capital asset pricing model -robert merton-: teorÍa y

7Cuadernos Latinoamericanos de Administración - Vol. IV No. 6 - Enero - Junio de 2008 - ISSN 1900-5016

CAPITAL ASSET PRICING MODEL -ROBERTMERTON-: TEORÍA Y EVIDENCIA EMPÍRICA

PARA COLOMBIA 2001-20071

CAPITAL ASSET PRICING MODEL-ROBERTMERTON-: THEORY AND EMPIRICAL EVIDENCE

FOR 2001-2007 COLOMBIA

Rafael Sarmiento Lotero Ph. D.2

José Rodrigo Vélez Molano Msc.

1 Trabajo de investigación teórica efectuado por los autores para publicar en Cuadernos Latinoamericanos deAdministración. www.unbosque.edu.co Entregado 03/18/2008 Aprobado 15/05/2008.

2 Rafael Sarmiento Lotero. Economista, Magíster Economía Univ. Andes, Magíster economía Univ. Zurich Suiza,Especialista Finanzas Univ. Javeriana, Magíster Economía Univ. Louvaine la Neuve Belgique, Magíster EconomíaFinanciera Univ. Lyon 2 France, Doctor economía Univ. Louvaine Neuve, Belgique, PostDoctor Univ Lyon 2 y Univ.Geneve Suiza. Profesor investigador, Univ Javeriana, Facultad de economía y Magíster Economía., Teoría delPortafolio Univ Javeriana, Prof. de Riesgo y Concesiones Univ. Externado, Prof. Riesgo Univ. Militar, Prof. Riesgoy Portafolios Unv. del Bosque. [email protected], [email protected] Vélez Molano. Economista, Univ. Javeriana, Magíster Economía Univ. Javeriana, Profesor asistente enEconomía Univ. Javeriana y Univ. Militar. En Teoría de Portafolios. [email protected]

RESUMEN

En los años recientes se ha observado un cre-ciente interés por el mercado financiero en Co-lombia, el constante incremento en sus tasas deretorno hace que cada vez más personas desti-nen más recursos en este tipo de inversión ver-sus otras alternativas como la especulación detierras o finca raíz.

A pesar de este aumento en el volumen de ne-gociación que ha sufrido el mercado de valorescolombiano todavía se considera a éste un mer-cado poco profundo y por tal hecho esta sujeto aimperfecciones que generan asimetrías en la in-formación que maneja los agentes que partici-pan en él.

Una consecuencia de estas asimetrías es que in-troduce muchas perturbaciones a los precios delos activos financieros lo que lleva a malos pro-nósticos de los retornos utilizando modelos deanálisis fundamental. De aquí que en la prácticasea más popular el análisis técnico, el cual tienepoco o ningún fundamento estadístico.

ABSTRACT

Recent years have seen a growing interest inthe financial market in Colombia, the steadyincrease in their rate of return makes more andmore people place more resources in this typeof investment versus alternatives such asspeculation in land or real estate.

Despite this increase in volume of trading thatthe market has suffered Colombian stock is stillconsidered him a little deeper and by that actis subject to imperfections that create asym-metries in the information that drives thoseinvolved in it.

One consequence of these asymmetries is thatit introduces a lot of disturbances the prices offinancial assets which leads to bad forecasts ofreturns using models of fundamental analysis.

Hence, in practice is the most popular techni-cal analysis, which has little or no basis Statis-tical. For this reason this document is basedon the need to highlight the importance of the

Capital asset pricing model -Robert Merton-: Teoría y evidencia empírica para Colombia 2001-2007

8 Cuadernos Latinoamericanos de Administración - Vol. IV No. 6 - Enero - Junio de 2008 - ISSN 1900-5016

Por tal motivo este documento se basa en la ne-cesidad de resaltar la importancia de los mode-los clásicos para el mercado financiero tal y comolo es el Capital Asset Pricing Model (CAPM), loscuales permiten determinar el comportamientode los activos financieros y el uso de la informa-ción de una manera mucho más rigurosa.

PALABRAS CLAVE

Mercado financiero, tasas de retorno, imperfec-ciones, asimetrías, pronósticos de retornos,CAPM.

classic models for the financial market as it isthe Capital Asset Pricing Model (CAPM), whichallows determining the behavior of financialassets and the use of information in a muchmore rigorous.

KEY WORDS

Financial markets, Rate of return, imperfections,asymmetries, forecast of returns, Capital AssetPricing Model / CAPM.

1. INTRODUCCIÓN

En los años recientes se ha observado un cre-ciente interés por el mercado financiero enColombia, el constante incremento en sus tasade retorno hace que cada vez más personasdestinen más recursos en este tipo de inver-sión versus otras alternativas como la espe-culación de tierras o finca raíz.

A pesar de este aumento en el volumen denegociación que ha sufrido el mercado de va-lores colombiano todavía se considera a ésteun mercado poco profundo y por tal hecho estasujeto a imperfecciones que generan asime-trías en la información que maneja los agen-tes que participan en él.

Una consecuencia de estas asimetrías es queintroduce muchas perturbaciones a los preciosde los activos financieros lo que lleva a malospronósticos de los retornos utilizando mode-los de análisis fundamental. De aquí que en lapráctica sea más popular el análisis técnico, elcual tiene poco o ningún fundamento estadís-tico.

Por tal motivo este documento se basa en lanecesidad de resaltar la importancia de losmodelos clásicos para el mercado financierotal y como lo es el Capital Asset Pricing Model(CAPM), los cuales permiten determinar elcomportamiento de los activos financieros yel uso de la información de una manera mu-cho más rigurosa.

El documento se divide en cinco secciones. Laprimera sección contiene la introducción. Lasegunda sección se presenta el modelo clási-co del CAPM. En la tercera sección se presentael modelo desarrollado por Robert Merton ba-sado en el CAPM y en el cual se utiliza el cál-culo estocástico para determinar las deman-das por los activos financieros. En la cuartasección se presentan la evidencia empírica delos modelos para el caso colombiano y en laúltima sección las conclusiones.

2. CAPITAL ASSET PRICING MODEL3

El CAPM se enfoca en la explicación de la pri-ma de riesgo para los activos financieros per-mitiendo que un inversionista interactúe en unmercado. Sin embargo, el modelo CAPM sebasa en la teoría de Harry Markowitz (1952)sobre la disyuntiva de los individuos entre ries-go y retorno.

Así es como se puede tomar como punto departida la condición de eficiencia4 que debecumplir un portafolio que contenga solo acti-vos riesgosos. Esta condición es:

(1)

Donde existen n activos riesgosos, r0 es el re-

torno sobre un activo libre de riesgo, μi es el

retorno esperado sobre el activo i con i=1,2,...ny por construcción βi = σ

iZ /σ2Z, con Z como un

portafolio eficiente. La expresión (1) indica que

3 Para el desarrollo y explicación de este modelo se tomó como base el libro de Bailey The Economics of FinancialMarkets y el paper de Robert Merton (1973) titulado An Analytic Derivation of Efficent Fronteir.

4 Un portafolio que cumpla la condición de eficiencia, es aquel portafolio que para un nivel de retorno esperado produceel mínimo riesgo posible.

Rafael Sarmiento Lotero - José Rodrigo Vélez Molano



pequeños cambios en la composición del por-tafolio debido a cambios en la participación deun activo i afecta en igual proporción a todoslos otros activos del portafolio, de otra mane-ra, si (1) no se cumple es posible obtener unmayor retorno sobre el portafolio sin que estoimplique un aumento en el riesgo. Bajo estacondición de eficiencia se puede encontrar elequilibrio de mercado bajo el modelo CAPM,como se muestra a continuación.

Sea el inversionista j = 1,2,...,m, el valor de laposición sobre el activo i es z

iB

j5, donde B

j es

el valor total del portafolio del inversionistaj y z

i es la ponderación destinada al activo i

(bajo la condición ), bajo un equilibriode mercado el valor de mercado del activo i,p

iX

i, debe ser igual a la suma de los valores de

las posiciones sobre el activo i de los m inver-sionistas, z

iB, la definición anterior se puede

resumir en la siguiente expresión:

para (2)

Resolviendo de (2) para zi se obtiene la siguien-

te condición de equilibrio:

para (3)

La ecuación (3) implica que el equilibrio demercado se presenta cuando los precios de losactivos se ajustan tal que z

i es igual a la pon-

deración del activo i en el portafolio de mer-cado p

iX

i/B.

Este argumento implica que el portafolio cons-truido por los inversionistas debe ser igual alportafolio de mercado -bajo la condición deequilibrio-, es decir, la selección de activos ries-gosos realizada por los inversionistas -puedeser a través del método media-varianza deMarkowitz- debe dar como resultado un por-tafolio eficiente en el cual sus ponderacionessean iguales a las de equilibrio.

Sin embargo, debido a la distinta aversión alriesgo que poseen los agentes y a la posibili-dad de negociar un activo a una tasa libre deriesgo, cada portafolio difiere en la posiciónque se tiene sobre éste activo. Los portafoliosóptimos de estas características se encuen-tran en lo que se denomina la Capital MarketLine ó CML. Para encontrar la CML se utiliza elconcepto del Cociente de Sharpe el cual esta-blece que todos los portafolios eficientes ge-neran un mismo exceso de retorno sobre uni-dad de riesgo, es decir:

(4)

Donde Z es un portafolio eficiente y M es elportafolio de mercado, al resolver (4) en fun-ción del retorno del mercado:

(5)

La expresión (5) es la expresión para la CMLdado el retorno libre e riesgo.

Reemplazando (5) en (1) se puede mostrar quela siguiente igualdad se cumple:

para (6)

Donde βι = σiM

/ σ2

M. La expresión (6) se suele

escribir como:

para (7)

La ecuación (7) es la predicción principal delmodelo CAPM y establece que el retorno espe-rado sobre un activo i es una función lineal dela prima de riesgo, (μΜ − r0), con una pendien-te igual a βi.

La Security Market Line (SML) también se de-riva de (7), en la cual para valores dados deμΜ − r0 se puede hallar μi versus βi con inter-cepto r0.

5 El subíndice j se ha excluido de z ya que bajo el supuesto de expectativas homogéneas la matriz de VARCOV esigual para todos los inversionistas por lo tanto la ponderación sobre el activo i también lo será.



El Gráfico 1 muestra de que manera el CAPMpredice el retorno esperado de un activo, es

decir, para cualquier valor de βi SML indica cual

debe ser el retorno esperado para el activo i,si (7) se cumple todos los retornos de los ac-tivo deben estar sobre la SML y se presentaequilibrio en el mercado financiero. Existen dosposibilidades de desequilibrio:

(a) Sí existe un activo por encima de la SMLquiere decir que su retorno observado esmayor que el predicho por el CAPM, estoindica que su precio está subestimado. Porlo tanto, los inversionistas esperan que elprecio del activo se ajuste hacia arriba amedida que el mercado vuelve a encon-trar el equilibrio y esta tendencia al alzaincrementa la demanda por éste activo.

(b) De igual manera sí existe un activo pordebajo de la SML su precio esta sobresti-mado, el mercado corrige sus expectati-vas hacia la baja sobre el precio del activodisminuyendo así la demanda por éste ac-tivo.

Para realizar una estimación del modelo CAPMse considera a μ

i y μ

M como variables aleato-

rias, esto permite escribir (7) de la forma:

para (8)

Donde εt es un término de perturbación esto-

cástica. La expresión (8) se puede estimar porMCO ó Máxima Verosimilitud siempre y cuan-do se cumpla:

para (9)

para (10)

para (11)

Al cumplirse las condiciones anteriores se ga-rantiza obtener un estimador para βi insesga-do, eficiente y consistente.

Sí al estimar (7) α0 > 0, se presenta el caso (a)de desequilibrio, sí se presenta que α0 < 0 sepresenta el caso de desequilibrio (b). Por lotanto, para no rechazar el modelo CAPM comoun modelo que permite determinar un equili-brio en el mercado de capitales se necesitaque α0 sea estadísticamente igual a cero y queβi sea significativo para poder estimar SML yestablecer una función lineal entre retorno yprima de riesgo, además de las otras bonda-des que debe poseer un modelo cuando serealiza una estimación econométrica.

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ



Otro aspecto importante de (8) es que permi-te determinar el tipo de riesgo al que esta ex-puesto el inversionistas y su participación. Elriesgo sistémico es aquel al que todos los in-versionistas están expuestos, a este riesgotambién se le conoce como riesgo de mercadoy no es posible diversificarlo. La otra clase deriesgo es el idiosincrásico el cual esta repre-sentado por el término de perturbación ya querecopila todas aquellas variables que el mer-cado no encierra y es el único riesgo diversifi-cable en el modelo.

2.1. Metodología para hallar el PortafolioEficiente en el modelo CAPM

Hasta ahora se ha expuesto las condiciones ycriterios que deben cumplir los portafolios óp-timos a partir del CAPM, a continuación se pre-sentan una de las metodologías para resolverel problema de optimización del portafolio.

Por (5) se puede construir el gráfico de CML ya su vez se puede incluir los portafolios efi-cientes conformados de solo activos de riesgoademás de la tasa libre de riesgo.

En el Gráfico 2 se puede ver que la CML y latasa libre de riesgo forman un ángulo denota-do θ. El objetivo de esta técnica es determinarcual es la pendiente de la CML que es tangen-te a la frontera eficiente. Por definición la tan-gente de un ángulo es el cateto opuesto sobrecateto adyacente, dado que el portafolio ópti-mo debe estar en el punto A, el cateto opues-to es μ∗ − r

0 y el cateto adyacente es σ*, por lo

que la expresión de esta tangente esta dadapor:

(12)

Teniendo presente que

(13)

(14)



Se puede reemplaza (13) y (14) en (12) y seprocede a maximizar la tangente de θ, de lasiguiente forma:

(15)

Con el fin de conseguir la mayor pendienteposible de la CML se encuentran las condicio-nes de primer orden de la programación (15)en función de las ponderaciones de cada acti-vo i. Estas condiciones de primer orden no sonfáciles (muchas veces no posibles) de despe-gar en función de las ponderaciones, por lotanto se utilizan métodos numéricos para en-contrar aquellas ponderaciones que satisfa-gan dichas condiciones.

El modelo CAPM expuesto en esta sección co-rresponde a Sharpe (1961, 1964) y Lintner(1965, 1969) y sobre el cual hay una extensaliteratura tanto reconstruyendo el modelo comoenfatizando en sus falencias.

Tal vez la falla más significativa del modeloCAPM es suponer que los inversionistas tomansus decisiones en un único periodo, en otraspalabras, que la demanda por cualquier activoriesgoso i solo dependa de su comportamien-to como de la correlación que tenga con losotros activos. En la práctica se puede obser-var que los inversionistas a veces están máspreocupados por el estado futuro del mercadofinanciero que por el mismo presente. Losagentes se generan expectativas sobre losvalores futuros de los retornos y con base enellas programan una estrategia en la cual pue-dan arbitrar entre dos periodos de tiempo. Estafalla esta representada en el hecho de que elCAPM supone que μ y σ, permanecen cons-tantes, la solución esta en permitir que el con-junto de oportunidades de inversión, μ y σ,cambie en el tiempo, esto implica que a partede modelar el comportamiento de los preciosde activos ahora hay que modelar el compor-tamiento del retorno esperado y la varianzaen el contexto de optimización intertemporal.

Así es como Robert Merton desarrolla el CAPMen tiempo continuo con el fin de resolver elproblema de a-temporalidad en las decisionesde inversión de los agentes que actúan en elmercado financiero.

3. ARBITRAGE PRICING THEORY (APT)

Este modelo fue desarrollado por Roll Ross(1980) y de manera general se puede ver comoun modelo de formación de precios a travésdel arbitraje en cual la oportunidad de vendercaro y comprar barato es posible (ventas encorto), hasta aquí se pueden ver ya dos dife-rencias con el CAPM, modelo en el que hayausencia de arbitraje y no se permiten las te-nencias negativas.

Los supuestos sobre los que trabaja el APT sonlos siguientes:

o Es un proceso de generación de retornos.o No requiere supuestos más allá de la con-

cavidad y la monotonicidad de las funcio-nes de utilidad.

o No se necesita que el portafolio de merca-do sea de mínima varianza.

o Existe arbitraje.o Se permiten las ventas en corto.o Los mercados son cuasi-completos.o Existe un activo libre de riesgo o por lo

menos se puede construir un portafoliodiversificado que tenga cero de sensibilidadcon el mercado o con los factores de riesgoadicionales, pero con inversión positiva.

El primer supuesto hace referencia a que elmodelo describe el comportamiento de loscambios porcentuales en los precios, es decir,los retornos. El segundo supuesto simplementeindica que el inversionista trabaja bajo la ra-cionalidad económica de que los individuos sonadversos al riesgo.

Los supuestos tres, cuatro y cinco se puedenjustificar bajo el siguiente argumento. Dadoque es un modelo basado en la no ausencia dearbitraje es importante dejar clara la defini-ción. Ausencia de arbitraje implica que ningúnagente puede obtener dinero riesgoso sin costoalguno, es decir, nadie puede alcanzar unamayor utilidad sin violar su restricción presu-puestaria. Para apoyar esta definición, el mo-delo de activos contingentes Arrow-Debreudice que hay ausencia de arbitraje si es posi-ble replicar cualquier retorno dado un conjun-



to completo de activos A-D tales que, el pre-cio pagado en el mercado por un activo es elmismo que se obtiene si se infiriere el preciodesde los retornos replicados del portafolio.De otra manera se podrá vender el activo mascaro y comprar el más barato, en cual la ga-nancia tendrá un costo y riesgo igual a cero.Así mismo se define como portafolio de arbi-traje aquel portafolio que se financia por simismo. La oportunidad de arbitraje se da cuan-do el portafolio de arbitraje genere gananciassuperiores en sus activos con ponderacionespositivas que alcancen a cubrir sus posicionesde venta corta en los otros activos, en otraspalabras tendrá retornos positivos en cualquierestado de la naturaleza.

Sin embargo, el APT se separa del modeloArrow-Debreu, primero en la medida que re-emplaza la estructura de pagos dado un esta-do de la naturaleza por una en donde los acti-vos solo remuneran si toma algún riesgo, estosignifica que se pueden encontrar factores es-pecíficos para cada activo que determinen ex-haustivamente los retornos. Y segundo, quelos precios de los activos no son determina-dos a través de las preferencias y dotacionesiniciales que conforman la demanda y ofertaen un modelo de equilibrio general, sino queson deducidos de los retornos observados delos activos.

Para eliminar el problema de los mercadoscuasi-completos, el APT solo necesita que exis-ta un mercado lo suficientemente amplio enacciones con diferentes características y conun mínimo de restricciones de negociación,dada esta estructura de mercado se puede de-sarrollar el APT de la siguiente manera.

Todos los activos se comportan con respectoal factor común de riesgo6 de la forma:

(15)

Ahora suponga que el riesgo sistémico pre-sente en (15) se puede descomponer en dosfactores, por lo anterior la ecuación anteriorse puede reescribir así;

(16)

Donde bi1 será la sensibilidad del activo i al

factor F1, b

i2 será la sensibilidad del activo i al

factor F2 y el riesgo sistémico esta compuesto

por (bi1F1 + b

i2F2). ε

i, es el riesgo específico ade-

más este error debe ser ruido blanco, los fac-tores no pueden tener correlación con el errory a su vez los errores no están correlaciona-dos entre si, por lo que debe satisfacer las si-guientes condiciones:

(17)

De la ecuación anterior se puede inferir que:

- El valor esperado del término de error odel riesgo especifico sea igual a cero, loque tiene sentido por cuanto se ha hechoel supuesto de información perfecta, esdecir, los inversionistas han cubierto todoel riesgo especifico asociado al activo i (noes posible esperar "sorpresas").

- Los factores de riesgo sistémico no pue-den estar atados al riesgo específico, yaque el riesgo sistémico no es diversifica-ble, si se llegara a existir alguna relaciónentre estos dos riesgos se podría presen-tar dos casos: primero, que no es posiblediversificar el riesgo especifico porque es-tará sujeto a una variable aleatoria con lacual no es posible hacer coberturas y se-gundo, que al hacer la diversificación delriesgo especifico también se diversifiqueuna parte del riesgo sistémico, incumplien-do un aspecto importante de la teoría lacual dice que no es posible diversificar elriesgo sistémico.

- La última condición de la expresión (17)implica el hecho de que el riesgo específi-co es particular para activo del mercadofinanciero.

Teniendo presente lo anterior, se puede cons-truir un portafolio P dados N activos riesgososen el mercado, con una ponderación x

i sobre el

activo i y un vector xT = (x1,...,x

N) que representa

las ponderaciones transpuestas de los activosen el portafolio, tal que este cumpla con lo si-guiente:

1) Cero costo, es decir, que no requiera inver-sión inicial ya que las posiciones de venta cor-ta sobre un activo se pueden cubrir con otraposición sobre otro activo en el mismo porta-folio.

6 El factor común de riesgo para todos los activos es el factor de riesgo del mercado.

~~



(18)

A diferencia del CAPM en donde (18) debe serigual a uno.

2) Que beta sea igual a cero para el factorcomún (índice de mercado) y un beta positivopara sus factores específicos, tal como:

(19)

Como ya se mencionó en el modelo anterior,el coeficiente beta representa la sensibilidadque posee el activo con respecto a su riesgoespecifico, por tanto la ecuación anterior re-presenta la sensibilidad del portafolio con res-pecto al riesgo, siendo la sensibilidad del por-tafolio la suma ponderada de los diferentesbetas existentes con respecto al factor común.

3) Exista una buena diversificación, es decir, quela varianza del portafolio sea cercana a cero:

(20)

Teniendo en cuenta que el término de errorrepresenta el riesgo específico asociado a cadaactivo y este es el único riesgo diversificable,(20) representa el riesgo específico asociadoal portafolio, el cual se debe minimizar.

Dadas las tres condiciones anteriores, el por-tafolio P tiene un costo igual a cero al igualque su varianza, es decir libre de riesgo. Re-tomando la definición de ausencia de arbitraje,el portafolio P es un portafolio de arbitraje amenos que la siguiente condición se cumpla:

(21)

Esta ecuación se conoce como la condición deno arbitraje, por lo tanto sí el retorno mediodel portafolio es cero significa que no es posi-ble obtener ganancias mediante una estrategiade comprar barato y vender caro, es decir, lasventas en corto no generan ninguna ganancia.

De las tres condiciones anteriores, el APT es-table que existen dos escalares con el fin de

determinar la prima de riesgo, tal que:

(22)

Donde (22) hace referencia al comportamien-to del activo con respecto al factor común.

Ahora se supone que hay un portafolio libre deriesgo r

t con beta igual a cero para los facto-

res de riesgo. Es decir, el retorno esperado dert es:

(23)

Además debe existir un solo portafolio Q queposee un beta igual a 1 con respecto al factorcomún y cero para otros factores. Para obte-ner el retorno esperado del portafolio Q esnecesario utilizar las expresiones (22) y (23):

(24)

Despejando y suponiendo que el portafolio Qes el mismo portafolio de mercado se tiene que:

(25)

Ahora bien, esta expresión es la prima de ries-go, la cual es idéntica a la del CAPM, y al igualque en este modelo la prima de riesgo en elAPT no es función del riesgo diversificable.

Retomando la expresión (16), para estimar losbetas debe existir la posibilidad de construirportafolios del factor puro7 que sigua los re-tornos de los factores; los factores se puedenver como índices de producción, tasas de re-torno de los bonos, curva de tasa de retorno,etc. Por lo tanto para cada factor hay un por-tafolio P1 y P2 puro que cumpla:

(26)

El conjunto de condiciones (26) representa losportafolios puros que se forman por cada fac-tor, para este caso en particular hay dos fac-tores. Ahora, reescribiendo la expresión (16),se obtiene:

7 Este tipo de portafolios son aquellos que tienen un coeficiente de sensibilidad igual a uno con respecto a un únicofactor y cero para los demás.



(27)

Dado que (27) se obtuvo a partir de portafo-lios puros idénticos al portafolio Q antes cons-truido, es posible utilizar la expresión (23) y(25), para cada uno de los coeficientes, de talmanera que:

(28)

Al igual que la expresión (25), en (28) las pri-mas de riesgo para cada portafolio puro noestán en función de su riesgo específico, bajola interpretación de que el APT descompone elriesgo sistémico que presenta el CAPM, la si-guiente relación deberá ser cierta.

(29)

Igualmente cada uno de los portafolios purosresponde a una ecuación de comportamientoidéntica a (22), reemplazando (25) en (22), ydespués de alguna algebra, para los dos por-tafolios se obtiene.

(30)

Reemplazando (30) en (29) y reduciendo tér-minos.

(31)

La expresión (31) demuestra que las implica-ciones del CAPM y APT no son muy diferentes,ya que el primero identifica el riesgo sistémi-co a través de un indicador general del mer-cado y el segundo descompone el riesgo sis-témico en lo que se puede interpretar comolas fuentes de ese riesgo.

Aunque las conclusiones del APT y el CAPM nodisienten mucho, sin embargo es claro el va-lor teórico y empírico que tiene de más el APT,puesto que le permite a los inversionistas te-ner mayor libertad al momento de identificarlos factores que afectan los retornos futuros desus activos, en otras palabras le da a los agen-tes más herramientas para que administren deuna mejor forma su exposición al riesgo.

En cuanto a las diferencias entre el APT y elCAPM, a continuación se verán las más impor-tantes a saber: primero, el APT descomponeel riesgo sistémico en otros factores singula-res a cada activo, sin embargo, mantiene unsolo factor común para todos los activos y por-tafolios y segundo el CAPM utiliza el supuestode que los mercados son completos, es decir,que existen todos los activos y posibilidades paradiversificar el riesgo específico y el APT trabajabajo el supuesto de mercados cuasi-completosque consiste en la existencia de la mayoría deherramientas para diversificarse.

El APT surge como una alternativa al modeloCAPM, relajando algunos de los supuestos deeste último, sin embargo, para hacer una me-jor aproximación al comportamiento del inver-sionista en mercados financieros, se hace ne-cesario un modelo que considere múltiplesperiodos de tiempo.

4. INTERTEMPORAL CAPM (ó CAPM conti-nuo) ROBERT MERTON

En la realidad la negociación de activos finan-cieros por parte de los agentes, se da en unambiente intertemporal, por tal razón un mo-delo como el CAPM no tienen en cuenta el com-portamiento dinámico de los precios a travésdel tiempo, ya que son modelos estáticos.

Aunque el CAPM provee una buena especifica-ción de la relación entre el retorno de un acti-vo o de un portafolio con respecto al mercado,la evidencia empírica muestra que para losactivos con betas bajos el retorno es mayoren promedio y para los activos con betas altosel retorno es menor en promedio que el pro-nosticado por el modelo.

La crítica principal hecha al CAPM es que esun modelo estático (un único periodo), aun-que por lo general este modelo es tratado comosi fuera intertemporal. Fama ofrece una expli-cación, que sostiene que sí las preferencias yel conjunto de oportunidades de inversión fu-tura son estado-independientes, la maximiza-ción del portafolio intertemporal se puede rea-lizar maximizando el portafolio en cada perio-do del tiempo, implicando así que el inversio-nista posee una función de utilidad esperadade un solo periodo. Implícitamente el CAPMtrabaja con un conjunto constante de oportu-nidades de inversión futura, sin embargo ycomo lo explica Merton, las decisiones quetoma un inversionista son muy diferentes si



por ejemplo desea tener un bono del gobiernopor diez años o busca ganancias a corto pla-zo, en otras palabras el conjunto de oportuni-dades de inversión futura es cambiante.

El modelo especificado por Merton trabaja so-bre los siguientes supuestos:

1. La oferta de activos ya está dada.2. No hay costos de transacción, impuestos, o

problemas con indivisibilidad de los activos.3. Existe un número suficiente de inversionis-

tas con niveles de riquezas comparables,tales que, cada inversionista cree que pue-de comprar o vender tanto como el quierade un activo a un precio determinado.

4. El mercado financiero siempre está en equi-librio, esto quiere decir que no se puedenhacer negociaciones con precios que no seande equilibrio.

5. Existe un mercado para pedir o prestar di-nero a una tasa de interés libre de riesgo.

6. Las ventas en corto para cualquier activoson permitidas.

7. La negociación de los activos se da conti-nuamente en el tiempo.

Como se puede observar los supuestos del 1 al6 son básicamente los mismos que en el CAPM,la diferencia está dada en el supuesto 7.

La continuidad de las negociaciones se puedeinferir del supuesto 2, ya que no existen costosde transacción y los activos se pueden transar acualquier escala, entonces el inversionista tienela posibilidad de revisar su portafolio en cual-quier momento del tiempo. Dado que en la rea-lidad existen costos de transacción los interva-los de negociación8 son estocásticos y su dura-ción no es constante. Por lo tanto el asunto ahorano son las preferencias de los inversionistas sinomás bien la estructura de mercado7.

Para determinar la estructura de mercado esnecesario analizar el valor de los activos y ladinámica de sus retornos, por eso en cadapunto del tiempo el inversionista debe cono-cer: primero las probabilidades de transiciónpara los retornos de cada activo sobre el si-guiente intervalo de negociación y segundo,las probabilidades de transición en los perio-

dos futuros, en otras palabras, debe conocerlos procesos estocásticos de los cambios en elconjunto de oportunidades de inversión.

Para poder encontrar las probabilidades detransición es necesario que el activo se puedadefinir como una distribución de probabilidadsobre unos pagos futuros.

Para Merton cada firma en el mercado solopuede emitir un solo activo para el cual sedefine un precio por participación P(t) y el re-torno de ese activo sobre un intervalo de tiem-po de duración h, se obtiene a través de:

(32)

Como el modelo se desarrolla en un contextode equilibrios a través del tiempo, cada movi-miento de equilibrio a equilibrio representaajustes en los retornos y en el valor del acti-vo. En cuanto a los ajustes de los retornosestos reflejan los incrementos en la riqueza yel ajuste del valor del activo por la relocaliza-ción del capital con respecto a otras alternati-vas, por lo tanto la mejor manera para expli-car estos ajustes es especificando el compor-tamiento de la dinámica de los retornos y elconjunto de oportunidades de inversión.

Al hacer el supuesto de que las negociacionestoman lugar en cualquier punto en el tiempo,permite especificar el comportamiento de losretornos y del conjunto de oportunidades comoun proceso estocástico, de aquí que se nece-siten tres nuevos supuestos:

8. El vector del proceso estocástico que des-cribe el conjunto de oportunidades y suscambios, es un proceso de Markov homo-géneo en el tiempo10. Sin embargo, en elsupuesto no es precisamente necesario quelos retornos también sigan este proceso, solocon que sus determinantes sigan dicho pro-ceso y según lo expuesto por Bachelier losprecios de los activos son lo que siguen unproceso de Markov.

9. Solo cambios locales en las variables esta-do son permitidos11. Para el caso en el que h

8 En el CAPM el intervalo de negociación es uno solo, al principio del periodo.9 Se seguirá el desarrollo realizado por Robert Merton en su trabajo "An Intertemporal CAPM" de 1973.10 Es decir no depende del punto en el tiempo en donde se encuentre.11 Se le denomina variable estado a aquella que no es estocástica, es una función determinìstica con respecto al

tiempo.



tienda a cero los cambios en los precios yen el conjunto de oportunidades serán máspequeños.

10. Para cada activo en el conjunto de oportu-nidades en cada punto del tiempo t el re-torno esperado por unidad de tiempo sedefine como:

(33)

Y la varianza:

(34)

Ambas expresiones existen, son finitas y sonfunciones continuas de h. Sí h → 0 las expre-siones anteriores se conocen como el retornoinstantáneo y la varianza instantánea respec-tivamente12.

Si existe un vector del proceso estocástico,{X(t)} este será un proceso de difusión concambios estado-espacio continuos y las pro-babilidades de transición cumplirán con la re-lación Chapman-Kolmogorov13. Dado esto sepuede escribir ahora sí la dinámica de los re-tornos en función de un proceso aleatorio puroque cumpla con E

t(y) = 0 y E

t(y2) = 114:

(35)

Ahora, para hallar la ecuación diferencial es-tocástica del cambio porcentual de los precios,lo primero es definir un proceso estocásticoz(t):

(36)

Que se caracteriza por tener incrementos inde-pendientes. Si y(t) se distribuye de manera Gaus-siana, entonces cuando h la expresión z(t+h)-z(t) se comportará como un movimiento brow-niano:

(37)

Segundo, se toma el límite de h cuando tiendea cero de la expresión que describe la dinámi-ca de los retornos, (35), en este caso la ex-presión que resulta es el retorno instantáneodel i-esimo activo, entonces:

(38)

A (38) se le conoce como un proceso de Itô y escontinuo y no diferenciable. Teniendo en cuentaque uno de los objetivos del inversionista esconstruir un portafolio, es importante sabercomo varia la dinámica del retorno del activo icuando cambia la dinámica de otro activo j, estainformación se obtiene a través del factor decorrelación ρ

ij entre los movimientos brownia-

nos dzi y dz

j. Por lo tanto de (38) se puede dedu-

cir que para determinar el comportamiento delretorno de un activo son estadísticas suficientesel retorno esperado α

i, la volatilidad σ

i y el factor de

correlación ρij que para el modelo se supone que es

constante, de esta manera la dinámica de los pre-cios sigue un proceso de Markov si y solo si las esta-dísticas anteriores dependen de precio.

Para completar el análisis hace falta examinarel cambio en el conjunto de oportunidad deinversión futura, el inversionista valora o de-termina cual inversión es mejor que otra deacuerdo con lo que en promedio espera ganary a que riesgo. En el caso del CAPM se suponeque estas dos variables estaban fijas en eltiempo, y que están dadas por α

i y σ

i (el con-

junto de oportunidades de inversión futura esconstante), ahora se supone que estas varia-bles cambian en el tiempo y para ello se esta-blece las dinámicas de dichos cambios así:

(39)

Donde dqi y dx

i son movimientos brownianos.

Por lo tanto, con estas dos ecuaciones más elproceso de Itô de los precios se supone que lavolatilidad y el valor esperado son estadísticassuficientes para reflejar el comportamiento delos activos.

12 Otra característica del supuesto 10, es que no permite que la incertidumbre desaparezca, σ2 =0, pero que tampocodomine el análisis, .

13 La relación Chapman-Kolmogorov es una identidad probabilística en la cual se establece que es posible determinarlas funciones marginales de distribución para una variable aleatoria que pertenece a un proceso estocástico y sobreel cual existe una función de distribución conjunta.

14 Para y(t) y y(t + s), para un mayor que cero, ambos procesos están idénticamente distribuidos y son independientes.



Para cerrar la caracterización del mercado deactivos financieros, se dice que existe un nú-mero finito de activos riesgosos n, todos ellosdistintos -el retorno de cualquier activo no sepuede expresar como una combinación linealde los otros. Además, existe un activo libre deriesgo, que permite conocer en cada punto deltiempo su retorno (α

n+1 ≡ r(t)) y volatilidad (σ

n+1

≡ 0) con certeza a los inversionistas, esto noimplica que sus valores futuros sean ciertosya que en su correspondiente ecuación dife-rencial estocástica b

n+1≠ 0. La función de este

activo sin riesgo es permitir que cualquier in-versionista pueda prestar o pedir prestado di-nero a esa tasa, y se cumple para todos losinversionistas. El ejemplo clásico de este tipode activos y con el que más se trabaja en losmodelos es el de un bono de tesorería o delgobierno.

Hasta ahora se ha descrito las característicasy funcionamiento de los activos financieros,sin embargo, lo que sigue es la determinaciónde la elección del programa consumo-inver-sión por parte de los agentes.

Por tal motivo se hace el siguiente supuesto:

Existen K consumo-inversionistas cuyas pre-ferencias están definidas por:

(40)

Donde E0 es el operador de esperanza condi-

cional, Uk[...] es la función de utilidad con res-pecto al consumo y al tiempo del k-esimo con-sumo-inversionista, además es una función deutilidad tipo Von Neuman-Morgesten, es decir,estrictamente cóncava y Tk es el tiempo de vidadel k-esimo consumo-inversionista.

Ahora bien el flujo de consumo que se obtieneestará en términos de un solo bien de consu-mo y conociendo cual es el objetivo del agen-te en este modelo, entonces se puede descri-bir el comportamiento de las variables estadodel modelo.

Una manera de que el consumo-inversionistapuede maximizar su función objetivo es a tra-vés de riqueza, el individuo empieza en el tiem-po cero con una dotación inicial, Wk(0)=Wk.Sin embargo, como el problema de elecciónde consumo-inversión ahora es intertemporal,por lo tanto las ganancias o pérdidas en cadamomento del tiempo por motivo de inversión

deben estar representadas mediante una ecua-ción de acumulación de la forma:

(41)

Es decir, el cambio en la riqueza será igual asumatoria del cambio en los precios de losactivos que posee el k-esimo individuo en suportafolio por la participación en el portafolioexpresado en unidades de riqueza (ó el cam-bio neto en el valor del portafolio), más el aho-rro proveniente del ingreso por salario. Dondela participación en la riqueza del activo i, w

i,

es igual a NiP

i/W, con N

i, como el número de

unidades que posee el inversionista de dichoactivo; y y como el ingreso por salario. Utili-zando (38) que representa el cambio en losprecios como un proceso de Itô, se puede rees-cribir (41) como:

(42)

Uno de los avances de este modelo con res-pecto al clásico CAPM, es que permite que laelección del inversionista sobre cuanto desti-nar de su riqueza para un activo riesgoso pue-da superar el 100% de su riqueza, porque larestricción , se puede satisfacer graciasal mercado alterno de dinero donde, en estecaso, el individuo tendría que pedir prestadopara poder garantizar que obtendrá las canti-dades deseadas de ese activo.

Aunque la riqueza del inversionista se distri-buya de la forma , el supuesto de quees posible revisar el portafolio de inversión encada momento del tiempo puede incentivar alinversionista a cambiar la composición de suportafolio, y la manera de hacerlo es contro-lando las cantidades que se poseen de los ac-tivos. Sin embargo, el inversionista tampocopuede aspirar a poseer todas las cantidadesexistentes en el mercado, ya que el valor netode las nuevas unidades incorporadas al porta-folio debe ser igual al valor del ahorro prove-niente del ingreso por salario, dicha restric-ción se escribe:

(43)

Habiendo definido el comportamiento de lasvariables a las que se enfrenta el agente, losiguiente es encontrar la forma en que el agen-te va a maximizar (40), la que esta en funcióndel consumo y de la riqueza. Por simplicidad



se asume que todo el ingreso que obtiene elagente resulta de las ganancias de los activosfinancieros, es decir y=0, además se agrupa-rá el conjunto de oportunidades de inversióny el precio de cada activo en un vector X15 dem elementos, y sigue un proceso de Itô de laforma:

(44)

Entonces, en cada punto del tiempo el agenteque actúa según (40) escogerá su consumo einversión de acuerdo con la siguiente progra-mación

(45)16

Donde ηij, es la correlación instantánea entre

los procesos de Winner dqi y dz

i, v

ij es la corre-

lación instantánea entre dqiy dq

j. σ

ij, es la co-

varianza instantánea entre los retornos de losactivos i y j. Hay n+1 condiciones de primerorden provenientes de (45), y son:

(46)

(47)

Tal y como en un problema de selección inter-temporal la utilidad marginal del consumo pre-sente debe ser igual a la utilidad marginal delconsumo futuro, siendo esta condición la pri-mera del primer orden y que se representarápor la ecuación (46) y la ecuación (47) es lacondición de segunda del primer orden, quepermite obtener la demanda por el i-esimoactivo, y queda de la forma.

(48)

El primer termino de la derecha de (48), re-presenta la función de demanda por un activoriesgoso en el caso de un solo periodo. El se-gundo término es la forma en que el agente se

va a cubrir de situaciones "no favorables"17 enel conjunto de oportunidades, a través de de-mandar el i-esimo activo.

Ahora bien, si se deriva (48) con respecto a ηij

se encuentra que los agentes se cubren deestos cambios no favorables demandando másdel i-esimo activo entre más positiva sea elcoeficiente de correlación entre el retorno delactivo i y el cambio en x

1. Entonces, si la si-

tuación en el conjunto de oportunidades deinversión resulta ser menos favorable de lo quese esperaba, la cobertura tendrá efecto en lamedida en que la riqueza del agente se incre-mentará a través del mayor retorno que leproveerá el activo i dada la correlación positi-va entre el retorno y x

1. Por otro lado, sí los

retornos realizados en el activo i son bajos, elagente se encontrará en un ambiente de pocaincertidumbre, debido a que los cambios en elconjunto de oportunidades serán pequeños.

El anterior análisis es una de las grandes dife-rencias que posee este enfoque con el modeloclásico del CAPM. El consumo-inversionista tie-ne en frente un ambiente de inversión quecambia estocásticamente y que a su vez afec-ta su consumo, por tanto al hacer su maximi-zación intertemporal su función de demandapor activos riesgosos debe ser diferente a laque tendría si fuera un modelo de un solo pe-riodo e inclusive de un modelo multiperiodopero con un conjunto de oportunidades de in-versión constante. Lo que lleva a la conclusiónque el modelo clásico del CAPM omite factoresimportantes a la hora de explicar la maneraen que los agentes actúan en un mercado fi-nanciero.

El problema de asumir que el conjunto de opor-tunidades de inversión sea constante es queexiste al menos un elemento que es observa-ble, y este es la tasa de interés libre de ries-go. Ésta muestra un comportamiento estocás-tico y sirve como base suficiente para descri-bir los cambios en las demás variables. En-tonces para un nivel de riqueza dado, δc/δrrepresenta el cambio del consumo cuando cam-bia el conjunto de oportunidades, lo que per-

15 Donde cada componente del vector, xi, hace referencia al nivel actual del conjunto de oportunidades de inversión

y al precio del i-esimo activo.16 Expresión tomada directamente del paper de Merton (1973), para ver la prueba de este resultado ver los papers

de Merton (1969) y Merton (1971).17 Una situación no favorable hace referencia a que cuando el conjunto de oportunidades de inversión cambia el

consumo cae, es decir:



mite re-escribir (48) para el k-esimo agentede la forma:

(49)

Donde y, , es la covarianza instantánea entre el re-

torno del activo j y los cambios de la tasa deinterés. Ahora se hace el supuesto de que eln-esimo activo esta negativa y perfectamentecorrelacionado con los cambios en la tasa deinterés, es decir , lo que permite re-escribir la covarianza entre el activo i y j, como:

(50)

Donde g es la desviación estándar de los cam-bios en la tasa de interés. Utilizando (50) sepuede re-escribir (49) de la siguiente forma:

(51)

Para ver mejor los componentes que confor-man (51), Merton amplia el Teorema de losfondos mutuos18 con el fin de mostrar la ma-nera en que se hacen coberturas y el compor-tamiento de las funciones de demanda por ac-tivos riesgosos.

Teorema de los Fondos Mutuos19

Dados n activos riesgosos y un activo libre ries-go, cuyo n-esimo activo esta negativo y per-fectamente correlacionado con un activo librede riesgo, existen tres portafolios (fondosmutuos) conformados por estos activos talesque:

(i) Todos los inversionistas aversos al riesgoque se comportan de acuerdo a (24) se-rán indiferentes entre escoger portafoliosde los n+1 activos o de los tres fondosmutuos.

(ii) Las proporciones de cada fondo mutuo in-

vertido en un activo dependerán solamentede las variables en el conjunto de oportu-nidades de inversión y no de las preferen-cias de los inversionistas.

(iii) Las demandas de los inversionistas por losfondos no necesitan conocimiento del con-junto de oportunidades de inversión aso-ciado a un activo ni tampoco de la propor-ción de éste dentro del fondo.

Supóngase que el primer fondo esta confor-mado por los n-1 activos riesgosos, el segun-do solo por el n-esimo activo y el tercero solopor el activo libre de riesgo. Además, sea λ

i

k laproporción invertida en el fondo i por el k-esi-mo inversionista, con i=1,2,3 y , las pro-porciones óptimas invertidas en los fondos quereplican son:

(52)

Donde α y σ2 son el retorno esperado y va-rianza del primer fondo. La proporción inverti-da en el tercer fondo será aquella que hagacumplir la restricción . Los fondos uno ytres cumplen la misma función que el CAPMclásico, le ofrece al inversionista una manerade localizar su riqueza en un plano riesgo-re-torno. La idea de ampliar el concepto de Mar-kowitz-Tobin de dos fondos mutuos a tres, esel de capturar e interiorizar el comportamien-to estocástico del conjunto de oportunidadesde inversión dentro de las funciones de de-manda por activos riesgosos, dado el coefi-ciente de correlación del n-esimo activo el fon-do número dos ayuda a cubrirse contra cam-bios "no favorables" en el conjunto de oportu-nidades. Es decir, cuando:

o El consumo cae cuando la tasa libre de ries-go aumenta o los cambios son "no favora-bles", , la demanda por el segundofondo , se vende en corto el n-esi-mo activo que tiene un coeficiente de corre-lación negativo con la tasa libre de riesgo.El agente será recompensado por una ga-nancia al vender caro y comprar barato.

18 El Teorema de los fondos mutuos fue desarrollado por Markowitz y Tobin, en el cual establecen que todos losportafolios óptimos que se pueden conformar son posibles de representar como una combinación lineal de dosportafolios los cuales uno tendrá solo el activo libre de riesgo y el otro todos los activos riesgosos.

19 La prueba de este teorema se encuentra en el paper "An intertemporal Capital Asset Pricing Model" de Merton(1973). Por simplicidad no se probarán los resultados mostrados, con el fin de focalizar el trabajo en la intuiciónque estos brindan.



o El consumo aumenta cuando la tasa librede riesgo aumenta , , yaque el agente debe seguir el principio dediversificación, lo que implica suavizar suconsumo.

o El consumo no cambia cuando la tasa li-bre de riesgo aumenta , ;si el consumo es independiente del com-portamiento del conjunto de oportunida-des no hay incentivos para realizar algunacobertura.

Ya se mostró que el Teorema de los fondosmutuos es consistente con el análisis del mo-delo, el siguiente paso es determinar ahoralos factores que determinan o ayudan a expli-car el retorno esperado de un activo riesgoso.Dadas las demandas agregadas para los n ac-tivos:

(53)

Donde y . Entonces , es elvalor de equilibrio del mercado, y tendrá aso-ciado un precio P

M que al igual que el precio

de un activo sigue un proceso de Itô de la for-ma:

(54)

De (53) y (54) se puede encontrar el retornoesperado de equilibrio para los n-1 activos.

(55)

La ecuación (55) indica que los inversionistasson compensados por asumir un riesgo sisté-mico y adicionalmente por los cambios en elconjunto de oportunidades de inversión. Ade-más si un activo no posee riesgo sistémico, suretorno esperado no es igual a la tasa libreriesgo, esta predicción difiere de la otorgadapor el CAPM clásico. Por construcción el n-esi-mo activo esta negativa y perfectamente co-rrelacionado con la tasa libre de riesgo y noguardan correlación con algún otro activo o elmismo mercado, es decir, posee un beta igual

a cero, entonces ¿Por qué se paga una primade riesgo por este activo?. Aunque el n-esimoactivo no posee riesgo sistémico en el largoplazo no se cumple , lo que implica quelos inversionistas están dispuestos a pagar unprecio por acceder a esta herramienta de co-bertura contra los cambios en el conjunto deoportunidades de inversión.

Es así como este nuevo enfoque que ofreceMerton del CAPM brinda la posibilidad de au-mentar la capacidad de explicar los retornosesperados de los activos financieros a travésdel comportamiento estocástico del conjuntode oportunidades de inversión, que en la ver-sión clásica del CAPM se consideraba constante.Por tanto sus predicciones -por ahora en el cam-po teórico- son más precisas y consistentes quelos modelos presentados anteriormente, enton-ces se espera que el CAPM en tiempo continuoeste más acorde con la evidencia empírica.

5. MERCADOS EFICIENTES

Un mercado eficiente es aquel en donde losprecios de los bienes reflejan completamentetoda la información disponible hasta el momen-to, en el caso del mercado financiero en vezde bienes existen son activos financieros. Paramirar más rigurosamente esta idea es nece-sario dar algunas bases teóricas en las que sefundamenta la teoría de mercados eficientes20.

Los eventos en el mercado de acciones se danen tiempo discreto y sea:

φt-1 = El conjunto de información disponible y

relevante para determinar el precio de los ac-tivos financieros en el tiempo t-1.

φm

t-1 = El conjunto de información utilizada por

el mercado para determinar el precio de losactivos financieros en el tiempo t-1. Este con-junto es subconjunto de φm

t-1, es decir contie-

ne como máximo toda la información disponi-ble y relevante.

pj,t-1

= El precio del activo j en el tiempo t-1,con j=1,….,n.

= La distribución de pro-babilidad conjunta de los precios de los activos

20 Se sigue el desarrollo del libro de Fama "Foundations of Finance", Cap. 5 "Efficient Capital Markets". La evidenciaempírica presentada corresponde a los modelos de Retornos Esperados Constantes y Modelo de Mercado basadoen el estudio de FFJR.



para el tiempo t+τ (con tao mayor o igual acero), asignada por el mercado según φm

t-1.

= La verdadera distribu-ción de probabilidad conjunta de los preciosde los activos para el tiempo t+τ (con taomayor o igual a cero), deducida de φ

t-1.

Entonces dado φm

t-1, el mercado asigna una fun-

ción de distribución de probabilidad sobre los pre-cios en el tiempo t, f

m, según las características de

dicha distribución el mercado establece el nivel delos precios en el tiempo t-1 a través de un moldeode mercado, con el fin de igualar la demanda conla oferta del activo financiero. La condición quedebe cumplir un mercado eficiente es:

(56)

Es decir, el mercado utiliza toda la informa-ción disponible y relevante para la formaciónde los precios de los activos financieros. De(56) se pueden tener otras condiciones de efi-ciencia de mercado:

(57): El mercado usatoda la información disponible y la usa correc-tamente para determinar los precios futuros.Lo que implica.

(58)

(59)

El valor esperado del precio asignado por elmercado es igual al verdadero valor esperado(59), por lo tanto el retorno esperado por elmercado es el retorno esperado verdadero.

Para realizar un test de mercados eficienteses necesario establecer una relación entre

y a través de unmodelo de equilibrio a continuación se presen-tan los dos modelos utilizados para la estima-ción.

6. RETORNOS ESPERADOS CONSTANTES

Dado el conjunto de información y la funciónde distribución sobre los precios en el tiempot-1, el mercado establece . Luego

el mercado elije el nivel del precio en t-1 talque el retorno esperado sea igual a una cons-tante y a su vez igual para cada instante detiempo, de la forma:

(60)

Y utilizando (58) y (59) se puede deducir queel retorno esperado por el mercado es el ver-dadero retorno esperado y es una constante.

(61)

Lo que implica (61) es que no es posible utili-zar alguna información disponible en t-121 parapronosticar los retornos esperados. Para po-der obtener evidencia empírica que permitarechazar o no (61), el test se concentra en unsubconjunto de φ

t-1, la información histórica de

los retornos. Bajo este procedimiento y por(61), lo que busca es probar que los retornospasados no son una fuente de información parapredecir su comportamiento futuro, es decir:

(62)

Para todo Tao (…) mayor que cero. Entonces, alcorrer una regresión con el retorno esperadocomo variable dependiente en función de susretornos pasados, los coeficientes estimados nodeben ser significativamente diferentes de cero,lo que deja solo a la constante como variablesuficiente para explicar los retornos esperados.

Por simplicidad, lo anterior es igual a probarque no existe autocorrelación de ninguno enla serie histórica de los retornos. La HipótesisNula implicada de acuerdo a la ecuación (61)estimada, que se rechaza si se prueba que laserie histórica de retornos de un activo guar-da autocorrelación con cualquier rezago. Síesto ocurre, se dice que el mercado no es efi-ciente bajo el modelo de Retornos EsperadosConstantes, o en otras palabras los preciospasados del activo no reflejan correctamentela información disponible.

7. MODELO DE MERCADO

Sea el retorno sobre el portafolio de mer-cado, el retorno esperado de un activo j dada

21 Por tanto en ningún otro periodo atrás.

φmt-1 =

φt-1



toda la información disponible y relevante sedescribe como:

(62)

Bajo la condición

(63)

Por (63) se deduce que toda la información ent-1 es utilizada para determinar los precios enese mismo intervalo, ya que toda desviaciónde la media se da solo por la nueva informa-ción que estará disponible en t. Sí (63) no secumple, quiere decir que la información no estásiendo usada correctamente y que la desvia-ción de cero por parte del termino de pertur-bación se debe a información que estaba dis-ponible en el periodo anterior, por tanto serefleja un retraso en el ajuste del precio a lainformación disponible llevando así a que (39)no se cumpla, y el mercado sea un mercadoineficiente.

Los precios siguen el mismo proceso descritocon anterioridad. El mercado asigna la funciónde distribución conjunta y con base en elladescribe los retornos esperados según el mo-delo de mercado.

(64)

También bajo la condición

(65)

Sí el conjunto de información que utiliza elmercado es igual al conjunto de informacióndisponible y relevante, entonces se cumple que(65) es igual a (63) y el mercado es un mer-cado eficiente.

8. EVIDENCIA EMPÍRICA PARA COLOMBIA

En este capitulo se muestran los resultadosde la estimación obtenidos con cada uno de

los modelos para el mercado accionario Co-lombiano durante el periodo 2001 al 2006. Laestimación se hizo año por año y se utilizaronlos retornos diarios de las acciones que coti-zan en la BVC para las cuales más del 60% delos retornos no fueran iguales a cero en eseaño (cada año se logró conseguir 13 accio-nes), así mismo en cada periodo de estima-ción se construyeron 11 portafolios de dos ac-ciones, 7 de tres acciones y 6 de cuatro accio-nes. La tasa de interés libre de riesgo utiliza-da es la tasa de Depósito a Termino Fijo (DTF)22a 90 días Efectiva Anual. El retorno del ÍndiceGeneral de la Bolsa de Valores de Colombia(IGBC) representa el retorno del portafolio demercado. El activo de largo plazo utilizado enla estimación del modelo CAPM continuo es unbono de Tesorería emitido el 17 de febrero del2000 con vencimiento en el 202023.

Debido a que el análisis es de series de tiem-po, los retornos sobre las acciones son conti-nuamente compuestos, y se calcularon de laforma:

Además con los retornos continuamente com-puestos la cláusula de responsabilidad limita-da no se viola. Esta cláusula se refiere a queen ninguna inversión se puede perder más delo que se invirtió, es decir, el retorno bruto dela inversión no puede ser menor que cero,(1+R

t)≥0. El supuesto frecuentemente hecho

sobre los retornos simples Rt, es que se distri-

buyen normal, por lo tanto existe la probabili-dad de que R

t tome valores menores a -1, in-

cumpliendo la cláusula de responsabilidad li-mitada, es decir existe la posibilidad que elretorno bruto sea menor a cero.

Se pronosticó seis meses adelante para cadaaño y se evaluó dicha predicción mediante elR^2 de la siguiente regresión.

(66)

22 Lo ideal seria utilizar la tasa de los bonos de Teoría (TES), sin embargo la serie histórica de las cotizacionesdiarias de dichas tasas no se encuentra disponible para un periodo tan largo. Este hecho no resta validez alanálisis debido a la DTF también es un indicador de inversión a corto plazo.

23 No se utilizó un bono de menos plazo por recomendación del Grupo de Mercado de Capitales Externos delMinisterio de Hacienda, debido a que los otros bonos se encuentran muy alejados de la curva de rentabilidad delos TES y por tanto no son un buen indicador de largo plazo.



CAPM: Evidencia Empírica

En los cálculos de la investigación se encuen-tran las estimaciones del CAPM para las accio-nes y portafolios respectivamente. La regre-sión utilizada es:

(67)

Para la gran mayoría de las acciones y porta-folios la sensibilidad hacia el riesgo de merca-do (ß) resultó ser significativo para explicarlos retornos esperados.

Sin embargo, utilizando el R2 para calificar labondad del modelo CAPM, se puede ver queen promedio tanto para acciones como paralos portafolios, el R2 se encuentra entre el 2%y el 10% para todos los periodos de estima-ción, es decir, la varianza de los retornos es-perados en el mercado accionario colombianoentre los años 2001 y 2006 es explicada entreun 2% y 10% por la prima de riesgo. Parahallar la razón de porque el R^2 es tan bajo,es de gran ayuda repasar la expresión del R^2.

(68)

Donde SSE: Suma de Errores al Cuadrado ySST: Suma Total de Cuadrados. La razón porla cual el R^2 arrojado por el CAPM es tanbajo es que la SSE es muy grande, en otraspalabras, entre los retornos esperados esti-mados por el modelo y los observados existenuna gran diferencia, concluyendo así que laespecificación clásica del CAPM captura muydeficientemente el comportamiento de los re-tornos a través de la prima de riesgo.

Además tomando la interpretación teórica delerror como el indicador de riesgo específico ydespejando de (68) SSE/SST, se puede decirque en promedio entre un 90% y 98% de lavarianza en los retornos esperados es expli-cada por el riesgo específico que posee cadaactivo financiero.

La alta participación del riesgo específico enla variación de los retornos es indicio de queel error esta autocorrelacionado, lo cual es in-dica que existe un rezago en el ajuste de in-formación en el mercado, evidenciando que elmercado accionario colombiano no es eficien-te. La información pasada tiene un efecto per-

sistente sobre el retorno esperado hoy, es de-cir, el precio actual de una acción no tiene des-contada toda la información hasta la fecha.

Dada la gran diferencia entre el retorno espe-rado observado y el estimado lo que se esperadel pronóstico es muy poco, tal y como se pue-de apreciar desde los cálculos desarrolladosen la investigación, el R^2 de la regresión (66)es también muy bajo. En promedio para losperiodos de proyección el R^2 para las accio-nes se encuentra en el 4%, para los portafo-lios de dos acciones en el 7%, para los porta-folios de tres acciones en el 9% y para los decuatro en el 8%; lo cual es muy pobre dadoque se espera que el pronostico del retornoestimado por el CAPM explique casi el 100%de la varianza de los retornos observados, enotras palabras el retorno estimado por el CAPMno refleja el verdadero retorno realizado en elperiodo de pronóstico.

APT: Evidencia Empírica

La principal consideración a tener en cuentacuando se estima este modelo es que debeexistir la suficiente información para poderreplicar el comportamiento del portafolio demercado a través de otros indicadores o va-riables que sean capaces de desagregar el ries-go de mercado.

Dada la frecuencia utilizada en los datos (dia-ria) son muy pocas las variables económicasque son compatibles con dicha frecuencia portanto de esta estimación se han excluido va-riables económicas que poseen gran impactoen el mercado de capitales, algunas de ellasson Inflación, PIB y Tasa de Desempleo, debi-do a que se encuentran en frecuencias dife-rentes a la de la muestra utilizada en la inves-tigación, por ejemplo la inflación se encuentramensual y el PIB trimestral.

Una manera de incluir estas variables en laestimación del APT sería trabajar con frecuen-cias semestrales, pero al tomar como portafo-lio de mercado el IGBC que fue creado en el2001 se conformaría una muestra de mas omenos 12 observaciones, la cual no tendríasuficiente significancia estadística con la cualse pueda emitir conclusiones bien argumenta-das sobre los resultados de la estimación.

Como se muestra en la sección de Páneles deltrabajo completo, los cuales incluyen 12 pá-



neles, los factores utilizados son la Tasa deCambio, la Unidad de Valor Real (UVR) y elportafolio de mercados emergentes (EMF)24.Las razones por la que se utilizaron dichos fac-tores son que la Tasa de Cambio se toma comoun activo financiero más en el mercado de ca-pitales y actualmente es muy utilizado por locorredores para realizar coberturas y diversi-ficar portafolios y representa - o al menos sesupone - los movimientos de capitales haciamercados extranjeros o movimientos de capi-tales extranjeros hacia nuestro mercado, lo quehace parte del riesgo de mercado.

Otro factor de riesgo importante es el tipo deeconomía en el que se desarrollan las inver-siones en activos financieros, el retorno espe-rado y el riesgo que se esta dispuesto a correrpor él dependen en gran medida de si la eco-nomía del país es emergente o desarrollada.Sí la inversión se realiza en un país como Co-lombia (economía emergente) el inversionistaesta dispuesto a correr un mayor riesgo con laexpectativa de recibir un mayor retorno en unperiodo corto de tiempo, en cambio, sí la in-versión se realiza en EE.UU. el riesgo es me-nor en comparación con Colombia por lo tantoel retorno esperado por el inversionista esmenor.

Por eso es tan importante para los inversio-nistas seguir el comportamiento de las Bolsasde Valores de los países emergentes con el finde detectar momentos claves en los cualespueden introducir sus capitales a estos mer-cados. El Emerging Market Fund (EMF) repre-senta el mercado de acciones de economíasemergentes y es utilizado por los inversionis-tas extranjeros para percibir el clima de estosmercados (situaciones a la baja o al alza) eidentificar oportunidades de ganancia.

Por último el retorno esperado por el inversio-nista se encuentra en términos nominales, esdecir, es un retorno al cual no se le ha descon-tado la inflación y según Fisher, la tasa de in-terés nominal es igual a la tasa interés real

más las expectativas de inflación expresadapor:

Las expectativas que tengan los agentes so-bre el cambio en los precios altera de manerasignificativa el retorno sobre las inversiones,por ejemplo si las expectativas de inflaciónempiezan a incrementarse el Banco Centraltendrá que subir la tasa de interés nominalpara mantener el poder adquisitivo de la eco-nomía (tasa de interés real), esto tiene un efec-to directo en el mercado de Bonos de Tesore-ría depreciando el valor presente del flujo fu-turo de estos bonos y disminuyendo su preciollevando así a que los inversionistas prefieranacciones, y por fuerzas de demanda y ofertael precio de las acciones se ve afectado al igualque el retorno sobre ellas. Lo ideal sería hacerla estimación con la Inflación directamentepero por las razones expuestas con anteriori-dad no es posible, por eso se utilizó la UVRque representa las expectativas sobre la infla-ción25.

Para cada uno de estos factores se estimó conbase en la ecuación (64) y según los cálculosobtenidos, el beta para la UVR (0.00130024)y EMF(0.07702074) resultó no significativa-mente diferente de cero, por lo tanto se in-cumple la paridad planteada por la expresión(40)26 ya que por el lado del APT daría cero ypor la estimación anterior del CAPM se encon-tró que para las acciones y portafolios la ma-yor parte de los betas sí resultaron ser signifi-cativos, es decir no son cero.

Lo anterior lleva a concluir que dichos factoresno son capaces de replicar el comportamientodel portafolio de mercado y por tanto del riesgosistémico. Para la TRM el beta (-0.0411969) siresultó ser significativamente diferente de ceroy tiene el signo esperado (negativo), este sig-no es coherente con lo expuesto anteriormen-te ya que las acciones y las divisas se ven como

24 EMF: portafolio creado por Morgan Stanley que contiene índices de 26 países con economías emergentes. Lospaíses son: Argentina, Brasil, Chile, China, Colombia, Republica Checa, Egipto, Hungría, India, Indonesia, Israel,Jordania, Corea, Malasia, México, Marruecos, Pakistán, Perú, Filipinas, Polonia, Rusia, Sudáfrica, Taiwán, Tailandia,Turquía y Venezuela.

25 Anterior a la UVR existía el UPAC, que dependía de la inflación y la tasa de interés. Sin embargo el UPAC presentóun crecimiento enorme comprometiendo la sostenibilidad de los prestamos hechos en base a esta tasa, por lotanto se creo la UVR que empezó con base 100, y el se calcula del día 14 al 16 del siguiente mes sobre lasexpectativas de inflación que posea la economía.

26 Esta paridad consiste en que el beta de mercado estimado por el CAPM debe ser igual a la suma de los betas demercado de los factores multiplicados por su respectivo coeficiente en la expresión (39).



inversiones sustitutas, cuando el mercadoaccionario esta a la baja se espera que los in-versionistas recompongan sus portafolios conactivos financieros extranjeros aumentando lademanda por dólares y revaluando el peso. Sinembargo, no es sensato pensar que el riesgosistémico del mercado de valores de Colombiapueda ser replicado por un solo factor, y aúnsi fuera así el beta para la TRM debería serigual a 1.

La evidencia empírica de la estimación del APTutilizando los factores expuestos, arroja comoconclusión que para el mercado de accionesColombiano el riesgo de mercado no puede serdesagrado.

Existen dos razones posibles de estos resulta-dos:- la primera que los factores de riesgo aquí

considerados no sean los correctos, en otraspalabras, que teóricamente su relación conel mercado accionario no sea correcta.

- la segunda es que exista un problema deespecificación de las variables.

Con respecto a la primera razón, existe unextenso material académico y empírico quedemuestra que variables como la expectativade inflación e índices de confiabilidad y riesgoson determinantes básicos a la hora de esco-ger el mercado donde invertir y/o conformarun portafolio, por tanto a criterio de los inves-tigadores esta razón no es la correcta paraexplicar los resultados obtenidos.

La segunda razón, como ya se mencionó an-teriormente, las variables fundamentales parael análisis han sido excluidas por tanto los fac-tores utilizados en esta investigación son for-zados -al menos en la parte empírica- a expli-car en su totalidad el riesgo que enfrenta uninversionista en la BVC, por esto la segundarazón (problema de especificación de varia-bles) resulta ser la más acertada a la hora deexplicar los pobres resultados estimados porel APT para el caso Colombiano.De todas maneras afirmar que en el mercadoaccionario colombiano no es posible desagre-gar el riesgo sistémico, no es del todo correc-to, ya que en la practica los inversionistas ytraders sí tienen en cuenta los niveles de lasvariables excluidas en esta investigación y deotras más para conformar sus portafolios ypredecir retornos. El problema radica en queno existe todavía suficiente información e his-

toria en la BVC que permita aprovechar lasventajas de la estimación APT y obtener con-clusiones con la suficiente y necesaria rele-vancia estadística.

Como alternativa a este modelo se estimó elmodelo de mercados eficientes de Fama, Fis-her, Jensen y Roll (FFJR) para sustentar el re-sultado encontrado por la estimación del CAPM,en donde se evidencia el no cumplimiento delsupuesto de mercados eficientes.

MERCADOS EFICIENTES: evidencia empí-rica

En las tablas, gráficos y pruebas econométricasdel documento de la investigación completa lasFunciones de Autocorrelación y Función de Au-tocorrelación Parcial sobre la serie histórica delos retornos de la acción del Banco de Bogota,en la cual se prueba que los rezagos son signifi-cativos a los niveles de confianza 1%, 5% y 10%por lo que se puede inferir que existe autoco-rrelación entre los rezagos, es decir, es posibleencontrar información relevante en los retornospasados para la estimación de los retornos es-perados, por tanto se rechaza (57) y no se cum-ple con la condición establecida en (58). Resul-ta incorrecto que el retorno esperado por elmercado para la acción del Banco de Bogotá seauna constante y la misma para todos los inter-valos de tiempo, ya que es posible obtener sis-temáticamente un pronóstico diferente por me-dio de la información guardada en los retornospasados, concluyendo que el mercado no estautilizando correctamente toda la información dis-ponible, por lo tanto (52) no se mantiene y elmercado es ineficiente bajo el modelo de Retor-nos Esperados Constantes.

Para confirmar el resultado encontrado anterior-mente es necesario tener en cuenta otro tipo deinformación dentro de φ

t-1. El Modelo de Merca-

do permite introducir la incertidumbre genera-da por factores ajenos al activo financiero y queinfluyen en los retornos esperados.

Modelo de mercado FFJR: evidencia em-pírica

La metodología desarrollada por FFJR se basaen estudiar eventos particulares del mercado,como splits, pagos de dividendos, compras yfusiones; después se analiza el comportamien-to de los residuos para probar (68) y por tan-to (66). Para realizar este test en la BVC se



escogió la compra por parte del Grupo Aval deMegaBanco el 16 de Marzo de 2006, y se ana-lizaron los residuos obtenidos utilizando losretornos sobre la acción del Banco de Bogo-ta27. Los residuos se obtuvieron por medio dela regresión:

(69)

El retorno del portafolio de mercado está re-presentado por el retorno sobre el IGBC. Dadoque en el conjunto de información disponiblesolo se encuentra el nivel actual de las varia-bles, el retorno del portafolio de mercado enel tiempo t, es desconocido en t-1, por estarazón es que esta variable está rezagada unperiodo en la expresión (69).

El resultado de la regresión es el siguiente:

Linear Regression - Estimation by Least Squares

Dependent Variable BANCO DE BOGOTA

Daily(5) Data From 2005:10:17 To 2006:09:15

Usable Observations 240 Degrees of Freedom 238

Centered R**2 0.143059 R Bar **2 0.139458

Uncentered R**2 0.144643 T x R**2 34.714

Mean of Dependent Variable 0.0011028856

Std Error of Dependent Variable 0.0256795282

Standard Error of Estimate 0.0238217130

Sum of Squared Residuals 0.1350588144

Regression F(1,238) 39.7321

Significance Level of F 0.00000000

Log Likelihood 557.37681

Durbin-Watson Statistic 1.779206

Variable Coeff Std Error T-Stat Signif

*******************************************************************************

1. Constant 0.0006268300 0.0015395386 0.40715 0.68426049

2. IGBC{1} 0.3975710478 0.0630731099 6.30334 0.00000000

El estudio muestra que efectivamente la me-dia del residuo para esta estimación es cero yse confirma mediante la prueba de Hipótesis(sobre la media=0) utilizando una distribuciónt que arroja una probabilidad igual a 1 por lotanto no se puede rechazar la Hipótesis Nulade que la media=0.

Sin embargo, al analizar las funciones de ACFy PACF en donde se evidencia que el residuoesta correlacionado ya que los rezagos son sig-nificativos a un nivel de significancia del 5%,lo que indica que la influencia de los factoresespecíficos relacionados con el Banco de Bo-gota no han sido del todo capturados por elIGBC, en otras palabras (52) no se cumple,existe cierta información por parte de algúngrupo de inversionistas que no es de conoci-

miento publico y por tanto el precio no reflejacompleta y correctamente toda la información,convirtiendo al mercado accionario en un mer-cado ineficiente.

El estudio también muestra el comportamien-to del residuo y el residuo acumulado. Alrede-dor del día 20 antes de la compra los residuosestimados de la regresión (69) son negativoslo que quiere decir que el modelo esta sobre-estimando los retornos, pero a medida que lafecha efectiva de la compra se acerca los resi-duos estimados son positivos, indicando queel modelo de mercado no alcanza a capturarlos movimientos especulativos que se empie-zan a gestar alrededor de la acción de Bancode Bogotá por lo que se termina sub-estiman-do los retornos.

27 Se escogió este evento ya que Banco de Bogotá pertenece al Grupo Aval, y también hace parte de la muestrasobre la que se estimo el CAPM y el CAPM continuo. Además el Banco de Bogotá es la entidad que absorberá aMegaBanco.


28 La acción de Isa entre el segundo semestre de 2002 y primero de 2003, y la acción de Bancolombia entre elsegundo de 2003 y primero de 2004.


Después del día de compra de MegaBanco porparte del Grupo Aval, los residuos estimadosse estabilizan y se dispersan alrededor de cero,comportamiento se considera normal debidoa que el periodo especulativo terminó y ahorael precio de la acción de Banco de Bogota serige por las dinámicas del mercado. Este mis-mo análisis obtuvo FFJR al analizar splits de940 acciones del NYSE, lo cual deja ver queaunque en el mercado accionario colombianolos precios no reflejen total y correctamentetoda la información, se presentan los mismoscomportamientos por parte de los inversionis-tas que en un mercado altamente eficiente.

CAPM CONTÍNUO: Evidencia Empírica

Hasta ahora se ha analizado al mercado decapitales colombiano en base a relaciones decorto plazo, sin embargo, los agentes tomanen cuenta el ambiente de inversión futuro paraplanear la estrategia de inversión a seguir.Igualmente los retornos de los activos se veninfluenciados por esta visión de los agentes,sí el retorno de un activo representa el ingre-so esperado en un tiempo corto entonces surentabilidad se hace relativa con respecto auna inversión de largo plazo.

El modelo de Merton anteriormente expuestoofrece esta opción a través de un bono de lar-go plazo permite visualizar la relación de lar-go plazo, entre las inversiones hechas en elmercado financiero, sujetos a cambios en elconjunto de oportunidades de inversión futu-ra. El factor de correlación entre la DTF y elbono es de -0.0019 para toda la muestra, aun-que el activo no esta perfectamente correla-cionado sí tiene una correlación negativa (con-dición necesaria para desarrollar el modeloCAPM en tiempo continuo) con la tasa libre deriesgo que representa el conjunto de inversio-nes en el corto plazo. Este factor de correla-ción también indica que un cambio en el con-junto de oportunidades en el corto plazo afec-ta negativamente a las inversiones de largoplazo y viceversa, es decir existe una relacióninversa entre estos dos tipos de inversiones.Los páneles desarrollados en el cuerpo de lainvestigación muestran los resultados obteni-

dos por este modelo, al estimar la siguienteregresión: (70)

Donde es el retorno continuamente com-puesto del bono de largo plazo un periodoatrás. En la ecuación [42] del paper "An Inter-temporal Capital Asset Pricing Model" (Merton)se muestra la relación entre el beta de la pri-ma de riesgo y el coeficiente de correlaciónparcial ( ) implícito en (48), si elbeta es mayor a 1 este coeficiente tiene signopositivo, si el beta es menor a 1 el coeficientetiene signo negativo y si el beta es igual a 1este coeficiente es igual a cero.

Para el caso colombiano, esta condición no secumple consistentemente además, de las 144estimaciones realizadas solo en dos casos elcoeficiente asociado a la prima de riesgo delargo plazo resultó no significativamente dife-rente de cero28 por lo tanto el leve incrementoen el R^2 se debe solo al aumento de varia-bles explicativas en la matriz de diseño. Lo queevidencia que en el mercado de accionariocolombiano hay ausencia de relaciones de lar-go plazo entre las inversiones que se realizanen este mercado.

De igual manera el valor tan pequeño de losR^2 refleja el mismo problema encontrado porlos anteriores modelos, el mayor determinan-te del retorno sobre un activo financiero en laBVC es el riesgo especifico de dicho activo, yel mercado no es lo suficientemente eficientepara descontar toda la información disponibleocasionando que el precio no refleje correcta-mente toda la información disponible.

Al igual que en el CAPM clásico se evaluó elpronostico mediante el R^2 de (49). Debidoal poco poder explicativo del CAPM continuoera de esperarse que el pronostico no fueratan acertado, el R^2 sigue estando por deba-jo del 11% en promedio, lo que indica que elresiduo de (49) explica más el retorno espe-rado observado que el retorno esperado esti-mado por (70), en otras palabras por el mo-delo CAPM continuo no es posible realizar unabuena predicción de los retornos esperados.



9. CONCLUSIONES

En innumerables trabajos se han expuesto lasdeficiencias y virtudes empíricas de los mode-los anteriormente expuestos, la gran mayoríade ellos o por lo menos los más famosos ha-cen referencia al mercado accionario de Esta-dos Unidos. Mercado que se caracteriza porsu gran tamaño y profundidad, al 31 de Di-ciembre de 2006 las compañías listadas en elNew York Stock Exchange (NYSE) tenían unvalor total de mercado igual a 26 trillones dedólares29. Además de poseer una gran gamade instrumentos o herramientas tales como op-ciones, swaps, forwards y futuros, que le per-miten hacer coberturas y diversificaciones casiperfectas a los inversionistas, el NYSE se ca-racteriza por tener una red de información muyeficiente - y en general paginas web comoYahoo e Investpodeia - donde se puede con-seguir cualquier tipo de información, noticias,indicadores, datos históricos y análisis técnicoreferente con alguna acción en particular.

Todas estas cualidades hacen que el NYSE sealo más cercano a un mercado eficiente en lapráctica, lo cual resulta de gran convenienciaal estimar los modelos, dado que es un su-puesto fundamental en la construcción de losmismos. Sin embargo, al realizar la estima-ción tomando como base el mercado acciona-rio Colombiano se encuentra que los modelosresultan ser muy poco efectivos a la hora dereflejar el comportamiento de los retornos so-bre las acciones que cotizan en este mercado.A primera vista esto se debe a la diferencia enel tamaño del mercado, además el NYSE cuentacon más de 200 años de historia a diferencia dela BVC que recién inicio actividades en el 2001.

Aunque la evidencia empírica de los modelosestimados en esta investigación no sea tanprecisa como lo es en otros mercados, si ayu-da a determinar características interesantesdel mercado accionario colombiano.

La primera de ellas y causa de las otras esque la BVC no es un mercado eficiente, comoya se demostró el mercado no utiliza toda lainformación disponible para establecer los pre-cios de los activos ocasionando que estos no

reflejen correctamente el valor fundamental overdadero de los activos.

La segunda característica es que el riesgo noes proporcional al retorno, el rechazar la hi-pótesis del CAPM clásico implica que la primade riesgo de mercado no es suficiente paraexplicar la varianza en los retornos y que elfactor determinante es el riesgo específico, queposee errores de ajuste de información segúnla primera característica. Y por último tambiénse demostró que no existen relaciones de in-versión entre el corto y el largo plazo, es decir,el mercado esta sujeto solo a inversiones quebuscan un alto rendimiento en un periodo corto.

Las anteriores características también fueronexpuestas en el trabajo de grado "BurbujasEspeculativas: Una Evidencia Empírica para elMercado Accionario Colombiano 1997-2004"30.En este trabajo se demostró que en el merca-do accionario colombiano se han presentadodos burbujas especulativas31 entre 1997 y2004, como consecuencia de ello se incrementóla volatilidad de los retornos y afectó la capa-cidad para poder predecirlos. Las razones deeste fenómeno presentadas por los autores sonla asimetría de información, la ausencia de re-laciones de largo plazo y la ineficiencia del mer-cado, razones que concuerdan con las encon-tradas por esta investigación.

Lo expuesto anteriormente sustenta la creen-cia de que los mercados financieros de paísescon economías emergentes son mercados ne-tamente especulativos, caracterizados por al-tos rendimientos y altas volatilidades en elcorto plazo.

Además en el caso particular colombiano exis-ten muchas dificultades a la hora de recolec-tar información para realizar una estimacióncomo la del modelo APT, dada la carencia deinformación no fue posible utilizar este mode-lo para explicar el comportamiento de los re-tornos esperados y los componentes del ries-go sistémico.

Al haber una gran deficiencia en la informa-ción, una de las herramientas más utilizadaspor los traders en la BVC es el Análisis Técni-

29 Fuente: página web www.nyse.com30 Los autores de este trabajo son Ana Maria Fierro Sánchez y Andrés Eduardo Palacios Poveda, egresados de la

Universidad Javeriana.31 Una burbuja especulativa se presenta cuando el precio de una acción se aleja por razones ajenas al propio desempe-

ño de la firma de su valor fundamental, que es determinado por el flujo de dividendos traídos a valor presente.



co, ya que permite pronosticar el precio de losactivos sin la necesidad de estar sujeto a unmodelo de mercado como el CAPM o el APT(Análisis Fundamental). Sin embargo ambosanálisis son importantes para explicar el com-portamiento de los precios de activos riesgo-sos, y en Colombia se evidencia un gran atra-so en el Análisis Fundamental ya sea por lacarencia de información o por imperfeccionesdel mercado que no permiten la estimación demodelos de mercado.

Con toda la evidencia empírica anterior no sepuede rechazar concluyentemente la hipótesisde la investigación32, porque la falta de poderexplicativo de los modelos utilizando el merca-do accionario como muestra se debe a fallaspropias del mercado, es decir, es evidente queal cambiar los factores que determinan el riesgoy describen el comportamiento de los retornosesperados los resultados serán diferentes, elproblema que se presentó es que los datos y elmismo ambiente de inversión no son un factor afavor para implementar este tipo de análisis.

Adicionalmente el resultado esperado no fueel efectivamente encontrado, en el resultadoesperado se pretendía que el modelo CAPMcontinuo sería el mejor modelo para el merca-do de capitales, sin embargo no fue así, nopor el hecho de haber encontrado uno mejorsino porque este tipo de modelos, cuya basefundamental es el supuesto de eficiencia en lainformación, no encuentra aplicabilidad en laBVC.

Habiendo identificado los problemas del mer-cado accionario colombiano, existen metodo-logías y modelos que permiten solucionar lasdeficiencias encontradas por la investigación.Se puede realizar la estimación del CAPM através de Mínimos Cuadrado Generalizados, yaque toma en cuenta la autocorrelación pre-sente en el término de perturbación estocásti-ca lo que ayudaría a modelar la asimetría eineficiencia con respecto a la información enel mercado accionario Colombiano, para el casodel CAPM continuo se pueden utilizar los mo-delos GARCH, ARCH y GARCH en la medidaque permiten modelar de una manera dinámicael cambio en el conjunto de oportunidades deinversión futura.

Finalmente, es de resaltar la gran dificultadde la consecución de la información y la con-solidación de las cifras del mercado de capita-les en Colombia, lo que origino una labor muydispendiosa en la construcción de la base dedatos utilizada en la investigación.

10. BIBLIOGRAFÍA

Bremann, Michael, Ashley Huang and YihongXia. "Estimation and Test of a simple Model ofintertemporal CAPM" Finances California Uni-versity, 2003.

Hirshleifer, J., "Investment Decision under Un-certainty: Applications of the State-Preferen-ce Approach", The Quarterly Journal of Eco-nomics, Vol. 80, No. 2, 1966. Pp. 252-277.

Levy, Haim, "Equilibrium in an Imperfect Mar-ket: A Constrain in number of Securities in thePortfolio", The American Review, Vol.68, No.4, 1980. pp 643-658.

Levy, Haim and Markowitz, Harry. "Approxi-mating Expected Utility by a Function of Meanand Variance", The American Review, Vol.69,No. 3,1979. pp 308-317.

Lintner, John. "The Valuation of Risk Assets andthe Selection of Risky Investments in Stock Port-folios and Capital Budgets", The Review of Eco-nomics and Statistics, Vol. 47, No. 1,1965. pp13-37.

Lucas, Robert. "Asset Prices in an ExchangeEconomy". Econometrica,1978.

Mass-Colell, Andrew, Whiston, Michael andGreen Jerry. Microeconomics Theory. London:Oxford University. 1995.

Markowitz, Harry. "Portfolio Selection". The Jo-urnal of Finance, Vol. 7, No. 1, 1952. pp 77-91.

Markowitz, Harry, "Foundations of PortfolioTheory", Nobel Lecture. 1990.

Merton, Robert C. "An Analytic Derivation ofEfficient Frontier". The Journal of Financial andQuantitative Analysis, Vol. 7, No. 4, 1972. pp1851-1872.

32 En la cual se establece que los cambios en la estructura de mercado y el manejo del tiempo dentro de los modeloscambian significativamente el comportamiento de los inversionistas al igual que los resultados.



Merton, Robert C., "An Intertemporal CapitalAsset Pricing Model". Econometrica, Vol. 41,No.5,1973. pp 867-887.

Mossin, Jan. "Equilibrium in a Capital AssetMarket". Econometrica, Vol. 34, No. 4, 1966.pp 768-783.

Roll, Richard. Ross, Stephen, "An Empirical In-vestigation of the Arbitrage Pricing Theory".The Journal Of Finance, Vol. 35, No. 5, 1980.pp 1073-1103.

Sarmiento Lotero Rafael y Vélez Molano, Ro-drigo. "Teoría del riesgo en Mercados Finan-cieros". Cuadernos Latinoamericanos de Ad-ministración, Universidad del Bosque, Bogo-tá: Scripto, 2007.

Sarmiento Lotero Rafael y Salazar, Mauricio."La estructura de capital en Colombia: una evi-dencia empírica para Colombia con un modeloeconométrico, 1998-2005", Cuadernos de Eco-nomía, Universidad Javeriana, Bogotá, 2006.

Sharpe, William F., "Capital Assets with andwithout Negative Holdings". Nobel Lecture.1990.

Sharpe, William F., "Capital Asset Prices: ATheory of Market Equilibrium under Conditio-ns of Risk", The Journal of Finance, Vol. 19,No. 3, 1964. pp 425-442.

Smith, P.N, Sorensen, S. and Wicknes, M.R."The Asymmetric effect of the business cycleson the relation between Stock Market returnsand Volatility". Working paper. Centre ofapplied for macroeconomic analysis. The Aus-tralian National University. 2006.

Von Neuman, J. and Morgensten O. The Theoryof Games and Economic Behavior. Princeton,N. S.: Princeton University Press. 1944.

11. APENDICE

En este Apéndice se muestran las característi-cas de los Movimientos Brownianos, los cualesson la base para la construcción de Lema deItô. Estas características son las siguientes:

1) Sea f(t) una función continua y diferencia-ble donde t es la variable tiempo y se encuen-tra en el intervalo [0,T]. Este intervalo se puededividir por puntos que se encuentren una mis-ma distancia, de la forma t=0,t

1,t

2,...,t

N y el

cambio de un punto a otro está determinadopor t=t

k+1-tk con k=1,2,,...,N-1.

La multiplicación de t con f(tk)da como resul-

tado de cada uno de los rectángulos en el Grá-fico A1, y la suma del área de todos los rec-tángulos se aproxima al área debajo de la curvaf(t), por tanto la suma de Reimann se definecomo:

(A.1)

Cuando se toma el límite a la expresión (A.1)cuando , graficamente los rectángulosse hacen cada vez más pequeños de tal ma-nera que el área calculada es muy cercana ala verdadera área debajo de f(t), el anteriorconcepto se conoce como la integral de Rei-mann y se expresa de la forma:

(A.2)

2) Además,



La tangencia o la derivada en un punto es igualla tangente entre t y . Para elcaso del Gráfico A2, la derivada de f(t) en unpunto S

k es igual a:

Organizando términos

(A.3)

3) La suma al cuadrado de f(tk+1

)-f(tk) se cono-

ce como la Variación Cuadrática de f(t) en elintervalo [0,T], y se expresa33:

(A.4)

Ahora, sí se suma sobre k a ambos lados de(A.3) y se eleva al cuadrado, se obtiene unaexpresión para la Variación Cuadrática

(A.5)

Tomando el límite de (A.5) cuando y por(A.2) se tiene

(A.6)

Resolviendo, (A.6) converge a cero

(A.7)

Por (A.7) se tiene que para funciones conti-nuas y diferenciables la Variación Cuadráticaes cero.

Sin embargo, un Movimiento Browniano (MB)es continuo pero no diferenciable, esto se debea que la función no es "suave", es decir, pre-senta cambios muy bruscos, por lo tanto suVariación Cuadrática (VC) no será cero.

Teniendo en cuenta esta característica ante-rior los MB tienen las siguientes propiedades:

Sea f(t) un MB, entonces

a) f(t) es una función continua de t sí t=t1,...,t

N,

son puntos en el tiempo en [0,T].

b) Todos los incrementos f(tk+1

)-f(tk) son inde-

pendientes y se distribuyen normal. El MB notiene memoria, esto quiere decir que el pasa-do del MB no puede ser utilizado para predecirsu futuro.

c) .

d) .

Cuando se haga referencia a (A.8) se estáhaciendo referencia al conjunto de estas cua-tro propiedades.

4) Variación Cuadrática de un MB

Por propiedades de las sumatorias la expre-sión (A.4) se puede expandir de la forma:

(A.9)

El primer término de la sumatoria que se en-cuentra al lado derecho en la expresión (A.9)se puede escribir como:

(A.10)

Reemplazando (A.10) en (A.9)

Despejando

(A.11)

33 Para simplicidad se abrevia la notación de la siguiente forma: f(tk)=f

k.


Al tomar el límite de de (A.11) se tieneque: primero por (A.2)

(A.12)

Y segundo, los incrementos fk en el MB al to-

mar el límite de , habrán tantos incre-mentos como puntos en el tiempo, es decir, laVariación Cuadrática del MB es:

(A.13)

Por lo tanto reemplazando (A.12) y (A.13) en(A.11), sí f(t) es un MB sobre [0,T] entonces:

(A.14)

5) Ya se consideró la suma de cuadrados def

k (VC) de un MB, ahora se va considera el

cuadrado de la suma que se expresa como:

(A.15)

Expandiendo (A.15) por propiedades de lassumatorias, se encontrarán los cuadrados detodos los f

k junto con todos los términos cru-

zados posibles que aparecerán dos veces, dela siguiente de la forma:

(A.16)

Sin embargo, el término se puedereescribir como:

Cancelando términos

(A.17)

Reemplazando (A.17) en (A.16)

(A.18)

Tomando el límite de (A.18) cuando 0tΔ →

(A.19)

Por la expresión (A.13) el primer término dela derecha de (A.19) es igual a T y por la pro-piedad b) -incrementos independientes- de(A.8) el segundo término es igual a cero, porlo tanto (A.19) es igual a:

(A.20)

Ahora, la distancia que el MB ha recorrido estadeterminada por f

N - f

0, entonces por (A.20) la

distancia recorrida del MB es igual a la raízcuadrada del tiempo.

Adicionalmente sí se escribe (A.13) como:

(A.21)

Entonces a un nivel diferencial -por (A.21)- seconcluye que sí f(t) es un MB sobre [0,T] en-tonces:

(A.22)

6) Sea f(t) una función de f, utilizando la aproxi-mación de Taylor de segundo orden se tieneque:

(A.23)

Despejando el incremento P de (A.23)

(A.24)

Dividiendo (A.24) por y tomando el límitecuando , entonces

(A.25)

Donde por (A.15) df2/dt=1. Multiplicando(A.25) por dt, se tiene:

(A.26)

La expresión (A.26) es la Regla de la Cadenaque derivo Itô para el cálculo estocástico.

Habiendo descrito estas 6 características delos MB más la Regla de la Cadena (A.26) sepuede explicar la formalización que hizo Itôdel trabajo de Bachelier bajo el nombre delLema de Itô.

5. CONCLUSIONES

A partir del campo netamente teórico el CAPMde Merton ofrece una mejor visión de cómolos inversionistas se comportan en un merca-




do financiero gracias a que amplia el espectrodel CAPM clásico al considerar un conjunto deoportunidades de inversión cambiante en eltiempo y así permitir que los inversionistastomen decisiones de consumo de activos fi-nancieros hoy con base en las expectativas so-bre el futuro del mercado financiero.

6. BIBLIOGRAFIA

Fama E. F., "Efficient capital markets: A re-view of theory and empirical work", Journal ofFinance. 1970.

Fama E. F., Foundations of Finance, New York:Basic Books. 1976.

Levy, Haim, "Equilibrium in an Imperfect Mar-ket: A Constrain in number of Securities in thePortfolio", The American Review, Vol.68, No.4, 1980. pp 643-658.

Levy, Haim and Markowitz, Harry, "Approxi-mating Expected Utility by a Function of Meanand Variance", The American Review, Vol.69,No. 3, 1979. pp 308-317.

Lintner, John, "The Valuation of Risk Assets andthe Selection of Risky Investments in StockPortfolios and Capital Budgets", The Review ofEconomics and Statistics, Vol. 47, No. 1, 1965.pp 13-37.

Lucas, Robert, "Asset Prices in an ExchangeEconomy". The Journal of Finance.1978.

Markowitz, Harry, "Portfolio Selection", The Jo-urnal of Finance, Vol. 7, No. 1, 1952.pp 77-91.

Markowitz, Harry, "Foundations of PortfolioTheory", Nobel Lecture. 1990.

Merton, Robert C., "An Analytic Derivation ofEfficient Frontier". The Journal of Financial andQuantitative Analysis, Vol. 7, No. 4, 1972. pp1851-1872.

Merton, Robert C., "An Intertemporal CapitalAsset Pricing Model", Econometrica, Vol. 41,No.5, 1973. pp 867-887.

Mossin, Jan, "Equilibrium in a Capital AssetMarket", Econometrica, Vol. 34, No. 4, 1966.pp 768-783.

Sharpe, William F., "Capital Assets with andwithout Negative Holdings". Nobel Lectu-re.1990.

Sharpe, William F., "Capital Asset Prices: ATheory of Market Equilibrium under Conditio-ns of Risk", The Journal of Finance, Vol. 19,No. 3, 1964. pp 425-442.

capital asset pricing model -robert merton-: teorÍa y

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