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Indice

9 MOTI DI LENTO SCORRIMENTO 1959.1 Moti di lento scorrimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

9.1.1 moto tra due piani paralleli . . . . . . . . . . . . . . . 1969.1.2 cenni alla lubrificazione idrodinamica . . . . . . . . . . 1999.1.3 modello analogico di Hele Show . . . . . . . . . . . . . 2009.1.4 moto laminare nei tubi circolari . . . . . . . . . . . . . 200

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194 A.Armanini Mecc-Fluidi 2010/11 Univ. di Trento - Ott.2010

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Capitolo 9

MOTI DI LENTOSCORRIMENTO

9.1 Moti di lento scorrimento

I moti di lento scorrimento sono moti fluidi caratterizzati da numeri diReynolds molto bassi. In questi tipi di moto le equazioni della dinamicadei fluidi newtoniani possono essere semplificate in maniera consistente. Siconsiderino a questo proposito le equazioni di Navier Stokes in forma adi-mensionale:

Dui

Dt= − ∂

∂xi

(p Eu + z

1

F 2r

)+

1

Re

∂2ui

∂x2j

(9.1)

nella quale si e posto:

xi =xi

Lo

ui =ui

Uo

t = tUo

Lo

Eu =po

ρU2o

Fr =Uo√g Lo

Re =Uo Lo ρ

μNell’ipotesi che il numero di Reynolds Re tenda a 0, i termini inerziali

(termini a sinistra dell’eq. (9.1 ) risultano trascurabili rispetto ai termini vis-cosi. In questa ipotesi le equazioni di Navier Stokes (in forma dimensionale)si riducono alle seguenti:

0 = − ∂

∂xi

(p + ρ g z) + μ∂2ui

∂x2j

(9.2)

nella quale l’asse z e orientato secondo la verticale ascendente.L’equazione (9.2) e valida anche per numeri di Reynolds finiti, anche

relativamente elevati, purche il moto sia stazionario e quasi uniforme. In

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questo caso infatti i termini inerziali sono identicamente nulli. Le equazioni(9.2) sono assai piu semplici delle equazioni complete di Navier Stokes inquanto sono equazioni lineari. Come si vedra nel seguito, sono proprio itermini non lineari a rendere difficilmente trattabili le equazioni di NavierStokes. Verranno nel seguito trattati alcuni casi particolarmente significatividi moti di lento scorrimento.

9.1.1 moto tra due piani paralleli

Si tratta di moto di lento scorrimento confinato tra due piani materiali paral-leli. Si assume inoltre che il moto sia bidimensionale in un piano perpendico-lare ai due piani assegnati. Con riferimento alla figura, si adotta un sistemadi assi cartesiani con l’asse x1 l’asse parallelo alla direzione della velocita el’asse x2 normale ai piani.

p

oU

b

11

dxxpp

∂∂+

1x

2x

Inoltre risulta trascurabile la componente della velocita normale ai piani(u1 >> u2), di conseguenza anche le variazioni della velocita nella direzionex1 sono molto minori di quelle in direzione x2. In altre parole il moto e quasiuniforme, per cui:

∂ui

∂xi

� 0 (9.3)

Le equazioni del moto si riducono in questo modo alle seguenti:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

0 = − ∂

∂x1

(p + ρ g z) + μ

(∂2u1

∂x21

+∂2u1

∂x22

)

0 = − ∂

∂x2

(p + ρ g z)

(9.4)

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A.Armanini- Mecc-Fluidi 2010/11 Univ. di Trento - Ott.2010 197

Per le ipotesi fatte (eq. 9.3) la prima derivata seconda dell’ultimo terminedella prima equazione e trascurabile (∂2u1/∂x2

1 � 0) rispetto alla derivataseconda nella direzione x2, quindi le (9.4) divengono:⎧⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎩0 = − ∂

∂x1

(p + ρ g z) + μ∂2u1

∂x22

0 = − ∂

∂x2

(p + ρ g z)(9.5)

Applicando l’ipotesi di moto quasi uniforme (eq.9.3), nella prima equazione(9.5) si deduce che il binomio (p + gρ z) puo essere funzione della sola coor-dinata x1. Inoltre, in base alle ipotesi di moto quasi uniforme, la ∂2u1/∂x2

2

non puo dipendere da x1, poiche u1 non dipende da x1, quindi in base alla(9.5) il gradiente longitudinale della piezometrica ∂(p+γz)/∂x2 non dipendeneanche da x1, per cui si ha:

− ∂

∂x1

(p + g ρ z) = cost = γ i (9.6)

Sostituendo (9.6) nella eq.(9.5), si ottiene alla fine:

−γi = μ∂2u1

∂x22

(9.7)

dove i rappresenta la cadente piezometrica.La (9.7) puo essere integrata, separando le variabili:

μ∂u1

∂x2

= −γi x2 + c1 (9.8)

u1 = −γ

μi1

2x2

2 + c1 x2 + c2 (9.9)

Le condizione al contorno sono date dalla condizione di aderenza sulledue pareti: {

x2 = 0u1 = 0

{x2 = bu1 = Uo

(9.10)

Dalla prima condizione si ottiene: c2 = 0, mentre la seconda condizioneporta a:

Uo = −γ

μi1

2b2 + c1 b

c1 =Uo

b+

γ

μi1

2b (9.11)

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che sostituita in (9.9) da:

u1 =γi

μ

1

2x2(b − x2) + Uo

x2

b(9.12)

E possibile ottenere anche la distribuzione degli sforzi tangenziali:

τ = μ∂u1

∂x2

= γi (b

2− x2) +

Uoμ

b(9.13)

La distribuzione delle velocita e dunque parabolica, mentre quella deglisforzi tangenziali e lineare.

a)

( ) 0

0

1

<+∂∂

>

zpx

Uo

γ

1x

2x oU

Ub

1x

2x

τ

b)

( ) 0

0

1

<+∂∂

=

zpx

Uo

γ

U

τ

c)

( ) 0

0

1

=+∂∂

>

zpx

Uo

γ

oU

U

τ

d)

( ) 0

0

1

>+∂∂

>

zpx

Uo

γ

oU

U

τ

Fig.9.1 Rappresentazione della distribuzione delle velocita e degli sforzitangenziali per il moto di lento scorrimento tra due piani paralleliper diverse condizioni di moto

Nel caso il piano superiore sia fermo (Uo = 0) si ottengono profili sim-metrici (grafici b nella figura 9.1 ). La soluzione, nota come moto piano diPoiseuille (1839) 1, e la seguente:

u1 =γi

μ

1

2x2(b − x2) (9.14)

1Jean Louis Marie Poiseuille, medico, fisiologo e fisico francese (Parigi, 1799- Parigi,1869). La soluzione e anche nota come equazione di Hagen-Poiseuille.

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e per gli sforzi tangenziali:

τ = γi (b

2− x2) (9.15)

Con riferimento a questo specifico caso la portata per unita di profonditarisulta essere:

q =∫ b

o

γi

μ

1

2x2(b − x2) dx2 =

γ i

12μb3 (9.16)

e quindi la velocita media:

U =q

b=

γ i

12μb2 =

2

3(u1)max (9.17)

Se invece il moto e determinato solo dal movimento del piano superiore,vale a dire se e assente il gradiente di piezometrica, ∂(p + γh)/∂x1 = 0, siottiene il moto piano di Couette (1890) (grafici c nella figura 9.1 ).

u1 = Uox2

b(9.18)

La distribuzione delle velocita e di tipo lineare, mentre lo sforzo tangen-ziali risulta costante:

τ21 =Uoμ

b(9.19)

E possibile ovviamente avere un moto nel quale il movimento del pianosuperiore e il gradiente delle pressioni agiscono in verso opposto: grafici dnella figura 9.1 .

9.1.2 cenni alla lubrificazione idrodinamica

– il moto tra due piani fissi e possibile solo in presenza di differenza dipressione tra monte e valle del piano.

– se il piano superiore (pattino) e di dimensioni limitate, alle sue es-tremita regna sempre la pressione atmosferica, quindi perche ci siamoto del liquido tra i due piani serve che uno dei due piani (il pat-tino superiore) si muova;

– se il piano si muove e non c’e differenza di pressione, non c’e neancheuna forza in grado di sostenere il piano superiore;

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– si riesce a ottenere sostentamento, solo inclinando il pattino;

– questo e il principio della lubrificazione idrodinamica

– lo stesso principio si applica agli alberi rotanti all’interno dei cuscinetti,nei quali per evitare il contatto tra le parti solide e necessaria unaeccentricita tra albero rotante e cuscinetto.

9.1.3 modello analogico di Hele Show

9.1.4 moto laminare nei tubi circolari

Il moto di lento scorrimento in un tubo in moto uniforme e stato studiatoda Poiseuille (1841). La soluzione del problema potrebbe essere facilmentetrovata utilizzando le equazioni del moto di lento scorrimento, nell’ipotesi dimoto uniforme o quasi uniforme quale quello che si instaura ad una certadistanza dall’imbocco del tubo in regime permanente:

∂

∂xi

(p + γz) = μ∂2ui

∂x2j

(9.20)

Vista la simmetria radiale del moto conviene fare riferimento ad una ternacilindrica. Il Laplaciano in coordinate cilindriche si scrive:2

∂2ui

∂x2i

= ∇2 =1

r

∂

∂r

(r∂u1

∂r

)(9.25)

2Infatti:

r =√

x23 + x2

2

∂r

∂x3=

2x3

2√

x23 + x2

2

=x3

re

∂r

∂x2=

2x2

2√

x23 + x2

2

=x2

r(9.21)

∂2u

∂x23

=∂

∂x3

∂u

∂x3=

∂

∂x3

(∂u1

∂r

∂r

∂x3

)=

∂

∂x3

(x3

r

∂u1

∂r

)

=1r

∂u1

∂r+ x3

∂

∂r

(1r

∂u1

∂r

)x3

r=

x23

r

∂

∂r

(1r

∂u1

∂r

)+

1r

∂u1

∂r(9.22)

e analogamente:

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In questo contesto risulta piu semplice trovare la soluzione dal bilanciodelle forze su un cilindro concentrico alla tubazione di lunghezza infinitesimadx1.

p π r2 − (p +∂p

∂x1

dx1 ) π r2 − γ π r2 dx1∂z

∂x1

− τr1 2 π r dx1 = 0 (9.26)

Lo sforzo τr1 si puo calcolare attraverso la relazione di Newton, scrittacon riferimento al sistema cilindrico. E facile verificare che in questo casoessa assume la forma:

τr1 = −μ∂u1

∂r(9.27)

Stante la simmetria, infatti, la velocita di deformazione risulta −∂u1/∂r:il segno negativo conferma che la velocita diminuisce nel verso positivo delladirezione radiale r.

∂2u1

∂x22

=x2

2

r

∂

∂r

(1r

∂u1

∂r

)+

1r

∂u1

∂r(9.23)

In definitiva, si ottiene:

∂2u1

∂x23

+∂2u1

∂x22

=x2

3 + x22

r

∂

∂r

(1r

∂u1

∂r

)+

2r

∂u1

∂r= r

∂

∂r

(1r

∂u1

∂r

)+

2r

∂u1

∂r

=1r

(2∂u1

∂r+ r2 ∂

∂r

(1r

∂u1

∂r

))=

1r

(2∂u1

∂r+ r2 1

r

∂2u1

∂r2− ∂u1

∂r

r2

r2

)

=1r

(∂u1

∂r+ r

∂

∂r

∂u1

∂r

)=

1r

∂

∂r

(r∂u1

∂r

)(9.24)

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Dopo aver sostituito la (9.27) nella (9.26) e dopo aver semplificato, nell’ipotesidi fluido incomprimibile, si ottiene:

− ∂p

∂x1

r − γ∂z

∂x1

r + 2μ∂u1

∂r= 0

−r∂

∂x1

(p + γ z) + 2μ∂u1

∂r= 0 (9.28)

Dall’applicazione del bilancio della quantita di moto in direzione normaleall’asse e tenendo conto che la componente radiale della velocita e nulla, siha inoltre:

∂

∂r(p + γ z) = 0 (9.29)

Si evince quindi dalla (9.29) e dalla (9.28) che la cadente piezometricadeve essere costante:

∂

∂x1

(p + γ z) = cost = −γ i (9.30)

per cui la (9.28) diviene:

∂u1

∂r= −1

2rγ i

μ

u1 = −1

4r2γ i

μ+ c1 (9.31)

La condizione al contorno e data dalla condizione di aderenza alla parete,poiche la condizione di simmetria e gia stata posta nella scrittura delleequazioni di bilancio: {

r = Ru1 = 0

(9.32)

dalla quale si ha:

0 = −1

4R2γ i

μ+ c1 (9.33)

c1 =1

4R2γ i

μ(9.34)

e quindi:

u1 =1

4

γ i

μ

(R2 − r2

)(9.35)

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La relazione (9.35) rappresenta l’equazione di un paraboloide di rotazione:la distribuzione delle velocita e quindi di tipo parabolico. Il moto in questecondizioni e detto moto laminare, in quanto si puo immaginare che il fluidosi muova per strati in forma di lamine concentriche. La velocita massima edata dalle seguente relazione:

umax =1

4

γ i

μR2 (9.36)

La portata si calcola come contributo elementare ad una superficie in-finitesima di corona circolare:

dA = 2πr dr

dQ = u1(r) 2πr dr = 2πr1

4

γ i

μ

(R2 − r2

)dr

Q =∫ R

odQ = 2π

1

4

γ i

μ

∫ R

o

(R2 − r2

)rdr

=πγ i

8μR4 (9.37)

La velocita media e quindi:

U =Q

πR2=

γ i

8μR2 =

1

2umax (9.38)

La (9.38) puo essere riscritta come relazione tra velocita e cadente piezo-metrica:

i =8μ

γ R2U = − ∂

∂x1

(p

γ+ z

)= − ∂

∂x1

(p

γ+ z + α

U2

2g

)= iE (9.39)

La relazione tra velocita (o portata) e cadente piezometrica e cioe lineare.Si noti che in moto uniforme la cadente piezometrica coincide con la cadentedella linea dell’energia, come riportato nella relazione (9.39). L’equazione(9.38) fornisce quindi anche la relazione che ci mette in grado di calcolarela dissipazione di energia per unita di lunghezza, da inserire nel bilancioenergetico:

iE = U8μ

R2g ρ=

U2

2 g

1

D

64U ρD

μ

=64

Re

1

D

U2

2 g(9.40)

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L’equazione (9.40) esprime la relazione tra la cadente della linea dell’energiaiE ed il carico cinetico U2/(2g), questo tipo di relazione, molto utilizzata neimoti turbolenti nelle condotte, e nota come formula di Darcy-Weisbach. Ilprimo rapporto a destra dell’ultimo segno di uguaglianza e di solito indicatocon il simbolo f , chiamato funzione di resistenza. La formula di Darcy-Weisbach nella forma valida per tutti i regimi di moto si scrive infatti:

iE =f

D

U2

2 g(9.41)

Per i moti laminari, dunque, la relazione (9.40) fornisce la seguente espres-sione per la funzione di resistenza:

f =64

Re

(9.42)

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