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电磁场与电磁波 1
《电磁场与电磁波》第17讲第六章 均匀平面波的反射与透射（1）
6.1 均匀平面波对分界平面的
垂直入射
6.2 均匀平面波对多层分界平面的
垂直入射
教师姓名： 宗福建
单位： 山东大学微电子学院
2019年4月23日
电磁场与电磁波 2
5.1.2 无界理想媒质中均匀平面波的传播特性
在无界媒质中，若均匀平面波向+z向传播，且电场方向指向 方
向，则其电场场量表达式为：xe
0 (jkz jxE e E e e
场量的复数形式）
0 cos( ) (xE e E t kz
或 场量的实数形式）
由电磁波的场量表达式可总结出波的传播特性
均匀平面波的传播参数
周期T ：时间相位变化 2π的时间间隔，即
角频率、频率和周期
角频率ω ：表示单位时间内的相位变化，单位为rad /s
频率f ：1 (Hz)
2πf
T
t
T
o
xE
的曲线tEtE mx cos),0(
2π (s)T
2πT
电磁场与电磁波 3 波长与相位常数
k 的大小等于空间距离2π内所包
含的波长数目，因此也称为波数。
2π (rad/m)k
波长λ ：空间相位差为2π 的两个波阵面的间距，即
相位常数 k ：表示波传播单位距离的相位变化
o
xE
z
的曲线zcos)0,( kEzE mx
2π 1 (m )k f
2πk
2 2k
电磁场与电磁波 4
1p
dzvdt k
相位速度（波速）
真空中电磁波的相位速度： 00 0
1pv
83 10 ( / ) (m s c 光速)
关于波的相速的说明
1 pp
vv f
ff
=
相速v：电磁波的等相位面在空间中的
移动速度
电磁场与电磁波 5
1H k E
场量 ， 的关系E
H
1H k E
式中： 为表示波传播方向的单位矢量k
同理可以推得： E H k
E H k
、 、 三者相互垂直，TEM波E
H
k
当 时，其相伴的磁场为jkzxE e E e
1z EH e
对于均匀平面电磁波，有：
重要结论：
( )
电磁场与电磁波 6
无界理想媒质中均匀平面波的传播特性总结
x
y
z
E
H
O
理想介质中均匀平面波的 和E H
电场、磁场与传播方向之间相互垂直，是横电磁波（TEM波)。
无衰减，电场与磁场的振幅不变。
波阻抗为实数，电场与磁场同相位。
电场能量密度等于磁场能量密度，
能量的传输速度等于相速。
电磁场与电磁波 7
电磁波极化判断结论
线极化：φ ＝0、± 。
φ＝0，在1、3象限；φ＝± ，在2、4象限。
椭圆极化：其它情况。
0 < φ < ，左旋；－ < φ＜0，右旋 。
圆极化：φ＝± /2，Exm＝Eym 。
取“+”，左旋圆极化；取“-”，右旋圆极化。
电磁波的极化状态取决于Ex 和 Ey 的振幅Exm、Eym 和相位差
φ＝φy-φx
对于沿+ z 方向传播的均匀平面波：
电磁场与电磁波 85.3.1 导电媒质中的均匀平面波
导电媒质中的波动方程
在无源的导电媒质区域中，麦克斯韦方程为
称为复介电
常数或等效
介电常数
H E j E E j B
0 0H E
( )H j j E
eJ
cj E
第一个方程可以改写为
则导电媒质中的波动方程为：
2 2 2 2
2 2 2 2
0 0
0 0c c
c c
E E E k EH H H k H
2 2 2c ck j
电磁场与电磁波 9
比较损耗媒质中的波动方程和理想介质中的波动方程可知：方程形
式完全相同，差别仅在于 ,c ck k
导电媒质中的波动方程的解
在损耗媒质中波动方程对应于沿+z方向传播的均匀平面波解为： cjk z
x xmE e E e
式中： 为复数。令 ，则 2c ck ck j j
z z j zx xm x xmE e E e e E e
m( , ) e cos( )zx xE z t e E t z
瞬时值形式.
振幅有衰减 称为电磁波的传播常数，单位：1/m
是衰减因子， 称为衰减常数，单位：Np/m（奈培/米）e z
je z 是相位因子， 称为相位常数，单位：rad/m（弧度/米）
电磁场与电磁波 10
j( )m
c c
1 1( ) ( ) e ez zz y xH z e E z e Ε
jc c
c
c (1
e
)j j
m
c
( , ) e cos( )zxy
EH z t e t z
相伴的磁场
本征阻抗为复数
磁场相位滞后于电场
式中， 为导电媒质本征阻抗：c
kH
E
导电媒质中的电场与磁场
H
E
k
非导电媒质中的电场与磁场
理想媒质中 导电媒质中
电磁场与电磁波 11
能量密度与能流密度
221 Re[ ] cos ( )
2 2zm
av mc
ES E H e k E
为电场振幅
衰减快于场量
电场能量密度：2 2 2 21 cos ( )
2 2z
e xmw E E e t z
磁场能量密度： 212mw H
22 2
2 cos ( )2
zxm
c
E e t z
结论：导电媒质中均匀平面波的磁场能量大于电场能量。
电磁波的平均能流密度：
2 2 2 2 1/ 2cos ( )[1 ( ) ]2
zxmE e t z
电磁场与电磁波 12
为横电磁波（TEM波）， 、 、 三者满足右手螺旋关系E
H
k
无界导电媒质中均匀平面波的传播特性总结
磁场能量大于电场能量。
媒质的本征阻抗为复数，电场与磁场不同相位，磁场滞后于
电场 角；
在波的传播过程中，电场与磁场的振幅呈指数衰减；
波的传播速度（相速度）不仅与媒质参数有关，而且与频率
有关，为色散波；
电磁场与电磁波 13
良导体中的电磁波
在良导体中， ，则前面讨论得到的 ， 近似为 1
1 12 2
f f ＝ ＝
41
1
jj ej j
c＝波阻抗：
重要性质：在良导体中，磁场相位滞后电场相位4
电磁场与电磁波 14
趋肤效应：电磁波的频率越高，衰减系数 越大。高频电磁波只能
存在于良导体的表面层内，称为趋肤效应。 f
趋肤深度 ：电磁波穿入良导体中，当波的幅
度下降为表面处振幅的 时，波在良导体中
传播的距离，称为趋肤深度。
1
e
1 1mm
EE e e f
对于良导体：1 1
2
趋肤深度
mE
m eE
铜
σ＝5.8×10－7
μ＝4π×10－7
频率 50Hz 1MHz 10GHz
δ(m) 9.33×10－3 6.6×10－5 6.6×10－7
电磁场与电磁波 15 弱导体中的电磁波
在弱导体中， ，则前面讨论得到的 ， 近似为 1
,2
1/ 2c
c
(1 ) (1 j )j 2
弱导电媒质中均匀平面波的特点:
相位常数和非导电媒质中的相位常数大致相等；
衰减小；
电场和磁场之间存在较小的相位差。
电磁场与电磁波 16
电磁场与电磁波 17
讨论内容
6.1 均匀平面波对分界面的垂直入射
6.2 均匀平面波对多层介质分界平面的垂直入射
6.3 均匀平面波对理想介质分界平面的斜入射
6.4 均匀平面波对理想导体表面的斜入射
电磁场与电磁波 18
边界条件入射波（已知）＋反射波（未知） 透射波（未知）
现象：电磁波入射到不同媒质
分界面上时，一部分波
被分界面反射，一部分
波透过分界 面。
均匀平面波垂直入射到两种不同媒质的分界平面
入射波
反射波
介质分界面
iE
ik
rE iH
rH
rk
o z
y
x
媒质 1
媒质 2
tE
tH tk
透射波
入射方式：垂直入射、斜入射；
媒质类型：
理想导体、理想介质、导电媒质
分析方法：
电磁场与电磁波 19
电磁波入射于介质界面时，发生反射和折射现象。关于
反射和折射的规律包括两个方面：（1）入射角、反射
角和折射角的关系；（2）入射波、反射波和折射波的
振幅比和相对相位。
任何波动在两个不同界面上的反射和折射现象属于边值
问题，它是由波动的基本物理量在边界上的行为确定的，
对电磁波来说，是由E 和B 的边界关系确定的。因此，
研究电磁波反射折射问题的基础是电磁场在两个不同介
质界面上的边值关系。
电磁场与电磁波 20
一般情况下电磁场的边值关系
2 1
2 1
2 1
2 1
( ) 0( )
( )( ) 0
n E En H H αn D Dn B B
电磁场与电磁波 21
这组边值关系是麦克斯韦方程组的积分形式应用到边界
上的推论。在绝缘介质界面上，σ = 0 ,α = 0。
在讨论时谐电磁波时，介质界面上的边值关系只需考虑
以下两式：
2 1
2 1
( ) 0( ) 0
n E En H H
2 1
2 1
t t
t t
E EH H
电磁场与电磁波 22
设介质1和介质2的分界面为无穷大平面，且平面电磁波
从介质1入射于界面上，在该处产生反射波和折射波。
设反射波和折射波也是平面波（由下面所得结果可知这
假定是正确的）。设入射波、反射波和折射波的电场强
度分别为 Ei、Er和 Et，波矢量分别为 ki、kr 和 kt。
它们的平面波表示分别为 ( )
( )
( )
( , )
( , )
( , )
i
r r
t
j t zi im
j t zr rm
j tt tm
z t ez t e
z t e
E EE E
E E
i
t
k
k
k z
电磁场与电磁波 23
现在先求波矢量方向之间的关系。应用边界条件时，注
意介质1中的总场强为入射波与反射波场强的叠加，而
介质2中只有折射波，因此有边界条件
( ) ( )
( )
( ( , ) ( , )) ( , )
( )i r r
t
i r tj t z j t z
im rmj t
tm
z t z t z t
e e
e
n E E n E
E E
E
i
t
k k
k z
nn
电磁场与电磁波 24
在分界面 z=0 平面上
必然有：
即，入射、反射和折射光的频率相等。
( )i r
t
j t j tim rm
j ttm
e e
e
E E
E
nn
i r t
电磁场与电磁波 25
6.1 均匀平面波对分界平面的垂直入射
6.1.1 对导电媒质分界面的垂直入射
1 1 1 、 、
2 2 2 、 、
沿x方向极化的均匀平面波从
媒质1 垂直入射到与导电媒质
2 的分界平面上。
z < 0中，导电媒质1 的参数为
z > 0中，导电媒质 2 的参数为
z
x媒质1： 媒质2：
111 ,, 222 ,,
y
iE
iHik
rErk
tE
tHtk
rH
入射波
反射波
介质分界面
iE
ik
rE iH
rH
rk
o z
y
x
媒质 1
媒质 2
tE
tH tk
透射波
电磁场与电磁波 26
1 1 1 1
1 211 1
1
(1 )
c cjk j
j j
1 21 1 11
1 1 1
1 211
1
(1 )
(1 )
cc
j
j
媒质1中的入射波：
1
1
1
( ) e
( ) e
c
c
jk zi x im
jk zimi y
c
E z e EEH z e
媒质1中的反射波：
1
1
1
( ) e
( ) e
c
c
jk zr x rm
jk zrmr y
c
E z e EEH z e
媒质1中的合成波：
1 1
1 1
1
11
( ) ( ) ( ) e e
1( ) ( ) ( ) e e
c c
c c
jk z jk zi r x im rm
jk z jk zi r y im rm
c
E z E z E z e E E
H z H z H z e E E
z
x媒质1： 媒质2：
111 ,, 222 ,,
y
iE
iHik
rErk
tE
tHtk
rH
电磁场与电磁波 27媒质2中的透射波：
1 222 2 2 2 2
2
(1 )c ck j
1 2 1 22 2 2 22 2
2 2 2 2
(1 ) (1 )cc
j j
2 2
2
( ) e , ( ) ec cjk z jk ztmt x tm t y
c
EE z e E H z e
在分界面z = 0 上，电场强度和磁场强度切向分量连续，即
1 2
1 1( )
im rm tm
im rm tmc c
E E E
E E E
1 2
1 2
(0) (0)(0) (0)
E EH H
电磁场与电磁波 28
定义分界面上的反射系数Γ为反射波电场的振幅与入射波电
场振幅之比、透射系数τ为透射波电场的振幅与入射波电场振幅
之比。
1 2
1 1( )
im rm tm
im rm tmc c
E E E
E E E
2
2 1
2tm c
im c c
EE
2 1
2 1
rm c c
im c c
EE
The ratio of the amplitudes of the reflected and incident waves is termed the reflection coefficient.反射波振幅与入射波振幅的比率称作反射系数。
The ratio of the amplitudes of the transmitted and incident waves is termed the transmission coefficient.透射波振幅与入射波振幅的比率称作透射系数。
电磁场与电磁波 29
2 1 2
2 1 2 1
2,
1 2
1 1( )
im rm tm
im rm tmc c
E E E
E E E
2
2 1
2tm c
im c c
EE
2 1
2 1
rm c c
im c c
EE
讨论：
1 和 是复数，表明反射波和透射波的振幅和相位与入射波
都不同。
1 0 、 若媒质2理想导体，即2= ，则η2c= 0，故有
若两种媒质均为理想介质，即1= 2= 0，则得到
电磁场与电磁波 30 例2.7.1 z < 0的区域的媒质参数为 , z > 0 区域的媒质参数为 。若媒质1中的电场
强度为
1 0 1 0 1 0 、 、
2 0 2 0 25 20 0 、 、
8 81( , ) [60cos(15 10 5 ) 20cos(15 10 5 )] V/mxE z t e t z t z
82 ( , ) cos(15 10 50 ) V/mxE z t e A t z
媒质2中的电场强度为
（1）试确定常数A的值;（2）求磁场强度 和 ； （3）验证 和 满足边界条件。
1 ( , )z tH
2 ( , )z tH
1 ( , )z tH
2 ( , )z tH
教材 第80页 例题 2.7.1
电磁场与电磁波 31 例2.7.1 z < 0的区域的媒质参数为 , z > 0 区域的媒质参数为 。若媒质1中的入射
电磁波电场强度为
1 0 1 0 1 0 、 、
2 0 2 0 25 20 0 、 、
81( , ) [60cos(15 10 5 )] V/mxE z t e t z
（1）求媒质2中的透射电磁波电场强度、媒质1中的反射电磁波电场强度、媒质1中的总电磁波电场强度；
（2）求媒质2中的透射电磁波磁场强度、媒质1中的反射电磁波磁场强度、媒质1中的入射电磁波磁场强度、媒质1中的总电磁波磁场强度。
电磁场与电磁波 32 例2.7.1 z < 0的区域的媒质参数为 , z > 0 区域的媒质参数为 。若媒质1中的入射
电磁波电场强度为
1 0 1 0 1 0 、 、
2 0 2 0 25 20 0 、 、
81( , ) [60cos(15 10 5 )] V/mxE z t e t z
则媒质2中的透射电磁波电场强度、
媒质1中的反射电磁波电场强度、
媒质1中的总电磁波电场强度；
解：设媒质1中的入射电磁波电场强度为：
81 1 1 1 1( , ) cos( )] 60 15 10 5xE z t e E t k z E k
1 3( , ) ( , )E z t E z t
2 2 2( , ) cos( )]xE z t e E t k z
3 3 1( , ) cos( )]xE z t e E t k z
电磁场与电磁波 33
1 0 1 0 1
011 0
1 0
2 0 2 0 2
022 0
2 0
2 2 2 0 0 1
0
5 20 0
20 25
10 10 50k k
、 、
、 、
2 1
3 1
4313
E E
E E
3 2 1
1 2 1
2 2
1 2 1
13
2 43
EEEE
电磁场与电磁波 34 例2.7.1 z < 0的区域的媒质参数为 , z > 0 区域的媒质参数为 。若媒质1中的入射
电磁波电场强度为
1 0 1 0 1 0 、 、
2 0 2 0 25 20 0 、 、
81( , ) [60cos(15 10 5 )] V/mxE z t e t z
则媒质2中的透射电磁波电场强度、
媒质1中的反射电磁波电场强度、
媒质1中的总电磁波电场强度；
解：设媒质1中的入射电磁波电场强度为：
81 1 1 1 1 1 1( , ) cos( )] 60 15 10 5xE z t e E t k z E k
8 8[60cos(15 10 5 ) 20cos(15 10 5 )]xe t z t z
82 ( , ) 80 cos(15 10 50 )]xE z t e t z
83( , ) 20cos(15 10 5 )]xE z t e t z
电磁场与电磁波 35 例2.7.1 z < 0的区域的媒质参数为 , z > 0 区域的媒质参数为 。若媒质1中的入射
电磁波电场强度为
1 0 1 0 1 0 、 、
2 0 2 0 25 20 0 、 、
81( , ) [60cos(15 10 5 )] V/mxE z t e t z
则媒质2中的透射电磁波磁场强度、
媒质1中的反射电磁波磁场强度、
媒质1中的总电磁波磁场强度；
解：媒质1中的入射电磁波磁场强度为：
811 1 1 1 1 1
0
( , ) cos( )] 60 15 10 5yEH z t e t k z E k
82
1( , ) cos(15 10 50 )]3yH z t e t z
83
1( , ) cos(15 10 5 )]6yH z t e t z
8 81 1[ cos(15 10 5 ) cos(15 10 5 )]2 6ye t z t z
电磁场与电磁波 36
rm imE E
6.1.2 对理想导体表面的垂直入射 x媒质1： 媒质2：
111 ,, 2
z
z=0
y
iE
iH ik
rE
rH
rk
媒质1为理想介质，σ1＝0
媒质2为理想导体，σ2＝∞
故 1 0 、
媒质1中的入射波： 1 1
1
( ) e , ( ) ejk z jk zimi x im i y
EE z e E H z e
媒质1中的反射波： 1 1
1
( ) e , ( ) ejk z jk zimr x im r y
EE z e E H z e
1 1 1 ,k 11
1
,
则2 0
在分界面上，反射波电场与入射波电场的相位差为π
电磁场与电磁波 37
1 1
1 1
1 1
11
1 1
( ) (e e ) 2 sin( )2 cos( )( ) (e e )
jk z jk zx im x im
jk z jk zim imy y
E z e E e j E k zE E k zH z e e
媒质1中合成波的电磁场为
合成波的平均能流密度矢量
* *11 1 1
1
2 cos( )1 1Re[ ] Re 2 sin( ) ( ) 02 2
imav x im y
E k zS E H e j E k z e
1 1 1
1 1 11
( , ) Re[ ( )e ] 2 sin( ) sin( )2( , ) Re[ ( )e ] cos( ) cos( )
j tx im
j t imy
E z t E z e E k z tEH z t H z e k z t
瞬时值形式
11 0 0
1 1
2 cos( ) 2( ) | ( ) |im imS n z z y z x
E k z EJ e H z e e e
理想导体表面上的感应电流
电磁场与电磁波 38
合成波的特点
1 mink z n 1min 2
nz
1max
(2 1)4
nz (n = 0,1,2,3,…)
(n = 0 ,1,2,3,…)
媒质1中的合成波是驻波。
电场振幅的最大值为2Eim，
最小值为0 ；磁场振幅的最
大值为2Eim /η1，最小值也
为0。
1( )zE 电场波节点（ 的最小值的位置）：
电场波腹点（ 的最大值的位置）:1( )zE
1 max (2 1) / 2k z n
电磁场与电磁波 39
坡印廷矢量的平均值为零，不
发生能量传输过程，仅在两个
波节间进行电场能量和磁场能
的交换。
在时间上有π/ 2 的相移 1 1、E H
在空间上错开λ/ 4，电
场的波腹（节）点正好是磁场
的波节腹）点；
1 1、E H
两相邻波节点之间任意两点
的电场同相。同一波节点两
侧的电场反相
电磁场与电磁波 40
例6.1.1 一均匀平面波沿+z方向传播，其电场强度矢量为
100sin( ) 100cos( ) V/mi x yE e t kz e t kz
解：(1) 电场强度的复数表示
2 2100e e 100e =100 e ej jjkz jkz jkz
i x y x yE e e e e
（ + ）
（1）求相伴的磁场强度 ；
（2）若在传播方向上z = 0处，放置一无限大的理想导体平板，
求区域 z < 0 中的电场强度 和磁场强度 ；
（3）求理想导体板表面的电流密度。
2
0 0
1 100( ) ( )j jkz
i z i x yH z e E e e e
e则
Z
2y x
沿 轴正方向传播
左旋园极化波
电磁场与电磁波 41写成瞬时表达式
(2) 反射波的电场为 0
( , ) Re[ ( ) ]1 1[ 100cos( ) 100cos( )]
2
j ti i
x y
H z t H z e
e t kz e t kz
反射波的磁场为
12
2
( ) 100e 100e
=100 e
jjkz jkzr x y
jkzx y
E z e e e
e e
jj（ e + e ）
2
0 0
1 100( ) ( ) ( e )ej jkz
r z r x yH z e E e e
Z
2y x
沿 轴负方向传播
右旋园极化波
电磁场与电磁波 42
12
1
12
12
10
200e sin( ) 200sin( )
= 200 e sin( )
200 ( e )cos( )
j
i r x y
j
x y
j
i r x y
E E E e j kz e j kz
e e kz
H H H e e kz
（ ）
1 12 2
0 0
200 200 0.53j j
x y x ye e e e e e
（ ）
在区域 z < 0 的合成波电场和磁场分别为
(3) 理想导体表面电流密度为
1 0S z zJ e H
驻波，园极化波
电磁场与电磁波 436.1.3 对理想介质分界面的垂直入射
1 21 1 2 2
1 2
,c c
设两种媒质均为理想介质，即
1= 2= 0
2 1 2
2 1 2 1
2,
1 1 1
2 2 2
k
k
则
讨论
当η2>η1时，Γ> 0，反射波电场与入射波电场同相
当η2<η1时，Γ< 0，反射波电场与入射波电场反相
z
x媒质1： 媒质2：
111 ,, 222 ,,
y
iE
iHik
rErk
tE
tHtk
rH
电磁场与电磁波 44
媒质1中的入射波： 1
1
1
( ) e
( ) e
jk zi x im
jk zimi y
z EEz
E e
H e
媒质1中的反射波： 1
1
1
( ) e
( ) e
jk zr x im
jk zimr y
z EEz
E e
H e
媒质1中的合成波： 1 1
1 1
1
11
( ) ( ) ( ) (e e )
( ) ( ) ( ) (e e )
jk z jk zi r x im
jk z jk zimi r y
z z z EEH z H z H z
E E E e
e
媒质2中的透射波： 2
2
2
22
( ) ( ) e
( ) ( ) e
jk zt x im
jk zimt y
z z EEz z
E E e
H H e
电磁场与电磁波 45
1 1
1 1 1
1
1
1
( ) (e e )
(1 )e (e e )
(1 )e 2 sin( )
jk z jk zx im
jk z jk z jk zx im
jk zx im
z E
E
E j k z
E e
e
e
合成波的特点
这种由行波和纯驻波合成的波称为行驻波（混合波）
—— 合成波电
场
—— 驻波电场
z
—— 驻波电场
电磁场与电磁波 46
12 21 1( ) 1 e 1 2 cos(2 )j k z
im imE z E E k z
1 max( ) 1imE z E
2/112/3 1122/5 1
4143 145 149 1 47 1—— 合成波电
场振幅
—— 合成波电
场
z
当β1z=－nπ，即z=－nλ1/2 (n=0,1,2,…)时，有
1 min( ) 1imE z E
合成波电场振幅（ > 0，η2 >η1 ,反射无半波损失）
当β1z=－(2n＋1)π/2，即z=－(n/2+1/4)λ1 (n=0,1,2,…)时，有
电磁场与电磁波 47
12 21 1( ) 1 e 1 2 cos(2 )j k z
im imE z E E k z
1 min( ) 1imE z E
当k1z=－nπ，即z=－nλ1/2 (n=0,1,2,…)时，有
1 max( ) 1imE z E
合成波电场振幅（ < 0 ，η2 <η1 ，反射有半波损失）
当k1z=－(2n＋1)π/2，即z=－(n/2+1/4)λ1 (n=0,1,2,…)时，有
2/112/3 1122/5 1
4143 145 149 1 47 1—— 合成波电
场振幅
—— 合成波电
场
z
电磁场与电磁波 48
驻波系数 S 定义为驻波的电场强度振幅的最大值与最小值之
比，即
11
SS
驻波系数(驻波比) S
max
min
11
ES
E
讨论：
当Г＝0 时，S ＝1，为行波；
当Г＝±1 时，S = ，是纯驻波。
当 时，1< S < ，为混合波。S 越大，驻波分量
越 大，行波分量越小；
0 1
电磁场与电磁波 49 例6.1.2 在自由空间，一均匀平面波垂直入射到半无限大的
无耗介质平面上，已知自由空间中，合成波的驻波比为3，介质内
传输波的波长是自由空间波长的1/6，且分界面上为驻波电场的最
小点。求介质的相对磁导率和相对介电常数。
13
1S
解：因为驻波比
由于界面上是驻波电场的最小点，故
0 02 6r r
又因为2区的波长
12
2 1
2 1
而反射系数
1 0 , 22 0
2
r
r
式中
12
36r r
2 013
2r
18r
19
r
r
电磁场与电磁波 50
2 21
2
1 (1 )(1 )
22
2, , 2 22
1 Re[ ]2 2
imav t av x y z
EE H
S S e e e
媒质2中的平均功率密度
媒质1中沿z方向传播的平均功率密度
* 2,
1
1 1R e2 2i av i i z imE
S E H e
* 2 2,
1
1 1Re2 2r av r r z imE
S E H e
电磁能流密度
由
22
1, 1 11
1 Re[ ] (1 )2 2
imav z
E
S E H e
1, 2,av av S S
入射波平均功率密度减去反射波平均功率密度
电磁场与电磁波 51
22
, 2 22
1 Re[ ]2 2
imt av x y z
EE H
S e e e
媒质2中的平均功率密度
媒质1中沿z方向传播的平均功率密度
* 2,
1
1 1R e2 2i av i i z imE
S E H e
* 2 2,
1
1 1Re2 2r av r r z imE
S E H e
电磁能流密度
定义反射率R，透过率T
, ,
, ,
, , 1r av t av
i av i av
R T R T S SS S
电磁场与电磁波 52
例6.1.3 入射波电场 ，从
空气（z < 0）中正入射到 z = 0的平面边界面上，对z > 0区域
μr=1 、εr = 4 。求区域 z > 0的电场和磁场 。
9100cos(3 10 10 ) V/mx t z
iE e
解：z > 0区域的本征阻抗
2 22 0
2 2
120 602
r
r
透射系数
2
1 2
2 2 60 0.667120 60
媒质1 媒质20,, 111 0,, 222
z
x
y
iE
iH
iS
rE
rH
rS
tE
tH
tS
电磁场与电磁波 53
相位常数
故
9
2 2 2 0 0 2 8
3 10 2 20 rad/m3 10rk
2 2 2 1 29
9
cos( ) cos( )
0.667 10cos(3 10 20 )
6.67 cos(3 10 20 ) V/m
x m x m
x
x
E e E t k z e E t k ze t ze t z
2 22
9
9
1
6.67 cos(3 10 20 )600.036cos(3 10 20 ) A/m
z
y
y
H e E
e t z
e t z
电磁场与电磁波 54 例 6.1.4 已知媒质1的εr1=4、μr1=1、σ1=0 ； 媒质2 的εr2=10、μr2 = 4、σ2= 0 。角频率ω＝5×108 rad /s 的均匀平面波从媒质1垂直入射到分界面上，设入射波是沿 x 轴方向的线极化波，在t＝0、z＝0 时，入射波电场的振幅为2.4 V/m 。求：
(1) k1和k2 ；
(2) 反射系数Г1 和Г2 ；
(3) 1区的电场 ； (4) 2区的电场 。
1( , )E z t
2( , )E z t
解:（1） 8
1 1 1 0 0 1 1 8
5 10 2 3.33 rad/m3 10r rk
8
2 0 0 2 2 8
5 10 10 4 10.54 rad/m3 10r rk
电磁场与电磁波 55
1 11 0 0
1 1
1 602
r
r
2 22 0 0
2 2
4 75.910
r
r
2 1
2 1
75.9 60 0.11760 75.9
（2）
（3） 1区的电场
1 1
1 1 1
1
1
1
3.33
( ) ( ) ( ) (e e )
(1 )e (e e )]
[(1 )e 2 sin( )]
2.4[(1 0.117)e 0.234sin(3.33 )]
jk z jk zi r x im
jk z jk z jk zx im
jk zx im
j zx
E z E z E z e E
e E
e E j k z
e j z
电磁场与电磁波 56
（4）
2 22 ( ) e ejk z jk z
x tm x imE z e E e E
故
2
1 2
2 1.12
82 ( , ) 2.68cos(5 10 10.54 )xE z t e t z
或 3.33 3.331( ) ( ) ( ) 2.4 0.281j z j z
i r x xz z z E e E E E e e
1 1
8 8
( , ) Re ( )e
2.4cos(5 10 3.33 ) 0.281cos(5 10 3.33 )
j t
x x
E z t E z
e t z e t z
10.54 10.541.12 2.4e 2.68ej z j zx xe e
电磁场与电磁波 57
电磁波在多层介质中的传播具有普遍的实际意义。以三种介质
形成的多层媒质为例，说明平面波在多层媒质中的传播过程及其
求解方法。
如图所示，当平面波自媒质
①向分界面垂直入射时，在媒质
①和②之间的分界面上发生反射
和透射。当透射波到达媒质②和
③的分界面时，又发生反射与透
射，而且此分界上的反射波回到
媒质①和②的分界面上时再次发
生反射与透射。
由此可见，在两个分界面上发生多次反射与透射现象。
6.2 均匀平面波对多层介质分界平面的垂直入射
0 d z
① ② ③1, 1
k1iH1i
E1i
k1r
H2i
E2i
k2i
E1r
H1r k2r
E2r
H2r
k3iH2i
E3i
2, 2 3, 3
x界面1 界面2
电磁场与电磁波 58
媒质①和②中存在两种平面波，其一是向正 z 方向传播的波，
另一是向负 z 方向传播的波，在媒质③中仅存在向正 z 方向传播
的波 。因此，各个媒质中的电场强度可以分别表示为
1、 多层介质中的场量关系与等效波阻抗
1 1 1 1
1 1
1 1 1 1 1
11 1
1
( ) ( e e ) (e e )
( ) (e e ) ( 0)
jk z jk z jk z jk zx im rm x im
jk z jk zimy
z E E EEH z z
E e e
e
2 2 2 2
2 2
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 1 1 2
( ) ( )1 12 2
2
( ) [ e e ] [e e ]
( ) (e e ) (0 )
jk z d jk z d jk z d jk z dx im rm x im
jk z d jk z dimy
z E E EEH z z d
E e e
e
3 3
3
( ) ( )3 3 1 2 1
( )1 2 13
3
( ) e e
( ) e ( )
jk z d jk z dx im x im
jk z dimy
z E EEH z z d
E e e
e
11
1
rm
im
EE
im
im
EE
1
21
im
rm
EE
2
22
im
im
EE
2
32
电磁场与电磁波 59
2 211 2
1 2
1 (1 ) [e e ]jk d jk d
22
2 3
1 (1 )
2 2 )1 1 21 [e e ]jk d jk d
2 21 根据边界条件，在分界面z = d上 ， 得2 3 2 3( ) ( ) ( ) ( )d E d H d H d E 、
在分界面z = 0 上， ，得1 2 1 2(0) (0) (0) (0)E H H E 、
3 22
3 2
,
3
23 2
2
11
1
,ef
ef
2 2
11
2
1e ejk d jk d
其中：2 2
2 2
3 3 222 2
2 2 3 2
tan( )e ee e tan( )
jk d jk d
ef jk d jk d
j k dj k d
等效波阻抗
电磁场与电磁波 60 在计算多层媒质的第一个分界面上的总反射系数时，引入
等效波阻抗概念可以简化求解过程。
则媒质②中任一点的波阻抗为
( )( )( )
E zzH z
2 2
2 2
( ) ( )2 2
2 2 ( ) ( )2 2
( ) e e( )( ) e e
jk z d jk z d
jk z d jk z d
zzH z
E
定义媒质中任一点的合成波电场与合成波磁场之比称为该点
的波阻抗 ，即( )z
在z＝0 处，有2 2
2 2
22 2
2
e e(0)e e
jk d jk d
efjk d jk d
由此可见， 即为媒质②中z＝0 处的波阻抗。 ef
电磁场与电磁波 61
引入等效波阻抗以后，在计算第一层媒质分界面上的反射系
数 时 ，第二层媒质和第三层媒质可以看作等效波阻抗为 的
一种媒质。
ef1
0 d z
① ② ③1, 1
k1iH1i
E1i
k1r
H2i
E2i
k2i
E1r
H1r k2r
E2r
H2r
k3iH2i
E3i
2, 2 3, 3
x界面1 界面2
0 z
① ②1, 1
k1iH1i
E1i
k1r
H2
E2
k2
E1r
H1r
ef
x界面1
电磁场与电磁波 62 利用等效波阻抗计算n 层媒质的第一条边界上的总反射系数
时，首先求出第 (n2) 条分界面处的等效波阻抗(n-2)ef ，然后用
波阻抗为(n-2)ef 的媒质代替第(n1) 层及第 n 层媒质。
依次类推，自右向左逐一计算各条分界面处的等效波阻抗，直
至求得第一条边界处的等效波阻抗后，即可计算总反射系数。
1 2 3 (n-2)ef
(3)(2)(1) (n-3)
1 2ef
(1)
1 2 3 (n-2) (n-1) n
(n-2) (n-1)(3)(2)(1) (n-3)
1 2 3 (n-2) (n-1)ef
(n-2)(3)(2)(1) (n-3)
电磁场与电磁波 63
设两种理想介质的波阻抗分别为η1 与η2 ，为了消除分界面
的反射，可在两种理想介质中间插入厚度为四分之一波长（该
波长是指平面波在夹层中的波长）的理想介质夹层，如图所示。
首先求出第一个分界面上的等效波
阻抗。考虑到
4d η1 η η2
②①
4
π2
kd
为了消除反射，必须要求 ，那么由上式得1ef
1 2
2、四分之一波长匹配层
2
12
22
2 2
tan( )tan( )ef
j kdj kd
电磁场与电磁波 64
同时，
3、 半波长介质窗
22
2
2tan( ) tan( ) tan 02
k d
3 2 22 3 1
2 3 2
tan( )tan( )ef
j k dj k d
11
1
0ef
ef
2 2
11
2 2
1 1e e 1jk d jk d
1 2 1 3 1t iE E
3 1
2 / 2d
如果介质1和介质3是相同的介质，即 ，当介质2的厚
度 时，有
由此得到介质1与介质2的分界面上的反射系数
2 / 2d 2k d
结论：电磁波可以无损耗地通过厚度为 的介质层。因此，
这种厚度 的介质层又称为半波长介质窗。
2
2d
电磁场与电磁波 65
此外，如果夹层媒质的相对介电常数等于相对磁导率，即
r = r ，那么，夹层媒质的波阻抗等于真空的波阻抗。
由此可见，若使用这种媒质制成保护天线的天线罩，其电
磁特性十分优越。但是，普通媒质的磁导率很难与介电常数达
到同一数量级。近来研发的新型磁性材料可以接近这种需求。
当这种夹层置于空气中，平面波向其表面正投射时，无论夹
层的厚度如何，反射现象均不可能发生。换言之，这种媒质对于
电磁波似乎是完全“透明”的。
应用：雷达天线罩的设计就利用了这个原理。为了使雷达天线免
受恶劣环境的影响，通常用天线罩将天线保护起来，若天线罩的
介质层厚度设计为该介质中的电磁波的半个波长，就可以消除天
线罩对电磁波的反射。
电磁场与电磁波 666.3 均匀平面波对理想介质分界平面的斜入射
当平面波向平面边界上
以任意角度斜投射时，同样
会发生反射与透射现象，而
且通常透射波的方向与入射
波不同，其传播方向发生弯
折，因此，这种透射波又称
为折射波。 均匀平面波对理想介质分界面的斜入射
iq rq
tq
z
x
y
iE //iE
i^E入射波
反射波
透射波
分界面
入射面 //rE
r^E
rE
t^EtE
//tE
ik rk
tk
电磁场与电磁波 67
课下作业：
第254-257页
6.2，6.8，6.15，6.22
67
电磁场与电磁波 68