chaos satellite dynamics 3 aas-97-679
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P A P E R AAS 97-679
M E R I C A N
S T R O N A U T I C A L S O C I E T Y
M M M A
S A T E L L I T E N O N L I N E A R A T T I T U D E M O T I O N A B O U T A N O B L A T E C E N T R A L B O D Y
H a r r y A . K a r a s o p o u l o s W r i g h t L a b o r a t o r y
D a v i d L R i c h a r d s o n U n i v e r s i t y o f C i n c i n n a t i
AAS/AIAA Astrodynamics Specialist Conference
Sun Valley, Idaho August 4 - 7, 1997
A A S P u b l i c a t i o n s O f f i c e , P . O . B o x 2 8 1 3 0 , S a n D i e g o , C A 9 2 1 9 8
AAS 97-679
S A T E L L I T E NONLINEAR A T T I T U D E MOTION ABOUT AN O B L A T E C E N T R A L BODY
Harry A. KarEisopoulos* W r i g h t Laboratory - j
David L . Richeirdson^ University of C i n c i n n a t i .• •
The nonlinear dynamics of the planar pitch attitude motion of a gravity-gradient * satellite is numerically investigated for an elliptical poleir orbit about an oblate, ;
axially-symmetric, central body. Perturbations to the attitude and orbit equations due to the oblateness of the central body are shown to significantly affect satellite pitching motion. Eccentricity, assumed constant in most previous nonlinear analyses of planar pitch dynamics, varies as much cis 15% for an exEimple low • altitude. Earth orbiting satellite. The resultant pitching motion is either periodic, quasiperiodic, or chaotic, depending upon the value of a satelhte inertia ratio c i n d the initial values for pitch angle, pitch angle rate, and the orbital elements. With this more elaborate model, chcios is detected in regions of the phase space where previous dynamical models depict only regular motion.
,4
Introduction - , . ...........
G r a v i t y - g r a d i e n t p e r t u r b a t i o n s c a n h a v e a p r o f o u n d i n f l u e n c e u p o n t h e m o t i o n o f n a t u r a l a n d a r t i f i c i a l s a t e l l i t e s . I n v e s t i g a t i o n s h a v e s h o w n t h a t g r a v i t y - g r a d i e n t t o r q u e s c o m b i n e d w i t h t i d a l firiction c a n c a u s e c h a o t i c t i u n b l i n g o f i r r e g u l a r l y s h a p e d s a t e l l i t e s . H y p e r i o n , o n e o f S a t u r n ' s m o o n s , c u r r e n t l y e x h i b i t s s u c h b e h a v i o r . L a r g e a t t i t u d e p e r t u r b a t i o n s d u e t o g r a v i t y - g r a d i e n t t o r q u e s o n a r t i f i c i a l s a t e l l i t e s i s a w e l l k n o w n p h e n o m e n o n . T o d a y , t h e s e p e r t u r b a t i o n s m u s t b e c a r e f u l l y c o n s i d e r e d a n d a c c o u n t e d f o r i n t h e d e s i g n p r o c e s s . P i t c h a n g l e p e r t u r b a t i o n s a r e o f t e n o f s p e c i a l i n t e r e s t t o t h e d e s i g n e r b e c a u s e o f t h e c e n t r a l - b o d y p o i n t i n g r e q u i r e m e n t s o f m a n y E a r t h o r b i t i n g s a t e l l i t e s . F o r t h e s e r e a s o n s , t h e p l a n a r p i t c h a t t i t u d e d y n a m i c s o f a g r a v i t y - g r a d i e n t s a t e l l i t e h a s r e c e i v e d a g r e a t d e a l o f a t t e n t i o n , w i t h p u b l i c a t i o n s s p a n n i n g t h r e e d e c a d e s .
A n u m b e r o f t h e s e s t u d i e s u t i l i z e d n o n l i n e a r a n a l y s i s t o o l s s u c h a s P o i n c a r e m a p s t o s t u d y t h e p l a n a r p i t c h d y n a m i c s f o r a n e c c e n t r i c o r b i t [ l , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ] . Z l a t o u s t o v et al.[l] ( a l s o i n B e l e t s k i i [ 2 ] ) s t u d i e d f a m i l i e s o f p e r i o d i c s o l u t i o n s a n d f o u n d t h a t s t a b l e p e r i o d i c s o l u t i o n s e x i s t f o r e v e r y v a l u e o f e c c e n t r i c i t y . M o d i a n d B r e r e t o n [ 3 ] a p p l i e d t h e m e t h o d o f h a r m o n i c b a l a n c e t o o b t a i n f a m i l i e s o f p e r i o d i c s o l u t i o n s a n d f o u n d t h a t a t t h e m a x i m u m e c c e n t r i c i t y f o r s t a b l e m o t i o n , t h e s o l u t i o n m u s t b e p e r i o d i c . I n m o r e r e c e n t w o r k , m o d e r n a n a l y t i c a l a n d n u m e r i c a l n o n l i n e a r a n a l y s i s m e t h o d s h a v e b e e n a p p l i e d t o t h e u n c o n t r o l l e d g r a v i t y - g r a d i e n t p i t c h m o t i o n p r o b l e m . T h e e m p h a s i s o f m u c h o f t h i s r e s e a r c h h a s b e e n t h e a p p l i c a t i o n o f M e l n i k o v ' s a n a l y t i c a l m e t h o d t o e x a m i n e c r i t e r i a f o r t h e o n s e t o f c h a o s n e a r s e p c i r a t r i c e s o f n e a r l y - i n t e g r a b l e s y s t e m s . K o c h a n d B r u h n [ 7 ] u t i l i z e d M e l n i k o v ' s m e t h o d t o a n a l y z e t h i s p r o b l e m , t a k i n g i n t o a c c o u n t a d d i t i o n a l t e r m s d u e t o a n o n -s p h e r i c a l g r a v i t a t i o n a l field a n d m a g n e t i c d i p o l e - d i p o l e i n t e r a c t i o n b e t w e e n t h e s a t e l l i t e a n d t h e
•Aeromechanics Division, WL/FIMA, Bldg 450, 2645 Fifth St, Ste 7, WPAFB, OH 45433-7913 tProfessor, Dept of Aerosp2u;e Eng and Eng Mechanics, Univ of Cincinnati, Cincinnati, OH 45221-0070
This paper is declared a work of the U .S . Government and is not subject to copyright protection in the United States.
1
c e n t r a l b o d y . S e i s l a n d S t e m d l [ 8 ] also a p p l i e d t h e M e l n i k o v m e t h o d , s u p p l e m e n t i n g t h e b a s i c p r o b l e m w i t h a n a e r o d y n a m i c d r a g t e r m . B o t h o f t h e s e a n c d y s e s a r e v a l i d o n l y f o r s m a l l v a l u e s o f e c c e n t r i c i t y d u e t o a s s u m p t i o n s r e q u i r e d b y t h e M e l n i k o v m e t h o d .
T o n g a n d R i m r o t t [ 9 ] c d s o e x a m i n e d t h e b a s i c p i t c h - m o t i o n p r o b l e m b u t w i t h m o r e e m p h a s i s u p o n n u m e r i c a l i n v e s t i g a t i o n , p r e s e n t i n g t w o s e q u e n c e s o f P o i n c a r e m a p s o f v a r y i n g v a l u e s o f e c c e n t r i c i t y w h i l e h o l d i n g i n e r t i a r a t i o c o n s t a n t . K a r a s o p o u l o s a n d R i c h a r d s o n [ 1 0 ] u s e d L y a p u n o v e x p o n e n t s , P o i n c a r e m a p s , b i f u r c a t i o n d i a g r a m s , a n d c h a o s d i a g r a m s t o f u r t h e r t h e n u m e r i c a l e x p l o r a t i o n f o r a r b i t r a r y v a l u e s o f e c c e n t r i c i t y a n d s a t e l l i t e i n e r t i a r a t i o . E x t e n d e d w o r k i n t h i s a r e a b y K a r a s o p o u l o s a n d R i c h a r d s o n [ l l ] c o n c e n t r a t e d o n n u m e r i c a l p r e d i c t i o n o f t r a n s i t i o n f r o m r e g u l m t o c h a o t i c m o t i o n t h r o u g h t h e u s e o f L y a p u n o v e x p o n e n t s c m d c h a o s d i a g r a m s . U s i n g a c o m b i n a t i o n o f b r a n c h i n g t h e o r y , F l o q u e t t h e o r y , h i g h - p r e c i s i o n n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n , a n d o t h e r m e t h o d s , G u l y a e v et al.[l2] f o u n d t h a t a t l e a s t o n e o f t h e r o u t e s t o c h a o s f o r t h i s p r o b l e m o c c u r s t h r o u g h p e r i o d - d o u b l i n g b i f u r c a t i o n s . T o n g aad R i m r o t t [ 1 3 ] a l s o f o u n d s o m e p e r i o d d o u b l i n g t r a n s i t i o n from r e g u l a r m o t i o n t o c h a o s f o r t h e b a s i c p r o b l e m s u p p l e m e n t e d w i t h a d a m p i n g t e r m .
A n o v e r v i e w o f t h e nonhne£ir d y n a m i c s o f i m c o n t r o O e d p l a n a r p i t c h a t t i t u d e m o t i o n f o r a g r a v i t y -g r a d i e n t s a t e l l i t e i s g i v e n b y K a r c i s o p o u l o s [ 1 6 ] ( o r [ 1 7 ] ) . N u m e r i c a l a n d a n a l y t i c a l s o l u t i o n s a r e p r e s e n t e d i n t h i s r e f e r e n c e f o r t h e c i r c u l a r a n d e U i p t i c a l o r b i t c a s e s a s w e l l a s f o r e x t e n d e d m o d e l s , i n c l u d i n g l i n e a r a n d n o n l i n e a r d a m p i n g t e r m s c i n d o b l a t e c e n t r a l b o d y e f f e c t s . T h e s t r u c t u r e o f t h e p a r a m e t e r s p a c e w i t h r e s p e c t t o t h e l o c a t i o n o f p e r i o d i c s o l u t i o n s w a s e x a m i n e d w i t h L y a p u n o v e x p o n e n t s a n d c h a o s d i a g r a m s . T h i s w o r k s h o w e d t h a t t h e b o r d e r b e t w e e n r e g u l a r a n d c h a o t i c m o t i o n i n t h e c h a o s d i a g r a m s i s fractal f o r c m e l h p t i c o r b i t c a s e . U s i n g M e l n i k o v ' s m e t h o d , a n a l y t i c a l e x p r e s s i o n s f o r t r a n s i t i o n from r e g u l a r t o c h a o t i c m o t i o n w e r e d e r i v e d f o r t h e e c c e n t r i c o r b i t w i t h l i n e a r a n d n o n l i n e a r p i t c h d a m p i n g u s i n g c m d c o m p a r e d t o n u m e r i c a l r e s u l t s .
T h e r e i s a n i n c r e a s i n g a m o i m t o f i n t e r e s t i n t h e b a s i c p r o b l e m s u p p l e m e n t e d w i t h a c o n t r o l . C o l e a n d C a l i c o [ 1 4 ] e x a m i n e d t h e n o n l i n e a r d y n a m i c s o f a s p i n n i n g s y m m e t r i c s a t e l l i t e i n a n e l h p t i c o r b i t s u b j e c t t o c o n t r o l t o r q u e s a b o u t t w o o f t h e s p a c e c r a f t a x e s . G r a y a n d S t a b b [ 1 5 ] a p p h e d M e l n i k o v ' s m e t h o d t o p r o d u c e a n a l y t i c a l c r i t e r i a f o r t h e o n s e t o f c h a o s i n t h e c o n t r o l l e d p i t c h m o t i o n f o r a g r a v i t y - g r a d i e n t s a t e l l i t e .
B e c a u s e t h e m a g n i t u d e o f n o n - s p h e r i c a l g r a v i t a t i o n a l t e r m s i s o f t h e o r d e r l/vc^ s m a l l e r t h a n t h e i n v e r s e - s q u a r e l a w t e r m s , o b l a t e c e n t r a l - b o d y e f f e c t s a r e n e g l e c t e d i n m o s t o f t h e s e s t u d i e s . I n f a c t , w i t h t h e e x c e p t i o n o f B e l e t s l d i [ 2 ] , K o c h a n d B r u h n [ 7 ] , a n d K a r a s o p o u l o s f l d ] , cd l o f t h e r e s e a r c h m e n t i o n e d a b o v e w a s b a s e d u p o n a n i n v e r s e - s q u a r e g r a v i t a t i o n a l f i e l d . N o m a t t e r h o w s m a l l t h e a d d i t i o n a l g r a v i t y - g r a d i e n t t o r q u e d u e t o a n o n - s p h e r i c a l c e n t r a l b o d y , i t i s e n o u g h t o p r o d u c e p e r t u r b a t i o n s i n a s a t e l h t e ' s o r b i t , l e a d i n g t o a p s i d a l r o t a t i o n , n o d a l r e g r e s s i o n , a n d \ - a r i a n c e i n t h e o r b i t e l e m e n t s . A s a t e l l i t e ' s r o t a t i o n a J a n d t r a n s l a t i o n a l m o t i o n s a r e t h e r e f o r e c o u p l e d , a n d i t s c e n t e r o f m a s s d e s c r i b e s a n o n - K e p l e r i a n o r b i t . A n e x t e n s i v e a n a l y t i c a l e x a m i n a t i o n o f t h e r e s u l t i n g m o t i o n i s p r o v i d e d b y B e l e t s l d i [ 2 ] .
T h i s p a p e r p r e s e n t s r e s u l t s o f a n o n g o i n g s t u d y o f t h e p i t c h a n g l e d y m a m i c s f o r a n u n c o n t r o l l e d g r a v i t y - g r a d i e n t s a t e l l i t e i n a n e l l i p t i c a l p o l a r o r b i t a b o u t c m o b l a t e c e n t r a l b o d y . W e h a v e r e s t r i c t e d o u r i n i t i a l s t u d y t o p o l a r o r b i t s b e c a u s e o f t h e s i m p l i f i c a t i o n s t h a t p o l a r o r b i t s i n t r o d u c e i n t o t h e c o u p l e d e q u a t i o n s . T h e a n a l y s i s i s m a i n l y n u m e r i c a l . N o n l i n e a r a n a l y s i s t e c h n i q u e s s u c h a s P o i n c a r e m a p s a n d s p e c t r a l e m a l y s i s a r e u t i l i z e d . T h e e q u a t i o n s o f m o t i o n i n c l u d e g r a v i t y - g r a d i e n t p e r t u r b a t i o n s i n b o t h t h e s a t e l l i t e ' s a t t i t u d e a n d i t s o r b i t . O u r s t u d y c o n t i n u e s t h e w o r k o f K a r a s o p o u l o s [ 1 6 ] , a n d b u i l d s u p o n t h e a n a l y t i c a l w o r k o f K o c h a n d B r u h n [ 7 ] b y a d d i n g o r b i t p e r t u r b a t i o n s d u e t o o b l a t e n e s s a m d r e m o v i n g t h e r e s t r i c t i o n o f s m a l l e c c e n t r i c i t y .
The Equations of Motion > Assumptions • - • : r S a t e l l i t e e n e r g y d i s s i p a t i o n a n d o t h e r t o r q u e s a n d f o r c e s , s u c h a s a e r o d y n a m i c , m a g n e t i c , t h e r m a l b e n d i n g , o r s o l a r r a d i a t i o n p r e s s u r e , a r e i g n o r e d . O t h e r a s s u m p t i o n s ( r e s t r i c t i o n s ) u s e d i n t h e d e r i v a t i o n o f t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n a r e :
2
1 . T h e s a t e l l i t e i s a r i g i d h o d y i n o r b i t a b o u t an o b l a t e , a x i a l l y - s y m m e t r i c , c e n t r a l b o d y .
2 . T h e s a t e l l i t e ' s m a s s i s n e g h g i b l e w i t h r e s p e c t t o t h e m a s s o f t h e c e n t r a l b o d y .
3 . T h e s a t e l l i t e ' s m a j o r a x i s i s n o r m a l t o t h e o r b i t p l a n e .
4 . S a t e l l i t e r o l l a n d y a w a n g l e s a n d t h e i r r a t e s a r e z e r o t h r o u g h o u t t h e m o t i o n * . F o r z e r o p i t c h a n g l e , t h e m i n o r a n d i n t e r m e d i a t e E i x e s a r e a l i g n e d i n t h e r a d i a l a n d t r a n s v e r s e o r b i t d i r e c t i o n s , r e s p e c t i v e l y .
5 . T h e s a t e l l i t e ' s l a r g e s t d i m e n s i o n i s v e r y s m e d l c o m p a r e d t o t h e o r b i t r a d i u s .
T h e e q u a t i o n s o f m o t i o n d e r i v e d b e l o w m a y b e a p p l i e d t o a n y t w o - b o d y s y s t e m w h e r e t h e a b o v e a s s u m p t i o n s a r e a p p r o p r i a t e . I n t h i s i n v e s t i g a t i o n , w e t a k e t h e E a r t h a s t h e c e n t r a l b o d y .
Pitch Equation of Motion T h e g r a v i t a t i o n a l p o t e n t i a l d u e t o a n o n - s p h e r i c a l c e n t r a l b o d y c a n b e r e p r e s e n t e d b y a n e x p a n s i o n i n t e r m s o f s p h e r i c a l h a r m o n i c s w h i c h v a r y w i t h l a t i t u d e a n d l o n g i t u d e . I n g e n e r a l , t h e m o s t d o m i n a n t c o n t r i b u t i o n i s t h e o n e o b t a i n e d b y m o d e l i n g t h e c e n t r a l b o d y a s a n e l l i p s o i d o f r e v o l u t i o n . F i g u r e 1 i l l u s t r a t e s t h e g e o m e t r y o f t h i s p r o b l e m f o r t h e p a r t i c u l a r c a s e o f a p o l a r o r b i t . H e r e , ip i s t h e
F i g u r e 1 : O r b i t a n d A t t i t u d e G e o m e t r y i n t h e P o l a r O r b i t P l a n e .
t h e s a t e l l i t e p i t c h ( o r E a r t h p o i n t i n g ) a n g l e m e a s u r e d w i t h r e s p e c t t o t h e r a d i a l d i r e c t i o n , u i s t h e a r g u m e n t o f p e r i a p s i s , a n d / i s t h e o r b i t a l t r u e a n o m a l y . A n o n - r o t a t i n g , e q u a t o r i a l . E a r t h - c e n t e r e d c o o r d i n a t e s y s t e m {X, Y, Z) i s u s e d a s t h e f u n d a m e n t a l r e f e r e n c e f r a m e . T h e s a t e l l i t e p r i n c i p a l - a x i s s y s t e m i s d e s i g n a t e d {x,y,z). T h e o r b i t r a d i a l a n d t r a n s v e r s e d i r e c t i o n s a r e d e n o t e d Cr a n d e t , r e s p e c t i v e l y . F i g u r e 2 d i s p l a y s t h e s e c o o r d i n a t e s y s t e m s . 6 i s t h e s a t e l l i t e ' s a r g x i m e n t o f l a t i t u d e , I i s t h e o r b i t e d i n c l i n a t i o n , a n d 0 i s t h e l o n g i t u d e o f t h e a s c e n d i n g n o d e .
F o r t h e c a s e o f a n o b l a t e c e n t r e d b o d y , t h e g r a v i t a t i o n a l p o t e n t i a l o f a d i f f e r e n t i a l s a t e l l i t e m a s s dm a t a d i s t a n c e r f r o m t h e c e n t e r o f m a s s o f t h e E a r t h i s e x p r e s s e d a s .
dV = fj. U J 2 R /
" r 2 r 3 ( 3 s i n 2 / s i n 2 e - l ) dm. (1)
'This is the weakest link in the analysis. Orbit-attitude interactions contribute a small coupling among the roll, yaw and pitch equations. This coupling is minimized for polar orbiters. The extent to which this coupling affects the dynamic models requires further investigation.
3
P e r i a p s i s
L i n e o f n o d e s
F i g u r e 2 : S y s t e m C o o r d i n a t e s a n d A x e s .
/ i i s t h e E a r t h ' s g r a v i t a t i o n a l c o n s t a n t , Re i s t h e E a r t h ' s m e a n e q u a t o r i a l r a d i u s , a n d J 2 i s t h e d o m i n a n t s p h e r i c a l h a r m o n i c c o e f f i c i e n t ( J 2 « 1 . 0 8 3 x 1 0 " ^ ) i n t h i s e q u a t i o n . P r o m s p h e r i c a l t r i g o n o m e t r y , l a t i t u d e 6 m a y b e w r i t t e n a s s i n J = s i n / s i n ^ . S i n c e
Z = f- k = rsind,
o n e c a n e x p r e s s t h e d i f F e r e n t i a J g r a v i t a t i o n a l p o t e n t i a l p e r u n i t m a s s a s
d V dm
w h e r e t h e c o n s t a n t 0 h a s b e e n d e f i n e d f o r c o n v e n i e n c e t o b e
0=:h3l.
(2)
(3)
( 4 )
Orbiting Body
Central Body
F i g u r e 3 : D e f i n i t i o n o f p.
T h e g r a v i t a t i o n a l p o t e n t i a l i s a f u n c t i o n o f l / r " , n = 1 , 3 , 5 . S i n c e f=f'c+p ( F i g u r e 3 ) , E q .
( 3 ) c a n b e i n t e g r a t e d o v e r t h e o r b i t i n g b o d y ' s m a s s b y e x p a n d i n g r " / r " i n t e r m s o f p / f c a n d J 2 -
_ = r - r = ( r ; + p ) A A c + p ) = r c ^ + p 2 + 2 p - r ; ( 5 )
o r
1 +
T a k i n g t h e s e c o n d a n d t h i r d t e r m s w i t h i n t h e b r a c k e t s o f t h i s e q u a t i o n a s a s m a l l p a r a m e t e r , e .
a T a y l o r ' s S e r i e s e x p a n s i o n f o r s m a l l e g i v e s
I n g e n e r a l .
V = l - £ + ^ + 0 ( e ' ) -
(6)
(7)
(8)
(9)
o r
2 W
E q . ( 1 ) m a y h e i n t e g r a t e d o v e r t h e o r b i t i n g b o d y ' s m a s s , a s s u m i n g t h a t t h e d i s t a n c e f r o m t h e c e n t e r o f m a s s o f t h e s a t e l l i t e t o i t s d i f f e r e n t i a l m a s s , dm, i s p = xi + yj + zk, u s i n g t h e p r i n c i p a l a x e s ,
dm, ( 1 1 )
a n d w r i t i n g Z ( f r o m E q . ( 2 ) ) i n t h e f o r m
- \ - \
T h i s i n t e g r a t i o n i s
. To-" r A ^ r , 2 r A
/• f dm ^ f dm [ Z^dm
(12)
(13)
o r
T = - ^
0p
+ Z0P
L B rc iiki4l,„,^«fkiAl f (liAl,^^ f <£:*)'
rc JB JB r dm
JB
^ { r - Q - K ) r p-
2 rc JB rc 2 rc
Y ^ ^ r ( ^ d m - I 0 ^ f ^ 2 Tc^ JB V r A J rc JB
} ^ d m + 0{e') ( 1 4 )
w h e r e t h e s u b s c r i p t " B " o n t h e i n t e g r a l s i n d i c a t e s i n t e g r a t i o n o v e r t h e s p a c e c r a f t b o d y .
5
A n u m b e r o f c o o r d i n a t e s y s t e m t r a n s f o r m a t i o n s a r e n e e d e d t o e v a l u a t e t h e d o t p r o d u c t s i n t h e s e i n t e g r z d s . A p p l y i n g a 1 - 2 - 3 ( y a w - r o l l - p i t c h ) E u l e r s e q u e n c e o f r o t a t i o n s ( F i g u r e 4 ) g i v e s u s t h e d i r e c t i o n c o s i n e s , Cij, b e t w e e n t h e s a t e l l i t e ' s p r i n c i p c d a x e s c m d t h e o r b i t r z i d i a l , t r a n s v e r s e , a n d n o r m a l d i r e c t i o n s . T h e E u l e r r o t a t i o n m a t r i x C o f aj t e r m s i s
i j = C e-t ( 1 5 )
w h e r e c i i = c o s t / ) c o s 1?, c i 2 = s i n < p s i n • d z o s x p Y s i n t / > c o s < p , Ci3 = s i n 0 s i n - c o s 0 s i n i9 c o s t/i, C21 = — s i n t/i c o s t ? , C22 = c o s ^ c o s 0 - s i n xp s i n i? s i n (p,
C23 = c o s x p s v n x p - ^ c o s < p s i n i ? s i n t / » , C31 = s i n t ? , C32 = - c o s t ? s i n C33 = c o s i9 c o s <p,
a n d w h e r e t? a n d <P a r e t h e r o l l a n d y a w a n g l e s o f t h e s a t e l h t e .
( 1 6 )
F i g u r e 4 : E u l e r R o t a t i o n s B e t w e e n t h e {i,j,k) a n d ( e T , e t , e ) , ) D i r e c t i o n s
L i k e w i s e , o n e c a n u s e t h e s t a n d a r d r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n t h e c e n t r a l b o d y c o o r d i n a t e s y s t e m (7, J, K ) a m d t h e o r b i t r a d i a l , t r a n s v e r s e , a m d n o r m a l d i r e c t i o n s w i t h t h e 3 - 1 - 3 ( l o n g i t u d e o f t h e a s c e n d i n g n o d e - i n c l i n a t i o n - a r g u m e n t o f l a t i t u d e ) E u l e r s e q u e n c e o f r o t a t i o n s ( F i g u r e 3 ) . T h e r e s u l t a n t E u l e r r o t a t i o n m a t r i x V i s
" 7 • Cf = P J ^ - ( 1 7 ) e„ k
6
w i t h du = COS n COS 5 — s i n n s i n 5 c o s / , du = s i n flcosd + c o s ft s i n 6 c o s / , di3 - s i n 9 s i n / , dii = - c o s n s i n ^ - s i n f l c o s 9 c o s / , d22 = - s i n n s i n 0 + c o s Q cos 9 c o s I ,
d23 c o s 5 s i n / , d3i s i n n s i n / , d32 = - c o s f l s i n / . d33 = c o s / .
(18)
T h e s e r o t a t i o n m a t r i c e s a r e c o n s i d e r a b l y s i m p l i f i e d w i t h t h e p l a n a r , p o l a r o r b i t a s s u m p t i o n ( / = 7 r / 2 , n = 0 ) a n d t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e s a t e l l i t e d o e s n o t r o l l o r y a w .
E v a l u a t i o n o f t h e d o t p r o d u c t s u s i n g t h e a b o v e E u l e r m a t r i x e x p r e s s i o n s , a n d t h e n t h e i n t e g r a d s o f E q . ( 1 4 ) , y i e l d s t h e g r a v i t a t i o n a l p o t e n t i a l f u n c t i o n
pm l + T ' ^ 2 ^ ( l - 3 d i 3 ' )
2r3 ( S 1 - 3 E 2 )
3J2M / ? e 4r3
w h e r e
( 1 - 5 d i 3 ^ ) S i - 5 ( 1 - 7 d i 3 ^ ) S 2 + 2S3 - 2 0 d i 3 S 4
111 = h + ly + h ,
(19)
^ 2 ^ I x C l U +IyC2U + h C 3 U , E 3 = / x a l 2 + / „ a 2 2 4 - / z Q 3 ^ S4 = / x C u a i + / y C 2 i a 2 + /2C3ia3, Q l = C i i d i 3 + 0 1 2 ^ 2 3 + C l 3 d 3 3 , 02 = C 2 l d l 3 + 0 2 2 ^ 2 3 + 0 2 3 ^ 3 3 , 03 = C 3 i d i 3 + C32d23 + C33d33-
W i t h E q . ( 1 9 ) , a n d d r o p p i n g t h e s u b s c r i p t " c " n o t a t i o n i n Vc a m d t h e p i t c h e q u a t i o n o f m o t i o n d e r i v e d .
(20)
t h e L a g r a m g i a n m a y b e f o r m e d
xp + f + c o s xp s i n xp - ' [ 1 6 COS 2xP s i n 2 9 + s i n 2xp{5 - 1 9 c o s 2 ^ ) ] = 0 . ( 2 1 )
H e r e , e i s t h e o r b i t a l e c c e n t r i c i t y a n d w h e r e t h e d o t s ( ' ) r e p r e s e n t d i f f e r e n t i a t i o n w i t h r e s p e c t t o t i m e . N o t e t h a t t h i s p i t c h e q u a t i o n o f m o t i o n i s d e r i v e d t o o r d e r (h)^ w h i c h , f o r l o w - a l t i t u d e s a t e l l i t e s w i t h a m a x i m u m d i m e n s i o n , p, on t h e o r d e r o f five m e t e r s , i s e q u i v a l e n t t o o r d e r (p/r)'^ o r e^. T h i s e q u a t i o n i s s i m i l a r t o t h a t s t u d i e d b y K o c h a n d B r u h n [ 7 ] , h u t d i f f e r s i n t h a t i t p r e s e r v e s i t s e x p l i c i t d e p e n d e n c e u p o n t h e o r b i t a l d i s t a n c e . T h e s a t e l l i t e i n e r t i a r a t i o , K, i n E q . 2 1 i s a n o n - d i m e n s i o n a d f u n c t i o n o f t h e p r i n c i p a l m o m e n t s o f i n e r t i a o f t h e s a t e l l i t e , d e f i n e d a s
I r o l l - /]
I p i t c h yaw (22)
I t i s a s s u m e d t h a t h > ly > h w h i c h a r e s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s f o r s t a b l e t h r e e - a x i s r o t a t i o n s o f a s a t e l l i t e i n c i r c u l a r o r b i t a b o u t a s p h e r i c a d c e n t r a l b o d y . F o r p i t c h o s c i l l a t i o n s a b o u t t h e r a d i a l d i r e c t i o n , t h e i n e r t i a r a t i o h a s t h e r a m g e 0 . 0 <K< 1 . 0 . T h e u p p e r l i m i t c o r r e s p o n d s t o t h e i n e r t i a p r o p e r t i e s o f a d u m b b e l l s a t e l l i t e a n d t h e l o w e r l i m i t t o a n a x i a l l y - s y m m e t r i c s a t e l l i t e . f
t Negative values of the inertia ratio are physically possible but correspond to defining the pitch angle from the transverse direction instead of the local vertical.
7
Variation of the Orbital Elements G a u s s ' s f o r m o f t h e v a r i a t i o n a l e q u a t i o n s f o r t h e o r b i t a l e l e m e n t s a, e, a n d LJ u s i n g t h e p e r t u r b a t i v e a c c e l e r a t i o n s i n t h e t r a n s v e r s e , at, and r a d i a l , Or , d i r e c t i o n s a r e [ 1 8 ]
(e sin far + ^ c t ) , d a _ 2 a ^ dt ~ h de 1 — = - ( p s i n / a x + [ ( p + r ) c o s / + r e ] a t ) ,
^ = - L [ - p c o s / Or + ( p + r ) s i n fat] - ft c o s / . dt he
(23)
a i s t h e o r b i t s e m i m a j o r a x i s , e i s t h e e c c e n t r i c i t y , p i s t h e o r b i t p a r a m e t e r , a n d h i s a n g u l a r m o m e n t u m p e r u n i t m a s s . T h e a c c e l e r a t i o n c o m p o n e n t s a r e o b t a i n e d f r o m ^ ,. .
ate — dVoblate . dVobtate . , .
- C r X T — e t = O r C r + O t C f .
A c c o r d i n g l y ,
O r = - -
dr
3 p J 2 R e
at = —
2r*
rdO
- ( 1 - 3 s i n 2 61),
s i n ^ c o s ^.
( 2 4 )
( 2 5 )
F r o m t h e d e f i n i t i o n o f t h e a r g u m e n t o f l a t i t u d e 6 ,
e = uj + f ,
w h e r e i n g e n e r a l . df 1
- — [ p c o s / o r - (p + r) sin fat] + dt he
F o r t h e c a s e o f p o l a r o r b i t e r s
C o n s e q u e n t l y ,
^ _ d / _ dt ~ dt~ '
6 = —, ( p o l a r o r b i t s o n l y ) .
( 2 6 )
( 2 7 )
( 2 8 )
( 2 9 )
I t i s c o n v e n i e n t t o r e w r i t e t h e p i t c h e q u a t i o n u s i n g t h e a r g u m e n t o f l a t i t u d e a s t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . F o r t h e c a s e o f p o l a r o r b i t e r s , t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t i m e t a n d 6 is e x p r e s s e d i n E q . ( 2 9 ) a b o v e . T h i s t r a n s f o r m a t i o n p r o d u c e s t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n s f o r t h e v a r i a t i o n o f e c c e n t r i c i t y a n d a i r g u m e n t o f p e r i a p s i s :
= — - c o s far + I 1 - I ^ I s i n fat . pe L V P * R e J de
( 3 0 )
A s c a l e d p a r a m e t e r h a s b e e n i n t r o d u c e d i n t h e s e e q u a t i o n s ,
p, = h?l{Rep),
w h o s e d e r i v a t i v e w i t h r e s p e c t t o d is
dp, _ 2h_dh _ 2rf_ dJd ~ R e P de ~ Rep
at.
( 3 1 )
( 3 2 )
8
M a k i n g t h e i n d i c a t e d s u b s t i t u t i o n s g i v e s t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n s f o r t h e 9 v a r i a t i o n o f t h e p e r t i n e n t K e p l e r i a n e l e m e n t s n e e d e d i n t h e p i t c h e q u a t i o n :
d p . dd
d e dB ''
djj dB
[ 1 + e cos{e - u))] s i n 29, 302 p .
- g [ l + e c o s ( f l - a ; ) f s i n ( ^ - w ) ( l - 3 s i n ^ 9)
+ e s i n 29
l + e cos{9 - tj)
•̂̂ ^ [ l + e c o s ( e - a ; ) f
+ s i n 2 0 c o s ( ^ - a ; ) - ( l + — ^ r) , \ + e cos{9 - / J
2 e p . 3 s i n 29sin{9 - u))-
f l + 7 r]+cos{9-ij)(3sia^9-l) V l + e cos(9 -uj)J '
A f t e r s o m e a l g e b r a , t h e p i t c h e q u a t i o n c a n b e r e w r i t t e n i n t h e f o r m
( 3 3 )
xp" [l + ecos {9 - u)] + -Ksm2xp- 2esin[9 -io)ixp' + l)
3X02 8 p . 2
[ l + e c o s {9 -uj)f • [ 1 6 c o s 2xp s i n 29 + s i n 2 V ' ( 5 - 1 9 c o s 29)], (34)
w h e r e p r i m e s ( ' ) r e p r e s e n t d i f f e r e n t i a t i o n s w i t h r e s p e c t t o 9. Note that the p . a n d e variational equations given above are the same order of magnitude as the
02 terms in the pitch equation of motion, E q . ( 3 4 ) . I n a d d i t i o n , t h e oj v a r i a t i o n a l e q u a t i o n i s o f o r d e r J 2 / e a n d w o u l d b e I m g e f o r s m a l l e c c e n t r i c i t y o r b i t s . I n t h e l i m i t a s e - > 0 , h o w e v e r , t h i s e q u a t i o n i s s i n g u l a r a n d to i s u n d e f i n e d . T h e s e r e s u l t s i n d i c a t e t h a t i t i s i n c o n s i s t e n t t o i n c l u d e t e r m s o f o r d e r J 2 i n t h e p i t c h e q u a t i o n o f m o t i o n w i t h o u t a l s o a c c o u n t i n g f o r v a r i a t i o n s i n t h e o r b i t a l e l e m e n t s . ^ E q s . 3 3 a n d 3 4 f o r m a s e t o f o r b i t a n d a t t i t u d e e q u a t i o n s o f m o t i o n t h a t d e s c r i b e t h e p l a m a r p i t c h i n g o f a g r a v i t y - g r a d i e n t s a t e l l i t e i n o r b i t a b o u t a n o b l a t e , a x i a l l y - s y m m e t r i c , c e n t r a l b o d y .
Results ' ^̂--̂ - . ,«M4 . I n t h e p r e v i o u s s e c t i o n w e d e r i v e d t h e p i t c h e q u a t i o n o f m o t i o n , E q . ( 3 4 ) , f o r a g r a v i t y - g r a d i e n t s a t e l l i t e i n a n e c c e n t r i c , p o l e i r o r b i t a b o u t a n o b l a t e p l a n e t . T h i s e q u a t i o n w a s n u m e r i c a l l y i n t e g r a t e d u s i n g a fifth-order R u n g e - K u t t a r o u t i n e w i t h a n i n t e g r a t i o n s t e p s i z e o f 2 7 r / 1 0 0 0 o r l e s s . T h e m e t h o d o f v a r i a t i o n o f p a r a m e t e r s w a s a p p l i e d a b o v e t o d e v e l o p e x p r e s s i o n s f o r t h e d e v i a t i o n o f t h e s c a l e d p a r a m e t e r , e c c e n t r i c i t y , a n d a i r g u m e n t o f p e r i a p s i s f r o m t h e i r c o n s t a n t K e p l e r i a n v a l u e s d u e t o a n o b l a t e c e n t r a l b o d y . T h e s e e q u a t i o n s , E q s . ( 3 3 ) , w e r e u t i l i z e d t o c o r r e c t t h e o r b i t e d e l e m e n t s a t e a c h i n t e g r a t i o n s t e p o f t h e p i t c h e q u a t i o n . T h e n o n l i n e a r p r o p e r t i e s o f t h i s s y s t e m w e r e n u m e r i c a l l y e x a m i n e d u s i n g P o i n c a r e m a p p i n g s a n d s p e c t r a l a m a l y s i s f o r a n a r b i t r a r y e x a m p l e p r o b l e m .
Example Problem . , . , T h e e x a m p l e p r o b l e m i s t h a t o f a r i g i d d u m b b e l l s a t e l l i t e (K = 1 . 0 ) i n a p o l a r , 2 0 0 x 3 0 0 n a u t i c a l m i l e ( 3 7 0 x 5 5 6 k m ) E a r t h o r b i t . I n i t i a l v a l u e s o f t h e o r b i t a l e l e m e n t s a r e po = 2 . 2 4 4 1 0 5 3 x 1 0 ^ f e e t ( 7 4 4 0 . 3 k m ) , CQ = . 0 1 3 5 3 5 , W q = 1 0 d e g r e e s , fo = 3 0 d e g r e e s , a n d 9o = 4 0 d e g r e e s . R e s u l t s w e r e g e n e r a t e d f o r v a r i o u s v ' a l u e s o f t h e i n i t i a l p i t c h s t a t e , {xpo,xp'f). I n t h e s e c t i o n s t h a t f o l l o w , t h e t e r m " S p h e r i c a l E a r t h " r e f e r s t o t h e e v a l u a t i o n o f t h e p i t c h e q u a t i o n o f m o t i o n w i t h o u t a c c o u n t i n g f o r t h e 02 a n d v a r i a t i o n a l t e r m s . T h e e x p r e s s i o n " O b l a t e E a r t h + V O P " ^ r e f e r t o t h e e v a l u a t i o n o f t h e p i t c h e q u a t i o n o f m o t i o n w i t h t h e 02 a n d v a r i a t i o n o f o r b i t a l e l e m e n t s t e r m s .
^The analytical work of Ref. [7] is missing these variations. §The abbreviation VOP indicates the correction of the orbital elements at each time step with Eqs. (33), which
were derived using the method of variation of parameters. - - • .
9
Pitch and Orbital Element Responses T h e r e s p o n s e s o f rp a n d t h e r a t e ip' v e r s u s a r g u m e n t o f l a t i t u d e o v e r s i x o r b i t s i s p r e s e n t e d i n F i g u r e 5 a f t e r a n i n t e g r a t i o n o f 1 0 0 o r b i t s . T h e n a t u r e o f t h e s a t e l l i t e ' s a t t i t u d e m o t i o n ( p e r i o d i c , q u a s i p e r i o d i c , o r c h a o t i c ) c a n n o t b e e a s i l y d i s c e r n e d f r o m t h e s e p l o t s . A l t h o u g h w e c a n s ee t h a t n e i t h e r xp n o r xp' i s p e r i o d i c o v e r t h e s e s i x o r b i t s , w e c a n n o t d e t e c t f r o m t h e s e p l o t s i f t h e m o t i o n i s c h a o t i c o r i f i t i s p e r i o d i c o u t s i d e t h i s s i x - o r b i t w i n d o w .
0.030
0.020 -
Pitch Angle Response for Input Case #1 Orbits #100-105
f 0.010 R
0.000
:-0.010 -
-0.020 -
-0.030
Pitch Angle Rate Response for Input Case #1 Orbits #100-105
0.040 I
630.00 640.00 650.00 660.00 670.00 Argument Of Latitude, 8, (rad)
0.030
^ 0.020
_ 0.010
% 0.000
i 1 -̂0.010
:-0.020
-0.030
-0.040
- r
630.00 640.00 650.00 660.00 Argument Of Latitude, 8 , (rad)
670.00
F i g m e 5 : P i t c h A n g l e a n d P i t c h A n g l e R a t e R e s p o n s e O v e r O r b i t s 1 0 0 - 1 0 5 .
V a r i a t i o n i n t h e o r b i t a l e l e m e n t s v e r s u s a r g u m e n t o f l a t i t u d e f o r o r b i t s 1 0 0 - 1 0 5 a r e d i s p l a y e d i n F i g u r e s 6 a n d 7 . T h e d o w n w a r d - t e n d i n g s l o p e o f t h e a r g u m e n t o f p e r i a p s i s ( F i g u r e 6 ) r e f l e c t s t h e s e c u l a r t e r m s o f E q s . ( 3 3 ) w h i c h h a v e c a u s e d LJ to d e c r e a s e b y a p p r o x i m a t e l y 2 7 d e g r e e s d m i n g t h e s a t e l h t e ' s first 1 0 0 o r b i t s . O v e r t h e 6 o r b i t s s h o w n i n F i g u r e 7 , e c c e n t r i c i t y v a r i e s b y a s m u c h a s 1 5 % firom i t s i n i t i a l v a l u e o f . 0 1 3 5 3 5 . S c a l e d o r b i t p a r a m e t e r a l s o v a r i e s s i g n i f i c c m t l y , b u t a p p a r e n t l y w i t h t w i c e t h e f r e q u e n c y o f t h e v a r i a t i o n s s e e n i n c i r g u m e n t o f p e r i a p s i s a n d e c c e n t r i c i t y . T h e r e s p o n s e s o f t h e s e t h r e e o r b i t a l e l e m e n t s w e r e v e r i f i e d w i t h t h e O p t i m a l T r a j e c t o r i e s b y I m p h c i t S i m u l a t i o n ( O T I S ) c o m p u t e r p r o g r a m [ 1 9 ] .
Nonlinear Analysis A c o m p o s i t e P o i n c a r e m a p f o r t h e S p h e r i c a l E a r t h m o d e l ( f i x e d e , p . , a n d LJ, a n d J2 = 0 ) o f o u r e x a m p l e p r o b l e m , g e n e r a t e d f r o m c o l l e c t i n g v a l u e s o f xp a n d xp' e a c h t i m e t h e s a t e l l i t e p a s s e d t h r o u g h p e r i a p s i s , i s p r e s e n t e d i n F i g u r e 8 . T h i s m a p i s c o m p o s e d o f m u l t i p l e t r a j e c t o r i e s a n d h e n c e r e q u i r e d a n u m b e r o f i n i t i a l p i t c h s t a t e s . T h e r e s u l t a n t s u r f 2 i c e o f s e c t i o n i s v e r y s i m i l a r t o t h a t f o r a c l a s s i c a l f o r c e d p e n d u l u m . Q u a s i p e r i o d i c p i t c h i n g m o t i o n i s d e p i c t e d b y t h e p i t c h - a n g l e c i r c u l a t i o n ( s a t e l l i t e p i t c h t u m b l i n g ) , w h i c h o c c u r s f o r l a r g e i n i t i a l m a g n i t u d e s o f xp', a n d b y t h e p i t c h - a n g l e l i b r a t i o n , w h i c h o c c u r s o n t h e c e n t e r s o f t h e P o i n c a r e m a p . C h a o t i c p i t c h i n g m o t i o n o c c u r s f o r s o m e i n i t i a l v a l u e s o f xp a n d xp' a n d i s r e p r e s e n t e d b y t h e s c a t t e r i n g o f p o i n t s i n t h e v i c i n i t y o f t h e s e p a r a t r i c e s . F o r i n i t i a l c o n d i t i o n s n e a r {xpo,xp'o) = ( 0 . 0 , 0 . 0 ) t h e S p h e r i c a l E a r t h m o d e l p r o d u c e s a p e r i o d i c s o l u t i o n w i t h a w i n d i n g n u m b e r , m / n , o f 1 / 1 ( m p i t c h o s c i l l a t i o n s o v e r n o r b i t s ) . A n o t h e r 1 / 1 s o l u t i o n a p p e z i r s a t a p p r o x i m a t e l y (xpo,xp'g) = ( 0 . 0 , - 1 . 6 6 5 ) . A d d i t i o n a l p e r i o d i c a n d q u a s i p e r i o d i c s o l u t i o n s c d s o w o u l d a p p e a r i n a m o r e d e t a i l e d e x a m i n a t i o n , w i t h t h e m a p p i n g o f a d d i t i o n a l t r a j e c t o r i e s . P r e v i o u s w o r k [ 1 6 ] s h o w s t h a t t h e p i t c h i n g m o t i o n f o r t h e S p h e r i c a l E a r t h m o d e l i s d e p e n d e n t n o t o n l y o n t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s o f xp a n d xp', b u t a l s o o n t h e f i x e d v a l u e s o f
10
Argument of Periapsis for Input Case #1 Orbits #100-105
-0.10011 I I I I I I I I I I I I I I I I 1
630.00 640.00 650.00 660.00 670.00 Argument of Latitude, 8, (rad)
F i g u r e 6 : V a r i a t i o n i n A r g u m e n t o f P e r i a p s i s O v e r O r b i t s 1 0 0 - 1 0 5 .
0.0155 -
0.0150
0.0145 0
0.0140
0.0135
0.0130
0.0125
Eccentricity Variation for Input Case #1 Dibits #100-105
-L. -1-
I -
I I .
630.00 640.00 650.00 660.00 670.00 Argument of Latitude, 8, (rad)
Variation in Scaled Parameterfor Input Case #1 Orbits #100-105
1.0015
1.0010 -
o St.0005
|1.0000 CO O. 10.9995
0.9990
0.9985
0.9980
I
K h h ^ n i l
630.00 640.00 650.00 660.00 Argument of Latitude, 8, (rad)
F i g u r e 7 : V a r i a t i o n i n E c c e n t r i c i t y a n d S c a l e d P a r a m e t e r O v e r O r b i t s 1 0 0 - 1 0 5 .
670.00
11
K a n d e. F o r t h e O b l a t e E a r t h + V O P m o d e l , e c c e n t r i c i t y i s n o l o n g e r c o n s t a n t a n d t h e p r o b l e m b e c o m e s e v e n m o r e c o m p l i c a t e d .
A c o m p a r i s o n o f P o i n c c i r e m a p s ( f o r s i n g l e t r a j e c t o r i e s ) f o r (xpo, ip'o) — ( 0 - 0 ) 0 - 0 ) "^^h. t h e S p h e r i c a l E a r t h a n d O b l a t e E a r t h + V O P m o d e l s i s p r e s e n t e d i n F i g u r e 9 . T h e m a p p r o d u c e d w i t h t h e S p h e r i c a l E a r t h m o d e l i s a s i m p l e c e n t e r , r e p r e s e n t i n g q u a s i p e r i o d i c p i t c h i n g m o t i o n . T h e P o i n c a r e m a p c r e a t e d w i t h t h e O b l a t e E a r t h + V O P m o d e l i s m o r e c o m p l e x d u e t o v a r i a b l e e c c e n t r i c i t y . B e c a u s e o f t h e r e l a t i v e l y l a r g e e c c e n t r i c i t y v a r i a t i o n s d e p i c t e d i n F i g u r e 7 , a n d b e c a u s e t h e O b l a t e E a r t h + V O P m o d e l i n c o r p o r a t e s a d d i t i o n a l t e r m s , s o m e v c i r i a t i o n b e t w e e n P o i n c a r e m a p s f o r t h e t w o m o d e l s w a s e x p e c t e d . T h e m a g n i t u d e o f t h e s e v a r i a n c e s , h o w e v e r , i s s u r p r i s i n g . C o m p a r i s o n o f t h e t w o m a p s i n d i c a t e s t h a t t h e O b l a t e E a r t h + V O P m o d e l p r e d i c t s m u c h l a r g e r p i t c h a n g l e a n d p i t c h a n g l e r a t e m a g n i t u d e s .
T h e v a r i a n c e i n e c c e n t r i c i t y i n t h e O b l a t e E a r t h + V O P m o d e l r e s u l t s i n a n a d d i t i o n a l d i m e n s i o n t o t h e P o i n c a r e m a p s . T h e c o m p a r i s o n m a p s o f F i g u r e 9 a r e r e - p l o t t e d i n F i g u r e 1 0 f o r e c c e n t r i c i t y v e r s u s p i t c h a m g l e . F o r t h e i n i t i a l s t a t e {xpo,'4''o) = ( 0 . 0 , 0 . 0 ) a n d i n i t i a l e c c e n t r i c i t y o f 0 . 1 3 5 3 5 o f t h e e x a m p l e p r o b l e m , t h e p i t c h i n g m o t i o n p r e d i c t e d b y t h e O b l a t e E c i r t b + V O P m o d e l m c r e a s e s w i t h i n c r e a s i n g e c c e n t r i c i t y a n d f o r m s a n i n v a r i a n t s u r f a c e ( i n d i c a t i v e o f q u a s i p e r i o d i c m o t i o n ) i n t h e t h r e e - d i m e n s i o n a l P o i n c a r e m a p s p a c e o f t h i s m o d e l . A t h r e e - d i m e n s i o n a l r e p r e s e n t a t i o n o f t h i s i n v a r i a n t s u r f a c e a p p e a r s i n F i g u r e 1 1 .
W e c a n c o n c l u d e f r o m F i g u r e s 9 - 1 1 t h a t t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s o f ( V ' o , i / ' d ) = ( 0 . 0 , 0 . 0 ) f o r t h e O b l a t e E a r t h + V O P m o d e l c a s e p r o d u c e s q u a s i p e r i o d i c p i t c h i n g m o t i o n . T h i s c o n c l u s i o n m a y b e v e r i f i e d b y s p e c t r a l a n a l y s i s o f t h e d a t a u s e d i n t h e s e P o i n c a r e m a p s . F a s t F o u r i e r T V c m s f o r m s ( F F T ' s ) o f t h e p i t c h a n g l e s g e n e r a t e d b y t h e t w o m o d e l s a r e p r e s e n t e d i n F i g u r e s 1 2 . T w o f u n d a m e n t a l f r e q u e n c i e s a p p e a r i n t h e s e n e a r l y i d e n t i c a l p l o t s , d e m o n s t r a t i n g p e r i o d i c i t y .
F i g u r e 1 3 p r e s e n t s a c o m p o s i t e t h r e e - d i m e n s i o n a l P o i n c a r e m a p f o r t h e O b l a t e E a r t h + V O P M o d e l f o r t h e i n i t i a l s t a t e s {ipo,ip'o) = ( 0 . 0 , 0 . 0 ) a n d ( 0 . 0 5 7 r , 0 . 0 ) . E v e n f o r t h e s m a l l m i t i a l p i t c h a n g l e v a l u e o f rpo = . 0 5 7 r , t h e e f f e c t s o f t h e o b l a t e c e n t r a l b o d y a n d v a r i a t i o n o f p a r a m e t e r s o n c e a g a i n c a u s e a l a r g e i n c r e a s e i n m a g n i t u d e o f t h e s a t e l l i t e p i t c h i n g m o t i o n . T h i s m o t i o n i s a l s o q u a s i p e r i o d i c i n n a t u r e , a s c a n b e s e e n f r o m e x a m i n a t i o n o f t h e E F T i n F i g u r e 1 4 .
T h e i m p o r t a n c e o f i n c l u d i n g t h e J2 t e r m s i n t h e p i t c h e q u a t i o n o f m o t i o n a n d o f i n c o r p o r a t i n g
1 2
0 . 1 2
P o i n c a r e ' M a p f o r E x a m p l e C a s e # 1 , 1 5 , 0 0 0 O r b i t s ( p . = 2 . 2 4 4 1 0 5 3 x 1 0 ' f t , e„=.013535, n„=10 d e g ,
f„=30 d e g , 9„=40 d e g , v|;„=0.0 rad , \((„'=0.0 rad / rad )
0 . 1 r
0 . 0 8 b -
f 0 . 0 6
2 , 0 . 0 4
V 0 . 0 2
1 ° t - 0 . 0 2
2 - 0 . 0 4 B °- - 0 . 0 6
- 0 . 0 8
- 0 . 1 O b l a t e E a r t h + V O P M o d e l
- I I I I I L . - 0 . 0 2 - 0 . 0 1 0 0 . 0 1
P i t c h A n g l e , v / T C ( r a d / r a d )
S p h e r i c a l E a r t h M o d e !
I I I 0 . 0 2
F i g u r e 9: C o m p a r i s o n o f P o i n c a r e M a p s f o r t h e S p h e r i c a l E a r t h a n d O b l a t e E a r t h a t (t/;„,t/id) = ( 0 . 0 , 0 . 0 ) .
V O P M o d e l s
P o i n c a r e ' M a p f o r E x a m p l e C a s e # 1 , 1 5 , 0 0 0 O r b i t s (p„=2.2441053x10'ft, e„=.013535, O„=10 d e g , f , = 3 0 d e g , e„=40 d e g , v|;„=0.0 rad , <|/„'=0.0 rad / rad )
0 . 0 1 5
0 . 0 1 4 5 -
O
s o
IJJ 0 . 0 1 4
0 . 0 1 3 5
O b t a t e E a r t h + V O P M o d e l
- 0 . 0 1 5 - 0 . 0 1 - 0 . 0 0 5
S p h e r i c a l E a r t h M o d e l
0 . 0 0 5 0 . 0 1 0 . 0 1 5 0 . 0 2 P i t c h A n g l e , \ | f / 7 i ( r a d / r a d )
F i g u r e 10: C o m p a r i s o n o f P o i n c a r e M a p s f o r t h e S p h e r i c a l E a r t h a n d O b l a t e E a r t h + V O P M o d e l s a t (t//„,Vd) = ( 0 . 0 , 0 . 0 ) .
1 3
3 - D P o i n c a r e ' M a p R e p r e s e n t a t i o n f o r E x a m p l e C a s e # 1 , 1 5 , 0 0 0 O r b i t s
(p„=2.2441053x10^ f t , e„=.013535, n „=10 d e g , f„=30 d e g , e„=40 d e g , \((„=0.0 r a d , v „ '=0.0 r a d / r a d )
F i g u r e 1 1 : T h r e e - D i m e n s i o n a l P o i n c a r e M a p f o r t h e O b l a t e E a r t h + V O P M o d e l a t (^o,t/id) = ( 0 . 0 , 0 . 0 ) .
0 . 0 5 0
0 . 0 4 0 -
•§ 0 . 0 3 0 -
I E 0 . 0 2 0 -
<
0 . 0 1 0 -
0 . 0 0 0
F a s t F o u r i e r T r a n s f o r m o f P i t c h A n g l e
E x a m p l e C a s e # 1 S p h e r i c a l E a r t h
O r b i t s 1 0 0 - 1 1 0 • I • • - I • ' • • I
1.0 2 . 0 3 . 0 4 . 0 5 . 0 6 . 0 7 . 0 8 . 0 F r e q u e n c y ( r a d / r a d )
0 . 0 5 0
0 . 0 4 0 -
"g 0 . 0 3 0 1 -
- E 0 . 0 2 0
0 . 0 1 0 -
0 . 0 0 0
F a s t F o u r i e r T r a n s f o r m o f P i t c h A n g l e
E x a m p l e C a s e # 1 O b l a t e E a r t h + V O P
O t b l t s 1 0 0 - 1 1 0 • I ' • • • I • • • • I •
1.0 2 . 0 3 . 0 4 . 0 5 . 0 6 . 0 7 . 0 8 . 0 F r e q u e n c y ( r a d / r a d )
F i g u r e 1 2 : F a s t F o u r i e r T r a n s f o r m o f P i t c h A n g l e f o r t h e S p h e r i c a l E a r t h a n d O b l a t e E a r t h M o d e l s a t ( 1/10,1/- ; ) = ( 0 . 0 , 0 . 0 ) .
1 4
3 - D P o i n c a r e ' M a p R e p r e s e n t a t i o n t o r E x a m p l e C a s e # 1 w i t h T w o D i t t e r e n t I n i t i a l S t a t e s
(p„=2.2441053x1 f t , e„=.013535, a„=10 d e g , f„=30 d e g , e„=40 d e g )
0.1
-0-1
^ ('•ad/rad) E c c e n ^
F i g u r e 1 3 : C o m p o s i t e T h r e e - D i m e n s i o n a l P o i n c a r e M a p f o r t h e O b l a t e E a r t h + V O P M o d e l a t
(ipci^'o) = ( 0 . 0 , 0 . 0 ) a n d (xPci'o) = ( 0 . 0 5 7 r , 0 . 0 ) .
0 . 5
0 . 4
•o 5 0.3 03 •D
D . E <
0 . 2
0 . 1
F a s t F o u r i e r T r a n s f o r m o f P i t c h A n g l e I n p u t C a s e # 1 b u t a t ( . 0 5 J C , . 0 )
2 3 F r e q u e n c y ( r a d / r a d )
O b l a t e E a r t h + V O P O r b i t s 1 0 0 - 1 1 0
3 M , iw , V _ _ - . 1 . , , , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
F i g u r e 1 4 : F a s t F o u r i e r I T a n s f o r m o f P i t c h A n g l e f o r t h e O b l a t e E a r t h + V O P M o d e l a t ( V ' o , V ' d ) = ( 0 - 0 5 7 1 , 0 . 0 ) .
1 5
t h e v a r i a t i o n o f t h e o r b i t a l e l e m e n t s i s e x e m p l i f i e d b y t h e r e s u l t s p r e s e n t e d i n F i g u r e 15. T h i s figure d i s p l a y s a c o m p o s i t e t w o - d i m e n s i o n a l P o i n c a r e m a p f o r t h e O b l a t e + V O P m o d e l w i t h f o u r i n i t i a l p i t c h s t a t e s . T h e P o i n c a r e m a p c o m p u t e d f r o m a n i n i t i a l s t a t e o f (.l7r,0.0), p l o t t e d i n r e d , a p p e a r s t o p r e d i c t c h a o t i c p i t c h i n g m o t i o n b y i t s s e e m i n g l y n o n - o r d e r e d s c a t t e r i n g o f p o i n t s . T h e i n i t i a l s t a t e o f (—.STT, —.91), p l o t t e d i n b l a c k , p r o d u c e s q u a s i p e r i o d i c ( a n d n e a r l y p e r i o d i c ) p i t c h i n g m o t i o n . Q u a s i p e r i o d i c o r p e r h a p s c h a o t i c p i t c h t u m b l i n g r e s u l t s f r o m t h e i n i t i a l p i t c h s t a t e s o f ( — . 4 7 r , —1.2) a n d { —.47 r , —2.0), p l o t t e d i n g r e e n a n d b l u e , r e s p e c t i v e l y .
C o m p o s i t e P o i n c a r e ' M a p f o r I n p u t C a s e # 1 O b l a t e E a r t h + V O P M o d e l
.A r r ' I I I iV I t I I I ' l I • t i - r - T ' - f ' V i - ,-'!'' T - ' l " - i - — l _ - 0 . 5 - 0 . 2 5 0 0 . 2 5 0 . 5
P i t c h A n g l e , \\i/n ( r a d / r a d )
F i g u r e 15: C o m p o s i t e P o i n c a r e M a p f o r t h e O b l a t e E a r t h + V O P M o d e l w i t h M u l t i p l e (xpojXp'o)-
F i g u r e 16 d e p i c t s t h e s a m e c o m p o s i t e P o i n c a r e m a p b u t n o w a l s o p l o t t e d a g a i n s t e c c e n t r i c i t y . E x a m i n a t i o n o f t h i s m a p ( a n d o t h e r s n o t s h o w n h e r e ) d i s p e l s a n y a m b i g u i t y o f t h e t y p e o f m o t i o n t h e f o u r i n i t i a l s t a t e s p r o d u c e . T h e n o n - o r d e r e d s c a t t e r i n g o f r e d p o i n t s i n t h i s v o l u m e s h o w s t h e p i t c h i n g m o t i o n i s c h a o t i c f o r a n i n i t i a l s t a t e o f (.l7r,0.0). T h e c l o s e d , i n v a r i a n t b l u e a n d g r e e n s u r f a c e s d e m o n s t r a t e t h e p i t c h i n g m o t i o n r e s u l t i n g f r o m t h e i n i t i a l s t a t e s ( — . 4 7 r , —1.2) a n d (—.477 , —2.0) i s q u a s i p e r i o d i c . T h e s e r e s u l t s a r e f u r t h e r v e r i f i e d b y t h e F F T s o f F i g u r e 17. T h e first o f t h e s e t w o p l o t s s h o w s t h e q u a s i p e r i o d i c n a t u r e o f t h e m o t i o n f o r t h e i n i t i a l s t a t e ( — . 4 7 7 , —1.2). T h e s e c o n d p l o t , f o r t h e i n i t i a l s t a t e ( .177 ,0.0), d i s p l a y s a b r o a d s p e c t r u m o f f r e q u e n c i e s , c h a r a c t e r i s t i c o f c h a o t i c m o t i o n .
O n e c a n a l s o d e d u c e t h e t y p e o f m o t i o n r e s u l t i n g f r o m t h e S p h e r i c a l E a r t h m o d e l f o r t h e s e f o u r i n i t i a l s t a t e s b y e x a m i n a t i o n o f F i g u r e 8. T h e i n i t i a l s t a t e o f (.177 ,0.0) w o u l d p r o d u c e r e g u l a r ( l i k e l y q u a s i p e r i o d i c ) p i t c h l i b r a t i o n , t h e i n i t i a l s t a t e o f (—.377,—.91) w o u l d p r o d u c e q u a s i p e r i o d i c p i t c h l i b r a t i o n , a n d ( — . 4 7 7 , - 1 . 2 ) a n d ( - . 4 7 7 , - 2 . 0 ) w o u l d r e s u l t i n q u a s i p e r i o d i c t u m b l i n g m o t i o n . T h u s , t h e S p h e r i c a l E a r t h m o d e l a n d t h e O b l a t e E a r t h + V O P m o d e l c a n p r o d u c e v a s t l y d i f f e r e n t p i t c h i n g m o t i o n s f o r o u r e x a m p l e p r o b l e m . W i t h a n i n i t i a l s t a t e o f (.177 ,0.0), t h e f o r m e r m o d e l p r o d u c e s r e g u l a r p i t c h i n g m o t i o n t h a t i s b o u n d e d , p r e d i c t a b l e , a n d r e s t r i c t e d t o a s m a l l p o r t i o n o f t h e p h a s e s p a c e . T h e m o r e a c c u r a t e O b l a t e E a r t h + V O P m o d e l p r o d u c e s c h a o t i c p i t c h i n g m o t i o n , e . g . t h e p i t c h a n g l e a n d i t s r a t e v a r y u n p r e d i c t a b l y a n d r a n g e o v e r a g r e a t p o r t i o n o f t h e p h a s e s p a c e .
16
2 . 5
01 • o 1 . 5 ) CL
E < 1 !
0 . 5
F a s t F o u r i e r T r a n s f o r m o f P i t c h A n g l e E x a m p l e C a s e # 1 , O b l a t e E a r t h + V O P
O r b i t s 5 0 0 0 - 5 0 1 0 (x|r„=0.47c,\i(;=-1.2)
1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 F r e q u e n c y ( r a d / r a d )
6 0
2 . 5
T 3
2 , 1.5 a>
Q.
E <
0 . 5
F a s t F o u r i e r T r a n s f o r m o f P i t c h A n g l e E x a m p l e C a s e # 1 , O b l a t e E a r t h + V O P
O r b i t s 1 0 0 0 - 1 0 1 0 (V„=0.1ii, V > 0 . 0 )
2 4
F r e q u e n c y ( r a d / r a d )
F i g u r e 1 7 : F a s t F o u r i e r T r a n s f o r m s o f P i t c h A n g l e f o r t h e O b l a t e E a r t h + V O P M o d e l .
1 7
Concluding Remarks I n s u m m a r y , w e h a v e d e r i v e d t h e p l a n c i r p i t c h e q u a t i o n o f m o t i o n f o r a s a t e l l i t e i n a n e c c e n t r i c , p o l a r o r b i t a b o u t a n o b l a t e p l a n e t . W e f o u n d t h a t i n c l u s i o n o f t h e o b l a t e t e r m s and u s e o f o s c u l a t i n g o r b i t a l e l e m e n t s g r e a t l y a f f e c t e d t h e d y n a m i c s o f t h e s a t e l l i t e p i t c h i n g m o t i o n f o r a s p e c i f i c e x a m p l e p r o b l e m . E c c e n t r i c i t y ( a s s u m e d c o n s t a n t i n p r e v i o u s n o n l i n e a r c m a l y s e s o f p l c m a r g r a v i t y - g r a d i e n t p i t c h d y n a m i c s ) w a s s h o w n t o v a r y a l m o s t 1 5 % . W i t h t h i s m o r e e l a b o r a t e m o d e l , c h a o s w a s d e t e c t e d i n a r e a s o f t h e p h a s e s p a c e w h e r e p r e v i o u s i n v e s t i g a t i o n s f o u n d o n l y r e g u l a r m o t i o n . F u t u r e w o r k w i l l c o n t i n u e t h e n u m e r i c a l e x p l o r a t i o n o f t h e p o l a r - o r b i t e r p r o b l e m a n d i n v e s t i g a t e t h e e f f e c t s o f o r b i t - a t t i t u d e c o u p l i n g a m o n g t h e r o l l , y a w , and p i t c h e q u a t i o n s . F i n a l l y , t h e r e s t r i c t i o n o n p o l c i r o r b i t e r s w i l l b e d i s c a r d e d a n d a n o n l i n e a r a n a l y s i s f o r a r b i t r z i r y - i n c l i n a t i o n o r b i t s w i l l b e a t t e m p t e d .
Notation a O r b i t s e m i m a j o r a x i s P O r b i t p c i r a m e t e r ( s e m i l a t u s r e c t u m )
R a d i a l p e r t u r b a t i v e a c c e l e r a t i o n d u e t o p . S c a l e d o r b i t p a r a m e t e r t h e o b l a t e n e s s o f t h e c e n t r a l b o d y r R a d i a l d i s t c m c e
at T r a n s v e r s e p e r t u r b a t i v e a c c e l e r a t i o n d u e Tc D i s t a n c e f r o m t h e c e n t e r o f m a s s o f t h e t o t h e o b l a t e n e s s o f t h e c e n t r a l b o d y t o t h e c e n t e r o f m a s s o f D i r e c t i o n c o s i n e s t h e o r b i t i n g b o d y
C D i r e c t i o n c o s i n e m a t r i x o f t h e Cij R e C e n t r a l b o d y ' s m e a n e q u a t o r i a l r a d i u s dii D i r e c t i o n c o s i n e s t T i m e V D i r e c t i o n c o s i n e m a t r i x o f t h e dij V G r a v i t a t i o n a l p o t e n t i a l f u n c t i o n e O r b i t e c c e n t r i c i t y 0 A r g u m e n t o f l a t i t u d e / O r b i t t r u e a n o m a l y d S a t e l h t e r o l l a n g l e h A n g u l a r m o m e n t u m p e r u n i t m a s s P C e n t r a l b o d y ' s g r a v i t a t i o n a l c o n s t a n t I o r b i t i n c l i n a t i o n a n g l e P D i s t a n c e from s a t e l l i t e ' s c e n t e r o f m a s s h M o m e n t o f i n e r t i a a b o u t t h e y a w a x i s t o d i f f e r e n t i a l m a s s dm
h M o m e n t o f i n e r t i a a b o u t t h e r o l l a x i s S a t e l h t e y a w a n g l e h M o m e n t o f i n e r t i a a b o u t t h e p i t c h a x i s xP S a t e l l i t e p i t c h a n g l e 02 O b l a t e n e s s s p h e r i c a l h a r m o n i c t e r m A r g u m e n t o f p e r i a p s i s
i n t h e E a r t h ' s g r a v i t a t i o u c d p o t e n t i a l n L o n g i t u d e o f t h e a s c e n d i n g n o d e K S a t e l l i t e m o m e n t o f i n e r t i a r a t i o 6 L a t i t u d e m S a t e l h t e m a s s M C e n t r a l b o d y m a s s
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19