calcul mental monteregie 2013 version...

2011-‐2013

Développer le calcul mental

MAI 2013

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Participants au projet :

Le présent projet a été possible grâce à la collaboration des personnes suivantes :

Julie Cléroux, enseignante à l’école secondaire Pierre-‐Brosseau, CSMV Geneviève Rousselle, enseignante à la polyvalente Chanoine-‐Armand-‐Racicot, CSDHR Jean-‐Luc D’amour, enseignant à l’école Ste-‐Madeleine, CSTL Sarah Larochelle, enseignante à l’école Paul VI, CSP Èveline Labrie, enseignante à l’école Bonnier, CSDGS Benoit Brosseau, conseiller pédagogique, CSMV Jean-‐François Michaud, conseiller pédagogique, CSDHR Isabelle Gendron, conseillère pédagogique, CSTL Christian Bourbeau, conseiller pédagogique, CSP Jean-‐François Blanchet, conseiller pédagogique, CSDGS

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Introduction

Les stratégies de calcul mental sont à la base de l’apprentissage en mathématiques. Elles permettent aux élèves de calculer, d’estimer ou de valider des opérations de façon efficiente. Au primaire, « Au fur et à mesure qu’il développe son sens du nombre et des opérations, l’élève sera appelé à construire des processus personnels et à utiliser des processus conventionnels pour effectuer diverses opérations… Il apprendra aussi, à partir de ces processus et des propriétés des opérations, à faire des approximations de résultats et à déterminer des résultats exacts, mentalement ou par écrit. » (progression des apprentissages au primaire p.11). Au secondaire, le programme de formation de l’école québécoise du premier cycle inclut aussi le calcul mental parmi les processus à utiliser afin de développer le sens du nombre. Les progressions des apprentissages au primaire et au secondaire font référence aux stratégies de calcul mental sans toutefois les décrire. Nous ne disposons donc d’aucun continuum de développement de stratégies de calcul mental. Dans ce document, vous trouverez des outils permettant aux enseignants de guider leurs élèves dans le développement de stratégies de calcul mental, et ce, principalement au deuxième cycle et au troisième cycle du primaire ainsi qu’au premier cycle du secondaire. Voici quelques définitions qui vous permettront de distinguer différents types de calculs mobilisés par les élèves :

Calcul posé : Calcul effectué par écrit à l'aide d'un algorithme, toujours le même quels que soient les nombres en jeu.

Calcul réfléchi : Calcul qui met en œuvre des procédures mentales personnelles, différentes du calcul posé.

Calcul automatisé : Mémorisation de résultats de base comme les tables de multiplication, les complémentaires, etc (répertoire mémorisé).

Calcul mental : Processus de calcul qui englobe le calcul réfléchi et le calcul automatisé.

Calcul instrumenté : Calcul effectué avec l'aide de la technologie (calculatrice, ordinateur, etc.)

Le présent ouvrage se concentrera sur le développement du calcul réfléchi, en tenant pour acquis que les élèves possèdent une base suffisante de calcul automatisé.

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Pourquoi est-‐il important de développer ses compétences en calcul mental?

Dans le cadre de notre travail, de nos loisirs, des transactions que nous effectuons et d’autres situations de la vie de tous les jours, nous avons des calculs ou des estimations à effectuer. Le calcul mental devient alors un avantage de taille. En plus de nous permettre de gagner en rapidité, il nous affranchi du recours obligé à la calculatrice ou au papier-‐crayon qui ne sont pas toujours disponibles à portée de main. Selon Butlen et al (2000), « … le calcul mental permet d’enrichir les conceptions numériques des élèves. D’autre part, plusieurs de nos recherches ont montré qu’une pratique régulière de calcul mental peut aider à la résolution de problèmes numériques. » De plus, « … une pratique régulière de calcul mental libère de l’espace mental pour résoudre des problèmes. Elle permet d’accroître les capacités d’initiative des élèves : ceux-‐ci, en faisant des essais, peuvent explorer rapidement différentes voies de résolution d’un problème. » Le calcul mental permet aussi de développer le sens du nombre et des opérations et offre de belles occasions de voir l'utilité des propriétés des opérations (commutativité, distributivité et associativité). Selon le document Calcul mental, mathématiques-‐secondaire 1 produit par Éducation, Citoyenneté et Jeunesse Manitoba, 2004 p. XI (ECJM), « Les capacités de calcul mental sont au cœur de la numératie. Les résultats de la recherche suggèrent qu'il existe des liens entre le calcul mental et le sens du nombre, particulièrement les propriétés des nombres de base, la valeur de position, l'estimation et les opérations mathématiques ». ECJM ajoute que «Ne connaissant pas bien les techniques du calcul mental, les élèves ont souvent tendance à utiliser des algorithmes typiquement reliés au calcul écrit. Or, ceux-‐ci sont souvent peu efficaces pour le calcul mental. »

Comment développer le calcul mental en classe?

« Le calcul mental exige une attention constante et ne peut pas se faire d'une manière mécanique, comme c'est souvent le cas dans le calcul écrit. […] C'est pourquoi les exercices de calcul mental devraient être fréquents et courts. Ils devraient être fréquents, vu leur grande utilité. Ils devraient être courts, à cause qu'ils exigent une attention soutenue. » (Éducation, Citoyenneté et Jeunesse Manitoba, 2004, p. X)

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Lorsque l’élève effectue du calcul mental, il choisit une procédure plutôt qu’une autre dans un souci d’économie tenant compte de sa pratique et de sa familiarisation avec certains algorithmes. Comme les élèves utilisent des procédures personnelles, il est alors intéressant de comparer celles-‐ci lors de « … séances de réflexion et de discussion. Durant ces sessions, l'enseignant devrait inciter les élèves :

à présenter les diverses bonnes réponses possibles au même problème; à expliquer les différentes méthodes utilisées pour arriver à la bonne réponse; à présenter les stratégies qui n'ont pas fonctionnées et à expliquer pourquoi. »

(Éducation, Citoyenneté et Jeunesse Manitoba, 2004, p. XIII) Généralement, les exercices de calcul mental ne font pas l'objet d'une évaluation et ne sont pas utilisés pour déterminer la note des élèves au cours de mathématiques. Les exercices de calcul mental devraient se faire dans un climat de classe où les élèves se sentent à l'aise de prendre des risques sans avoir peur d'être pénalisés lorsqu'ils font des erreurs. L’emphase doit être mise sur le processus (comprendre comment on l’a trouvé) plutôt que sur la réponse. En cours d’apprentissage, il faut éviter de mettre l'accent sur la rapidité des calculs. C’est avec le temps et la pratique que l’élève sera en mesure d’améliorer son efficacité face à ces différentes stratégies. Il serait par ailleurs intéressant que l’élève soit en mesure d’évaluer sa progression dans la maitrise des stratégies expérimentées.

Suite aux expérimentations vécues en classe, voici trois phases que nous jugeons incontournables dans l’acquisition de stratégies de calcul mental :

1 La découverte par l’exploration et par l’explicitation des différentes stratégies; 2 L’appropriation des stratégies jugées les plus efficaces par les élèves; 3 L’entraînement afin d’augmenter l’efficacité.

Il est important de ne pas présenter les stratégies de calcul mental comme des « trucs » à mémoriser. Il faut offrir l’occasion aux élèves de construire leurs propres stratégies et de s’enrichir de celles de ses pairs et/ou de celles présentées par l’enseignant. L’enseignement des stratégies de calcul mental sera facilité si les élèves ont acquis le sens des opérations à l’aide de matériel de manipulation. L’enseignant pourra alors faire référence à ce matériel afin de donner du sens aux stratégies de calcul mental. Lorsque la complexité des calculs devient plus importante, le recours à l’algorithme conventionnel prend alors tout son sens.

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Comme certains élèves éprouvent de la difficulté à choisir une stratégie plutôt qu'une autre face à un exemple donné, il est important d'insister sur les conditions qui font en sorte qu'une stratégie est plus efficiente (efficace et économique) qu'une autre.

Vous retrouverez aux pages suivantes une progression des stratégies de calcul mental échelonnée du primaire au secondaire ainsi qu’un continuum de développement. De plus, un répertoire de stratégies que nous avons jugées plus pertinentes d’utiliser avec des élèves vous est présenté. Ces dernières portent sur les 4 opérations de plusieurs ensembles de nombres.

Progression des stratégies de calcul mental

(primaire-secondaire)

PRIMAIRE SECONDAIRE

L’élève apprend à le faire avec l’intervention de l’enseignante ou de l’enseignant. 2e cycle 3e cycle 1er cycle

L’élève le fait par lui-même à la fin de l’année scolaire.

L’élève réutilise cette connaissance 3e 4e 5e 6e 1re 2e

1. Stratégies de calcul mental avec des nombres entiers naturels (voir continuum)

2. Stratégies de calcul mental avec des fractions (addition et soustraction dont un des dénominateurs est un multiple de l’autre)

3. Stratégies de calcul mental avec des fractions (multiplication et division)

4. Stratégies de calcul mental avec des nombres entiers relatifs

5. Stratégies de calcul mental avec des nombres décimaux (addition, soustraction, multiplication d’un nombre décimal par un entier naturel et division d’un nombre décimal par un entier naturel)

6. Stratégies de calcul mental avec des nombres décimaux (multiplication et division de nombres décimaux)

7. Stratégies de calcul mental avec des pourcentages

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CONTINUUM DE DÉVELOPPEMENT DU CALCUL MENTAL

LES NOMBRES NATURELS

LES NOMBRES DÉCIMAUX

Note : La division au primaire est une division par un nombre naturel inférieur à 10.

LES FRACTIONS

7

LES NOMBRES ENTIERS RELATIFS

LES POURCENTAGES

Note : Le pourcentage d'un nombre au primaire est travaillé seulement avec des pourcentages remarquables (ex : 10%, 25%, etc.)

Les affiches qui suivent pourraient faire l’objet d’un enseignement explicite, mais devraient plutôt palier à un manque de diversité ou simplement

permettre de nommer les processus personnels développés par les élèves.

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EN RÉSUMÉ

LES EXERCICES DE CALCUL MENTAL DEVRAIENT :

• ÊTRE FRÉQUENTS ET COURTS

• FAVORISER LA MISE EN COMMUN DES STRATÉGIES

• PERMETTRE AUX ÉLÈVES DE COMPARER LEURS STRATÉGIES

• SE FAIRE AUX RYTHMES DES ÉLÈVES EN COURS D’APPRENTISSAGE

• ÉVITER DE METTRE L’EMPHASE SUR LA RAPIDITÉ

• ÊTRE ÉVALUÉES DE FAÇON FORMATIVE

• SE FAIRE PAR ÉCRIT AU DÉPART

• FAIRE PARTIE DU QUOTIDIEN (SAISIR LES OCCASIONS PLUTÔT QUE LES CRÉER)

10

Addition (Nombres naturels)

Additionner les parties

Compléter et réajuster

Additionner par la gauche

272 + 119 272 + 120 – 1

391

275 + 117 275 + 100 + 10 + 7

392

346 + 129 300 + 100 = 400 40 + 20 = 60 6 + 9 = 15

400 + 60 + 15 = 475

Faire le pont à la dizaine

47+38 47+3+35

85

Additionner par bonds

48+36 48+10+10+10+6

84

272 + 119 280 + 119 – 8

391

Créer des nombres compatibles

76+28 75+25+4 104

11

Soustraction (Nombres naturels)

Soustraire les parties 289 – 154

289 – 100 – 50 – 4 135

Soustraire par la gauche

463 – 132 400 – 100 60 – 30 3 – 2 331


85 – 56 85 – 55 – 1

29

Soustraire par bonds 136 – 27

136 – 10 – 10 – 7 109


187 – 66 187 – 67 + 1 120 + 1 121

Équilibrer les deux termes

48 – 37 48 + 2 37 + 2 50 – 39 11

Faire le pont à la dizaine

93 – 16 93 – 3 – 13 90 – 13 77

12

Multiplication (nombres naturels)

Distributivité (somme)

13 × 21 (10 + 3) × 21

(10 × 21) + (3 × 21) 210 + 63 273

Distributivité (différence)

26 × 19 26 × (20 – 1)

(26 × 20) – (26 × 1) 520 – 26 494

Par multiplications successives

16 × 8 16 × 2 × 2 × 2 32 × 2 × 2 64 × 2 128

Multiplier par la gauche

635 × 4 = ? 600 × 4 = 2400 30 × 4 = 120 5 × 4 = 20

2400 + 120 + 20 2540

13 × 21 13 × (20 + 1)

(13 × 20) + (13 × 1) 260 + 13 273

Distributivité

(partir d’un résultat connu)

12 × 13 12 × (12 + 1)

(12 × 12) + (12 × 1) 144 + 12 156

13

Multiplier par 5 : 5 est la moitié de 10

38 × 5 38 ÷ 2 × 10 19 × 10 190

Multiplier par 25 : 25 est le quart de 100

48 × 25 48 ÷ 4 × 100 12 × 100 1200

Couper et coller les zéros 120 × 500 = ?

12 × 5 et 3 zéros 60 et 3 zéros

60 000

Multiplication (nombres naturels)

14

Division (Nombres naturels)

Diviser les parties

840 ÷ 8 (800 ÷ 8) + (40 ÷ 8)

100 + 5 105

Diviser le dividende et le diviseur par le même facteur (équivalent à

simplifier des fractions)

Diviser par divisions successives

840 ÷ 8 ((840 ÷ 2) ÷ 2) ÷ 2

(420 ÷ 2) ÷ 2 210 ÷ 2 105

Couper et coller les zéros

2400 ÷ 6 24 centaines ÷ 6 4 centaines

400

Diviser par un diviseur remarquable

135 ÷ 5 135 × 2 ÷ 10 270 ÷ 10

27

1440 ÷ 20 1440 ÷ 10 ÷ 2

144 ÷ 2 72

270 ÷ 18

90 ÷ 6

30 ÷ 2

15

15

4500 ÷ 50 450 ÷ 5 90

÷3

÷ 3

÷ 3

3 ÷ 3

16

Addition (Fractions décimales et nombres décimaux)


Compléter à l’entier le plus près et réajuster

16,65 + 2,99 16,65 + 3 – 0,01

19,64

25,6 + 13,7 20 + 10 = 30 5 + 3 = 8

6 7 3110 10 10

+ =

30 + 8 + 3110

39,3


4,74 + 1,37 4,74 + 1,26 + 0,11

6 + 0,11 6,11

16,460 + 1,989 16,460 + 2 – 0,011

18,449

6,257 + 13,71 6 + 13 = 19 2 7 910 10 10

+ =

5 1 6100 100 100

+ =

71000

19 + 9 6 710 100 1000

+ +

19,967

4,74 + 1,37 4,75 – 0,1 + 1,25 + 0,12 4,75 + 1,25 – 0,1 + 0,12

6 + 0,11 6,11


25,6 + 13,7 6 725 1310 10

+ +

6 73810 10

+

33910

39,3

Multiplier par 10, 100, 1000 puis diviser par

10, 100, 1000

1,7 + 2,2 1,7 ×1010

+ 2,2 ×1010

1710

+ 2210

17 + 2210

= 3910

3,9

25,6 + 13,7 25,6 + 13 + 0,7 38,6 + 0,7 39,3

17

Soustraction (Fractions décimales et nombres décimaux)

Soustraire par la gauche

3,39 – 2,54 3 – 2 = 1

0,30 – 0,50 = – 0,20 0,09 – 0,04 = 0,05

1 – 0,20 + 0,05 = 0,85

Compléter à l’entier le plus près et réajuster

18,761 – 3,998

18,761 – 4 + 0,002 14,761 + 0,002

14,763

3,8 – 2,5 3 – 2 = 1 810

− 510

= 310

1+ 310

= 1 310

= 1,3

12,99 – 8,45 13 – 0,01 – 8,45

13 – 8,46 13 – 8 – 0,46 5 – 0,46 4,54

Compléter

20 – 14,35 14,35 + ? = 20

14,35 + 0,65 = 15 15 + 5 = 20

0,65 + 5 = 5,65

7,6 – 2,8 2,8 + ? = 7,6 2,8 + 0,2 = 3 3 + 4 = 7

7 + 0,6 = 7,6 0,2 + 4 + 0,6 = 4,8


4,37 – 1,49 37 494 –1100 100

37 37 124 –1100 100 100

−

123100

−

882 2,88100

=

4,37 – 1,49 4,37 – 1,37 – 0,12

3 – 0,12 2,88

Soustraire les parties

3,89 – 2,54 3,89 – 2 – 0,50 – 0,04 1,89 – 0,50 – 0,04

1,39 – 0,04 1,35

3,5 – 2,8 5 83 210 10

− −

5 8110 10

−

3 71–10 10

= = 0,7

18

Distributivité (somme)

4,2 × 0,21 4,2 x (0,2 + 0,01) 42 2 42 110 10 10 100

⎛ ⎞ ⎛ ⎞× + ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

84 42100 1000

+

840 42 8821000 1000 1000

+ =

0,882

Distributivité (différence)

2,96 × 7 (3 – 0,04) × 7

(3 × 7) – (0,04 × 7) 21 – 0,28 20,72

4,2 × 0,21 4,2 × (0,2 + 0,01)

(4,2 × 0,2) + (4,2 × 0,01) 0,84 + 0,042

0,882

Transformer en nombre naturels et replacer la

virgule

0,9 x 1,2 (2 chiffres) 9 x 12 108

1,08 (2 chiffres)

Transformer en fraction décimale ou réduite

2,96 × 0,5 12,962

×

2,96 ÷ 2 1,48

0,9 x 1,2 9 1210 10

×

108100

1,08

3,9 × 1,2 (4 − 0,1) × 1,2

(4 × 1,2) − (0,1 × 1,2) 12 1 12410 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞× − ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

48 1210 100

−

480 12 468100 100 100

− =

4,68 Distributivité (partir d’un résultat

connu)

12 × 0,27 12 × (0,25 + 0,02)

12×14 + 12×

2100

3+24100

3 + 0,24 3,24

Multiplication (Fractions décimales et nombres décimaux)

19

Diviser les parties

4,6 ÷ 2 4 ÷ 2 = 2

0,6 ÷ 2 = 0,3 2 + 0,3 = 2,3

Multiplier le dividende et le diviseur par le même facteur

Diviser par un nombre décimal remarquable

(0,01; 0,05; 0,1; 0,125; 0,2; 0,25; 0,3; 0,5; 0,75; 0,8)

1,5 ÷ 0,01

1,5 ÷1100

1,5 × 100 150

22 ÷ 0,5

44 ÷ 1

44

2× 2×

Division (Fractions décimales et nombres décimaux)

4,6 ÷ 0,2

46 ÷ 2

23

10×3

10×3

1,5 ÷ 0,05

1,5 ÷120

1,5 × 20 30

1,5 ÷ 0,125

1,5 ÷18

1,5 × 8 12

1,5 ÷ 0,1

1,5 ÷110

1,5 × 10 15

1,2 ÷ 0,2

1,2 ÷15

1,2 × 5 6

1,5 ÷ 0,25

1,5 ÷14

1,5 × 4 6

1,5 ÷ 0,5

1,5 ÷12

1,5 × 2 3

1,5 ÷ 0,75

1,5 ÷34

1,5 ÷ 3 × 4 0,5 × 4 = 2

1,2 ÷ 0,8

1,5 ÷45

1,2 ÷ 4 × 5 0,3 × 5 = 1,5

1,5 ÷ 0,333…

1,5 ÷13

1,5 × 3 4,5

Exemple de verbalisation

Pour diviser un nombre par 0,5, il suffit de le multiplier par 2.

21

Les stratégies de calcul mental pour les nombres entiers relatifs sont les mêmes que pour les nombres naturels. Cependant, avant de référer aux différentes stratégies, l’emphase doit absolument être mise sur la compréhension du sens des opérations avec les nombres entiers relatifs. À cette fin, nous vous proposons différents modèles qui, nous l’espérons, permettra aux élèves de mieux s’approprier le sens des opérations pour les entiers relatifs :

Addition et soustraction :

• Méthode des jetons (vidéo de Gilles Jobin : « Les jobinneries »); • Méthode de la droite numérique ou du thermomètre.

Multiplication et division :

• Méthode des gains et des pertes; • Méthode de l’opposé; • Méthode des réservoirs.

Pour l’addition et la soustraction de deux fractions, l’algorithme conventionnel s’avers le processus le plus efficace.

Le calcul mental est à privilégier lorsque le dénominateur d’une fraction est un multiple du dénominateur de l'autre et que l’on demeure dans des cas simples.

Lorsque nous sommes en présence d’addition et de soustraction de nombres entiers fractionnaires, les stratégies suivantes peuvent être transférées avec les élèves.

Nombres entiers relatifs

Fractions

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Addition (Fractions)


Créer des fractions compatibles pour faire le pont à

l'entier

𝟑𝟏𝟓+ 𝟏

𝟐𝟓

𝟑 + 𝟏 = 𝟒

𝟏𝟓+𝟐𝟓=𝟑𝟓

𝟒 +𝟑𝟓= 𝟒

𝟑𝟓

𝟑𝟒+𝟏𝟐

𝟑𝟒+𝟏𝟒+𝟏𝟒

𝟏 + 𝟏𝟒= 𝟏 𝟏

𝟒

𝟐𝟕𝟖+ 𝟑

𝟏𝟒

𝟐 + 𝟑 +𝟕𝟖+𝟏𝟒

𝟓 + 𝟕𝟖+ 𝟏

𝟖+ 𝟏

𝟖

𝟓 + 𝟏 + 𝟏𝟖= 𝟔 𝟏

𝟖

𝟐𝟕𝟖+ 𝟑

𝟏𝟒

𝟐 𝟕𝟖+ 𝟏

𝟖+ 𝟑 𝟏

𝟖

𝟑 + 𝟑 𝟏𝟖= 𝟔 𝟏

𝟖

23

Soustraction (Fractions)


𝟒𝟒𝟓− 𝟏

𝟐𝟓

𝟒 − 𝟏 = 𝟑

𝟒𝟓−𝟐𝟓= 𝟐𝟓

𝟑 +𝟐𝟓

𝟑𝟐𝟓

Créer des fractions compatibles pour faire le pont à

l'entier

𝟏𝟑𝟒−𝟕𝟖

𝟏𝟑𝟒−𝟑𝟒−𝟏𝟖

𝟏 − 𝟏𝟖

𝟕𝟖

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Pour la multiplication et la division de deux fractions, l’algorithme conventionnel s’avers le processus le plus efficace. Cependant, dans les cas où on multiplie ou divise par une fraction remarquable telles que ½, ¼, etc. il serait intéressant de faire remarquer à l’élève qu’il n’a qu’à diviser ou multiplier par l’inverse soit 2, 4, etc.

Lorsque nous sommes en présence de nombres entiers fractionnaires, il pourrait être intéressant de transférer les stratégies utilisant la distributivité.

Multiplication et division (Fractions)

Distributivité

3× 2 27

3× (2 + 27)

3 x 2 + 3× 27

6 67

Diviser par une fraction

remarquable

12 ÷14

12 ×4 48

26

Pourcentages

Pour calculer 25 % d’une quantité, il suffit de prendre le quart de cette

quantité

25% = !!

25 % de 56 = le quart de 56

= 564

= 56 ÷4 = 14

Pour calculer 50 % d’une quantité, il suffit de prendre la moitié de cette

quantité.

50% = !!

50 % de 34,5 = la moitié de 34,5

= 34,52

= 17,25

Pour calculer 75 % d’une quantité, il suffit de tripler les 25 % de cette quantité, soit tripler le quart de

cette quantité.

75% = 3 x 25% = !!

75 % de 48 = le triple de 25 % de 48 = le triple du quart de 48

= le triple de 484

= le triple de 12 = 3 × 12 =36

Pour calculer 100 % d’une quantité, il suffit de prendre cette quantité

100 % de 34 = 34

Pour calculer 1 % d’une quantité, il suffit de diviser cette quantité par

100 1% = !!""

1 % de 695

= 695100

= 6,95

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Pourcentages

Pour calculer 33 !! % d’une quantité, il

suffit de prendre le tiers de cette quantité

33 !! % = 33,3 % =

!!

33 13 % de 21,3

= le tiers de 21,3

= 21,33

= 7,1

Pour calculer 10 % d’une quantité, il suffit de diviser cette quantité par 10

10% = !!"

10 % de 695

= 69510

= 69,5

Pour calculer 5 % d’une quantité, il suffit de prendre la moitié de 10 %

de cette quantité 5% est la moitié de 10%.

5 % de 340 = la moitié de 10 % de 340

= la moitié de 34

= 342

= 17

Pour calculer 15 % d’une quantité, il suffit de prendre 10 % de cette quantité et 5 % de cette quantité

15% = 10% + 5%

15 % de 23 = 10 % de 23 + 5 % de 23

= 2,30 + 2,302

= 2,30 + 1,15 = 3,45

Pour calculer 66 !! % d’une quantité, il

suffit de doubler le tiers de cette quantité

66 !! % = 2 x 33 !

! % =

!!

66 !! % de 21,3

= 2 fois le tiers de 21,3

= 2 x 21,33

= 2 x 7,1 = 14,2

28

Pour calculer 20 % d’une quantité, il suffit de doubler les

10 % de cette quantité 20% = 2 x 10%

20 % de 420 = le double de 10 % de 420

= le double de 42 = 84

Pourcentages

Pour calculer un %, décomposer le % donné en un % clé qui facilite les

calculs

30 % de 400 = 3 × 10 % de 400

= 3 × 40 = 120

90 % de 340 = 100 % de 340 – 10 % de 340

= 340 – 34 = 306

26 % de 800 = 25 % de 800 + 1 % de 800

= 8004

+ 800100

= 200 + 8 = 208

Pour calculer un %, on peut utiliser la propriété suivante :

a % de b = b % de a Commutativité de la multiplication

32 % de 25 = 25 % de 32

= 324

= 8

29

CONCLUSION : Tel que mentionné dans nos intentions de départ, nous avons été en mesure de constater que les stratégies de calcul mental sont très peu connues et enseignées par les enseignants. Nous savions que le calcul mental est à la base de l’apprentissage des mathématiques mais ce projet nous a permis de constater à quel point celui-‐ci vient consolider le sens du nombre et des opérations. Nous sommes même en mesure d’affirmer que le calcul mental devrait se développer de lui-‐même à travers diverses activités permettant la création de processus personnels des élèves dans l’apprentissage du sens des opérations. L’enseignement précoce d’algorithmes peut nuire au développement des processus de calcul mental des élèves. Pour cette raison le calcul mental devrait précéder l’enseignement d’algorithmes. Comme mentionné précédemment à la page 7, les affiches qui ont été produites peuvent faire l’objet d’un enseignement explicite, mais devraient plutôt palier à un manque de diversité ou simplement permettre de nommer les processus personnels développés par les élèves. Le temps consacré à ce projet nous a permis de produire un répertoire de stratégies destiné aux enseignants, mais aussi d’accompagner ceux-‐ci en classe avec les élèves dans la découverte et l’appropriation de ces stratégies. Cette expérimentation nous a permis de constater la puissance d’une telle pratique sur la compétence et la fluidité des élèves en calcul mental, et ce, à très court terme.

30

Bibliographie : Butlen, D et al (2000). Calcul mental et résolution de problèmes numériques au début

du Collège, REPERES -‐ IREM . N° 41 -‐ octobre 2000, télé-‐accessible au http://www.univ-‐irem.fr/commissions/reperes/consulter/41butlen.pdf

Daoui, A et al (2004). Calcul mental – mathématiques secondaire 1. Éducation,

Citoyenneté et Jeunesse Manitoba. Télé-‐accessible au http://www.cbv.ns.ca/math7-‐12/jrhighfiles/Math/manitoba_calcul_mental.pdf

Fontaine E, 2004-‐2005. Acquérir des compétences en calcul mental grâce au jeu. Académie de Caen. Télé-‐accessible au http://www.caen.iufm.fr/memoires/PEC05040.pdf

EXEMPLES DE SITES INTERNETS PERTINENTS POUR L’EXERCICE DU CALCUL MENTAL :

1 http://www.automaths.com/index.php?rub=1923

2 http://mathenpoche.sesamath.net/ceintures/challenge.php?cid=12&mode=passage&iframe

3 http://www.jeux-‐fr.net/game/725/jeu-‐de-‐calcul-‐mental-‐gratuit-‐calculations.html

4 http://mathenpoche.sesamath.net/6eme/pages/numerique/chap2/serie1/index.html

5 http://www.alloprof.qc.ca/rep_jeux/meteormath.aspx

6 http://www.gomaths.ch/index.php

7 http://www.csaffluents.qc.ca/wlamen/tables-‐add.html

8 http://ejoffrin.pbworks.com/w/page/32822638/STRAT%C3%89GIES%20CALCUL%20MENTAL

9 http://www.aidemoi.net/calcul_mental_sans_chrono.html

10 http://www.mathplayground.com/index.html

11 http://calculatice.ac-‐lille.fr/calculatice/spip.php?rubrique2

12 http://calculatice.ac-‐lille.fr/calculatice/serveur/main.php?init=1

13 http://www.clubic.com/telecharger-‐fiche248538-‐tuxmath.html

14 http://www.alloprof.qc.ca/rep_jeux/finlapin-‐aventure.aspx

Autres ouvrages intéressants:

La collection Calcul en tête de Jack A. Hope, Barbara J. Reys, Robert E. Reys, 2006. Chenelière éducation

32

Addition



Ta stratégie

…


272 + 119

272 + 120 – 1

391

272 + 119

272 + 100 + 10 + 9

391

346 + 29

300 + 0 = 300

40 + 20 = 60

6 + 9 = 15

300 + 60 + 15 = 375

33

Bibliographie

Soustraction


463 – 132 463 – 100 – 30 – 2

131

Soustraire par la

gauche

463 – 132 400 – 100 60 – 30 3 – 2 131

Créer des nombres

compatibles

85 – 56 85 – 55 – 1

29

Ta stratégie

…

34

Multiplication

Distributivité 12 × 13

(12 × 10) + (12 × 3) 120 + 36 156

Multiplications successives

26 × 4 26 × 2 × 2 52 × 2 104

5 est la moitié de 10

78 × 5 78 ÷ 2 × 10 39 × 10 390

Ta stratégie

….

35

Division

Diviser les parties

840 ÷ 8 (800 + 40) ÷ 8

(800 ÷ 8) + (40 ÷ 8) 100 + 5 105

Diviser le dividende et le diviseur par le même facteur

(simplifier des fractions)

270 ÷ 18

90 ÷ 6

30 ÷ 2

15

15

4500 ÷ 50 450 ÷ 5 90

÷3

÷ 3

÷ 3

3 ÷ 3

Couper et coller les zéros

2400 ÷ 6 24 centaines ÷ 6 4 centaines

400

Diviser par un diviseur remarquable

135 ÷ 5 135 × 2 ÷ 10 270 ÷ 10

27

1440 ÷ 20 1440 ÷ 10 ÷ 2

144 ÷ 2 72

Ta stratégie

….

calcul mental monteregie 2013 version...

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