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Fernando Veyretou Esp. en Ing. en Calidad CALCULO DE INCERTIDUMBRE 2011 – Ed. 1

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Fernando Veyretou Esp. en Ing. en Calidad

CALCULO DE INCERTIDUMBRE

2011 – Ed. 1

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1.  OBJETO: Establecer el procedimiento para el cálculo de incertidumbre. 

2.  ALCANCE: Aplicable a calibración / verificación de instrumentos y ensayos.

3.  REFERENCIAS: 

Guide Quantifying Uncertainty In Analytical Measurement 2000 Eurachem/ Citac.(Ref.1).Guía para la expresión de incertidumbre de medición. Traducción INTI-CEFIS.(Ref.2).Handbook for calculation of measurement uncertainty in environmentallaboratories edition 2. Nordtest report TR 537 – version 1.3 October 2003 -Approved 2004-02 (Ref.3). 

4.  DEFINICIONES Y ABREVIATURAS: 

Incertidumbre: parámetro asociado con el resultado de una medición, destinado a caracterizar el

ámbito dentro del cual se estima que se encuentra el valor verdadero del mesurando,generalmente con una probabilidad dada.  Nota: El parámetro puede ser por ejemplo una desviación estándar, un múltiplo de esta, o elancho de un intervalo de confianza.La incertidumbre de la medición comprende en general muchos componentes. Algunos de estoscomponentes pueden evaluarse a partir de la distribución estadística de los resultados de seriesde mediciones y se pueden caracterizar por desviaciones estándares. Los otros componentes,que también pueden caracterizarse por desviaciones estándares, son evaluados a partir dedistribuciones de probabilidad basadas en la experiencia u otra información. Estos componentesson denominados como de tipo A y B respectivamente.

¾  Error: Diferencia entre un resultado individual y el verdadero valor (concepto idealizado,desconocido) de la medición. 

¾  Mesurando: Magnitud particular sujeta a medición. 

¾  Medición: Conjunto de operaciones que tienen por objeto la determinación del valor de unacantidad.

¾  Componentes de la incertidumbre: Cada una de las contribuciones de cada fuente deincertidumbre, tratada por separado para obtener la contribución de esa fuente. Cuando estáexpresada como desvío estándar, es conocida como incertidumbre estándar. 

¾  Evaluación tipo A (de Incertidumbre): Método de evaluación de incertidumbre por mediodel análisis estadístico de una serie de observaciones. 

¾  Evaluación tipo B (de Incertidumbre): Método de evaluación de incertidumbre por mediode otros métodos que el análisis estadístico de una serie de observaciones.

¾  Incertidumbre Estándar (μ ( xi)): Incertidumbre del resultado de una medición expresado

como desvío estándar.i x

 

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¾  Incertidumbre Estándar Combinada (μ c( y)): Incertidumbre estándar del resultado  y de unamedición cuando el resultado se obtiene a partir de los valores de otras cantidades, igual a laraíz cuadrada de la suma de términos, siendo los términos las variancias o covariancias deestas otras cantidades ponderadas de acuerdo a como los resultados de la medición varíancon estas cantidades. 

¾  Incertidumbre Expandida (∪): Cantidad que define un intervalo acerca del resultado de unamedición del cual se espera que comprenda una fracción definida (amplia) de la distribuciónde valores que podrían razonablemente ser atribuidos al mesurando.

ck ×=∪  

k  varía entre 2 y 3: k=2 Æ 95% de confianza; k=3 Æ 99.7% de confianza.

¾  Ver Anexo 7.1 (Definiciones y fórmula de cálculo). 

4.1) RECOMENDACIONES PRACTICAS

Para un resultado de una medición, la incertidumbre total, llamada Incertidumbre estándar 

combinada, es la desviación estándar estimada igual a la raíz cuadrada de la variancia total obtenida por combinación de todos los componentes de incertidumbre evaluados, utilizando la ley de propagación de la incertidumbre.

Si fuera posible hacer variar todas las magnitudes de las cuales depende el resultado de unamedición, su incertidumbre podría ser evaluada por métodos estadísticos. Sin embargo, como estoes casi imposible en la práctica dadas las limitaciones en tiempo y recursos, la incertidumbre delresultado de una medición es usualmente evaluada usando un modelo matemático de la medición yla ley de propagación de incertidumbres.

El uso de modelos empíricos de medición, fundamentados en datos cuantitativos

acumulados por un período prolongado y el uso de patrones de verificación y gráficos de controlque pueden indicar si una medición dada está bajo control estadístico, deben ser parte del esfuerzodirigido a obtener evaluaciones confiables de incertidumbre.

 Aunque se proporciona un método para evaluar incertidumbre, éste no puede sustituir el

 pensamiento crítico, la honestidad intelectual, y la habilidad profesional. La evaluación de

incertidumbres no es una tarea de rutina ni puramente matemática; depende del conocimiento

detallado de la naturaleza del mesurando y de la medición. Por lo tanto, la calidad y utilidad de la

incertidumbre indicada para el resultado de una medición depende, en última instancia, del

entendimiento, análisis crítico e integridad de aquellos que contribuyen a la asignación.[Ref.2]

Además del método de cálculo especificado en la guía Eurachem (Ref.1), se ha incluido eneste procedimiento, el método que figura en, Nordtest Report TR 537 (Ref.3), por considerarlo mássimple y más práctico. Este método, se basa en datos de control de calidad y validación

 preexistentes, uso de materiales de referencia certificados (CRM) y/o participación en rondasinterlaboratorio, y se recomienda su uso siempre que sea posible, caso contrario, el método decálculo de la guía Eurachem es el indicado.

5.  RESPONSABILIDADES: 

Analistas, supervisores, jefes.

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6. PROCEDIMIENTO:

6.1) MÉTODO GUIA EURACHEM

6.1.1) Diagrama de Flujo: 

Incertidumbre

Especificación de lamedición (1)

Identificación de lasfuentes de incertidumbre

(2)

Datos disponibles Elaborar datos faltantes

Cuantificación de loscomponentes

individuales (3)

Cálculo de laincertidumbrecombinada (4)

FIN

 

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6.1.2) Aclaraciones según diagrama de flujo:

Ver ejemplos en Anexos para mejor ilustración.

(1) Especificación de la medición:Establecer de manera clara y no ambigua qué está siendo medido y la expresióncuantitativa que relaciona el valor de la medición con los parámetros de la cual elladepende.

Ejemplo: 1003

21 ×−

= x

 x x y  

donde:y = medición xi = parámetros medidos

Teniendo en cuenta el procedimiento analítico, elaborar, si no está explícitamentecontemplado en el procedimiento, un esquema (diagrama de flujo) de las operacionesinvolucradas en el análisis.

(2)  Identificación de las fuentes de incertidumbre:

Se debe confeccionar una lista de causas de incertidumbre. En esta etapa no hay que preocuparse acerca de la cuantificación de los componentes individuales, el objetivo esclarificar acerca de lo que debe considerarse.

Usualmente es conveniente comenzar con la expresión usada para calcular elmesurando a partir de valores intermedios. Todos los parámetros en la expresión

 pueden tener una incertidumbre asociada con su valor y por lo tanto, potencialescausas de incertidumbre. Además, puede haber otros parámetros que no aparecenexplícitamente en la expresión pero que sin embargo pueden afectar los resultados. (ej.Tiempo de extracción o temperatura).

El diagrama de causa efecto (Ishikawa) es una forma conveniente de hacer una lista delas causas de incertidumbre, mostrando como se relacionan unas con otras e indicandosu influencia en la incertidumbre del resultado. Este diagrama es una buena manera devisualizar las causas y evitar la doble contabilidad. La lista de causas también puedeser preparada de otras maneras.

(3)  Cuantificación de los componentes individuales:

Una vez hecha la lista de causas de incertidumbre, en principio, sus efectos sobre elresultado pueden ser representados mediante un modelo de medición formal, en el cualcada efecto es asociado con un parámetro o variable en una ecuación. La ecuacióntoma la forma de un modelo completo del proceso de medición en términos de todoslos factores individuales que afectan al resultado. Esta función puede ser muycomplicada y difícil de escribir explícitamente. Cuando sea posible, debe escribirsecon la forma de una expresión que generalmente determina el método de combinaciónde las contribuciones individuales de incertidumbre. Puede ser útil considerar al

 procedimiento de medición como una serie de operaciones discretas cada una de lascuales puede considerarse separadamente para estimar una contribución deincertidumbre asociada a cada una. Cada una de estas incertidumbres contribuirá a la

incertidumbre total.

En la práctica, es más usual en medición analítica considerar incertidumbres asociadascon elementos de toda la performance del método, como ser precisión y bias medidos

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con respecto a materiales de referencia apropiados. Estas contribuciones generalmenteforman las contribuciones dominantes para estimar incertidumbre y son mejor modeladas si se consideran sus efectos por separado. Por lo tanto es necesario evaluar otras posible contribuciones, solamente para verificar su significancia, y cuantificar solamente aquellas que son significativas.

Causas típicas de incertidumbre son:

Muestreo, condiciones de almacenamiento, efectos instrumentales, pureza de reactivos,consideraciones estequiométricas, condiciones de medición, efecto muestra, cálculos,corrección por blanco, operadores, efectos aleatorios.

(4)  Cálculo de la incertidumbre combinada:

Una vez calculadas las fuentes de incertidumbre, las mismas deben ser combinadas enforma cuadrática. Si las incertidumbres tuvieran diferentes unidades, debe calcularse laincertidumbre relativa de cada componente, y luego, combinar cuadráticamente lasincertidumbres relativas, con lo que se obtendrá como resultado, la incertidumbre

estándar relativa combinada del resultado. 

Para consultar ejemplos ver anexos 7.2 a 7.5

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 6.2) Método Nordtest.

Análisis de las fuentes de incertidumbre:

Valor Incertidumbre

Reproducibilidadentre laboratorios,SR 

Método y BIAS del LaboratorioMaterial de referencia

Comparación interlaboratorioValidación

Control de Calidad.Precisión Intermedia, R W

 

Se propone un modelo donde la reproducibilidad dentro del laboratorio, tambiénllamada precisión intermedia (R W) se combina con estimadores del método y bias (tomados de

estudios interlaboratorios). La alternativa es construir un diagrama causa–efecto bien detallado contodas las contribuciones individuales de incertidumbre, pero esto puede subestimar la medición dela incertidumbre debido a que es complejo incluir todos los componentes de la incertidumbre. Perocuando se usan datos experimentales de control de calidad, y datos de validación del método, la

 probabilidad de incluir todos los componentes de incertidumbre se hace máxima.

A continuación se presenta el diagrama de flujo que comprende 6 pasos definidos y quedeben ser seguidos en todos los casos. Se presenta un ejemplo de medición de compuestos deamonio en agua.

Por conveniencia, todas las medidas de incertidumbre se expresan como porcentaje,

tener presente esto a la hora de hacer los cálculos. Solamente en casos en que los cuales se midancantidades muy pequeñas de analito, puede ser conveniente expresar la incertidumbre en valoresabsolutos, ya que los valores relativos pueden resultar exagerados a concentraciones muy bajas.

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6.2.2) Caso en que se cuenta con resultados de rondas interlaboratorio

El amonio de mide en agua según norma ISO 11732. Se pide una incertidumbreexpandida de +/- 10%

1) Definir el mesurando

2) Cuantificar R W A) Muestra controlB) Posibles pasos no

cubiertos por la muestracontrol

A) limites de control puestos a +/- 3.34% (confianza 95%)2 100

%W 

s R

 X 

⋅ ⋅=  

B) La muestra control incluye todos los pasos analíticos.

3) Cuantificar elcomponente bias

De interlaboratorios el bias da: 2.4; 2.7; 1.9; 1.4; 1.8; 2.9.(en porcentaje)

Media cuadrática:2 2 2 2 2 22.4 2.7 1.9 1.4 1.8 2.9

2.25%6bias RM   S 

+ + + + += =

La incertidumbre de los valores nominales es u(Cref)=1.5%Cref es el promedio ponderado de los SR% de cada interlaboratorio. La ponderación se hace con la cantidad de laboratorios participantes. Si las diferenciasen número de laboratorios y los SR no son muy grandes, se puede promediar directamente, caso contrario, hay que hacer promedio ponderado.

4) Convertir loscomponentes aincertidumbre estándar.u(x)

Límites de confianza y distribuciones similares pueden convertirse a incertidumbreestándar.

( ) 3.34 2 1.67%W u R = =  

2 2 2 2( ) ( ) 2.25 1.5 2.71%biasu BIAS RMS u Cref  = + = + =  

5) Calcular laincertidumbre estándar 

combinada uc

Las incertidumbres estándar se suman cuadráticamente (la raiz cuadrada de la sumade los cuadrados)

2 2 2 2( ) ( ( )) 1.67 2.71 3.18%c W u u R u bias= + = + =  

6) Calcular laincertidumbre expandida

2 cU u= ⋅  

Se calcula la incertidumbre expandida multiplicando por 2 a la incertidumbreestándar, para llegar a una confianza del 95%.

2 3.18 6.36% 6%U = ⋅ = ≈  

Se debe informar la incertidumbre como +/- 6% del resultado.

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Aclaraciones al método mencionado anteriormente:

1)  Calcular el RMS bias: Es la media cuadrática de las diferencias (bias) entre el valor nominaldel interlaboratorio y el valor informado por el laboratorio.Expresarlo en porcentaje:

100% ⋅−

=Vn

VnVibias  

Vi: valor informadoVn: valor nominalbias%: diferencia relativa entre el Vi y el Vn respecto de Vn expresado en %, puede ser negativo o positivo.

2

1

n

i

ibias

bias

 RMS n

==∑

 

2)  Calcular u(Cref): Incertidumbre del valor nominal del interlaboratorio.

( )SR

u Cref   N 

=  

S  R: Desvío estándar de reproducibilidad del interlaboratorio.

:SR Promedio ponderado de los SR de los interlaboratorios considerados.

 N: Cantidad de laboratorios participantes en cada interlaboratorio.

 N : Promedio de la cantidad de laboratorios en los interlaboratorios considerados.

i i

i

SR N SR

 N 

⋅= ∑

∑ 

 N i: cantidad de laboratorios participantes en el interlaboratorio i ( ILi)SRi: Desvío estándar de reproducibilidad del interlaboratorio i.

Es conveniente expresar en porcentaje:

100% i

i

i

SRSR

 X 

⋅=  

%% i i

i

SR N SR

 N 

⋅= ∑

∑ 

%( )% SRu Cref   N 

=  

i X  : Promedio del ILi 

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3)  Calcular u( RW ): Incertidumbre que aporta la presición intermedia ( RW ). RW : Es una medida intermedia entre repetibilidad y reproducibilidad, donde operador,equipo, calibración y condiciones ambientales pueden variar, pero siempre dentro del mismolaboratorio. También se la llama precisión intermedia.Esta información puede ser obtenida de cartas de control, por ejemplo, si los límites 2 sigma

(95% de confianza) , son 25 +/- 3,3

( ) 1,52W u R = =  

Para expresarlo en porcentaje:3

100 12% 25 12%25

12%( ) 6%

2W u R

⋅ = ⇒ ±

= =

 

4)  Finalmente, se combinan las incertidumbres: : incertidumbre estándar combinada.c

u

2 2( ( )) ( )c biasu RMS u Cref u R= + + 2

2

 

recordar que 2 2( ( )) ( ( ))bias RMS u Cref u bias+ =  

Importante: todas la incertidumbres deben estar expresadas en las mismas unidades, preferiblemente en forma relativa (porcentaje).

5)  Calcular la incertidumbre expandida U

Lo usual es expresar la incertidumbre con una probabilidad del 95%, por lo que paracalcular la incertidumbre expandida, hay que multiplicar la incertidumbre estándar 

combinada por dos.

El resultado se expresará como x +/- U, por ejemplo 25,0 +/- 2%, o sea 25,0 +/- 0.5Recordar expresar la incertidumbre con dos cifras significativas como máximo.

2cU u= ⋅

 Nota: Cálculo de Cref. Interlab Valor nominal Resultado del Bias % SR Cantidad de

Nro. xref (mg/ml) Lab. xi (mg/ml) Labs.

1 81 83 2.4 10 31

2 73 75 2.7 7 36

3 264 269 1.9 8 324 210 213 1.4 10 35

5 110 112 1.8 7 36

6 140 144 2.9 11 34

 X    + 2.18 8.8 34

RMS 2.25

El promedio ponderado de SR da 8.9 que es similar al promedio, que da 8.8 ya que la cantidad de laboratorios no esmuy diferente.

8.8( ) 1.5%( )

34

SRu Cref rel

 N = = =  

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 6.2.3) Caso en que se trabaja con material de referencia certificado (CRM)

De las cartas de control, se obtiene el SRW   de manera similar al caso anterior. Para este ejemplo,suponemos igual a 7%. (u( RW )). 

El material de referencia certificado (CRM) tiene asignado un valor con su incertidumbre, por ejemplo 152 +/- 14 ug/kg. (95% de confianza).

De las mediciones del CRM, se calcula el promedio ( X  ), por ejemplo 144 con n = 22 (número demediciones).

Se calcula el bias respecto del valor de referencia:

144 152100 100 5,3%

152

 X VRbias

VR

− −= ⋅ = ⋅ = −  

Se calcula u(Cref)

14 1( )% 100 4,7%

1,96 152u Cref  = ⋅ ⋅ =  

Se calcula s bias (desvío estándar de las repeticiones del CRM)En este caso, es igual a 8% con n=22 repeticiones. (ejemplo).

Con los datos obtenidos del análisis del CRM, se calcula el u(bias)

2 22 2 2 28( ) ( ) ( 5,3) 4,7 7,29%22

biassu bias bias u Cref  n

= + + = − + + =  

Para calcular la incertidumbre combinada, se combina u(bias) con u( RW )

2 2 2 2( ) ( ) 7 7,29 11,5c W u u R u bias= + = + = %

Finalmente, se calcula la incertidumbre, multiplicando por el factor de cobertura k=2

11,5 2 23%c

U u k = ⋅ = ⋅ =  

Obs: en el caso en que la muestra control es el mismo CRM, se daría que SRW  = S bias.  Esto es posible sólo en el caso que se cuente con suficiente cantidad de CRM.

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 7.- ANEXOS: 

7.1.- Definiciones y fórmulas de cálculo: 

¾  Media aritmética ( ) x : valor medio aritmético de una muestra de n resultados

n

 x

 x

n

i

i∑== 1  

¾  Varianza

( )

11

2

−=

∑=

n

 x x

Var 

n

i

i

 

¾  Desvío estándar de la muestra (s): Un estimado del desvío estándar de la población σ   

a partir de una muestra de n resultados.

( )

11

2

−=

∑=

n

 x x

s

n

i

i

 

¾  Desvío estándar de la media : x

s

( )n

ss

 x=  

¾  Desvío estándar relativo (RSD): Un estimado del desvío estándar de una población a partir de una muestra de n resultados dividido por la media de la muestra. Conocido amenudo como Coeficiente de variación (CV) y frecuentemente expresado como

 porcentaje.

 x

s RSD =  

¾  Distribución rectangular Utilizable cuando:

a) Un certificado u otra especificación da límites sin especificar el nivel de

confianza (Ejemplo: 25ml ± 0,05 ml) b)  Se hace un estimado en la forma de un rango máximo y se desconoce el aspecto

de la distribución.

( )3

a x =μ   

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¾  Distribución triangular 

Utilizable cuando:a) La información disponible concerniente a  x está mas concentrada que para unadistribución rectangular. Los valores cercanos a  x son más probables que losextremos.

 b) Se hace un estimado en la forma de un rango máximo descrito por unadistribución simétrica.

( )6

a x =μ   

¾  Distribución normal

¾  Utilizable cuando:a) Se hace un estimado a partir de observaciones repetidas de un proceso con

variables aleatorias.( ) s x =  

 b) Se da la incertidumbre bajo la forma de un desvío estándar  ( )( )s xs = , un

desvío estándar relativo  xs   ( ) ( )( ) xs x x =μ  , o un coeficiente de variación (CV %)

sin especificar la distribución ( ) ⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ =  x

CV  x

100

%μ   

 b)  La incertidumbre está dada en la forma de un 95% (u otra) de intervalo deconfianza c x ± sin especificar la distribución ( ) 2c x = (para 95%) y

( ) 3c x = (para 99.7%)

¾  Bias: Error sistemático inherente al método o causado por algún artefacto o por desvíosen el sistema de medición. Efectos de la temperatura o ineficiencia en la extracción son

ejemplos del primer tipo. Blancos, contaminación, pérdidas mecánicas y errores decalibración son ejemplos del segundo tipo. El Bias puede ser positivo o negativo y

 pueden existir varias clases simultáneamente por lo que el Bias neto es todo lo que se puede evaluar, a excepción que se haga bajo condiciones especiales, un experimento para analizar las diferentes causas.

¾  Bias%: Es el Bias expresado en forma porcentual, respecto del valor nominal.

¾ 2

1

n

i

ibias

bias RMS 

n

== ∑ Es el promedio cuadrático de los bias, ya sea relativo o absoluto).

(RMS: root medium square)

¾  SR: Desvío estándar de reproducibilidad. Dato obtenido del informe del ensayointerlaboratorio. Es una medida de la dispersión de los resultados entre los diferenteslaboratorios.

¾  SR : Es el promedio de los SR obtenidos de una cantidad de ensayos interlaboratorios.

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¾  R W: Precisión intermedia o reproducibilidad intralaboratorio. Se obtiene del análisis demuestras de control estables que cubren todo el proceso analítico. La muestra control,debe ser analizada exactamente igual que las muestras de rutina. Si para las muestra derutina, se utiliza el promedio de dos duplicados, entonces las muestra control tambiéndebe ser analizada por duplicado. Es conveniente que la estimación del RW cubravariaciones a largo plazo dentro del laboratorio, causadas por diferentes lotes desoluciones, reactivos, calibraciones, etc., de manera de tener datos representativos para elcálculo de la incertidumbre.

¾  U(Cref): Componente de incertidumbre del material de referencia certificado (CRM) odel valor nominal del interlaboratorio ( X  )

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7.2) Ejemplo: Preparación de un patrón de Cadmio a partir del metal puro.

PmcCd 

××=

1000(mg/L)

donde: m = masa del metal (mg)V = volumen del líquido del patrón (ml)

1000 = conversión ml a LP = pureza dado como fracción de masa

Pureza: Según la certificación del proveedor, el Cadmio metal es 99,99 ± 0,01%

P = 0,9999 ± 0,0001.

Pureza

Masa

Temperatura

Calibración

Repetibilidad

(Tara)

Calibración

Repetibilidad

Legibilidad

Linealidad

Vol

C (Cd)

(bruto)

Legibilidad

Repetibilidad

Calibración

Linealidad

Masa: Se identifican tres fuentes de incertidumbre para la pesada:Repetibilidad.Legibilidad (resolución digital).Incertidumbre en la calibración, que tienen dos fuentes

 potenciales: linealidad y sensibilidad que se descarta porque la masa por diferencia se saca con la misma balanza de un rango muyestrecho.

Volumen: Tres fuentes de incertidumbre:Incertidumbre en el volumen interno certificado del matraz.Variación en el llenado del matraz.La temperatura del matraz y de la solución diferente de la de

calibración del matraz.

Cuantificación de los componentes individuales

Cuantificar la contribución de cada fuente potencial de incertidumbre identificada yasea por medio de la medición directa, por estimación utilizando resultadosexperimentales previos o por derivación a partir de análisis teóricos.En el ejemplo dado en 6.2 se tienen:

Pureza: Como no se cuenta con información adicional acerca del valor de laincertidumbre, se asume una distribución rectangular.

( ) 000058,03

0001,0==Pμ   

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Con P = 0,9999 ≅ 1 ⇒ μ (P) /P = 0,000058/1 = 0,000058

Masa: La incertidumbre asociada a la masa se estima utilizando el dato extraído delcertificado de calibración de la balanza. Esta estimación toma en consideración lastres contribuciones identificadas en 6.2.En el certificado se informa la incertidumbre con un nivel de confianza del 95 %confianza con un factor de cobertura k=2. Para calcular la incertidumbre estándar dividir la incertidumbre por dos.Incertidumbre expandida informada = Uexp=0.0002676 gIncertidumbre estándar = Us=0.0001338 gEn este caso ya se encuentra contemplado el componente repetibilidad por lo que nohace falta llevarlo a cabo.Como se debe pesar el recipiente para la tara y luego el recipiente con la droga, hayque considerar Us dos veces.

Entonces la U debida a la pesada es μ (m) = 22 134,0134,0 + = 0.19 mg

La incertidumbre relativa será: 0.19 mg / 100 mg = 0.0019

Volumen: Según lo indicado en 6.2, el volumen tiene tres factores de influencia:calibración, repetibilidad y temperatura.Cuantificar la contribución según el siguiente esquema:

Calibración: El fabricante indica 100 ml ± 0,1 ml a 20 ºC sin dar informaciónacerca del nivel de confianza ni de la distribución. Se asume unadistribución rectangular o una distribución triangular, sí se conoce queson más probables los valores nominales que los extremos.

Contribución por calibración mlml

04,06

1,0==  

 Repetibilidad : La incertidumbre debida a las variaciones en el llenado del matraz pueden ser estimada a partir de un experimento de repetibilidad. Unaserie de 10 mediciones de llenado y pesada dio un desvío estándar de0,02 ml que es usado directamente como incertidumbre estándar.

Temperatura: Matraz calibrado a 20 ºC . La temperatura del laboratorio es 20 ºC ± 4 ºC. Se considera solo la expansión del líquido y se desprecia la delvidrio.Coeficiente de expansión del agua = 2,1 x 10-4 ºC-1

Se asume distribución rectangular.

Contribución de la temperatura( )

3

084,0

3

101,24100 4ml

±=

×××

±=

 

= 0,05 ml 

( ) mlV 07,005,002,004,0 222 =++=μ   

con ( ) 0007,0=V V  

Calculo de la incertidumbre combinada

Elaborar una tabla en la que se indiquen los valores y las contribuciones.

Descripción Valor (x)  μ (x) μ (x)/x

Pureza 0,9999 0,000058 0,000058Masa (mg) 100 0,19 0,0019

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Volumen (ml) 100 0,07 0,0007

( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) =+++=⇒ 2222

V V mt mt mbmbPPc

c

Cd 

Cd cμ μ μ μ 

μ  

=++= 222 0007,00019,0000058,0  

≅ 0,002

( ) ( )lmgcc Cd Cd c 002,0×=  

Incertidumbre expandida = 0.002 x 2 x c(Cd) = 4 mg/l 

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 7.3 Ejemplo: Estimación de incertidumbre para la determinación del contenido de óxido de

calcio en cemento utilizando el método gravimétrico.

Pesaje muestra

 Tratamiento para la determinaciónde sílice total y precipitación de R

2O

3

Precipitación con oxalato de amonio

Calcinación a 1200 ºC

Resultado

 

( )100

1

23 ×−

=W 

W W CaO  

W1: peso de muestra (g)W2: peso del crisol (g)W3: peso del crisol y del precipitado después de la calcinación

CaO (%)

W3

W2

W1

Calibración

balanza

Precisión

pesada

Calibración

balanza

Precisión

pesada

Precisión

pesada

Calibración

balanza

Recuperación (R) Precisión (P)

Recuperación

del método

Precisión

ensayo

 

-  Datos experimentales:Muestra: 1g de cemento pesado al 0,0001 g.

Calibración balanza: incertidumbre ± 0,0003 g con 95%.Material de referencia certificado: 62,34% (CaO) con 0,13 de incertidumbre.

-  Estudio de recuperación:

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Del análisis del cemento patrón se obtuvo:CaO % (promedio): 62,31% con n = 9Desvío estándar: 0,065.Desvío estándar relativo: 0,0010Desvío estándar de la media: 0,0217

Recuperación (R m) 9995,0

34,.62

31,62===

cert 

obs

C  

Se identifican dos contribuciones ( )obsC μ  y ( )

cert C   

( ) ( )=⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ +⎟

⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ =

22

cert 

cert 

obs

obs

m RmC 

C  R

μ μ μ   

0021,0

34,62

13,0

31,62

0217,09995,0

22

=⎟

 ⎠

 ⎞⎜

⎝ 

⎛ +⎟

 ⎠

 ⎞⎜

⎝ 

⎛ =  

Para determinar si la recuperación es significativamente diferente de 1, se compara⏐1- Rm ⏐/μ  Rm con k (igual a 2 para 95%).

23,00021,0

9995,011 =

−=−  Rmm R μ  < 2

 Rm  tomando en consideración  μ  Rm  no es significativamente diferente de 1 ⇒ Recuperación = 1 y μ  Rm= 0,0021.

- Precisión del ensayo:Se analizaron 7 muestras de un cemento y se obtuvo:

Promedio (%): 65,280Desvío estándar (%): 0,110Desvío estándar relativo: 0,0017 =μ P 

- Incertidumbre en el pesaje de la muestra

Incertidumbre balanza = ±0,0004 g (95%) mg204,0

96,1

0004,0=⇒  

Incertidumbre relativa pesaje de muestraWm

Wm = 0.204 mg/ 1000 mg=0.000204

- Incertidumbre en el pesaje del precipitado

Incertidumbre balanza = ±0,0004 g (95%) mg204,096,1

0004,0=⇒  

Peso del crisol: 24,03013Peso del crisol más precipitado: 24.65506Peso del precipitado: 0.62 g

Incertidumbre relativa: ( ) ( ) 620/204.0204.0 22 += p

PW 

W =0.00047

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 - Cálculo de la incertidumbre combinada

2222

⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ +⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ +⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ =

WpW P Rc

Wp

m

WmP R

c

μ μ μ μ μ   

( ) ( ) ( ) =+++= 2222 00047.0000204.00017,00021.0ccμ  0.0028

0028,0×= c  

- Cálculo de la incertidumbre expandidaUtilizando un factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95%.

0056,020028,02 ×=××=××=∪ ccc cr c  

Para una concentración igual a 62.31 %:

Uc= 62.31 x 0.0056 = 0.35Expresión del resultado = 62.31 % +/- 0.35 (Confianza = 95 %)

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7.4) Estandarización de una solución de Hidróxido de Sodio

Procedimiento:

1)  Pesar KHP (biftalato de potasio)2)  Preparar la solución3)  Titular 4)  Calcular el resultado

El patrón primario de KHP se seca de acuerdo a instrucciones del fabricante el cual tambiénespecifica la pureza y su incertidumbre.

Se calcula la cantidad a pesar para un volumen aproximado de 19 ml de NaOH 0.1 M.

204.2212 x 0.1 x 19 = 0.388 g pesados en una balanza al 0.1 mg1000 x 1.0

Se prepara la solución 0.1 mol l-1 , para preparar un L es necesario pesar 4 g de NaOH. Sin

embargo, dado que la concentración será determinada por contraste con el patrón primario KHP, nohay fuentes de incertidumbre relacionadas con el peso molecular o la masa de NaOH.

Se disuelve el KHP en 50 ml de agua destilada y luego se titula con la solución de NaOH.Se utiliza un titulador automático que controla la adición de NaOH y registra la curva de pH.

Cálculo:

T KHP

KHPKHP

 NaOH V  M 

PmC 

×

××=

1000 

Identificación y análisis de las fuentes de incertidumbre:

Masa del KHP

La pesada es por diferencia.Significa que hay una pesada para la tara y otra para el KHP.Cada pesada está sometida a la variabilidad de la balanza entre pesadas y a la incertidumbre de lacalibración de la balanza. La calibración tiene dos fuentes posibles de incertidumbre: lasensibilidad y la linealidad. Si la pesada se hace en la misma escala y en un rango pequeño de

 pesada, la contribución debida a la sensibilidad puede despreciarse.

Pureza del KHP

El catálogo del proveedor dice: 99.95 a 100.05 % por lo tanto: 1.0000+/- 0.0005. No hay otra fuentede incertidumbre, si el secado se hizo de acuerdo a las instrucciones del proveedor.

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Masa molecular del KHP

C8H5O4K 

La incertidumbre de la masa molecular, puede calcularse combinando la incertidumbre de los pesosatómicos de sus constituyentes elementales. IUPAC publica una tabla de pesos atómicos con susincertidumbres estimadas.

Volumen

Se usa una bureta automática a pistón de 20 ml.El volumen dispensado por la bureta está sometido a las siguientes fuentes de incertidumbre:La repetibilidad del volumen dispensado.La incertidumbre de la calibración.La incertidumbre resultante por la diferencia en la temperatura de calibración y uso en ellaboratorio.La repetibilidad del punto final.La posibilidad de un error sistemático.

La incertidumbre de cada fuente identificada, debe ahora ser cuantificada y convertida enincertidumbre estándar. Todos los experimentos siempre incluyen al menos la repetibilidad delvolumen dispensado y la repetibilidad de la pesada. Por lo tanto, es razonable combinar todas lacontribuciones de repetibilidad en una sola para todo el experimento y usar los valores de lavalidación del método para cuantificar su valor. La validación del método muestra una repetibilidad

 para el experimento: 0.05%. este valor puede usarse directamente para el cálculo de laincertidumbre estándar combinada.

Cálculo de los componentes de incertidumbre

Masa del KHP

Contenedor y KHP: 60.5450 g (observado)Contenedor : 60.1562 g (observado)KHP : 0.3888 g (calculado)

Debido al término de repetibilidad combinada mencionado anteriormente, no hay necesidad detener en cuenta la repetibilidad de la pesada. Además, cualquier desvío sistemático de la escala serácancelado. Por lo tanto, la incertidumbre será solamente producto de la incertidumbre de lalinealidad de la balanza.

Linealidad: el certificado de calibración cita +/-0.15mg para linealidad.Este valor es la máxima diferencia entre el valor de la masa sobre el platillo y la lectura de la escala.Se recomienda el uso de la distribución rectangular para convertir la contribución de la linealidad enincertidumbre estándar:

mgmg

09.03

15.0=  

Esta contribución debe contarse dos veces, una vez por la tara y otra por la pesada del KHP, porquecada una, es una observación independiente y los efectos de la linealidad no están correlacionados.

Por lo tanto: mgmKHP 13.0)09.0(2)( 2 =×=μ   

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Pureza del KHP

La pureza declarada es de 1.0000 +/- 0.0005. el proveedor no da información adicional. Por lotanto, esta incertidumbre se toma como que tiene una distribución rectangular, por lo que la

incertidumbre estándar es 00029.03

0005.0=  

Masa Molecular del KHP

De la tabla de la IUPAC:

Elemento Peso atómico Incertidumbre+/- Incert. estándar Peso At. x n Incert estánd x nC8 12.0107 0.0008 0.00046 96.0856 0.0037H5 1.00794 0.00007 0.000040 5.0397 0.00020O4 15.9994 0.0003 0.00017 63.9976 0.00068K 39.0983 0.0001 0.000058 39.0983 0.000058

La IUPAC cita la incertidumbre bajo la forma de límites de una distribución rectangular.La incertidumbre estándar se obtiene dividiendo por la raíz cuadrada de 3.

Para calcular la incertidumbre del peso molecular, primero hay que multiplicar la incertidumbreestándar de cada elemento, por el número de átomos de la molécula.

MKHP=96.0856+5.0397+63.9976+39.0983=204.2212 g/mol

u(MKHP)=raiz(0.00372+0.000202+0.000682+0.0000582)

Como esta expresión es la suma de valores independientes, la incertidumbre estándar se calculacomo la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las incertidumbres estándares.

 NOTA: Teniendo en cuenta que la contribución de los elementos a la masa molecular essimplemente la suma de las contribuciones de cada átomo, podría esperarse que según la regla de

 propagación de incertidumbres, la misma se calcule según la regla de propagación de laincertidumbre, por ejemplo para el carbono, la molécula contiene 8 átomos, por lo que se esperaríaque la incertidumbre debida a la masa de carbono sea raíz(8 x 0.000372)=0.001.Recordar, que esta regla se aplica solamente cuando las contribuciones son independientes, lo quees, contribuciones de determinaciones separadas del valor. En este caso, el total se obtienemultiplicando un valor único por 8. tener en cuenta que las contribuciones de elementos diferentes

son independientes y por lo tanto, se combinan de la manera usual.Volumen

Repetibilidad del volumen dispensado: Como antes, la repetibilidad ya fue tenida en cuenta por medio del término combinado de repetibilidad del experimento.

Calibración: Los límites de exactitud del volumen dispensado son indicados por el fabricante de laforma a ±. Para una buseta a pistón de 20 ml este valor es típicamente ± 0.03 ml. Asumiendodistribución rectangular, se obtiene una incertidumbre estándar de 0.03/raiz(6)=0.012ml.

Temperatura:

La incertidumbre debida a la falta de control de temperatura se calcula de la misma manera que enel ejemplo anterior, pero esta vez, teniendo en cuenta como posible una variación de ±3°C (con unaFernando Veyretou Esp. en Ing. en Calidad

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confianza del 95%). Nuevamente usando el coeficiente de expansión del volumen para el agua de2.1x10-4°C-1 da un valor de:

19 x 2.1x10-4°C-1 x 3/1.96=0.006ml

 por lo tanto, la incertidumbre estándar debido al control incompleto de la temperatura es 0.006ml.

Desvío (Bias) de la detección del punto final:

La titulación se lleva a cabo bajo una corriente de argón para excluir cualquier desvío debido a laabsorción de CO2 en la solución. Este tratamiento (approach) sigue el principio de que es mejor 

 prevenir un desvío que corregirlo. No hay otras indicaciones para que el punto final determinado dela curva de Ph no corresponda al punto de equivalencia, ya que se está titulando un ácido fuerte conuna base fuerte. Por lo tanto se asume que el desvío de la detección del punto final y suincertidumbre son despreciables.VT=18.64 ml y combinando las otras contribuciones a la incertidumbre, se obtiene un valor de:

u(VT)=raiz(0.012

2

+ 0.006

2

)=0.013 mlCalcular la incertidumbre estándar combinada

C NaOH=1000 . mKHP . PKHP

MKHP . VT

 Usando los valores dados anteriormente:

C NaOH=1000 . 0.3888 . 1.0 = 0.10214204.2212 . 18.64

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Para una expresión multiplicativa, las incertidumbres estándar se usan como sigue:

22222)()()()()()(

⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ +⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ +⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ +⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ +⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ =

KHP

KHP

KHP

KHP

KHP

KHP

 NaOH 

 NaOH c

V u

 M 

 M u

P

Pu

m

mu

rep

repu

c

cu 

00097.000070.0000019.000029.000033.00005.0)( 22222c =++++=

 NaOH 

 NaOH 

c

cu 

00010.000097.0)( =×= NaOH  NaOH c ccu mol L-1

 

7.5) Determinación de fibra cruda en alimentos balanceados

Observación: este es un ejemplo a fines de explicar como proceder al cálculo de la incertidumbrevaliéndose de datos de estudios interlaboratorio (además de los cálculos usuales paraincertidumbre). Esto es especialmente útil en el caso de métodos empíricos para los cuales no secuenta con materiales de referencia, otros ejemplos de estos métodos son: ensayos reológicos:gluten, falling number, alveograma, farinograma, materia grasa. Para determinar fibra debenseguirse las indicaciones de la norma correspondiente.

1) Introducción

Se define fibra cruda como la cantidad de sustancias orgánicas insolubles en medio ácido yalcalino. El procedimiento está estandarizado y sus resultados son usados directamente. Cambios enel procedimiento cambian el mesurando; consecuentemente este es un ejemplo de un métodoempírico.

Se cuenta con datos de los estudios de ensayos interlaboratorio (repetibilidad y reproducibilidad).También se cuenta con resultados de experimentos de precisión realizados en el laboratorio(repetibilidad intra-laboratorio). No se cuenta con un material de referencia adecuado disponible

 para este método.

2) Procedimiento resumido:

Moler la muestra de manera que pase por un tamiz de 1 mm.Pesar 1 g de muestra en un crisol.Agregar reactivos de digestión ácida y calentar. Filtrar y lavar el residuo.Agregar reactivos de digestión alcalina y calentar. Filtrar y lavar. Lavar con acetona.

Secar a peso constante a una temperatura estandarizada.Registrar el peso del residuo seco.Calcinar a una temperatura estandarizada.Pesar el residuo y calcular el contenido de fibra por diferencia, luego de sustraer el peso del residuodel crisol blanco.

a

cbC  fibra

100)( ×−=  

donde:

a es la masa de muestra (aproximadamente 1 g) b es la pérdida de masa luego de la calcinación de la muestra.c es la pérdida de masa luego de la calcinación del blanco.

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3) Identificación y análisis de las causas de incertidumbre:

Identificar las causas de incertidumbre. Dado que se cuenta con datos de estudios interlaboratorios eintralaboratorio para el método, el uso de estos datos está estrechamente relacionado con laevaluación de las diferentes contribuciones a la incertidumbre.

4) Cuantificación de los componentes de incertidumbre:

 Resultados de estudios interlaboratorios:

El método fue sometido a un estudio interlaboratorio. Se analizaron cinco muestras. La repetibilidady reproducibilidad se presentan en la tabla siguiente. Como parte de la evaluación intralaboratorio,se realizó un estudio de repetibilidad con cinco replicados de cada muestra.

Tabla 7.5-1Contenido de fibra (% p/p)Resultados del estudio interlaboratorio

Muestra

Promedio

Desviación

estándar dereproducibilidad

Desviación

estándar derepetibilidad

Desviaciónestándar de

repetibilidad (intralaboratorio)A 2.3 0.293 0.198 0.193B 12.1 0.563 0.358 0.312C 5.4 0.390 0.264 0.259D 3.4 0.347 0.232 0.213E 10.1 0.575 0.391 0.327

La estimación de la repetibilidad intralaboratorio fue comparable con aquella obtenida del estudiointerlaboratorio. Esto indica que la precisión del método en este laboratorio en particular, es similar a la de aquellos que tomaron parte en el estudio colaborativo. Por lo tanto, es aceptable que se use la

desviación estándar de reproducibilidad del estudio colaborativo en la estimación de laincertidumbre del método. Para completar el cálculo de incertidumbre, se necesita considerar siexisten otros efectos no tenido en cuenta en el estudio interlaboratorio. El estudio colaborativo tuboen cuenta diferentes matrices y pretratamientos de muestras. Las incertidumbres asociadas con elefecto matriz y el pretratamiento no requieren consideraciones adicionales. Otros parámetros queafectan al resultado se relacionan con las condiciones de extracción y secado. Estas se investigaron

 por separado para asegurar que el desvío del laboratorio está bajo control (ej: que sea pequeñocomparado con la desviación estándar de reproducibilidad.

Pérdida de masa durante la calcinación.

Como no hay un material de referencia adecuado para este método, el sesgo del laboratorio debe ser evaluado considerando las incertidumbres asociadas con los pasos individuales del método. Variosfactores van a contribuir con la incertidumbre asociada con la pérdida de masa durante lacalcinación:

Concentraciones de ácido y álcali, tiempo de digestión, temperatura y tiempo de secado y calcinado.

Concentración de reactivos y tiempo de digestión:

Los efectos de concentración y tiempo de digestión fueron estudiados previamente. En estos

estudios, se evaluó el efecto de los cambios en estos parámetros, sobre el resultado del análisis. Paracada parámetro se calculó el coeficiente de sensibilidad (tasa de cambio del resultado final respectodel cambio en el parámetro) y se calculó la incertidumbre en el parámetro. Las incertidumbresmostradas en la Tabla 7.5-2 son pequeñas comparadas con la reproducibilidad presentada en la

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Tabla 7.5-1. Por ejemplo, la desviación estándar de reproducibilidad para una muestra conteniendo2,3% p/p de fibra es 0.293% p/p. la incertidumbre asociada con variaciones en el tiempo dedigestión con ácido es estimada en 0.021% p/p. Por lo tanto, podemos descartar las incertidumbresasociadas con variaciones en este parámetro.

Tiempo y temperatura de secado.

 No hay datos previos disponibles. El método estipula secar a 130°C hasta peso constante. En estecaso la muestra se seca durante 3 horas y luego es pesada. Luego se la seca una hora más y se lavuelve a pesar. Se define peso constante como una variación menor a 2 mg.

Tabla 7.5-2

Parámetro Coef. De sensibilidad(1) Incertidumbre en el parámetro

Incertidumbre delresultado RSD (4)

Conc. Ácido 0.23 (mol l-1)-1 0.0013 mol l-1 (2) 0.00030Conc. Alcali 0.21(mol l-1)-1 0.0023 mol l-1 (2) 0.00048Tiempo dig. Ac. 0.0031(mol l-1)-1 2.89 min (3) 0.0090Tiempo dig. Alc. 0.0025(mol l-1)-1 2.89 min (3) 0.0072

 Nota 1. El coeficiente de sensibilidad fue estimado graficando el cambio normalizado en fibra contra la concentraciónde reactivo o el tiempo de digestión. Se usó una regresión lineal para calcular la tasa de cambio de losresultados del análisis con los cambios en el parámetro.

 Nota 2. La incertidumbre estándar en las soluciones de ácido y álcali fue calculada a partir de estimados de la precisióny veracidad del material volumétrico usado para la preparación, efectos de temperatura, etc.

 Nota 3. El método especifica un tiempo de digestión de 30 min. El tiempo de digestión se controla al +/- 5 min. Esta esuna distribución rectangular la cual es convertida a incertidumbre estándar dividiendo por raíz cuadrada de 3.

 Nota 4. La incertidumbre en el resultado final, como desviación estándar relativa (RSD), se calcula multiplicando elcoeficiente de sensibilidad por la incertidumbre en el parámetro.

En un estudio intralaboratorio se secaron cuatro muestras a 110, 130 y 150 °C y se pesaron luego de3 y 4 horas de secado. En la mayoría de los casos, la diferencia entre 3 y 4 horas fue menor de 2 mg.

Por lo tanto, esto fue tomado como el caso peor para la estimación de la incertidumbre para elcambio de peso por secado. El rango +/- 2 mg describe una distribución rectangular la cual esconvertida en incertidumbre estándar dividiendo por raíz de 3. Por lo tanto, la incertidumbre en el

 peso es 0.00115 g. Para una muestra de 1 g, este valor corresponde a 0.115 %p/p en el contenido defibra. Esta fuente de incertidumbre, es independiente del contenido de fibra de la muestra. Habrá

 por lo tanto una contribución fija de 0.115%p/p a la incertidumbre de cada muestra, cualquiera seala concentración de fibra. Para todas las concentraciones de fibra, este valor es inferior que ladesviación estándar de reproducibilidad y para todos excepto la muestra de menor contenido defibra, es inferior a 1/3 del SR . Nuevamente, esta fuente de incertidumbre puede desecharse. Sinembargo, para bajas concentraciones de fibra, esta incertidumbre es mayor que 1/3 del valor de SR  de manera que debe agregarse un término adicional en la composición de la incertidumbre Tabla

7.5-3.

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Tiempo y temperatura de calcinación

El método requiere que la muestra sea calcinada a 475 a 500 °C durante por lo menos 30 minutos.En un estudio que fue publicado, se estudiaron los condiciones de calcinación a diferentestemperaturas y tiempos desde 450°C por 30 minutos hasta 650°C por 3 horas. No se observarondiferencias significativas bajo las condiciones estudiadas. Por lo tanto, el efecto de pequeñasvariaciones en temperatura y tiempo puede ser ignorado. Para el tratamiento del blanco, se asumenlas mismas conclusiones.

Tabla 7.5-3Contenido de fibra % p/p U estándar: Uc(Cfibra)(%p/p) U relativa: Uc(Cfibra)/ Cfibra

2.5 31.0115.029.0 22 =+   0.12

5 0.4 0.0810 0.6 0.06

5) Cálculo de la incertidumbre estándar combinada

Este es un ejemplo de un método empírico para el cual había disponibles datos de estudios

interlaboratorios. El resultado de la repetibilidad intralaboratorio se encontró comparable con larepetibilidad estimada del estudio interlaboratorio, por lo tanto, es apropiado usar los valores dereproducibilidad SR del estudio interlaboratorio. La discusión presentada en el paso anterior, lleva ala conclusión que con excepción del efecto de las condiciones de secado para bajas concentracionesde fibra, las otras causas de incertidumbre identificadas son pequeñas en comparación con SR  . Encasos como este, la incertidumbre puede ser estimada basándose en la desviación estándar dereproducibilidad SR  obtenida del ensayo interlaboratorio. Para muestras con un contenido de fibrade 2.5%, se incluyó un término adicional, para tener en cuenta la incertidumbre asociada con lascondiciones de secado. En la tabla 7.5-3 se muestran las incertidumbres estándar para diferentesconcentraciones de fibra y también se muestra la incertidumbre estándar relativa RSD. Para calcular la incertidumbre expandida, se pueden multiplicar los valores mencionados por un factor decobertura k=2, lo que brinda un nivel de confianza de aproximadamente el 95%.

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7.6) Formulario para cálculo de incertidumbre.

lj  Cálculo de Incertidumbre.Método: Fecha:Matriz:

Firma y aclaración