KELOPOK 5:ADELEIDA WILHELMINA W

FARDHAN ANUSI SETIAHADIFITRI INTAN PRATIWI

JULIAS PENATA UTAMAKAREN GETRIDA NAYA PRATIWI

TEGUH HARYONOVIEVIEN ABIGAIL D. DJARA

CHAPTER 7ADDITIONAL TOPICS

ADDITIONAL TOPICS

7.1 ANALYSIS OF COVARIANCE

INFERENCE ON TREATMENT

EFFECTS

INFERENCE ON THE SLOPE

COEFFICIENT

ESTIMATES OF TREATMENT

MEANS

7.2 RANDOM EFFECTS ANALYSIS

OF VARIANCE

ANALYSIS OF COVARIANCE

Why “one-way classification analysis of variance.. ??

Dalam sebuah eksperimen sering terjadi

kesalahan karena itu sebuah eksperimen dapat

memanfaatkan suatu metode yang efektif untuk

mengurangi kesalahan.

Misalnya, seorang peneliti mungkin ingin membandingkan

efek dari tiga obat pada beberapa response fisiologis. Subjek yang akan digunakan

dalam percobaan yang dipilih secara acak, dengan lima subjek

menggunakan masing-masing dari tiga obat. Pada saat ini,

teknik analisis terbaik yang dapat digunakan adalah cara analisis

varians klasifikasi satu arah, variasi antara subjek memainkan

peran penting dalam menentukan istilah kesalahan

acak dalam analisis.

Jika peneliti dapat menentukan bahwa pengukuran tertentu pada subjek yang digunakan dalam ciri percobaan dapat menggambarkan variasi antara subyek, maka variabel ini dapat dimasukkan dalam model. Misalnya, jika berat subyek diperhitungkan, varians kesalahan dapat dikurangi secara substansial. Sebagai hasilnya, kita dapat menulis model sbb:

i=1,2,3 ; j=1,2,3,4,5

Di mana adalah respon dari subjek ke j dengan obat ke i, adalah efek pengobatan dari obat ke i, adalah kesalahan acak, dan , kovariat, adalah bobot subjek ke j menggunakan obat ke i. Seperti dalam kasus blocking, kami menghitung extraneous variation yang sumbernya adalah unit eksperimental --- subjek,. Tetapi dalam kasus ini berupa "informasi tambahan", yaitu, berat subyek, berbeda dari yang di blok acak. Model di atas disebut analisis model kovarians. Tujuan terminologi akan menjadi jelas ketika kita menyelidiki metode analisis.

Analisis umum model kovarians dengan satu set treatment dan kovariat tunggal diberikan oleh

i=1,2,....,t j=1,2,....,n

Kombinasi ini ANOVA dan istilah model regresi diterapkan dalam biologi, pertanian, dan berbagai bidang teknik lainnya.

Penting untuk mengkategorikan model dalam hal rank sehingga kita dapat melanjutkan dengan diskusi tentang analisis. Jika kita menggunakan model linier umum yang biasa

y = X +

• •

Matriks X berordo tn x (t +2). Jelas bahwa, seperti dalam kasus satu-faktor ANOVA, matriks X adalah matrik rank tidak penuh. Pada kenyataannya rank X

adalah t +1. Sebagai akibatnya, setiap perkiraan atau pengujian hipotesis akan didekati dalam konteks dari Model dengan rank tidak penuh. Motivasi utama dalam analisis kovarians adalah untuk menguji kesetaraan efek pengobatan (inference on treatment effect) dan pengobatan diperkirakan berarti (estimates of treatment means) , disesuaikan untuk kovariat.

INFERENCE ON

TREATMENT EFFECT

Pertama kita mempertimbangkan uji hipotesis untuk efek percobaan. Kita mendekati dalam

banyak cara yang sama seperti yang kita lakukan dalam ilustrasi ANOVA. Hipotesis ditulis sebagai

H0: τ1 = τ2 = … = τi vs H1: Tidak semua τi sama

Sekarang menjadi mudah untuk mereparameterisasikan model untuk menguji H0.

Misalkan kita menulis ulang analisis model kovarians sebagai

yij = + τi*

+ (xij - i.) + ij

i=1,2,…t

j=1,2,…ndimana i. = ij/n dan τi

* = i + i. .

Sebagai hasilnya, matrix X’X menjadi

X’X = X’y = =

dimana Exx = ij -)2 (lihat Exercise 1)

Dimana Exy=yij

Melihat bahwa reparameterization memungkinkan kovariat harus ortogonal terhadap mean dan semua efek treatment (lihat latihan 2).

Kita mengembangkan uji hipotesis tentang efek treatment dengan terlebih dahulu mempertimbangkan estimasi , i

*, pada "full model" dan “reduce model” seperti yang dilakukan dalam Bagian 6.2.

Untuk full model (bentuk reparameterized), persamaan normal dapat ditulis

(X’X)b = X’y = Melihat bahwa matriks X’X adalah (t+2) x (t+2) dengan rank t+1. Seperti dalam kasus ANOVA, persamaan dapat diselesaikan dengan kendala linear

i* = 0

Itu cukup sederhana untuk melihat bahwa solusi untuk persamaan yang diberikan oleh

= y..i* = i. - ..

= Eyy / Exx(lihat latihan 3)

Estimator memiliki struktur sebagai bentuk yang sangat mirip dengan kemiringan regresi sederhana (lihat Latihan 4). perbedaannya adalah bahwa di sini jumlah kuadrat dari x’s dan jumlah crossproducts dari x’s dan y’s yang dikoreksi untuk i. dari pada .. (rata-rata keseluruhan).. berhubung keberadaan struktur efek pengobatan memungkinkan untuk hubungan yang berbeda, satu untuk setiap perlakuan. pada kenyataannya, jika kita hati-hati mempelajari analisis model kovarians menjadi jelas bahwa itu adalah equivalent dengan separate regressions dengan intercepts yang berbeda (intercepts ke-i sama dengan µ+ τi) and common slope (the common slope being β).

Sekarang mari kita mengembangkan prosedur tes. Seperti sebelumnya, kita harus mengasumsikan bahwa ij adalah independen dan berdistribusi normal dengan mean 0 dan varians 2. Ingat bahwa jika kita mengikuti teknik yang digunakan untuk model regresi dalam Bagian 6.2 kita memerlukan perbedaan

SSReg(Full) - SSReg(Reduced)

SSReg(Full) model ditulis

SSReg(Full) = b’X’y = ..(y..) + i. - ..) yi. + E2

xy / Exx

= 2i. / n + E2

xy / Exx

Dengan t + 1 derajat bebas ( rank X )(lihat latihan 5)

Ketika membahas reduced model, kita dapat menggunakan materi yang telah disajikan dalam bab 3. Dimana, telah diketahui bahwa : , sehingga analisis model kovarians dapat ditulis = = +

Ini hanyalah sebuah model regresi linier sederhana. Kita hanya perlu mencari sum of squares regresi, yaitu dengan

= dengan 2 derajat bebas (lihat latihan 6).

Maka, = =

Perhatikan distribusi antara () dan (). Kedua distibusi tersebut mengakibatkan sum of squares regresi dapat ditulis dengan = -

= + Kita dapat mengganti kurung pertama dengan , karena mencerminkan variasi antar perlakuan. Jadi berubah menjadi = + - dengan (t+1)-2 = t-1 sebagai derajat bebas. Perhatikan lagi bagian pertama dari sum of squares, dimana sum of squares tersebut identik dengan sum of squares yang digunakan untuk hipotesis yang memiliki efek perlakuan yang sama. Istilah dalam kurung adalah istilah penyesuaian kovarian.

Untuk mengetahui sum of squares error, kita dapat menggunakan rumus

= = yang dapat ditransformasi menjadi persamaan berikut:

= - =

Kita dapat mengganti kurung pertama dengan , karena menandakan variasi acak dalam perlakuan. Jadi berubah menjadi

=

dengan derajat bebas nt – r(X) = nt – t – 1. Kita telah mengetahui bahwa dalam model rank tidak penuh, uji F digunakan untuk menguji hipotesis dalam reduced model, dimana reduced model tersebut merupakan rasio darimen squares. Dalam hal ini F dapat dihitung dengan

F =

TABEL ANALISIS KOVARIANSI Source Sum of Squares of y Sum of Products Sum of Squares of x

Between treatments

= = =

Within treatments

=

=

=

Total = = =

Tabel 7 1.Tabel Analisis KovariansTidak seperti ANOVA, yang hanya melakukan partisi dan menganalisis varians, analisis kovarians dapat melakukan partisi dan menganalisis varians dan kovarians sekaligus, dengan "between" dan "within" yang telah ditentukan oleh struktur perlakuan. (Berikut ini sebuah contoh pembahasan tes pada β, kemiringan parameter).

INFERENSI PADA KOEFISIEN KEMIRINGANEstimasi titik dari kemiringan adalah = .Dalam struktur, uji hipotesis menyerupai tes pada kemiringan dalam regresi linier sederhana. Orthogonalitas yang dihasilkan oleh reparameterisasi, yaitu, penggunaan , memungkinkan kita untuk menulis regresi yang dijelaskan oleh kemiringan disesuaikan dengan parameter lainnya. Anda diminta dalam latihan 7 untuk memverifikasi bahwa

Jumlah kuadrat ini memiliki derajat kebebasan. Akibatnya, uji F sesuai untuk menguji

diberikan oleh

TINJAUAN ANALISIS ASUMSI KOVARIANSIKami telah menunjukkan bahwa normalitas biasa, keindependenan, dan varians eror umum adalah asumsi yang diperlukan untuk analisis kovarians. Sebuah asumsi tambahan yang sangat penting dilakukan, sesuatu yang sangat jelas dari model tetapi sering diabaikan dalam praktek. Yaitu kita mengasumsikan bahwa kita berhadapan dalam model regresi t dengan penafsiran dan kemiringan yang mungkin berbeda. Seringkali, dalam prakteknya, hanya kehadiran kovariat otomatis menunjukkan perlunya analisis kovarians untuk memperhitungkan variasi akibat kovariat. Namun, tidak selalu jelas bahwa dampak pada respon karena kovariat akan konstan di seluruh perlakuan (lihat latihan 1). Artinya, tidak jelas bahwa ada kemiringan umum. Dalam latihan 8 Anda diminta untuk mengembangkan tes untuk pengujian untuk kesetaraan kemiringan.

contoh 7.1.1Dalam percobaan yang dilakukan oleh Dinas Kesehatan dan Pendidikan Jasmani di Virginia Polytechnic Institute dan State University untuk mempelajari efek olahraga terhadap kolesterol total, empat kelompok subjek yang dipilih untuk studi dan empat berbagai bentuk latihan yang dipilih sebagai perawatan. Satu pengobatan, (tidak ada latihan) dianggap sebagai kontrol. Kelompok-kelompok tambahan ditandai dengan kegiatan sebagai berikut: berjalan, angkat besi, dan keduanya berjalan dan angkat besi. Jumlah subjek 8,8,10 dan 5, masing-masing. (Meskipun pembangunan kita dilakukan dengan asumsi ukuran sampel yang sama dalam setiap kelompok, perubahan yang jelas untuk ukuran sampel yang tidak sama harus jelas [lihat Latihan 9].). Dalam rangka untuk memperhitungkan perbedaan antara subyek, nilai prestudy total kolesterol digunakan sebagai kovariat. Tanggapan untuk setiap mata pelajaran adalah nilai poststudy total kolesterol. Penelitian terkontrol berlangsung selama delapan minggu. Data adalah sebagai berikut (nilai x adalah prestudy kolesterol):

control

y: 75,0 72,5 62,060,0

53,0 53,0 65,0 63,5

x: 75,0 55,0 54,554,0

70,5 51,0 76,0 69,0

Running

y: 49,0 53,5 30,040,5

51,5 57,5 49,0 74,0

x: 49,5 50,0 27,538,5

50,0 68,5 48,5 60,5

Weightinglift

y: 54,5 79,5 64,069,0

50,5 58,0 63,5 76,055,5 68,0

x: 55,0 78,0 49,558,5

64,0 63,5 54,5 75,050,5 66,5

Both

y: 59,0 54,5 50,563,0

65,0

x: 78,0 73,0 47,082,0

62,5

Analisis kovarians dilakukan. Informasi berikut menghasilkan uji kesetaraan rata-rata kelompok, disesuaikan untuk kovariat, yaitu tes

uji F untuk kesetaraan efek pengobatan diberikan oleh

nilai P adalah 0,1990. Akibatnya, kita harus mengatakan bahwa tidak ada perbedaan yang signifikan dalam kolesterol rata-rata antara kelompok latihan.Pengujian pada kovariat dilakukan melalui hipotesis.

untuk data ini

dengan 1 derajat kebebasan. Akibatnya statistik F diberikan oleh

yang signifikan pada tingkat 0,0004. Jadi kita menyimpulkan bahwa tingkat kolesterol pretest memiliki dampak yang signifikan pada tingkat kolesterol posttest. Komputasi Tambahan K menunjukkan kode yang diperlukan untuk analisis komputer dari data ini.

ESTIMATES OF TREATMENT MEANSDalam ilustrasi sebelumnya kami menguji untuk mendeteksi perbedaan antara efek pengobatan. Ingatlah bahwa dalam analisis satu arah varians, kesamaan efek pengobatan sama dengan kesamaan sarana pengobatan. Artinya, dengan model

Jumlah adalah diduga dan diperkirakan oleh berarti Perlakuan sampel. Dalam analisis kovarians, jumlah seperti , , and tidak estimable. Namun, adalah diduga dan merupakan parameter yang relevan yang dapat disebut sebagai treatment mean. Tapi apa estimator untuk ? Amati dari persamaan normal yang jika kita menggunakan kendala , solusi untuk persamaan normal

Yang menyiratkan bahwa perkiraan estimable parameters, diberikan oleh Jika kita ingin memperkirakan rata-rata respon untuk pengobatan ke i pada nilai tertentu kita mengganti nilai tersebut ke dalam persamaan regresi perkiraan

Untuk membandingkan pengobatan, kita perlu membuat perbandingan pada beberapa nilai x umum. Hal ini mudah untuk membiarkan dan mengevaluasi untuk setiap pengobatan ke i pada nilai umum ini. perkiraan ini berarti disebut adjusted treatment means atau sample means adjusted for the covariate. Diberikan oleh𝜇𝑖(𝑎𝑑𝑗𝑢𝑠𝑡𝑒𝑑 )¿ 𝑦 𝑖 .− 𝛽 (𝑥𝑖 .−𝑥..)

Example 7.1.2These sample means are computed from the data of example 7.1.1

From Computing Supplement K, we see that . The adjusted means are

Jika tidak ada perbedaan yang signifikan dalam pengobatan maka perkiraan ini harus mendekati nilai karena masing-masing dari empat baris regresi perkiraan adalah memperkirakan umum garis . Jika efek pengobatan yang berbeda, maka kita berhadapan dengan lebih dari satu garis regresi. Oleh karena itu harus ada perbedaan yang nyata setidaknya dua dari perkiraan.

7.2 RANDOM EFFECTS ANALYSIS OF VARIANCE

Model analisis kovarians dan model-model lainnya yang di jelaskan dalam dalam chapter 5 dan 6 adalah jenis analisis dengan model efek tetap .Yaitu ,terdapat perlakuan yang di prioritaskan yang dipilih oleh peneliti untuk kepentingan tertentu . Dengan demikian, model tersebut dapat mewakili perlakuan, blok, dan interaksi dari parameter-parameter yang ada. Kadang-kadang pada percobaan yg dilakukan di temui ketidaktertarikan peneliti pada suatu tingkat tertentu . Sebaliknya, pada tingkatan lainnya peneliti dapat menemukan perlakuan yang mewakili percobaan yang telah di lakukan . Peneliti hanya tertarik dalam menentukan apakah ada atau tidaknya respons yang berbeda pada kondisi percobaan yang berbeda pula.

Contoh 7.2.1Terdapat situasi di mana seorang ahli kimia tertarik untuk meneliti suatu proses yang dilakukan menghasilkan produk tertentu. Selama produksi terdapat berbagai perlakuan bahan baku yang diberikan . Ahli kimia tidak tertarik pada perbedaan di suatu perlakuan tertentu, tetapi sebaliknya ahli tersebut ingin tahu apakah ada atau tidaknya efek dari perlakuan-perlakuan tersebut . Ahli tersebut dapat memperlihatkan sebuah studi di mana terdapat 5 perlakuan yang di gunakan . Datanya dapat diperlihatkan sebagai berikut:

1 y11 y12 y13 y14

2 y21 y22 y23 y24

Perlakuan 3 y31 y32 y33 y34

4 y41 y42 y43 y44

5 y51 y52 y53 y54

Dimana yij adalah hasil ke j yang diperoleh dari perlakuan ke i .

Model disesuaikan sebagai berikut : Dimana adalah efek dari variabel acak.

Secara umum,model dari efek random diasumsikan dengan bentuk:

Dimana adalah variabel random independen yang berdistribusi normal, dengan rata-ratanya 0 dan variansnya secara umum . random error yaitu , seperti sebelumnya, diasumsikan sebagai Variabel acak independen yang terdistribusi normal dengan mean 0 dan varians umum . Juga diasumsikan bahwa random Variabel independen terhadap .Hipotesis perbedaan antara perlakuan dinyatakan sebagai berikut:

Untuk melakukan tes, kita menghitung dan persis sama seperti dalam kasus efek tetap . Dapat ditunjukkan bahwa

dan

Oleh karena itu secara logis uji statistiknya adalah jika benar, nilai yang diamati rasio ini harus berada dekat dengan 1. , Jika tidak melebihi maka 1 . Teori yang dikembangkan dalam kalimat ini dapat diterapkan untuk menunjukkan bahwa benar, mengikuti distribusi . Dengan demikian, uji statistik yang digunakan untuk mendeteksi efek dari perlakuanadalah persis sama seperti yang digunakan dalam efek pengaturan tetap.

Dalam praktek, hal ini berguna untuk memperkirakan dan . Dengan cara ini, kita dapat menilai kepentingan relatif dari dua sumber variasi pada respon kita miliki . Estimator untuk varian ini adalah

Example 7.1.2

Sebuah Perusahaan susu menerima keluhan bahwa susu yang di produksinya cepat basi. Perusahaan tersebut menerima susu mentah yang ingin diolah dari para petani sekitar yang diantar dengan menggunakan truk. Jadi kemungkinan pasokan susu mentah yang dikirim setiap hari itu memiliki efek mudah basi. Untuk mempelajari pengaruh variabilitas dari setiap pengiriman tersebut, produsen memilih lima pengiriman secara acak. Setelah setiap pengiriman diolah, enam kaleng dipilih acak dari setiap pengiriman dan disimpan selama 12 hari, pada saat itu sejumlah bakteri terbentuk. Respon dasar yang digunakan adalah akar kuadrat dari jumlah bakteri. (ini dilakukan dalam rangka menstabilkan varians dalam perlakuan). Berikut adalah tabel dari data tersebut :

Pengiriman Observations (Square Root) Sample Mean

1 24 15 21 28 33 23 23,93

2 14 7 12 17 14 16 13,33

3 11 9 7 13 12 18 11,67

4 7 7 4 7 12 18 9,17

5 19 24 19 15 10 20 17,83

Test H0 : σr2=0 terhadap H1 : σr

2≠0 untuk menentukan apakah pengiriman menghasilkan variabilitas yang signifikan pada jumlah bakteri. Juga untuk memperkirakan dan menginterpretasi σ2 dan σr

2.

Source SS df MS F

Shipments 803,0 4 200,8 9,01

Error 557,2 25 22,3

Total 1360,2 29

Berikut adalah tabel ANOVA nya:

Statistik F pada tingkat signifikansi 0,01 menunjukkan bahwa kita menolak H0 dan menyimpulkan bahwa varians pada bakteri disebabkan oleh pengiriman yang berbeda.dalam rangka untuk mengukur sumber varians, mempertimbangkan perkiraan σ2 dan σr

2.

σ2= 22,3σr

2= = 29,75

Varians jumlah bakteri antar pengiriman tampaknya agak lebih besar dari varians didalam pengiriman.model efek acak dapat diperluas sehingga menjadi lebih rumit, dengan dua faktor ANOVA, dua faktor ANOVA dengan interaksi, dan model multifaktor. teks-teks seperti 7 dan 17 memberikan rincian untuk model-model multifaktor.