calcolomatriciale e acp

5/13/2018 CalcoloMatriciale e ACP - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/calcolomatriciale-e-acp 1/158

Elementi di calcolo matriciale



Metodi Statistici e Statistica per la Finanza a.a. 2011-2012

Martino Lo Cascio – Mauro Aliano

Alcune definizioni

Richiami di alcune definizioni e notazioni:

• Si definisce trasposta di una matrice X(n*m), il cui generico elemento è [xi,j],la matrice X’ (m*n) , il cui generico elemento [x j,i], è ottenuta scambiandorighe e colonne della matrice X.

• Quando il numero delle righe è pari a quello delle colonne la matrice viene

definita quadrata, tale numero identifica l’ordine della matrice; la matriceviene definita simmetrica se risulta essere uguale alla sua trasposta. Casiparticolari di matrici simmetriche:

a) Matrice identità (unità)I con generico elemento i;

b) Scalare, con generico elemento d;

c) Matrice diagonale, con generico elemento di.• Matrice nulla (non necessariamente quadrata) O.

2





Operazioni tra matrici: matrice per unoscalare e somma tra matrici

Prodotto matrice per uno scalare: si moltiplica ogni elemento della matriceper lo scalare.

Somma tra matrici: può essere fatta solo per matrici delle stesse dimensioni,ciascun elemento della nuova matrice è dato dalla somme degli elementi

1 3 4 2 6 8

2 X 2 4 5 = 4 8 10

3 5 5 6 10 10

2 7 9 1 3 4 3 10 13

3 7 5 + 2 4 5 = 5 11 10

4 5 5 3 5 5 7 10 10

3





Operazioni tra matrici: i diversi tipi diprodotti

Componente per componente, solo per matrici con la stessa dimensione (A eB), il generico elemento della matrice C, c i,j = ai,j *bi,j , dove ai,j e bi,j sono igenerici elementi delle matrici A e B

Righe per colonne: è un’operazione che può essere fatta, date due matriciA(m,n) e B(u,v), solo se n=u. Si moltiplicano le righe della prima matrice per le

colonne della seconda (il prodotto tra la singola riga e la singola colonna èinteso come prodotto tra due vettori con gli stessi componenti). Il prodottotra la riga i-esima e la riga j-esima individua l’elemento ci,j della matrice C=A*B

Prodotto tra un vettore riga e un vettore colonna:

(ovvero prodotto scalare)

Prodotto righe per colonne, esempio:

=4x8+5x5+7x6

8

4 5 7 * 5

6

= 99

2 7 6 * 1 3 34 64

3 7 7 2 4 = 38 72

3 5

4





Operazioni tra matrici

Indicato con un vettore colonna ad n elementi, si

definisce modulo il prodotto ′ = ∑ e

prodotto scalare ′ = ∑ ∗

5





Proprietà delle operazioni tra matrici

La trasposta della trasposta della matrice A è uguale ad A = ( )′La trasporto del prodotto tra due matrici A e B è uguale al prodotto dellatrasposta di B per la trasposta di A

∗ =

∗ ′Se D1 e D2 sono matrice diagonale dello stesso ordine, allora D1*D2=D2*D1

6





Il determinante di una matrice

È una funzione che permette di associare ad una matrice quadrata unoscalare che ne riassume alcune proprietà algebriche.

UTILIZZI: per quello che ci riguarda, ci permette di studiare sistemi diequazioni lineari.

COME SI CALCOLA: con il procedimento che utilizza i complementi algebrici,

oppure se la matrice è di ordine 3 con al regola di Sarrus.Per due matrici A e B (entrambe quadrate di ordine n) si ha che:

1. A*B≠B*A

2. Det(A*B)= Det(A)*Det(B)

3. Det(B*A)=Det(A*B)

7





Dal prodotto righe per colonne allamatrice inversa

Ai sensi del prodotto righe per colonne, e per matrice quadrate, è lecitochiedersi se ci sia una matrice A, tale che X*A= A*X=I, dove I è la matriceunità (tutti zero ad eccezione della diagonali principale che assume valori paria 1).

NB= il determinante della matrice I è pari a 1!!!!

Nella slide precedente si è visto come il prodotto «righe per colonne» rispettiil determinante, per questo motivo:

Det(X)*Det(A)=Det(I);

Det(A)=

()

quindi il affinché esista una matrice A, inversa rispetto ad X, il determinante

di X deve essere diverso da 0, ovvero le matrici non singolari (questacondizione risulta sia necessaria, sia sufficiente)

8





Come si calcola la matrice inversa

Si definisce inversa rispetto alla matrice X , la matrice X-1 .

La matrice X-1 è data dalla trasposta della matrice degli aggiunti. La matricedegli aggiunti è una matrice che al posto (i,j), indicatori di riga e colonna, ha ilcomplemento algebrico (della matrice X per quel componente) diviso il Det(X)

Infatti per il primo elemento della matrice (2) si avrà

((-1)1+1(80*10-10*10))/det(X)= -20/16=-1,25

Per il secondo, prima riga, =((-1)1+2(4*10-10*6))/det(X)=20/16=1,25

Per il secondo, prima riga, =((-1)1+3(4*10-8*6))/det(X)=-8/16=-0,5

Questa prima riga verrà trasposta (infatti è la prima riga della matrice degliaggiunti) al fine di ottenere X-1 (diventeranno, i valori della prima colonna di X-

1, come si può vedere!!)

9





Proprietà delle matrici inverse

• = ( )• ( ) = ( )• Se A è diagonale e [

,

]

≠0

, e non

singolare , l’elemento generico di è ,• Se A e B sono non singolari e dello stesso

ordine, allora (

∗ )=

∗

10





Forme quadratiche

Forma quadratica di una matrice quadrata A(n) è: =∑ ∑ ,Si può assumere che A di una forma quadratica è simmetrica (consideriamo lasimmetrica di A, cioè

+ ′ ), la forma quadratica:

+ ′ =

A +

A’ =

e A sono chiamate definite positive se >0 ∀ ≠ 0

Semidefinite positive se ≥ 0 ∀ ≠ 0

Definite negative se <0 ∀ ≠ 0

Semidefinite negative se

≤ 0 ∀ ≠ 0Indefinite se >0 e < 0

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Vettori linearmente indipendenti

Dati k vettori ,…., tutti con n elementi,

+ ⋯ + (con …. sono numeri reali)

è una combinazione lineare dei k vettori. I kvettori sono linearmente indipendenti quandoogni possibile combinazione lineare dei vettori èdiversa (ad esclusione del caso banale

=...=

=0) dal vettore nullo.

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Il rango di una matrice

Nell’algebra matriciale rappresenta il numero massimo di righe o colonnelinearmente indipendenti tra di loro.

UTILIZZI: sistemi lineari non quadrati (Teorema di Rouchè Capelli)

Rg(A)=Rg(A’)=Rg(AA’)=Rg(A’A)

13





Autovalori e Autovettori

Si rimanda alla sezione sulle PC.

14





Calcolo matriciale in Eviews: creare lematrici

Per creare matrici, vettori e scalari in Eviews:matrix(3,3) x

(con questo comando si crea una matrice, x, con tre righe e tre colonne con

componenti tutte pari a 0)

vector(3) u(con questo comando si crea un vettore colonna, u, a tre elementi, con


rowvector(3) u1

(con questo comando si crea un vettore riga, u1, a tre elementi, con


scalar k

(con questo comanda si crea uno scalare k di valore 0)

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Una volta creata la matrice o creato il vettore, il passosuccessivo e di inserire gli eventuali valori all’interno deglistessi. Questo passaggio, in Eviews, può essere completato in3 modi differenti:1. Individuare gli elementi da inserire nella matrice e

introdurli uno ad uno:u1(1,1)=4u1(1,2)=5u1(1,3)=7u(1,1)=8

u(2,1)=5u(3,1)=6

16

U1 U






2. Una volta create le matrici/vettori di 0, si assegnano i valori delle componenticontemporaneamente (comando «.fill»):

Es.

x.fill 1,2,3,2,4,5,3,5,5

u1.fill 4,5,7

In questo modo i valori inseriti, secondo la sequenza di cui sopra, seguono unordine sopra-sotto per colonne successive, ovvero:

Per gli scalari basta inserire il l’unico valore a destra dell’uguale

Es. K=2

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3. Matrix assignement, una volta create le seguentioggettimatrix(5,8) x1scalar k1

vector(8) u2Si passa all’assignmentEs. x1=4 (x1 sarà una matrice dove tutte le componentiassumono un valore pari a 4)k1=5

u2=1 (vettore colonna a otto componenti tutte con valore1)

18





Operazioni tra matrici in Eviews

• Prodotto matrice per scalarematrix(3,3) zz=k*x• Somma tra matrici

matrix(3,3) yy.fill 2,3,4,7,7,5,9,5,5matrix(3,3) y1y1.fill 1,2,3,3,4,5,4,5,5matrix(3,3) z1z1=y+y1

19

1 3 4 2 6 8

2 X 2 4 5 = 4 8 10

3 5 5 6 10 10

2 7 9 1 3 4 3 10 13

3 7 5 + 2 4 5 = 5 11 10

4 5 5 3 5 5 7 10 10

K X Z

y y1 z1





Operazioni tra matrici in Eviews

• Prodotto righe per colonne

matrix(2,3) y3

y3.fill 2,3,7,7,6,7

matrix(3,2) y4

Y4.fill 1,2,3,3,4,5

matrix(2,2) y5

y5=y3*y4

20

2 7 6 * 1 3 34 64

3 7 7 2 4 = 38 72

3 5

y3 y4 y5





Altre funzioni in Eviews

• Trasposta

matrix y6 = @transpose(x)

• Determinante

scalar d1 = @det(x)

• Rango di una matrice

scalar rank1 = @rank(x1)

21





Altre funzioni in Eviews

22

matrix(3,3) y6

y6.fill 2,4,6,6,8,10,8,10,10

matrix(3,3) y7 = @inverse(y6)

y6 y7



ACP

Analisi in Componenti Principali





Introduzione

• Karl Pearson (1901) introduce per primoquesto metodo

• Hotelling (1933) lo sviluppa in modo più

completo• “The Vectors of Mind” L. L. Thurstone (1934)

• La maggior parte dei package statistici

consentono questa analisi (es. Spss, Stata,Spad, Eviews etc.)





La matrice dei dati

Si consideri una matrice Xn,p (ovvero una matrice di p vettoricolonna di n componenti), matrice degli scarti dalle medie.L’obiettivo dell’ ACP è di ridurre il numero di variabili oggettodell’analisi (es v<p) ossia trovare una struttura di fattori latentiche sintetizzi la struttura di Xn,p. In sostanza i fattori latenti,

chiamati anche Componenti Principali, non sono altro che unacombinazione lineare delle variabili in Xn,p.Quindi si sostituisce la matrice Xn,p, con una matrice Cn,v , dovev<p.Perché ridurre il numero delle variabili?• Per agevolare l’interpretazione dei dati;• Per una sintesi interpretativa dei risultati;• Per l’interpretazione geometrica dei risultati conseguiti.





Prima osservazione

Come in tutte le analisi statistiche, si presentauna trade-off tra sinteticità dei risultati e perditadi informazione. Infatti, più la rappresentazionedei risultati sarà sintetica maggiore sarà laperdita di informazioni.Rovesciando il concetto, la domanda è: quantainformazione siamo disposti a sacrificare (intermini di perdita) a fronte di una maggiore

sintesi esplicativa dei risultati?





L’intuizione geometrica

Per facilitare la comprensione di questo metodologia la scuola francese, negli anni 80’,(Benzécri, J.-P. (1973). L'Analyse des Données. Volume II. L'Analyse des Correspondances.Paris, France: Dunod) ha introdotto un’interpretazione geometrica del ACP.

Per semplicità consideriamo la matrice X24,2 . I 24 individui possono essere rappresentati,oltre che nel piano a 2 dimensioni, anche sulla retta F1, non perdendo una rilevanteinformazione statistica.

In questo modo si passa da uno spazio di analisi a due dimensione (X24,2 ) ad uno spazio conuna unica dimensione (C24,1 ).





Intuizione geometrica: come èottenuta la Componente Principale

Dato lo spazio di rappresentazione degli individui (figura sottostante) di baricentro G.Si cerca il sottospazio che meno «deforma» la d(ei, ei ), ovvero la distanza, per ognicoppia di unità.





Determinazione analitica della primaComponente Principale

La prima Componente Principale, così come le eventuali altre, sono unacombinazione lineare delle variabili della matrice Xn,p

= , + , …..,

Dove= [,…. ,] è un vettore riga a norma unitaria (la somma deiquadrati dei componenti deve essere pari a 1).

Data la generica , i valori che essa assume non sono altro che le coordinate

degli individui nel sottospazio di riferimento individuato da.





Determinazione analitica della primacomponente principale

Si cerca di massimizzare il quadrato del seguente prodotto ′ (proiezionidegli individui, nella figura sottostante Mi sulla prima componente principale,nella figura sottostante 0Hi)






Quindi:

′ = ( ′ ′ ) = ( Σ)

Dove:

Σ=matrice varianze e covarianze di XX=matrice degli scarti

Sub, ovvero sotto il vincolo che abbia norma 1:

’=1

Passando al Lagrangiano: = ( ′′) − λ (’−1)






Derivando il «Lagrangiano» rispetto a siottiene λ (autovalore associato alla primacomponente principale) dal quale si ottiene che:

′= λ Dove rappresenta l’autovettore associato allaprima CP





Determinazione analitica dellesuccessive Componenti Principali

Per le successive Componenti Principali siintroduce un ulteriore vincolo da inserire nelLagrangiano, la condizione di ortogonalità

(incorrelazione, data da ′ =0) degliautovettori. Analiticamente, per la seconda CP = ( ′′) − λ (’−1)−µ





Determinazione analitica dellesuccessive Componenti Principali

Da dove si ottiene

′= λ Per le successive Componenti Principali, la procedura dicalcolo adottata è la stessa vista per la secondaComponente Principale. In generale, quindi, la K-esimacomponente principale sarà data da una combinazionelineare delle variabili contenute in X. I coefficienti diquesta combinazione lineare sono dati dall’autovettorecaratteristico associato all’autovalore ( λ ) dellaComponente Principale calcolata.





Notazione

Le variabili inserite nell’ACP possono esserepreliminarmente standardizzate; in questo casoil generico elemento della matrice Σ , σ, =

1per i = je, = , ≠





Alcune riflessioni

• Le Componenti Principali presentano varianza non crescente infunzione della loro estrazione. Ovvero la prima CP presenta unavarianza non inferiore rispetto alla seconda; la quale a sua voltapossiede una varianza non inferiore alla terza etc..

• Il numero massimo di Componenti Principali individuabili in unamatrice Xn,p è p, patto che X abbia rango almeno pari a p.

• Data la condizione di ortogonalità introdotta a partire dallaseconda Componente Principale, le correlazioni tra le componentiprincipali risulta nulla.

• Data la matrice X, costituita da p vettori colonna i cui elementi sonostandardizzati non è assicurata la piena corrispondenza dei risultatiottenuti rispetto alla matrice X non standardizzata





Alcune riflessioni

• La traccia della matrice varianze e covarianze di X (Σ) risulta pari allasomma delle varianze delle componenti principali (date dagliautovalori associati a ciascuna di esse)

λ = Σ

• Dato che le componenti principali sono, per costruzione, tra di esseincorrelatate, il contributo della singola CP (k-esima ad esempio)alla variabilità complessiva (si veda il punto precedente) è dato da:

∑

=

Dove Σ è la traccia della matrice varianze e covarianze di X





Quanti fattori selezionare? I criteri discelta

Quanti fattori selezionare? Non c’è una rispostaunivoca a questa domanda. Vengono proposti,invece, una serie di criteri per la scelta del

numero di fattori.I principali criteri sono:

• Tassi di inerzia

• Autovalore superiore a 1 (Eigenvalue one)

• Scree test





Criteri di selezione dei fattori: i tassi diinerzia

Dato che λ non è altro che la varianza dellacomponente principale k-esima, inoltre dato chele CP sono tra loro incorrelate, si possonoselezionare le prime k CP a patto che queste«spieghino» almeno l’% ( ) della traccia della matrice varianze ecovarianze di X:

∑ ∑ =∑

> %





Criteri di selezione dei fattori:eigenvalue one

Questo criterio è valido in presenza di variabilistandardizzate, si selezionano CP fino a quandoλ risulta superiore a 1. In quanto la selezione

di una CP con λ , ovvero varianza, inferiore aduno determina un incremento della varianzatotale spiegata inferiore rispetto a quello fornitoda una qualsiasi variabile considerate a se

stante.





Criteri di selezione dei fattori: screetest

Il tasso di inerzia è funzione decrescente, quindiconsideriamo gli autovalori (e quindi le CP)prima del “salto massimo”, visibile dal grafico

chiamato scree plot, ovvero il grafico degliautovalori.





Relazioni tra variabili e CP: il cerchiodelle correlazioni

Il cerchio delle correlazioni è una rappresentazione grafica che si ottieneproiettando i punti della variabile posizionati sull’ipersfera con r =1 sul pianofattoriale. All’interno del cerchio di raggio unitario si collocano tutte leproiezioni dei punti variabile, con coordinate pari alla correlazione dellavariabile rispettivamente con il i-mo e j-mo asse fattoriale. Per conoscerel’importanza di ciascuna variabile rispetto ad un fattore, è sufficienteguardare le sue coordinate: più elevate sono le coordinate, più il punto èvicino sia alla circonferenza e all’asse, più incide nella costruzione dell’assestesso. Generalmente, punti sulla stessa bisettrice hanno stesso coefficientedi correlazione. Per interpretare gli assi, bisogna quindi guardare qualivariabili sono concentrate su una polarità e quali su quella opposta.





Esempio cerchio delle correlazioni: ildataset

Si analizzano i prezzi di listino e le specifiche fisiche di numerose marche e modelli diveicoli. I prezzi di listino e le specifiche fisiche sono state ottenute dal sitoedmunds.com e dai siti dei produttori. Le variabili analizzate sono:Price= prezzo di vendita del modelloMpg= miglia per galloneType= tipologia di veicoloWheelbas= interasse

Length= lunghezzaWidth= larghezzaFuel_cap= capienza del serbatoioCurb_wgt=peso della carlingaEngine_s= pollici cubi del motoreHorsepower= cavalli vaporeResale= prezzo di rivendita a 4 anni dall’acquistoSales= ammontare delle vendite in migliaia di $Le unità analizzate sono 157.





Relazioni tra variabili e CP: il cerchiodelle correlazioni





Dal cerchio delle correlazioniall’interpretazione del fattore

Per quanto concerne il ruolo delle variabili, sianalizza sul cerchio delle correlazioni e siconsiderano le variabili che presentano elevativalori di correlazione con i fattori.

Per ogni fattore si considerano le correlazionicon le variabili che sono più elevate in valoreassoluto rispetto a quelle mostrate con gli altrifattori, al fine di attribuire un significato

(«battezzare») il fattore stesso.





Il contributo dell’individuo all’assefattoriale k-esimo

Per quanto riguarda gli individui è interessante valutarequanto un individuo contribuisce alla spiegazione dellavariabilità di un asse fattoriale.Dato che è dato dalla somma dei quadrati delle coordinatedi ciascun «punto individuo» ( ) con un peso

(generalmente esso è pari a ) ovvero = ∑ allora è possibile cacolare il contributo assolutodell’individuo all’asse fattoriale k-esimo:

=

Dove := è la proiezione dell’individuo j-esimo





Contributo relativo della variabileall’asse fattoriale k-esimo

Allo stesso modo è possibile calcolare ilcontributo della variabile rispetto all’assefattoriale k.

Il contributo assoluto indica quanto l’j-esimavariabile ha contribuito alla costruzione del k-esimo asse fattoriale ovvero, posto che il k-esimo asse è quello che rende massima lasomma dei quadrati dei coeff di correlazione tra

variabili ed asse k-esimo .





Contributo relativo della variabileall’asse fattoriale k

Quindi:

= ( ,)

Dove ( ,) indica il quadrato dell correlazione trala variabile i-esima e il fattore k-esimo.

Per questa ragione il contributo assoluto della variabile i-esimo può essere calcolato come:

= (

,

)





Il contributo relativo

Generalmente è utile conoscere la qualità dirappresentazione di un punto, o di un individuo, sugli assifattoriali, ossia «quanto» un’ asse ha contribuito allaricostruzione del punto ( o dell’individuo).

Il rapporto tra la norma riprodotta sull’asse fattoriale, e lanorma originaria del vettore associato all’elemento i-mo,fornisce questa informazione.

Questo rapporto è in genere uguale al coseno dell’angoloformato tra il vettore rappresentativo dell’elemento e

asse fattoriale relativo CP k-esima.





L’ACP nello spazio delle variabili

Piuttosto che rappresentare gli individui in unospazio a k<p dimensioni (data Xn,p ) si può essereinteressati a ridurre di etichette checaratterizzano gli individui, in modo da

rappresentare le variabili in uno spazio j<n.Anche in questo caso si cerca il sottospazio diriferimento che massimizzi la sommatoria alquadrato delle distanze delle proiezioni

dall’origine.



Esempio Principal Component





Base dati

Si consideri la matrice X(10,2) (si veda l’esercizio svoltonel primo item a proposito della c.d. collettività b, slide23)

2 1

2 1

2 24 1

4 2

4 2

4 3

6 2

6 3

6 3

media 4 2

dev. Standard 1, 63299 0, 81650





Matrice standardizzata

• A ciascun componente si sottrae la media, percolonna, e si rapporta ciascun differenziale alladeviazione standard, di colonna.

-1,225 -1,225-1,225 -1,225

-1,225 0,000

0,000 -1,225

0,000 0,000

0,000 0,000

0,000 1,225

1,225 0,000

1,225 1,225

1,225 1,225

media 0 0

dev. Standard 1,00000 1,00000

D ll i d li S i ll i





Dalla matrice degli Scarti alla matricevarianze e covarianze

La matrice degli scarti coincide, siccome operiamo con una matricestandardizzata (e quindi a media 0), corrisponde alla matrice standardizzata

-1,225 -1,225-1,225 -1,225

-1,225 0,000

0,000 -1,225

0,000 0,000

0,000 0,000

0,000 1,225

1,225 0,000

1,225 1,225

1,225 1,225

media 0 0

dev. Standard 1,00000 1,00000






∑=X’ X x x

- 1, 225 -1, 225 -1, 225 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 1, 225 1, 225 1, 225

-1, 225 -1, 225 0, 000 -1, 225 0, 000 0, 000 1, 225 0, 000 1, 225 1, 225

-1,225 -1,225

-1,225 -1,225

-1,225 0,000

0,000 -1,225

0,000 0,000

0,000 0,000

0,000 1,225

1,225 0,000

1,225 1,225

1,225 1,225

1

− 1





Matrice di Correlazione e Varianze eCovarianze

La traccia è la somma delle componenti della diagonale principale, in questo caso 2.

1,0000 0,6667

0,6667 1,0000





La ricerca degli autovalori

Gli autovalori sono dati dalla risoluzione della seguente relazione:

1 − 0,66670,6667 1 − = − 2+0,5556=0

La specifica funzionale è ++c=0

L’equazione di secondo grado ammette due soluzioni se

Δ> 0,

Δ=

-

4ac=1,7777le due soluzioni saranno:

, =∓

; =1,6666; = 0,33333





La ricerca degli autovettori per Una volta individuati gli autovalori è opportuno individuare gli autovettoriassociati agli autovalori. Gli autovalori sono individuati secondo quantosegue:

• Si considera l’autovalore in funzione del quale si cerca l’autovettore, inquesto caso =1,6666 e lo si sostituisce in questa matrice

1

− 0,6667

0,66667 1 − chediventa −0,6667 0,66667

0,66667 −0,6667

• Si moltipica la matrice di cui sopra per le componenti dell’autovettore ()che ora sono incognite:

−0,6667 0,666670,66667 −0,6667

x,, =0 da cui si ricava il seguente sistema di

equazioni (Prossima slide)





La ricerca degli autovettori per −0,6667, + 0,6667, = 0

0,6667, − 0,6667, = 0

Ipotizzando che ,=1 , ,=1

Tuttavia il vettore individuato(= 1; 1 ) non ha norma 1(ovvero la somma deiquadrati delle componenti), quindi non rispetta le condizioni enunciate per la

ricerca della C.P.. Per normalizzare l’autovettore () si procede al calcolo dellanorma di come ∗ ’= ottenendo come valore 2

A questo punto di rapporta ciascun componente di alla radice quadratadella norma di

, 2 in questo caso. Ottenendo

la cui norma è 1

1 1 1

1

0,707106781

0,707106781





Il punteggio sulla Prima ComponentePrincipale

A questo punto per calcolare i punteggi degliindividui sulla componente principale bastamoltiplicare la matrice standardizzata per gli

l’autovalore individuato

x =

Valori, per ciascunindividuo, della Primacomponente principale

La varianza della C.P. è paria ovvero a 1,6666!!!

-1,225 -1,225

-1,225 -1,225

-1,225 0,000

0,000 -1,225

0,000 0,000

0,000 0,000

0,000 1,225

1,225 0,000

1,225 1,225

1,225 1,225

0,707106781

0,707106781

-1,73205081

-1,73205081

-0,8660254

-0,8660254

0

0

0,866025404

0,866025404

1,732050808

1,732050808





La seconda Componente Principale

Per il calcolo del punteggio della secondaComponente Principale si segue il processoprecedentemente illustrato riferito alla prima

Componente Principale.Nelle successive slide sarà illustrato ilprocedimento per il calcolo della secondaComponente Principale






• Si considera l’autovalore in funzione del quale si cerca l’autovettore, inquesto caso =0,3333e lo si sostituisce in questa matrice

1

− 0,6667

0,6667 1 − chediventa0,6667 0,66670,6667 0,6667


0,6667 0,66670,6667 0,6667

x,

, =0 da cui si ricava il seguente sistema di equazioni

(Prossima slide)





La ricerca degli autovettori per 0,6667, + 0,6667, = 0

0,6667, + 0,6667, = 0

Ipotizzando che ,=1 ,=-1

Tuttavia il vettore individuato(= 1;−1 ) non ha norma 1(ovvero la sommadei quadrati delle componenti), quindi non rispetta le condizioni enunciate

per la ricerca della C.P.. Per normalizzare l’autovettore () si procede alcalcolo della norma di come x ’= ottenendo come valore 2



la cui norma è 10,707106781

-0,70710678

1 1 -1

-1





Il punteggio sulla SecondaComponente Principale

A questo punto per calcolare i punteggi degliindividui sulla componente principale bastamoltiplicare la martrice standardizzata per gli

l’autovalore individuato

x =


La varianza della C.P. è pari

a ovvero a 0,33333!!!

-1,225 -1,225

-1,225 -1,225

-1,225 0,000

0,000 -1,225

0,000 0,000

0,000 0,000

0,000 1,225

1,225 0,000

1,225 1,225

1,225 1,225

0,707106781

-0,70710678

0

0

-0,8660254

0,866025404

0

0

-0,8660254

0,866025404

0

0





Osservazioni

Dall’individuazione dei due autovettori si puòosservare la condizioni di ortogonalità

0,70711

-0,7071

0,70711

0,707104

Primo Autovettore Secondo Autovettore

=





Domande

Ogni volta che bisogna calcolare una C.P.bisogna seguire questo processo?

Se il numero delle variabili o delle osservazioni

aumentasse, sarebbe ancora gestibile comeprocesso?

La risposta è si, ci sono dei software che seguono la procedura illustrata in queste slideIn modo automatico. Questi software come Spss o Spad riescono a gestire anche grossiquantitativi di dati input





Stesso esempio risolto su SPSS 13.0

• Si caricano gli input (matrice standardizzata);





Spss





Spss

• Cliccate su «Extraction»





Spss

Poi cliccate su OK

Negli output troverete

Autovalori,come calcolati

nell’esempio

Total Variance Explained

1,667 83,333 83,333 1,667 83,333 83,333

,333 16,667 100,000 ,333 16,667 100,000

Component

1

2

Tot al % of V ar ia nce Cum ulat iv e % Tot al % of V aria nc e C um ulat iv e %

I nit ial Eigenv alues Ex trac tio n Sum s of S qu ared Loa dings

Extraction Method: Principal Component Analysis.





Punteggi fattoriali

I punteggi delle nuove Componenti principaliFAC_1 e FAC_2 sono uguali a quelle calcolatenell’esempio diviso la radice quadra di

-1,73205081

-1,73205081

-0,8660254

-0,8660254

0

0

0,866025404

0,8660254041,732050808

1,732050808

-1,341641

-1,341641

-0,67082

-0,67082

0

0

0,6708204

0,67082041,3416408

1,3416408





CP in Eviews





CP e confronto con laregressione/correlazione lineare

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

-2 -1 0 1 2

Component 1 (83.3%)

C o m p o e n 2 ( 1 6 . 7 )

Scores (Orthonormal Loadings) Variabili nello spazio originario





CP1 CP1^2 CP2 CP2^2

-1,83 3,33 0 0,00

-1,83 3,33 0 0,00

-0,91 0,83 0,912871 0,83

-0,91 0,83 -0,91287 0,83

0,00 0,00 0 0,000,00 0,00 0 0,00

0,91 0,83 0,912871 0,83

0,91 0,83 -0,91287 0,83

1,83 3,33 0 0,00

1,83 3,33 0 0,00

Sum 16,666666666667 3,333333333333

1,67 0,33 2,00

t eorico_Y_X t eorico_Y_X 2̂ t eorico_X_Y t eorico_X_Y^2

-0,8607 0,7407 -0,8607 0,7407

-0,8607 0,7407 -0,8607 0,7407

-0,8607 0,7407 0,0000 0,0000

0,0000 0,0000 -0,8607 0,7407

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,0000 0,0000 0,8607 0,7407

0,8607 0,7407 0,0000 0,0000

0,8607 0,7407 0,8607 0,7407

0,8607 0,7407 0,8607 0,7407

4,4444 4,4444

0,4444 0,4444 0,8889



Esempio Principal Component





Base dati

Si consideri la matrice X(5,2)

1 3

3 3

3 5

5 5

4 6

Medie 3,2 4,4

Dev. Standard 1,48324 1,341641





Matrice standardizzata

• A ciascun componente si sottrae la media, percolonna, e si rapporta ciascun differenziale alladeviazione standard, di colonna.

-1, 48324 -1,04350

-0, 13484 -1,04350

-0,13484 0,44721

1,21356 0,44721

0,53936 1,19257

Medie 0 0

Dev. Standard 1 1

Dalla matrice degli Scarti alla matrice






La matrice degli scarti coincide, siccome operiamo con una matricestandardizzata (e quindi a media 0), corrisponde alla matrice standardizzata

-1, 48324 -1,04350

-0, 13484 -1,04350

-0,13484 0,44721

1,21356 0,44721

0,53936 1,19257

Medie 0 0

Dev. Standard 1 1

ll d l ll






∑=X’ X

-1,483 -1,043

-0,135 -1,043

-0,135 0,447

1,214 0,447

0,539 1,193

-1,48324 -0,13484 -0,13484 1,21356 0,53936

-1,0435 -1,0435 0,447214 0,447214 1,19257 x x

1

− 1

M i di C l i V i





Matrice di Correlazione e Varianze eCovarianze

1,0000 0,7035

0,7035 1,0000

traccia 2,00000

La traccia è la somma delle componenti della diagonale principale, in questo caso 2.





La ricerca degli autovalori

Gli autovalori sono dati dalla risoluzione della seguente relazione:

1 − 0,70350,7035 1 − = − 2+0,50506=0

La specifica funzionale è ++c=0

L’equazione di secondo grado ammette due soluzioni se Δ > 0,Δ = -

4ac=1,9797 le due soluzioni saranno:

, =∓

; =1,70352; = 0,29648







1

− 0,7035

0,7035 1 − chediventa −0,70352

0,7035

0,7035 −0,70352


−0,70352 0,70350,7035 −0,70352







La ricerca degli autovettori per −0,70352, + 0,70352, = 0

0,70352, − 0,70352, = 0

Ipotizzando che ,=1 ,=0,999990803

Tuttavia il vettore individuato(= 1; 0,999990803 ) non ha norma 1(ovvero lasomma dei quadrati delle componenti), quindi non rispetta le condizioni

enunciate per la ricerca della C.P.. Per normalizzare l’autovettore () siprocede al calcolo della norma di come x ’= ottenendo come valore 2



la cui norma è 1

1 1 0,999991 = 2,000

0,999991

0,70711

0,707104

Il t i ll P i C t





Il punteggio sulla Prima ComponentePrincipale

A questo punto per calcolare i punteggi degliindividui sulla componente principale bastamoltiplicare la matrice standardizzata per glil’autovalore individuato

-1,483 -1,043

-0,135 -1,043

-0,135 0,447

1,214 0,447

0,539 1,193

x0,70711

0,707104=

-1,78668

-0,83321

0,22088

1,174347

1,224657


La varianza della C.P. è paria ovvero a1,703526471!!!





La seconda Componente Principale

Per il calcolo del punteggio della secondaComponente Principale si segue il processoprecedentemente illustrato riferito alla primaComponente Principale.

Nelle successive slide sarà illustrato ilprocedimento per il calcolo della secondaComponente Principale







1

− 0,7035

0,7035 1 − chediventa

0,70352

0,7035

0,7035 0,70352


0,70352 0,70350,7035 0,70352







La ricerca degli autovettori per 0,70352, + 0,70352, = 0

0,70352, + 0,70352, = 0

Ipotizzando che ,=1 ,=-0,999990803

Tuttavia il vettore individuato(= 1;−0,999990803 ) non ha norma 1(ovverola somma dei quadrati delle componenti), quindi non rispetta le condizioni

enunciate per la ricerca della C.P.. Per normalizzare l’autovettore () siprocede al calcolo della norma di come x ’= ottenendo come valore 2



la cui norma è 1

1 1 -0,99999 = 2,000

-0,99999

0,70711

-0,7071

Il t i ll S d





Il punteggio sulla SecondaComponente Principale

A questo punto per calcolare i punteggi degliindividui sulla componente principale bastamoltiplicare la martrice standardizzata per glil’autovalore individuato

-1,483 -1,043

-0,135 -1,043

-0,135 0,447

1,214 0,447

0,539 1,193

x =


La varianza della C.P. è paria ovvero a 0,296473529!!!

0,70711

-0,7071

-0,31095

0,642515

-0,41157

0,541894

-0,46188





Osservazioni

Dall’individuazione dei due autovettori si puòosservare la condizioni di ortogonalità

0,70711

-0,7071

0,70711

0,707104

Primo Autovettore Secondo Autovettore

=





Domande

Ogni volta che bisogna calcolare una C.P.bisogna seguire questo processo?

Se il numero delle variabili o delle osservazioni

aumentasse, sarebbe ancora gestibile comeprocesso?

La risposta è si, ci sono dei software che seguono la procedura illustrata in queste slideIn modo automatico. Questi software come Spss o Spad riescono a gestire anche grossi

quantitativi di dati input





Stesso esempio risolto su SPSS 13.0

• Si caricano gli input (matrice standardizzata);





Spss





Spss

• Cliccate su «Extraction»





Spss

Poi cliccate su OK

Negli output troverete


1,703 85,167 85,167 1,703 85,167 85,167

,297 14,833 100,000 ,297 14,833 100,000

Component1

2

Tot al % of Variance Cum ulat iv e % Tot al % of Variance Cumulat iv e %

Init ial Eigenv alues Extraction Sum s of Squared Loadings

Extraction Method: Principal Component Analysis .

Autovalori,come calcolati

nell’esempio





Punteggi fattoriali

I punteggi delle nuove Componenti principaliFAC_1 e FAC_2 sono uguali a quelle calcolatenell’esempio diviso la radice quadra di

-1,78668

-0,83321

0,22088

1,1743471,224657

-1,368901

-0,638381

0,1692318

0,8997517

0,9382981





CP in Eviews

Input: matrice stardardizzata dei dati inizialiPrima di effettuare un’analisi in CP, è necessariocreare un gruppo di variabili, in Eviews «unico».

98





Esercizio in Eviews


1,703 85,167 85, 167 1,703 85,167 85,167

,297 14,833 100,000 ,297 14,833 100,000

Component1

2

Tot al % of Varia nce C um ulat iv e % Tot al % of V aria nce C um ulat iv e %

In it ial Eigenv alue s Extractio n Sum s of S qu ared Loa dings

Extraction Method: Principal Component Analy sis.

Spss

Le differenze tra Eviews e Spss: gli





Le differenze tra Eviews e Spss: gliscores

Scores in E views Scores in Spss

La differenza sta nel fatto che rispetto agli scores originali, Eviews standardizza perla deviazione standard della popolazione mentre spss per la deviazione standardcampionaria.



Spss 13.0 for Windows





Apertura Programma

• Apertura programma ( Avviare il programmamediante collegamento sul desk oppure: Start

– Programmi – Spss for Windows)





Apertura file:

• Tipo File Excel:1. File – Open – Data File – Open – Data individuare dov’è

situato il file “Esempio1”- Tipo file ( Tutti i file o excel)

Spuntare la riga perAttribuire a ciascunavariabile il nome contenutonella prima riga





Apertura File (2):

• Aprire File formato (*.sav) File di Spss

File – Open – Data - Cercare i file che sidesiderano aprire es. Cars nella Cartella “Spps

che si apre come default” ( Prima di questaoperazione chiudere e riaprire Spss)





Dizionario Variabili:

Variabiliquantitative

Variabiliqualitative

Unitàstatistiche \ osservate





Modificare Variabili

• Variable View:

Prima colonna: Nome della variabile ( si modificaentrando nella stringa)

Seconda colonna: il tipo di dati che sono inseriti

Terza colonna: l’ampiezza ovvero il numero si spazi checontiene

Quarta colonna: numero di decimali ammessi

Quinta colonna: valore di etichetta





Value Label

• Spss permette di attribuire un valore etichettaper ciascuna variabile;

• Per i caratteri qualitativi ( es. femmina -

maschio; Assente – presente) si è solitiattribuire un valore numerico da associare aduna caratteristica.

• È possibile evidenziarlo spuntando in

In: View – Value Label

( )





Value Label (2)

• Es. in “Cars”; selezionando Value Label daView, nella colonna “Origin” si osservano tremodalità:

1. Americane2. Europee

3. Giapponesi

Come si fa ad attribuire un valore etichetta ad una variabile qualirativa?(continua…

l b l ( )





Value Label (3)

• Percorso:

Variable view – andare nella colonna Valueselezionando la variabile Origin; comparirà

una tabella:Valore dellavariabile (es1,2,3)

Etichetta daattribuire aquel valore

Es. se la variabile Origin assumevalore 1 vuol dire che l’auto èstata prodotta in U.S.A.

b l





Creare una nuova variabile

• Chiamandola “Airbag”

1= Assente

2= Avanti

3= Avanti e lateraleEsempio di Costruzione

i i





Esercizio

• Creare una variabile che accoglie i seguentivalori:

• 1, 2, 3, 4 relativi a 6 Titoli “etichettando”

I seguenti valori nel modo seguente:

1= Trend Rialzista

2= Trend Ribassista

3= Fase Laterale

4= Fase inversione trend

S i i h d i i





Statistiche descrittive:

• Riaprire il file “Cars”

• Per costruire una tabella di frequenza e alcunerappresentazioni grafiche;

• Analize – Descriptive Statistics - Frequencies

T b ll





Tabelle

1. Inserire lavariabile

2. Entrare e

selezionare:Quartili; Media,Mediana; e altremisure didispersione

3. Consente di scegliere iltipo di grafico

4. Ok4. Tabella di

frequenza

O

Statistics

Vehicle Weight (lbs )





OutputVehicle Weight (lbs.)

406

0

2969,56

2811,00

849,827

722206,2

,468

,121

-,752

,242

2222,25

2811,00

3614,75

Valid

Missing

N

Mean

Median

Std. Deviation

Variance

Skewness

Std. Error of Skewness

Kurtosis

Std. Error of Kurtosis

25

50

75

Percentiles

1. StatisticheDescrittive

T b ll di F (P i )





Tabelle di Frequenza (Provenienza auto)Country of Origin

253 62,3 62,5 62,5

73 18,0 18,0 80,5

79 19,5 19,5 100,0

405 99,8 100,0

1 ,2

406 100,0

American

European

Japanese

Total

Valid

SystemMissing

Total

Frequency Percent Valid Percent

Cumulative

Percent

Tabella di

frequenze

Pie Graph

(grafico atorta)

E t i d ll’ O t t





Esportazione dell’ Output

• In Spss c’è la possibilità di esportare il proprioOutput.

Posizionarsi sulla finestra outout

File – esporta –

Fi t di t i





Finestra di esportazione

1. Doveposizionarlo

2. Formatoesportazione(html, xls, txt

C l i





Correlazione

• Tra “miglia per Gallone” e “Potenza dell’auto”;Analize – Correlate - Bivariate - Pearson

Correlations

1 -,771**

,000

398 392

-,771** 1

,000

392 400

Pearson Correlation

Sig. (2-tailed)

N

Pearson Correlation

Sig. (2-tailed)

N

Miles per Gallon

Horsepower

Miles per

Gallon Horsepower

Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed).**.

St d di i bil





Standardizzare una variabile

• Analize - Desciptive statistics - descriptivies

Spuntare edinserire la ole variabili

E i i (2)





Esercizio (2)

• Sul file ‘Cars’ calcolarsi:1. le tabelle di frequenza della variabile “cylinders”

2. Pie chart;

3. Esportare l’output in formato htm sul desk delproprio pc;

4. Calcolare l’indice di correlazione con la variabile“cavalli” ( horse);

5. Esportare l’output in formato txt.

Alcune operazioni su excel





Alcune operazioni su excel

• Matrice inversa, trasposta, operazioni tra matrici• Correlazioni, media, deviazione standard, ecc…

• Attivare dai componenti aggiuntivi “Strumenti di analisi”

• In Office 2007 comparirà in Dati

• Per excel 2003 Strumenti – Componenti Aggiuntivi- Strumenti di Analisi; (

Comparirà in Strumenti – Analisi dei dati);




Open File:





Open File:

1. Aprire la cartella;

2. Aprire “Sample file”;

3. Aprire “Car_sales.sav”

Tabella





Tabella

Select Cases:





Select Cases:

• Cliccare su Data- (in Basso) Selected cases• Serve per selezionare unità statistiche /

osservazioni che soddisfano alcunecaratteristiche

Select Cases (2)





Select Cases (2)

Cliccare sul cerchio vuoto:

“if condition is satisfied”

Select Cases





Select Cases

Condizioni immesse:

L’unità statisica deve averecome type la modalità 1(truck)

Condizioni immesse:

L’unità statisica deve averesales maggiore di 100

Analisi dei Cluster: Gerarchici





Analisi dei Cluster: Gerarchici

Solo sulle unità statisticheche soddisfano lecondizioni date!!!!

Cluster Gerarchici





Cluster GerarchiciSi inseriscono le variabili

( non quellestandaridizzate)

Si inserisce

l’etichetta delleUnità statistiche

Ci si riferisce alla unità

statistiche

Cluster gerarchici: Plot





Cluster gerarchici: Plot

Dendogramma;

Per tutti i Cluster

Cluster gerarchici: Metod





Cluster gerarchici: Metod

Metodo dellegame singolo

Distanza

Standardizza le

variabili(quando sistandardizza)

Cluster: Output(1)





Cluster: Output(1)

Agglomeration Schedule

4 9 2,491 0 0 6

2 5 7,280 0 0 5

1 8 7,536 0 0 7

3 7 7,581 0 0 5

2 3 7,714 2 4 6

2 4 12,095 5 1 8

1 6 14,178 3 0 8

1 2 16,771 7 6 0

Stage

1

2

3

4

5

6

7

8

Cluster 1 Cluster 2

Cluster Combined

Coefficients Cluster 1 Cluster 2

Stage Cluster First

Appears

Next Stage

Nel menù Cluster era presente in

“Statistic” come default

4 e 9 sono i primi Cluster con uncoefficiente di distanza pari a2,49

Questo gruppo lo ritroveremo

nella fase 6 ( si aggrega con 2il quale a sua volta si eraaggregato con 5 nella fase 2con 3 nella fase 5)

Cluster: Output (2)





Cluster: Output (2)

Vertical Icicle

X X X X X X X X X X X X X X X X X

X X X X X X X X X X X X X X X X

X X X X X X X X X X X X X X X

X X X X X X X X X X X X X X

X X X X X X X X X X X X X

X X X X X X X X X X X X

X X X X X X X X X X X

X X X X X X X X X X

Number of clusters

1

23

4

5

6

7

8

9 : G r a n d C h e r o k e e

4 : E x p l o r e r

7 : R a n g e r

3 : C a r a v a n

5 : W i n d s t a r

2 : D a k o t a

6 : E x p e d i t i o n

8 : F - S e r i e s

1 : R a m P i c k u p

Case

Codice per ciascun case ( unitàstatistica)

Ghiacciolo Verticale

Ci dice che Dakota ed Expeditionsi uniscono per uno “stage”

Cluster Output: dendogramma





Cluster Output: dendogramma

Come determinare

il numero diCluster

Esercizio





Esercizio

Sullo stesso file selezionare le unità statistichecon le seguenti condizioni Type=0

Sales maggiore di 100

• Criterio di Ward.• Esportare in html il file sul desk top.

• Commentare i risultati.

Cluster K mean





Cluster K mean

K mean menù





K mean menù

Si inserisce

l’etichetta delleUnità statistiche

Si inseriscono le variabili

(quelle standaridizzate)

Numero ClusterSpuntare questa

K mean: Iterate





K mean: Iterate

K mean: Option





K mean: Option

Informazioni per

Ogni unitàstatistica

K mean: save





K mean: save

Spuntare lecaselle

OK!!

K mean output(1)





K mean output(1)

Iteration Historya

,312 ,852 ,780 ,427 ,000

,104 ,284 ,260 ,142 ,000

,035 ,095 ,087 ,047 ,000

,012 ,032 ,029 ,016 ,000

,004 ,011 ,010 ,005 ,000

,001 ,004 ,003 ,002 ,000

,000 ,001 ,001 ,001 ,000

,000 ,000 ,000 ,000 ,000

4,76E-005 ,000 ,000 6,51E-005 ,000

1,59E-005 4,33E-005 3,97E-005 2,17E-005 ,000

Iteration1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 2 3 4 5

Change in Cluster Centers

Iterations stopped because the maximum number of iterations

was performed. Iterations failed to converge. The maximum

absolute coordinate change for any center is 2,99E-005. The

current iteration is 10. The minimum distance between initial

centers is 3,148.

a.

K mean: output(2)





K mean: output(2)

Cluster Membership

Ram

Pickup1 ,468

Dakota 2 1,277

Durango . .

Caravan 3 1,171

Explorer 4 ,641

Windstar 3 1,171Expeditio

n5 ,000

Ranger 2 1,277

F-Series 1 ,468

Grand

Cherokee4 ,641

Case Number41

44

45

46

53

5455

56

57

70

Model Cluster Distance

Distanza dal

centro ( Ladistanza èeuclidea)

K mean: output(3)





K mean: output(3)

Distances between Final Cluster Centers

5,052 4,804 5,660 3,306

5,052 2,555 3,685 5,210

4,804 2,555 2,846 3,911

5,660 3,685 2,846 3,754

3,306 5,210 3,911 3,754

Cluster1

2

3

4

5

1 2 3 4 5

Number of Cases in each Cluster

2,000

2,000

2,000

2,000

1,000

9,000

1,000

1

2

3

4

5

Cluster

Valid

Missing

Esercizio





Esercizio

• Aprire il file Telco_extra.sav che si trova nellacartella “sample_file”;

• Con le variabili standardizzate e conun’iterazione di 20 ottenere 3 Cluster.

• Esportare il file in formato *.txt sul propriodesk.




A.C.P.: open





A.C.P.: open

File – Open –Data – aprire “car_sales” nella cartella “sample file” in “tutorial”





A.C.P: maschera





asc e a

Inserire la variabilinonstandardizzate (ovvero escluderele Z score del file)

A.C.P: extraction





Inserire comemetodo “PrincipalComponent”

Corralation Matrixse i caratteri sonomisuratidiversamente

Spuntare pervisualizzare ilgrafico degliautovalori

Sarannoselezionate quelle

componentiprincipali conautovalorisuperiori a 1

A.C.P: rotation





Massima varianza:criterio diindividuazione diautovalori eautovettori

A.C.P: scores





Salva la C.P. comese fosse unavariabile

Salva comevariabili diregressione

Lasciare la casella

vuota

A.C.P: output





p

Communalities

1,000 ,408

1,000 ,866

1,000 ,928

1,000 ,914

1,000 ,808

1,000 ,9091,000 ,858

1,000 ,780

1,000 ,910

1,000 ,887

1,000 ,865

1,000 ,850

Sales in thousands

4-year resale value

Vehicle type

Price in thousands

Engine size

HorsepowerWheelbase

Width

Length

Curb weight

Fuel capacity

Fuel efficiency

Initial Extraction


Varianza iniziale:1 se si usa lamatrice dicorrelaione

Varianza spiegatadalle componentiprincipali ( valoricompresi tra 0 e 1se si usa la

matrice dicorrelazione)

Le C.P. sonoselezionate inbase al valoresogliadell’autovalore

A.C.P: Output (2)





p ( )


6,153 51,275 51,275 6,153 51,275 51,275 3,838 31,982 31,982

2,652 22,101 73,376 2,652 22,101 73,376 3,706 30,884 62,866

1,179 9,825 83,201 1,179 9,825 83,201 2,440 20,336 83,201

,740 6,164 89,366

,429 3,576 92,942

,254 2,113 95,054

,193 1,612 96,667

,132 1,100 97,766

,120 ,999 98,765

,074 ,614 99,379

,053 ,438 99,818

,022 ,182 100,000

Component1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Total % of Variance Cumulative % Total % of Variance Cumulative % Total % of Variance Cumulative %

Initial Eigenvalues Extraction Sums of Squared Loadings Rotation Sums of Squared Loadings


Autovalori

Varianza spiegata dalla C.P.

Varianzacumulata,

perché sisomma

Dati relativi allesole componentiprincipaliselezionate

A.C.P: grafico autovalori





g

A.C.P: output (3)





p ( )

Component Matrix a

,110 ,620 ,105

,522 -,765 -,088

,384 ,489 -,737

,645 -,706 -,007

,869 -,211 ,090

,775 -,535 ,149

,677 ,584 ,243

,802 ,240 ,280,713 ,391 ,499

,929 ,124 -,096

,863 ,213 -,275

-,856 -,038 ,340

Sales in thousands

4-year resale value

Vehicle type

Price in thousands

Engine size

Horsepower

Wheelbase

WidthLength

Curb weight

Fuel capacity

Fuel efficiency

1 2 3

Component


3 components extracted.a.

Correlazione conla C.P.

A.C.P.: output (4)





p ( )

Analogia con ilcerchio dellecorrelazioni

Esercizio 1:





A.C.P sul file Cars ( cartella default):1. Autovalori con valore superiore a 1,5;

2. Method: varimax;

3. Salvare le C.P. come variabili;4. Esportare l’output in formato html sul desk.

Esercizio 2: cluster su A.C.P.



• Selezionare le unità statistiche che hannocome modalità del carattere type=1;

• Fare Cluster ( gerarchici) sulle C.P.:

1. Legame singolo;

2. Distanza “squared euclidean”3. Esportare il file in formato html

4. Commentare i risultati.

calcolomatriciale e acp

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