力学の典型的な例題 ２回目

F = (0, 0, mg)の場合（空気抵抗がない場合）の運動は

※特に“t=0に座標原点からそっと落とした”場合は

a(t)=(0, 0, g)

v(t)=(0, 0, gt)

r(t)=(0, 0, gt2/2)

z

m

F

y

x

加速度 a(t)=(0, 0, g)

（g=地上の重力により生じる加速度の

大きさ=“重力加速度”（≈9.8m/s2））

速度 v(t)=(vx0, vy0, gt+vz0)

位置 r(t)=(vx0t+x0, vy0t+y0, gt2/2+vz0t+z0)

F = (0, 0, mg-gvz)

空気抵抗がある場合： 質点は重力の他に

抵抗力-gvも受ける。（gは定数）

質点にはたらいているFは

z

m

mg

y

x

となる

x方向、y方向の運動に変更はないが、

z方向の運動方程式： Fz=md2z/dt2 は

mg-gvz=md2z/dt2

と変更される。

d2z/dt2=dvz/dt なので、この運動方程式は

mg-gvz=mdvz/dt となる・・・これを満たすvz(t)を求める

抵抗力

F = (0, 0, mg) ではなく、

z

m

mg

y

x

mg-gvz=mdvz/dt を少し変形する・・・

-(g/m)×(vz-mg/g)=dvz/dt まだ少し見づらい・・・

-(g/m)×(vz-mg/g)=dvz/dt ←赤い部分に注目

“赤い部分”を V=vz-mg/g とおくと、

vz=V+mg/g でもあるので、運動方程式

-(g/m)×(vz-mg/g)=dvz/dt は

-(g/m)×V=d(V+mg/g)/dt となる

=dV/dt+d(mg/g)/dt

mg/gは定数なので

d(mg/g)/dt=0

よって、運動方程式は

-(g/m)×V=dV/dt となる（かなりシンプル！）

抵抗力

z

m

mg

y

x

-(g/m)×V=dV/dt

を満たすV(t) は？・・・この“微分方程式”は

a=-g/m とおけば

dV/dt=a×V のタイプになる（さらにシンプル）。

(eat)’ =a×eat に気が付けば、（e=2.7182818・・・）

V=V0eat に対して（V0は定数）

dV/dt=a×V がなりたつので、

V=V0eat が解となることがわかる：

V=V0e-gt/m （V0は定数）

※ e-gt/mは見づらいので、大学では通常これを

exp(-gt/m) と記す

抵抗力

z

m

mg

y

x

V=V0exp(-gt/m) （V0は定数）

本来 V=vz-mg/g だったので

vz-mg/g=V0exp(-gt/m) よって、

vz(t)=V0exp(-gt/m)+mg/g

そっと落とした場合には

vz(0)=0 である。これを用いて

vz(0)=0=V0exp(-g×0/m)+mg/g よって、

0=V0+mg/g

これより

V0=-mg/g である。よって速度のz成分は

vz(t)=(mg/g){1-exp(-gt/m)}

抵抗力

z

m

mg

y

x

vz(t)=(mg/g){1-exp(-gt/m)}

加速度は？

これをtで微分して

az=dvz/dt =-(mg/g){-g/m exp(-gt/m)}

az=g exp(-gt/m) となる。

抵抗力

z

m

mg

y

x

z(t)は？

vz(t)=(mg/g){1-exp(-gt/m)} を

積分すればよい

z(t)= ∫vz(t)dt= ∫(mg/g){1-exp(-gt/m)} dt

= ∫mg/g-(mg/g)exp(-gt/m)} dt

=mgt/g+ (m2g/g2)exp(-gt/m)+C

ここで出てきた定数Cは

t=0 で z=0 にいたという条件より

0=mg×0/g+ (m2g/g2)exp(-g×0/m)+C

0=m2g/g2+C 、よって

C=-m2g/g2 である。

抵抗力

z

m

mg

y

x

z(t)の最終解は

z(t)= mgt/g+ (m2g/g2)exp(-gt/m)-m2g/g2

= mgt/g+ (m2g/g2){exp(-gt/m)-1}

抵抗力

z

m

mg

y

x

空気抵抗がある場合：

az(t)=g exp(-gt/m)

vz(t)=(mg/g){1-exp(-gt/m)}

z(t)= mgt/g+ (m2g/g2){exp(-gt/m)-1}

抵抗力

空気抵抗がない場合：

az(t)=g

vz(t)=gt

z(t)=gt2/2

まとめると

t=0で原点にいた質点をそっと落とした際

z

m

mg

y

x 空気抵抗がある場合：

az(t)=g exp(-gt/m)

抵抗力

空気抵抗がない場合：

az(t)=g

それぞれを比較してみる

az

t

g(≒9.8m/s2)

mg-gvz=mdvz/dt =maz

を思い出して状況を想像すれば・・・

t≈0 ⇒ vz≈0 ⇒ mg-gvz≈mg ⇒ az≈g

Quite Reasonable!

t>>1 ⇒ vz→大 ⇒ mg-gvz≈0 ⇒ az≈0

Quite Reasonable!

z

m

mg

y

x

空気抵抗がある場合：

vz(t)=(mg/g){1-exp(-gt/m)}

抵抗力

空気抵抗がない場合：

vz(t)=gt

vz

t

t≈0 では・・・

exp(x)≈1+x+x2/2+・・・ を用いると

exp(-gt/m)≈1-gt/m として

vz(t)≈(mg/g){1-(1-gt/m)}=gt

Quite Reasonable!

t>>1 では exp(-gt/m)→0 より

vz(t)→mg/g

mg/g

vz=gt

mg-gvz=mdvz/dt =maz

を思い出して状況を想像すれば・・・

t>>1 では maz →0 より mg-gvz→0

⇒ vz(t)→mg/g Quite Reasonable!

z

m

mg

y

x

空気抵抗がある場合：

z(t)= mgt/g+ (m2g/g2){exp(-gt/m)-1} 抵抗力

空気抵抗がない場合：

z(t)=gt2/2

z

t

t≈0 では・・・

exp(x)≈1+x+x2/2+・・・ を用いると

exp(-gt/m)≈1-gt/m+(gt/m)2/2 として

z(t)≈mgt/g+ (m2g/g2){1-gt/m+(gt/m)2/2 -1}

≈ gt2/2

Quite Reasonable!

z=gt2/2

z

m

mg

y

x

空気抵抗がある場合：

z(t)= mgt/g+ (m2g/g2){exp(-gt/m)-1}

抵抗力

空気抵抗がない場合：

z(t)=gt2/2

z

t

t>>1 では exp(-gt/m)→0 より

z(t)→mgt/g - m2g/g2

t>>1 では

vz(t)→mg/g=vz(∞) なので

t>>1 では

z(t)→ vz(∞)t - m2g/g2

Quite Reasonable!

t>>1 での vz(t)→mg/g=vz(∞) を

終端速度（終速度）とよぶ

z=gt2/2

z

m

mg

y

x ①空気抵抗がある場合：

az(t)=g exp(-gt/m)

vz(t)=(mg/g){1-exp(-gt/m)}

z(t)= mgt/g+ (m2g/g2){exp(-gt/m)-1}

は、空気抵抗が小さい場合（vz<<1）には

抵抗力

②空気抵抗がない場合の

az(t)=g

vz(t)=gt

z(t)=gt2/2 と一致し、

t=0で原点にいた質点をそっと落とした際の 運動の

③空気抵抗が大きい場合（vz>>1）は 空気抵抗と重力がつりあった際の一定

速度（mg/g=vz(∞)）で、等速運動を行う

より複雑な理論は、これまでの単純な 理論をその中に含んでいなければならない

一定の速さ（等しい速さ）で半径rの円運動を行う質量mの質点

について（=等速円運動）

誤解その１：等速度円運動、ではない！

（等速度円運動は存在しない）

誤解その２：加速度の大きさ ≠0？

加速度の方向は？？

誤解その３：円運動を起こすための力？

力の方向は？？

x

y

r

v

m

質点は一定の“角速度”w (radian/s)で

回転している、とする

t=0で質点がx軸上にあったとすれば、

t 秒後の角度 q(t) は

q(t)＝wt (radian)である

時刻 t における質点の位置 r(t)=(x(t), y(t), z(t) ) は？

x(t)=r cos(wt)

y(t)=r sin(wt)

x

y

r

v m

r(t)=( r cos(wt), r sin(wt), 0 )

時刻 t における速度 v(t) は？

v(t)=dr/dt=(dx/dt, dy/dt, dz/dt) なので

wt

dx/dt=vx=-rwsin(wt)

vy=rwcos(wt)

vz=0 より

v(t)=(-rwsin(wt), rwcos(wt), 0)

x

y

r

v m

r(t)=( r cos(wt), r sin(wt), 0 )

wt

v(t)=(-rwsin(wt), rwcos(wt), 0)

vの向き（方向）は？

位置と速度の内積（スカラー積）を

求めてみると、

r(t)・v(t)= r cos(wt)×-rwsin(wt)+ r sin(wt)×rwcos(wt)

=0

なので、 r(t) と v(t) は

厳密に直交していることがわかる

⇒速度は円の接線方向を向いている

x

y

r

v m

r(t)=( r cos(wt), r sin(wt), 0 )

wt

v(t)=(-rwsin(wt), rwcos(wt), 0)

vの大きさ（速さ）は？

v(t)={vx2+vy

2+vz2}1/2

={ (-rwsin(wt))2+ (rwcos(wt))2}1/2

=[r2w2{sin2(wt)+cos2(wt)}]1/2

=rw （一定=等しい速さで円運動）

速さ v(t)=rw

x

y

r

v m

r(t)=( r cos(wt), r sin(wt), 0 )

wt

v(t)=(-rwsin(wt), rwcos(wt), 0)

加速度aは？

a(t)=dv/dt=(dvx/dt, dvy/dt, dvz/dt)

dvx/dt=ax=-rw2cos(wt)

ay=-rw2sin(wt)

az=0

加速度 a(t)=(-rw2cos(wt), -rw2sin(wt), 0)

x

y

r

v m

r(t)=( r cos(wt), r sin(wt), 0 )

wt

v(t)=(-rwsin(wt), rwcos(wt), 0)

a(t)=(-rw2cos(wt), -rw2sin(wt), 0)

加速度aの大きさは？

|a(t)|=[{-rw2cos(wt)}2+{-rw2sin(wt)}2]1/2

=rw2×{cos2(wt)+sin2(wt)}1/2

=rw2

加速度の大きさ |a(t)| =rw2

x

y

r

v m

r(t)=( r cos(wt), r sin(wt), 0 )

wt

v(t)=(-rwsin(wt), rwcos(wt), 0)

a(t)=(-rw2cos(wt), -rw2sin(wt), 0)

加速度aの向き（方向）は？

a(t)=(-rw2cos(wt), -rw2sin(wt), 0)

=-rw2×(cos(wt), sin(wt), 0) と

r(t)=(r cos(wt), r sin(wt), 0 )

=r×(cos(wt), sin(wt), 0) に注目すると

x

y

r

v m

r(t)=( r cos(wt), r sin(wt), 0 )

wt

a(t)=(-rw2cos(wt), -rw2sin(wt), 0)

加速度aの向き（方向）は？

a(t)=(-rw2cos(wt), -rw2sin(wt), 0)

=-rw2×(cos(wt), sin(wt), 0)

=-rw2er

と

r(t)=(r cos(wt), r sin(wt), 0 )

=r×(cos(wt), sin(wt), 0)

=rer

に注目すると

aとrは平行で、

向きが逆

a

質点から見た際、加速度は常に円の中心方向！

x

y

r

v m

等速円運動

r(t)=( r cos(wt), r sin(wt), 0 )の

速度の大きさ（速さ）=rw 速度の向き=円運動の接線方向

加速度の大きさ=rw2

加速度の向き=円の中心方向！

wt

a

F=ma を思い出すと

↓

力Fと加速度aは

常に平行

等速円運動を生み出す力Fと

aは平行!

↓

Fは質点から見た際、

円運動の中心方向！

（向心力）

x

y

r

v m

等速円運動

r(t)=( r cos(wt), r sin(wt), 0 )の

加速度の大きさ=rw2 および

F=maより、向心力の大きさは

|F|=mrw2

wt

a

半径r、角速度wで等速円運動している質点があれば、

その質点には常に円運動の中心を向いている

大きさmrw2の向心力が作用している！

向心力の例：太陽の周りの惑星 （近似的に円運動）

向心力＝重力

大きさ=GMm/r2

向心力の例・・・?：

周りの摩擦力などにごまかされてはいけない

摩擦のないテーブル上でビー玉を等しい速さで 円運動させるには 向心力のみで十分

ビー玉を伸びない軽く柔らかい紐で結び、

摩擦のないテーブル上で等速円運動を開始させれば、 紐が切れるまで等速円運動を行う

（紐による張力が向心力）