nella pratica si può solo espandere lo stato su un sottoinsieme finito degli stati di base, in tal caso lamatriceH diventa una matrice quadrata finito-dimensionale, e risolvendo il problema agli autovalorisi otterrà un’approssimazione E0 di E0 tale che E0 > E0; tale approssimazione migliora aumentando ilnumero di stati di base sui quali si espande.

4.2. ESPANSIONE DI UNO STATO CON L = 0 23

4.2 Espansione di uno stato con L = 0

Elemento cruciale del metodo variazionale è espandere uno stato in una base completa, in questatrattazione si usano le armoniche ipersferiche per rappresentare la dipendenza iperangolare; pertantouno stato generico |Ψ 〉 lo si espande in armoniche ipersferiche:

ψ(ρ,Ω) =∑[G]

f[G](ρ)Y[G](Ω). (4.13)

Le parti iperradiali possono a loro volta essere espanse in polinomi di Laguerre generalizzati [9]L

(5)µ (ρ):

ψ(ρ,Ω) =∑µ,[G]

Cµ,[G]

√µ!

(µ+ 5)!L

(5)µ (ρ)e−

ρ2Y[G](Ω). (4.14)

I suddetti polinomi sono ortonormali rispetto al peso e−ρρ5 e formano una base completa in [0,∞[. Siè tuttavia interessati a stati con L = 0, quindi nell’espansione bisogna selezionare solo quelle armoni-che ipersferiche con L = 0. Pertanto gli stati tramite i quali si calcoleranno gli elementi di matrice diHr sono i seguenti:

⟨ρ,Ω

∣∣∣k⟩ =

√gk!

(gk + 5)!e−ρ/2L(5)

gk (ρ)[Y[nk ,lk ,··· ](Ω)

]L=M=0

, (4.15)

e sviluppando i calcoli:

⟨ρ,Ω

∣∣∣k⟩ =

√gk!

(gk + 5)!e−ρ/2L(5)

gk (ρ)lk∑

mk=−lk

(−)lk−mk√2lk + 1

N[nk ,lk ,lk]

(sin(2φ)

2

)lk× P [lk+

12 ,lk+

12 ]

nk (cos(2φ))Ymk

lk(ω1)Y −mk

lk(ω2), (4.16)

dove k è un indice che compendia tutti i numeri quantici: lk , nk , gk .Gli stati di base |k〉 hanno momento grandangolare Gk ben definito, pari a: Gk = 2(nk + lk).

4.3 Calcolo degli elementi di matrice di Hr

In questa sezione si calcoleranno gli elementi di matrice dell’Hamiltoniana relativa (3.6). Il calcoloverrà separato in due parti: prima si calcoleranno gli elementi di matrice dell’energia cinetica e suc-cessivamente, dopo aver espanso il potenziale in multipoli, se ne calcoleranno gli elementi di matrice.Specificamente:⟨

k|Hr |k′⟩

=⟨k∣∣∣T ∣∣∣k′⟩+

⟨k∣∣∣V ∣∣∣k′⟩ , (4.17)

dove gli operatori T e V sono

T = − ~2

mα∇2r , (4.18)

V =∑

1≤i<j≤3

V (∣∣∣~ri − ~rj ∣∣∣). (4.19)


Vincoli sugli stati di base e sul potenziale

Gli stati di base usati per calcolare gli elementi di matrice dell’Hamiltoniana sono vincolati ad avereal più Gmax come momento grandangolare massimo, Lmax come massimo ordine dei polinomi di La-guerre, e il potenziale viene sviluppato in νmax multipoli per ogni elemento di matrice. Nel caso L = 0qui considerato ci si limita a usare nel calcolo degli elementi di Hr solo gli stati con momento ango-lare totale nullo che soddisfano i vincoli di cui sopra. Inoltre si è scelto di introdurre un parametrovariazionale non lineare β al fine di riscalare in maniera opportuna la base dei polinomi di Laguer-re tramite la trasformazione Ψ (ρ,Ω) −→ Ψ (βρ,Ω), e ottimizzare la convergenza. La dimensionalitàdella matrice da diagonalizzare è data da (Lmax + 1) (Gmax+2)(Gmax+4)

8 .

Elementi di matrice dell’energia cinetica

Usando l’espressione esplicita degli stati di base (4.16) è semplice determinare gli elementi di ma-trice dell’energia cinetica. Sfruttando le proprietà dei polinomi di Laguerre [9] e l’espressione delLaplaciano (A.23) si dimostra che:⟨

k∣∣∣T ∣∣∣k′⟩ = −β2 ~

2

mαδnk ,nk′ δlk ,lk′

√gk!

(gk + 5)!

√gk′ !

(gk′ + 5)!T

[2nk+2lk]gk ,gk′ , (4.20)

con T[K]a,b definito come:

T[K]a,b =

∫ ∞0dxe−x

x3

4L

(5)a (x)

[(x2 + 10x − 4K(K + 4))L(5)

b (x) + 4x2L(7)b (x)− 4x(x+ 5)L(6)

b (x)], (4.21)

Espansione del potenziale α −α

Prima di poter calcolare gli elementi di matrice del potenziale occorre espandere questo nella ba-se di potenziale. Sfruttando la completezza della base ipersferica (3.40) è semplice mostrare cheun’interazione centrale a due corpi può essere espressa come:

V (∣∣∣~r1 − ~r2∣∣∣) =

∫dΩ12δ(Ω12 −Ω′12)V (ρcosφ)

=∑[K]

[Y[K](Ω′12)]∗

∫dΩ12Y[K](Ω12)V (ρcosφ)

=∑

[K=2ν,l1=0,l2=0]

[Y[K](Ω′12)]∗

∫dΩ12Y[K](Ω12)V (ρcosφ)

=∑ν

[P 0,02ν (Ω12)]∗Vν(ρ). (4.22)

Con Vν definito come:

Vν(ρ) = 4πN[ν,0,0]

∫ π/2

0dφ (cosφsinφ)2V (ρcosφ)P

[ 12 ,

12 ]

ν (cos2φ), (4.23)

l’integrale che compare in Vν può essere esplicitato sfruttando

P[ 1

2 ,12 ]

ν (cos2φ) =1√π

Γ(ν + 3

2

)Γ (ν + 2)

csc(φ)sec(φ)sin(2(ν + 1)φ), (4.24)

4.3. CALCOLO DEGLI ELEMENTI DI MATRICE DI HR 25

per ottenere:

Vν(ρ) = 4√π

∫ π/2

0V (ρcosφ)sin(2φ)sin(2(1 + ν)φ)dφ. (4.25)

Poiché Vν non dipende dalla coppia di particelle scelta, nel caso di una coppia qualunque vale larelazione:

V (∣∣∣~ri − ~rj ∣∣∣) =

∑ν

P 0,02ν (Ωij )Vν(ρ), (4.26)

dove gli indici della PB sono vincolati ad essere entrambi nulli per il fatto che il potenziale è scalare.Sviluppando i calcoli è possibile esprimere il potenziale della coppia (i, j) come:

V (∣∣∣~ri − ~rj ∣∣∣) =

∑ν

Vν(ρ)ν∑n=0

l∑m=−l

(l→ν−n)

f ν,nl (φ,γij )Yml (ω1)[Yml (ω2)]∗, (4.27)

dove f ν,nl (φ,γij ) è definita come:

f ν,nl (φ,γij ) =(

sin(2γij )sin(2φ)

4

)l N 2[n,l,l]

N[ν,0,0]

P[l+ 1

2 ,l+12 ]

n (cos(2φ))P[l+ 1

2 ,l+12 ]

n (cos(2γij ))

P[ 1

2 ,12 ]

ν (1). (4.28)

Calcolo degli elementi di matrice del potenziale α −α

Il calcolo degli elementi di matrice del potenziale⟨k∣∣∣V ∣∣∣k′⟩ =

∫ρ5dρdΩ

∑1≤i<j≤3

⟨k∣∣∣ρ,Ω⟩⟨

ρ,Ω∣∣∣V (

∣∣∣~ri − ~rj ∣∣∣)∣∣∣k′⟩ , (4.29)

è svolto in appendice C. Usando la (4.16) e la (4.27) e le proprietà di completezza dei coefficienti 3j diWigner si ottiene:

⟨k∣∣∣V ∣∣∣k′⟩ =

(−)lk+lk′

4π

√(2lk + 1)(2lk′ + 1)N[nk ,lk ,lk]N[nk′ ,lk′ ,lk′ ]

∑ν

Rνgk ,gk′

×ν∑n=0l→ν−n

(2l + 1)Φn,νk,k′ ,l

(lk lk′ l0 0 0

)2

, (4.30)

dove Rνa,b e Φn,νk,k′ ,l sono definite nel seguente modo:

Rνa,b =

√a!

(a+ 5)!

√b!

(b+ 5)!

∫ +∞

0dρρ5 e−ρL(5)

a (ρ)Vν(ρ/β)L(5)b (ρ), (4.31)

Φn,νk,k′ ,l =

∑1≤i<j≤3

∫ π/2

0dφ

(sin(2φ)

2

)lk+lk′+2

P[lk+

12 ,lk+

12 ]

nk (cos2φ)P[lk′+

12 ,lk′+

12 ]

nk′ (cos2φ)f ν,nl (φ,γij ). (4.32)


4.4 Imposizione del principio di Pauli

Consideriamo lo spazio di Hilbert H scritto come prodotto tensore di spazi di Hilbert di singolaparticella

H =H1 ⊗H2 ⊗H3. (4.33)

Nella rappresentazione delle coordinate uno stato in tale spazio è rappresentato da una funzione

Ψ = Ψ (x1,x2,x3). (4.34)

Tale stato non ha comportamento ben definito rispetto a scambio di particelle, infatti introducendogli operatori Pij la cui azione è scambiare la particella i con la j, per uno scambio tra le prime due siavrebbe

P12Ψ (x1,x2,x3) = Ψ (x2,x1,x3). (4.35)

Sfruttando il fatto che P 2ij = 1 si deduce che i suoi autovalori possibili sono −1 e +1; chiameremo gli

autostati di Pij con autovalore +1 stati simmetrici per scambio (i ↔ j) e viceversa gli autostati conautovalore −1 antisimmetrici. Definiamo per brevità di notazione

Ψijk(x1,x2,x3) = (1− Pij )(1 + Pik)Ψ (x1,x2,x3). (4.36)

Si tratta di stati prima simmetrizzati rispetto a permutazioni (i,k) e successivamente antisimmetriz-zati rispetto a (i, j); è importante osservare che l’antisimmetrizzazione rispetto a (i, j) fa sì che si perdala proprietà di simmetria per scambio di particelle (i,k). Osserviamo che è possibile costruire a partireda Ψ degli stati a simmetria ben definita:

1 2 3 ↔ ΨS =∑i,j,k

∣∣∣εijk∣∣∣Ψ (xi ,xj ,xk), (4.37)

123↔ ΨA =

∑i,j,k

εijkΨ (xi ,xj ,xk), (4.38)

1 23

↔ Ψ αM1 =

(Ψ132(x1,x2,x3)Ψ231(x1,x2,x3)

), (4.39)

1 32

↔ Ψ αM2 =

(Ψ123(x1,x2,x3)Ψ321(x1,x2,x3)

). (4.40)

I primi due stati sono rispettivamente completamente simmetrico e antisimmetrico per scambio diqualsiasi particella, mentre gli altri due sono stati a simmetria mista e costituiscono ciascuno undoppietto (α = 1,2). È facile verificare che qualsiasi permutazione trasforma gli stati appartenenti aciascun doppietto in combinazioni lineari degli stessi; in altri termini gli spazi generati da ciascunodei due doppietti sono invarianti per permutazioni. I diagrammi che compaiono nelle equazionisono noti col nome di diagrammi di Young [11] e questi vengono usati per rappresentare gli staticorrispondenti. È possibile scomporre lo stato generico Ψ come

Ψ = cS · 1 2 3 + cA ·123

+ cM1 · 1 23

+ cM2 · 1 32

, (4.41)

4.4. IMPOSIZIONE DEL PRINCIPIO DI PAULI 27

dove i coefficienti degli stati a simmetria mista sono dotati di un indice α = 1,2 non esplicitamenteindicato. Poiché è possibile scomporre in questo modo un qualunque stato si deduce che è possibileseparare lo spazio H come somma diretta di 4 sottospazi

H =HS ⊕HA ⊕HM1 ⊕HM2, (4.42)

doveHS contiene stati totalmente simmetrici,HA contiene stati totalmente antisimmetrici e gliHM1/2

stati a simmetria mista. Poiché l’Hamiltoniana H commuta con tutti gli operatori di scambio diparticelle Pij è possibile diagonalizzare simultaneamente questa e uno tra gli operatori di scambio.Pertanto è presente una degenerazione per scambio di particelle, infatti esprimendo gli operatori Pijnella base indicata sopra, questi assumono la forma diagonale a blocchi, con i blocchi relativi a statimisti di dimensione 2×2; la degenerazione per scambio di uno stato misto è pari a 2, mentre gli statitotalmente simmetrici (antisimmetrici) sono non degeneri per scambio. Questo risultato viene usatoper classificare tutti gli autovalori che il metodo variazionale produce: infatti nonostante la base nellaquale si espandono gli stati manchi di un’esplicita simmetrizzazione per scambi di particelle, esisteun comportamento ben definito rispetto a scambi di tipo (1 ↔ 2): scambiare la particella 1 con la2 corrisponde a scambiare nella funzione d’onda ~r1 con ~r2 e ciò nel sistema di coordinate di Jacobiscelto (3.1) corrisponde a effettuare

~ξ2→− ~ξ2. (4.43)

Con la conseguenza che applicando su uno stato di base l’operatore di scambio P12 si ottiene che que-sto è autostato di P12 con autovalore uguale alla parità dell’armonica sferica relativa alla coordinatadi Jacobi ~ξ2 (3.29), cioè

P12 |k〉 = (−)l2 |k〉 . (4.44)

Avvalendosi di quanto detto sopra, è possibile individuare il tipo di simmetria di ogni stato e quindidistinguere tra tutti gli stati quelli totalmente simmetrici col seguente algoritmo:

• Si diagonalizzi H e si distinguano autovalori degeneri e non degeneri. Gli autovalori degenerirappresentano stati a simmetria mista, mentre quelli non degeneri rappresentano stati a simme-tria definita (totalmente simmetrici o totalmente antisimmetrici). Se ad esempio si ottengonogli autovalori (E0,E1,E1,E2) automaticamente si ha una prima distinzione, (E0,E2) sono autova-lori corrispondenti a stati a simmetria definita mentre (E1,E1) sono autovalori corrispondenti astati a simmetria mista.

• Per identificare gli stati totalmente simmetrici, si consideri la restrizione di H al sottospaziodegli stati simmetrici per scambio (1 ↔ 2); ciò è fatto selezionando opportunamente gli statidi base utilizzati per il metodo variazionale, cioè considerando solo stati di base con l2 pari inaccordo alla (4.44). Gli autovalori che si ottengono dal procedimento di diagonalizzazione in talcaso sono corrispondenti a stati totalmente simmetrici o simmetrici solo per scambio (1↔ 2),effettuando l’intersezione con gli stati a simmetria definita individuati nel primo step si conoscedefinitivamente quali sono gli stati totalmente simmetrici e quali sono quelli simmetrici soloper scambio (1↔ 2). Riferendoci all’esempio precedente se in questo step si è ottenuto (E0,E1)intersecando con gli stati a simmetria definita identificati nel primo step, cioè intersecando con


(E0,E2) otteniamo che E0 è un autovalore corrispondente ad uno stato totalmente simmetrico eper esclusione E1 corrisponde ad uno stato a simmetria mista.

• Per identificare gli autovalori corrispondenti a stati totalmente antisimmetrici si procede inmaniera del tutto analoga a quanto fatto nel passo precedente.

L’algoritmo è stato applicato al potenziale di Volkov [12] e si sono identificati 2 stati legati distintia parte spaziale totalmente simmetrica e 1 stato degenere a simmetria mista; non si è trovato unostato legato totalmente antisimmetrico. I risultati sono riportati in tabella 4.1: lo stato fondamentaleidentificato corrisponde fisicamente al nucleo 3H e l’antisimmetria della funzione d’onda totale ègarantita dai gradi di libertà di spin e di isospin.

Simmetria Autovalori (MeV) Simmetrici (1↔ 2) Antisimmetrici (1↔ 2)

-8.4649 -8.4649-0.518929 -0.51892

-0.16959 -0.16959-0.16959 -0.16959

// // //

Tabella 4.1: Stati legati corrispondenti al potenziale di Volkov, classificati per comportamento rispettoa scambio di due particelle.

Capitolo 5

Risultati e conclusioni

In questa sezione verranno esposti i risultati numerici ottenuti.

5.1 Test di convergenza: potenziale di Volkov

In letteratura è stato sviluppato un potenziale fenomenologico detto potenziale di Volkov che descrivel’interazione tra due nucleoni in un processo di scattering. Il potenziale a due corpi ha la seguenteforma:

V (i, j) = V1e−r2ij /R

21 +V2e−r

2ij /R

22 , (5.1)

dove i coefficienti sono V1 = 144.86 MeV, R1 = 0.82 fm, V2 = −83.34 MeV, R2 = 1.6 fm, e per il quale~

2

m = 41.47 MeV fm2.Il potenziale di Volkov riproduce l’energia di legame del nucleo 3H. Per questa parametrizzazionedel potenziale in letteratura [13] si è determinato con tecniche numeriche simili un’energia di legamepari a B3H = 8.4649 MeV. Il nostro metodo converge al medesimo autovalore, e ciò è mostrato nellatabella 5.1.

aaaaaaLmax

Gmax 10 20 30 40 50 60

10 -8.4149394 -8.4613806 -8.4637800 -8.4639102 -8.4639111 -8.463911320 -8.4157524 -8.4622932 -8.4647119 -8.4648500 -8.4648512 -8.464851330 -8.4157524 -8.4622932 -8.4647119 -8.4648501 -8.4648512 -8.4648514

Tabella 5.1: Convergenza dell’energia dello stato fondamentale a tre corpi corrispondente alpotenziale di Volkov (Benchmark).

I calcoli sono effettuati al variare del numero massimo di polinomi di Laguerre Lmax e del mo-mento grand-angolare massimo Gmax che possono avere gli stati di base, il numero νmax di multipolidi potenziale è fissato a 35 perché è sufficiente per ottenere la convergenza (come dimostrato dallaanalisi riportata in figura 5.1). Si è inoltre effettuata l’ottimizzazione del parametro variazionale βe si è appurato che il valore ottimale per il potenziale di Volkov è β ≈ 2.4 fm come si evince dallafigura 5.2. Inoltre si sono classificati gli stati legati trovati con Gmax = 40, Lmax = 50, νmax = 30 in

29

30 CAPITOLO 5. RISULTATI E CONCLUSIONI

base al loro comportamento per scambio di due particelle; avvalendosi di quanto discusso preceden-temente è stato possibile identificare 2 stati totalmente simmetrici per scambio (stato fondamentale eprimo stato eccitato) e stati a simmetria mista per scambio (tabella 4.1); non è stato trovato uno statototalmente antisimmetrico per scambio.

Figura 5.1: Studio della convergenza rispetto al parametro νmax per il potenziale di Volkov.

5.2 Energia di legame dello stato fondamentale

Utilizzando il potenziale a 2 corpi α − α (2.10) per ogni scelta di Λ e relativi parametri (elenco intabella 2.1) si è ottenuta una stima dell’energia di legame del sistema 3α (elenco in tabella 5.2), gliautovalori sono stati calcolati con i vincoli Gmax = 24,Lmax = 30,νmax = 20,β = 1.2 fm (più che suffi-cienti per ottenere la convergenza del metodo variazionale). Si conclude dalla tabella che il potenzialea due corpi non è sufficiente a descrivere lo stato fondamentale del nucleo 12C perché l’energia di le-game del nucleo 12C rispetto a 3 particelle α è pari a B12C = −7.26 MeV. Gli stati i cui autovalori sonopresentati in tabella 5.2 sono tutti totalmente simmetrici per scambio di due particelle. Un risultatosorprendente che si è ottenuto è il fatto che il potenziale α −α pur non essendo in grado di formarestati legati nel caso a 2 corpi, nel caso a 3 corpi forma stati legati per ogni Λ, si è quindi in presenzadi un sistema Borromeiano (figura 5.3).

Si è deciso di testare un potenziale fenomenologico sviluppato in letteratura [14] della formaWoods-Saxon che riproduce ineccepibilmente gli sfasamenti α − α in onda S, D, G ed F tra 0 e 15

5.2. ENERGIA DI LEGAME DELLO STATO FONDAMENTALE 31

Figura 5.2: Studio della convergenza rispetto al parametro β per il potenziale di Volkov.

MeV. Il potenziale fenomenologico in questione ha la forma

Vws(r) =Vw

1 + e(r−Rw)/Aw+ 4α~c ·

3R2c−r2

2R2c

r < Rc1r r ≥ Rc

, (5.2)


Λ (MeV) E0 (MeV)100 -1.17820120 -1.06630140 -1.16920160 -1.20128180 -1.12625200 -1.30226

Tabella 5.2: Autovalori dello stato fondamentale ottenuti per ogni scelta di Λ, in presenza del solopotenziale a due corpi.

Figura 5.3: Simbolo originario della famiglia Borromeo, rappresenta in maniera concisa come treanelli che risultano tra loro legati, non sono legati a coppie; infatti spezzando un qualunque anellogli anelli restanti si separano. Questo in analogia a quanto avviene per il potenziale α −α sviluppatoin questa tesi che presenta stati legati a 3 corpi ma non a 2 corpi.

la cui parametrizzazione data èRw = Rc = 1.70 fm,

Aw = 0.699 fm,

Vw = −132 MeV.

(5.3)

Purtroppo non è stato possibile effettuare un confronto perché il potenziale a 2 corpi (5.2) producenel sistema 3α (come del resto anche nel caso a 2 corpi) stati profondamente legati (il più legato traquesti pari a E0 = −235.773 MeV) che non hanno realtà fisica.

Si è testato anche un altro potenziale fenomenologico noto in letteratura col nome di potenzialedi Buck et al. [15] che riproduce gli sfasamenti α−α in onda S, D e G in maniera quasi perfetta fino aun’energia nel riferimento del centro di massa di 16 MeV, ma anche in questo caso si è ripresentato ilproblema della presenza di stati profondamente legati. Il potenziale di Buck et al. ha la forma

Vbuck(r) = v0e−c0r2

+ 4α~cerf(c1r)

r, (5.4)

la cui parametrizzazione è data dav0 = −122.6225 MeV,

c0 = 0.22 fm−2,

c1 = 0.75 fm−1.

(5.5)

5.3. ENERGIA DELLO STATO L = 2 33

Per portare l’energia di legame degli stati legati trovati in accordo con il dato sperimentale è necessa-rio introdurre nel potenziale un termine a tre corpi.

Potenziale a 3 corpi

Come si evince dai risultati ottenuti non basta un potenziale a 2 corpi a descrivere lo stato fonda-mentale del nucleo 12C; pertanto si è reso necessario considerare in aggiunta al potenziale d’intera-zione α − α (2.10) un termine di potenziale a 3 corpi che dipende solo dall’iperraggio. Si è scelto disviluppare il termine di potenziale iper-centrale all’ordine più basso nello spazio dei momenti e diregolarizzarlo con un cutoff gaussiano sul momento trasferito totale Q2 = k2

1 +k22 dove ~k1 e ~k2 sono gli

impulsi trasferiti variabili coniugate alle coordinate di Jacobi ~ξ1, ~ξ2

Vhc(Q) = v0 −→cutoff

Vhc(Q) = v0e−Q2a2

2 , (5.6)

con aΛ = ~c, e Λ è il medesimo del potenziale α − α. Si ottiene il potenziale nello spazio dellecoordinate effettuando l’inversa della trasformata di Fourier:

Vhc(ρ) = F −1ρ [Vhc(Q)] = C3Λe−

ρ2

2a2 ; (5.7)

tale potenziale è ipercentrale e di conseguenza non dipende dagli angoli, pertanto non è necessariol’uso della base di potenziale, ed è semplice calcolarne il suo elemento di matrice⟨

k∣∣∣Vhc∣∣∣k′⟩ = δnk ,nk′ δlk ,lk′

√gk!

(gk + 5)!

√gk′ !

(gk′ + 5)!

∫ ∞0dxe−xx5L

(5)gk (x)Vhc(x/β)L(5)

gk′ (x). (5.8)

Si sono sommati gli elementi di matrice appena ottenuti ai precedenti elementi di matrice del poten-ziale α −α e si è applicato il medesimo metodo variazionale.

Tramite procedura di fitting in corrispondenza di ogni scelta di Λ e relativi parametri del poten-ziale α −α (tabella 2.1) si è ricavato il coefficiente C3 (elenco in tabella 5.3) in modo tale che lo statofondamentale che si ottiene dal metodo variazionale sia esattamente pari a −7.26 MeV.

Λ (MeV) C3 (adimensionale)100 0.308922120 0.634125140 0.699508160 0.764641180 1.77460200 1.95244

Tabella 5.3: Coefficienti per il termine di potenziale a tre corpi ottenuti tramite procedura di fittingper ogni scelta di Λ.

5.3 Energia dello stato L = 2

Poiché il 12C presenta un ulteriore stato legato con numeri quantici Jπ = 2+ (Fig. 5.4) inferiore allasoglia delle 3 particelle α è legittimo chiedersi se il modello sviluppato riesca a riprodurlo; in appen-dice C sono sviluppati i calcoli necessari per implementare il metodo variazionale nel caso L = 2. Si


è testato il metodo variazionale per ogni scelta di Λ e si è appurato che in nessun caso compare unostato legato L = 2. Osserviamo d’altra parte che il potenziale α − α adottato è stato fittato a energiebassissime (≤ 1MeV) cfr. Fig. 2.1 alle quali lo scattering in onda D è di fatto assente. Infatti l’ideadi fondo non è di determinare un potenziale fenomenologico, ma di testare fino a che punto la fisicadi basse energie descrive anche la struttura del 12C. Pertanto è legittimo supporre che sia necessarioper descrivere questo stato una migliore descrizione dell’onda D. Si conclude che usare un potenzialeα −α locale al next-to-leading order (NLO) e un potenziale 3α al leading order (LO) non è sufficien-te a descrivere lo stato legato con L = 2. Il passo successivo per migliorare la descrizione è tentareun potenziale a due corpi ulteriormente raffinato al N2LO. A quest’ordine subentrano operatori nonlocali tra i quali L2 [6] che permettono una migliore descrizione dell’onda D.

5.3. ENERGIA DELLO STATO L = 2 35

Figura 5.4: Livelli energetici del nucleo di 12C [3]

Appendice A

Coordinate ipersferiche

In questa appendice si ricava l’espressione di vari operatori differenziali in un sistema di coordinateipersferiche. Sia N il numero di dimensioni, la trasformazione di coordinate è definita da:

xN = ρcosφN ,

xN−1 = ρ sinφN cosφN−1,...

xi = ρ sinφN · · ·sinφi+1 cosφi ,...

x1 = ρ sinφN · · ·sinφ3 sinφ2,

(A.1)

dove l’angolo φ2 è compreso tra 0 e 2π e gli angoli φk (k , 2) sono compresi tra 0 e π. Si definisce ilvettore posizione ~r come:

~r =N∑i=i

xi ei , (A.2)

e volendone valutare il differenziale totale si deve portare a termine il seguente calcolo:

d~r =∂~r∂ρdρ+

N∑i=2

∂~r∂φi

dφi , (A.3)

dove è semplice (ma laborioso) verificare che le norme di ogni derivata parziale obbediscono allaseguenti relazioni:∣∣∣∣∣∂~r∂ρ

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣N∑i=1

∂xi∂ρ

ei

∣∣∣∣∣∣∣ = 1 ≡ h1, (A.4)

∣∣∣∣∣ ∂~r∂φN

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣N∑i=1

∂xi∂φN

ei

∣∣∣∣∣∣∣ = ρ ≡ hN , (A.5)

∣∣∣∣∣ ∂~r∂φk∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣N∑i=1

∂xi∂φk

ei

∣∣∣∣∣∣∣ = ρN∏

i=k+1

sinφi ≡ hk , 1 < k < N. (A.6)

37

38 APPENDICE A. COORDINATE IPERSFERICHE

Dunque il vettore posizione assume la seguente forma:

~r = ρu1, (A.7)

e il differenziale del vettore posizione è calcolabile come:

d~r = h1u1dρ+N∑i=2

hi uidφi , (A.8)

dove uk è il versore unitario relativo alla coordinata k-esima, ui ∝ ∂~r/∂φi . Poiché il sistema di coor-dinate è ortogonale (ciò si verifica facilmente calcolando il prodotto scalare tra due qualsiasi deri-vate parziali che compaiono nel differenziale totale) è possibile ricavare l’elemento di volume in Ndimensioni come:

dV = VT · dρdφ2dφ3 · · ·dφN , (A.9)

VT ≡ h1h2 · · ·hN = ρN−1N∏k=3

(sinφk)k−2. (A.10)

Operatori differenziali

Per ottenere l’espressione del gradiente di una funzione arbitraria f delle coordinate (sufficientemen-te regolare) in coordinate ipersferiche, ~∇f =

∑iAi ui , osserviamo che:

df ≡ ~∇f · d~r = A1h1dρ+N∑i=2

Aihidφi . (A.11)

e che per il teorema del differenziale totale df è anche esprimibile come:

df =∂f

∂ρdρ+

N∑i=2

∂f

∂φidφi . (A.12)

Uguagliando i coefficienti dei differenziali corrispondenti si ottiene (la formula in generale vale nelcaso di coordinate curvilinee ortogonali):

~∇ =1h1u1

∂∂ρ

+N∑i=2

1hiui

∂∂φi

, (A.13)

dove:

h1 = 1,h2 = ρ sinφN sinφN−1 · · ·sinφ4 sinφ3,h3 = ρ sinφN sinφN−1 · · ·sinφ4,

...hN−1 = ρ sinφN ,hN = ρ.

(A.14)

39

Sfruttando la definizione di divergenza si può valutare tale operatore in coordinate curvilinee gene-rali, applicando il teorema di Gauss a un campo vettoriale generico

~F =∑k

Fkuk = Fρuρ +Fφ2u2 + · · ·+FφN uN . (A.15)

Dalla definizione

~∇ · ~F ≡ limV→0

1V

∮∂V

~F · ndS, (A.16)

osservando che l’elemento di superficie infinitesimo orientato è

ndS =(VTh1dφ2 · · ·dφN ,

VTh2dρdφ3 · · ·dφN , · · · ,

VThNdρdφ2 · · ·dφN−1

), (A.17)

e che il flusso infinitesimo dovuto ad ogni coordinata è calcolabile come (ad esempio considerando ledue superfici ortogonali a ρ):

Fρ(ρ+ dρ, · · · )dSρ(ρ+ dρ, · · · )−Fρ(ρ, · · · )dSρ(ρ, · · · ) =(∂∂ρ

VTh1Fρ

)dρdφ2 · · ·dφN , (A.18)

è semplice dimostrare sommando su tutte le coordinate e dividendo per il volume infinitesimo

dV = VT dρdφ2 · · ·dφN , (A.19)

che il flusso di ~F relativo ad un volumetto infinitesimo (e cioè la divergenza) è calcolabile come:

~∇ · ~F =1VT

[∂∂ρ

(VTh1Fρ

)+

∂∂φ2

(VTh2Fφ2

)+ · · ·+ ∂

∂φN

(VThNFφN

)], (A.20)

perciò sfruttando ancora una volta le definizioni si può valutare anche l’operatore Laplaciano ∇2:

∇2 ≡ ~∇ · ~∇ =1VT

∂∂ρ

VTh2

1

∂∂ρ

+1VT

∂∂φ2

VTh2

2

∂∂φ2

+ · · ·+ 1VT

∂∂φN

VTh2N

∂∂φN

. (A.21)

Applicandolo al caso in esame, cioè alle coordinate ipersferiche N dimensionali

∇2 =∂2

∂ρ2 +N − 1ρ

∂∂ρ

+[

1VT

∂∂φ2

VTh2

2

∂∂φ2

+ · · ·+ 1VT

∂∂φN

VTh2N

∂∂φN

], (A.22)

dove la parte tra quadre, come si vede agisce solo sulle variabili angolari e definisce l’operatore Λ2

che è il momento grandangolare in coordinate ipersferiche. Pertanto l’operatore Laplaciano in Ndimensioni e in coordinate ipersferiche assume la forma

∇2 =∂2

∂ρ2 +N − 1ρ

∂∂ρ− Λ

2

ρ2 . (A.23)

40 APPENDICE A. COORDINATE IPERSFERICHE

Appendice B

Polinomi omogenei e armonici

In questa appendice si sviluppano alcuni concetti fondamentali sul legame che esiste tra polinomiarmonici e le armoniche sferiche e ipersferiche. Un polinomio omogeneo è un polinomio compostoda monomi che hanno tutti lo stesso grado complessivo e che rispetta questa proprietà fondamentale:

Pn(λ~r) = λnPn(~r) ∀λ, (B.1)

in particolare ciò consente di esprimere un qualunque polinomio omogeneo come:

Pn (~r) = rnPn (ω) , dove r ≡∣∣∣~r∣∣∣ e ω ≡ ~r/

∣∣∣~r∣∣∣ . (B.2)

Oltretutto un prodotto di due polinomi omogenei di grado rispettivamente a e b costituisce unpolinomio omogeneo di grado a+ b, infatti dati due polinomi omogenei

Pa(x1,x2, · · · ,xa) =N∑i=1

a∏k=1

xui,kk ∀i

∑k

ui,k = a (B.3)

Pb(y1, y2, · · · , yb) =N ′∑j=1

b∏q=1

ytj,qq ∀j

∑q

tj,q = b (B.4)

il loro prodotto è

Pa+b(x1,x2, · · · ,xa, y1, y2, · · · , yb) = Pa(x1,x2, · · · ,xa)Pb(y1, y2, · · · , yb)

=

N∑i=1

a∏k=1

xui,kk

N

′∑j=1

b∏q=1

ytj,qq

=

N∑i=1

N ′∑j=1

a∏k=1

xui,kk

b∏q=1

ytj,qq , (B.5)

e risulta quindi evidente che ogni termine del polinomio Ha+b ha grado a + b, pertanto l’asserto èdimostrato. Inoltre introducendo il gradiente generalizzato e definendo il vettore ~x come

~x ≡d∑i=1

xi ei , (B.6)

~∇ ≡d∑i=1

ei∂∂xi

, (B.7)

41

42 APPENDICE B. POLINOMI OMOGENEI E ARMONICI

è possibile dimostrare facilmente derivando la (B.1) rispetto a λ e ponendo λ = 1, che:

~x · ~∇Pn =

d∑i=1

xi∂∂xi

Pn = nPn. (B.8)

Polinomi armonici

Si dicono armonici i polinomi il cui Laplaciano è ovunque nullo. Osserviamo che un qualunquepolinomio HG omogeneo di grado G e armonico può essere scritto con un cambio di coordinate comeprodotto di una potenza dell’iperraggio e di una funzione delle sole variabili iperangolari sfruttandola proprietà (B.2).Posto HG polinomio omogeneo di grado G e armonico, vale

HG = rGYG, (B.9)

per trovare lo spettro dell’operatore grand-angolare in D dimensioni è sufficiente sfruttare l’armoni-cità di HG e il fatto che Λ2 (momento grand-angolare) costituisce la parte angolare del Laplacianoespresso in coordinate iper-sferiche (A.23), quindi:

∇2HG = ∇2rGYG = rG−2[G(G+D − 2)−Λ2

]YG = 0, (B.10)

che implica:

Λ2YG = G(G+D − 2)YL. (B.11)

Ciò fornisce una naturale definizione delle armoniche ipersferiche in D dimensioni:

Y[K](Ω) ≡ ρ−GH[K](ρ,Ω), (B.12)

dove [K] è un insieme di D − 1 numeri quantici tra cui il grado G di H[K].È utile osservare che sull’ipersfera unitaria D dimensionale Y[K] e H[K] concidono.

Appendice C

Calcolo elementi di matrice

Obiettivo di questa appendice è il calcolo nel caso generale degli elementi di matrice del potenziale a2 corpi.

Espressione dello stato generico

In analogia a quanto fatto nella sezione 4.2 l’espressione di uno stato con L,M generici è

⟨ρ,Ω

∣∣∣k⟩ =

√gk!

(gk + 5)!e−ρ/2L(5)

gk (ρ)[Y[nk ,l1k ,l2k ,··· ](Ω)

]L,M

. (C.1)

Esplicitando parzialmente la parte tra quadre si ottiene

⟨ρ,Ω

∣∣∣k⟩ =

√gk!

(gk + 5)!e−ρ/2L(5)

gk (ρ)N[nk ,l1k ,l2k](sinφ)l1k (cosφ)l2k

× P [l1k+12 ,l2k+

12 ]

nk (cos2φ)[Ym1kl1k

(ω1)Ym2kl2k

(ω2)]L,M

. (C.2)

Calcolo e fattorizzazione degli elementi di matrice di V

Procediamo a calcolare⟨k∣∣∣V ∣∣∣k′⟩ sfruttando l’espressione generica di uno stato |k〉 e lo sviluppo in PB

del potenziale:⟨k∣∣∣V ∣∣∣k′⟩ =

∫ρ5dρdΩ

∑1≤i<j≤3

⟨k∣∣∣ρ,Ω⟩⟨

ρ,Ω∣∣∣V (

∣∣∣~ri −~rj ∣∣∣)∣∣∣k′⟩ . (C.3)

Sostituendo (C.2) e (4.27) si ottiene:

⟨k∣∣∣V ∣∣∣k′⟩ =

∑ν

Rνk k′

ν∑n=0

Φν nk k′Al=ν−nk k′ , (C.4)

dove

Rνk k′ =

√gk!

(gk + 5)!

√gk′ !

(gk′ + 5)!

∫ +∞

0dρρ5 e−ρL(5)

gk (ρ)Vν(ρ/β)L(5)gk′ (ρ), (C.5)

43

44 APPENDICE C. CALCOLO ELEMENTI DI MATRICE

Φν nk k′ =N[nk ,l1k ,l2k]N[nk′ ,l1k′ ,l2k′ ]

∫ π/2

0dφ (sinφ)l1k+l1k′+2(cosφ)l2k+l2k′+2P

[l1k+12 ,l2k+

12 ]

nk (cos2φ)

× P [l1k′+12 ,l2k′+

12 ]

nk′ (cos2φ)∑i<j

f ν nl (φ,γi,j ), (C.6)

Alk k′ =∫

dω1dω2

[Ym1kl1k

(ω1)Ym2kl2k

(ω2)]∗L,M

[Ym1kl1k′

(ω1)Ym2kl2k′

(ω2)]L′ ,M ′

l∑m=−l

Yml (ω1)Yml (ω2)∗. (C.7)

Esplicitare Alk,k′

La (C.7) può essere esplicitata sfruttando i coefficienti di Clebsch-Gordan (CG) in questo modo:[Ym1l1

(ω1)Ym2l2

(ω2)]L,M

=∑m1,m2

〈l1m1 l2m2 |LM〉Ym1l1

(ω1)Ym2l2

(ω2). (C.8)

I coefficienti di CG tuttavia non presentano le necessarie simmetrie che consentono di procedere nelcalcolo dell’integrale nella (C.7), pertanto li si scambia con i coefficienti 3j di Wigner. Sfruttando larelazione (cfr. [10] p.1056)

〈l1m1 l2m2 |LM〉 = (−)l1−l2+M√

2L+ 1(l1 l2 Lm1 m2 −M

), (C.9)

si ottiene[Ym1l1

(ω1)Ym2l2

(ω2)]L,M

= (−)l1−l2+M√

2L+ 1∑m1,m2

(l1 l2 Lm1 m2 −M

)Ym1l1

(ω1)Ym2l2

(ω2). (C.10)

Usando la relazione (C.10) e sostituendo nella (C.7) si ha

Alk k′ =∫

dω1dω2 (−)l1k−l2k+M√

2L+ 1∑

m1k ,m2k

(l1k l2k Lm1k m2k −M

)Ym1kl1k

(ω1)∗Ym2kl2k

(ω2)∗

× (−)l1k′−l2k′+M′√

2L′ + 1∑

m1k′ ,m2k′

(l1k′ l2k′ L′

m1k′ m2k′ −M ′

)Ym1k′l1k′

(ω1)Ym2k′l2k′

(ω2)

×l∑

m=−lYml (ω1)Yml (ω2)∗. (C.11)

Riordinando

Alk k′ = (−)l1k−l2k+M+l1k′−l2k′+M ′√

(2L+ 1)(2L′ + 1)∑m

(l1k l2k Lm1k m2k −M

)

×(l1k′ l2k′ L′

m1k′ m2k′ −M ′

)∫dω1Y

m1kl1k

(ω1)∗Ym1k′l1k′

(ω1)Yml (ω1)

×∫

dω2Ym2kl2k

(ω2)∗Ym2k′l2k′

(ω2)Yml (ω2)∗, (C.12)

45

dove per sommatoria in m si intende sommatoria su tutti gli m.Infine sfruttando il teorema di addizione delle armoniche sferiche (cfr. [10] p.1057)∫

dωYm1l1

(ω)Ym2l2

(ω)Ym3l3

(ω) =

√(2l1 + 1)(2l2 + 1)(2l3 + 1)

4π

(l1 l2 l30 0 0

)(l1 l2 l3m1 m2 m3

), (C.13)

e sfruttando una proprietà che lega i coefficienti 3j ai coefficienti 6j (cfr. [10] p.1064)

∑M1M2M3m1m2

(−)∑iMi

(J1 J2 j3M1 −M2 M3

)(J2 J3 j1M2 −M3 M1

)(J3 J1 j2M3 −M1 M2

)(j1 j2 j ′3m1 m2 m′3

)

= (−)J1+J2+J3δj3 j ′3δm3m′3

12j3 + 1

j1 j2 j3m1 m2 m3

; (C.14)

è semplice scrivere la (C.12) in forma esplicita:

Alk k′ = (−)l1k+l1k′+L√

(2l1k + 1)(2l2k + 1)(2l1k′ + 1)(2l2k′ + 1)2l + 1

4π

(l1k l l1k′0 0 0

)×(l2k l l2k′0 0 0

)l2k′ l1k′ Ll1k l2k l

δLL′δMM ′ . (C.15)

46 APPENDICE C. CALCOLO ELEMENTI DI MATRICE

Bibliografia

[1] S. Weinberg, “The first three minutes: a modern view of the origin of the universe”, BasicBooks, 1993.

[2] K. S. Krane, D. Halliday, “Introductory nuclear physics”, J.Wiley and Sons, 1988.

[3] TUNL Nuclear Data Evaluation Home Page www.tunl.duke.edu/nucldata/

[4] G. P. Lepage, “How to renormalize the Schrodinger equation”, Lectures given at the VIII JorgeAndre Swieca Summer School (Brazil, 1997), arXiv:nucl-th/9706029

[5] S. A. Afzal, A. A. Z. Ahmad, “Systematic Survey of the α −α Interaction”, Rev. Mod. Phys. 41(1969) 247.

[6] P. Recchia, “Teoria effettiva halo dell’interazione tra due particelle α”, Università del Salento,2014.

[7] M. Fabre de la Ripelle, “The hyperspherical expansion method”, in “Models and Methods inFew-Body Physics” Lectures Notes in Physics 273 (1987) 283, Springer.

[8] J. S. Avery, “Hyperspherical Harmonics and Generalized Sturmians”, J. Comput. Appl. Math.233 (2010) 1366.

[9] M. Abramowitz, I. A. Stegun, “Handbook of mathematical functions”, Dover, 1964.

[10] A. Messiah, “Quantum mechanics: Volume 2”, North-Holland Publishing Company, 1967.

[11] J. J. Sakurai, “Modern Quantum Mechanics”, Addison-Wesley, 2011.

[12] A.B. Volkov, “Equilibrium deformation calculations of the ground state energies of 1p shellnuclei”, Nucl. Phys. 74 (1965) 33.

[13] M. Gattobigio, A. Kievsky, M. Viviani and P. Barletta, “The Harmonic hyperspherical basis foridentical particles without permutational symmetry”, Phys. Rev. A79 (2009) 032513.

[14] L. Marquez, “Alpha-alpha potential”, Phys. Rev. C28 (1983) 2525.

[15] H. Friedrich, “Comment on the alpha-alpha potential”, Phys. Rev. C30 (1984) 1102.

47

48 BIBLIOGRAFIA

Ringraziamenti

È impossibile fare un elenco di tutte le persone che sono state parte di questi tre indimenticabili annidella mia vita, di cui questo lavoro di tesi ha rappresentato la miglior conclusione possibile. Ma ciproverò comunque.

Desidero ringraziare:

• Il mio relatore Luca Girlanda, per la costante disponibilità, per aver guidato il mio lavoro di tesicon immensa saggezza e dedizione, per aver contribuito alla mia formazione da fisico.

• I miei genitori e mia sorella, per l’amore e il sostegno incondizionati, per avermi incoraggiatonei momenti più duri.

• Tutti gli amici, sia quelli di sempre che quelli che ho conosciuto in questi tre anni intensi, perle più o meno lunghe e gradite distrazioni, per la compagnia e per il sostegno reciproco.

• Tutte le persone che mi vogliono bene, che in ultima analisi è ciò che conta davvero.

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calcolo variazionale degli stati legati del nucleo ﬀettiva ...capitolo 1 introduzione oggetto di...

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