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Capıtulo 5

Sensores a Ondas Acusticas de Superfıcie

Edval J. P. Santos, Ph.D.

Laboratorio de Dispositivos e Nanoestruturas

Departamento de Eletronica e Sistemas - UFPE

Caixa Postal 7800, 50670-000 Recife - PE

e-mail: [email protected], Fone: (81)3271-8214, Fax: (81)3271-8215

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Conteudo

5.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

5.1.1 Sensor OAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

5.1.2 Fabricacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5.2 Ondas acusticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5.2.1 Teoria da elasticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.2.2 Equacao da onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.2.3 Solucao de ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.2.4 Solucao de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.2.5 Ondas de Lamb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.2.6 Ondas de Love . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.3 Piezoeletricidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.3.1 Acoplamento eletro-acustico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.3.2 Equacoes generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.3.3 Materiais piezoeletricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.4 Propagacao do sinal eletroacustico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.4.1 Propagacao de ondas na superfıcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.4.2 Excitacao de ondas de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.5 Modelo eletrico do dispositivo OAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.5.1 Resposta em frequencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.5.2 Funcao de transferencia - parametros Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.5.3 Funcao de transferencia - parametros S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.5.4 Modelo SPICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.6 Projeto do oscilador OAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.6.1 Condicao de oscilacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.6.2 Circuito eletrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.7 Projeto de sensores OAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.7.1 Sensibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.8 Caracterizacao de sensores eletroacusticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.9 Consideracoes finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

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Lista de sımbolos:

• A: area

• CTR (TCD): coeficiente de temperatura do retardo

• Cijkl: tensor de acoplamento eletroacustico

• D: campo eletrico

• E : energia total

• F : energia livre de Helmholtz

• f : frequencia

• h: espessura da camada

• IL: perda de insercao

• K: numero de onda

• K: modulo de compressao hidrostatica

• k2: coeficiente de acoplamento efetivo

• κ2: coeficiente de acoplamento piezoeletrico

• λ: comprimento de onda

• m: massa

• ω: frequencia angular

• Q: fator de qualidade

• RL: perda de retorno

• ~r: vetor posicao

• ρ′: massa por unidade dearea

• ρe: carga por unidade de volume

• ρm: massa por unidade de volume

• S: entropia

• Sij : parametro de espalhamento

• σij : tensor de pressao,stress

• T : temperatura

• uik: tensor de deformacao,strain

• ~u: vetor deslocamento

• V : potencial eletrico

• vRayleigh: velocidade da onda acustica na superfıcie

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5.1. INTRODUCAO

A tecnologia de ultra-som tem diversas aplicacoes industriais. Em particular, os dispositivos a ondas

acusticas de superfıcie, OAS (em ingles, “SAW= surface acoustic wave”), tem sido utilizados como:

linhas de retardo, filtros, convolutores, identificacao de assinantes em tecnologia celular, moldagem

de pulsos em tecnologia de radar, processamento de sinais, sensores quımicos, etc. Essas aplicacoes

sao oriundas do fato dessas ondas se propagarem com velocidades muito menores que a velocidade da

luz e os dispositivos podem ser construıdos com caracterısticas bastante estaveis. As ondas acusticas

se propagam em meios solidos com velocidades da ordem de3000 m/s∗, uma velocidade cerca de

cem mil vezes menor que a velocidade da luz. Isso faz com que certos tipos de dispositivos sejam

muito menores quando implementados utilizando a tecnica de ondas acusticas. Devido a isso, desde

a decada de 40, tem havido interesse crescente na utilizacao de ondas acusticas no desenvolvimento

de filtros e linhas de retardo. Com base nesses dispositivos, foram desenvolvidos os sensores a ondas

acusticas de superfıcie. Esses sensores tem uma larga faixa de aplicacao na medicao de grandezas

fısicas, tais como: temperatura, pressao, deslocamento, aceleracao, fluxo, viscosidade, concentracao

ionica e campo eletrico.

Foi a partir da decada de 60 que se deu inıcio ao desenvolvimento de dispositivos OAS com

estrutura interdigitada fabricados utilizando a tecnologia planar da microeletronica. Na decada de

70, eram os dispositivos a ondas acusticas de superfıcie que pressionavam o avanco da fotolitografia

como tecnica de microfabricacao. Enquanto a dimensao crıtica da microeletronica estava em torno de

10µm, os dispositivos OAS precisavam ser fabricados com dimensoes menores que2µm para operar

em frequencias acima de500MHz (veja adiante na Tabela 5.1).

Na decada de 80, surge o interesse nesse tipo de dispositivo para aplicacao na telefonia celular e

em sensores, alem de radar, sistemas de comunicacao e espionagem, especialmente quando combi-

nado comoptica. Esse interesse aumenta ainda mais a partir da decada de 90 devido a sua potencial

utilizacao em sensores inteligentes (“smart sensors”), com especialenfase em sensores inteligentes

integrados.

O dispositivo a ondas acusticas de superfıcie modernoe semelhante ao proposto por White e

Voltmer em 1965 [1], consistindo de duas estruturas interdigitadas sobre um substrato piezoeletrico,

veja Figura 5.1.

∗As ondas longitudinais em solidos se propagam com pelo menos o dobro dessa velocidade.

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Figura 5.1. Dois conjuntos de estruturas interdigitadas com dois pentes intercalados de cada lado,

formando um dispositivo OAS. A regiao entre as duas estruturas interdigitadas pode ser utilizada para

deteccao.

As estruturas interdigitadas sao utilizadas como transdutores de entrada e de saıda. Cada estrutura

interdigitada consiste de dois pentes, com os dentes intercalados. O sinal eletrico aplicado no trans-

dutor de entradae convertido em um sinal mecanico atraves do efeito piezoeletrico, tambem denomi-

nado de acoplamento eletroacustico. No transdutor de saıda acontece o efeito oposto. Tipicamente

os dispositivos OAS, operam na faixa de RF (“VHF= Very High Frequency:30-300 MHz; UHF=

Ultrahigh Frequency:300-3000 MHz”). A frequencia de operacaoe determinada pelo afastamento

entre os dentes, pois este afastamento determina o comprimento de onda, Equacao 5.1. Para uma

estrutura interdigitada cuja largura do dentee igual ao espacamento, pode-se calcular o afastamento

entre os dentes como sendoλ/4.

f0 =vRayleigh

λ(5.1)

onde,vRayleigh e a velocidade da onda acustica de superfıcie, tambem denominada de velocidade de

Rayleigh eλ e o comprimento de onda.

A resposta em frequencia do dispositivos OASe semelhante a um filtro passa-banda ou passa-

faixa. A Equacao 5.1 fornece a frequencia central. A banda passante pode ser estimada utilizando a

Equacao 5.2.

∆f =2f0

N(5.2)

ondeN e o numero de pares de dentes. Por exemplo, para um substrato de quartzo no corte ST,

a velocidade de Rayleighe 3158 m/s. Considerando o quartzo como substrato e assumindo que o

espacamento entre dentese igual a largura dos mesmos, pode-se construir uma tabela com valores

paraλ.

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Figura 5.2. Ressonador comercial fabricado pela SAWTEK para operar a250MHz.

Tabela 5.1: Dimensoes tıpicas.

λ Largura do dente Frequencia

100 µm 25 µm 31, 58 MHz

10 µm 2, 5 µm 315, 8 MHz

5 µm 1, 25 µm 631, 6 MHz

2 µm 0, 5 µm 1, 579 GHz

1 µm 0, 25 µm 3, 158 GHz

Considerando o estado da arte da microeletronica pode-se construir dispositivos que operam ate

3GHz. Embora que para aplicacao como sensores, tipicamente opera-se com frequencias abaixo de

500MHz. Nessa faixa de frequencias naoe necessario utilizar tecnicas sofisticadas para a fabricacao

do dispositivo.

Caracterısticas do dispositivo OAS:

• Transicoes abruptas;

• Bandas bem definidas em frequencia;

• Pequena dimensao;

• Pequeno peso;

• Nao precisa de ajuste em campo;

• Baixo custo - usa tecnicas de microeletronica;

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• Alta perda de insercao† (15 a30 dB).

Diversos fabricantes de dispositivos OAS podem ser encontrados pela internet:

• Thomson-Microsonics (www.microsonics.thomson-csf.com)

• SAWTEK (www.sawtek.com)

• Vanlong (www.vanlong.com/products/sawfilter.htm)

• Microsensor Systems Inc. (www.microsensorsystems.com)

• Jiaxing Acoustic-Electric Ind. Co. (www.sawseek.com)

• Shoulder Electronics Ltd. (www.china-shoulder.com)

• SPK Electronics Co. Ltd. (www.spkecl.com/htdoc/saw.htm)

• Synergy Microwave Corp. (www.snergymwave.com)

• Sumitomo Electric, Inc. (www.sawdevice.com)

• Sawcom Tech Inc. (www.sawcomtech.com)

• Com Dev. (www.saw-device.com)

Esses dispositivos recebiam inicialmente o encapsulamento DIL, atualmentee utilizado o encap-

sulamento “surface mount”. No caso de sensores, tem-se utilizado o encapsulamento TO-8.

5.1.1. Sensor OAS

Na industria, a palavra sensor tem diversos significados, nesse trabalho define-se sensor como sendo

o transdutor de entrada. Atraves do sensor, a energiae transformada de uma forma para outra, ti-

picamente para eletrica, uma vez que os sistemas de processamento sao eletronicos. Por exemplo,

no sensor de temperatura a energiae transformada de termica para eletrica, no sensor de pressao,

a energiae transformada de mecanica para eletrica e assim por diante. Para serutil, o sensor deve

apresentar as seguintes caracterısticas

†A perda de insercaoe definida como sendo a atenuacao do sinal de saıda quando se compara a intensidade

do mesmo antes e depois da insercao do dipositivo.

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• Manufaturabilidade;

• Reproducibilidade (precisao);

• Exatidao;

• Reversibilidade;

• Longa duracao.

Outras caracterısticas de interesse sao: larga faixa dinamica, autocalibracao, ausencia de histerese,

rapidez, confiabilidade, seletividade, baixo consumo de potencia, robusto, portatil e baixo custo.

Em particular, o sensor OASe um dispositivo que pode ser utilizado para medir grandezas fısicas,

tais como: temperatura, pressao, deslocamento, etc. Nesse sensor, a frequenciae a grandeza medida,

como a medida da frequencia pode ser feita com grande precisao, isso faz com que esses dispositi-

vos tenham grande sensibilidade. Em um dispositivo OAS, a variacao da frequencia em termos das

grandezas mecanicase dada pela Equacao 5.3.

∆f = −1, 26× 10−7f 20 hρ′ (5.3)

onde,h e a espessura da camada eρ′ e a densidade. O produto da espessurah e a densidadeρ′ e a

massa por unidade dearea (m/A) (Equacao 5.4).

∆f = −1, 26× 10−7f 20

∆m

A(5.4)

Como comparacao, considere a microbalanca de quartzo. Esse dispositivo consiste de um capaci-

tor onde o dieletricoe um cristal de quartzo. O capacitore utilizado como parte de um circuito osci-

lador e a variacao da frequencia em funcao da massae dada pela equacao de Sauerbrey, Equacao 5.5.

∆f = −2, 3× 10−7f 20

∆m

A(5.5)

Comparando-se as Equacoes 5.3 e 5.4, a primeira vista tem-se a impressao que a microbalancae

mais sensıvel. No entanto, deve-se lembrar que os sensores tipo microbalanca operam tipicamente ate

10MHz, enquanto que os sensores OAS podem trabalhar em frequencias cinquenta vezes maiores,

fazendo com que eles sejam muito mais sensıveis. Para que essa sensibilidade seja realizada na pratica

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o oscilador deve ser estavel e de baixo ruıdo. Na Tabela 5.2 sao apresentados valores tıpicos para a

sensibilidade a diversos tipos de grandezas fısicas.

Tabela 5.2: Sensibilidade do sensor OAS.

Grandeza Sensibilidade do sensor OAS

Temperatura 32ppm/oC

Pressao 0, 1ppm/atm

Aceleracao 18Hz/g

Campo eletrico 15− 43ppm/kV/mm

Deslocamento 300Hz/µm

Fluxo 11Hz/sccm

O sensor a ondas acusticas de superfıcie tambem pode ser utilizado para se fabricar sensores

quımicos. Algumas das aplicacoes desses sensores sao: limpeza e monitoramento ambientais, moni-

toramento de emissoes automobilısticas, monitoramento de emissoes industriais, sistemas aeronauticos

e espaciais, nao proliferacao de armas, saude, seguranca do trabalhador, exploracao planetaria, mo-

nitoramento de lubrificantes automotivos. Na construcao de sensores quımicose acrescentado uma

camada extra para que o sensor tenha seletividade.

5.1.2. Fabricacao

Como as ondas sao de superfıcie, tanto o transdutor de entrada como o de saıda podem ficar locali-

zados na mesma face do cristal. Isso faz com que esse tipo de dispositivo possa ser fabricado com as

mesmas tecnicas de fabricacao da microeletronica, conhecida comotecnologia planar. Os sensores

OAS sao projetados para operar na faixa de100 MHz a 500 MHz. Nessa faixa a tecnologia de

microeletronica a ser utilizada nao precisa ser muito sofisticada, uma vez que a dimensao crıtica e

maior que1µm.

A sequencia de etapas para fabricacao comeca com a limpeza do substrato. Considerando disposi-

tivos com dentes da ordem de10 µm em substrato piezoeletrico, pode-se seguir a seguinte sequencia:

1. Limpeza do substrato;

2. Evapora-se uma camada fina de metal, e.g., alumınio;

3. Etapa de fotolitografia para definir as estruturas intedigitadas;

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− 3

− 4

− 1

− 2

UV

Figura 5.3. Exemplo simplificado das etapas de fabricacao: 1- limpeza do substrato piezoeletrico;

2- Metalizacao, aplicacao da fotoresina e etapa de fotolitografia; 3- Apos o revelador; 4- Corrosao da

camada metalica e remocao da fotoresina.

Figura 5.4. Exemplo de estrutura OAS consistindo de duas linhas de atraso, sendo uma delas blin-

dada, com o objetivo de se construir um sensor. O sinal de entradae aplicado no contato central; a

onda acustica se propaga para a direita e para a esquerda. Esse dispositivoe fabricado na sala limpa

do Laboratorio de Dispositivos e Nanoestruturas da UFPE.

4. Apos a revelacao, corroe-se o metal, (para dimensoes menores, a corrosao e realizada com

tecnicas de plasma);

5. Remove-se o resto da fotoresina com acetona e o dispositivo esta pronto.

Em certos tipos de sensores, ha ainda uma etapa adicional para aplicacao de camada polimerica.

Em frequencias mais altas, pode-se inserir a estrutura metalica no cristal, usando corrosao a

plasma. Outra tecnica que pode ser utilizada para definir os pentese o “lift-off”. Para maiores detalhes

sobre essa tecnologia, pode-se consultar um livro de tecnicas de manufatura em microeletronica.

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Figura 5.5. Detalhe da estrutura interdigitada do dispositivo da Figura 5.4.

5.2. ONDAS ACUSTICAS

As ondas mecanicas podem ser de volume ou de superfıcie. As ondas de volume sao ondas cuja

propagacao ocorre no volume do corpo solido, enquanto a onda de superfıcie se propaga na superfıcie,

ou em uma interface. De acordo com D. Penunuri, K. H. Yen e R. B. Stokes [3], as ondas acusticas

de superfıcie podem ser propagar de diversas maneiras:

• Ondas de Rayleigh - O potencial associadoas ondas de Rayleigh se estendem no espaco acima

do substrato ate uma distancia de um comprimento de onda. A velocidade de propagacao e

menor do que uma onda de volume.

• Ondas de Bleustein-Gulyaev - essae uma onda de superfıcie onde o campo eletrico esta no

plano sagital‡.

• Pseudo-SAW - esse modo aparece nos materiais anisotropicos. Ele se caracteriza por apresentar

perda de energia, ocorrendo atenuacaoa medida em que ele se propaga.

• Ondas de volume inclinadas - aparece em certos planos cristalinos, como o silıcio (111).

• Ondas rasas de volume (SBAW, SSBW -Surface Skimming Bulk Waves) - Este modoe uma

onda de volume transversal horizontal que tambem satisfazas condicoes de contorno com uma

superfıcie livre. Esse modo pode ser emitido e detectado por uma estrutura interdigitada.

‡Plano sagital - plano que contem a normal a superfıcie e a direcao de propagacao.

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• Ondas de Love - onda horizontal transversal em um meio isotropico em camadas, onde a ca-

mada tem uma velocidade para a onda transversal cujo valor de volumee menor que a veloci-

dade da mesma onda no substrato.

• Ondas de Rayleigh modificadas - Essae um tipo de onda de Rayleigh em um meio elastico

multicamada.

• Ondas de Sezawa - Para uma estrutura onde a camada superior pode ter ondas mais rapidas que

na camada inferior, existem alguns modos especiais de propagacao.

• Ondas de Stoneley - sao ondas que se propagam na interface entre dois meios semi-infinitos,

decaindo exponencialmente na direcao perpendiculara interface.

• Modos de placa - o fato do substrato em geral nao ser muito espesso, faz com que o mesmo se

comporte como uma cavidade acustica. Em substratos isotropicos esses modos podem ser de-

nominados de ondas de Lamb (formado por ondas transversais verticais e ondas longitudinais,

FPW -Flexural Plate Waves) e ondas HS (formado por ondas transversais horizontais).

Na Figura 5.6 pode-se ver as condicoes de contorno para alguns tipos de onda. As ondas elasticas

na superfıcie de um solido semi-infinito foram analisadas matematicamente por Lord Rayleigh em

1885[4]. Devido a isso, essas ondas sao denominadas de ondas de Rayleigh. Ja as ondas que se

propagam em uma placa livre sao conhecidas como ondas de Lamb; as ondas que se propagam em

uma camada sobre um meio elastico sao denominadas de ondas de Love e as ondas na interface entre

dois meios elasticos em contato sao denominadas de ondas de Stoneley. O criterio de infinitoe o

comprimento de onda, i. e., uma camada cuja espessurae quatro vezes maior que o comprimento de

onda de interesse pode ser considerada efetivamente uma camada semi-infinita.

Al em disso a deformacao mecanica pode ocorrer em tres direcoes, uma longitudinal e duas trans-

versais. Veja a Tabela 5.3.

Tabela 5.3: Nomenclatura.

Longitudinal Ondas P=compressional

Transversal Ondas SH=shear waves

Transversal Ondas SV=vertically polarized shear waves

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camada elastica

Meio elastico semi−infinito

camada elastica



(a)

(b)


(c)

(d)

Figura 5.6. (a) Ondas que se propagam na superfıcie de um meio semi-infinito sao denominadas

de ondas de Rayleigh; (b) Ondas em uma camada elastica sao conhecidas como ondas de Lamb;

(c) Ondas em uma camada elastica sobre um meio elastico semi-infinito sao denominadas de ondas

de Love. (d) Ondas na interface de dois meios elasticos em contato sao denominadas de ondas de

Stoneley.

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5.2.1. Teoria da elasticidade

Para descrever o comportamento mecanico de um solido submetido a forcas diversas faz-se uso da

teoria da elasticidade[5,6], o primeiro passoe estabelecer um sistema de coordenadas. O corpo solido

e entao definido como sendo o conjunto de vetores posicao, ~r, que vai da origem do sistema de

coordenadas escolhido, ao ponto a ele pertencente. Uma mudanca de posicao e descrita pelo vetor

deslocamento~u.

~u = ~r′ − ~r (5.6)

onde,~r′ e a nova posicao.

A equacao do movimento pode ser obtida minimizando a energia livre de Helmholtz, quee a mais

apropriada em um sistema a temperatura constante.

F = E − TS (5.7)

ondeE e a energia total,T e a temperatura eS e a entropia.

Para se obter uma expressao para a energia,e necessario definir o tensor de deformacao e o tensor

de pressao.

Tensor de deformacao,strain:

uik =1

2

( ∂ui

∂xk

+∂uk

∂xi

+∑

l

∂ul

∂xi

∂ul

∂xk

)

Tensor de pressao,stress

σik

Considerando um meio elastico submetido a uma pressao hidrostaticap, o trabalho realizado para

se ter uma deformacao, duii, e dado porp∑

i duii = −∑ik σikduik. ComodE = TdS − dT ,

obtem-se,

dF = −SdT +∑

ik

σikduik (5.8)

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Para resolver o problema para um caso especıfico, e necessario conhecer a energia livre. Uma

primeira aproximacaoe expandir a energia livre em termos de potencia deuik.

Solido isotropico

Um caso particular de interessee o corpo solido isotropico. Nesse caso, a energia livre de

Helmholtze escrita na aproximacao de Lame, como indicado na Equacao 5.9.

F = F0 +∑

i

1

2Cu2

ii +∑

ik

µu2ik (5.9)

ondeC - a rigidez elastica eµ - o modulo de rigidez, sao os coeficientes de Lame.

O modulo de Young,Y , e a razao entre a forca por unidade dearea,p, aplicada na direcaoz, e a

deformacao sofrida,uzz, nessa mesma direcao.

Y =p

uzz

=9Kµ

µ + 3K(5.10)

onde K - modulo de compressao hidrostaticae dado por K= C + 23µ.

A razao de Poissone a razao entre a compressao transversa e a compressao longitudinal.

σ = −uxx

uzz

=1

2

3K − 2µ

3K + µ(5.11)

Lei de Hooke microscopica

A lei de Hooke local ou microscopica pode ser escrita na forma:

σij =∑

kl

Cijklukl (5.12)

O tensor de quarto rankCijkl tem um numero maximo de componentes independentes igual a81,

uma vez que cada um dosındices pode variar de1 ate 3. Na pratica, as simetrias diminuem esse

numero.

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Propriedades elasticas dos cristais

Cristaise um exemplo de solido com simetrias. Se esse tensor satisfizer as condicoes de simetria

abaixo, o numero de componentes independentes cai de81 para36.

Cijkl = Cijlk = Cjilk

Se for especificado adicionalmente a condicaoCijkl = Cklij, o numero de componentes indepen-

dentes cai para21. No caso de um solido de simetria cubica,Cijkl e nulo se um numeroımpar de

ındices tiver o mesmo valor, e.g.,C1222 = 0.

5.2.2. Equacao da onda

Para se obter a equacao de movimento, faz-se uso da lei de Newton em sua forma microscopica, como

mostrado na Equacao 5.13.

∑

k

∂

∂xk

σik − ρ∂2ui

∂t2= 0 (5.13)

Considerando a lei de Hooke, a equacao da onda em um material anisotropico pode ser escrita

como mostrado na Equacao 5.14.

∑

jkl

Cijkl∂

∂xj

∂

∂xk

ul − ρ∂2ui

∂t2= 0 (5.14)

A equacao da onda de um corpo isotropico pode ser escrita como segue:

∂2u

∂t2= v2

t∇2u + (v2l − v2

t )∇(∇.u) (5.15)

ondevt =√

Y2ρ(1+σ)

evl =√

Y (1−σ)ρ(1+σ)(1−2σ)

.

A Equacao 5.15 pode ser desacoplada, para isso escreve-se o vetor deslocamentou em termos de

duas compomentes, uma longitudinalul (∇× ul = 0) e outra transversalut (∇.ut = 0), obtendo-se

as Equacoes 5.16 e 5.17.

∂2ul

∂t2= v2

l∇2ul (5.16)

∂2ut

∂t2= v2

t∇2ut (5.17)

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Como∇ × ul = 0 e∇ · ut = 0, pode-se definir os potenciaisφ e ψ, de maneira queul = ∇φ e

ut = ∇× ψ.

Em termos dos potenciais, pode-se reescrever as Equacoes 5.16 e 5.17, como indicado a seguir:

∂2φ

∂t2= v2

l∇2φ (5.18)

∂2ψ

∂t2= v2

t∇2ψ (5.19)

Usando a definicao dos potenciaisφ eψ, obtem-se:

ux =∂φ

∂x+

∂ψz

∂y− ∂ψy

∂z(5.20)

uy =∂φ

∂y+

∂ψx

∂z− ∂ψz

∂x(5.21)

uz =∂φ

∂z+

∂ψy

∂x− ∂ψz

∂y(5.22)

Considerando ondas planas que nao dependem dey, apenas a componenteψy e nao-nula. Nesse

caso, as componentes do tensor de pressaoσxx, σxz de um corpo isotropico sao dadas por:

σzz = C(∂2φ

∂x2+

∂2φ

∂z2) + 2µ(

∂2φ

∂z2+

∂2ψy

∂x∂z) (5.23)

σxz = µ(2∂2φ

∂x∂z+

∂2ψy

∂x2− ∂2ψy

∂z2) (5.24)

O formalismo apresentado sera aplicado para se obter a solucao da equacao da onda para diversas

condicoes de contorno. Serao examinados quatro casos: ondas planas, ondas de Rayleigh, ondas de

Lamb e ondas de Love.

5.2.3. Solucao de ondas planas

Considerando um meio elastico homogeneamente infinito, as solucoes possıveis dependerao da ge-

ometria. Considerando a geometria cubica pode-se dividir a solucao na componente longitudinal e

na componente transversal e examinar a solucao tipo ondas planas. Nesse caso a solucao e a funcao

exponencial.

17

x

z

vacuo

meio elastico

isotropico

y

Figura 5.7. Interface entre um meio elastico isotropico e o vacuo. Nessa interface progagam-se as

ondas de Rayleigh.

ul = Ulej(Kx.x+Ky .y+Kz .z−ωt) (5.25)

ut = Utej(Kx.x+Ky.y+Kz .z−ωt) (5.26)

Substituindo na Equacao 5.14, obtem-se:

∑

jkl

−CijklKjKkul + ρω2ui = 0 (5.27)

No caso unidimensional, a expressao acima reduz-sea relacao de dispersao conhecida.

−CK2 + ρω2 = 0 =⇒ ω = K

√C

ρ(5.28)

5.2.4. Solucao de Rayleigh

Considerando um meio elastico semi-infinito como indicado na Figura 5.7, o objetivoe examinar a

possibilidade de existencia de solucoes para a equacao da onda que estejam confinadasa superfıcie.

Assumindo por simplicidade que a solucao nao depende dey (u = (ux, 0, uz)), apenas a componente

y do potencial vetorΨ e nao nula. As Equacoes 5.20, 5.21 e 5.22 podem ser escritas como segue:

ux =∂φ

∂x− ∂ψy

∂z(5.29)

uz =∂φ

∂z+

∂ψy

∂x(5.30)

Usando a condicao que emz = 0, σzz = σxz = 0. A solucao pode ser obtida pela tecnica de

separacao de variaveis.

18

φ = Aei(Kx−ωt)−qz (5.31)

ψy = Bei(Kx−ωt)−sz (5.32)

Substituindo nas Equacoes 5.27 e 5.28 e em seguida na equacao da onda, obtem-se a equacao

caracterıstica:

4K2qs− (K2 + s2)2 = 0 (5.33)

Definindo η = Kt/K e ξ = Kl/Kt = vt/vl. Apos algumas etapas, obtem-se a equacao de

Rayleigh.

η6 − 8η4 + 8(3− 2ξ2)η2 − 16(1− ξ2) = 0 (5.34)

Como se trata de um polinomio do sexto grau, tem seis raızes. A onda de Rayleigh esta associada

a raiz que esta localizada entre0 e1. Uma expressao aproximada para essa raize dada por:

ηR =0, 87 + 1, 12ζ

1 + ζ(5.35)

ondeζ varia de0 a0, 5. ηR nao depende da frequencia, portanto nao ha dispersao de fase.

A onda de Rayleigh tem duas componentes, uma longitudinal e uma transversa. Substituindo 5.31

e 5.32 em 5.29 e 5.30, pode-se calcular as amplitudes dessas componentes.

Ondas de Rayleigh na interface com lıquido

Se a superfıcie do corpo elastico estiver em contato com um lıquido ao inves do vacuo, a equacao

caracterısticae modificada, como mostrado na Equacao 5.36.

4K2qs− (K2 + s2)2 = iρL

ρ

qK4t√

K2L −K2

(5.36)

ondeρL e a densidade do lıquido, KL e o numero de onda no lıquido eKt e o numero de onda

associadoa onda transversal.

Como existem componentes da onda se propagando no lıquido, havera atenuacao da onda que se

propaga na interface, pois ha perda de energia.

19

d

d

x

z

Figura 5.8. Placa elastica isotropica com vacuo em ambas as faces. As vibracoes da placa sao

denominadas de ondas de Lamb, em homenagem a H. Lamb.

(a)

(b)

Figura 5.9. A vibracao da placa pode ser descrita como a superposicao de duas vibracoes elementa-

res: (a) Simetrica. (b) Anti-simetrica.

5.2.5. Ondas de Lamb

O procedimento iniciale semelhante ao que foi feito anteriormente. No entanto, agora as condicoes

de contorno sao diferentes, como mostrado na Figura 5.8. Para calcular as solucoes de Lamb, pode-se

partir dos seguintes potenciais:

φ = Asei(Kx−ωt) cosh(qz) + Bae

i(Kx−ωt)senh(qz) (5.37)

ψ = Dsei(Kx−ωt)senh(sz) + Cae

i(Kx−ωt) cosh(sz) (5.38)

onde oındice s indica a solucao simetrica e o ındicea indica a solucao antisimetrica (veja a Fi-

gura 5.9).

Substituindo as solucoes propostas na equacao diferencial dos potenciais, obtem-se as seguintes

equacoes caracterısticas:

−K2 + q2 + K2l = 0 (5.39)

−K2 + s2 + K2t = 0 (5.40)

20

onde:

Kl = ω

√ρ

C + 2µ

Kt = ω

√ρ

µ

Aplicando agora as condicoes de contorno:σxz(±d) = 0 eσzz(±d) = 0.

σzz = c(−K2φ + q2φ) + 2µ(−K2φ + (iKsDs cosh sz + iKsCasenhsz)ei(Kx−ωt)) (5.41)

Substituindo emz = d e z = −d, tem-se:

σzz(z = d) =

(c

µ(−K2 + q2)− 2K2)As cosh qd + (

c

µ(−K2 + q2)− 2K2)Basenhqd

+2iKsCasenhsd + 2ksDs cosh sd = 0 (5.42)

σzz(z = −d) =

(c

µ(−K2 + q2)− 2K2)As cosh qd− (

c

µ(−K2 + q2)− 2K2)Basenhqd

−2iKsCasenhsd + 2KsDs cosh sd = 0 (5.43)

σxz = µ(2AsqiKei(Kx−ωt)senhqz + BaiKqei(Kx−ωt) cosh qz)− (K2 + s2)φ

Fazendo o mesmo paraσxz(z = d) eσxz(z = −d) e usando quecµ

=K2

t

K2l− 2, obtem-se:

(K2 + s2) cosh(qd) (K2 + s2)senh(qd) 2iKssenh(sd) 2iKs cosh(sd)

(K2 + s2) cosh(qd) −(K2 + s2)senh(qd) −2iKssenh(sd) 2iKs cosh(sd)

2iKqsenh(qd) 2iKq cosh(qd) −(K2 + s2) cosh(sd) −(K2 + s2)senh(sd)

−2iKqsenh(qd) 2iKq cosh(qd) −(K2 + s2) cosh(sd) (K2 + s2)senh(sd)

As

Ba

Ca

Ds

=

0

0

0

0

Fazendo somas e subtracoes apropriadas,e possıvel separar o sistema em dois, um referentea

parte simetrica e outro referentea parte anti-simetrica.

Simetrica:

21

(K2 + s2) cosh(qd) 2iKs cosh(sd)

2iKqsenh(qd) −(K2 + s2)senh(sd)

As

Ds

=

0

0

(5.44)

Anti-simetrica:

(K2 + s2)senh(qd) 2iKssenh(sd)

2iKq cosh(qd) −(K2 + s2) cosh(sd)

Ba

Ca

=

0

0

(5.45)

Deve-se salientar que para que haja solucao nao trivial, o determinante tem que ser nao nulo. O

calculo do determinante fornece a equacao caracterıstica.

Os potenciais podem ser reescritos em termos de apenas dois coeficientes,As eBa.

φ = Asei(Ksx−ωt) cosh(qsz) + Bae

i(Kax−ωt)senh(qaz) (5.46)

ψy =2iKsqssenh(qsd)

(K2s + s2

s)senh(ssd)Ase

i(Ksx−ωt)senh(ssz) +2iKaqa cosh(qad)

(K2a + s2

a) cosh(sad)Bae

i(Kax−ωt) cosh(saz)(5.47)

Pode-se agora calcular as expressoes paraux e uz, lembrando queux = ux,a + ux,s e uz =

uz,a + uz,s.

ux,s = AKs

(cosh(qsz)

senh(qsd)− 2qsss

k2s + s2

s

cosh(ssz)

senh(ssd)

)ei(Ksx−ωt−π/2) (5.48)

uz,s = BKa

(senh(qaz)

cosh(qad)− 2qasa

K2a + s2

a

senh(saz)

cosh(sad)

)ei(Kax−ωt) (5.49)

Um numero finito de ondas de Lamb se propagam na placa. Se a espessura da placae 2d, os

comprimentos de ondas dos modos simetricos sao:

2d =λl

2,3λl

2,5λl

2, ... ou λt, 2λt, 3λt, ... (5.50)

e dos modos anti-simetricos:

2d = λl, 2λl, 3λl, ... ouλt

2,3λt

2,5λt

2, ... (5.51)

22

camada elastica

Meio elastico semi-infinito

x

d

d

z

2d

Figura 5.10.A vibracao de uma camada elastica sobre um meio elastico semi-infinito sao conhecidas

como ondas de Love.

Ondas de Lamb na interface com lıquido

Considerando agora uma membrana imersa completamente em um lıquido. E necessario incluir o

potencialφL para descrever a onda no lıquido. Como a membrana esta totalmente imersa, havera

duas ondas se propagando no lıquido, uma paraz > d e a outra paraz < −d. Seguindo o roteiro

apresentado, obtem-se as seguintes equacoes caracterısticas.

Para ondas simetricas:

(K2s + s2

s)2 coth qsd− 4K2

s qsss coth ssd = iρL

ρ

qsK4t√

K2L −K2

s

(5.52)

Para ondas anti-simetricas:

(K2a + s2

a)2 tanh qad− 4K2

aqasa tanh sad = iρL

ρ

qaK4t√

K2L −K2

a

(5.53)

5.2.6. Ondas de Love

Ondas de Love sao solucoes da equacao da onda em uma camada elastica sobre um meio elastico

semi-infinito. Se for assumido que a outra interface da camada elastica esta no vacuo, tem-se agora

que considerar os potenciais em dois meios diferentes. Considerando o sistema indicado na Fi-

gura 5.10, onda a camada tem espessura2d, as condicoes de contorno sao:

σxz(z = d)camada = σzz(z = d)camada = 0 (5.54)

σxz(z = −d)camada = σxz(z = −d)substrato (5.55)

σzz(z = −d)camada = σzz(z = −d)substrato (5.56)

23

Deve-se tambem acrescentar que a deformacao deve ser contınua na interface entre a placa e o

meio semi-infinito. Nos passos seguintes sera usado oındicec para indicar camada e oındices para

indicar substrato.

Na camada:

φ = Acei(Kcx−ωt)−qcz + Bce

i(Kcx−ωt)+qcz (5.57)

ψy = Ccei(Kcx−ωt)−scz + Dce

i(Kcx−ωt)+scz (5.58)

No substrato:

φ = Asei(Ksx−ωt)−qsz (5.59)

ψy = Bsei(Ksx−ωt)−ssz (5.60)

Aplicando as condicoes de contorno, obtem-se as equacoes caracterısticas. Certamente, agora a

manipulacao matematicae mais complexa, pois ha seis parametros:Ac, Bc, Cc, Dc, As, Bs.

Calculandoσxz(z = d) eσzz(z = d), obtem-se:

−(2µqciKce−qcd)Ac + (2µqciKcBce

qcd)Bc +

((s2c −K2

c )e−scd)Cc + ((s2c −K2

c )escd)Dc = 0 (5.61)

((C(q2c −K2

c ) + 2µq2c )e

−qcd)Ac + ((C(q2c −K2

c ) + 2µq2c )e

qcd)Bc

−(2µsciKce−scd)Cc − (2µsciKce

scd)Dc = 0 (5.62)

Aplicando a condicao de continuidade na interface emz = −d, obtem-se mais quatro equacoes.

5.3. PIEZOELETRICIDADE

A piezoeletricidade foi descoberta por Curie e Curie[7]. Esse fenomeno consiste na transformacao

de energia eletrica em energia mecanica e vice-versa. Em outras palavras, a aplicacao de um campo

eletrico causa uma deformacao e reciprocamente, uma deformacao causa o aparecimento de campo

eletrico no cristal. Os irmaos Curie mediram a carga superficial de certos cristais submetidos a tensao

mecanica, demonstrando uma conexao entre o efeito e a estrutura cristalina. No entanto, os irmaos

24

Curie nao verificaram que o reverso tambem e verdadeiro, i.e., a aplicacao de um campo eletrico

causa deformacao mecanica nesses cristais§.

Da descoberta do efeito ate a decada de 40 do seculo XX, a pesquisa e as aplicacoes faziam uso

de cristais naturais. A primeira aplicacao do efeito foi em 1917, durante a Primeira Guerra Mundial

em um sistema para deteccao de submarinos. A partir da decada de 40, comeca o desenvolvimento

de dispositivos em substratos artificiais, tais como as ceramicas piezoeletricas.

5.3.1. Acoplamento eletro-acustico

Como foi visto na Seccao 5.2.1 sobre a teoria da elasticidade, a lei de Hooke microscopica relaciona

a tensao (“stress”) e a deformacao (“strain”) no cristal. Em um sistema unidimensional essa relacao

pode ser simplificada como apresentado na Equacao 5.63.

σ = C∂u

∂x(5.63)

ondeC e a rigidez elastica.

Por outro lado, a relacao entre o campo e o potencial eletricoe dada pela expressao:

D = −ε∂V

∂x(5.64)

ondeε e a permissividade eletrica.

Em um sistema onde existe piezoeletricidade, a deformacao gera campo eletrico e reversamente, o

campo eletrico gera deformacao. Para incorporar esse efeitoe necessario modificar essas equacoes. A

maneira mais simples de fazer issoe introduzindo a constante de acoplamento eletroacustico. Obtem-

se assim o modelo escalar da piezoeletricidade, como apresentado nas Equacoes 5.65 e 5.66.

σ = C∂u

∂x+ ep

∂V

∂x(5.65)

D = ep∂u

∂x− ε

∂V

∂x(5.66)

Para entender melhor esse acoplamento, inicialmente considere-se o caso de ondas volumetricas,

isto e, dois eletrodos planares paralelos, separados por uma distanciad, e totalmente imersos em um

§Veja http://www.piezo.com/history.html .

25

x0

z

εDieletrico,

d

Figura 5.11. Placas condutoras paralelas totalmente imersas em um meio de constante dieletrica,ε.

meio de constante dieletricaε, como mostrado na Figura 5.11. Derivando a Equacao 5.65 com relacao

ax e substituindo a equacao de movimento (lei de Newton),∂σ∂x

= ρm∂2u∂t2

.

ρm∂2u

∂t2= C

∂2u

∂x2+ ep

∂2V

∂x2(5.67)

Derivando a Equacao 5.66 com relacao ax e usando a equacao de Poisson,∂D∂x

= ρe.

ρe = ep∂2u

∂x2− ε

∂2V

∂x2(5.68)

Considerando a solucao na forma de ondas planas,ej(ωt−Kx), para a deformacao, u, e para o

potencial eletrico,V , propagando ao longo do eixox.

ρmω2

K2u = Cu + epV (5.69)

ρe = −K2epu + K2εV (5.70)

EscrevendoV em termos deu na Equacao 5.69 e substituindo na Equacao 5.70, obtem-se a

Equacao 5.71.

ρe = K2V εK2(1 + e2

p/εC)−K20

K2 −K20

(5.71)

ondeK0 = ω/v0 = ω√

ρm/C.

26

v0

v 8

ε

v

εBF

ε

Curva ideal

Curva real

Figura 5.12. Grafico da constante dieletrica de um material piezoeletrico em termos da velocidade

de propagacao da onda.

DefinindoK2∞ =

K20

1+e2p/εC

e ε′ = ε(1 +e2p

εC). O termoe2

p/εC e o coeficiente de acoplamento

eletromecanico ou piezoeletrico,κ2.

ρe = K2V ε′K2 −K2

∞K2 −K2

0

= K2V εp (5.72)

Para modos acusticos, a relacao de dispersao pode ser aproximada porK = ω/v. Definindo

v∞ = ω/K∞, obtem-se a Equacao 5.73.

v2∞ = v2

0(1 +e2

p

εC) = v2

o

ε′

ε(5.73)

Pode-se agora reescrever a Equacao 5.71 em termos das velocidades, obtem-se uma expressao

para a constante dieletrica de um material com piezoeletricidade, como mostrado na Equacao 5.74.

1

εp

=1

ε[1− v2

o − v2∞

v2∞ − v2] (5.74)

E interessante observar a constante dieletrica de um material piezoeletrico tem dependencia em

K, uma vez queK esta relacionado comv. O grafico da constante dieletrica,εp, para um material

com apenas um modo de vibracaoe apresentado na Figura 5.12. Invertendo a Equacao 5.74 e usando

a definicao do coeficiente de acoplamento efetivo,k2 =v2∞−v2

0

v2∞, obtem-se uma expressao para a

permissividade eletrica do material piezoeletrico. Observe que0 ≤ k2 < 1. Parak2 pequeno,

k2 ∼ 2∆v∞v∞

.

27

εp =ε

1− κ2

1−v2/v2∞

(5.75)

A relacao entre o coeficiente de acoplamento piezoeletrico, k2 e o coeficiente de acoplamento

efetivo,κ2 e dado pela Equacao 5.76.

k2 =κ2

1 + κ2(5.76)

A Equacao 5.75 pode ser generalizada para tres dimensoes. Em 3D, tem-se dois modos de

vibracao transversais e um longitudinal.

εp =ε

1−∑3i=1

k2i

1−v2/v2∞,i

(5.77)

5.3.2. Equacoes generalizadas

Para um material qualquer, as equacoes precisam levar em conta o fato de que pode haver anisotropias.

Nesse caso, os coeficientes dos termos das equacoes acopladas, deixam de ser escalares e passam a

ser tensores. As Equacoes 5.67 e 5.68 sao reescritas como apresentado abaixo, ondee utilizada a

notacao de Einstein.

ρm∂t∂tuk = Cjklm∂j∂lum + (ep)ljk∂j∂lV (5.78)

ρe = (ep)jlm∂j∂lum − εjl∂j∂lV (5.79)

Esse tensores apresentam simetrias, como indicado na Tabela 5.4.

Tabela 5.4: Tensores.

Nome Simetria

Rigidez elastica Cjklm = Clmjk = Ckjlm

Permissividade eletrica εij = εji

Piezoeletricidade eijk = eikj

28

Similarmente ao que foi feito na secao 5.3.1, considera-se a solucao tipo ondas planas,ej(ωt−K1x1−K2x2−K3x3).

Nesse caso, as Equacoes 5.78 e 5.79, podem ser reescritas como indicado a seguir.

ρmω2uk = CjklmKjKlum + (ep)ljkKjKlV (5.80)

ρe = (ep)jlmKjKlum − εjlKjKlV (5.81)

Pode-se escreverKj = njK, ondeK =√

K21 + K2

2 + K23 e o numero de onda enj e um vetor

unitario.

Definindo:

Γkm = Cjklmnjnl

ρm

(5.82)

γk = (ep)ljknjnj√

ρm

(5.83)

ε = εlmnlnm (5.84)

Obtem-se a Equacao 5.85, para ondas de volume.

(Γkm +1

εγkγm)um = v2uk (5.85)

onde foi assumido queρe ∼ 0.

Para ondas de superfıcie, tem-se a condicaojK3 = β3.

5.3.3. Materiais piezoeletricos

Os materiais utilizados na construcao de dispositivos eletro-acusticos sao materiais piezoeletricos. A

piezoeletricidadee uma propriedade do material pela qual uma deformacao causa o aparecimento de

um campo eletrico ou a aplicacao de um campo eletrico causa o aparecimento de uma deformacao.

Quando se trata de comparar materiais piezoeletricos, alguns parametros importantes sao:

• Corte do cristal

• Coeficiente de temperatura do retardo,CTR(TCD) = 1τ

dτdT

= 1L

dLdT− 1

vdvdT

, ondeτ = Lv.

• Coeficiente de acoplamento eletromecanico,k2

29

• Velocidade de propagacao da onda,v ouvR

• Angulo do fluxo de potencia,PFA

• Atenuacao,α

Tabela 5.5: Caracterısticas de alguns materiais piezoeletricos.

Nome (formula) Orientacao CTR Permissividade Acoplamento Velocidade

(ppm/oC) relativa (εr) k2(%) m/s

Quartzo (SiO2) ST,X 0 4,5 0,16 3158

Y,X 0 0,23 3159

Oxido de Zinco (ZnO) c- 15 - 25 0,6 - 1,9 2600

Filme fino (ZnO) (1120)- 40 - 43 4,5 - 6,0 5500

Tantalato de lıtio (LiTaO3) X-112o Y 18 - 20 47 0,7 3230

Niobato de lıtio (LiNbO3) 128o,X 72 - 80 46 5,4 3990

41, 5o,X 50 - 75 5,5 4000

Y,Z 70 4,5 3488

Oxido de bismuto e germanio (Bi12GeO20) Z [110] 110 40 1,5 1681

Berlinita (AlPO4) ST 6,1 0,56 2736

Titanato de chumbo zirconado (PZT ) Z-X 40 1,96 2360

Arseneto de Galio (GaAs) < 100 > 11 0,09 2863

Obs: Corte ST do quartzoθ = 90o, φ = 47, 25o, α = 0o.

Na Figura 5.13 sao apresentados osangulos (coordenadas esfericas), em relacao aos eixos cris-

talinos (coordenadas cartesianas). A normal ao plano do cortee definida pelosangulosθ e φ,

X = cos θsenφ, Y = senθsenφ, Z = cos φ. A direcao de propagacao ~ou no planoe obtida pela

interseccao deste plano com o planoxy.

5.4. PROPAGACAO DO SINAL ELETROAC USTICO

Considerando ainda a geometria mostrada na Figura 5.11, o objetivoe obter o comportamento do

potencial eletrico em funcao do tempo. Na seccao 5.3.1e demonstrado que a existencia da piezoele-

tricidade faz com que a constante dieletrica tenha uma dependencia emK. Assim sendo a equacao

de Poissone modificada como segue:

30

x

y

θ

θ

φ

y

(001)

z

(100)x

(100)

α

(111)

(110)

Figura 5.13. Sistemas de coordenadas esfericas utilizado para descrecer a direcao de propagacao em

um material piezoeletrico.

31

V K2 =ρe

εp

=ρe

ε(1− k2

1− v2/v2∞) (5.86)

V K2 =ρe

ε(1− k2 K2

K2 −K2∞) (5.87)

Para facilitar a obtencao da solucao,e considerada a seguinte funcaoΦ(jω, K)[8], apresentada na

Equacao 5.88.

Φ(jω, K) = (1− k2 K2

K2 −K2∞)Φ0(jω, K) (5.88)

Escrevendo em termos do parametro de Laplace, s, e observando queΦ0(s,K) e um degrau

unitario no domınio do tempo,Φ0(s,K) = Φ0(K)/s (u(t) ↔ 1/s).

Φ(s,K) =1

s(1− k2 K2

K2 + s2/v2∞)Φ0(K) (5.89)

Calculando a transformada de Laplace inversa (trazendo para o domınio do tempo),

cos Kv∞t ⇐⇒ ss2+K2v2∞

= sK2v2∞

K2

K2+s2/v2∞

senKv∞t ⇐⇒ Kv∞s2+K2v2∞

= 1Kv∞

K2

K2+s2/v2∞

e aplicando o teorema da convolucao,∫ t

0f1(t− τ)f2(τ)dτ ⇐⇒ F1(s)F2(s).

Φ(t,K) = [u(t)− k2

∫ t

0

Kv∞sen(Kv∞t)dt]Φ0(K) (5.90)

Φ(t,K) = (1− k2(1− cos Kv∞t))Φ0(K) (5.91)

Calculando agora a transformada inversa de Fourier (trazendo para o domınio do espaco).

Φ(t, x) =1

2π

∫Φ(t,K)ejKxdx (5.92)

e considerando a transformada de Fourier do delta de Dirac,δ(x− x0) = 12π

∫∞−∞ ejK(x−x0)dK.

32

cosKv∞t ⇐⇒ 12[δ(x− v∞t) + δ(x + v∞t)]

senKv∞t ⇐⇒ [δ(x + v∞t)− δ(x + v∞t)]

Aplicando outra vez o teorema da convolucao, obtem-se.

Φ(t, x) = (1− k2)Φ0(x) +k2

2[δ(x− v∞t) + δ(x + v∞t)] ∗ Φ0(x) (5.93)

Integrando a Equacao 5.93, obtem-se a expressao em termos do potencial eletrico.

V (t, x) = (1− k2)V0(x) +k2

2[V (x− v∞t) + V (x + v∞t)] (5.94)

Derivando a Equacao 5.94, obtem-se o campo eletrico.

E(t, x) = (1− k2)E0(x) +k2

2[E(x− v∞t) + E(x + v∞t)] (5.95)

A existencia de piezoeletricidadee indicada na equacao por uma constante de acoplamento,k2,

nao nula. Sek2 for nulo, o campo eletrico sera sempre igual ao campo eletrico no instante inicial,

i.e.,E(x, t) = E0(x). O efeito piezoeletrico faz com que dois sinais se propagem, um para a direita e

outro para a esquerda, como mostrado na Figura 5.14.

A diferenca de potencial no instante iniciale dada porQo/C. Com a propagacao da onda acustica,

a diferenca de potencial ira diminuir linearmente, uma vez que a onda se propaga com velocidade

constante. Esse comportamentoe mostrado na Figura 5.15.

V (t) = (Qo

C− k2Qo

C

t

2τ)u(t) + (k2Qo

C

t

2τ− k2Qo

C)u(t− 2τ) (5.96)

ondeτ = d/(2v∞)

A impedancia pode ser obtida dividindo a transformada de Laplace da resposta ao impulso, por

Qo, i.e.,Z(s) = V (s)Qo

.

33

E0

E k /20

2

v

8

v

8

E (1-k )0

2

E(t=0)

E(t=t1)

E(t=t2)

d/2-d/2

x

x

x

Figura 5.14. Campo eletrico na presenca de piezoeletricidade. Uma componente se progaga para a

esquerda e a outra para a direita.

34

Q

C0

0 k (d-v t)8

2σε2

Q

C02

(1-k )

V(t)

t

8d/v

Figura 5.15. Evolucao temporal da diferenca de potencial entre os eletrodos. A onda acustica surge

entre os eletrodos e se propaga afastando-se deles. Enquanto a onda tem energia entre os eletrodos,

a diferenca de potenciale constante, quando ela ultrapassa e esta toda contida no meio externoas

placas, a diferenca de potencial passa a ser constante.

V (s) =Qo

sC+ k2 Qo

2s2Cτ+ (k2 Qo

2Cτ(

1

s2− 2τ

s)− k2 Qo

sC)e−2sτ (5.97)

Passando do domınio de Laplace para o domınio de Fourier (s → jω), obtem-se.

Z(ω) =1

jω[1− k2

2jωτ(1− e−2jωτ )] (5.98)

Z(ω) =1

jω[1− k2

2jωτ+

k2

2jωτ(cos 2ωτ − jsen2ωτ)] (5.99)

Z(ω) =k2τ

2ω2τ 2C[1− cos 2ωτ ] +

1

jωC[1− k2 sen2ωτ

2ωτ] (5.100)

Lembrando quecos 2ωτ = cos2 ωτ − sen2ωτ , obtem-se a impedancia de duas placas paralelas,

imersas em um material piezoeletrico.

Z(ω) =k2τ

C

sen2ωτ

ω2τ 2+

1

jωC[1− k2 sen2ωτ

2ωτ] (5.101)

Como se pode observar, a existencia de piezoeletricidade faz com que a impedancia tenha uma

componente resistiva e uma componente reativa. Fazendok2 igual a zero, a estrutura volta a ser uma

35

simples capacitancia.E importante ressaltar que essa solucao foi obtida considerando apenas um par

de placas.

5.4.1. Propagacao de ondas na superfıcie

Considerando agora a configuracao em que o meio elastico ocupa apenas um semi-espaco e que a

onda elastica se propaga na interface entre o meio elastico e o vacuo, como mostrado na Figura 5.6a.

Note que o material piezoeletrico preenche a regiao paraz > 0. O objetivoe obter uma expressao

que relacione o potencial eletrico com a distribuicao de carga na superfıcie do material piezoeletrico.

No interior do meio elastico, a solucao procuradae uma onda plana que se propaga na interface,

mas que decai na direcao perpendicular a superfıcie,V ∼ e−Kzz+jKxx. Por definicao, o campo eletrico

e dado pela expressao mostrada na Equacao 5.102.

~D = −εsup~∇V (5.102)

ondeεsup e a constante dieletrica da superfıcie do material.

SubstitutindoV na equacao acima, obtem-se:

Dx = −ε∂V

∂x= −εsupjKxVo (5.103)

Dz = −ε∂V

∂z= εsupKzVo (5.104)

Assumindo que nao ha cargas livres no interior do material e usando a lei de Gauss, (~∇.~∇V = 0).

Conclui-se:

Kz =√

K2x = |Kx| (5.105)

Se a parte real deKz for positiva, a solucao sera exponencialmente decrescente paraz > 0.

Dz(Kx)

Vo(Kx)= εKz = εsup|Kx|, z > 0 (5.106)

O meio externo, de constante dieletrica εext, esta localizado emz < 0. A solucao procurada

tambeme do tipo onda plana (eKzz+jKxx). Aplicando a lei de Gauss, obtem-se:

36

Kz =√|K2

x| = |Kx| (5.107)

Usando a definicao do campo eletrico em termos do potencial eletrico.

Dz,ext(K)

Vo,ext(Kx)= −εextKz = −εext|Kx|, z < 0 (5.108)

Agorae necessario aplicar as condicoes de contorno para obter a equacao procurada. A superfıcie

se encontra emz = 0. No que segue, nao mais sera escrito oındicex. As condicoes de contorno sao

a continuidade do potencial e a lei de Gauss aplicada a componente normal do campo eletrico.

Vo,ext(K) = Vo(K) (5.109)

Dz(K)−Dz,ext(K) = σo(K) (5.110)

Combinando com as Equacoes 5.106 e 5.108.

εsup|K|Vo(K) + εext|K|Vo,ext(K) = σo(K) (5.111)

Vo(K)

σo(K)=

1

εsup + εext

1

|K| (5.112)

Supondo que o meio elastico seja piezoeletrico,εsup → εsup,p.

V (K)

σ(K)=

1

|K|εp

=1

|K|1

εsup,p + εext

=1

|K|1

εp

(5.113)

Na seccao 5.3.1, foi obtido que:

1

εsup,p

=1

εsup

(1− k2

1− v2/v2∞) (5.114)

Definindo:

37

ε∗ = εsup + εext (5.115)v∗2

∞v2∞

= 1− k2 εext

εext + εsup

(5.116)

k∗2 = k2 εsup

εsup + εext(1− k2)(5.117)

Obtem-se, apos algumas contas:

1

εp

=1

ε∗(1− k∗2

1− v2/v∗2∞) (5.118)

Substituindo a equacao acima na Equacao 5.113 e usando a Equacao 5.112, obtem-se que o po-

tencial pode ser escrito como mostrado na Equacao 5.119.

V = Vo − k∗2

1− v2/v∗2∞Vo (5.119)

O primeiro termoe o potencial aplicado nos eletrodos. Ja o segundo termo esta relacionado com

as ondas que se propagam para a direita e para a esquerda. Substituindo a Equacao 5.112 no segundo

termo da Equacao 5.119, obtem-se a Equacao 5.120.

Vprop(K) = − 1

|K|ε∗k∗2

1− v2/v∗2∞σo(K) (5.120)

Reescrevendo em termos do numero de onda,K.

Vprop(K) = − k∗2

|K|ε∗K2

K2 − ω2/v∗2∞σ(s,K) (5.121)

Passando do domınio de Fourier para o domınio de Laplace,jω → s ou−ω2 → s2.

Vprop(s,K) = − k∗2

|K|ε∗K2

K2 + s2/v∗2∞σ(s,K) = −k∗2

ε∗|K|

K2 + s2/v∗2∞σ(s, K) (5.122)

Aplicando o teorema da convolucao.

Vprop(s, x) = −k∗2

ε∗v∞2s

e−s| xv∞ | ∗ ψ(x) (5.123)

ondeψ(K) = |K|σ(s, K). Fazendo a transformada inversa obtem-se quejψ(x) = dσ(x)/dx para

K > 0. Lembrando que

38

12x

01212

x +x −λ/4−λ/4 λ/4λ/4

Figura 5.16. Estrutura simplificada de dispositivo OAS, com apenas um par de dentes na entrada e

outro par na saıda.

v∞2s

e−s| xv∞ | ⇐⇒ 1

K2+s2/v2∞

Em termos da frequencia (s → jω).

Vprop(ω, x) = −k∗2

ε∗v∞2jω

e−j ωv∞ |x| ∗ 1

j

dσ(x)

dx(5.124)

Integrando por partes, obtem-se a Equacao 5.125.

Vprop(ω, x) =k∗2

ε∗2ωσ(K∞)e−jK∞|x| (5.125)

Substituindoσ(K∞) =∫∞−∞ σ(x)ejK∞xdx e definindoα(K∞) = W

2jQoσ(K∞), obtem-se a Equacao 5.126.

Vprop(ω, x) =k∗2α(K∞)

jε∗WωI(ω)e−jK∞|x| (5.126)

Lembrando que no domınio da frequencia,Q(ω) = I(ω)/(jω) = Q0/(jω), pois a cargaQ0 e

colocada emt = 0 e portantoQ(ω) e a resposta ao degrau.

Supondo que essa onda propagantee detectada por um segundo par de eletrodos na outra extre-

midade do dispositivo, como mostrado na Figura 5.16, pode-se definir a transimpedancia.

V2 = Z21Iprop,1 (5.127)

Usando queV2 = α2(K∞)(Vprop(x12−λ/4)−Vprop(x12+λ/4)), a transimpedancia do dispositivo

OAS com um par de eletrodos na entrada e outro na saıdae:

Z21 =2k∗2α1(K∞)α2(K∞)

ε∗Wωe−jω|x12|/v∞ (5.128)

ondex12 e a distancia entre os dois capacitores.

39

Impedancia da estrutura interdigitada comN eletrodos

O objetivo agorae obter uma expressao para a impedancia quando se temN pares de eletrodos em

cada um dos transdutores. Como foi visto na seccao anterior, a impedancia e composta de dois

termos: um termo capacitivo e um termo de transimpedancia. Esteultimo esta associadoas ondas

que se propagam para a direita e para a esquerda. No regime de acoplamento fraco (k2 ¿ 1), a matriz

impedancia do dispositivo de ondas acusticas de superfıcie pode ser aproximada por:

[Z] =1

jωC[I] + Ro[M ] =

1

jωC([I] + jωRoC[M ]) (5.129)

ondeMij = r|i−j| = e−j(ω−ωo)τ |i−j|.

Para montar o dispositivo comN eletrodos, pode-se associar os pares de eletrodos em paralelo.

Nesse caso, o potencial sera o mesmo para todos os eletrodos e a corrente sera a soma.

Vl = V =∑

li

ZliIi (5.130)

I =∑

i

Ii =∑

il

YilV (5.131)

Assim sendo, a impedancia da estrutura completae dada por:

[Z] =1

jωC

∑

il

([I] + jωRoC[M ])il (5.132)

Exemplo: Considerando dois pares de eletrodos (N = 2).

M =

1 r

r 1

[Z] =1

jωC

1 0

0 1

+ Ro

1 r

r 1

De acordo com a Equacao 5.131,e necessario calcular os termosYij, soma-los e calcular o

inverso para obterZ(ω).

Z(ω) =1

2jωC

(1 + jωRoC)2 − (jωRoC)2r2

(1 + jωRoC)− (jωRoC)r

40

Ra = Ro

ω ω0 ω ω0

ω ω0

( )ω ω0sen (N( - )d/2v)

ωN( - ) d/2vω 0

sen (N( - )d/2v)j2Ro

(N( - )d/2v)

2

2

N( - )d/2v-

NC

Figura 5.17. Modelo de circuito para um transdutor OAS. A capacitanciaNC e a capacitancia da

estrutura se o substrato nao fosse piezoeletrico.

Simplificando:

Z(ω) =1

2jωC+ Ro

(1 + r)

2

ParaN qualquer a expressao da impedanciae como segue:

Z(ω) =1

NjωC+ Rof(r) (5.133)

onde

f(r) =1

N2[N + 2

(N − 1)r −Nr2 + rN+1

(1− r)2]

Portanto a impedancia totale composta de uma componente capacitiva e uma segunda compo-

nente complexa. Para obter uma melhor ideia dessa segunda componente,e interessante avaliar como

ela se comporta proximo da ressonancia, i.e.,ω − ωo ∼ 0. Nesse caso:

r = e−j(ω−ωo)τ = e−j2x/N ∼ 1− j2x

N(5.134)

f(r) ∼ 1

N2[N − N − 1−N(1− j 2x

N) + cos 2x− jsen2x

2 x2

N2

] ∼ −−1 + j2x + cos 2x− jsen2x2x2

(5.135)

Substituindo a Equacao 5.135 na Equacao 5.133, obtem-se a expressao para a impedancia proximo

a frequencia central.

41

eω−j t

x

z

0 0−λ /8 λ /8

Figura 5.18. Para excitar a onda acustica, aplica-se um sinal harmonico no eletrodo.

Z(ω) =1

jωNC+ Ro[(

sen(Nτ(ω − ωo)/2)

Nτ(ω − ωo)/2)2 + 2j

sen(Nτ(ω − ωo))−Nτ(ω − ωo)

(Nτ(ω − ωo))2] (5.136)

ondeτ = L/v∞. Note que o terceiro terme nulo na frequencia de ressonancia.

Portanto, o transdutor pode ser representado como sendo uma capacitancia de valorNC em serie

com uma impedancia cuja parte real proximo da frequencia central tem um comportamento do tipo

(senx)/x e mais uma componente reativa. Esses termos estao representados na Figura 5.17. Quando

se considera a parte real, ve-se que a resposta em frequencia da estrutura interdigitadae a de um filtro

passa-banda centrado emω0.

5.4.2. Excitacao de ondas de Rayleigh

Ha varias tecnicas para excitacao de ondas de Rayleigh. Uma delase usando o efeito piezoeletrico,

atraves da aplicacao de um sinal harmonico no eletrodo. Para incorporar o efeito do eletrodo, escolhe-

se condicoes de contorno apropriadas.

σxz

∣∣∣z=0

= 0, ∀x (5.137)

σzz

∣∣∣z=0

=

0 x 6∈ D

e−iωt x ∈ D(5.138)

onde,D =∑±n

i=0 di edi = ((4i−1)λ0/8, (4i+1)λ0/8) e o dente do eletrodo da estrutura interdigitada.

Note que o numero total de dentese2n + 1.

Considerando as Equacoes 5.18 e 5.19 para os potenciais,φ e Ψ, propoe-se solucoes harmonicas

e aplica-se as condicoes de contorno acima. Como se trata de solucoes de Rayleigh, apenas a compo-

nentey do vetor potenciale nao nula,Ψ = (0, ψy, 0).

42

φ(x, z, t) =

∫ ∞

−∞φ(k)ej(kx+

√k2

l−k2z−ωt)dk (5.139)

ψy(x, z, t) =

∫ ∞

−∞ψy(k)ej(kx+

√k2

t−k2z−ωt)dk (5.140)

Aplicando a condicao de contorno sobreσxz (Equacao 5.137). Obtem-se:

−2k√

k2l − k2φ(k) = [2k2 − k2

t ]ψy(k) (5.141)

Aplicando agora a condicao sobreσzz (Equacao 5.138).

σzz(x, z = 0, t) =

∫ ∞

−∞[(−Ck2

l − 2µk2l + 2µk2)φ(k)− 2µk

√k2

t − k2ψy(k)]ej(kx−ωt)dk (5.142)

Substituindo a Equacao 5.141 na Equacao 5.142.

σzz(x, 0, t) =

∫ ∞

−∞[(−Ck2

l − 2µk2l + 2µk2)(2k2 − k2

t )

−2k√

k2l − k2

− 2µk√

k2t − k2]ψy(k)ej(kx−ωt)dk (5.143)

Considerando que as ondas de Rayleigh estao sendo excitadas por uma estrutura que aplica uma

tensao constante (σzz|z=0 = 1× e−jωt parax ∈ D) e usando queCµ

=k2

t

k2l− 2.

σzz(x, 0, t) =

∫ ∞

−∞[

µF (k)

−2k√

k2l − k2

]ψy(k)ej(kx−ωt)dk (5.144)

ondeF (k) = (2k2 − 2k2t )

2 + 4k2√

k2t − k2

√k2

l − k2.

Calculando a transformada deσzz(x, 0, t).

∑i

1

2π

∫ (4i+1)λ0/8

(4i−1)λ0/8

e−jkxdx =1

π

∑i

e−j4kiλ0/8 senkλ0/8

k(5.145)

Substituindo na Equacao 5.144, obtem-se entao uma expressao paraψy(k). Usando a Equacao 5.141,

obtem-se a expressao paraφ(k).

43

dd−2 −1 1 2

d d

−λ /80 3λ /80−3λ /80 5λ /80−5λ /80 07λ /8 09λ /8λ /800−9λ /8 0−7λ /8

Figura 5.19. Corte lateral da estrutura interdigitada apresentando a regiao dos eletrodos. Nesse

exemplo, a estruturae formada por tres dentes de um eletrodo e dois do outro.

ψy(k) =1

π

−2k√

k2l − k2

µF (k)

∑i

e−jk4iλ0/8 sen(kλ0/8)

k(5.146)

φ(k) =1

π

[2k2 − k2t ]

µF (k)

∑i

e−jk4iλ0/8 sen(kλ0/8)

k(5.147)

Para calcularuz, utiliza-se a Equacao 5.20.

uz(x, z, t) =

∫ ∞

−∞[φ(k)j

√k2

l − k2ej√

k2l−k2z + ψy(k)jkej

√k2

t−k2z]ej(kx−ωt)dk (5.148)

Em z = 0

uz(x, 0, t) =

∫ ∞

−∞[φ(k)j

√k2

l − k2 + ψy(k)jk]ej(kx−ωt)dk (5.149)

uz(x, 0, t) =

∫ ∞

−∞[j

(2k2 − k2t )

−2k+ jk]ψy(k)ej(kx−ωt)dk (5.150)

uz(x, 0, t) =−jk2

t

πµ

∫ ∞

−∞

√k2

l − k2

kF (k)

∑i

e−j4kiλ0/8sen(kλ0/8)ej(kx−ωt)dk (5.151)

Similarmente, usando a Equacao 5.21.

ux(x, 0, t) =j

πµ

∫ ∞

−∞[(2k2 − k2

t ) + 2√

k2t − k2

√k2

l − k2

F (k)]∑

i

e−jk4iλ0/8sen(kλ0/8)ej(kx−ωt)dk

(5.152)

Para realizar a excitacao das ondas de Rayleigh, pode-se utilizar entao o efeito piezoeletrico para

aplicar pressao mecanica na regiao dos dentes.

44

Transdutor

-3dB-3dB

Figura 5.20. A perda de energia em um dispositivo OASe no mınimo de3dB, pois metade do sinal

se propaga no sentido oposto ao transdutor de recepcao.

O sinal eletrico e transformado no transdutor de entrada em pressao mecanica, gerando duas

frentes de onda mecanica que se propagam na superfıcie (veja Figura 5.20). Uma dessas frentes

alcanca o transdutor de saıda ee entao transformada de volta em sinal eletrico.

5.5. MODELO EL ETRICO DO DISPOSITIVO OAS

Construir um modeloe representar a informacao relevante e abstrair os detalhes menos relevantes. Na

pratica existe um compromisso entre o nıvel de detalhamento e velocidade computacional. Modelos

mais detalhados sao mais exatos, mas sao mais lentos. No entanto,e imprescindıvel incorporar um

mınimo de detalhes essenciais sobre o dispositivo sendo modelado para nao perder aspectos impor-

tantes de seu comportamento. Do ponto de vista eletrico, e necessario avaliar o fluxo de energia do

gerador para a carga atraves do dispositivo OAS, de maneira a construir um modelo em termos de

elementos de circuitos eletricos.

Em termos de circuitos eletricos, existem diversos tipos de modelos, entre elas pode-se citar:

parametros Z, parametros S e outras combinacoes de elementos de circuitos.

5.5.1. Resposta em frequencia

Inicialmente, sera obtido o comportamento do sinal na saıda do dispositivo OAS em funcao da

frequencia, i.e., sera obtida a resposta em frequencia do transdutor. Da teoria de circuitos eletricos

lineares, sabe-se que a resposta em frequenciae a transformada de Fourier da resposta ao impulso.

No caso particular de dispositivos OAS, a resposta ao impulsoe a mesma coisa que a distribuicao de

carga ao longo do comprimento. Portanto, a amplitude do sinal,A(x), e propordade de carga emx′,

ponderada pelocionala densi deslocamento de fase. Assume-se queA(x) varia linearmente com a

amplitude da velocidade da partıcula.

45

0 +L/4−L/4 LW

ωσ

L1

x

y

dx´ x

A(x)( ,x´)dx´

Figura 5.21. Estrtutura interdigitada para calculo da resposta em frequencia utilizando o modelo

delta.

dA(x, x′, ω) = ασ(ω, x′)e−jk(x−x′)dx′ (5.153)

ondeα e o fator de acoplamento entre a carga e a deformacao acustica.

A carga por unidade de comprimento na direcao de propagacaoe σ(x′), Q e a carga total em um

dente. Se a distribuicao de carga for uniforme, entaoσ = Q/L1 para cada dente do transdutor, onde

L1 e a largura de um dente.

A(x, ω) = α

∫ x

−∞σ(ω, x′)e−jk(x−x′)dx′ (5.154)

Considerando apenas um dente,

A(x)∣∣∣1

=αQ

L1

∫ L/4+L1/2

L/4−L1/2

e−jk(x−x′)dx′ (5.155)

Fazendo uma mudanca de variavel,u ← x′ − L/4.

A(x)∣∣∣1

=αQ

L1

∫ L1/2

−L1/2

e−jk(x−u−L/4)du =αQ

L1

e−jk(x−L/4) ejkL1/2 − e−jkL1/2

jk(5.156)

A(x)∣∣∣1

= αQe−jk(x−L/4) sen(kL1/2)

kL1/2(5.157)

O dente do eletrodo considerado ate agora, tem cargaQ, portanto seu vizinho tem carga−Q.

Assim sendo, para um par de dentes:

46

A(x)∣∣∣2

= αQe−jkx(ejkL/4 − e−jkL/4)sen(kL1/2)

kL1/2= 2jαQe−jkxsen(kL/4)

sen(kL1/2)

kL1/2(5.158)

Considerando um dispositivo comN pares, centrados emx′ = nL

A(x) =N−1∑n=0

2jαQe−jkxsen(kL/4)sen(kL1/2)

kL1/2ejknL (5.159)

A(x) =N−1∑n=0

αQe−jk(x−nL)(ejkL/4 − e−jkL/4)sen(kL1/2)

kL1/2(5.160)

A(x) = 2jαQe−jkxsen(kL/4)sen(πL1/λ)

πL1/λ

N−1∑n=0

ejknL (5.161)

Usando a identidade,∑N−1

n=0 (ejkL)n = 1−ejkLN

1−ejkL .


πL1/λ

1− ejkLN

1− ejkL(5.162)


πL1/λ

senkLN/2

senkL/2ejkL(N−1)/2 (5.163)

Observando ainda que sen(2θ) = 2sen(θ) cos(θ).

A(x) = jαQe−jkx sen(kNL/2)

cos(kL/4)

sen(πL1/λ)

πL1/λejkL(N−1)/2 (5.164)

Calculando o modulo deA(x).

|A(x)| = αQ∣∣∣sen(kNL/2)

cos(kL/4)

sen(πL1/λ)

πL1/λ

∣∣∣ (5.165)

FazendoA(x) = 0, observa-se que os dois primeiros zeros proximos ao maximo, ocorrem em

kL = 2π(1± 1N

),

sen(2π(1 +1

N)N

2) = 0 (5.166)

sen(2π(1− 1

N)N

2) = 0 (5.167)

47

Com isso pode-se estimar a banda passante. Certamente o valor sendo estimadoe maior que a

banda passante a3dB.

∆ω = vR∆k = vRk02

N= ω0

2

N(5.168)

∆ω

ω0

=∆f

f0

=2

N(5.169)

Portanto, a banda passante do dispositivo OASe inversamente proporcional ao numero de pares

de dentes da estrutura interdigitada, enquanto a resposta em frequencia apresenta o comportamento

apresentado na Equacao 5.165.

|A(x)| = γQ∣∣∣sen(kNL/2)

cos(kL/4)

∣∣∣ (5.170)

onde,γ = α sen(πL1/λ)πL1/λ

∼ const, pois esse termo varia muito pouco sobre a largura de banda do

transdutor, quee determinada pelo primeiro termo.E assumido que o dispositivo tem um grande

numero de pares de dentes (N grande). Definindo,a:

k − k0

k0

=ω − ω0

ω0

=a

Nπ(5.171)

ParaN grande:

sen((a

Nπ+ k0)

NL

2) = sen(a + Nπ) = (−1)Nsen(a) (5.172)

cos((a

Nπ+ k0)

L

4) = cos(

a

2N+

π

2) ∼ a

2N(5.173)

Finalmente, obtem-se a resposta em frequencia simplificada do ressonador a ondas acusticas de

superfıcie.

|A(x)| = 2γQN∣∣∣sen(Nπ ω−ω0

ω0)

Nπ ω−ω0

ω0

∣∣∣ (5.174)

48

Z11 Z22

Z I12 2Z I21 1

Figura 5.22. ParametrosZ. Z11 e a impedancia de entrada,Z12 e a transcondutancia de entrada,Z22

e a impedancia de saıda,Z21 e a transcondutancia de saıda.

5.5.2. Funcao de transferencia - parametros Z

De acordo com o que foi obtido na Seccao 5.4.1, a estrutura do dispositivo OAS pode ser representada

por um capacitor, alguma resistencia que representa o consumo de potencia e o acoplamento entre

o transdutor de entrada e o transdutor de saıda. Com base nessas observacoes pode-se modelar o

comportamento eletrico do dispositivo por uma matriz Z.

V1 = Z11I1 + Z12I2 (5.175)

V2 = Z21I1 + Z22I2 (5.176)

Os parametrosZ representam impedancias e fontes de tensao controlada, conforme indicado na

Figura 5.22.Z11 e a impedancia de entrada,Z12 e a transcondutancia de entrada,Z22 e a impedancia

de saıda,Z21 e a transcondutancia de saıda.

Para a estrutura planar, com o material piezoeletrico ocupando um semi-espaco e considerando

apenas um par de eletrodos na entrada e outro na saıda, conforme indicado na Figura 5.16.

Zii ∼ Rci +1

jωCi

(5.177)

ondei = 1, 2, Rci e a impedancia caracterıstica eCi e a capacitancia da estrutura interdigitada.

Rci =2k2

(1 + ε)ε0Wiωα2

i (K∞) ∼ 1, 4k2

(1 + ε)ε0WωCi =

1

2(1 + ε)ε0Wi

ondeε ∼ εBF (1− k2) + εext eW e o comprimento do dente.

49

As transcondutanciasZ12 e Z21 representam o acoplamento entre entrada e saıda. Devidoa si-

metria, o acoplamento diretoe igual ao acoplamento reverso (Z12 = Z21). Para ondas de Rayleigh

(Seccao 5.4.1):

Z21 =2k∗2α1(K∞)α2(K∞)

ε∗Wωe−jω|x12|/v∞ (5.178)

ondex12 = v∞τ12 e a distancia entre os dois capacitores eε∗ = εsup + εext

Se os transdutores nao estiverem alinhados ou mesmo nao tenham a mesma dimensao, entao:

Z21 =2k2α1α2W12

(1 + ε)ε0W1W2ωe−jωτ12 (5.179)

Considerando um dispositivo comN + 1 dentes, portantoN capacitores planares. A impedancia

de um dos transdutores (Equacao 5.136) pode ser reescrita como:

Z(ω) =1

jωNC+ Ra + jXa (5.180)

ondeRa = R0(sen(T )

T)2, Xa = R0

sen(2T )−2T2T 2 , τ = L/v∞ eT = ωτ .

Essa configuracao esta mostrada na Figura 5.23.

Parametros Y

Os parametrosY sao preferidos em situacoes em quee mais facil curto-circuitar (fazervv = 0) na

entrada e na saıda do que abrir (fazerii = 0).

I1 = Y11V1 + Y12V2 (5.181)

I2 = Y21V1 + Y22V2 (5.182)

A expressao da impedancia do transdutor pode ser reescrita em termos de admitancia. Esse mo-

deloe o circuito equivalente paralelo, que tambem esta representado na Figura 5.23.

50

NC

Ra

Xa

Equivalente serie

NCXa

Equivalente paralelo

Ga

Figura 5.23. O circuito equivalente pode ter duas representacoes: serie e paralelo.

5.5.3. Funcao de transferencia - parametros S

Para frequencias na faixa de RF e microondas fica difıcil obter um bom curto ou um circuito-aberto

e ate mesmo uma boa medicao da d.d.p e da corrente. Assim sendo a caracterizacao utilizando

parametros Z ou Y nao sao praticas. Nessa faixa de frequencia pode-se utilizar os parametrosS, os

quais representam a passagem de ondas viajantes, istoe a1 e a2 representam ondas incidentes nas

portas1 e 2 respectivamente, enquanto queb1 e b2 representam ondas emergentes nas portas1 e 2

respectivamente.

V (x) = V +e−γx + V −e−γx (5.183)

onde o primeiro termo se propaga para a direita e o segundo se propaga para a esquerda.

Escrevendo em forma matricial.

b1 = S11a1 + S12a2 (5.184)

b2 = S21a1 + S22a2 (5.185)

ondea1,2 = V +1,2/

√Z0 e b1,2 = V −

1,2/√

Z0.

S11 = Γ11 representa o coeficiente de reflexao, com a porta2 casada.

S22 = Γ22 representa o coeficiente de reflexao, com a porta1 casada.

S12 = T12 representa o coeficiente de transmissao direto.

S21 = T21 representa o coeficiente de transmissao reverso.

Propriedades da matriz[S]:

51

11S S22

b1

a 1

a2

b2

S12

S21

1 2

Figura 5.24. Rede de dois acessos com parametrosS. Os parametrosS formam a matriz conhecida

como matriz de espalhamento.

• Simetria,S = St

• Unitariedade,∑

SijS∗ij = 1

• Zero,∑

SikS∗ij = 0, parak 6= j.

• Deslocamento de fase.

Os parametrosS sao medidos peloAnalisador de Rede. Esse equipamento pode ser escalar ou

vetorial, unidirecional ou bidirecional. O modelo escalar mede apenas o modulo dos parametros de

espalhamento, enquanto o modelo vetorial mede o modulo e a fase. Ja o modelo unidirecional mede

apenas dois parametros de cada vez, enquanto o modelo bidirecional mede os quatro parametros.

A medicao do parametroS21 emdB pode ser usado para obter a perda de insercao (IL - “Insertion

loss”). Medindo-se a potencia transmitida antes e depois da insercao do dispositivo. Se a medida for

corretamente calibrada, a perda de insercao,e o valor logaritmıco da razao entre a potencia entregue

a carga e a potencia fornecida pela fonte, portanto quanto mais perto de zero melhor.

IL = −10 logPcarga

Pen

= 20 log S21 (5.186)

Dispositivos OAS tem alta perda de insercao, entre15dB e 30dB¶. Para reduzi-la pode-se adi-

cionar refletores acusticos entre os dentes do transdutor. Uma maneira de reduzir a perda de insercao

e utilizar a estruturaSPUDT, isto e acrescenta-se um refletor acustico entre os dentes do transdutor,

veja a Figura 5.25.

¶Metade da energia convertida em sinal acusticoe sempre perdida, uma vez que estara se propagando no

sentido oposto ao transdutor de recepcao, o que representa uma perda de insercao de3dB.

52

Figura 5.25. A estrutura mostradae utilizada para diminuir a perda de insercao. Essa estruturae

denominada de SPUDT - “Single Phase UniDirectional Transducer”.

Outro parametro de interessee a perda de retorno (“Return Loss”). Ela e a razao entre a potencia

refletida e a potencia de entrada em decibel.

RL = −10 logPrefletida

Pen

(5.187)

A constante de atenuacao,α e a razao entre a potencia perdida media por unidade de comprimento,

Pperdida, e a potencia transmitida,Ptrans.

α =Pperdida

2Ptrans

(5.188)

O retardo de grupoe uma medida de quanto tempo o sinal leva para atravessar o dispositivo. Para

defini-lo e necessario definir antes a fase de transmissao.

φT = arg(IL) (5.189)

Calculando a derivada da fase em relacao a frequencia, obtem-se o atraso de grupo.

τG =1

2π

dφT

df(5.190)

Fator de qualidade:

Q = ωEarmazenada

Pdissipada

(5.191)

53

O dispositivo OAS pode ter reflexoes nas bordas, esse sinal refletido pode ser capturado pelo

transdutor de saıda, fazendo surgir um “eco”. Esse sinale denominado de “eco da terceira passagem”

(“Triple transit echo”), causando uma modulacao deS21.

|S21|max

|S21|min

(5.192)

Ha duas tecnicas utilizadas para reduzir o eco:

• Aplicacao de um absorvedor acustico nas bordas;

• Posicionamento da estrutura interdigitada levemente inclinada em relacaoa borda do cristal.

Os parametrosS estao relacionados com os parametrosZ. Pode-se mostra que:

[S] = ([Z]− [Z0])([Z] + [Z0])−1 (5.193)

Para um dispositivo com duas portas (dois acessos):

Z − Z0 =

Z11 − Z0 Z12

Z21 Z22 − Z0

(5.194)

(Z + Z0)−1 =

Z22 + Z0 −Z12

−Z21 Z11 + Z0

1

(Z11 + Z0)(Z22 + Z0)− Z12Z21

(5.195)

O parametro,S21, referentea transmissao de potencia pode ser facilmente calculado em termos

das impedancias.

S21 =2Z0Z21

(Z11 + Z0)(Z22 + Z0)− Z12Z21

(5.196)

54

Fonte Carga

Figura 5.26.Dispositivo OAS completo com dois transdutores interdigitados, interligado com a fonte

e a carga.

5.5.4. Modelo SPICE

No dispositivo OAS, a energia eletromagnetica fornecida pelo gerador flui atraves da linha de trans-

missao entre o gerador e o dispositivo ee parcialmente refletida ao chegar ao transdutor de entrada no

dipositivo. A quantidade de energia refletida depende do casamento entre a impedancia do gerador

vista a partir do transdutor de entrada e a impedancia do transdutor de entrada. A potencia transmi-

tida e convertida em potencia acustica, parte dessa potenciae transmitida para o segundo transdutor

e a outra metadee transmitida no sentido oposto, comoe mostrado na Figura 5.26. A potencia en-

tregue ao segundo transdutore convertida de volta em potencia eletromagnetica e assumindo que a

impedancia do transdutor de saıda esteja casada com a impedancia da carga, a potenciae finalmente

toda entreguea carga.

Um modelo eletrico para um dos transdutores do dispositivo OAS pode ser construıdo a partir

da teoria dos modos acoplados[9,10,11,12], quando se considera amplitudes da onda que se propaga

para direita e para esquerda e a corrente no transdutor. Para um transdutor sem perdas, a teoria dos

modos acoplados leva ao sistema de equacoes apresentado nas Equacoes 5.197, 5.198 e 5.199.

dA1(x)

dx= −jk11A1(x)− jk12e

j2δxA2(x) + αejδxV (5.197)

dA2(x)

dx= jk∗12e

−j2δxA1(x) + jk11A2(x)− α∗e−jδxV (5.198)

dI(x)

dx= 2α∗e−jδxA1(x) + 2αejδxA2(x) + jωCV (5.199)

A velocidade para a direitav+(x) e para a esquerdav−(x) pode ser escrita em termos da ampli-

tude.

55

-j2 Zo

Θ

Θ

j2 Zo

CT

V

Figura 5.27. Circuito equivalente para um transdutor interdigitado para excitacao de ondas acusticas

de superfıcie.

v+(x) =A1(x)√

Z ′0

e−jkx (5.200)

v−(x) =A2(x)√

Z ′0

ejkx (5.201)

ondeZ ′0 e a impedancia acustica caracterıstica ek = ω/vsaw.

Substituindo as Equacoes 5.200 e 5.201 nas Equacoes 5.197, 5.198 e 5.199, obtem-se apos alguma

manipulacao, o sistema de equacoes mostrado em forma matricial na Equacao 5.202.

jωCT + φ2

j2θZ0

φj2θ

Z0

Z2C

∓ φj2θ

Z0

Z2C

φj2θ

Z0

Z2C

1Z2

C

Z0

jtan2θ∓ 1

Z2C

Z0

jsen2θ

∓ φj2θ

Z0

Z2C

∓ 1Z2

C

Z0

jsen2θ1

Z2C

Z0

jtan2θ

V

F1

F2

=

I

v1

v2

(5.202)

Os elementos da matriz (Equacao 5.202) podem ser interpretados como combinacao de compo-

nentes de circuito eletrico, como mostrado na Figura 5.27. A impedanciaj2θZ0 pode ser representada

por um circuitoLC serie.

j2θZ0 = jN

f0

(ω − ωs1) (5.203)

ondeωs1 = ω0(1− k11

k0− k12

k0)

A impedancia de um circuitoLC serie pode ser escrita como mostrado na Equacao 5.204.

56

V

-

+

Iz

α Iz

Figura 5.28. Circuito equivalente para trocar o sinal de uma impedancia.

Z(ω) = jL(ω − 1√LC

)(ω + 1√

LC)

ω(5.204)

Proximo da frequencia de ressonancia:

Z(ω) ∼ j2L(ω − 1√LC

) (5.205)

Comparando comj2θZ0, obtem-seL = N2f0

eC = 1Lω2

s1,

O outro componentee uma impedancia negativa,−j2θZ0. Para implementar essa impedancia

pode-se utilizar uma fonte de corrente controlada. Considerando o circuito mostrado na Figura 5.28,

observa-se que foi colocado uma fonte de corrente controlada em paralelo com a impedancia que se

quer trocar o sinal (veja a Figura 5.28). A corrente nos terminais do circuitoe dado pela Equacao 5.206.

I = Iz − αIz (5.206)

Calculando a impedancia.

Zneg =Vz

Iz

=1

1− αZ (5.207)

Fazendoα = 2, obtem-seZneg = −Z.

Al em desses, tem-se o transformador que representa o acoplamento piezoeletrico, o capacitor da

estrutura interdigitada e as linhas de transmissao. O modelo finale apresentado na Figura 5.29.

O modelo obtido representa apenas um dos transdutores. Para construir uma linha de retardoe

necessario combinar duas estruturas interdigitadas. Portanto, sera necessario combinar dois circuitos

57

CT

V

φ:1

Electricalport

Acousticalport 1 port 2

Acoustical L C

2i

i

2C

L/2L/2

2C

Figura 5.29. Modelo SPICE para um transdutor. Um dispositivo OAS requer a utilizacao de dois

transdutores.

como o da Figura 5.29 e entre eles colocar uma linha de transmissao para representar o atraso que a

onda mecanica sofre ao se propagar do transdutor de entrada para o transdutor de saıda.

Linha de retardo

Para demonstrar o uso do modelo, considera-se uma linha de retardo com frequencia central,

f0 = 50MHz. Os outros parametros saoN = 20, W = 6mm, d = 100λ = 3, 16mm, k2 = 0, 0016,

vsaw = 3160m/s, ε = 4, 5ε0 (Quartzo). Para especificar a linha de transmissao sem perdae necessario

estabelecer dois parametros: o retardo e a impedancia caracterıstica. O resultado da simulacao SPICE

da linha de retardoe apresentado na Figura 5.30, onde se ve a resposta em frequencia obtida com a

simulacao. Como esperado, a linha de retardo se comporta como um filtro passa-banda.

Ressonador

Um ressonador pode ser simulado, curto-circuitando as portas acusticas no modelo SPICE. A ad-

mitancia nesse casoe dada por:

Y = jωCT +φ2

j2θZ0

(5.208)

58

Tabela 5.6.Parametros do modelo.

Equac ao f0 = 50MHz

CT N(1 + ε)ε0W/2 2, 92pF

L N2f0

200nH

C 1Lω2

s150pF

φ2 2.268N2ω0Csk2 66, 62µ

τIDT N/f0 0.4µs

τ d/2vsaw 0.5µs

Z0 ∼ 1

Z ′0 Normalizado 1

A simulacao da resposta em frequencia de um ressonador OAS no simulador SPICE apresenta a

ressonancia em50MHz, como projetado.

Exemplo de listagem SPICE

Todos os parametros do modelo podem ser rapidamente calculados para uma dada estrutura interdi-

gitada e substrato piezoeletrico. Uma listagem SPICEe apresentada a seguir.

* Modelo SPICE do dispositivo OAS

* (c) 2000 Edval J. P. Santos

.SUBCKT oas 1 2 3 4 5 6

* ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

* | | | | | |____ porta acustica 2-

* | | | | |______ porta acustica 2+

* | | | |________ porta acustica 1-

* | | |__________ porta acustica 1+

* | |____________ porta eletrica -

* |______________ porta eletrica +

*

* capacitancia do IDT

* N*Cs

59

Figura 5.30. Simulacao da resposta em frequencia de uma linha de retardo OAS com vinte pares de

dentes,N = 20, projetado para operar em 50MHz.

CT 1 2 2.92P

***************************************************

* Modelo do transformador

Rpri 1 11 0.1

Lpri 11 2 1

Rsec 21 22 0.1

* Valor de Lsec= phiˆ2

Lsec 22 24 66.62U

Ktrans Lpri Lsec 1

***************************************************

C1 21 31 104P

L1 31 26 100N

R1 21 26 100MEG

60

Figura 5.31.Simulacao da resposta em frequencia de um ressonador OAS com vinte pares de dentes,

N = 20, projetado para operar em 50MHz.

C2 24 32 104P

L2 32 25 100N

R2 24 25 100MEG

* Impedancia negativa

C3 25 33 52P

L3 33 34 200N

R3 25 34 100MEG

V3 34 26 0

Fneg 26 25 V3 2

*

R4 27 0 1

R5 28 0 1

***************************************************

61

* Retardos lateriais e rede-pi

Tdentes 25 27 26 28 Z0=1 TD=0.4U

Tlateral1 25 27 3 4 Z0=1 TD=0.5U

Tlateral2 26 28 5 6 Z0=1 TD=0.5U

R8 4 0 100MEG

R9 6 0 100MEG

.ENDS

62

ω

ωB( )

A( )

Figura 5.32. O oscilador OAS consiste de um amplificador com uma linha de retardo OAS na malha

de realimentacao.

5.6. PROJETO DO OSCILADOR OAS

Tipicamente o sensor OASe realizado na forma de um oscilador. De maneira que variacoes de

frequencia possam ser relacionadas com variacoes da grandeza de interesse. O dispositivo OAS pode

ser utilizado como ressonador ou como linha de retardo. Como ressonador ele substitui o circuito

tanqueLC, como linha de retardo, elee colocado na malha de realimentacao de um amplificador

de RF. Um exemplo de oscilador utilizando o dispositivo OAS como linha de atrasoe mostrado na

Figura 5.32.

De qualquer forma ha dois componentes chaves: amplificador de RF e dispositivo OAS. Para se

desenvolver o projeto do dispositivo OAS,e necessario considerar os seguintes aspectos:

• Definicao da frequencia central;

• Escolha do material para o substrato (velocidade de propagacao e estabilidade de temperatura);

• Especificacao da pureza harmonica (largura de banda), seletividade espectral;

• Dimensionamento do retardo;

• Especificacao, calculo das admitancias de entrada e saıda (dimensoes);

• Casamento das impedancias;

• Simulacao e avaliacao dos efeitos de segunda ordem.

63

Figura 5.33. Amplificador de RF sintonizado a250MHz, projetado no LDN.

No caso do amplificador, tipicamente ele deve ter ganho acima de30dB, na frequencia de inte-

resse, ser estavel e de baixo ruıdo, especialmente baixo ruıdo de fase. Na Figura 5.33e apresentado

um amplificador de RF projetado por V. M. da Silva, no LDN, e fabricado pela Austria MikroSys-

teme via o programa Europractice. Esse amplificador esta projetado para ter ganho acima de20dB a

250MHz.

5.6.1. Condicao de oscilacao

Como foi dito acima, uma linha de retardo OAS pode ser utilizada para a construcao do oscilador. De

acordo com o criterio de Nyquist, o sistema oscila se o ganho de malha for unitario e a fase for um

multiplo de2π, na frequencia de oscilacao.

|A(ω)||B(ω)| = 1 (5.209)

φmalha = −2mπ (5.210)

ondem = 1, 2, 3, ....

A frequencia de oscilacao e determinada pelo retardo total. Em um sistema onde a malha de

realimentacao consiste de uma linha de retardo OAS, a maior contribuicao para o retardoe dada pelo

trecho acustico. Alias, essae a grande vantagem da linha de retardo acustica.

64

φmalha = −2πf0(τAmp + τIDT1 + τD + τIDT2) (5.211)

ondeτAmp e o retardo do amplificador,τIDT1 e τIDT2 sao os retardos na regiao do transdutor eτD e o

retardo na regiao de entre os transdutores.

φmalha ∼ −ωτD = −ωx12

v∗∞(5.212)

ondex12 e a separacao entre os transdutores. A condicao de coerencia determina queφmalha = 2mπ.

Assim sendo a frequencia de oscilacaoe dada por:

f ∼ mv∗∞x12

(5.213)

Exemplo: Considere um dispositivo OAS fabricado sobre um material piezoeletrico cuja veloci-

dade de propagacao da onda acustica sejav∗∞ = 3000m/s, com separacao, x12, entre os transdu-

tores de0, 5cm e que a regiao interdigitada foi projetada para excitar ondas com frequencia central

f = 300MHz. Qual o valor dem?

Resposta:m = 500

A rigor o espacamento a ser considerado no calculo do retardoe do centro de um transdutor para o

centro do outro.E importante salientar que o espacamento entre os dentes deve ser iguala metade do

comprimento de onda da oscilacao na frequencia central,λ0/2 = v∗∞/(2f0), e o espacamento entre as

estruturas interdigitadas (transdutores) deve ser um multiplo desse comprimento de onda,L = mλ0.

5.6.2. Circuito eletrico

Para completar o projeto do osciladore necessario considerar o dispositivo OAS como parte do cir-

cuito eletrico. Como a conexao da malha de realimentacao e do no de saıda para o no de entrada,

e mais pratico analisar o circuito utilizando parametrosY . Na Figura 5.33e mostrado o dispositivo

OAS representado por parametrosY , conectadoa fonte de sinal ea carga. Os parametros do modelo

sao apresentados a seguir.

65

u1 u2Yfonte

cargaY11Y 12 2Y V 21 1Y V

22Yufonte

Figura 5.33. Modelo do dispositivo a ondas acusticas de superfıcie usando parametrosY , incluindo

a admitancia da fonte e da carga.

Yfonte = Gfonte (5.214)

Y11 = Gidt1 + sCidt1 (5.215)

Y22 = Gidt2 + sCidt2 (5.216)

Ycarga = Gcarga + sCcarga (5.217)

Calculando a razaou2/ufonte, obtem-se a funcao de transferencia de tensao.

u2

ufonte

=YfonteY21

Y12Y21 − (Yfonte + Y11)(Ycarga + Y22)(5.218)

Para avaliarY21 do dispositivo OAS, deve-se levar em consideracao as particularidades de seu

funcionamento. Considerando o fluxo de potencia a partir da fonte, tem-se que a potencia enviada

pelo primeiro transdutor,P21, e a amplitude da tensao em seus terminais ao quadrado dividida pela

resistencia de radiacao.

P21 =( u1√

2

)2

Gidt1 =1

2

( −(Y22 + Ycarga)Yfonteufonte

Y21Y12 − (Y22 + Ycarga)(Yfonte + Y11)

)2

Gidt1 (5.219)

Calculando a potencia entreguea carga, obtem-se a Equacao 5.220.

Pcarga =i2carga

2Gcarga

=1

2Gcarga

(−Y21u1Ycarga

Y22 + Ycarga

)2 (5.220)

Apenas metade da potencia se propaga para o segundo transdutor (Seccao 5.4). Portanto, se nao

houver perdas durante a propagacao,P2 = P21/2, i.e., a potencia recebida pelo segundo transdutor

66

e igual a metade da potencia enviada pelo primeiro transdutor‖. A potencia recebida pelo segundo

transdutore dada pela Equacao 5.221.

P2 =1

2Gidt2

(−Y21u1Y22

Y22 + Ycarga

)2 (5.221)

A tensao na carga (ucarga = u2) e o produto do negativo da corrente da fonte controlada,−Y21u1,

pela impedancia total de saıda,(Y22 + Ycarga)−1.

ucarga = (−Y21u1)1

Y22 + Ycarga

(5.222)

ou

(−Y21u1) = (Y22 + Ycarga)ucarga (5.223)

Elevando ao quadrado e usando a Equacao 5.221.

(−Y21u1)2 = (Y22 + Ycarga)

2u2carga = 2Gidt2P2(

Y22 + Ycarga

Y22

)2 (5.224)

(Y22 + Ycarga)2u2

carga = 2Gidt2(Y22 + Ycarga

Y22

)2 1

4

( −(Y22 + Ycarga)Yfonteufonte


)2

Gidt1

(5.225)

Portanto,

u2carga

u2fonte

= (Y22 + Ycarga

Y22

)2 1

2

( −(Y22 + Ycarga)Yfonte


)2

Gidt1Gidt21

(Y22 + Ycarga)2

(5.226)

Desprezando o retorno de sinal, i.e., fazendoY12 = 0.

u2carga

u2fonte

=1

2

( Yfonte

Yfonte + Y11

)2Gidt1Gidt2

Y 222

(5.227)

‖Em um dispositivo real sempre ha perdas na propagacao do sinal entre os transdutores.

67

Em frequencias altas,e necessario utilizar um amplificador de potencia e as impedancias devem

ser casadas para que a potencia transmitida seja maxima, i.e.,Yfonte = Y ∗11 e Ycarga = Y ∗

22. O casa-

mento da impedancia pode ser conseguido usando um indutor de maneira a cancelar a capacitancia,

e.g.,Ycarga = Y ∗22 = Gidt2 − jωCidt2.

u2carga

u2fonte

=1

2

(Yfonte

Y22

)2Gidt2

Gidt1

(5.228)

Em dispositivos reais, as perdas podem ser maiores que15dB e nao apenas os3dB assumidos

aqui. Fazendo com que a potencia entreguea carga seja menor que o estimado com a Equacao 5.228.

Se o circuito for de baixa frequencia, entaoe desejavel fazerYfonte À Y11 eYcarga ¿ Y22.

ucarga

ufonte

=1√2

√Gidt1Gidt2

Y22

(5.229)

5.7. PROJETO DE SENSORES OAS

Para projetar o sensor,e necessario dimensionar aarea de deteccao, pois esta ira definir algumas das

dimensoes do dispositivo OAS. As equacoes basicas do projeto do dispositivo OAS estao apresentadas

na Tabela 5.7.

Tabela 5.7: Equacoes do projeto.

68

Grandeza Equacao Detalhes

Frequencia central f0 = v/L v e a velocidade da propagacao da onda acustica

eL e o perıodo da estrutura interdigitada.

Banda passante ∆f = (2f0)/N N e o numero de dentes.

Capacitancia do transdutor CT = N(1 + ε)ε0W/2 ε e a permissividade eletrica do substrato eW e

abertura do IDT.

Admitancia de acoplamento Ga ∼ 8k2Nf0CT admitancia paralela aCT . Essa admitancia deve

ser ajustada para casar com a fonte e carga.

Tipicamente,Ga ∼ 1/50 = 0, 02.

Impedancia de acoplamento Ra = Ga/(2πf0CT )2 para obterRa nao basta inverterGa. E necessario

inverter a admitancia,Ya = Ga + jωCT .

Indutancia de casamento L = 1/(4π2f 20 CT ) O valor da indutanciae escolhido de maneira a

neutralizar a capacitancia da estrutura interdigi-

tada na frequencia de ressonancia.

Retardo (x12 + NL)/v x12 e o afastamento de uma borda a outra.

Note-se que a expressao da impdancia de acoplamentoe a expressao apresentada na Equacao 5.177,

reescrita em termo deCT eGa.

Ra =4k2

π2f0(1 + ε)ε0W=

Ga

(2πf0CT )2(5.230)

Exemplo: Projete um dispositivo OAS com as seguintes caracterısticas: W = 10mm, x12 =

10mm, N = 15, f0 = 250MHz sobre quartzo.

Resposta:

• Espacamento entre dentes=vR

4f0= 3160

250×106 = 3, 160× 10−6m.

• Banda passante∼ 33MHz

• Capacitancia do transdutor=CT = 3, 65× 10−12F

• Ga = 0, 0175S

• Ra = 533Ω

69

• L = 0, 11× 10−6H

• Retardo=3, 16× 10−6s

Se necessario, um circuito de casamento de impedancia emL ou emT , pode transformar a im-

pedancia do sensor em50Ω. O retardo deve ser tal que na frequencia central, a fase seja um multiplo

de2π.

O projeto de um sensor utilizando linhas de retardo com base em OAS implica nos seguintes

aspectos:

• Dimensionamento daarea de deteccao;

• Estimativa das impedancias, banda passante, retardo e atenuacao para o projeto do amplificador.

Outros aspectos a serem considerados:

• Sensibilidade desejada (aumenta com o quadrado da frequencia);

• Ruıdo (aumenta linearmente com a frequencia). O ruıdo impoe um limite de deteccao;

• Limite de deteccao de massa;

• Tempo de resposta.

O dispositivo OAS, como foi visto, na Seccao 5.1.1, apresenta alta sensibilidade a diversas gran-

dezas fısicas, tais como: temperatura, pressao, aceleracao, campo eletrico, deslocamento e fluxo. Ele

tambem pode ser utilizado para se realizar sensores quımicos. Nesse tipo de aplicacao e necessario

depositar uma camada adicional de material (veja a Tabela 5.8) para obter seletividade quımica. Exis-

tem varias tecnicas que podem ser utilizadas para aumentar a seletividade desses sensores, dentre elas

pode-se citar:

• Preparacao de uma interface quimicamente seletiva

• Uso de um metodo cromatografico para separar as substancias a serem medidas

• Preparacao de uma matriz de microsensores cada um com uma camada quimicamente distinta

e usar tecnicas de reconhecimento de padrao

70

• Utilizacao de uma membrana semipermeavel

Tabela 5.8: Materiais utilizados para dar seletividade quımica ao sensor OAS.

Camada Gas

Difenilbenzidina NO2

2,4, Dinitrofenilthydrazina NO2

o - toluidina NO2

Trietilenodiamina (TEDA) SO2

Na(HgCl2) (hidratado) SO2

Pb(C2H3O2)2-5H2) H2S

CuSO4.5H2O H2S

K[Ag(CN)2] H2S

Ninhidrina NH3

CoCl2.6H2O NH3

Polivinilpiridina (PVP) HCl

5.7.1. Sensibilidade

A sensibilidade do sensor a uma propriedade,Xprop, e definida como sendo a derivada da frequencia

em funcao da propriedade de interesse.

Sprop =∂f

∂Xprop

(5.231)

No caso de um sensor OAS, a equacao aproximada que descreve a variacao de frequenciae dada

pela Equacao 5.232.

∆f = −1, 26× 10−7f 20

m

A(5.232)

Considerando a variacao de massa na superfıcie do sensor, a sensibilidade pode ser facilmente

calculada.

Sm =∂f

∂m= −1, 26× 10−7f 2

0

A(5.233)

71

A variacao de massa mınima detectavel dependera da qualidade do amplificador em termos de

estabilidade e de ruıdo.

∆mmin =1

Sm

∆fmin (5.234)

Tabela 5.9. Estimativa de desempenho∗∗.

Frequencia Area Variacao mınima detectavel

30MHz 1cm2 300× 10−12g

300MHz 0, 01cm2 0, 03× 10−12g

No caso de sensor de gases utilizando ondas de Rayleigh a variacao da frequencia em funcao da

massa absorvidae dada por:

∆fgas = ∆fcamadaCgasK

ρ(5.235)

onde∆fgas e o desvio de frequencia devido a presenca do gas,∆fcamada e o desvio de frequencia

devido a prsenca da camada seletiva,K e o coeficiente de particao, i.e.,e a razao entre a concentracao

do gas na camada absorvente ou sensıvel e a concentracao do gas na fase gasosa (K = Cs/Cgas),

Cgas e a concentracao de gas na fase gasosa eρ e a densidade da camada sensıvel.

Sm =∂f

∂Cgas

= ∆fcamadaK

ρ(5.236)

Se o sensor for do tipo placa, utilizando ondas de Lamb, a frequencia de vibracao da placa varia

com a massa adsorvida de um meio gasoso de acordo com a expressao abaixo:

f =k2

2π

√D

m(5.237)

ondeD e a rigidez da placa em e a massa da placa.

Calculando a derivada, de acordo com a Equacao 5.231, pode-se obter uma expressao para a

sensibilidade relativa a absorcao de massa.

∗∗A areae estimada para uma impedancia de50Ω e separacao entre IDTs igual a300λ. Assume-se que o

osciladore estavel em1ppm.

72

Figura 5.34.Simulacao de sensor OAS utilizando o modelo apresentado na seccao 5.5.6. Os resulta-

dos sao comparados com resultados experimentais obtidos por H. Wohltjen (Sensors and Actuators,

5, 307 (1984)).

Sm = −k2√

D

4π

1

m3/2(5.238)

Observa-se na Equacao 5.238, que a sensibilidadee inversamente proporcionala massa da placa.

Portanto, quanto mais fina a placa (menorm) maior a sensibilidade.

Para o caso de adsorcao de massa a partir de um lıquido. A expressao para a variacao da frequencia

e modificada como apresentado na Equacao 5.239.

f =k2

2π

√√√√ D

m + ρfδf +√

ρf η

2ω

(5.239)

ondeρf eη sao parametros do lıquido. Assume-se que o termoρfη/(2ω) e constante.

Calculando a derivada, de acordo com a Equacao 5.231, obtem-se a sensbilidade do sensor imerso

em um lıquido.

Sm = −k2√

D

4π

1

(m + ρfδf +√

ρf η

2ω)3/2

(5.240)

Na Figura 5.34, sao apresentados resultados experimentais obtidos por Wohltjen e resultados de

simulacao obtidos por Barbosa. Pode-se observar o comportamento linear da variacao da frequencia

73

com a variacao da masssa. A expressao completa para a variacao da frequencia em termos da presenca

de uma camadae dada por:

∆f =[(k1 + k2)ρ− k2

(4µ′

v2R

( λ′ + µ′

λ′ + 2µ′

))]hf 2

0 (5.241)

ondek1 e k2 sao constantes do material piezoeletrico,f0 e a frequencia do oscilador no estado nao

perturbado,h e a espessura do revestimento,ρ e a densidade do revestimento,µ′ e o modulo de

cisalhamento,λ′ e a constante de Lame do revestimento evR e a velocidade de Rayleigh. Para

revestimentos organicos, o segundo termoe desprezado. Considerando quartzo,k1 = −9, 33 ×10−8m2s/kg, k2 = −4.16× 10−8m2s/kg, obtem-se a expressao da Equacao 5.232, ondehρ = m/A.

No caso de lıquidos, a pressao hidrostatica e a viscosidade sao problemas a serem enfrentados na

pesquisa de sensores OAS. Nem sempree possıvel combinar seletividade com reversibilidade.

5.8. CARACTERIZAC AO DE SENSORES ELETROACUSTICOS

Uma vez fabricados, os sensores precisam ser encapsulados, para que seja feita a conexao com o

circuito eletronico. Exemplos de encapsulamento para sensores isoladose o TO-8. No caso de sensor

combinado com a eletronica pode ser utilizado um encapsulamento do tipo PGA (“Pin Grid Array”).

Sensores de grandezas fısicas podem ser testados expostos ao ar. No caso de sensores quımicos pode

ser necessario colocar o sensor dentro de uma caixa para que sejam realizados os testes de desempenho

(veja Figura 5.35). Uma vez encapsulados, pode-se fazer a caracterizacao dos mesmos.

Tipicamente, os dispositivos OAS utilizados para a construcao de sensores, sao projetados para

operar na faixa de100MHz a 500MHz. Enquanto que OAS para comunicaoes e outras aplicacoes

especiais sao projetados para operar em frequencias ate 5GHz. Para caracterizar dispositivos nessa

faixa de frequencia, tem-se o analisador de rede vetorial. Esse equipamentoe utilizado para medir os

parametrosS (Seccao 5.5.3). O equipamento precisa ser calibrado antes de sua utilizacao. Issoe feito

fazendo medidas de curto-circuito, circuito aberto, carga nominal e conexao direta. O objetivo dessas

medidase compensar o comprimento do cabo. Cada interrupcao na linha de transmissao representa

uma descontinuidade. Uma descontinuidade causa reflexoes no sinal que propaga. Para analisar os

efeitos das descontinuidades sobre o sinal medido pode-se construir um grafico de fluxo e aplicar as

regras de Mason para obter os valores corrigidos dos parametros de espalhamento. Esse processoe

denominado de explicitar ou “de-embedding” a medida.

74

Entrada Saida

Contato eletrico

Figura 5.35. Encapsulamento para sensor de ondas acusticas de superfıcie, mostrando a tubulacao

para a entrada e saıda de gases ou lıquidos.

11S S22

b1

a 1

a2

b2

S12

S21

1 2

Figura 5.36. Analisador de rede.

75

Figura 5.37. Medida de transmissao,S12 de um ressonador comercial fabricado pela SAWTEK.

Figura 5.38. Medida de reflexao,S11 de um ressonador comercial fabricado pela SAWTEK.

O processo de medicao consiste em aplicar um sinal de amplitude constante (ajustavel), cuja

frequencia e variada na faixa de interesse.A medida em que a frequencia e variada, mede-se a

potencia do sinal transmitido e a potencia do sinal refletido. Com os valores medidose possel fazer

o grafico deS11, S21, S12 e S22 em termos da frequencia, tanto o modulo como a fase. Exemplos de

medida deS21 eS11 sao mostrados nas Figuras 5.37 e 5.38.

Uma vez caracterizado o dispositivo com o analisador de rede, pode-se agora acopla-lo a um

amplificador para que oscile. A frequencia da oscilacao e entao medida com um frequencımetro,

como mostrado na Figura 5.39.

76

Frequencimetro

Amplificador

Acoplador

Figura 5.39. Circuito oscilador e frequencımetro.

Tempo

freq.

Conc. 1

Conc. 2

Conc. 3

Conc. 4

Figura 5.40. Grafico tıpico da variacao da frequencia em termos da concentracao.

O sensore submetidoa presenca do material a ser detectado, causando uma variacao da frequencia

medida pelo frequencımetro (veja Figura 5.40).

5.9. CONSIDERACOES FINAIS

Nesse capıtulo foram abordados os aspectos mecanicos e eletricos dos dispositivos e sensores OAS,

assim como seu projeto, modelagem, fabricacao e caracterizacao.

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capitulo5 saw

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