7

CHƯƠNG 1

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT

1.1. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ

1.1.1. Phép thử và không gian mẫu

Trong cuộc sống có những thí nghiệm hay quan sát trong cùng một điều kiện xác định như nhau có thể cho những kết quả khác nhau mà không thể chắc chắn kết quả nào sẽ xuất hiện. Chẳng hạn, khi gieo một con súc sắc cùng một điều kiện như nhau nhưng kết quả mỗi lần gieo là khác nhau và chúng ta không chắc là kết quả nào sẽ xuất hiện. Hay giá của một mã chứng khoán trong một phiên giao dịch. Số cơn bão xuất hiện trong sáu tháng đầu của năm sau… Trong những thí nghiệm hay quan sát đó, mặc dù ta không biết chính xác kết quả nào sẽ xảy ra nhưng chúng ta có thể mô tả tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của chúng. Ta gọi những thí nghiệm hay quan sát đó là phép thử ngẫu nhiên hay phép thử.

Định nghĩa 1.1. Phép thử là một thí nghiệm hay quan sát nào đó mà trước khi tiến hành ta không biết chắc kết quả nào sẽ xảy ra nhưng ta có thể mô tả tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra. Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử (gọi tắt là không gian mẫu), được ký hiệu là Ω .

Mỗi phần tử của không gian mẫu là một kết quả đơn giản nhất có thể xảy ra

trong một phép thử được gọi là một biến cố sơ cấp và ký hiệu là ω . Do đó, không gian mẫu Ω còn được gọi là không gian các biến cố sơ cấp.

Ví dụ 1.1. Gieo một đồng xu là một phép thử, không gian mẫu bao gồm hai biến

cố sơ cấp: S: “mặt sấp xuất hiện” và N: “mặt ngửa xuất hiện”, ,S NΩ = .

Ví dụ 1.2. Gieo một con súc sắc, đó là một phép thử. Ký hiệu k là kết quả “xuất

hiện mặt k chấm”, 1, 2,3,4,5,6k = . Khi đó không gian mẫu là 1;2;3;4;5;6Ω = .

Mỗi kết quả k là một biến cố sơ cấp.

Ví dụ 1.3. Bắn một viên đạn vào bia cũng là một phép thử. Các kết quả của phép

thử là “Viên đạn trúng vòng k điểm trên bia”, 0,1,2,...,10.k = Không gian mẫu là

0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10Ω = . Mỗi kết quả k là một biến cố sơ cấp.

Ví dụ 1.4. Bắn một viên đạn vào một mục tiêu xác định cũng là một phép thử. Phép thử này có hai biến cố sơ cấp là “Viên đạn trúng bia” và “Viên đạn không trúng bia”.

Ví dụ 1.5. Quan sát nhiệt độ ngoài trời tại một thời điểm cũng là một phép thử.

Kết quả của phép thử là: “Nhiệt độ đo được là ot C”, t là một số thực nào đó. Không

gian mẫu của phép thử là ( ),a bΩ = trong đó ,a b là các số thực nào đó.

8

Ví dụ 1.6. Đo chiều cao của một cây công nghiệp được chọn ngẫu nhiên trong nông trường. Đó là một phép thử. Kết quả của phép thử này là: “Cây được chọn có chiều

cao t m”, t là một số thực nằm trong khoảng ( ),a b nào đó.

1.1.2. Biến cố:

Khi tiến hành một phép thử người ta thường không quan tâm đến một biến cố sơ cấp cụ thể mà thường quan tâm đến một kết quả liên quan đến một số các biến cố sơ cấp. Chẳng hạn, khi gieo một con súc sắc người ta quan tâm đến những kết quả có số chấm lớn hơn 3, nó có thể là mặt 4, 5 hoặc 6, xuất hiện. Và chỉ khi nào một trong 3 kết quả 4, 5 hoặc 6 xuất hiện ta nói kết quả quan tâm đã xảy ra. Những kết quả mà nó xảy ra khi một số biến cố sơ cấp nào đó xảy ra được gọi là một biến cố.

Định nghĩa 1.2. Một biến cố là một kết quả nào đó có thể xảy ra hoặc không xảy ra trong một phép thử tùy theo một số biến cố sơ cấp nào đó có xảy ra hay không. Ta ký

hiệu biến cố bằng chữ cái in hoa như , , ,...A B C

Một biến cố là một tập con của không gian mẫu và do đó nó bao gồm một số

biến cố sơ cấp nào đó. Nếu một biến cố sơ cấp ω nằm trong biến cố A thì ta nói ω là biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A .

Biến cố không là biến cố không bao giờ xảy ra trong một phép thử, được ký

hiệu là ∅ . Nó chính là tập rỗng.

Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xảy ra trong một phép thử, được ký hiệu là Ω . Nó chính là không gian mẫu của phép thử.

Đối với một biến cố ta có thể mô tả bằng lời như một mệnh đề cũng có thể biểu diễn nó như một tập con của không gian mẫu.

Ví dụ 1.7. Xét lại Ví dụ 1.2, biến cố một trong các mặt 2, 4 hoặc 6 xuất hiện được

mô tả A: “Mặt chẵn xuất hiện” hoặc được biểu diễn 2,4,6A = .

Hình 1. 1

Hình 1. 2

Ví dụ 1.8. Một hộp có 12 quả cầu trong đó có 4 quả đỏ đánh số 1,2,3; 4 quả cầu xanh được đánh số 4, 5, 6, 7 và 5 quả cầu màu vàng được đánh số là 8, 9, 10, 11, 12.

Từ hộp đó lấy ngẫu nhiên ra 1 quả cầu. Khi đó không gian mẫu 1, 2,..., 12Ω = và

9

các biến cố A, B, C tương ứng là: lấy được quả cầu màu đỏ, xanh, vàng được biểu

diễn dạng tập hợp là 1,2,3 ; 4,5,6,7A B= = và 8,9,10,11,12 .C =

Ví dụ 1.9. Gieo con súc sắc hai lần. Hãy mô tả không gian mẫu và liệt kê các phần tử của các biến cố sau:

a) A : “Tổng số chấm trên hai lần gieo bằng 8”.

b) B : “Hai lần gieo có số chấm bằng nhau”.

Giải

Gọi i là kết quả lần gieo thứ nhất, j là kết quả lần gieo thứ hai. Khi đó

( ) , , , 1, 2,...,6i j i jΩ = = .

a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2,6 , 6,2 , 3,5 , 5,3 , 4, 4A =

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1,1 , 2, 2 , 3,3 , 4,4 , 5,5 , 6,6B = .

1.1.3. Mối quan hệ giữa các biến cố

- Quan hệ kéo theo (hay bao hàm): Một biến cố A được gọi là kéo theo biến

cố B nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra, khi đó ta viết A B⊂ (hayA B⇒ ).

Như vậy, nếu biến cố A kéo theo biến cố B thì mọi biến cố sơ cấp thuận lợi cho A cũng là biến cố sơ cấp thuận lợi cho B . Về mặt tập hợp A chính là tập con của tập B.

Ví dụ 1.10. Gieo một con súc sắc biến cố A : “xuất hiện mặt chẵn” biến cố B : “Xuất hiện mặt 2 hoặc 4”. Khi đó, nếu biến cố B xảy ra thì biến cố A cũng xảy ra tức là B A⊂ .

- Quan hệ tương đương (hay bằng nhau): Hai biến cố A và B được gọi là tương đương hay bằng nhau nếu A xảy ra khi và chỉ khi B xảy ra, ta viết A B=

(hayA B⇔ ).

Ví dụ 1.11. Khi gieo một con súc sắc, biến cố A: “ xuất hiện mặt chẵn lớn hơn 3” và biến cố B: “xuất hiện mặt 4 hoặc mặt 6” là hai biến cố tương đương.

1.1.4. Các phép toán giữa các biến cố

a)Biến cố đối lập:

Định nghĩa 1.3. Cho biến cố A , biến cố đối lập của A ký hiệu là A là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra.

Về mặt tập hợp A chính là phần bù của A trong không gian mẫu Ω , tức là

\A A= Ω .

10

Hình 1. 3

Ví dụ 1.12. Xét phép thử giao con súc sắc đặt :A “Con súc sắc xuất hiện số chẵn”,

:B “Con súc sắc xuất hiện mặt lớn hơn 3”. Khi đó biến cố đối của A là :A “Con

súc sắc xuất hiện mặt lẻ” và biến cố đối của B là :B “Con súc sắc xuất hiện mặt bé hơn hoặc bằng 3”.

b) Giao (tích) của các biến cố, biến cố xung khắc, hiệu hai biến cố

Định nghĩa 1.4. Giao (tích) của hai biến cố A và B là một biến cố ký hiệu là

A B∩ (hay AB ) là một biến cố xảy ra khi cả hai biến cố A và B cùng xảy ra.

Về mặt mô tả ta nói biến cố AB là biến cố “A và B cùng xảy ra”. Về mặt tập hợp AB chính là tập giao của A và B . Nó chính là tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp thuận lợi cho cả A và B .

Định nghĩa 1.5. Khi A và B không bao giờ cùng xảy ra tức là AB = ∅ ta nói A và B là hai biến cố xung khắc.

Phép giao biến cố có thể mở rộng cho nhiều hơn hai biến cố. Cụ thể, giao

(hay tích) của n biến cố 1 2, ,..., nA A A là một biến cố xảy ra khi cả n biến cố

1 2, ,..., nA A A cùng xảy ra. Ký hiệu là 1 2... nAA A .

Nếu trong hệ 1 2, ,..., nA A A có hai biến cố bất kỳ luôn xung khắc thì ta nói hệ

đó là từng đôi xung khắc. Hiển nhiên hệ 1 2, ,..., nA A A là từng đôi xung khắc thì

1 2... nAA A = ∅ nhưng nếu 1 2... nAA A = ∅ thì chưa chắc 1 2, ,..., nA A A là từng đôi xung

khắc.

Hình 1. 4

11

Ví dụ 1.13. Xét lại Ví dụ 1.11, với :A “Con súc sắc xuất hiện số chẵn”, :B “Con

súc sắc xuất hiện mặt lớn hơn 3”. Khi đó 4,6AB = và được mô tả là “Con súc sắc

xuất hiện mặt chẵn lớn hơn 3”.

c) Hiệu hai biến cố

Định nghĩa 1.6. Giao của biến cố A với biến cố đối của biến cố B được gọi là hiệu

của A và B , ký hiệu là \A B hay AB . Biến cố \A B có nghĩa là “A xảy ra nhưng

B không xảy ra” hay “A và B cùng xảy ra”.

BA\BAB

Hình 1. 5

d) Hợp (tổng) các biến cố, hệ đầy đủ các biến cố

Định nghĩa 1.7. Hợp (tổng) hai biến cố A và B là một biến cố ký hiệu là A B∪ (hay A B+ ) xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra.

Về mặt mô tả ta có thể nói A B∪ là biến cố “có từ một biến cố trong hai biến cố A và B xảy ra” hay “có ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra” hay “A hoặc B xảy ra”. Về mặt tập hợp, A B∪ là hợp của hai tập hợp A và B . Nó chứa các biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A hoặc B .

Hình 1. 6

Phép hợp biến cố cũng được mở rộng cho nhiều biến cố. Cụ thể, cho n biến

cố 1 2, ,..., nA A A , biến cố hợp của 1 2, ,..., nA A A là một biến cố, ký hiệu là 1

n

i

i

A=

∪ (hay

1

n

iiA

=∑ ), xảy ra khi có ít nhất một trong n biến cố 1 2, ,..., nA A A xảy ra.

12

Định nghĩa 1.8. Hệ 1 2, ,..., nA A A được gọi là hệ đầy đủ các biến cố nếu hệ đó là xung

khắc từng đôi và 1

n

i

i

A=

= Ω∪ .

Nói cách khác một hệ đầy đủ các biến cố là một hệ biến cố trong đó không có hai biến cố nào cùng xảy ra nhưng chắc chắn phải có một biến cố nào đó xảy ra. Một hệ đầy đủ các biến cố còn được gọi là một sự phân hoạch không gian mẫu.

Dễ thấy rằng với A là một biến cố bất kỳ thì hệ ,A A cũng là hệ đầy đủ các

biến cố. Nếu có hai biến cố A và B thì hệ , , ,AB AB AB AB là hệ đầy đủ các biến

cố.

Ví dụ 1.14. Trong một kho hàng có ba loại sản phẩm A, B, C để lẫn lộn. Từ kho

hàng lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm. Đặt , ,A B C tương ứng là biến cố “Sản phẩm

lấy ra là loại A, B, C”. Khi đó một trong các biến cố , ,A B C chắc chắn phải xảy ra.

Đồng thời, hai trong ba biến cố đó không bao giờ cùng xảy ra. Bởi vì, không thể có

một sản phẩm vừa là loại A vừa là loại B. Như vậy, , ,A B C là hệ đầy đủ các biến

cố.

1.2. XÁC SUẤT

Đối với một biến cố chúng ta không thể biết chắc là nó có xảy ra hay không như chúng ta có thể đánh giá khả năng xảy ra của nó bằng một số xác định được gọi là xác suất của nó. Như vậy, xác suất của một biến cố là số đo khả năng xuất hiện

của một biến cố. Xác suất của một biến cố A được ký hiệu là ( )P A . Người ta có

các cách định nghĩa xác suất của biến cố như sau:

1.2.1. Định nghĩa xác suất (cổ điển)

Định nghĩa 1.9. Giả sử không gian mẫu Ω của một phép thử là hữu hạn và mỗi biến cố sơ cấp có cùng khả năng xuất hiện. Khi đó xác suất của một biến cố A là tỉ số giữa số phần tử của A và số phần tử của không gian mẫu Ω .

Tức là:

( )( )

( )

n AP A

n=

Ω (1.1)

với ( )n A là số biến cố sơ cấp thuận lợi cho A và ( )n Ω là số phần tử của không

gian mẫu Ω .

Ví dụ 1.15. Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất, tính xác suất các biến cố sau:

A : “Con súc sắc xuất hiện mặt chẵn”.

B : “Con súc sắc xuất hiện mặt lớn hơn 3”.

Giải

13

Ta có không gian mẫu của phép thử là ( )1,2,3,4,5,6 , 6nΩ = Ω = . Vì con

súc sắc cân đối đồng chất nên mỗi kết quả xuất hiện là đồng khả năng. Ta có

2,3, 4 ,A = ( ) 3n A = và ( )4,5,6 , 3B n B= = . Do đó ( )3 1

6 2P A = = và

( )1

2P B = .

Ví dụ 1.16. Gieo con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Ký hiệu ( ),i j là: “Lần đầu

tiên xuất hiện mặt i chấm và lần sau xuất hiện mặt j chấm” với iA . Tính xác suất

các biến cố:

a) A : “Tổng hai lần gieo bằng 8”,

b) B : “Hai lần gieo có số chấm bằng nhau”,

c) C : “Tích hai lần gieo là số lẻ”.

Giải

Ta có không gian mẫu ( ) , , , 1,2,3,4,5,6i j i jΩ = = ( ) 36n Ω = kết quả đồng

khả năng.

a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2,6 , 6,2 , 3,5 , 5,3 , 4,4A = , ( ) 5n A = . Do đó ( )5

36P A = .

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1,1 , 2, 2 , 3,3 , 4,4 , 5,5 , 6,6B = , ( ) 6n B = . Do đó,

( )6 1

36 6P B = =

c) ( ) ( ), , , 1,3,5 , 9C i j i j n C= = = . Do đó ( )9 1

36 4P C = = .

Ví dụ 1.17. Một lớp học có 10 bạn nam và 20 bạn nữ. Chọn ngẫu nhiên 4 bạn làm Ban cán bộ lớp. Tính xác suất:

a) Ban cán bộ có 1 bạn nam 3 bạn nữ.

b) Ban cán bộ có 2 nam hai nữ.

c) Ban cán bộ có ít nhất một bạn nam.

Giải

Chọn ngẫu nhiên 4 bạn từ 30 bạn, không gian mẫu có ( ) 430n CΩ =

Gọi :kA “Ban cán bộ có k bạn nam”, 0,1,2,3,4k =

Ta có số biến cố sơ cấp thuận lợi cho kA là: ( ) 410 20.k k

kn A C C −= , 0,1,2,3,4k = .

14

a) Xác suất cần tính là ( )1 310 20

1 430

. 7600,4160

1827

C CP A

C= = =

b) ( )2 2

10 202 4

30

. 1900,3120

609

C CP A

C= = =

c) Gọi C: “Ban cán bộ có ít nhất một bạn nam”.

Ta có ( ) ( ) ( ) 4 40 30 10n C n n A C C= Ω − = −

Suy ra ( ) ( )4

1004

30

2591 1 0,9923

261

CP C P A

C= − = − = = .

1.2.2. Định nghĩa xác suất theo thống kê

Định nghĩa 1.10. Trong một phép thử T biến cố A xuất hiện với xác suất là ( )P A .

Tiến hành phép thử T lặp đi lặp lại n lần gọi An là số phép thử có biến cố A xuất

hiện. Đặt AA

nf

n= và gọi là tần suất xuất hiện biến cố A trong n lần thử. Khi đó:

( ) lim An

P A f→∞

= (1.2)

Nói cách khác, khi số phép thử càng tăng lên thì tần suất xuất hiện biến cố A

là Af có giá trị xấp xỉ xác suất biến cố đó. Trong thực tế khi n khá lớn ta dùng Af để

chỉ ( )P A .

Ví dụ 1.18. Để kết luận xác suất bắn trúng bia của một xạ thủ là 80% người ta ghi nhận rất nhiều lần bắn của xạ thủ đó và tính tần suất bắn trúng bia của xạ thủ. Tần suất này có giá trị xấp xỉ 0,8.

Các nhà toán học Buffon và K. Pearson đã tiến hành các thí nghiệm gieo đồng tiền và thấy kết quả sự hội tụ của tần suất về xác suất của biến cố “mặt sấp xuất hiện”. Về mặt lý thuyết (giống như định nghĩa cổ điển về xác suất) xác suất xuất hiện mặt sấp khi gieo một đồng tiền là 0,5. Thí nghiệm cho ta thấy rõ khi số lần gieo tăng lên thì tần suất xuất hiện mặt sấp càng xấp xỉ tốt hơn cho xác suất của biến cố.

Người thí nghiệm Số lần gieo Số lần sấp Tần suất

Buffon

Pearson

Pearson

4040

12000

24000

2048

6019

12012

0,5080

0,5016

0,5005

Trong thực tế, người ta dùng tần suất xuất hiện của biến cố A khi số phép thử khá lớn để chỉ xác suất của biến cố đó.

15

1.2.3 Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học

Có những phép thử không gian mẫu là một miền hình học có vô hạn không đếm được các biến cố sơ cấp. Chẳng hạn, quan sát tuổi thọ của một bóng đèn, đo khoảng cách từ điểm chạm của viên đạn đến tâm bia, vị trí rơi của viên đạn trên một một khu vực, vị trí của một phân tử trong chất lỏng;… Những trường hợp như thế không thể dùng định cổ điển để tính xác suất được mà dựa vào định nghĩa hình học về xác suất.

Định nghĩa 1.11. Giả sử không gian mẫu của phép thử là một miền hình học Ω đo được, một biến cố A bất kỳ là một miền con của Ω . Khi đó xác suất của biến cố A sẽ là:

( )( )

( )

S AP A

S=

Ω, trong đó ( )S A là số đo miền A và ( )S Ω là số đo của Ω với cùng

một đơn vị đo. Số đo miền A có thể là độ dài, diện tích, hay thể tích tùy theo miền hình học Ω là đoạn thẳng, hình phẳng hay khối không gian.

Ví dụ 1.19. Hai người hẹn gặp nhau vào khoảng từ 11 giờ đến 12 giờ. Họ quy ước rằng người đến trước sẽ chỉ phải chờ 20 phút, nếu không gặp sẽ đi. Giả sử việc đến điểm hẹn của mỗi người là ngẫu nhiên. Tìm xác suất để hai người gặp nhau.

Giải

Gọi ,x y là thời điểm đến điểm hẹn của mỗi người. Ta biểu ,x y lên mặt

phẳng tọa độ Oxy . Tập các kết cục có thể xảy ra nằm trong hình vuông cạnh 60 (ta

lấy phúc là đơn vị)

0 60

0 60

x

y

≤ ≤

≤ ≤

Tập các điểm thuận lợi để hai người gặp nhau là ( ) , : 20x y x y− ≤ . Gọi A

là sự kiện “Hai người gặp nhau”

Theo công thức xác suất theo hình học ta có

( )2 2

2

60 40 5

60 9A

B

SP A

S

−= = =

16

Hình 1. 7

1.2.4. Định nghĩa xác suất theo tiên đề

Năm 1929, nhà toán học người Nga, A. N. Kolmogorov đã xây dựng một lý thuyết chắc chắn cho lý thuyết xác suất hiện đại bằng cách đề xuất ra hệ tiên đề cho lý thuyết xác suất dựa trên cơ sở lý thuyết tập hợp và độ đo.

Định nghĩa 1.12. Cho Ω là không gian các biến cố sơ cấp, TTTT là một hệ các tập con của Ω thỏa các tính chất:

(i) Ω ∈TTTT

(ii) Nếu A∈TTTT thì A∈TTTT

(iii) Nếu , 1, 2,...iA i∈ =TTTT thì i

i

A ∈∩ TTTT

Họ TTTT như vậy gọi là một σ − đại số hay (σ − trường). Mỗi tập con

A∈TTTT được gọi là một biến cố và A là biến cố đối lập của A . Rõ ràng hệ thống

TTTT luôn khác rỗng vì luôn có Ω ∈TTTT . Ngoài ra, từ (ii) ta có ∅ ∈TTTT . Ω được gọi

là biến cố chắc chắn và ∅ là biến cố không.

Định nghĩa 1.13. Cho Ω và một σ − đại số TTTT trên Ω . Xác suất P là một hàm

xác định trên TTTT sao cho:

(i) ( ) 0P A ≥ với A∈TTTT

(ii) ( ) 1P Ω =

(iii) Nếu 1 2, ,..., nA A A xung khắc nhau từng đôi , 1, 2,...iA i∈ =TTTT thì:

( ) ( )1

1i ii

i

P A P A∞

∞

==

=∑∪ .

Bộ ba ( ), ,PΩ TTTT được gọi là không gian xác suất.

Định nghĩa xác suất theo tiên đề bao hàm các định nghĩa khác về xác suất. Nó là một sự hoàn thiện của định nghĩa về xác suất làm cho lý thuyết xác suất có tính chặt chẽ hơn. Do vậy, mặc dầu có nhiều cách định nghĩa khác nhau về xác suất nhưng bản chất của nó là một và có các tính chất sau đây.

17

1.2.5. Các tính chất của xác suất

Tính chất 1.1. Xác suất của một biến cố là số không âm và không quá 1:

( )0 1P A≤ ≤ (1.3)

Tính chất 1.2. Đối với hai biến cố xung khắc, xác suất biến cố tổng bằng tổng các xác suất. Tức là:

( ) ( ) ( )AB P A B P A P B= ∅⇒ + = + (1.4)

Tính chất 1.3. Xác suất của biến cố đối:

( ) ( )1P A P A= − (1.5)

Tính chất 1.4. Xác suất biến cố không bằng 0 và xác suất biến cố chắc chắn bằng 1:

( ) 0P ∅ = và ( ) 1P Ω = (1.6)

Tính chất 1.5. Đối với hai biến cố bất kỳ ta có:

( ) ( ) ( )P B P AB P AB= + (1.7)

Thật vậy, vì B AB AB= + mà AB và AB xung khắc nên:

( ) ( ) ( )P B P AB P AB= + .

Tính chất 1.6. Đối với hai biến cố A và B bất kỳ, từ công thức (1.5) ta có:

( ) ( ) ( ) ( )\P B A P BA P B P AB= = − (1.8)

Tính chất 1.7. Nếu A B⊂ thì ( ) ( )P A P B≤ (1.9)

1.3. CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT

1.3.1. Công thức cộng xác suất

Đối với hai biến cố A và B bất kỳ ta có:

( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ (1.10)

Thật vậy, ta có ( )A B A AB∪ = ∪ mà A với AB là xung khắc. Nên:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P AB P A P B P AB∪ = + = + −

18

A

BAB

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB) Hình 1. 8

Ví dụ 1.20. Trong một đội tuyển có hai vận động viên A và B thi đấu. Biết xác suất

để A thắng trận là 0,8; xác suất cả hai người cùng thắng trận là 0, 48 ; còn xác suất để

A thua và B thắng là 0,06. Tính xác suất của các biến cố sau:

a) B thắng trận.

b) Đội tuyển thắng ít nhất một trận.

Giải

Đặt :A “Vận động viên A thắng trận” và :B “Vận động viên B thắng trận”.

Theo đề bài ta có ( ) 0,8P A = ( ) 0,48P AB = và ( ) 0,06P AB =

a) Xác suất B thắng trận là:

( ) ( ) ( ) 0, 48 0,06 0,54P B P AB P AB= + = + = (áp dụng công thức (1.5))

b) Xác suất đội thắng ít nhất một trận:

( ) ( ) ( ) ( ) 0,8 0,54 0,48 0,86P A B P A P B P AB∪ = + − = + − = .

1.3.2. Xác suất điều kiện

Định nghĩa 1.14. Trong không gian mẫu Ω , cho biến cố B có ( ) 0P B > và biến cố

A bất kỳ. Xác suất của A với điều kiện B , ký hiệu là ( )/P A B , là khả năng xảy ra

của biến cố A khi biến cố B đã xảy ra. Xác suất được tính bằng tỉ số:

( )( )

( )/

P ABP A B

P B= (1.11)

Tính chất:

i. ( )/ 1P B B =

ii. ( )/ 1P BΩ =

iii. ( ) ( )/ 1 /P A B P A B= −

19

iv. ( ) ( ) ( ) ( )/ / / /P A B C P A C P B C P AB C∪ = + −

Chú ý 1.1: Thường thì ( )/P A B có thể suy ra trực tiếp từ yêu cầu của bài toán chứ

không cần phải tính qua công thức trên.

Ví dụ 1.21. Gieo hai con súc sắc cân đối đồng chất giống nhau. Tính xác suất để tổng số chấm thu được bằng 6, biết rằng tổng số đó là số chẵn.

Giải

Thí nghiệm có 36 kết cục đồng khả năng. Gọi A là biến cố “Tổng số chấm thu được bằng 6”. B là biến cố “Tổng số chấm thu được là số chẵn”.

Các kết quả thuận lợi cho A là ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,5 , 2, 4 , 3,3 , 4,2 , 5,1 và dễ thấy

A B⊂ do đó ( )( )

( )

( )

( )

5 / 36 5/

18 / 36 18

P AB P AP A B

P B P B= = = = .

Ví dụ 1.22. Một lớp chia làm 3 nhóm thực tập. Nhóm 1 có 7 nam và 5 nữ. Nhóm 2 có 6 nam và 6 nữ. Nhóm 3 có 5 nam và 6 nữ. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên trong lớp. Tính xác suất sinh viên được chọn là nữ và thuộc nhóm 3.

Giải

Đặt A : “Sinh viên được chọn là nữ”. B : “Sinh viên được chọn thuộc nhóm 3”.

Xác suất sinh viên được chọn là nữ và thuộc nhóm 3 là: ( )P AB

Ta có ( )6

/11

P A B = ; ( )11

35P B = . Theo công thức xác suất điều kiện ta

có:

( )( )

( )( ) ( ) ( )

11 6 6/ . / . .

35 11 35

P ABP A B P AB P B P A B

P B= ⇒ = = =

Ví dụ 1.23. Một hộp có 3 quả cầu trắng và 4 quả cầu đỏ. Lấy ngẫu nhiên liên tiếp không hoàn lại 2 quả cầu. Tính xác suất quả cầu lấy ra lần thứ hai màu trắng biết quả cầu lấy ra lần đầu màu đỏ.

Giải

Đặt A : “Quả cầu lấy ra lần đầu màu đỏ”; B : “Quả cầu lấy ra lần thứ hai màu

trắng”. Ta cần tính xác suất ( )/P B A , biến cố /B A nghĩa là lần thứ hai lấy được

quả cầu màu trắng với điều kiện lần thứ nhất đã lấy được quả cầu màu đỏ. Nếu A xảy ra nghĩa là lần thứ nhất lấy được quả cầu màu đỏ khi đó trong hộp còn có 6 quả cầu trong đó có 3 quả cầu màu trắng. Như vậy

( )3 1

/6 2

P B A = =

20

Hộp sau khi A xảy raHộp ban đầu

3 trắng 3 đỏLấy ra 1 đỏ

A xảy ra4 đỏ3 trắng

Hình 1. 9

1.3.3. Công thức nhân xác suất

a) Công thức nhân xác suất hai biến cố

Cho hai biến cố A và B . Khi đó

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

/

/

P AB P B P A B

P AB P A P B A

=

= (1.12)

Các công thức trên được gọi là công thức nhân xác suất.

Chú ý 1.2: Trong hai công thức nhân xác suất, ta có thể tính ( )P AB dựa vào

( )/P A B hoặc ( )/P B A . Tuy nhiên ta cần xem các biến cố A và B biến cố nào

xảy ra trước. Nếu A xảy ra trước thì ta tính theo công thức trên. Còn nếu B xảy ra trước thì ta tính theo công thức dưới.

Ví dụ 1.24. Một hộp có 3 quả cầu trắng và 4 quả cầu đỏ. Lấy ngẫu nhiên liên tiếp không hoàn lại 2 quả cầu. Để hai quả cầu lấy ra đều màu đỏ.

Giải

Gọi ,A B lần lượt là các biến cố “quả cầu lấy ra lần thứ nhất, lần thứ hai màu

đỏ”. Ta cần tính ( )P AB . Ta có ( )4

7P A = . Nếu A xảy ra, tức là lấy ra một quả màu

đỏ thì trong hộp còn 6 quả cầu trong đó có 3 trắng 3 đỏ (Xem Ví dụ 1.23). Do đó,

( )3 1

/6 2

P B A = = .

Theo công thức nhân xác suất ta có:

( ) ( ) ( )4 3 2

. / .7 6 7

P AB P A P B A= = = .

Ví dụ 1.25. Một chuồng có 5 con gà trống và 7 con gà mái. Người ta bắt ngẫu nhiên lần lượt hai lần, mỗi lần một con để bán. Tính xác suất:

a) Cả hai con đều là gà mái.

b) Con bắt lần thứ hai là gà mái.

Giải

21

Đặt A : “Con gà bắt lần đầu là gà mái”. Ta có ( )7

12P A = và

B : “Con gà bắt lần thứ hai là gà mái” và ( )6

/11

P B A = .

a) Theo công thức nhân xác suất ta có:

( ) ( ) ( )7 6 7

. / .12 11 22

P AB P A P B A= = = .

b) Xác suất cả hai con đều là gà mái.

Ta có ( )B B A A AB AB= + = +

Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( )7 6 5 7 7

/ / . .12 11 12 11 12

P B P A P B A P A P B A= + = + = .

b) Công thức nhân xác suất tổng quát

Cho n biến cố 1 2, ,..., nA A A , khi đó

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1... / / ... / ...n n nP AA A P A P A A P A AA P A AA A −= (1.13)

Ví dụ 1.26. (Sơ đồ hộp Polya) Một hộp lúc đầu có chứa a quả cầu trắng, b cầu đỏ. Sau mỗi lần chọn ngẫu nhiên một cầu ta trả quả cầu đó cùng c quả cầu cùng màu với nó vào hộp. Tìm xác suất để các quả cầu được chọn ở ba lần đầu màu trắng.

Giải

Đặt iA : “quả cầu được chọn ở lần thứ i màu trắng”, ( 1,2,3i = ).

Vậy ta cần tính ( )1 2 3P AAA . Ta có ( )1

aP A

a b=

+. Nếu 1A xảy ra thì ta trả vào

hộp quả cầu trắng vừa lấy ra và c quả cầu trắng nữa, tức là trong hộp sẽ có a c+ quả

cầu trắng trong tổng số a b c+ + quả cầu. Do đó, ( )2 1/a c

P A Aa b c

+=

+ +. Tương tự

nếu 1 2,A A xảy ra, tức là ta đã lấy ra lần lượt hai quả cầu màu trắng xong hoàn lại

chúng và 2c quả màu trắng nữa. Như vậy, trong hộp sẽ có 2a c+ quả cầu trắng

trong tổng số 2a b c+ + quả cầu. Do đó, ( )3 1 2

2/

2

a cP A AA

a b c

+=

+ +.

Theo công thức nhân xác suất:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1 2 1 3 1 2

2/ / . .

2

a a c a cP AAA P A P A A P A AA

a b a b c a b c

+ += =

+ + + + +.

Ví dụ 1.27. Một lô hàng có 9 sản phẩm giống nhau. Mỗi lần kiểm tra, người ta chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm; kiểm tra xong trả sản phẩm lại lô hàng. Tính xác suất để sau 3 lần kiểm tra, 9 sản phẩm đều được kiểm tra.

22

Giải

Đặt iA : “Lần kiểm tra thứ i gặp toàn sản phẩm chưa được kiểm tra”,

1,2,3i = .

Xác suất cần tính là ( )1 2 3P AAA ?

Ta có ( )1 1P A = vì trong lô hàng toàn sản phẩm chưa được kiểm tra.

Sau khi 1A đã xảy ra, tức là lô hàng có 6 sản phẩm chưa được kiểm tra và 3

sản phẩm đã được kiểm tra, nên xác suất để lần thứ hai kiểm được 3 sản phẩm chưa

được kiểm tra là: ( )36

2 1 39

5/

21

CP A A

C= = .

Nếu 1 2,A A xảy ra, tức là ta đã kiểm tra được 6 sản phẩm và còn lại 3 sản

phẩm chưa được kiểm tra. Do đó, xác suất để lần thứ 3 chọn đúng 3 sản phẩm chưa

được kiểm tra là ( )33

3 1 2 39

1/

84

CP A AA

C= = .

Theo công thức nhân xác suất ta có:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 1 3 1 2

5 1 5/ / 1. .

21 84 1764P AAA P A P A A P A AA= = =

Ví dụ 1.28. Để chọn ứng cử viên cho chức tổng giám đốc điều hành công ty tuyển chọn thí sinh qua ba vòng. Vòng thứ nhất lấy 70% thí sinh; vòng thứ hai lấy 50% thí sinh đã qua vòng thứ nhất và vòng thứ ba lấy 20% thí sinh đã qua vòng thứ hai. Để trở thành ứng cử viên, thí sinh phải vượt qua được cả 3 vòng thi. Tính xác suất để một thí sinh bất kỳ

a) Được trở thành ứng cử viên chức tổng giám đốc.

b) Bị loại ở vòng thứ hai, biết rằng thí sinh này bị loại.

Giải

a) Gọi iA là biến cố “Thí sinh qua vòng thứ i ”, 1,2,3i = , A là biến cố “Thí

sinh được trở thành ứng cử viên chức tổng giám đốc”. Ta có: ( )1 0,7P A = ,

( )2 1/ 0,5P A A = và ( )3 1 2/ 0,2P A AA = . Theo công thức nhân xác suất ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 1 3 1 2/ . /

0,7.0,5.0, 2 0,07

P A P AAA P A P A A P A AA= =

= =.

b) Xác suất thí sinh bị loại ở vòng thứ hai, biết rằng thí sinh này bị loại là

( )2 /P A A . Trong đó A là biến cố thí sinh bị loại. Xác suất thí sinh bị loại là:

( ) ( )1 0,93P A P A= − =

23

Theo công thức xác suất điều kiện ta có:

( )( )( )

( ) ( ) ( )2 2 1 1 2 1

2

/ 0,7.0,5/ 0,3763

0,93 0,93 0,93

P AA P AA P A P A AP A A

P A= = = = =

Ví dụ 1.29. Để dập tắt nạn dịch sâu hại lúa người ta tiến hành phun thuốc 3 lần liên tiếp trong 1 tuần. Xác suất sâu bị chết ở lần đầu là 0,5. Nếu sâu sống sót thì khả năng chết của sâu ở lần thứ hai là 0,7. Còn nếu sâu chưa chết ở lần thứ hai thì sâu sẽ chết ở lần thứ ba với xác suất là 0,9. Tính xác suất sâu chết sau đợt phun thuốc.

Giải

Gọi iA : “Sâu chết ở lần phun thuốc thứ i ”, 1,2,3i = . A : “Sâu chết trong đợt

phun thuốc”. Ta có:

( )1 0,5P A = , ( )2 1/ 0,8P A A = ; ( )3 1 2/ 0,9P A AA = và 1 1 2 1 2 3A A AA AAA= + + .

Suy ra:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

1 1 2 1 1 2 1 3 1 2/ / /

0,5 0,5.0,7 0,5. 1 0,7 .0,9 0,5 0,35 0,135 0,985

P A P A P A P A A P A P A A P A AA= + +

= + + − = + + =

Cách 2: Ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 1 3 1 2/ / 0,5.0,3.0,1 0,015P A P AAA P A P A A P A AA= = = =

Suy ra: ( ) ( )1 0,985P A P A= − = .

c) Hai biến cố độc lập

Định nghĩa 1.15. Hai biến cố A và B trong một không gian xác suất được gọi là độc lập nếu

( ) ( ) ( )P AB P A P B= (1.14)

Ta hiểu hai biến cố A và B độc lập nếu như việc xảy ra của biến cố này

không ảnh hưởng đến biến cố kia và ngược lại. Như vậy, ,A B độc lập nếu

( ) ( )/P A B P A= hoặc ( ) ( )/P B A P B= .

Ví dụ 1.30. Có hai hộp đựng các quả cầu. Hộp 1 đựng 5 quả cầu xanh và 3 quả đỏ. Hộp 2 đựng 2 quả cầu xanh và 6 quả cầu màu đỏ. Từ mỗi hộp lấy ra một quả cầu. Tính xác suất để:

a) Hai quả cầu lấy ra cùng màu xanh.

b) Hai quả cầu lấy ra cùng màu.

Giải

Đặt iA : “Quả cầu lấy từ hộp thứ i màu xanh”, 1, 2i =

24

Ta có ( )1

3

8P A = ; ( )2

2

8P A = và 1 2,A A độc lập nhau.

a) Xác suất hai quả cầu lấy ra cùng màu xanh là:

( ) ( ) ( )1 2 1 2

3 2 3.

8 8 32P AA P A P A= = =

b) Xác suất hai quả cầu lấy ra cùng màu:

( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2P AA AA P AA P AA+ = +

( ) ( )1 2

3 3 5 6 18 9.

32 32 8 8 32 16P A P A= + = + = =

Khái niệm độc lập cũng được mở rộng cho n (n > 2) biến cố.

d) Định nghĩa n biến cố độc lập

Định nghĩa 1.16. Các biến cố 1 2, ,..., nA A A được gọi là độc lập nếu với mọi số

nguyên m từ 2 đến n và với mọi nhóm biến cố 1 2, ,...,

mk k kA A A

( 1 21 ... mk k k n≤ < < < ≤ ), chúng ta có:

1 2 1 2( . ... ) ( ). ( )... ( )

m mk k k k k kP A A A P A P A P A= .

Từ đó suy ra công thức nhân xác suất cho n biến cố độc lập là:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2... ....n nP AA A P A P A P A= (1.15)

Ta hiểu các biến cố được gọi là độc lập nếu việc xảy ra của một hay một số biến cố trong đó không ảnh hưởng đến các biến cố còn lại. Thông thường, dựa vào bản chất của phép thử, chúng ta mặc nhiên công nhận rằng các biến cố độc lập mà không phải chứng minh. Chẳng hạn, xét việc lấy 2 sản phẩm xem gặp phế phẩm hay chính phẩm. Nếu lấy lần lượt hai sản phẩm của một kiện hàng thì các biến cố “sản phẩm thứ nhất là phế phẩm” và “sản phẩm thứ hai là phế phẩm” là không độc lập. Còn nếu lấy hai sản phẩm từ hai kiện khác nhau thì hai biến cố đó là độc lập nhau.

Bắn n viên đạn độc lập vào bia thì các biến cố iA : “Viên thứ i trúng bia”,

1, 2,...,i n= là độc lập nhau; lấy lần lượt có hoàn lại từng sản phẩm ở cùng một hộp

thì các biến cố “Sản phẩm lấy ra lần thứ i là phế phẩm”, 1,2,3,...i = là các biến cố

độc lập nhau…

Định lí 1. 2. Trong một không gian xác suất, xét ba biến cố A, B và C.

(i) Nếu A và B độc lập thì mỗi nhóm 2 biến cố sau đây đều độc lập

(A và B), (A và B ) và (A và B ) cũng độc lập.

(ii) Nếu A, B và C độc lập thì mỗi nhóm 3 biến cố sau đây đều độc lập:

25

(A , B và C); (A, B và C); (A, B và C ); (A ,B và C); (A ,B và C ); (A , B

và C ) và (A ,B và C ).

Ví dụ 1.31. Trong một đội tuyển có 3 vận động viên A, B và C thi đấu với xác suất thắng trận lần lượt là 0,6; 0,7 và 0,8. Giả sử mỗi người thi đấu một trận độc lập nhau. Tính xác suất để:

a) Đội tuyển thắng ít nhất một trận.

b) A thua trong trường hợp đội tuyển thắng 2 trận.

Giải

Đặt :

A : “vận động viên A thắng trận”,

B : “vận động viên B thắng trận”,

C : “vận động viên C thắng trận”

Ta có ( ) 0,6P A = ; ( ) 0,7P B = ; ( ) 0,8P C = và , ,A B C độc lập nhau.

a) Gọi D : “Đội tuyển thắng ít nhất 1 trận”. Khi đó D : “Đội tuyển không

thắng trận nào”, D xảy ra khi cả ,A B và C đều không xảy ra. Tức là D ABC= .

Áp dụng công thức biến cố đối và công thức nhân độc lập ta có:

( )( ) 1 . . 1 ( ) ( ) ( ) 1 0, 4.0,3.0, 2 0,976P D P ABC P A P B P C= − = − = − =

b) Gọi E : “ đội tuyển thắng 2 trận”

( ) ( ) ( )( )P E P ABC P ABC P ABC= + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P B P C P A P B P C P A P B P C= + +

0,6.0,7.0, 2 0,6.0,3.0,8 0, 4.0,7.0,8 0, 452= + + =

Xác suất A thua trong trường hợp đội tuyển thắng 2 trận:

( )( . ) ( ) 56

/ 0,4956( ) ( ) 113

P AE P ABCP A E

P E P E= = = = (Công thức xác suất điều

kiện)

Ví dụ 1.32. Hai vận động viên cùng bắn vào mục tiêu một cách độc lập nhau. Xác suất trúng đích của vận động viên A là 0,8 còn của vận động viên B là 0,7. Tính xác suất:

a) Vận động viên A bắn trúng đích trong 3 phát đầu.

b) Vận động viên B bắn trúng ngay từ phát thứ ba.

c) Hai người bắn trúng đích khi mỗi người đều bắn 1 phát.

26

d) Ít nhất một người bắn trúng đích khi mỗi người chỉ bắn 1 phát.

Giải

Đặt :iA “Vận động viên A bắn trúng đích ở phát bắn thứ i ”, 1, 2,3i =

jB : “Vận động viên B bắn trúng đích ở phát thứ j ”, 1, 2,3j = . Theo đề bài ta

có ,i jA B là độc lập nhau, 1 2 3, ,A A A độc lập nhau, 1 2 3, ,B B B cũng độc lập nhau.

a) Đặt A : “Vận động viên A bắn trúng đích trong 3 phát đầu”. Ta có A : “vận động viên A không bắn trúng đích trong ba phát đầu”. Ta có

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 31 2 3 1 2 3 0, 2P A P AAA P A P A P A= = =

Theo công thức xác suất biến cố đối ta có:

( ) ( ) 31 1 0,2 0,992P A P A= − = − =

b) Xác suất vận động viên B bắn trúng đích ngay phát thứ 3:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 0,3.0,3.0,7 0,063P BB B P B P B P B= = =

c) Xác suất “Hai người bắn trúng đích khi mỗi người đều bắn 1 phát”:

( ) ( ) ( )1 1 1 1 0,8.0,7 0,56P AB P A P B= = =

d) Đặt D : “Ít nhất một người bắn trúng đích khi mỗi người chỉ bắn 1 phát”.

Ta có D : “không có người nào bắn trúng đích khi mỗi người chỉ bắn 1 phát”.

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 0, 2.0,3 0,06P D P AB P A P B= = = =

Suy ra: ( ) ( )1 1 0,06 0,94P D P D= − = − = .

Ví dụ 1.33. Bắn liên tiếp vào một mục tiêu cho đến khi có viên đạn trúng mục tiêu thì dừng. Tính xác suất việc bắn dừng ở lần thứ tư, biết xác suất trúng của mỗi lần bắn là như nhau và bằng 0,3.

Giải

Đặt iA : “Viên thứ i trúng mục tiêu”, 1, 2,...i = Vì xác suất mỗi lần bắn như

nhau và bằng 0,3 nên có thể xem các iA là độc lập nhau.

Xác suất việc bắn dừng ở lần thứ tư là:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3

1 2 3 4 1 2 3 4 1 0,3 .0,3 0,1029P AAAA P A P A P A P A= = − =

Ví dụ 1.34. Tại một trại chăn nuôi lợn, lợn có thể mắc bệnh A với xác suất 0,7 và mắc bệnh B với xác suất 0,5. Biết rằng việc mắc bệnh A hay B là độc lập nhau. Người ta dùng hai loại thuốc đặc hiệu có thể chữa khỏi hai loại bệnh nói trên.

27

Với thuốc 1T , khả năng chữa khỏi bệnh A, bệnh B và cả hai bệnh A, B lần lượt là

0,8; 0,6 và 0,3. Còn đối với thuốc 2T các khả năng đó lần lượt là 0,6; 0,7 và 0,4.

a) Tính xác suất lợn bị mắc bệnh.

b) Tính xác suất lợn khỏi bệnh bằng thuốc 1T , 2T . Nên dùng loại thuốc nào

để hiệu quả chữa bệnh cao nhất?

Giải

Đặt :A “Lợn bị mắc bệnh A”; B “Lợn bị mắc bệnh B”. Ta có

( ) ( )0,7; 0,5P A P B= = ; A và B là hai biến cố độc lập.

a) Xác suất lợn bị mắc cả hai loại bệnh A và B là

( ) ( ) ( ). 0,7.0,5 0,35P AB P A P B= = = .

Xác suất lợn bị mắc bệnh là:

( ) ( ) ( ) ( ) 0,7 0,5 0,35 0,85P A B P A P B P AB∪ = + − = + − =

b) Đặt iK : “Lợn mắc bệnh được chữa khỏi bằng thuốc iT ”, 1, 2i = .

Xác suất lợn bệnh được chữa khỏi bằng thuốc 1T là:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1 1 1

1 1 1/ / /

0,7.0,8 0,5.0,6 0,35.0,3 0,755

P A B K P AK BK P AK P AK P ABK

P A P K A P B P K B P AB P K AB

∪ = ∪ = + −

= + −

= + − =

Xác suất lợn bệnh được chữa khỏi bằng thuốc 2T là:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2

2 2 2/ / /

0,7.0,6 0,5.0,7 0,35.0,4 0,63

P A B K P AK BK P AK P AK P ABK

P A P K A P B P K B P AB P K AB

∪ = ∪ = + −

= + −

= + − =

Vậy, khả năng lợn bệnh được chữa khỏi bằng thuốc 1T cao hơn thuốc 2T .

1.3.4. Hệ đầy đủ các biến cố – công thức xác suất đầy đủ - công thức Bayes

Định nghĩa 1.17. Các biến cố 1 2, ,..., nB B B trong một không gian mẫu Ω được gọi

là hệ đầy đủ các biến cố nếu: Hệ 1 2, ,..., nB B B là hệ từng đôi xung khắc và 1

n

i

i

B=

= Ω∪ .

Chú ý 1.3:

- Cần phân biệt giữa hệ đầy đủ các biến cố với hệ từng đôi xung khắc.

- Đối với một biến cố A bất kỳ thì hệ ,A A cũng là hệ đầy đủ các biến cố.

28

- Đối với hệ đầy đủ các biến cố thì tổng xác suất các biến cố đó bằng 1 nhưng nếu tổng xác suất các biến cố bằng 1 thì các biến cố đó chưa chắc là hệ đầy đủ các biến cố.

Ví dụ 1.35. Giả sử một tỉnh A có 11 huyện là 1,2,….,11, chọn ngẫu nhiên một

người có quê trong tỉnh A đó. Đặt iB : “Người được chọn quê ở huyện i ”,

1,2,...,11i = . Khi đó hệ 1 2 11, ,...,B B B là hệ đầy đủ các biến cố. Giả sử ở tỉnh A đó

có các cộng đồng Kinh, Khơ-me, Chăm, Hoa và các dân tộc khác. Với chú ý rằng,

mỗi người dân trong tỉnh A phải thuộc một và chỉ một trong 5 cộng đồng đó. Đặt 1D :

“người được chọn thuộc cộng đồng kinh”, 2 :D “người được chọn thuộc cộng đồng

Khơ-me”; 3 :D “người được chọn thuộc cộng đồng Chăm”; 4 :D “người được chọn

thuộc cộng đồng Hoa” và 5 :D “người được chọn thuộc cộng đồng các dân tộc khác”.

Khi đó ta cũng có 1 2 3 4 5, , , ,D D D D D là hệ đầy đủ các biến cố.

Ví dụ 1.36. Một kho hàng có các ba loại sản phẩm A, B, C để lẫn lộn. Từ kho hàng

lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm. Đặt :A “Sản phẩm lấy ra thuộc loại A”; :B “Sản

phẩm lấy ra thuộc loại B” và :C “Sản phẩm lấy ra thuộc loại C”. Khi đó , ,A B C

là hệ đầy đủ các biến cố. Nếu lấy hai sản phẩm thì ta có hệ

, , , , ,AA BB CC AB AC BC là hệ đầy đủ các biến cố.

Ví dụ 1.37. Gieo một đồng xu cân đối đồng chất hai lần. Hệ , , ,SS SN NS NN là

hệ đầy đủ các biến cố. Còn nếu gieo đồng xu đó ba lần thì hệ đầy đủ các biến cố là:

, , , , , , ,SSS SSN SNS NSS SNN NSN NNS NNN

b) Công thức xác suất đầy đủ:

Cho A biến cố bất kỳ và 1 2, ,..., nB B B là hệ đầy đủ các biến cố. Khi đó:

1

( ) ( ). ( / )n

i i

i

P A P B P A B=

= ∑ (1.16)

được gọi là công thức xác suất đầy đủ.

Bn

B3

B2

B1 Α

Ω

Hình 1. 10

Chứng minh

29

Ta có 1 1

n n

i i

i i

A A A B AB= =

= Ω = =

∑ ∑ , do 1 2, ,..., nB B B là hệ đầy đủ các biến

cố nên 1 2, ,..., nAB AB AB là hệ từng đôi xung khắc.

Do đó:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1

/n n n

i i i i

i i i

P A P AB P AB P B P A B= = =

= = =

∑ ∑ ∑

Chú ý 1.4: Công thức xác suất đầy đủ còn được gọi là công thức xác suất toàn phần hay công thức xác suất theo giả thiết.

Các xác suất ( )iP B và ( )/ iP A B thường được biết trước khi thực hiện phép

thử và được gọi là các xác suất tiền nghiệm, còn các xác suất ( / )iP B A , cho biết

khả năng tham gia của iB vào việc xảy ra biến cố A, được gọi là xác suất hậu

nghiệm. Chúng ta có thể tính xác suất hậu nghiệm từ các xác suất tiền nghiệm.

c) Công thức Bayes

Định lí 1. 2. (Định lý Bayes) Cho A là một biến cố bất kỳ có xác suất dương,

1 2, ,..., nB B B là hệ đầy đủ các biến cố. Khi đó với mỗi 1,2,...,j n∈ ta có:

( )( ) ( )

( ) ( )1

//

/

j j

j n

i i

i

P B P A BP B A

P B P A B=

=

∑ (1.1)

Chứng minh:

Theo công thức xác suất điều kiện ta có:

( )( )

( )( )/ 1j

j

P ABP B A

P A= .

Mà ( ) ( ) ( ) ( )/ 2j j jP AB P B P A B= và 1

( ) ( ). ( / ) (3)n

i i

i

P A P B P A B=

= ∑

Thay (2) và (3) vào (1) ta được công thức cần chứng minh.

Ví dụ 1.38. Ba người cùng vào một cửa hàng. Mỗi người muốn mua một cái Tivi, nhưng cửa hàng chỉ còn hai cái Tivi. Người bán hàng làm 3 lá thăm, trong đó có hai lá được đánh dấu. Mỗi người lần lượt rút một lá thăm. Nếu ai rút được lá có đánh dấu thì được mua Tivi. Chứng minh rằng cách làm trên là công bằng cho cả 3 người mua hàng.

Giải

Đặt iA : “Người thứ i rút được thăm có đánh dấu”.

30

Ta có ( )1

2

3P A = .

Vì 1 1,A A là hệ đầy đủ các biến cố nên

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 1 2 1

2 1 1 2/ / . .1

3 2 3 3P A P A P A A P A P A A= + = + = .

Khi người thứ nhất và thứ hai đã rút thăm thì hệ 1 2 1 2 1 2, ,AA AA AA là hệ đầy

đủ các biến cố,

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 3 1 2

2 1 1/ . ; / 0

3 2 3P AA P A P A A P A AA= = = =

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 3 1 2

2 1 1/ . ; / 1

3 2 3P AA P A P A A P A AA= = = =

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 3 1 2

1 1/ .1 ; / 1

3 3P AA P A P A A P A AA= = = =

Do đó:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2/ / /

1 1 1 2.0 .1 .1

3 3 3 3

P A P AA P A AA P AA P A AA P AA P A AA= + +

= + + =

Như vậy, ( ) ( ) ( )1 2 3P A P A P A= = nên cách làm trên là công bằng cho cả ba

người.

Chú ý 1.5: Để tính ( )3P A ta có thể dựa vào hệ 1 2 1;AA A vì 3A xảy ra khi hai

người đầu có một người không được thăm có đánh dấu, tức là 3 1 2 1A AA A= + . Từ đó

( ) ( ) ( ) ( )3 1 2 1 1

2 1 1 2/ .

3 2 3 3P A P A P A A P A= + = + = . Cách tính này đơn giản tuy nhiên

chỉ áp dụng riêng cho ví dụ này. Trong trường hợp tổng quát, chẳng hạn có 10 là thăm trong đó có 3 thăm được đánh dấu thì công thức đó không đúng nữa. Vì hệ trên không phải là hệ đầy đủ các biến cố.

Ví dụ 1.39. Một hộp có 10 là thăm trong đó có 3 lá thăm được đánh dấu. Ba người mỗi người lần lượt rút một thăm. Tính xác suất rút trúng thăm đánh dấu của mỗi người.

Giải

Đặt iA : “Người thứ i rút được thăm có đánh dấu”.

31

Ta có ( )1

3

10P A = . Khi người thứ nhất đã rút thăm thì 1 1,A A là hệ đầy đủ

các biến cố nên

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 1 2 1

3 2 7 3 1 7 3/ / . .

10 9 10 9 15 30 10P A P A P A A P A P A A= + = + = + = .

Khi người thứ nhất và thứ hai đã rút thăm thì hệ 1 2 1 2 1 2 1 2, , ;AA AA AA AA là hệ

đầy đủ các biến cố,

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 3 1 2

3 2 1 1/ . ; /

10 9 15 8P AA P A P A A P A AA= = = =

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 3 1 2

3 7 7 2/ . ; /

10 9 30 8P AA P A P A A P A AA= = = =

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 3 1 2

7 3 7 2/ . ; /

10 9 30 8P AA P A P A A P A AA= = = =

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 3 1 2

7 6 7 3/ . ; /

10 9 15 8P AA P A P A A P A AA= = = =

Do đó:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

3 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2

1 2 3 1 2 1 2 3 1 2

/ /

/ /

1 1 7 2 7 2 7 3 3. . . . .

15 8 30 8 30 8 15 8 10

P A P AA P A AA P AA P A AA

P AA P A AA P AA P A AA

= +

+ +

= + + + =

Chú ý: Ở ví dụ này, ta tính ( )3P A dựa vào hệ 1 2 1 2 1 2 1 2, , ;AA AA AA AA , tuy nhiên

nếu đặt iB : “Hai người đầu có i người được thăm có đánh dấu”, 0,1,2i = . Khi đó,

0 1 2, ,B B B là hệ đầy đủ các biến cố; ( )2

3 72

10

, 0,1,2i i

i

C CP B i

C

−

= = và

( )3

3/

8i

iP A B

−= . Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có:

( ) ( ) ( )22 2

3 73 3 2

0 0 10

. 3 3/ .

8 10

i i

i i

i i

C C iP A P B P A B

C

−

= =

−= = =∑ ∑ . So sánh hai cách làm,

cách sau trình bày gọn hơn do biến cố 1 1 2 1 2B AA AA= + .

Ví dụ 1.40. Một lô hạt giống gồm làm 3 loại để lẫn lộn. Loại 1 chiếm 2/3 số hạt, loại 2 chiếm 1/4, còn lại là loại 3. Tỉ lệ nẩy mầm của loại 1, loại 2 và loại 3, theo thứ tự, là 80%, 70% và 50%. Lấy ngẫu nhiên một hạt từ lô hạt giống.

a) Tính xác suất để hạt giống lấy ra là nẩy mầm được. Ý nghĩa của xác suất này đối với lô hạt giống là gì?

32

b) Giả sử hạt giống lấy ra là nẩy mầm được. Tính xác suất để hạt giống đó thuộc loại 2.

c) Giả sử hạt giống lấy ra là không nẩy mầm được. Nhiều khả năng nhất là hạt giống đó thuộc loại nào? Tại sao?

Giải

a) Gọi A: “hạt giống lấy ra là hạt nẩy mầm được”

và iB : “hạt giống lấy ra thuộc loại i " ( 1,2,3i = ). Ta có:

( ) ( )1 2

2 1;

3 4P B P B= = và ( )3

2 1 11

3 4 12P B

= − + =

.

Các xác suất điều kiện: ( ) ( )1 2/ 0,8; / 0,7P A B P A B= = và ( )3/ 0,5P A B = .

Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có:

( ) ( ) ( )3

1

2 1 1/ .0,8 .0,7 .0,5 0,75

3 4 12i i

i

P A P B P A B=

= = + + =∑

Xác suất P(A) chính là tỉ lệ nẩy mầm chung của lô hạt giống.

b) Giả sử hạt giống lấy ra là nẩy mầm được.

Xác suất phải tính là ( )2 /P B A

Theo Định lý Bayes, 2 22

10,7( ). ( / ) 74( / )

( ) 0,75 30

P B P A BP B A

P A

×

= = =

c) Giả sử hạt giống lấy ra là không nẩy mầm được. Ta có

( ) ( )1 0,25P A P A= − =

Khả năng hạt không nảy mầm đó thuộc loại 1 là:

( )( ) ( )

( )1 1

1

20,2/ 8 163/

0, 25 15 30

P B P A BP B A

P A

×

= = = =

Khả năng hạt không nảy mầm đó thuộc loại 2 là:

( )( ) ( )

( )2 2

2

10,3/ 3 94/

0,25 10 30

P B P A BP B A

P A

×

= = = =

Khả năng hạt không nảy mầm đó thuộc loại 3 là:

33

( )( ) ( )

( )3 3

3

10,5/ 1 512/

0,25 6 30

P B P A BP B A

P A

×

= = = =

Vậy, nhiều khả năng nhất là hạt giống đó thuộc loại 1. ( 1( / )P B A lớn nhất).

Ví dụ 1.41. Có hai hộp đựng bi. Hộp thứ nhất có 2 bi trắng và 8 bi đỏ; hộp thứ hai có 3 bi trắng và 5 bi đỏ.

a) Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 2 bi. Tính xác suất để lấy được 3 bi đỏ; lấy được 4 bi cùng màu.

b) Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ra 4 bi thì được 2 bi trắng. Tính xác suất để 4 bi đó thuốc hộp thứ nhất.

Giải

a) Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra hai viên bi:

Với i ∈ 0,1, 2 và j ∈ 0,1, 2, đăt tên các biến cố:

iA : “lấy được i bi đỏ từ hộp 1”, jB : “lấy được j bi đỏ từ hộp 2”; K : “lấy

được 3 bi đỏ và 1 bi trắng” và M : “lấy được 4 bi cùng màu”. Các cặp biến cố

( ),i jA B độc lập. Ta có 2 1 1 2K AB AB= + nên ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 2P K P A P B P A P B= +

( )2 1 1 1 1 28 3 5 8 2 52 2 2 2

10 8 10 8

29. .

63

C C C C C CP K

C C C C= + = .

Ta có 2 2 0 0M AB AB= + nên

2 2 228 5 32

2 2 0 0 2 2 2 210 8 10 8

( ) ( ). ( ) ( ) ( ) . . 0,2246C C CC

P M P A P B P A P BC C C C

= + = + =

b) Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ra 4 bi:

Đặt iB : “lấy được hộp thứ i ”, ( 1,2i = ) và T : “lấy được 2 bi trắng”. Chúng

ta có: ( ) ( )1 2

1

2P B P B= = ; ( ) ( )

2 2 2 22 8 3 5

1 24 410 8

2 3/ ; /

15 7

C C C CP T B P T B

C C= = = =

Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2

1 2 1 3 59/ / . .

2 15 2 7 210P T P B P T B P B P T B= + = + =

Xác suất cần tính: ( )( ) ( )

( )1 1

1

1 2./ 142 15/ 0,237359 59210

P B P T BP B T

P T= = = ≈

34

Ví dụ 1.42. Có hai hộp đựng bi. Hộp 1 có 5 bi xanh và 7 bi đỏ. Hộp 2 có 3 bi xanh và 5 bi đỏ. Từ hộp 1 lấy 2 viên bi bỏ sang hộp 2. Sau đó từ hộp 2 lấy ra một viên bi.

a) Tính xác suất viên bi lấy ra sau cùng màu đỏ.

b) Giả sử viên bi lấy ra sau cùng màu đỏ. Tính xác suất hai bi bỏ từ hộp 1 sang màu đỏ.

c) Giả sử viên bi lấy ra sau cùng màu xanh. Tính xác suất viên bi đó là của hộp 1 bỏ sang.

Giải

a) Đặt iB : “Có i viên bi đỏ trong 2 viên bi bỏ từ hộp 1 sang hộp 2”,

0,1,2i = ;

A : “Viên bi lấy ra sau cùng màu đỏ”.

Ta có ( )2

7 52

12

i i

i

C CP B

C

−

= và ( )5

/10i

iP A B

+= .

Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:

( ) ( ) ( )22 2

7 52

0 0 12

5 37/ . 0,6167

10 60

i i

i i

i i

C C iP A P B P A B

C

−

= =

+= = = ≈∑ ∑

b) Xác suất cần tính ( )1 /P B A :

Theo công thức Bayes:

( )( ) ( )

( )

1 11 1 7 5

1 212

/ 6 37 210/ . :

10 60 407

P B P A B C CP B A

P A C= = = .

c) Xác suất viên bi sau cùng màu xanh:

( ) ( )23

160

P A P A= − = .

Đặt iH : “Viên bi lấy ra sau cùng là của hộp i ban đầu”, 1, 2i = .

Ta có ( ) ( )1 2

2 8;

10 10P H P H= = và ( )2

3/

8P A H =

Theo công thức Bayes ta có:

( )( ) ( )

( )2 2

2

/ 8 3 23 18/ . :

10 8 60 23

P H P A HP H A

P A= = =

Vì 1 2,H H đối lập nên: ( ) ( )1 2

18 5/ 1 / 1

23 23P H A P H A= − = − = .

35

1.4. QUÁ TRÌNH BERNOULLI

1.4.1. Định nghĩa

Định nghĩa 1.18. Một dãy gồm n phép thử độc lập mà mỗi phép thử có hai biến cố

A : “Thành công” và A : “Thất bại” và xác suất “Thành công” ( )P A p= không đổi

được gọi là một quá trình Bernoulli, ký hiệu là ( ),B n p .

Ví dụ 1.43. Gieo một đồng xu cân đối đồng chất 10 lần. Ta được quá trình

Bernoulli ( )10;0,5 .B Ở đây 10n = là số lần gieo, ( )0,5p P S= = là xác suất xuất

hiện mặt sấp.

Ví dụ 1.44. Gieo con súc sắc cân đối đồng chất 120 lần, gọi A : “Xuất hiện mặt 6

chấm”, ta có ( )1

6p P A= = . Khi đó ta có quá trình Bernoulli

1120;

6B

.

Ví dụ 1.45. Một kho hàng có rất nhiều sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm là 5%, từ kho

hàng lấy ngẫu nhiên 100 sản phẩm. Đặt :A “Sản phẩm lấy ra là phế phẩm”, ta có

( ) 0,05p P A= = . Khi đó ta có quá trình Bernoulli ( )100;0,05 .B

1.4.2. Xác suất k lần thành công

Trong quá trình Bernoulli ( ); ,B n p đặt :iA “Phép thử thứ i thành công”,

1,2,...,i n= , đặt kB : “Có k lần thành công trong toàn bộ quá trình”, 0,1,2,...,k n= .

Ký hiệu, ( ) ( )n kP k P B= . Ta có:

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2... ... ... ... .... ... ...k k k k n k k k n k k k nB AA AA A A AA AA A A AA AA A A+ + + + + += + + +

Mỗi số hạng là tích của n biến cố độc lập trong đó có k biến cố “Thành

công” iA và n k− biến cố thất bại jA . Số các số hạng của dãy là số k

nC các tổ hợp

chập k của n phần tử. Đó chính là cách sắp xếp k biến cố “Thành công” vào trong

n vị trí trong quá trình. Ta có ( )iP A p= và ( ) 1jP A p q= − = . Do đó,

( ) ( )1 , 0,1, 2,...n kk k

k nP B C p p k n−

= − =

Như vậy, trong quá trình Bernoulli ( );B n p xác suất có k lần thành công là:

( ) ( )1 , 0,1,2,...n kk k

n nP k C p p k n−

= − = (1.2)

Ví dụ 1.46. Đem ấp 5 trứng gà, biết rằng xác suất để một trứng được ấp nở ra gà con là 0,8. Tính xác suất để trong 5 trứng đem ấp có 3 trứng nở ra gà con.

Giải

Ta có quá trình Bernoulli ( );B n p , 5; 0,8n p= = .

Xác suất có 3 trứng nở ra gà con là:

36

( ) 3 3 25 53 .0,8 .0,2 0,2048P C= =

Ví dụ 1.47. Tỉ lệ hoa vàng đồng hợp tử gen AA, hoa vàng dị hợp tử gen Aa và hoa trắng gen aa là 1:2:1. Chọn ngẫu nhiên 10 hạt đậu đem gieo:

a) Tính xác suất có 4 cây đậu hoa trắng.

b) Tính xác suất có 5 cây đậu hoa vàng.

Giải

a) Tỉ lệ đậu hoa trắng là 1

10, 25

4p = = . Gieo 10 hạt, ta có quá trình Bernoulli

( )1;B n p . Xác suất có đúng 4 cây đậu hoa trắng là:

( ) 4 4 610 104 .0,25 .0,75 0,1460P C= =

b) Tỉ lệ đậu hoa vàng: 2

30,75

4p = = . Ta có quá trình Bernoulli ( )2;B n p .

Xác suất có 5 cây đậu hoa vàng:

( ) 5 5 510 105 .0,75 .0,25 0,0584P C= =

Ví dụ 1.48. Một lô hàng gồm rất nhiều bóng đèn, trong đó có 6% bóng đèn xấu. Một người đến mua hàng với qui định: Chọn ngẫu nhiên 10 bóng đèn đem kiểm tra và nếu có nhiều hơn một bóng đèn xấu thì không nhận lô hàng. Tính xác suất để lô hàng được chấp nhận.

Giải

Kiểm ta 10 bóng đèn ta có quá trình Bernoulli ( );B n p với 10; 0,06n p= = .

Đặt :A “Lô hàng được chấp nhận”, A xảy ra khi số bóng xấu không quá 1. Do đó xác suất lô hàng được chấp nhận là:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )10 91

10 10 100 1 1 . 1 0,8824P A P P p C p p= + = − + − = .

Ví dụ 1.49. Một lô hàng có tỉ lệ phế phẩm là 5%. Người mua hàng đề nghị lấy ngẫu nhiên 10 sản phẩm để kiểm tra, và nếu có quá m phế phẩm thì không nhận lô hàng. Bạn đề nghị m bằng bao nhiêu để vừa thuyết phục được người nhận, vừa hy vọng khả năng lô hàng không bị từ chối ít nhất là 95%?

Giải

Tỉ lệ phế phẩm là 0,05p =

Việc lấy ngẫu nhiên 10 sản phẩm để kiểm tra nghĩa là thực hiện 10 phép

thử Bernoulli với xác suất thành công (gặp phế phẩm) 0,05p = .

Ta được, ( ) 1010 10.0,05 .0,95k k kP k C −

=

37

Xác suất lô hàng được nhận là:

( ) ( ) ( )10 10 100 1 ...P P P m+ + +

Theo đề bài ta tìm m bé nhất sao cho

( ) ( ) ( )10 10 100 1 ... 0,95P P P m+ + + ≥

Mặt khác:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )10 10 10 10 100,9139 0 1 0,95 0 1 2 0,9885P P P P P= + < < + + =

nên theo yêu cầu bài toán 2m = .

1.4.3. Số lần thành công nhiều khả năng nhất

Đặt vấn đề: Trong quá trình Bernoulli ( );B n p nhiều khả năng nhất có bao

nhiêu lần thành công. Hay biểu thức ( ) ( )1n kk k

n nP k C p p−

= − có giá trị lớn nhất khi k

nhận giá trị bao nhiêu?

Để giải quyết vần đề này ta xét tỉ số:

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

11 1

!1 ! ! 1 1 1

. .!1 1

1 ! 1 !

n kk k

n n

n kk kn n

n

P k C p p k n k p k p

nP k p n k pC p pk n k

−

− −+ +

− − − + −= = =

+ −−+ − −

Ta có ( )nP k tăng khi

( ) ( )1n nP k P k≤ +

( )

( )1

1n

n

P k

P k⇔ ≤

+

1 1. 1

k p

n k p

+ −⇔ ≤

−

( )( )1 1k p np kp⇔ + − ≤ −

( )

1 0

1 1

k pk p np pk

k n p

⇔ − + − − + ≤

⇔ ≤ + −

Từ đó suy ra dãy ( )nP k tăng khi ( )1 1k n p≤ + − và giảm khi ( )1k n p≥ + .

Do đó,

Nếu ( )1n p+ là số nguyên thì với ( )0 1k n p= + , ( )0nP k lớn nhất.

Nếu ( )1n p+ không nguyên thì với ( )0 1k n p= + , ( )0nP k lớn nhất.

38

Vậy, trong quá trình Bernoulli ( );B n p , số lần thành công nhiều khả năng

nhất là:

( )0 1k n p= + (1.3)

Ví dụ 1.50. Tỉ lệ sản xuất ra phế phẩm của một máy là 8%. Khảo sát một lô hàng gồm 75 sản phẩm do máy đó sản xuất ra.

a) Tính xác suất để trong lô hàng, có 10 phế phẩm

b) Trong lô hàng, nhiều khả năng nhất là có bao nhiêu phế phẩm? Tính xác suất tương ứng.

Giải

Nếu xem việc máy sản xuất ra một sản phẩm là một phép thử Bernoulli, với

xác suất cho “thành công” là 0,08p = , thì khi máy đó sản xuất 75 sản phẩm, nó đã

thực hiện quá trình B(75; 0,08).

a) Xác suất phải tính:

( ) 10 10 6575 7510 .0,08 .0,92 0,0394P C= =

b) Số phế phẩm nhiều khả năng nhất trong lô hàng là:

[(75 + 1). 0,08] = 6,

với xác suất tương ứng:

( ) 6 6 6975 756 .0,08 .0,92 0,1674P C= =

1.4.4. Xác suất có ít nhất một lần thành công

Xét quá trình Bernoulli ( );B n p , xác suất không có lần thành công nào:

( ) ( )0 1n

nP p= −

Do đó, xác suất có ít nhất một lần thành công:

( ) ( )1 0 1 1n

nP p− = − − (1.4)

Ví dụ 1.51. Người ta muốn lấy ngẫu nhiên một số hạt giống từ một lô hạt giống có tỉ lệ hạt lép là 3% để nghiên cứu. Hỏi phải lấy ít nhất bao nhiêu hạt sao cho xác suất để có ít nhất một hạt lép không bé hơn 95%?.

Giải

Gọi n là số hạt phải lấy, chúng ta có B(n ; 0,03). Xác suất để có ít nhất một

hạt lép là 1 − (1 − 0,03)n = 1 − (0,97)n .

Theo đề bài, ta có:

39

1 0,97 0,95n− ≥

0,97 0,05n⇔ ≤

0,97log 0,05 98,3523n⇔ ≥ =

Vậy, phải lấy ít nhất 99 hạt giống.

Ví dụ 1.52. Người ta kiểm tra chất lượng một lô hàng bằng cách lấy từ sản phẩm kiểm tra. Biết rằng lô hàng có tỉ lệ phế phẩm là 5%.

a) Hỏi phải kiểm tra ít nhất bao nhiêu sản phẩm để xác suất có ít nhất một phế phẩm không bé hơn 90% ?

b) Giả sử việc kiểm tra sẽ dừng lại khi phát hiện 3 phế phẩm. Tính xác suất để việc kiểm tra dừng lại ở lần thứ 10.

Giải

a) Xem mỗi lần kiểm tra là một phép thử, xác suất gặp phế phẩm trong mỗi

phép thử là 0,05p = . Ta có quá trình Bernoulli ( );B n p với n chưa biết, 0,05p = .

Xác suất có ít nhất một phế phẩm là: ( )1 1 1 0,95n np− − = −

Theo đề bài ta có: 0,951 0,95 0,9 0,95 0,1 log 0,1 44,89n n n− ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≥ = .

Suy ra 45n = . Vậy phải kiểm tra ít nhất 45 sản phẩm.

b) Giả sử việc kiểm tra sẽ dừng lại khi phát hiện 3 phế phẩm. Xét các biến cố A : “Việc kiểm tra dừng ở lần thứ 10”; B : “Trong 9 lần kiểm tra đầu có 2 phế

phẩm”, 10A : “lần kiểm tra thứ 10 gặp phế phẩm”. Ta có 10A BA= , 10,B A độc lập

nhau. Ngoài ra, B chính là biến cố có hai lần thành công trong quá trình Bernoulli

( )9;0,05B , ( ) ( ) 2 2 79 92 .0,05 .0,95 0,0629P B P C= = = . Còn ( )10 0,05P A = . Do đó,

xác suất để việc kiểm tra dừng lại ở lần thứ 10 là:

( ) ( ) ( )10 0,0629.0,05 0,0031P A P B P A= = = .

40

BÀI TẬP CHƯƠNG 1

1.1. Một xâu có 7 chìa khóa trong đó chỉ có hai chìa mở được khóa. Người ta thử từng chìa (thử xong nếu không mở được thì để riêng ra). Tính xác suất để người đó mở được khóa sau ba lần thử.

1.2. Có 3 khách hàng vào một ngân hàng có sáu quầy phục vụ. Tính xác suất để:

a) Cả ba người cùng đến một quầy.

b) Mỗi người đến một quầy khác nhau.

c) Hai trong ba người đến một quầy.

d) Chỉ một khách đến quầy số 1.

1.3. Một hộp thuốc có 5 ống thuốc tốt và 3 ống kém chất lượng. Chọn ngẫu nhiên lần lượt không trả lại 2 ống. Tính xác suất để:

a) Cả hai ống được chọn đều tốt.

b) Chỉ ống được chọn ra đầu tiên là tốt.

c) Trong hai ống có ít nhất một ống thuốc tốt.

1.4. Một hộp đựng 15 quả bóng bàn trong đó có 9 quả mới. Lần đầu người ta lấy ngẫu nhiên 3 quả để thi đấu, sau đó lại trả vào hộp. Lần thứ hai lấy ngẫu nhiên 3 quả. Tính xác suất để cả 3 quả lấy ra lần sau đều mới.

1.5. Từ một lớp có 8 nữ sinh viên và 12 nam sinh viên, người ta chọn ngẫu nhiên 5 sinh viên để lập Ban cán bộ lớp (BCB). Tính xác suất để

a) BCB gồm 3 nữ và 2 nam,

b) BCB có ít nhất một nữ,

c) BCB có ít nhất hai nam và hai nữ.

1.6. Từ một hộp chứa 8 viên bi đỏ và 5 viên bi trắng người ta lấy ngẫu nhiên 2 lần, mỗi lần 1 viên bi, không hoàn lại. Tính xác suất để lấy được

a) 2 viên bi đỏ;

b) hai viên bi khác màu;

c) viên bi thứ hai là bi trắng.

1.7. Một công ty cần tuyển 4 nhân viên. Có 10 người, gồm 6 nam và 4 nữ nạp đơn xin dự tuyển, và mỗi người đều có cơ hội được tuyển như nhau. Tính xác suất để trong 4 người được tuyển,

a) có ít nhất một nữ;

41

b) có ba nữ, biết rằng có ít nhất một nữ đã được tuyển.

1.8. Tại một cửa hàng sách xác suất để một người khách mua sách là 0,3; còn xác suất để một người khách cần hỏi nhân viên bán hàng là 0,5 và xác suất để khách thực hiện cả hai điều trên là 0,2. Gặp ngẫu nhiên một khách trong nhà sách. Tính xác suất để người này

a) không thực hiện cả hai điều trên;

b) không mua sách, biết rằng người này đã hỏi nhân viên bán hàng.

1.9. Một cuộc điều tra cho thấy, ở một thành phố, có 30% dân số dùng loại sản phẩm X , 50% dùng loại sản phẩm Y và trong số những người dùng Y , có 35% dùng X . Phỏng vấn ngẫu nhiên một người dân trong thành phố đó, tính xác suất để người ấy

a) dùng cả X và Y ;

b) không dùng X , cũng không dùng Y .

c) dùng ,Y biết rằng người ấy không dùng .X

1.10. Theo một cuộc điều tra thì xác suất để một hộ gia đình có máy vi tính nếu thu nhập hàng năm trên 20 triệu (VNĐ) là 0,9. Trong số các hộ được điều tra thì 60% có thu nhập trên 20 triệu và 70% có máy vi tính. Tính xác suất để một hộ gia đình được chọn ngẫu nhiên

a) có máy vi tính và có thu nhập hàng năm trên 20 triệu;

b) có thu nhập hàng năm trên 20 triệu, biết rằng hộ đó không có máy vi tính.

1.11. Để thành lập đội tuyển quốc gia về một môn học, người ta tổ chức một cuộc thi tuyển gồm 3 vòng. Vòng thứ nhất lấy 80% thí sinh; vòng thứ hai lấy 70% thí sinh đã qua vòng thứ nhất và vòng thứ ba lấy 45% thí sinh đã qua vòng thứ hai. Để vào được đội tuyển, thí sinh phải vượt qua được cả 3 vòng thi. Tính xác suất để một thí sinh bất kỳ

a) Được vào đội tuyển;

b) Bị loại ở vòng thứ ba.

c) Bị loại ở vòng thứ hai, biết rằng thí sinh này bị loại.

1.12. Một lô hàng có 9 sản phẩm giống nhau. Mỗi lần kiểm tra, người ta chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm; kiểm tra xong trả sản phẩm lại lô hàng. Tính xác suất để sau 3 lần kiểm tra, 9 sản phẩm đều được kiểm tra.

1.13. Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 3 phế phẩm. Người ta kiểm tra ngẫu nhiên lần lượt từng sản phẩm cho đến khi gặp 3 phế phẩm thì dừng. Tính xác suất việc kiểm tra dừng ở lần thứ tư.

42

1.14. Có ba hộp A, B và C đựng các lọ thuốc. Hộp A có 10 lọ tốt và 5 lọ hỏng, hộp B có 6 lọ tốt và 4 lọ hỏng, hộp C có 5 lọ tốt và 5 lọ hỏng

a) Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một lọ thuốc, tính xác suất để được 3 lọ cùng loại.

b) Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ra 3 lọ thuốc thì được 1 lọ tốt và 2 lọ hỏng. Tính xác suất để hộp A đã được chọn.

1.15. Có hai hộp A và B đựng các lọ thuốc. Hộp A có 6 lọ tốt và 4 lọ hỏng, hộp B có 5 lọ tốt và 5 lọ hỏng. Lấy ngẫu nhiên hai lọ thuốc từ hộp A bỏ vào hộp B, rồi tiếp theo lấy ngẫu nhiên một lọ thuốc từ hộp B thì được lọ hỏng. Tính xác suất để

a) Lọ hỏng đó là của hộp A bỏ sang;

b) Hai lọ thuốc bỏ từ hộp A vào hộp B đều là lọ hỏng.

1.16. Trong một đội tuyển có 3 vận động viên A, B và C thi đấu với xác suất chiến thắng lần lượt là 0,6; 0,7 và 0,8. Giả sử mỗi người thi đấu một trận độc lập nhau.Tính xác suất để:

a) đội tuyển thắng ít nhất một trận,

b) đội tuyển thắng 2 trận.

1.17. Trong một đợt đấu tennis, A sẽ gặp B sau đó A gặp C. Xác suất A thắng B là 0,6 và thắng C là 0,7. Nếu A thắng B thì xác suất A thắng C là 0,85. Tính xác suất để:

a) A thắng cả B và C.

b) A chỉ thắng một trong hai người.

c) A thắng ít nhất một người.

1.18. Trong năm học vừa qua, ở trường đại học A, tỉ lệ sinh viên thi trượt môn Toán là 34%, thi trượt môn Tâm lý là 20,5%, và trong số các sinh viên trượt môn Toán, có 50% sinh viên trượt môn Tâm lý. Gặp ngẫu nhiên một sinh viên của trường A.

a) Tính xác suất để anh ta trượt cả hai môn Toán và Tâm lý; đậu cả hai môn Toán và Tâm lý.

b) Nếu biết rằng sinh viên này trượt môn Tâm lý thì xác suất để anh ta đậu môn Toán là bao nhiêu?

c) Chọn ngẫu nhiên 12 sinh viên của trường A. Nhiều khả năng nhất là sẽ có bao nhiêu sinh viên thi trượt cả hai môn Toán và Tâm lý. Tính xác suất tương ứng.

1.19. Ba máy 1, 2 và 3 của một xí nghiệp theo thứ tự, sản xuất 50%, 30% và 20% tổng số sản phẩm của một xí nghiệp. Tỉ lệ sản xuất ra phế phẩm của các máy trên, theo thứ tự, là 2%, 3% và 4%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô hàng của xí nghiệp, trong đó để lẫn lộn các sản phẩm do 3 máy sản xuất.

43

a) Tính xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt. Ý nghĩa của xác suất đó đối với lô hàng là gì?

b) Nếu sản phẩm lấy được là phế phẩm, thì nhiều khả năng nhất là do máy nào sản xuất?

1.20. Chia ngẫu nhiên 9 tấm vé số, trong đó có 3 vé trúng thưởng, đều cho 3 người (mỗi người 3 tấm). Tính xác suất để cả 3 người đều được trúng thưởng.

1.21. Trong số các bệnh nhân đang được điều trị tại một bệnh viện, có 50% điều trị bệnh A, 30% điều trị bệnh B và 20% điều trị bệnh C. Tại bệnh viện này, xác suất để chữa khỏi các bệnh A, B và C, theo thứ tự, là 0,7; 0,8 và 0,9. Hãy tính tỉ lệ bệnh nhân được chữa khỏi bệnh A trong tổng số bệnh nhân đã được chữa khỏi bệnh trong bệnh viện.

1.22. Có hai bình như sau: Bình A chứa 5 bi đỏ, 3 bi trắng và 8 bi xanh; bình B chứa 3 bi đỏ và 5 bi trắng. Gieo một con súc sắc vô tư: Nếu mặt 3 hoặc mặt 5 xuất hiện thì chọn ngẫu nhiên một bi từ bình B; các trường hợp khác thì chọn ngẫu nhiên một bi từ bình A. Tính xác suất để chọn được viên bi đỏ. Nếu viên bi trắng được chọn, tính xác suất để mặt 5 của con súc sắc xuất hiện.

1.23. Có hai bình như sau: Bình A chứa 5 bi đỏ, 3 bi trắng và 8 bi xanh; bình B chứa 3 bi đỏ và 5 bi trắng.

Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ bình A bỏ vào bình B, rồi từ bình B lấy ngẫu nhiên 1 viên bi thì được bi đỏ. Theo ý bạn, viên bi đó nhiều khả năng thuộc bình nào?

1.24. Có hai chuồng nuôi thỏ. Chuồng thứ nhất có 1 con thỏ trắng và 5 con thỏ nâu; chuồng thứ hai có 9 con thỏ trắng và 1 con thỏ nâu. Từ mỗi chuồng bắt ngẫu nhiên ra một con để nghiên cứu. Các con thỏ còn lại được dồn vào một chuồng thứ ba. Từ chuồng thứ ba này lại bắt ngẫu nhiên ra một con thỏ. Tính xác suất để con thỏ bắt ra sau cùng là một con thỏ nâu.

1.25. Ban giám đốc một công ty liên doanh với nước ngoài đang xem xét khả năng đình công của công nhân để đòi tăng lương ở hai nhà máy A và B. Kinh nghiệm cho họ biết cuộc đình công ở nhà máy A và B xảy ra lần lượt với xác suất 0,75 và 0,65. Ngoài ra, họ cũng biết rằng nếu công nhân ở nhà máy B đình công thì có 90% khả năng để công nhân ở nhà máy A đình công ủng hộ.

a) Tính xác suất để công nhân ở cả hai nhà máy đình công.

b) Nếu công nhân ở nhà máy A đình công thì xác suất để công nhân ở nhà máy B đình công để ủng hộ bằng bao nhiêu?

1.26. Một nhân viên kiểm toán nhận thấy 15% các bản cân đối thu chi chứa các sai lầm. Trong các bản chứa sai lầm, 60% được xem là các giá trị bất thường so với các số xuất phát từ gốc. Trong tất cả các bản cân đối thu chi thì 20% là những giá trị bất

44

thường. Nếu một con số ở một bảng cân đối tỏ ra bất thường thì xác suất để số ấy là một sai lầm là bao nhiêu?

1.27. Một hãng sản xuất một loại tủ lạnh X ước tính rằng khoảng 80% số người dùng tủ lạnh có đọc quảng cáo tủ lạnh do hãng ấy sản xuất. Trong số những người đọc quảng cáo, có 30% mua loại tủ lạnh X; 10% không đọc quảng cáo cũng mua loại tủ lạnh X. Tính xác suất để một người tiêu dùng đã mua loại tủ lạnh X mà có đọc quảng cáo.

1.28. Trên một bảng quảng cáo, người ta mắc hai hệ thống bóng đèn độc lập. Hệ thống I gồm 4 bóng mắc nối tiếp, hệ thống II gồm 3 bóng mắc song song. Khả năng bị hỏng của mỗi bóng trong 18 giờ thắp sáng liên tục là 0,1. Việc hỏng của mỗi bóng của mỗi hệ thống được xem như độc lập. Tính xác suất để

a) Hệ thống I bị hỏng;

b) Hệ thống II không bị hỏng.

c) Cả hai hệ thống bị hỏng;

d) Chỉ có một hệ thống bị hỏng.

1.29. Một lô hàng gồm rất nhiều bóng đèn, trong đó có 8% bóng đèn xấu. Một người đến mua hàng với qui định: Chọn ngẫu nhiên 8 bóng đèn đem kiểm tra và nếu có nhiều hơn một bóng đèn xấu thì không nhận lô hàng. Tính xác suất để lô hàng được chấp nhận.

1.30. Một khách sạn có hai hệ thống: báo cháy và báo khói. Hai hệ thống hoạt động độc lập Xác suất để hệ thống báo cháy và báo khói hỏng tương ứng là 0,07 và 0,04. Khách sạn phòng cháy an toàn khi có hệ thống không bị hỏng. Tính xác suất:

d) Khách sạn phòng cháy an toàn.

e) Khách sạn phòng cháy không an toàn.

f) Tính xác suất hệ thống báo cháy không hỏng biết khách sạn phòng cháy an toàn.

1.31. Một địa phương có tỉ lệ người dân nghiện thuốc lá là 10%. Biết rằng tỉ lệ người bị viêm họng trong số người nghiện thuốc lá là 60%, còn tỉ lệ đó trong số người không nghiện thuốc lá là 40%. Chọn ngẫu nhiên một người từ địa phương trên.

a) Nếu người đó bị viêm họng, tính xác suất để người đó nghiện thuốc lá.

b) Nếu người đó không bị viêm họng, tính xác suất để người đó nghiện thuốc lá.

1.32. Một nhà xuất bản gửi bản giới thiệu sách mới đến 80% giảng viên của một trường đại học. Sau một thời gian, nhà xuất bản nhận thấy: Có 20% giảng viên mua sách trong số những người nhận được bản giới thiệu, và trong số những giảng viên không nhận được bản giới thiệu, có 5% mua sách. Tìm tỉ lệ những giảng viên nhận được bản giới thiệu trong số những người mua sách.

45

1.33. Nhà trường muốn chọn một số học sinh từ một tổ gồm 7 nam sinh và 6 nữ.sinh. Lần đầu chọn ngẫu nhiên 3 học sinh; sau đó, chọn tiếp 1 học sinh nữa.

a) Tính xác suất để học sinh được chọn lần sau là nam sinh.

b) Biết rằng học sinh được chọn lần sau là nữ sinh, tính xác suất để cả hai học sinh được chọn lần đầu đều là nam sinh.

1.34. Số liệu thống kê về bệnh lao phổi tại một địa phương cho biết: Có 10% số người làm nghề đục đá và bị lao phổi; có 50% số người không làm nghề đục đá và không bị lao phổi; có 25% số người làm nghề đục đá nhưng không bị lao phổi. Ngoài ra, tỉ lệ những người không làm nghề đục đá nhưng bị lao phổi là 10%. Chúng ta có thể kết luận gì về mối quan hệ giữa nghề đục đá và bệnh lao phổi?

1.35. Giả sử một xét nghiệm X cho kết quả dương tính (+) đối với những người nhiễm HIV với xác suất 95% và cho kết quả (+) đối với những người không nhiễm HIV với xác suất 1%. Một người đến từ địa phương có tỉ lệ nhiễm HIV là 1% được làm xét nghiệm X và cho kết quả (+). Tính xác suất để người này thực sự nhiễm HIV.

1.36. Một hộp chứa 10 lọ thuốc, trong đó có 3 lọ hỏng. Lấy lần lượt từng lọ không hoàn lại để kiểm tra, cho đến khi gặp 3 lọ hỏng thì dừng.

a) Tính xác suất để việc kiểm tra dừng lại ở lọ thứ ba; ở lọ thứ sáu

b) Nếu việc kiểm tra dừng lại ở lọ thứ sáu, tính xác suất để lọ được kiểm ra đầu tiên là lọ hỏng.

1.37. Từ một lô hàng có rất nhiều quyển vở với tỉ lệ vở hỏng là 5%, người ta chọn ngẫu nhiên từng quyển vở để kiểm tra.

a) Hỏi phải kiểm tra ít nhất bao nhiêu quyển vở để xác suất có ít nhất một quyển vở hỏng không bé hơn 90% ?

b) Giả sử việc kiểm tra sẽ dừng lại khi phát hiện 3 quyển vở hỏng. Tính xác suất để việc kiểm tra dừng lại ở lần kiểm tra thứ 10,

1.38. Có hai hộp sản phẩm, hộp thứ nhất có 8 sản phẩm loại A và 2 sản phẩm loại B ; hộp thứ hai có 5 sản phẩm loại A và 3 sản phẩm loại B . Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 2 sản phẩm.

a) Tính xác suất để được 3 sản phẩm loại A ;

b) Giả sử lấy được một sản phẩm loại B và 3 sản phẩm loại A . Nhiều khả năng là sản phẩm loại B thuộc hộp nào? Tại sao?

1.39. Một nhà máy sản xuất linh kiện điện tử với 98% sản phẩm có chất lượng cao. Một qui trình kiểm tra chất lượng sản phẩm có đặc điểm: 1% sản phẩm có chất lượng cao lại không được công nhận và 3% sản phẩm không có chất lượng cao lại được công nhận. Hãy tính xác suất để sau khi kiểm tra, một sản phẩm được công nhận có chất lượng cao đúng là sản phẩm có chất lượng cao.

46

1.40. Giả sử bạn đem giao một lô hàng, rất nhiều sản phẩm, mà bạn biết rằng nó có tỉ lệ phế phẩm là 5%. Người nhận hàng đề nghị lấy ngẫu nhiên 10 sản phẩm để kiểm tra, và nếu có quá k phế phẩm thì không nhận lô hàng. Bạn đề nghị k bằng bao nhiêu để vừa thuyết phục được người nhận, vừa hy vọng khả năng lô hàng không bị từ chối ít nhất là 95%?

1.41. Tỉ lệ sản xuất ra phế phẩm của một máy là 5%. Khảo sát một lô hàng gồm 50 sản phẩm do máy đó sản xuất ra.

a) Tính xác suất để trong lô hàng, có 10 phế phẩm

b) Trong lô hàng, nhiều khả năng nhất là có bao nhiêu phế phẩm? Tính xác suất tương ứng.

1.42. Người ta muốn lấy ngẫu nhiên một số hạt giống từ một lô hạt giống có tỉ lệ hạt lép là 2% để nghiên cứu. Hỏi phải lấy ít nhất bao nhiêu hạt sao cho xác suất để có ít nhất một hạt lép không bé hơn 90% ?

1.43. Một khu dân cư A có tỉ lệ mắc bệnh B là 30%.

a) Trong một đợt điều tra, người ta chọn ngẫu nhiên 10 người. Tính xác suất trong đó có nhiều nhất ba người mắc bệnh B.

b) Tỉ lệ người kháng bệnh B đối với người được chích ngừa là 95%. Còn tỉ lệ kháng bệnh B đối với người không chích ngừa là 20%. Chọn ngẫu nhiên một người trong khu dân cư. Tính xác suất người này có chích ngừa.