chapter 5 general vector space · pdf filegeneral vector space 5.5. row space, column space,...
TRANSCRIPT
![Page 1: Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE · PDF fileGENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity. 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace. ... Jika A adalah](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020120/5aa8edf07f8b9a77188c2725/html5/thumbnails/1.jpg)
Chapter 5GENERAL VECTOR SPACE
5.5. Row Space, Column Space, Nullspace5.6. Rank & Nullity
![Page 2: Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE · PDF fileGENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity. 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace. ... Jika A adalah](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020120/5aa8edf07f8b9a77188c2725/html5/thumbnails/2.jpg)
5.5. Row Space, Column Space, Nullspace
![Page 3: Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE · PDF fileGENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity. 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace. ... Jika A adalah](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020120/5aa8edf07f8b9a77188c2725/html5/thumbnails/3.jpg)
Vektor-Vektor Baris & Kolom
Vektor baris A (dalam Rn)
Vektor kolom A (dalam Rm)
![Page 4: Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE · PDF fileGENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity. 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace. ... Jika A adalah](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020120/5aa8edf07f8b9a77188c2725/html5/thumbnails/4.jpg)
Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null
Definisi:
Jika A adalah suatu matriks m x n, maka:• Sub ruang dari Rn yang terentang oleh vektor-vektor baris
dari A disebut Ruang Baris dari A.• Sub ruang dari Rm yang terentang oleh vektor-vektor kolom
disebut Ruang Kolom dari A.• Ruang penyelesaian dari sistem persamaan homogen Ax= 0,
yang merupakan suatu sub ruang dari Rn disebut Ruang Nulldari A
Ruang Kolom
Ruang Baris
Ruang Null
![Page 5: Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE · PDF fileGENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity. 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace. ... Jika A adalah](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020120/5aa8edf07f8b9a77188c2725/html5/thumbnails/5.jpg)
Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null
Maka vektor-vektor baris A adalah:
Dan vektor-vektor kolom A adalah:
![Page 6: Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE · PDF fileGENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity. 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace. ... Jika A adalah](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020120/5aa8edf07f8b9a77188c2725/html5/thumbnails/6.jpg)
Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null
Theorema 1.
Suatu sistem persamaan linier Ax = b konsisten jikadan hanya jika b berada dalam ruang kolom A.
Contoh :
Dengan eliminasi Gaussian didapat : x1 = 2; x2 = -1; x3 = 3
Karena sistem punya solusi/konsisten,
maka b berada dalam ruang kolom A
![Page 7: Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE · PDF fileGENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity. 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace. ... Jika A adalah](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020120/5aa8edf07f8b9a77188c2725/html5/thumbnails/7.jpg)
Ax = b dan Ax = 0
Teorema 2.
• Jika x0 menyatakan sembarang penyelesaian tunggal dari suatusistem linier tak homogen yang konsisten Ax = b ,
• v1, v2, …, vk merupakan vektor-vektor baris untuk ruang null A & merupakan ruang penyelesaian dari sistem homogen Ax = 0,
• Setiap penyelesaian dari Ax = b bisa dinyatakan dalam bentuk:
x = x0 + c1v1 + c2 v2 + … + ckvk
• Dan sebaliknya, untuk semua pilihan sklalar, c1, c2, …, ck vektor x dalam rumus ini merupakan penyelesaian dari Ax = b
x = x0 + c1v1 + c2 v2 + … + ckvk
Penyelesaian umum Ax = 0
Penyelesaian umum Ax = b
Penyelesaian khusus Ax = b
![Page 8: Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE · PDF fileGENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity. 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace. ... Jika A adalah](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020120/5aa8edf07f8b9a77188c2725/html5/thumbnails/8.jpg)
Ax = b dan Ax = 0
Tentukan penyelesaian khusus dan penyelesaian umum dari Sistem Persamaan Linier berikut :
![Page 9: Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE · PDF fileGENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity. 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace. ... Jika A adalah](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020120/5aa8edf07f8b9a77188c2725/html5/thumbnails/9.jpg)
H21(-2) H2
(-1)
H32(-5)
H42(-4)
H34; H3(1/6),
H23(-3)
![Page 10: Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE · PDF fileGENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity. 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace. ... Jika A adalah](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020120/5aa8edf07f8b9a77188c2725/html5/thumbnails/10.jpg)
Ditulis dalam bentuk vektor sebagai berikut:
Penyelesaian umum dari SPL
Solusi khusus Ax = b
Solusi umum Ax = 0
![Page 11: Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE · PDF fileGENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity. 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace. ... Jika A adalah](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020120/5aa8edf07f8b9a77188c2725/html5/thumbnails/11.jpg)
x1= -3r -4s – 2t; x2 = r; x3 = -2s; x4 = s; x5 = t; x6 = 0
Bukti solusi umum Ax = 0
Terbukti!!
![Page 12: Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE · PDF fileGENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity. 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace. ... Jika A adalah](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020120/5aa8edf07f8b9a77188c2725/html5/thumbnails/12.jpg)
Basis Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null
Operasi baris dasar pada matriks A tidak mengubah himpunanpenyelesaian dari sistem linier yang berpadanan Ax = 0
Theorema 3.
Operasi baris dasar tidak mengubah ruang Null suatu matriks
![Page 13: Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE · PDF fileGENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity. 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace. ... Jika A adalah](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020120/5aa8edf07f8b9a77188c2725/html5/thumbnails/13.jpg)
Basis Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null
Contoh :
Cari basis untuk ruang null dari :
Basis ruang null didapat melalui himpunan penyelesaian SPL Homogen Ax = 0
x1 = -s-t x2= s x3= -t x4= 0 x5= t
OBE OBE
![Page 14: Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE · PDF fileGENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity. 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace. ... Jika A adalah](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020120/5aa8edf07f8b9a77188c2725/html5/thumbnails/14.jpg)
x1 = -s-t x2= s x3= -t x4= 0 x5= t
Dengan solusi umum yang diperoleh adalah;
Vektor penyelesaiannya dapat ditulis sbb:
Didapat vektor-vektor v1 dan v2 merentang dan membentuk suatu basis untuk ruang ini, atau basis ruang null adalah v1 dan v2
S= {v1, v2 } adalah himpunanvektor-vektor dalam R2 danbebas linier (karena 2 vektordalam R2)Maka {v1, v2 } adalah suatu basis,dan ruang penyelesaiannya adalahberdimensi dua.
![Page 15: Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE · PDF fileGENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity. 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace. ... Jika A adalah](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020120/5aa8edf07f8b9a77188c2725/html5/thumbnails/15.jpg)
Ingat!!!!
• Suatu ruang vektor tak nol V disebut berdimensi terhingga jika Vberisi suatu himpunan vektor terhingga {v1, v2, …, vn} yangmembentuk suatu basis.
• Semua basis untuk suatu ruang vektor berdimensi terhinggamempunyai jumlah vektor yang sama
Konsep DIMENSI
Basis standar untuk Rn mempunyai n vektorBasis standar untuk R3 mempunyai 3 vektor (R3 berdimensi ruang).Basis standar untuj R2 mempunyai 2 vektor (R2 berdimensi bidang).Basis standar untuk R1 mempunyai 1 vektor (R1 berdimensi garis).
![Page 16: Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE · PDF fileGENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity. 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace. ... Jika A adalah](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020120/5aa8edf07f8b9a77188c2725/html5/thumbnails/16.jpg)
Basis Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null
Teorema 4.Operasi baris dasar tidak mengubah ruang baris dari suatumatriks, namun bisa mengubah ruang kolom matriks tersebut.
Misal vektor baris matriks A adalah r1, r2, … , rn dan B diperoleh dari A melalui OBE, maka;
Jika OBE adalah pertukaran baris, maka A dan B tetap memiliki vektor baris yang sama, namun vektor kolom beda.
Jika OBE adalah perkalian suata baris dengan skalar tidak nol atau penambahan perkalian skalar suatu baris ke baris lainnya, maka ruang baris pada matriks B merupakan kombinasi linear ruang baris matriks A dan juga terletak pada ruang baris A, namun mengubah ruang kolom A.
![Page 17: Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE · PDF fileGENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity. 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace. ... Jika A adalah](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020120/5aa8edf07f8b9a77188c2725/html5/thumbnails/17.jpg)
Basis Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null
Jika diketahui Ax = 0 dan Bx = 0, dimana matriks Bmxn dihasilkanmelalui OBE pada matriks Amxn, maka A dan B memiliki himpunanpenyelesaian yang sama.
Sistem pertama mempunyai penyelesaian tak trivial jika dan hanyajika sistem kedua mempunyai penyelesaian tak trivial. Atau vektor-vektor kolom dari A bebas secara linier jika dan hanya jika vektor-vektor kolom dari B juga bebas secara linier.
Jika vektor-vektor kolom dari A dan B masing-masing adalah:
c1, c2, …, cn dan c’1, c’2, …, c’n
Maka kedua sistem tersebut bisa ditulis ulang :
x1c1 + x2c2 + … + xncn = 0atau
x1c’1 + x2c’2 + … + xnc’n = 0
![Page 18: Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE · PDF fileGENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity. 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace. ... Jika A adalah](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020120/5aa8edf07f8b9a77188c2725/html5/thumbnails/18.jpg)
Basis Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null
Teorema 5.
Jika A dan B adalah matriks –matriks yang ekuivalen baris,maka:
• Suatu himpunan vektor kolom dari A bebas linier jika dan hanyajika vektor-vektor kolom B yang bersepadanan juga bebas linier.
• Suatu himpunan vektor kolom dari A yang membentuk suatubasis untuk ruang kolom dari A jika dan hanya jika vektor-vektorkolom yang bersepadanan dari B membentuk suatu baris untukruang kolom dari B.
![Page 19: Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE · PDF fileGENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity. 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace. ... Jika A adalah](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020120/5aa8edf07f8b9a77188c2725/html5/thumbnails/19.jpg)
Matriks Eselon untuk mencariBasis Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null
Teorema 6.
Jika suatu matriks R berada dalam bentuk baris-eselon, makavektor-vektor baris dengan utama 1 (yaitu vektor-vektor baristak-nol) membentuk suatu basis untuk ruang baris dari R, danvektor-vektor kolom dengan utama 1 dari vektor-vektor barismembentuk suatu basis untuk ruang kolom dari R.
r1
r2
r3
c1 c4c2
Contoh : Matriks dengan eselon tereduksi memiliki 3 vektor yang membentuk suatu basis untuk ruang baris dan 3 vektor yang membentuk suatu basis untuk ruang kolom
![Page 20: Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE · PDF fileGENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity. 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace. ... Jika A adalah](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020120/5aa8edf07f8b9a77188c2725/html5/thumbnails/20.jpg)
Matriks Eselon untuk mencariBasis Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null
Cari basis-basis untuk ruang baris dan kolom berikut:
OBE tidak merubah ruang baris dari suatu matriks, sehingga basis untuk ruang baris A dicari dengan suatu basis untuk ruang baris eselon A.Hasil reduksi A menjadi baris eselon dalam matriks R sbb:
Vektor-vektor baris tak-nol dari Rmembentuk basis untuk ruang barisR, sehingga membentuk suatu basisuntuk ruang baris dari A, sbb:
![Page 21: Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE · PDF fileGENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity. 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace. ... Jika A adalah](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020120/5aa8edf07f8b9a77188c2725/html5/thumbnails/21.jpg)
OBETereduksi
• A dan R memiliki ruang kolom yg berbeda• Basis untuk ruang kolom A tidak bisa langsung didapat dari OBE Tereduksi R.• Namun vektor kolom R yang bersepadanan dengan A akan membentuk basis
untuk ruang kolom A.• Kolom pertama, ketiga dan kelima mengandung utama 1 dari vektor-vektor tsb
dan membentuk suatu basis untuk ruang kolom dari R, jadi vektor-vektorkolom yang bersepadanan dari A yaitu:
Vektor-vektor kolom yang bersepadanan dari A dan membentuk
suatu basis untuk ruang kolom A
Kolom 1, 3, 5 dari R mengandung utama 1 dari vektor-vektor kolom
![Page 22: Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE · PDF fileGENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity. 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace. ... Jika A adalah](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020120/5aa8edf07f8b9a77188c2725/html5/thumbnails/22.jpg)
Carilah basis untuk ruang kolom dari :
Supaya bisa di OBE, maka ditranspose dulu:
OBE
w1= (1,3,0) dan w2 = (0,1,2) membentuk basis untuk ruang baris AT
Tranpose kembali:
Membentuk basis untuk ruang kolom A
Matriks Transpose untuk mencariBasis Ruang Kolom
![Page 23: Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE · PDF fileGENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity. 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace. ... Jika A adalah](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020120/5aa8edf07f8b9a77188c2725/html5/thumbnails/23.jpg)
Basis & Kombinasi Linier
Himpunan vektor S= {v1, v2,…, vk} dalam Rn, prosedur pada contohberikut menghasilkan suatu himpunan bagian dari vektor-vektor Syang membentuk suatu basis untuk rent(S) dan menyatakan vektor-vektor dalam S yang tidak berada dalam basis tersebut sebagaikombinasi linier dari vektor-vektor basis tersebut.
Operasi baris dasar tidak mengubah hubungan kebebasan danketidakbebasan linier antar vektor kolom.
Operasi baris dasar tidak mengubah rumus-rumus kombinasi linier yangmenghubungkan vektor-vektor kolom yang tidak bebas linier.
![Page 24: Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE · PDF fileGENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity. 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace. ... Jika A adalah](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020120/5aa8edf07f8b9a77188c2725/html5/thumbnails/24.jpg)
Basis & Kombinasi Linier
a. Cari himpunan bagian dari vektor-vektor kolom yang membentuk suatu basis untuk ruang yang terentang oleh vektor-vektor tersebut:
b. Nyatakan vektor-vektor yang tidak berada dalam basis sebagaikombinasi linier dari vektor-vektor basis
Langkah 1: Bentuk matriks A dengan v1, v2, v3, v4 dan v5 sebagai vektor kolom.
![Page 25: Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE · PDF fileGENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity. 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace. ... Jika A adalah](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020120/5aa8edf07f8b9a77188c2725/html5/thumbnails/25.jpg)
Langkah 2:Reduksi matrik A menjadi bentuk baris – eselon tereduksi R, dan anggap w1, w2, w3, w4, w5 adalah vektor-vektor kolom R.
Langkah 3:Kenali kolom-kolom yang mengandung utama 1 dalam R. Vektor-vektor kolom yang bersepadanan dari A merupakan vektor-vektor basis untuk rent(S).
{w1, w2, w4} basis untuk ruang kolom R, sehingga {v1, v2, v4} basis untuk ruang kolom A.
![Page 26: Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE · PDF fileGENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity. 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace. ... Jika A adalah](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020120/5aa8edf07f8b9a77188c2725/html5/thumbnails/26.jpg)
Langkah 4:Nyatakan setiap kolom R yang tidak mengandung utama 1 (yaitu w3 danw5) sebagai kombinasi linier dari vektor kolom yang mengandung utama 1{w1, w2, w4}, sehingga menghasilkan suatu himpunan persamaanketergantungan yang melibatkan vektor-vektor kolom dari R.
Persamaan yang bersepadanan untuk vektor-vektor kolom A menyatakanvektor-vektor yang tidak ada dalam basis tersebut sebagai kombinasilinear dari vektor-vektor basis.
![Page 27: Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE · PDF fileGENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity. 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace. ... Jika A adalah](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020120/5aa8edf07f8b9a77188c2725/html5/thumbnails/27.jpg)
5.6. Peringkat dan Kekosongan
![Page 28: Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE · PDF fileGENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity. 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace. ... Jika A adalah](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020120/5aa8edf07f8b9a77188c2725/html5/thumbnails/28.jpg)
Empat Ruang Matriks Dasar
Ruang baris dari ARuang kolom dari ARuang kosong dari A
Ruang baris dari AT
Ruang kolom dari AT
Ruang kosong dari AT
Tetapi mentranspose suatu matriks berarti mengubah vektor barismenjadi vektor kolom dan vektor kolom menjadi vektor baris,sehingga:
• ruang baris AT = ruang kolom A• ruang kolom AT = ruang baris A
ruang matriks dasar yang dikaitkan dengan A
![Page 29: Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE · PDF fileGENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity. 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace. ... Jika A adalah](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020120/5aa8edf07f8b9a77188c2725/html5/thumbnails/29.jpg)
Ruang Baris , Ruang Kolom dengan Dimensi Sama
Teorema 1.
Jika A adalah sebarang matriks, maka ruang baris dan ruangkolom dari A mempunyai dimensi yang sama dengan matriks Ryang merupakan bentuk baris-eselon tereduksi dari A.
dim (ruang baris dari A) = dim (ruang baris dari R)dim (ruang kolom dari A) = dim (ruang kolom dari R)
![Page 30: Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE · PDF fileGENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity. 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace. ... Jika A adalah](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020120/5aa8edf07f8b9a77188c2725/html5/thumbnails/30.jpg)
Rank(A) dan Kekosongan(A)
• Dimensi bersama dari ruang baris dan kolom dari suatu matriks A disebut peringkat/rank dari A dan dinyatakan dengan Rank (A)
• Dimensi dari ruang-ruang null dari A disebut kekosongan dari A dan dinyatakan dengan kekosongan (A).
![Page 31: Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE · PDF fileGENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity. 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace. ... Jika A adalah](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020120/5aa8edf07f8b9a77188c2725/html5/thumbnails/31.jpg)
Cari Rank(A) dan Kekosongan(A)
Cari peringkat dan kekosongan dari matriks A sbb:
Bentuk baris-eselon tereduksi A:
Ada 2 baris tak-nol atau ada dua utama 1, maka;Ruang baris dan ruang kolom berdimensi 2, sehingga
rank(A) = 2
![Page 32: Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE · PDF fileGENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity. 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace. ... Jika A adalah](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020120/5aa8edf07f8b9a77188c2725/html5/thumbnails/32.jpg)
Untuk mencari kekosongan dari A, cari dimensi ruang penyelesaian dari sistem liner homogen Ax = 0
Ruang Null
Empat vektor membentuk suatu basis untuk ruang penyelesaian, sehingga;
kekosongan(A) = 4
![Page 33: Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE · PDF fileGENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity. 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace. ... Jika A adalah](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020120/5aa8edf07f8b9a77188c2725/html5/thumbnails/33.jpg)
Rank(A) dan Rank(AT)
Teorema 2.
Jika A adalah sebarang matriks, maka: rank(A) = rank(AT)
Rank(A)=dim(ruang baris dari A)=dim(ruang kolom dari AT)=rank(AT)
![Page 34: Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE · PDF fileGENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity. 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace. ... Jika A adalah](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020120/5aa8edf07f8b9a77188c2725/html5/thumbnails/34.jpg)
Buktikan rank(A) = rank(AT)
![Page 35: Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE · PDF fileGENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity. 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace. ... Jika A adalah](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020120/5aa8edf07f8b9a77188c2725/html5/thumbnails/35.jpg)
Teorema Dimensi
Teorema 3.
Jika A adalah suatu matriks dengan n kolom, maka:
rank(A) + kekosongan(A) = n
Cari peringkat dan kekosongan dari matriks A sbb:Contoh :
Ruang baris dan ruang kolom berdimensi 2, sehingga rank(A) = 2
Empat vektor membentuk suatu basis untuk ruang penyelesaian, sehingga; kekosongan(A) = 4
n = jumlah kolom = 6
6 = 2 + 4…..ok
![Page 36: Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE · PDF fileGENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity. 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace. ... Jika A adalah](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020120/5aa8edf07f8b9a77188c2725/html5/thumbnails/36.jpg)
Rank & Kekosongan
Teorema 4.
Jika A adalah matriks m x n, maka:
• rank(A) = jumlah peubah bebas dalam penyelesaian Ax = 0• kekosongan(A) = jumlah parameter dalam penyelesaian Ax = 0
Contoh : Cari peringkat dan kekosongan dari matriks A sbb:
Ruang penyelesaian dari sistem liner homogen Ax = 0
2 peubah bebas ; rank(A) = 2
4 parameter ; kekosongan(A) = 4
![Page 37: Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE · PDF fileGENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity. 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace. ... Jika A adalah](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020120/5aa8edf07f8b9a77188c2725/html5/thumbnails/37.jpg)
Dimensi Matriks A berperingkat r
Ruang Dasar Dimensi
Ruang baris dari A r
Ruang kolom dari A r
Ruang Kosong dari A n-r
Ruang kosong dari AT m-r
Jika :
• A adalah matriks m x n berperingkat r• AT adalah matriks n x m berperingkat r.
![Page 38: Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE · PDF fileGENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity. 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace. ... Jika A adalah](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020120/5aa8edf07f8b9a77188c2725/html5/thumbnails/38.jpg)
Nilai Maksimum Peringkat
Definisi:
Jika A adalah suatu matriks m x n, maka:
• Vektor baris terletak pada Rn ruang baris A max dimensi n
• Vektor kolom terletak pada Rm ruang kolom A max dimensi m
rank(A) ≤ min(m,n)
Dimana min(m,n) menyatakan angka yang lebih kecil antara m dan n jika m ≠ n atau nilai bersama mereka jika m=n
Contoh: A 7x 4 peringkat max : 4A 4 x 7 peringkat max : 4
![Page 39: Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE · PDF fileGENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity. 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace. ... Jika A adalah](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020120/5aa8edf07f8b9a77188c2725/html5/thumbnails/39.jpg)
Teorema Konsistensi:SPL dengan m Persamaan dalam n Peubah
Teorema 5.
Jika Ax = b adalah suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka;
a. Ax = b konsistenb. b berada dalam ruang kolom dari A (ingat teorema 1 ruang baris)c. A dan [Al b] mempunyai peringkat yang sama
Penjelasan c. Peringkat matrik A sebagai jumlah baris tak nol dalam bentuk eselon tereduksi A, contoh:
Perhatikan baris : 0 0 0 0 1 menunjukkan sistem tidak konsistenTeorema konsistensi : sistem linear Ax=b konsisten untuk suatu vektor btertentu dengan memenuhi syarat pada teorema 6 berikut.
![Page 40: Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE · PDF fileGENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity. 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace. ... Jika A adalah](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020120/5aa8edf07f8b9a77188c2725/html5/thumbnails/40.jpg)
Teorema Konsistensi:SPL dengan m Persamaan dalam n Peubah
Teorema 6.
Jika Ax = b adalah suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka;
a. Ax = b konsisten untuk setiap matriks b, m x 1b. Vektor-vektor kolom A merentang Rm.c. rank(A) = m
![Page 41: Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE · PDF fileGENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity. 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace. ... Jika A adalah](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020120/5aa8edf07f8b9a77188c2725/html5/thumbnails/41.jpg)
Matriks Eselon untuk mencariBasis Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null
Cari suatu basis untuk ruang yang terentang oleh vektor-vektor:
Ruang yang terentang oleh v1, v2, v3 dan v4 adalah ruang baris dari matriks:
Dengan reduksi matriks didapat bentuk baris- eselon sbb:
• Vektor baris tak-nol w1, w2, w3 membentuk basis untuk ruang baris.• Dengan demikian w1, w2, w3 membentuk basis untuk sub ruang R5 yang
terentang oleh vektor-vektor v1, v2, v3 dan v4
w1 = (1,-2,0,0,3)w2 = (0,1,3,2,0)w3 = (0,0,1,1,0)
![Page 42: Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE · PDF fileGENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity. 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace. ... Jika A adalah](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020120/5aa8edf07f8b9a77188c2725/html5/thumbnails/42.jpg)
Matriks Transpose untuk mencariBasis Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null
Cari suatu basis untuk ruang baris dari:
Merupakan vektor-vektor basis untuk ruang baris A
A AT, maka ruang baris A menjadi ruang kolom AT
Dengan matriks eselon, cari suatu basis ruang kolom AT.
Tranpose kembali mengubah vektor kolom menjadi vektor baris
OBE
Kolom 1,2 dan 4 berisi utama 1, shg vektor kolom AT membentuk suatu basis untuk ruang
kolom AT