Chapitre 3: Suites récurrentes et applications à la résolutiond’équations f (x) = 0

Table des matières1 3.1 Suites récurrentes(définition et exemples) 1

1.1 Exercice 3.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Exercice 3.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Exercice 3.1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Exercice 3.1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5 Exercice 3.1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.6 Exercice 3.1.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 3.2 Convergence d’une suite récurrente : arguments de monotonie 22.1 Exercice 3.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Question 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3 Question 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.4 Exercice 3.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.5 Exercice 3.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1 3.1 Suites récurrentes(définition et exemples)

1.1 Exercice 3.1.1Soit la suite définie par : U0 := a et ∀n ≥ 1, Un = h(Un−1). On cherche à montrer que cette suite est bien

définie. La fonction associée à (Un), h(I) est inclus dans I. De plus, on a a ∈ I.Par recurrence :Initialisation n = 0U0 := a avec a ∈ I donc U0 est bien définieHérédité On suppose que Uk ⊂ I pour un k fixé et supérieur à 1. On montre que Uk+1 ⊂ IUk+1 = h(Uk) et Uk ⊂ I donc Uk+1 est bien inclus dans I et la suite (Un)n est bien une suite récurrente

définie sur I.

1.2 Exercice 3.1.2On étudie la suite récurrente : U0 = 1/2 et ∀n ≥ 1, Un = ln(Un−1)La fonction ln est définie pour des x positifs. Or ici, si on calcule U1 = ln(1/2) = − ln(2) < 0 donc la suite

ne peut pas etre définie.De même, si U0 = 10, U3 < 0, donc la suite ne peut toujours pas être définie.

1.3 Exercice 3.1.3Calculer Un en fonction de n pour les suites récurrentes suivants.

(a) Un = α ∗ Un−1 pour u0 = a et α ∈ R donné.On calcule (un) en fonction des valeurs de n de n-1 à 0.(Un) = αUn−1 = ααUn−2 = · · ·αnU0 = αnad’où (Un) = αna

(b) Un = Un−1 + β pour U0 = a donné et β ∈ R donné.Similairement, on calcule l’expression de (Un).

1

(Un) = Un−1 + β = Un−2 + 2β = · · · = U0 + nβ donc (Un) en fonction de n : (Un) = a+ n× β(c) Un = αUn−1 + β pour U0 = a donné et α, β ∈ R donné

Un = αUn−1 + β = α(αUn−2 + β) + β = α(α(αUn−3 + β) + β) + β = · · · = αnU0 +∑nk=1 α

kβdonc Un = αna+

∑nk=1 α

kβ(d) Un = (Un−1)

2

Un = (Un−1)2 = (Un−2)

4 = (Un−3)8 = · · · = (U0)

2n

donc Un = (U0)2n

1.4 Exercice 3.1.4

Figure 1 – représentation d’une suite suite récurrente avec h(x) = sin(x) et U0 = −2. Les traits de constructionrestent visibles.

Par construction (voir figure ci-dessus), on a construit les 6 premiers termes d’une suite récurrente associéea la fonction h(x) = sin(x).

1.5 Exercice 3.1.5Soit (Un)n≥0 la suite récurrente définie par u0 = 1/2 et ∀n ≥ 1, Un = sin(Un−1)Lorsque U0 = 1/2 On peut prendre j := [0, 1/2]. en effet, U0 ∈ [0, 1/2] et sin(J) ⊂ J .Lorsque U0 ∈ R, alors ∀n ≥ 1, Un ∈ [0, 1], en effet, ∀x ∈ R, sin(x) ∈ [0, 1]

1.6 Exercice 3.1.6Soit une suite récurrente (Un)n, associée à une fonction h, qui converge vers une limite l et h la fonction

associé continue en l. Un = h(Un−1) par définition d’une suite récurrente.Parce que h est continue en l, que Un converge vers l et par passage à la limite d’égalité precedente, on

obtient :

limn→l

Un = l

limn→l

h(Un−1) = h(l)

donc l = h(l) et l est bien un point fixe de h.

2 3.2 Convergence d’une suite récurrente : arguments de monotonie

2.1 Exercice 3.2.1

2.2 Question 1Démonstration de la proposition (3.2.1) : (i) Supposons que h(x) ≥ x, ∀x ∈ I, alors, la suite récurrente

associée, (un)n s’écrit Un = h(Un−1) et on peut écrire Un−1 = x et on a donc Un ≥ Un−1 et la suite est bien

2

bien croissante (ii) De manière analogue à (i), en posant Un−1 = x, on montre bien que Un ≤ Un−1 et donc que(Un) est décroissante.

2.3 Question 2Soit (Un)n≥0 définie par U0 = 1/2 et ∀n ≥ 1, Un = sin(Un−1)

Étude de la monotonie :On pose x = Un et on cherche a montrer que sin(x)− x ≤ 0On étudiera la fonction sin(x)− x sur l’intervalle

[0, π2

[.

Par simple dérivation, on obtient que (sin(x)− x)′ = cos(x)− 1Or ∀x ∈

[0, π2

], cos(x) ∈ [0, 1] donc cos(x)− 1 ≤ 0 =⇒ sin(x) < x. La suite (Un) est bien décroissante.

Étude de la convergence :Un ⊂

[0, π2

]donc (Un)n est minorée par 0 et elle est décroissante donc elle converge.

De plus, sa fonction associée h(x) = sin(x) est continue sur l’intervalle considéré. Donc d’après la proposition(3.1.2), la limite est un point fixe et on a donc que limn→+∞ Un = 0

2.4 Exercice 3.2.2On suppose que h : I → I est croissante.(i) Si U0 ≤ U1, on applique h(x) sur cette inégalité. h(U0) ≤ h(U1) =⇒ U1 ≤ U2. Par recurrence forte, en

appliquant n fois la fonction h sur U0 et U1 et comme h est croissante, le sens de l’inégalité n’est pas changé, onobtient h ◦ h ◦ · · · ◦ h(U0) ≤ h ◦ h ◦ · · · ◦ h(U1) ce qui donne finalement, Un−1 ≤ Un et (Un)n est bien croissante.

(ii) De manière analogue, on a h ◦ h ◦ · · · ◦ h(U0) ≥ h ◦ h ◦ · · · ◦ h(U1) ce qui donne finalement, Un−1 ≤ Unet (Un)n est bien décroissante.

2.5 Exercice 3.2.3On suppose que h : I → I est décroissante.

1. Pour montrer que la suite (U2n)n est une suite récurrente, il suffit de prendre comme fonction h’ associé,la fonction h ◦ h.

En effet, on aura (U2) = h(h(U0)) et de maniere plus generale : (U2n) = h ◦ h(U2n−2), le premier terme serade la forme U0

Pour (U2n+1), on prendra la meme définition mais qui admet comme premier terme, U1

2. On a suppose que h était décroissante, on a donc h(Un−1) ≤ Un−1. En composant par h, qui est décrois-sante, on change le sens de l’inégalité et on obtient : h ◦ h(Un−1) ≥ h(Un−1) ⇐⇒ Un+1 ≥ Un qui donne queh ◦ h est croissante.

3. On déduit de l’étude de monotonie précedente que les suites (U2n)n et (U2n+1) sont monotones. Le sensde la monotonie est donnée par l’étude des termes U0 et U2 pour (U2n) et des termes U1 et U3 pour (U2n+1).

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