Caos en el péndulo dobleProyecto para Cálculo Numérico

Rafael Bravoemail: rafael.bravog@usach.cl

Departamento de Física, Universidad de Santiago de Chile, Casilla 307, Santiago 2, Chile(Dated: 28 de septiembre de 2015)

1. Introducción

Un péndulo doble, es un sistema mecánico con dos grados de libertad, el cual consiste en dos pénduloscoplanarios, uno unido al final del otro, como se muestra en la figura 1.1. Este sistema presenta un comporta-miento dinámico de gran interés, ya que es muy sensible a las condiciones iniciales del problema. El sistemaal tener dos grados de libertad, basándose en el formalismo lagrangiano (ecuaciones de Euler-Lagrange), estágobernado por dos ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden, las cuales son no lineales. Éstas,en una primera aproximación, para pequeñas oscilaciones, pueden ser resueltas de manera analítica, pero encaso general no es posible, además, por encima de cierto valor de energía (elección de condiciones iniciales),el sistemá será caótico, es decir, para pequeñas diferencias entre condiciones iniciales, el sistema mostrarágrandes diferencias en su comportamiento futuro, lo cual imposibilita su predicción a largo plazo.

Fig. 1.1: Esquema de un péndulo doble, en donde θ1 y θ2 son las coordenadas generalizadas del sistema

Debido a la imposibildad de obtener soluciones analíticas, para el caso más general de movimiento, paraconocer la evolución del sistema en el tiempo, se tienen que emplear métodos numéricos, para ellos existendiversos métodos, en nuestro caso estamos interesados en comparar los métodos de Runge-Kutta de orden 4(de aquí en adelante RK4) y el método de Euler.

El objetivo de este proyecto es poder realizar la simulación del movimiento de un péndulo doble, compa-rando los métodos mencionados anteriormente, analizar la estabilidad en el tiempo de la energía, y ver comoafectan las distintas condiciones iniciales y tiempo de simulación, a la evolución del sistema, haciendo enfasisen su comportamiento caótico.

1

2 Teoría y metodología 2

2. Teoría y metodología

2.1. Dinámica del sistema

Fig. 2.1: Esquema de un péndulo doble, en donde θ1 y θ2 son las coordenadas generalizadas del sistema

De acuerdo a la Figura 2.2, en coordenadas cartesianas, las posiciones de las masas del sistema, vienendadas por

x1 = l1 sin(θ1) , y1 = −l1 cos(θ2) , x2 = x1 + l2 sin(θ2) , y2 = y1 − l2 cos(θ2)

a partir de esto, podemos escribir la energía cinética de cada partícula, tomando en cuenta que ésta vienedada por Ti =

12mi

(x2i + y2i

)T1 =

1

2m1l

21θ

21 , T2 =

1

2m2

[l21θ

22 + l22θ

22 + 2l1l2θ1θ2 cos (θ1 − θ2)

]por lo tanto la energía cinética del sistema T =

∑i

Ti es

T =1

2(m1 +m2) l

21θ

21 +

1

2m2

[l22θ

22 + 2l1l2θ1θ2 cos (θ1 − θ2)

](2.1)

análogamente se tiene para la energía potencial gravitatoria, Vi = mgyi y V =∑i

Vi

V1 = −m1gl1 cos(θ1) , V2 = −m2g (l1 cos(θ1) + l2 cos(θ2))

V = −g [(m1 +m2) l1 cos(θ1) +m2l2 cos(θ2)] (2.2)

ya conociendo la energía del sistema, es posible construir su Lagrangiano, que viene dado por L = T − V

L = 12Ml21θ

21 +

12m2

[l22θ

22 + 2l1l2θ1θ2 cos (∆θ)

]+ g [Ml1 cos(θ1) +m2l2 cos(θ2)] (2.3)

en donde se utilizó M = m1 +m2 y ∆θ = θ1 − θ2 , luego para encontrar las ecuaciones de movimientodel sistema utilizamos las ecuaciones de Euler-Lagrange, las cuales son consecuencia directa del principio demínima acción

d

dt

(∂L∂θi

)− ∂L

∂θi= 0 , i = 1, 2 (2.4)

2 Teoría y metodología 3

utilizando (2.4) encontramos las siguientes ecuaciones para las coordenadas θ1 y θ2

θ1 = − l2l1

m2

Mθ22 sin(∆θ)− l2

l1

m2

Mθ2 cos(∆θ)− g

l1sin(θ1) (2.5)

θ2 =l1l2θ21 sin(∆θ)− l1

l2θ1 cos(∆θ)− g

l2sin(θ2) (2.6)

es posible ver que estas ecuaciones estan acopladas, para desacoplar, introducimos (2.2) en (2.3) y viceversa, con esto encontramos que las ecuaciones desacopladas para el sistema son

θ1 =−m2 sin(∆θ)

(l2θ

22 + l1θ

21 cos(∆θ)

)+ g (m2 cos(∆θ) sin(θ2)−M sin(θ1))

l1(m1 +m2 sin

2(∆θ)) (2.7)

θ2 =sin(∆θ)

(Ml1θ21 +m2l2θ22 cos(∆θ)

)+Mg (cos(∆θ) sin(θ1)− sin(θ2))

l2(m1 +m2 sin

2(∆θ)) (2.8)

el caso de nuestro interés, corresponde a cuando el sistema tiene masas iguales y los brazos tienen lamisma longitud, es decir m1 = m2 = m y l1 = l2 = l , con esta consideración las ecuaciones de movimientopara el sistema son las siguientes[4].

θ1 = ω1 (2.9)

θ2 = ω2 (2.10)

ω1 =− sin(∆θ)

(ω22 + ω2

1 cos(∆θ))+ g

l (cos(∆θ) sin(θ2)− 2 sin(θ1))

1 + sin2(∆θ)(2.11)

ω2 =sin(∆θ)

(2ω2

1 + ω22 cos(∆θ)

)+ 2g

l (cos(∆θ) sin(θ1)− sin(θ2))

1 + sin2(∆θ)(2.12)

2.2. Métodos numéricosPara la resolución del conjunto de ecuaciones diferenciales (2.9)-(2.12), como se mencionó anteriormente,

se utilizaron dos métodos; RK4 y método de Euler y Adams-Moulton. De antemano se sabe que el métodoRK4 es más preciso y estable que el método de Euler, ya que este es 3 órdenes superior, cabe mencionar queRK4, contiene al método de Euler salvo por una constante. Por lo tanto se explicará, como utilizar el métodoRK4 en general y como caso particular veremos el método de Euler.

Como se trata de un sistema caótico, en el cual las variables dinámicas cambian de manera impredecible,para corroborar que los métodos numéricos funcionen correctamente, se deben explotar las simetrías delsistema, ya que estas se conservan durante la evolución de este. En el caso del péndulo doble, una simetríadel sistema es la energía, la cual se deberá conservar a medida que el sistema evolucione, entonces estáservirá como un parámetro de control, para verificar la exactitud de los cálculos. Como se está haciendo unasimulación numérica, es decir discreta, para obtener algo similar a la conservación de la energía, se consideraráarbitrariamente que está se conservará, cuando presente variaciones menores a 10−5[Joules].

2 Teoría y metodología 4

2.2.1. Runge-Kutta de orden 4 (RK4)

El método de RK4, permite resolver ecuaciones diferenciales de primer orden de la forma

dx

dt= f(t, x) , x(t0) = x0 (2.13)

en este caso la solución de (2.13), utilizando rk4, será

x(t+ h) = x(t) +h

6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4) (2.14)

k1 = f(t, x) k2 = f(t+ h

2 , x+ k1

2

)k3 = f

(t+ h

2 , x+ k2

2

)k4 = f (t+ h, x+ k3)

en donde h es la diferencia entre dos puntos consecutivos de la variable independiente, en este caso t, esdecir ti+1 − ti = h, podemos identificar a h como el paso de tiempo. Ahora, si se quiere resolver un sistemade ecuaciones diferenciales de segundo orden, como es el caso de nuestro interés, tendremos que extender estemétodo a un sistema de la forma

d2x

dt2= f(t, x, vx, y, vy) ,

d2y

dt2= g(t, x, vx, y, vy) (2.15)

sujeto a las condiciones iniciales de Cauchy

x(t0) = x0 ,

(dx

dt

)t0

= vx0, y(t0) = y0 ,

(dy

dt

)t0

= vy0(2.16)

para aplicar el método, en este sistema, lo convertimos en uno de primer orden

dx

dt= vx ,

dvxdt

= f(t, x, vx, y, vy) ,dy

dt= vy ,

dvydt

= g(t, x, vx, y, vy) (2.17)

luego la solución de (2.17) vendrá dada por

x(t+ h) = x(t) + h6 (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)

vx(t+ h) = vx(t) +h6 (j1 + 2j2 + 2j3 + j4)

y(t+ h) = y(t) + h6 (r1 + 2r2 + 2r3 + r4)

vy(t+ h) = vy(t) +h6 (q1 + 2q2 + 2q3 + q4)

(2.18)

en donde

k1 = vx j1 = f(t, x, vx, y, vy)

k2 =(vx + j1

2

)j2 = f

(t+ h

2 , x+ k1

2 , vx + j12 , y +

r12 , vy +

q12

)k3 =

(vx + j2

2

)j3 = f

(t+ h

2 , x+ k2

2 , vx + j22 , y +

r22 , vy +

q22

)k4 = (vx + j3) j4 = f (t+ h, x+ k3, vx + j3, y + r3, vy + q3)r1 = vy q1 = g(t, x, vx, y, vy)

r2 =(vy +

q12

)q2 = g

(t+ h

2 , x+ k1

2 , vx + j12 , y +

r12 , vy +

q12

)r3 =

(vy +

q22

)q3 = g

(t+ h

2 , x+ k2

2 , vx + j22 , y +

r22 , vy +

q22

)r4 = (vy + j3) q4 = g (t+ h, x+ k3, vx + j3, y + r3, vy + q3)

(2.19)

Finalmente, tendremos la solución numérica del conjunto de ecuaciones diferenciales, si vamos al caso delas ecuaciones (2.9)-(2.12), tendremos que hacer las siguientes identificaciones

x = θ1 , y = θ2 , vx = ω1 , vy = ω2 (2.20)

f(θ1, ω1, θ2, ω2) =− sin(∆θ)

(ω22 + ω2

1 cos(∆θ))+ g

l (cos(∆θ) sin(θ2)− 2 sin(θ1))

1 + sin2(∆θ)(2.21)

3 Resultados 5

g(θ1, ω1, θ2, ω2) =sin(∆θ)

(2ω2

1 + ω22 cos(∆θ)

)+ 2g

l (cos(∆θ) sin(θ1)− sin(θ2))

1 + sin2(∆θ)(2.22)

en nuestro caso las funciones f y g , no dependen explícitamente del tiempo, por lo tanto omitimos sudependencia en el argumento de la función.

2.2.2. Método de Euler

Como se mencionó anteriormente, el método de Euler, está contenido en el de rk4, y este corresponde alcaso en donde solo utilizamos las variables con subíndice 1 (k1, j1, r1, q1) y cambiamos la multiplicacion deuna constante, es decir, para una ecuación diferencial, de la forma (2.15) su solución será

x(t+ h) = x(t) + hf(t, x) (2.23)

Por lo tanto, con este método, la solución del sistema (2.17) será

x(t+ h) = x(t) + hk1vx(t+ h) = vx(t) + hj1y(t+ h) = y(t) + hr1vy(t+ h) = vy(t) + hq1

(2.24)

tomando en cuenta las mismas relaciones (2.19) para las variables con subíndice 1. Y para la resolucióndel sistema (2.9)-(2.12) tomamos en cuenta las mismas consideraciones (2.20)-(2.22).

2.3. ImplementaciónPara poder resolver las ecuaciones de movimiento para el péndulo doble, se escribió un código en Matlab

para implementar los métodos de RK4 y Euler. En primera instancia, para poder visualizar los resultados,se simuló el movimiento del péndulo para las mismas condiciones iniciales θ1 = θ2 = 90o, ω1 = ω2 = 0,mismo paso de tiempo h = 10−3 y tiempo de simulación de un minuto, escogidos arbitrariamente [1]. Conesto posteriormente se puede visualizar la trayectoria de ambas masas, la energía total del péndulo y sutrayectoria en el espacio de fases.

Posteriormente, para realizar un análisis en la estabilidad de los métodos, se escribió un código en dondesolamente se calculara la energía total del péndulo, para diferentes pasos de tiempo h y a un tiempo desimulación grande, de 10000 segundos.

Luego de haber identificado el mejor método y paso de tiempo para la resolución de las ecuaciones, se hizouna animación que mostrara la evolución en el tiempo del péndulo. Finalmente se analizó la estabilidad conrespecto a distintas condiciones iniciales, en donde se puede además discriminar, cuando el péndulo mostrarácomportamiento caótico, para poder realizar esto, será conveniente mirar la evolución del sistema en el espaciode fases, y con ello poder comparar diferentes condiciones iniciales.

3. Resultados

Los resultados de las simulaciones, para el caso que se describió en la implementación, se muestra acontinuación.

En donde es directo ver, a través del espacio de fases, las notables diferencias en el movimiento, utilzandoambos métodos, si miramos la gráfica de energía en el tiempo, sabemos que el movimiento simulado con RK4presenta variaciones en la energía del orden de 10−7por lo tanto sabemos que realmente esa simulación escorrecta. A diferencia de lo que se puede ver en la energía con el método de Euler.

3 Resultados 6

Fig. 3.1: Resultados de la simulacion para condiciones iniciales θ1 = θ2 = 90o, ω1 = ω2 = 0 usando un pasode tiempo h = 10−3 y un tiempo de simulacion de 1 minuto, utilizando método RK4. 1: angulosen función del tiempo, 2 y 3: evolucion del sistema en el espacio de fases 4: energía en función deltiempo

Fig. 3.2: Resultados de la simulacion para condiciones iniciales θ1 = θ2 = 90o, ω1 = ω2 = 0 usando un pasode tiempo h = 10−3 y un tiempo de simulacion de 1 minuto, utilizando método de Euler. 1: angulosen función del tiempo, 2 y 3: evolucion del sistema en el espacio de fases 4: energía en función deltiempo

4 Análisis 7

Fig. 3.3: Imágenes de distintos instantes de tiempo para la animación del péndulo doble, utilizando algoritmode RK4, para un tiempo de 1minuto con un paso de tiempo h = 10−4

4. Análisis

Para poder ver realmente la estabilidad de los métodos durante intervalos de tiempo más grandes que unminuto, se construyeron las siguientes gráficas

Fig. 4.1: Método de Euler, con condiciones iniciales θ1 = θ2 = 90o, ω1 = ω2 = 0 ; Izquierda: variaciones en laenergía para distintos pasos de tiempo h. Derecha: Error acumulado en la variación de la energía.

De las gráficas mostradas en la figura 4.1, es posible notar que el método de Euler nos asegura variacionesmenores a 10−5 Joules en la energía, solo para los pasos de tiempo; h = 10−4 en un tiempo menor a 1 segundo,h = 10−5 hasta los 10 segundos y h = 10−6 hasta un tiempo de 100 segundos. Para el caso de h = 10−2

el algoritmo después de 10 segundos deja de funcionar, al parecer no es suficiente ese paso de tiempo paraseguir encontrando soluciones.

4 Análisis 8

Fig. 4.2: Método RK4, con condiciones iniciales θ1 = θ2 = 90o, ω1 = ω2 = 0 ; Izquierda: variaciones en laenergía para distintos pasos de tiempo h. Derecha: Error acumulado en la variación de la energía.

Comparando la figura 4.2 con las gráficas de la figura 4.2, podemos notar cláramente que el métodoRK4 es más estable en el tiempo y presenta menores variaciones en la energía. Podemos asegurar variacionesde energía menores a 10−5 Joules en un tiempo de 10000 segundos, utilizando pasos de tiempo h ≤ 10−3,también podemos asegurar la misma variacion de energía para un paso h = 10−2 pero solo para los dosprimeros segundos de simulacion. A grandes rasgos todos los pasos de tiempo usados a priori presentanbuenos resultados, en contraste al método de Euler.

Observando el error acumulado para la energía [5], es posible ver que las soluciones más estables seconsiguen con los pasos h ≤ 10−4, en este caso el error acumulado en la energía será menor a 10−5 Joules.

Considerando las observaciones anteriores y tomando en cuenta el tiempo que tarda la simulación enrealizarse, para cada valor de h (entre más pequeño h, mayor será el tiempo que le tarda al programacompletar la simulación), el valor de h óptimo para obtener resultados buenos (estables, con el mínimo errory utilizando el menor tiempo de cómputo) es de h = 10−4.

Considerando este paso de tiempo y miramos la energía en la evolución del sistema a diferentes condicionesiniciales θ1 = θ2 y ω1 = ω2 = 0, para distintos valores de θi se tiene

4 Análisis 9

Fig. 4.3: Variaciones en la energía del péndulo a diferentes condiciones iniciales utilizando algoritmo de RK4,para un tiempo de 1000 segundos con un paso de tiempo h = 10−4

De la figura 4.3 es posible observar que la solución más estable se obtiene para los 60o, para ángulosmayores a 90o es posible ver mayores variaciones en la energía, también por sobre estos valores de ángulos elmovimiento será completamente caótico.

Considerando las condiciones iniciales anteriores, se tendrá que el péndulo se dará vuelta cuando ambosángulos sean mayores a 111o, para ilustrar la fuerte sensibilidad de este sistema a las condiciones iniciales, setiene lo siguiente

Fig. 4.4: Resultados de la simulacion para condiciones iniciales, figura izquierda θ1 = θ2 = 110o, ω1 = ω2 = 0, figura derecha θ1 = θ2 = 111o, ω1 = ω2 = 0 usando un paso de tiempo h = 10−4 y un tiempo desimulacion de 1 minuto, utilizando método RK4. 1: angulos en función del tiempo, 2 y 3: evoluciondel sistema en el espacio de fases 4: energía en función del tiempo

De la figura 4.4, podemos apreciar que una diferencia de 1o en las condiciones iniciales del sistema, llevaa que el sistema evolucione de manera completamente distinta, siendo tan drástico que se muestra justo el

5 Conclusión 10

límite cuando el péndulo se da vuelta. Por lo tanto si consideramos condiciones iniciales en donde θ1 = θ2 yω1 = ω2 = 0, sabemos que por debajo de los 111o en un tiempo de un minuto el péndulo no se dará vuelta.

5. Conclusión

En síntesis, se puede afirmar que se pudo llegar a buenos resultados utilizando el método de RK4, se pudoconocer hasta donde es su alcance para asegurar estabilidad, como también la configuración óptima para sufuncionamiento en el caso de resolver el péndulo doble.

Más allá de los métodos empleados en solucionar el problema, la dinámica del problema en sí es de graninterés, con repecto a la sensibilidad a sus condiciones iniciales, como se mostró en la figura 4.4. Si bienno estaba en los intereses de este trabajo estudiar la física del sistema, sería interesante aplicar métodos desistemas dinámicos para conocer más propiedades de este sistema, como secciones de Poincaré, exponentesde Lyapunov, etc.

Finalmente se pudieron cumplir los objetivos mencionados anteriormente, donde podemos asegurar quepara este tipo de simulaciones el método de RK4 es superior al de Euler. Si bien se pudo ir más allá achicandolos pasos de tiempo, el computador no tuvo la suficiente memoria para poder realizarlo, sería interesante versi con pasos de tiempo más pequeños, se pierde estabilidad, en este trabajo solo podemos asegurar hastapasos de 10−7.

Si bien es un sistema conocido, puede resultar ser útil continuar su estudio, ya que hay autores [3, 4] queproponen métodos experimentales en base a un doble péndulo, para poder detectar ondas gravitacionales, locual es un tema de grán interés actualmente en la física.

Referencias

[1] A C Calvão and T J P Penna. (27 May 2015). The double pendulum: a numerical study. European Journalof Physics, 36, 23pp.

[2] H.J. Korsch H.-J. Jodl T. Hartmann. (2008). Chaos: A Program Collection for the PC. Verlag BerlinHeidelberg : Springer.

[3] M. Stephens, P. Saulson and J. Kovalik. (1990). A double pendulum vibration isolation system for a laserinterferometric gravitational wave antenna. Review of Scientific Instruments, 62, 924.

[4] Mark A. Beilby, Gabriela Gonzalez, Michelle Duffy, Amber Stuver, Jennifer Poker. (1999). Developmentof a Double Pendulum for Gravitational Wave Detectors. 1999, de arXiv Sitio web: arXiv:gr-qc/9911027

[5] Hoai Nguyen Huynh , Thi Phuc Tan Nguyen, Lock Yue Chew. (2013). Numerical simulation and geome-trical analysis on the onset of chaos in a system of two coupled pendulums. ELSEVIER, 18, 291-307.