MODELO DE IMPEDANCIAS Y CALCULOS DE LA RED CAPITULO 8

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MODELO DE IMPEDANCIAS Y CALCULOS DE LA RED

En el captulo anterior se vio la forma que se construye rama por rama a partir de

admitancias elementales donde invirtiendo la matriz podemos obtener la matriz de

impedancias de barra .

Donde podemos observar:

se emplea ms en la prctica.

se emplea para ms anlisis en sistema de potencia.

La matriz de impedancias de barra puede construirse elemento por elemento, directamente.

Tener en cuenta que el trabajo vinculado para la construccin de es mucho mayor que el

requerido para construir . Pero la ventaja es que cada elemento de la diagonal de

tiene caractersticas importantes de todo el sistema en forma de impedancia de Thvenin.

Por otro lado, la matriz de impedancias de barra de un sistema interconectado nunca esta

esparcida y solo contiene ceros cuando se considera que el sistema esta subdividido en partes

independientes a travs de circuitos abiertos (Donde se ver en el captulo 12 donde los circuitos

abiertos aparecen en las redes de secuencia cero del sistema).

8.1 Matrices de Admitancia e impedancia de barra:

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Donde para hallar las admitancias por el captulo anterior seria:

13568.0

9000.1

0

0

30.8000.550.2

080.550.250.2

00.550.225.1975.11

50.250.275.1175.16

4

3

2

1

V

V

V

V

jjj

jjj

jjjj

jjjj

Ahora gracias a la frmula: = 1

Donde la matriz ser de la siguiente manera:

13568.0

9000.1

0

0

69890.055110.064178.063677.0

5510.069890.060822.061323.0

64178.060822.071966.069140.0

63677.061323.069140.073128.0

4

3

2

1

jjjj

jjj

jjj

jjj

V

V

V

V

Vemos que se obtiene una matriz con igual caractersticas, en donde tenemos en la diagonal

principal las impedancias de Thvenin.Veremoscon un circuito aparte como hallar las impedancias

si se tienen como datos las corrientes y voltajes.

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Donde lo pasamos a fuentes de corriente quedando asi:

02

222

31

III

VZ

02

112

31

III

VZ

Cabe resaltar que al encontrar Z22 no se esperara ninguna relacin recproca entre Z22e Y22

Ya que la primera se defini al abrir las fuentes de corrientes conectadas de las otras barras

mientras que la segunda se encontr al cortocircuitar las barras.

8.2 Impedancia de Thvenin:

La matriz de impedancias de barra nos brinda informacin importante, relacionada con la red de

sistemas de potencia, que puede ser usada para obtener ventaja en los clculos de redes. En esta

parte examinaremos los elementos de y la impedancia de Thvenin para ello tendremos

que utilizar algunas notaciones:

IZIZIIZV barrabarrabarra 00 )(

Dnde:

0IZbarra =Voltaje eficaz de circuito abierto o voltaje original (V

0)

IZbarra =Cambios en los valores originales ( V )

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Como podemos ver en la figura

Donde tenemos la siguiente matriz:

0

0

0

21

11

222221

111211

2

1

k

NNNkNN

kNkkkk

Nk

Nk

N

k I

ZZZZ

ZZZZ

ZZZZ

ZZZZ

V

V

V

V

Siendo kI en la fila k el nico elemento diferente de ceroen el vector de corriente. Los voltajes

de barra incrementales se obtienen a traves de la multiplicacin de filas por columnas.

8.3 Modificacion de una Zbarra Existente:

En muchos casos vemos que nuevas impedancias se sumana la red, ahora veremos cmo tratar la

matriz impedancia sin alterar sus valores originales, solo agregndole una impedancia externa

veremos en la siguiente matriz como ocurre ello:

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Caso 1: si ingresamos una impedanciaZp al nodo de referencia, entra con un voltaje P ( Vp ) y con

una intensidad de corriente IP, veremos cmo se modifica la matriz impedancia

Caso 2: Al aadir la Zb de una barra nueva (P) a una barra existente (k) ocasiona en la matriz una

columna y una fila ms, es decir si antes fue (NxN) ahora ser ((N+1) x (N+1)) como podemos ver

en la tabla.

Caso 3: Cuando se aade Zb desde una barra existente (k) al nodo de referencia, en este caso es

parecido a la matriz anterior, solo que en este caso el voltaje Vp es igual a cero con el propsito de

realizar la modificacin se procede a una nueva fila y columna al igual que en el caso 2, pero

eliminando la fila y la columna (N+1) a travs de la reduccin de Kron.

bkk

iNNh

hinuevahiZZ

ZZZZ

)1()1(

)(

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Caso 4: Al aadir Zb entre 2 barras existentes (j) y (k), veremos el siguiente grfico.

Donde se obtiene la matriz:

Donde:

bjkkkjj

iNNh

hinuevahiZZZZ

ZZZZ

2

)1()1(

)(

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8.4 Determinacin Directa de Zbarra

Utilizando las ecuaciones antes descritas veremos con un pequeo ejemplo como hallar en forma

directa Zbarra. Para ello veremos el siguiente grfico:

Donde vamos hallado las matrices: paso por paso:

1er Paso 2do Paso

3er Paso 4to Paso

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8.5 Clculos de los Elementos de Zbarra usando Ybarra

Se puede realizar fcilmente para esto debemos contar con los factores triangulares superior e

inferior de Ybarra y no sea necesario tener la forma numrica completa de la Zbarra para una

aplicacin dada. Para obtener el elemento deseado se postmultiplica la matriz de impedancia por

el vector en funcin al nodo que se desea 1m = 1, en la fila m y todos los dems igual a cero.

Como se puede observar se obtiene el vector ()

esto es

Sabemos que el producto de de Zbarra por Ybarra es igual a la matriz unidad por tanto

Luego si tenemos a la matriz triangula inferior y superior de la admitancia los reemplazamos por la

admitancia total Ybarra.

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Ya tenemos la expresin en relacin a la admitancia y el elemento de la impedancia ()

. Ahora

para hacer mas enfoque en el concepto supongamos un caso donde se desea obtener los

elementos Z33 y Z43 de la Zbarra. Como se muestra a continuacin:

Procedemos a resolverlo por etapas para (3)

.

Y finalmente se obtiene:

En el caso de querer obtener (Zim - Zin) que es la resta de las columnas m y n de la Zbarra. La

expresin seria

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Donde se obtiene el vector:

Ejemplo

Se tiene un sistema de 5 barras que se muestra a continuacin tiene las impedancias en por

unidad sealadas.

Donde la matriz simtrica de admitancias de barra para el sistema est dada por

Cuyos factores triangulares de Ybarra son:

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Nos piden determinar ,45 = 44 45 (54 55) que es la impedancia de thevenin vista

desde el sistema entre barras 4 y 5.

Solucin:

Procedemos a resolverlo por etapas

Se obtiene

Luego:

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Por ultimo reemplazando

8.6 Transformaciones sin variacin de potencia

Esta etapa est orientada al cambio de variables que tendra que aplicarse al sistema si queremos

obtener otros voltajes, corrientes e impedancias en las barras de tal manera que la potencia total

no cambie. Para esto se aplica matemtica bsica de matrices que desarrollaremos a continuacin.

A la transformacin de variables de la red que conserva los valores de potencia se le conoce como

sin variacin de potencia.

Para entender este proceso primero representaremos la potencia aparente total de las barras

En forma escalar

Pasando a la forma matricial

Una vez definido esto procedemos a efectuar la transformacin, para aplicaciones prcticas la

transformacin se iniciara en la matriz de corrientes de barras determinando un nuevo conjunto

de corrientes mediante la matriz C de transformaciones.

Un ejemplo prctico de transformacin es cuando se cambia el nodo de referencia de la red por

tanto se tendra que calcular la nueva matriz de impedancias.

Lo que buscamos es realizar los cambios de tal manera que la potencia aparente de la red no

cambie para esto reemplazamos en V

Como la matriz de impedancia es simtrica se obtiene la siguiente expresin

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Se concluye la siguiente expresin

Por tanto para que la potencia compleja permanezca sin variacin en trminos de las nuevas

variables, la nueva impedancia debe ser calculada bajo la relacin

Llegando al resultado fundamental

Ahora para hallar la expresin que nos permita determinar la matriz de voltaje nueva es

Reemplazando I* y aplicando un artificio se obtiene

Se concluye que

Para obtener la potencia activa de la red bajo las nuevas variables se procede como sigue

Sabemos que la potencia aparente es la suma total de la potencia real y la potencia reactiva que

entra y sale de las barras de la red por tanto

Aplicando la conjugada a la transpuesta de la expresin tenemos

Sumando ambas expresiones se obtiene

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Pero sabemos que la impedancia de la barra es simtrica por tanto al sumar ambas expresiones las

reactancias se cancelan y obtendremos

Ejemplo

Segn el esquema

Teniendo como referencia el nodo n se tiene

Donde los voltajes V1, V2, V3 y V4 se miden con respecto al nodo n de referencia y las inyecciones

de corriente I1, I2, I3 y I4 son independientes. Aplicando la ley de Kirchhoff se sabe

Pero ahora se cambia la referencia del nodo n al nodo 4, entonces I4 ya no es independiente y la

expresin resultante seria

Por tanto para obtener los nuevos valores de voltaje e impedancias de barra se aplica la

transformacin explicada, primero pasamos a forma de matriz la expresin de corrientes

obteniendo asi el C de transformacin.

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Una vez determinada el C de transformacin aplicamos para determinar la nueva impedancia

Procedemos a resolverlo por etapas

Hacemos cambio de variables

}

Aplicamos C y se obtiene

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Para los voltajes la expresin es

8.7 Ramas Mutuamente Acopladas en Zbarra

Se realizo el anlisis sin tomar en cuenta los acoplamientos por induccin debido que su operacin

se puede volver ms compleja y engorrosa, ahora que ya se entablo los procedimientos para

determinar el modelamiento de impedancias sin acoplamientos, ser ms sencillo poder estudiar

este tema.

Para este caso se tendr que partir haciendo anlisis de dos impedancias mutuamente acopladas

agregadas a la red existente. Se proceder agregando una por una, la primera impedancia se

agregara siguiendo el procedimiento indicado en el subtema Modificacin de una Zbarra Existente

cuyos casos ya fueron indicados, a continuacin se explicara el procedimiento para agregar la

segunda impedancia acoplada.

CASO 5. Aadir una Zb mutuamente acoplada desde una rama existente p a una nueva barra q.

En el esquema se puede observar que ya esta agregado la primera impedancia Za entre las barra m

y n. Entre la barra p y q est conectada con la segunda impedancia Zb estas estn mutuamente

acopladas mediante una impedancia ZM. Las ecuaciones de cada de tensin son las siguientes:

Notamos que Ib = -Iq

Eliminado la variable Ia y reemplazando la Ib por Iq tenemos

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Pero sabemos que

Reemplazando

Esta ecuacin nos da el Vq tomando en cuenta las dos ramas mutuamente acopladas. La matriz de

impedancias de barra con la nueva barra estara dada por

Ahora se obtendrn expresiones para calcular los elementos con subndices q. Seleccionamos una

fila i de la ecuacin y planteamos

El tambin puede ser expresada como

Llevando la expresin a trminos de m, n, p y q y reemplazada a la ecuacin

Se obtiene

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Que es una ecuacin general para la red que ha aumentado independientemente de los valores

particulares de las corrientes que se han inyectado.

Por tanto si Iq = 0 la expresin seria

Partiendo de esta expresin reemplazamos los voltajes iniciales de m, n, p y q que fueron

obtenidas anteriormente se agrupan trminos e igualan los coeficientes de Ij en ambos lados de la

ecuacin resultante, y se encuentra que

Para todos los valores de j del 1 hasta el N sin incluir q y para las columnas q se obtiene por

simetra de la matriz.

Para obtener la ecuacin Zqq se determina considerando todas las corrientes, excepto la Iq, iguales

a 0 y se igualan los coeficientes de Iq en ambos lados de la ecuacin y se obtiene

Caso 6. Aadir una Zb mutuamente acoplada desde una barra existente p a la referencia.

Es una aplicacin especial del caso 5 donde el Vq es igual a 0 debido a que esta cortocircuitado con

el nodo de referencia. Se procede a realizar la matriz de impedancia de barra modificada una

columna q y una fila q similar al caso 5, una vez realizado esto se elimina las columnas y filas que

se formaron por medio de la tcnica estndar de reduccin de Kron porque Vq = 0 en la columna

de voltajes.

Caso 7. Aadir una Zb mutuamente acoplada entre las barras existentes p y k

Para el caso 7 se trata de una aplicacin del caso 5 y el caso 4 donde primero se conecta la rama

mutuamente acoplada Zb en la barra p hacia la barra temporal q, tomando en cuenta que Za ya es

parte del Zorig. Luego se cortocircuita la barra q con la barra k y se aade una rama de impedancia

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cero entre estas barras como en el caso 4. Siguiendo la forma como se desea que (Vq-Vk) sea cero

se encuentra una expresin para esa cantidad al restar la fila k de la fila q de la ecuacin.

Donde Zc es igual a (Zqq + Zkk 2Zqk), luego se eliminan la nueva fila y columna debido a que (Vq-Vk)

es igual a cero, a travs de la reduccin de Kron para encontrar la forma final de la matriz NxN de

impedancia barra.

Caso 8. Quitar una Zb mutuamente acoplada de las barras existentes p y k.

Para poder quitar una rama Zb mutuamente acoplada se deber conectar entre sus bornes una

rama negativa Zb de tal manera que tambin este en acoplamiento con Za. Las ecuaciones de

cadas de voltaje para las tres ramas mutuamente acopladas son:

De la grafica se puede concluir que:

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Muestra que (Ib + Ib) es cero. Se sustituye este resultado en la ecuacin y se tiene

El efecto de acoplamiento entre las dos rama p y q es cero debido a que (Ib + Ib) es cero.

Ahora para calcular los elementos de la nueva fila y columna de la barra temporal q se calcula

secuencialmente mediante

Con el ndice J desde 1 hasta N y

Luego se aplica la reduccin de Kron y obtenemos la nueva matriz de impedancias de barra que se

desea.

Ejemplo:

En la figura mostrada la impedancia Zb que es igual a j0.25 por unidad y est entre las barras 1 y 4,

se conectan de forma que se acopla a la impedancia de rama, que ya estaba conectada entre las

barras 1 y 2, a travs de la impedancia mutua j0.15 por unidad. Modifique la matriz de impedancia

de barra para incluir la adicin de Zb al esquema.

Solucin:

La conexin de Zb entre las barras 1 y 4 corresponde al caso 7por tanto se proceder segn lo

indicado.

Sabemos

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Reemplazando tenemos

Esto lo complementamos en la matriz por simetra

Calculando Zqq

Reemplazando tenemos

Obtenemos la matriz de impedancias como se muestra

Ahora la rama Zb se ha incorporado dentro de la red entre las barras 1 y q para completar las

conexin de Zb a la barra 4 se debe encontrar (Vq-V4) y hacerla entonces igual a cero. La primera

etapa se cumple al igualar a 4 el subndice k en la ecuacin

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Restando la fila 4 de la fila q de la matriz anterior de 5x5 y al aplicar el resultado para reemplazar a

la fila y columna q existente para obtener

El nuevo elemento de la diagonal se calcula de

Por ltimo igualamos a cero la expresin (Vq-V4) en la ecuacin y eliminamos las filas y columnas

nuevas mediante reduccin de Kron tenemos

Que es la matriz de la barra deseada.

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