1. Clculo 1

2. Clculo 1 de una variable Novena edicinRon Larson The Pennsylvania State University The Behrend CollegeBruce H. Edwards University of FloridaRevisin tcnica Marlene Aguilar Abalo Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Ciudad de Mxico Jos Job Flores Godoy Universidad Iberoamericana Joel Ibarra Escutia Instituto Tecnolgico de Toluca Linda M. Medina Herrera Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Ciudad de MxicoMXICO BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA MADRID NUEVA YORK SAN JUAN SANTIAGO SO PAULO AUCKLAND LONDRES MILN MONTREAL NUEVA DELHI SAN FRANCISCO SINGAPUR ST. LOUIS SIDNEY TORONTO 3. Director Higher Education: Miguel ngel Toledo Castellanos Editor sponsor: Pablo E. Roig Vzquez Coordinadora editorial: Marcela I. Rocha Martnez Editora de desarrollo: Ana L. Delgado Rodrguez Supervisor de produccin: Zeferino Garca Garca Traduccin: Joel Ibarra Escutia, ngel Hernndez Fernndez, Gabriel Nagore Czares, Norma Anglica Moreno Chvez CLCULO 1 DE UNA VARIABLE Novena edicin Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autorizacin escrita del editor.DERECHOS RESERVADOS 2010, respecto a la novena edicin en espaol por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc. Edicio Punta Santa Fe Prolongacin Paseo de la Reforma Nm. 1015, Torre A Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe Delegacin lvaro Obregn C.P. 01376, Mxico, D.F. Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736 ISBN 978-607-15-0273-5 Traducido de la novena edicin en ingls de Calculus Copyright 2010 by Brooks/Cole, a Cengage Learning Company. All rights reserved. ISBN-13: 978-1-4390-3033-2 TI es una marca registrada de Texas Instruments, Inc. Mathematica es una marca registrada de Wolfram Research, Inc. Maple es una marca registrada de Waterloo Maple, Inc. 1234567890109876543210Impreso en ChinaPrinted in China 4. C ontenido Unas palabras de los autores Agradecimientos Caractersticas CAPTULO PPreparacin para el clculoix x xii1P.1 P.2 P.3 P.4Grficas y modelos Modelos lineales y ritmos o velocidades de cambio Funciones y sus grficas Ajuste de modelos a colecciones de datos Ejercicios de repaso SP Solucin de problemasLmites y sus propiedades411.1 1.2 1.3 1.4 1.5CAPTULO 12 10 19 31 37 3942 48 59 70 83Una mirada previa al clculo Clculo de lmites de manera grfica y numrica Clculo analtico de lmites Continuidad y lmites laterales o unilaterales Lmites infinitos PROYE CT O DE T RABAJ O : Grficas y lmites de las funciones trigonomtricas Ejercicios de repaso SP Solucin de problemasDerivacin952.1 2.2 2.3 2.4 2.5CAPTULO 290 91 9396 107 119 130 141 148 149 158 161La derivada y el problema de la recta tangente Reglas bsicas de derivacin y ritmos o velocidades de cambio Reglas del producto, del cociente y derivadas de orden superior La regla de la cadena Derivacin implcita PROYE CT O DE T RABAJ O : Ilusiones pticas 2.6 Ritmos o velocidades relacionados Ejercicios de repaso SP Solucin de problemas CAPTULO 3Aplicaciones de la derivada 3.1Extremos en un intervalo163 164 v 5. viContenido3.2 3.3El teorema de Rolle y el teorema del valor medio Funciones crecientes y decrecientes y el criterio de la primera derivada PROYE CT O DE T RABAJ O : Arco iris 3.4 Concavidad y el criterio de la segunda derivada 3.5 Lmites al infinito 3.6 Anlisis de grficas 3.7 Problemas de optimizacin PROYE CT O DE T RABAJ O : Ro Connecticut 3.8 Mtodo de Newton 3.9 Diferenciales Ejercicios de repaso SP Solucin de problemas CAPTULO 4Integracin 4.1 4.2 4.3 4.4Antiderivadas o primitivas e integracin indefinida rea Sumas de Riemann e integrales definidas El teorema fundamental del clculo PROYE CT O DE T RABAJ O : Demostracin del teorema fundamental 4.5 Integracin por sustitucin 4.6 Integracin numrica Ejercicios de repaso SP Solucin de problemas CAPTULO 5Funciones logartmica, exponencial y otras funciones trascendentes 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5La funcin logaritmo natural: derivacin La funcin logaritmo natural: integracin Funciones inversas Funciones exponenciales: derivacin e integracin Otras bases distintas de e y aplicaciones PROYE CT O DE T RABAJ O : Estimacin grfica de pendientes 5.6 Funciones trigonomtricas inversas: derivacin 5.7 Funciones trigonomtricas inversas: integracin 5.8 Funciones hiperblicas PROYE CT O DE T RABAJ O : Arco de San Luis Ejercicios de repaso SP Solucin de problemas CAPTULO 6Ecuaciones diferenciales 6.1 6.2Campos de pendientes y mtodo de Euler Ecuaciones diferenciales: crecimiento y decrecimiento172 179 189 190 198 209 218 228 229 235 242 245247 248 259 271 282 296 297 311 318 321323 324 334 343 352 362 372 373 382 390 400 401 403405 406 415 6. Contenido6.3 6.4Separacin de variables y la ecuacin logstica Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden PROYE CT O DE T RABAJ O : Prdida de peso Ejercicios de repaso SP Solucin de problemasCAPTULO 7Aplicaciones de la integral 7.1 7.2 7.3rea de una regin entre dos curvas Volumen: el mtodo de los discos Volumen: el mtodo de las capas PROYE CT O DE T RABAJ O : Saturno 7.4 Longitud de arco y superficies de revolucin 7.5 Trabajo PROYE CT O DE T RABAJ O : Energa de la marea 7.6 Momentos, centros de masa y centroides 7.7 Presin y fuerza de un fluido Ejercicios de repaso SP Solucin de problemas CAPTULO 8Tcnicas de integracin, regla de LHpital e integrales impropias 8.1 8.2 8.3Reglas bsicas de integracin Integracin por partes Integrales trigonomtricas PROYE CT O DE T RABAJ O : Lneas de potencia 8.4 Sustituciones trigonomtricas 8.5 Fracciones simples o parciales 8.6 Integracin por tablas y otras tcnicas de integracin 8.7 Formas indeterminadas y la regla de LHpital 8.8 Integrales impropias Ejercicios de repaso SP Solucin de problemas CAPTULO 9Series infinitas 9.1 9.2Sucesiones Series y convergencia PROYE CT O DE T RABAJ O : La mesa que desaparece 9.3 Criterio de la integral y series p PROYE CT O DE T RABAJ O : La serie armnica 9.4 Comparacin de series PROYE CT O DE T RABAJ O : El mtodo de la solera 9.5 Series alternadas o alternantes 9.6 El criterio del cociente y el criterio de la raz 9.7 Polinomios de Taylor y aproximacinvii423 434 442 443 445447 448 458 469 477 478 489 497 498 509 515 517519 520 527 536 544 545 554 563 569 580 591 593595 596 608 618 619 625 626 632 633 641 650 7. viiiContenido9.8 Series de potencias 9.9 Representacin de funciones en series de potencias 9.10 Series de Taylor y de Maclaurin Ejercicios de repaso SP Solucin de problemas661 671 678 690 693Apndice ADemostracin de algunos teoremasA-2Apndice BTablas de integracin Soluciones de los ejercicios impares S-1 ndice de aplicaciones I-1 ndice analtico I-5A-20 8. C ontenido Unas palabras de los autores Agradecimientos Caractersticas CAPTULO 10Cnicas, ecuaciones paramtricas y coordenadas polares 10.1 Cnicas y clculo 10.2 Curvas planas y ecuaciones paramtricas PROYECTO DE TRABAJO: Cicloides 10.3 Ecuaciones paramtricas y clculo 10.4 Coordenadas polares y grficas polares PROYECTO DE TRABAJO: Arte anamrfico 10.5 rea y longitud de arco en coordenadas polares 10.6 Ecuaciones polares de las cnicas y leyes de Kepler Ejercicios de repaso SP Solucin de problemasCAPTULO 11Vectores y la geometra del espacio 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5Vectores en el plano Coordenadas y vectores en el espacio El producto escalar de dos vectores El producto vectorial de dos vectores en el espacio Rectas y planos en el espacio PROYECTO DE TRABAJO: Distancias en el espacio 11.6 Superficies en el espacio 11.7 Coordenadas cilndricas y esfricas Ejercicios de repaso SP Solucin de problemas CAPTULO 12Funciones vectoriales 12.1 Funciones vectoriales PROYECTO DE TRABAJO: Bruja de Agnesi 12.2 Derivacin e integracin de funciones vectoriales 12.3 Velocidad y aceleracin 12.4 Vectores tangentes y vectores normales 12.5 Longitud de arco y curvatura Ejercicios de repaso SP Solucin de problemasix x xii695 696 711 720 721 731 740 741 750 758 761763 764 775 783 792 800 811 812 822 829 831833 834 841 842 850 859 869 881 883 v0-Prelim L2.indd v1/12/09 18:04:22 9. viContenidoCAPTULO 13Funciones de varias variables 13.1 13.2 13.3Introduccin a las funciones de varias variables Lmites y continuidad Derivadas parciales PROYECTO DE TRABAJO: Franjas de Moir 13.4 Diferenciales 13.5 Regla de la cadena para funciones de varias variables 13.6 Derivadas direccionales y gradientes 13.7 Planos tangentes y rectas normales PROYECTO DE TRABAJO: Flora silvestre 13.8 Extremos de funciones de dos variables 13.9 Aplicaciones de los extremos de funciones de dos variables PROYECTO DE TRABAJO: Construccin de un oleoducto 13.10 Multiplicadores de Lagrange Ejercicios de repaso SP Solucin de problemas885 886 898 908 917 918 925 933 945 953 954 962 969 970 978 981Integracin mltiple98314.1 14.2 14.3 14.4CAPTULO 14984 992 1004 1012 1019 1020 1026 1027 1038 1044 1045 1052 1055Integrales iteradas y rea en el plano Integrales dobles y volumen Cambio de variables: coordenadas polares Centro de masa y momentos de inercia PROYECTO DE TRABAJO: Centro de presin sobre una vela 14.5 rea de una superficie PROYECTO DE TRABAJO: Capilaridad 14.6 Integrales triples y aplicaciones 14.7 Integrales triples en coordenadas cilndricas y esfricas PROYECTO DE TRABAJO: Esferas deformadas 14.8 Cambio de variables: jacobianos Ejercicios de repaso SP Solucin de problemas CAPTULO 15Anlisis vectorial 15.1 15.2 15.3Campos vectoriales Integrales de lnea Campos vectoriales conservativos e independencia de la trayectoria 15.4 Teorema de Green PROYECTO DE TRABAJO: Funciones hiperblicas y trigonomtricas 15.5 Superficies paramtricas 15.6 Integrales de superficie PROYECTO DE TRABAJO: Hiperboloide de una hoja 15.7 Teorema de la divergencia0-Prelim L2.indd vi1057 1058 1069 1083 1093 1101 1102 1112 1123 11241/12/09 18:04:22 10. Contenido15.8 Teorema de Stokes Ejercicios de repaso PROYECTO DE TRABAJO: El planmetro SP Solucin de problemasvii1132 1138 1140 1141Apndice AA-2Apndice BTablas de integracinA-4Soluciones de los ejercicios impares ndice analtico0-Prelim L2.indd viiDemostracin de teoremas seleccionadosA-9 I-571/12/09 18:04:22 11. U nas palabras de los autores Bienvenido a la novena edicin de Clculo! Nos enorgullece ofrecerle una nueva versin revisada de nuestro libro de texto. Mucho ha cambiado desde que escribimos la primera edicin hace ms de 35 aos. En cada edicin los hemos escuchado a ustedes, esto es, nuestros usuarios, y hemos incorporado muchas de sus sugerencias para mejorar el libro. A lo largo de los aos, nuestro objetivo ha sido siempre escribir con precisin y de manera legible conceptos fundamentales del clculo, claramente definidos y demostrados. Al escribir para estudiantes, nos hemos esforzado en ofrecer caractersticas y materiales que desarrollen las habilidades de todos los tipos de estudiantes. En cuanto a los profesores, nos enfocamos en proporcionar un instrumento de enseanza amplio que emplea tcnicas pedaggicas probadas, y les damos libertad para que usen en forma ms eficiente el tiempo en el saln de clase. Tambin hemos agregado en esta edicin una nueva caracterstica denominada ejercicios Para discusin. Estos problemas conceptuales sintetizan los aspectos clave y proporcionan a los estudiantes mejor comprensin de cada uno de los conceptos de seccin. Los ejercicios Para discusin son excelentes para esa actividad en el saln de clase o en la preparacin de exmenes, y a los profesores puede resultarles valioso integrar estos problemas dentro de su repaso de la seccin. stas y otras nuevas caractersticas se unen a nuestra pedagoga probada en el tiempo, con la meta de permitir a los estudiantes y profesores hacer el mejor uso del libro. Esperamos que disfrute la novena edicin de Clculo. Como siempre, sern bienvenidos los comentarios y sugerencias para continuar mejorando la obra.Ron LarsonBruce H. Edwardsix 12. A gradecimientos Nos gustara dar las gracias a muchas personas que nos ayudaron en varias etapas de este proyecto a lo largo de los ltimos 35 aos. Su estmulo, crticas y sugerencias han sido invaluables.Revisores de la novena edicin Ray Cannon, Baylor University Sadeq Elbaneh, Buffalo State College J. Fasteen, Portland State University Audrey Gillant, Binghamton University Sudhir Goel, Valdosta State University Marcia Kemen, Wentworth Institute of Technology Ibrahima Khalil Kaba, Embry Riddle Aeronautical University Jean-Baptiste Meilhan, University of California Riverside Catherine Moushon, Elgin Community College Charles Odion, Houston Community College Greg Oman, The Ohio State University Dennis Pence, Western Michigan University Jonathan Prewett, University of Wyoming Lori Dunlop Pyle, University of Central Florida Aaron Robertson, Colgate University Matthew D. Sosa, The Pennsylvania State University William T. Trotter, Georgia Institute of Technology Dr. Draga Vidakovic, Georgia State University Jay Wiestling, Palomar College Jianping Zhu, University of Texas at ArlingtonMiembros del Comit de Asesores de la novena edicin Jim Braselton, Georgia Southern University; Sien Deng, Northern Illinois University; Dimitar Grantcharov, University of Texas, Arlington; Dale Hughes, Johnson County Community College; Dr. Philippe B. Laval, Kennesaw State University; Kouok Law, Georgia Perimeter College, Clarkson Campus; Mara D. Neusel, Texas Tech University; Charlotte Newsom, Tidewater Community College, Virginia Beach Campus; Donald W. Orr, Miami Dade College, Kendall Campus; Jude Socrates, Pasadena City College; Betty Travis, University of Texas at San Antonio; Kuppalapalle Vajravelu, University of Central FloridaRevisores de ediciones anteriores Stan Adamski, Owens Community College; Alexander Arhangelskii, Ohio University; Seth G. Armstrong, Southern Utah University; Jim Ball, Indiana State University; Marcelle Bessman, Jacksonville University; Linda A. Bolte, Eastern Washington University; James Braselton, Georgia Southern University; Harvey Braverman, Middlesex County College; Tim Chappell, Penn Valley Community College; Oiyin Pauline Chow, Harrisburg Area Community College; Julie M. Clark, Hollins University; P.S. Crooke, Vanderbilt University; x 13. AgradecimientosxiJim Dotzler, Nassau Community College; Murray Eisenberg, University of Massachusetts at Amherst; Donna Flint, South Dakota State University; Michael Frantz, University of La Verne; Sudhir Goel, Valdosta State University; Arek Goetz, San Francisco State University; Donna J. Gorton, Butler County Community College; John Gosselin, University of Georgia; Shahryar Heydari, Piedmont College; Guy Hogan, Norfolk State University; Ashok Kumar, Valdosta State University; Kevin J. Leith, Albuquerque Community College; Douglas B. Meade, University of South Carolina; Teri Murphy, University of Oklahoma; Darren Narayan, Rochester Institute of Technology; Susan A. Natale, The Ursuline School, NY; Terence H. Perciante, Wheaton College; James Pommersheim, Reed College; Leland E. Rogers, Pepperdine University; Paul Seeburger, Monroe Community College; Edith A. Silver, Mercer County Community College; Howard Speier, Chandler-Gilbert Community College; Desmond Stephens, Florida A&M University; Jianzhong Su, University of Texas at Arlington; Patrick Ward, Illinois Central College; Diane Zych, Erie Community CollegeMuchas gracias a Robert Hostetler, de The Behrend College, en The Pennsylvania State University, y a David Heyd, de la misma institucin, por sus importantes contribuciones a las ediciones previas de este texto. Una nota especial de agradecimiento a los profesores que respondieron nuestra encuesta y a los ms de dos millones de estudiantes que han usado las ediciones anteriores de la obra. Tambin quisiramos agradecer al personal de Larson Texts, Inc., que apoy en la preparacin del manuscrito, realiz el diseo editorial, levant la tipografa y ley las pruebas de las pginas y suplementos en la edicin en ingls. En el mbito personal, estamos agradecidos con nuestras esposas, Deanna Gilbert Larson y Consuelo Edwards, por su amor, paciencia y apoyo. Adems, una nota especial de gratitud para R. Scott ONeil. Si usted tiene sugerencias para mejorar este texto, por favor sintanse con la libertad de escribirnos. A lo largo de los aos hemos recibido muchos comentarios tiles tanto de los profesores como de los estudiantes, y los valoramos sobremanera. Ron Larson Bruce H. Edwards 14. C aractersticas Herramientas pedaggicas PARA DISCUSINPara discusin 72.NUEVO! Los ejercicios para discusin que aparecen ahora en cada seccin sintetizan los conceptos principales de cada una y muestran a los estudiantes cmo se relacionan los temas. A menudo constituyen problemas de varias partes que contienen aspectos conceptuales y no computacionales, y que pueden utilizarse en discusiones de clase o en la preparacin de exmenes.yfB C Ay 5DE xEntre qu par de puntos consecutivos es mayor la razn de cambio promedio de la funcin? La razn de cambio promedio de entre A y B es mayor o menor que el la razn de cambio instantneo en B? c) Trazar una recta tangente a la grca entre los puntos C y D cuya pendiente sea igual a la razn de cambio promedio de la funcin entre C y D.a) b)Desarrollo de conceptos 11. Considerar la longitud de la grca de f(x) (1, 5) hasta (5, 1):Utilizar la grfica para responder a las siguientes preguntas.5/x, desdey(1, 5)5(1, 5)DESARROLLO DE CONCEPTOS4433 2(5, 1)1x 123452(5, 1)1x12345a) Estimar la longitud de la curva mediante el clculo de la distancia entre sus extremos, como se muestra en la primera gura. b) Estimar la longitud de la curva mediante el clculo de las longitudes de los cuatro segmentos de recta, como se muestra en la segunda gura. c) Describir cmo se podra continuar con este proceso a n de obtener una aproximacin ms exacta de la longitud de la curva.Los ejercicios de desarrollo de conceptos son preguntas diseadas para evaluar la comprensin de los estudiantes en torno a los conceptos bsicos de cada seccin. Estos ejercicios animan a los estudiantes a verbalizar y escribir respuestas, lo que promueve habilidades de comunicacin tcnica que sern invaluables en sus futuras carreras.AYUDAS DE ESTUDIOLas ayudas de estudio distinguen errores comunes, indican casos especiales que pueden provocar confusin, y amplan a conceptos importantes. Estas ayudas proporcionan a los estudiantes informacin puntual, similar a los comentarios del profesor en clase.EJEMPLO 1Levantamiento de un objetoDeterminar el trabajo realizado al levantar un objeto de 50 libras a 4 pies. Solucin La magnitud de la fuerza requerida F es el peso del objeto, como se muestra en la gura 7.48. As, el trabajo realizado al levantar el objeto 4 pies esWxiiFD Trabajo 50 4 Fuerza 200 libras-pies.(fuerza)(distancia). 50 libras, distancia4 pies.AYUDA DE ESTUDIO Cuando se use la definicin para encontrar la derivada de una funcin, la clave consiste en volver a expresar el cociente incremental (o cociente de diferencias), de manera que x no aparezca como factor del denominador. AYUDA DE ESTUDIO El ejemplo 3 tambin se puede resolver sin hacer uso de la regla de la cadena, si se observa quey x6 AYUDA DE ESTUDIO Tener en cuenta que se puede comprobar la respuesta de un problema de integracin al derivar la C l j l 73x43x2EJEMPLOSA lo largo del texto, se trabajan ejemplos paso a paso, que muestran los procedimientos y tcnicas para resolver problemas, y dan a los estudiantes una comprensin amplia de los conceptos del clculo.1 15. CaractersticasxiiiEJERCICIOSLa prctica hace al maestro. Los ejercicios son con frecuencia el primer lugar que consultan los estudiantes en un libro de texto. Los autores han dedicado mucho tiempo analizndolos y revisndolos; el resultado es un completo y slido conjunto de ejercicios de diferentes tipos y niveles de dificultad al final de cada seccin para considerar todos los estilos de aprendizaje de los estudiantes.4.3EjerciciosEn los ejercicios 1 y 2, utilizar el ejemplo 1 como modelo para evaluar el lmite nlmnf ci1iEn los ejercicios 13 a 22, formular una integral denida que produce el rea de la regin. (No evaluar la integral.) 13.xif x0,yx, 3f x0,yx,x356 5 4x133i 2 n 2.)(Sugerencia: Sea ci 2.0,x0,xi 3 n3.)(Sugerencia: Sea ciEn los ejercicios 3 a 8, evaluar la integral denida mediante la denicin de lmite. 63.3 63. Ciclo respiratorio El volumen V en litros de aire en los pulmo2 2 1 1 nes durante un ciclo respiratorio de cinco segundos se aproxima x x 1 2 3 mediante el modelo V 2 1 0.1729t 4 5 0.1522t 2 0.0374t 3 donde 1 2 3 4 5 t es el tiempo en segundos. Aproximar el volumen medio de aire en los pulmones16. f x un ciclo. durante x 2 4 x 15. f x64. Promedio de ventas Una compaa ajusta un modelo a los datos y y de ventas mensuales de un producto de temporada. El modelo es 8 4 t t 6 3 0 t 24 1.8 0.5 sen , St 4 634.8 dxx dx2215.46.3x dx 124x dx 121x28.1 dx12x24a) Utilizar una herramienta de graficacin para representar (t) 0.5 sen( t 6) para 0 t 24. Emplear la grfica para explicar por qu el valor medio de (t) es cero sobre el intervalo. b) Recurrir a una herramienta de graficacin para representar S(t) y la recta g(t) t 4 1.8 en la misma ventana de observacin. Utilizar la grfica y el resultado del apartado a) para explicar por qu g recibe el nombre recta de tendencia.Cundo usar esto?, los autores tratan de responder esta pregunta de los estudiantes con ejercicios y ejemplos que se seleccionaron con todo cuidado. Las aplicaciones se toman de diversas fuentes: eventos actuales, datos de trabajo, tendencias industriales, y se relacionan con una amplia gama de intereses. Entender dnde se usa (o puede usarse) el clculo fomenta una comprensin ms completa del material.42.una distancia de 264 pies. Encontrar la distancia en la cual el automvil puede llegar al reposo a partir de una velocidad de 30 millas por hora, suponiendo la misma desaceleracin constante.y15. Velocidad y aceleracin Se lanza una pelota hacia arriba verticalmente desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 96 pies por segundo.ffCunto tardar la pelota en alcanzar su altura mxima? Cul es la altura mxima? Cundo la velocidad de la pelota es la mitad de la velocidad inicial? c) A qu altura est la pelota cuando su velocidad es la mitad de la velocidad inicial?a) xxb)En los ejercicios 3 a 8, encontrar la integral indenida. 16. 3.4x2 x45.8 x37.2x2 dx 3x x4 4x2 x24.3 dxx36.dx8.9 sen x dx5 cos x1dxt051015202502.57162945Encontrar la solucin particular de la ecuacin diferencial (x) 6x cuya grca pasa por el punto (1, 2).10.Encontrar la solucin particular de la ecuacin diferencial (x) 6(x 1) cuya grca pasa por el punto (2, 1) y es tangente a la recta 3x y 5 0 en ese punto.Campos de pendientes En los ejercicios 11 y 12 se da una ecuacin diferencial, un punto y un campo de pendientes. a) Dibujar dos soluciones aproximadas de la ecuacin diferencial en el campo de pendiente, una de las cuales pase a travs del punto indicado. b) Utilizar la integracin para encontrar la solucin particular de la ecuacin diferencial y utilizar una herramienta de gracacin para representar la solucin. 2x4,4,dy dx12.2y2x,6, 2502138516064617.1 321 31 3 n18.11 n1 33 23 n203040506052140627883Emplear una herramienta de graficacin para determinar un modelo de la forma v at3 bt2 ct d para los datos.a)122019.1n20.2i 1Sea x Fx2a)Calcular cada suma para x1 7f1 . 3 1cos x dx. Encontrar 1 1b)Utilizar esta frmula para aproximar 1sen t 2 dt.Utilizar una herramienta de gracacin para completar la tabla. 01.01.51.92.12.53.04.01 1x2dx.c) Probar que la aproximacin gaussiana de dos puntos es exacta para todos los polinomios de grado 3 o menor. 7.Arqumedes demostr que el rea de un arco parablico es igual a del producto de la base y la altura (ver la gura).2.0x5.0hFx4i1i i222. i1x1 1 sen t 2 dt. Utilizar una Fx x 2 x 2 2 herramienta de gracacn para completar la tabla y estimar lm G x .2, x2bb) Sea G x1x1, x35, x4a) Gracar el arco parablico delimitado por y 9 x2 y el eje x. Utilizar una integral apropiada para encontrar el rea A. b) Encontrar la base y la altura del arco y vericar la frmula de Arqumedes. c) Demostrar la frmula de Arqumedes para una parbola general.2x1.91.951.992.012.1Gx3yc)Utilizar la denicin de la derivada para encontrar el valor exacto del lmite lm G x . xSOLUCIN DE PROBLEMAS1 3Fx23. Escribir en notacin sigma a) la suma de los primeros diez enteros impares positivos, b) la suma de los cubos de los primeros n enteros positivos y c) 6 10 14 18 42. 24.fa) Utilizar esta frmula para aproximar el error de la aproximacin.2n121f x dx 121ii 11202073 n. . .La aproximacin gaussiana de dos puntos para f esx2.xn6.1 dt, x > 0. ta) Encontrar L(1). b) Encontrar L (x) y L (1). c) Utilizar una herramienta de gracacin para aproximar el valor de x (hasta tres lugares decimales) para el cual L(x) 1. d) Demostrar que L(x1 x2) L(x1) L(x2) para todos los valores positivos de x1 y x2.1 3 10. . . 2Sea x 1En los ejercicios 17 y 18, utilizar la notacin sigma para escribir la suma.i265Reescribir las velocidades en pies por segundo. Usar las capacidades de regresin de una herramienta de gracacin para encontrar los modelos cuadrticos para los datos en el apartado a). c) Aproximar la distancia recorrida por cada carro durante los 30 segundos. Explicar la diferencia en las distancias.i1x1.a) b)21.6100Solucin de problemas65En los ejercicios 19 a 22, utilizar las propiedades de las sumas y el teorema 4.2 para calcular las sumas.yx 11 2 x 2SP30v12 sec2 x dx9.dy dx0vModelado matemtico La tabla muestra las velocidades (en millas por hora) de dos carros sobre una rampa de acceso a una carretera interestatal. El tiempo t est en segundos.v211.tLos ejercicios de repaso ubicados al final de cada captulo proporcionan a los estudiantes ms oportunidades para practicar. Estos conjuntos de ejercicios constituyen una revisin completa de los conceptos del captulo y son un medio excelente para que los estudiantes preparen un examen.Ejercicios de repasoy65. Modelado matemtico Se prueba un vehculo experimental en una pista recta. Parte del reposo y su velocidad v (metros por segundo) se registra en la tabla cada 10 segundos durante un minuto.EJERCICIOS DE REPASOIntegracinEn los ejercicios 1 y 2, utilizar la grca de f para dibujar una grca de . 1.2donde S son las ventas (en miles) y t es el tiempo en meses. 2 13 dx2APLICACIONESCAPTULO 43xy41.6f xysobre la regin delimitada por las grcas de las ecuaciones.7.31814.5f x2En los ejercicios 3 y 4, a) escribir el rea bajo la grca de la funcin dada denida sobre el intervalo indicado como un lmite. Despus b) calcular la suma del apartado a) y c) calcular el lmite tili d l lt d d l t d b)8.Galileo Galilei (1564-1642) enunci la siguiente proposicin relativa a los objetos en cada libre: El tiempo en cualquier espacio que se recorre por un cuerpo acelerado uniformemente es igual al tiempo en el cual ese mismo espacio se recorrera por el mismo cuerpo movin-Estos conjuntos de ejercicios al final de cada captulo prueban las habilidades de los estudiantes con preguntas desafiantes que retan su pensamiento. 16. xivCaractersticasClculos clsicos con relevancia contempornea TEOREMASLos teoremas proporcionan el marco conceptual del clculo; se enuncian claramente y se distinguen del resto del texto por medio de recuadros para tener una rpida referencia visual. Las demostraciones ms importantes muchas veces siguen al teorema, y se proporcionan otras ms en un apndice.TEOREMA 4.9 EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULO Si una funcin es continua en el intervalo cerrado [a, b] y F es una antiderivada de en el intervalo [a, b], entonces bf x dxFbFa.aDEFINICIONESAl igual que con los teoremas, las definiciones se enuncian claramente utilizando palabras sencillas y precisas; tambin se separan del texto mediante recuadros para tener una rpida referencia visual.DEFINICIN DE LONGITUD DE ARCO Sea la funcin dada por y f(x) que represente una curva suave en el intervalo [a, b]. La longitud del arco de f entre a y b es b1sf x2dx.aSimilarmente, para una curva suave dada por x c y d esg(y), la longitud de arco de g entred1sg y2dy.cLa regla de LHpital tambin puede aplicarse a los lmites unilaterales, como se demuestra en los ejemplos 6 y 7.Forma indeterminada 00EJEMPLO 6Encontrar lm sen x x. xPROCEDIMIENTOSyNOTASLos procedimientos aparecen separados del texto para brindar una referencia fcil. Estas lneas proporcionan a los estudiantes instrucciones paso a paso que les ayudarn a resolver problemas de manera rpida y eficiente.0Solucin Porque la sustitucin directa produce la forma indeterminada 00, proceder como se muestra abajo. Para empezar, asumir que el lmite existe y es igual a y.ln ylm sen xxxForma indeterminada 00.0ln lm sen x xTomar un logaritmo natural de cada lado.0lm ln sen xxxxContinuidad.0lm x ln sen xxForma indeterminada 0 (0ln sen x lm x 0 1 x cot x lm x 0 1 x2 x2 lm x 0 tan x 2x lm x 0 sec2xForma indeterminadaRegla de LHpital.Forma indeterminada 0 0.0Regla de LHpital.Las notas proporcionan detalles adicionales acerca de los Ahora, porque ln y 0, concluir que y e 1, y se sigue que teoremas, definiciones y ejemplos. Ofrecen una profundizacin adicional o generalizaciones importantes que los estulm sen x 1. diantes podran omitir involuntariamente. Al igual que las ayudas de estudio, NOTA Al aplicar la frmula para la longitud de arco a una curva, hay que asegurarse de que la curva se recorra una sola vez en el intervalo de integracin. Por ejemplo, el crculo dado por las notas resultan invaluax cos t y y sen t, recorre una sola vez el intervalo 0 t 2, pero recorre dos veces el interbles para los estudiantes. valo 0 t 4. I 0xx0). . 17. xvCaractersticasAmpliar la experiencia del clculo ENTRADAS DE CAPTULOEcuaciones diferenciales6Las entradas de captulo proporcionan motivacin inicial para el material que se abordar en el captulo. Adems de los objetivos, en la entrada de cada captulo un concepto importante se relaciona con una aplicacin del mundo real. Esto motiva a los estudiantes a que descubran la relevancia del clculo en la vida.En este captulo se estudiar una de las ms importantes aplicaciones del clculo: las ecuaciones diferenciales. El lector aprender nuevos mtodos para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales, como las homogneas, lineales de primer orden y de Bernoulli. Posteriormente aplicar esas reglas para resolver ecuaciones diferenciales en problemas de aplicacin. En este captulo, se aprender: n Cmo generar un campo de pendientes de una ecuacin diferencial y encontrar una solucin particular. (6.1) n Cmo usar una funcin exponencial para modelos de crecimiento y decrecimiento. (6.2) n Como usar el mtodo de separacin de variables para resolver ecuaciones diferenciales. (6.3) n Cmo resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y la ecuacin diferencial de Bernoulli. (6.4)EXPLORACINConverso del teorema 4.4 Es verdadero el converso del teorema 4.4 ? Esto es, si una funcin es integrable, tiene que ser continua? Explicar el razonamiento y proporcionar ejemplos. Describir las relaciones entre continuidad, derivabilidad e integrabilidad. Cul es la condicin ms fuerte? Cul es la ms dbil? Qu condiciones implican otras condiciones?EXPLORACINSuponer que se pide encontrar una de las siguientes integrales. Cul elegira? Explicar la respuesta.EXPLORACIONESLas exploraciones proporcionan a los estudiantes retos nicos para estudiar conceptos que no se han cubierto formalmente. Les permiten aprender mediante el descubrimiento e introducen temas relacionados con los que estn estudiando en el momento. Al explorar temas de esta manera, se estimula a que los estudiantes piensen de manera ms amplia.a)x3 x 2 x3b)1 dxo1 dxtan 3x sec 2 3x dxUna funcin y f(x) es una solucin de una ecuacin diferencial, si la ecuacin se satisface cuando y y sus derivadas se remplazan por f(x) y sus derivadas. Una manera de resolver una ecuacin diferencial es mediante los campos de pendientes, los cuales muestran la forma de todas las soluciones de una ecuacin diferencial. (Ver seccin 6.1)o 405tan 3x dxNOTAS HISTRICAS Y BIOGRAFASLas notas histricas proporcionan a los estudiantes informacin sobre los fundamentos del clculo; las biografas les ayudan a sensibilizar y a ensearles acerca de las personas que contribuyeron a la creacin formal del clculo.DESAFOS DEL EXAMEN PUTNAMnn1on1n8?134. Demostrar que si x es positivo, entonces loge 11 1 . > x 1 xEstos problemas fueron preparados por el Committee on the Putnam Prize Competition. The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados.Las preguntas del examen Putnam aparecen en algunas secciones y se toman de los exmenes Putnam reales. Estos ejercicios extendern los lmites del entendimiento de los estudiantes en relacin con el clculo y brindarn desafos adicionales para aquellos ms interesados.The Granger CollectionPreparacin del examen Putnam 133. Cul es mayordonde nDr. Dennis Kunkel/Getty ImagesSegn el tipo de bacteria, el tiempo que le toma duplicar su peso al cultivo puede variar mucho, desde varios minutos hasta varios das. Cmo usara una ecuacin diferencial para modelar la tasa de crecimiento del peso del cultivo de una bacteria? (Vea la seccin 6.3, ejercicio 84.)LA SUMA DE LOS PRIMEROS CIEN ENTEROSBLAISE PASCAL (1623-1662)El maestro de Carl Friedrich Gauss (17771855) pidi a sus alumnos que sumaran todos los enteros desde 1 hasta 100. Cuando Gauss regres con la respuesta correcta muy poco tiempo despus, el maestro no pudo evitar mirarle atnito. Lo siguiente fue lo que hizo Gauss:Pascal es bien conocido por sus .. . 1 2 3 100 contribuciones a diversas reas de las ... 99 98 1 matemticas y de la fsica, as como por 100 ... 101 101 101 su inuencia con Leibniz. Aunque buena 101 100 101 parte de su obra en clculo fue intuitiva y 5 050 carente del rigor exigible en las matemticas 2 modernas, Pascal anticip muchos Esto se generaliza por medio del teorema resultados relevantes. 4.2, donde 100i t1100 101 25 050.PROYECTOS DE SECCINLos proyectos aparecen en algunas secciones y exploran a mayor profundidad las aplicaciones relacionadas con los temas que se estn estudiando. Proporcionan una forma interesante y entretenida para que los estudiantes trabajen e investiguen ideas de manera conjunta.PROYECTO DE TRABAJODemostracin del teorema fundamental Utilizar una herramienta de gracacin para representar la funcin y1 . Sea F(x) la siguiente funcin sen2t en el intervalo 0 t de x. xFxb)Utilizar las funciones de integracin de una herramienta de gracacin para representar F.c)Emplear las funciones de derivacin de una herramienta de gracacin para hacer la grca de F (x). Cmo se relaciona esta grca con la grca de la parte b)?d)Vericar que la derivada de y (1 2)t (sen 2t) 4 es sen2t. Gracar y y escribir un pequeo prrafo acerca de cmo esta grca se relaciona con las de los apartados b) y c).sen 2 t dt 0a)Completar la tabla. Explicar por qu los valores de estn creciendo.x Fx063223 56 18. xviCaractersticasTecnologa integrada para el mundo actualx 2xEncontrarINVESTIGACIONES CON SISTEMAS ALGEBRAICOS POR COMPUTADORACambio de variablesEJEMPLO 51 dx.Los ejemplos a lo largo del libro se acompaan de investigaciones que emplean un sistema algebraico por computadora (por ejemplo, Maple) para explorar de manera adicional un ejemplo relacionado en el libro. Permiten a los estudiantes explorar el clculo manipulando funciones, grficas, etc., y observar los resultados.Solucin Como en el ejemplo previo, considerar que u 2x 1 para obtener dx du 2. Como el integrando contiene un factor de x, se tiene que despejar x en trminos de u, como se muestra.u2xx1u1 2Resolver para x en trminos de u.Despus de esto, utilizando la sustitucin, se obtienex 2xu1 dxu11 u3 2 4 1 u5 2 4 5 2 1 2x 102du 2u11 22duu3 2C3 2 11 2x 65 23 21C. Razonamiento grco En los ejercicios 55 a 58, a) usar una herramienta de gracacin para representar grcamente la funcin, b) representar su funcin inversa utilizando la herramienta de gracacin y c) determinar si la grca de la relacin inversa es una funcin inversa. Explicar la respuesta.EJERCICIOS CON HERRAMIENTAS DE GRAFICACINLa comprensin con frecuencia mejora utilizando una grfica o visualizacin. Los ejercicios de tecnologa de graficacin piden a los estudiantes recurrir a una herramienta de graficacin para ayudar a encontrar una solucin.55.f xx3xdy dx0.25y,y0CAS En los ejercicios 79 a 82, usar un sistema algebraico por compu-468.dy dx4y06y,69.dy dx0.02y 1070.dy dx0.2x 271.dy dx0.4y 372.dy dx1 e 2x 8y,79.ay081.2y,y0 y01113dx80.1 d sen82.x x22 4xexe 213 x 3dxdx9x,1 4xx2seny , 4y0hxx 4x2A lo largo del libro, los recuadros de tecnologa dan a los estudiantes una visin de cmo la tecnologa puede usarse para ayudar a resolver problemas y explorar los conceptos del clculo. No slo proporcionan discusiones acerca de dnde la tecnologa tiene xito, sino tambin sobre dnde puede fracasar.tadora para encontrar la integral. Usar el sistema algebraico por computadora para hacer la grfica de dos antiderivadas. Describir la relacin entre las grficas de las dos antiderivadas.67.56.TECNOLOGACAS Campos de pendientesEn los ejercicios 67 a 72, usar un sistema algebraico por computadora para a) trazar la grfica del campo de pendientes para la ecuacin diferencial y b) trazar la grfica de la solucin que satisface la condicin inicial especificada.4CAS En los ejercicios 33 a 40, usar un sistema algebraico por computado-2ra para determinar la primitiva que atraviesa el punto dado. Usar el sistema para hacer la grca de la antiderivada resultante. 33. 35.x25x 10x25x2 x 2 dx, x2 2 2dx, 6, 0 34. 0, 16x 2 x2 x36.1 dx, 13x3 x242dx,2, 1 3, 4EJERCICIOS CON SISTEMAS ALGEBRAICOS POR COMPUTADORANUEVO! De igual manera que los ejercicios con herramientas de graficacin, algunos ejercicios pueden resolverse mejor utilizando un sistema algebraico por computadora. Estos ejercicios son nuevos en esta edicin.TECNOLOGA La regla de Simpson puede usarse para dar una buena aproximacin del valor de la integral en el ejemplo 2 (para n 10, la aproximacin es 1.839). Al usar la integracin numrica, sin embargo, se debe estar consciente de que la regla de Simpson no siempre da buenas aproximaciones cuando algunos de los lmites de integracin estn cercanos a una asntota vertical. Por ejemplo, usando el teorema fundamental del clculo, se obtiene 1.99 0x 43 dx x26.213.Aplicando la regla de Simpson (con n macin de 6.889.10) para esta integral se produce una aproxi- 19. PPreparacin para el clculoEn este captulo se revisan varios conceptos que lo ayudarn a prepararse para el estudio del clculo. Estos conceptos incluyen el dibujo de grficas y funciones as como el ajuste de modelos matemticos a conjuntos de datos. Es importante repasar estos conceptos antes de adentrarse en el clculo. En este captulo, se aprender: n Cmo identificar las caractersticas de las ecuaciones y dibujar sus grficas. (P.1) n Cmo encontrar y graficar ecuaciones de rectas, incluidas rectas paralelas y perpendiculares, utilizando el concepto de pendiente. (P.2) n Cmo evaluar y graficar funciones y sus diferentes transformaciones. (P.3) n Cmo ajustar modelos matemticos a conjuntos de datos encontrados en la vida real. (P.4)Jeremy Walker/Getty ImagesEn 2006, China rebas a Estados Unidos como el mayor emisor de dixido de carbono del mundo, el principal gas del efecto invernadero. Dadas las concentraciones de dixido de carbono en la atmsfera durante varios aos, pueden los viejos modelos matemticos predecir con exactitud las futuras concentraciones atmosfricas en comparacin con modelos ms recientes? (Ver la seccin P.1, ejemplo 6.)Los modelos matemticos se usan generalmente para describir conjuntos de datos y pueden representarse por diferentes tipos de funciones tales como las lineales, cuadrticas, cbicas, racionales y trigonomtricas. (Ver la seccin P.4.)1 20. 2CAPTULO PP.1Preparacin para el clculoGrficas y modelos Trazar la grca de una ecuacin. Encontrar las intersecciones de una grca con los ejes. Analizar las posibles simetras de una grca con respecto a un eje y el origen. Encontrar los puntos de interseccin de dos grcas. Interpretar modelos matemticos con datos de la vida real.Archive PhotosLa grca de una ecuacinREN DESCARTES (1596-1650) Descartes hizo numerosas contribuciones a la losofa, la ciencia y las matemticas. En su libro La Gomtrie, publicado en 1637, describi la idea de representar los puntos del plano por medio de pares de nmeros reales y las curvas en el plano mediante ecuaciones.En 1637, el matemtico francs Ren Descartes revolucion las matemticas al unir sus dos ramas principales: lgebra y geometra. Con ayuda del plano coordenado de Descartes, los conceptos geomtricos se pudieron formular de manera analtica y los algebraicos visualizarse de forma grfica. La potencia de este mtodo es tal que durante un siglo se consigui desarrollar la mayor parte del clculo. Las posibilidades de xito en el clculo aumentarn siguiendo el mismo mtodo. Es decir, realizar el clculo desde mltiples perspectivas grca, analtica y numrica incrementar la comprensin de los conceptos fundamentales. Considerar la ecuacin 3x + y 7. El punto (2, 1) es un punto solucin de la ecuacin puesto que esta ltima se satisface (es verdadera) cuando se sustituye x por 2 y y por 1. Esta ecuacin tiene muchas otras soluciones, como (1, 4) y (0, 7). Para encontrarlas de manera sistemtica, despejar y de la ecuacin inicial. 7y3xMtodo analtico.Ahora, elaboramos una tabla de valores dando valores de x.x8(1, 4)4 23x7y(2, 1) 2246(3, 2)4x87413 24 Mtodo numrico.57, en realidad slo NOTA Aunque se mencione el dibujo de la gura P.1 como la grca de 3x + y representa una porcin de la misma. La grca completa se extendera fuera de la pgina.(4, 5)62A partir de la tabla, puede verse que (0, 7), (1, 4), (2, 1), (3, 2) y (4, 5) son soluciones de la ecuacin inicial 3x + y 7. Al igual que muchas ecuaciones, sta tiene una cantidad infinita de soluciones. El conjunto de todos los puntos solucin constituye la grfica de la ecuacin, como ilustra la figura P.1.(0, 7)61yy0Procedimiento grco: 3x7yFigura P.1En este curso se estudiarn varias tcnicas para la representacin grca. La ms simple consiste en dibujar puntos hasta que la forma esencial de la grca se haga evidente. EJEMPLO 1Dibujo de una grca mediante el trazado de puntosyDibujar la grfica de y7 6 5 4x2y2x22.Solucin Primero construimos una tabla de valores. A continuacin, marcamos los puntos dados en la tabla.3x2 1 x 432La parbola y Figura P.22x232y2 21 10 21 123274Por ltimo, unir los puntos con una curva suave, como se muestra en la gura P.2. Esta grca es una parbola. Se trata de una de las cnicas que se estudiarn en el captulo 10. 21. SECCIN P.1Grcas y modelos3Uno de los inconvenientes de la representacin mediante el trazado de puntos radica en que la obtencin de una idea conable de la forma de una grca puede exigir que se marque un gran nmero de puntos. Utilizando slo unos pocos, se corre el riesgo de obtener una visin deformada de la grca. Por ejemplo, suponiendo que para dibujar la grca de 1 30 xy10x239x4se han marcado slo cinco puntos: ( 3, 3), ( 1, 1), (0, 0), (1, 1) y (3, 3), como se muestra en la gura P.3a. A partir de estos cinco puntos, se podra concluir que la grca es una recta. Sin embargo, esto no es correcto. Trazando varios puntos ms puede verse que la grca es ms complicada, como se observa en la gura P.3b. y yx (39y(3, 3)310x 2x 4)32 2(1, 1)11(0, 0) x321( 1, 1)1 1 2( 3, 3)23x 3Si se marcan pocos puntos, puede obtenerse una grfica incorrecta321a) b) c) d) e) f)y y y y y y3x2 2x 5 3x2 2x 25 x3 3x2 20x 5 3x3 40x2 50x 45 (x 12)3 (x 2)(x 4)(x 6)32 3a)b)Figura P.3 TECNOLOGA La tecnologa moderna ha simplicado el dibujo de grcas. No obstante, incluso recurriendo a ella, es posible desgurar una grca. Por ejemplo, las pantallas de una herramienta de gracacin de la gura P.4 muestran una porcin de la grca dex3 x3Resolver este problema usando slo mtodos grcos conllevara una estrategia simple de intuicin, comprobacin y revisin. Qu tipo de aspectos podra involucrar un planteamiento analtico? Por ejemplo, tiene simetras la grca?, tiene inexiones? Si es as, dnde estn? A medida que se avance por los captulos 1, 2 y 3 de este texto, se estudiarn muchas herramientas analticas nuevas que sern de ayuda para analizar grcas de ecuaciones como stas.21EXPLORACINComparacin de los mtodos grco y analtico Utilizar una herramienta de gracacin para representar cada una de las siguientes ecuaciones. En cada caso, encontrar una ventana de representacin que muestre las principales caractersticas de la grca.1yx3x225.La pantalla de la izquierda puede inducir a pensar que la grfica es una recta. Sin embargo, la de la derecha muestra que no es as. Entonces, cuando se dibuja una grfica ya sea a mano o mediante una herramienta de gracacin, debe tenerse en cuenta que las diferentes ventanas de representacin pueden dar lugar a imgenes muy distintas de la grfica. Al elegir una ventana, la clave est en mostrar una imagen de la grfica que se adecue al contexto del problema. 5105105103510Visualizaciones en la pantalla de una herramienta de gracacin de y3x2x25Figura P.4 NOTA En este libro, el trmino herramienta de gracacin se refiere a una calculadora graficadora o a un programa graficador como Maple, Mathematica o a la calculadora TI-89. 22. 4CAPTULO PPreparacin para el clculoIntersecciones de una grca con los ejes Dos tipos de puntos solucin tiles al representar grficamente una ecuacin son aquellos en los que la coordenada x o y es cero. Tales puntos se denominan intersecciones con los ejes porque son los puntos en que la grfica corta (hace interseccin con) el eje x o el eje y. Un punto del tipo (a, 0) es una interseccin en x de la grfica de una ecuacin si es un punto solucin de sta. Para determinar las intersecciones en x de una grfica, igualar y a cero y despejar x de la ecuacin resultante. De manera anloga, un punto del tipo (0, b) es una interseccin en y de la grfica de una ecuacin si es un punto solucin de la misma. Para encontrar las intersecciones en y de una grfica, igualar x a cero y despejar y de la ecuacin resultante. En algunos textos se denomina x interseccin a la coordenada x del punto (a, 0) en lugar NOTA del propio punto. Salvo que sea necesario distinguirlos, se usar el trmino interseccin para denotar tanto al punto de interseccin con el eje x como a su abscisa.Es posible que una grca carezca de intersecciones con los ejes, o que presente varias de ellas. Por ejemplo, considerar las cuatro grcas de la gura P.5. yyyxyxxNo hay intersecciones con el eje x Una interseccin con el eje yTres intersecciones con el eje x Una interseccin con el eje yUna interseccin con el eje x Dos intersecciones con el eje yxNo hay interseccionesFigura P.5Determinacin de las intersecciones con los ejes x y yEJEMPLO 2Encontrar las intersecciones con los ejes en la grfica de yx3x344x3( 2, 0)x(x (0, 0)(2, 0) x431112 3 4Intersecciones de una grca Figura P.64x.Solucin Para determinar las intersecciones en x, hacer y igual a cero y despejar x.yyx3344x0y se iguala a cero.2) (x2) x0 0, 2 oFactorizar.2Despejar x.Puesto que esta ecuacin admite tres soluciones, se puede concluir que la grca tiene tres intersecciones en x: (0, 0), (2, 0) y ( 2, 0)Intersecciones en x.Para encontrar las intersecciones en y, igualar x a cero. Resulta entonces y la interseccin en y es (0, 0)0. Por tanto,Interseccin en y.(Ver la figura P.6.) TECNOLOGA En el ejemplo 2 se utiliza un mtodo analtico para determinar las intersecciones con los ejes. Cuando no es posible tal enfoque analtico, se puede recurrir a mtodos grcos, buscando los puntos donde la grca toca los ejes. Utilizar una herramienta de gracacin para aproximar las intersecciones. 23. SECCIN P.1yGrcas y modelos5Simetras de una grca Es til conocer la simetra de una grfica antes de intentar trazarla, puesto que slo se necesitarn la mitad de los puntos para hacerlo. Los tres tipos siguientes de simetras pueden servir de ayuda para dibujar la grfica de una ecuacin (ver la figura P.7).(x, y)( x, y)x1.Simetra con respecto al eje yUna grca es simtrica respecto al eje y si, para cada punto (x, y) de la grca, el punto ( x, y) tambin pertenece a la grca. Esto signica que la porcin de la grca situada a la izquierda del eje y es la imagen especular de la situada a la derecha de dicho eje. Una grca es simtrica respecto al eje x si, para cada punto (x, y) de la grca, el punto (x, y) tambin pertenece a la grca. Esto quiere decir que la porcin de la grca situada sobre el eje x es la imagen especular de la situada bajo el mismo eje. Una grca es simtrica respecto al origen si, para cada punto (x, y) de la grca, el punto ( x, y) tambin pertenece a la grca. Esto signica que la grca permanece inalterada si se efecta una rotacin de 180 respecto al origen.2.y3. (x, y)CRITERIOS DE SIMETRAx1.(x, y)Simetra con respecto al eje xLa grca de una ecuacin en x y y es simtrica respecto al eje y si al sustituir x por x en la ecuacin se obtiene una ecuacin equivalente. La grca de una ecuacin en x y y es simtrica respecto al eje x si al sustituir y por y en la ecuacin resulta una ecuacin equivalente.2. y3.La grca de un polinomio es simtrica respecto al eje y si cada uno de los trminos tiene exponente par (o es una constante). Por ejemplo, la grca de y 2x4 x2 2 es simtrica respecto al eje y. La grfica de un polinomio es simtrica respecto al origen si cada uno de los trminos tiene exponente impar, como se ilustra en el ejemplo 3.(x, y) x( x, y)La grca de una ecuacin en x y y es simtrica respecto al origen si al sustituir x por x y y por y en la ecuacin se obtiene una ecuacin equivalente.Simetra con respecto al origenComprobacin de la simetraEJEMPLO 3 Figura P.7Verificar si la grfica de y2x3x es simtrica respecto al eje y y respecto al origen.Solucin Simetra respecto al eje y: 2x3y y yy = 2x 3xEscribir ecuacin original.x 32( x)y2x3( x) xy(1, 1)12x3( 1, 1)11 2Simetra con respecto al origen Figura P.8Simplificar. No es una ecuacin equivalente.x2Escribir ecuacin original.3y2( x)y2x3y3x 1x.Simetra respecto al origen:22Sustituir x por2x( x) xxSustituir x porx y y pory.Simplicar. Ecuacin equivalente.Puesto que la sustitucin x por x y y por y produce una ecuacin equivalente, se concluye que la grfica de y 2x3 x es simtrica con respecto al origen, como se muestra en la figura P.8. 24. 6CAPTULO PPreparacin para el clculoEJEMPLO 4 Uso de las intersecciones y de las simetraspara representar una grca y2Dibujar la grfica de x1.yy2xSolucin La grfica es simtrica respecto al eje x porque al sustituir y por una ecuacin equivalente.(5, 2)12(2, 1)1234x5x1Interseccin en x2y21Escribir ecuacin original.2x(1, 0)1 1Sustituir y pory se obtiene( y) x y2y.Ecuacin equivalente.Esto significa que la porcin de la grfica situada bajo el eje x es una imagen especular de la porcin situada sobre el eje. Para dibujar la grfica, graficar primero la interseccin con el eje x y la porcin sobre el eje x. Despus, reflejar el dibujo en el eje x y obtener la grfica completa, como se muestra en la figura P.9.Figura P.9TECNOLOGA Las herramientas de gracacin estn diseadas para dibujar con mayor facilidad ecuaciones en las que y est en funcin de x (ver la denicin de funcin en la seccin P.3). Para representar otro tipo de ecuaciones, es necesario dividir la grca en dos o ms partes, o bien, utilizar un modo grco diferente. Por ejemplo, la grca de la ecuacin del ejemplo 4, puede dividirse en dos partes:y1x 1Porcin superior de la grca.y2x 1Porcin inferior de la grca.Puntos de interseccin Se llama punto de interseccin de las grficas de dos ecuaciones a todo punto que satisfaga ambas ecuaciones. Los puntos de interseccin de dos grficas se determinan al resolver sus ecuaciones de manera simultnea. EJEMPLO 5 Determinacin de los puntos de intersecciny 2xyCalcular los puntos de interseccin de las grficas de x211(2, 1) x21121( 1, 2)y xyx2 Dos puntos de interseccin AYUDA DE ESTUDIO Vericar los puntos de interseccin del ejemplo 5 sustituyndolos en la ecuacin original o usando la funcin de interseccin de su herramienta de gracacin o computadora.x2 xx2 xx2y3Figura P.103yxy1.Solucin Comenzar por representar las grficas de ambas ecuaciones en el mismo sistema de coordenadas rectangulares, como se muestra en la figura P.10. Hecho esto, resulta evidente que las grficas tienen dos puntos de interseccin. Para determinarlos, se puede proceder como sigue.2 2yx13 2x 011 x0 2o3Despejar y de la primera ecuacin. Despejar y de la segunda ecuacin. Igualar los valores obtenidos de y. Escribir la ecuacin en la forma general. Factorizar.1Despejar x.Los valores correspondientes de y se obtienen sustituyendo x 2 y x l en cualquiera de las ecuaciones originales. Resultan as los dos puntos de interseccin: (2, 1) y ( 1,2)Puntos de interseccin. 25. SECCIN P.1Grcas y modelos7Modelos matemticos Al aplicar las matemticas en la vida real con frecuencia se usan ecuaciones como modelos matemticos. Si se desarrolla un modelo matemtico con el fin de representar datos reales, debe esforzarse por alcanzar dos objetivos a menudo contradictorios: precisin y sencillez. Es decir, el modelo deber ser lo bastante sencillo como para poder manejarlo, pero tambin preciso como para producir resultados significativos. En la seccin P.4 se tratan estos objetivos con ms detalle.316.2y0.70t0.018t2Modelo cuadrtico para los datos de 1960 a 1990.donde t 0 representa a 1960, como se muestra en la figura P.11a. Los datos que se muestran en la gura P.11b representan los aos 1980 a 2007, y pueden modelarse mediante 304.1yl.64tModelo lineal para los datos de 1980 a 2007.donde t 0 representa a 1960. Cul fue el pronstico dado en el artculo de Scientific American de 1990? Dados los datos ms recientes de los aos 1990 a 2007, parece exacta esa prediccin para el ao 2035? yy)385 380 375 370 365 360 355 350 345 340 335 330 325 320 315CO2 (en partes porCO2 (en partes porEl observatorio de Mauna Loa en Hawai ha medido el incremento en la concentracin de dixido de carbono en la atmsfera terrestre desde 1958. El dixido de carbono es el principal gas causante del efecto invernadero responsable directo del calentamiento global.El aumento de dixido de carbono atmosfricoEl observatorio de Mauna Loa, Hawai, registra la concentracin de dixido de carbono (en partes por milln) en la atmsfera terrestre. En la figura P.11 se muestran los registros correspondientes al mes de enero de varios aos. En el nmero de julio de 1990 de Scientific American, se utilizaron esos datos para pronosticar el nivel de dixido de carbono en la atmsfera terrestre en el ao 2035, utilizando el modelo cuadrtico:) JG Photography/AlamyEJEMPLO 6385 380 375 370 365 360 355 350 345 340 335 330 325 320 315tt 5 10 15 20 25 30 35 40 45 505 10 15 20 25 30 35 40 45 50(0a)1960)(0b)1960)Figura P.11Solucin Para responder a la primera pregunta, se sustituye t el modelo cuadrtico. y Los modelos del ejemplo 6 se han elaborado usando un mtodo denominado ajuste por mnimos cuadrados (ver la seccin 13.9). El modelo lineal tiene una correlacin dada por r 2 0.997 y el modelo cuadrtico por r 2 0.994. Cuanto ms prximo es r 2 a 1, mejor es el modelo. NOTA316.20.70(75)0.018(75)2469.9575 (para el ao 2035) enModelo cuadrtico.De tal manera, el pronstico establecido en el artculo de Scientific American deca que la concentracin de dixido de carbono en la atmsfera terrestre alcanzara alrededor de 470 partes por milln en el ao 2035. Utilizando el modelo lineal con los datos de los aos 1980 a 2007, el pronstico para el ao 2035 es y304.11.64(75)427.1Modelo lineal.Por tanto, de acuerdo con el modelo lineal para los aos 1980 a 2007, parece que el pronstico de 1990 fue demasiado elevado. 26. 8CAPTULO PP.1Preparacin para el clculoEjerciciosEn los ejercicios 1 a 4, relacionar cada ecuacin con su grfica. a)b)yyEn los ejercicios 19 a 28, encontrar todas las intersecciones con los ejes. 19. y2x321. yx22223. yx 1611 xx 11c)11113d)31.211x2x222x2y233. xy3 x234. yx3xEn los ejercicios 5 a 14, elaborar la grfica de la ecuacin mediante el trazado de puntos.5. y1 2x7. y 9. y54x28. yx3x210. yx13. y612. y 14. yx34x 23y2x3x2 x3xx16x20x238. y110 436. xy x21x340. yEn los ejercicios 41 a 58, trazar la grfica de la ecuacin. Identificar todas las intersecciones con los ejes y determinar si existe simetra. 41. y2 1 2x3x3 2x42. y444. y9x246. yx2x348. y2x 2x350. yx3x x y355. y8 x57. y662 3x49. y2x 116. y1x47. yEn los ejercicios 15 y 16, describir las ventanas de la figura. 15.1xx334. xy 2 x45. y21xx232. y8x443. y2xxx22x28. y53. x6. y3 xx23x 123x51. y211. yx230. y6x3x39. yx292. y04x 1x26. y4y435. y 37. y1. y 3. yx23x324. yx23 2x22.5x29. y412 x2y2En los ejercicios 29 a 40, buscar si existe simetra respecto a cada uno de los ejes y respecto al origen.y24x220. yx225. y 27. x 2yy22522 53 x 4x x22552. y 54. xy241056. yx21658. yx1xEn los ejercicios 59 a 62, utilizar una herramienta de graficacin para dibujar la grfica de la ecuacin. Identificar toda interseccin con los ejes y determinar si existe simetra. 59. y 2x960. x 24y 243y 2En los ejercicios 17 y 18, utilizar una herramienta de graficacin para representar la ecuacin. Desplazar el cursor a lo largo de la curva para determinar de manera aproximada la coordenada desconocida de cada punto solucin, con una exactitud de dos decimales. 17. y 18. y6 61. x 62. 3x 4y 2 8 En los ejercicios 63 a 70, encontrar los puntos de interseccin de las grficas del par de ecuaciones. 63.xy864. 3xx5xa)5xa)2, y 0.5, yb)x, 3b)x,4y7y666. xx54x 65. x 2y4yx2y25y167.xEl smbolo seala los ejercicios donde se pide utilizar tecnologa grca o un sistema de lgebra computacional. La resolucin de los dems ejercicios tambin puede simplicarse mediante el uso de la tecnologa adecuada.2y4x68.2y 1x 3x10 y23 x24y225y15 27. SECCIN P.1x369. y y70. yxx3donde x es el dimetro en milsimas de pulgada. Representar el modelo en la herramienta de gracacin. Si se duplica el dimetro del hilo, en qu factor aproximado vara la resistencia?4x 2xyEn los ejercicios 71 a 74, utilizar una herramienta de graficacin para encontrar los puntos de interseccin de las grficas. Verificar los resultados de manera analtica. x371. y2x 2x172. yx4x22x 21x2y 3x 1 y 1 73. y 74. y x 6 2x 3 6 73. 2 x 4x y y 6 x 75. Modelado matemtico En la tabla se muestra el ndice de Precios al Consumidor (IPC) para una seleccin de varios aos. (Fuente: Bureau of Labor Statistics.)1975 IPC1980198519901995200053.882.4107.6130.7152.4172.2Desarrollo de conceptos En los ejercicios 79 y 80, escribir una ecuacin cuya grfica tenga la propiedad que se indica (puede existir ms de una respuesta correcta). 79.La grca tiene intersecciones en x4, x80.La grca tiene intersecciones en x3 2,81.a) Comprobar que si una grca es simtrica con respecto al eje x y al eje y, entonces es simtrica con respecto al origen. Dar un ejemplo que muestre que lo contrario no es cierto. b) Comprobar que si una grca es simtrica con respecto a cualquiera de los ejes y al origen, entonces es simtrica con respecto al otro eje.2005 195.3a) Utilizar una herramienta de gracacin para el clculo de regresin con el n de encontrar un modelo matemtico de la forma y at2 bt c para los datos. En este modelo, y representa el IPC y t representa el ao, donde t 5 corresponde a 1975. b) Representar el modelo en la calculadora y comparar los datos. c) Utilizar el modelo para predecir el IPC del ao 2010.1990199319961999200282.16448614177. Punto de equilibrio Calcular las ventas necesarias para alcanzar el punto de equilibrio (R C), si el costo* C de producir x unidades es: Ecuacin de costo. C 5.5 x 10 000 y los ingresos R por vender x unidades son:3.29x.iv) y* En Espaa se le denomina coste. ** En Espaa las siguientes unidades de medicin se denominan: volts voltios; amperes amperios; ohms ohmios; henrys henrios; decibeles decibelios; watts watios.3x3x ii) y v) y3x 23x23iii) y3xvi) y3 3xb) Tres intersecciones con el eje x c) Simtrica con respecto al eje x d)( 2, 1) es un punto de la grcae) Simtrica con respecto al origen f) La grca pasa por el origen Verdadero o falso? En los ejercicios 83 a 86, determinar cundo la afirmacin es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qu o proporcionar un ejemplo que demuestre que es falsa. 83.Si ( 4, 5) es el punto de una grca simtrica con respecto al eje x, entonces (4, 5) tambin es un punto de dicha grca.84. Si ( 4, 5) es el punto de una grca simtrica con respecto al eje y, entonces (4, 5) tambin es un punto de dicha grca. 85.Si b2 4ac 0 y a 0, entonces la grca de y c tiene dos intersecciones con x.ax2bx86.Si b2 4ac 0 y a 0, entonces la grca de y c slo tiene una interseccin con x.ax2bxEcuacin de ingresos.78. Alambre de cobre La resistencia y en ohms** de 1 000 pies de alambre de cobre a 77 F admite el modelo matemtico 10 770 5 x 100 y 0.37, x23x3a) Simtrica con respecto al eje y208a) Utilizar la funcin de regresin de una herramienta de gracacin y encontrar as un modelo matemtico de la forma y at2 bt c de los datos. En este modelo, y representa el nmero de usuarios y t representa el ao, donde t 0 corresponde a 1990. b) Utilizar una herramienta de gracacin para colocar los datos y gracar el modelo. Comparar los datos con el modelo. c) Utilizar el modelo para predecir el nmero de usuarios de telfonos mviles en Estados Unidos en el ao 2015.8. 5 2.Relacionar la ecuacin o ecuaciones con las caractersticas dadas. i) y20055x3y x 4, y xPara discusin76. Modelo matemtico La siguiente tabla muestra el nmero de usuarios de telfonos mviles (en millones) en Estados Unidos en los aos mostrados. (Fuente: Cellular Telecommunications and Internet Association.)R9Grcas y modelosEn los ejercicios 87 y 88, encontrar una ecuacin de la grfica que se compone de todos los puntos (x, y) que tienen la distancia dada respecto al origen (repasar la frmula de la distancia en el apndice C). 87.La distancia respecto al origen es el doble de la distancia que hay desde (0, 3).88.La distancia respecto al origen se obtiene al multiplicar la distancia que hay desde el punto (2, 0) por K (K 1). 28. 10CAPTULO PP.2Preparacin para el clculoModelos lineales y ritmos o velocidades de cambio Encontrar la pendiente de una recta que pasa por dos puntos. Escribir la ecuacin de una recta dados un punto y su pendiente. Interpretar la pendiente como razn o ritmo en aplicaciones cotidianas. Trazar la grca de una ecuacin lineal en la forma pendiente-interseccin. Escribir las ecuaciones de rectas que son paralelas o perpendiculares a una recta dada. La pendiente de una recta La pendiente de una recta no vertical es una medida del nmero de unidades que la recta asciende (o desciende) verticalmente por cada unidad de variacin horizontal de izquierda a derecha. Considerar los dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) de la recta de la gura P.12. Al desplazarse de izquierda a derecha por la recta, se produce una variacin vertical dey(x2, y2)y2y1y y2(x1, y1) x x2yx1x1y xy1 x1y2Cambio en y.y1unidades por cada variacin horizontal dexx2y2 x2y1xcambio en y cambio en xx2Cambio en x.x1unidades. ( es la letra griega delta mayscula y los smbolos y y x se leen delta de y y delta de x.)Figura P.12DEFINICIN DE LA PENDIENTE DE UNA RECTA La pendiente m de una recta no vertical que pasa por los puntos (x1, y1) y (x2, y2) es y xmy2 x2y1 , x1x2 .x1La pendiente no est denida por rectas verticales. NOTAy2 x2Al aplicar la frmula de la pendiente, observar que( y1 ( x1y1 x1y2 ) x2 )y1 x1y2 . x2Por tanto, no importa el orden en que se reste, siempre que sea coherente y las dos coordenadas restadas provengan del mismo punto.En la gura P.13 se muestran cuatro rectas con pendiente: una positiva, otra cero, otra negativa y otra indenida. En general, cuanto mayor sea el valor absoluto de la pendiente de una recta, mayor es su inclinacin. Por ejemplo, en la gura P.13, la recta con pendiente 5 est ms inclinada que la de pendiente 1. 5 yy4m1 =3( 1, 2)2(3, 1)1( 2, 0)41 5340m211231Si m es positiva, la recta sube de izquierda a derecha Figura P.13(0, 4)32211 11231Si m es cero, la recta es horizontalm 4 est indefinida1(3, 1)xx2(3, 4)4m33(2, 2)x2yy21 1(1, 1)34Si m es negativa, la recta baja de izquierda a derechax 11241Si m es indenida, la recta es vertical 29. SECCIN P.2EXPLORACINEstudio de ecuaciones de rectas Utilizar una herramienta de gracacin para dibujar cada una de las siguientes ecuaciones lineales. Qu punto es comn a las siete rectas? Qu nmero determina la pendiente de la recta en cada ecuacin? a) y b) y42x 1x41 2140x41 2x41x142x(x2*, y2*)1g) yy1e) y f) yPara calcular la pendiente de una recta pueden utilizarse dos de sus puntos cualesquiera. Esto puede vericarse con ayuda de los tringulos semejantes de la gura P.14. (Recordar que los cocientes de los lados correspondientes de dos tringulos semejantes son todos iguales.)(x2, y2)1c) y d) yEcuaciones de las rectas141x11Modelos lineales y ritmos o velocidades de cambio(x1, y1) (x1*, y1*) xy 2* x2 *my1* x1*y2 x2y1 x1Cualquier par de puntos de una recta determina su pendienteUtilizar los resultados para construir la ecuacin de una recta que pase por ( 1, 4) con una pendiente de m.Figura P.14Se puede escribir la ecuacin de una recta si se conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos. Dada la pendiente m y un punto (x1, y1). Si (x, y) denota cualquier otro punto de la recta, entonces y y1 x x1m.Esta ecuacin, que involucra las dos variables x y y, se puede escribir de la forma y m(x x1), la cual es conocida como ecuacin punto-pendiente de una recta.y1ECUACIN PUNTO-PENDIENTE DE UNA RECTA La ecuacin de la recta con pendiente m que pasa por el punto (x1, y1) est dada por y yy3xy1m(xx1).51EJEMPLO 1Determinacin de la ecuacin de una rectax 131y2 3x431Encontrar la ecuacin de la recta con pendiente 3 que pasa por el punto (1, 2). Solucin4y1m(xx1)Forma punto-pendiente.( 2)3(x1)Sustituir y1 poryy5La recta de pendiente 3 que pasa por el punto (1, 2) Figura P.1523x3Simplicar.yy3x52, x1 por l y m por 3.Despejar y.(Ver la gura P.15.) NOTA Recordar que la pendiente puede usarse slo para describir una recta no vertical. De tal manera, las rectas verticales no pueden expresarse mediante ecuaciones punto-pendiente. Por ejemplo, la ecuacin de la recta vertical que pasa por el punto (1, 2) es x 1. 30. 12CAPTULO PPreparacin para el clculoRazones y ritmos o velocidades de cambio La pendiente de una recta puede interpretarse ya sea como una razn o como una proporcin, o bien como una tasa, ritmo o velocidad de cambio. Si los ejes x y y tienen la misma unidad de medida, la pendiente no tiene unidades y es una razn o proporcin. Si los ejes x y y tienen distintas unidades de medida, la pendiente es una tasa, ritmo o velocidad de cambio. Al estudiar clculo, se encontrarn aplicaciones relativas a ambas interpretaciones de la pendiente. EJEMPLO 2 Crecimiento de poblaciones y diseo tcnico 6 5838 0004a) La poblacin de Colorado era de 3 827 000 habitantes en 1995 y de 4 665 000 en 2005. Durante este periodo de 10 aos, el ritmo o velocidad de cambio promedio de la poblacin fue:103cambio en poblacin a cambio en aosRitmo o velocidad de cambio =2 1 199520054 665 000 3 827 000 9 2005 1995201583 800 personas por ao.Poblacin de Colorado en el censo Figura P.16Si la poblacin de Colorado contina creciendo a este ritmo durante los prximos 10 aos, en 2015 alcanzar 5 503 000 habitantes (ver la gura P.16). (Fuente: U.S. Census Bureau.) b) En un torneo de saltos de esqu acutico, la rampa se eleva hasta una altura de 6 pies sobre una balsa de 21 pies de largo, como se ilustra en la gura P.17. La pendiente de la rampa de esqu es el cociente entre su altura (ascenso) y la longitud de su base (avance). Pendiente de la rampa =ascenso avance 6 pies 21 piesAscenso es el cambio vertical, avance es el cambio horizontal.2 7 Observar que, en este caso, la pendiente es una proporcin y se expresa sin unidades.6 pies21 piesDimensiones de una rampa de esqu acutico Figura P.17El ritmo o velocidad de cambio calculado en el ejemplo 2a es un ritmo o velocidad de cambio medio. Un ritmo o velocidad de cambio medio siempre se calcula con respecto a un intervalo que en este caso es [1995, 2005]. En el captulo 2 se estudiar otro tipo de ritmo o velocidad de cambio, denominado ritmo o velocidad de cambio instantnea. 31. SECCIN P.213Modelos lineales y ritmos o velocidades de cambioRepresentacin grca de modelos lineales Muchos de los problemas de geometra analtica pueden clasicarse en dos categoras bsicas: 1) dada una grca, cul es su ecuacin?, y 2) dada una ecuacin, cul es su grca? La ecuacin punto-pendiente de una recta puede emplearse para resolver ciertos problemas de la primera categora. No obstante, esta forma no resulta til para resolver problemas de la segunda categora. La forma que mejor se adapta al trazado de la grca de una recta es la forma pendiente-interseccin de la ecuacin de una recta. ECUACIN PENDIENTE-INTERSECCIN DE UNA RECTA La grca de la ecuacin lineal ymxbes una recta que tiene pendiente m y una interseccin con el eje y en (0, b).EJEMPLO 3 Trazado de rectas en el plano Dibujar la grca de cada una de las siguientes ecuaciones. a) y2xb) y1c) 3y2x60Solucin a) Puesto que b 1, la interseccin en y es (0, 1). Como la pendiente es m 2, se sabe que la recta asciende dos unidades por cada unidad que se mueve hacia la derecha, como se muestra en la gura P.18a. b) Dado que b 2, la interseccin en y es (0, 2). Como la pendiente es m 0, se sabe que es horizontal, como se ilustra en la gura P.18b. c) Comenzar por escribir la ecuacin en forma pendiente-interseccin.3yx603yEcuacin original.x 6 1 x 2 3yDespejar el trmino en y. Forma pendiente-interseccin. De esta forma, puede verse que la interseccin en y es (0, 2) y la pendiente m . Esto quiere decir que la recta desciende una unidad por cada tres unidades que se mueve hacia la derecha, como se muestra en la gura P.18c.yyy3 22x13y32x(0, 2)(0, 1)y1x11 356x21(0, 2)1 x1a) m3 y2yy22; la recta subeFigura P.18xx31b) m230; la recta es horizontal1c) m234 ; la recta baja 32. 14CAPTULO PPreparacin para el clculoDado que la pendiente de una recta vertical no est denida, su ecuacin no puede escribirse con la forma pendiente-interseccin. Sin embargo, la ecuacin de cualquier recta puede escribirse en la forma general: AxByC0Forma general de la ecuacin de una recta.donde A y B no son ambos cero. Por ejemplo, la recta vertical dada por x sentarse por la ecuacin general x a 0.a puede repre-Resumen de ecuaciones de las rectas 1.Forma general:Ax2. 3. 4. 5.Recta vertical: Recta horizontal: Forma punto-pendiente: Forma pendiente-interseccin:x y y yBy0, (A, BCa b y1 m(x mx b0)x1)Rectas paralelas y perpendiculares La pendiente de una recta es til para determinar si dos rectas son paralelas o perpendiculares, como se muestra en la gura P.19. En especco, dos rectas no verticales con la misma pendiente son paralelas, y dos rectas no verticales cuyas pendientes son recprocas negativas son perpendiculares. yym1 m2 m2m1 m1m2 m1 xRectas paralelasm2Rectas perpendicularesFigura P.19 AYUDA DE ESTUDIO En matemticas, la expresin si y slo si es una manera de establecer dos implicaciones en una misma armacin. Por ejemplo, la primera armacin de la derecha equivale a las dos implicaciones siguientes:a) Si dos rectas no verticales distintas son paralelas, entonces sus pendientes son iguales. b) Si dos rectas no verticales distintas tienen pendientes iguales, entonces son paralelas.RECTAS PARALELAS Y RECTAS PERPENDICULARES 1. 2.Dos rectas no verticales distintas son paralelas si y slo si sus pendientes son iguales, es decir, si y slo si m1 m2. Dos rectas no verticales son perpendiculares si y slo si sus pendientes son recprocas negativas, es decir, si y slo si m11 . m2x 33. SECCIN P.2EJEMPLO 415Modelos lineales y ritmos o velocidades de cambioRectas paralelas y rectas perpendicularesHallar la forma general de las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (2, son a) paralela a la recta 2x y 23x2y2x3y54(2, 1)3y7Rectas paralela y perpendicular a 2x 3y 5 Figura P.20b) perpendicular a la recta 2xSolucin Al escribir la ecuacin lineal 2x 3y se ve que la recta dada tiene pendiente m . x12x53y5.(Ver la gura P.20.)4113y1) ya) La recta que pasa por (2, de . y y1 y ( 1) 3(y 1) 2x 3y 75 en forma punto-pendiente, yx , 1) y es paralela a la recta dada tiene tambin pendientem(x x1) 2 (x 2) 3 2(x 2) 0Forma punto-pendiente. Sustituir. Simplicar. Forma general.Observar la similitud con la ecuacin original. b) Calculando el recproco negativo de la pendiente de la recta dada, se determina que la pendiente de toda recta perpendicular a la inicial es . Por tanto, la recta que pasa por el punto (2, 1) y es perpendicular a la recta dada tiene la siguiente ecuacin. yy1y ( 1) 2(y 1) 3x 2y 4m(x x1) (x 2) 3(x 2) 0Forma punto-pendiente. Sustituir. Simplicar. Forma general.La pendiente de una recta aparece distorsionada si se utilizan diferentes escalas en los ejes x y y. Por ejemplo, las dos pantallas de calculadora grca de las guras P.21a y P.21b muestran las rectas dadas por y 2x y y x 3. Puesto que las pendientes de estas rectas son una el negativo del inverso de la otra, las rectas son perpendiculares. Sin embargo, en la gura P.21a no lo parecen, debido a que la escala del eje x no es la misma que la escala del eje y. En la gura P.21b aparecen perpendiculares debido a que la escala utilizada del eje x es igual a la empleada para el eje y. Este tipo de ventanas se denominan ventanas cuadradas. CONFUSIN TECNOLGICA10101010a) La escala del eje x no es la misma que la del eje y Figura P.216996b) La escala del eje x es la misma que la del eje y 34. 16CAPTULO PP.2Preparacin para el clculoEjerciciosEn los ejercicios 1 a 6, calcular la pendiente de la recta a partir de su grfica. 1.19. Diseo de una cinta Se est construyendo una cinta transportadora de manera que se eleve 1 metro por cada 3 metros de avance horizontal.2.a) Calcular la pendiente de la cinta. b) Suponer que la cinta corre entre dos pisos de una fbrica. Calcular la longitud de la cinta si la distancia vertical entre ambos pisos es de 10 pies.yy 7 6 5 4 3 2 17 6 5 4 3 2 120.xx1 2 3 4 5 6 71 2 3 4 5 6 73.4.6. 28 24 20 16 12 8 470 60 50 40 30 20 10 xx 1 2 3 4 5 6 75 6 77.(3, 4)a) 1b)2c)( 2, 5)a) 3b)3c),1, 1 ,12.3,14.7 3 8, 42, 75 , 5,Pendiente15.6, 2m5, 4,17.1, 7m3291.1293.9296.6510152025305774858461432,5y27. x2025y15lxEn los ejercicios 29 a 34, encontrar la ecuacin de la recta que pasa por el punto y tiene la pendiente indicada. Trazar la recta.PuntoPendiente29.0, 3m31.0, 0m233.m126. 6x4y28. y25. x1 424.4x 3m indefinida4, 318.En los ejercicios 23 a 28, calcular la pendiente y la interseccin en y (si es posible) de la recta.PendientePunto 16.0288.223. y5En los ejercicios 15 a 18, utilizar el punto de la recta y su pendiente para determinar otros tres puntos por los que pase la recta (hay ms de una respuesta correcta).Punto285.3Dibujar la grfica a mano y unir los puntos adyacentes con un segmento de lnea. b) Utilizar la pendiente de cada segmento de lnea con objeto de determinar en qu intervalo cambi ms rpidamente el ritmo o velocidad del vehculo. Cmo cambi el ritmo o velocidad?d) 010.3 1 4, 6282.4rd) indefinidaEn los ejercicios 9 a 14, dibujar el par de puntos y calcular la pendiente de la recta que pasa por ellos.1 2 2, 35a)8.13.4tPendientes4, 6 , 4, 1322. Modelo matemtico La siguiente tabla muestra el ritmo o velocidad r (en millas por hora) al que se est moviendo un vehculo transcurridos t segundos.En los ejercicios 7 y 8, trazar las rectas que pasan por el punto dado con la pendiente indicada. Dibujar en un mismo sistema de coordenadas.11.2Dibujar los datos a mano y unir los puntos adyacentes con un segmento de lnea. b) Utilizar la pendiente de cada segmento de lnea con objeto de determinar en qu ao se increment la poblacin con menor rapidez.y4 , 5, 21a)y3,0y1 2 3 4 5 65.9.0x1 2 3 4 5 6 7Puntoc) mtx1 2 3250b) m21. Modelo matemtico La siguiente tabla muestra las poblaciones y (en millones) de Estados Unidos durante 2000-2005. La variable t representa el tiempo en aos, t 0 corresponde a 2000. (Fuente: U.S. Bureau of the Census.)6 5 4 3 2 13 2 1800a) m yy 7 6 5Ritmo de cambio Cada uno de los siguientes datos es la pendiente de una recta que representa los ingresos diarios y en trminos del tiempo x en das. Utilizar la pendiente para interpretar la variacin en los ingresos correspondiente a un incremento de un da.3,2mPunto3 4 2 330.334.32.5, 2 0, 4 2, 4Pendiente m indefinida m m0 3 5 35. SECCIN P.2En los ejercicios 35 a 44, encontrar la ecuacin de la recta que pasa por los puntos y trazar la recta. 35.0, 0 , 4, 836.0, 0 ,1, 537.2, 1 , 0,38.2,2 , 1, 739.2, 8 , 5, 040.3, 6 , 1, 241.6, 3 , 6, 842.1,43.1 7 2, 244.7 3 8, 4, 0,33 42 , 3, ,5 4,61. 65.Determinar la ecuacin de la recta vertical con interseccin en x en 3.46.Demostrar que la recta con intersecciones con los ejes en (a, 0) y (0, b) tiene la siguiente ecuacin. x y 1, a 0, b 0 a bEn los ejercicios 47 a 50, utilizar el resultado del ejercicio 46 para escribir la ecuacin de la recta. interseccin en x: (2, 0) interseccin en y: (0, 3) 49. Punto de la recta: (1, 2) interseccin en x: (a, 0) interseccin en y: (0, a) (a 0)2 48. interseccin en x: 3, 0 interseccin en y: (0, 2) 50. Punto de la recta: ( 3, 4) interseccin en x: (a, 0) interseccin en y: (0, a) (a 0)En los ejercicios 51 a 58, trazar la grfica de la ecuacin. 51. y 53. y52.2x55. y 2 57. 2x y1 3 2x y1 3x1x156.y13x3058.x2y6Xmn = 5 Xmx = 5 Xscl = 1 Ymn = 5 Ymx = 5 Yscl = 1b)2x162.3, 2x2y364.3y066. 4,4 07y 4y7Ritmo o velocidad de cambio En los ejercicios 67 a 70, se da el valor de un producto, en dlares, durante 2004 y el ritmo o velocidad al que se espera que vare su valor durante los prximos 5 aos. Utilizar esta informacin para escribir una ecuacin lineal que proporcione el valor en dlares V del producto en trminos del ao t. (Sea t 0 representativo del ao 2000.) Valor en 2008Ritmo o velocidad67.$1 850$250 aumento anual68.$156$4.50 aumento anual69.$17 200$1 600 reduccin anual70. $245 000$5 600 reduccin anualEn los ejercicios 71 y 72, utilizar una herramienta de graficacin para representar las parbolas y encontrar sus puntos de interseccin. Encontrar la ecuacin de la recta que pasa por los puntos de interseccin y dibujar su grfica en la misma ventana de representacin. 72. yx273.2, 1 ,x24x3x21, 0 , 2,20, 4 , 7,6,5, 11En los ejercicios 75 a 77, encontrar las coordenadas del punto de interseccin de los segmentos dados. Explicar el razonamiento. (b, c)( a, 0)77.Para discusin74.Desarrollo de conceptos75.by3x53y 4x y 2x 3 En los ejercicios 73 y 74, determinar si los puntos son colineales. (Se dice que tres puntos son colineales si pertenecen a una misma recta.)Xmn = 6 Xmx = 6 Xscl = 1 Ymn = 4 Ymx = 4 Yscl = 1Una recta est representada por la ecuacin axy5x(a, 0)Bisectrices perpendiculares60.1, 04x3 7 4, 8RectaPuntox259. Configuracin cuadrada Utilizar una herramienta de graficacin para dibujar ambas rectas en cada ventana de visor. Comparar las grficas. Las rectas aparecen perpendiculares? Lo son? Explicar la respuesta.a)7,71. y454.3Recta63. 2, 1245.47.En los ejercicios 61 a 66, escribir la ecuacin de la recta que pase por el punto y que sea: a) paralela a la recta dada, y b) perpendicular a la recta dada.Punto1 417Modelos lineales y ritmos o velocidades de cambio76.(b, c)( a, 0)(a, 0)Medianas(b, c)4.a) Cundo la recta es paralela al eje x? b) Cundo la recta es paralela al eje y? c) Dar valores para a y b de manera que la recta tenga una pendiente de . d) Dar valores para a y b de manera que la recta sea perpendicular a la recta y x 3. e) Dar valores para a y b de manera que la recta coincida con la grca de 5x 6y 8.( a, 0)(a, 0)Alturas 78. Demostrar que los puntos de interseccin en los ejercicios 75, 76 y 77 son colineales. 79. Conversin de temperaturas Encontrar la ecuacin lineal que exprese la relacin que existe entre la temperatura en grados 36. 1880.81.82.83.84.CAPTULO PPreparacin para el clculoCelsius C y la temperatura en grados Fahrenheit F. Utilizar el hecho de que el agua se congela a 0 C (32 F) y hierve a 100 C (212 F) para convertir 72 F a grados Celsius. Reembolso de gastos Una compaa reembolsa a sus representantes de ventas $175 diarios por alojamiento y comidas ms 48 por milla recorrida. Escribir una ecuacin lineal que exprese el costo diario C para la compaa en trminos de x, el nmero de millas recorridas. Cunto le costar a la empresa que uno de sus representantes de ventas recorra 137 millas? Eleccin profesional Un empleado tiene dos opciones a puestos en una gran corporacin. En un puesto le pagan $14.50 por hora ms un bono de $0.75 por unidad producida. En el otro, $11.20 por hora ms un bono de $1.30. a) Representar grficamente las ecuaciones lineales correspondientes a los salarios por hora W en trminos de x, el nmero de unidades producidas por hora, para cada una de las opciones. b) Representar con una heramienta de graficacin las ecuaciones lineales y encontrar el punto de interseccin. c) Interpretar el significado del punto de interseccin de las grficas del apartado b). Cmo usara esta informacin para seleccionar la opcin correcta si su objetivo fuera obtener el mayor sueldo por hora? Depreciacin lineal Un pequeo negocio adquiere un equipo de $875. Transcurridos 5 aos el equipo ser obsoleto, carente de valor. a) Escribir una ecuacin lineal que proporcione el valor y del equipo en trminos del tiempo x, 0 x 5. b) Encontrar el valor del equipo cuando x 2. c) Calcular el momento en que el valor del equipo es $200 (con una precisin de dos cifras decimales). Alquiler de apartamentos Una agencia inmobiliaria maneja un complejo de 50 apartamentos. Cuando el alquiler es de $780 mensuales, los 50 apartamentos estn ocupados. Sin embargo, cuando el alquiler es de $825, el nmero promedio de apartamentos ocupados desciende a 47. Suponer que la relacin entre el alquiler mensual p y la demanda x es lineal. (Nota: Aqu se usa el trmino demanda para referirse al nmero de apartamentos ocupados.) a) Escribir una ecuacin lineal que proporcione la demanda x en trminos del alquiler p. b) Extrapolacin lineal Utilizar una herramienta de graficacin para representar la ecuacin de la demanda y emplear la funcin trace para pronosticar el nmero de apartamentos ocupados si el alquiler aumenta a $855. c) Interpolacin lineal Pronosticar el nmero de apartamentos ocupados si el alquiler baja a $795. Verificar el resultado grficamente. Modelo matemtico Un profesor pone cuestionarios de 20 puntos y exmenes de 100 puntos a lo largo de un curso de matemticas. Las calificaciones promedio de seis estudiantes, dadas como pares ordenados (x, y), donde x es la calificacin media en los cuestionarios y y la calificacin media en los exmenes, son (18, 87), (10, 55), (19, 96), (16, 79), (13, 76) y (15, 82). a) Empleando una herramienta de graficacin con programa para el clculo de regresiones, encontrar la recta de regresin, por mnimos cuadrados, para los datos. b) Utilizar una herramienta de graficacin para trazar los puntos y graficar la recta de regresin en una misma ventana.c) Utilizar la recta de regresin para pronosticar la calificacin promedio en los exmenes de un estudiante cuya calificacin promedio en los cuestionarios es 17. d) Interpretar el significado de la pendiente de la recta de regresin. e) Si el profesor aade 4 puntos a la calificacin promedio en los exmenes de cada alumno, describir el cambio de posicin de los puntos trazados y la modificacin de la ecuacin de la recta. 85. Recta tangente Encontrar la ecuacin de la recta tangente al crculo x2 y2 169 en el punto (5, 12). 86. Recta tangente Encontrar la ecuacin de la recta tangente al crculo (x 1)2 (y 1)2 25 en el punto (4, 3). Distancia En los ejercicios 87 a 92, calcular la distancia que existe entre el punto y la recta o entre las rectas, utilizando la frmula para la distancia entre el punto (x1, y1) y la recta Ax By C 0.Ax1DistanciaBy1 C A2 B287. Punto: (0, 0) Recta: 4x 3y 10 89. Punto: ( 2, 1) Recta: x y 2 0 91. Recta: x y 1 Recta: x y 588. Punto: (2, 3) Recta: 4x 3y 90. Punto: (6, 2) Recta: x 1 92. Recta: 3x 4y Recta: 3x 4y101 1093. Demostrar que la distancia que existe entre el punto (x1, y1) y la recta Ax By C 0 esAx1DistanciaBy1 2AC 2B.94. Escribir la distancia d entre el punto (3, 1) y la recta y mx 4 en trminos de m. Emplear una herramienta de graficacin para representar la ecuacin. Cundo es 0 la distancia? Explicar el resultado de manera geomtrica. 95. Demostrar que las diagonales de un rombo se cortan perpendicularmente. (Un rombo es un cuadriltero con lados de igual longitud.) 96. Demostrar que la figura que se obtiene uniendo los puntos medios de los lados consecutivos de cualquier cuadriltero es un paralelogramo. 97. Demostrar que si los puntos (x1, y1) y (x2, y2) pertenecen a la misma recta que (x*, y*) y (x*, y*), entonces: 1 1 2 2 y2 x2y1 x1y2 x2Suponer que x1y1 . x1x 2 y x* 1x*. 298. Demostrar que si las pendientes de dos rectas son recprocas negativas de la otra, entonces las rectas son perpendiculares. Verdadero o falso? En los ejercicios 99 y 100, determinar si la afirmacin es verdadera o falsa. Si no lo es, explicar por qu o proporcionar un ejemplo que muestre su falsedad. 99. Las rectas de ecuaciones ax by c1 y bx perpendiculares. Suponer que a 0 y b 0.ayc2 son100. Dos rectas con pendientes positivas pueden ser perpendiculares entre s. 37. SECCIN P.3Funciones y sus grcas19Funciones y sus grficasP.3 Usar la notacin de funcin para representar y evaluar funciones. Encontrar el dominio y recorrido o rango de una funcin. Trazar la grca de una funcin. Identicar los diferentes tipos de transformaciones de las funciones. Clasicar funciones y reconocer combinaciones de ellas.Funciones y notacin de funciones Una relacin entre dos conjuntos X y Y es un conjunto de pares ordenados, cada uno de la forma (x, y), donde x es un elemento de X y y un elemento de Y. Una funcin de X a Y es una relacin entre X y Y con la propiedad de que si dos pares ordenados tienen el mismo valor de x, entonces tambin tienen el mismo valor de y. La variable x se denomina variable independiente, mientras que la variable y se denomina variable dependiente. Muchas situaciones de la vida real pueden describirse mediante funciones. Por ejemplo, el rea A de un crculo es una funcin de su radio r. Ar2A es una funcin de r.En este caso, r es la variable independiente y A, la variable dependiente. X xDominioDEFINICIN DE FUNCIN REAL DE UNA VARIABLE REALf Rango y f (x) YUna funcin real f de una variable real Figura P.22Sean X y Y conjuntos de nmeros reales. Una funcin real f de una variable real x de X a Y es una regla de correspondencia que asigna a cada nmero x de X exactamente un nmero y de Y. El dominio de f es el conjunto X. El nmero y es la imagen de x por f y se denota mediante f(x), a lo cual se le llama el valor de f en x. El recorrido o rango de f se dene como el subconjunto de Y formado por todas las imgenes de los nmeros de X (ver la gura P.22). Las funciones pueden especificarse de muchas formas. No obstante, este texto se concentra fundamentalmente en funciones dadas por ecuaciones que contienen variables dependientes e independientes. Por ejemplo, la ecuacin x2NOTACIN DE FUNCIONES Gottfried Wilhelm Leibniz fue el primero que utiliz la palabra funcin, en 1694, para denotar cualquier cantidad relacionada con una curva, como las coordenadas de uno de sus puntos o su pendiente. Cuarenta aos ms tarde, Leonhard Euler emple la palabra funcinpara describir cualquier expresin construida con una variable y varias constantes. Fue l quien introdujo la notacin y f(x).2y1Ecuacin en forma implcita.define y, la variable dependiente, como funcin de x, la variable independiente. Para evaluar esta funcin (esto es, para encontrar el valor de y correspondiente a un valor de x dado) resulta conveniente despejar y en el lado izquierdo de la ecuacin. y1 (1 x 2 ) 2Ecuacin en forma explcita.Utilizando f como nombre de la funcin, esta ecuacin puede escribirse como:f x1 1 2x2 .Notacin de funciones.La ecuacin original x2 2y 1 define implcitamente a y como funcin de x. Cuando se despeja y, se obtiene la ecuacin en forma explcita. La notacin de funciones tiene la ventaja de que permite identificar claramente la variable dependiente como f(x), informando al mismo tiempo que la variable independiente es x y que la funcin se denota por f . El smbolo f(x) se lee f de x. La notacin de funciones permite ahorrar palabras. En lugar de preguntar cul es el valor de y que corresponde a x 3? se puede preguntar cunto vale f(3)? 38. 20CAPTULO PPreparacin para el clculoEn una ecuacin que define a una funcin, el papel de la variable x es simplemente el de un hueco a llenar. Por ejemplo, la funcin dada por f(x)2x24x1puede describirse como 22f41donde se usan parntesis en lugar de x. Para evaluar f( 2), basta con colocar cada parntesis. f( 2)2( 2)2 2(4) 174( 2) 81Sustituir x por12 dentro de2.Simplicar. Simplicar.NOTA Aunque es frecuente usar f como un smbolo adecuado para denotar una funcin y x para la variable independiente, se pueden utilizar otros smbolos. Por ejemplo, todas las ecuaciones siguientes denen la misma funcin.f(x)x24x7El nombre de la funcin es f, el de la variable independiente es x.f(t) g(s)24t 4s7 7El nombre de la funcin es f, el de la variable independiente es t.t s2El nombre de la funcin es g, el de la variable independiente es s.Evaluacin de una funcinEJEMPLO 1Para la funcin f definida por f(x) a) f(3a)b) f(b7, calcular:x2(xc)1)x) x( x),x0Solucin a)f 3a3a 9ab)227Sustituir x por 3a.7Simplicar.b1172f b22b12b8b b2c) AYUDA DE ESTUDIO En clculo, es importante especicar con claridad el dominio de una funcin o expresin. Por ejemplo, en el ejemplo 1c, las expresionesf x xx xf xy2xx,0son equivalentes, ya que x 0 se excluye del dominio de la funcin o expresin. Si no se estableciera esa restriccin del dominio, las dos expresiones no seran equivalentes.f xx xf xSustituir x por b7Simplicar.x x21.Desarrollar el binomio.x2x2 x2x x2x xx27 xx7 7x272x x 2xx x2xx,x0NOTA La expresin del ejemplo 1c se llama cociente incremental o de diferencias y tiene un signicado especial en el clculo. Se ver ms acerca de esto en el captulo 2. 39. SECCIN P.3Funciones y sus grcas21Dominio y recorrido o rango de una funcin El domin