chap4 fin 1010521 - 國立中興大學 fin...二、散熱鰭片性能分析 (一)....

第四章散熱鰭片

一、散熱鰭片分類

以形狀區分：

片狀散熱鰭片

柱狀散熱鰭片

環狀散熱鰭片

以截面積區分：

固定截面積散熱鰭片

變化截面積散熱鰭片

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作業 4.1，閱讀參考資料，並寫一份內容摘要。

劉君愷，「散熱片之設計與在電子冷卻技術中之應用」。

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二、散熱鰭片性能分析

(一). 無限長度的平板鰭片 2

2 ( ) 0ad TkA ph T Tdx

A w ， 2( ) 2p w w

aT T 2

22 0

d mdx ， 2 2ph hm

kA k

該方程式之解為

1 2mx mxc e c e

其中 1c 與 2c 由邊界條件決定。

無限長度的平板鰭片 1 0c

2mxc e

而在鰭片的基部，其溫度為已知值。

0x ， bT T ， b a bT T

2b c

故無限長平板鰭片的溫度分佈為

x

x

mxbe

b

x

當 x 時， 0 ， aT T

0x

dTq kdx

，單位面積的熱傳量

mxb

dT d m edx dx

0b

x

dTq k kmdx

' 2 bq q hk ，單位長度的熱傳量

無限長平板鰭片的熱傳量

b bQ Aq kmw

效益(effectiveness)：有裝的熱傳量與沒有裝的熱傳量的比較

無限長平板鰭片的效益

b

QhA

效率(efficiency)：真實的熱傳量與理想的熱傳量的比較

無限長平板鰭片的效率

b

Qhbp

2km kh h

，無限長鰭片的效益

若2 1kh

，或2kh

，則散熱鰭片沒有散熱功能。

K = 390 W/m-℃，δ = 1mm，相當於 h > 390000 W/m2-℃，不易發生。

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例，有一無限長度的鰭片，Ta=25℃，Tb=100℃，請計算單位寬度的熱傳

量與效益。

h=20 W/m2-℃，k=390 W/m-℃，δ=1mm

加強熱傳：熱傳量增加，但效益降低。

h=200 W/m2-℃，k=390 W/m-℃，δ=1mm

更換材料：熱傳量與效益都降低。

h=20 W/m2-℃，k=50 W/m-℃，δ=1mm

增加厚度：熱傳量增加，但效益降低。

h=20 W/m2-℃，k=390 W/m-℃，δ=5mm

-----------------------------------------------------------------------------------------------

柱形鰭片的方程式與平板鰭片相同，只是 2m 的定義不一樣。

方柱形鰭片： 2A b ， 4p b ， 2 4ph hmkA kb

圓柱形鰭片：2

2

4dA r ， p d ， 2 4 2ph h hm

kA kd kr

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作業 4.2

有一圓柱形的無限長鰭片，直徑為 0.5cm，底座溫度 100℃，熱傳導係數為

70W/m℃，熱傳係數為 20 W/m2-℃，外界溫度為 20℃，請計算熱傳量。

-----------------------------------------------------------------------------------------------

(二). 有限長度的平板鰭片

有限長度的平板鰭片有三種不同的邊界條件：絕熱端，對流端，等溫端。

(i). x=L， 0dTdx

，端點絕熱

L

1 2mx mxc e c e

0x ， bT T

1 2 bc c

x L ， 1 2 1 2 0mx mx mL mLd mc e mc e mc e mc e

dx

21 2

mLc c e 2 2

1 2 2 2 2 (1 )mL mL

bc c c e c c e

2 21b

mLc e

22

1 2 21

mLmL

bmLec c e

e

22

1 ( )1

mL mx mxmL

b

e e ee

2

2

11

b

mL

mLd eq k kmdx e


2

2

121

b

mL

L mLeQ w hke

，總熱傳量

2

2

1 11

mLL

mLQ eQ e

，與無限翼片總熱傳量之比值

L 越長，熱傳量越大。

1.0

LQQ

0 L

基部溫度

x L ，

2

21

mLe

mLb

ee

，端點溫度與基部溫度之比值

-----------------------------------------------------------------------------------------------

例，有一鰭片，已知 L=10 cm，h=20 W/m2-℃，k=390 W/m-℃，δ=1mm，

Ta=25℃，Tb=100℃，請計算單位寬度的熱傳量，端點溫度，與效益。

-----------------------------------------------------------------------------------------------

作業 4.3

有一圓柱形的半圓環把手固定在底座上，圓柱的直徑為 0.5cm，而整個圓環

的直徑為 20cm。已知底座的溫度為 100℃，把手的熱傳導係數為 70W/m℃，

把手與外界的熱傳係數為 20 W/m2-℃，外界的溫度為 20℃，請計算把手的

最低溫度。

-----------------------------------------------------------------------------------------------

設定熱傳量：

2

2

11

mLL

mLQ eQ e

2 21 1mL mLe e

21 1 mLe

2 11

mLe

1 1ln2 1

Lm

-----------------------------------------------------------------------------------------------

例，有一鰭片，已知 h=20 W/m2-℃，k=390 W/m-℃，δ=1mm，Ta=25℃，

Tb=100℃，若總熱傳量為無窮長鰭片的 95%，請計算其長度。

-----------------------------------------------------------------------------------------------

作業 4.4

有一端點絕熱方柱翼片，邊長 5mm，h=100 W/m2-℃，k=200 W/m-℃，若

其熱傳量為無限長鰭片的 99%，請計算其長度。

-----------------------------------------------------------------------------------------------

(ii). x=L, ( )adTkA h T Tdx

，端點對流熱傳

L

1 2mx mxc e c e

0x ， bT T

1 2 bc c

x L ， dk hdx

1 2 1 2( ) ( )mL mL mL mLk mc e mc e h c e c e

1 2( ) ( )mL mLc km h e c e km h

2 21 2 2

mL mLkm hc c e c ekm h

/ 1/ 1

km h km hkm h km h

2 21 2 2 2 2 (1 )

mL mLbc c c e c c e

2 21b

mLc e

2

1 21

mL

bmLec

e

22

1 ( )1

mL mx mxmL

b

e e ee

22

1 ( )1b

mL mx mxmL e e ee

2

2

11

b

mL

mLd eq k kmdx e


2

2

121

b

mL

L mLeQ w hke

，總熱傳量

2

2

1 11

mLL

mLQ eQ e


若 >>km h， 1 ，則2

2

11

mLL

mLQ eQ e

，與 case 1 相同

2

( 1)1

mLe

mLb

ee

，端點溫度。

2

( 1)1

mL

end e bmLeq h h

e

，端點熱傳量。

-----------------------------------------------------------------------------------------------

例，有一端點對流熱傳的平板鰭片，已知 L=10 cm，h=20 W/m2-℃，k=390

W/m-℃，δ=1mm，Ta=25℃，Tb=100℃，請計算單位寬度的熱傳量，端點

溫度，端點熱傳量，與效益。

-----------------------------------------------------------------------------------------------

設定熱傳量：

LQQ

， 2 21 1mL mLe e

21 1 mLe ， 2 11

mLe

1 1 1ln2 1

Lm

-----------------------------------------------------------------------------------------------

例，有一端點對流熱傳的平板鰭片，已知 h=20 W/m2-℃，k=390 W/m-℃，

δ=1mm，Ta=25℃，Tb=100℃，若總熱傳量為無窮長鰭片的 95%，請計算

其長度。

-----------------------------------------------------------------------------------------------

作業 4.5

有一圓柱鰭片，直徑 5mm，h=100 W/m2-℃，k=200 W/m-℃，若其熱傳量

為無限長鰭片的 99%，請計算其長度。

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(iii). x=L，T=Ta，端點溫度為零

T=0

1 2mx mxc e c e

0x ， bT T

1 2 bc c

x L ， 1 2 0mL mLc e c e

21 2

mLc c e 2

1 2 2 (1 )mL

bc c c e

2 21b

mLc e

2

1 21

mL

bmLec

e

22

1 ( )1

mL mx mxmL

b

e e ee

2

2

11

b b

mL

mLd eq k km kmdx e


2 2

2 2

1 11 1

b

mL mL

L mL mLe eQ k wm Qe e

，總熱傳量

2

2

1 11

mLL

mLQ eQ e


L 越短，熱傳量越大。這已不是散熱翼片，從端面傳走的熱量高於上下兩

面傳走的熱量。

2

21

mL

end b mLd eq k kmdx e

，端點熱傳量。

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例，有一端點溫度為零的平板鰭片，已知 L=10 cm，h=20 W/m2-℃，k=390

W/m-℃，δ=1mm，Ta=25℃，Tb=100℃，請計算單位寬度的熱傳量，端點

熱傳量，與效益。

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(vi). x=L, T=Tc，端點溫度為設定值

Tc

1 2mx mxc e c e

0x ， bT T

1 2 bc c

x L ， 1 2mL mL

cc e c e

21 2

mL mLcc c e e

2

1 2 2 (1 )mL mL

c bc c c e e

2 21

mLb c

mLec

e

2

1 2 21

mL mLb c

b mLe ec c

e

1 mL mx mL mxc b b cmL mL e e e ee e

mL mx mL mxc b b cmL mLmq k e e e ee e

x=0, 2

2 2

1 221 1

mL mLmL mL c

b b c bmL mL mL mLkm e eq e e km

e e e e

2mL mLb b cmL mLkmwbQ e ee e

，總熱傳量

x=L, 2

2 2

2 121 1

mL mLmL mL b

c b c cmL mL mL mLkm e eq e e km

e e e e

2 mL mLc b cmL mLkmwbQ e ee e

，端點熱傳量

當 0c 時，mL mL

b mL mLe eQ kmwbe e

，(iii)與(iv)相同。

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例，有一平板鰭片，已知 L=10 cm，h=20 W/m2-℃，k=390 W/m-℃，δ=1mm，

Ta=25℃，Tb=100℃，Te=50℃，請計算單位寬度的熱傳量，端點熱傳量，

與效益。

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四種邊界的單位寬度熱傳量，尖端溫度，與尖端熱傳量

熱傳量( /b bq km ) 端點溫度( /e b ) 端點熱傳 /e bq km

端點絕熱 22

11

mL

mLee

22

1

mL

mLee

0

端點對流 22

11

mL

mLee

2( 1)

1

mL

mLe

e

2( 1)

1

mL

b mLeh

e

端點零溫 22

11

mL

mLee

0

2

21

mL

mLee

端點定溫 22 2

1 21 1

mL mLc

mL mLb

e ee e

b

c

2

2 2

2 11 1

mL mLc

mL mLb

e ee e

-----------------------------------------------------------------------------------------------

作業 4.6

有限長度的鰭片，請計算四種邊界的單位寬度熱傳量與尖端溫度。

Ta=25℃，Tb=100℃，h=200 W/m2-℃，k=50 W/m-℃，δ=1mm，L=3cm

(1). 絕熱

(2). 對流

(3). Te=25℃

(4). Te=50℃

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(三). 其他形狀的鰭片

(3.1). 拋物線形鰭片

鰭片的截面積為 2( )xA bWL

注意：坐標原點在拋物線尖端，而坐標方向為由尖端向基部。

2( ( ) ) ( ) 0ad x dTkbW ph T Tdx L dx

22( ( ) ) 2xp W bW WL

22 2( ) 0d d hLx

dx dx kb ， 2 2hm

kb

22 2 2

2 2 0d dx x m Ldx dx

sx 2( 1) 2 ( ) 0s s s mL

1 21 2

s sc x c x

2 2

11 1 4

2m Ls ，

2 2

21 1 4

2m Ls

其中 1 0s ， 2 0s

因在 0x (尖端處)，為有限值，而 2sx ，故 2 0c

b

x=

b x=a=0

x b

在 x L (基部)， b ，故 11bsc L

1( )b

sxL

2 21 1 4 1

2b

b

x L

d k m Lq k kdx L L

s

注意：坐標原點在拋物線尖端，熱傳方向與坐標方向相反。

21 (2 ) 12b

mLq kmmL

2 21 4 12

bkbw m LQL

非固定截面積鰭片的熱傳量較低，但可減少材料使用，降低重量。 2

0

1 13 3

L

parabolic platexM b wdx bwL ML

拋物線形鰭片的重量只有平板狀鰭片的 1/3

22

2

11 2 12 1

mL

parabolic

mLplate

km h emLq km hkm hq mL ekm h

若 >>km h， 1km hkm h

2 22

1 2 1 12 1

mLparabolic

mLplate

mLq eq mL e

-----------------------------------------------------------------------------------------------

例，請計算拋物線形，矩形的熱傳量與溫度分佈。

h=20 W/m2-℃，k=200 W/m-℃，b=3mm，L=1cm，θb= 100℃

h=200 W/m2-℃，k=50 W/m-℃，δ=3mm，L=3cm，θb= 100℃

-----------------------------------------------------------------------------------------------

作業 4.7

有一平板鰭片，已知 L=10 cm，h=20 W/m2-℃，k=200 W/m-℃，δ=1mm，

Ta=25℃，Tb=100℃，請設計一拋物線形鰭片，具有相同的熱傳量。若二

者的寬度與基部厚度相同，計算拋物線形鰭片的長度，並比較二者的重量。

-----------------------------------------------------------------------------------------------

半截的拋物線形鰭片

1 2

1 2s sc x c x

1 21 11 1 2 2

s sd c s x c s xdx

1x L (前端處)， 0ddx ，

1 21 11 1 1 2 2 1( ) ( ) 0

s sc s L c s L

2

1

12 1

1 2 11 1

( )( )

s

ss Lc cs L

x L (基部)， b

21 2 1 2 2 2 1 1

1

12 1 2

1 2 2 2 2 111 1 1

( ) ( )( )

ss s s s s s s s

b ss L sc L c L c L c L c L L Ls L s

2 2 1

22 1

1

1 ( )

b

s s s

cs LLs L

2 1

2 2 1

21 1

12 1

1

( )1 ( )

s sb

s s s

sc Lss LL

s L

2 1 2 1

2 1

2 1

12 1

1

1

1 ( )

s s S S

s sb

x s x LL s L Ls L

s L

2 1

2 1

2 1

2 1

1

11 ( )

bs s

x L s s

d k s Lq kdx L Ls L

s L

2 1

2 1

12 2

2 1

1

11 4 1

21 ( )

b

s s

s s

Lkbw m L LQ

L s Ls L

-----------------------------------------------------------------------------------------------

例，請計算半截式拋物線形鰭片的熱傳量與溫度分佈。

h=20 W/m2-℃，k=200 W/m-℃，b=3mm，L=1cm，L1=0.8cm，θb= 100℃

-----------------------------------------------------------------------------------------------

作業 4.8

有一拋物線形鰭片，已知 h=20 W/m2-℃，k=200 W/m-℃，b=3mm，L=1cm，

θb= 100℃，若改為半截式拋物線形鰭片，二者的寬度，基部厚度，及總

長度都相同，請比較二者的熱傳量及重量。

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(3.2). 三角形鰭片

鰭片的截面積為xA bWL

注意：坐標原點在拋物線尖端，而坐標方向為由尖端向基部。

( ) ( ) 0ad x dTkbW ph T Tdx L dx

2( ) 2xp W b WL

2( ) 0d d hLxdx dx kb

， 2 2hmkb

22

2 0d dx m Ldx dx

該方程式的解為

1 0 2 0(2 ) (2 )c I m Lx c K m Lx

其中 0 (2 )I m Lx 與 0 (2 )K m Lx 為第零階的 Modified Bessel's function

Modified Bessel's function 的函數圖形如下：

( )nI x 的變化 ( )nK x 的變化

x I1(x) 0 0

0.1 0.05006252605 0.2 0.100500834 0.3 0.15169384 0.4 0.2040267557 0.5 0.2578943054 0.6 0.3137040256 0.7 0.3718796778 0.8 0.4328648026 0.9 0.4971264482

1 0.565159104 1.1 0.637488876 1.2 0.7146779416 1.3 0.797329315 1.4 0.8860919814 1.5 0.9816664286 1.6 1.084810635 1.7 1.196346566 1.8 1.31716723 1.9 1.448244373

2 1.590636855 2.1 1.745499809 2.2 1.914094651 2.3 2.097800028 2.4 2.298123813 2.5 2.516716245 2.6 2.755384341 2.7 3.016107693 2.8 3.301055823 2.9 3.612607212

3 3.953370217 3.1 4.326206027 3.2 4.73425389 3.3 5.180958855 3.4 5.67010219 3.5 6.205834922 3.6 6.792714601 3.7 7.435745797 3.8 8.14042458 3.9 8.912787451

4 9.759465154 4.1 10.68774184 4.2 11.70562014 4.3 12.8218928 4.4 14.04622134 4.5 15.38922275 4.6 16.86256476 4.7 18.47907065 4.8 20.2528346

4.9 22.19934862

x K0(x) 0 ∞

0.1 2.427069025 0.2 1.752703856 0.3 1.372460061 0.4 1.114529135 0.5 0.924419071 0.6 0.777522092 0.7 0.66051986 0.8 0.5653471053 0.9 0.4867303082

1 0.4210244382 1.1 0.3656023915 1.2 0.3185082203 1.3 0.2782476463 1.4 0.2436550612 1.5 0.2138055626 1.6 0.187954752 1.7 0.1654963181 1.8 0.1459314005 1.9 0.1288459793

2 0.1138938727 2.1 0.1007837409 2.2 0.0892690057 2.3 0.079139933 2.4 0.0702173415 2.5 0.0623475532 2.6 0.05539830329 2.7 0.04925540092 2.8 0.04381998198 2.9 0.03900623457

3 0.03473950439 3.1 0.03095470804 3.2 0.02759499768 3.3 0.02461063215 3.4 0.02195801881 3.5 0.01959889717 3.6 0.01749964102 3.7 0.01563065992 3.8 0.01396588453 3.9 0.01248232276

4 0.01115967609 4.1 0.009980007228 4.2 0.008927451542 4.3 0.007987966032 4.4 0.007149110623 4.5 0.006399857243 4.6 0.005730422917 4.7 0.005132123648 4.8 0.004597246317 4.9 0.004118936236

x K1(x) 0 ∞

0.1 9.8538447810.2 4.7759725430.3 3.0559920330.4 2.1843544250.5 1.656441120.6 1.302834940.7 1.0502835350.8 0.86178163450.9 0.7165335788

1 0.60190723021.1 0.50976002721.2 0.43459239111.3 0.37254749561.4 0.32083590221.5 0.27738780051.6 0.24063391141.7 0.20936248821.8 0.18262309981.9 0.159660153

2 0.13986588182.1 0.12274641152.2 0.10789681012.3 0.09498244382.4 0.08372483882.5 0.07389081632.6 0.065284045062.7 0.057738398962.8 0.051112685612.9 0.0452864233

3 0.040156431133.1 0.035634054953.2 0.031642895213.3 0.028116934273.4 0.024998984123.5 0.022239392933.6 0.019794962023.7 0.01762803513.8 0.015705729083.9 0.01399928208

4 0.012483498894.1 0.011136277634.2 0.0099382047364.3 0.0088722071894.4 0.0079232533614.5 0.0070780949094.6 0.0063250436444.7 0.005653778244.8 0.0050551764444.9 0.004521169177

x I0(x) 0 1

0.1 1.0025015630.2 1.0100250280.3 1.0226268790.4 1.0404017820.5 1.0634833710.6 1.0920453640.7 1.1263030180.8 1.1665149230.9 1.212985166

1 1.2660658781.1 1.3261601841.2 1.3937255841.3 1.4692777981.4 1.55339511.5 1.646723191.6 1.749980641.7 1.8639649621.8 1.9895593571.9 2.127740194

2 2.2795853022.1 2.446283132.2 2.6291428642.3 2.82960562.4 3.0492566582.5 3.2898391442.6 3.5532689042.7 3.8416509772.8 4.1572977042.9 4.502748661

3 4.880792593.1 5.294491493.2 5.7472071873.3 6.2426304653.4 6.784813163.5 7.378203433.6 8.0276845473.7 8.7386175243.8 9.516888033.9 10.36895792

4 11.301921954.1 12.323570124.2 13.442456164.3 14.667972994.4 16.010435524.5 17.481171864.6 19.092623484.7 20.858455534.8 22.793677994.9 24.91477908

0x ，為有限值，但 0 (0)K ，故 2 0c

1 0 (2 )c I m Lx

x L ， b ， 10 (2 )

bcI mL

0

0

(2 )(2 )b

I m LxI mL

01

( ) ( )dI x I xdx

1 1

0 0

1 (2 ) (2 )22 (2 ) (2 )

bb

x L

d d d I m Lx I mLq k k k m L kmdx d dx I mL I mLx

1

0

2 (2 )(2 )b

kh I mLQ bWqb I mL

1

0

(2 )(2 )b

q km I mLh h I mL

-----------------------------------------------------------------------------------------------

例，請計三角形鰭片的熱傳量與溫度分佈。

h=20 W/m2-℃，k=200 W/m-℃，b=3mm，L=1cm，θb= 100℃

-----------------------------------------------------------------------------------------------

作業 4.9

有一平板鰭片，已知 L=10 cm，h=20 W/m2-℃，k=200 W/m-℃，δ=1mm，

Ta=25℃，Tb=100℃，請設計一三角形鰭片，具有相同的熱傳量。若二者

的寬度與基部厚度相同，計算三角形鰭片的長度，並比較二者的重量。

-----------------------------------------------------------------------------------------------

半截的三角形鰭片(去除尖端)

1 0 2 0(2 ) (2 )c I m Lx c K m Lx

1 1 2 11 1(2 ) (2 )d c m I m x c m K m x

dx x x

1x L ， 1 1 1 2 1 11 1

1 1(2 ) (2 ) 0d c m I m L c m K m Ldx L L

1 11 21 1

(2 )(2 )

K m Lc c

I m L

x L ， 1 12 0 2 01 1

(2 )(2 ) (2 )

(2 )bK m L

c I m L c K m LI m L

，

21 1

0 01 1

(2 )(2 ) (2 )

(2 )

bcK m L

I m L K m LI m L

1 11

1 1 1 10 0

1 1

(2 )(2 ) (2 )

(2 ) (2 )(2 )

b K m LcK m L I m L

I m L K m LI m L

1 10 0

1 1

1 10 0

1 1

(2 )(2 ) (2 )

(2 )(2 )

(2 ) (2 )(2 )

b

K m LI m x K m x

I m LK m L

I m L K m LI m L

1 11 1

1 1

1 10 0

1 1

(2 )(2 ) (2 )

(2 )(2 )

(2 ) (2 )(2 )

b

x L

K m LI m L K m L

I m Ldq k kmdx L K m L

I m L K m LI m L

-----------------------------------------------------------------------------------------------

例，請計半截式三角形鰭片的熱傳量與溫度分佈。

h=20 W/m2-℃，k=200 W/m-℃，b=3mm，L=1cm，L1=0.8cm，θb= 100℃

-----------------------------------------------------------------------------------------------

作業 4.10

有一三角形鰭片，已知 h=20 W/m2-℃，k=200 W/m-℃，b=3mm，L=1cm，

θb= 100℃，若改為半截式三角形鰭片，二者的寬度，基部厚度，及總長

度都相同，請比較二者的熱傳量及重量。

-----------------------------------------------------------------------------------------------

(3.3). 環形鰭片

( ) 0d dT phAdr dr k

2A r ， 4p r

2( ) 0d dT hrrdr dr k

2 2hmk

該方程式之解為

1 0 2 0( ) ( )c I mr c K mr

其中 0 ( )I mr 與 0 ( )K mr 為第零階的 Modified Bessel's function

(3.3.1). 無限大的環形翼片

r ， 0 ， 1 0c

ir r ， b ， 2 0 ( )b ic K mr

20 ( )

b

i

cK mr

0

0

( )( )b i

K mrK mr

01

( ) ( )dK x K xdx

， 0 1( ) ( )dI x I x

dx

0

1

0

( )2 2( )

ii i b

r r i

d K mrQ rk rkmdr K mr

1

0

( )2 ( )

i

i b i

Q km K mrrh h K mr

-----------------------------------------------------------------------------------------------

例，請計算無限大環形鰭片的熱傳量與溫度分佈。

h=20 W/m2-℃，k=390 W/m-℃，δ=1mm，r0=1cm，θb= 100℃

m=10.127，mr0=0.1013， 0 0( )K mr 2.4143， 1 0( )K mr 9.7243

Q 99982 W，ε=795

h=200 W/m2-℃，k=50 W/m-℃，δ=1mm，r0=3cm，θb= 100℃

m=89.443，mr0=2.6833， 0 0( )K mr 0.0502， 1 0( )K mr 0.0589

Q 771483 W，ε=205

-----------------------------------------------------------------------------------------------

(3.3.2). 有限半徑的環形鰭片(假設邊緣絕熱)

ir r ， 1 0 2 0( ) ( )b i ic I mr c K mr

or r ， 1 1 2 1( ) ( ) 0o od c mI mr c mK mrdr ， 11 2

1

( )( )

o

o

K mrc cI mr

其中 1( )I mr 與 1( )K mr 為第一階的 Modified Bessel's function

1 0 0 21

( ) ( ) ( )( )

ob i i

o

K mr I mr K mr cI mr

12

0 1 0 1

( )( ) ( ) ( ) ( )

ob

i o i o

I mrcI mr K mr K mr I mr

11

0 1 0 1

( )( ) ( ) ( ) ( )

ob

i o i o

K mrcI mr K mr K mr I mr

1 0 1 0

0 1 0 1

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

o ob

i o i o

K mr I mr I mr K mrI mr K mr K mr I mr

1 1 1 1

0 1 0 1

( ) ( ) ( ) ( )2( ) ( ) ( ) ( )

o i o ii b

i o i o

K mr I mr I mr K mrQ rkm QI mr K mr K mr I mr

QQ

為實際熱傳與無窮大環熱傳之比值。

0 1 1 1 1

1 0 1 0 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

i o i o i

i i o i o

K mr I mr K mr K mr I mrK mr I mr K mr K mr I mr

11 1

1

01 1

0

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

io o

i

io o

i

I mrI mr K mrK mrI mrI mr K mrK mr

1 1 1 1

1 0 1 0

( ) ( ) ( ) ( )2 ( ) ( ) ( ) ( )

o i o i

i b o i o i

Q km I mr K mr K mr I mrrh h I mr K mr K mr I mr

Area ratio 2 2 2 222

o i o i

i i

r r r rARr r

0K ， 1K ， 0I ， 1I 等函數的數值請參考附件。

-----------------------------------------------------------------------------------------------

例，請計算有限半徑環形鰭片的熱傳量與溫度分佈。

h=20 W/m2-℃，k=390 W/m-℃，δ=1mm，r0=1cm，r1=10cm，θb= 100℃

m=10.127，mr0=0.1013，mr1=1.0127

0 0( )K mr 2.4143， 1 0( )K mr 9.7243， 0 0( )I mr 1.0026， 1 0( )I mr 0.0507

0 1( )K mr 0.4135， 1 1( )K mr 0.5891， 0 1( )I mr 1.2733， 1 1( )I mr 0.5741

α=0.6974，Q 69729 W，ε=555，AR = 990

-----------------------------------------------------------------------------------------------

例，請計算計算 ro，使 50。

h=20 W/m2-℃，k=390 W/m-℃，δ=1mm，r0=1cm，θb= 100℃

-----------------------------------------------------------------------------------------------

作業 4.11

請計算計算 ro，使 0.9。

h=20 W/m2-℃，k=390 W/m-℃，δ=1mm，r0=1cm，θb= 100℃

-----------------------------------------------------------------------------------------------

例，有一金屬圓棒，k=390 W/m-℃，直徑 2 cm，長度 50 cm，中間有三個

等間隔的環型鰭片，外徑 20 cm，厚度 2 mm，若金屬棒內部有一均勻熱源，

功率為 70 W，已知金屬棒表面的熱傳系數為 20 W/m2-℃，大氣溫度為 25

℃，請計算金屬棒表面溫度。

-----------------------------------------------------------------------------------------------

作業 4.12

有一銅管，內徑 1.8 cm，外徑 2 cm，長度 1 m，中間有十個等間隔的環型

鰭片，外徑 20 cm，厚度 2 mm，若銅管入口為 80℃的熱水，流速 0.5 m/s，

已知銅管內壁的熱傳系數為 200 W/m2-℃，銅管表面的熱傳系數為 20 W/m2-

℃，大氣溫度為 25℃，請計算流出銅管的水溫。

-----------------------------------------------------------------------------------------------

各種鰭片的比較

熱通量q (W/m2) 端點溫度

無窮大板

狀鰭片

bkm 0

板狀鰭片 22

11

b

mL

mLekme

22

1

mLe

mLb

ee

拋物線鰭

片

21 (2 ) 12

bmLkmmL

0

三角形鰭

片

1

0

(2 )(2 )

bI mLkmI mL

0

1(2 )

e

b I mL

無窮大環

形鰭片

1 0

0 0

( )( )b

K mrkmK mr

0

環形鰭片 1 1 1 10 1 0 1

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

o i o ib

i o i o

K mr I mr I mr K mrkmI mr K mr K mr I mr

1 0 1 0

0 1 0 1

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

o o o o

i o i o

K mr I mr I mr K mrI mr K mr K mr I mr

(四). 太陽能熱水器

太陽能熱水器的吸熱板受到陽光照射，同時向四周的環境散熱，而中間流道的

水管也會帶走一部份的熱量。

Rq

L

2

2 ( ) 0a Rd TkA ph T T q pdx

吸收板只有單面吸熱，單面散熱。另一面以絕熱材料包覆。

A w ， p w

aT T 2

2 0Rd h q

dx k k

2 hmk

22

2 0Rd qm

dx k

1 2mx mx Rqc e c e

h

RR

qh

：日照平衡溫度，在固定日照強度下，吸收板的最高溫度。

x=0, b

x=L, 0dTdx

，絕熱端

22

1( ) ( )1

mL mx mxb R RmL e e ee

2

2

1( )1

mL

b R mLeq k me

b R 是太陽能吸收板能吸熱的必要條件。當 b R 時，已無淨熱傳

量，此為太陽能吸收板所能達到的最高溫度。

管內水溫變化為

fT

2 ( )ff f f f b fdT

m c R h T Tdx

2

2

12 ( ) 2 2 ( )1

mL

f f b f b R mLeR h T T q k me

2 2

2 2

1 1(2 2 ) 2 2 ( )1 1

mL mL

f f b f f f a RmL mLe eR h k m T R h T k m Te e

2

2

2 2

2 2

11 ( )

1 11 1

mL

mLf fb f a RmL mL

f f f fmL mL

ek mR h eT T Te eR h k m R h k me e

2

2

2

2

12 1 [ ( )]

11

mL

mLf f ff a RmL

f ff f mL

ek mdT R h e T Tedx m c R h k me

12

f f Rd qdx h

，

2

2

2

2

121 1

11

mL

mLf fmL

f ff f mL

ek mR h eem c R h k me

0x , 0f f

0( )x

f f R Re

x w , 0( )w

fL f R Re

0 0( )(1 )w

fL f R f e

0 0( ) ( )(1 )w

f f f fL f f f R fQ m c m c e

2R RQ q wL

00( )(1 ) (1 )(1 )2 2

w wf f f f f f

R fR R R

Q m c m ce e

Q q wL hwL

-----------------------------------------------------------------------------------------------

例，台中地區夏天日照強度為 700 W/m2。請計算太陽能吸收板所能達到

的最高溫度。

k=200 W/m-℃，δ=1mm，h = 30 W/m2-℃，Ta = 30℃，L=2 cm，w=2m

d=0.5cm，u=0.5 m/sec

-----------------------------------------------------------------------------------------------

熱水統的加熱過程

0( )f f f f fL fdM c m cdt

0f

1( )(1 ) ( )w

fR R

f f

md edt M

1 (1 )w

f

f f

me

M

1 ( ) 0Rf

ddt

0

f

t

R

R

e

-----------------------------------------------------------------------------------------------

例，台中地區夏天日照強度為 700 W/m2。請計算太陽能吸收板所能達到

的最高溫度。

k=200 W/m-℃，δ=1mm，h = 30 W/m2-℃，Ta = 30℃，L=2 cm，w=2m

d=0.5cm，u=0.5 m/sec

-----------------------------------------------------------------------------------------------

例，有一太陽能吸收板，共有 10 片吸收片。儲水桶內有 100L 的冷水，

水溫 30℃。水泵流量 10L/min，請計算一小時後水溫。

-----------------------------------------------------------------------------------------------

作業 4.13

台中市夏天的日照強度與大氣溫度如下表所示，，請計算上題的系統從

上午八點開始，到下午四點時，儲水桶內的水溫。

日照強度大氣溫度日照強度大氣溫度

8:00~9:00 400 W/m2 27℃ 12:00~13:00 1000 W/m2 35℃

9:00~10:00 600 W/m2 29℃ 13:00~14:00 900 W/m2 35℃

10:00~11:00 800 W/m2 31℃ 14:00~15:00 700 W/m2 33℃

11:00~12:00 1000 W/m2 33℃ 15:00~16:00 500 W/m2 31℃

-----------------------------------------------------------------------------------------------

(五). 散熱鰭片模組設計

單一散熱鰭片的效果有限，必須以模組方式來散熱，才能有效控制溫度。

(5.1). 外平板翼片

L

單片的效益：

2

2

111111

ml

ml

e

e

，2km k h

h h kb

整體的效益：

( 1)1 1 ( 1)effL n n n f

L L

其中 L ：整片鰭片基座長度

n ：鰭片數

：單一鰭片厚度

nfL

：鰭片覆蓋的面積比例

單片的效益很高，但整體的效益就不一定很高。

整個散熱模組的熱傳量

max aT TqR

1ii eff

Rk h

max1i

ai eff

T T qk h

-----------------------------------------------------------------------------------------------

例、散熱鰭片規格如下：

底部面積 Ab= 4cm×4cm，形式: plate type

厚度 b= 1 mm，長度 L= 2 cm，寬度 w= 4 cm，間距 s= 3 mm，

數目 n= 10，k= 200 W/m-K，風速 u= 1 m/sec，大氣溫度 Ta = 25℃

2hd s : hydraulic diameter

Re Pr hdGzL

, Graetz number

1.37

0.87

0.02897.541 0.0438

hGz hdNuGz k

(1). 請計算散熱鰭片的熱傳係數 h

(2). 請計算單一散熱鰭片的效益 f

(3). 請計算整個散熱鰭片組的效益

(4). 若散熱鰭片需散熱 20W，請計算散熱鰭片底部溫度。

-----------------------------------------------------------------------------------------------

例，有一 20 W 的晶片，長寬均為 4 cm，安裝在上述的鰭片座上。已知晶

片內部如下圖所示。

鋁板：k=200 W/m-℃，δ=5 mm

銅板：k=390 W/m-℃，δ=1 mm

陶瓷：k=5 W/m-℃，δ=1 mm

膠模：k=3 W/m-℃，δ=5 mm

請計算晶片內部最高溫度。

-----------------------------------------------------------------------------------------------

例，有一具氣冷式的機車引擎，以鑄鐵鰭片散熱。已知氣缸直徑 8 cm，高

度 15 cm，氣缸外壁共有 10 片散熱鰭片，每片直徑 20 cm，高度 5 cm，厚

度 5 mm。引擎的發熱功率為 4 kW，機車速度為 50 km/hr，請計算氣缸內

壁溫度。大氣溫度 Ta = 25℃。

-----------------------------------------------------------------------------------------------

例，有一圓管，內徑 5cm，外徑 6cm，長度 10m，在內壁上沿著軸向共鑲

有 16 片板狀鰭片，每一片厚度 2mm，長度 10m，高度 1cm。入口為 100℃

的熱空氣，流速 1 m/sec，管外為 25℃的冷水垂直流過，流速 0.1 m/sec，

請計算出口空氣溫度。

-----------------------------------------------------------------------------------------------

作業 4.14

有一 5cm×5cm 的平面熱源，發熱量為 50W，擬用柱狀鰭片來散熱。共有 7×7

排圓柱，每一圓柱直徑 5mm，高度 3cm。已知 k=200 W/m-℃，風速 u= 1

m/sec，大氣溫度為 25℃。圓柱的熱傳系數 13Pr RenxNu C

Re C n

0.4~4 0.989 0.330

4~40 0.911 0.385

40~4000 0.683 0.466

4000~40000 0.193 0.618

40000~400000 0.0266 0.805

-----------------------------------------------------------------------------------------------

作業 4.15

有一 5cm×5cm 的平面熱源，發熱量為 50W，擬用板狀鰭片來散熱。共有 7

片平板，每一片厚度 2mm，寬度 5cm，長度 3cm。已知 k=200 W/m-℃，風

速 u= 1 m/sec，平板與大氣之間的熱傳系數為

1.37

0.87

0.02897.541 0.0438

hGz hdNuGz k

大氣溫度為 25℃。請計算平面熱源的表面溫度。

-----------------------------------------------------------------------------------------------

(5.2). 內平板鰭片

單片的效益：

2

2

111111

ml

ml

e

e

，2km k h

h h kb

整體的效益：

2 ( 1)1 1 ( 1)2 2i

r nb nb nb fr r

( )i wdTmc hp T Tdx

0id hpdx mc

， wT T

ix

ie

iL

e ie

( ) ( ) 1 iL

e i w iQ mc T T mc T T e

-----------------------------------------------------------------------------------------------

例，有一個空氣冷卻器，內徑 5 cm，長度 1m，內部有 8 片銅製平板鰭片，

厚度 1mm，高度 2cm，已知 hi=200 W/m-℃，入口空氣溫度 200℃，速度

5 m/sec，管壁外徑 5.6 cm，以 25℃的水冷卻，ho=50 W/m-℃，請計算出

口溫度。

-----------------------------------------------------------------------------------------------

作業 4.16

有一個空氣冷卻器，內徑 5 cm，長度 1m，內部有 16 片銅製平板鰭片，


5 m/sec，管壁外徑 5.6 cm，以 25℃的水冷卻，ho=50 W/m-℃，請計算出

口溫度。

-----------------------------------------------------------------------------------------------

(5.3). 外環狀鰭片

單片的效益：

1 1 1 0 1 1 1 0

1 1 0 0 1 1 0 0

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

km I mr K mr K mr I mrh I mr K mr K mr I mr

整體的效益：

( 1)1 1 ( 1)oL n n n f

L L

o o o o wQ h A T T ， 12oA L r

內平板外環狀翼片空氣冷卻管

( ) 1 iL

w i o o o o wQ mc T T e h A T T

1 1i iL L

w o o o i o o o oT mc e h A mcT e h A T

(1 )

(1 )

i

i

L

i o o o ow L

o o o

mcT e h A TTmc e h A

(1 ) ( )(1 )

i

i

L

o o o i o io iL

o o o

h A mc e T TQ T TRmc e h A

(1 ) 1 1

(1 ) (1 )

i

i i

L

o o oL L

o o oo o o i i

mc e h ARh Ah A mc e mc e

-----------------------------------------------------------------------------------------------

例，有一個空氣冷卻器，內徑 5 cm，長度 1m，內部有 8 片銅製平板鰭片，


5 m/sec，管壁外徑 5.6 cm，上面共有以 10 片銅製環狀鰭片，厚度 2mm，

高度 5cm，今以 25℃的水冷卻，ho=50 W/m-℃，請計算出口溫度。

-----------------------------------------------------------------------------------------------

作業 4.17

有一個空氣冷卻器，內徑 5 cm，長度 2m，內部有 16 片銅製平板鰭片，


5 m/sec，管壁外徑 5.6 cm，上面共有以 40 片銅製環狀鰭片，厚度 2mm，

高度 5cm，今以 25℃的水冷卻，ho=50 W/m-℃，請計算出口溫度。

-----------------------------------------------------------------------------------------------

(六). 級聯鰭片組(cascade fin array)

(6.1). 單一鰭片熱傳量

In the base element, the relationship between heat transfer and end temperature is

0 02 mL mLc b c b cmL mLkmwbQ e e Y Xe e

02mL mL

kmwbYe e

, 0 mL mLmL mLkmwbX e ee e

2mL mLb b cmL mLkmwbQ e ee e

Tc

-----------------------------------------------------------------------------------------------

例，有一方柱鰭片，已知 L=10 cm，h=20 W/m2-℃，k=390 W/m-℃，b=1cm，

Ta=25℃，Tb=100℃，Te=50℃，請計算熱傳量。

-----------------------------------------------------------------------------------------------

(6.2). 一組鰭片熱傳量

1Q

cQ 3Q

2Q

The junction temperature is Tc. If there are three extended fins at the junction, the

heat transfer rate in each fin would be 1 1

1 1

2

1 1 1 1 12

11

m L

c cm LeQ kb w m Xe

, 1 1

1 1

2

1 1 1 1 2

11

m L

m LeX kb w me

The energy balance at the junction would result in

1 2 3cQ Q Q Q

0 0 1 2 3b c c c cY X X X X

0

0 1 2 3

bc

YX X X X

The total heat transfer rate of the extended fin would be

00 1 2 3

2mL mLb bmL mL

kmwb YQ e ee e X X X X

0 00

0 1 2 3

22bY YX

X X X X

-----------------------------------------------------------------------------------------------

例，有一組方柱鰭片，共有四段。已知每一段的尺寸皆相同，L=10 cm，

h=20 W/m2-℃，k=390 W/m-℃，b=1cm，Ta=25℃，Tb=100℃，請計算熱

傳量與效益。

-----------------------------------------------------------------------------------------------

作業 4.11，有一組方柱鰭片，共有六段。已知各段長度不同，分別為底部

L=10 cm，頂部 L=5 cm，前後左右則都是 L=7 cm。其他條件則相同，h=20

W/m2-℃，k=390 W/m-℃，b=1cm，Ta=25℃，Tb=100℃，請計算熱傳量與

效益。

-----------------------------------------------------------------------------------------------

(6.3). 多段式鰭片組熱傳量

For a three-stages cascade fin

3Q 7Q 11Q

1Q 2Q 5Q 6Q 9Q 10Q 13Q

4Q 8Q 12Q

The first stage:

10 11 12 13Q Q Q Q 2

11 12 13 3 32

11

mL

c cmLeQ Q Q kbwm Xe

, 2

2

11

mL

mLeX kmbwe

2

10 2 3 2 32

2 11

mL

c c c cmL mL mLkmwb eQ kmwb Y X

e e e

, 2

21

mL

mLeY kmwb

e

2 3 33c c cY X X

2 34 0c cY X (1)

22

3 2 2 22 2 2

2

2( 1)1

14 2( 1)41

mLmL mLmL

c c c cmL mL

mL

kmwb eY e eeeX ekmbwe

The second stage

6 7 8 9Q Q Q Q

7 8 2cQ Q X 2

9 2 3 2 32 2

2 11 1

mL mL

c c c cmL mLe eQ kmwb kmwb Y Z

e e

,

2

2

11

mL

mLeZ kmwbe

6 1 2c cQ Y X

1 2 2 2 32c c c c cY X X Y Z

1 2 3(3 ) 0c c cY X Y Z (2)

1 2 2(3 ) 04c c cZYY X YX

1 2 21 3(3 ) ( 1 )

4 4c c cZY X ZX Y

Y X Y X

12 3 1

4

cc X Z

Y X

The third stage

2 3 4 5Q Q Q Q

3 4 1cQ Q X

5 1 2c cQ Y Z

2 1b cQ Y X

1 1 1 22b c c c cY X X Y Z

1 2(3 ) c c bX Y Z Y (3)

將方程式聯立，可得

1

2

3

3 0(3 ) 0

0 4 0

c b

c

c

X Y Z YY X Y Z

Y X

1

1

2

3

3 0(3 ) 0

0 4 0

c b

c

c

X Y Z YY X Y Z

Y X

1(3 )4

c bX Y X YZ Y

24

c bXZ Y

2

3c bZ Y

2(3 ) 4 (3 ) 4X Y X X Y ZY XYZ

1 (3 )42 2mL mL mL mLbb b cmL mL mL mLkmwb kmwb X Y X YZQ e e e e Ye e e e

13 3 14

c bZX Y YX Z

Y X

13 11 3 1

4

c bX Z

X ZY YY X

11

3 11 3 14

c bX ZX ZY YY X

12

1 13 3 3 11 1 1 34 4 1

4

cc bX Z X Z X Z

X ZY X Y X Y YY X

3 21 1

3 3 14 4 1 1 34 14

c c bY Y

X Z X ZX XX ZY X Y YY X

The total heat transfer

1 1 3 11 3 14

b c bZQ Y Z Y X Z

X ZY YY X

In general

The first stage

1 3n n nY X X

1 4 0n nY X

The middle stage

1 12n n n n nY X X Y Z

1 1(3 ) 0n n nY X Y Z

The last stage

1 1 1 22bY X X Y Z

1 2(3 ) bX Y Z Y

The total heat transfer

1 1b cQ Y Z

(5.5). Compact heat exchanger

cell length=L，cell width：w，cell height：b，wall thickness：δ

Flow A： 2

2 ( ) 0A Ad TkA ph T Tdx

AT T 2

22 0A

d sdx ， 2 2 AA

hsk

1 2A As x s xc e c e

2wx ， / 2 / 21 2 0A A

s w s wA A

d c s e c s edx ， 2 1 A

s wc c e

0x ， 1 1 As w

b c c e ， 1 1Ab

s wc e

1A A A

A

s x s w s xbs w e e ee

0

111 1

AA

A A

m ws wb A

A b As w m wx

d s eq k k e k sdx e e

1 12 2 21 1

A A

A A

s w s w

A b A A A b A A A bs w s we eq k s h b ks b he e

12 ( )1

A

A

s wA

A A AA A A A b As wdT em c q ks b h T Tdx e

( ) 2 1 ( ) 01

A

A

s wA b

A A A A bs wA A

d T T eks b h T Tdx m c e

( ) 1 ( ) 0A b A bA

d T T T Tdx

A

A

LAe b

Ai b

T T eT T

，1 2 1

1

A

A

s w

A A As wA A A

eks b hm c e

A

A

LAe b

AAi b

T T e XT T

，B

B

LBe b

BBi b

T T e XT T

已知： AiT ， BiT ， Am ， Bm

未知： AeT ， BeT ， bT

0B AA A Ae Ai B B Be BiA B

L Lm c T T m c T Tb b

0A A Ae Ai B B Be BiM c T T M c T T

BA A

A

L m Mb

， A B BB

L m Mb

Ae b A Ai bT T X T T ， Ae b A Ai bT T X T T

Be b B Bi bT T X T T ， Be b B Bi bT T X T T

(1 ) ( 1) (1 ) ( 1) 0A A b A Ai A B B b A Bi AM c T X T X M c T X T X

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )b A A A B B B A A Ai A B B Bi BT M c X M c X M c T X M c T X (1 ) (1 )(1 ) (1 )

A A Ai A B B Bi Bb

A A A B B B

M c T X M c T XTM c X M c X

1Ae b A A AiT T X X T

1Be b B B BiT T X X T

例：以空氣來冷卻水。

水： AiT =80℃，L = 100 m，w = 5 cm，b = 2 cm，δ = 1 mm，u = 0.5 m/sec

空氣： BiT =25℃，L = 1 m，w = 10 cm，b = 5 cm，δ = 1 mm，u = 5.0 m/sec

銅板：k = 390 W/m-℃

水 80℃，ρ = 971 kg/m3，μ = 3.55*10-4 kg/m-s，Pr = 2.20，k = 0.67 W/m-s

cp = 4193 J/kg-℃，D = 4A/P = 2.857 cm， Am = 0.4855 kg/sec

Re = 39074

0.8 0.30.023Re PrD DNu = 137.39 = hDk

，h = 3221.9 W/m2-℃

2 2 AA

hsk

= 16523， As = 128.54

1 2 11

A

A

s w

A A As wA A A

eks b hm c e

=0.1124

AX 0

空氣：25℃，ρ = 1.1774 kg/m3，μ = 1.846*10-5 kg/m-s，Pr = 0.708，

k = 0.026247 W/m-s，cp = 1005.7 J/kg-℃，D = 4A/P = 6.667 cm，

Bm = 0.02944 kg/sec

Re = 21272

0.8 0.40.023Re PrD DNu = 58.08 = hDk

，h = 22.86 W/m2-℃

2 2 BB

hsk

= 117.2， Bs = 10.828

1 2 11

B

B

s w

B B Bs wB B B

eks b hm c e

=0.218

BX 0.804

Am = 0.4855 kg/sec， AM = 24.275 kg/sec

Bm = 0.02944 kg/sec， AM = 58.88 kg/sec

(1 ) (1 )(1 ) (1 )

A A Ai A B B Bi Bb

A A A B B B

M c T X M c T XTM c X M c X

= 74.36 ℃

1Ae b A A AiT T X X T = 74.36 ℃

1Be b B B BiT T X X T = 34.67 ℃

chap4 fin 1010521 - 國立中興大學 fin...二、散熱鰭片性能分析 (一)....

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