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8/18/2019 CAP2 VECTORES.ppt
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ctor s
ctor s
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Los topógrafos usan med!onespre!sas de magntudes "
dre!!ones para !rear mapas aes!a#a de grandes regones.
$e!tores$e!tores
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O%&et'os Despus deO%&et'os Despus de
!omp#etar este módu#o*!omp#etar este módu#o*de%er+de%er+, Demostrar -ue !ump#e #asDemostrar -ue !ump#e #as epe!tat'asepe!tat'as
matem+t!asmatem+t!as an+#ss de undades* +#ge%ra* an+#ss de undades* +#ge%ra*nota!ón !ent/0!a " trgonometr/a de tr+ngu#onota!ón !ent/0!a " trgonometr/a de tr+ngu#o
re!to.re!to.
, De0nr " dar e&emp#os de !antdadesDe0nr " dar e&emp#os de !antdades es!a#areses!a#ares ""'e!tora#es'e!tora#es..
, Determnar #osDetermnar #os !omponentes!omponentes de un 'e!tor dado.de un 'e!tor dado.
, 1n!ontrar #a1n!ontrar #a resu#tanteresu#tante de dos o m+s 'e!tores.de dos o m+s 'e!tores.
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1pe!tat'as1pe!tat'as
, De%e ser !apa2 de !on'ertr undadesDe%e ser !apa2 de !on'ertr undadesde med!ón para !antdades f/s!as.de med!ón para !antdades f/s!as.
Con'erta 34 m5s en 6#ómetros por7ora.
34888 8888888888 88888888 9 :33
6m57
m
s
: 6m
:444m
;
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1pe!tat'as (!ont.)1pe!tat'as (!ont.)
, Se supone mane&o de +#ge%raSe supone mane&o de +#ge%raun'erstara " fórmu#as smp#es.un'erstara " fórmu#as smp#es.
1&emp#o 0
2
f v v x t + =
Resuelva parav o
0
2 f v t xv
t
−
=
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1pe!tat'as (!ont.)1pe!tat'as (!ont.)
, De%e ser !apa2 de tra%a&ar enDe%e ser !apa2 de tra%a&ar ennota!ón !ent/0!a.nota!ón !ent/0!a.
1'a#=e #o sguente
(> :48;
)?
F 9 88888888 9 888888888888Gmm’
r 2
F 9
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1pe!tat'as (!ont.)1pe!tat'as (!ont.)
, De%e estar fam#ar2ado !on pre0&os de# SIDe%e estar fam#ar2ado !on pre0&os de# SI
metro (m) : m 9 : :44
m: Gm 9 : :4 m : nm 9 : :48 m
: Mm 9 : :4
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1pe!tat'as (!ont.)1pe!tat'as (!ont.)
, De%e domnar #a trgonometr/a de#De%e domnar #a trgonometr/a de#tr+ngu#o re!to.tr+ngu#o re!to.
y
x
R
θ
y 9 R senθ
y 9
R senθ
x 9 R !os
θ
x 9 R !os
θ
cos x
R
θ =
tan y
xθ = R? 9 x ? B
y ?R? 9 x ? B
y ?
sen
y
Rθ =
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Repaso de matem+t!asRepaso de matem+t!as
S sente ne!esdad deS sente ne!esdad depu#r sus 7a%#dadespu#r sus 7a%#dadesmatem+t!as* ntentematem+t!as* ntentee# tutora# de# Cap/tu#oe# tutora# de# Cap/tu#o? a!er!a de? a!er!a dematem+t!as. Lamatem+t!as. Latrgonometr/a setrgonometr/a sere'sa &unto !on #osre'sa &unto !on #os'e!tores en este'e!tores en estemódu#o.módu#o.
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La f/s!a es #a !en!aLa f/s!a es #a !en!a
de #a med!ón de #a med!ón
Comen!e !on #a med!ón de #ongtudsu magntud " su dre!!ón.
Comen!e !on #a med!ón de #ongtudsu magntud " su dre!!ón.
LongtuLongtu
dd
PesoPeso Temp Temp
oo
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Dstan!a !antdadDstan!a !antdades!a#ares!a#ar
na !antdades!a#ar
Só#o !ontenemagntud " !onsstede un n=mero " unaundad.
(?4 m* 34 m57* :4
A
B
Dstan!aDstan!a es #a #ongtud de #a rutaes #a #ongtud de #a rutatomada por un o%&eto.tomada por un o%&eto.
Dstan!aDstan!a es #a #ongtud de #a rutaes #a #ongtud de #a rutatomada por un o%&eto.tomada por un o%&eto.
s 9 ?4m
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Desp#a2amento8CantdadDesp#a2amento8Cantdad'e!tora#'e!tora#
na !antdad'e!tora#
Contene magntud dre!!ón* unn=mero* undad "+ngu#o.
:? m ;44 @ 6m 7
A
BD 9 :? m* ?4o
, Desp#a2amentoDesp#a2amento es #a separa!ónes #a separa!ónen #/nea re!ta de dos puntos enen #/nea re!ta de dos puntos enuna dre!!ón espe!0!ada.una dre!!ón espe!0!ada.
, Desp#a2amentoDesp#a2amento es #a separa!ónes #a separa!ónen #/nea re!ta de dos puntos enen #/nea re!ta de dos puntos enuna dre!!ón espe!0!ada.una dre!!ón espe!0!ada.
θ
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Dstan!a "Dstan!a "desp#a2amentodesp#a2amento
Desp#a2amentoDesp#a2amentonetoneto3 m* 13 m* 1
< m*< m*FF
D
Cu+# es #aCu+# es #adstan!adstan!are!orrdaHre!orrdaH :4
m JJ
DD 9 ? m* F9 ? m* F
, Desp#a2amentoDesp#a2amento es #a !oordenadaes #a !oordenada x x oo y y de #a pos!ón. Consdere unde #a pos!ón. Consdere unauto -ue 'a&a 3 m 1* #uego < m F.auto -ue 'a&a 3 m 1* #uego < m F.
, Desp#a2amentoDesp#a2amento es #a !oordenadaes #a !oordenada x x oo y y de #a pos!ón. Consdere unde #a pos!ón. Consdere unauto -ue 'a&a 3 m 1* #uego < m F.auto -ue 'a&a 3 m 1* #uego < m F.
x x 9 B39 B3 x x 9 8?9 8?
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Ident0!a!ón de dre!!ónIdent0!a!ón de dre!!ón
na forma !om=n de dent0!ar #a dre!!ónna forma !om=n de dent0!ar #a dre!!ónes !on referen!a a# este* norte* oeste " sur.es !on referen!a a# este* norte* oeste " sur.(%-ue #os puntos a%a&o.)(%-ue #os puntos a%a&o.)
na forma !om=n de dent0!ar #a dre!!ónna forma !om=n de dent0!ar #a dre!!ónes !on referen!a a# este* norte* oeste " sur.es !on referen!a a# este* norte* oeste " sur.(%-ue #os puntos a%a&o.)(%-ue #os puntos a%a&o.)
34 m* K434 m* K4oo N de#N de#11
1F
S
N
34 m*
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$e!tores " !oordenadas$e!tores " !oordenadaspo#arespo#ares
Las !oordenadas po#ares (Las !oordenadas po#ares (RR** θ θ ) son una) son unae!e#ente forma de epresar 'e!tores.e!e#ente forma de epresar 'e!tores.Consdere* por e&emp#o* a# 'e!torConsdere* por e&emp#o* a# 'e!tor 34 m* K434 m* K444
N de# 1N de# 1..
Las !oordenadas po#ares (Las !oordenadas po#ares (RR** θ θ ) son una) son unae!e#ente forma de epresar 'e!tores.e!e#ente forma de epresar 'e!tores.Consdere* por e&emp#o* a# 'e!torConsdere* por e&emp#o* a# 'e!tor 34 m* K434 m* K444
N de# 1N de# 1..
4o
:@4o
?>4o
4o
θ θ
4o
:@4o
?>4o
4o
RR
RR es #aes #a magntudmagntud "" θ θ #a#a dre!!óndre!!ón..
3434mm5050oo
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$e!tores " !oordenadas$e!tores " !oordenadaspo#arespo#ares
((RR** θ θ ) 9 34 m*) 9 34 m*K4K4oo((RR** θ θ ) 9 34 m*) 9 34 m*:?4:?4oo
((RR** θ θ ) 9 34 m*) 9 34 m*?:4?:4oo
((RR** θ θ ) 9 34 m*) 9 34 m*;44;44oo
5050oo60o
60o
60o4o:@4o
?>4o
4o
120o
Se dan !oordenadas po#ares (Se dan !oordenadas po#ares (RR** θ θ ) para) para!ada uno de #os !uatro pos%#es!ada uno de #os !uatro pos%#es!uadrantes!uadrantes
Se dan !oordenadas po#ares (Se dan !oordenadas po#ares (RR** θ θ ) para) para!ada uno de #os !uatro pos%#es!ada uno de #os !uatro pos%#es!uadrantes!uadrantes
210o
3000
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CoordenadasCoordenadasre!tangu#aresre!tangu#ares
Dere!7a* arr%a 9 (B*
B)I2-uerda* a%a&o 9 (8*8)
( x, y) 9 (H* H)
"
(B;*(B;*
B?)B?)
(8?* B;)(8?* B;)
(B3* 8;)(B3* 8;)(8:* 8;)(8:* 8;)
La referen!a seLa referen!a se7a!e a #os e&es7a!e a #os e&es x x ""
y y * " #os* " #os
n=merosn=meros BB "" nd!an pos!ónnd!an pos!ónen e# espa!o.en e# espa!o.
BBBB
88
88
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Repaso de trgonometr/aRepaso de trgonometr/a
, Ap#!a!ón de trgonometr/a aAp#!a!ón de trgonometr/a a'e!tores'e!tores
y
x
R
θ
y = R sen
θ
y = R sen
θ
x = R !osθ
x = R !osθ
cos x
Rθ =
tan y
xθ = R2 = x 2 +
y 2R2 = x 2 +
y 2
Trgonometr/a Trgonometr/a sen y
R
θ =
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1&emp#o :1&emp#o : 1n!uentre #a a#tura de1n!uentre #a a#tura deun ed0!o s pro"e!ta una som%raun ed0!o s pro"e!ta una som%radede 4 m4 m de #argo " e# +ngu#ode #argo " e# +ngu#ond!ado es dend!ado es de ;4;4oo..
4m
;44
La a#tura h es opuesta a ;44 " e##ado ad"a!ente !ono!do es de
4 m.
h
h 9 (4 m) tan;4o
h 9 K>.> mh 9 K>.> m
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Cómo en!ontrar !omponentesCómo en!ontrar !omponentesde 'e!toresde 'e!tores
n !omponente es e# efe!to de un 'e!tora #o #argo de otras dre!!ones. A!ontnua!ón se #ustran #os !omponentes
x " y de# 'e!tor (R* θ ).
x
y
R
θ
x 9 R cos θ
y 9 R sen θ
Cómo en!ontrar!omponentes
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1&emp#o ?1 &emp#o ? na persona !amnana persona !amna 344 m344 m en una dre!!ónen una dre!!ón ;4;4oo N de# 1N de# 1. Cu+n. Cu+n
#e&os est+ e# desp#a2amento a# este "#e&os est+ e# desp#a2amento a# este "!u+nto a# norteH!u+nto a# norteH
x
y
R
θ
x = ?
y = ?
344 m
30ο1
N
1# !omponente y (N) es
OP
1# !omponente x (1) esAD
x = R !os θ
y = R sen
θ
1
N
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1&emp#o ? (!ont.)1 &emp#o ? (!ont.) na !amnata dena !amnata de 344344mm en una dre!!ón aen una dre!!ón a ;4;4oo N de# 1N de# 1. Cu+n. Cu+n
#e&os est+ e# desp#a2amento de# este "#e&os est+ e# desp#a2amento de# este "!u+nto de# norteH!u+nto de# norteH
x = R!os
θ
x = (344 m) !os ;4o
= B;3< m 1
x = ?
y = ?
344 m
30ο1
N Nota:Nota: es e# #adoes e# #adoad"a!entead"a!ente a# +ngu#o dea# +ngu#o de
;4;444
ADAD 9 IP9 IP x x !os!os ;4;444
1# !omponente1# !omponente x x esesRR x x == B;3< mB;3< m
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1&emp#o ? (!ont.)1 &emp#o ? (!ont.) na !amnata dena !amnata de 344344mm en una dre!!ón aen una dre!!ón a ;4;4oo N de# 1N de# 1. Cu+n. Cu+n
#e&os est+ e# desp#a2amento de# este "#e&os est+ e# desp#a2amento de# este "!u+nto de# norteH!u+nto de# norteH
R x =
B;3
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Sgnos para !oordenadasSgnos para !oordenadasre!tangu#aresre!tangu#ares
Prmer!uadrante
R es post'o(B)
4o θ 4o
x 9 BE y 9 B x 9 R !osθ
y 9 R sen θ
B
B4o
4o
Rθ
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Sgnos para !oordenadasSgnos para !oordenadasre!tangu#aresre!tangu#ares
Segundo!uadrante
R es post'o (B)
4o θ :@4o
x 9 8 E y 9 B
x 9 R !os θ
y 9 R sen θ
B
Rθ
:@4o
4o
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S d dSgnos para !oordenadas
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Ter!er!uadrante
R es post'o
(B)
:@4o θ ?>4o
x 9 8 y 9 8 x 9 R !os θ y 9 R senθ
8R
θ
:@4o
?>4o
Sgnos para !oordenadasSgnos para !oordenadasre!tangu#aresre!tangu#ares
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Cuarto!uadrante
R es post'o (B)
?>4o θ ;
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Resu#tante de 'e!toresResu#tante de 'e!toresperpend!u#aresperpend!u#ares
1n!ontrar #a resu#tante de dos 'e!toresperpend!u#ares es !omo !am%ar de !oordenadasre!tangu#ares a po#ares.
R sempre es post'oE θ es desde e# e&e
B x
2 2
R x y= +2 2
R x y= +
tan y
xθ =tan
y
xθ = x
y R
θ
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1&emp#o ;1 &emp#o ; na fuer2a dena fuer2a de ;4 #%;4 #% 7a!a e#7a!a e#sur " una desur " una de 34 #%34 #% 7a!a e# este a!t=an7a!a e# este a!t=an
so%re un %urro a# msmo tempo. Cu+#so%re un %urro a# msmo tempo. Cu+#es #a fuer2a N1TA o resu#tante so%re e#es #a fuer2a N1TA o resu#tante so%re e#%urroH%urroH
;4
#%
34 #%
D%u&e un es-uemaD%u&e un es-uema%urdo.%urdo.
1#&a una es!a#a1#&a una es!a#a%urda%urda1& : !m 9 :4 #%
3 !m 9 34 #%
; !m 9 ;4 #%
34 #%
;4 #%
Nota La fuer2a tene dre!!ón ta# !omo#a #ongtud. Los 'e!tores fuer2a sepueden tratar !omo s se tu'eran
'e!tores #ongtud para en!ontrar #a
Nota La fuer2a tene dre!!ón ta# !omo#a #ongtud. Los 'e!tores fuer2a sepueden tratar !omo s se tu'eran
'e!tores #ongtud para en!ontrar #aDR(C).MG.ING.MARTIN SOLIS TIPIAN
Cómo en!ontrar #a resu#tanteCómo en!ontrar #a resu#tante
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Cómo en!ontrar #a resu#tanteCómo en!ontrar #a resu#tante(!ont.)(!ont.)
34 #%
;4 #%
34 #%
;4 #%
1n!ontrar (1n!ontrar (R,R, θ θ ) a partr de () a partr de ( x, y x, y ) dados 9 (B34*) dados 9 (B34*8;4)8;4)
R
φ
θ
R y
R x
R 9 ? B "? R 9 (34)? B (;4)? 9 K4#%
tan φ 98;4
34
φ 9
8;
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Nota!ón 'e!tor untaro (Nota!ón 'e!tor untaro (* &* 6* &* 6))
x
y Consdere e&es ;D ( x * y * )De0na 'e!tores untaros *
&* 6
&
6 1&emp#os deuso
34 m* 1 9 34 34 m* F 9
834
;4 m* N 9 ;4 & ;4 m* S 9 8;4 &
?4 m out 9 ?4 6 ?4 m n 9DR(C).MG.ING.MARTIN SOLIS TIPIAN
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1&emp#o 31&emp#o 3 na mu&er !amnana mu&er !amna ;4 m*;4 m*FFE #uegoE #uego 34 m* N34 m* N. 1s!r%a su. 1s!r%a su
desp#a2amento en nota!óndesp#a2amento en nota!ón * &* & " en" ennota!ónnota!ón RR** θ θ ..
8;4 m
B34 m R
φ
R 9 R x
B R y
&
R 9 8;4 B 34 &
R 9 8;4 B 34 &
R x 9 8 ;4
m
R y 9 B 34
m
1n nota!ón * & setene
1# desp#a2amento es ;4 m oeste
" 34 m norte de #a pos!ón de
1# desp#a2amento es ;4 m oeste" 34 m norte de #a pos!ón de
artda.DR(C).MG.ING.MARTIN SOLIS TIPIAN
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1&emp#o 3 (!ont.)1 &emp#o 3 (!ont.) A !ontnua!ónA !ontnua!ónse en!uentra su desp#a2amentose en!uentra su desp#a2amento
en nota!ónen nota!ón RR** θ θ ..
8;48;4
mm
B34B34
mm
R
φ
θ 9
:?
-
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1&emp#o .@6m
46 kmtan35 km
φ −
=−
φ 9 K?.>4 S de F.φ 9 K?.>4 S de F.
3< 6m3< 6m
;K;K
6m6mR 9 HR 9 H
φ φ =?=?
A A
RR 9 834θ 9 ?;?.>4
θ θ 9 :@49 :@444 BBK?.>K?.>44
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1&emp#o >.1&emp#o >. 1n!uentre #os !omponentes de1n!uentre #os !omponentes de#a fuer2a de ?34 N -ue e&er!e e# no so%re#a fuer2a de ?34 N -ue e&er!e e# no so%re
#a na s su %ra2o forma un +ngu#o de ?@#a na s su %ra2o forma un +ngu#o de ?@44
!on e# sue#o.!on e# sue#o.
?@?@44
F F 9 ?34 N9 ?34 N
F F F F y y
F F x x
F F y y
F F x x 9 8Q(?34 N) !os ?@9 8Q(?34 N) !os ?@44QQ 99 8?:?8?:?
NN
F F y y 9 BQ(?34 N) sen ?@9 BQ(?34 N) sen ?@44
QQ
99 B::;B::;
O en nota!ónO en nota!ón ** & &
FF 9 8(?:? N)9 8(?:? N)ii
B (::;B (::;NN)DR(C).MG.ING.MARTIN SOLIS TIPIAN
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1&emp#o @.1&emp#o @. 1n!uentre #os !omponentes1n!uentre #os !omponentesde una fuer2a dede una fuer2a de ;44 N;44 N -ue a!t=a a #o-ue a!t=a a #o#argo de# manu%ro de una podadora. 1##argo de# manu%ro de una podadora. 1#
+ngu#o !on e# sue#o es de+ngu#o !on e# sue#o es de ;?;?44..
;?;?44
F F 9 ;44 N9 ;44 N
F F F F y y
F F x x
F F y y
F F x x 9 8Q(;44 N) !os ;?9 8Q(;44 N) !os ;?44QQ 99 8?K38?K3
NNF F y y 9 8Q(;44 N) sen ;?9 8Q(;44 N) sen ;?
44QQ 99 8:K8:K
NN
;?;?oo
;?;?oo
O en nota!ónO en nota!ón ** & &
FF 9 8(?K3 N)9 8(?K3 N)ii 8 (:K8 (:K
N)N) j jDR(C).MG.ING.MARTIN SOLIS TIPIAN
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Mtodo de !omponentesMtodo de !omponentes
:.:. In!e en e# orgen. D%u&e !ada 'e!tor aIn!e en e# orgen. D%u&e !ada 'e!tor aes!a#a !on #a punta de# :o a #a !o#a de# ?o*es!a#a !on #a punta de# :o a #a !o#a de# ?o*#a punta de# ?o a #a !o#a de# ;o* " as/ para#a punta de# ?o a #a !o#a de# ;o* " as/ para#os dem+s.#os dem+s.
?.?. D%u&e #a resu#tante desde e# orgen 7astaD%u&e #a resu#tante desde e# orgen 7asta#a punta de# =#tmo 'e!tor " note e##a punta de# =#tmo 'e!tor " note e#!uadrante de #a resu#tante.!uadrante de #a resu#tante.
;. 1s!r%a !ada 'e!tor en nota!ón;. 1s!r%a !ada 'e!tor en nota!ón * &* &..
3.3. Sume a#ge%ra!amente #os 'e!tores paraSume a#ge%ra!amente #os 'e!tores parao%tener #a resu#tante en nota!óno%tener #a resu#tante en nota!ón * &* &. Luego. Luego!on'erta a (!on'erta a (RR** θ θ ).).
DR(C).MG.ING.MARTIN SOLIS TIPIAN
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1&emp#o .1 &emp#o . n %ote se mue'en %ote se mue'e ?.4 6m?.4 6m a#a#este* #uegoeste* #uego 3.4 6m3.4 6m a# norte* #uegoa# norte* #uego ;.4 6m;.4 6m a# oeste " 0na#mentea# oeste " 0na#mente ?.4 6m?.4 6m a# sur.a# sur.
1n!uentre e# desp#a2amento resu#tante.1n!uentre e# desp#a2amento resu#tante.
!!
NN:. In!e en e#:. In!e en e#orgen. D%u&e !adaorgen. D%u&e !ada'e!tor a es!a#a !on'e!tor a es!a#a !on#a punta de# :o a #a#a punta de# :o a #a!o#a de# ?o* #a punta!o#a de# ?o* #a puntade# ?o a #a !o#a de#de# ?o a #a !o#a de#;o* " as/ para #os;o* " as/ para #osdem+s.dem+s.?. D%u&e #a resu#tante desde e# orgen 7asta #a?. D%u&e #a resu#tante desde e# orgen 7asta #apunta de# =#tmo 'e!tor " note e# !uadrante depunta de# =#tmo 'e!tor " note e# !uadrante de#a resu#tante.#a resu#tante.Nota La es!a#a es apromada* pero toda'/aNota La es!a#a es apromada* pero toda'/a
es !#aro -ue #a resu#tante est+ en e# !uartoes !#aro -ue #a resu#tante est+ en e# !uarto
? 6m*? 6m*11
AA
3 6m* N3 6m* N
; 6m* O; 6m* OCC? 6m*? 6m*
SS
DD
DR(C).MG.ING.MARTIN SOLIS TIPIAN
1&emp#o (!ont )1
&emp#o (!ont ) 1n!uentre1n!uentre
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1&emp#o (!ont.)1 &emp#o (!ont.) 1n!uentre1n!uentree# desp#a2amento resu#tante.e# desp#a2amento resu#tante.
3.3. 1s!r%a !ada1s!r%a !ada'e!tor en nota!ón'e!tor en nota!ón* &* & A A 9 B?9 B?
BB 9 B 39 B 3 & &
"" 9 8;9 8;
## 9 8 ?9 8 ? & & 4.4. SumeSumea#ge%ra!amente #osa#ge%ra!amente #os
'e!tores'e!tores A A** BB** ""** ## para o%tener #apara o%tener #aresu#tante en nota!ónresu#tante en nota!ón
* &* &..
RR 99
8:8: B ?B ? & &
: 6m a# oeste " ?6m a# norte de#
orgen..
: 6m a# oeste " ?6m a# norte de#
orgen..
!!
NN
? 6m*? 6m*11
A A
3 6m* N3 6m* NBB
; 6m* O; 6m* O""? 6m*? 6m*
SS
##
5.5. Con'erta a nota!ónCon'erta a nota!ón RR**θθ $ea p+gna sguente.$ea p+gna sguente.
DR(C).MG.ING.MARTIN SOLIS TIPIAN
1& # ( t )1
&emp#o (!ont ) 1 t1n!uentre
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1&emp#o (!ont.)1 &emp#o (!ont.) 1n!uentre1n!uentredesp#a2amento resu#tante.desp#a2amento resu#tante.
!!
NN
? 6m*? 6m*11
A A
3 6m* N3 6m* NBB
; 6m* O; 6m* O""? 6m*? 6m*
SS
##La suma resu#tanteLa suma resu#tanteesesRR 9 8:9 8: B ?B ? & &
R y 9 B?6m
R x 9 8: 6m
RR
φ φ
A7ora en!uentreA7ora en!uentre RR**θ θ
2 2
( 1) (2) 5 R = − + =
R 9 ?.?36m
2 kmtan1 km
φ +=−
φ 9
-
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Re!ordatoro de undadesRe!ordatoro de undadessgn0!at'assgn0!at'as
!!
NN
? 6m? 6m
A A
3 6m3 6mBB
; 6m; 6m
""? 6m? 6m##Por !on'enen!a*Por !on'enen!a*
sga #a pr+!t!a desga #a pr+!t!a desuponer tres (;)suponer tres (;)!fras!fras
sgn0!at'as parasgn0!at'as paratodos #os datos entodos #os datos en#os pro%#emas.#os pro%#emas.1n e# e&emp#o anteror* se supone -ue1n e# e&emp#o anteror* se supone -ue#as dstan!as son ?.44 6m* 3.44 6m "#as dstan!as son ?.44 6m* 3.44 6m ";.44 6m.;.44 6m.Por tanto* #a respuesta se de%e reportarPor tanto* #a respuesta se de%e reportar!omo!omo
R 9 ?.?3 6m*
-
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g ossgn0!at'os parasgn0!at'os para
+ngu#os+ngu#os
34 #%
;4 #%R
φ
θ
R y
R x
34 #%
;4 #%R
θR y
R x
θ 9 ;
-
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1&emp#o :41&emp#o :4 1n!ontrar1n!ontrar RR** θ θ para #ospara #ostres desp#a2amentos 'e!tora#estres desp#a2amentos 'e!tora#essguentessguentes
A A 9 K m9 K m BB 9 ?.:9 ?.:mm
?4?444BB
"" 994.K m4.K mRR
θ θ
A A 9 K m* 49 K m* 444
BB 9 ?.: m*9 ?.: m*?4?444"" 9 4.K m*9 4.K m*
4444
:. Prmero d%u&e #os 'e!tores:. Prmero d%u&e #os 'e!tores A A** BB "" "" a es!a#aa es!a#aapromada " #os +ngu#os nd!ados. (D%u&oapromada " #os +ngu#os nd!ados. (D%u&o
%urdo)%urdo)?. D%u&e #a resu#tante desde e# orgen 7asta #a?. D%u&e #a resu#tante desde e# orgen 7asta #apunta de# =#tmo 'e!torE note e# !uadrante depunta de# =#tmo 'e!torE note e# !uadrante de#a resu#tante.#a resu#tante. ((RR** θ θ ))
;. 1s!r%a !ada 'e!tor en nota!ón;. 1s!r%a !ada 'e!tor en nota!ón * &* &..
(!ontn=a...)(!ontn=a...)DR(C).MG.ING.MARTIN SOLIS TIPIAN
& # 41
& # :4 1 t R ## t
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1&emp#o :41 &emp#o :4 1n!uentre1n!uentre RR** θ θ para #os trespara #os tresdesp#a2amentos 'e!tora#es sguentes.desp#a2amentos 'e!tora#es sguentes.(Puede ser =t# una ta%#a.)(Puede ser =t# una ta%#a.)
$e!tor$e!tor φ φ !omponente!omponente x x (())
!omponente!omponente y y (( & &))
A A 9 K9 Kmm
4444 B K mB K m 44
BB 9 ?.:9 ?.:mm
?4?444
B(?.: m) !osB(?.: m) !os?4?444
B(?.: m) senB(?.: m) sen?4?444
"" 9 4.K9 4.K 44 44 B 4.K mB 4.K m
A A 9 K m9 K m BB 9 ?.:9 ?.:mm
?4?444BB
"" 994.K m4.K mRR
θ θ
Para nota!ón * &* en!uentre #os!omponentes x *
y de !ada
'e!tor A* B* ".
DR(C).MG.ING.MARTIN SOLIS TIPIAN
1& # :4 ( )1
& # :4 ( t ) 11 t & &
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1&emp#o :4 (!ont.)1 &emp#o :4 (!ont.) 1n!uentre1n!uentre * &* & para tres 'e!torespara tres 'e!tores AA 9 K m* 49 K m* 444EE 9 ?.: m* ?49 ?.: m* ?444EE CC 9 4.K m* 49 4.K m* 444..
!omponente !omponente (())
!omponente "!omponente "(( & &))
AA 9 B K.44 m9 B K.44 m AA"" 9 49 4
9 B:.> m9 B:.> m "" 9 B4.>:@ m9 B4.>:@ m CC 9 49 4 CC"" 9 B 4.K4 m9 B 4.K4 m
AA 9 K.449 K.44 B 4B 4
& & 9 :.>9 :.> B 4.>:@B 4.>:@ & & CC 9 49 4 B 4.K4B 4.K4 & &
3. Sume #os3. Sume #os
'e!tores para'e!tores parao%tener #ao%tener #aresu#tanteresu#tante RR enennota!ónnota!ón * &* &.. RR
99 B :.??B :.?? & &DR(C).MG.ING.MARTIN SOLIS TIPIAN
1& # :4 ( t )1
& # :4 ( t ) 1 t1 t & &
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1&emp#o :4 (!ont.)1 &emp#o :4 (!ont.) 1n!uentre1n!uentre * &* & paraparatres 'e!torestres 'e!tores AA 9 K m* 49 K m* 444EE 9 ?.: m*9 ?.: m*?4?444EE CC 9 4.K m* 49 4.K m* 444..
2 2(6.97 m) (1.22 m) R = +
R 9 >.4@ mR 9 >.4@ m
1.22 mtan
6.97 mφ =
θ 9 .;4 N de# 1θ 9 .;4 N de# 1
RR 99 B :.??B :.?? & &
K. DetermneK. Determne RR** θ θ aapartr departr de x x ** y y
RR x x 9 9
mm
RR
θθRR y y:.??:.??mm
DagramaDagramaparaparaen!ontraren!ontrar RR**θ θ ::
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1& # ::1
& # :: # t & # t & ?4 1?4 1 ##
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1&emp#o ::1 &emp#o :: n !!#sta 'a&an !!#sta 'a&a ?4 m* 1?4 m* 1 #uego#uego34 m34 m aa
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A !ontnua!ón se propor!ona unaA !ontnua!ón se propor!ona una!omprensón gr+0!a de #os!omprensón gr+0!a de #os!omponentes " #a resu#tante!omponentes " #a resu#tante
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1&emp#o :: (!ont.)1 &emp#o :: (!ont.) se e# mtodo dese e# mtodo de!omponentes para en!ontrar #a!omponentes para en!ontrar #aresu#tanteresu#tante..
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1&emp#o :: (!ont.)1 &emp#o :: (!ont.) Mtodo deMtodo de!omponentes!omponentes
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1&emp#o :: (!ont.)1 &emp#o :: (!ont.) 1n!uentre #a1n!uentre #aresu#tante.resu#tante.
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& p& p pp#os 'e!tores -ue se muestran a#os 'e!tores -ue se muestran a!ontnua!ón.!ontnua!ón.
A 9 K m* 44
B 9 :? m* 44
" 9 ?4 m* 8;K4
AB
RR
θ θ
A A x x 9 4E9 4E A A y y 9 BK m9 BK m
BB x x 9 B:? mE9 B:? mE BB y y 99
44"" x x 9 (?4 m) !os9 (?4 m) !os
;K;K44"" y y 9 8(?4 m) sen9 8(?4 m) sen
8;K8;K44
AA 9 49 4 B K.44B K.44 & &
9 :?9 :? B 4B 4 & & CC 9 :
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1&emp#o :? (!ont.).1 &emp#o :? (!ont.). 1n!uentre A B B C1n!uentre A B B C
A
B
"
350
RR
θ θ RR
θ θ R x 9 [email protected]
m
R y
9 8
m
2 2(28.4 m) (6.47 m) R = + R 9 ?.: mR 9 ?.: m
6.47 mtan
28.4 mφ = θ 9 :?.@4 S de# 1θ 9 :?.@4 S de# 1
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Dferen!a 'e!tora#Dferen!a 'e!tora#
Para 'e!tores* #os sgnos nd!an #a dre!!ón.Para 'e!tores* #os sgnos nd!an #a dre!!ón.Por tanto* !uando se resta un 'e!tor* antesPor tanto* !uando se resta un 'e!tor* antesde sumar se de%e !am%ar e# sgnode sumar se de%e !am%ar e# sgno(dre!!ón).(dre!!ón).
Consdere prmero A B A B gr+0!amente
A
R 9 A B B
RR
A
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Dferen!a 'e!tora#Dferen!a 'e!tora#
Para 'e!tores* #os sgnos nd!an #a dre!!ón.Para 'e!tores* #os sgnos nd!an #a dre!!ón.Por tanto* !uando se resta un 'e!tor* antesPor tanto* !uando se resta un 'e!tor* antesde sumar se de%e !am%ar e# sgnode sumar se de%e !am%ar e# sgno(dre!!ón).(dre!!ón).
A7ora A – B prmero !am%e e# sgno(dre!!ón) de B* #uego sume e# 'e!tor
negat'o.
A
88
A
88RR
A
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Compara!ón de suma " resta de B
A
Suma " restaSuma " resta
R 9 A B B
RR
A 88RR
A
R 9 A 8 B
La resta resu#ta en un dferen!a sgn0!at'aLa resta resu#ta en un dferen!a sgn0!at'atanto en #atanto en #a magntudmagntud !omo en #a!omo en #a dre!!óndre!!ón de# 'e!tor resu#tante.de# 'e!tor resu#tante. Q(Q( A A BB)Q 9 Q)Q 9 Q A AQ 8 QQ 8 QBBQQ
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1&emp#o :;.1 &emp#o :;. DadosDados A 9 ?.3 6m NA 9 ?.3 6m N "" 9 >.@ 6m N9 >.@ 6m N en!uentre en!uentre A A "" A A..
AA?.3;?.3;
NN
>.>3>.>3
NN
A A E 8E 8
AA
A - B
BA8
(2.43 N – 7.74 S)
5.31 km,S
B - A
B 8A
(7.74 N – 2.43 S)
5.31 km,N
RR RR
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Resumen para 'e!toresResumen para 'e!tores
nana !antdad es!a#ar!antdad es!a#ar se espe!0!ase espe!0!a!omp#etamente só#o medante su!omp#etamente só#o medante sumagntud. (magntud. (34 m34 m** :4 ga#:4 ga#))
nana !antdad 'e!tora#!antdad 'e!tora# se espe!0!ase espe!0!a
!omp#etamente medante su magntud!omp#etamente medante su magntud "" dre!!ón. (dre!!ón. (34 m* ;434 m* ;444))
R x
R y R
θ
Componentes deComponentes de
RRRR x x = R= R !os!os θ θ
RR y y = R= R sensen θ θ
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Contn=a resumenContn=a resumen
R x
R y R
θ
Resu#tante deResu#tante de'e!tores'e!tores
2 2 R x y= +
tan y
xθ =
1n!ontrar #a1n!ontrar #a resu#tanteresu#tante de dos 'e!toresde dos 'e!toresperpend!u#ares es !omo !on'ertr deperpend!u#ares es !omo !on'ertr de!oordenadas po#ares (!oordenadas po#ares (RR** θ θ ) a re!tangu#ares) a re!tangu#ares((RR x x ** RR y y ).).
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Mt d d tMt d d t
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Mtodo de !omponentesMtodo de !omponentespara 'e!torespara 'e!tores
In!e en e# orgen " d%u&e !ada 'e!torIn!e en e# orgen " d%u&e !ada 'e!toren su!esón para formar un po#/gonoen su!esón para formar un po#/gonoet-uetado.et-uetado.
D%u&e #a resu#tante desde e# orgen 7astaD%u&e #a resu#tante desde e# orgen 7asta#a punta de# =#tmo 'e!tor " note e##a punta de# =#tmo 'e!tor " note e#!uadrante de #a resu#tante.!uadrante de #a resu#tante.
1s!r%a !ada 'e!tor en nota!ón1s!r%a !ada 'e!tor en nota!ón * &* & ((RR x x ,,RR y y ).).
Sume a#ge%ra!amente #os 'e!tores paraSume a#ge%ra!amente #os 'e!tores parao%tener #a resu#tante en nota!óno%tener #a resu#tante en nota!ón * &* &..Lue o !on'erta aLue o !on'erta a (RR θ , θ ..
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Dferen!a 'e!tora#Dferen!a 'e!tora#
Para 'e!tores* #os sgnos nd!an dre!!ón.Para 'e!tores* #os sgnos nd!an dre!!ón.Por tanto* !uando se resta un 'e!tor* antesPor tanto* !uando se resta un 'e!tor* antesde sumar se de%e !am%ar e# sgnode sumar se de%e !am%ar e# sgno(dre!!ón).(dre!!ón).
A7ora A – B prmero !am%e e# sgno(dre!!ón) de * #uego sume e# 'e!tor
negat'o.
A
88
A
88RR
A