EDITORIAL SAN MARCOSNatalio Snchez 220 Ot.30S

- Jess Mara

f (7) = 90f(7)Luego : f f i = 5 -> f(7 =51-1 -> 90 = 90

I r(- r ) = ' i - ; ;3 - s (-1)z - a(-r) + 20f ( - )=-!-5+4+20f - r ) = 18

si f (x) ={-z^7 **4 ' calcular:a) f (0) ; b) f (1) ; c) f ( -1) ; d) f (2) ; e) f ( -).Sur l .LCi f i i :

a) f (3) = 4 - ?(0)2+ (0)4 b) f (1)=4 - 2(1)2+ (1)4' f (0)=4

-0+0 f(1)=[ '2+1f(0) = Q f (1) = i

ci f ( - l ) ' 4 - z(- t )z + (- l )4f ( - l ) = t - 2 t 1

d) : : ; l ' == nt - 'z(z)z + (z)4 ") r ( -2) =4-z(-z)2 ' ( -2)4

t ( | i . 4 -8+16 f(-2)=Q -g+16f (2) = ' !Z f?2) = 12

cosO, hal lar F(0): fC{ ) ; F(n)

+ coso b) r(*)=sen 2) " cos

Fq) = senr * cos *F$=0+0

F(*) r Q

2 (n) + cosr2r + cosf( - t )

-

y.Z- '?7t + 6, de;r ,ostrar {{ue:

oyz - zy r 6 + 2 ty - 1) h +

h)2 - z(Y + h) b 6a

2'i:. *' h ' 2Y - 2\" +

2y + 6 + ZYh- 2h' +

2y*6+Zh(Y-1)+

= x5 * 3x De,: :ostrar 1ue:

- f (x)=3(x2+1)+3x

4. - Dado f (x) =

f ( t + 1) =

s0i , tLC0] ' i :f (x) = x3

f ( t + .1) =

f( t + 1) =

f( t + 1) =

5x2 - 4 + 20. Prcbar

zL? -11+12

?-

5>rZ- ' lx+?o

t * t )3- 5( t3.r 3, ,2+ 3! +

t3- | tz- 11t *

' ) -+ 1) ' - 4( t + i j +

a

1 - 5t-- lt - : )

1Z 1.1 . : ' . " t i .

h2

4-2J

= (y*- , ,2*

?=y

2=y5.

5.- Da

7. Dado f(x)

f (x + h)

SOLUCION:

- f , d" .ostrar

- f (x) ='+x'+ xh

i l iv id iendo

Dado { (x)

0(y) + 0(z)SOLUCI ON :

0 (x) = log

0(z) + 0(y)

o() ' ) * o(z)

od-+ z )7+yz

o I-I-x 1+yz

Dividiendo (1 )0(Y) + 0(z)

.

o({#)

(1 ) entre (2):g(y) . a(z)

(y + z)+ o(y) ' l (z) =

que:

1x

=- = |^Y+ z

^(\r + z ' \ ln

"

A/ \ / - ) .Y.{ .* .

f (x)f( i

tx

+ h) - f (x) 1x+n

1-viog f f i , denostrar que:

, ,v+2,=9(-J

7+yz

I +x

-

l -y j -2.- los 'T

" + loe 1; ;

= ros 1 -J ( - ' )1+y 1+z

rnn I - (y + z) / (1 + yz)

= 1og

1 + (y + z) / (1 * yz)' l + yz_- v

- z

1+yz*y*z

entre (2):

10.

x-

= 42, demostrar-que:- (z) = 36(z)

s.- Dado $(z)(z + r)

.89!&.roN:0G)

-

tzr f (z + . t )

9.-

xlhxh lq.q.

d.

1q" q. d.

f ) \

x (z) = 4z (2)Dividiendo ( I ) enrre

_(2) :fz + r) , : r . lz l =f*- tf (z+l)-0(z)=3$z

Si +(r) -

ax, demostrar que:0(y).o.z) ' l (y+z)!9!!r9J!N:l (x)"

-

9^' t(y) -t(z)- '

* $(y +z) =.

roer*#) . rl;]t

- .1 +vz-vroetffij

| -x

bgif f i )

Lin 4x + 5 l "x-- f f i " 'e

Luego: O(y) + O(z) -

6( f f i ) Iq.q.d. SOLUCIOI{:l fn4x +5=+ol+J

3. 4t2*3t+2

* L * ! - ]LXJ

l fnr -----.-,--x+6 x[z *{1

r i ,no**= j j= 4+o=x*- z .* z +3- 2 + o

11.- Dado f(x) = sen xr denostrar que:f(x + 2h) - f (x) . 2cos{x + h) sen h.SOTUCION:

f(x) = r"n* 2:

f(x + 2h) - f (x) = sen(x + 2h) - sen x= senx.cos2h + sen2h.cosx - Senx

= sbnxf.or2h-r"nzh]* 2t" t th 'cosh'cosx - sen x

= senx.aor2h-r"n*.r"n2h + 2snh'cosh'cosx' sen x' '

, h cosh -cosx - , " r ' * . r"nZh - Senx= senx.cos"h + 2senh.cosh.cosx - sen

= f2cosx.cosh - 2senx.senhl sen i i= Zcos (x + h) . sen h 1 q 'q 'd '

L imt+o

I=-T

t5 * 2t

SOLUCI ON :

1int+o

.,

4t '+ 3t + 2 0+0+20+0=f

t5* zt= 4(0)2+ s(o) * Z

(o)3+ 2(0) - 613

'r-Lim. !+ = -+x+@ 5x+5x

r . - *2h * 3xh2 * h3h+^ 7

Zxh + 5h-

SOLUCI ON :

r2h*sxh2*h3

2xh + 5h2

x=T

1' i '

4,j:{.t

:{!.Q4I-0N: )Lln L- z*- = r fnx+@ 3x+Sx2 x+@

, . 'F-r l t rB2+sxh+h2lh[ zx * sh ]

1fmh+o

= l fmh*o

*2[1 * s]

0- z-

u+5 )-

lfroh*o

x 2+3xh*h 2

2x+5h

)?= 0- * 3h(0) + x '

2x + 5(0)

LIMITES1 . - Denostrar cada una de las s iguientes igualdades '

| {

720 + 0 + x- x-=-*x =T x=T

! f t

x- '@

SOI,UCTO}i :

4r '1nx+@

ax

Factor i zando numeradorresulLado cero.

0=

"*4*bx2*c =Qd*5+ex3*fx

+bxZ*c)

a(-) ' + ! (o) ' + c5. . .3

. \ -q )--J t n-c- \

' f A

SOi.UCIL)N:

6*3 - s-xz * j xLo 5/x + s/x3f*3z * 1/x ' - 7/x ' )

6-5y+3/x3

2 * 4/x2- Z/x3

g/- + i /o

)5X+J dxS*exS*fx d(-) ' * e(- . ) ' ' * f ( - )

e+@+c= 3i .nd"ternine

SOLUCIO\-:

-44' r J - a

S-+a 32 -

^2

lo ' - ' ) n x- + x - 6x-r l xo- 4

soLUCrg),t:'2

, . - x-+x-6_

x-Z *2 _4

s2 . a2 (s2 - az)?)

)-a

7). ,a)=^'*^ l=zaZ

4/* - 3/*

+ 3/*

Llmh*-,

3h + 2xh2 * *z h3

4-3xh-z*3h3

SOLUCION:

1 n 3ir + 2xh2t *2h3h**4- ixh-z*3h3

LimS*a

= zat0-0 0

--=-2+0 2

12x

-0?

=Q

= l fnS+4

1imS+a

2d.2

(s2 *= 1m

h*-

?- , 2_h" L3lh ' t Zx/ i * * ' jh

hJ l - / l .J -

7v l i ,L -

)ur :t r eat t r - JLt)L - LL _-;

l lt

'fZx/o, + xt

- - r= r m P/nz* lx/h +

.,

XJ_

3/- +h*-

l4/h3 -

o * o * x2zZx

0-0-2x"

I

a

a

b

3x/h2 - z"s l 4i--3x/--?x3

1

itt{jJ*-+l-= l m * * Ix+2x+2+3m=

5T

.11.- Lm' ly - J

y** 2u3+3r '2

SOLUCION:

t'tn 4Y2'sY*-zy3*syZ

!,,,

t$:li

fiiI

I

L1mx-|@

=Q boxn + brxn- l * k'un

QOLIJCION:

auxn*a., * l -1n. . .*" t t po*t1 /x+. . . . *"r , /* t ' - {r1mx-+@

1ftry+-

ys +ly-t /ys1 =2

4 ly -3 /y '*",

1tuny'i-

= 1x,rx-+@

I

s{i

ys qz*sty| boxn+br*t- l* . , .*bn *t fbo *b,, /x* . . , . *brr /* t - 1-]

I nx-)@

i+o

f "o*" . , lx . , . .*orr l* t - l ao+al /*+. . *xan/-

bo*bl lx+. . . +br, , /xn-t oo+b., / -+. . +bn/ ' -

bo * 0 +. . . . . , . .+ 0 o

ao

bu

n n- laox'- + alx-- + . . . . . .

" .* cn an

D,,.boxn * brxn- l * . . .* bn

n-1+ alx" '+. . . . i "n

_

^ -1

ao(0)"*a1 (0)" '+. . .+an

, r - rD -n

n-1l l i r I I ; r r c l l fnr i tc 1$ 1

t tJO --- j " ) = t t* ' '

h+c

SOLUC ION :

, i * . (x*h)n-xr i = l* *-n*n*n-1h+glStxn-212+' '+hn-xn

h+. j l

= l : : fn*"- t* n( l -1)xn-2h* " ' * l l t - l ]

* n(n-1)

*" . -2(0)* . . . . . ' ; - i+(0)n-17

+ 0 + 0 + _-----^---_- +

1.1.

box l * b l* t t - t* . . . .+bn bo (o)n+b., (o) t -1

0 + 0 + . . . .+n

n - ' l-- I)x

= nxn-1

n- l=nx

16 . _ Ln ,Fl .- lt*c )r

SOLUC ION:

I1m r 'x + hh*r h

l lm=

h*o

' 17 .

2.1?

h

_

I1m- h+o

1

L IIIx+o

SOLUCIOIT*:

tolnI nx+o *. . t bn

a=--JLDn

,En+o

x+h-x

ir(ffi+fI

F+l f i* f i

1

lfr*E0 t 0 r . . , . . tbn

anq-

=-

l f rn i-r- . l i1

=

rE. )

Dado f(x) = x- demostrar que:Lnr

'-{-(--. n, - ul4- =

'*h'o h

SOLUCION:2

x

Fit

f (x) .

1-LInh*o

f .(+ h) -f (x)

h=1 io (x*hJ

2.-x2=r r*"

2. z*Lf; 'tL].

h*O n+O

1I r l ' (2x + i r ) = Zx +0h*o=2x

SOLUCION:

1f IYI

X

&Uf,@=

1mE,

'I+O

10, - s i r (x) = *3 hu1lu*

SOLUCION:

f(x) = *3

1fmh-+o

1t l

l lm

n-l'o ---- l t

-h-ffiht

1n= h+o

r 1r]h+o

x-(x + h)vir fv +

Iv fv+1' l

1 S. - Dedo: f (xJ = axi . )eno s t rar que ;

1 inth*o

2nbx*c

f (x + h) - f (x) = 2ax+b

SOLUCi CN:

f(x) = axZ + bx + c

FfY+1. ' \ -fwlr ln r \ ' r r - t \ ' \ / ' = I n

h*o h h*o

l im= h*o

i i (x+h) 2*b (x* i i ) +c:-?I2 -bx -c

)?2axt+2q---l-h

2axh + ahZ+ bh

Limh*o

h h*o h h*o

3x 2h*3xh2*h3

f (x)

x3* 3x2h*3xh2nh3 --x3

=i i l (sx2*3xh*h2)+ (0) 2= 3*2

=: l2x

f (x +

h+o

I lflh*o

ZaxZax

h

b+a(0)=Zaxb

i l| cr* + ah + b)+!

= 1m+

f

DadI

IL[nrhro

d:

h-+o h

3x2+ 3x(0)sxZ

o f (x) = J- "*ortrar que:

=,.-L2

x

x(x + 31

f(x+h) - f (x)

CAPITULO II I

DERIVACIO

t7

l . Calcular 1a der ivada de cada una de 1as siguientesi , - tncion"s us ando la regl a general '

l ' - Y=2-3x

SOLUCION:

Y=?-3xy+Ay=2-3(x+Ax)

=2-3x-5Ax

[y * l fJ- Y = z - 3x - 3ax - 2 + 3x

ay = -3x *#= -3

-:-= -3dx

Y=mx+b

SOLUC I ON :

y=rnx+by+Ay=n(x+Ax)+bl-v + Av'] - y = frnx * m[x * b] - [rnx + b]L) - tJ / t

AY-mx+mAx+b-mx-b

ay = n^x * ! I - ' 3L- nAx dx

I

Y' lx

QlrulilllN:t

Y'e

Y+AY=

[v * v]

Haciendo Ax

A \ t2l- = Zax ')Ax

-+0en

I' /

{ r . S = 2t - t -

SOLUCION:?

S=2t- t -S+AS,=2(t+At)S+AS=2t+ZLt

(S+aS) ' -S=2t+AS = ZLt

=2-At

3t . - I=Cx

'Sol ,UcroH:

/a (:1 + Y"; -

- v : fe{.x + -. .)2] - o*2

' *Ax * a(A*)21 - .*2Ay = [Ax- * 2a:

.)6; i = 2axA: l * a(Ax)-

- ry-= 2 + aAxAXel segundo mienbro:

= ZaxJLctx

7.

- ( t + at2

tz - 2t t - (t) 2

|Lt - t2- zt l t - (At)z- zt +

- zt / t t - ( t ) 2

Zt - At * dS, = / - 2tdr

1i

hlL^-_3y=cx

y + ^y -

c(x +,ax)s

'{

18ay = s3* scxZ^x + scx(*)2* c(Ax)3-.*3Ay = 3.*2Ax + 3cx(Ax)2 * , (A*)5

*f=3cx2*3cxax+c(ax)I"{aciendo Ax -+ 0 en el segundo miembro:A) '

= icxZ. -) -gI- = icx2

.1-x dx

y = 3x , x3 proceso idnt ico al anter ior :

. IOLUCION:(

) '= 5x - x"y+Ay=3(x+Ax)

- (***)3

(y + Ay) - y = 3(x. + &.r) - (x + A*)3- ( jx - *3)ay = J+J. ' lx-x3- 3x2x-3x (ax) ' - (*)3-!***3ay = sax

- ixZax

- sx ( .x) 2- (nx)S

-av-= 3 - 3x2- sxax -

(x)2,AxEn el segundo miembro hacemos que Ax + 0Y= 3-3x2+d)r=3-3xZAx dx

u=4V2+zv3

SOLUCI ON:

u=4V2rzVSu + Au = 4(V + aV)Z * zV + av)3

(x + Ax)y = (x + x)4 - *4*4* 4*3* * i u* ' ( x) 2* 4x (ax 3* (x) 4 - x4x3x * 6x2(ax)2+ 4x(*)3 * (*)a4x3* x2^x + 4x (x) 2 '+ (-.) 3

Ax - ; o en el segundo rnienbro

4x3 - ' dY = 4x3dx

8V

6.

'f

SOLUCION:

:

to + AoJ-o r - 'z t t

, -

2 -

o+40+1 0+l

Au * 8VAV + 4(AV)2* 6V2tV + 6V(AV)Z * Z(aV)3

*, = tu + 6y2+ 4Av + 6vv + 2(Av)z

En el segundog= 8v + 6v2AV

4y=x

.$OI,UCIO:4) r=x

Y+aY=) +Ay.

ay=ay=AyAx

Haciendo

4y=Ax

20+1

m i ernb ro

clu-+

-=

dV

p=

p+AP=

.+0

.. ,2+ ov

z;---tur l

2o+A0+l

u + Au = 4v?+8vav++(tv)2+zy3+oy2ay*6y(ay) z+zptv|s(u+Au)

-

(u) = 4v2+Bvav+4 (^v) 2 *zu3 *rl2av+6v (av) 2*z tdvl 3 -4u'

02+OAo +0 x4*4x2* 4

x

(*2* ,2

t+at+4

6x7?(x-* 2)-

ae+o +

3Y =-

.,

xo+Z

!LUCION:

-2A0 AyAx

2l6x20+2 20-zLO-2ap=

(0+1 )2* o.(1+0)

(o+1 ) (0+1 +40)

2

O2+ 2el+1 + AO ( ' l+( , )

-2A0(e+1) (0+1+s

haciendo AO + 0 en el segui ldo miembro.

2

C;P

l+

? 1] dvbg =

-

dx

,\gc

ie-AE

^ t+4l )=__t

SOLUCION:dode

S+AS=t+ at

' t0.-

S+aS -$=t+At

t2* t ' t t + 4t - t? -

t+At+4 t+4t

rat - 4t I .+=--5

vray = (x + Ax)"+ 233(v*^v)-v=ff i -7;

0,, =-sxZ n o - sx,Z- 6xx - s(x)2- 6

.

*4* 2*3a* +ZxZ+ xz (Ax) 2*zx?*4xr+2 (ax) 2+4

av = -Ox:c - 3f:c)2e' *o*r* t**4xz* x2(*)2+4xa

?LX=-

4xo -4x+1 - 2Ax+4xAx

(S + lS-S = At+AAt+B At+B 23ay=

iL=AX

LiJ- =AX

dydx

ZLx.,

1 -4x-2Ax+4x'+4xAxCt+CAt+D Ct+

+BC+ADL+ADAI+DB-ACT

n

t'

-acrAr-Rt t -BCt -BCAt -BD,cr2+tecat

a

(2x - 1)-.,a_

,*D' -

- Lx + 4xAx

?

; hacemos que Ax * Oren-tonces:

e+z

(cr +D)2 + cAr(cr + D)

(Ct+n 2+ (Ct+D) CAtADAtAq

AS- AD-BC.

En e1 segundo' hacenos que t

n ienb rc- ' l(1 -Zx)z at (ct+l 2r (ct+n) cat

Aq^n-pasAn-Bl.lo _

t \u -

pv :-_H

1? - ^

=-tr ' Y o + u

i solucloN:p+aP - o+Aog+40 + 2

i(p+ap)-P

At .

(ct + n2' dt

1x'+1y=T

SOLUCIONt y * oy

(Ct + n2

(x+ax)S*10+40= E-=-qo- -

Ao=

_g=A9

ap_AO

(o+2) 2+.,

(0+2) -

7H +e A0 + 20 +240 - t1.?! - t * 2A0

(0+2)2+ (o+2) Ae2'

t )(e i2 '+ (e+2) A0

queA0 +0eneLmienbro.

(y

Ay; haciendo

^ At+Bb=-ct+D

S0LUCI0N i S+aS

(O+2) A0 segundo

*49 = 2 ,' ou (e+Z)L

-

A(t+at)+3 r- c (t+at) +D

At+AAt+Bct+cat+D

(1 -zx)2

r 4. ' l , = zxlac * gxz(Ax)z* x(Ax)l - Ax

,x2 * xa:c

Ay-J-

=

^x

2x5+ 320* * x(Ax)2- 1 s1 nacemos que; en el segundo

SOLUCION:

(y*y) -y=

(x2+l [ t + x+ax 2]

1-x?

Ax+0niembro.

y+^y=r--- i++(x+ax1"+ 1

x+Axx__----" -

-- l -

[x + Ax)"+ 1 x '+. .1

ay

Ay

7?a'?x'* x"&\ * x + &( - x ' - Zx'Ax - ) : f x l - - x

[ (* * ax)z + t ] (*2 * 1)

=,-*24**A*-*(a*12(*2* 1) [1 + (r + a*)2]

1 - xZ - x^x

;

dy=dx

z*-L*z

11

x-

16.- y

2x-

I=-

z2x+a

SOLUCION:Y+LY

1*2*rz -*2 -z*L*- 22(yoay) -y=

(x*. lx 2*2

-2xAx - (A*)Zxz*az7 [(x+ax) z*^21

2x+Ax

(*2*o2) [ (x+ax) 2*^2f 'hacenos que Ax * 0 enel segundo mienbro.

x2*.2 x2*a2

2x

2x(x"+ a ' ) '

7*2*^21 [(x+ax) 2r^2J ax (x2+ t) ( ' t * x2)

= -1 - *7(*2* 1)z

=*2?4-x-

(x + ax) 2* ^?'

ay=Ax

3l- =

haciendo que Ax * C en e1segundo miembro:

/1 - x"=

--;(1 + x-)

Ay= _vdx

-v-:JA

2/_Ax

2x

)ION: y + Ly - (x + Lt)-

4-(x + ax)z

ly + Ax)Z *?ay) -y=+i - -T1 - ( r * *) ' 4:x-

[x2*2xAx* (ax) 2] (+ -*2) -*2 14 -*7 -2*L*- f * l t ]dvdx

(y*

ay=*2, ^272

17.- y=*2*

[+ . (x+rx 'J U -* ')

. 4x 2+ 8xx+4 tax ) 2 -x4 -2x5 x -x 2 Cax ) 2'4x2 +x4 + r5ur+ft *2 (A*) ' '

. . - r =

:

[o-(**) ' ] ( l ' * " )

r=8xax+4[x)2- ' ) -?14-(x+nx.-J (a-x-)

* Zat l t

.Zat+

* a(t)2 *

b+a^t

bAt

haciendo At + o en eI se;un-do mienbro.

=Zat+b

8x + 4Ax.r_

')f4-(-x+a-r) ' ] (4-x")

. hagemos eue'Ax -+

' segundo nienbro.

8x=__-,- j

(4 - x-)-

2a+b

?= cv - ov

-> -:.-a+

ul

^x

Ax

,,sf

0en

(4 - *2) (+ - *2)=8*

(+ -*2) 2

I?

19.-Y=3x'-4x-5

SOLUCIO]{: i/ + A), = 3(-r * A.x) ' - 4(* + Ax)

v + ay = 5x2* 6xax, + 3(Ax)2 - 4x - 4a,x - 5y+Ay-y= (5x2+6xa: i+3 (ax) 2-+*-4ax-5) - (3x2-+*-s;

' - '2 ' ' , -4ax -5 -3x2+4x + 5Ay = 3x'+ xAx + 3(Ax)--4Ay=6xr*3( l rx)z-4ax

, haciendo qtre \x * 0, eni s e gundo ni i etnb ro .

dr ' = x -4

. t v

)20.- s = at- + bt + c

soLUCIONt s * as = a(t

' tS+.\ : l ) -S=:r t?+ 2atAtr" ( t ) l

3V2

u + \u = Z(V + AV) ' - t [U * i ' , [ ) t

u-u=2v3+6v2 v+ov ( A v )2 +z( v) 3 -:v2 -6v^v- 3 ( v) 2-zv3+v2

= 6v2v + evlay;z + 2(v)3-ovv - 3(av)z= 6y2* 6V(aV)+ Z(AV)2- OV 3(V) ; en el segundo

miembro hacenos lV + 0

8x

LY =6x+3ax-; lAx

iL=6x-{-+AX

+ {P=ovz-6v

al

=u*3*bx2+cx+d

t y + Ay = a(x+lx)5* b(x* j - r )2* . (x+:-x.+

Ay-y=a (x+&x) 3*b (x*Ax) 2*c(x*Ax) *d- (ax3*bxZ*cx+di

y-ax 3+3 ax 2 A* *3"* ( M)Z+a (x) 3 *b* 2 ' 2bx ax +b ( x ) . 2 *c '*cax+

23.-p=(a-bO)ZSOLUC I ON :

p+ao= [a-b (e*0)] '=L^'-2ab (g+0) + U2 e*no; 21

p + Ap = az-2abg - 2aba0 * bZez * zb?ere * 2(o)2p+ap

-r=^2 -zab-zaba0 ,b202* 'zbzg 0+b2 (Ao) 2- (a-b0) 2

tp=^Z-2abo - 2abg+b202* 2 grc*uz (o) 2 -a2*|abe -bz gZ

ip = -2abA0 * lbZOAg + b' (OU)

-: = - 2ab + zb}g * bzao haciendo A0 -r 0^o

' ;1";1.;egundo'3P-

= -

2ab * zb?o = 26bo - a) 'AO

:b= zb(bo - a)d0

24. y=(?-x)(1 -2x)lOLUgIoNi y + Ay = (2-x-Ax) (1-2x-2Ax)y + Ay-y = (2-x-Axl ( l :2x-zAx). (2-x) (1 -2x)

Ly = 2 - 4x- 4 Ax - x + 2x 2 + 2x Lx- Ax + 2x Ax + 2 ( ^,\

) 2 - Z * 4x*x - zx}Ay =

-4Ax + 2xAx - Ax + zxAx + Z(u

3IAx

a - bxZ xbAxhaciendo Ax o 0 en el se-

a*bx2) [a+b(x+ax)2] ' gunclo nienbro'

^y= a-bx?

ax qa*bx2) a+bxz) a*bx2 '2

a + bxZ

x?

y + Ly - a + b(x + ax)2

1y- a - bx2dx 1a*bx2 2

28. ProblamasDesarrol ladosolucr or :

x5.x

)29.- v ' l)

a+bx'SOLUCI0N: v*Av=

4rAx

gdx

7y+Ay-y= (x-+Ax)--

a *b (x + Ax) '

Derivando con respecto1a regla general :

) l(x + Ax) ' - 2

- (y) = *2 * 2xAx + (^x)2 -.,

+ (Ax) "

Ax ; haciendo Ax + 0iembro,

.

. -9r-= zx i reempladx dado de

a x, apl icando

(*2 - z)

en el segundo

zando eI valor.x.

(1)

(**x) 2

n-- a+b(x+Ax)Z_ "*bx2ot---

(x+Ax) 2 *2Simpl i f icando y operando de manera sini lar que el ejemplo 27 .se obt iene:AY

--2a i ! g_ 2a

5x

Apl icando las der ivadas hal lar la pendie-nte y la in.-c i inacin de 1a tangente a cada una de las curvas si-guientes en e1 Punto cuya abscisa se indica' Ver i f j "ar el resul tado, t razando la curva y la tangente'

1.- y = x ' - 2 s iendo : x = 1

SOLUCION:dx

(x + Ax)2a *b(x +Ax)2

a +bx2

y+

(y+ay=

^'\J=Ax

^yAx

Ay=

^Y). 2xAx

2x+

2x

2ax 1.,+ =z(1)=2atx- Clculo de 1a

Coro :incl inaci6n "0" :

dy

(a +u*2 2

2ax---T , -(a +bx') '

(2).

tag Sreenplazando (1 )tag4-Z E

9.arc = l3o

Flnalnente:

clx

en (2)' ngulo de incl inaci6n

tag Z?6t o6t l

| -

2 y . 63026106rr

- ' Dendiente "

. f lJo26tg6tt

Graf icando 1a funcidn dada:

z.

Av=/-Ax

AY -- '-r

Y'el-x-

ClcuLo

?.2x- x

2,s iendox=3

- Graf i .cant lo:

ay=

y = 4 s iendo x = 2x-1

SOLIJCICN: Der ivando :

.y+Ay-y=

SOLUCI0N: Para calcular la der ivada apl icaremosi regla general :

')y + y = 2(x + ax)

-

(x + ax), 'z

2 '2 2Ly = 2x,+ zAx

- Z* * 4"

')ay=zax-xax- (x)-

7

1a

haciendo en el segundo mi.embroSx -' -E---

aYAx (x-1) (x-1) Ax (x-1)zPara : x = 2. , yt = - l -

Clculo de la incl inacin f 'qr t :

tag0=yt(x-1) -

tagE=-4 + g=arc-

Graf icando 1a funcidn:

Y+LY=x+{ - f

4x-4-4x-4&r+,1x- l (x-1) {x+ix- ' i )

hacienclo Ax + 0, en el segundom iembro .

4-=

x+Ax - 1

-4 ^x( I - l I (x+ax- ' l ) ;

-x^ 2t0

dy(1x 2-x

(para x = 3)de la incl inacidn

tag0 = y ' = - l - ) tag4 =

-1 "{ l I 350325" Itag( -4)III

4r=F

r .n ' r r l i r ' rn

( : j ,1.5)

, ' . 'Q =-75e5750

C1culo de la incl inacinp0rax=1

y' = 3(1)2 - 6(1)

yr-_3

tag = -3

0 - -71o33'54r '

Q =' t08o.26t06"

I ' la l lar e l punto de 1a curva y = 5x - xZ en el- que i .aincl inacin de l 'a tangente es de 45o

S la incl i .naci6n de la tangente es 45o entoices:4, = 4 5 ' ( tbnando 1a tangc' ; r te a ani :os nierrbr.os)

tag0=tag45"tagQ=1; pero:( tagg=y,)

' y ' = 1 . . . r . . , . . . . . ( i )De t .a curva- dada:

zy = 5x - x- . . . . (2)l la l lando 1a der ivada:

Igualando (1 ) y (5) :1s$-2X-r '2x=

ReenpLazando el valor de

y=s(2) -(42

y=70-4Y=6

Luego, el punto P de laP(x,y) = (2,6)

35endiente.

q

=75"57 ' 50r 'l l 2IIIIIItIII

-14.- y = 3 + jx - *3SC LIJC I O)J :

5.-

s iendo =

x=

Clcu1o de la pendiente:

Y' = J - 3x2Para:x=-1

)- ' = J - 3(-1)zl " t = Q

tag 4r = 6

y = x5 - 3x2, s iendo

SOLUCION:

4 -> x=2' fx" en (2) :

y=*5-3*2Clculo de

. la pendiente:

I=3+3x

rendi en

curva buscada es:

En la curva y = x3+ x hal lar los puntos en. las quetangenEe es paralela a la recta y = 4x.

SOLUCION:-- lEl lenos ia petrc i iente de: y = 4x

Y'= 4 ( i )- Clcuto de la der ivada de: y = *3 t *

I t= 5x2+7,. , . . . , (2)Por eI enunciado del problema (1 ) y (Z) deben serquales:4 = 3xZ + 1 + 3x2 ='3 + x2 = 1

x = t 1 . . . . . . . . (3)tos valores de i txrr en

x

i+l

+ (-1)

Punto: (1 ,2)

b) Para x =- l :

2xYt =-Zx

x=-1 tagg=Z t ' 0 = 63026'06"

calcular el nguto formado por Ias tange-- 'apl icaremos 1a s iggi 'ente- frmula

:

- Para

br) Para- tes

fnl - Inztag rJ

| + mlrn

reemplazando valores:

-z-2 '4tasc=- 1 + (-2) (2) -3

. "go-f + o = 53 o07 '48"Reempl aeandocurva:

a) Para x =

uno de

=x3+

= (1 ) "=7

Y -

(-1)3y = -1 - 1Y.='z

cada

v1:

Y=*2X-) '+7o0SOLUCION:

a) ) .o *2x-Y+zY=x.+ZIgualando2

x =x+Punto: ( -1 , -2)

r 116e33r54"

vv

)78.- y l = f - x- i Y2 = x ' - I

SOLUCIONt ") j : : i tando cada una de las funciones da -

l -x2-x2-

2x2=2

x2=1

bl) Para la curva y = 7 -

xz

- Clculo de La pend.iente: y' =Clculo de la incl inacidn: tag0 .

bt) Cf culo"de latYr-

Yr- zx-

Clculo det) tag6 ' 2x-

Para: x rtagfr '2 (2)tagol-4 +

pendiente:ly=y+2

It- 1

1as incl inaciones:

z

. -75o57

| 50"' f

2) tagS = I-

Parat x -

2 'tag0., ' l +0t ' ' l5o

- .Para x l l J i tag9*.2 . )

- Para: xtag0z =

t ag, i 2=bz) Clcu1o

- Para: xtaggr= 1

-6a

= - ' l

o 02= 45"

tangentes:

-2 + +Z = l ' l 6o35r54r l

del ngulo formado por las*1 'mz

.l + rnr n,

ClcuIo de 1a inci inacin:t

tagQ=yt=3x--3paratag9 = -3 + ,1 = 1u8'26t06"

De rnanera s imi l .ar hacemos para 1os

Hal lar e l ngulo de las curvas 9y =

en el punto de interseccin (3,3).

$Q!! lCiON: Las curvas dadas son 1as-3

X,

=T (1)

= - l

2 (-1)-0

A^^.

?x'y y = 6+Bx

siguientqs:

-X

tagc= -2-41+(4)(-2)

a) Ordenando adecuadamente cada una de las funciones (curvas) dadas:

J-,y = x- - 3x . . . . (1)Y = - 2x

, , , , . (2)

Igualando (1 ) y (2) z*3-x=o

x(x+1) (x-1) = Q

solo los clculos pa-o el- otro para el . Lec

y=6+8x-*3 (2)Calculenos las pendientes de cada uno:

_.2dc (1): y ' =tde(2): y ' -8-3*2Ca1 culenos l rara e1 punto ( j r3) :

, . r2y, = LJJ = J.

?

y'= J . . . . ( j )

.'

Y '=$-3(3) '=-19y'=-19

. G)Para hal lar e l l lgyl" que fo:nan tendrenos que usar1a siguiente fdrmula:

tago=*1 -nz1+nrn,

Reenplazando?)

-50

o :27 c26t 52t,

' tag q, 6-

o = 40oi6|0S'

3-ru.- v = x - Jx2x+y=0

SOLUC I ON :

3-x--3x=-Zx+

),

x(x ' - 1) = Q 'D

[x = 0{x = ILx =- l

b) A cont inuaci6n mostrarenosra una de las curvas dejandtor '

y=x3-sx-

Calculenos su pendiente:

tago

0

(3) iy (a):-

s l - ( - lg) . =l*(F) (-1e)-

utt trg (+)yt -3x2-

CAPITULO IV

REGLAS PARA DERIVARFUNCIONES ALGEBRAICAS

Hal lar 1a der ivada de 1as siguientes funciones r

l ' - Y = x-

.

SOLUCION:

)

dv d 3. ^2a; = *(x) = rx

y --

"*4- b*2SOLUCION:

.:* = f {"*o- o*2) = * ("*0, -* (bx2)= , f r*al -b;1(x2)

'= 4^*3 -2bx

y = *4/3 , sSOLUCION:

** =

* ,"0",* f rs l= 4/3 * l l3

^34.- y=3x- - 7* +g x

' xz' x4

SOLUCION;

[ . r=*z-syn=s]y=/7-SOLUCION:

= #," ' -x2)r /2 = i r^ ' - *2)-r /zu2-*? y n=l /21=, L G2- xz) 'r l2(. ,2x> = -

2

y=*2-t)5SOLUCION:

f{ = s l*2-'t>4[v=*2- 3 r

'

+ = s(*2-:)4ox

= 5x(3x2 + 2)

*u*

F;7' - , -2**2

A?] (x-- r)

= 5] '

tu.2x = 10x(x--3) '

d; (^2- *2)

"2- *2

3.--

6Jx2 + z)( l + sxz)-1/z sx + 6x(1 n s*?)1i2+=

45x3 + l6x

** -t [sxt3/sr- u tx-r /s'1+ftcr.trt,= 39/s *8/5 + l lzi 'al3+ztrl i* 'al7

Comprooar cada una de 1as siguientes der ivadas:

Al, 1 a

| cr"o- 2x2+ 8) = Lzx3 -4xSOLUCION: '

* c.**-zx2+8) =.$o. (r*o) -f t . G*z) (8)7

= 'l ?xu -

4x + 0

?=' l 2x"

- 4x7)

-2x")=J-6xo

d+--

cx.

dldv- 'dx 2/v dx

SoLUCIo iA

4l

-A -

1 -1/2

" y 'v =

*(v)dx

ldv= ;7 ' -dr

d.2 3,-

[ - -

- l =

dx'x 'x

SOLUCION:

t d r-L -

3 \'dx tx

*2td.2, d

= -

t - l - -dx'x ' dx

_ d (z* l l ) _

dx

dvdx

10.

z6- --z- ? -J-'xx

-$ r + jxoxSOLUCION:

6| (4+ix d-F7.)

'2x ' ) =&

'=0+

=5

2A5bt ' ) = 5at '

' :

- 15 btz

(4) +

- ' )Ox-

(51) ( zx-t )diF

6x2

(+d 3-21

dx

( -z) (3) x-311.-+ (uts -dt

SO LUCI ON :

s- ats - su.3)dt

.2712--+ t4 - 3-- l =dz'2 7 '

SOLUCION:

= (-1)2x

2=

--

2X

-?

?-

x

t1 /3=,93

j,

=+ ( ' t5) --q- (su.s)dr dt .

= sat4 -

lsbtz

6,z-z

i

I-d rr-

d , - r ' . ,

-TT)- t-T)az-16

3p"+tsdr

- sJ/3)SOLUCION:

fr (+ts - tr ' / t)

2t-1 /s

- * Gt4ts) - ; f cs.t / t ld ,22T = z+) J/3 - st!t-rts

* r*-1 / 4)

_

8 -113

3_ 2 {113

-1/4 _ x-S/43=Tx

a=

---i.L

x'=C-

"yx .

LYY =

- t f - - - - ,

.- r/x dx

SOLUCION.:

*0 tc

a_,

xi rI , l

=--- f, l - 'Z47x xfx

dvdr/F- ! - -=- ( . - - -dx dx t'

16.- + (z ; /qxSoLUCIoN:

d (z*3/4 *dx

?

c4x-1/4) = *

exsl+,

= 2Q*-1 / a

+ d (4x-1 /+,dx

+ 4 (+)x-s/4 d ,*1/2, d , z- ,= - r - r t - /dx ' 2 ' dx 'x1/2

=l*-1/4 _ x-5/417.- d (x?/s

dx

SOLUCION:

d. z/3 z l3*

(x- ' " - a- ' - )ctx

rB.- 31+u*+"=2,dx'*SOLUCION:

a2/3) = 2 *-1 /33

= + Gzl3)dxz -113rx2 -Ll35*

=c:2

x

- + r:u'r',(1x

-0

3.-l2

f e+ b +'cx)

=

-$ ( . t - l /2 * f{ut t /2)

"# G / '

-

a , -312 *! . -1/2 + 3c ,1/?

222

- -L* --i- *zt/i 2 +

aYovax.r-

-

fax

=+.| , x-1/z - zg$y-s/z_ ! + 1 = J_ +_l_

4{l F 4E xG

" -

a * bt * ctZ, d" = -

3 *

.b *

'EdrztJEz/ i -

SOLUCION: dS d ra-

- - -

t -

*bt*ct2dt dt

A'=at (at

dv.&=t '

dx

-1/2* bt1 /2 + c; /2)

= *,*, ";f;ol * $-{.x)

2ax 2x ax

SOLUCION:

1)

zs.- f ( t ) -

(Z -

3

SOLCION:f ' ( t )

j r= lcaclx ctx

A-= _: (r 'ax) +

dx

"

a 1 ,^

-+Gx-t /

31

G

dd"

F' (x) d=tF ?,-( ' / 4 - 9x)

.,

= +-# @x7-3/z2{x L

-1 / )(a(ax) ' ' ' )

-

( -+) a @x7-3/2

' t , -2/3

=?(4 _ ex,

s s/G-g*) 2

= --3

z/ 1-y ' (4-9x) '

dvx+ = )--?lndx (^ ' - * ' ) -

a=

- -

^f-f ax 2xffi 1=-- i/2 2{a -x

---==

dr Ir = l

- 2g ; = - __-

d0 I _2eSOLUCI0N : dr , t

-- j :_ = _-_=(yl

_ Zg)d0 d0

=lu

N:dy=dx

zo)-1/2. I t - zo)d0

'ffi'

t2)3 ; f t ( t ) = - t8r (z-zt2)2A ' r3

=(t -3t ' )

-

s(z -

stz)Z. LC, - stz)

dt

= 3(z - st?)z , ( -6t)-

-18t (z - ' s tz)z

(^2-*2) '7/2, [ -2x)=-l:

z^2-x2

x-Gz -xz)s/2.

f (0)=(2-SOLUCION:

so3/s ; f ' (0) 3= _ __-____-__;T(2-5Q)zt )

(2 -, so)slsd

de

F7 ' -9-ct l - ( r ) . ! rtF7,Z

o-rr"z -x\-1 / z . #ca? -xz )) . ,

ao-xo

f (0)

= i (z - so) -2/s .3 Cz - so)rd0

=----L.(-s)5(2-50)/5

27.-y=(a-*1t ,0=+ ("-5dxx

SOLUCION:- - ' -

1t =9r" -+)2clx dx

3? -

__1_(2 -se) ' / )

dsla

-

. =

/at+t" tda

Ofl : j is =Lr*

^2 * zt?

' i ' - 2_a+ t-

,/uz * rz)dr dt

28.

i

, b.3-

y = ta +-r lL.

x

= z(a-b.*c" -* l

.z(a $ + =?( ' -+; gr =-+ o+jz

oxxx

= F;7'f ctl * L ' f, t

= + .(f 62+ c2-r/2.

-

,F7, l l^2* &)-1/2rT--L tZ

= /A'+ t - + - :_/ rz * tZ

d.2 2.dr( .+r)

(2t lSOLUCION: c lv d . b,3

_-:-=_(ai-?dx dx x"

= 3(a "412.

d (" * 4x' dx x-

. 3(a * I 2. ( -)*2 *3

29. 'Y = xf fbx t dv 2a * 3bx

SOLUC ION: dx 2 atbx-gL = d 1*,fi-u-*dx dx

= y'a + bx. J(x)

dx

-

6b (a +-b) 2*5 *2

. : : . .A-

+ x.- i - ( /a + bx)dx

dv 2a

dx (a +x)2

t= *,:,;+,(" * . l#(a - x) i . ' (a - *)*(a + x)

,(a + x)-

2 2'.a*E)

/ r2 Za+t

a-x

(a + x)(- l ) - (a - x)(1) -a-x-a+x(a + x2 (a + x)2

/ t i 1 ) ) -1 t )y'ao+ xo + x(*)(a"+ x ' ) - t tL. (zx)

2x

32.27

a+x

^2**2SOI,. t ICI O\ :

a/z z x"-Ya + x +-

{a-+ x-

-

222a+x-x.2dv 4ax= r---72dx (a-x)22

,oY Q r7 +X_._l

dxdxZZ a -x

t f l - tX t lA +X

Y = * ' ,2

a-:T-

^5n(a-x ldvdxtz 2a-x

dvd,x+=

- ' - - \' /--- 'dx dx /^2 _rr2

.* ," , - "*

(

/ 1 a 1 . , J- ' ;.y ' a =xL.x $) (a" -x ' ) ( ' 2x)

='-r--------r- $#= E}**t ( ^ 2 -r .2) -1 / 222a-x

2)7a-- x- + x-

--

(^2'*2)/^2 '*2^2

, = 92,64

SOLUC I TJN :

2a y3: -

2e E -?;-

6o - 'ggz - zaz

,E- 4g

SOLUCI ON :

$ = ! sz6:-i lt.d6 d0

.1 "ls-40.*(0")

OU

( l + cx)

dvd.=-Liix dx

F7. u r,FJt F= u (/77l-

'o* ' ; i ,=. ; o*

( /a- ' x-7-

^2ax(^2- *2) ,F:g

A (^2 .*2)- t /2(-2x)

' ) ? 7 r*21xla- - x ' + a- ' i(^2-*2)

4vdx

7' t* s- . (?zaz (J

^^2L1

OU

(3 - 4o)

401'1 / z

'1 /z . ( -4) SOLUCION:

22

.,

20 (3 - 4e) : g'

oe - roo2F+o a-x {}) ^2**2)- \ / ' . (zx) -

J6.- y = re. ' gr =-v1+cxdx

-t-r(1 +cx) { -c 'x 'Idy . :&,

....'...'.._ \. ---)r ix dx '1+cx

a--

re- cx.$t,zi - "-)-rffi.f fffil

gffiz

' ff i c*l ct -cx) -1 l 'r")-'ffi(b (r +cx) -t lz c)= t . tcx

-clTffi -cff i

-2c(1 + cx) - 2c(1 - c t )=t

a(!tcx)ff i , l |1-

a/-x l

*(u2-*2) * *("2**2)

(r2 '*2)

2xaZ

(^2 - *2)

2{1 -cx 2{1+cxt +cx

-c(1 + cx + | - cx) 2cds=dt

/-,z(l t cx)/1

-

"2*2 ,.

5 -

40

2rl+cxl ff i

7-

- $ c u/2 + 3t

' -2 -

3t ' ( r ; )213p-3413

SO LUC ION : ds d. "

-

= - fdtdt \

1--{2

-3t .z-2( ' /z + 3t) -"y '2*3t . a 15/ ' .T1-7

r

Q-sz ls

.A+

d

SOLUCION:

, 2/sy = (a

SOLUCION:

;

"F:7_ x?/3)s/2

dy

dx

dvd+=-

dx dx

(^2 - xz)-1lz (-2x)

-bx

b r ' l .-a\2)

(z - i t )1/3

?r.f t \T6- +dv

;;-

.grtdxA

_taA-

3tv'Lyx

2/3 --Z/3,s/2

- \ )

Q-s2/3

=?-\x+7+3t

=-

r Ia dervada deZ.-f (x)=G+

SOLUCION:

11

- l - + . - ,ZI5. x [JxJ

43.- 2-x

(^2/3 - *z/3, , , ,G?x"t /3 )G2/3 _ *ZlS., , t /z

sq3lvY;

cada una de las s iguientes funcioness/*

="f;r6tf ' (x) = # (6, + t {u l. f tc 'ml

=f cz* ' r /2.z) (3x) 'z l3 . s\

-L'2

=-

(z -3t) 2 / 3 zrstTz/ 3, z -st72/ s

39.- y , , f f i ;SOLUCIOi.{ :

pv

qrdx

=

dydx

g /E

ox

={ c)n* l -1/2. i : r ,:

.D

-. . lPxD,

. l_J

(z-s l l2

(^ * . st) I /3( 2

- \ t \2 /3

y=l+2x2

t l

SOLUCION:t t=*(Gr)dx ctx 1+Zx

?a-Zbx+bx2G

-

Ux)6Jx-

- $=

y'a + 0 t-r

SOLUCION:

1t?) (a

=-

2a+bt---

' 2t . / a +bt

_

2a-bxz(a-b{f f ix

- , (1 *zxz) j - tz -x)- ctx

. , |\ - x) ,+-(u^

* zxz)ql* zxz)z cs

-d-- 6-lTtfrf = t t--j- t

y'a

-

( r + zxz) (- l ) - (z - x) (+x)(1 , z*2)Z

1?_1 _ Zx- _ gx + 4x_

( t , z*2)Z

.,

_

2x' -8x-1?7(1 + 2x') '

?f,

-1 / ' )bt) " ' (b)

2'ffi bt-2(a+bt)^

,

bo- _

tGTEo-

3(a + 592/3= : ' \4 ' uvJ b0 -

3fa + lar

oo 30, (^ * bo72/s3a + 2b0

3a2 G+6s72/3

y = *z.E=ZiSOLUCION:

+ = .d {*2,6=T;dx dx

?-: " /2+3,*(*)rxr

'cx

- ) - zt- i ) -1/2

= # (, ,

-* ,

f tc* * z)Z

, 7(x + Z) + (x + 272.$i6z*

x(x + 2)2F;

dsdr

47.

GAI + xz . f j - ; ' fs - 2x)- i .2, ( -z). . ,

y -

x '

{S_2x

dv d T-.= (* - /z + si |

$rsrre=!f f i+x:

. (2+3*-z ls. (g)-

3'mt . t'3;zy_

-2+3x+x- 2+[x(24\2/3 (z+sZls

=2x

=2x

-L* 1t t

dvJ=

dx48.-y=*3,Q-;- ; .

SOLUCION:

z-1 l z. (zx)

I-2

r

f f i , . | (x + 2)z+ (x + 2)2'*F - : - ' l

=?(x+2)

5l . - y = /T-= 1-yz-{y+{xSOLUCION:

;x.64/I-T-3;

dv,dx

Zr

_.,'-GF .# c/i-;-El -,ffi # c3rn-gxl(7T*; 3x) 2

3'-==. (+, (r +2x) -1 /2 , G) -n;,{1 r *s*-2/1o

1,-' r ' l \ + 3x

riTE2

.1 .2xz f--T' / (1+3x\" ''/1 . z*

qtfr72(1 +3x)-(1 +Zx)

'1 l ' '(1 +zx) " ' . ( l +3*1: t /3 1l*zx)1/2 . (1+34/3cada uno de los siguentes ejercic ios, hal lar el valor

para el va.lor dado de x.

SOLUCION: ,,m-.,'.:)/1+3x

dAx

#-*, t* + )

1,E t Parax=4

EngJdx

52.-y=(*2-x)5

SOLUCION:

; x-3

gy. = '+ (*2 - *)3dx dx

7x)- (2x

- t ) , para x . 5 ',2 (6 - 1)

-

s(36)-

3(x2 -

= 3(9 -

-

540,)

x

(s

-

(+) g1-2/s . +) u-112,1

-+ssF

: -+r--1-- 13-t(64)- zf f i ss/z l f*T

1 *

1 _L =l_

48 1 48 12

y=Gx)1/3*C?2/3; x=4solucroN'

1| ;=*[(z*) ' t /3 + e*)2/3)

= f tz*) -z/s , e) . ! t2x-1/3. (z)

=--J-. -

=6712*l ;ut ; parax=4

= ? +') t? ^. . l /s3(8)"" 3(8)""

_

2 *

4 =

1 ,

2 =

5,3(4) s(2) 6 3 6

55.- Y =

/9 + 16

x=2

88E

--f f is

x

-

3x - 2(16 + 3x).)_-

zx ' /16 + 3x

= 9 - 2(16 + gj18 /T6;3

;para x=3

. .JL90

56.- 1 ' = x=3

y = x 6 :7 ; x=2,.$!!G-I-0N: tdvd*=- lx

dx dx

= r-5 (zs - xz\-3/?- L '

J t ,

=

r* f f i ;Para1

= --+77 =-(2s - 9) t / 64

fiffiJ/. - y = - r r Pafa X = J

x

SOLUCION:

SOLUCION:

; para x=2

-*o2-+=o

x=2dv d ,6'-* 3x,

-ff=?I-r----.-/i

: - l

xi rr-Tc-ffi - r-i-o$.# t.l=

x- l

#=*,* t F*t

- rc.# ot, , *2.;!rf .-Fl

r* . * l (16+3x) -1 / 2-6vv

SOLUCI ON :

=* ,n * 4*2- t lz

v . f . - - - ' . -A*/=: l /9+4x-dx dx

4x.(8x) =-:

/g*q*z;parax=2

(-2x)

x=3

dv d '-:-l---- \

-. r /25 - x' =it6-t.# o, . *, *

G]= 67 * * c l l ca - *2)-1/2. ( -2x)

2x

-*2

=r

, e*) * *2 .5 a * *3) '1/2 , (sxzr

; x=1t

=?x - -4/ l +x5++; para xEZz/t + x5

= 4 6 "

4 -

12 + * = 2026

60.- y = (4 - *2)3 ; x = 3

dyffi = of c+ - *2)3=-6* v-*z)2

-

r--T--;=

+f = uf, (1-*;rrr)

2/5-Zx

SOLUCION:Pera: 'x =

-3')

= -18(4 - 9)-

'?x+bl.- Y =-- . - i

- t 2-x-

SOLUCION:

= -

l8(25)=

-450.

x=2

= y {3 + 7s.

-1 -4= ----T-

5=---

x=5

IgarrL x"= a

+-

/3-Zx(2x+t )

)-v

-2 {4t-e-- 9x -

y -

16 = 0 (ecuacidn deEcuacidn de ra normar,

ta tangente)1

Y - Yt = -- j - (x - x,) (xr , f r . ) -

(ZrZ)7y

- t a - -.ii (* - z)

,9y - 18 -

- x + Z ' ' x + 9y

- ZA -

0 (ecuaci6nla norrnal)

(3 - x)2

-

(2x + 1) (-1) -

.(5 -*') 2

; evaluando

6-2x+2x+' l- l

a(3 -x) '

en el punto (2,5)

77(3

-x)

'Ecuacin

, T . YIy-5

=l

de la tangente:= m(x - * l ) i

= l (x-2) +

Ecuaci6n de La norrnaL:1Y-Yt ' - f (x -*r)

1y - S = - j (x - 2)x+.7y-57-0

donde _(xr, I r ) = (2,5)

y-5=7x-147x-Y - != 0

- | 7y-35 --x+

I )la +

(3 -x) 2

-xI+YZ-76;(3,2)

88- Clculo de Ia pendiente:

xy , yZ) = rr (1)dx

4x-y-* jL*zydY-odx dx

dY =

Y - 4x ; evalu4ndo en (3,2)dx 2y-x

' 2- t2f f i=- lo

. Hal lenos la ecuacidn de 1a tangente:

v -

v o m lx -

x1 )t .1 '

2=-10x*30y-2 =-10(x-3) + Y-10x * Y'- 32 = O

- ' ' , - !

- Clcr lo de la ecuacidn de e.noral :

1.Y'Yt ' ' - f ' (x-x1)

f r (x- l ) +- 17 = 0

+ 4 . 0; (1, -2) .

1a ecuacidn de 1a tangente:

Y1 =m(x-*t , )2

-

. -2(x - 1) -> Y + 2

-

- 2x + 2

2x=0

1a normal:

1,y1 =-*(*-1)1

- - - + 2y" * 4 = x - 1Z =

- tx - J

SOLUCION:

,

_d- (zx'dx

y-2=

10y-xt

y'+2y-4x

!WN,:

10y-20=x-3

Ca1 culemos

v-y+

y+

Clculo de

t,ener

(* l '

v-

y+

2y

las

Yr)

-x+5=0

cuaciones de la tangente

a la el ipse b2*2 + ^2y

Calculemos 1a Pendiente

* ^2 yz) =L@z uz)dx

y de la normal

2 2.2=aD

de la el ipse:

, r9*29-dx dx - -4.0

L (ot * tdx

Zblx * z^zy 9- ,-dx

dv.L,=-

tx

0

b2x

^2y

*,rt + zy, ax 1 a) ' 6i Col

, evaluemos en (xr , yr

jv _

-4Jdx ^z

yl

Clculo de la ecuaci6n de la tangente:

y - ) r . , = rn(x - *r),

Y-Y t= -?(x-xl ) * ^2y ,y-uzyzr=-r '* . ,"

Yl

^2y{ + b2xrx - ^t t1 -o '* ' , = Q1 ?**

-^2b2=o"-yly

t b ' lClculo de la normal

Y -Yt =-#(x-x,) '

^2 y '

- -? -z z ?y-)r , . =-J- l (x -xt ) * b '*1y-b'*1y 1=r 'y lx -a ' ) ' . , x . ,b-* . ,

.2 7 7 ' 'b'xry - a 'y1 - (b ' - a-)xr l ' = QHal lar las ecuaciones de la tangente y la nornal , ylas longitudes de la subtangente y la subnornal, enel punto (* l ,y1 ) de la c i rcunferencia. *2*y2=r2.SOLUCION,TTTA?

dx dx

dv2x+2yZ = 0dx

dvxJ--dx T evaluando n:

{ (x l

' ) r1)

. ' -T

lculo de la subtangente:interseccin de 1a recta

x*b2*2I

culo

v-

culo

I t o)

a

+ v-Y-Y.' t I

-r ,y"- x.' l l

2z=x,*Yr

I

r

=-*. , * t " -

de la tangente:

y- -

m(X - X,JIr

xlv = -

t (x -

x.)'1 Yl ' t

Y1Y * x lx -

YtY + *1"

TlY * * l* =

de 1a normal:

re en el Punt 'o.

y -y = - | t* -"r ly1

v -v.= --A ( -x,)' 'L * l r

yx1 -x1 )r1 = I1x -x1)r1

xrY-Y1x = 0

angente conY

ei eje I 'xr '

7:-

tamos en algo asl :

subtangente es: x l - r2 = ?- '2xl x l

I .2,o)Xl

-/

La

7-v

t - ; (*r2 * , ' r '= t t)1a subnornal

t

deculg

De 1a'ecuacin de la normal

x = 0 . + punto (0,0)Subnornal = (0

- * l ) =

8.- Demostrar que 1a subtangentees bisecada por el vrt ice, y.cons tante e isual a o.a p.cons tante e ig

SOLUCION: -

Clculo de la pendiente de la parboln

$rrrl =-4- zpx)ox dx

2y drY t,= zpctx

Intonces ocurre en el Punto:2

, Tr--l-r , o) = (-x, , o), e, . L, ,

porque: zpx, - y i = Q

De manera sini lar procederemos co.n 1a nornal .

tener 1as ecuaciones de la tangene y normal, y 1asl tudes de la subtangent,e y la subnormal de cadade las siguientes curvas en los puntos indicados.

J. x ' i (a, a) .

. 3ay)=g (*2)

dx dx

dv^dv2x?. __!_ = lx + _L =

dxa

Ecuacin de 1a tangente:

Y-yl =rn(x-.* t ) ; ( \ ,11 )=(a,a)

y - a=4G: a) fa - a,2= zax - za|?

ya-?ax+a'=0

y-Zx ra=0 -) 2x-y=gEcacidn de La nornaL:.

1.y-y,=_#(*_x,)1y-a=-tG

-a) + 2y-2ao-x+a+2y=3a

Clculo de la longitud de 1,1 subtangente:para: ) . 0 i x o ("" la ecuacldn de l-a tangente)

longi tud - ^-*

=+

(y=0) entonces i

-xt

de la parbola y2 =que la subnornal

93

ct

dv=

dx, t r=t

- La ecuaci6n de 1a recta

Y-Yt=m(x-x

=P (*Y1'

tangente es:

)I*r)Y'Yt

'?

tY - Yl = Px : Px' * 11 )' - px 2= rr 'P* l

I txrr serhemos evaluado en el punto (x, y, ) .La interseccin de la tangentb cbn el e jeen:' : " (y-o) y.y- p*.y-2-p*

I -1

o- px 'y: + px, rQ -1

- - -

P1.. : r r '- . -T-

- Clculo de la longi tud de la subnornal :para: y

-

0 ; x = 3a (en- la ecuacin de Ialongi tud=ia-a=2a

mal)

7)10.- x ' - 4y '= 9; (5, 2) .goLUcIoN'

#. c*t _ ayz) .f; cnl\ \ ' s^ - Lr.f, ''

,1. ,2x

-

8yJl= gdx

dY -

- ' ( evaluando en (s , z)d:r 4y

dv5-d = l-

- Clcu1o de la ecuacin de la normal:1

Y 'Yt = - f (* - x,)ay_t=-f(x_s

, 5y -

10 = - 8x +49 ? 5y + g= 59

5y*8x-50=0

- Clculo de la ecuacin de Ia tangente:

Y ' Y1 = m(x - * t ) !

q.y-2 =-;(x-5) '+ 8y-16-5x-25

longi tud=s-3 = 19'

lC4lcuXo' .de la longi tud de la subnornal :L: .2

' * l , .= en la ecuacin de 1o nornal obtenernos :

Ex=50+ *=-21I

luego :longi tud=4-s=+

5,=-4

4y2 = 72; (2, 3) .

$ cn* ' * qyz)= 4. zz

t8x + sy-92.= Odx

dv183dx

.12 -2

C1cu1o de la ecuacidn de la tangente:

Y - Yt = n(x ' * l )'?y-3=-*(x-2) + 2y-6 =-3x*6

95

+

c

8y-5x

Clculo de

Para: y -

05x=

9=0

longitud. subt.

en 1a ecuacidnq

*=

qente:

Je la tangente:

+

1a

t

9

2y*3x -12,=0 . .

ecuacin de La

Y'Yt --#(*nornal

- *r)

ser:La

(1)

^2y- J=5

2x-3y+5

La longi tud

v

3x=72 ->

(2>subtange,nte es:

en (1):' -+ x = 4

(x-2) 3y-9+2x-4 v-

y+

x-2y

La longi tud de

para Y=02x-Q,=

longi tud = 3= 1. .

La longi tud de

para y=0

x-7

longitud = 7=4

cular elsxrYIa

el punto

CTON:

Yl = *t )

(x -3)

- J = 0 . . . (2)

la subtar^gente es:

en (1):0- lx=Z

2

-*,*

=Q

de la

,=L-2

x

0I2

=-

3

longi tud = 4-2=2

- La longi tud

)= 02x+

Iongi tud

7xy+y-+2-

SQlUelS: -

y+

-

Clculo de La

Y-Yty+z

) +2xLa ecuaci6n

de Ia subnornal v iene dada por:en (2) z

5 =05

x=-T2 +g '2

o; (3,-z) ,

la subnormal es:

en (2):=Q '> x=7

-3

,$- t*r '* y? * z) =f rolxdY+zyj=o

dx dx

-g-= --J-; ovaluado en (Sr-2)dx x+ Zy:

_9. = _,oxecuaci6n de la tangente:

. rn* - * t )-

-2[x - 3)I

-

4 i t 0 . . . . . i . r . . . r . . . r . . ( l )

de la nornal ser:

ClcuLo de 1a recta tangente:

Y - \ - n(x - t )y-5=-Q(x-5)

; evaluado en (5r5) es:

rea del t r ingulo quetangente Y Ia nonnal a(5, 5)

dY =3 (o* - xz)

dx dx

forman el eje dei-.ti"" Y=:6\-xz

!-6 = 2xdx

9--+dx

y + 4x ' 25'0 . . . . : . (1)

Calculemosje t t t t ' -

4x-25=0

- La ecuaci6n

(_15,0)a

De Ia f igura:

la interseccin de esta recta

) '= 0 en ( ' l ) :2S

-| x = --?- -* el punto es:

de la normal es:1

-Yl =-f(x-x,)

" =41

"ABC 8

el rea del t r ingulo quey 1a tangente Y la norna1

punto (5,2)fornan el e je ' dea 1a cur. v l=!--

con c1 g

,J(--7-, u.l

( " , )con el Bje" t t

| cr'l =

.-- dy r

-. dy =yJ- - |-dxdx

dv1-=--

dx4

lculemos 1a ecuacin de

Y-Yt=m(x-*t)y - z = --i-t" - s) '+4y + x - 13 = 0

interseccidn deen (1):4y-13=0 ' '

l '

#,n - x)-1;evaluandoen

2y puntc (5,2)

y-2o4x-20

(z): . . I ' 1:

intersecci6n con el eje "Y'

18 'punto (0,- l 8)

larJ,CI

y - s =*,* - s)

4y-2O =*-5 I 4y-*-15=0

Ltal lmos la intersecci6n de la normaly = 0 en tz)z

-x-15=0+X=-lS+

- Graf icando (aproximadanente)

punto (-1 5 r0)tendremos algo asf :

Y=6x -x 2

(5 ,5)

{Zf;;o)85=-T

eI

j

1a tancente:- l

4y-$=-x+5

. .

-

. . . - . . .

- t l I

la tangente con e1 ej e "Y" trx = 0)

punto (0, +13y =- l ' ;AC = base =+- (- ls)

! =al tura=SCalculemos el rea del t r ingulo ABC:

' "" _

base x al turaABC-T85

^ -4-x 5

oAgc=T

pcuaci6n

Y-Yl-

y ' l=

)-4x+haLLando(x-o)

.

.

y + 18.-

de la. normal:1

*+ G - *r)4(x - 5) +

l8 = 0

-

4g25 el punto deen' , [ .2)z . .

Q 'r yt= '

Graf icando (bosquejo) de la funcin dada:

AT = base = l !+ ' g+8544

h = al tu ia

Igualando (1 )x + 1 = 13

Cx + a)(x

De (a) y (b) :tag o

tag o

tag o

y (2):z+*?

eQ+

IOl

-x

3)

c ro; l

x - 12 =(

-q=.1Ls3 (solo

=tz

intersec

rman:

+

x

c _base x"ABC----

slscs5ix z

s,c '= iFEallar los ngulos desiguientes curvas.

15.- yZ = x + l , x2SOLUCION:

2x + 2y 3L:dx

'{allemos e1 puntoY2'**

*2*y2-

Y2 ' ls '

Reemplazando en (1 ) con x =un valor) , zy-=! - | yentonces alguhos puntos de(3

,2) y (3, -Z)-

Clculo del nguLo que fo

' tag 4 = Tl- tz-1+m.t m,

t rabai anos con

son:

(3,2) se tendr:

=l

al tura (0, 15,4)

(e-t

Iy*=r .> #=+, . . . . ; . (a)

i *2*g:r y2) =$rrsl

1 *

5 14=4 2 _ 8 =JL

.355l- g 8

. 14= &tC Eag

-g-

= 70"20'46tt 6 Q' 709"39t14"

*Y2'32-

6 -

xz . r . . . : , . . . . . . . ( l )

-

32 . , . . . , . . . . . . . . (2)

interseccin de cada una de laa

+ Y2 = 13.

*rr ' l =,d (x + rux dx

o * 9Y = -

x . . . . . . . . (b)

dxYde interseccidn:

. . .o. . . . . . ( l )

l3 :t

r ' . . . . . . . . (z)

1. x-T-

_y y-, x ipatat--v

2v' '

Y * 6 - *?,

SOLUCION:

7xZ

0

TxZ

Y=

,yz

r02 (t ) en7xZ

(2):+ (6

- *2)2

+ 36 - 12x'2

- l ) (x2-q) - o

... .,

x4= 32

*x=l

y=6

/ -L

- t *7 - l -) );;;6 = +?^

= arctg (-) = -B .97o

= 8.97" = 8"58 r2l t l

Se deja los dems c1cu1os para el interesacio

,Y2-3Y=2x.2y=x (1)

l0: t3

lo

* x = !1'a

y=6-( t l ) 'r =\l

* *4- sr22.

x - l + x

x2=4 * xen (1):

?

- ( tz)z

7xZ

(*2

tA-^ra-v

=t1

=.1-7

Reemplazando los valores de | txr t

Luego los puntos de interseccidn son: (r1 r5)y(tZ12)Calculemos el ngu1o de intersecci6n:.

m1 - rn?tas 0

-T}; : , . . . . . . ( i )' ' " ' l " '2

De f l ) ; j I = 0-2x ; para ( t ,s)dxq=-/(a)dx

De (2):d2?d

i Cz* ' n y ' ) = | (sz)14x*zy- i r=o * dY =-7\

dx ,drf , ' ydy=-7"

. ia---F. , . 1. . :J. . . ' (b)

Reernplazando .(a) (b) en (3), :

y (2) para hal lar e l punto o puntos de

-2x=0

-2)=$+1)2 = g

ual i rndo (1 )terseccin:

*4 - 3xZ

x(x5 - 3xx(x - 2) (x

I ernos a

=2x

sra el punto (0r0)

cont inuacin 1as

f*=0,y=o{ *=2,y=4L*=1,y=1(2veces)

pendientes de (1) : ' (2) :

- *

(*2-v)=f{z* l^--dy "9I = /v &. - r a;

dY -

2 en(o,o)a; = T:1dvza;=-5

i para: (1,5)

Clcu1o de1 ngulo de

tago=*1 - *2=

l **r^z

inters eccin:o *? 2

I r)i)ra s i poclenos calcular el ngu1o fornado por lasvas (1) y (2, \ , en el Punto (5

'3) .

l+0

ts6

= 33" 4L'24"De manera simi lar se

-> d=rr" tgq{

procede para los dems punto

.

n1-mztag I =-----

1 +ml ^z

plazando (a) Y (b) en_

5 _10

12 3 -tago=

r+-i12 3

eso: y=s -r(+)t

( r )23 ( r ) :

:J5-f29--:6

36 -5036

r8.- * ' * or '= 6t ,SOLUCION:

')2x' -

Resolv iendo (1 )_+

2*2-y2=4L

x.

)=

(2)

t

+

41

4Yz = 61 , . . . . . . . . (1). . . . . . r . (2)

-135 135

,

tag I = l r4 = ]40 = 84oo4t46"

los puntos de contacto de las tangentesert icales

Luego el punto de contacto es: '5 25'zontal .

Lz- 'TJ Puntt) '

Calculo de la

x+3y -o

3x + ZSy

5OIiucION: 2 (*2 - 8xy +I

2x-8I-

tangente hor izontal '

x=-Sy

(ragoo=0)

. . . - . (a)

ZSv=Q

J

= 16

16

relacin de "x"

vert ical son:

720.- 3 y- - 6y

- x = 0

SOLUCION: Der ivando:

d (syl -6y-*)dx

1a ecuaci-n

dy x-4ydx 4x-25y

a).- Habr tangente hor izontal cuando:x-4y=0-+x=4y

sust i tuyendo en la curva dada:.,(4y) ' - 8(4y)y+zsyZ=81 + y

Entonces:='r '3

x = 4(1 $ = ! 72Los puntos de contacto de las tangentes hor jles son:

( l Z,3) y (-12, -s)

b) f iabr tangente vert ical cuando:9Y= *: .0t .=-( tag9o")dx 4x-2Sy

4x- 25y = 0 + * = ri' , :;::li,:ui""l"dada,

r f iT - sr..r , + zsy| = $7

r=t 12. a----5 ; reenplazando ul t . relacidn de x

x=tf l3 l l .25'- s- '? = t 15

Los puntos de contacto sern:

Para las tnngentes hor izontales:

12y' x = 0

reenplazando ( l ) en la ecuacin de Ia curva:1(1zy)z - la(zy) (y) + 169Y = 25

\Syz = 2s -+ I = t l , reemplazando en (1):

X = 12(! l ) ' ) x = ! 12

Los puntos de co.ntacto son

(1?,,1) y (-12,-1) ,Para las tangentes vert icales:

169 - r2x = o + x = 19?Y . . . , . . , (z)12reenplazando (?) en 1a ecuacidn de Ia curva:

C lz - z+ (92v7, + 16svz = 2512 12

y2= y= , reeinplazando en (2):

: Der ivando:

-L q*2 -dx

Z4y '" 24xJ.,v l

d: 'a , f ' (x) =i-go en x = -a la funcin no tiene un mximo,

) )(x ' - ax + a ' ) = 0q + x.= -a

.,

+. ao ' -) . ra ices imag inar i as .

= Q - l (x+a) (x-a) q*2r^2 = e

(x - . a) (x2+ ax t 2 =g ; resolv iendo se

x = .a y valores. i inaginar ios

_de x, porterdremos un nico a1or cr t ico en,xrer paso:

Exaninemos el valor cr f t ico x = acuandot

* a , f ' (x) = +Luego, cuando x = a la funcin t iene un mfnimo f(rr)_=,z=Ja

' ' tMn=Jao

, para x=a.

^312.- 2x --d

zx

r -3LLatando a: f (x) = Zx

-

a

*2

Haciendo: f (x) = t ' * 4. '*2

?^t lf ' (x) =i-(x ' -a*) , x l o

x

* (**-"n)

x-

resolviendo obtenenox.E-a1| | puntosxz= a )

s:

cr t icosSOLUCION

ax- = 3i ' lJ I NOSOnx4 = ai )3er paso:a).- Exaninando para

cuanco,_ _

. *

-a

l . l r ) x--za]x=0 )

x = 0, la funcidn t iene un;nnimo f(0)= l l lpuntos (valores)

Jer paso:a). - Veanos para el valor cr i t ico x = 0

Cuandoz -2a ( x ( 0 r f ' (x) = -

x > 0 , f t (x) = -

Luego en x = 0 la funcin t iene un nfnino f (0 )b) Finalmente para el yaior cr t ico x =- Za

Cuando: x < -Za , f r (x) = +0 > x >

-Za , f t (x) = -

Entonces par? x =- Za, La funcin t iene un mxif ( -2a)=-4; .i . lx =- 4a

, para x a- Za

I ' l in= 0 , para x= 0

2x

2x+a'

SOLUCION:

ler paso:

gOLUCION:-

Sea : f (x)

',

-2a'xr f ' (x) = 1)?[x+a)

) ^ JI f ' (x) = - 4--x- =(x-+a- -

x = 0 . ,

nico valor

* Exaninando en x = 0.Cuando:

' ^zX+lZ

=-\^ '

[ + Za?x=0

cr t ico.

, f ' (*)

-

*

, f ' (x) = -

funcin t iene un mxinof(o=2

6.-

*2Luego , en

x0

x = 0, laSea: f (x) =a2* xZ

2do paso:

3er paso:Exami.nando para el nico valor crfticoCuando: ' r < 0 I f t (x)

-

-

x > 0 , f t (x) -

+

^2f ' (x) = ^;* '= o . ) zaxq^" r*212

x = 0, nico valor cr l t ico.

(z + x)2 ( l 'x)z' 1-2SOIUCfON: Sea:f(x) = (2 + x)- (

* f ' (x) s - 2(1 - x) (2 + x) (1 + 2x)* f

' (x) = Qx=1 1

I I uutotus cr t icos 'x = -z f

vrusr sr

x=-z)* Exami-nando el valor cr l t ico x a 1 Cuando:

- l .x

Luego en x = I , la funcin t iene un mnimo f( l )* Examinando ahora el valor cr f t ico x = _ z

Cuando:x < -2

, f t (x) = --1rx>- '2, f , (x)=+2' ,

Luego para x =- 2, la funcidn adquiere un mfninro;f ( -2) = Q

* Finalmente anal izamos "r

* = - 12Cuando: l

-2

l { - l Exarninando para el valor cr t ico x = aCuando:

x < a , f t (x) = -

x > a , f t (x) = +

!g"go, cuando x = a, la funcin t iene un mfninr:r(a) - bI t n.brparax=a

21 .-a-b(x-c11/S

: Sea: f (x) = a - b(x - c71 /Sf ' (x) = -+ G - s-Zls

I {aciendo:

1 = o =- i lx - c.)2/3

f ' (x) ' b:

x = c (punto o valor cr t ico)Anal izando el valor cr t ico x = cCuando: x < c

, f ' (x) = -x > c , f t (x) = -

Luego no existe mxino ni mnimo en Ia

Luego, cuando x =-1 , 1a funcin t iene un rnxi ;nc:

f ( -1) = t / {

i Por l t i :no anal izando e1 vaLor cr i t ico x = ' l

Cuando:-1 < x < I , f ' (X) = -

x > 1 , f t (x) = +

que en x = 1 , la funcin t iene ur nni : o

]v!x = ' rT , para x =- ' !! ' ' f in = 0 , para'x = 1

[a + x)z (a - x)3Sea: f (x) = x(a * *)2(u - *)3

f r (x) =-g( + x) (? - *) ' | . }*7)C*- *)

rx) la-x)2(**9) (x - 3) = gf ' (x) =- 6(a ' Z. S-solv iendo:

x

x

x

x

cada valor cr l t ico:

f ' (x) s

f t Cx) z

1 f a?2.- (2 + x) " ' (1SOLUCION: Sea:

- x ' 2/sf (x) = (2 t 1/3 ( l - x72/s

, lExaminandopara x=-1Cuando:

x < -1 ,

I > x > - I ,

Conclumosf( l ) = Q

LUCION:

-a

d

2a

a=-

5

cont inuaci6n anal izarenosPara: x.= - aCuando: x < 'a ,

-2, x)-a ,z

f ' (x) ' = I

f ' (x) = -

funci6n dadr

Ita

f ' (x) =| t r -*) 2/3 (z**) 'z/s - t +x71/3 (1 -x -1 l5

f ' (x) = QResoLviendo obtenemos :

x ' : I 1 son los valores cr f t icos.x r lJ

(2 veces

pa

Valores cr i t icos.

,i-H

146 Lrrego en x* Para: x

Cuando:- ( x .

- ; , f ' (x) = _

aa

Tr * , - i , f ' (x) = +Entoncesrenx-a' =

- i . , hay un mnimo t f -?= i , l* Para: x E a

Cuando: $(x(d , f ' (x)=-Jx > a

, f ' (x) = -lY"go, en x = a la funcin no t iene rnxirno ni imo.* Para: x =*

cuando: - 7." . ; , f , (x) = +

at > x t T , f ' (x) = _

Luego en x = la funci t iene un mxino:

r) =W u6

=- 3, la funcin t iene un rnxino f ( =-

-q2

Sea: f (x) = (2x - ")1/ ' . (* -a12/ l

=z(x -

* " , (x-a) '1/3 , ex--z/s

inua

:x

cio :

nt

ra

f ' (x)

f ' (x)

tnando

nces en x

o = zg-!a) (x - a) -1/3 . (zx-a7-2/sa ecuacin resul ta:

t1=-A a Ir * l

I= a fson los valores cr t icos c ie la

I funcin dada.?. I

=-- i26n anal icenos a cada vaior cr t ico:

2

)." . ; " r l f . ' (x)=+

*t i r ,

f ' (x)

1

x

x

x

ci

a,,

a

J-ro cuando * = ?^, la funcin t iene un nxino :

a)=;

Ta el valor cr t ico x = ando:. x < a , f (x) = -

2a

-.* . .

, f ' (x)=+= 8, la funcin t iene un minimo:f(a)=g

para x *+

Mx o

Ilfn .

0,276

-6- "

,

128 67*^ ,a72/s

para

par,a

paa

x=-a

x = --1

x=43

Mx

24,- (Zx : a| l /s (xd

X (- ; -L

rll tino

'

f l (x) '

+

1.18 2aJ->x>

Luego cuandomxino,

f ' (x) = +

1a func. in no t iene nnino

antonces en

f ( -4)=-+

x2*x*4x+1

SOLUCION:

x =- 4 la funcidn

Sea: f (x)

(x+5) (x-1)=-

7(x+1 ) -

t iene un minirno:

para x=0

pdrs )6 =- 4

-x2+x'4x+I

a=-

3=Q

a

zaX--.2

hlx

l'{f n

Mfu=+,l,in =-t- ,para * =7.^

parax=a

25,- x + 2

*2 * l* lSOLUCION: x+2

x2+2x+4

f ' (x) = -

f t (x) . 0 =

Sea: f (x) =

x2+2x*4

x(x + 4)x2+2x+4

ft(x)

Resolv iendo:X '3X=' l

* Examinando el valorCuando:

xx>-3

entonces en x ' -3, 1a

f(-3) -

-$* Anal izando el valor

Cando:-3 2 ,

f(x) = -

f t (x) +

f ' (x) = (x + 2) (x - 2)(x2* 2x * 4)2

=(xL2)(x-z)(*2* zx * 472

son los valores cr l t icosla funcin dada.

el valor crf t ico x =-Z

xx>*2

entonces en x = _2, 1a

f ( -4,= +* Exami.nando el valor

Cuando:-2

l " fx= (b 'a)z4ab

7b-

para x = Zaba+b

Luego rnal izanos er

Cuando:

x t=# '+ 120n.

Las dimensiones de la huerta rectanguiar ser:

.

x=90mY = 120 n

i tuando 1a procuccin es alrededor de 30 i tstrutos por senana.

dato, 1 costo de 1a^Produccin es:)

dctrdcffi

dc-=

p(Jdx

dc . ,Er= p("

- '24"7xo

-41 =Q +xo

t -3 'o? ?a . _

---yL *3 ; pero A'xYJ

Entonces tendremos:2

*Z_Z[v - ] x = ?3xy3

i 8J- Una i ruerta rectangular i ra de proyectarse al lado r lL/ solar de un vecino, y ha de tener un rea de 10l l { lmetros cuadrados. Si e l vecino paga Ia mitad decerca medianera, Cu1es deben ser 1as dinensioncld9 1" i ruerta para que el . cos to de cercar la sea pr l r le l dueo de la huerta el mnimo?

xZyr

^ 3PAop2x'

aQ + 2p

C = 500 * 15x *t

ncia I tGt ' :

23A+.x=_T_

SOLUCION:De la f igura:

^

fabr icante de radios aver igua que puede ver:dei -x

t t rumentos pol ' senana a p pesos cada unorslenco5x:75:3p. E1 csto de la producci6n es (500 + 15x +5xZ)^ pesos. Demostrar que se obt iene la , r xirna 9".

:r

A = xy , . . . , . . . ; . . . . ( l )L lamando t tpt ' e l costo por unclad de longi tudl ent6r

(1)

2G = px - 500 - 15x -+Venta total = pxAdens conocemos por dato que:

5x=375-3p + O=375_-5x

(2) (Z) en (1):

G -

5x,1co - xr220 - 500 - 15x l . * t

5

Derivando:(3)3Sust i tuyendo (3)n _ rJ/5 - 5X.u - (---J x^

375x - SxZ(J = ---_:-

Derivando:

en (2):?

- s00 - 15x -+5/

x-)uu-)x-5

*9 = sd-Q-9--:-a2dx 2a 1cx .L!s--:- x1

Igualando a cero: : :

= O

s(!-q%#tz - j t too - x) - rsI

*: (10000

5x2 - 43zx +

200x+x') -50x

880C - 0

=f

l -5') -.

- l=u

')-

-X

Y?t--#* =

]f5-"1!- - 1 s +; igualando a cero (*Q -

Estarnos alrededor de los 30 instrumentoI

10.- Si .en ed problema anter ior se srpone queentre x, / p es:

.

' , x . 100 - Z0 Ev5

denostrar que 1a produccin que corresponde a uranancia mxima es la de unos iS isntrunlntos por ina.

SOLUCION: Del problema 9 tenenos:G = px

- S00 - lSx - l ls *2. , . . , (1)

Por dato:

x-roo -zof i -

- - -S ; desPejando p. f (x)

I+ . 325Y=- 28

432 t I 4sz" - 4(3) (8800)

por s el [H

la relac

X= 6x. = 1 19.4x- = 24.6

Para nuestro caso x = 24.6 estarros,rnuy cerca a :x = 25 que corresponde a la galancia nxina.

i ; = z4:-Es t"rt^"""""1 lq. q.d.

t en et prcblema 9 se supone que 1a relacin entrey p es:

*7 = 2500 - 2A p,Cunto instrumentos deben producirse cada semana paI obtener la mxina ganancia?

LUCION: Del dato:,,

x

2500 - xzp= z0

= 2500 - 20p

t ( i5Sust i . tuyendo en:G = px

- S00 -

lSx.,

l ; = ,2500--- x '1*.-v\20

Derivando:

[deducido

1s*:#- ' l * t500

( -2x) - s -r

-300-Bx

bx-c

t l tuyendo (4) en (3) , tenemos:

G s (g - dxz)* - ^*2

- bx - c

scBx-o*3 -^*2 -bx-c

lvando resPecto a x:

= g - 3cr*2 - 2 ax - b ; igualando a'cero

,soxl-Zax -b=o * 3ox2r Zax+(b

olv iendo apl icando 1a fdrnula general :

e1 r t

dG-2500 -*2

?i------ l |0--* x20

3*2

Rl = v

99=oox

2500 -

20-2a t

3x2+8x-2200=0

Entonces 1o que se debex :26 inst . /sem.

x ]ZOEl 'costo total de produc("- I - * bx + c) pesos, ycaa uno puede venderseDenostrar que 1a prouccmx ima es :

SOLUCION:

Sabemos: C = "*2

*

Venta total : V -

px

La ganancia t rGtr : G =De (1) y (2):

G=pI-Por dato:

P = g - 'o*2

6q

onsiderando solanente e1 signo posi t ivol lotqt"rucc:.On no puede ser negat ivo; entonces:

-

-za+y'4a" '12ub+12a8

[*, = 25.76{ 'L*Z = -28.43

producir s emanalrnente

ins t . /senana.

i r x art fculos por sente1 precio (p"pesos) ales P = 8- ax 'in total para 1a gana

una

et l

6a

12.- ; t ta

l ( '1

'3+

Iq.q.d.3c

Bn e1 problerna 9, supdngas-e,3: : "1 gobierno i - r rponBa

un impuesto de t pesos por " t" tu"eto'

El fabrcat 'i l ; ; i ; ; ; "r* i*p, tsto a sus sastos de costo v dr: tet ' lna 1a produccin total y e precio en 1as nuevasElrcunstancias.f ) Demostrar que el precio aumenta un poco nenos

q'ue

b) l ioT:::* : l i lEl:: :3'debidos al impuesro en furcin de t , y a" i " rminar p"tu-q3 l" i i -"t i r r .ueL

' to 1a ganncia es mxima. L. . taa ar imnrresur d.Z

', tniliij gx" di:":i ;:":i:"::"li*31.i'n"iil;u"'-de un 33 Por ciento '

4az - a(3q) (b - B)

. . . (4)

SOLUCION:

a).- El costof ,=500

aderns :

de producci6n en+ 15x + J*2* t*5"

t -

0145 tlI r

. ' t p

Denostrar que e1 nxinosigue cuando t = 1/Z (pprecio de venta sobre'elel impuesto.

SOLUCION:

retorno del impuesto sc- b) y que el aumentocosto es s iempre menor

(s) y (6):P1-Po=t=

ut i t idad en funcin de

( { lr ler i l

(u) ser:

l ( i f I

B-b

t_2a+e

esta di ferencia

Por el enunciado delC=rxZtbx+c+tx

La dernanda viene dada

to ta1 s t : l ' i

marg inal

2(a + cr) 2(a

ivando respecto a

problena,

por:

eI cos to

. . . . . [ l )

rux

P=B-qxEl ingreso

De (2):

total t t I " ser:

r=px"

J , [o-b

4 (a+c) '8-b-2t+(a + o)z

(?\

+cf

..] -

f = (S - ox)x

Derivando (r) y ( j ) ;tngreso marginal .

= Bx - o*2 . . . (J)obtenenos el costo

)alau-=ax+bftdx, Ts

- o.xdxIgualando (a) yZax+b+t=g

__B-t-b^-- 2(a+u)

. . , . r . . . . . . (a)

El precio uni tar io es:

Pt = B icLoi ; - l ) . . . . . . . (s)Sin tomar en cuenta el i rnpuesto ( t

-

0)

' . ,

o g - *(8, i rb) . . . . . . . . . . . (6)) 4 - a+b t ! . . . . . . .

,a di ferencia entre Los precios uni tar ios

iendo :

t t rSt = [J + B-b-2t= 0 +t=+a)

r-de pr inera c las e , s iendo .

segunda clase.

ION:

dG

af =QB -b +E =

, i p latr ta productora de acero puede producir ?9t 1 ix im de al" to de- segunda c1ase, Y Em, por i i ia, de

'

49 - s* s i e l precio corr ientc

lT l l i 'or dato

y'

dG n-_= - I_ -

dxz

crb-- ._= udu

se conoce

4U-5xI a s iguiente relacin :

. r . i . i . . r (2)i0

- x

Sust i tuyendo (2) en (1):

. - DX .10 * (w( ; =++ p (+-_- l , der ivando respecto a x2 l0-x

costo de fabr icar c ier to art cu1o es i ) pesos, yr t lnero cue pueden venderse vara inversatne i te

n Ia cnSitna potencra del precio de venia.Caicue1 preci-o de venta que dar la nayor ganancia

quida.

UCION:

:p=costouni tar io

x = nrnero de art culos

to ta l "Ctt es :c=px I

de1 problena se deduce 1a sigtr iente reia

* = \ i donde y es e1 precio de vgntav

Snlemos

go, Ia ganancia "Grt es :. xI px = x(y - p). + (y - p) , der ivando respecto a y, tenenos

v-'

0.01a r l0 = 0

0 .02a = 25l - - - - - - -I r

. l - --- ----- ' -_T

la = 125n ahonar i r rs lL:----:-: " " *""'-^:..:J

* Q + kyt - nkn- l (y-p) = O

5p(10 - x l + p(40 - l t rL(10 i2 ( to - x)2

')+ ( I0-x)"-10(10-x)+(a0-sx) (2) = 0

(10 -

*)2 - 20 = ox = 10 - ?/s tn/da

* = 5,5 tm/da

0.01a

.p) + ' y,=ny-np=

DP pesosln- l

cos to

r dato

16.- Una conrpaa-de te1fonos hal la que obt iene unr Enancia 1quida de 15 pesos por aparato s i la ccrr tt iene 1000 abonados o menos. Si hay ms

17? ts.- Hal lar e1. ta ' de. un

trucc i6na) s i e lb) s i e1SOLUCION:

a).- De laA=nx

v = rx2h=l ("to)de donde: h= +. . . . (z)I fx 'Sust i tuyendo (2)

- f tdimetro = zx = 2, V+ dn,

dimetro = z. { } ,n.'J , tea lateral de un ci l indro c i rcuiar rec 'Lo es 4ret i i cu, i raos , I le l c i l in I ro se corta un heni"s f eio cuyo dinetro es igual a1 dinetro de1 ci l - indro.ai . " i ! r las dimensi .ons del c i l indro para que ef .voCalcular las dimens j .ones

-del c l r lndro para que e1 . vu*n que queda sea un rnxirno o un nnimo. Detern -nar s i es mximo o mnimo.

fIl

'!.

IlL

A=nx2

dA^2, i l= t r ix . - j t

x

Znx-2 =O?

x

?rx3-2=o

El dimetro dimetro =

b).- A = zr ,xzDe (2):

?A - Znx'

** = nn*

4nx3- z

.u\en ( l ) :

+A=Tx

igualando a cero ,dAt?r * 0)Znx"

- 2

=Q

CiON:

rnando como referenciae lateral :

A=2tx

olumenttVtt :

Ia f igura anter ior .

h = 4n (dato)2Z

+--x

'7 '' ^x (1)

, (Volu"nen es f era " ' t

At "; iIT

.2x

3r-x = { '1. /n= radio del c i l int l

o n*2 Cj ' t n*t

-

** t

'# ' t t t -ztx?' 2t ' Z.rxz

. i xn

Reenrpl azando e1I

f i r

lL artLos

1a

; der ivando resPecto x.

; igualando a cero

=Q-+x2=1

lm (radio)valor de x en (1 ) :2m (altur) rnx{mo

7?xf l

(1) :

{=?rx

5- t- tlxJ

.+

2 ( t ,z.

+ Znxh

oZx

igualando a qero.

w?2J

x- el rea del mayor r 'ectngulo o.n l .as Co.s Far l -a los eies coordenadps, 9u puede lnscr lDlrsei i [ura i in i t rde por l ta i dos parbol .s.12-*2y 6y-x2-4 12.

dinetro de un bote c i l fndr ico de hoJl" i t ro de capacidad, para que en su co

entre la menor cant idad de hojalata,bote es abierto por arr lba;bote est tapado.

f igura: ,2

* znxh.. . . . . ( t )

lTX

Derivando respecto a r fxrr .

adio )3 laay'-r- dm

1

zrx t 4l = ztx2 *nx-

)r.

xzsl l

11x"

- :Ltn x= y=

SOLUCION:

Para una rme j oT , y isual iza. i .n ,de1 problerna,las curvas as .El rectngu1o ABCD tendr rea mxina sl .

es: A -

AB.B'C, de (1) y (4)

AB = 2x (1)BC=y1 *yz Q)Clcul :o de t ty l

" y

"y2." en funcin de rrxt t , solo bas-tar con reemplazar en 1a ecuaci6n de las curvas.

\ , = 12 - xZ It1 - - 3- |(x}- tz) i ' (3)v z =-_l- )Sust i tuyendo (3) en (Z):5F-12-xz *2-12o' = T- . . . . . . . (4)

El rea del rectnguloobtenemos:

t=2x(4 - \xZ = xZ + 1Z)=x(1 z-r .Z)A 7+= (4 : x)3 ; igualando a cero (#=ol;

4 - *2 -

g + i , x = ! Zi : ' . l . j , " I . . . , , . ;1, : i . , ._: , r . . t . . , i . , Li , : : : . . , , , . . , , . . . , . i

ReernpLaz{ndo' vIor. ,s,t t " ' n' ( l ; y . (4), *se,: , , t , iete .. i , i " : , , , . , , . , ' ' . , , . r '

Area del rectngulo r tArt :C

A = B.fD = (10 - iV) y = ' lOY

derivando respecto a Y:

t razaln()gTB=.4

B-C=.4.

r lea: A = l6

! : . | . .s vert lces oe

rea=F,Ee

A - l

un rec' tngulo estnclos vrt ices estnson:y = 2x Y 3x"+

de ser mxima el

1a f igura:

sob:e el- e je c. lcsobre 1as rectas

y'= 30.rea del rectn-

Ias x. Los otros

gulo?$OLUCION: De

, = ? y

x+y=30

; 30 -YAb = ----f J_2

=y

c, '),o/

dAoy

10

5= 10 -*V , igualando a ceroJ'

5^-- ly. = u x=6

Una base de., unn clrculo ile,e estn sobr.elud' e la o,t ia

traDecio issceles es un. dinetro dtradib a. y 1os extrenos de 1a gtra be- ia-

c i ic i nferencia. Ha11ar 1a Iongi 'baso para que el rea sea nxina.

t1( i177

SOLUCION:-

De la f igura:

AIf-Za*Zz+x

Area del t rapecio{+(El f f i l -nn

, z J .vt

A* (L1I1?z)y* (x+z) y. . . . . . . ( t )Apl icando la s igui .nte propiedad ento ABD:

,y- * (x * z)z , . poniendo en

yz * (x + &-=-l) (?ej-_[)y

-+ f4e"-VSust i ruyendo (Z) en ( t ) :

. ,

I = ?,q i-+ , {;V-:7 ; derivando

ON:

f igura nostrada: '

7[B , 1T.'

2x (a - x") . ' . , . (1)lvando resPecto a x:

. Za -

6xZ i igualandoa cero:

2=0 * *=tFnsiderando solamente els i t ivo)

.* =

plazando (Z) en (1):z$o - f l =Erf ; trminarenos a cont inuacin el rea de1 segl:ento

; igualando a

e1 tr ingulo

funcin de x:

(2)

respecto a

cero

(2)

(3)

ds.dx

abl ico I eA1 =f ti 'n'i) (ov)"

4a J; . . . (4)- t Qfa) (a) = t {a' -.id iendo (3) entre {4):

ut=,*-dA =0-dx(x +2a) (x

qu? -

24x -

Zxzzu?-^*-x2.0

x*-2a

4 4aZ*a) + Q xsa y

x2 resistencia de una viga rectangular es proporclox ' ; i^ ; ; ; ; i l io-"- ncl por el .uadrado de,su es-;" ; : b; icutar 1as dinensiones de la v isa rs ie-gtente que puede cortarse de un tTonco cr la sr :cn transversar;r- ; ; ; - ; i ipse de semiejes a {r ta ' , 'c t ' .

->

Entonces la base menor nide: F . a l

23.- Un.rectngul9 eqt inscr i to en un segmento de,bola y un lado del rectnguro est en la basesegr le.nto. Denostrar que l ' raz Jei"ei la 'aertngulo mxino ar ra-i i , "gr"nto es! Ll 3

b (rnenor) '

CION:p ardol16c r condic in de1 Problena:

' k yzx

. Sabemos nornResi stencia dc nater ia les"

i "E,o)

distr ibucide la

fuer za r+

E al tura =

t i tuyendo.2

= 1!U [m"m

h(b)

-X

? ? ?. hz l7! i

= Zy * ht=4yt - , y"=' t ' . . . . . t . . . . . (b)en (a):

") . . . . (s)r{y

o =l- ;

Adems:

w'

donde: Ivt =,y =

donde: wfr

momento f lectordistancia de la capa exter la l centro de gravead.

, r =# (rectngule

)bh-

=_

6.. . i . . .1. .

empl.azando (4) Y (5) en (3):zx 4nz (^2 - *2)

f -

- sx?) igualando a cero

fT.+ x = n, / t (henros consic ierado

posi t ivo)enplazando el valor de x hal ladc en (a) :

Iln,

/ -L luepo 1as dinensiones del rectnguioV3(4) y (5) respecr ivamente := base rrbtr = ,"G

-

al tura t rhr t = ,"G

ivando :

-

4nz -r^?

-

----- LruJM

-3x2=o

MU

h=-

2Entonces:.T

W==

v

Por dato: w

Igualando (1 )a

bh- . . .2

--

= KDn')

. . , _ bh-ta

-- 6

k = l /6 en (Z)

v

., bh3' -E

s eran :

2r.-=h

E

v

h

kbh 2

(2) :

(1)

(2)

l : i : 'u"'uo que22

\ + \ = lmn

^7yt- n l ( ,n2-*2) , . . .

la f igura, en el rectngulo:o base

-

b = 2x . . . ; . : . . . . , (4)

Ia ecuacidn de una

De

AD

eda cortarse de una troza cLindr ica de radio a '

I enunciado:= kxys . . . , . . (1)

, . . . , . . . . (3)

el ipse viene daanchra = ,o rE I

i6n de la c i rcunferencia)

*2 '*

x=!

Y2 = 4^2

L4"- -V (soroen(

rG].rsst

^ = +

r842x o y

-

t \E rq.q,d. 4b-, ^2

t z*2" o Qa frf=

It . ,

- ) rBI

2x2=gI f{.;

tHi

Hal1ar las dinensiones del mayorda inscr ib i rse en r i r ipse' . ' - ' -'7 ' )

x- +

y: = l .

az bzSOLUCION:

De la f igura, e l rea d,eldel rec tngulo es :A = AB.BC=(2x) (2y)

*-*8, reemplazando en Q)

t '+/TFinalnente tendremos: = 2x = a,E

EZ= 7y=bE

':: : ut:" l?,ol ", lt"::i*:i ": : i i " ;-a" ngtt"s i cuya ecua-^3v=+.a

II

II

Yt29.

A=4xy . , . (1)

De la ecuacidn de lael ipse:

= | + despeja-mos y:

| ', ; 't-Va' - *o

Sust i tuyendo (Z) en

A = 4x +[77

rectngulo que

(z)

- x-

, der ivando:

, igualando a cero:

CION:

e la f igura mostrada:

=2x

=y

7 'at ea del rectngulo

#tt \,

BCD es:=6.

x"+Ja

a

11)(r ) :

=4b*a

-

Zxy

la ecuaci6n dada tenenos:

^3ay = -"'-,-

xz + 4^2

st i tuYendo (2) en (1 ) :

(z)

dA 4b??' ; " 4bx2FP

4az - *2Reernpl azando

xZ = 4a2 -+

de x en (2):

reSpc(=l f ]

x=t?: t

dAdx

' t .

_

I6a'74a' - xt)

aj , igualandoacero(x- + 4a') '

{ = zx ( t " ' ) , der ivandox2* 4^2 x:

TB=r

ecuacl6n en el punto

))( r / ' \u (h/?\"\^r r + \ '_: : !_:_2_

2.2mn

nr

u=n

rhaf ' -

- - i : l ac." tz 'z '

-1

=Q+

el valor

S13

4az * 4a2

Sust i tuyendo los yoloresA - Z(Za)a

i"=a

de x y en (1):

fh)

onodando a nuestras var iables usadas,as e l reala el ipse es:

r rmn (dato: A = rab). . . . (1)

;der ivando con resPecto a n:

13,

rea de la menor el ipse quca un rectngulo al rea del r

una el ipse es nab, s iendo a y

IJe la f igura mos trada:

2. l Inr

r-7^ / ) nzvn'- 4

31 " .

i la l lar La razn de1de circunscr ib i rsetngulo. El rea delos sernie j es.SOLUCION:- ^=

Jnr

Para:

nrh2

.,

2h"-^ )

T

=Q n=O

1f?

TIl -IL

igualando a cero

h,fTn=-"2

, m =t.5

Sust i tuyendo | tmf ' y t rnr t er=t . /:-A- r*i rY,

- +

en (b) :

(1) :

h,fTn =--Z-

*.t

'nz -hz / 4

*2 yz;#.Fr=1

al. . . . ' . . . . r . (a)

l [ - ra lL l l

=--rh2

ATq=z52.- l ,os dos vrt ices infer iores de un trapecio is6sc

les son los puntos cuyas coordenadas t-6r0) y (Los dos vrt ices s 'upel iores estn en ia curva:7

*- 1 y = 36. Ha1lar el rea del mayor t rapeciopuede trazarse de esta manera.

El rea rectngulo ser:

Al = rh . i . ' r . . . . . . . . . . . ' r . r . r ' (3)

Dividiendo (2) entre (3):

-SOLUCION: Del gff ico deducinos:

d=(x+6)

Resolv iendo se'obt iene :

-

' ) rv-L. ' l

tz= '6

en (2):36__3_ = gY=-r+

Luego eL rea del t raPecio es:[ = (2 + 6)8A=64

s radios de dos esferas son a Y btre los centros es c. iDesde qu

ecta de los cenf,rosAB es vis ib le

el radio de la esfera).: Del gff ico deducimos:

z5o ; x 1 der ivando:\ 4 )

' - - '

- 3x + 9 , igualando a cero:

+9+0

')dA =

-

3X-,dx4

-2- !+ - 3x4

AE

e superf ic ie esfr ica? -

(Ef- rea deca o tasquete esfr lco_{e al tura h

a-h, ; = aI

A OHM -4, A OMP:

(1ado negat ivo)

F

v 1a cl is i ncr.pnto P en_ ia

Ia I I IayOt aTeauna ,zona esir i

es 2 rrh, s ienCd

ff i = 2x ii =.yEl rea del t rapecio:

[ = r24l y. , ; . . . . , (1),2De 1a curva dada:

?x-+4y=36

y".Sust i tuyendo (2)

AB = 12

3o - x2

- - r .en (1):

=f ; Of="Jo = xrf

B(-6,0) A (6, o)

(2) x *xr='.

190'En la f igura mostrada se cumPle:

W-= Sil* t -J=f! -I

r^ - ^*-^2" - --F--

El A O1NP , ^

NHIOI

o-1T- qp b

xa

ol Ht olN

El rea totales:

A = 2na2

b -hz

de fos

(1 -+)^ 3 ^.3Ta

-Jn4n.,-7 - G-tZi igualando a cero:

x1 bx. , -b2=

- -> n2 "- . . . ( t^ l

casquetes esfr icos v isto do

+ zb2 ( t - - - ! - )

' c-x '

* = .^t - r^t / ' .bt / '

. , ,gs3.3a -o

* - .^3*.^3/z b3/2.

. , . (q3.3

a -D

encuentra que el rea o

,^3/2^3/Z_b3/Z)

7a3 / 2 *63 / 2) G3 / 2 -b3 / 2 )

nayor paraleleppedo reque puede cortarse de u

r.

t=rr ,

)7?' * y" = ar . . . (1)1 vo1men de1 paraleleplpedo es:

= X y Z . , , . r . r . . . r . r . . . . . . . (a)

mas : T o, l . . . . . . (2)

(b)

como Ia base cuadrada: x=2.

z2 +T - V.+ x = ---^

t tyt t es :

rxrtrv

dA--=ox

(1 ) en (z) :

) en (a):

z=xy

ego e1

dVoy

=4r2-*2-yz

r.t

d-

(3)

tlSE

v=xy

; aderns: x2+y2*a2" 452

vo1nen en funci .n de^3

Lty - J-z

Con e1 valor de f 'xrrnxinra; luego:

^^3/Z (-3/2 13/2\* _ v4 \ -u l- - =

J 'Ja -D

^2T igualando a cero5-Y

:

ca3/2

a3/2+b3/2

34. - Ha11ar las dimensiones de1tangular con base cuadradana esfera sdl ida de radio

III

I

{L2r lT

Yt =---'3

^ ,Ei

-T {5Yc

^2s 2^T -zY =u . 2r /T* y =3 --J-

tfrz l \ uv1_- = JO1Ioy

3rZ+

; igualando a cero

y=x4iT' ,

: r . fJ

I V = q lJt .

I $ i td'vdy-

t rnEonces pata y1 Ia segunda der j .vada es negat ivoesto nos indica que el yolnen es mximo : ,V_ ^Finatnente: ' ' ; l

t '

, T {5y=n-- .3

Dada una esfera de 6 cn. de radio, calcular la al tra de cada uno de los sl idos s igientes:a) c i l indro c i rcular recto inscr i to de volmen nx

-3y

Entonces

mo;

El volnen de

V=nx

De (1):

segunda der ivada

, r . . , . (1)

Ia 3n2--; v

bl c i l indro c i rcular recto inscr i to de superf ic ieto ta l mx ima;

c) cono recto c i rcunscr i to de volnen nfnino.S0LUCI0N: a) de Ia f igura:

- La superf ic ie total

S-=}t tx-+Z"; txy(3) ,

,

v 'S- = 2n(3 - a-) +t

^ lT . . r ? 'D+ =-5-(r .++ - y ' ) +

LA

"r'c[o -7''fry (

36

ds.-=dy

es:

rY*zi ty

/1 44 -y '

2ny2 = 6

, igual ando

Por Pi tgoras: -T2 = *2 * ( r ) '^2

.

3 = X * Ytl+

- ry l++-- / + 144nsy4

-7zoy2+1442=osolv iendo 1a ecuaci6n obteneinos:

Y = 6 '51

.- Volmen de1 cono V:un.,

c i l indro v iene dado por:

-

36 ' { . r . r . r r r . Ca)x

(2):'!,f r rr) (16 {,

144-y

(3) en

Los tr ingulos ACHB

m-o?

despejando x:.*2= h2 t2

semejantes :

; igualando a cero:

h=4r

canr taa de forrna c6nilnenor cant idad de loel radio de 1a base.

ext iende la lona en ucircular de 207"SV.para una t ienda de 3

referencia la f igura ante

. . . ' (z)

S=nx z-TnX

**2

Lc6=

y ACTO son

/h' + x '=

n-rdS.-.._=

oxxr

' rA)) -Luu -

o\ /"!J!---L---z) / ) 1A

x' /9Y'+r- 'x"igualando a cero.

hz -zrhSust i tuyendo ( I I ) en ( I ) :

v=Jn t 'htJ . h2-zrrr

= * nn' Lft..,,i

h-4r=0

36.- Denostrar que una. t ienda de.

'de capacidad dada,exigir la- cuando la al tura es /Tveces

Denostrar tanbin que si sep1ano, se obt iene urr sectorCunta lona se necesi tar a

znzx6-9V2=o

de ( l ) :

* ' = # elevando al cubo

Igualando (3) Y (a):orr 2 , rr ,3:z

= -* '+ h3 = !"Y-

lt rr n:

hr =i- f } x ' t r ) - ' h = x/-T1T -)

h

La generatr z

6 gvz+x---

znz(3)

dVA'.

de al to?.S0LUCION: Tonando como

rior "

^ ZrxU E --:-g

2nx Zrx

= xlT lq. q. d . (x = radio)"g" es igual :

R-;7 (Por Pitsoras)

1 one i tud=.__+_

generatr ]" z

Ztrx 2t 1.==-=-

1' tV =fnx'h oroi . . . . . ( t )

Cant idad de lona:

(360 " )x{5 lT,tT

s -

nx 6-t77 Q e 207"51

| r +lfxII

en {2):I

Para

S=x

h 3x --lT

; reenplazando valores:

1

'2x2*x

de (1) : = 5m.

1 o 112s - *(" , * 9)"

/a-IL

37 ,- ??do'un.punto c le l e j , - de la parbol a y2 = Zpxdistancia g del vrt ice, cal tu lar la bscispunto de la curvamscercano al punto dado.

FQ=

) -(4 - x) '+ ( t - l t

'L

- (4 - x) - f t - *)-

De el1a:

de: y ' = 1px(z) en ( l ) :

PQ=dp0

dx ; igualando a cero:t* - r ) 2* zp*x+P-a=

38. - Hal lar e l punto d.e la curva Z y = x2 ms cercanopunto (4,1 )

TrQ =. . . .

(1). . , . (2)

crx f f i iVg - x) '+ ( l - +) '

JX

-4*x-x+-* =0 .) x-=gzreenplazando en (Z):

4y =t - | y = 2. ' . .a(x,y) = Q(2,2)

igualando a cero:

l -+ X = 2

SOLUCION:

FQ' 'De la ecuaci6n

2y=(tz) en ( t ) :

Calculando 1a distancia

de la curva:

Si PQ es el segmento dee trazar de P (arb) a

corto, demostrar que PQgente a 1a curva en Q.

La distancia PQ es:

;como:y=f(x)

recta ns l argola curva y=f(x) ,

es perpendicular

que se Dueo el ns

a la tan-

PQ:( l )

Y '+ . , . . . . . . . (2) Tq=m; derivando(x - a) + ( f lx)-b) f ' lx)

2Y=*

(x,y)

Q (x , l ' . )

p(a,o)

i * -") 2+zpx

*? dFD---cLx

Igualando a cero, tendrenos:(x

- a) * f f (x) -b]r , (x) = 0

f , (x) =f f t l )perpendiculareses

- ' l ; luego:Recordando que si dos rectas sontonces su producto de pendientes

# f ' (x) =- lde (1 ) y recordando que f [x) = y

l (* l -b a-xx - a '-Txl:b

- ' l =-1

Lo cual nos dice que FQ es perpendicular a la tan.gente a la curva en Q40. - una f6rnura para er j rendirniento de un tornir lo es:

p=hl l -htgo)h+tg0

el- ngulo de rczamignlo y h el pasoHal lar h para rendimientolnxi ino.

Sabernos que:

f ,e h( l -htage)h+tago

Deriyando:g

= (h +

-ragg-) ( l ; zirtagol:(tr - trzta.es)(h + tags) 2

$$- taes - h2taro - t t . r*zt(ln(h * tage)Z

tase tl - h2 - 2h tage]t . s

h2*2htagg-1=Q

'a= '2tae0!/ ! t

focos calor f iccs A Yas son a Y b, es i ' I 'aun punto P. enirc A Y

Considerando solamen?

h=-tgO* tg-O+l

, ' . | = sec0 - tago

La distancia entre 'dos' lntens idades resPect ivdad total de calor enpor frmula.

= - ' l

Derivando

dI-

=

dx

gualando a

2b

LX

s iendo 0torni l lo.

SOLUCION:

del

ab

f---r-=

- tag0t / tag- ' } + ' l

te e1 pos i t ivo:

= sec0 - tge

B cuyasintens i

B, se d

qu posi-

.L b oo---|-.--i

(e- -x)z ':---:--J- - - - -" Isiendo x t i d istancia entre P y A, LPara

l ; i; tndr P la temperatura rns baja?

ISOLUCION: La intensidaci I Ce1 calor est daCa por:

-abI =- ; , , ,

x" (L-x) 'con resPecto a x:

a o-+

x3 ( f -x) r

cero, 1a der ivada:

-2^=o(r-x) 3 *5

f f i i '=t ^r /?x = ptT

.qrs, igualando a cero

20( l 42.- La base infer ior de un trapecio issceles esmayor de una el ipse; Ios extrerrycs de la baseson puntos de la el ipse. Demos' t rar que en elc io de este t ipo de i rea mxima 1a iongi tudse super ior es la mitad de la infer ior ,

e l esup0 r

de la

= -2a

la

L

SOLUCION: De 1a f igura que a cont inuacin se nuutra se hal la la ecuacin:

22XY

I

^z bz

b /T-- --T- ; "4

_ X

E1 rea del t rapecio

{ = Gz}AvDerivando,$*

- *

za-

x=

B C

A 7x X v \a r l

b

es:

A_

J, igualandoaceroa-x

=+F-3f igura:

=2x=b + y=

rea del t r ingul-o ABC es :1_

= j.AB CH(I I ) :

= *(b **

( r )De

4t l r . ,

(az

x

** l*

*1 =+*z=-9

De la f igura:BC=2x-2(7=a

BC=a

LB = 2a 1.q.q.d.

En la el ipse b2*2* ^2y2= ^2b2

," ha de inscr ib i r untr ingulo- isdsceles cyo vrt ice sea el punto (0, t ) )Hal lar Ia ecuacin de la base correspondiente al

der ivando respecto a rrr ' t t

bx2

elevando al cuadrado y resolv iendo:

b.T

= Q (cuaci6n de la base FB')aQaltura del t r ingulo issceles

ax-2x=0

ra-a t /9a-

i

=b*ba

zxZ

^2;t?a = zxZ

en ( I I ) :t r ingulo de rea m i naSOLUCION: / 7 2

La ecuacin de la el ipse: x| *J] ' t. , . , . , . ) . , , a. b-

boxo+aoyo=aub"; despej 'ando t tyr t queda asf :

-=7{a -a

r - ! - ) 2y

lar ta a^tzJ y

+b+b

1a

de rea nnima circunscr i to a la el inse bZ*2*uZu-^Zt1ycuya base es paralela al e je de las xSOLIjCION: Hal lando la ecuacin de 1a tangente a

--el ipse en un punto genr ico p(xl ,y l )

YA

(x, y)

=Y+b

= D

* b . . . . . (3)Y1

(2) para Y - -b