calculul operational(transf.l+f)

8/18/2019 Calculul operational(Transf.L+F)

1/24

Matematici speciale şi metode numerice

apitolul 5

CALCULUL OPERAŢIONAL

(Transformatele Laplace şi Fourier)

Motto: Când ai mijloacele la îndemână

ceea ce pare complex devine simplu

şi ceea ce-i simplu poate deveni complex

1. Transformata Laplace

Fie R R :)x(f →+ astfel încât are sens integrala improprie cu parametru

dxe)x(f ) p(F0

px∫ +∞ −⋅= (1)Definiţie. Dacă are sens egalitatea (1), F se numeştetransformata

Laplace a lui f şi se notea ă şi ))x(f (L !

Func"iile f pentru care există transformata #aplace se numescfuncţiioriginal (sau simplu, original), iar transformata #aplace F se mai numeştefuncţia imagine (sau scurt imagine)!

Definiţie. Func"ia f(x): R R $ →⊂ (sau %), $ inter&al mărginit sau

nemărginit, estederivabilă pe porţiuni dacă pentru orice inter&al compact

$ ',a ⊂ există o di&i iune , 'x,!!!,x,x,xad n10 === cu, 'xx!!!xx!!!xxxa n1n 1 10 =


2/24


astfel încât f(t) să fie deri&a'ilă pe fiecare inter&al 1 x,x − şi să existe

limitele lateralen,1 ),0x(f ),0x(f ),0x(f ),0x(f 1 =−′+′−+− !

Definiţie. *e numeşte original o func"ie f(x), reală sau complexă,definită pe mul"imea numerelor reale şi care satisface următoarele condi"ii:

1! f(x) + 0 dacă x ),! f(x) este deri&a'ilă pe por"iuni,

-! există numerele . / 0, 0s 0 ≥ astfel încâtx0se.)x(f ⋅≤ ( )

umărul 0s se numeşteindicele de creştere al funcţiei f(x)!

.ul"imea func"iilor original se notea ă cu .O

roprietă"ile transformatei #aplace:

1! 2ste liniară3 pentru constantele14 şi 4 şi originalele )x(f 1 şi

)x(f are loc egalitatea

))!x(f (4 ))x(f (4 )x(f 4 )x(f 4 1111 +=+ LL

! entru orice a/0 şi f(x) original are loc egalitatea

=a

pF

a

1))ax(f (L (-)

în careF(p) este imaginea funcţiei f(x) !Dacă a / 0 şi f(x) original atunci

))x(f (e))ax(f ( ap LL −=− (5)

-! Dacă f(x) este original şiα o constantă atunci) p(F))x(f e( ax α−=L (6)


3/24


5!Teorema de derivare a originalului. Dacă func"ia original f(x) estede 7n8 ori deri&a'ilă, cu deri&atele

continue atunci( )( )( )

( ) ( ) )0(f )0( pf !!!

!!!)0(f p)0(f p) p(F pxf 1nn

n1nnn

+−+−−+′⋅−+⋅−⋅=

−−

−−L(9)

6!Teorema derivării imaginii. Dacă )x(f x),!!!,x(f x),x(xf n

sunt func"ii original atunci deri&ând

egalitateadxe)x(f ) p(F

0 px∫ ∞ −⋅=

în raport cu 7p8, o'"inem formulele( )( ) ∫ +∞ − =−= 0 pxnn 0,1, ,!!!n,dxe)x(f )x( pF ( )

9!Teorema integrării originalului. Dacă f este original atunci

) p(F p1dt)t(f x

0 ⋅= ∫ L (;)

!Teoremele de integrare a imaginii. Dacăx

)x(f este original atunci

∫ ∞

=

p x)x(f

dg)g(F L (α şi p /0 atunci

( ) ( )1 p

1=x +α

α +α=L (10)

$n particular, pentru 0=α o'"inem 1!(1)= 3 p1

)x( ==L

entru 4 ∈=α o'"inem

-


4/24


( )14 14

4

p

>4

p

)14 (=x ++ =

+=L (11)

! ?tili ând teoreme integrării imaginii re ultă

dxex

)x(f x

)x(f dg)g(F px

p0

⋅⋅=

= −

∞∞

∫ ∫ L (1 )

şi pentru p + 0 o'"inem

∫ ∫ ∞∞

= 00 dg)g(Fdxx)x(f

(1-)

( ) dxe)x(f x1dg)g(F px0 p

n1n)1n( −∞ ∞

++⋅⋅−=∫ ∫ (15)

care pentru p + 0 de&ine

( ) dx)x(f x1dg)g(F0 p

n1n)1n(⋅−=∫ ∫

∞ ∞++ (16)

entru n + 0, egalitatea (16) de&ine

0)@(Fd@)@(Fdx)x(f

00

∞−=′−= ∫ ∫

∞∞

(19)

!plicaţii.

1! *ă se arate că

duu

usin

0

π=∫ ∞

Rezolvare . Fie func"ia

duu

xusin)x($0∫ ∞

=

5


5/24


căreia săAi calculăm transformata #aplace!

( ) ( )

( )

! p0 p

uarctan

p

1

pu5

du p

duu5 p

p p1

u

11duxucos1

u

11

duxusinu

1duu

xusin)x($

0

00

00

π=∞=+

=

=

+

−=−=

=⋅=

=

∫

∫ ∫

∫ ∫

∞

∞∞

∞∞

L

LLL

Deci

( ) p

)x($ π=L şi du

u

xusinx)x($

0∫ ∞

=π=

Brecând la limită pentru 1x → o'"inem

duu

xusin

0

π=∫ ∞

!

! $ntegra"i ecua"ia diferen"ială, liniară, cu coeficien"i constan"i şineomogenă

xsin6)x(C)x(C)x(C)x


6/24


( ) ,5 p

10 p p) p(D p p p -

+=++−+−−

din care

+

++

+−⋅++⋅= 5 p5 p p

51

p1

16

1 p1

-1

) p(D

Func"ia original corespun ătoare, solu"ie a ecua"iei, are forma

xsin5

1e

1

6e

-

1)x(C xx ++⋅= −

-! $ntegra"i ecua"ia diferen"ială, liniară, cu coeficien"i constan"i şi neomogenă

xsin

x-sin)x(C5)x(C =+′′

şi

0)0(C,1)0(C =′= Rezolvare. 2cua"ia se mai poate scrie

( )!xcosxcos1)x(C5)x(C −−=+′′

2cua"ia opera"ională are forma

+

−+

−=−+1 p

p

5 p

p1 p) p(D)5 p(

, din care

( )5 p p1

5 p

p

9

6

1 p

p

9

1) p(D

+⋅−

+⋅+

+⋅=

?tili ând teorema deri&ării imaginii se o'"ine

( )( )5 p

p5

5 pxsinx

+=

+

−=L

iar

9


7/24


!xsinx

;

1xcos

9

6xcos

9

1)x(C ++=

)! p))(x(g( '#) p))(x(F(a#dxe)x(g 'dxe)x(f

adxe)x( 'g)x(af () p))(x( 'g)x(af (#

0

px

0

px

px

0

+=+=

=+=+

∫ ∫ ∫

∞ −∞ −

−∞

1. "roprietăţile de omotetie

= a p

))ax(f (#a1

) p))(ax(f (#

0a ), p(ax

f #a1

)ap))(x(f (# >

=

(1) şi ( ) pot fi exprimate mai simplu astfel:

=a

pF

a

1)ax(f

0a ,ax

f a1

)ap(F >

=

Demonstraţie:

( ) (f (#a1

dte)t(f a1

t)ax cu(dxe)ax(f ) p()ax(f #0

ta

p

0

px ===== ∫ ∫ ∞ −∞ −

( )a1

t)ax cu(dxe)x(f )ap()x(f #0

apx ==== ∫ ∞ −

)! p(ax

f #a1

dteat

f a1 pt

0

=

= −

∞∫

#. "rima teoremă de translaţie foloseşte funcţia unitate a lui

$eaviside E(x)+0 pentru x 0 şi E(x) + 1 pentru !0x ≥


8/24


#.1. "rima teoremă de translaţie

0a ), p(Fe)ax(E)ax(f ap >=−− − (1)

ntrAade&ăr,

), p(Fedte)t(f edte)t(f edte)t(f E(t)

t)aAxcu(dxe)ax(E)ax(f ) p))(ax(E)ax(f (#

ap

0

ptap

0

ptap)at( p

0

0

px

====

===−−=−−

−∞

−−∞ −−+−∞

∞ −

∫ ∫ ∫ ∫

Dacă rela"ia (-) se foloseşte de la dreapta la stânga, tre'uie "inut cont că

originalul E(xAa)+0 pentru x a şi atunci, fără a mai utili a func"ia unitatea&em: )!ax(f ) p(Fe ap −=−

#.#. ! doua teoremă de translaţie

0a ,dxe)x(f ) p(Fe)ax(f a

0

pxap >

−=+ ∫ − ( )

ntrAade&ăr,

!dxe)x(f edxe)x(f e

dte)t(f dxe)ax(f ) p))(ax(f (#

a

0

pxap

0

pxap

a)at( p

0 px

∫ ∫ ∫ ∫

−∞ −

∞ −−∞ −

−=

= = +=+

%. Teorema de deplasare

% ), p(F)x(f e x ∈αα+=α− (-)

( ) ( ) ) p(Fdxe)x(f ) p()x(f e#0

x px α+== ∫ ∞ α+−α−Din proprietatea a doua de omotetie şi din teorema de deplasare, deci din ( ) şi(6), o'"inem:

βα+

β=βα− pF

1)x(f e x (5)

&. Teorema de derivare a originalului

;


9/24


)0)(1n( pf )0( pf !!!)0(f p) p(F p)x(f n1nn)n( +−−+−−+−= −−

(6)&ala'ilă dacă n%f ∈ şi are sens )! p))(x(f ( )n(L

Demonstraţie:

) p( pFdxe)x(f p:e)x(f dxe)x(f ) p))(x(f (#0

px0

px

0

px =+== ∫ ∫ ∞ −∞−∞ −Deci f(x)+p F(p)Af(0G) şi pentru n+1, ( ) se &erifică! entru n + a&em:

( ) =+−=′=′′ )0(f ))x(f ( p)x(f )x(f L ("inând cont de re ultatul pentru n

+ 1 o'"inem) + )!0(f )0( pf ) p(F p +−+− entru n/ iterăm acest procedeu!Hpera"ia de deri&are în spa"iul func"iilor original se transformă în opera"ia de

înmul"ire cu p în spa"iul func"iilor imagine, a'strac"ie făcânduAse de un polinomîn p!

'. Teorema derivării imaginii

n ipote a că f(x)xf(x),!!!,x),x(xf n sunt func"ii original se

poate argumenta posi'ilitatea deri&ării su' integrală în raport cu p în rela"ia dedefini"ie:

dxe)x(f ) p(F0

px∫ ∞ −=

H'"inem formulele:( ) 0,1,!!!n ), p(F)x(f )x( nn ==− ) (;)

Deci şi acestei opera"ii de deri&are îi corespunde opera"ia de înmul"ire cu 7x8!. Teorema integrării originalului


10/24


)R (%f ), p(F p1

dt)t(f 0x

0 +∈=∫ (

+=

+=

şi din teorema de deplasare: ) p(F)x(f e x α+=α− o'"inem că:

10


11/24


R! ' 0,a ,

a) ' p(

' paxcose ,

a) ' p(

aaxsine 'x 'x ∈>

+−

−=+−

=

*e poate arăta cu a utorul teoremei de con&olu"ie că

0@ p, ,)@ p(=

)@(=) p(=)@, p(J >+

⋅= (-)

%u a utorul teoremei de integrare a imaginii:

∫ ∞= p d@)@(Fx)x(f

putem calcula integrale de forma:

dxx

)x(f 0∫ ∞

cu formula:

∫ ∫ ∞∞ = 00 d@)@(Fdxx)x(f

ntrAade&ăr,

∫ ∞= p d@)@(Fx)x(f

se mai scrie

∫ ∫ ∞∞ =⋅ 00 pxA d@)@(Fdxex)x(f

Făcând p + 0 o'"inem rela"ia căutată!

a) ,1 p

1xsin

+= atunci cu d a&em:

11


12/24


0arctgp

1 p

dpdxxxsin

0 0π=∞=

+=∫ ∫ ∞∞

') pentru a / 0, ' / 0

a '

lndtt

ee0

'tat=−∫ ∞

−−

ntrAade&ăr, a&em:

!a '

ln 'a

ln0 p

p

' pa p

lndp ' p1

a p1

dttee

00

'tat

=−==∞=

++=

+−+=− ∫ ∫ ∞∞

−−

c) ntegralele lui Froullani1!

( ) 0m , ',a ,ma

arctgm '

arctgm '

arctgmtdtsineet1 'tat

0>−−=− −−

∞

∫ ! 0 ',a ,

a 'lndt

t 'tcosatcos

0>=−∫ ∞

-! 0! '0,a , 'a

arctg 'xdxsinex1 ax

0>>−=−

∞

∫ %u teorema de deplasare şi faptul că

1


13/24


1nn

p

>nx +

′ = o'"inem că:( )

1nxn

p

>nex +

α

α−=

Transformata Laplace *n calculul operaţional.

a!+etoda generală a calculului operaţional constă în următoarele:A dată o pro'lemă în spaţiul original , o transpunem în spa"iul imagine! *e fac

calculele alge'rice din spaţiul imagine ! Kplicând in&ersa transformatei #aplace,sau mai comod, utili ând ta'elul 7 f(x) + F(p) 7 o'"inem solu"ia din 7spa"iuloriginal 7! %alculul opera"ional este calculul care utili ea ă transformata#aplace!

'! "roblema auc,- pentru ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi

constanţi re/olvată operaţional.entru simplificarea expunerii, pre entăm lucrurile legate de ecua"ia

diferen"ială liniară de ordinul al doilea, a&ând coeficien"ii constan"i:

f(x) R,a,a 0,a),t(f xaxaxa 1010 ∈≠=+′+′′ Aoriginal, cu

pro'lema %aucLC: !R x ,x,x)0(x ,x)0(x 1010 ∈=′=

Soluţie: ?tili ând Bransformata #aplace, din x(t)+M(p), f(t)+F(p),

ecua"ia (original) de&ine:

( ) ( ) ) p(Fxaxa pxa) p(Ma pa pa 01100010 =++−++ numităecuaţia operaţională !

De unde o'"inem M(p) şi )!t))( p(M()t(x 1A-L=

Exemple:

b1. Fie ecua"ia : tex9x6x =+′−′′ cu 1!(0)x ,1)0(x =′−=1-


14/24


Krăta"i că t-tt ee6e1)t(x +−=

Soluţie:

1 p

1e 31 p) p(M p)0(x)0( px) p(M px t

−==−+=′−−=′′

2cua"ia opera"ională este:( )1 p

19 p) p(M9 p6 p

−++−=+−

Descompunând în frac"ii simple o'"inem:

)1 p(1

)- p( p6

) p(M −+−+−−= De unde:

!e6ee1

)t(x tt-t −+=

b#. tsinx5x5x =+′−′′ cu !(0)x ,1)0(x =′=

R: ( ) p11

p) p(M5 p5 p+

+−=+−

)1 p(6

p5

)1 p(6

-

) p(6

1) p(6

1) p(M

++

++

−+

−=

tcos6

5tsin6

-te61e

61)t(x tt +++=

b%. 0!(0)x A , x(0),txxx =′==+′−′′

0 ( ) ( ) 11 p5

11 p

1 p6

p

1 p1

) p(M+−

−+−

−⋅−+=

15


15/24


tsine5tcose6t1

)t(x tt −−+=

b&. ( ) 0 x(0),tsintcosexx t =+=+′ −

05)1 p(5)1 p(

)1 p() p(M) p(

+++

+++=+

( ) 11 p) p(M

++=

şitsine)t(x t−

=

b'. 0(0)x x(0)A ,t,AxC ,-x-C-x =′==′′=′′+−=′′

0!(0) 1,(0) A1,(0)C ,0)0(C =′==′=

0 ( ) pANN p 1,ADAMD p ,NMD-M p +==+−= de unde:

1 p p N,

5)1)(p(p p1)A-(pD ,

p)5 p()1 p(-M

+=

++=

+−=

fa ă în care putem considera pro'lema re ol&ată aproape în totalitate (restulcalculelor fiind de rutină şi u ură)!

c1. *ă considerăm ini"ial ecua"ia diferen"ială liniară cu coeficien"i constan"i

)t( ')t(Ca!!!)t(Ca)t(Ca n)1n(

1)n(

0 =+++ − (1)

completată cu &alorile date:

=

=′=

−−

1n)1n(

1

0

C)0(C

C)0(C

C)0(C

( )

16


16/24


'(t) fiind func"ie original!

Kmplificăm ecua"ia (1) cu pte − şi integrăm în raport cu t de la 0 la∞ !

otând:

dte)t(CD pt0) p(

−∞∫ =

transformata #aplace a func"iei C(t), integrând prin păr"i o'"inem:

) p( pDCdte)t(C p

0

e)t(Cdte)t(C 00 pt pt

0

pt +−=+∞′=′ ∫ ∫

∞ −−∞ −

)! p(D p pCC

)) p( pDC( pCdte)t(C p0

e)t(Cdte)t(C

01

010

pt pt

0

pt

+−−=

=+−+−=′+∞′=′′ ∫ ∫

∞ −−∞ −

(-)

) p(D pC p!!!C p pCCdte)t(C n01n

n1n1n pt

0

)n( +−−−−−= −−−−−∞

∫ Kmplificând (-) cu 4 a şi însumând o'"inem:) p(J) p(D) p(R ) p(R 0 =+ (5)

unde ) p(R 0 este un polinom în p de grad cel mult nA1, R(p) un polinom de

grad n şi J(p) transformata #aplace a lui '(t)!Din (5) o'"inem:

) p(R

) p(R ) p(J) p(D 0

−= (6)

Func"ia) p(R

) p(R 0 &erifică ipote a teoremei D!a!

otând ,) p(R

) p( pR limc 0

p ∞→

= atunci:

19


17/24


) p( pR

) p(cR ) p( pR

p

c

) p(R

) p(R 00 −=− (9)

După cum am luat c, frac"ia dată de (9) are numărătorul de grad cel mult nA(termenii de grad nA1 reluânduAse), iar numitorul de grad nG1, deci diferen"a degrade între numitor şi numărător este de cel pu"in !

atura lui J(p) Lotărăşte ca func"ia) p(R ) p(J

să &erifice condi"iile

teoremei amintite anterior! Dacă gradul lui R(p) este superior lui 1, estesuficient pentru aceasta, J(p) fiind mărginită, ca '(t) să fie func"ie original, mai precis să satisfacă condi"iile:


18/24


cu rădăcini ale ecua"iei caracteristice complexe ,i$ ,i β−α=β+α=λ cu

0


19/24


) p(J

) p(K pJ(p)

K(p) Re) p(f Re

4

4

p4 ′==

rocesul re ultant îl constituie suprapunerea a două oscila"ii O una periodică cufrec&en"a egală cu cea a for"ei exterioare şi cealaltă oscila"ie fiind amorti ată,

&ite a de amorti are fiind determinată deα ! entru 0=α şi β +4 o'"inemo re onan"ă, iar solu"ia &a fi o oscila"ie cu amplitudinea infinit crescătoare!

c%! *ă considerăm ecua"ia căldurii

x

utu

∂∂=

∂∂

pe inter&alul l≤≤ x0 cu condi"iile ini"iale

!uu(x,0),ut),u(,0)t,0(u 01x === l

Din punct de &edere fi ic, aceasta spune că, la momentul t, temperatura nu este

aceeaşi în extremitatea ini"ială şi în cea finalăl , dar ele se men"in constante!

n plus, la momentul ini"ial, temperatura întrAun punct x este0u !

Kplicând transformata #aplace în t, adică trecând de la func"ia u(x,t) lafunc"ia:

dte)t,x(u) p,x(&0

pt∫ ∞ −=

1


20/24


pentru &(x, p) o'"inem:0

u) p,x( p&dx

&d −=− cu condi"iile ini"iale

p

u p)&(l,,0) p,0(& 1x == (deci o pro'lemă 'ilocală)! *olu"ia ei este:

, p lcL

p cL p

uu

p

u) p,x(& 010

×−+= de unde

dp p lcL

p cL pe

i

uuu)t,x(u

i

i

pt01

0×

⋅π−+= ∫ ∞+γ ∞−γ care se re ol&ă cu

teorema re iduurilor!

storic. $ntegrala Fourier apare pentru întâia oară în cartea lui Fourier 7Beoria analitică a căldurii7 (1; ), unde ea se aplică mai multor pro'leme defi icăAmatematică! #ucrările lui Fourier, ca şi lucrările lui %aucLC careutili ea ă integrala Fourier în studiul propagării undelor (1;5 ), nu con"indemonstra"ii de con&ergen"ă! Bransformata #aplace este de &oltată de #aplaceîn 1;1 în 7 Beoria analitică a pro'a'ilită"ilor 7! $ndependent, 2uler, în 1 -

consideră integrale ale produsului )x(f e px− pentru a re ol&a ecua"ii

ordinare! ici 2uler şi nici #aplace nuAşi pun pro'lema utili ării transformateiîn planul complex! $nginerul engle Eea&iside, începând cu anul 1;< ,

introducând ,t

p∂∂= găseşte solu"ii în pro'lemele de electroteLnică care se

reduc la ecua"ii cu deri&atepar"iale! 2l pune astfel 'a ele calculului opera"ional!Din 1


21/24


#ucrările lui Den oC, %arleman, Hstro&s4i pe clase de func"ii@uasianalitice se întind în inter&alul 1< 0A1τ ntrAade&ăr,

∫ ∫ ∞∞ τ− τ−<

..x dxx)Reaexp( cdxe)x(f

n acest plan, )(F τ este func"ie analitică! 2a este prelungi'ilă la tot planul şi

singularită"ile sale sunt în !aRe ≤τQom sta'ili legătura naturală între denumire şi nota"ie!

Fie deci R R :f →+ astfel încât are sens integrala improprie cu parametru

R p ,dxe)x(f ) p(F0

px∈= ∫ ∞ − (1)

Definiţie. Dacă are sens (1), F se numeşte transformata #aplace a lui f şi

se mai notea ă cu ) p))(x(f (L !

Bransformata fiind definită printrAo integrală improprie, tre'uie săsta'ilim condi"ii asupra lui p pentru con&ergentă! Kceste condi"ii sunt corelatecu f! Func"iile f pentru care există transformata #aplace se numescfuncţiioriginal (sau simplu, original), iar transformata #aplace F se numeşte func"iaimagine (sau scurt,imagine )! %a nota"ii pentrulegătura original2imagine potfi întâlnite:

1


22/24


F(p)oA0)x(f sau

F(p)f(x) f(x),F(p) f(x),0Ao) p(F →→sau mai simplu f(x) +

F(p), F(p) + f(x)!referăm ultima nota"ie (putând fi folosite şi altele O după preferin"e şi

cu con&en"ia sta'ilită fără am'iguită"i)!

umimfuncţie original , func"ia ,R R :f → cu proprietă"ile:

( 10 ): f este nulă pentru 0x <

( 0 ): f arecreştere exponenţială , adică există ,R x 0 ∈ a şi ,R . ∈ încâtax.e)x(f ≤ pentru 0xx > ( )

entru p / a integrala (1) care defineşte transformata #aplace estea'solut şi uniform con&ergentă!

ntrAade&ăr, în condi"iile ( ) a&em:

≤≤ −∞∞ −

∫ ∫ dxe)x(f dxe)x(f px

00

px

dxe.dxee.0

x)a p(

0

pxax ∫ ∫ ∞ −−∞ − =?ltima integrală este con&ergentă pentru p / 0 şi conform criteriuluicompara"iei, au loc afirma"iile făcute!

n plus, să o'ser&ăm că ipote a ca R R :f → nu este esen"ială, argumentarea

anterioară fiind &ala'ilă şi pentru %R :f → (în ipote a ( ))!

a/uri concrete. (d1) Func"ia 'xe)x(f = , cu ' real sau complex &a

a&ea creştere exponen"ială putând lua a + Re', . / 1 şi R x 0 ∈ ntrAade&ăr,

.1eee)x(f axx) '(Reax ≤=⋅= −− (1 ′ )

' p

1dxedxee) p))(x(f (# 0

x) ' p(

0

px 'x

−=== ∫ ∫ ∞ −−∞ −

( ′ )


23/24


Deci ' p

1) 'xexp(

−= şi ) 'xexp(

' p

1 =− , con&ergen"a integralei

a&ând loc pentru p / Re' dacă R p ∈ şi Rep / Re' dacă !% p ∈

Observaţie. u este greu să &edem căL este liniară! ?tili ând

liniaritatea, re ultatul din d1 şi rela"iile lui 2uler:

( )titi ee1tcos ω−ω +=ω

( )titi eei1tsin ω−ω −=ω

o'"inem:

p

p

i p

1

i p

11tcos

ω+=

ω++

ω−=ω (1 ′ )

pi p

1

i p

11tsin

ω+

ω=

ω+−

ω−=ω ( ′ )

pentru ω> $m pRe !

"roprietatea transformatei Laplace

a! Dacă inegalitatea care exprimă proprietatea de creştere exponen"ială este

&ala'ilă pentru tripletul .,a,x 0 ′ pentru orice !aa >′

otând ainf =α , a fiind în tripletul .,a,x 0 ′ , α se numeşteabscisa de convergenţă a funcţiei f !

Din cele făcute până acum re ultă că pentru a exista transformata

#aplace ) p)(f (L este suficient ca f să ai'ă a'scisă de con&ergen"ă R ∈αsau −∞=α şi transformata are sens pentru α> p în ca ul R p ∈ şi

-


24/24


α> pRe în ca ul !% p ∈ Qom nota cu gf , αα a'scisele de con&ergen"ă

pentru f şi g!

'! entru ,,max p gf αα=α> are loc proprietatea de liniaritate

)! p( 'I) p(aF 'gaf +=+

5

calculul operational(transf.l+f)

Documents