cap 5 laplace
TRANSCRIPT
-
7/26/2019 Cap 5 Laplace
1/26
Anlisis de Seales y Sistemas
Hector Pea M. EIE-UCV
CAPITULO 5
TRANSFORMADA DE LAPLACE
-
7/26/2019 Cap 5 Laplace
2/26
Anlisis de Seales y Sistemas
Hector Pea M. EIE-UCV
Seales 149
5.1 Motivacin
La TF de una seal presentaba una dificultad
importante que dice relacin con la convergencia .
Esta no se satisface en una gran variedad de
seales de inters.
Ejemplo: Determinar la TF de un escaln unitario
Tenemos entonces!! "
"
# $%&
'(
)
"*+*
00
1)(!
!!
!
j
edteS
tjtj
-
7/26/2019 Cap 5 Laplace
3/26
Anlisis de Seales y Sistemas
Hector Pea M. EIE-UCV
Seales 150
Se hace evidente que no es posible evaluar la
expresin anterior ya que el lmite superior no esta
definido unvocamente: no se verifica la
convergencia de la integral. Veamos que sucede si
incorporamos a la seal escaln un factor de
convergencia del tipo . Tendremos entonces:
(5.1)
t
e ""
!"
!"!
!"!"
j
j
edteeS
tjtjt
,*
$%
&'(
)
,"*+*
!,"!""#
1
)()(
0
)(
0
-
7/26/2019 Cap 5 Laplace
4/26
Anlisis de Seales y Sistemas
Hector Pea M. EIE-UCV
Seales 151
Que, con " 0 se reduce a 1/j!. Sin embargo este
lmite no es, matemticamente, la TF de unescaln unitario. Esta afirmacin se comprueba aldeterminar la TIF de 1/j!.
Que no corresponde a un escaln unitario.
0
0
2
12
1
1
2
1)(
0
-
.
/0
/1
2 "*
** ##!!
!"
t
t
dtsen
dj
etf
tj
!!
!
#!
!#
!
-
7/26/2019 Cap 5 Laplace
5/26
Anlisis de Seales y Sistemas
Hector Pea M. EIE-UCV
Seales 152
5.2 Transformada de Laplace (TL)(slo para tiempocontinuo)
En la seccin anterior, la integral de la ecuacin (5.1)podr evaluarse en el lmite superior si y slo si ellmite existe.
Esto se verifica slo si 3>0.Si se define
Obtenemos para el resultado de la ecuacin (5.1) laexpresin
(5.2)
tj
t e)(
lim !" ,"
!
!" js ,*
ssS 1)( *
-
7/26/2019 Cap 5 Laplace
6/26
Anlisis de Seales y Sistemas
Hector Pea M. EIE-UCV
Seales 153
La ecuacin (5.2) representa la TL de un escaln
unitario. Claramente S(s) representa una funcin
compleja de una variable compleja, es decir,
Es importante destacar que la funcin S(s) esta
definida slo para aquellos nmeros complejos
para los cuales la parte real de s es estrictamente
positiva.El conjunto de todos los nmeros
complejos para los cuales 4e(s)>0 sedenomina regin de convergencia de la TL.
)()()(
)()(
smjsesS
smjses
5,4*
5,4*
!" js ,*
-
7/26/2019 Cap 5 Laplace
7/26
Anlisis de Seales y Sistemas
Hector Pea M. EIE-UCV
Seales 154
5.3 TL Bilateral y Unilateral
Se define la TLB como
que puede verse como una generalizacin de la TFde x(t). Para valores de las seales x(t) slo para
t$0 se utiliza la TL unilateral, TLU, definidacomo:
La TLU puede aplicarse a seales que no son nulas
para t
-
7/26/2019 Cap 5 Laplace
8/26
Anlisis de Seales y Sistemas
Hector Pea M. EIE-UCV
Seales 155
Ejemplo: TL de funcin exponencial
Sea con b un nmero real arbitrario.La
TL ser
Si y slo si existe el lmite
Es decir si (3+b)>0. As la regin de convergenciaser el conjunto de todos los nmeros complejos
tales que %e(s)>-b.
btetx "*)(
#!
""
,**
0
1)(
bsdteesX stbt
tbj
t e)(lim
,,"!
!"
-
7/26/2019 Cap 5 Laplace
9/26
Anlisis de Seales y Sistemas
Hector Pea M. EIE-UCV
Seales 156
5.4 Propiedades de la TL
1.Linealidad
ax(t)+bv(t) a(X(s)+bV(s)
2.- Desplazamiento temporal a derecha
3.-Escalamiento temporal
4.- Multiplicacin por potencias de t
)()()( sXectsctxcs"
6""
)(1
)(a
sX
aatx 6
)()1()( sXds
dtxt
n
nnn "6
-
7/26/2019 Cap 5 Laplace
10/26
Anlisis de Seales y Sistemas
Hector Pea M. EIE-UCV
Seales 157
5.-Multiplicacin por una exponencial
6.-Derivada temporal
En general:
)()( asXtxeat "6
)0()()( xssXtx "67
)0()0(....
)0()0()()(
12
21)(
""
7""
"
"""6NN
NNNN
xsx
xsxssXstx
-
7/26/2019 Cap 5 Laplace
11/26
Anlisis de Seales y Sistemas
Hector Pea M. EIE-UCV
Seales 158
7.-Integracin
8.- Convolucin
9.-Teorema del valor inicial
)(1)(0
sXs
dx
t
# 6&&
# "*
t
dtvxtvtx0
)()()(*)( &&&
)]0(....
)0()0()([lim)0(
1
11)(
"
7",
! """6
N
NNN
s
N
sx
xsxssXsx
-
7/26/2019 Cap 5 Laplace
12/26
Anlisis de Seales y Sistemas
Hector Pea M. EIE-UCV
Seales 159
10.-Teorema del valor final
Si x(!) existe entonces
5.5 Transformada Inversa de Laplace (TIL)Puede obtenerse la TIL de una sealX(s) aplicando
la expresin
)(lim)(lim0
ssXtx st *!
#
!,
!"*
jc
jc
st
dsesXjtx )(2
1
)( #
-
7/26/2019 Cap 5 Laplace
13/26
Anlisis de Seales y Sistemas
Hector Pea M. EIE-UCV
Seales 160
Esta expresin debe evaluarse sobre el camino
s=c+j8 en el plano complejo, desde c-j! hastac-j! , donde c es cualquier numero real para elcual el camino (o paso), se encuentra en la regin
de convergencia de X(s). Sin duda es una
expresin no fcil de evaluar, en consecuencia seutilizan de mtodos algebraicos para evaluar la
TIL.
5.5.1 TL Racionales
Seax(t) con TLX(s), con
)(
)()(
sA
sBsX *
-
7/26/2019 Cap 5 Laplace
14/26
Anlisis de Seales y Sistemas
Hector Pea M. EIE-UCV
Seales 161
Donde se definen A(s) y B(s) como polinomios en la
variable compleja s y se expresan como:
Donde m y n son enteros positivos y los coeficientes
ai, bi son nmeros reales. Si bm'0 y an'0 elgrado
de A(s) es n y el de B(s) es m.Se supone que los
dos polinomios no tiene factores comunes.
La transformada X(s) es una funcin racional en s
porque es la razn entre dos polinomios en s.
01
1
1
01
1
1
..)(
..)(
asasasasA
bsbsbsbsB
n
n
n
n
m
m
m
m
,,,,*
,,,,*"
"
""
-
7/26/2019 Cap 5 Laplace
15/26
Anlisis de Seales y Sistemas
Hector Pea M. EIE-UCV
Seales 162
Elgrado n del polinomio del denominador se conoce
como el orden de la funcin racional.
Seanp1,p2,..,pn races de A(s)=0. Entonces es posible
factorizar A(s) como:
Es evidente que sisi=pi algn i, entonces A(s)=0 y
por lo tanto las races se denominan los ceros del
polinomio A(s). Se puede escribir entonces:
)).....()(()(21 nn
pspspsasA """*
)).....()((
)()(
21 nn pspspsa
sBsX
"""*
-
7/26/2019 Cap 5 Laplace
16/26
Anlisis de Seales y Sistemas
Hector Pea M. EIE-UCV
Seales 163
Ahora los valores desi=pi se denominan lospolos de
la funcin racional X(s). En consecuencia lospolos de X(s) son iguales a los ceros de A(s). Se
supondr que m
-
7/26/2019 Cap 5 Laplace
17/26
Anlisis de Seales y Sistemas
Hector Pea M. EIE-UCV
Seales 164
Las constantes ci se denominan los residuos y su
calculo es va el mtodo de residuos.
Caso de polos diferentes y dos o mas polos
complejos
Sea el polo complejo y
su complejo conjugado. Ambos polos de X(s).
Entonces el residuo correspondiente a ( ) ser
el complejo conjugado del residuo
correspondiente a p1 (c1). Luego la expansin en
fracciones parciales deX(s) ser:
0,1 =,* !!" jp>1p
>1p
>1c
n
n
ps
c
ps
c
ps
csX
",,
",
"*
>
...)(2
1
1
1
-
7/26/2019 Cap 5 Laplace
18/26
Anlisis de Seales y Sistemas
Hector Pea M. EIE-UCV
Seales 165
Es relativamente simple probar que si X(s) tiene un
par de polos complejos la sealx(t) contendr un termino de la forma:
Es posible evitar el trabajar con nmeros complejos,
si no se factorizan los trminos cuadrticos cuyasraces son complejas. As, sea
!" jp ?*2,1
)cos( ctcet @,!"
01
2
01)(
asas
bsbsX
,,
,*
-
7/26/2019 Cap 5 Laplace
19/26
Anlisis de Seales y Sistemas
Hector Pea M. EIE-UCV
Seales 166
Defina , entoncesX(s) puede
escribirse de la forma
Y la TIL se puede obtener de una tabla de
transformadas.
4
2
10
aa "*!
221
110
11
)2(
)2
()2
(
)(
!,,
",,*
a
s
abb
asb
sX
-
7/26/2019 Cap 5 Laplace
20/26
Anlisis de Seales y Sistemas
Hector Pea M. EIE-UCV
Seales 167
Caso de Polos repetidos
SeaX(s) estrictamente propia. Sea el polop1 deX(s)
de multiplicidad r. Los (n-r) polos restantes son
diferentes., entonces la expansin en fracciones
parciales deX(s) viene dada como:
)(
..
)()(
..
..)()(
)(
1
1
1
2
1
2
1
1
n
n
r
r
r
r
ps
c
ps
c
ps
c
ps
c
ps
csX
,
,,
"
,
"
,
,"
,"
*
,
,
-
7/26/2019 Cap 5 Laplace
21/26
Anlisis de Seales y Sistemas
Hector Pea M. EIE-UCV
Seales 168
Los residuos cr+1, cr+2,..,cn se calculan siguiendo las
instrucciones del caso polos diferentes.La constante crse calcula como:
Y las constantes c1, c2,...,cr-1 se calculan utilizando
de:
9 :ips
r
ir sXpsc *"* )(
;