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Calcul en fatigue des structures métalliques

1. Introduction

1.1 Historique de la fatigue

1.2 Endommagement par fatigue

1.3 Rappel des charges

2. Types de dimensionnement

2.1 Concept SAFE-LIFE

2.2 Concept FAIL-SAFE

3. Concept de tolérance au dommage (TAD) :

3.1 Diagramme de propagation : structure à un seul chemin d’efforts (SAFE LIFE)

3.2 Diagramme de propagation : structure FAIL-SAFE à chemins d’efforts multiples

3.3 Capacité de résistance d’une structure TAD

4 Représentation de la fatigue

4.1 Définitions

4.2 Différents types de sollicitation

4.3 Principaux paramètres influant sur la fatigue

5. Courbes d’endurance

5.1 Courbes de Wöhler

5.2 Les différents domaines d’endurance

5.3 Approche locale

5.4 Modélisation simplifiée des courbes de Wöhler

Dimensionnement en fatigue - initiation en fatigue - courbes d’endurance


6. La phase de propagation

6.1 Identification de la phase de propagation

6.2 Transition amorçage / propagation

6.3 Phase de propagation stable

7. Propagation des fissures en fatigue

7.1 Introduction

7.2 Lois de propagation

7.3 Propagation sous spectre complexe, phénomène de retard

8. Calcul du nombre de cycles de propagation d’une fissure

8.1 Introduction

8.2 Principe de calcul de la durée de propagation

8.3 Exemple d’application

9. Programme d’inspection sur les structures métalliques aéronautiques

9.1 Concept général de tolérance aux dommages

9.2 Différents types d’inspection

9.3 Programme de maintenance

10. Rappels de la mécanique linéaire de la rupture

10.1 Objectifs de la mécanique de la rupture

10.2 Facteur d'intensité de contrainte

10.3 Influence de l’épaisseur sur la valeur critique du facteur d ’intensité de contrainte

Propagation d’une fissure en fatigue - courbe R


11. Courbe R

11.1 Concept de courbe R

11.2 Utilisation des courbes R

12. Calcul sous spectre

12.1 Définitions

12.2 Exemples

12.3 Le ‘Rainflow’ : méthode de décomposition du spectre

12.4 Application du ‘Rainflow’

13. Endommagement par fatigue

13.1 Définition

13.2 Evolution

13.3 Paramètres physiques assimilables au dommage

14. Cumul linéaire du dommage (règle de Miner)

14.1 Définition

14.2 Exemple

14.3 Application

14.4 Solution proposée

15. Cumul non linéaire du dommage

15.1 Exemple

15.2 Solution proposée

Résistance résiduelle d’une structure fissurée - Cumul du dommage en fatigue

Cumul du

dommage en

fatigue

1. Introduction

1.1 Historique de la fatigue

Dates importantes :

Avant les années 40 : Le phénomène de fatigue des matériaux métalliques n ’est pas pris en compte dans la

conception des structures aéronautiques. Celle-ci ne repose que sur l ’expérience acquise.

Les nombreux accidents dus à la fatigue des matériaux ont fait évoluer la recherche et la réglementation :

1954 COMET1 : rupture en fatigue du fuselage pressurisé (mise en service : 1952)

1977 B707 : crique sur le longeron arrière de l ’empennage

1977 B737 : Décompression explosive suite à une rupture structurale du fuselage.

Connaissances sur la fatigue :

1854 Braithwite : « Fatigue des métaux »

1858 Wöhler : « Limite d ’endurance »

1920 Griffith : Père de la mécanique de la rupture :

1945 Miner : Fatigue cumulative

1960 Paris : Loi de propagation : da/dN

Conséquences :

1978 : Introduction de la Tolérance aux dommages dans la réglementation des avions civils.

AK

1.2 Endommagement par fatigue

Lorsqu’une structure métallique est soumise à des sollicitations mécaniques répétées, la matière la constituant se

dégrade :

- rupture de liaisons atomiques,

- puis glissements du réseau cristallin en raison de dislocations coin ou vis.

Dislocation coin : Dislocation vis :

1 - Plastification locale de certains grains du matériau : phase d’apparition des micro-fissures.

2 - Création de micro-fissures : phase de nucléation des micro-fissures.

3 - Réunion des micro-fissures puis formation d ’une fissure macroscopique : phase de coalescence

des micro-fissures.

4 - Au-delà d ’une taille critique, la fissure se propage dans un plan perpendiculaire à la direction de la

contrainte principale maximale de traction : phase de propagation.

Objectif d’un calcul de fatigue :

Obtention d’une durée de vie (nombre de cycles à rupture) correspondant à l’ensemble des 4 phases.

Les trois premières phases correspondent à la l’initiation.

La dernière phase correspond à la phase de propagation.

Initiation et propagation d’un dommage en fatigue :

Objectif d’un calcul de mécanique de la rupture :

Détermination de la vitesse de propagation d’une fissure de taille supérieure à 0.1 mm environ.

Importance relative : amorçage / propagation :

D NR

Na / NR 0 50 100

NR D

1.3 Rappel des charges

L’ensemble des structures doit être justifié en fonction des 2 types de cas de charge suivants :

1. Cas statique :

- Pression cabine ‘seule’ :

La pression de justification correspond à 2 fois la pression du clapet de surpression.Dans ce cas, aucune

autre charge n’est appliquée.

- Charge mécanique + Pression cabine :

Les valeurs de justification correspondent aux Charges Extrêmes. La charge extrême de pression cabine

correspond à 1.5 fois la valeur du clapet de surpression.

La Charge Limite correspond à un taux d’occurrence de 1 au cours de la vie de l ’avion (1 fois / 50000 hdv).

La Charge Extrême correspond à 1.5 fois CL et un taux d’occurrence de 1/109 hdv.

2. Cas de fatigue :

- Les charges appliquées correspondent aux charges réelles obtenues en vol stabilisé à n = 1g + des sollicitations

réellement rencontrées à chaque vol (rafales).

La contrainte de référence correspond à la contrainte maximale appliquée pendant un vol.

La contrainte équivalente correspond à une charge appliquée une fois par vol et correspondant à un

endommagement équivalent à l’ensemble des contraintes réelles de vol.

Exemple : mission type pour un intrados de voilure :

t

roulement vol atterrissage roulement

1 vol

max

min

N 1

Vie avion

éq

N 1

La contrainte équivalente est fonction de la charge à n = 1 et du type de spectre :

- pour un intrados de voilure ou d ’un caisson de voilure, on a :

- pour un cas de pression cabine, on a :

21

néq

1

néq

Détermination de la contrainte équivalente admissible :

Cette contrainte dépend :

- du type de matériau (aluminium, titane, acier ...)

- de la géométrie (trou de fixation, trou de visite, congé …)

- des paramètres métallurgiques (traitement thermique, chimique, …)

- des paramètres de montage (expansion, interférence)

- du type de sollicitation mécanique (flexion, effort transféré par une fixation, …)

De nombreux essais sont nécessaires pour quantifier l ’influence de tous ces paramètres.

Ordres de grandeur :

Aluminium de type 2024 utilisé pour un intrados de voilure,

Cas de ressource à 2.5 g (CL) et rafale 10ft/s (équivalent à une perturbation d’environ 0.2 g)

Les niveaux de charges et les contraintes sont environ :

Charge Extrême : Contrainte admissible : 280 Mpa

Charge Limite : 2.5 g Contrainte admissible : 187 Mpa

Charge équivalente : Contrainte admissible : 112 Mpa

Charge n = 1 + 10 ft/s : Contrainte admissible : 67 Mpa

Charge n = 1g : Contrainte admissible : 56 Mpa

Cette charge correspond à une masse avion moyenne et donc inférieure à MTOW.

Pour MTOW, la charge de fatigue n = 1g serait alors environ : Contrainte admissible : 74 Mpa

2. Types de dimensionnement

2.1 Concept SAFE-LIFE :

Elément dimensionné pour une ‘durée de vie sûre’

- La durée de vie démontrée pour le concept Safe-Life est de 5 vies avion

Dimensionnement utilisé pour des structures à chemin de passage des efforts unique

- exemple : ferrure de mât réacteur, atterrisseurs

2.2 Concept FAIL-SAFE :

La rupture partielle d’un élément n’entraîne pas de conséquence catastrophique et permet une

tenue statique à kCL

Dimensionnement utilisé pour des structures :

- à chemin de passage des efforts multiples (2 ou plus)

ou

- comportant des arrêts de crique

ou

- en attente (ne fonctionnant pas en temps normal).

Passage des efforts à chemins multiples :

Chape Plusieurs éléments chargés différemment

Deux éléments également chargés

Structures avec arrêts de criques :

Jonctions de fuselage

avec arrêt de crique en titane

Longeron AR de voilure

Réf. Cadre

Lisse

Lisse

Éclissage longitudinal

Arrêt de crique

intégré (7075)

Arrêt de crique

rapporté (TA6V)

3. Concept de tolérance au dommage (TAD) :

Défauts d ’origine :

- accidentelle

- environnement

- fatigue

Repérage à temps

pour tenue > CL

et

réparation pour une

tenue à CE

Diagramme de

propagation

Inspections

périodiques

3.1 Diagramme de propagation : structure à un seul chemin d’efforts (SAFE LIFE)

ad

a

Dimension du défaut

Valeur sûre de

crique détectable Taille critique

à CL

Structure non TAD

Structure TAD

Taille critique

à CL

N0 Nc

NI Calcul de I : 2

0NcN

I

Nvols

I : intervalle d ’inspection

3.2 Diagramme de propagation : structure FAIL-SAFE à chemins d’efforts multiples

ad

a

Dimension du défaut

Valeur sûre de

crique détectable

Taille critique

à CL

Taille critique

à CL

N0 Nc

NI Calcul de I : 2

0NcN

I

N1

Taille critique

à CL

Nvols

Elément 1 Elément 2 ou 3


3.3 Capacité de résistance d’une structure TAD

CE

Capacité de

la structure

Défaut détectable en

CND (1 à 2 mm)

Calcul de I si CND

Réparation après détection

Temps en service

CL

Défaut détectable en C.

visuel (10 à 20 mm)

Calcul de I si C. visuel

Charges normales en service


4 Représentation de la fatigue

4.1 Définitions :

Caractéristique de fatigue couples [ , NR]

Contrainte admissible = f ( durée de vie )

Contraintes d ’essai : max amplitude maxi

m amplitude moyenne

a composante alternative

Chargement sinusoidal :

} essais diagrammes

max

m

min

a t

max

min

R

tam sin

4.2 Différents types de sollicitation :

Alternée symétrique : m = 0 R = -1

Alternée dissymétrique : - a < m < a

-1 < R < 0

Répétée : m = ± a R = 0

Ondulée | m | > a 0 < R < 1

t

t

t

t

4.3 Principaux paramètres influant sur la fatigue

4.3.1 Paramètres d’ordre métallurgique

Taille des grains :

En général, les structures à grains fins présentent une meilleure tenue en fatigue.

Orientation du fibrage par rapport à la direction des efforts :

Le sens long (orientation général des grains) confère au matériau des caractéristiques meilleures, en statique et

en fatigue, par rapport au sens travers.

Taux d’écrouissage :

L’écrouissage provenant des opérations de formage consolide le matériau (augmentation de la limite élastique)

et améliore donc la tenue en fatigue.

Traitement thermique :

Adoucissement du matériau Amélioration de la tenue en fatigue

Durcissement du matériau Détérioration de la tenue en fatigue

Santé métallurgique :

Les défauts métallurgiques (inclusions, précipités, lacunes …) peuvent être à l ’origine d ’un endommagement

par fatigue.

4.3.2 Paramètres d’ordre mécanique et géométrique

Nature du chargement (dans le cas d’un spectre monotone) :

- Forme du signal : un signal de type ‘carré’ est plus pénalisant qu ’un signal de type sinusoïdal.

- Le rapport R : à contrainte maximale constante, une augmentation du rapport R entraîne une

augmentation de la durée de vie.

- La contrainte moyenne : à amplitude constante, une augmentation de la contrainte moyenne entraîne

une diminution de la durée de vie.

- La flexion : Le niveau de flexion locale peut nettement diminuer la durée de vie d’une pièce

(éclissage de lisse de fuselage).

- Fréquence : La fréquence n ’a une influence sur la fatigue que dans les cas suivants :

- échauffement (en cas de fréquence élevée),

- conditions corrosives,

- fluage du matériau.

Pour un spectre complexe (chargements variables) :

- Surcharges : la répartition périodique de surcharges peut retarder la propagation de fissures.

- L’ordre d ’apparition des cycles : le chargement 1 est plus pénalisant

que le chargement 2.

Chargement 1 Chargement 2

Accident de forme : entailles, trou, rayon de raccordement ...

Augmentation locale du niveau de contrainte

Coefficient de surcontrainte élastique Kt : rapport entre la contrainte locale maximale et la contrainte à

l ’infini.

Plus le Kt est élevé, plus la durée de vie est faible.

x

max

netteSnettK max

Coefficient de sensibilité à l ’entaille : q

avec : et :

q = 0 Kf = 1 Matériau pas sensible à l’entaille

q = 1 Kf = Kt Pas d’adaptation Matériau très sensible à l’entaille

entailléeéprouvetteD

lisseéprouvetteD

fK

bruttK

max

1

1

tK

fK

q

Effet d’échelle :

A même niveau de contrainte, plus les dimensions d ’une pièce croissent, plus sa résistance à la fatigue

diminue. (La probabilité d ’avoir des défauts métallurgiques augmente avec la taille de la pièce).

Usinage :

Les fissures de fatigue apparaissent en général en surface du matériau, d ’où nécessité de prendre en compte :

- la rugosité : une faible rugosité (diminution des surcontraintes) améliore la tenue en fatigue

- les contraintes résiduelles : des contraintes résiduelles de traction accélèrent l ’endommagement en fatigue

en se superposant aux contraintes mécaniques de traction.

4.3.3 Paramètres d ’ordre technologique

L ’obtention, lors de la mise en œuvre, de contrainte résiduelle de compression en surface permet d ’améliorer

la tenue en fatigue. (Ces contraintes sont équilibrées par des contraintes de traction en profondeur).

Les procédés utilisés sont les suivants :

- shot penning : bombardement de la surface par des micro-billes,

- expansion des alésages : avant montage d’une fixation, expansion du trou à l’aide d’un brunissoir,

- interférence : les fixations sont montées avec un je négatif.

4.3.4 Environnement

Un milieu corrosif ou à haute température diminue les performances en fatigue d ’un matériau.

5. Courbes d’endurance

5.1 Courbes de Wöhler

- Elles permettent de quantifier la tenue en fatigue d’un matériau,

- Elles correspondent à un chargement périodique monotone d’amplitude constante,

- Les éprouvettes testées présentent différents accidents de forme (Kt),

- Les essais réalisés sont uni axiaux.

- la dispersion est importante et augmente avec le nombre de cycles à rupture.

Des essais de fatigue peuvent être réalisés sur des éléments de structures plus complexes : axes, chapes, soudures

ou assemblages de tôles …

Pour les assemblages, plusieurs paramètres sont à considérer :

- type de fixations,

- jeux fonctionnels,

- pas des fixations,

- épaisseur des tôles,

- transferts de charge.

Remarque : Pour des durées de vie importantes (>105 cycles), plus de 90% du nombre de cycles à rupture

correspondent à la phase d’initiation. Pour des durées de vie supérieures à 106 cycles, la phase de propagation

devient négligeable.

5.2 Les différents domaines d’endurance

- Fatigue oligocyclique : les contraintes sont de l’ordre de la limite élastique du matériau.

Faible nombre de cycles à rupture : inférieur à 104

- Domaine d’endurance limitée : domaine de travail des structures dont les masses sont optimisées (cas de la

plupart des structures aéronautiques)

Nombre de cycles à rupture compris entre 104 et 106

- Domaine d’endurance illimitée : les contraintes sont inférieures à la limite d ’endurance du matériau.

Nombre de cycles à rupture supérieur à 106 (de 107 à 108 dans la pratique).

5.3 Approche locale

But : exprimer la durée de vie en fonction des paramètres locaux : contrainte et déformation au droit de

l ’accident de forme.

Principe :

Neuber : relation contrainte et déformation locale en fonction du coefficient de surcontraite.

Avec : Kt : coefficient de surcontrainte

: contrainte locale

e : déformation locale

S : contrainte brute (hors zone d ’influence de l ’accident de forme)

e : déformation brute (hors zone d ’influence de l ’accident de forme)

Ramberg et Osgood : loi de comportement du matériau

Basquin : relation entre durée de vie de l’éprouvette et déformation élastique

Avec : ’f et b : paramètres du matériau

Manson et coffin : relation entre durée de vie de l’éprouvette et déformation plastique

Avec : ’f et c : paramètres du matériau

SetKe

2

bNE

fe 2

'

2

e

D

cNf

p2'

2

e

D

Loi générale liant N et la déformation totale :

cN

fbN

E

fpet 2'2

'

222

eee

D

D

D

5.4 Modélisation simplifiée des courbes de Wöhler

Les courbes de Wöhler pour différents rapports R, dans un diagramme log-log, forment un réseau de droites

parallèles pour des durées de vie comprises entre 104 et 106 cycles.

La connaissance d ’un point étalon permet donc le calcul en fatigue.

Ce point est en général choisi à - 105 cycles objectif moyen de durée de vie

- R = 0.1 représentatif des chargements avion

évite de descendre en compression ou à charge nulle

6. La phase de propagation

6.1 Identification de la phase de propagation

L'endommagement d'une pièce métallique sous un chargement cyclique peut se résumer en 3 phases :

une période d’ “ amorçage ” ou d’ “ initiation ” d’une fissure

une période de "propagation" stable de cette fissure

une propagation brutale de la fissure conduisant à la rupture statique de la pièce.

Nombre

de cycles

Longueur de

crique a

Initiation Propagation

Rupturestatique

formation d'une

micro-fissurea

progression

de la fissure

6.2 Transition amorçage / propagation

Etant donnée la difficulté de mesure de la phase d'amorçage d'une fissure, la définition de celle-ci ne peut

être que conventionnelle.

Elle est souvent liée à la méthode d'inspection mise en œuvre pour la détecter; en général, dans la littérature,

elle correspond à une fissure d'environ 0,5 mm de longueur.

6.3 Phase de propagation stable

La suite de ce chapitre traite de la phase de propagation stable des fissures en fatigue. Elle présente :

- les rappels de mécanique de la rupture nécessaire à l’étude de l’évolution des fissures,

- les différentes lois de propagation et paramètres influents sur la propagation,

- l’application au calcul de la durée de vie d’une structure,

- les règles de justification d’une structure aéronautique en tolérance aux dommages.

7. Propagation des fissures de fatigue

7.1 Introduction

L’expérience montre que la propagation d’une fissure en fatigue se produit lorsque la variation DK du

facteur d’intensité de contrainte au cours d’un cycle de chargement est supérieure à une certaine valeur DKs

appelée seuil de propagation (correspondant à ).

Cette propagation est limitée par la rupture brutale de la pièce lorsque le facteur d’intensité de contrainte

atteint sur un cycle une valeur supérieure à Kc.

Entre ces deux extrêmes, il existe un domaine de propagation qui peut être caractérisé par une relation

linéaire entre le logarithme de la vitesse de propagation et le logarithme de l’amplitude de la variation du

facteur d’intensité de contrainte.

cyclemmdNda

/810

7.2 Lois de propagation

La courbe reliant le logarithme de la vitesse de propagation et le logarithme de l’amplitude de la variation du

facteur d’intensité de contrainte présente une partie linéaire.

DK (échelle log)

da

dN (échelle log)

DKs

Région II

Propagation lente

Région III

Propagation

rapide

Région I

Propagation

très lente

KIc

Rupture

Brutale

Paris et Erdogan ont proposé une modélisation de la courbe de propagation ne retenant que cette partie

linéaire, et qui s’exprime par :

mKCdNda

D .

DK=Kmax-Kmin sur un cycle

- C et m sont des constantes dépendant du matériau, déterminées expérimentalement.

La relation de Paris et Erdogan n’est utilisable directement que si elle a été déterminée pour un chargement

identique à celui de la structure considérée.

En effet, pour un matériau donné et pour un même DK, la vitesse de propagation est influencée par le

chargement (rapport R=Kmin/Kmax) et par les contraintes résiduelles qui peuvent exister en front de

fissure.

Influence du rapport R=Kmin/Kmax

Le rapport R=Kmin/Kmax a une influence prépondérante sur la vitesse de propagation. Globalement, la

vitesse de propagation augmente si le rapport R augmente.

DK (échelle log)

da

dN (échelle log)

R=0

R=0,4R=0,8

Différentes relations ont été proposées dans la littérature pour tenir compte de l’influence du ratio R.

Certains auteurs ont intégré dans la formulation les valeurs de DKs et/ou de Kc, afin de rendre compte

respectivement des zones de propagation très lente et très rapide.

Quelques exemples de ces formulations sont donnés ci-dessous :

Forman, Kearney et Engle :

Erdogan et Ratwani : avec :

KcR

K

mKC

dNda

.11

.

D

D

KKc

KsKm

CdNda

DDD

1.1.

RR

11

Influence des contraintes résiduelles :

Phénomène de fermeture de fissure

Pour un matériau sollicité avec différentes valeurs de rapport R, on constate que l’on peut obtenir une seule

courbe de propagation si l’on ne considère plus l’amplitude totale de variation du facteur d’intensité de

contrainte DK mais une partie seulement de cette amplitude, notée DKeff et appelée amplitude efficace du

facteur d’intensité de contrainte.

DK (échelle log)

da

dN (échelle log)

R=0

R=0,4

R=0,8

DKeff (échelle log)

da

dN (échelle log)

R=0

R=0,4

R=0,8

En réalité, le fond de fissure peut rester fermé malgré l’application d’une contrainte de traction, et ce jusqu’à

ce que cette contrainte dépasse une certaine valeur appelée contrainte d’ouverture.

En effet :

- lorsque la fissure grandit à l’occasion de la partie montante d’un cycle de chargement, une zone

plastique en traction se produit au voisinage du fond de fissure. Le reste du matériau demeure

élastiquement contraint en traction.

- quand le chargement diminue lors de la partie descendante du cycle, le matériau de la zone élastique, en

reprenant sa forme initiale, agit comme une pince sur la zone demeurée plastique.

Le matériau est alors comprimé dans cette zone et la fissure se referme partiellement.

Lors des cycles suivants, il faut que le chargement appliqué soit plus important que ces contraintes résiduelles

pour pouvoir à nouveau ouvrir la fissure et la faire propager.

Seule une partie du cycle a donc un effet sur l’endommagement, c’est la partie efficace qui correspond à

DKeff = Kmax - Kouv = U. DK

Elber a proposé une relation reliant U au rapport de chargement R : U = a + b.R soit :

KRbaKeff DD ..

où a et b sont des constantes dépendant du matériau (pour les alliages d’aluminium, la relation d’Elber avec

a=0,4 et b=0,5 est généralement bien vérifiée).

7.3 Propagation sous spectre complexe, phénomène de retard

Le phénomène de fermeture de fissure explique qu’une surcharge (qui crée une zone plastique en front de

fissure) provoque le ralentissement ou le blocage de la propagation : c’est le phénomène de retard.

N

a

Chargement

N

L’influence de ce phénomène est d’autant plus importante si ces surcharges sont espacées, ce qui signifie que

l’avancée de fissure est fortement dépendante de l’histoire du chargement.

Les modèles de propagation sous chargement complexe prennent en compte ces phénomènes de retard en

considérant une contrainte d’ouverture tenant compte de l’histoire du chargement.

8. Calcul du nombre de cycles de propagation d’une fissure

8.1 Introduction

La durée de vie d’une structure est estimée en calculant le nombre de cycles à l’amorçage et le nombre de

cycles de propagation.

Ce chapitre ne traite que l’estimation du nombre de cycles de propagation d’une fissure après son amorçage.

8.2 Principe de calcul de la durée de propagation

Le calcul de la durée de propagation d’une fissure nécessite de connaître l’expression du facteur d’intensité

de contrainte en fonction de la taille de fissure.

Selon la géométrie de la pièce et du défaut, il est possible d’établir cette relation de manière analytique pour

les configurations simples, ou par éléments finis pour des configurations plus complexes.

Le nombre de cycles de propagation pour passer d’une taille de fissure a0 à une taille af est alors obtenu par

intégration de la loi de propagation :

Si : désigne la loi de propagation, on écrit : mKgdN

daD

D

fa

ada

maKg

fa

ada

da

dNfaaN

0

.1

0

.),0(

8.3 Exemple d’utilisation

Considérons un défaut traversant de longueur 2a dans une plaque infinie.

2a

Dans ce cas la facteur d’intensité de contrainte s’écrit :

La loi de propagation (établie dans les conditions de chargement de la pièce considérée) s’écrit :

Calculer le nombre de cycles de propagation sous un spectre monotone (D désignant la variation de

contrainte par cycle) pour que la fissure passe d’une taille a0 à une taille af.

aaK ..)(

mKCdNda

D .

Solution proposée :

On écrit : Avec :

On obtient donc :

Soit :

D

fa

adam

aKCfaaN

0

..

1),

0( aaK ..)( DD

D

D

f

a

a

fa

adam

a

mmC

damamCf

aaN

0 0

.

2.2..

1.

...

1),

0(

D

0 21

21

.

2...2

1

1),

0( a

m

fam

mmC

mf

aaN

9. Programme d’inspection sur les structures métalliques aéronautiques

9.1 Concept général de tolérance aux dommages

Le principe général d’une justification en tolérance aux dommages d’une structure métallique aéronautique

est de démontrer qu’une fissure de fatigue sera détectée avant qu’elle n’atteigne une taille critique pour

l’intégralité de la structure.

- Cette taille est considérée comme étant la taille critique (au sens d’une rupture statique gouvernée par le

facteur d’intensité de contrainte Kc) à Charge Limite, c’est à dire pour une charge susceptible de survenir

une fois dans la vie de l’avion.

Une justification en tolérance aux dommages implique donc la définition d’un programme d’inspection

permettant de s’assurer du niveau de sécurité de la structure.

9.2 Différents types d’inspection

Walk around :Inspection de l’avion depuis le sol, pour détecter des dommages évidents

Inspection générale visuelle : Inspection depuis le sol, de différentes zones identifiées

Inspection visuelle détaillée : Examen visuel rapproché de certaines zones identifiées. Cet examen peut

nécessiter l’utilisation de miroirs, de lampes, et le démontage de certaines pièces.

Inspection spéciale : Examen de zones localisées par des techniques de contrôle non destructif telles que

les rayons X, les ultrasons, le ressuage, etc.

Chaque méthode d’inspection peut être caractérisée, au terme d’études statistiques, par une courbe de

probabilité de détection :

Taille de défaut

Probabilité de

détection

100%

95%

adet

On définit adet comme la taille de fissure correspondant à une probabilité de détection de 95%.

Pour la définition des programmes d’inspection, on considère alors conservativement que l’inspection est

caractérisée de façon binaire :

- Si la taille de fissure est inférieure à adet, la fissure n’est pas détectable

- Si la taille de fissure est supérieure à adet, la fissure est détectable sûrement.

9.3 Programme de maintenance

Un programme de maintenance doit être fourni aux compagnies aériennes. Il doit mentionner les techniques

de contrôle ainsi que les dates ou les fréquences d’inspection.

Deux grandeurs sont définies pour établir un programme d’inspection :

- le seuil de première inspection

- l’intervalle d’inspection entre deux inspections successives après le seuil.

Ces valeurs de seuil et d’intervalle d’inspection sont définies pour chaque pièce conçue en tolérance aux

dommages. Elles sont déterminées en considérant des coefficients de sécurité visant à prendre en compte les

différentes dispersions inhérentes à l’estimation de la durée de vie de la structure.

Si Ni désigne le nombre de cycles à l’initiation moyen

Np désigne le nombre de cycles de propagation moyen

Ndet désigne le nombre de cycles nécessaire pour qu’une fissure devienne détectable

Alors : Le seuil d’inspection est pris égal à :

L’intervalle d’inspection est pris égal à :

Les coefficients de sécurité K1 et K2 sont compris respectivement entre 2 et 5 pour K1 et 2 et 3 pour K2,

selon la connaissance de la structure et la validation ou non par essais des méthodes de calcul.

1KNpNi

2det

KNNp

10. Rappels de la mécanique linéaire de la rupture

10.1 Objectifs de la mécanique de la rupture

Objectif :

prendre en compte la présence de défauts dans le matériau (défauts de fabrication ou défauts créés en

service, comme une fissure de fatigue).

La mécanique de la rupture permet :

- de déterminer les champs de contraintes et de déformations au voisinage d’un défaut,

- de déterminer la capacité de résistance du matériau à l’extension des défauts existants.

10.2 Facteur d’intensité de contrainte

En élasticité, les champs de contraintes et de déformations au voisinage d’un défaut sont caractérisés par le

facteur d’intensité de contrainte K.

Le facteur d’intensité de contrainte dépend de la géométrie du défaut et de la nature des sollicitations.

On distingue trois modes de rupture notés I,II et III :

On distingue trois modes de rupture notés I,II et III :

Mode I

Ouverture

Mode II

Cisaillement

longitudinal

Mode III

Cisaillement

transversal

Pour chacun des modes de sollicitation, le facteur d’intensité de contrainte K dépend du niveau de

contrainte, de la longueur de fissure et de la géométrie globale de la pièce :

- a désigne la longueur de fissure

- Y(a) appelée fonction de forme, est une fonction de a qui dépend de la géométrie

- désigne le niveau de contrainte

aaYK .).(.

Sous un chargement de fatigue, lorsque la fissure avance dans le matériau, le facteur d’intensité de contrainte

K = f(a,S) augmente.

La rupture finale (instabilité) se produit lorsque le facteur d ’intensité de contrainte atteint une valeur critique

Kc.

10.3 Influence de l’épaisseur sur la valeur critique du facteur d’intensité de contrainte

1er cas : plaque de forte épaisseur

Etat de déformation plane (déformation nulle dans le sens de l ’épaisseur)

Plan de rupture orthogonal à la direction de la sollicitation

La rupture se produit lorsque le facteur d ’intensité de contrainte K atteint une valeur critique,

caractéristique du matériau : K1c correspondant à la ténacité.

2ème cas : plaque de faible épaisseur

Etat de contrainte plane (aucune déformation n ’empêche la déformation dans le sens de l ’épaisseur)

La rupture est oblique et a lieu par glissement et arrachement.

Lors d ’un chargement croissant, la fissure initiale se propage pour une valeur de K proche de K1c mais

s ’arrête rapidement. La propagation de la fissure est alors stable jusqu ’à une valeur de K égale à une valeur

critique Kc dépendant de l ’épaisseur de la plaque.

11. Courbe R

11.1 Concept de courbe R

Dans le cas des tôles minces, l’instabilité est plus difficile à définir et le Kc dépend de l ’épaisseur de plaque.

Les courbes R permettent de définir le facteur d ’intensité de contrainte critique Kc lorsque l ’état de

contraintes planes devient prédominant (cas des tôles minces). Les valeurs de ténacité ne sont alors plus

utilisable.

Obtention d ’une courbe R :

- essais par incrément de charge

Suite d’état d’équilibre avec propagation stable de la fissure,

Rupture lorsque l’avancée de fissure devient instable.

Longueur de fissure corrigée

Facteur d’intensité de contrainte

a0 : longueur de fissure initiale

A chaque longueur de fissure est associé un

facteur d’intensité de contrainte

Prise en compte de la plasticité en front de fissure :

Propriétés de la courbe R :

- Elle est indépendante de la longueur de fissure a0 ,

- Elle est indépendante du type d’éprouvette,

- Elle dépend de l’épaisseur et du matériau.

2

21

eRK

physiquea

corrigéea

11.2 Utilisation des courbes R :

11.2.1 Définition de la charge à rupture pour une structure fissurée donnée dont

on connaît les courbes K = S.f(a)

On augmente la contrainte S

jusqu’à obtenir la tangence des

courbes KR et S.f(a)

Evolution, pour la contrainte

S1, du facteur d’intensité de

contrainte en fonction de la

longueur de fissure

Domaine de non propagation

Courbe : propagation de la fissure

Une augmentation de la contrainte de S1 à S2 , entraîne une augmentation du facteur d’intensité de contrainte et donc une

propagation de la fissure. Cette propagation est stable : du point 1 vers le point 2.

A partir de la contrainte S3 toute augmentation de la contrainte (par exemple à S4) entraîne une augmentation du facteur

d’intensité de contrainte à une valeur supérieur à l’admissible de la courbe R et provoque ainsi une propagation instable et

donc la rupture.

1

2

3

S4.f(a)

Utilisation des courbes R :

11.2.2 Définition de la longueur critique de fissure (juste avant la rupture brutale de la

pièce) pour un niveau de contrainte donné.

La courbe R étant indépendante de a0,

il suffit de la translater jusqu’à

tangence des courbes KR et S.f(a)

Pour la contrainte S, cette courbe R correspond à la limite : toute augmentation de la contrainte à une

valeur supérieure à S entraîne une propagation instable et donc la rupture.

La valeur acritique issue de cette courbe R correspond donc à la valeur maximale de fissure admissible pour

le niveau de contrainte donné S.

Cumul du dommage en fatigue

Expérimentation :

Sollicitation à

amplitude constante

Spectre complexe :

avec des niveaux de

charge prépondérants

pour l’endommagement

Diagramme S / N Capacité de résistance

d’une pièce en service

Théorie du

dommage cumulatif

Réalité :

Spectre complexe avec

des niveaux de

chargement variables

Méthode du

Rainflow

12. Calcul sous spectre

12.1 Définitions :

Un spectre est une succession de ‘pics’ de contrainte. Il correspond à une zone précise de l’avion et à ne

mission donnée (en générale un vol).

Les calculs de fatigue sous chargement variable se font à partir des données établies sous chargement

d ’amplitude constante (fatigue monotone).

12.2 Exemples :

Spectre de contrainte pour un intrados de voilure

Exemple de spectre de contrainte pour une attache mât-réacteur

12.3 Le ‘Rainflow’ : méthode de décomposition du spectre :

But :

Permettre de faire ressortir d’un spectre les cycles prépondérants pour l’endommagement.

Le terme ‘Rainflow’ provient de la méthode de décomposition qui s’apparente au parcours d’une goutte d ’eau

sur un toit en pente.

Propriété : Le nombre total de cycles du spectre est inchangé par le ‘Rainflow’.

12.4 Application du ‘Rainflow ’ :

Le ‘Rainflow’ nécessite 4 étapes :

1. Sélection du pic de contrainte le plus élevé du spectre.

2. Le spectre est organisé en plaçant ce cycle au pic le plus élevé élevé en première position. Les cycles situés

à gauche de celui-ci sont reportés en fin de spectre.

3. L’écoulement d’un liquide sur la ‘pente’ gauche du cycle en ‘tournant’ le spectre d ’un quart de tour vers la

droite. Cette écoulement s’arrête lorsqu’une surface déjà mouillée est rencontrée ou lorsque la fin du spectre

est atteinte.

4. Le pic de contrainte le plus élevé parmi les autres pics non traités est alors sélectionné. Le même traitement

est alors effectué.

Exemple :

1. Sélection du pic de contrainte le plus élevé du spectre.

2. Le spectre est organisé en plaçant ce cycle au pic le plus

élevé en première position. Les cycles situés à gauche de

celui-ci sont reportés en fin de spectre.

3. L ’écoulement d’un liquide sur la ‘pente’ gauche du cycle en

‘tournant’ le spectre d ’un quart de tour vers la droite. Cette

écoulement s’arrête lorsqu’une surface déjà mouillée est

rencontrée ou lorsque la fin du spectre est atteinte.

4. Le pic de contrainte le plus élevé parmi les autres pics non

traités est alors sélectionné. Le même traitement est alors effectué.

13.1 Définition :

• pièce neuve N = 1 Dommage : D = 0

• pièce à rupture N = NR Dommage : D = 1

13.2 Evolution :

13.3 Paramètres physiques assimilables au dommage :

• Augmentation de la longueur de fissure : D = 0 : Fissure L0 D = 1 : Fissure Lc

• Baisse de la résistance statique résiduelle : D = 0 : résistance = R D = 1 : résistance = a

• Baisse du module d’Young : D = 0 : Module E D = 1 : Module E’

Nombre de cycles

Dommage

a0 : longueur de fissure initiale

Evolution non linéaire

de l’endommagement

Evolution linéaire de

l ’endommagement

NR D = 0

D = 1

13. Endommagement en fatigue

14. Cumul linéaire du dommage (règle de Miner)

14.1 Définition :

L’endommagement est défini par :

Fatigue monotone :

avec :

n : nombre de cycles d ’amplitude a

N : nombre de cycles à rupture sous a

Fatigue complexe :

La rupture apparaît lorsque :

14.2 Exemple :

Considérons une pièce soumise à :

n1 cycles au niveau de contrainte 1 puis soumise à des cycles de niveau 2

Quelle est la durée de vie restante n2 à ce niveau de contrainte 2 ?

Nn

D

k

iN

in

D1

k

iN

in

D1

1

Données :

Nombre de cycles à rupture au niveau de contrainte 1 : N1

Nombre de cycles à rupture au niveau de contrainte 2 : N2

Résolution :

Le dommage total s ’exprime par :

La rupture se produisant pour D = 1, on a :

Règle générale :

La vie résiduelle au niveau k s ’écrit :

2

2

1

1

N

n

N

nD

1

1122 N

nNn

1

11

k

iN

in

kN

kn

14.3 Application :

Considérons une pièce avion soumise à chaque vol au cycle suivant :

Quelle est la durée de vie de cette pièce en nombre de vols ?

Quelle est la contrainte alternée équivalente à un spectre de vol (avec a = 70 Mpa) ?

-20

0

20

40

60

100

120

1 vol

Matériau : alu 2024

Kt = 3.3

Contrainte (MPa)

temps

80

Courbes de fatigue pour cet aluminium

Hypothèse : Durée de vie ‘illimitée’ : 107 cycles

14.4 Solution proposée :

Application de la méthode du Rainflow :

-20

0

20

40

60

100

120

1 vol

Contrainte (MPa)

temps

80

1 2 3 4 5

7

6

Décomposition du cycle de vol :

1. Contrainte moyenne : m = 50 MPa 1/2 amplitude de contrainte : a = 70 Mpa


3.4.5 3 cycles : Contrainte moyenne : m = 80 MPa 1/2 amplitude de contrainte : a = 40 Mpa



Nombre de cycles à rupture pour ces cycles monotones :

Cycle 1 : N1 = 150000 d’où un endommagement pour un cycle : D1 = 6.67.10-6


Cycles 3,4,5 : N3 = 700000 d’où un endommagement pour 3 cycles : D3 = 4.29.10-6


Cycle 7 : N5 = 107 d’où un endommagement pour un cycle : D5 = 10-7

Le cumul linéaire donne l ’endommagement pour un cycle : D = 1.54.10-5

Soit un nombre de vols égal à 65150 (pour avoir un endommagement de 1).

La contrainte alternée équivalente est environ : m = 100 Mpa et a = 70 Mpa

15. Cumul non linéaire du dommage

15.1 Exemple :

On réalise des essais de fatigue sur des éprouvettes d ’un matériau métallique :

- A une contrainte alternée de 1000 Mpa, la rupture se produit après 103 cycles.

- A une contrainte alternée de 600 Mpa, la rupture se produit après 106 cycles.

On souhaite tracer, pour chacun de ces chargements, la loi d ’endommagement D = f(n/N). Pour cela, on détermine

l’évolution des caractéristiques élastiques du matériau (module d’Young) hypothèse : ) :

(Mpa)

Essais à 1000 MPa

0 e

100

200

300

400

2.10-3

875 cycles

750 cycles

500 cycles

intact

(Mpa)

Essais à 600 MPa

0 e

100

200

300

400

2.10-3

875.103 cycles

750.103 cycles

500.103 cycles intact

Problème :

1) Tracer les évolutions de la loi d’endommagement pour chaque chargement. Montrer qu’elles peuvent être

représentées par D = f(n/N) pour le chargement le plus élevé et D = f(n/N)4 pour le chargement le plus faible.

2) Le matériau effectue 500 cycles à 1000 Mpa. Combien pourra-t-il en effectuer ensuite avant rupture à 600 Mpa ?

intact

endommagé1

E

E

D

15.2 Solution proposée :

1) La variable d ’endommagement utilisée est :

Le module d ’Young pour un matériau intact est : E = 2.105 Mpa

Pour 1000 Mpa : pour 500 cycles : E’ = 105 Mpa soit : D = 0,5

pour 750 cycles : E’ = 5.104 Mpa soit : D = 0,75

pour 875 cycles : E’ = 2,5.104 Mpa soit : D = 0,875

Soit : D = f(n/N)

Pour 600 Mpa : pour 500.103 cycles : E’ = 1,875.105 Mpa soit : D = 0,0625

pour 750 .103 cycles : E’ = 1,375.105 Mpa soit : D = 0,3125

pour 875 .103 cycles : E’ = 8,3.104 Mpa soit : D = 0,585

Soit : D = f(n/N)4

Les lois d ’endommagement en fatigue pour ces deux niveaux de contrainte appliqués sont donc les suivantes :

n / N

Dommage

(a) = 600 MPa

1 D = 0

D = 1

0

(a) = 1000 MPa

intact

endommagé1

E

E

D

Solution proposée:

2) L’endommagement correspondant à 500 cycles à 1000 MPa est :

D = 0,5

Le nombre de cycles n à 600 Mpa correspondant à cet endommagement est donné par :

Soit : n = 840900 cycles

L’éprouvette, cyclée à 600 Mpa, peut donc subir encore 159100 cycles avant la rupture en fatigue.

4

6102

1

n

Les documents suivants ont été utilisés pour l’élaboration de ce cours :

- réf.. 1 : Université Paul Sabatier - Cours de fatigue et mécanique de la rupture des structures aéronautiques

en alliage léger - D. Duprat.

- réf. 2 : Ecole centrale de Nantes : Théorie de l’endommagement des matériaux - B. Lamy

calcul en fatigue des structures métalliques page 1

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