水理学Ⅱ及び同演習 第12回 開水路の流れ③

(等流水深・合成粗度・有利断面)

目標：開水路における等流水深，粗度の異なる水路の粗度係数・流量最大となる有利断面の計算法を理解する ・Manningの式やChezyの実用式から円管断面内や台形断面における等流水深を求める ・潤辺の粗度が異なる水路の粗度係数を求める ・流量を最も流しうる断面形(水理学的有利断面)について理解する

開水路の等流 開水路の等流

水柱の重さの流れ方向成分 ＝潤辺に働く摩擦応力

hA

gAQ

AQ

gRdxdh

∂∂α

−θ

ϕ−θ

=

3

2

2

2

cos

1sin

一様断面(dB/dx=0) の基礎式

基礎式の分子＝0 (等流dh/dx=0)

AgRQ ⋅θϕ= sin θϕ== singRvAQ

等流dh/dx=0であるから， エネルギー勾配I=水路床勾配sinθ

*ugRIvAQ

ϕ=ϕ==gRIu

ρ=τρ≡τ

0

2*0

*/ uv≡ϕ流速係数

流速係数ϕ 実河川の開水路流れ

skR

uv

10*

log75.50.6 +=ϕ=

粗面に適する対数(平均流速)式

Manningの平均流速公式(実用式として広く用いられる)

gRIgn

RIRn

v6/1

2/13/21== gRIu =* gn

Ruv 6/1

*=ϕ=

Chezyの平均流速公式(不等流計算によく用いられる)

gRIg

CICRv == 2/12/1 gRIu =* gC

uv

=ϕ=*

Re数が大きく，粗い面が多いため，以下の実用式を用いた(流速係数)が適用される

開水路・河川のnの値(表5.1)

等流の計算1 等流水深h0

Manningの式(5.30)や Chezyの式(5.31)を満たす水深h0

2/13/22/12/1 1 IARn

ICARAvQ ===

Chezy Manning

通水能Kを導入

3/22/1 1 ARn

CARK == 0KI

Q=

3/200

2/1000

1 RAn

RCAK ==

添え字0:等流における値

粗度・断面形が 与えられた水路

通水能Kは水深hの関数 (式5.18からhcを求める方法と同様) CZ

gQ

=

限界水深を求める式 (教科書P136例題5.1より)

等流の計算2 (広長方形水路)

0h

b

0

0000 2

,hb

bhRbhA+

==

等流時の断面積Aと径深R

2/12/1

0

00

2/12/1

0

0000 212

Ibh

hChIhb

bhChvhq

+

=

+

==Chezy

単位幅あたりの流量q

2/13/2

0

00

2/13/2

0

0000 21

12

1 Ibh

hn

hIhb

bhn

hvhq

+

=

+

==Manning

広長方形水路の場合

幅bで等流水深h0の水路

00 →bh

2/12/30 IChq =

2/13/50

1 Ihn

q =

3/2

0

=

ICqh

5/3

0

=

Inqh

等流水深 (Chezy)

等流水深 (Manning)

直径D(半径r）の円管水路

rr

D

h

ϕ r

2cos ϕr

2sin ϕr

ϕ

−=ϕ

−=2

cos12

cos rrrh:水深

21

2cos

2sin2

21 2 ×

ϕ×

ϕ×−ϕ= rrA:断面積

{ } ϕ=−ϕ=

ϕ×

ϕ=

sin2

0sinsin2

2cos

2sin

222

2

rr

r

　　

三角形の面積扇形の面積

( )ϕ−ϕ=∴ sin21 2rA:断面積 ϕ= rs:潤辺

2sin2 ϕ

= rB:水面幅

( )ϕ

ϕ−ϕ=

ϕ

ϕ−ϕ==

2sinsin

21 2

rr

r

sAR:径深

等流水深を求めるための通水能K 限界水深を求めるための断面係数Z を定義する

半径rと扇型の角度ϕで表すことができる

円管水路における 通水能K (無次元）

( )ϕ−ϕ= sin21 2rA:断面積

2sin2 ϕ

= rB:水面幅ϕ

ϕ−ϕ=

2sinrR:径深

3/2ARK =:通水能 水面幅B，径深R，断面積Aを用いて直径Dで無次元化

( )( )

ϕ

ϕ−ϕ⋅

ϕ−ϕ=

ϕ

ϕ−ϕ

⋅

ϕ−ϕ

=3/2

3/23/2

3/23/2

2

2

3/2

3/2

2 2sin

21sin

812

sin2

sin22

1

D

D

D

D

DR

DA

無次元化された通水能は扇角ϕのみの関数

円管水路における 断面係数Z (無次元）

( )ϕ−ϕ= sin21 2rA:断面積

2sin2 ϕ

= rB:水面幅ϕ

ϕ−ϕ=

2sinrR:径深

水面幅B，径深R，断面積Aを用いて直径Dで無次元化

( )( )

2sin

1sin641

81

2sin

22

sin22

13

6

363

6

3

ϕ⋅ϕ−ϕ×=

ϕ⋅

ϕ−ϕ

= DD

D

D

BD

DA

BAZ /3=:断面係数

無次元化された断面係数は扇角ϕのみの関数

無次元化された通水能Kと断面係数Z

( )

ϕ

ϕ−ϕ⋅

ϕ−ϕ=

3/2

3/23/2

3/2

2 2sin

21sin

81

DR

DA

( )2

sin

1sin641

81 3

6

3

ϕ⋅ϕ−ϕ×=

BD

DA

通水能K

断面係数Z 扇角ϕ(またはh/D) のみの関数

扇角ϕが分かれば 通水能Kと断面係数Z が求められる． 求めた通水能KをManningの式(平均流速公式)に代入

03/2

01 KARnI

Q== 流量Q，勾配I，粗度係数nを与えれば

等流水深h0が求まる

cc

c ZBA

gQ

≡=3求めた断面係数Zを

ブレスの定理(5.10)代入 流量Qを断面形から 限界水深hcが求まる

底幅b,側壁勾配mの台形水路

h

b

m1

B mh

2

222

1 mh

hmh

+=

+

m1

( )

bhm

bmh

hhmb

mhbhsAR22 121

1

12/

++

+=

++

+==:径深

( ) ( ){ } ( )mhbhhbmhbhBbA +=++=+= 221

21

:断面積

mhbB 2+=:水面幅 hmbs 212 ++=:潤辺

無次元化された通水能Kと断面係数Z 通水能K (無次元）

( )

3/2

2

3/2

3/2

3/2

23/2

23/2

3/2

2

/121

/11

/121

/1

++

+

⋅

+=

++

+

⋅+

=

bhm

bmhbh

bhm

bh

bbhm

bmhh

bmhbh

bR

bA

断面係数Z(無次元）

( ) ( )bmh

bmhbh

mhbb

bmhbh

Bb

bA

/211/1

23

3

6

33

6

3

+⋅+

=

+⋅

+=

h/bとmの関数

無次元化した通水能Kと 断面係数Zはh/bとmの関数

これらの関係の図表を作成することで 等流水深と限界水深の概略値を求める ことができる．

円管の水理特性曲線 用水路、排水路の横断管、下水管などに用いられる円形断面水路では、 各水深に応ずるs(潤辺)，A(流積），R(径深），v（流速）及びQ(流量)を 満管の場合のs0、A0，R0，v0，Q0で割って，s/s0, A/A0, R/R0, v/v0, Q/Q0を水深h/h0の関数として図示しておけば実用上便利になる．これを、水理特性曲線という．

流速、流量の最大値は満管のときではなく，それよりもやや小さな場合に起きる．最大流速はh/D＝0.813、最大流量はh/D ＝0.938のときに起こる

最大流量 最大流速

例題5.3(台形断面の等流水深)

側壁勾配m(=1.5)と底幅b(=5m)，流量Q(=20m3/s) ， 粗度係数n(=0.016)，水路勾配I(=1/2500)が与えられている

台形断面の等流水深h0を求める

3/2

2

3/2

3/8

3/2

/121

/11

++

+

⋅

+=

bhm

bmhbh

bhm

bh

bAR

通水能K (無次元）

としてη=bh

( ) ( ) ( )η=

η++

η+η⋅η+η= ,

121

113/2

2mf

m

mm

m,η の関数 等流水深h0の計算方法

対数軸に図を作成(図5.16) η=0.1,0.2….と変化させ f(m,η)をプロット

0.162500/120016.02/1

3/2 =×==InQAR

通水能K b=5mの場合に 対応するηを求める

( ) 22.05

0.16, 3/8 ==ηmfm825.15365.0

0

=×=×η= bh

等流水深h0

合成粗度 潤辺が異なる粗度からなる水路 (複断面河川にある高水敷・低水路 底面と側壁の粗度が異なる長方形水路etc.)

粗度係数niの種類 によって断面を分割

2/13/22/13/2 11 IRn

IRn

v ii

i ==

分割断面(i=1,2,3…)毎の 流水面積Ai，潤辺si 平均流速vi，流量Qi ，径深Ri

∑∑ ==== iii

ii ssAA

sAR

sAR ,,,

3/23/2 11

=

i

i

i sA

nsA

n

∑∑∑ ==

=

iiii

i

i

i

i snA

snA

sA

nsA

n 2/32/32/32/311

3/22/3

= ∑

ssn

n ii

合成粗度係数

A1 A2 A3 n3 s3

n2 s2

n1, s1

∑=→ iiii baba※テンソル表記

水理学的に有利な断面

水理学的に有利な断面とは 水路勾配I，断面積A，粗度係数nが与えられた時に

流量Qを最も流しうる断面のこと

2/13/21 IARn

Q =

最小の断面で一定流量の水を流すことが可能

径深Rを最大にする

潤辺sを最小にする sAR =

水理学的に有利な断面(台形)

hmmhhAhmbs 22 1212 ++−=++=

( )mhbhA +=

012 22

.

=++−−=

∂∂

=

mmhA

hs

constAmm

Ah−+

=2

2

12

−+= mmhA 22 12

水理学的有利断面

mhhAb −=

①

底面幅

−++= 22121 hmmA

hs

勾配mも変数として考える場合は，式①を変形して式②を代入

②

0

.

=

∂∂

=ms

constA

水理学的有利断面

hbhm3

2,3

1==

補足①参照

限界勾配(ic) 1

BA

gQ 32

cos=

θα限界水深hcの式

(5.10) 水路勾配に無関係 (流量・断面形で決まる)

等流水深h0の式(5.34)

3/200

1 RAnI

Q= 水路勾配に関係(流量・断面形・

粗度係数で決まる)

限界勾配とは，ある与えられた流量に対して等流水深h0=限界水深hcとなる 勾配が存在する．この勾配のことを「限界勾配」という

①

②

式①，式②から流量Qを消去

IRAn

Q 3/422

2 1= B

AIRAng

33/42

21

cos=

θα

BA

RgniI c ⋅

α== 3/4

2

1cos ≈θ

限界勾配(ic=tanθc)

Chezyの式を用いると.. 2/12/1 ICARQ = ( )

BARIAC

g

322

cos=

θα

BA

RCgiI c ⋅

α== 2

限界勾配(ic) 2 急勾配水路(i > ic)

ch

0h

等流水深h0<限界水深hc

緩勾配水路(i > ic)

ch

0h

等流水深h0>限界水深hc

等流ではh0 < hc

水路勾配I=i < ic

急勾配水路(steep slope）

緩勾配水路(mild slope）

水路勾配I=i > ic

等流ではh0 > hc

流量や断面形，粗度係数が一定あれば 限界水深hcは水路勾配iに関係なく一定 等流水深h0は水路勾配iが増すと減少

BhnI

Q 3/50

1= 広矩形断面の

等流水深h0の式

2/2[バス]

補足① 式(5.44)の導入

( ){ } ( ){ }( ){ } 2/12/12

2/122/12/122/1

2/1

12

112112mm

mmAmmFA

mF

Fs

ms

−+

−+=−+=

∂∂

∂∂

=∂∂

−−

−++= 22121 hmmA

hshmmh

hAs 212 ++−=

012 22

.

=++−−=

∂∂

=

mmhA

hs

constA

mm

Ah−+

=2

2

12

−+

−++

−+= A

mm

mmAA

mms2

22

12

1212

1

2/122/1

2/1

2/12

12212

2

−+=

−+

= mmAA

mmAs 　　

Fとおく

となればよいとなるには分子 00 ==∂∂ms ( ) 0112

2/12 =−+−

mm 114

2

2=

+ mm

13 2 =m31

=m式(5.43) に代入

hhhb3

23

13

223

13112 =

−=

−+=