Capítulo 18

Biomagnetismo

1

Fuerza magnética sobre una carga

La fuerza que un campo magnéticoB ejerce sobre una partícula convelocidadv y cargaQ es:

F = Qv ×B

El campo magnético se mide enteslas, T=kg/(s C). Ungausses igual a10−4 T.

La fuerza de Lorentz es la total que experimenta una partícula cargada:

F = Q (E + v ×B)

En un campo magnético uniforme una partícula cargada describe una cir-cunferencia de radio:

R =mv

QB

Fuerza magnética sobre una corriente

La intensidad de la corriente eléctrica es igual a:

I = nQvS

en donden es la densidad de partículas,Q y v la carga y la velocidad decada una de ellas yS la sección del hilo.

La fuerza magnética sobre un hilo conductor es

F = I l×B

Par de fuerzas sobre una espira

Definimos elmomento magnéticode una espira como:

M = IS

S es perpendicular a la espira y de módulo igual a su área.

Una espira de momento magnéticoM atravesada por una campomagnéticoB experimenta un momento de fuerza igual a:

τ = M ×B

Campo debido a una corriente

Cada elemento de corriente produce una contribución al campo magnéti-co dada por:

dB =µ0

4πIdl× rr2

I es la intensidad ydl el elemento diferencial de trayectoria.

µ0 es una constante universal igual a4π 10−7 m kg C2.

El campo magnético debido a un hilo conductor rectilíneo e infinito es:

B =µ0I

2πr

El campo es perpendicular al hilo. Si el pulgar de la mano derecha señalaen el sentido de la corriente, el resto de los dedos lo hacen en el sentidodel campo.

Problema 18.1

Un electrón posee una velocidad instantánea v = 300ı −300 m/s en un campo magnéticoB = 0.2ı+ 0.3k T. ¿Cuáles la fuerza que experimenta el electrón?

Problema 18.2

Un electrón viaja a 400 m/s en un campo magnético unifor-me de 0.1 T perpendicular a su velocidad. Determina:(a) el módulo de la fuerza que actúa sobre el electrón,(b) su radio de giro,(c) el tiempo que tarda en dar una vuelta.

Problema 18.3

La trayectoria de un protón que se mueve en el seno de uncampo magnético uniforme viene dada por:

r = 0.1 sen(10−3t)ı+ 0.1 cos(10−3t)+ 20tk m.

Calcula:(a) la velocidad del protón,(b) la fuerza que experimenta,(c) el campo magnético existente.

Problema 18.4

La velocidad de las partículas en un espectrómetro de ma-sas es de 100000 m/s y el campo magnético es de 0.05T. ¿Cuál es la masa de una partícula que choca con lapantalla a 27 cm del punto de entrada, sabiendo que estádoblemente cargada?

Problema 18.5

Deseamos construir un selector de velocidades que sólodeje pasar protones que viajen a 10000 m/s. ¿Qué cam-pos eléctrico y magnético hemos de aplicar y en qué sen-tido para conseguirlo?

Problema 18.6

Dos isótopos de nitrógeno de masas 2.17·10−26 y 2.34·10−26

kg son acelerados por una misma diferencia de potencialy entran en un campo magnético de 0.06 T. Si el radio dela circunferencia descrita por el isótopo más ligero es de15 cm, ¿cuál es el descrito por el isótopo más pesado?

Problema 18.7

Una varilla conductora de 20 cm de longitud y 10 gramosde masa descansa sobre dos rieles sobre los que puededeslizarse. Por ella circula una corriente de 12 A. Existeun campo magnético uniforme de 0.04 T perpendicular alplano formado por la varilla conductora y los rieles. ¿Quéfuerza actúa sobre la varilla? ¿Qué velocidad poseeríaésta al cabo de 0.3 segundos si inicialmente se encuentrareposo?

Problema 18.8

¿Cuál es el momento magnético de una bobina formadapor 100 espiras circulares de 3 cm de radio y por la quecircula una corriente de 5 A? ¿Qué momento de fuerza leejerce un campo magnético de 0.02 T a lo largo de su eje?¿Y si es perpendicular a éste?

Problema 18.9

Supón un modelo clásico de átomo de hidrógeno en el queel electrón describe una órbita circular de 0.53 Å alrededordel protón. ¿Cuál es el momento magnético debido a lacorriente del electrón?

Problema 18.10

¿Qué campo magnético produce una corriente eléctrica de10 A a una distancia de 0.5 m del hilo rectilíneo por el quecircula?

Problema 18.11

Determina el módulo y el sentido de la fuerza que experi-mentan dos hilos conductores rectilíneos paralelos sepa-rados 1 mm por los que circulan dos corrientes eléctricasiguales de 3 A en sentidos opuestos.

18.1 Un electrón posee una velocidad instantánea v = 300ı − 300 m/s en uncampo magnético B = 0.2ı + 0.3k T. ¿Cuál es la fuerza que experimenta elelectrón?

La fuerza magnética que experimenta el electrón es:

F = Qv ×B = −1.6 · 10−19

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ı k

300 300 00.2 0 0.3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= −1.6 · 10−19(−90ı− 90+ 60k)

= 10−18(14.4ı+ 14.4− 9.6k) N.

18.2 Un electrón viaja a 400 m/s en un campo magnético uniforme de 0.1 Tperpendicular a su velocidad. Determina:

(a) el módulo de la fuerza que actúa sobre el electrón,

(b) su radio de giro,

(c) el tiempo que tarda en dar una vuelta.

(a) El módulo de la fuerza que actúa sobre el electrón vale:

|F | = Q |v ×B| = evB sen θ

= 1.6 · 10−19 400 · 0.1 = 6.4 · 10−18 N.

(b) El radio de giro se obtiene igualando la fuerza a la masa por laaceleración:

F = mv2

Ry de aquí despejamosR:

R =mv2

F=

9.1 · 10−31 4002

6.4 · 10−18 = 2.27 · 10−8 m.

(c) El tiempo que el electrón tarda en dar una vuelta es la longitud dela circunferencia dividida por su velocidad:

t =2πR

v=

2π2.27 · 10−8

400= 3.6 · 10−10 s.

18.3 La trayectoria de un protón que se mueve en el seno de un campo mag-nético uniforme viene dada por:

r = 0.1 sen(10−3t)ı+ 0.1 cos(10−3t)+ 20tk m.

Calcula:

(a) la velocidad del protón,

(b) la fuerza que experimenta,

(c) el campo magnético existente.

(a) La velocidad es la derivada temporal del vector de posición:

v =dr

dt= 10−4 cos(10−3t)ı− 10−4 sen(10−3t)+ 20k m/s.

(b) La fuerza la obtenemos multiplicando la masa por la aceleración:

F = 1.67 · 10−27[−10−7 sen(10−3t)ı− 10−7 cos(10−3t)

]= −1.67 · 10−34

[sen(10−3t)ı− cos(10−3t)

]N.

(c) De la expresión de la velocidad vemos que el campo magnético hade señalar en la direcciónZ, pues dicha componente de la velocidadno varía. Entonces:

F = Qv ×B =⇒ Fx = QvyB,

y el campo vale:

B =FxQvy

=−1.67 · 10−34 sen(10−3t)

−1.6 · 10−19 10−4 sen(10−3t)= 1.04 · 10−11 T.

18.4 La velocidad de las partículas en un espectrómetro de masas es de 100000m/s y el campo magnético es de 0.05 T. ¿Cuál es la masa de una partícula quechoca con la pantalla a 27 cm del punto de entrada, sabiendo que está doble-mente cargada?

El radio de giro de la partícula es de27/2 = 13.5 cm:

R =mv

QB.

Por tanto, la masa de dicha partícula vale:

m =RQB

v=

0.135 · 2 · 1.6 · 10−19 0.05

100000= 2.16 · 10−26 kg.

18.5 Deseamos construir un selector de velocidades que sólo deje pasar pro-tones que viajen a 10000 m/s. ¿Qué campos eléctrico y magnético hemos deaplicar y en qué sentido para conseguirlo?

La fuerza eléctrica que experimenten los protones habrá de ser igual, perode sentido contrario, que la magnética. Así, los módulos deE yB habránde verificar:

Fe = QE = Fm = QvB =⇒ E

B= v = 10000 m/s.

E habrá de ser perpendicular a la dirección de las partículas.B será per-pendicular a dicha dirección y a la deE. Llamemosı al vector unitarioen el sentido de la velocidad y al del sentido deE. El campo magnéticohabrá de señalar haciak, para que la fuerza magnética sea en el sentido−, al contrario que la eléctrica.

18.6 Dos isótopos de nitrógeno de masas 2.17 · 10−26 y 2.34 · 10−26 kg son ace-lerados por una misma diferencia de potencial y entran en un campo magnéticode 0.06 T. Si el radio de la circunferencia descrita por el isótopo más ligero esde 15 cm, ¿cuál es el descrito por el isótopo más pesado?

Lo único que varía de un isótopo a otro es la masa. Por tanto, los radiosde las circunferencias serán proporcionales a las masas:

R2 =m2

m1R1 =

2.34 · 10−26

2.17 · 10−26 15 = 16.2 cm.

18.7 Una varilla conductora de 20 cm de longitud y 10 gramos de masa des-cansa sobre dos rieles sobre los que puede deslizarse. Por ella circula unacorriente de 12 A. Existe un campo magnético uniforme de 0.04 T perpendicu-lar al plano formado por la varilla conductora y los rieles. ¿Qué fuerza actúasobre la varilla? ¿Qué velocidad poseería ésta al cabo de 0.3 segundos siinicialmente se encuentra reposo?

La fuerza que actúa sobre la varilla es en la dirección de los raíles y demodulo igual a:

F = IlB = 12 · 0.2 · 0.04 = 0.096 N.

La aceleración de la varilla es:

a =F

m=

0.096

0.01= 9.6 m/s2.

La velocidad transcurridos 0.3 segundos vale:

v = v0 + at = 0 + 9.6 · 0.3 = 2.88 m/s.

18.8 ¿Cuál es el momento magnético de una bobina formada por 100 espirascirculares de 3 cm de radio y por la que circula una corriente de 5 A? ¿Quémomento de fuerza le ejerce un campo magnético de 0.02 T a lo largo de sueje? ¿Y si es perpendicular a éste?

El momento de la bobina es el número de espiras por el área de cada unade ellas por la corriente:

M = NSI = 100π 0.032 5 = 1.41 A m2.

Si el campo es a lo largo del eje de la bobina, no ejerce momento defuerza alguno por simetría. Si el campo es perpendicular, el momento dela fuerza vale:

τ = MB = 1.41 · 0.02 = 0.028 N m.

18.9 Supón un modelo clásico de átomo de hidrógeno en el que el electróndescribe una órbita circular de 0.53 Å alrededor del protón. ¿Cuál es el mo-mento magnético debido a la corriente del electrón?

Hemos de calcular primero la velocidad del electrón. Para ello igualamosla fuerza a la masa por la aceleración:

F =1

4πε0

e2

r2 = mv2

r,

y despejamos de aquí:

v =

√√√√ 1

4πε0

e2

rm=

√√√√ 9 · 109 1.62 10−38

0.53 · 10−10 9.1 · 10−31 = 2.2 · 106 m/s.

El momento magnético del electrón en este supuesto átomo será:

M = IS =Q

tπr2 =

Qv

2πrπr2

= 12 1.6 · 10−19 2.2 · 106 0.53 · 10−10 = 9.3 · 10−24 A m2.

18.10 ¿Qué campo magnético produce una corriente eléctrica de 10 A a unadistancia de 0.5 m del hilo rectilíneo por el que circula?

El campo magnético producido por una corriente rectilínea viene dadopor:

B =µ0I

2πr= 2 · 10−7 10

0.5= 4 · 10−6 T.

18.11 Determina el módulo y el sentido de la fuerza que experimentan doshilos conductores rectilíneos paralelos separados 1 mm por los que circulandos corrientes eléctricas iguales de 3 A en sentidos opuestos.

El módulo de la fuerza entre los dos hilos conductores es:

F = ILB = ILµ0I

2πr= 2 · 10−7 32

0.001L = 1.8 · 10−3 L.

Lo que está bien definido es la fuerza por unidad de longitud. Para saberel sentido de la fuerza aplicamos primero la regla de la mano derecha; sisuponemos los cables verticales en el plano del papel y la corriente del dela derecha va hacia arriba, produce un campo magnético en la posicióndel otro cable hacia afuera del papel. Aplicando la expresión de la fuerzaque un campo ejerce sobre un hilo encontramos que la fuerza entre loscables es repulsiva.