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物理学序論２ （電磁気学入門）

第３講 151016

ガウスの法則２

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復習： 速度ベクトルの変化を理解する．

流線に沿った流管を考える．長い管（1次元空間）であれば

湧き出しがなければ(Q=0), (v = 一定で平行)

ガウスの法則 の流体解釈

座標系を設定し，微小体積にする

応用例01： 微小直方体

DS

速度ベクトルが一般の方向を向いている場合

ベクトルを分解して，成分毎に扱うことが可能

デカルト座標系の利点は，x,y,z 各々の方向成分の取り扱いが対等であること．

条件を同じにすれば，x 方向で成り立つことは y,z 方向でも成り立つ．

x 方向については，すでに を証明した．

y 方向について

z 方向について

全表面(DSx=DyDz, DSy=DzDx, DSz=DxDy)について和をとると

∴ ←数 数学的に厳密な定義式

物理で考えるときは微少量（DV）で考える方が理解しやすい．

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注：∇・v はスカラー量．座標系を回転しても値は変わらない．v 方向に x 軸を設定すれば

∇・v → ∂vx/∂xすなわち，発散∇・v は 関数 |v|のv 方向の微分係数に他ならない．

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前ページで証明した式で, v → E, s → r/e0 と置き換えれば， 電磁気の式になる．

ガウスの法則には積分型と微分型がある．数学的に両者は同等で，

ガウスの発散定理によってつながっている．

∇・E は div E とも書く．div = divergence :発散 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

注：ガウスの法則は実験により決められた物理の法則．

ガウスの定理は数学的な恒等式． ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ガウスの法則の公式は数式で書くと複雑に見えるが，

実際での応用例は，ほとんど対称性の良い例に限られている．

例えば は1次元では dE/dx＝r/e0 であるので答えは E=r/e0x+定数 である

公式は， その構造を絵画的に理解する方が柔軟な使い方ができる．

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(1) 微小な直方体 DV=DxDyDz では積分型から微分型が導けた。

(2) 微分型から積分型を導く方法

(2-1) 微少体積が二つ隣り合わせにあるとき．

表面積分は接触面では互いに打ち消し合う。従って二つつないでも

S として表面積だけ考えればよい。

(2-2) したがって、微小体積を二つつないでもガウスの定理は成り立つ。

この過程を繰り返せば微小体積をいくら重ね合わせてもガウスの定理は

成り立つ。

ガウスの発散定理 の証明 ．

V は閉曲面 S で囲まれる体積

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積分型を微分型に直す方法

(1) 閉曲面 S で囲まれt体積Vを微小体積要素でレゴ化する．

(2) レゴ化した個々の微小直方体体積に積分公式を適用する

(3) レゴ化した体積について足し合わせる

(4) 最後に微小体積のゼロ極限をとり，最終式を得る．

結局、任意の体積を細分割し

レゴ化して考えれば、体積分は全部の和、

面積分は表面積だけ考えればよく、

微小体積の微小極限でレゴ体の集合は

元の体積を再現するから，

ガウスの発散定理を証明したことになる。

ガウスの発散定理： 証明終わり

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ガウスの法則：積分形と微分形

マクスウェル方程式の第１式

積分形と微分形は、ガウスの定理により結び付いている。

微分形は積分形を微小図形に適用すれば得られる

ガウスの法則とガウスの定理は別物

ガウスの法則は物理、ガウスの定理は数学

ガウスの定理は面積分と体積分を関係付ける式

ガウスの（発散）定理

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自然科学が成立する過程

～ 初心者が科学を学習する過程と似ている

観測によりデータを集める

データ間の関係を探り、数式に直す（現象の理解） 積分形式で行うと理解しやすい

積分形式には広域のデータが必要

積分形式を微分形式に直す

運動方程式ができていれば

限られた領域の観測データから観測領域外のデータを推測できる

場の形式で数式を書く利点： 積分形式と微分形式は数学的には同等であるが

微分形式で書いてあれば、ある点とその近傍のデータから全領域の

予測ができる。

大学の物理が高校の物理と違い数学を重視する理由。

化学・生物でも数学は必修な理由。

数学の使い方は力学、電磁気、熱力学でもっともよく訓練できる。

量子力学(必須)の学習には数学の基礎が大切。

（近接作用で理解）

（遠隔作用で理解）

なぜ微分形式にこだわるのか？

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なぜ微分型にこだわるのか? （続）

既知の関数があるとする． Ｙ =f(x) と書こう．これを x = a 付近でテイラー展開する．

上の式は，ある一点 a での全ての(任意のn)階の微分係数を知ることができれば

x の全領域での関数の値を再現できると言うことである．つまり，ある一点での知識から

全体を知ることができるという論理．本当か？

f’(x) を知るには，近傍（少なくも Dx 位)離れたところの

観測値を知る必要がある．f’’(x) を知るにはさらに

観測領域を広げる必要がある．結局，微分係数を全て知ると言うことは

全領域で観測しなければならないと言うことを意味する．

ところで、観測ができるのは通常ある限られた狭い地域に限られる。すなわち、有限の

微係数しか観測では測れない。しかし低位の微係数と高位の微係数をつなげる関係式が

与えられれば、有限階の微係数を知るだけで全ての階数の微係数を知ることができる。

すなわち運動方程式が与えられれば、ある点とその近傍の知識だけで全領域の値を

知ることができる。(近接作用という視点の利点)

運動方程式はたかだか、2階の微分方程式である。すなわち、全ての階の微分が

2階までの微分から導ける。境界条件として f(a) と f’(a) を与えれば全領域での

f(x) を計算することが原理的にできる（微分方程式が解ける）。

マクスウェルの方程式は、全て1階の微分方程式である。しかし、電場と磁場の連立方程式

であるので、実質的には2階の微分方程式となる。

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ガウスの法則の応用

対称性の良い電荷分布に最適応用価値あり

１）無限*に長い線電荷の作る電場

２）無限*に広い面電荷の作る電場

３）球面分布と球分布

*別の表現： 不規則な形

であっても曲率が無視できるくらい

十分近いところ、

もしくは凸凹が気にならないくらい

遠いところでは

対称性が近似的に成立する場合

対称性の良い図形は次の三つに尽きる

これさえ覚えればよい？

2 次元問題

流束は ∝ 1/r

1 次元問題

流束は一定

3次元問題

流束は1/r2

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例題２

キーポイント： 対称性から線の方向には一様となる．

最終結果から ｚ が消える (∂/∂ｚ=0)。（3次元 → 2次元）

これは2次元空間の問題．2次元空間では

一点から出るフラックス(流束密度)は1/rで減少する事は学んだ

クーロンの法則を使って導いた結果に一致

線電荷密度を l とすると

コメント：電場と電界 (業界用語) electric field

： 超伝導と超電導 superconductivity

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稲妻の太さを計算する

使える対称性を探す：

無限に長い直線線状荷電体で近似

空気の絶縁破壊電場の強さ ～3x106 V/m

雷雲の高さ 1~10km

放電に必要な電圧差：3x106 (V/m)x 103 (m)≒ 30-300億V

実際は 1-10 億V程度で放電する

理由：雷雲から伸びる弱い光の先駆放電 体(stepped

streamer : 線状荷電体) と大地から伸びるストリーマ (線状先行放電体) がつながって放電する.

ストリーマーはイオン化した空気分子

E が破壊電場強度を超える r は

気体放電の例

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注意： 絶縁破壊を起こす尺度は電圧ではない．電場である．

電場の単位は

空気の破壊電場強度 （コロナ放電ともいう:静かなイメージ） 3x106[V/m] = 30000[V/cm] =3000 [V/mm] =300 [V/0.1mm]

電気コンセント接触時よく火花が飛ぶ。

トラッキング現象 コンセントやテーブルタップに長期間電源とプラグを

差し込んでいたため、コンセントとプラグとの隙間に

徐々にほこりが溜まり、このほこりが湿気を 呼ぶことによって

プラク両極間で、火花放電が繰り返されます。

そして、絶縁状態が悪くなり、

プラグ両極間に電気が流れて発熱し、

ついには発火します。

乾電池

～1.5V/5cm

= 0.3V/cm

二通りの単位の表し方

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例題３

キーポイント： x,y 方向に一様であるから

最終結果から x,y が消え z 変数のみ残る

(∂/∂x = ∂/∂y = 0)

3次元 → １次元空間の問題

流線は平行 → フラックス(電束密度～電場)は一定 側面では

電場の垂直成分

は無い

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r>a の電荷は寄与しない．

球は球殻の層に分割可能．

球殻電荷内の電場はゼロ

下図のガウス面考察でもゼロが証明可能

ガウス面

球殻電荷

例題４： 球対称性のある電荷分布

1a）一様に帯電した球殻もしくは球が，外部に及ぼす力は，

それらの電荷が中心の一点に集まったときの力に等しい

1b）一様に帯電した球殻の内部に及ぼす力の合力はゼロに等し

い

ガウス面

E=0

と書けるとき f(r) を電位またはポテンシャルと言う

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静電ポテンシャルと電位 クーロンの法則は万有引力と同じ形をしている．

したがって重力と同じくポテンシャルエネルギーが定義できる．

微分と積分の順序は変えて良い

積分と積分の順序も変えて良い

（積分は足し算だから） 連続微分は関数が連続ならば順序を変えて良い。

（物理は通常性質の良い関数を扱う）

は r に作用する

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復習：力学のポテンシャルエネルギー存在の条件

関係する力が保存力であること．

保存力とは： 力のする仕事が、経路によらず

始点と終点だけ指定すれば一意的に決まること。つまり、関数として書けること

電場のある空間で、単位電荷をA点 rA からB点 rB まで、

運ぶのに必要な仕事量を考える。

外力のする仕事：

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線積分：別の見方： （左図） 積分経路は１次元空間の直線

(右図) 積分経路を2次元空間の曲線に拡張

一般的な積分経路は3次元空間の中の一次曲線

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法則１：

法則2：

O点から電荷 q をP点にまで運ぶ仕事量を考える。

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電場は常にスカラー関数の微分として書けるか？

そのためには、 電場 E(r) を与えたとき、

f が位置座標の一価関数として定義できることが必要。

すなわち、始点と終点を指定したとき積分経路を変えても値が変わらない条件

ストークス (Stokes) の定理．

すなわち閉回路の線積分がゼロになることは

閉回路の囲む領域 S で、

という条件になる

電位の導入：

電場がポテンシャルで書けるということと、

回転が消滅することは数学的に等価。

B

C1 C2

- C2

A

面S

線積分 を微分型で表現したい。

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任意の面積 S を細分化し、

微少面積 DS で計算する。

微小面積を廻る線積分の和は

全体の外周の線積分に等しい

4つの微小面積について

微少面積を囲む線積分の和は、

全体面積を囲む線積分になる。

接触面で二つの線積分は相殺

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微小ループでストークスの定理が証明できた

微小面積 DS について

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元に戻れば

ストークスの定理

ストークスの定理を平面で証明したが，実は

境界線が3次元空間で曲がっていても成り立つ．

また境界線が同じならば，面をゆがめても成り立つ

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例

Z方向に一様化する

z

回転演算を絵で理解する．

E 型ベクトルと B 型ベクトル

物理量を表すベクトルは、

源との関係でE 型ベクトルと

B 型ベクトルに分ける

ことができる。

ポテンシャルで書き直せる条件

E型

B型

始めと終わりがある

始めも

終わりもない

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回転があるときのベクトル場の振る舞い

回転が0でない (rot v > 0) 時のベクトル場の振る舞い

(a)(b)(c) のベクトル配位は全て回転能力あり、

結局平行するベクトルが、自分より

大きい(小さい)ときは回転能力がある。