cálculo do coeficiente de assimetria gradiente em...
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sid.inpe.br/mtc-m19@80/2010/08.03.18.34-TDI
CALCULO DO COEFICIENTE DE ASSIMETRIA
GRADIENTE EM C/C++: EXEMPLOS DE
APLICACOES EM ASTROFISICA E COSMOLOGIA
Cristiano Strieder
Dissertacao de Mestrado do Curso de Pos-Graduacao em Computacao Aplicada,
orientada pelo Dr. Reinaldo Roberto Rosa, aprovada em 06 de agosto de 2010.
URL do documento original:
<http://urlib.net/ 8JMKD3MGP7W/3827KLH >
INPE
Sao Jose dos Campos
2010
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CALCULO DO COEFICIENTE DE ASSIMETRIA
GRADIENTE EM C/C++: EXEMPLOS DE
APLICACOES EM ASTROFISICA E COSMOLOGIA
Cristiano Strieder
Dissertacao de Mestrado do Curso de Pos-Graduacao em Computacao Aplicada,
orientada pelo Dr. Reinaldo Roberto Rosa, aprovada em 06 de agosto de 2010.
URL do documento original:
<http://urlib.net/ 8JMKD3MGP7W/3827KLH >
INPE
Sao Jose dos Campos
2010
Dados Internacionais de Catalogacao na Publicacao (CIP)
Strieder, Cristiano.St84c Calculo do coeficiente de assimetria gradiente em C/C++:
exemplos de aplicacoes em astrofısica e cosmologia / CristianoStrieder. – Sao Jose dos Campos : INPE, 2010.
xxii + 81 p. ; (sid.inpe.br/mtc-m19@80/2010/08.03.18.34-TDI)
Dissertacao (Mestrado em Computacao Aplicada) – InstitutoNacional de Pesquisas Espaciais, Sao Jose dos Campos, 2010.
Orientador : Dr. Reinaldo Roberto Rosa.
1. Coeficiente de assimetria gradiente G A.2. C/C++(Linguagem de programacao). 3. Analise de pa-droes gradientes. 4. Linux. 5. Astrofısica . I.Tıtulo.
CDU 004.415.25
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ii
“Don’t let the noise of others’ opinions drown out your own innervoice. And most important, have the courage to follow your heart and
intuition. They somehow already know what you truly want tobecome. Everything else is secondary.”
Steve Jobs
v
A meus pais Leo e Elci
vii
AGRADECIMENTOS
Agradeco a minha famılia, por sempre ter me apoiado durante os meus estudos: Pai,
Mae, Gil, voces sao muito importantes.
Ao meu orientador Dr. Reinaldo R. Rosa pelo incentivo e conhecimento comparti-
lhado durante o desenvolvimento deste trabalho. E aos pesquisadores da Divisao de
Astrofısica - DAS/INPE e do Centro Brasileiro de Pesquisas Fısicas - CBPF, pelo
fornecimento dos dados para analise. Agradeco tambem a todos os professores, pelos
ensinamentos nas disciplinas de computacao aplicada. E as secretarias da CAP e do
LAC por todo o suporte disponibilizado durante esses anos.
Aos professores, colegas e amigos da Universidade Federal de Santa Maria que me
incentivaram a seguir a carreira academica. Aos amigos e colegas do INPE e do tra-
balho no IAE/CTA. E, como nao podia deixar de ser, a Adriana, minha namorada.
Muito obrigado pela confianca e pela paciencia.
Ao Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE) pela infraestrutura e a opor-
tunidade de realizar meus estudos.
A CAPES(Coordenacao de Aperfeicoamento de Pessoal de Nıvel Superior) pelo au-
xılio financeiro.
A todas as pessoas que, direta ou indiretamente, contribuıram para a realizacao
deste trabalho monografico.
ix
RESUMO
A analise computacional de padroes morfologicos em astrofısica e cosmologia con-siste na extracao automatica de medidas sobre dados observados e/ou simulados quecontenham informacao estrutural de fontes astronomicas registradas atraves de ima-gens digitalizadas (estrelas, galaxias, aglomerados de galaxias e mapas de radiacao).No estado-da-arte das ferramentas e metodologias para classificacao de morfologiasde tais fontes, ainda ha uma grande demanda para tecnicas robustas e de facil im-plementacao computacional que possam ser aplicadas de forma automatica sobreum grande volume de dados (da ordem de Tera bytes). Nesse contexto, a Analise dePadroes-Gradientes (GPA, do ingles Gradient Pattern Analysis) apresenta-se comouma ferramenta promissora para identificacao automatica de padroes estruturais apartir de imagens digitais. A tecnica GPA baseia-se em uma operacao geometricaque calcula o coeficiente de assimetria gradiente GA a partir do campo gradiente deuma dada matriz. Esta dissertacao apresenta o calculo de GA a partir de um novoalgoritmo, o GPA++, desenvolvido de forma inedita em linguagem C/C++. Alem daferramenta de linha de comando GPA++, foi desenvolvida em linguagem JAVA umainterface grafica, a GPA++GUI, que possibilita a experimentacao da tecnica GPA demaneira simples e mais intuitiva atraves de um aplicativo para ambiente grafico Li-nux. A pesquisa para implementacao do algorıtmo e discutida em detalhes incluindotestes e validacao que tomam como base um conjunto canonico de dados utilizadospara validar versoes desenvolvidas originalmente em ambientes IDL e Matlab. Asvantagens do calculo de GA via GPA++ sao discutidas a partir de tres exemplos deaplicacoes sobre: (i) imagens de galaxias; (ii) mapas simulados da radiacao cosmicade fundo e (iii) arcos gravitacionais simulados a partir do software AddArcs. Os trestipos de dados foram escolhidos para exemplificar a diversidade de aplicacoes doGPA++ na analise de dados astrofısicos e cosmologicos.
xi
COMPUTATION OF THE GRADIENT ASYMMETRYCOEFFICIENT IN C/C++: EXAMPLE APLICATIONS IN
ASTROPHYSICS AND COSMOLOGY
ABSTRACT
The computational analysis of morphological patterns in astrophysics and cosmologyconsists in the automatic extraction of measurements from real and/or simulateddata that contain structural information of astronomical sources recorded in digitalimages (stars, galaxies, clusters of galaxies, radiation maps). In the state of the artof tools and methodologies for morphological classification of such sources, there isa high demand for robust and easy computational implementable techniques thatcan be automatically applied to large data volumes (of the order of terabytes). Inthis context, the Gradient Pattern Analysis (GPA) appears as a promising tool forautomatic structural pattern identification in digital images. The GPA technique isbased on a geometric operation that calculates the gradient asymmetry coefficientGA from the gradient field of a matrix. This dissertation presents the computation ofthe GA performed by a new algorithm, the GPA++, developed in C/C++ for the firsttime. Furthermore, a graphical user interface was developed in JAVA: the GPA++GUI.It allows the experimentation of the GPA technique in a simple and more intuitiveway in a Linux environment. The research for the implementation of the algorithm isdiscussed in details including tests and validation performed with canonical data setsused to validate versions of the method developed originally in IDL and Matlab. Theadvantages of the GA computation made through GPA++ are discussed using threeexample applications: (i) galaxy images; (ii) simulated maps of cosmic microwaveradiation and (iii) gravitational arcs simulated with the AddArcs software. Thesethree types of data where selected to exemplify the wide range of applicability ofthe GPA++ in the analysis of astrophysical and cosmological data.
xiii
LISTA DE FIGURAS
Pag.
2.1 Distribuicao espacial de amplitudes com padrao simetrico (Funcao Gaus-
siana bidimensional). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Distribuicao espacial de amplitudes com padrao de fragmentacao sime-
trico (Funcao de Bessel bidimensional). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Distribuicao espacial de amplitudes com padrao de fragmentacao assime-
trico (Plasma de uma regiao ativa solar observada em raios X moles). . . 7
2.4 Vetores simericos sendo removidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.5 Exemplos de matrizes elementares com simetria vetorial total. Nos tres
casos (a), (b) e (c) o numero de vetores resultantes e nulo. . . . . . . . . 9
2.6 Matrizes elementares que apresentam assimetria vetorial. (a) seis vetores
assimetricos, (b) e (c): todos os vetores assimetricos . . . . . . . . . . . . 10
2.7 Campos de triangulacao das matrizes elementares . . . . . . . . . . . . . 11
2.8 Diferentes estrategias para remocao dos vetores simetricos. . . . . . . . . 15
2.9 Triangulacao de Delaunay (direita). Triangulacao que nao obedece ao
criterio de Delaunay (esquerda). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.10 Comparacao dos tempos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.11 Curva da diferenca NC−NV em funcao de NV para matrizes randomicas
da Tabela 2.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.12 Curva da razao (NC−NV )/NV em funcao de NV para as matrizes rando-
micas da Tabela 2.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.13 Saıda do aplicativo GPA++ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.14 Tela inicial do programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.15 Ilustracao da instalacao do programa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1 Da esquerda para a direita, de cima para baixo. Algumas estruturas en-
contradas em morfologia de galaxias: Anel, disco, barra em uma estrutura
espiral, bojo e lente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Sistema de Classificacao de Hubble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Galaxias Elıpticas (acima) e Espirais (abaixo) . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 Diversidade de tamanhos das imagens adquiridas no Observatorio de Pa-
lomar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.5 Galaxias elıpticas selecionadas por inspecao visual. . . . . . . . . . . . . 31
3.6 Galaxias espirais selecionadas por inspecao visual. . . . . . . . . . . . . . 32
xv
3.7 Faixas distintas de valores de GA para cada tipo morfologico . . . . . . . 34
3.8 Exemplo de aplicacao da tecnica GPA sobre imagem de galaxia espiral
(objeto NGC 5669). As imagens nao estao em escala. . . . . . . . . . . . 35
3.9 Exemplo de aplicacao da tecnica GPA sobre imagem de galaxia elıptica
(objeto NGC 5322). As imagens nao estao em escala. . . . . . . . . . . . 36
3.10 Perfis de Sersic para diferentes ındices n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.11 Coeficiente de assimetria GA para as observacoes feitas em Palomar Ob-
servatory nas bandas g, i e r. Dados organizados de acordo com o tama-
nho das imagens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.12 Valores de GA das imagens observadas nas bandas R e J. Os objetos com
maior valor de Sersic index encontram-se mais a direita. . . . . . . . . . 42
3.13 Valores medios de GA relacionados ao ındice de Sersic n. . . . . . . . . . 44
4.1 Vista lateral: (a) Lente gravitacional, objeto muito massivo. Exemplo:
Um aglomerado de galaxias .(b) Fonte. Exemplo: Galaxia. (c) Observa-
dor, telescopio. Exemplo: Hubble Space Telescope. (d) e (e) sao objetos
lenteados. Vista frontal: Objeto aparece lenteado nas posicoes (L1) e (L2). 45
4.2 Arco gravitacional presente em imagem adquirida pelo HST. . . . . . . . 46
4.3 Arco gravitacional presente em imagem adquirida pelo HST. . . . . . . . 47
4.4 Arcos gravitacionais simulados pelo software AddArcs. . . . . . . . . . . 49
4.5 GPA e aplicado na area selecionada indicada na imagem. . . . . . . . . . 49
4.6 Arcos em diversas extensoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.7 Nos dois casos o valor de GA diminui quando o arco assume um padrao
menos alongado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.8 O valor de GA diminui quando o arco assume um padrao menos alongado,
Figura (a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.9 O valor de GA diminui quando o arco assume um padrao menos alongado,
Figura (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.10 Exemplos de imagens classificadas pelo projeto CASTLES da Universi-
dade de Harvard: http://www.cfa.harvard.edu/castles/. . . . . . . . . . . 53
5.1 Ilustracao mostrando a melhora na resolucao oferecida por cada geracao
de satelites (COBE, WMAP e PLANCK). . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2 E extraıda uma linha a 45 graus no mapa de RCFM. . . . . . . . . . . . 58
5.3 GPA++GUI: Modulo que permite remontar os dados de entrada. . . . . 59
A.1 Exemplo do calculo do campo gradiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
xvi
LISTA DE TABELAS
Pag.
2.1 Benchmarking emulando o calculo de GA atraves do GPA++ . . . . . . . . 17
2.2 Tempo consumido por cada implementacao. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Parametros de fragmentacao assimetrica para matrizes randomicas de
diferentes tamanhos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1 Valores do Coeficiente de Assimetria GA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Valores de GA para galaxias espirais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 Valores de GA para galaxias elıpticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4 Coeficiente de assimetria GA para as observacoes feitas em Palomar Ob-
servatory nas bandas g, i e r. Dados organizados de acordo com o tama-
nho das imagens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5 Coeficiente de assimetria GA para as observacoes feitas em Lowell Obser-
vatory nas bandas R e J. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.6 Valores medios de GA relacionados ao ındice de Sersic. . . . . . . . . . . 43
4.1 Valores de GA encontrados para os objetos da Figura 4.5. . . . . . . . . . 50
4.2 Valores de GA encontrados para os objetos da Figura 4.7. . . . . . . . . . 51
5.1 Coeficiente de assimetria GA das matrizes referentes as linhas do hemis-
ferio norte (esquerda) e sul (direita). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
xvii
LISTA DE SIMBOLOS
GPA – Gradient Pattern AnalysisGA – Coeficiente de Assimetria GradienteIDL – Interactive Data LanguageIDE – Integrated Development EnvironmentV – Numero de vetoresNV – Numero de vetores assimetricosNC – Numero de linhas de conexaoRCF – Radiacao Cosmica de FundoRCFM – Radiacao Cosmica de Fundo em MicroondasFITS – Flexible Image Transport SystemPNG – Portable Network GraphicsE(x, y) – Amplitude da Distribuicao de Energia em duas dimensoesE(x, y, t) – Amplitude da Distribuicao de Energia em tres dimensoes∆E – Campo Gradiente da matriz EGradV (E) – Gradiente da matriz E com V vetoresSTL – Standart Template LibraryASCII – American Standard Code for Information InterchangeGUI – Guidance User InterfaceCCD – Charge-Coupled DeviceFTP – File Transfer ProtocolPSF – Point Spread FunctionHST – Hubble Space TelescopeDNA – DeoxyriboNucleic AcidCOBE – Cosmic Background ExplorerWMAP – Wilkinson Microwave Anisotropy ProbeESA – European Space AgencyNASA – National Aeronautics and Space AdministrationSZ – Sunyaev-ZeldovichDAS – Divisao de Astrofısica
xix
SUMARIO
Pag.
1 INTRODUCAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Motivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Organizacao do texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 CALCULO DE GA EM LINGUAGEM C/C++ . . . . . . . . . . 5
2.1 O Metodo de Analise de Padroes Gradientes . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Fragmentacao da Energia Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.2 Campo Assimetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.3 Matrizes Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.4 Campo de Triangulacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.5 O Operador FA e o coeficiente de Assimetria Gradiente GA . . . . . . 10
2.2 Linguagem C/C++ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Implementacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Benchmarking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5 Validacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.6 Instrucoes para utilizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.7 Instrucoes para instalacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 CARACTERIZACAO DA MORFOLOGIA DE GALAXIAS . . 25
3.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.1 Morfologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.2 A Teoria sobre Classificacao Morfologica . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.3 Classificacao Morfologica na Pratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Apresentacao dos dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 Investigacao Preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4 Analise dos dados em formato FITS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4 A CLASSIFICACAO MORFOLOGICA DE ARCOS GRAVITA-
CIONAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.1.1 Apresentacao dos Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
xxi
4.1.2 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2 Discussao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5 ANALISE DOS PADROES DE FLUTUACAO DE MAPAS SI-
MULADOS DE RADIACAO COSMICA DE FUNDO . . . . . 55
5.1 A Radiacao Cosmica de Fundo em Microondas . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2 Missoes Espaciais para observacao de RCFM . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.3 Dados Analisados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.4 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6 CONCLUSOES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.1 Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
APENDICE A - CALCULO DO CAMPO GRADIENTE . . . . . . 67
APENDICE B - CODIGO PARA EXTRAIR DO ARQUIVO FITS
A MATRIZ CORRESPONDENTE A IMAGEM . . . . . . . . . . 71
APENDICE C - ALGORITMO DE ORDENACAO . . . . . . . . . 73
APENDICE D - CODIGO JAVA PARA PREPARAR DADOS DE
RCFM PARA SEREM PROCESSADOS PELO GPA++ . . . . . . 77
APENDICE E - ARQUIVO DE CONFIGURACAO DO GPA++ . . 79
APENDICE F - CALCULO DA FASE . . . . . . . . . . . . . . . 81
xxii
1 INTRODUCAO
Nas ultimas tres decadas o avanco da tecnologia observacional tem permitido que os
astronomos obtenham informacoes estruturais de fontes astronomicas observadas em
altos redshifts. Alem das informacoes em alta resolucao de uma determinada fonte
(ex. uma galaxia elıptica distante), os bancos de dados astrofısicos incluem uma
quantidade enorme de objetos contendo diferentes propriedades fısicas e estruturais
que, devido ao grande volume de dados, demandam uma estrategia automatica para
a sua analise. Dessa forma, a analise computacional de padroes morfologicos em
astrofısica e cosmologia consiste na extracao automatica de medidas, sobre dados
observados e/ou simulados, que contenham informacao estrutural de fontes astrono-
micas registradas atraves de imagens digitalizadas (estrelas, galaxias, aglomerados
de galaxias, mapas de radiacao cosmica de fundo, entre outras).
Entretanto, do ponto de vista das metodologias matematicas para analise de es-
truturas espaco-temporais, ainda existe uma grande demanda para a pesquisa e
desenvolvimento de tecnicas robustas e de facil implementacao computacional que
possam ser aplicadas de forma automatica sobre um grande volume de dados. Nesse
contexto, a Analise de Padroes-Gradientes (GPA, do ingles Gradient Pattern Analy-
sis), introduzida em 1999 (ROSA et al., 1999), apresenta-se como uma ferramenta
promissora para identificacao automatica de padroes estruturais a partir de imagens
digitais.
A tecnica GPA, difundida na mıdia (WIKIPEDIA, 2009a), baseia-se em uma operacao
geometrica que calcula o coeficiente de assimetria gradiente - GA a partir do campo
gradiente de uma dada matriz. A tecnica tradicional consiste em quatro operacoes
sucessivas sobre uma dada matriz quadrada: (i) obtencao do campo gradiente da
matriz; (ii) calculo da quantidade de vetores assimetricos do campo gradiente; (iii)
triangulacao entre todos os vetores assimetricos; e (iv) calculo do coeficiente de
assimetria gradiente a partir da quantidade de arestas contidas na triangulacao.
O detalhamento dessas operacoes e apresentado no Capıtulo 2, onde o calculo do
coeficiente de assimetria gradiente e desenvolvido, de forma inedita, em ambiente
C/C++.
1
1.1 Motivacao
Em problemas que envolvem a caracterizacao de formacao de padroes espaco-
temporais e complexidade estruturais, a tecnica GPA tem sido empregada para
investigar a complexidade estrutural de superfıcies difusivas em materiais (ROSA et
al., 2007a), envelopes reativos-difusivos (ROSA et al., 1998), solucoes de equacoes de
amplitude (RAMOS et al., 2000), filmes de carbono (BARONI et al., 2006), regioes ativas
solares (ROSA et al., 2007b) e formacao de estruturas em grande escala (ANDRADE
et al., 2006). As caracterizacoes abordadas ate o presente envolvem poucas imagens
representadas por pequenas matrizes (tamanho variando de 3× 3 ate 128× 128). A
tecnica tambem foi adaptada para processamento de series temporais (ROSA et al.,
2007b) envolvendo a aplicacao conjunta de ondeletas discretas e contınuas.
Entretanto, com o crescente aumento do volume de informacoes, advindos das ob-
servacoes e simulacoes de alta resolucao espacial, e requerida uma abordagem mais
robusta da tecnica de Analise de Padroes Gradientes visando a aplicacao em con-
juntos de dados mais densos, como por exemplo, a analise da morfologia de galaxias
organizadas em grandes catalogos.
Com relacao ao metodo de Analise de Padroes Gradientes, sao encontrados na litera-
tura diversas aplicacoes que utilizam solucoes baseadas em licencas comercias como
IDL (Interactive Data Language) e MATLAB. Apesar de facilitar o desenvolvimento
de solucoes, estes ambientes tambem introduzem diversas restricoes relacionados
principalmente a:
• Desempenho: O codigo MATLAB e interpretado (nao compilado) e isto
determina uma fronteira de desempenho quando comparado a linguagens
compiladas como C/C++, por exemplo. Ja em IDL, procedimentos e fun-
coes desenvolvidas pelo usuario, e algumas funcoes prontas, sao compiladas
antes de serem usadas. Mas o compilador IDL nao otimiza o codigo tao
bem quanto um compilador C/C++, por isso a compilacao e rapida e o
programa gerado geralmente mais lento (BOWMAN, 2005).
• Escalabilidade: Solucoes desenvolvidas nestes ambientes geralmente nao
permitem trabalhar com volumes de dados muito grandes pelo fato de
serem interpretadas por uma maquina virtual que processa as instrucoes
de forma semelhante a um script.
2
• Portabilidade: Alem disso, tais solucoes estao restritas a computadores que
possuam licencas do software proprietario.
Diante do cenario atual e da necessidade de solucoes baseadas em software livre
detectou-se a necessidade de um novo codigo para o calculo do coeficiente de as-
simetria gradiente em linguagem C/C++ para ambiente Linux. Esta ferramenta,
desenvolvida nesta dissertacao e denominada GPA++, emprega os princıpios funda-
mentais da Analise de Padroes Gradientes e adiciona customizacoes empregadas
em problemas tıpicos de classificacao e identificacao de estruturas em astrofısica e
cosmologia.
1.2 Objetivo
O principal objetivo deste trabalho consiste na pesquisa e desenvolvimento de uma
nova versao do GPA em ambiente C/C++ que apresente vantagens, sobre as ver-
soes anteriores implementadas em IDL e Matlab, principalmente para aplicacoes em
dados da fısica espacial.
Como exemplos de aplicacoes foram selecionados tres tipos de dados relacionados
com os seguintes topicos:
• Caracterizacao de Morfologia de galaxias classificadas pelo sistema SER-
SIC: caracterizar a morfologia de uma galaxia atraves da medida do co-
eficiente de assimetria gradiente Ga calculado sobre a matriz que repre-
senta a imagem e que e obtida de um arquivo FITS. Foram estudados
objetos do banco Galaxy Catalog. Os dados estao disponıveis no endereco
”astro.princeton.edu“. Neste banco encontram-se 113 imagens, disponıveis
em formatos PNG, para visualizacao imediata, e tambem sao disponibili-
zados os respectivos arquivos FITS, que contem informacao relacionada a
imagem em si e tambem dados sobre criterios adotados para a aquisicao,
que estao presentes no header do aquivo.
• Caracterizacao de perfis de flutuacao da radiacao cosmica de fundo (RCF):
calcular o coeficiente de assimetria gradiente para linhas extraidas de ma-
pas simulados da RCF divididos em dois grupos: com e sem a componente
de anisotropia causada pelo efeito Sunyaev-Zeldovich.
• Caracterizacao de Arcos Gravitacionais simulados pelo software AddArcs :
3
identificar um arco gravitacional a partir da sua assimetria bilateral em
relacao aos eixos centrais de uma imagem.
Os tres tipos de dados foram escolhidos para exemplificar a diversidade de aplicacoes
do GPA++ na analise de dados astrofısicos e cosmologicos.
1.3 Organizacao do texto
Para descrever o conjunto de atividades realizadas, o texto consiste de seis capıtulos,
onde o capıtulo 2 trata do principal objetivo descrito na secao anterior. Dessa forma,
no Capıtulo 2 sao apresentados os detalhes da pesquisa para a implementacao em
linguagem C/C++ da tecnica de Analise de Padroes Gradientes (GPA). O trabalho,
realizado no periodo de 14 meses (englobando mais de 6 mil linhas de codigo),
resultou na primeira versao do GPA implementada e testada em C/C++, mais de
uma decada portanto, desde a publicacao do metodo.
No Capıtulo 3 o desempenho do GPA++ e avaliado para classificacao da morfologia
de galaxias. Sao obtidas medidas do coeficiente de assimetria Ga para um conjunto
de imagens cujos tipos morfologia sao bem definidos.
No Capıtulo 4 o desempenho do GPA++ e avaliado para caracterizacao de arcos gra-
vitacionais - um efeito de lentes gravitacionais que vem sendo utilizado para inferir a
massa de aglomerados e, por este caminho, levantar indıcios da presenca de materia
e energia escuras no universo.
No Capıtulo 5 o desempenho do GPA++ e avaliado para caracterizacao dos padroes
de flutuacao observados nos mapas de radiacao cosmica de fundo (RCF). Atraves
da metodologia de GPA e observado que a presenca do efeito Sunyaev-Zeldovich nos
mapas de RCF eleva o grau de assimetria do mapa.
O Capıtulo 6 sintetiza o trabalho e resultados obtidos. As conclusoes sao tomadas
no contexto de cada aplicacao. Tambem sao sugeridos trabalhos futuros, incluindo
questoes computacionais a serem abordadas em uma pesquisa complementar.
4
2 CALCULO DE GA EM LINGUAGEM C/C++
O metodo de Analise de Padroes Gradientes e capaz de caracterizar a formacao e
evolucao de padroes atraves das correlacoes espaco-temporais entre as amplitudes
das flutuacoes em pequena e larga escala (gradientes de flutuacao de energia).
Padroes assim aparecem em diversos problemas como por exemplo na caracterizacao
da morfologia de galaxias e tambem podem ser observados em Mapas de Radiacao
Cosmica de Fundo e em imagens de Arcos Gravitacionais. Em todos estes casos e
importante quantificar o grau de complexidade local pra poder caracterizar o padrao
espacial e tambem estudar a sua evolucao temporal.
Nesse trabalho e apresentada uma abordagem em linguagem C/C++ desenvolvida
para ambiente Linux da tecnica de Analise de Padroes Gradientes.
2.1 O Metodo de Analise de Padroes Gradientes
A Analise de Padroes Gradientes ou simplesmente GPA (Gradient Pattern Analysis),
como e mais conhecida, e uma metodologia inovadora que caracteriza a formacao e
evolucao de padroes baseada em correlacoes espaco-temporais entre grandes e pe-
quenas flutuacoes de amplitude da estrutura representada em um campo gradiente.
A seguir sao descritos os princıpios desta tecnica.
2.1.1 Fragmentacao da Energia Espacial
Devemos considerar sistemas espacialmente estendidos em duas dimensoes (x, y) cuja
distribuicao de amplitudes da energia e descrita por E(x, y), essencialmente uma
matriz de amplitudes se as duas dimensoes estiverem discretizadas em m valores
cada. Deve-se notar que uma sequencia dinamica de matrizes pode estar relacionada
com uma evolucao temporal de um envelope E(x, y) representada pelo conjunto 3D:
E(x, y, 1), ..., E(x, y, n), E(x, y, N) (2.1)
onde o ındice n e o tempo t discretizado em N instantes.
Para uma dada distribuicao espacial de amplitudes, E(x, y, n), observada no instante
n, de maneira geral pode-se analisar suas estruturas pelo calculo de medidas estatıs-
ticas na matriz de valores. Um exemplo seria o comprimento da correlacao espacial,
5
comumente definida como uma medida da importancia estatıstica de certas regioes
em comparacao com a media global para todo o sistema.
Em geral, o comprimento de correlacao e capaz de caracterizar somente padroes que
aparecem na media ao se integrar no tempo todas as matrizes. No entanto, esta
medida nao e tao robusta para caracterizacao instantanea de padroes com alto nıvel
de complexidade (ROSA et al., 1999).
E proposto que a complexidade do padrao espacial ou da estrutura, e caracterizada
pela sua falta de simetria e pela extensao da fragmentacao. Afim de identificar a
natureza da fragmentacao espacial e sua relacao com a simetria presente no sistema,
sao introduzidas as seguintes definicoes, de acordo com (ROSA et al., 1999):
a) O envelope E(x, y) nao esta fragmentado se tiver um unico extremo si-
metricamente localizado sobre toda a regiao. Um exemplo de padrao nao
fragmentado e apresentado pelo envelope Gaussiano com um unico pico,
ver Figura 2.1.
b) E(x, y) esta fragmentada se tiver multiplos pontos de maximo ou mınimo.
A fragmentacao e simetrica se houver um extremo com relacao ao qual
os outros estao distribuıdos simetricamente( um exemplo que possui um
padrao assim e o envelope de Bessel mostrado na Figura 2.2). Nos ou-
tros casos, onde ha uma distribuicao randomica de maximos e mınimos, a
fragmentacao e dita assimetrica( este caso e exemplificado na Figura 2.3).
2.1.2 Campo Assimetrico
De acordo com a tecnica de Analise de Padroes Gradientes, para caracterizar dife-
rentes padroes com maximos e mınimos e usado o campo gradiente ∇E da matriz
E. O campo gradiente especifica quantitativamente as variacoes em um dado ponto
e e um bom indicador quantitativo das mudancas na distribuicao dos maximos e
mınimos, portanto da fragmentacao espacial correspondente. Pode-se representar a
matriz E atraves do seu campo gradiente com V vetores, denotada matematica-
mente por GradV (E), onde cada vetor esta associado a um ponto em uma grade
bidimensional. Dessa forma, agora podemos pensar que a matriz contem os vetores
do campo gradiente em cada ponto da grade no espaco bidimensional.
6
Figura 2.1 - Distribuicao espacial de amplitudes com padrao simetrico (Funcao Gaussianabidimensional).
Figura 2.2 - Distribuicao espacial de amplitudes com padrao de fragmentacao simetrico(Funcao de Bessel bidimensional).
Figura 2.3 - Distribuicao espacial de amplitudes com padrao de fragmentacao assimetrico(Plasma de uma regiao ativa solar observada em raios X moles).
7
Figura 2.4 - Vetores simericos sendo removidos.
Nesta situacao muitos dos vetores possuem a mesma magnitude com uma pequena
margem de erro. Dizemos que dois destes vetores que apontam em direcoes opostas
formam um par simetrico, ver Figura 2.4.
Ao removermos cada par de vetores simetricos do campo GradV (E) estaremos ge-
rando um campo com NV vetores resultantes, todos vetorialmente assimetricos.
2.1.3 Matrizes Elementares
Vamos fazer agora uma analise aplicada a matrizes elementares. Considerando matri-
zes de tamanho 3×3, portanto com 9 elementos. Estas matrizes podem ser divididas
em dois tipos:
• Matrizes com simetria vetorial total, isto e, uma vez dado o campo gradi-
ente GradV (E), temos NV = 0, como consequencia da remocao dos pares
de vetores simetricos. Na Figura 2.5 sao mostrados tres exemplos de ma-
trizes elementares deste tipo (a), (b) e (c). Para cada caso, a direita e
mostrado o campo gradiente e os valores de V e NV .
• Matrizes nas quais a simetria vetorial total nao ocorre. Na Figura 2.6 sao
mostrado tres exemplos (a), (b) e (c) de matrizes elementares deste tipo.
Na coluna do meio e mostrado o campo gradiente. Percebe-se que ape-
nas atraves do parametro NV nao e possıvel distinguir os exemplos (b) e
(c). Isto e, apesar de nestes casos o campo gradiente ser completamente
diferente, temos NV = 9 em ambos os casos.
O parametro NV sozinho ja e considerado como uma medida grosseira da assime-
tria, mesmo nao distinguindo um campo com simetria de fluxo de outro totalmente
assimetrico.
8
Figura 2.5 - Exemplos de matrizes elementares com simetria vetorial total. Nos tres casos(a), (b) e (c) o numero de vetores resultantes e nulo.
2.1.4 Campo de Triangulacao
Dada uma distribuicao Cartesiana P com p pontos, a rede constituıda pelas linhas
retas que unem todos os pontos p e uma triangulacao. Esta triangulacao e composta
por uma estrutura de triangulos cujos vertices estao sempre em conexao com os
pontos da distribuicao. Por esta razao, o numero de triangulos alem de ser uma
funcao do numero de pontos p, tambem e funcao da distribuicao destes pontos.
Para diferenciar campos gradientes com simetria de fluxo de outros com assimetria
acentuada e utilizada aqui a triangulacao de Delaunay (ADELSBRUNNER, 1993). A
triangulacao de Delaunay e um tipo classico de triangulacao que maximiza os an-
gulos internos mınimos de tal forma que cada triangulo e o mais equilateral possıvel.
Na implementacao foi empregado o codigo Triangle (UNIVERSITY OF CALIFORNIA
AT BERKELEY. Computer Science Division. Jonathan Richard Shewchuk, ).
Dado um campo gradiente assimetrico A(E) com NV vetores assimetricos. E cons-
truıdo um campo equivalente com NV pontos, onde cada ponto corresponde a posicao
do ponto medio do do vetor. Depois de construir este campo escalar, e tracada a tri-
9
Figura 2.6 - Matrizes elementares que apresentam assimetria vetorial. (a) seis vetores as-simetricos, (b) e (c): todos os vetores assimetricos
angulacao de Delaunay entre os pontos e desta triangulacao e computado o numero
NC de linhas de triangulacao.
Considerando os exemplos (b) e (c) da Figura 2.6, e construıdo o campo de triangula-
cao e obtido o numero de linhas de triangulacao NC . Na Figura 2.7 sao apresentados
os resultados desta operacao. O numero de linhas de tringulacao para o exemplo com
simetria de fluxo e NC = 16, enquanto que para o exemplo assimetrico NC = 20.
Podemos ver que atraves do valor de NC podemos distinguir os dois casos, uma vez
que NC e diretamente proporcional ao nıvel de complexidade ( ou desordem espacial
) dos campos gradientes.
2.1.5 O Operador FA e o coeficiente de Assimetria Gradiente GA
As operacoes realizadas em uma matriz M , introduzidas nas secoes anteriores, po-
dem ser agrupadas em um operador que foi chamado de Operador de Fragmentacao
Assimetrica FA. O operador computacional FA opera em uma matriz M (geral-
mente visualizada atraves de um envelope E(x, y)), transformando a matriz em um
campo de triangulacao TA com NV pontos conectados por NC linhas de triangula-
cao. Com isso foram estabelecidas as bases para formular a definicao formal para o
conceito de Fragmentacao Assimetrica:
Um campo de triangulacao TA, com NV pontos e NC linhas de triangulacao, obtido
10
Figura 2.7 - Campos de triangulacao das matrizes elementares
por meio da operacao FA [M ] 7→ GA. A quantidade de fragmentacao assimetrica
espacial GA, para M e dada por:
GA ≡NC −NV
NV
(NC > NV > 0, NV = 0 ⇒ GA = 0) (2.2)
Um codigo para este operador foi escrito originalmente em linguagem IDL (Inte-
ractive Data Language) e outras implementacoes do metodo seguiram em ambiente
MATLAB. Esta nova implementacao empregou a linguagem C/C++ utilizando para
o desenvolvimento, a IDE Netbeans 6.8(NETBEANS, 2009) com compilador g++
(GCC) 4.3.3(G++, 2009) em ambiente Linux Slackware 13.0(SLACKWARE, 2009).
2.2 Linguagem C/C++
A biblioteca padrao do C/C++ incorpora a biblioteca padrao do C com algumas
pequenas modificacoes para trabalhar melhor com as novas funcionalidades criadas
pela linguagem. Outra grande parte da biblioteca e composta pela biblioteca pa-
drao de gabaritos (STL - Standard Template Library). Ela fornece ferramentas uteis
como conteiners (vetores, listas, entre outros), algoritmos (filtragem de elementos de
11
conteiner, busca, ordenacao, entre outros) e iteradores (ponteiros inteligentes gene-
ricos para acessar tais conteiners e interliga-los aos algoritmos). Usando gabaritos
e possıvel escrever algoritmos genericos que funcionam para qualquer conteiner ou
sequencia definida por iteradores. Tendo em vista que um iterador nada mais e
que um ponteiro encapsulado, e possıvel tambem utilizar os algoritmos genericos
em vetores C, utilizando-se ponteiros comuns para tal (DEITEL; DEITEL, 1998). Na
implementacao do aplicativo GPA++ foi utilizada a classe vector da STL.
2.3 Implementacao
Abaixo estao listadas em forma de linguagem natural as principais etapas do calculo
de GA atraves do programa GPA++:
(i) Inıcio do programa.
(ii) Interpretar parametro: Arquivo ou diretorio.
(iii) Carregar opcoes do arquivo gpa++.conf.
(iv) Carregar matriz de um arquivo (file.dat).
(v) Normalizar matriz.
(vi) Calcular matrizes gradientes (horizontal e vertical).
(vii) Calcular o modulo dos vetores.
(viii) Calcular a fase dos vetores.
(ix) Gerar imagens dos campos gradientes com Gnuplot (GNUPLOT HOME-
PAGE, 2009).
(x) Contar numero de vetores nao nulos.
(xi) Eliminar vetores simetricos de acordo com criterio.
(xii) Gerar triangulacao de Delaunay.
(xiii) Output.
(xiv) Fim do programa.
Segue uma descricao detalhada de cada etapa:
12
(ii) Interpretar parametro: Arquivo ou diretorio:
Passando um arquivo como parametro, GPA++ processa o arquivo e mos-
tra o resultado em seguida. Tambem pode-se informar o caminho de um
diretotio, assim todos os arquivos contidos no diretorio sao processados de
maneira serial.
(iii) Carregar opcoes do arquivo gpa++.conf:
Antes de inciar o processamento de um ou varios arquivos, GPA++ verifica
um arquivo de configuracoes. Atraves deste e possıvel modificar o calculo
de GA para obter valores condizentes com os resultados encontrados por
versoes anteriores implementadas em IDL e MATLAB.
(iv) arregar matriz de um arquivo (file.dat):
As matrizes sao importadas de arquivos para dentro de conteiners do tipo
vector da biblioteca STL do C++.
(v) Normalizar a matriz:
A normalizacao e uma operacao realizada sobre a matriz de entrada logo
que e carregada. Esta etapa esta relacionada a sensibilidade da tecnica
(referenciar). Na implementacao original, a normalizacao e realizada pela
divisao do valor em cada ponto da grade pelo maior valor da matriz (desta
forma o maior valor da matriz passa a ser 1 na matriz gerada). A este tipo
de normalizacao chamamos normalizacao pelo maximo. Outra maneira de
normalizar, leva o maior valor da matriz a 1 e o menor a 0. Para isso cada
ponto da grade e calculado atraves da equacao 2.3.
b = (a−min)/(max−min) (2.3)
onde a e o valor original naquela posicao da matriz e min e max sao,
respectivamente, o menor e o maior valor encontrados na matriz. A este
tipo de normalizacao chamamos normalizacao pela amplitude. E possıvel
salvar a matriz normalizada em disco.
(vi) Calcular matrizes gradientes (horizontal e vertical):
O calculo dos valores da grade gradiente e realizado da mesma forma que
nas implementacoes anteriores em IDL e MATLAB. O codigo C/C++ e
discutido no Apencice A. E possıvel salvar as matrizes gradientes em disco.
13
(vii) Calcular o modulo dos vetores:
O modulo do vetor em cada posicao da grade e dado por:
√r2x + r2
y (2.4)
onde rx e ry sao, respectivamente, as componentes horizontal e vertical do
gradiente.
(viii) Calcular a fase dos vetores:
Para encontrar o valor da fase e utilizado o codigo mostrado no Apendice F.
(ix) Gerar imagens dos campos gradientes com Gnuplot (GNUPLOT HOME-
PAGE, 2009):
Para gerar o campo gradinte, os dados de modulo e fase dos vetores em
cada posicao da grade sao salvos em arquivo com formato particular que e
interpretado pelo aplicativo Gnuplot. A imagem do gampo gradinte e entao
produzida atraves deste aplicativo ao qual e passado como parametro um
arquivo com as informacoes dos vetores. O codigo empregado e semelhante
ao mostrado no Apendice C.
(x) Contar numero de “vetores nao nulos”:
Durante a etapa de calculo do campo gradiente, onde sao encontrados os
valores de modulo e fase de cada vetor. E possıvel, em alguma posicao da
grade, encontrarmos o modulo do vetor igual a zero. Como nao ha vetor
com modulo igual a zero, chamamos estes de “vetores nulos”. E computado
o numero de ocorrencias desta situacao.
(xi) Eliminar vetores simetricos de acordo com criterio:
A triangulacao de Delaunay (ADELSBRUNNER, 1993) empregada, bem
como o numero de linhas de triangulacao, dependem da posicao dos pontos
da rede. Esse parametro e determinado pela localizacao dos vetores rema-
nescentes da etapa de remocao dos pares simetricos. Alem disso, a posicao
desses pontos tambem depende da maneira como e realizada a busca dos
pares simetricos. Na etapa em que sao removidos os pares de vetores sime-
tricos, podem ser adotadas diferentes estrategias. A Figura 2.8 ilustra as
diferencas entre cada uma.
14
Figura 2.8 - Diferentes estrategias para remocao dos vetores simetricos.
(a) Original: Esta estrategia e a adotada na implementacao original do
metodo. Inicialmente sao comparadas as duas primeiras posicoes da
matriz (canto esquerdo superior). No caso de constatar-se um par
simetrico, no proximo passo sao comparados os proximos vizinhos a
direita. Caso nao se trate de um par simetrico, entao e comparada
novamente a primeira posicao desta vez com a terceira posicao. Assim
segue-se ate o final da linha e em seguida e avaliada a proxima linha,
sempre iniciando pelo lado esquerdo.
(b) Alt: Esta estrategia e uma alternativa ao maneira original. Nesse
caso, no primeiro passo e comparado o primeiro vetor (a esquerda
e acima) vetor da matriz com o ultimo (a direita e abaixo). No caso
de constatar-se um par simetrico, no proximo passo sao comparados
os o segundo vetor e o penultimo. Caso nao se trate de um par sime-
trico, entao e comparada novamente a primeira posicao desta vez com
a antepenultima.
(c) Axial: Esta estrategia compara vetores simetricos em relacao a um eixo
imaginario vertical que passa pelo centro da matriz. Inicialmente sao
15
comparadas as posicoes extremas na primeira linha. Constatando-se
ou nao um par simetrico, no proximo passo sao comparados os vizinhos
dos primeiro, respectivamente e em direcao a posicao intermediaria
daquela linha. Um mesmo vetor e verificado apenas uma vez.
(d) Central: Nesta estrategia cada vetor e comparado com o seu corres-
pondente que ocupa uma posicao simetrica em relacao ao centro da
matriz. Assim como no item anterior, cada vetor e comparado apenas
uma vez.
E interessante notar que nos dois primeiros casos e feita uma comparacao
todos contra todos, enquanto nos dois ultimos cada posicao do campo
gradiente e avaliada apenas uma vez. Alt e Axial sao maneiras ineditas de
se buscar os pares simetricos.
(xii) Gerar triangulacao de Delaunay :
A triangulacao consiste de tracar linhas ligando os vetores assimetricos. O
algoritmo de triangulacao empregado realiza a chamada triangulacao de
Delaunay. Uma triangulacao de Delaunay para um conjunto P de pontos
no plano e uma triangulacao DT (P ) na qual nenhum ponto de P esta
dentro do circulo circunscrito em qualquer triangulo DT (P ).
Figura 2.9 - Triangulacao de Delaunay (direita). Triangulacao que nao obedece ao criteriode Delaunay (esquerda).
A trianguacao e realizada sobre os vetores assimetricos. Mais especıfica-
mente, sao ligados os pontos localizados (a) na base, (b) no ponto medio
ou (c) na extremidade dos vetores assimetricos.
O ponto medio do vetor e dado por: Sendo que um vetor v pode ser
16
decomposto em uma componente horizontal dx e outra vertical dy. O
seu ponto medio esta localizado em (x + dx/2, y + dy/2), onde x e y
sao as coordenadas da base do vetor (sua localizacao na grade).
O ponto na extremidade do vetor e dado por (x + dx, y + dy).
(xix) Output :
A saıda do programa pode ocorrer de duas maneiras: Quando e passado
apenas um arquivo como parametro os resultados sao mostrados apos o cal-
culo de GA para este arquivo. Ja quando e passado um diretorio, contendo
varios arquivos para serem analizados, os resultados nao sao mostrados
apos a analise de cada arquivo, ao inves disso, sao apresentados no final da
analise de todos os arquivos.
As opcoes descritas anteriormente estao presentes no arquivo de configuracoes como
e mostrado no Apendice E.
2.4 Benchmarking
Como foi dito anteriormente, podemos utilizar no GPA++ uma configuracao particular
com o objetivo de realizar o calculo de GA da mesma forma como seria feito em sua
versao original em IDL ou na versao mais recente desenvolvida em MATLAB. Na
Tabela 2.1 sao listadas as caracterısticas que diferenciam cada versao:
Tabela 2.1 - Benchmarking emulando o calculo de GA atraves do GPA++
GPA++ GPA (IDL) GPA (MATLAB)Normalizar maximo x x
Normalizar amplitude x xNao normalizar xTriangular base xTriangular meio x xTriangular ponta x x
Vetores nulos: Sim x x xVetores nulos: Nao x
Busca original x xBusca alternativa x
Busca axial xBusca central x x
17
Tabela 2.2 - Tempo consumido por cada implementacao.
Tamanho da matriz IDL - Tempo (ms) MATLAB - Tempo (ms)16×16 111 6732×32 135 9964×64 232 232
128×128 1359 1483256×256 11811 26568321×321 27132 82479
Figura 2.10 - Comparacao dos tempos.
Quando fazemos o calculo de GA atraves do GPA++ mas usando as configuracoes
referentes a versao IDL dizemos que estamos emulando o calculo que seria feito
na versao IDL. Foi emulado o calculo de GA para as versoes IDL e MATLAB e
foram medidos os respectivos tempos de calculo. Os resultados sao apresentados na
Tabela 2.2 e na Figura 2.10.
E interessante notar que para matrizes com tamanho menor que 64×64 o algoritmo
adotado na implementacao MATLAB e mais rapido, enquanto que para matrizes
de tamanho maior que 64 × 64 o algoritmo adotado na implementacao IDL requer
menos tempo para o calculo de GA. Na implementacao original durante a etapa de
remocao dos pares de vetores simetricos ocorre uma comparacao todos contra todos,
que acaba removento mais pares de vetores do que na implementacao em linguagem
MATLAB. Dessa forma a implementacao original consome mais tempo para remover
os pares simetricos, no entando, a triangulacao e feita sobre um conjunto menor de
pontos, o que garante seu melhor desempenho.
18
2.5 Validacao
Atraves do algoritmo de GPA desenvolvido foram reproduzidos os resultados obtidos
inicialmente por (ROSA et al., 1999) e mostrados abaixo.
Tabela 2.3 - Parametros de fragmentacao assimetrica para matrizes randomicas de dife-rentes tamanhos.
n× n 〈NMAXV 〉 〈NMAX
C 〉 〈NMAXC 〉−〈NMAX
V 〉〈NMAX
V 〉 σ
3 × 3 9 18 1.2200 0.22005 × 5 25 65 1.6500 0.1700
10 × 10 100 285 1.8600 0.012020 × 20 400 1186 1.9575 0.007630 × 30 900 2685 1.9833 0.003140 × 40 1600 4781 1.9881 0.001664 × 64 4096 12269 1.9954 0.000980 × 80 6400 19199 1.9968 0.0003
100 × 100 10000 29975 1.9974 0.0002128 × 128 16384 49140 1.9992 0.0001
19
Figura 2.11 - Curva da diferenca NC−NV em funcao de NV para matrizes randomicas daTabela 2.3.
Figura 2.12 - Curva da razao (NC−NV )/NV em funcao de NV para as matrizes randomicasda Tabela 2.3.
20
2.6 Instrucoes para utilizacao
O aplicativo GPA++ e um software de linha de comando para ambiente Linux. Por
exemplo, dada uma matriz contida em um arquivo de texto ASCII (file.dat), para
processa-la deve-se usar o comando:
∼/gpa++ file.dat
A Figura 2.13 ilustra a saıda do aplicativo.
Figura 2.13 - Saıda do aplicativo GPA++
Tambem foi desenvolvida em linguagem JAVA uma interface grafica GPA++GUI (Fi-
gura 2.14), que permite operar o programa GPA++ de uma maneira mais rapida e
intuitiva. Ressalta-se que o processamento relativo ao metodo GPA continua sendo
executado pelo aplicativo C/C++.
A seguir sao listados as opcoes contidas na tela principal do programa GPA++GUI:
1 Permite selecionar um arquivo ou um diretorio contendo varios arquivos.
2 Alternar entre o modo arquivo ou diretorio.
3 Mostra o caminho do alvo (arquivo/diretorio).
4 Diretorio onde serao salvos os resultados.
21
Figura 2.14 - Tela inicial do programa
5 Permite alterar o valor da tolerancia no modulo e na fase dos vetores.
6 Permite alterar o ponto de triangulacao dos vetores.
7 Oferece diferentes maneiras de busca para remover os pares de vetores.
8 Permite normalizar a matriz de entrada.
9 Cria um arquivo com log das comparacoes de vetores.
10 Inicia o processamento.
11 Mostra os resultados.
12 Permite visualizar os campos de vetores e a triangulacao de Delaunay.
13 Volta para a configuracao padrao.
2.7 Instrucoes para instalacao
Os arquivos que compoem o aplicativo GPA++ sao empacotados em um arquivo tar.gz
para distribuicao. Para instalar e necessario descompactar o pacote e executar o
arquivo bash script de instalacao. Esta operacao pode ser feita atraves dos seguintes
comandos:
22
Figura 2.15 - Ilustracao da instalacao do programa.
tar -xzf GPApp_Installer_27abr2010.tar.gz
./install.sh
Ao final do processo, o aplicativo sera instalado na pasta GPA++ no diretorio do
usuario, como ilustrado na Figura 2.15.
23
3 CARACTERIZACAO DA MORFOLOGIA DE GALAXIAS
3.1 Introducao
A morfologia de galaxias e geralmente uma questao importante no estudo em larga
escala do Universo. A investigacao da morfologia e o primeiro passo logico para se
entender os mecanismos nas galaxias.
Desde a publicacao do artigo de Edwin P. Hubble em 1926 (HUBBLE, 1926), que
delineava sobre seu sistema de classificacao, a morfologia vem chamando a atencao.
No entanto, por um longo perıodo esse tema foi puramente descritivo devido a falta
de dados, o que nao ocorre atualmente.
Nos anos recentes, com numerosos catalogos do ceu e em muitos comprimentos de
onda, a astronomia se tornou um campo imensamente rico em dados. Por exemplo,
o Sloan Digital Sky Survey vai produzir mais de 50, 000, 000 imagens de galaxias
(BALL, 2002) na proxima decada. A classificacao destas imagens e usualmente feita
por inspecao visual das chapas fotograficas. No entanto, esta tarefa nao e facil, por-
que necessita conhecimento e experiencia, alem de consumir muito tempo: Catalogos
feitos por classificacao humana levam anos para serem completados e contem apenas
dezenas de milhares de entradas (NAIM, 1995).
Nesse trabalho avalia-se uma solucao que poderia ser empregada para a classificacao
automatizada da morfologia de galaxias, para utilizacao em imagens digitais de alta
resolucao disponıveis atualmente, por exemplo, em surveys como (SLOAN DIGITAL
SKY SURVEY (SDSS), 2009).
3.1.1 Morfologia
A principal funcao dos estudos morfologicos em astrofısica galactica tem sido a ob-
tencao de conhecimento sobre a formacao e evolucao das galaxias, topico que com-
preende uma serie de questoes ainda em aberto, como por exemplo: Qual a natureza
das galaxias S0? A razao da segregacao morfologica nos aglomerados? Quais os pro-
cessos relacionados a origem das barras? Qual o mecanismo principal de evolucao
das estruturas espirais? Quais fatores estao envolvidos no momento da formacao,
que determinam a morfologia das galaxias? Para responder a estes problemas a
caracterizacao robusta da morfologia de galaxias e fundamental.
25
Os pontos a seguir ajudam a por sob uma perspectiva geral os problemas envolvidos
ao se tratar sobre a morfologia de galaxias:
(i) Na morfologia de galaxias muitas estruturas distintas, ou componentes, sao
vistos: Barras, aneis, lentes, bojo, discos, padroes espirais, etc. Estas carac-
terısticas presentes em varias combinacoes e em varias inclinacoes passam
a impressao que a morfologia de galaxias consiste de um conjunto muito
amplo de formas, dificultando uma classificacao robusta apenas baseada na
morfologia. Na Figura 3.1 sao mostradas algumas estruturas encontradas
em morfologia de galaxias.
(ii) Galaxias possuem grande variacao no brilho da superfıcie, luminosidade e
outras propriedades medidas. Isto significa que a selecao da area a ser ana-
lisada e muito importante. Detalhes necessarios para a classificacao podem
ser facilmente perdidos e o material imageado pode tornar-se inadequado.
(iii) A distribuicao de morfologias nos aglomerados de galaxias e maior do que
nas galaxias de campo, Figura 3.2. Isso indica que o ambiente pode ser
importante na determinacao da forma galactica.
Figura 3.1 - Da esquerda para a direita, de cima para baixo. Algumas estruturas encontra-das em morfologia de galaxias: Anel, disco, barra em uma estrutura espiral,bojo e lente.
26
Figura 3.2 - Sistema de Classificacao de Hubble
Estes pontos ressaltam o fato de que a morfologia das galaxias e um problema
complexo. Com isso, a finalidade da classificacao e diminuir essa complexidade pro-
curando uma maneira de ordenar a variedade de formas, haja vista que as relacoes
entre elas nao sao obvias. Se o sistema de classificacao eventualmente aludir sobre
estas relacoes, isto pode levar a compreensao fısica sobre a formacao das galaxias e
sua evolucao.
3.1.2 A Teoria sobre Classificacao Morfologica
Em teoria a classificacao morfologica e um processo simples. Tipos basicos sao de-
finidos no escopo de um sistema de nomenclatura e entao os objetos similares sao
agrupados. Usando um conjunto de criterios e um conjunto de padroes(ou prototi-
pos) que bem ilustram a base de criterios, um observador pode classificar qualquer
objeto de interesse que nao esta incluıdo nos prototipos. Se apenas alguns criterios
definem o sistema e se a qualidade do material imageado e similar aquela dos pro-
totipos, entao havera certa facilidade na aplicacao da tecnica e a reprodutibilidade
dos resultados sera possıvel por observadores distintos.
Para espirais, de maneira geral, a classificacao e mais direta pois uma variedade de
caracterısticas (barras, aneis, tamanho do bojo, resolucao e abertura dos bracos)
fornecem uma base para a discriminacao dos tipos, como foi notado por Edwin P.
Hubble (HUBBLE, 1926). A classificacao das galaxias S0 depende de distinguir um
“plano fundamental” ou envelope, em torno de um bojo brilhante. Com o progresso
na diferenciacao de detalhes do disco (lentes, aneis, caminhos de poeira, barras, etc...)
pode-se distinguir galaxias S0 mais velhas das mais jovens. Por definicao galaxias
S0 nao possuem nenhum indıcio de estrutura espiral. No entanto, galaxias S0 nao
27
barradas, que sao as mais jovens na sequencia S0, que mostram apenas tracos de
um disco ou envelope, ou lentes, sao difıceis de distinguir de elıpticas e requerem um
material imageado de alta qualidade, geralmente melhor do que os levantamentos
astronomicos podem fornecer.
Separar os tipos morfologicos em celulas distintas com limites bem definidos pode
ser util, mas considerando que as morfologias evoluem de uma forma a outra com
o passar dos tempos e devido as interacoes entre elas e o ambiente, e interessante
adotar um sistema de classificacao onde os tipos morfologicos sao encontrados em
uma escala contınua, de maneira que uma galaxia nao pode ser simplesmente barrada
ou nao barrada, com anel ou sem anel mas pode ser fortemente barrada e com um
anel quebrado ou parcial.
3.1.3 Classificacao Morfologica na Pratica
Na pratica, a classificacao morfologica e difıcil por varias razoes. A maior dificuldade
esta relacionada ao fato de que nem todas as galaxias se apresentam em uma ori-
entacao favoravel a linha de visada. A alta inclinacao torna difıcil estimar um tipo
morfologico consistente com uma baixa inclinacao, alem de dificultar o reconheci-
mento de barras (especialmente quando a direcao da barra coincide com a linha de
visada), aneis e outros detalhes do disco. No caso de espirais, o problema ocorre
porque tres criterios (razao bojo-disco, grau de resolucao e grau de atura dos bra-
cos) podem ser usados para tipificar galaxias face-on, enquanto apenas um (razao
bojo-disco) geralmente pode ser usado para tipificar galaxias edge-on. Isso causa
problemas para a classificacao segundo os tres criterios de Edwin P. Hubble (HUB-
BLE, 1926), para espirais. Alem disso, implica na falta de informacoes nos catalogos
sobre caracterısticas importantes como barras e aneis, para galaxias vistas em alto
angulo de inclinacao.
Os fatores listados acima levam ao pressuposto de que nenhum sistema de classifica-
cao e perfeito o suficiente para mapear todas as galaxias de forma que correspondam
a algum tipo de maneira bem definida. Muitas galaxias nao sao aceitas facilmente
em um ou outro sistema.
28
3.2 Apresentacao dos dados
As imagens da Figura 3.3 e as demais utilizadas nesse trabalho foram obtidas por
CCDs (Charge Coupled Devices) nos observatorios de Palomar, com um telescopio
de 1.5 metros, e em Lowell , com um telescopio de 1.1 metros. Em Palomar foram
usadas as bandas fotometricas g, r e i para obter 3 imagens de cada galaxia. Em
Lowell foram usadas as bandas J e R, obtendo assim 2 imagens para cada galaxia.
As imagens foram obtidas por (FREI et al., 1996) e estao disponıveis via FTP anonimo
em “astro.princeton.edu”.
(a) NGC 3379, Lowell Observatory (b) NGC 4621, Lowell Observatory
(c) NGC 4303, Palomar Observatory (d) NGC 4321, Palomar Observatory
Figura 3.3 - Galaxias Elıpticas (acima) e Espirais (abaixo)
29
Figura 3.4 - Diversidade de tamanhos das imagens adquiridas no Observatorio de Palomar
As imagens observadas foram fotometricamente calibradas e foram removidas as
estrelas de fundo pelo uso de uma PSF empırica.
Com relacao ao conjunto de galaxias observadas em Palomar, foram obtidas imagens
em diversos tamanhos, as menores sao matrizes 321× 321 enquanto que as maiores
chegam a 721 × 721. Na Figura 3.4 pode-se visualizar a diversidade de tamanhos
encontrados. Com relacao as imagens adquiridas no observatorio de Powell, todas
possuem tamanho 313x313.
3.3 Investigacao Preliminar
Para testar a aplicacao do metodo foi inicialmente obtido o valor de GA dos objetos
mostrados na Figura 3.3. Estes foram escolhidos por apresentarem o tipo morfologico
mais facilmente identificavel por analise visual. Ainda, para tornar mais aparentes os
tracos morfologicos, foi realizada sobre estas imagens uma operacao de binarizacao.
A binarizacao e feita com a funcao IM2BW, das ferramentas para processamento de
imagem do MATLAB. Esta funcao recebe de entrada uma imagem RGB e converte
para tons de cinza, em seguida converte para binario por thresholding. A imagem
binaria de saıda tem valores 0 (preto) para todos os pixels com luminosidade inferior
ao um certo nıvel (thresholding), os outros pixels assumem valor 1 (branco).
30
Na Tabela 3.1 sao apresentados os valores de GA obtidos. Atraves desta investigacao
preliminar verificamos que cada morfologia apresenta uma faixa de valores distinta.
Para as estruturas espirais o valor de GA se aproxima de 1.7 enquanto que para as
estruturas elipsoidais valores menores foram encontrados, em torno de 0.8.
Tabela 3.1 - Valores do Coeficiente de Assimetria GA
Galaxia GA Tipo MorfologicoNGC 3379 0.6666 elıpticaNGC 4621 0.9000 elıpticaNGC 4303 1.7500 espiralNGC 4321 1.6500 espiral
Em seguida esta metodologia foi aplicada sobre um conjunto de imagens obtidas no
observatorio de Lowell. Atraves de inspecao visual foram levantados dois conjuntos
de imagens, galaxias elıpticas (Figura 3.5) e espirais (Figura 3.6).
Figura 3.5 - Galaxias elıpticas selecionadas por inspecao visual.
31
Figura 3.6 - Galaxias espirais selecionadas por inspecao visual.
Nas Tabelas 3.2 e 3.3 sao apresentados os valores de GA obtidos, respectivamente,
para amostras de morfologias espirais e elıpticas. Na etapa de binarizacao foram
utilizados valores de thresholding 0.5 e 0.9 respectivamente, para o conjunto de ga-
laxias espirais e elıpticas. No grafico da Figura 3.7 podem ser observadas as faixas
de valores relativas a cada tipo morfologico. Observa-se que os valores de GA para
as galaxias elıpticas apresentados na Tabela 3.1 nao correspondem aos que apare-
cem no grafico. Isso ocorre pois nos dois casos foram empregados criterios distintos
para a aplicacao da metodologia, para o primeiro caso em particular foram adotadas
configuracoes que determinaram um valor mais baixo de GA em ambas as morfolo-
gias. Alem disso, no primeiro caso a selecao da janela a ser analisada foi realizada
manualmente. Ja para o conjunto de imagens utilizado no grafico foi utilizado um
criterio de selecao automatica. Isso leva a diferencas sutis no campo gradiente das
duas amostras e, portanto - enfatizando a sensibilidade da tecnica, resulta em valores
diferentes de GA.
32
Tabela 3.2 - Valores de GA para galaxias espirais
objeto NGC GA
1 5701 1.922 4030 1.913 5364 1.904 6384 1.905 5371 1.896 3953 1.897 3726 1.858 5985 1.849 3631 1.8410 4136 1.8311 3184 1.8212 5669 1.8013 3672 1.8014 3893 1.8015 3938 1.7916 3596 1.76
Tabela 3.3 - Valores de GA para galaxias elıpticas
objeto NGC GA
1 4472 1.652 3077 1.613 4564 1.614 4442 1.605 2775 1.596 4406 1.587 4486 1.518 5322 1.519 4374 1.4910 4621 1.4911 2768 1.4712 3379 1.4513 3166 1.4414 4125 1.4215 4340 1.4116 4526 1.35
33
Figura 3.7 - Faixas distintas de valores de GA para cada tipo morfologico
Assim, para o conjunto de dados avaliado, identificamos que galaxias to tipo elıptica
possuem coeficiente de assimetria gradiente GA = 1.5112±0.0843 e galaxias do tipo
espiral levam a um valor mais alto, GA = 1.8463± 0.0482.
Nas Figuras 3.8 e 3.9 sao exemplificadas as etapas envolvidas durante a aplicacao da
tecnica. Nestes casos, por serem tomadas matrizes binarias, nao e avaliada a simetria
bilateral de cada objeto. Assim, nao e um requisito que os objetos aparecam cen-
tralizados na imagem pois para encontrar os pares de vetores simetricos a estrategia
adotada faz uma comparacao todos contra todos.
Observa-se que estes resultados foram obtidos da analise feita sobre imagens ini-
cialmente em formato JPEG, a partir das quais foram obtidas matrizes binarias.
As imagens JPEG sao geradas por atribuicao de cores falsas, compostas por dados
de observacoes feitas em diversas bandas espectrais. Entretanto, o formato usual,
utilizado por astronomos para troca de imagens de galaxias e o formato FITS.
34
(a) Imagem original 313× 313 (b) Janela 64× 64 recortada
(c) Imagem binarizada (d) Campo gradiente
(e) Vetores simetricos removidos (f) Triangulacao
Figura 3.8 - Exemplo de aplicacao da tecnica GPA sobre imagem de galaxia espiral (objetoNGC 5669). As imagens nao estao em escala.
35
(a) Imagem original 313× 313 (b) Janela 64× 64 recortada
(c) Imagem binarizada (d) Campo gradiente
(e) Vetores simetricos removidos (f) Triangulacao
Figura 3.9 - Exemplo de aplicacao da tecnica GPA sobre imagem de galaxia elıptica (ob-jeto NGC 5322). As imagens nao estao em escala.
36
3.4 Analise dos dados em formato FITS
O formato FITS, em geral utilizado para troca de dados em astrofısica, permite
guardar em um arquivo, de maneira ordenada dados de observacoes em uma ou mais
bandas espectrais observadas. No mesmo arquivo tambem sao guardados metadados
relatidos ao objeto observado, como um nome ou numero associado a uma galaxia ou
sua posicao no ceu. A seguir e feito um estudo empregando dados em formato FITS
referentes ao Galaxy Catalog, sao avaliadas separadamente observacoes em diersas
bandas para cada objeto. Desta vez nao e realizada uma etapa de binarizacao, como
no item anterior. A metodologia adotada e a seguinte:
• Obter os arquivos .FITS relativos as observacoes feitas nos telescopios.
• Extrair dos arquivos .FITS as matrizes correspondentes, em formato
ASCII. Etapa realizada empregando-se o codigo mostrado no Apendice B:
• Obter o valor de GA de cada objeto atraves da aplicacao da ferramenta
GPA++ ao conjunto de dados.
• Analizar os resultados, observar o valor de GA frente as diferentes bandas
e tentar relacionar GA com o ındice de Sersic.
O Modelo de Sersic e uma funcao matematica que descreve como a intensidade I do
brilho de uma galaxia varia com a distancia R do centro. E uma generalizacao da
Lei de de Vaucouleurs. O perfil de Sersic tem a forma
ln I(R) = ln I0 − kR1/n (3.1)
onde I0 e a intensidade onde R = 0. O parametro n, chamado Sersic index,controla
a intensidade da curvatura do perfil como mostrado na Figura 3.10.
A maioria das galaxias e descrita por valores do ındice de Sersic na faixa 1/2 <
n < 10. O valor de n que melhor ajusta uma determinada galaxia esta relacionado
com seu tamanho e luminosidade, de maneira que galaxias grandes e brilhantes sao
melhor ajustadas por valores altos de n. Se fizermos n = 4 na Equacao 3.1 temos o
perfil de de Vaucouleurs
37
I(R) ∝ e−kR1/4
(3.2)
que descreve bem galaxias elıticas grandes. Fazendo n = 1 obtemos um perfil expo-
nencial
I(R) ∝ e−kR (3.3)
que descreve bem galaxias expirais. A correlacao entre o ındice de Sersic e a mor-
fologia das galaxias e muitas vezes utilizada para determinar o tipo de Hubble de
galaxias distantes (WEL, 2008).
No survey Galaxy Catalog haviam dados provenientes de dois observatorios e em
diferentes bandas fotometricas:
• 31 objetos imageados em Palomar Observatory
– g
– r
– i
• 82 objetos imageados em Lowell Observatory
– J
– R
Considerando as particularidades dos dados do Galaxy Catalog, medidas do coefi-
ciente de assimetria GA foram tomadas para cada objeto separadamente em cada
uma das bandas r, g e i no Observatorio de Palomar. Os resultados sao mostrados
na Tabela 3.4. No eixo horizontal as imagens foram organizadas de maneira que
os objetos que se apresentavam em imagens maiores ocupam uma posicao mais a
direita, de acordo com a quinta coluna da Tabela 3.4. Foram comparados os valores
de GA em cada uma das bandas, este resultado e apresentados na Figura 3.11.
Na Tabela 3.5 sao apresentados os valores de GA obtidos para as imagens adquiridas
no observatorio de Lowell. A Figura 3.12, por sua vez, mostra o grafico com os valores
de GA em cada uma das bandas observadas.
38
Figura 3.10 - Perfis de Sersic para diferentes ındices n.
Figura 3.11 - Coeficiente de assimetria GA para as observacoes feitas em Palomar Obser-vatory nas bandas g, i e r. Dados organizados de acordo com o tamanho dasimagens.
39
Tabela 3.4 - Coeficiente de assimetria GA para as observacoes feitas em Palomar Obser-vatory nas bandas g, i e r. Dados organizados de acordo com o tamanho dasimagens.
# g i r Size obj1 1.9995 1.9995 1.9995 321 46512 1.9993 1.9995 1.9994 321 44983 1.9993 1.9995 1.9994 321 41894 1.9995 1.9996 1.9994 321 43945 1.9995 1.9995 1.9995 321 45716 1.9996 1.9997 1.9997 401 25417 1.9995 1.9996 1.9996 401 42548 1.9996 1.9996 1.9996 401 41789 1.9993 1.9994 1.9993 401 441410 1.9995 1.9997 1.9996 401 319811 1.9996 1.9996 1.9995 401 468912 1.9997 1.9997 1.9997 401 465413 1.9994 1.9997 1.9997 401 331914 1.9997 1.9996 1.9996 561 421615 1.9996 1.9996 1.9996 561 457916 1.9995 1.9997 1.9996 561 456917 1.9996 1.9996 1.9995 561 503318 1.9996 1.9996 1.9996 561 450119 1.9996 1.9997 1.9997 561 454820 1.9997 1.9997 1.9997 561 453521 1.9996 1.9998 1.9996 561 455922 1.9996 1.9998 1.9996 561 419223 1.9997 1.9996 1.9996 561 452724 1.9996 1.9994 1.9995 561 430325 1.9995 1.9996 1.9996 561 472526 1.9998 1.9998 1.9998 721 240327 1.9998 1.9997 1.9998 721 303128 1.9997 1.9998 1.9997 721 432129 1.9997 1.9997 1.9997 721 505530 1.9996 1.9998 1.9995 721 425831 1.9997 1.9998 1.9997 721 2903
40
Tabela 3.5 - Coeficiente de assimetria GA para as observacoes feitas em Lowell Observatorynas bandas R e J.
# R J Size obj # R J Size obj1 1.9991 1.9984 313 4136 42 1.9985 1.9990 313 38102 1.9987 1.9992 313 4374 43 1.9988 1.9983 313 45643 1.9990 1.9991 313 3672 44 1.9985 1.9991 313 38934 1.9975 1.9985 313 4754 45 1.9986 1.9990 313 58135 1.9993 1.9988 313 2715 46 1.9990 1.9989 313 47106 1.9980 1.9991 313 4593 47 1.9992 1.9992 313 29767 1.9977 1.9989 313 2775 48 1.9989 1.9985 313 48618 1.9990 1.9988 313 3351 49 1.9992 1.9990 313 63849 1.9988 1.9991 313 4477 50 1.9975 1.9988 313 336810 1.9979 1.9988 313 4442 51 1.9991 1.9990 313 452611 1.9990 1.9985 313 6118 52 1.9987 1.9989 313 412312 1.9989 1.9990 313 4486 53 1.9991 1.9988 313 268313 1.9986 1.9980 313 3631 54 1.9993 1.9992 313 424214 1.9992 1.9989 313 5701 55 1.9990 1.9963 313 337915 1.9990 1.9990 313 5248 56 1.9992 1.9990 313 393816 1.9992 1.9990 313 3079 57 1.9988 1.9982 313 442917 1.9986 1.9988 313 4621 58 1.9989 1.9988 313 537118 1.9990 1.9988 313 4487 59 1.9979 1.9987 313 401319 1.9991 1.9995 313 3675 60 1.9992 1.9985 313 415720 1.9980 1.9990 313 3147 61 1.9988 1.9991 313 307721 1.9993 1.9992 313 5985 62 1.9993 1.9992 313 536422 1.9987 1.9991 313 3877 63 1.9993 1.9989 313 574623 1.9987 1.9989 313 4449 64 1.9988 1.9987 313 459424 1.9992 1.9992 313 3953 65 1.9988 1.9989 313 533425 1.9976 1.9983 313 5377 66 1.9986 1.9992 313 585026 1.9986 1.9991 313 4826 67 1.9992 1.9990 313 372627 1.9990 1.9989 313 3556 68 1.9989 1.9988 313 298528 1.9987 1.9991 313 4125 69 1.9988 1.9988 313 463629 1.9992 1.9989 313 5792 70 1.9990 1.9988 313 473130 1.9967 1.9988 313 3166 71 1.9987 1.9987 313 440631 1.9988 1.9990 313 4144 72 1.9990 1.9988 313 486632 1.9989 1.9987 313 4365 73 1.9993 1.9995 313 520433 1.9991 1.9989 313 3486 74 1.9990 1.9984 313 337734 1.9994 1.9989 313 4088 75 1.9983 1.9990 313 434035 1.9990 1.9987 313 4030 76 1.9978 1.9986 313 276836 1.9993 1.9990 313 6015 77 1.9986 1.9987 313 532237 1.9996 1.9994 313 3184 78 1.9992 1.9992 313 362338 1.9989 1.9987 313 5669 79 1.9992 1.9990 313 359639 1.9979 1.9979 313 5005 80 1.9991 1.9991 313 650340 1.9972 1.9990 313 4472 81 1.9980 1.9988 313 334441 1.9988 1.9988 313 4450 82 1.9993 1.9992 313 5585
41
Figura 3.12 - Valores de GA das imagens observadas nas bandas R e J. Os objetos commaior valor de Sersic index encontram-se mais a direita.
Ressalta-se que o Coeficiente de Assimetria Gradiente GA e uma medida relativa, de
maneira que se forem analisadas duas matrizes e obtidos os respectivos valores de
GA, pode-se dizer que uma matriz e mais assimetrica que a outra de acordo com o
valor de GA obtido. No entanto, o valor de GA aumenta com o tamanho da matriz.
Em (ROSA et al., 1999), e mostrado que o valor (I−L)/L converge rapidamente para
2 no caso de uma matriz com L vetores assimetricos e I linhas de triangulacao.
limL→+∞
(I − L) ' 2L (3.4)
Assim, observa-se na Figura 3.11 que em media os maiores valores de GA encontram-
se mais a direita, sendo que o grafico esta organizado de maneira que as matrizes
maiores estao localizadas mais a direita.
Por isso, ao se utilizar a tecnica de Analise de Padroes Gradientes, e necessario
comparar matrizes de mesmo tamanho como e o caso das imagens adquiridas no
observatorio de Lowell, em que todas as matrizes sao quadradas de lado 313.
A inspecao do grafico da Figura 3.12 nao indica de maneira clara que o parametro
GA possa ser um bom indicador para inferir sobre o tipo morfologica das galaxias, ou
42
Tabela 3.6 - Valores medios de GA relacionados ao ındice de Sersic.
n i < GRA > δ < GJ
A > δ-5 13 1.9986 0.0005 1.9986 0.0007-4 1 1.9989 0.0000 1.9990 0.0000-3 2 1.9981 0.0009 1.9988 0.0004-2 2 1.9985 0.0008 1.9989 0.0001-1 4 1.9988 0.0003 1.9987 0.00040 2 1.9979 0.0018 1.9989 0.00011 3 1.9985 0.0008 1.9987 0.00052 5 1.9983 0.0007 1.9989 0.00013 9 1.9988 0.0005 1.9990 0.00034 10 1.9988 0.0006 1.9988 0.00045 16 1.9990 0.0003 1.9989 0.00036 9 1.9991 0.0002 1.9989 0.00037 1 1.9993 0.0000 1.9992 0.00008 1 1.9993 0.0000 1.9992 0.00009 2 1.9991 0.0003 1.9990 0.000710 1 1.9987 0.0000 1.9989 0.000012 1 1.9988 0.0000 1.9991 0.0000
pelo menos que esteja de acordo com o ındice de Sersic. No grafico, o eixo horizontal
esta relacionado com o Sersic Index de forma que galaxias que possuem os maiores
valores de Sersic index estao mais a direita no grafico. O objeto mais a esquerda no
grafico tem ındice de Sersic igual a -5 enquanto que no lado direito existem objetos
com ındice de Sersic igual a 12.
Na Tabela 3.6 sao apresentados os valores medios encontrados para cada amostra de
objetos com um mesmo valor do ındice de Sersic. No grafico da Figura 3.13 o eixo
horizontal indica os valores do ındice de Sersic.
Ao final desta analise utilizando dados em formato FITS e tentando relacionar GA ao
ındice de Sersic, nao foi constatada uma semelhanca nas medidas feitas por ambos os
metodos. A partir disso nao devemos concluir que o Coeficiente de Assimetria Gradi-
ente GA nao seja um bom indicador para morfologias de galaxias, antes disso deve-se
considerar que o ındice de Sersic nao e o melhor indicador de tipos morfologicos.
Neste capitulo foram testadas duas metodologias empregando o calculo do Coefi-
ciente de Assimtria Gradiente GA para classificar diferentes morfologias de objetos
galacticos. Primeiro foram empregados dados em formato JPEG em baixa resolu-
43
Figura 3.13 - Valores medios de GA relacionados ao ındice de Sersic n.
cao nos quais foi realizada uma operacao de binarizacao. No segundo teste foram
empregados dados brutos em formato FITS. Destas duas, a primeira levou a me-
lhor classficacao morfologica, sugerindo a tecnica GPA aplicada a dados em baixa
resolucao.
44
4 A CLASSIFICACAO MORFOLOGICA DE ARCOS GRAVITACIO-
NAIS
Devido a sua forca atrativa, grandes massas como aglomerados de galaxias (grupos
compreendendo muitas galaxias) fazem com que raios de luz passando em suas pro-
ximidades sofram uma mudanca na trajetoria, uma curva. Assim, a luz e conduzida
da mesma forma que na lente de um oculos. Este fenomeno e chamado efeito de
lente gravitacional (MAX PLANCK INSTITUTE FOR ASTROPHYSICS (MPA). Gravitati-
onal Lensing Group, 2009). Na Figura 4.1, o objeto que esta na posicao (b) aparece
lenteado nas posicoes (d) e (e).
Quando a fonte nao esta alinhada com a lente sao observados varios objetos lente-
ados, estes sao classificados como arcos gravitacionais ((L1) e (L2) na Figura 4.1)
quando ha uma distorcao forte no campo da imagem. Dessa forma, lentes gravi-
tacionais podem ser usadas como telescopios cosmicos. Com auxılio de simulacoes
computacionais, informacoes importantes podem ser obtidas de arcos gravitacionais.
A partir de um grande numero de imagens distorcidas (arcos), pode-se calcular como
a lente e estruturada. Assim, mapas de massa podem ser construıdos e pode-se inferir
Figura 4.1 - Vista lateral: (a) Lente gravitacional, objeto muito massivo. Exemplo: Umaglomerado de galaxias .(b) Fonte. Exemplo: Galaxia. (c) Observador, teles-copio. Exemplo: Hubble Space Telescope. (d) e (e) sao objetos lenteados. Vistafrontal: Objeto aparece lenteado nas posicoes (L1) e (L2).
45
sobre a presenca de materia escura (MAX PLANCK INSTITUTE FOR ASTROPHYSICS
(MPA). Gravitational Lensing Group, 2009).
Nas Figura 4.2 e 4.3, sao destacados objetos classificados como sendo arcos gravi-
tacionais presentes nas imagens observadas pelo Hubble (Hubble Space Telecope -
HST (HUBBLE SPACE TELESCOPE (HST), 2009)).
Figura 4.2 - Arco gravitacional presente em imagem adquirida pelo HST.
4.1 Resultados
Considerando o papel dos arcos gravitacionais no cenario atual da cosmologia, con-
forme foi brevemente abordado anteriormente. Entende-se que e necessaria uma clas-
sificacao dos arcos quanto a sua morfologia e apresenta-se aqui mais uma abordagem
inedita utilizando o codigo GPA++ desenvolvido nesta dissertacao.
4.1.1 Apresentacao dos Dados
Foram utilizados dados simulados de arcos gravitacionais. As simulacoes foram reali-
zadas utilizando o software AddArcs (BRANDT et al., 2010; LIN et al., 2010; FERREIRA,
2010), desenvolvido por pesquisadores do Centro Brasileiro de Pesquisas Fısicas -
CBPF.
46
AddArcs e um software para simulacao realista de arcos gravitacionais em imagens
de telescopios. Dada uma imagem de ceu, informacoes de um halo de materia (aglo-
merado de galaxias) presente na imagem e parametros cosmologicos o programa
simula o processo de lenteamento da luz de uma fonte de fundo (ex. galaxia) atraves
do halo dado e sobrepoe a imagem simulada do arco gravitacional na imagem de ceu
na posicao correta relativa ao aglomerado de galaxias.
Nas simulacoes, no que diz respeito aos parametros relevantes a simulacao, podemos
separa-los da seguinte maneira:
• Leitura da Imagem: resolucao espacial do CCD (arcsec/pixel), magnitude
de ponto-zero e seeing.
• Parametros da Lente(Halo): Massa do aglomerado, parametro de concen-
tracao(c), redshift, elipticidade e orientacao espacial no plano da imagem.
• Escolha da Fonte: As fontes sao selecionadas aleatoriamente de um catalogo
de objetos compilado a partir de dados do Hubble em suas observacoes de
campo profundo.
• Processo de lenteamento: Omega matter=0.3, Omega lambda=0.7.
Figura 4.3 - Arco gravitacional presente em imagem adquirida pelo HST.
47
So sao considerados arcos e selecionados para utilizacao como resultado da simu-
lacao os objetos (arcos) com razao comprimento-largura (L/W) maiores que 7.5 -
considerados arcos-gigantes.
4.1.2 Metodologia
Nas Figuras 4.2 e 4.3 sao facilmente identificados os arcos gravitacionais nas posicoes
indicadas. Estes sao tracos caracterısticos de lentes gravitacionais.
No entanto, sinais tao obvios sao um tanto raros. Sao mais frequentes pequenas
deformacoes em imagens de galaxias observadas. Assim, multiplas imagens criadas
por lentes podem ser confundidas com galaxias de fato.
Este problema e resolvido medindo-se o espectro de cada objeto. Medidas do espectro
de alta precisao sao consideradas como se fossem o DNA do objeto e permitem
identificar replicas da mesma entidade.
Na situacao descrita, o problema e solucionado apelando-se para a avaliacao do
espectro de cada objeto. Em outra situacao, em que por algum motivo nao e inte-
ressante utilizar o espectro, seria adequado ter outro parametro para se distinguir
galaxias de objetos lenteados. Por isso e importante estudar os padroes morfologicos
de arcos. Neste ponto, e preciso inicialmente, analisar com cautela as caracterısticas
de arcos em dados sintetizados. E, em seguida, aplicar os algoritmos em imagens
reais obtidas por telescopios como o HST. Com esta intencao nos aplicamos a me-
todologia de GPA a imagens simuladas de arcos gravitacionais. A tecnica de GPA
fornece um coeficiente, chamado GA, que pode ser usado para caracterizar diferentes
padroes de arcos.
Na Figura 4.4 sao mostras imagens de arcos geradas atraves do software AddArcs,
mencionado anteriormente. Foram selecionadas duas das imagens mostradas, as que
aparecem na coluna mais a esquerda. Em cada uma foi recortada uma janela de
tamanho suficiente para conter a imagem do arco no centro, conforme esta indicado
nas Figuras 4.5(a) e 4.5(b). A janela quadrada recortada possui tamanho 200× 200.
Em seguida foi extraıda a grade gradiente correspondente a janela e entao calculado
o coeficiente GA, obtido atraves da metodologia de GPA. O resultado e apresentado
na Tabela 4.1.
Assim como e mostrado na Tabela 4.1, os valores de GA sao bem proximos (iguais no
48
Figura 4.4 - Arcos gravitacionais simulados pelo software AddArcs.
caso de adotar apenas duas casas decimais). Seria preciso verificar o comportamento
do parametro GA em um conjunto maior de imagens para dizer se a precisao alcan-
cada e suficiente para distinguir diferentes padroes. Infelizmente nao se pode fazer
isso com as outras quatro imagens mostradas na Figura 4.4 pois o objeto (arco) apa-
(a) (b)
Figura 4.5 - GPA e aplicado na area selecionada indicada na imagem.
49
Tabela 4.1 - Valores de GA encontrados para os objetos da Figura 4.5.
Figura GA NC NV δ τ(a) 1.9803 5615 1884 0.0001 0.0001(b) 1.9865 9984 3343 0.0001 0.0001
Figura 4.6 - Arcos em diversas extensoes
rece em outra proporcao na imagem. A janela que compreende o arco centralizado
nao possui um tamanho adequado para que os valores de GA sejam comparados,
como pode ser visto na Figura 4.6.
Abordando de outra maneira, espera-se que o valor de GA seja menor para objetos
mais simetricos. Daqui em diante, mostra-se experimentalmente que, eliminado parte
dos “bracos” dos arcos, diminuindo o padrao alongado do arco mas mantendo o
tamanho da matriz em 200×200. Desta maneira valor de GA diminui. Na Figura 4.7
sao apontadas as janelas avaliadas, (a) e a imagem original, em (b) sao mantidos
apenas os pixels que se inserem em uma janela 64×64 centralizada, em (c) o padrao
diminui para uma matriz 32× 32. Os resultados sao apresentados na Tabela 4.2.
Nos graficos das Figuras 4.8 e 4.9 e mostrada a confirmacao de que o valor de GA
diminuiu ao passo que o objeto assume uma forma mais simetrica, Figura 4.7.
50
Figura 4.7 - Nos dois casos o valor de GA diminui quando o arco assume um padrao menosalongado.
Tabela 4.2 - Valores de GA encontrados para os objetos da Figura 4.7.
Figura GA Figura GA
(a.1) 1.9803 (b.1) 1.9865(a.2) 1.9702 (b.2) 1.9802(a.3) 1.9526 (b.3) 1.9615
51
Figura 4.8 - O valor de GA diminui quando o arco assume um padrao menos alongado,Figura (a).
Figura 4.9 - O valor de GA diminui quando o arco assume um padrao menos alongado,Figura (b).
52
O grafico da Figura 4.8 refere-se ao objeto (a), o grafico da Figura 4.9 refere-se ao
objeto (b). Em ambos, o valor de GA diminui quando o padrao morfologico do arco e
limitado a uma janela 64× 64 (posicao 2 no eixo horizontal dos graficos). E diminui
novamente quando resta apenas a parte central do arco, limitada em uma matriz
hipotetica de tamanho 32×32 (posicao 3 no eixo horizontal do grafico). Desta forma
podemos classificar diferentes padroes de arcos utilizando a metodologia de GPA.
4.2 Discussao
Na Figura 4.10 sao mostrados exemplos de dados reais (observados), e mostrada
a imagem original e uma imagem melhorada para cada um dos objetos. Nestes foi
realizada uma etapa de pre-processamento para evidenciar a presenca do arco.
A Analise de Padroes Gradientes, em uma primeira abordagem sobre este tipo de
dado, poderia ser aplicada tentando classificar o padrao de extensao e curvatura do
arco em relacao ao centro da imagem, ao eixo central, que nos da uma medida da
assimetria bilateral.
Figura 4.10 - Exemplos de imagens classificadas pelo projeto CASTLES da Universidadede Harvard: http://www.cfa.harvard.edu/castles/.
53
Para o caso de um Anel de Einstein1 (ANEL DE EINSTEIN, 2009) completo, o valor
de GA deve ser muito baixo, quase zero (assimetria em relacao ao eixo diagonal,
vertical ou horizontal). Quando a estrutura se repete em relacao a qualquer um dos
eixos temos assimetria bilateral. Na segunda imagem (a direita e a baixo) existe
assimetria bilateral bem caracterizada. Com relacao a esta assimetria bilateral, seria
interessante estudar ate que ponto o coeficiente de assimetria gradiente captura a
extensao: Qual o valor de GA em uma imagem que apresenta nitidamente um arco
e qual o valor de GA quando a estrutuda nao corresponde a um arco? Para isso a
primeira estrategia a ser adotada e degradar os arcos, fazer com que a estrutura fique
menor atraves de simulacoes, como foi abordado na secao anterior deste capıtulo.
Outro passo importante e identificar a lei que diz como varia o valor de GA. O
coeficiente de assimtria gradiente possui um comportamento nao linear: O valor
de GA e mais alto para uma estrutura alongada do que no caso de uma estrutura
puntual, mas quando o arco se aproxima da forma de um Anel de Einstein, entao o
valor de GA cai abruptamente.
Estas informacoes dao uma ideia geral sobre o assunto, os dados foram obtidos
atraves do site da Universidade do Arizona, no mesmo pode ser consultado um
banco contendo dezenas de imagens com red-shifts da fonte variando em 0.25− 4.50
e da lente variando em 0.11−0.94. Um paper relacionado aos dados pode ser obtido
em http://xxx.lanl.gov/PS_cache/astro-ph/pdf/0102/0102340v1.pdf.
1Caso especial de lente gravitacional, causado pelo alinhamento de fonte, lente e do observador.
54
5 ANALISE DOS PADROES DE FLUTUACAO DE MAPAS SIMULA-
DOS DE RADIACAO COSMICA DE FUNDO
A teoria mais aceita atualmente para descrever a origem e evolucao do universo e o
modelo do Big Bang. Segundo este modelo, o universo da forma como vemos hoje,
estivera contido em uma regiao infinitesimal, sendo a idade aproximada do universo
igual a 13.7 bilhoes de anos. A partir de um estado quente e denso, o universo teria
entao se expandido ate o cosmos vasto e frio que observamos hoje. E, de acordo com
este modelo, durante as etapas iniciais do Big Bang, houve a formacao dos atomos
e a producao de uma radiacao que permeia todo o universo, observada em todas as
direcoes: A chamada Radiacao Cosmica de Fundo em Microondas (RCFM) (KOLB
E.W.; TURNER, 1993).
5.1 A Radiacao Cosmica de Fundo em Microondas
A Radiacao Cosmica de Fundo em Microondas (doravante RCFM) foi inicialmente
prevista por George Gamow, em fins dos anos 40 (GAMOW, 1948) e ”descoberta”, de
forma casual, por A. Penzias e R. Wilson, cientistas dos laboratorios Bell (PENZIAS
A. A.; WILSON, 1965). A descoberta resultou na concessao do Premio Nobel de Fısica
(1978) para ambos. A RCFM possui caracterısticas de radiacao difusa praticamente
homogenea em qualquer direcao que se olha, exceto na vizinhanca do plano da nossa
Galaxia. Sua intensidade e maxima na faixa de microondas do espectro eletromag-
netico (freqmax 150GHz) e, como e uma radiacao difusa (”de fundo”), passou a ser
chamada de Radiacao Cosmica de Fundo em Microondas. Diversas previsoes teoricas
apontam a importancia do estudo das propriedades da RCFM no estudo da fısica
do Universo jovem.
5.2 Missoes Espaciais para observacao de RCFM
Apos o descobrimento da RCFM varios experimentos foram conduzidos, o mais
famoso foi o satelite COBE: Em 1992 o COBE (Cosmic Background Explorer) de-
tectou pequenas flutuacoes, ou anisotropias, na radiacao cosmica de fundo (Smoot
et al., 1992). Estas flutuacoes estao relacionadas a flutuacoes na densidade de mate-
ria do universo primitivo e, desta forma, carregam informacoes sobre as condicoes
iniciais para a formacao de estruturas cosmicas como galaxias, aglomerados e vazios.
Em 2001 um novo satelite foi lancado com o mesmo objetivo, o telescopio do WMAP
- Wilkinson Microwave Anisotropy Probe faria mapas de RCFM com maior resolucao
55
e sensibilidade do que o COBE havia obtido.
Novamente, ainda antes do final da decada, outro satelite com este intuito foi lan-
cado, Planck (EUROPEAN SPACE AGENCY (ESA), 2009), desta vez uma iniciativa da
Agencia Espacial Europeia. O objetivo principal da missao Planck e a producao de
mapas de alta resolucao (5-10 minutos de arco) e sensibilidade das anisotropias na
distribuicao de temperatura da RCFM. Isso permitira, entre outras questoes, estudar
tambem o efeito Sunyaev-Zeldovich em aglomerados de galaxias.
O efeito Sunyaev-Zeldovich (doravante abreviado por efeito SZ) e um efeito de dis-
torcao que ocorre na RCFM. O mesmo tem sido foco de grande interesse de varios
grupos de pesquisa em todo o mundo, pois pode ajudar a resolver importantes ques-
toes em astrofısica e cosmologia. Levantamentos do efeito SZ fornecerao excelentes
catalogos para a utilizacao em estudos cosmologicos, permitindo a exploracao di-
reta do Universo em grandes “redshifts”, bem como a oportunidade de determinar
alguns parametros cosmologicos, tais como a medida de distancia a aglomerados e
da constante de Hubble (INSTITUTO NACIONAL DE PESQUISAS ESPACIAIS. Divisao de
Astrofısica. Grupo de Cosmologia Observacional, ).
5.3 Dados Analisados
O Grupo de Cosmologia Observacional da Divisao de Astrofısica - DAS/INPE es-
tuda as implicacoes do efeito SZ atraves de simulacoes computacionais. Atraves de
simulacoes sao gerados mapas de RCF aos quais e adicionada a contribuicao devido
ao efeito SZ.
Para analise atraves da tecnica GPA - foco do trabalho dessa dissertacao, utilizou-
se alguns desses mapas, obtidos atraves de cooperacao com pesquisadores da
DAS/INPE.
Como temos visto, anisotropias na radiacao cosmica de fundo sao pequenas e sao
necessarias resolucoes angulares muito menores que um grau para detectar flutuacoes
assimetricas de temperatura na topologia do universo. Nesse cenario, e empregada
aqui a metodologia de GPA (ROSA et al., 1999) em mapas simulados de RCFM para
extracao de caracterısticas topologicas finas.
Os padroes de flutuacao de temperatura de linhas extraıdas a ±45 graus de lati-
tude(nos hemisferios norte e sul), de cada mapa simulado, foram analisados aplicando
56
Figura 5.1 - Ilustracao mostrando a melhora na resolucao oferecida por cada geracao desatelites (COBE, WMAP e PLANCK).
a tecnica GPA. Baseado nas assimetrias dos valores de temperatura comparou-se um
conjunto de mapas com efeito SZ a outro sem efeito SZ.
5.4 Resultados
Foram utilizados dados simulados de mapas de RCFM. O conjunto de mapas anali-
sado era composto por 11 amostras:
• Um mapa simulado contendo apenas ruıdo proveniente de RCFM.
• Dez mapas com efeito SZ presente, somado a RCFM.
Sendo que, de cada mapa eram extraıdas duas amostras, 2 linhas horizontais. Uma
linha a 45 graus no hemisferio norte e outra linha a 45 graus no hemisferio sul.
Cada linha era extraıda do mapa na forma de um arquivo ASCII de uma coluna. No
entanto, para se analisar o dado atraves da metodologia de GPA, este precisa estar
57
na forma de uma matriz quadrada. Por isso, todos os arquivos foram remontados,
passando de uma coluna com 1600 linhas a uma matriz 40x40, de acordo com o
esquema mostrado na Figura 5.2. Para realizar esta etapa foi utilizado o codigo
mostrado no anexo D:
Figura 5.2 - E extraıda uma linha a 45 graus no mapa de RCFM.
Na nova versao do GPA, desenvolvida como parte principal desta dissertacao e ade-
quada para processar os conjuntos de dados que hoje dispomos, o codigo mostrado
no anexo D foi incluıdo na forma de um modulo no programa GPA++GUI, que e
uma interface de modo grafico que facilita o uso do programa GPA++ (modo texto).
58
Figura 5.3 - GPA++GUI: Modulo que permite remontar os dados de entrada.
A Figura 5.3 mostra este modulo no detalhe.
Para os dados expostos, foram obtidas as medidas do coeficiente de assimetria GA
atraves da metodologia de GPA, os resultados sao apresentados na Tabela 5.1.
Tabela 5.1 - Coeficiente de assimetria GA das matrizes referentes as linhas do hemisferionorte (esquerda) e sul (direita).
# GA NC NV GA NC NV
0 1.9811 4418 1482 1.9839 4458 14941 1.9838 4440 1488 1.9851 4436 14862 1.9811 4436 1488 1.9832 4451 14923 1.9832 4451 1492 1.9853 4484 15024 1.9824 4420 1482 1.9846 4465 14965 1.9831 4415 1480 1.9839 4470 14986 1.9818 4431 1486 1.9853 4496 15067 1.9811 4418 1482 1.9866 4486 15028 1.9826 4474 1500 1.9874 4529 15169 1.9866 4468 1496 1.9844 4405 147610 1.9845 4447 1490 1.9849 4567 1530
59
Estes resultados foram obtidos para a configuracao do programa GPA++ mostrada no
Apendice E.
Analisando os resultados apresentados na Tabela 5.1 observamos que o menor valor
do coeficiente de assimetria GA corresponde a linha no hemisferio norte do mapa
simulado sem efeito SZ. Ja no hemisferio sul, o valor de GA correspondente ao mapa
sem efeito SZ e o segundo menor entre todos os deste hemisferio.
Assim, para o conjunto de amostras analisado, em geral a presenca do efeito Sunyaev-
Zeldovich nos mapas de radiacao cosmica de fundo esta relacionado a um padrao
mais assimetrico do mapa, indicado pelos altos valores do coeficiente de assimetria
GA obtido atraves da metodologia de GPA.
Os resultados mostram que a assinatura topologica devido ao efeito SZ e detectada
nos mapas de RCFM pela medida da assimetria aferida com GPA.
60
6 CONCLUSOES
Este trabalho tratou, de forma inedita, do estudo e da implementacao do calculo do
coeficiente de assimetria gradiente, GA, em linguagem C/C++. Um aplicativo foi
gerado para ambiente linux e foi realizada a validacao do mesmo. Com o objetivo de
exemplificar possiveis aplicacoes foram utilizados problemas atuais de astrofısica e
cosmologia. Os problemas estudados foram: Classificacao da morfologia de galaxias,
Classificacao de arcos gravitacionais, Classificacao de mapas de radiacao cosmica de
fundo.
O novo codigo para o calculo de GA investigado e implementado neste projeto,
constitui-se de uma ferramenta que facilita a experimentacao da tecnica GPA pois
nao requer a instalacao de ambientes como IDL ou MATLAB. Assim novas aplicacoes
podem ser testadas de maneira rapida, sem a necessidade de alterar o codigo fonte
para uma nova aplicacao, pois as principais variacoes da tecnica ficam disponıveis
para o usuario de forma robusta e livre de licencas comerciais. Portanto, para os
casos particulares quando for conveniente alguma modificacao no codigo fonte, essa
alteracao pode ser feita de forma independente por cada usuario.
O capıtulo 3 exemplificou a aplicacao da ferramenta GPA++ para identificar diferentes
morfologias de galaxias. Atraves de uma analise criteriosa dos dados, envolvendo
uma etapa de binarizacao das imagens, foram encontradas faixas de valores distintos
de GA para galaxias espirais e elıpticas. Ja em uma analise dos dados brutos, em
formato FITS, aplicando o metodo sobre a matriz em tamanho original, nao foi
encontrada uma separacao significativa entre os valores de GA de cada conjunto de
morfologias (elıpticas e espirais). A partir disso, dois aspectos positivos da tecnica
foram constatados: (i) O fato da mesma gerar bons resultados com dados em baixa
resolucao e, alem disso (ii) colocar em questionamento a utilizacao do ındice Sersic
como parametro de classificacao morfologica de galaxias.
No capıtulo 4, que exemplifica a aplicacao da ferramenta GPA++ para dados si-
mulados de arcos gravitacionais. concluiu-se que, apesar de obtermos uma medida
coerente de morfologia atraves do GPA, ainda existe uma lacuna no que tange a com-
paracao dos resultados obtidos. O valor de GA cresce com a assimetria do objeto
apresentado na imagem mas, tambem cresce com o tamanho da matriz analisada
(dado), as vezes de maneira mais sensıvel do que com relacao a propria assime-
tria presente na imagem. E preciso desconectar estes fatores para que as medidas
61
feitas com GPA ganhem um carater comparativo a fim de serem utilizadas, como
classificadoras, para um conjunto maior de dados.
No capıtulo 5, observou-se atraves da tecnica GPA que a presenca do efeito SZ nos
mapas vem a torna-los mais assimetricos, evidencia observada pelo aumento no valor
de GA. Este ultimo exemplo de aplicacao projeta o GPA++ como uma ferramenta
util para a analise dos padroes de flutuacao nos mapas de radiacao cosmica de
fundo, principalmente no que diz respeito a caracterizacao de diferentes fontes de
anisotropia (efeito SZ, campo magnetico, topologia, etc).
6.1 Trabalhos Futuros
Existem ainda aspectos computacionais relativos a tecnica GPA que podem ser
explorados em trabalhos futuros.
Uma ponto que merece atencao e a relacao entre o valor de GA e o tamanho da
matriz analisada. E preciso que o valor de GA seja desvinculado do tamanho deste
para que matrizes com tamanhos diferentes possam ser comparadas, tornando assim
a tecnica mais robusta. Portanto, e necessario tratar o coeficiente de assimetria
gradiente como um parametro invariante a escala ou relacionado a ela atraves de
uma lei de escala do tipo GA(L) = Lγ.
Com relacao ao codigo desenvolvido e recomendada a documentacao do mesmo atra-
ves de uma ferramenta como o Doxygen(DOXYGEN, 2009). Tambem seria interes-
sante elaborar um Tutorial sobre GPA empregando o aplicativo desenvolvido.
Espera-se que seja realizado um benchmark, comparando o desempenho do codigo
que foi desenvolvido nesse trabalho com os primeiros e investigar solucoes para me-
lhorar o desempenho da tecnica. Um desafio nesse sentido, seria implementar um
codigo paralelizado de GPA.
Em ultima analise, e recomendado que novas metricas relacionadas ao campo gra-
diente sejam incorporadas ao codigo, como por exemplo aquelas que envolvem as
medidas de diversidade de modulos, fases e entropias dos vetores do campo gradi-
ente.
62
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65
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66
APENDICE A - CALCULO DO CAMPO GRADIENTE
O campo gradiente e obtido a partir da matriz original ou da normalizacao correspon-
dente. Partindo do princıpio que podemos decompor um vetor em suas componentes
horizontal e vertical, sao obtidas duas matrizes:
• Componente horizontal do campo.
• Componente vertical do campo.
Na primeira os valores em cada posicao da grade sao obtidos com base na diferenca
(taxa de variacao) horizontal entre duas posicoes consecutivas. No segundo caso essa
diferenca e tomada verticalmente.
Para pontos que nao estao nas laterais da matriz, com todos os intervalos iguais
tanto na horizontal como na vertical o gradiente e dado por:
FX(i, j) = (F (i, j + 1)− F (i, j − 1))/(2 ∗ dx) (A.1)
FY (i, j) = (F (i + 1, j)− F (i− 1, j))/(2 ∗ dy) (A.2)
Esta e uma aproximacao de segunda ordem. O teorema do valor medio do calculo
nos diz que o erro entre estas aproximacoes e o valor real da derivada parcial e, para
FX, igual a dx2/6 multiplicado pela terceira derivada parcial com relacao a x em
um ponto entre F (i, j + 1) e F (i, j − 1). Analogamente para FY. Isto significa que
para uma funcao suave com a terceira derivada razoavelmente bem comportada, o
erro e proporcional ao quadrado do passo em cada direcao.
No caso de intervalos irreguralares vale a formula:
FX(i, j) = (F (i, j + 1)− F (i, j − 1))/(X(j + 1)−X(j − 1)) (A.3)
FY (i, j) = (F (i + 1, j)− F (i− 1, j))/(Y (j + 1)− Y (j − 1)) (A.4)
67
Esta constitui uma aproximacao de primeira ordem em que o erro e diretamente
proporcional ao tamanho do passo, mas tambem depende da forma como os inter-
valos variam de tamanho. Quanto maior a variacao maior fica o erro possıvel. Para
pontos nos limites da matriz uma formula diferente e usada mas tambem da apenas
uma precisao de primeira ordem.
Na Figura A.1 e exemplificado o calculo para dois elementos de uma matriz elemen-
tar. O calculo inicia no extremo superior esquerdo da matriz e termina no elemento
mais a direita a baixo.
demo.png
Figura A.1 - Exemplo do calculo do campo gradiente.
A componente horizontal e encontrada atraves do trecho de codigo apresentado no
Programa 1. A componente vertical e o obtida atraves do codigo apresentado no
Programa 2
68
for (int i = 0; i < lines; i++) {
for (int j = 0; j < cols; j++) {
double a, b, c, d;
if (j == 0) { // primeira coluna
a = matrix[i][1];
b = matrix[i][0];
c = a - b;
} else if (j == cols - 1) { // ultima coluna
a = matrix[i][j];
b = matrix[i][j - 1];
c = a - b;
} else { // restante da matriz
a = matrix[i][j + 1];
b = matrix[i][j - 1];
d = a - b;
c = d / 2;
}
matrix1[i][j] = c;
}
}
Programa 1: Codigo C/C++ para obter a componente horizontal do campo.
69
for (int i = 0; i < lines; i++) {
for (int j = 0; j < cols; j++) {
double a, b, c, d;
if (i == 0) { // primeira linha
a = matrix[0][j];
b = matrix[1][j];
c = a - b;
} else if (i == lines - 1) { // ultima linha
a = matrix[i - 1][j];
b = matrix[i][j];
c = a - b;
} else {// restante da matriz
a = matrix[i - 1][j];
b = matrix[i + 1][j];
d = (a - b);
c = d / 2;
}
matrix2[i][j] = c;
}
}
Programa 2: Codigo C/C++ para obter a componente vertical do campo.
70
APENDICE B - CODIGO PARA EXTRAIR DO ARQUIVO FITS A
MATRIZ CORRESPONDENTE A IMAGEM
DIR = dir(’*.fits’)
for k = 1 : size(DIR,1)
DATA = FITSREAD(DIR(k).name);
sz = size(DATA,1);
fprintf(’%d/%d\t%s\t%dx%d\n’, k, size(DIR,1), DIR(k).name, sz, sz);
fid = fopen([DIR(k).name(1:size(dat,2)-5),’.dat’],’w’);
for i = 1 : size(DATA,1)
for j = 1 : size(DATA,1)
fprintf(fid, ’%d’, DATA(size(DATA,1)-i+1,j));
if j < (size(DATA,1))
fprintf(fid, ’ ’);
end
end
if i < (size(DATA,1))
fprintf(fid, ’\n’);
end
end
fclose(fid);
end
fprintf(’all done\n’);
71
APENDICE C - ALGORITMO DE ORDENACAO
No Capitulo que trata da Classificacao da Morfologia de Galaxias, os valores de Ga
obtidos com GPA++ ( o novo codigo C/C++ de GPA ) encontram-se em arquivos
diferentes, um para cada banda ( g, r e i ) e nao estao ordenados. Assim, antes de
plotar os valores de Ga para visualizar se estes apresentam diferencas substanciais
em cada banda, foi empregado um algoritmo de ordenacao para estabelecer a ordem
em que o valores de Ga eram plotados. O criterio de ordem adotado foi o tamanho da
matriz, ja que nesta etapa foram obtidos os valores de Ga para as matrizes originais.
O algoritmo de Ordenacao empregado foi o Insertion sort, ou ordenacao por inser-
cao, e um simples algoritmo de ordenacao, eficiente quando aplicado a um pequeno
numero de elementos. Em termos gerais, ele percorre um vetor de elementos da
esquerda para a direita e a medida que avanca vai deixando os elementos mais a
esquerda ordenados. O algoritmo de insercao funciona da mesma maneira com que
muitas pessoas ordenam cartas em um jogo de baralho como o poquer(WIKIPEDIA,
2009b).
O codigo fonte esta mostrado no Programa 4 e a funcao de que busca os valores de
Ga em outros arquivos e mostrada no Programa 5. Para gerar os graficos foi utilizado
o programa Gnuplot(GNUPLOT HOMEPAGE, 2009). O Programa 3 mostra o codigo
empregado.
reset
set yrange [ 1.9992 : 2 ]
set ylabel "G1"
set term x11
# set term png
# set output "Palomar_g_r_i.png"
plot "Resultados.txt" u 1:2 w boxes fs pattern 1 title "pg", \
"Resultados.txt" u 1:3 w points lw 8 title "pi", \
"Resultados.txt" u 1:4 w linespoints ls 3 title "pr"
pause -1
Programa 3: Script Gnuplot utilizado para fazer os Graficos
73
function ReadData()
[i, g1, g2, g3, I, L, vetores, cols, lines, delta, tau, tempo, comp,
triang, norm, search, arquivo] = textread(’pg.txt’,
’%d %f %f %f %d %d %d %d %d %f %f %d %d %s %s %s %s’);
clear g2 g3 I L vetores cols delta tau tempo comp triang norm search;
vet = struct(’idx’, i(1), ’g1’, g1(1),’tam’, lines(1), ’filename’,
arquivo(1))
for k = 1 : size(arquivo,1)
vet(k).idx = i(k);
vet(k).g1 = g1(k);
vet(k).tam = lines(k);
vet(k).filename = arquivo(k);
end
for j = 2 : size(vet,2)
chave = vet(j);
i = j-1;
while ((i>0) && (vet(i).tam > chave.tam))
vet(i+1) = vet(i);
i = i - 1;
end
vet(i+1) = chave;
end
for j = 1 : size(vet,2)
lista(j) = vet(j).filename;
fprintf(’%d\t%f\t%d\t%s\n’, vet(j).idx, vet(j).g1, vet(j).tam,
char(vet(j).filename));
% G1_pg G1_pi G1_pr size filename
fid = fopen(’Resultados.txt’,’w’);
fprintf(fid, ’#\tG1_pg\tG1_pi\tG1_pr\tSize\tojb\n’);
for i = 1 : size(vet,2)
obj = substring(char(vet(i).filename), 1, 4);
G1_pg = find(’pg.txt’, obj);
G1_pi = find(’pi.txt’, obj);
G1_pr = find(’pr.txt’, obj);
fprintf(fid, ’%d\t%.4f\t%.4f\t%.4f\t%d\t%s\n’, i, G1_pg,
G1_pi, G1_pr, vet(i).tam, obj);
end
fclose(fid);
end
fprintf(’all done!\n’);
Programa 4: Implementacao do algoritmo de ordenacao Insertion sort
74
function G1 = find(file, obj)
if(strcmp(substring(file, 0,1), ’pg’))
obj = [’n’,obj,’_pg.dat’];
elseif(strcmp(substring(file, 0,1), ’pi’))
obj = [’n’,obj,’_pi.dat’];
else
obj = [’n’,obj,’_pr.dat’];
end
[i, g1, g2, g3, I, L, vetores, cols, lines, delta, tau, tempo, comp,
triang, norm, search, arquivo] = textread(file,
’%d %f %f %f %d %d %d %d %d %f %f %d %d %s %s %s %s’);
clear g2 g3 I L vetores cols delta tau tempo comp triang norm search;
for k = 1 : size(arquivo,1)
if(strcmp(arquivo(k), obj))
G1 = g1(k);
end
end
Programa 5: Funcao utilizada no Programa 4 para encontrar o valor de Ga
75
APENDICE D - CODIGO JAVA PARA PREPARAR DADOS DE
RCFM PARA SEREM PROCESSADOS PELO GPA++
matrix = new double[lines][cols];
cols01 = col.length;
for (int i = 0; i < lines; i++) {
for (int j = 0; j < cols01; j++) {
matrix[i][j] = Double.valueOf(vetor.elementAt(idx++).toString());
}
}
for (int i = 0; i < lines; i++) { /* Seta waypoints */
for (int j = 0; j < col.length; j++) {
w1 = new waypoint();
w1.x = i;
w1.y = j;
window_ref.add(w1);
}
}
p = 0;
nm = 0;
winRefSize = window_ref.size();
winRefSize = winRefSize - (tamMatrix * tamMatrix);
mx = new double[tamMatrix][tamMatrix];
k = 0;
while ((k + (tamMatrix * tamMatrix)) <= winRefSize) {
for (int i = 0; i < tamMatrix; i++) {
for (int j = 0; j < tamMatrix; j++) {
w1 = window_ref.get(k++);
m = w1.x;
n = w1.y;
mx[i][j] = matrix[m][n];
}
}
Save2file(tamMatrix, mx, nm++, destFolder);
p = 0;
}
77
APENDICE E - ARQUIVO DE CONFIGURACAO DO GPA++
Tau 0.0001 [0.0000-inf]
Delta 0.0001 [0.0000-90]
Verbose true [true,false]
RmNodeFile false [true,false]
Normalizar amplitude [max,false,amplitude]
TriangPoint meio [origem,meio,ponta]
SearchStrategy central [original,alt,axial,central]
Speed false [true,false]
CountNullVectors false [true,false]
Confirmation true [true,false]
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APENDICE F - CALCULO DA FASE
for (int j = 0; j < cols; j++) {
if (modulo[i][j] == 0) {
} else if (grady[i][j] == 0) {
if (gradx[i][j] < 0) {
fase[i][j] = M_PI;
} else {
fase[i][j] = 0.0;
}
} else {
if (gradx[i][j] == 0) {
if (grady[i][j] < 0) {
fase[i][j] = -M_PI_2;
} else {
fase[i][j] = M_PI_2;
}
} else {
double a, b;
a = gradx[i][j];
b = grady[i][j];
fase[i][j] = atan2(grady[i][j], gradx[i][j]);
}
}
x = fase[i][j];
matrix3[i][j] = m.rad2degree(fase[i][j]);
}
Programa 6: Codigo C/C++ para calcular a fase.
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