chuyen de mu logarit
TRANSCRIPT
×SlideShare is part of LinkedIn. Your continued use means you agree to our integrated LinkedIn Terms of Service.
Updates 0 Updates 0
Gửi Search
Upload
Go Pro
Explore
► Thi ► Thi Dai Học ► Đại Học ► Học Toán
Share Email Embed Liked × Save
Show more
9 phuong phap giai pt mua logarit
107 views
Like
Chuyên Đề: PT - HPT
534 views
Like
[Mathvn.com] tuyen tap de dh 2002-
2012 theo chu de
419 views
Like
[Mathvn.com] tuyen tap de dh 2002-
2012 theo chu de
972 views
Like
Ham so mu va logarit
587 views
Like
Apply for ACCAwith LSBF
lsbf.org.uk/ACCA
Get £100 off each ACCA paper.
Save up to £1,400 - Learn more!
×
Related More
Khảo Sát Hàm Số Có Lời Giải
12501 views
Like
Thi thử toán thuận thành 1 bn 2012
lần 2
1088 views
Like
[Mathvn.com] cac chu de ltdh - van-
phu-quoc
4650 views
Like
Phương trình lượng giác nâng cao -
Luyện Thi Đại Học
7615 views
Like
Thi thử toán hồng quang hd 2012
lần 2 k d
1800 views
Like
Chuyên Đề LTĐH Toán 2013 - Biên
Soạn VNMath
2095 views
Like
Toán DH (THPT Lê Lợi)
1700 views
Like
Viettug vietex-doc-phamthithanh-p
103 views
Like
19de12 hk1 13-14
168 views
Like
2thi thu dh khoi a vinh phuc lan 1
www.mathvn.com
257 views
Like
Thi thử toán hồng quang hd 2012
lần 2 k a
1283 views
Like
4 khao sat-
ham_so_www.mathvn.com
374 views
Like
Chuyen de-so-phuc-ltdh-nt long-
www.mathvn.com
396 views
Like
K2pi.net --ms ebook release
72 views
Like
Od10 ncc5 phan2- www.mathvn.com
281 views
Like
19de12 hk1 09-10-mathvn.com
424 views
Like
Chuyên đề luyện thi đại học môn
Toán - VipLam.Net
5155 views
Like
Viet pt-mat-phang-nt long -
www.mathvn.com
571 views
Like
Thi thử (Minh Khai) Toán A lần 3
2012 2
1233 views
Like
Chuyen de-luyen-thi-dh-2012
1896 views
Like
[Www.toan capba.net] chuyen-de-
luyen-thi-dh-2012-tran-anh-tuan
523 views
Like
200 cau khao sat ham so
4102 views
Like
Đề thi thử Đại học mốn Toán- Khối
A- Năm 2013 trường Chuyên Vĩnh
Phúc…
5276 views
Like
Tai lieu on thi tn thpt mon toan
www.mathvn.com
640 views
Like
Tich phan ham nhi phan thuc
699 views
Like
Boxmathtuyentaphept.thuvienvatly.com.57d61.18410
538 views
Like
2. dap an de thi thu dai hoc nam
2012 truong thpt phanboi chau de
gui ngay 3...…
1036 views
Like
Phương trình - bất phương trình và
hệ phương trình
369 views
Like
200 cau khao sat ham so
3113 views
Like
Một số bất đẳng thức hình học luận
văn của thầy hoàng ngọc quang…
5533 views
Like
Chuyen phuong trinh mu logarit
day du
219 views
Like
De thi hoc ki i toan 12 co loi giai
2010-2011 - truonghocso.com
3395 views
Like
[ Www.nguoithay.com ] hon 250 bai
phuong trinh va he phuong trinh
2012
48 views
Like
[Giasunhatrang.edu.vn]80 bt-logarit
679 views
Like
19 cach giai cho bat dang thuc -
levietthuat.com
269 views
Like
118
‹ › /259
Liked Share
Follow
Chuyên đề mũ - Logarit ôn thi đại học - levietthuat.com
Tweet 0
0
by Nguyen Thu, Người mẫu, Model ( Khỏa Thân, Nude) at Playboy magazine on Nov 06, 2013
504views
Chuyên đề mũ - Logarit ôn thi đại học - levietthuat.com - xem full tại http://levietthuat.com/chuyen-de-mu-logarit-
on-thi-dai-hoc.html
2Like
No comments yet
Cau Con
1 day ago
1 month ago
Chuyên đề mũ - Logarit ôn thi đại học - levietthuat.comDocument Transcript
1. ThS. Lê Văn Đoàn Chuyên đề Mũ – Logarit (Dùng cho ôn luyện TNPT và Đại học – Cao đẳng)
07/2013 Email: [email protected]
2. www.MATHVN.com MỤC LỤC Trang A – Công thức mũ & logarit cần nhớ
.................................................................................... 1 B – Phương trình & Bất phương trình mũ
........................................................................... 3 Dạng toán 1. Giải bằng cách đưa về cùng cơ số
hoặc logarit hóa ..................................... 3 Các thí dụ
................................................................................................... 3 Bài tập tương tự
......................................................................................... 16 Dạng toán 2. Giải bằng cách đặt ẩn
phụ .......................................................................... 25 Các thí dụ
................................................................................................... 25 Bài tập tương tự
......................................................................................... 67 Dạng toán 3. Giải bằng cách sử dụng
tính đơn điệu của hàm số ....................................... 77 Các thí dụ
................................................................................................... 77 Bài tập tương tự
......................................................................................... 88 C – Phương trình & Bất phương trình
logarit ..................................................................... 92 Dạng toán 1. Giải bằng cách đưa về cùng cơ
số ............................................................... 92 Các thí dụ
................................................................................................... 93 Bài tập tương tự
......................................................................................... 124 Dạng toán 2. Giải bằng cách đặt ẩn
phụ .......................................................................... 138 Các thí dụ
................................................................................................... 138 Bài tập tương tự
......................................................................................... 154 Dạng toán 3. Sử dụng tính đơn điệu
hàm số & Bất đẳng thức .......................................... 164 Các thí dụ
................................................................................................... 165 Bài tập tương tự
......................................................................................... 175 D – Hệ phương trình & Hệ bất
phương trình mũ – logarit ................................................. 180 Dạng toán 1. Giải hệ bằng phép biến
đổi tương đương .................................................... 180 Các thí dụ
................................................................................................... 180 Bài tập tương tự
......................................................................................... 192 Dạng toán 2. Giải hệ bằng cách đặt
ẩn phụ ...................................................................... 197 Các thí dụ
................................................................................................... 197 Bài tập tương tự
......................................................................................... 206 Dạng toán 3. Sử dụng tính đơn điệu
hàm số & Bất đẳng thức .......................................... 216 Các thí dụ
................................................................................................... 216 Bài tập tương tự
......................................................................................... 226 E – Bài toán chứa tham số mũ –
Subscribe to commentsPost Comment
2 Likes
P.a. Tuấn
Hoài Nhỏ at Cựu Học Sinh Thpt Eah'leo
logarit ................................................................................ 230 Các thí dụ
................................................................................................... 231 Bài tập tương tự
......................................................................................... 250 www.DeThiThuDaiHoc.com
3. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn A –
CÔNG THỨC MŨ VÀ LOGARIT CẦN NHỚ Công thức mũ và lũy thừa: a và b là các số thực dương, x
và y là những số thực tùy ý. a x = bx b ax a n = a.a.a...a n số a a x + y = a x
.a y a x−y = ax ay y ⇒ a −n = y = ay a =a x y u (x) 0 = 1 ⇒ x 0 = 1, ∀u (x) x
≠ 0 1 an x n x a x .bx = (a.b) a.n b = n ab n ( ) ( ) a x.y = a x x am = m m ( ) n a = an Công
thức logarit: Cho 0 < a ≠ 1 và b, c > 0 . b = loga b − loga c c loga b = x ⇔ b = a x loga lg b = log b =
log10 b α log b khi α lẻ a loga bα = α loga b khi α chẳn (logarit thập phân) ln b = loge
b , (e = 2, 718...) log (logarit tự nhiên hay log nepe) aα b= 1 loga b α loga 1 = 0, loga a = 1 b = loga a b
loga (b.c) = loga b + loga c b=a loga b Công thức đổi cơ số loga b = loga b = logc b a logc a ln b 1 , loga
b = logb a ln a logb c log a =c b logab c = Hàm số mũ – logarit và đạo hàm a/ Hàm số mũ y = a x , (a >
0, a ≠ 1) . Tập xác định: D = » . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 1 - 1 1 1 + loga c logb c
4. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Tập giá trị: T = (0, +∞)
. ● Khi hàm số đồng biến. Tính đơn điệu ● Khi : hàm số nghịch biến. Nhận trục hoành làm tiệm cận
ngang. Dạng đồ thị: 1 1 O O b/ Hàm số logarit y = loga x , (a > 0, a ≠ 1) . Tập xác định: D = (0,
+∞) . Tập giá trị: T = » . ● Khi : hàm số đồng biến. Tính đơn điệu ● Khi : hàm số nghịch biến.
Nhận trục tung làm tiệm cận đứng. Dạng đồ thị 1 O O 1 c/ Đạo hàm của hàm mũ và logarit Đạo hàm
hàm số sơ cấp ' (x ) = α.x α ' α−1 , (x > 0) (a ) = a .ln a x ' ( ) ⇒ uα = α.uα−1 .u ' ' ( ) x ' (e ) = e x Đạo
hàm hàm số hợp ⇒ a u = a u .u '. ln u x ⇒ eu = eu .u ' ' ( ) 1 (log x ) = x ln a ' a ' (ln x) = 1 , (x > 0) x (
⇒ loga u ' ) = uu'a ln ' ⇒ (ln u) = u' u www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 2 - Ths. Lê Văn Đoàn
5. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn B –
PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Dạng 1. Giải phương trình mũ bằng cách đưa về cùng
cơ số hoặc logarit hóa I – LÍ THUYẾT CƠ BẢN Đưa về cùng cơ số: Phương trình mũ: Dùng các công
thức mũ và lũy thừa đưa về dạng Với thì . . Trường hợp cơ số a có chứa ẩn thì: . Bất phương trình
mũ: Dùng các công thức mũ và lũy thừa đưa về dạng Nếu thì . . Nếu thì . Trường hợp cơ số a có
chứa ẩn thì . Logarit hóa: . Lưu ý: Khi giải phương trình, bất phương trình cần đặt điều kiện để phương
trình có nghĩa. Sau khi giải xong cần so sánh nghiệm (tập nghiệm) với điều kiện để nhận nghiệm (tập
nghiệm) thích hợp. II – CÁC THÍ DỤ 2x +3 Thí dụ 1. 4 Giải phương trình: x +8 3.243 x+8 = 1 x+2 .9 9
(∗) Bài giải tham khảo x ≠ −8 ● Điều kiện: . x ≠ −2 1 4 ● Ta có: 1 4 3 = 3 4 ; 243 = 35
; 9 = 32 ; 2x +3 5 x +8 (∗) ⇔ 3 .3 ⇔3 ⇔ 1 2x +3 +5
4 x +8 −2 1 = 3−2 nên: 9 x +8 2 x +2 = 3 .3 x +8
−2+2 x +2 =3 2x + 3 1 = −2 + 2 x + 8 + 5
x+8 x + 2 4 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 3 -
6. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn ⇔ 41x
2 + 102x − 248 = 0 ⇔ x = −4 ∨ x = 62 . 41 ● Kết hợp với điều kiện, phương trình đã cho có hai
nghiệm: x = −4 ∨ x = Thí dụ 2. 3 Giải phương trình: 3 3 3 3 3 3 6x +7 3x−1
3 3 9 4 27 = 62 . 41 (∗) Bài giải tham khảo ● Ta có: 1 3 3
3 3 3 3 3 (∗) ⇔ 3 ⇔ 16 (3x−1) 9 3x−1 =3 1 2 1 1 1 2
1 2 3 6x +7 16 3 3 23
= 3 3 3 3.3 3 = 3 9 và 3 3 9 4 27 = 3 32.3 4 = 3 24 .
23 (6x +7) 24 16 23 (3x − 1) = 24 (6x + 7) 9 ⇔ x=− 611 . 30 ● Vậy phương trình đã cho có
nghiệm duy nhất x = − Thí dụ 3. Giải phương trình: 42x+1.54x +3 = 5.102x 2 +3x−78 611 . 30 (∗) Bài
giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . (∗) ⇔ 2 4x +2 .5.54x +2 = 5.102x 2 +3x−78 2 ⇔ 5.104x +2 =
5.102x +3x−78 ⇔ 4x + 2 = 2x2 + 3x − 78 ⇔x= 1 ± 641 . 4 ● Vậy phương trình có hai nghiệm x = Thí
dụ 4. 1 ± 641 . 4 Giải phương trình: 5.3x + 3.2x = 7.2x − 4.3x (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D
= » . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 4 -
7. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn (∗) ⇔
5.3x + 4.3x = 7.2x − 3.2x ⇔ 3x.9 = 2x.4 3 x 3 −2 ⇔ = . 2 2
⇔ x = −2 . ● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = −2 . Thí dụ 5. Giải phương trình: 5x
+ 5x −1 + 5x −2 = 3x +1 + 3x −1 + 3x −2 (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . (∗) ⇔ 5x +
5x 5x 3x 3x + 2 = 3.3x + + 2 5 3 5 3 1 1 1 1 ⇔ 5x 1 + + = 3x 3 + +
5 25 3 9 ⇔ 31 x 31 .5 = .3x 25 9 x 2 5 25 5 ⇔ = =
3 2 9 ⇔ x = 2. ● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 . Thí dụ 6. Giải
phương trình: ( 17 + 4 2x−1 3x ) = ( 17 − 4 ) x−1 x +1 (∗) Bài giải tham khảo ● Ta có: (∗) ⇔ ⇔ ( (
17 + 4 17 + 4 )( 2x−1 3x ) = ) 17 − 4 = 1 ⇒ ( − 17 + 4 ) ( ) 17 − 4 = 1 ( 17 + 4 ) = ( −1 17 + 4 ) . x−1
x +1 2x − 1 x −1 =− 3x x +1 ⇔ 5x2 − 2x − 1 = 0 ⇔ x = 1± 5 . 6 ● Vậy phương trình có hai nghiệm: x
= 1− 5 1+ 5 ∨ x= . 6 6 Nhận xét: Dạng tổng quát của bài toán là a Ta có: a.b = 1 ⇒ b = f ( x) =b g( x)
với a.b = 1 . 1 f ( x) −g(x ) = a −1 ⇒ (∗) ⇔ a = a ⇔ f (x ) = −g (x ) . a www.DeThiThuDaiHoc.com
Page - 5 -
8. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Thí dụ 7. (∗) Giải phương
trình: 2x+2 − 2x+1 − 1 = 2 x+1 + 1 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . (∗) ⇔ 4.2 x − 2.2x − 1
= 2.2x + 1 ⇔ 2.2 x − 1 = 2.2 x − 1 2.2x − 1 ≥ 0 ⇔ 2.2x − 1 = 2.2 x − 1 x 2.2
− 1 = −2.2 x + 1 x 1 2 ≥ = 2−1 ⇔ 2 x 4.2 = 2 x ≥ − 1 ⇔ x
2 = 1 = 2−1 2 ⇔ x = −1 . ● Vậy nghiệm của phương trình là x = −1 . Thí dụ 8. Giải
phương trình: x−1 ( x + 2) x−3 = ( x + 2) (∗) Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 . (∗)
⇔ (x + 2) − 1 x − 1 − (x − 3) = 0 x + 1 = 0 ⇔ x − 1 = x − 3 x =
−1 ⇔ x − 3 ≥ 0 2 x − 1 = x − 6x + 9 x = −1 ⇔ x ≥ 3
x = 5 ∨ x = 2 x = −1 ⇔ . x = 5 ● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương
trình là x = 5 . Thí dụ 9. Giải phương trình: (x 2 ) +3 x2 −5x +4 ( x +4 ) = x2 + 3
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 6 - (∗) Ths. Lê Văn Đoàn
9. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Bài giải tham khảo ● Tập
xác định: D = » . (∗) ⇔ (x 2 + 3 − 1 x 2 − 5x + 4 − (x + 4) = 0 ) 2 x + 3
− 1 = 0 (VN) ⇔ 2 x − 5x + 4 = x + 4 x + 4 ≥ 0 2 ⇔ x − 5x + 4 = x + 4 2
x − 5x + 4 = −x − 4 (VN) x ≥ −4 ⇔ x = 0 ∨ x = 6 ⇔ x = 0 ∨ x = 6.
● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 0 ∨ x = 6 . Thí dụ 10. 2 (∗) Giải phương trình: 2x−3 =
3x −5x+6 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . ● Lấy logarit cơ số 2 hai vế, ta được: (∗) ⇔ log 2
2 2x−3 = log 3 3 x −5x +6 ( ) ⇔ (x − 3) log2 2 = x 2 − 5x + 6 log2 3 ⇔ (x − 3) − (x − 2)(x − 3) log2
3 = 0 ⇔ (x − 3) . 1 − (x − 2) log2 3 = 0 x − 3 = 0 ⇔ 1 − (x − 2) log2 3 x = 3
. ⇔ x = log3 2 + 2 = log3 18 ● Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 3 ∨ x = log3 18 . Thí
dụ 11. Giải phương trình: 52x 4 −5x2 +3 −7 x2 − 3 2 =0 (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » .
● Lấy logarit cơ số 5 hai vế, ta được: (∗) ⇔ log 5 5 2x 4 −5x2 + 3 − log5 7 x2 − 3 2 =0
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 7 - Ths. Lê Văn Đoàn
10. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn 3
⇔ 2x 4 − 5x 2 + 3 log5 5 − x 2 − log 5 7 = 0 2 ( ) ) x ( ⇔ 2 x2 − 1
2 3 3 − − x 2 − log5 7 = 0 2 2 3 ⇔ x2 − . 2 x
2 − 1 − log5 7 = 0 2 ( ) x2 = 3 2 ⇔ log5 7 2 +1 x = 2 2 3 x
− = 0 ⇔ ⇔ 2 2 2 x − 1 − log5 7 = 0 ( ) ● Vậy phương trình có các nghiệm là x = ± Thí dụ
12. 2 x = ± 6 2 . 1 2 log5 175 x = ± 2 6 1 ∨ x=± 2 log5 175 . 2 2 (∗) Giải phương
trình: 2x −4.52−x = 1 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . ● Lấy logarit cơ số 2 hai vế, ta được:
(∗) ⇔ log 2 (2 x2 −4 ) .52−x = log2 1 2 ⇔ log2 2x −4 + log2 52−x = 0 ⇔ x2 − 4 + (2 − x ) log2 5 =
0 ⇔ (x − 2)(x + 2) − (x − 2) log2 5 = 0 ⇔ (x − 2)(x + 2 − log2 5) = 0 x = 2 ⇔ . x = −2 +
log2 5 ● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 2 ∨ x = −2 + log2 5 . Thí dụ 13. 2 Giải phương
trình: 2x −2x = 3 2 (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . ● Lấy logarit cơ số 2 hai vế, ta được:
(∗) ⇔ log 2 2 2x −2x = log2 3 2 ⇔ x 2 − 2x.log2 2 = log2 3 − log2 2 ⇔ x2 − 2x + 1 − log2 3 = 0 (1)
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 8 -
11. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn x =
1 − log 3 2 ∆ ' = 1 − (1 − log2 3) = log2 3 > 0 ⇒ . x = 1 + log2 3 ● Vậy phương trình đã cho
có hai nghiệm: x = 1 − log2 3 ∨ x = 1 + log2 3 . Thí dụ 14. Giải phương trình: 5 x.8 x−1 x = 500 (∗)
Đại học Kinh Tế Quốc Dân năm 1998 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x ≠ 0 . (∗) ⇔ 5x.2 3 x−1 x =
53.22 3x−3 5x 2 x ⇔ 3. 2 5 2 ⇔ 5x−3.2 ⇔ 5x−3.2 =1 3x−3 −2 x x−3 x =1 (1) =1 ● Lấy logarit cơ số
5 hai vế, ta được: (1) ⇔ log x−3 5x−3.2 x = log 1 5 5 ⇔ log5 5x−3 +
log5 2 ⇔ (x − 3) + x−3 x =0 x−3 log5 2 = 0 x 1 ⇔ (x − 3) 1 + log 5 2 = 0 x x =
3 ⇔ 1 + 1 log 2 = 0 5 x x = 3 ⇔ 1 1 x = − log 2 5 x = 3 . ⇔ x
= − log5 2 ● So với điều kiện, phương trình có hai nghiệm: x = 3 ∨ x = − log5 2 . Thí dụ 15. 2 Giải
phương trình: 3x −2.4 2x−3 x = 18 (∗) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 9 -
12. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Bài giải tham khảo ● Điều
kiện: x ≠ 0 . ● Lấy logarit cơ số 3 hai vế, ta được: 2x−3 2 ∗) ⇔ log 3 3x −2.4 x = log 3
18 ( 2 ⇔ log 3 3x −2 + log 3 4 ( ) ⇔ x 2 − 2 + log 3 2 2x−3 x 4x−6 x = log 3 18 = log
3 9.2 4x − 6 log 2 = log 9 + log 2 3 ⇔ x2 − 2 + 3 3 x ( ) 4x − 6
⇔ x2 − 2 + x log 3 2 − 2 − log 3 2 = 0 ( ) 4x − 6 ⇔ x2 − 4 + − 1 log 3
2 = 0 x ( ) ( ) ⇔ x2 − 4 + 3x − 6 log3 2 = 0 x ⇔ (x − 2)(x + 2) + 3 ( x − 2) x log 3 2 =
0 3 ⇔ (x − 2) x + 2 + log 3 2 = 0 x x = 2 ⇔ 2 x + 2x + 3 log3 2
= 0 : VN ⇔ x = 2. ● So với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2 . x Thí dụ 16. Giải
phương trình: 8 x+2 = 4.34−x (∗) Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x ≠ −2 . 3x x +2 (∗) ⇔ 222 = 34−x
⇔2 3x −2 x +2 = 34−x x −4 ⇔ 2 x +2 = 3 4 −x (1) ● Lấy logarit cơ số 2 hai vế, ta được:
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 10 - Ths. Lê Văn Đoàn
13. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn x−4
(1) ⇔ log2 2 x+2 = log2 34−x ⇔ x−4 = (4 − x ) log2 3 x +2 ⇔ x−4 + (x − 4) log2 3 = 0 x +2 1
⇔ ( x − 4 ) + log2 3 = 0 x + 2 x − 4 = 0 ⇔ 1 x + 2 = − log2 3 x =
4 . ⇔ x = −2 − log2 3 ● So với điều kiện, phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 4 ∨ x = −2
− log2 3 . 2 Thí dụ 17. 1 9x −17 x+11 1 7−5x Giải bất phương trình: ≥
2 2 (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . (∗) ⇔ 9x 2 − 17x + 11 = 7 −
5x 2 ⇔ 9x2 − 12x + 4 ≤ 0 ⇔ (3x − 2) ≤ 0 ⇔x= 2 . 3 ● V ậy x = 2 là nghiệm của bất phương trình. 3 x
Thí dụ 18. 2x 1 > 3 x +1 Giải bất phương trình: 9 (∗) Bài giải tham khảo ●
Điều kiện: x ≠ −1 . (∗) ⇔ 3 −2x >3 ⇔ −2x > ⇔ 2x x +1 2x x +1 2x2 + 4x <0 x +1
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 11 -
14. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn x <
−2 . ⇔ −1 < x < 0 ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (−∞; −2) ∪
(−1; 0) . Thí dụ 19. ( Giải bất phương trình: 10 + 3 ) x−3 x−1 < ( 10 − 3 ) x +1 x +3 (∗) Đại học Giao
Thông Vận Tải năm 1998 – Cao đẳng Sư Phạm Nha Trang năm 2002 Bài giải tham khảo x − 1 ≠ 0 x
≠ 1 ● Điều kiện: ⇔ . x + 3 ≠ 0 x ≠ −3 ● Ta có: (∗) ⇔ ( ⇔ ⇔ ( 10 + 3
10 + 3 ) x−3 x−1 )( ) 10 − 3 = 1 ⇔ < ( − 10 + 3 ) ( ) 10 − 3 = 1 ( 10 + 3 ) = ( −1 10 + 3 ) . x +1 x +3
x−3 x +1 <− x −1 x+3 2x 2 − 10 (x − 1)(x + 3) <0 −3 < x < − 5 ⇔ . 1 < x < 5 ( ) ( ) ● So
với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là: x ∈ −3; − 5 ∪ 1; 5 . Thí dụ 20. Giải bất phương trình:
3x+1 + 5x+2 ≥ 3x +2 + 5x +1 (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . (∗) ⇔ 25.5 x − 5.5x >
9.3x − 3.3x ⇔ 20.5 x > 6.3x x 5 3 ⇔ > 3 10 ⇔ x > log 5 3 3 . 10 3
● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ log 5 ; +∞ . 3 10 Thí dụ 21. Giải
bất phương trình: 4 x + 4 x+1 + 4 x+2 > 9 x + 9x +1 + 9x+2 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 12 -
(∗)
15. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn Bài
giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . (∗) ⇔ 4 x + 4.4 x + 42.4 x > 9 x + 9.9x + 92.9 x ⇔ 4 x.21 > 9
x.91 x 4 91 91 ⇔ < ⇔ x > log 4 . 9 21 21 9 91 ● Vậy tập nghiệm
của bất phương trình là x ∈ log 4 ; +∞ . 9 21 Thí dụ 22. 1 Giải bất phương trình: 2
x2 −2x (∗) ≤ 2x−1 Bài giải tham khảo (∗) ⇔ 1 x2 −2x 2 ⇔ 2− x2 −2x ≤ 2x−1 ≤ 2x−1 ⇔ − x2 − 2x ≤
x − 1 x 2 − 2x ≥ 1 − x ⇔ 1 − x ≤ 0 1 − x > 0 ⇔ 2 ∨ 2 2 ⇔ x ≥ 2. x − 2x
≥ 0 x − 2x ≥ (1 − x ) ● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ 2; +∞) . Thí dụ
23. Giải bất phương trình: 2.3x − 2 x+2 ≤1 3 x − 2x (∗) Đại học Sư Phạm Hà Nội khối B, M, T năm
2001 Bài giải tham khảo x 3 ● Điều kiện: 3 − 2 ≠ 0 ⇔ 3 ≠ 2 ⇔ ≠ 1 ⇔ x ≠ 0 . 2
x x x x ● V ới x < 0 ⇔ 3 x − 2 x < 0 . 2.3x − 4.2 x ≥ 3x − 2 x (∗) ⇔ x < 0 3x
≥ 3.2x ⇔ x < 0 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 13 -
16. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn
x 3 ≥ 3 ⇔ 2 x < 0 3 x ≥ log 3
⇔ 2 ⇒ x ∈ ∅ . x < 0 ● V ới x > 0 ⇔ 3 x − 2 x > 0 . 2.3x − 4.2 x ≤ 3x
− 2 x (∗) ⇔ x > 0 3x ≤ 3.2x ⇔ x > 0 x 3
≤ 3 ⇔ 2 x > 0 x ≤ log 3 2 ⇔ 2 x > 0 ⇔ 0 < x ≤
log2 3 . 2 ● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ 0; log2 2x2 + x +1 Thí dụ 24.
1 Giải bất phương trình: x2 + 2 3 . 2 1−x 1 ≤ x 2 +
2 (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . (∗) ⇔ x 2 1 +
− 1 . 2x 2 + x + 1 − (1 − x ) ≤ 0 2 ( ) 1 ⇔ x 2 − 2x2 + 2x ≤ 0
2 ( ) 1 1 ⇔ x ∈ (−∞; −1) ∪ − ; 0 ∪ ; +∞ . 2 2
1 1 ● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (−∞; −1) ∪ − ; 0 ∪ ; +∞ .
2 2 Thí dụ 25. Giải bất phương trình: 52x−1 < 7 3−x (∗) www.DeThiThuDaiHoc.com
Page - 14 -
17. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn Bài
giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . ● Lấy logarit cơ số 5 hai vế, ta được: (∗) ⇔ log 5 52x−1 < log5
7 3−x ⇔ 2x − 1 < (3 − x ) log5 7 ⇔ 2x + x log5 7 < 3 log5 7 + 1 ⇔ x (2 + log5 7 ) < 3 log5 7 + 1
⇔x< 1 + 3 log5 7 2 + log5 7 . 1 + 3 log5 7 . ● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈
−∞; 2 + log5 7 Thí dụ 26. 2 (∗) Giải bất phương trình: 5x −5x+6 ≥ 2x−3 Bài giải tham
khảo ● Tập xác định: D = » . ● Lấy logarit cơ số 5 hai vế, ta được: (∗) ⇔ log 2 5 5x −5x +6 ≥ log5 2 x
−3 ⇔ x2 − 5x + 6 ≥ (x − 3) log5 2 ⇔ (x − 2)(x − 3) − (x − 3) log5 2 ≥ 0 ⇔ (x − 3) (x − 2) − log5
2 ≥ 0 ⇔ x ∈ (−∞;2 + log5 2 ∪ 3; +∞) (do : log 5 2 < 1 ⇒ x = 2 − log5 2 < 3) . ●
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (−∞;2 + log5 2 ∪ 3; +∞) . Thí dụ 27. 2 Giải bất
phương trình: 49.2x > 16.7 x (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . 2 x x (∗) ⇔ 2 4 > 7 2 2 7
2 ⇔ 2x −4 > 7 x−2 (1) ● Lấy logarit cơ số 2 hai vế, ta được: (1) ⇔ log 2 2 2x −4 > log2 7 x−2 ⇔ x2 −
4 > (x − 2) log2 7 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 15 -
18. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit ⇔ x 2 − (log2 7 ).x + 2
log2 7 − 4 > 0 Ths. Lê Văn Đoàn (2) 2 2 Ta có: ∆ = log22 7 − 8 log2 7 + 16 = (log2 7 − 4) = (4 − log2
7) > 0 . x = log2 7 + (4 − log2 7 ) = 2 1 2 , ( x1 > x 2 ) . ⇒ log2 7 − (4 − log2 7 ) 7 x = =
log2 7 − 2 = log2 2 2 4 (2) ⇔ x < log 2 7 ∨ x >2. 4 7 ● Vậy tập nghiệm của bất phương
trình là x ∈ −∞; log2 ∪ (2; +∞) . 4 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài tập 1. Giải các
phương trình sau 1/ 32x+1 = 0,25.128x−1 . 2/ x 3 3 3 = 1
81 ĐS: x = 14 . 2x−3 ĐS: x = − . 16 . 13 −2 ± 19 . 5 3/ 2 x 3 4 x x 0,125 = 3 0,25 . 4/ 2.3 x +1 −
6.3 x −1 − 3 x = 9 . ĐS: x = 1 . 5/ 1 2x.5x−1 = .102−x . 5 ĐS: x = 1 . 6/ 8 x+1 = 0,25. 2x−1 ĐS: x = 7x
( ) 2 ĐS: x = 1 ∨ x = . 2 . 7 −x 2 = . 8 7/ 0,125.42x−3 8/ 2x.5 x =
0,1. 10x−1 . 9/ ( )( ) ( ) 10/ 2 5 11/ 22x +x+5 = 82x+1 . 12/ 2x+1.4 x−1. 5 ( x
2 x 3 x−1 2 ĐS: x = 6 . ) 4 ĐS: x = x2 −1 4 =2 2x−1 2x . 3 . 2 ĐS: x = 1 ∨ x = −3 ∨ x = x 25 125
. = . 64 8 ĐS: x = 3 . 2 1 1−x 8 ĐS: x = 2 ∨ x = = 16 x . ĐS: x = 2 .
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 16 - 1 . 2 1 . 3
19. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com 2x . 3x = 216 . 13/ Ths.
Lê Văn Đoàn ĐS: x = 6 . 25 . 2 14/ 5 x.8 x +1 = 100 . ĐS: x = log 40 15/ 2x+1.32x +3 = 63x +1 . ĐS: x
= log12 9 . 16/ 9 17/ 5 18/ 5 19/ 5 3 20/ 1 2 21/ 4 x
+1.3x −3.5x +1 = 22/ 3 x −1 = 6 x.2−x.3 x +1 . 23/ 2x.3x +1 = = 38x−2 . ĐS: x = 2 . 7 = 125x . ĐS: x
= 3 . 5 = 253x−4 . ĐS: x = 7 . 5 3x −1 2x−3 4x −6 x2 +2x−11 x +1 9 . 25 x
+7 1 . 2 9 5 = . 3 7 ĐS: x = 2 ∨ x = − . 2 1−2x = 2.
ĐS: x = 9 . 20 60 . 27 ĐS: x = 1 . 2 ĐS: x = −2 . x +2 ( ) 3 ĐS: x = 0 . . 1 3 24/ 25/ 3 17 x − 16 2 x +1
5x. = 1 9 3 x +1 ĐS: x = − . 8 x = 100 . 5 3 ∨ x =1 ∨ x =− . 4 4 ĐS: x = 2 ∨ x = − log5 10 . x 26/ 27/
x (0, 6) 2x2 −24 .5 3 2 = .9x −12 . 5 2 2 6 .2 29/ 3 4
30/ 5 3 x−1 x +1 x +1 =4 x +1 . ĐS: x = 53 . 7 ĐS: x = 2x+1 . 3 42x−1 .8
3−x = 2 2.0,125 . 28/ ĐS: x = ±2 3 . 3 . 2 8 4 x 9 . = . 3 16 ĐS: x = −1 ∨ x =
4 . x2 +x−1 9 . 25 ĐS: x = − = 1. www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 17 - 3
∨ x = 1. 2
20. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit 4x−2 31/ x +1 1 27 x−1
= .81 x +2 . 9 32/ 16 x+2 1 Bài tập 2. − ĐS: x = 3 ∨ x = 2 . 11 3x−19 1 x−2 2 ĐS: x = −1 ∨ x = =
0,25.2 x −4 . 5 . 2 Giải các phương trình sau 1/ 5 x + 5 x +1 + 5 x +2 = 3 x + 3 x +3 + 3 x +1 . ĐS: x =
0 . 2/ 3x +1 + 3x−2 − 3x−3 + 3 x−4 = 750 . ĐS: x = 5 . 3/ 2x + 2x−1 + 2x−2 = 3x + 3x−2 − 3 x−1 . ĐS:
x = 2 . 4/ 4 x + 4 x−2 + 4 x +1 = 3x +2 − 3x−2 . ĐS: x = log 4 3 2 2 2 2 1280 . 729 5/ 2x −1 + 2x +2 =
3x + 3x −1 . ĐS: x = ± 3 . 6/ 3x−1 + 3x + 3x +1 = 9477 . ĐS: x = 7 . 7/ 22x +5 − 3 8/ 1 1 3.4 x + .9x+2
= 6.4 x+2 − .9x+1 . 3 2 9/ 9x − 2 x+ x+ 3 2 9 2 =3 =2 x+ 1 2 x+ 7 2 3 ĐS: x = − . 2 − 4x +4 . − 32x−1
. ĐS: x = log 9 4 ĐS: x = log 9 2 10/ 3 x + 3 x +1 + 3 x +2 = 5 x + 5 x +1 + 5 x +2 . ĐS: x = log 3 5 x+
1 2 x 11/ 5 12/ Bài tập 3. Ths. Lê Văn Đoàn 2x−2 −9 = 3 4−x − 3 −x − 1 2 1 = 32 −5 −x x− 1 2 ĐS: x =
. − 2−2x−1 . 62 . 21 9 2 . 4 31 . 16 3 . 2 3 ĐS: x = − . 2 Giải các phương trình sau 1 ĐS: x = − . 3 3x 1/
( 2/ (5 + 2 6 ) 3/ (3 + 2 2 ) 3−2 2 ) = 3+2 2. 3x +1 5x +8 ( ) ( ) = 5−2 6 x +1 = 3−2 2 . 7 ĐS: x = − . 8
2x +8 . ĐS: x = −3 . 3x 3 −4x 4/ (3 − 2 2 ) = 3+2 2 . ĐS: x = 1 ∨ x = www.DeThiThuDaiHoc.com
Page - 18 - −3 ± 21 . 6
21. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit 5/ 6/ 7/ x −1 ( ) 5 +2 (
82 − 9 ( ( = ) x−3 x−1 145 + 12 = ) 5 −2 ( 2x +1 4 x−3 ) 82 + 9 ( = 3x +1 x ) ĐS: x = 1 ∨ x = −2 . . x
+1 x +3 145 − 12 ( ĐS: x = ± 5 . . 4x +3 2x−1 ) ( 9/ 226 + 25 2x +5 10/ Bài tập 4. ĐS: x = ± 2 . 2 . ĐS:
x = ± 10 . 10 ĐS: x = ± 13 . 2 (7 + 48 2x−1 x2 −2x +9 ) 2x−7 ( = 7 − 48 ) . ĐS: x = 2 . Giải các
phương trình sau 3x−7 1 1 − x +2 x−2 2 ĐS: x = 1/ 16 = 0,25.2 x −4 . 2/ 1 3
3/ 2 4/ 2 2 5/ 6/ 4x −4 + 4 x +x−12 = 42x +x−16 + 1 . 2−x Bài tập
5. . 2x +1 2x−5 6 + 35 = 6 − 35 . = ) x 3x−1 8/ 226
− 25 ) x −1 x +1 Ths. Lê Văn Đoàn ( ( 4−x +3 1 = 99 + 9 x−3 x +1
) ) 1 x +3 2 x x = ĐS: x = 6 . 1 .4 2 x ĐS: x = 1 . . 2 x −1 = 4. x x + 3 x x 4 − 4 3
2 . 1 1 x +5 5 ( 27 ) 5 5 ∨ x = −1 . 2 ĐS: x = 9 . = 4 37 . ĐS: x = 10 . 2 2 ĐS: x = −4 ∨ x = 3
∨ x = ±2 . Giải các phương trình sau x2 −x−5 1/ (x + 2) 2/ ( 2x − x 2 3/ ( x − x2 x +10 = ( x + 2) . ĐS:
x = −1 ∨ x = 5 . x−1 ) = 1. ĐS: x = 1 . x−2 ) = 1. ĐS: x = 2 . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 19 -
22. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit x2 −1 4/ 5/ (x + 1) 6/ (2
+ x − x ) 7/ ( x − 3) 8/ (x 9/ ( 10/ (x 2 − x +1 11/ (x 2 − 2x + 2 12/ 3 13/ Bài tập 6. (x x−3 2 ) −x +1 x
−3 sin x 3x2 −5x +2 x2 − 5x + 4 ) x−1 ( − 2 + x − x2 ( 2− 3 cos x ) x2 −4 4− x 2 9−x2 x2 + x−4 ) = x2
− 6x + 9 ) ) (x − 1) ĐS: x = 0 ∨ x = 3 . 4−x2 ) − 2x + 2 x2 −x ĐS: x = 0 ∨ x = ±1 . = 1. 2 2 = 1. Ths.
Lê Văn Đoàn . . ĐS: x = 1± 5 π ∨ x= . 2 6 ĐS: x = 4 ∨ x = 5 . ĐS: x = 1 ∨ x = ±2 . = 1. 5 ± 13 ∨ x =
−2 . 2 = 1. ĐS: x = = x2 − x + 1 . ĐS: x = 0 ∨ x = ±1 ∨ x = ± − 3 x2 − 2x + 2 = 0 . ĐS: x = 1 ∨ x = ±
3 = (x − 1) x−1 4 5 . 3 ĐS: x = 0 ∨ x = 2 ∨ x = 1 + 3 3 . . 2 = (x − 3) . ĐS: x = −1 ∨ x = 2 ∨ x = 4 .
Giải các phương trình sau 2 1/ 2x −4 = 5x−2 . 2/ 5x −5x+6 = 2x−3 . 3/ 3x −4x = 2x−4 . 4/ 8 x.5x −1 =
5/ 3x.4 6/ 3x −2.4 7/ 3x.2x = 1 . 8/ 2x.5x = 10 . 9/ 3x.2 x +2 = 6 . 10/ 8 3x+6 = 36.32+x . ĐS: x = 2 ∨
x = log2 2 x−1 x 2 ĐS: x = 4 ∨ x = log 3 2 . 1 . 8 ĐS: x = −1 ∨ x = 1 − log5 8 . ĐS: x = 2 ∨ x = − log
3 2 . = 18 . 2x−3 x 5 . 4 ĐS: x = 3 ∨ x = log5 50 . 2 2 15 . 2 ĐS: x = 2 . = 18 . 2 ĐS: x = 0 ∨ x = −
log2 3 . 2 ĐS: x = 1 ∨ x = −1 − log5 2 . 3x ĐS: x = 1 . x ĐS: x = −4 ∨ x = log2
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 20 - 3 . 4
23. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit 11/ 4.9x−1 = 3.2 x x +2 2x +1 2
www.MATHVN.com ĐS: x = . = 36.32−x . Ths. Lê Văn Đoàn 3 . 2 ĐS: x = 4 ∨ x = −2 − log3 2 . 12/ 8
13/ 2x −2x.3x = 3 . 2 ĐS: x = 1 ∨ x = log2 2 . 3 14/ 3x.8 x+1 = 36 . ĐS: x = 2 ∨ x = log2 3 . 2 15/ 5x
−2.2 x+1 = 4 . ĐS: x = 2 ∨ x = log5 2 . 5 16/ 52x−1 = 7 3−x . ĐS: x = 4 log175 5 . 17/ 5 18/ x 19/ x 4
.5 3 = 5 20/ 4 21/ x log x = 1000x 2 . 22/ x 23/ 7 24/ 57 = 7 5 . 2 x 3x 3−log5 x 4 lg x 4 x log ĐS: x = 5
. = 25x . = 16002 . x log x 5 ĐS: x = 40 ∨ x = ĐS: x = . ĐS: x = x =x 1 ∨ x = 1000 . 10 ĐS: x = 2 ∨ x
= = 32 . log2 (5x)−1 25 1 ∨ x= 45. 5 ĐS: x = 10±4 . = 100 . log2 x −4 1 . 10 log5 7 1 . 32 ĐS: x = 125
∨ x = . x 1 . 5 ĐS: x = log 7 (log5 7 ) . 5 2x−1 5 . 2 25/ 5x.2 x +1 = 50 . 26/ 9.x 27/ 5x−1.22x −x+1 =
10.8x . 1 ĐS: x = 2 ∨ x = − log2 5 . 2 28/ 4.9x−1 = 3 22x +1 . ĐS: x = 3 . 2 29/ 4x − 3 ĐS: x = 3 . 2
log9 x ĐS: x = 2 ∨ x = log2 = x2 . ĐS: x = 9 . 2 x− 1 2 =3 x+ 1 2 − 22x−1 .
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 21 -
24. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit 4x +1 30/ 31/ Bài tập 7. 2
5 Ths. Lê Văn Đoàn 2 5. ĐS: x = 2 4 log7 + 3 5 −2 − log7 3x +2 1 = 7
www.MATHVN.com . 8 3log3 5 ± 9log2 5 +16 + log3 5 3 3 ĐS: . 2 2 3x −4 = 3 125.125x . Giải các
bất phương trình sau x−1 x ĐS: (−∞; −13 ∪ (−1; 0 ∪ 2; +∞) . 1/ 4 x+2 ≤ 0,25.32 x
−2 . 2/ (0, 3) 3/ 1 3 4/ 8 5/ 2x −3x−4 < 3x −3x−4 . 6/ 1 4x −15x+13 1
4−3x . < 2 2 7/ 2 2+5x 25 . < 5 4
8/ 1 2 9/ 5x − 3x +1 ≥ 2 5x−1 − 3x−2 . ĐS: x ∈ 3; +∞) . 10/ 7 x − 5
x +2 < 2.7 x−1 − 118.5 x−1 . ĐS: x ∈ (−∞;2) . 11/ 2 x +2 − 2 x +3 − 2 x +4 > 5 x +1 − 5 x +2 . ĐS: x
∈ (0; +∞) . 12/ 3 13/ 62x+3 ≤ 2x+7.33x−1 . ĐS: x ∈ 4; +∞) . 14/ 7.3x+1 + 5x+3 ≤ 3x+4 + 5x+2
. ĐS: x ∈ (−∞; −1 . 15/ 2x+2 + 5x+1 ≤ 2x + 5x+2 . 3 ĐS: x ∈ log 5 ; +∞ .
2 20 16/ 2 x−1.3 x +2 > 36 . ĐS: x ∈ (log6 8; +∞) . 2x2 −3x +6 8x 1 ĐS: x ∈ −∞;
∪ (1; +∞) . 2 < 0, 00243 . x +2 ĐS: x ∈ −2;7 ) . > 3−x . ĐS: x ∈ (2; +∞) . > 4096 . 2
2 ĐS: x ∈ (−∞; −1) ∪ (4; +∞) . 2 3 ĐS: x ∈ » . 2 6x−5 x6 −2x3 +1
5 1 ĐS: x ∈ −∞; − ∪ ; +∞ . 16 2 1−x 1 <
2 ( x +3 x −1 −3 ĐS: x ∈ (−∞;1) {0} . . ) x −2 ĐS: x ∈ 0; 4 . ≤ 11 .
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 22 -
25. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit 17/ ( x +1 ) 2 +1 ≥ ( ) 2
−1 x2 −2x +1 18/ (2 + 3 ) 1 19/ 2 2 −1 − 5 −1 + 5 ĐS: ; ∪ (1; +∞) . 2 2 . x2
−2x−1 ( + 2− 3 ) ≤ 4 . ĐS: x ∈ 1 − 2; 1 + 2 . 2− 3 2x−1 ≤ 2x−1 . ĐS: x ∈ 2; +∞) .
1 x2 −2x 1 20/ x x−1 Ths. Lê Văn Đoàn 1 ĐS: x ∈ −∞; . 3 ≥ 2 3x+1 . x2 +2
21/ Bài tập 8. ĐS: x ∈ (−1;1) . 2 0,2 x −1 > 25 . Giải bất phương trình: ( 5 −2 ) x−1 x +1 ≤ ( x−1 5 +2 )
. Cao đẳng sư phạm kỹ thuật Vinh năm 2001 ĐS: x ∈ −2; −1) ∪ 1; +∞) . Bài tập 9. Giải bất
phương trình: 2x−1 + 4x − 6 > 4. x −2 ĐS: x ∈ (−∞;2) ∪ (4; +∞) . Bài tập 10. Giải bất phương trình: 4 x
+ 2x − 4 ≤ 2. x −1 Đại học Văn Hóa Hà Nội năm 1997 1 ĐS: x ∈ ;1 . 2 Bài tập
11. x ( ) Giải bất phương trình: x2 + x + 1 < 1 . ĐS: x ∈ (−∞; −1) . x− x−1 Bài tập 12. Giải bất phương
trình: 3 x2 −2x 1 ≥ 3 . Đại học Bách Khoa Hà Nội năm 1997 ĐS: x ∈ (2; +∞) .
Bài tập 13. Giải bất phương trình: 6x2 + 3 x .x + 31+ x < 2.3 x .x 2 + 3x + 9 . 3 ĐS: x ∈
0;1) ∪ ; +∞ . 2 Bài tập 14. 2 2 2 Giải bất phương trình: 4x2 + x.2x +1 + 3.2x > x2
.2x + 8x + 12 . Đại học Dược Hà Nội năm 1997 ( ) ( ĐS: x ∈ − 2; −1 ∪ www.DeThiThuDaiHoc.com
Page - 23 - ) 2; 3 .
26. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Bài tập 15. Giải bất
phương trình: 4x2 + 3 x .x + 31+ Bài tập 16. Ths. Lê Văn Đoàn Giải bất phương trình: 3x −4 + x2 − 4 3x
−2 ≥ 1 . ≤ 2x 2 .3 x + 2x + 6 . Đề thi thử Đại học năm 2013 khối B, D – THPT Sầm Sơn – Thanh Hóa
3 ĐS: x ∈ 0; log2 2 ∪ ; +∞ . 3 2 2 ( x ) Đại học Sư Phạm Vinh
khối A, B năm 2000 ĐS: x ≥ 2 ∨ x ≤ −2 . Bài tập 17. Giải bất phương trình: 2 −3x2 − 5x + 2 + 2x >
3x.2x. −3x 2 − 5x + 2 + (2x ) 3x . Đại học Y Thái Bình năm 2001 ĐS: −1 < x ≤ Bài tập 18. 1 . 3 ( ) Giải
bất phương trình: x 4 − 8.e x−1 > x x2 .e x−1 − 8 . Đại học Xây Dựng năm 2001 ĐS: x < −2 .
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 24 -
27. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn Dạng
2. Giải phương trình mũ bằng cách đặt ẩn phụ I – LÍ THUYẾT CƠ BẢN Loại 1: Loại 2: Chia hai vế cho
Loại 3: rồi đặt ẩn phụ với (chia cơ số lớn hoặc nhỏ nhất). . Đặt . Loại 4: Lưu ý: Một số trường hợp ta đặt
ẩn phụ không hoàn toàn. Nghĩa là sau khi đặt ẩn phụ t vẫn còn x. Ta giải phương trình theo t với x được
xem như là hằng số. II – CÁC THÍ DỤ ( ) Các thí dụ về đặt ẩn phụ dạng 1: P a Thí dụ 28. f (x ) t = a f
(x ), t > 0 . =0 ⇔ P (t ) = 0 Giải phương trình: 9x − 5.3x + 6 = 0 (∗) Bài giải tham
khảo ● Tập xác định: D = » . x (∗) ⇔ (3 ) 2 2 ( ) ⇔ 3x − 5.3x + 6 = 0 − 5.3x + 6 = 0 (∗ ∗) t = 2
(N ) ● Đặt t = 3x > 0 . Khi đó: (∗ ∗) ⇔ t2 − 5t + 6 = 0 ⇔ t = 3 (N) t = 3x = 2 x = log 2
3 . ⇔ ⇔ x =1 t = 3x = 3 ● Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 ∨ x = log3 2 .
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 25 -
28. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Thí dụ 29. Giải phương
trình: 72x 100x x = 6. (0, 7) + 7 Ths. Lê Văn Đoàn (∗) Đại học An Ninh Nhân Dân khối D, G năm 2000
Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . 7 2x x − 6. 7 − 7 = 0 (∗) ⇔ 10
10 x t = 7 > 0 10 ⇔ 2 t −
6t − 7 = 0 7 x x = −1 (L) ∨ t = 7 = 7 ⇔ t= 10 10
( N) ⇔ x = log0,7 7 ● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x = log 0,7 7 . Thí dụ 30. Giải
phương trình: 21+2x + 15.2x − 8 = 0 (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định : D = » . (∗) ⇔ 2.2 2x +
15.2x − 8 = 0 2 ( ) ⇔ 2. 2x + 15.2 x − 8 = 0 t = 2 x > 0 ⇔ 2 2t + 15t − 8 = 0 x
t = 2 1 ⇔ t = 2 t = −8 ⇔ 2x = (N ) (L ) 1 = 2−1 ⇔ x =
−1 . 2 ● Vậy phương trình có nghiệm là x = −1 . Thí dụ 31. Giải phương trình: 4.4 x − 9.2x +1 + 8 = 0
(∗) Cao đẳng Sư Phạm TW năm 2006 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . (∗) ⇔ 4.2 2x −
18.2x + 8 = 0 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 26 -
29. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn t =
2 x > 0 ⇔ 2 4t − 18t + 8 = 0 x x = 2 2 = 4 ⇔ x 1 ⇔ . 2 = x = −1
2 ● Vậy phương trình có hai nghiệm là x = −1 ∨ x = 2 . Thí dụ 32. x ( Giải phương trình: 7 + 4 3 x
) + (2 + 3 ) (∗) =6 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . x 2 2+ 3 + 2+ 3 (∗) ⇔
) 2 x ⇔ 2+ 3 + 2+ 3 ) x t = 2 + 3 > 0 ⇔ ⇔ 2 t + t − 6 = 0
t = 2 + 3 t = 2 + 3 ( ) ( ( ) ( ( x −6 = 0 x −6 = 0 ( ( ) x ) ) =2 x ⇔ x = log = −3 (L)
● Vậy phương trình có một nghiệm là x = log (2+ 3 ) Thí dụ 33. x ( Giải phương trình: 7 + 5 2 ) +( (2 +
3 ) 2. x )( 2 −5 3+2 2 ) ( +3 1+ 2 x ) +1− 2 = 0 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . 3x (∗) ⇔ (1
+ 2 ) ( + )( 2x 2 −5 1+ 2 ) ( +3 1+ 2 x ) +1− 2 = 0 x t = 1 + 2 > 0 ⇔ t3 + 2 − 5 t2 + 3t
+ 1 − 2 = 0 ( ( ) ) t = 1 + 2 ⇔ 2 (t − 1) t + ( x ) ( >0 2 −
4 t + 2 − 1 = 0 ) x t = 1 + 2 > 0 1+ 2 t = 1 ⇔ ⇔ 1 + 2
t = 1 + 2 1+ 2 t = 3 − 2 2 ( ) ( ( ( x ) ) ) x x =1 x = 0
= 1 + 2 ⇔ x = 1 . x = −2 = 3−2 2 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 27 - 2. (∗)
30. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn ● Vậy
phương trình có ba nghiệm là x = −2 ∨ x = 0 ∨ x = 1 . n ( ( ) ) Nhận xét: Vấn đề của bài toán là nhận ra
1 + 2 , (n ∈ Z) với n = 1 ⇒ 1 + 2 , ( ) ( ) với n = 2 ⇒ 3 + 2 2 , với n = 3 ⇒ 7 + 5 2 . Theo kinh nghiệm
của tôi, nếu chúng ta gặp phương trình mũ có nhiều cơ số dạng số vô tỉ (chứa căn) và không phải là cặp
nghịch đảo của nhau (a.b = 1) thì ta nên sử X ( dụng máy tính bỏ túi để tìm, chẳng hạn như 1 + 2 ) và
lúc đó, tôi sẽ CALC những số nguyên X ∈ » như 2, 3, 4, … rồi sử dụng công thức c (a ) b Thí dụ 34.
Giải phương trình: 4 b ( ) = a bc = a c x −2 để nhận ra ẩn số phụ. + 16 = 10.2 (∗) x −2 Đại học Hàng
Hải năm 1998 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 . t = 2 x−2 > 0 ∗) ⇔ 2 (
t − 10t + 16 = 0 t = 2 x−2 > 0 ⇔ ⇔ t = 8 ∨ t = 2 2 2 x−2 x−2
x −2 = 3 ⇔ ⇔ x −2 = 1 =2 =8 x = 11 x = 3 . ● So với tập xác định, phương trình
có hai nghiệm : x = 3 ∨ x = 11 . Thí dụ 35. (∗) Giải phương trình: 22x+2 + 3.2x − 1 = 0 Đại học Thủy
Sản năm 1997 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . 2 (∗) ⇔ 4.(2x ) ⇔ 2x = t = 2 x > 0
t = 2 x > 0 −3 + 17 x + 3.2 − 1 = 0 ⇔ 2 ⇔ t = 4.t + 3t − 1 = 0 4
t = −3 − 17 4 17 − 3 17 − 3 ⇔ x = log2 = log2 4 4 ● Vậy nghiệm phương trình là: x
= log2 Thí dụ 36. Giải phương trình: 9x 2 + x−1 ( ( (L) ) 17 − 3 − 2 . ) 17 − 3 − 2 . 2 (∗) − 10.3x +x−2
+ 1 = 0 Dự bị 2 – Đại học khối B năm 2006 Bài giải tham khảo www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 28 -
31. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn ● Tập
xác định: D = » . ( ) − 10 .3x2 + x−1 + 1 = 0 2 x2 + x −1 (∗) ⇔ 3 3 t = 3x2 + x −1 > 0 ⇔
⇔ 3t2 − 10t + 3 = 0 x2 + x − 1 = 1 ⇔ 2 ⇔ x + x − 1 = −1 x2 + x −1 = 3 =
31 t = 3 1 x2 + x −1 = = 3−1 t = 3 3 x = 1 ∨ x = −2 . x = 0 ∨ x = −1 ● Vậy
phương trình có 4 nghiệm là x = −2 ∨ x = −1 ∨ x = 0 ∨ x = 1 . 2 Thí dụ 37. 1 1 x 1 x Giải
phương trình: + 3. 3 3 +1 (∗) = 12 Học Viện Chính Trị
Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh – Ban khoa học xã hội năm 2000 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x ≠ 0 . 1
1 1 1 x t = 3 1 2. x 1 x (∗) ⇔ 3 + 3 −
12 = 0 ⇔ t = 3 > 0 ⇔ t = −4 2 t + t − 12 = 0
(N ) (L ) 1 1 x 1 ⇔ = 3 ⇔ = log 1 3 = −1 ⇔ x = −1 . 3 x 3 ● So với
điều kiện, nghiệm của phương trình là x = −1 . Thí dụ 38. (∗) Giải phương trình: 32x+5 − 36.3x+1 + 9 =
0 Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Công Nghiệp khối A năm 2004 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » .
(∗) ⇔ 27.32(x +1) − 36.3x +1 + 9 = 0 t = 3x +1 > 0 x +1 3x +1 = 1 x = −1 >0 t
= 3 ⇔ 2 ⇔ ⇔ x +1 ⇔ . 27t − 36t + 9 = 0 t = 1 ∨ t = 1 = 3−1 3 x = −2
3 ● Vậy phương trình có hai nghiệm x = −2 và x = −1 . Thí dụ 39. Giải phương trình:
5x +1 − 52−x = 124 Bài giải tham khảo ● Tập xác định : D = » . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 29
- (∗)
32. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn t =
5x > 0 t = 5 x > 0 x ⇔ 2 (∗) ⇔ 5.5 − x − 124 = 0 ⇔ 25 5 5t − − 124 =
0 5t − 124t − 25 = 0 t 25 x t = 5 = 25 (N) ⇔ ⇔ x = 2. t = 5x = − 1 L ( ) 5
● Vậy phương trình có một nghiệm là x = 2 . Thí dụ 40. Giải phương trình: 5 x − 51− x (∗) +4=0 Bài
giải tham khảo ● Điều kiện: x ≥ 0 . (∗) ⇔ 5 x 5 − 5 x +4=0 x x t = 5 > 0 t = 5 >
0 ⇔ ⇔ 2 ⇔ t − 5 + 4 = 0 t + 4t − 5 = 0 t ⇔5 x t = 5 t = 5 x
=1 x = −5 ( N) (L) = 50 ⇔ x = 0 ⇔ x = 0 . ● Vậy phương trình có một nghiệm x = 0 . Thí dụ 41. (∗)
Giải phương trình: 32−2x − 2.32−x − 27 = 0 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . (∗) ⇔ 3 ( 2
1−x ) ( ⇔ 31−x − 2.3.31−x − 27 = 0 2 ) − 6.31−x − 27 = 0 1− x t = 31−x = −3 L >0 ( ) ⇔ 1 −
x = 2 ⇔ x = −1 . t = 3 ⇔ 2 ⇔ 1− x t − 6t − 27 = 0 = 9 (N ) t = 3 ● Vậy
phương trình có một nghiệm là x = −1 . Thí dụ 42. Giải phương trình: 4 x− x2 −5 − 12.2x−1− x2 −5
+8=0 (∗) Cao đẳng Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh năm 2002 Bài giải tham khảo x ≤ − 5 ● Điều kiện: x
− 5 ≥ 0 ⇔ . x ≥ 5 2 (∗) ⇔ 2x− 2 x 2 −5 x− − 6.2 x 2 −5 +8=0
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 30 -
33. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit 2 t = 2 x − x −5
> 0 ⇔ ⇔ t2 − 6.t + 8 = 0 2 x − x − 5 = 1 ⇔ ⇔ x − x2 − 5 = 2 x− 2
x− 2 x 2 −5 2 x −5 Ths. Lê Văn Đoàn =2 =4 2 x − 5 = x −1 x2 − 5 = x − 2
x ≥ 1 x − 1 ≥ 0 x = 3 2 2 x = 3 x − 5 = (x − 1)
. ⇔ ⇔ x ≥ 2 ⇔ x = 9 x − 2 ≥ 0 4 2 9 2 x =
x − 5 = (x − 2) 4 ● Kết hợp với điều kiện, phương trình có hai nghiệm là x =
Thí dụ 43. 2 Giải phương trình: 2x 2 −x − 22+ x−x = 3 9 ∨ x = 3. 4 (∗) Đại học khối D năm 2003 Bài
giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . (∗) ⇔ 2 x 2 −x ( − x 2 −x − 4.2 1 2 ⇔ 2x −x − 4. 2 2 x −x )
−3 = 0 −3 = 0 t = 2x2 −x > 0 ⇔ 1 t − 4. − 3 = 0 t 2 t = 2 x − x > 0
⇔ 2 ⇔ t − 3t − 4 = 0 x2 − x = −1 (L) t = 2 ⇔ x2 − x = 2 ⇔ x2 − x 2 t = 2 =4=2
● Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1 ∨ x = 2 . Thí dụ 44. Giải phương trình: 9sin 2 x 2 + 9cos
x =6 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . Cách giải 1. Đặt ẩn phụ với 1 ẩn. 1−cos2 x (1) ⇔ 9 ⇔
9 9 cos2 x 2 + 9cos 2 x =6 + 9cos x − 6 = 0 (2) 2 ● Đặt : t = 9cos x , (1 ≤ t ≤ 9)
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 31 - (1) x = −1 . x = 2
34. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit (2) ⇔ Ths. Lê Văn
Đoàn 9 + t−6 = 0 t ⇔ t2 − 6t + 9 = 0 2 ⇔ t = 3 ⇔ 9cos 2 ⇔ 32 cos x x =3 = 31 ⇔ 2 cos2 x − 1 = 0
⇔ cos 2x = 0 ⇔ x = π kπ + , (k ∈ » ) . 4 2 Cách giải 2. Đặt ẩn phụ với 2 ẩn dẫn đến hệ phương trình.
u = 9sin2 x ● Đặt: , (1 ≤ u, v ≤ 9) . 2 v = 9cos x u + v = 6 (1) ⇔ u.v =
9sin2 x.9cos2 x = 9sin2 x+cos2 x = 9 ⇔u=v=3 ⇔ 9sin 2 2 x = 9cos 2 ⇔ 32 cos x x =3
= 31 ⇔ 2 cos2 x − 1 = 0 ⇔ cos 2x = 0 ⇔ x = π kπ + , (k ∈ » ) . 4 2 Cách giải 3. Phương pháp ước
lượng hai vế (dùng bất đẳng thức Cauchy). 2 ● Ta có: 9sin ● x 2 + 9cos Cauchy x 2 2 ≥ 2 9sin x.9cos 2
Dấu " = " xảy ra khi: 9sin x 2 = 9cos x x = 2. 9 = 6 . ⇔ cos 2x = 0 ⇔ x = 1 Thí dụ 45. Giải phương
trình: 4 cot2 x +2 sin2 x −3 = 0 (∗) Bài giải tham khảo ● Điều kiện: sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ, (k ∈ ») . (∗)
⇔ 4 cot2 x + 2.2 cot2 x 1 − 3 = 0 do : 1 + cot2 x = 2 sin x cot2 x ≥1
t = 2 ⇔ 2 t + 2t − 3 = 0 t = 2cot2 x ≥ 1 ⇔ t = 1 ∨ t = −3
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 32 - π kπ + , (k ∈ » ) . 4 2
35. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit 2 ⇔ 2cot x www.MATHVN.com Ths. Lê Văn
Đoàn =1 ⇔ cot2 x = 0 ⇔ cot x = 0 ⇔ x = π + kπ, (k ∈ ») . 2 ● So với điều kiện, phương trình có một
tập nghiệm: x = Thí dụ 46. Giải phương trình: 41−2 sin 2 x 2 + 9.4−2 cos x π + kπ, (k ∈ ») . 2 (1) =5
Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . (1) ⇔ 4 −1+2 cos2 x 2 ⇔ 42 cos 4 2 + 9.4−2 cos x − 5 = 0
x + 9 4 2 cos2 x −5 = 0 t = 42 cos2 x , 1 ≤ t ≤ 16 ( ) ⇔ t 9 + −5 = 0 4 t t =
42 cos2 x ⇔ 2 t − 20t + 36 = 0 t = 42 cos2 x , 1 ≤ t ≤ 16 ( ) ⇔ t = 18 (L)
∨ t = 2 (N) 2 ⇔ 42 cos Thí dụ 47. x = 2 ⇔ 2 cos2 x = 1 1 π ⇔ cos x = ± ⇔ x = ± + kπ , (k
∈ ») . 2 2 3 Giải phương trình: 33+3x + 33−3x + 34+x + 34−x = 103 (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác
định: D = » . (∗) ⇔ 27.3 3x + 27 81 + 81.3x + x = 103 3x 3 3 1 1 ⇔ 27. 33x + 3x
+ 81. 3x + x = 103 3 3 ● Đặt t = 3x + (1) 1 Cauchy 1 ≥ 2 3 x. x = 2
. x 3 3 3 1 1 1 1 1 ⇒ t = 3x + x = 33x + 3.32x. x + 3.3x. 2x + 3x ⇒ 33x + 3x = t3 − 3t .
3 3 3 3 3 3 (1) ⇔ 27 (t 3 ) − 3t + 81t = 103 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 33 -
36. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit ⇔ t3 = Ths. Lê Văn
Đoàn 103 27 ⇔ t = 3x + 1 10 = >2 x 3 3 y = 3x > 0 ⇔ 2 ⇔ 3y − 10y + 3 = 0 (N )
y = 3x = 3 ⇔ x = ±1 . y = 3x = 1 3 ● Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1 ∨ x = 1 .
Thí dụ 48. 3 Giải phương trình: 27 x − 271−x − 16 3x − x + 6 = 0 3 (∗) Đề
thi thử Đại học lần 1 năm 2013 – THPT Trần Phú – Hà Tĩnh Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » .
(∗) ⇔ 27 x − 27 3 − 16 3x − x + 6 = 0 x 27 3 ● Đặt t = 3x − (1) ⇔ t 3 (1)
3 3 27 ⇒ t3 = 3x − x ⇒ 27 x − x = t3 + 9t . x 3 3 27 − 7t + 6 = 0 ⇔ t = 1
∨ t = 2 ∨ t = −3 . ● V ới t = 1 ⇒ 3 x − 3 1 + 13 1 + 13 = 1 ⇔ 3x = ⇔ x = log 3 . x 2 2 3 ● V ới t = 2
⇒ 3 x − 3 = 2 ⇔ 3x = 3 ⇔ x = 1 . 3x ● Với t = −3 ⇒ 3x − 3 = −3 ⇔ 3 x = x 3 21 − 3 21 − 3 ⇔ x =
log 3 . 2 2 ● Vậy phương trình có ba nghiệm: x = 1 ∨ x = log 3 Thí dụ 49. 1 Giải phương trình: 23x −
6.2 x − 2 3(x−1) + 12 =1 2x 21 − 3 1 + 13 ∨ x = log 3 . 2 2 (1) Đại học Y Hà Nội năm 2000 Bài giải
tham khảo ● Tập xác định: D = » . (1) ⇔ 2 3x − 6.2 x − 8 12 + x −1 = 0 3x 2 2
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 34 -
37. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit ⇔ 2x
8 2 − − 6 2x − x − 1 = 0 3 x 2 2 3 ( ) 3 ( ) ⇒ t3 = 2x (∗) ( ) ●
Đặt t = 2x − Ths. Lê Văn Đoàn 2 . 2x 2 ( ) − 3. 2 x . 2 4 + 3.2x. x 2 2x 2 ( ) − 8 3 (2 ) x 3 ( ) ⇒ 2x − 8
3 (2 ) x = t3 + 6t . t3 + 6t − 6t = 1 (∗) ⇔ x 2 t = 2 − 2x t = 1 x
2 = −1 (L) ⇔ x = 1 . ⇔ ⇔ x 2 x t = 2 − 2 = 2 2x ● Vậy nghiệm phương
trình là x = 1 . Thí dụ 50. ( ) Giải phương trình: log5 5x − 4 = 1 − x (∗) Dự bị 2 – Đại học khối D năm
2003 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: 5x − 4 > 0 . Cách giải 1. Đặt ẩn phụ. (∗) ⇔ 5 x − 4 = 51−x ⇔ 5x
− 5. 1 −4 = 0 5x t = 5x > 0 t = 5 x = −1 ⇔ 2 ⇔ ⇔ x = 1. x t − 4t − 5 = 0 t = 5
= 5 ● Kết hợp với điều kiện, phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 . Cách giải 2. Sử dụng tính đơn điệu
của hàm số. ● Nhận thấy x = 1 là một nghiệm của phương trình (∗) . ( ) ● Hàm số f (x) = log5 5x − 4 :
là hàm số đồng biến. ● Hàm số g (x) = 1 − x : là hàm số nghịch biến. ● Do đó , x = 1 là nghiệm duy nhất
của phương trình (∗) . Thí dụ 51. ( ) Giải phương trình: x + log2 9 − 2x = 3 (∗) Đại học Huế khối A, B
– Hệ chuyên ban năm 2000 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: 9 − 2x > 0 . www.DeThiThuDaiHoc.com
Page - 35 -
38. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn (∗)
⇔ log (9 − 2 ) = 3 − x x 2 ⇔ 9 − 2x = 23−x ⇔ 2x + 8 −9 = 0 2x t2 − 9t + 8 = 0 2 x = 1 t = 1 ∨
t = 8 x = 0 ⇔ ⇔ ⇔ x ⇔ . x t = 2 x > 0 t = 2 > 0 2 =8 x = 3
● So với điều kiện, nghiệm của phương trình là: x = 0 ∨ x = 3 . Thí dụ 52. Giải phương
trình: log x log3 9x − 6 ) = 1 ( (∗) Đại học Dân Lập Đông Đô khối A, V năm 2001 Bài giải
tham khảo 0 < x ≠ 1 ● Điều kiện: log 3 9x − 6 > 0 . x 9 − 6 > 0 ( (∗) ⇔
log (9 3 x ) ) −6 = x ⇔ 9x − 6 = 3x x x t = 3 > 0 t = 3 = 3 (N) ⇔ x = 1 . ⇔ 2 ⇔ t
− t − 6 = 0 t = 3 x = − 2 (L ) ● So với điều kiện, nghiệm x = 1 không thỏa. Vậy phương
trình vô nghiệm. Thí dụ 53. ( ) (∗) Giải phương trình: log 3 9x+1 − 4.3x − 2 = 2x + 1 Đại học Dân Lập
Phương Đông năm 2001 Bài giải tham khảo ● Điều kiện : 9 x +1 − 4.3 x − 2 > 0 . (∗) ⇔ 9 x +1 − 4.3x
− 2 = 32x+1 ⇔ 9.32x − 3.32x − 4.3x − 2 = 0 ⇔ 6.32x − 4.3 x − 2 = 0 x t = 3 > 0 ⇔ 2 ⇔
6t − 4t − 2 = 0 x t = 2 = 1 t = 2x = − 1 3 (N) ⇔ x = 0. L) ( ● Thay x = 0 vào
điều kiện, điều kiện thỏa. Vậy nghiệm phương trình là x = 0 . Thí dụ 54. Giải phương trình: 5.32x−1 −
7.3x−1 + 1 − 6.3x + 9x +1 = 0 (1) Đại học Hồng Đức khối A năm 2001 Bài giải tham khảo
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 36 -
39. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit (1) ⇔ ⇔ ( 1 − 6.3x +
3.3x 2 (1 − 3.3 ) x ⇔ 1 − 3.3x = = 2 ) = 7 x 5 x .3 − . 3 3 3 Ths. Lê Văn Đoàn 2 ( ) 7 x 5 x .3 − . 3 3 3
2 ( ) 7 x 5 x .3 − . 3 3 3 2 ( ) (2) ● Đặt t = 3 x > 0 7 5 (2) ⇔ 1 − 3t = 3 t − 3 t 2 7 7 5 2
0 ≤ t ≤ t− t ≥ 0 7 0 ≤ t ≤ 3 5 3 5 1 7 5 2 2 ⇔ 1 − 3t = t −
t ⇔ 5t − 16t + 3 = 0 ⇔ t = ∨ t=3 5 3 3 2 5t − 2t − 3 = 0 3
1 − 3t = 5 t2 − 7 t t = 1 ∨ t = − 5 3 3 x 1 3 = t =
1 x = log 1 3 ⇔ 5 ⇔ 5 ⇔ 5. x t=1 x=0 3 = 1 ● Vậy phương trình có hai
nghiệm là x = 0 ∨ x = log3 Thí dụ 55. Giải bất phương trình: 2x + 23−x ≤ 9 1 . 5 (1) Đại học Kỹ Thuật
Công Nghệ năm 1998 Bài giải tham khảo (1) ⇔ 2 x + 8 −9 ≤ 0 2x x t = 2 > 0 ⇔ 2 t − 9t + 8
≤ 0 t = 2x > 0 ⇔ 1 ≤ t ≤ 8 ⇔ 1 ≤ 2x ≤ 8 ⇔ 0 ≤ x ≤ 3. ● Vậy tập nghiệm
của bất phương trình là x ∈ 0; 3 . 2 Thí dụ 56. Giải phương trình: 9 x2 −2x 1 2x−x −
2 ≤3 3 (1) Dự bị 2 – Đại học khối D năm 2005 Bài giải tham khảo
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 37 -
40. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit (1) ⇔ 9 x2 −2x ( 2 2 −
2.3x −2x − 3 ≤ 0 ⇔ 3x −2x 2 ) − 2.3 x2 −2x −3 ≤ 0 (2) 2 ● Đặt: t = 3x −2x > 0 . t > 0 (2) ⇔ t
2 − 2t − 3 ≤ 0 t > 0 ⇔ −1 ≤ t ≤ 3 ⇔ 0 < t ≤ 3. 2 ● Với 0 < t ≤ 3 ⇒ 0 <
3x −2x ≤ 3 ⇔ x2 − 2x ≤ 1 ⇔ x ∈ 1 − 2; 1 + 2 . ● Vậy tập nghiệm của bất phương trình
là x ∈ 1 − 2; 1 + 2 . Thí dụ 57. 1 1 > 3 − 1 1 − 3x−1 Giải bất phương trình: x (1) Bài giải
tham khảo 3 x − 1 ≠ 0 3x ≠ 1 x ≠ 0 ● Điều kiện: ⇔ x−1 ⇔ 1 − 3x−1 ≠ 0
3 ≠ 1 x ≠ 1 (1) ⇔ 3 ⇔ x 1 1 − >0 − 1 1 − 3x−1 1 − 3x−1 − 3x + 1 (3 x )( − 1
1 − 3x−1 ) >0 3x − 3x 3 ⇔ >0 x x 1 − 3 3 −1 3 2− ( (2) ) ● Đặt t = 3 x >
0 . t > 0 t > 0 4 2− t 3 ⇔ t− (2) ⇔ 3 >0 2 >0 t
(t − 1) 1 − (t − 1)(4 − t) 3
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 38 - Ths. Lê Văn Đoàn
41. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn
0 < x < log 3 1 < 3x < 3 1 < t < 3 3 2 . ⇔ 2 ⇔ 2 ⇔
t>4 4 < 3x x > log 3 4 ● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ 0; log 3
Thí dụ 58. x Giải bất phương trình: 2 − 21− x 3 ∪ (log 3 4; +∞) . 2 (1) <1 Bài giải tham
khảo ● Điều kiện: x ≥ 0 . (1) ⇔ 2 x − 2 2 (2) <1 x ● Đặt t = 2 x . Do x ≥ 0 ⇒ t ≥ 1 . t ≥ 1 t
≥ 1 2) ⇔ ⇔ 2 ( 2 t − < 1 t − t − 2 < 0 t ⇔1≤ t<2 ⇔1≤2 x < 2 ⇔ 0 ≤
x < 1. ● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ 0;1) . Thí dụ 59. Giải bất phương trình: 3.9 x
2 −2x −x − 49.3 x 2 −2x −x −1 ≤6 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x2 − 2x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0 ∨ x ≥ 2 . x2
−2x −x (1) ⇔ 3.9 ● Đặt t = 3 − 7.3 x2 −2x −x x2 −2x −x ≤6 (2) > 0. t > 0 (2) ⇔ 3t
2 − 7t − 6 ≤ 0 t > 0 ⇔ 2 − ≤ t ≤ 3 3 ⇔ t≤3 ⇔ 3 x2 −2x −x ≤3 ⇔ x 2 − 2x
− x ≤ 1 ⇔ x 2 − 2x ≤ x + 1 2 x ≤ 0 ∨ x ≥ 2 x − 2x ≥ 0 1 − ≤ x ≤ 0 x +
1 ≥ 0 x ≥ − 1 ⇔ ⇔ ⇔ 4 . 4 2 2 x≥2 x − 2x ≤ (x + 1) x ≥ −1
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 39 - (1)
42. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn 1
● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ − ; 0 ∪ 2; +∞) . 4
Thí dụ 60. Giải bất phương trình: 25 x +5<5 x +1 +5 x (∗) Đại học Dân Lập Ngoại Ngữ – Tin Học năm
1998 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x ≥ 0 ⇒ Tập xác định: D = 0; +∞) . (∗) ⇔ (5 x 2 ) − 6.5 x
+5<0 x t = 5 > 0 ⇔ 2 t − 6t + 5 < 0 t = 5 x > 0 ⇔ 1 < t < 5
⇔1< t<5 ⇔1<5 x <5 ⇔ 0 < x <1 ⇔ 0 < x < 1. ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương
trình là x ∈ (0;1) . Thí dụ 61. 8 + 21+x − 4 x + 21+x > 5 Giải bất phương trình: (1) Cao đẳng Giao
Thông năm 2004 Bài giải tham khảo (1) ⇔ 2 ( ) 8 + 2.2 x − 2x > 5 − 2.2x t = 2 x > 0 ⇔
8 + 2t − t2 > 5 − 2.t t > 0 t > 0 5 − 2t < 0 ⇔ ∨ 5 − 2t ≥ 0
2 2 2 8 + 2t − t ≥ 0 8 + 2t − t > (5 − 2t) t > 0 t > 0
5 5 ⇔ t > ∨ t ≤ 2 2 −2 ≤ t ≤ 4 1 < t < 17 5
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 40 -
43. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit ⇔ Ths. Lê Văn Đoàn 5
5 < t≤4 ∨ 1< t≤ 2 2 ⇔1< t≤4 ⇔ 1 < 2x ≤ 4 ⇔ 20 < 2x ≤ 22 ⇔ 0<x ≤2 ● Vậy tập nghiệm của bất
phương trình là x ∈ (0;2 . Thí dụ 62. ( 2 )( 2 ) ( Giải phương trình: 2x − 2 < 2x + 2 1 − 2x − 1 )
(∗) Bài giải tham khảo ● Điều kiện: 2x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 0 . ● Đặt: t = 2x − 1, (t ≥ 0) ⇒ t2 = 2 x − 1 ⇒ 2
x = t2 + 1 . (∗) ⇔ (t 2 ( 2 ) ( 2 ) + 1 − 2 < t2 + 1 + 2 (1 − t) 2 ) ( 2 ) ⇔ t2 − 1 < t2 + 3 (t − 1) 2 ( ) 2
( ) 2 ⇔ (t − 1)(t + 1) − t2 + 3 (t − 1) < 0 2 2 ⇔ (t − 1) (t + 1) − t2 + 3 (t − 1) < 0 2 2
2 ⇔ (t − 1) (t + 1) − (t + 3) < 0 2 ⇔ (t − 1) (2t − 2) < 0 3 ⇔ 2 (t − 1) < 0 ⇔ t < 1 . ●
V ới t < 1 ⇒ 2 x − 1 < 1 ⇔ 2 x < 2 ⇔ x < 1 . ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình
là x ∈ 0;1) . Thí dụ 63. x ( Giải phương trình: 9 3 + 11 2 ) x ( +2 5+2 6 ) −2 ( x 3− 2 ) (∗) <1 Bài
giải tham khảo x x 3 9 3 + 11 2 = 3 + 2 = 3 + 2 x 2
x 2 x ● Nhận thấy rằng: 5 + 2 6 = 3 + 2 = 3 + 2 x
x 3+ 2 3− 2 = 3+ 2 3− ( ( ( ) ( ) ( )( ) ) ) ( www.DeThiThuDaiHoc.com
Page - 41 - ( ( x ) 3 ) )( . x 2 =1 )
44. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit ● Đặt t = x ( 3+ 2 ) >0⇒
( x 3− 2 ) = 1 . t 3 t + 2t2 − 2 1 < 1 t (∗) ⇔ x t = 3 + 2 > 0 ( ) t4 + 2t3 −
t − 2 < 1 x ⇔ t = 3 + 2 > 0 ( ) (t − 1)(t + 2) t2 + t + 1 < 0 ⇔ x t = 3
+ 2 > 0 ( ( ) ) −2 < t < 1 ⇔ t = 3 + 2 ( x ) >0 ⇔ 0< t<1 x ( ⇔ 2+ 3 )
<1 ⇔ x < 0. ● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (−∞; 0) . Thí dụ 64. Giải phương trình: 5 x
+ 2.5x 52x − 4 >3 5 (∗) Bài giải tham khảo ● Điều kiện: 52x − 4 > 0 ⇔ 2x > log5 4 ⇔ x > log5 2 . ●
Đặt u = 5 x > 0 . (∗) ⇔ u + ⇔ u2 + ⇔ 2u u2 − 4 >3 5 4u2 4u2 + > 45 u2 − 4 u2 − 4 u2 u2 + 4. > 45
u2 − 4 u2 − 4 u2 t = >0 ⇔ u2 − 4 2 t + 4t − 45 > 0
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 42 - Ths. Lê Văn Đoàn
45. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
u2 t = >0 ⇔ u2 − 4 t > 5 ⇔ u2 u2 − 4 >5 ⇔ u2 > 5 u2 − 4 ⇔ u 4 − 25u2 + 100
> 0 ⇔ u 2 > 20 ∨ u 2 < 5 ⇔ u > 20 ∨ u < 5 ⇔ 5x > 20 ∨ 5x < 5 ⇔ x > log5 20 ∨ x < 1 . 2 1
● So với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là x ∈ log5 2; ∪ log5 20; +∞ . 2 ( ) f
(x ) 2.f x 2.f x Các thí dụ về đặt ẩn phụ dạng 2: α.a ( ) + β. (a.b ) + λ.b ( ) = 0 . Chia hai vế cho b
→ PP Thí dụ 65. 2.f (x ) a f (x ) > 0 (chia cơ số lớn hoặc nhỏ nhất). , rồi đặt ẩn phụ t =
b (∗) Giải phương trình: 8 x + 18 x = 2.27 x Cao đẳng Sư Phạm Quãng Ngãi năm 2006 Bài giải
tham khảo ● Tập xác định: D = » . 2x 3x 3 3 (∗) ⇔ 1 + 2 = 2. 2
x x 3 x >0 3 > 0 3 t = t =
= 1 ⇔ x = 0. 2 2 ⇔ ⇔ ⇔ t= 3 2 3 2 2 2t − t
− 1 = 0 2t − t − 1 = 0 ● Vậy phương trình có một nghiệm là x = 0 . Thí dụ 66. (∗)
Giải phương trình: 6.4 x − 13.6x + 6.9x = 0 Đại học Dân Lập Bình Dương năm 2001 Bài giải tham khảo
● Tập xác định: D = » . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 43 -
46. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit x Ths. Lê Văn Đoàn 2x
3 3 (∗) ⇔ 6 − 13. 2 + 6. 2 = 0 x
3 > 0 t = 2 ⇔ ⇔ 2 6.t − 13t + 6 = 0 x 2 3
= 3 2 ⇔ x = ±1 . x 3 3 = 2 2 ● Vậy phương trình
có hai nghiệm: x = −1 ∨ x = 1 . Thí dụ 67. (∗) Giải phương trình: 25x + 15x = 2.9x Đại học Dân Lập
Hải Phòng khối A năm 2000 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . 5 2x 5 x (∗)
⇔ 3 + 3 − 2 = 0 t = 1 t2 + t − 2 = 0 x t
= −2 5 x = 1 ⇔ x = 0. ⇔ ⇔ ⇔ x t = 5 > 0 3 5
>0 3 t = 3 ● Vậy nghiệm của
phương trình là x = 0 . Thí dụ 68. Giải phương trình: 1 x 2.4 + 1 x 6 = 1 x 9 (∗) Bài giải tham khảo ●
Điều kiện: x ≠ 0 . 1 1 4 x 6 x (∗) ⇔ 2. 9 + 9 − 1 = 0
2 1 x 2 x + 2 − 1 = 0 ⇔ 2. 3 3
x 2 x = −1 t = 3 t = 2 > 0
3 ⇔ ⇔ x 2 1 2t2 + t − 1 = 0 t = = 3 2
(L ) x 2 1 1 ⇔ = ⇔ x = log 2 . 3 2 2 3 ● So với điều kiện, nghiệm của
phương trình là x = log 2 3 Thí dụ 69. Giải phương trình: 9x + 6x = 22x +1 1 . 2 (∗)
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 44 -
47. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn Cao
đẳng Bán Công Hoa Sen khối D năm 2006 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . (∗) ⇔ 9 x + 6x −
2.4 x = 0 2x x 3 3 ⇔ + 2 2 x t =
3 > 0 x 3 2 = 1 ⇔ x = 0. − 2 = 0 ⇔ ⇔ 2
t = 1 t = −2 ( L ) ● Vậy nghiệm của phương trình là x = 0 . Thí dụ 70. (∗) Giải
phương trình: 3.8 x + 4.12x − 18 x − 2.27 x = 0 Đại học khối A năm 2006 Bài giải tham khảo ● Tập xác
định: D = » . 3 x 3 2x 3x − − 2. 3 = 0 (∗) ⇔ 3 + 4. 2
2 2 x 3 > 0 t = 2 ⇔ ⇔ 3 3
2t + t − 4t − 3 = 0 x 3 = 3 t = 2 2 ⇔ x = 1. x 3
t = 2 = − 1 ( L) ● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 1 . Thí
dụ 71. 2 Giải phương trình: 42x − 2.4 x 2 +x + 42x = 0 (∗) Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Công Nghiệp II
năm 2006 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . (∗) ⇔ 4 ( 2x2 −2x 2 ⇔ 4 x −x 2 − 2.4 x −x + 1
= 0 (chia hai vế cho 42x > 0 ) 2 ) − 2.4 x2 −x +1 = 0 t = 4 x2 −x > 0 2 ⇔ 2 ⇔ t = 4 x −x = 1
⇔ x 2 − x = 0 ⇔ t − 2t + 1 = 0 x = 0 . x = 1 ● Vậy phương trình có hai nghiệm: x
= 0 ∨ x = 2 . Thí dụ 72. Giải phương trình: 4 3 x + 5 +1 + 2.2 3 x +5 + x = 2.4 x (∗) Dự bị – Cao đẳng
Sư Phạm Hà Nam khối A năm 2006 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » .
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 45 -
48. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit (∗) ⇔ 4 3 3 x +5 +1 ⇔
4.2 3 2.2 x +5 +x −2 = 0 22x + 4x x +5 −x + 2.2 ( ⇔ 4.4 ) 2 3 Ths. Lê Văn Đoàn x +5 −x 3 x +5 −x +
2.2 3 −2 = 0 x +5 −x 2 3 x+5 −x = t > 0 ⇔ 2 ⇔ 4t + 2t − 2 = 0 −2 = 0 3 2
x+5−x = t = 1 = 2−1 2 3 x+5−x 2 = t = −1 (L) ⇔ 3 x + 5 − x = −1 ⇔ 3 x + 5 = x −1 ⇔ x +
5 = x 3 − 3x 2 + 3x − 1 . ⇔ x3 − 3x2 + 2x − 6 = 0 ⇔ x = 3 . ● Vậy phương trình có một nghiệm là x
= 3 . Thí dụ 73. 2 Giải phương trình: 22x +1 − 9.2x 2 +x + 22x +2 = 0 (∗) Đại học Thủy Lợi cơ sở II –
Hệ chưa phân ban năm 2000 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . 2x2 (∗) ⇔ 2.2 2 − 9.2 x +x +
4.22x = 0 2 2 ⇔ 2.22x −2x − 9.2x −x + 4 = 0 ⇔ 2.2 ( 2 x2 −x ) 2 − 9.2x −x + 4 = 0 x 2 −x >0
t = 2 ⇔ 2 ⇔ 2t − 9t + 4 = 0 x2 − x = 2 ⇔ 2 ⇔ x − x = −1 x 2 −x = 4 2
2 x 2 − x = 1 2 x = −1 . x = 2 ● Vậy phương trình có hai nghiệm là: x = −1 ∨ x =
2 . Thí dụ 74. Giải phương trình: 4 log2 2x −x log2 6 = 2.3 log2 4x2 (∗) Đại học Quốc Gia Tp. Hồ Chí
Minh khối A năm 2001 Bài giải tham khảo x > 0 ● Điều kiện: ⇔ x > 0 ⇒ Tập xác định: D = (0;
+∞) . x ≠ 0 (∗) ⇔ 4 1+ log2 x −6 log2 x −6 ⇔ 4.4 log2 x − 2.3 2 log2 2x =0 log2 x − 2.9
1+log2 x =0 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 46 -
49. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit ⇔ 4.4 log2 x −6 log2 x 3 ⇔ 4 −
2 log2 x − 18.9 log2 x www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn =0 2 log2 x 3
− 18. =0 2 18t2 + t − 4 = 0 log x ⇔ 2 t = 3
>0 2 log x 3 2 4 = t = 2 9 ⇔ log2 x
3 1 t = =− 2 2 (N ) (L ) ⇔ log2 x = −2 ⇔x= 1 . 4 ● Kết hợp với
điều kiện, nghiệm của phương trình là x = Thí dụ 75. Giải bất phương trình: 32x + 4 + 45.6x − 9.22x +2
≤ 0 1 . 4 (∗) Cao đẳng Cộng Đồng Hà Tây năm 2005 Bài giải tham khảo ● Tập xác định D = » . (∗) ⇔
81.9 x + 45.6x − 36.4 x ≤ 0 2x x 3 3 ⇔ 81. + 45. − 36 ≤ 0 2
2 x 3 >0 t = 2 ⇔ 2 81t + 45t − 36 ≤ 0 t
> 0 ⇔ −1 ≤ t ≤ 4 9 4 9 ⇔0<t≤ x 3 4 ⇔ 0< < 2 9 ⇔ x
≤ log 3 2 4 = −2 . 9 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 47 -
50. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn ● Vậy
tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (−∞; −2 . Thí dụ 76. (∗) Giải bất phương trình: 9 x −
10.6x + 6.4 x > 0 Đại học Dân Lập Văn Lang năm 1998 Bài giải tham khảo 2 x x 3 3
∗) ⇔ − 10. + 6 > 0 ( 2 2 x
t = 3 > 0 2 ⇔ 2 t − 10t + 6 > 0 t > 0 ⇔ t < 5 − 19 ∨ t
> 5 + 19 x x 3 3 ⇔ < 5 − 19 ∨ > 5 + 19 2 2
( ⇔ x < log 3 5 − 19 ) ( ) ∨ x > log 3 5 + 19 . 2 2 ● Vậy tập nghiệm cần tìm là
x ∈ −∞; log 3 5 − 19 ∪ log 3 5 + 19 ; +∞ . 2 2 ( 1 Thí dụ
77. 1 1 Giải phương trình: 9.25 x − 16.15 x ≥ 25.9 x ) (1) Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x ≠ 0 . 2 1 5
x 5 x (1) ⇔ 9. 3 − 16. 3 − 25 ≥ 0 (2) 1 5 x ●
Đặt t = > 0 . 3 t > 0 2) ⇔ 2 ( 9t − 16t − 25 ≥ 0 t > 0
t ≤ −1 25 ⇔ ⇔ t≥ 9 25 t≥ 9 www.DeThiThuDaiHoc.com Page -
48 - ( )
51. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit 1 www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn 2
5 x 25 5 ⇔ ≥ = 3 9 3 ⇔ 1 1 1 − 2x 1 ≥ 2 ⇔ −2 ≥
0 ⇔ ≥0⇔0<x≤ . x x x 2 1 ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là: x ∈ 0;
. 2 Thí dụ 78. Giải phương trình: 2x + 4.5x − 4 < 10x (1) Bài giải tham khảo (1) ⇔ 2 x −
10x + 4.5x − 4 < 0 ( ) ( ) ⇔ 2x 1 − 5x − 4 1 − 5x < 0 ( )( ) ⇔ 1 − 5x 2x − 4 < 0 1 − 5 x < 0
x 2 − 4 > 0 ⇔ ⇔ 1 − 5 x > 0 x 2 − 4 < 0 5x
x 2 x 5 2x >1 x > 2 ⇔ ⇔ x ∈ (−∞; 0) ∪ (2;
+∞) . <1 x < 0 <4 >4 ● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (−∞; 0) ∪ (2; +∞) . Thí dụ 79.
Giải bất phương trình: 8.3x + x +9 x +1 ≥ 9x (∗) Đề thi thử Đại học năm 2013 – THPT Hà Huy Tập –
Hà Tỉnh Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x ≥ 0 . (∗) ⇔ 8.3 x+ x ⇔ 8.3 x −x + 9.3 ( ) ⇔ 9.3 2 + 9.32 x
−x x ≥ 32x ( x −x + 8.3 x −x 2 ) ≥1 −1 ≥ 0 t = 3 x −x > 0 ⇔ 2 9t + 8t − 1 ≥ 0 t =
3 x −x > 0 ⇔ 1 t ≤ −1 ∨ t ≥ 9 ⇔ t=3 x −x ≥ 1 = 3−2 9 ⇔ x − x ≥ −2
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 49 -
52. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn ⇔ x
≥ x −2 x − 2 ≤ 0 x − 2 ≥ 0 ⇔ ∨ 2 x ≥ 0 x ≥ x − 4x + 4 x ≥ 2
⇔ 0≤x ≤2 ∨ 1 ≤ x ≤ 4 ⇔ 0≤ x ≤2 ∨ 2≤ x ≤4. ⇔ 0≤ x ≤ 4. ● Kết hợp với điều kiện, tập
nghiệm bất phương trình là x ∈ 0; 4 . Thí dụ 80. Giải bất phương trình: 2.3 x +4 x 4 +9 x+
1 2 ≥9 (1) x Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x ≥ 0 . x +4 x (1) ⇔ 2.3 ⇔ 2. 3 ⇔ 2.3 x +4 x 32 4 + 3.9
+ 3. x x− x ● Đặt t = 3 4 x 9 4 9 + 3.9 x− x 4 4 ≥9 x (chia hai vế cho 9 x ) x x ≥1 x− x (2) ≥1 > 0. t =
3 4 x − x > 0 2) ⇔ 2 ( 3t + 2t − 1 ≥ 0 ⇔ t≥ 4 1 ⇔ 3 x− 3 x ≥ 3−1 ⇔ 4 x − x ≥ −1
x − 4 x −1 ≤ 0 ⇔ ⇔ 4 x≤ 1+ 5 2 ⇔0≤x≤ 7+3 5 . 2 7 + 3 5 . ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm
của bất phương trình là x ∈ 0; 2 Thí dụ 81. Giải bất phương trình: 32x − 8.3x+ x +4 −
9.9 x +4 >0 (1) Đại học Sư Phạm Hà Nội khối B, D năm 2000 Bài giải tham khảo
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 50 -
53. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn ●
Điều kiện: x ≥ −4 . (1) ⇔ 3 ⇔ 2x − 8.3x+ 32x 3 − 8. 2 x +4 ( 2 x − x +4 ⇔3 ) ● Đặt t = 3x− x +4 −
9.9 3x+ x+4 3 2 x +4 − 8.3x− x +4 x+4 >0 (Chia hai vế cho 9 −9> 0 x +4 x +4 ) (2) −9 > 0 > 0. t = 3
x − x + 4 > 0 (2) ⇔ t2 − 8t − 9 > 0 ⇔ t>9 ⇔ 3 x− x +4 > 32 ⇔ x− x+4 >2 ⇔ x +4
< x +2 x > −2 x + 2 > 0 ⇔ ⇔ 2 ⇔ x > 0. 2 (x + 2) > x + 4 x + 3x > 0
● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (0; +∞) . Thí dụ 82. ( ) (∗)
Giải bất phương trình: log2 7.10x − 5.25x > 2x + 1 Đại học Thủy Sản năm 1999 Bài giải tham khảo x
10 5 5 ● Điều kiện: 7.10 − 5.25 > 0 ⇔ 7.10 > 5.25 ⇔ > ⇔ x < log 10 . 25 7 7
25 x (∗) ⇔ 7.10 x x x x − 5.25x > 22x +1 (Chia hai vế cho 4 x ) ⇔ 7.10 x − 5.25 x − 2.4 x > 0 2 x
x 5 − 5. 5 − 2 > 0 ⇔ 7. 2 2
x t = 5 > 0 2 ⇔ − 2 5t + 7t − 2 > 0 x
t = 5 > 0 2 ⇔ 2 < t<1 5
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 51 -
54. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn x 2
5 ⇔ < <1 5 2 ⇔ −1 < x < 0 . ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất
phương trình là: x ∈ (−1; 0) . Thí dụ 83. Giải bất phương trình: 4 x − 3.2x+ x 2 −2x −3 − 41+ x 2 −2x
−3 >0 (1) Cao đẳng khối A, B, D năm 2011 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x2 − 2x − 3 ≥ 0 ⇔ x ≤ −1 ∨
x ≥ 3 . (∗) ⇔ 2 2x − 3.2x.2 ⇔ 1 − 3.2 x2 −2x−3 x2 −2x−3 −x x2 −2x−3 − 4.22 x2 −2x−3 −x − 4.22
>0 >0 (chia hai vế cho 22x ) t = 2 x2 −2x−3 −x > 0 ⇔ 2 4t + 3t − 1 < 0 t = 2
x2 −2x−3 −x > 0 ⇔ −1 < t < 1 4 ⇔ 0<2 x2 −2x−3 −x < 1 4 ⇔ x 2 − 2x − 3 − x
< −2 ⇔ x 2 − 2x − 3 < x − 2 x − 2 > 0 2 7 ⇔ x − 2x − 3 ≥ 0 ⇔ 3≤x< . 2 2 x − 2x
− 3 < x 2 − 4x + 4 7 ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của phương trình là: x ∈ 3; .
2 Các thí dụ về đặt ẩn phụ dạng 3: a PP Đặt t = a → Thí dụ 84. f (x ) Giải phương trình:
( ⇒b f (x ) x f (x ) = f (x ) = c với a.b = 1 1 . t ) +( 2 −1 +b x ) 2 +1 −2 2 = 0 (∗) Đại học khối B năm
2007 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 52 -
55. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit ● Ta có: ( ● Đặt t = )( )
2 −1 ( 2 +1 = 1 ⇔ x ) 1 (∗) ⇔ t + t − 2 x )( ) 2 −1 x ( 2 +1 > 0 ⇒ x ( 2 +1 Ths. Lê Văn Đoàn = 1x =
1 . 1 = . t ) 2 −1 2 = 0 ⇔ t2 − 2 2 + 1 = 0 ( ( t = 2 + 1 ⇔ ⇔ t = 2 − 1 x )
2 + 1) x = 1 . ⇔ x = −1 = 2 −1 2 +1 = 2 +1 x ● Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1 ∨ x
= 1 . Thí dụ 85. x ( Giải phương trình: 2 + 3 x ) ( + 2− 3 ) (1) =4 Đại học Tổng Hợp Tp. HCM khối D
năm 1994 – Đại học Quốc Gia Tp. HCM năm 1996 Bài giải tham khảo ● Tập xác định D = » . ( )( ( ) x x
( ● Ta có : 2 + 3 . 2 − 3 = 1 ⇔ 2 + 3 ● Đặt t = 2 + 3 (1) ⇔ t + ) x ( > 0 ⇒ 2− 3 ) 1 = 4 ⇔ t2 − 4t + 1
= 0 ⇔ t = x ) ( . 2− 3 1 x (2 + 3 ) = ) = 1x = 1 . 1 > 0. t t = 2 + 3 > 0 N ( ) t = 2 − 3 > 0 ( N)
x ( ) ( ) ● Với t = 2 + 3 ⇒ 2 + 3 = 2 + 3 ⇔ x = 1. −x ● Với t = 2 − 3 ⇒ 2 − 3 = 2 − 3 ⇔ x = −1 . ●
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = −1 ∨ x = 1 . Thí dụ 86. 3 x x 5 + 2 6 + 3 5
− 2 6 = 10 Giải phương trình: (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định D
= » . ● Ta có: 3 5 + 2 6 3 5 − 2 6 = x 3 (5 + 2 6 )(5 −
2 6 ) = 1 . x x 1 ⇒ 3 5 + 2 6 . 3 5 − 2 6 = 1x = 1 ⇔ 3 5 − 2 6 = .
x 3 5−2 6
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 53 -
56. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit x Ths. Lê Văn Đoàn x
1 ● Đặt t = 3 5 + 2 6 > 0 ⇒ 3 5 − 2 6 = . t t = 5 + 2
6 > 0 N ( ) t = 5 − 2 6 > 0 (N ) (∗) ⇔ t + 1 − 10 = 0 ⇔ t2 − 10t + 1 = 0 ⇔ t x t =
3 5 + 2 6 = 5 + 2 6 x = 3 . ⇔ ⇔ x 3 x = −3
t = 5 + 2 6 = 5 − 2 6 ● Vậy phương trình có hai nghiệm x = −3 ∨ x = 3 . Thí dụ 87. x
( Giải phương trình: 5 − 21 ) x ( + 7 5 + 21 ) (∗) = 2x + 3 Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1997
Bài giải tham khảo ● Tập xác định D = » . ( )( ) x ( x ) ( ● Nhận xét: 5 + 21 . 5 − 21 = 4 ⇔ 5 + 21 . 5 −
21 x ( ● Đặt: t = 5 + 21 (∗) ⇔ ) ( ) = 4x . 4x > 0. t x > 0 ⇒ 5 − 21 ) = 4x + 7.t = 2x +3 t ⇔ 7t2 −
8.2x t + 4 x = 0 ( ∆ ' = 16.4 x − 7.4 x = 9.4 x = 3.2x x 2 ) x x t = 4.2 + 3.2 = 2x > 0 7 ⇒
2x t = >0 7 (N ) x x ( ● Với t = 2 ⇒ 5 + 21 ( =2 ⇔ x 2x 2 = ⇔
= 7 ⇔ x = log 2 7 . 5 + 21 7 5+ 21 ) 2x ● Vớ i t = ⇒ 5 +
21 7 x = 1 ⇔ x = 0. 5 + 21 2 x ) ● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 0 ∨ x =
log 2 5+ 21 Thí dụ 88. (N ) sin x ( Giải phương trình: 8 + 3 7 ) ( + 8−3 7
sin x ) = 16 Bài giải tham khảo ● Tập xác định D = » . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 54 - (∗) 7. .
57. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit ( )( ( ) ) sin x ( ● Ta có :
8 + 3 7 . 8 − 3 7 = 1 ⇔ 8 + 3 7 sin x ● Đặt t = 8 + 3 7 (∗) ⇔ t + sin x ( > 0 ⇒ 8−3 7 1 = 16 ⇔ t2 −
16t + 1 = 0 ⇔ t Ths. Lê Văn Đoàn ) = sin x ) . (8 − 3 7 ) 1 ⇒ 8−3 7 t ( = 1sin x = 1 . − sin x ) t = 8 +
3 7 > 0 N ( ) t = 8 − 3 7 > 0 (N) sin x ( ● Vớ i t = 8 + 3 7 ⇒ 8 + 3 7 ) = 8 + 3 7 ⇔ sin x = 1
⇔ x = − sin x ( ● Vớ i t = 8 − 3 7 ⇒ 8 − 3 7 ) = t. π + k2π, (k ∈ ») . 2 π = 8 − 3 7 ⇔ sin x = −1 ⇔ x
= − + lπ, (l ∈ ») . 2 ● Vậy phương trình có hai tập nghiệm: x = π π + k2π ∨ x = − + l π, (k, l ∈ ») . 2 2
f (x ) g (x ) f (x )+g (x ) =a a .a f (x ) g (x ) Các thí dụ về đặt ẩn phụ dạng 4: α.a + a f (x ) +
β.a +b =0 . f (x )−g (x ) =a g (x ) a f (x ) u = a đưa về phương trình tích số hoặc
phương trình thuần nhất hoặc hệ. Đặt → v = a g (x ) PP Thí dụ 89. 2 Giải phương
trình: 2x +x − 4.2x 2 −x − 22x + 4 = 0 (∗) Đại học khối D năm 2006 Bài giải tham khảo Cách giải 1. Đặt
hai ẩn phụ đưa về phương trình tích số 2 u = 2x2 +x > 0 2 u 2x +x ● Đặt ⇒ = 2x = 2 x −x .
2x v 2 v = 2 > 0 u (∗) ⇔ u − 4. v − v + 4 = 0 ⇔ uv − v2 − 4u + 4v = 0 ⇔ v ( u − v ) − 4
(u − v ) = 0 ⇔ (u − v )(v − 4) = 0 2x2 + x = 22x x 2 + x = 2x u = v x = 0 ⇔ ⇔ 2x
⇔ ⇔ . 2 = 4 2x = 2 v = 4 x = 1 Cách giải 2. Đưa về phương trình tích số
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 55 -
58. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com 2 2 (∗) ⇔ 2x .2x −
2x.2x − 4. 2x +4=0 2x x x2 2 2 − 2 = 0 ⇔ 2x 2x − 2x − 4 2x ( ) 2
4 ⇔ 2x − 2x 2x − x = 0 2 ( ) x x2 2 2 = 2 x = x ⇔ x = 0 . ⇔
x ⇔ x 4 4 = 4 x = 1 2 = x 2 Thí dụ 90. Giải phương trình: 25.2x − 10x + 5x = 25
(∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định D = » . (∗) ⇔ 25.2 x − 25 − 2x.5x + 5x = 0 ( ) ( ) ⇔ 25 2x − 1
− 5x 2x − 1 = 0 ( )( ) ⇔ 2x − 1 25 − 5 x = 0 2 x − 1 = 0 2 x = 1 x = 0 ⇔ ⇔ x ⇔
. x 25 − 5 = 0 5 = 25 x = 2 ● Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 0 ∨ x = 2 . Thí dụ 91.
(∗) Giải phương trình: 12.3x + 3.15x − 5x+1 = 20 Bài giải tham khảo ● Tập xác định D = » . (∗) ⇔ 3.3
(4 + 5 ) − 5 (5 x ( x )( x ) +4 =0 ) ⇔ 5x + 4 3.3 x − 5 = 0 5x + 4 = 0 : Vô nghiêm do 5x + 4 > 0, ∀x
∈ » ⇔ x 3.3 − 5 = 0 ⇔ 3x = 5 5 ⇔ x = log3 . 3 3 ● Vậy phương trình có một nghiệm: x =
log3 Thí dụ 92. Giải phương trình: 12.3x + 3.15x − 5x+1 = 20 5 . 3 (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác
định D = » . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 56 - Ths. Lê Văn Đoàn
59. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn Cách
1. Nghiệm của phương trình bậc hai (theo x) (∗) ⇔ 2x 2 ( ) − 3 1 − 4.3x .x − 6.3x + 1 = 0 ( ) ( ) ( x
x = 3 − 12.3 ⇒ 3 − 12.3 x x = + 12.3x − 1 x = 1 =1 4 2 ⇔ x − 12.3 + 1 3x
= 1 − x = 1 − 6.3x 6 6 4 2 ) ∆ = 9 1 − 8.3x + 16.9x − 8 −6.3x + 1 = 144.9x − 24.3 x + 1 = 12.3x −
1 (1) ● Ta có: x = −1 là một nghiệm của phương trình (1) Hàm số f (x ) = 3x đồng biến ∀x ∈ » . Hàm
số y = 1 x − nghịch biến ∀x ∈ » . 6 6 ⇒ x = −1 là nghiệm duy nhất của phương trình (1) ● Vậy phương
trình đã cho có hai nghiệm: x = −1 ∨ x = 1 . 2 Cách 2. Đưa về phương trình tích loại phân tích thành
nhân tử (∗) ⇔ 2x 2 − 3x + 1 + 6.3x. (2x − 1) = 0 1 ⇔ 2 (x − 1) x − + 6.3x. (2x − 1)
= 0 2 ( ⇔ (2x − 1) x − 1 + 6.3x ) x = 1 2 =0⇔ 3 x = 1 − x 6 6 (1) ● Ta có:
x = −1 là một nghiệm của phương trình (1) Hàm số f (x ) = 3x đồng biến ∀x ∈ » . Hàm số y = 1 x −
nghịch biến ∀x ∈ » . 6 6 ⇒ x = −1 là nghiệm duy nhất của phương trình (1) ● Vậy phương trình đã cho
có hai nghiệm: x = −1 ∨ x = Thí dụ 93. Giải phương trình : 4x2 + x.3 x + 31+x = 2x2 .3 x + 2x + 6 1 . 2
(∗) Học Viện Chính Trị Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh – Hệ chưa phân ban năm 2000 Bài giải tham khảo ●
Tập xác định: D = » . (∗) ⇔ (4x 2 ) ( ) ( ) − 2x 2 .3x + x.3 x − 2x + 3.3x − 6 = 0
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 57 -
60. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit ( ) ( ) ( Ths. Lê Văn
Đoàn ) ⇔ 2x2 2 − 3 x − x 2 − 3 x − 3 2 − 3x = 0 ( )( ) ⇔ 2 − 3x 2x 2 − x − 3 = 0 x 3 2 − 3 = 0
⇔ 2 ⇔ x = log 3 2 ∨ x = −1 ∨ x = . 2 2x − x − 3 = 0 ● Vậy phương trình có ba nghiệm là x =
−1 ∨ x = log3 2 ∨ x = Thí dụ 94. ( ) Giải phương trình: x 2 .5x−1 − 3x − 3.5x−1 x + 2.5x−1 − 3x = 0
Bài giải tham khảo ● Tập xác định D = » . Cách 1. Nghiệm của phương trình bậc hai (theo x) (∗) ⇔ 5
.x x 2 ( ) − 5.3x − 3.5x .x + 2.5x − 5.3x = 0 ( ∆ = 5.3 x − 3.5x 2 ) ( x = −1 3 ⇔ ⇒
x = −2 + 5. 5 ● ) ( − 4.5x. 2.5 x − 5.3 x = 5.3x − 5x x = −1 x x +2
3 = 5 5 2 ) (1) Phương trình (1) có một nghiệm là x = 1 . x 3 Hàm số f
(x ) = nghịch biến ∀x ∈ » . 5 Hàm số g (x ) = 1 2 x + đồng biến ∀x ∈ » . 5 5 ⇒
x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (1) ● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = −1 ∨ x =
1 . Cách 2. Đưa về phương trình tích loại phân tích thành nhân tử (∗) ⇔ (x 2 ) + 3x + 2 .5x − 5 (x +
1).3x = 0 x = −1 ⇔ (x + 1) (x + 2).5x − 5.3x = 0 ⇔ 3 x x +2 =
5 5 ● Phương trình (1) có một nghiệm là x = 1 . x 3 Hàm số f (x ) = nghịch
biến ∀x ∈ » . 5 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 58 - (1) 3 . 2 (∗)
61. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Hàm số g (x ) = Ths. Lê
Văn Đoàn 1 2 x + đồng biến ∀x ∈ » . 5 5 ⇒ x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (1) ● Thí dụ
95. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = −1 ∨ x = 1 . Giải phương trình: 5cos 2 x (∗) = sin x Bài
giải tham khảo ● ● Tập xác định D = » . 2 Ta có: cos2 x ≥ 0 ⇔ 5cos 5cos2 x ≥ 1 2 0 ≥ 5
⇔ 5cos x = sin x . sin x ≤ 1 x cos2 x = 1 cos2 x = 0 π 5 ⇒ ⇔ ⇔ x
= + kπ, sin x = 1 sin x = 1 2 ● Thí dụ 96. Vậy phương trình có một tập nghiệm: x
= Giải phương trình: sin1999 x + cos1999 x = 1 (k ∈ » ) . π + kπ, 2 (k ∈ » ) . (∗) Đại học Y Tp. Hồ
Chí Minh năm 1999 Bài giải tham khảo (∗) ⇔ 1 − sin 1999 x − cos1999 x = 0 ⇔ sin2 x + cos2 x −
sin2 x sin1997 x − cos2 x cos1997 x = 0 ( ) ( ) ⇔ sin 2 x 1 − sin1997 x + cos2 x 1 − cos1997 x = 0
sin2 x 1 − sin1997 x ≥ 0 ● Ta có: 2 cos x 1 − cos1997 x ≥ 0 ( ( ) ) (1) (2) sin2
x 1 − sin1997 x = 0 ● Từ (1), (2) ⇒ 2 cos x 1 − cos1997 x = 0 ( ( ) ) x = k2π
sin x = 0 cos x = 0 ⇔ ∨ ⇔ . x = π + k2π cos x = 1 sin x = 1
2 ● Vậy phương trình có hai tập nghiệm: x = k2π ∨ x = Thí dụ 97. Giải phương trình: 4 sin 2 x 2 +
4 cos x = 6 + cos 2x (1) Bài giải tham khảo ● Tập xác định D = » . www.DeThiThuDaiHoc.com Page -
59 - π + k2π . 2
62. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn ● Xét
hàm số: f (x ) = 6 + cos 2x . (2) Ta có: −1 ≤ cos 2x ≤ 1 ⇔ 5 ≤ 6 + cos 2x ≤ 7 2 ● Xét hàm số: g (x ) =
4 sin x 2 + 4 cos x 2 = 4 sin x ( 2 + 2 Đặt t = 4sin x , 0 ≤ sin2 x ≤ 1 ⇔ 40 ≤ 4sin Khi đó, g (x ) được
viết lại là g (t) = t + g ' (t) = 1 − 4 4 x sin2 x ) ≤ 41 Hay t ∈ 1; 4 . 4 , ∀t ∈ 1; 4 .
t t = −2 ∉ 1; 4 4 t2 − 4 . = . Cho g ' (t) = 0 ⇔ 2 2 1; 4 t = 2 ∈ t t
g (1) = 5 max g (t) = max g (x ) = 5 g 2 = 4 ⇒ 1;4 ⇒ ( ) .
min g (t) = min g (x ) = 4 g 4 = 5 1;4 ( ) Hay 4 ≤ 4sin 2 x 2 + 4
cos x ( 3) ≤5 2 sin2 x + 4 cos x = 6 + cos 2x 4 ● Từ (1), (2), (3) ⇒ 6 + cos 2x ≥ 5 2 2
sin x 4 + 4 cos x ≤ 5 cos 2x = −1 6 + cos 2x = 5 ⇔ sin2 x ⇔
sin2 x = 0 cos2 x 4 2 +4 =5 cos x = 1 ∨ π 2 cos x = 0 ⇔
x = + kπ , (k ∈ ») . 2 2 sin x = 1 ● Vậy phương trình đã cho có một tập nghiệm: x = Thí dụ
98. 4 x + 2x − 2 >0 4 x − 2x − 2 Giải bất phương trình: π + kπ , ( k ∈ » ) . 2 (∗) Cao đẳng Kinh Tế Đối
Ngoại khối A, D năm 2006 Bài giải tham khảo ● Tập xác định D = » . (2 (∗) ⇔ (2 x x )( + 1)(2 )>0⇔
2 2 − 2) + 2 2x − 1 x x x 2 x < 1 x < 0 > 0 ⇔ x ⇔ . −2 2 > 2 x > 1 −1 ● Vậy tập
nghiệm của bất phương trình là x ∈ (−∞; 0) ∪ (1; +∞) . Thí dụ 99. 2 2 2 Giải bất phương trình: 4x2 +
x.2x +1 + 3.2 x > x2 .2x + 8x + 12 (∗) Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Hải Dương năm 2002 Bài giải tham
khảo www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 60 -
63. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn ● Tập
xác định D = » . (∗) ⇔ 4x 2 2 2 2 + 2x.2x + 3.2x − x2 .2x − 8x − 12 > 0 ( ) ( ) ( ) ⇔ 2x (2 − 4) + 3
(2 − 4) − x (2 − 4) > 0 ⇔ (2 − 4)(2x + 3 − x ) > 0 ⇔ f (x ) = (2 − 4)(x 2 2 2 ⇔ 2x.2x − 8x + 3.2x −
12 + 4x2 − x2 .2x > 0 x2 x2 x2 x2 2 x2 2 2 ) (1) − 2x − 3 < 0 2x2 − 4 = 0 x = ± 2 x 2 = 2
● Cho 2 ⇔ ⇔ . x − 2x − 3 = 0 x = −1 ∨ x = 3 x = −1 ∨ x = 3
● Bảng xét dấu x −1 − 2 −∞ 2 2x − 4 x 2 − 2x − 3 + f ( x) 0 + + − − + 0 0 + 0 − − 0 3 2 + +∞ + −
0 0 + − 0 + ( ) ( ● Dựa vào bảng xét, tập nghiệm của bất phương trình là: x ∈ − 2; −1 ∪ Thí dụ 100. ( 2
) ) 2; 3 . (∗) Giải bất phương trình: 3x −4 + x 2 − 4 .3x−2 − 1 ≥ 0 Cao đẳng Sư Phạm Hà Nam khối A
năm 2006 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . (∗) ⇔ 3 x2 −4 ( ) (1) + x 2 − 4 .3x−2 ≥ 1 3x2
−4 ≥ 1 + 2 ● Nếu x ≥ 2 ⇒ 2 ⇔ 3x −4 + x 2 − 4 .3x−2 ≥ 1 x−2 x − 4 .3 ≥ 0 ( ( ) )
Do đó (1) luôn đúng với x ≥ 2 hay x ∈ (−∞; −2 ∪ 2; +∞) là tập nghiệm của bất phương
trình. 3x2 −4 < 1 ⊕ 2 ● Nếu x < 2 ⇒ 2 ⇔ 3x −4 + x 2 − 4 .3x−2 < 1 x−2 x − 4 .3 < 0
( ( ) ) Do đó (1) không có tập nghiệm (vô nghiệm) khi x < 2 . ● Vậy tập nghiệm của bất phương
trình là x ∈ (−∞; −2 ∪ 2; +∞) . Thí dụ 101. Giải phương trình: 4 x 2 −3x +2 + 4x 2 + 6x +
5 = 42x 2 + 3x + 7 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 61 -
+1 (∗)
64. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit 2 2 2 2 (∗) ⇔ 4x −3x
+2 + 42x +6x +5 = 4x −3x +2.42x +6x +5 + 1 Ths. Lê Văn Đoàn (1) u = 4 x2 −3x +2 > 0 ● Đặt
. v = 42x2 +6x +5 > 0 (1) ⇔ u + v = uv + 1 ⇔ (u − 1)(1 − v) = 0 ⇔ u =1 ∨ v =1 ⇔
4x 2 −3x +2 = 1 ∨ 42x 2 + 6x + 5 =1 ⇔ x2 − 3x + 2 = 0 ∨ 2x2 + 6x + 5 = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 2 ∨ x =
−1 ∨ x = −5 . ● Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm: x = ±1 ∨ x = 2 ∨ x = −5 . Thí dụ 102. Giải
phương trình: 4x 2 +x 2 (x +1) 2 + 21−x = 2 (∗) +1 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . (∗) ⇔
2 2x2 +2x ⇔ 22x 2 +2x 2 2 + 21−x = 2 x +2x+1 + 1 2 + 21−x − 2x 2 +2x +1 −1 = 0 (1) u = 22x2
+2x > 0 2 ● Đặt ⇔ u.v = 2x +2x+1 . 1−x2 v = 2 >0 (1) ⇔ u + v − uv − 1 = 0 ⇔
(u − 1) − v (u − 1) = 0 ⇔ (u − 1)(1 − v) = 0 u = 22x2 +2x = 1 ⇔ ⇔ 2 v = 21−x = 1 2
2x + 2x = 0 ⇔ x = 0 . 1 − x 2 = 0 x = ±1 ● Vậy phương trình có ba nghiệm: x = 0
∨ x = −1 ∨ x = 1 . Thí dụ 103. ( Giải phương trình: 2 + 2 log2 x ) ( + x. 2 − 2 log2 x ) = 1 + x2 (∗) Đại
học Quốc Gia Hà Nội – Học Viện Ngân Hàng năm 2000 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x > 1 . ● Đặt:
log2 x = t ⇒ x = 2t ⇒ x2 = 4 t . (∗) ⇔ (2 + 2 t t ) + 2 (2 − 2 ) t = 1 + 4t www.DeThiThuDaiHoc.com
Page - 62 -
65. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit ( ⇔ 2+ 2 t ) t t
+ 2 2 − 2 = 1 + 2 2 + 2 2 − 2 ( ) ( )( a = 2 + 2 ⇔ a + b = 1 + a b với
b = 2 2 − 2 t Ths. Lê Văn Đoàn t t t ( ) ( ( ) ( )( ( ) ) ) ⇔ a t − 1 + b t − a tb t = 0 ( ) ⇔ a t −
1 − bt a t − 1 = 0 ) ⇔ a t − 1 1 − bt = 0 a t = 1 ⇔ t ⇔ t = 0 ⇔ log2 x = 0 ⇔ x = 1 . b = 1
● Vậy nghiệm phương trình là x = 1 . Thí dụ 104. Giải phương trình: 8.3x + 3.2x = 24 + 6x (∗) Đại học
Quốc Gia Hà Nội khối D năm 2000 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . (∗) ⇔ (8.3 ( x ) ( ) − 24
+ 3.2x − 2x.3x = 0 ) ( )( ) ) ⇔ 8 3x − 3 − 2x 3x − 3 = 0 ( ⇔ 3 x − 3 8 − 2x = 0 3x − 3 = 0 x = 1
⇔ ⇔ . x 8 − 2 = 0 x = 3 ● Vậy nghiệm phương trình là x = 1 ∨ x = 3 . Thí dụ 105.
Giải phương trình: 22x − 2x + 6 = 6 (∗) Bài giải tham khảo x u = 2 > 0 ● Đặt ⇒ v2 = u + 6
. v = u + 6 > 6 u2 = v + 6 (∗) ⇔ v2 = u + 6 ⇔ u 2 − v2 = − (u − v)
⇔ (u − v)(u + v + 1) = 0 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 63 -
66. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn u −
v = 0 . ⇔ u + v + 1 = 0 u = 3 ● Với u = v ⇒ u2 − u − 6 = 0 ⇔ ⇔ 2x = 3 ⇔ x = 8 . u
= −2 ● Với u + v + 1 = 0 ⇒ u 2 + u − 5 = 0 u = −1 + 21 2 ⇔ ⇔ 2x = u = −1 − 21
2 21 − 1 21 − 1 ⇔ x = log2 . 2 2 ● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 8 ∨ x = log2 Thí
dụ 106. Giải phương trình: 8 2 x −1 +1 + 2x x 2 +2 = 18 2 x −1 + 21−x + 2 21 − 1 . 2 (∗) Bài giải tham
khảo (∗) ⇔ 8 2 x −1 +1 + 1 1− x 2 +1 = 18 2 x −1 (1) + 21−x + 2 x −1 +1 u = 2 ● Đặt ⇒
u.v = 2x −1 + 1 . 21−x + 1 = 2x −1 + 21−x + 2 = u + v . 1− x v = 2 +1 ( )( ) 8 +
1 = 18 u + 8v = 18 u = v = 2 (1) ⇔ u v u + v ⇔ u + v = uv ⇔ 9 u + v = uv
u = 9 ⇒ v = 8 2x −1 + 1 = 2 ● Với u = v = 2 ⇒ 1−x ⇔ x = 1. 2 +1= 2
x−1 + 1 = 9 2 9 ● Với u = 9 ∧ v = ⇒ 1−x 9 ⇔ x = 4. 2 8 +1= 8 ● Vậy
phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 1 ∨ x = 4 . Thí dụ 107. Giải bất phương trình: 6x + 2x +2 ≥
4.3x + 22x (∗) Bài giải tham khảo u = 3x > 0 ● Đặt . v = 2 x > 0 (∗) ⇔ uv + 4v
− 4u − v2 ≥ 0 ⇔ (u − v)(v − 4) ≥ 0 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 64 -
67. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn u −
v ≥ 0 u − v ≤ 0 ⇔ ∨ v − 4 ≥ 0 v − 4 ≤ 0 x x x x 3 ≥ 2 3
≤ 2 ⇔ x ∨ x 2 ≥ 4 2 ≤ 4 x ≥ 0 x ≤ 0 ⇔ ∨ x ≥ 2 x
≤ 2 ⇔ x≥2 ∨ x≤0 ● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (−∞; 0 ∪ 2; +∞)
. Thí dụ 108. Giải bất phương trình: 2x + 2x + 1 < 22x +1 + 4x + 2 (∗) Bài giải tham khảo 1 ● Điều kiện:
2x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ − . 2 (∗) ⇔ 2x + 2x + 1 < 2.22x + 2 (2x + 1) (1) x u = 2 > 0 ● Đặt .
v = 2x + 1 ≥ 0 (1) ⇔ u + v < 2 2u2 + 2v2 ( ⇔ (u + v) < 2u2 + 2v2 ) 2 ⇔ (u − v ) > 0
⇔u≠v ⇔ 2x ≠ 2x + 1 ⇔ 22x ≠ 2x + 1 ⇔ 2x ≠ 0 ∨ 2x ≠ 1 ⇔x≠0 ∨ x≠ 1 2 1 ⇔ x ∈ (−∞;
+∞) 0; . 2 1 1 ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất
phương trình là x ∈ − ; +∞ 0; . 2 2 Thí dụ 109. Giải bất
phương trình: 2x + log5 2 5x − 1 + 5x − 3 ≥ 5 Bài giải tham khảo www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 65
- − 2.5x +1 + 16 (∗)
68. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit (∗) ⇔ 5x − 1 + 5x − 3
≥ 2.52x − 10.5x +1 + 16 2 ( ) ( ) ⇔ 5x − 1 + 5x − 3 ≥ 2 5x − 3 + 2 5x − 1 (1) ● Điều kiện: 5x − 1 ≥ 0
⇔ x ≥ 0 . u = 5x − 1 ≥ 0 ● Đặt . v = 5 x − 3 (1) ⇔ u + v ≥ 2u2 + 2v2 ⇔ 2u2 +
2v2 ≤ u + v u + v ≥ 0 ⇔ u + v)2 ≥ 2u2 + 2v2 ( u + v ≥ 0 ⇔ 2 (u
− v) ≤ 0 ⇔u=v ⇔ 5x − 1 = 5x − 3 x 5 − 3 ≥ 0 ⇔ x 5 − 1 = 5x − 3 5x ≥
3 ⇔ 2x x 5 − 7.5 + 10 = 0 ⇔ x = 1. ● Vậy bất phương trình có nghiệm x = 1 .
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 66 - Ths. Lê Văn Đoàn
69. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn BÀI
TẬP TƯƠNG TỰ Bài tập 20. Giải các phương trình sau 1/ 25x − 30.5 x + 125 = 0 . 2/ 3x − 8.3 2 + 15
= 0 . 3/ 4x +2 − 9.2x +2 + 8 = 0 . ĐS: x = ±1 . 4/ 34x +8 − 4.32x +5 + 27 = 0 . ĐS: x = − 5/ 8 x + 2x =
5. 4x − 2 ĐS: x = 1 ∨ x = log2 6/ ( 7/ (3 + 2 2 ) 8/ 32x +2x+1 − 28.3x +x + 9 = 0 . 9/ 9x −1 − 36.3x −3
+ 3 = 0 . 10/ 2sin 11/ 4cot x + 2 sin 12/ 81sin 13/ 4 3+2 cos x − 7.41+cos x − 2 = 0 . ĐS: x = 1 ∨ x = 2
. x 2 ĐS: x = 2 ∨ x = log 3 25 . 2 x 7+4 3 ) ( =2 2 ) ( 2 −1 + 3 . +2 = 0. 2 2 x ĐS: x = 0 . x ) 2 2 ĐS: x
= log x sin2 x 14/ 25 15/ 4sin 16/ 2 ĐS: x = ±1 ∨ x = ± 2 . ĐS: x = π + kπ, (k ∈ ») . 2 −3 = 0. 2 x ĐS:
x = π + kπ, (k ∈ ») . 2 x 81 cos2 x 17/ 9 18/ 4sin 2 x 2 x cos2 x 2 + 2cos sin2 x x + 81cos + 25 x = 30
. ĐS: S = ∅ . cos2 x sin2 x = 26 . ĐS: x = 2 x 2π + k2π, (k ∈ ») . 3 π + kπ, (k ∈ ») . 2 x = kπ
ĐS: , (k ∈ » ) . x = π + kπ 2 = 82 . x = kπ ĐS: , (k ∈ » ) . x = π + kπ 2 = 10 .
+ 41+cos ĐS: x = ± x = kπ ĐS: , (k ∈ » ) . x = π + kπ 2 = 5. + 81 +9 2. ĐS: x = 1 ∨ x =
−2 . 1 2 2 +1 = 6. 2 + 4.2cos 2 3 + 39 . 2 x −3 2− 3 x 3 ∨ x = −1 . 2 = 10 . ĐS: x =
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 67 - π kπ + , (k ∈ » ) . 4 2
70. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit 19/ e6x − 3.e 3x + 2 = 0 . 20/ 4 21/ 4x+ 22/ 9
23/ 4x+ x2 −2 − 5.2x−1+ 24/ 4 x− x2 −5 − 12.2x−1− 25/ ( 3) + ( 3) 26/ 1 4
27/ 1 6 28/ x 32x = 2. (0, 3) + 3 . x 100 x−2 x2 −2 − 5.2x−1+ x2 −2x −x −
7.3 x 5 x−2 + 16 = 10.2 ĐS: x = = 6. x2 −2x −x−1 = 2. − 6 = 0. x2 −5 Ths. Lê Văn Đoàn 1 ln 2 ∨ x = 0
. 3 ĐS: x = 3 ∨ x = 11 . . x2 −2 x2 −2 www.MATHVN.com + 8 = 0. ĐS: x = 2 . 1 ĐS: x = − . 4 ĐS: x
= 3 . 2 ĐS: x = 3 ∨ x = 9 . 4 x−10 10 − 84 = 0 . ĐS: x = 20 . x−2 4 . 9 = 25−x + 9 . ĐS: x = log2 =
65−2x − 12 . ĐS: x = 3 − log12 6 . x−3 29/ 3 2 Bài tập 21. 3 = 4 x−4 − 7 . 3−x 2 30/ ĐS: x = log 10 3 .
8x − 2 3x +3 x ĐS: x = log2 112 . ĐS: x = 3 ∨ x = log6 8 . + 12 = 0 . Giải các phương trình sau 1/ 3 x
+2 + 3−x − 10 = 0 . ĐS: x = −2 ∨ x = 0 . 2/ 2x+2 − 22−x − 15 = 0 . ĐS: x = 2 . 3/ e2x − 4e−2x = 3 .
ĐS: x = ln 2 . 4/ 3 x − 31− x +4 = 0. ĐS: x = log2 3 5/ 5 x − 51− x + 4 = 0. ĐS: x = 0 ∨ x = 1 . 6/ 2x
−x − 22+x−x = 3 . 7/ 101+x − 101−x = 99 . 8/ 51+x − 51−x = 24 . 9/ 5.2 10/ 3.2 2 2 2 2 3 x−1 x +1
ĐS: x = ±1 . 2 ĐS: x = ±1 . − 3.25−3x + 7 = 0 . − 8.2 x −1 2 ) 7 −2 . ĐS: x = −1 ∨ x = 2 . 2 x−1 ( ĐS:
x = 1 . +4 = 0. ĐS: x = 9 . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 68 -
71. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn 11/ 4
x +1 + 2x+4 = 2x+2 + 16 . ĐS: x = 0 . 12/ −8 x + 2.4 x + 2 x − 2 = 0 . ĐS: x = 0 ∨ x = 1 . 13/ 8 x −
3.4 x − 3.2 x+1 + 8 = 0 . ĐS: x = 0 ∨ x = 2 . 14/ 24x + 2.23x + 8.2x − 16 = 0 . ĐS: x = log2 15/ 27 16/
42x + 23x+1 + 2x +3 − 16 = 0 . x− 2 3 − 9x−1 = 2.32x−1 − 2.33x−1 . 5 −1 . ) ( 5 −1 . ĐS: x = 0 . ĐS:
x = log2 3x x +1 ( ) x 1 1 + 8. + 3.2x +3 = 125 − 24. . 2 2
17/ 8 18/ 23x + 19/ 1 53x + 27 3x + 5−x + 9.5x = 64 . 5 20/ 23x − 1
325 x + 22x + 1 = .2 . x 16 2 ĐS: x = ±1 . ĐS: x = log2 8 1 = 6 2x − x−1 + 1 . 23x
2 15 ± 161 . 8 ĐS: x = 0 ∨ x = log5 2 . ĐS: x = 1 . x 21/ 9 2x−2 10 + 4 2 = . 4 ĐS: x = 3 . 22/
ĐS: x = log 3 23/ 27 x + 2 = 3. 3 3x+1 − 2 . 2 x +4 = 2 25/ 32x+1 = 3x +2 + 1 − 6.3x + 32x+2 . ĐS: x
= log3 26/ 5.32x−1 − 7.3x−1 + 1 − 6.3 x + 9x +1 = 0 . ĐS: x = log3 17 − 1 . 2 ĐS: x = 0 . 24/ Bài tập
22. 32x + 3x + 5 = 5 . ( ) 2 x2 +1 2 ( ) 2 x2 +2 + 2 2 + 2x +6 + 64 . ĐS: x = 0 ∨ x = ±1 . Giải các
phương trình sau 1/ 3.9x + 7.6x − 6.4 x = 0 . ĐS: x = −1 . 2/ 25 x + 10 x = 22x +1 . ĐS: x = 0 . 3/
4.22x − 6x = 18.32x . ĐS: x = −2 . 4/ 8.3 5/ 32 x +4 + 45.6x − 9.22 x +2 = 0 . x +4 x +9 4 x +1 = 9 x.
ĐS: x = 16 . ĐS: x = −2 . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 69 - (6 + 3 33 ). 3 1 ∨ x = log3 . 5 5
72. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn 6/
x = π + kπ cos x−sin x−lg7 4 1 2sin x−2cos x+1 2sin−2cos x+1 2 − +5 = 0 .
ĐS: x = k2π . 10 3π + k2π x = 2 7/ 64.9x − 84.12 x + 27.16x = 0 . ĐS: x = 1 ∨
x = 2 . 8/ 125 x + 50 x = 23x +1 . ĐS: x = 0 . 9/ 22x +1 − 9.2x +x + 22x+2 = 0 . 10/ 4.3x − 9.2x = 5.6
2 . 2 2 ĐS: x = −1 ∨ x = 2 . x 1 x 1 x ĐS: x = 4 . 1 x 11/ 6.9 − 13.6 + 6.4 = 0 . ĐS: x = ±1 . 12/ 23x +
2x.32x − 2.33x = 0 . ĐS: x = 0 . 13/ 4 − 1 x − +6 1 x − =9 1 x ĐS: x = − log 1+ . 5 2 x +1 x +6 x +1 x
= 2.9 x +1 x ĐS: x = −1 . 14/ 4 15/ 32x +6x−9 + 4.15x +3x−5 = 3.52x +6x−9 . 2 . 2 2 + 9−x 2 +2x +1
2 16/ 25−x 17/ Bài tập 23. +2x +1 2 3 . 2 = 34.15−x +2x . 6.32x − 13.6 x + 6.22x = 0 . ĐS: x = −4 ∨ x
= 1 . HD: Chia : 92x−x 2 x = 0 ⇒ x = 2 . x = 1 ± 3 ĐS: x = ±1 . Giải các phương
trình sau x2 x2 1/ (2 + 3 ) + (2 − 3 ) 2/ (5 + 3/ 5 + 2 6 + 5 − 2 6 = 10 .
4/ 6. 5/ ( x 24 ) + (5 − = 4. x 24 ) x x ) 5 +1 −2 5 − 21 x ) ĐS: x = ±1 . = 10 . x (
ĐS: x = ±1 . ( ( x ) = 2x+2 . 5 −1 + 7. 5 + 21 x ) = 2 x +3 . ĐS: x = ±2 . ĐS: x = 0 . ĐS: x = 0 ∨ x = −
log 5+ 2 x x 6/ 3 3 + 8 + 3 3 − 8 = 6 . 7/
7 + 4 3 sin x ĐS: x = ±3 . sin x + 7 −4 3 = 4. ĐS: x =
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 70 - π + kπ, (k ∈ ») . 2 21 7.
73. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit tan x 8/ ( 9/ ( 10/ ) (2 +
3 ) 8+3 7 ) π + kπ, (k ∈ ») . 4 ĐS: x = ± π + kπ, (k ∈ ») . 4 ĐS: x = ± π + kπ, (k ∈ ») . 4 ) ( tan x +
5−2 6 cot x ĐS: x = ± = 10 . ( tan x 5+2 6 = 16 . tan x + 8−3 7 ) cot x ( ) + 2− 3 1−2 sin2 x = 4. 2 cos2
−1 11/ (2 + 8 ) ( 12/ 3 3 3 + 8 + 3− 8 −6 = 0. 13/ (2 −
3 ) + (2 + 3 ) 14/ 2 + 3 + 2 − 3 = 4. 15/ (2 + 3) + (7
+ 4 3)(2 − 3) 16/ ( 17/ ( 18/ (2 cos 72 ) + (2 cos 36 ) 19/ (26 + 15 3) + 2(7 + 4 3) − 2(2 − 3) 20/ 7 +
3 5 + 7. 7 − 3 5 = 8 . 2 2 + 3− 8
x ) ĐS: x = ±3 . ĐS: x = ±1 . = 14 . x x ĐS: x = ±2 . x x ) x ( + 9. 4 − 6 x ) ) = 8 + 4 3 . ĐS: x = 0 ∨ x
= 2 . = 10x +1 . ĐS: x = 0 . x ( − 3. 2 − 3 x o o ) +2 = 0. ĐS: x = 0 . = 3. x x 2 t − 3t + 1 = 0
HD: . x t = 2 cos 72o > 0 ( x = 1 . ĐS: x = 0 . x x ĐS: x = 0 ∨ x = log 7+3 22/ ( 2 (2 + 3 )
24/ ( ( ) ) + 2− 3 + 16. 2 − 3 x 3+ 5 x2 −2x−1 ( x 23/ ) 7. x 6 − 35 + 6 + 35 = 12 .
(x−1) 5 2 21/ ) ) x x 2+ 3 kπ , (k ∈ » ) . 2 x x 7+4 3 ĐS: x = = 6. x x 4+
6 Ths. Lê Văn Đoàn ( + 16. 3 − 5 ĐS: x = ±2 . 4 = . ĐS: x = 1 ∨ x = 1 ± 2 . 2− 3 x = 22x . = 2 x +3 . x
) ĐS: x = 1 . ĐS: x = log 3+ 5 4. 2 x 25/ (5 − 21) ( + 7. 5 + 21 x ) = 2 x +3 . ĐS: x = 0 ∨ x = log 5+ 2
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 71 - 1 . 21 7
74. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit 26/ ( 27/ ( 28/ 29/ 7+4 3
) 7+4 3 ( 9 −2 5) ( ( + 6. 2 − 3 x+1− 1−x x2 +1 ) −7 = 0. ( + 7−4 3 x2−2x+1 ) ĐS: x = ± 3 . x+1− 1−x
= 7 . ĐS: x = ± 9 +2 5 + −2 x2−2x+1 3 . 2 = 10 +2 5 . ĐS: x = 0 ∨ x = 1 ∨ x = 2 . ( 5 −2) x− x2 ) 5 +1
1+x−x2 +2 =3 ( x−x2 ) 5 −1 ( ) 1 + 1 − 22x = 1 + 2 1 − 22x .2x . 30/ Bài tập 24. ) x2 +1 Ths. Lê Văn
Đoàn . ĐS: x = 0 ∨ x = 1 . ĐS: x = −1 ∨ x = 0 . Giải các phương trình sau 1/ 2x + 3x = 1 + 6x . ĐS: x
= 0 . 2/ 1 + 12x = 3x + 4 x . ĐS: x = 0 . 3/ 12 + 6x = 4.3x + 3.2x . ĐS: x = 1 ∨ x = 2 . x2 +x 2x2 +2x
x = 0 u = 2 ĐS: ⇒ . v = 1 − x 2 x = ±1 2 (x+1) 1−x2 4/ 5/ 8.3 x + 3.2x =
6x + 24 . ĐS: x = 1 ∨ x = 3 . 6/ 12.3x + 3.15x − 5x+1 = 20 . ĐS: x = log 3 5 − 1 . 7/ 8 − x.2 x + 23−x
− x = 0 . ĐS: x = 2 . 8/ 2 1 x2 +2x .3 − 3x −1 − 9.32x +1 + 27 = 0 . 3 ĐS: x = 0 ∨ x = ±2 . 9/ x2 .3x +
3x (12 − 7x ) = 12 − x 3 + 8x2 − 19x . ĐS: x = 0 ∨ x = 3 ∨ x = 4 . 10/ 2x +x − 4.2x −x − 22x + 4 = 0 .
11/ 2 12/ 4 x −3x+2 + 4 x 13/ 3x− 2x −9.43x− x+3 − 3x− 2x −9.4x − 43x− x+3 + 4x = 0 . ĐS: x = 3 .
14/ Bài tập 25. 4 +2 x2 .6−x + 6 2 =2 +1. 2 ( 2 x2 + x ) 2 + 21−x − 2 2 2 +6x +5 2 ( 2 x2 + x ) ĐS: x =
0 ∨ x = 1 . 2 .21−x − 1 = 0 . = 42x 2 +3x +7 +1. ĐS: x = 0 ∨ x = ±1 . ĐS: x = ±1 ∨ x = 2 ∨ x = −5 . 2
x +2 = x2 .6 x + 62−x . ĐS: x = 0 ∨ x = 6 . Giải các bất phương trình sau www.DeThiThuDaiHoc.com
Page - 72 -
75. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit x x +1 www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
1/ (0, 4) − (2, 5) 2/ 3 3/ 2x + 2−x − 3 < 0 . 3− 5 3 + 5 . ĐS: x ∈ log2 ;log2 2 2
4/ 4 x−1 − 2x−2 < 3 . ĐS: x ∈ (−∞;2) . 5/ 4−x+0,5 − 7.2−x − 4 < 0 . ĐS: x ∈ (−2; +∞) . 6/
3.52x−1 − 2.5x−1 < 0,2 . ĐS: x ∈ (−∞; 0) . 7/ 52x+1 − 26.5x + 5 > 0 . ĐS: x ∈ (−∞; −1) ∪ (1; +∞) .
8/ 32x+2 − 4.33x +2 + 27 > 0 . ĐS: x ∈ (−∞; 0) . 9/ 2x−1 − 1 < 2. 2x +1 + 1 ĐS: x ∈ » . 10/ 1 1 . <
x+1 3 + 5 3 −1 ĐS: x ∈ (−∞;1) . 11/ 1 1 > . x 2 − 1 1 − 2x−1 4 ĐS: x ∈ 0; log2 ∪ (1; + ∞)
. 3 12/ 4x 13/ 9x 14/ x 4 −2 15/ 8.3 16/ 25.2 x − 10x + 5 x > 25 . ĐS: x ∈ (0;2) . 17/
52x+1 + 6 x+1 > 30 + 5x.30x . ĐS: x ∈ (log25 6; log6 5) . 18/ 6x − 2.3x − 3.2x + 6 ≥ 0 . ĐS: x ∈ » .
19/ 6x + 2x+2 ≥ 4.3x + 4x . ĐS: x ∈ (−∞; 0 ∪ 2; +∞) . 20/ 27 x + 12 x > 2.8 x . ĐS: x ∈
(0; +∞) . 21/ 49 x − 35 x ≤ 25 x . 1− 5 1+ 5 ĐS: x ∈ log 7 ; log 7 . 5 2 2
5 22/ 32x+2 − 4.3 x+2 + 27 < 0 . ĐS: x ∈ (0;1) . 23/ 52x+1 − 26.5 x + 5 > 0 . ĐS: x ∈ (−∞; −1)
∪ (1; +∞) . x +3 x −1 x −2 −3 ĐS: x ∈ (−∞; −1) . > 1, 5 . ĐS: x ∈ 0; 4) . < 11 . x 1 −1 2 1 − 2x
+ x−1 −2 + 1 ≥ 10.3x 2(x−1) 1 x +4 x +8 + 91+ 1 ĐS: x < 0 ∨ x > −3 ≤ 0. 4 2 + x−2 2 (x−2) 3 x 1 . 2
ĐS: x ∈ (−∞; −2 ∪ −1;0 ∪ 1; +∞) . . ĐS: x ∈ (3; +∞) . > 52 . ĐS: x ∈ (0;16) .
>9 x. 1 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 73 -
76. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit 24/ 4x+ x−1 − 5.2x + x
−1 +1 25/ ( 26/ (9 3 +11 2) +2(5 +2 6) −2( 27/ ( x ) +( 3− 2 ) x ) ( ) (3 − 5 ) 29/ 5x + 30/ 2x 31/ 1
− 1 4 8 32/ (2 33/ (2 34/ 35/ 4 − 7.5x 2 ≤ . 2x +1 x 5 −
12.5 + 4 3 37/ (x +1 2.5 x 25x − 4 2− +2 3x x 1 x 2 ≤ 21−x +2 x . ĐS: x = 0 ∨ x = 2 . 1 ĐS: x
∈ log5 2; ∪ log5 20; +∞ . 2 ( >3 5. ) ĐS: x ∈ (−∞;2) ∪ (1; +∞) . <9. x−1 − 128 ≥ 0
. 2 )( 2 ) ( ) ĐS: x ∈ 0;1) . − 2 < 2x + 2 1 − 2x − 1 . 2x +1 2 + 3+ 5 ) ) 11.3 x−1 − 31 ≥ 5. 4.9 x
− 11.3x−1 − 5 36/ ( . ĐS: x ∈ 1 − 2;1 + 2 . 2− 3 21−x − 2 x + 1 ≤ 0. 2x − 1 1 ( 4 ≤ 2 x−x2 28/ Bài tập
26. x ) 3 − 2 < 1 . ĐS: x ∈ (−∞; 0) . x2 −2 x −1 + 2− 3 2 x−x2 ĐS: x = 0 . ≤ 2. x x2 −2 x +1 2− 3 ĐS:
x ∈ 1; 3 . + 16 ≥ 0 . x 3+ 2 Ths. Lê Văn Đoàn ) − 9.2x + 4 x ) + x +1 x2 + 2x − 3 ≥ 0 . ĐS:
x ∈ (−∞; 0) ∪ 1; +∞) . ĐS: x ∈ (−∞; −1) . < 1. Giải bất phương trình: 2x + 2x+1 ≤ 3x + 3x−1 .
Đại học Quốc Gia Hà Nội năm 1996 ĐS: x ∈ 2; +∞) . Bài tập 27. Giải bất phương trình: 3 x +1 2x
+1 −2 x 2 − 12 < 0 . Học Viện Công Nghệ Bưu Chính Viễn Thông năm 1998 ĐS: x ∈ (0; +∞) . Bài tập
28. 2 Giải phương trình: 4 x −3x+2 + 4 x 2 +6x +5 = 42x 2 +3x +7 +1. ĐS: x = ±1 ∨ x = −5 ∨ x = 2 .
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 74 -
77. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit 2 Bài tập 29. 1 1 x
1 x Giải bất phương trình: + 3. 3 3 Ths. Lê Văn Đoàn +1
> 12 . Đại học Văn Hóa Hà Nội năm 1996 ĐS: x ∈ (−1; 0) . Bài tập 30. Giải bất phương trình: 2.14x +
3.49x − 4 x ≥ 0 . Đại học Giao Thông Vận Tải năm 1996 ĐS: x ∈ log 2 3; +∞ .
7 Bài tập 31. Giải bất phương trình: 32x − 8.3x+ x +4 − 9.9 x +4 > 0. Đại học Sư Phạm Hà Nội
khối B năm 2000 ĐS: x ∈ (5; +∞) . Bài tập 32. Giải bất phương trình: 9 x2 −2x −x − 7.3 x2 −2x −x−1 ≤
2. Cao đẳng sư phạm nhà trẻ mẫu giáo TWI năm 2001 1 ĐS: x ∈ − ; 0 ∪ 2; +∞) . 4
Bài tập 33. 2 Giải bất phương trình: 252x−x +1 + 92x−x 2 +1 2 ≥ 34.252x−x . Đại học Kiến Trúc
Hà Nội năm 1996 x ≤ 1 − 3 ∨ 0 ≤ x ≤ 2. ĐS: x ≥ 1 + 3 Bài tập 34. Giải phương trình: 2.27 x
+ 18 x = 4.12x + 3.8 x . Đề thi thử Đại học năm 2010 lần 1 khối A – THPT Phan Châu Trinh – Đà Nẵng
ĐS: x = 1 . Bài tập 35. Giải bất phương trình: 2.3x − 2 x+2 ≤ 1. 3x − 2x Học Viện Hành Chính Quốc Gia
năm 2001 ĐS: x ∈ 0; log 3 3 . 2 Bài tập 36. 2 2 Giải bất phương trình: 51+x −
51−x > 24 . Đề thi thử Đại học năm 2011 – THPT Tây Thụy Anh ĐS: x ∈ (−∞; −1) ∪ (1; +∞) . Bài tập
37. Giải bất phương trình: 2x 2 .5 x−1 + 5x + 5 ≥ x.5 x−1 + 10x 2 + 5 www.DeThiThuDaiHoc.com
Page - 75 - x−1 .
78. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn 1
ĐS: x ∈ −∞; − ∪ 3; +∞) . 2 Bài tập 38. Giải bất phương trình: ( 2012 + 2003
log3 x ) − ( 2012 − 2003 log3 x ) ≥ 2 x. 3 ĐS: x ∈ 1; +∞) . Bài tập 39. Giải bất phương trình: ( x )
( 5 −1 + x ) 5 +1 −2 x+ 3 2 ≤ 0. Đề thi thử Đại học năm 2010 – THPT Tống Văn Trân – Nam Định
ĐS: x ∈ log 5+1 2 −1 ; log 5+1 2 +1 . 2 2 ( Bài tập 40. Giải bất phương trình: 9 + 8.3
4−x −9 4−x +3 4−x > 5, ) ( ) (x ∈ ») . Đề thi thử Đại học năm 2012 – THPT chuyên Ngoại Ngữ – Đại
học Sư Phạm Hà Nội ĐS: x ∈ 0; 4) . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 76 -
79. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn Dạng
3. Giải phương trình mũ bằng cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số I – LÍ THUYẾT CƠ BẢN Xét
phương trình: Đoán nhận là một nghiệm của phương trình Dựa vào tính đồng biến và nghịch biến của o
đồng biến và o đơn điệu và và để kết luận là nghiệm duy nhất: nghịch biến (hoặc đồng biến nhưng nghiêm
ngặt). (hằng số). thì Nếu đồng biến (hoặc nghịch biến) trên và Nếu đồng biến trên D và Nếu nghịch biến
trên Nếu có đạo hàm đến cấp k và liên tục trên D, đồng thời . thì và biệt thì phương trình: . thì . sẽ có
không quá có đúng m nghiệm phân nghiệm. II – CÁC THÍ DỤ Thí dụ 110. Giải phương trình: (∗) 3x =
5 − 2x Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . ● Nhận thấy x = 1 là một nghiệm của phương trình
(∗) ● Mà f (x) = 3x đồng biến trên » và g (x) = 5 − 2x nghịch biến trên » . ⇒ Phương trình (∗) có một
nghiệm duy nhất là x = 1 . Thí dụ 111. Giải phương trình: 4 x + 3x = 5x (∗) Đại học – Cao đẳng phía
Bắc năm 1970 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . ● Nhận thấy x = 2 là một nghiệm của phương
trình (∗) x x 3 (∗) ⇔ 4 + 5 = 1 . 5 x x 4
3 ● Xét hàm số y = f (x ) = + , ∀x ∈ » . 5 5
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 77 -
80. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit x Ths. Lê Văn Đoàn x
4 4 3 3 f ' (x ) = .ln + .ln < 0, ∀x ∈ » ⇒ f (x ) nghịch biến trên » .
5 5 5 5 ⇒ Phương trình (∗) có một nghiệm duy nhất là x = 2 . x Thí dụ 112. Giải
phương trình: 2x = 3 2 + 1 (∗) Đại học Kiến Trúc Tp. Hồ Chí Minh năm 1995 Bài giải tham khảo ● Tập
xác định: D = » . ● Nhận thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình (∗) x 1 x 3 ● Chia hai
vế của (∗) cho 2x > 0 : (∗) ⇔ 1 = + . 2 2 x 1
x 3 ● Xét hàm số : f (x) = + trên » . 2 2 x
3 1 x 1 3 f ' (x) = ln + ln < 0, ∀x ∈ » ⇒ f (x) nghịch biến
trên » . 2 2 2 2 ⇒ Phương
trình (∗) có một nghiệm duy nhất là x = 2 . x Thí dụ 113. (1) Giải phương trình: 3x − 4 = 5 2 Đại học
Tổng Hợp Tp. Hồ Chí Minh năm 1995 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . (1) ⇔ 3 x x =4+ ( 5)
x 1 x 5 + ⇔ 1 = 4. 3 3 (∗) ● Nhận thấy x
= 2 là một nghiệm của phương trình (∗) x x 1 + 5 trên » . ● Xét hàm số f (x)
= 4. 3 3 x x 1 ln 1 + 5 .ln 5 < 0, ∀x ∈ » ⇒
f ( x ) nghịch biến trên » . f ' (x ) = 4. 3 3 3 3 ● Ta lại có f (2)
= 1 nên x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình. Thí dụ 114. Giải phương trình: 3x + 5x = 6x + 2 (∗)
Đại học Sư Phạm Hà Nội khối A năm 2001 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 78 -
81. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn Bài
giải tham khảo ● Xét hàm số f (x ) = 3x + 5 x − 6x − 2 trên » . Ta có: f ' (x ) = 3x ln 3 + 5x ln 5 − 6 là
hàm số liên tục và f ' (0) = ln 3 + ln 5 − 6 < 0 ⇒ f ' (x ) có nghiệm duy nhất x = x o . f ' (1)
= 3 ln 3 + 5 ln 5 − 6 > 0 Bảng biến thiên: x xo −∞ f ' (x ) +∞ 0 − + f (x ) ● Từ bảng biến thiên,
ta thấy f (x ) không quá hai nghiệm phân biệt. ● Mà f (0) = f (1) = 0 nên phương trình đã cho có hai
nghiệm: x = 0 ∨ x = 1 . Thí dụ 115. (∗) Giải phương trình: 22x−1 + 32x + 52x +1 = 2x + 3x +1 + 5x
+2 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . (∗) ⇔ 22x−1 + 32x + 52x +1 = 2x + 3x +1 + 5x +2 ⇔
22x + 32x + 5.52x = 2x + 3x +1 + 5.5x +1 2 ⇔ 22x + 2.32x + 10.52x = 2x +1 + 2.3x +1 + 10.5x +1
(∗ ∗) ● Xét hàm số f (t) = 2t + 2.3t + 10.5t, ∀t ∈ » . f ' (t) = 2t.ln 2 + 2.3t.ln 3 + 10.5t.ln 5 > 0, ∀t ∈
» ⇒ f (t) đồng biến trên » . ● Phương trình (∗ ∗) có dạng f (2x ) = f (x + 1) ⇔ 2x = x + 1 ⇔ x = 1
.21 ● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 1 . Thí dụ 116. 2 2 Giải phương trình: 2x−1 − 2x −x
= (x − 1) (∗) Đại học Thủy Lợi năm 2001 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . 2 2 (∗) ⇔ 2x−1
− 2x −x = x2 − 2x + 1 ⇔ 2x−1 + (x − 1) = 2x −x + (x2 − x) (1) ( ● Nhận thấy (1) có dạng: f (x − 1) =
f x2 − x ) (2) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 79 -
82. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn ● Xét
hàm số f (t) = 2t + t trên » : f ' (t) = 2t ln 2 + 1 > 0, ∀t ∈ » ⇒ f (t) đồng biến trên » (3) ● Từ (1), (2),
(3) ⇒ x − 1 = x2 − x ⇔ x2 − 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1 . ● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 1 .
Thí dụ 117. Giải phương trình: x +1 ( ) x ( 2 +1 − 3+2 2 ) = x −1 (∗) Cao đẳng Sư Phạm Hưng Yên
khối A năm 2006 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . x +1 (∗) ⇔ ( 2 +1 ( 2 +1 ⇔ ) − 2x ( ) 2
+1 x +1 ) + x +1= = x −1 2x ( ) 2 +1 + 2x (1) (1) có dạng f (x + 1) = f (2x ) (2) ● Xét hàm số f (t) = f '
(t) = ( ( t ) 2 + 1 + t trên » . t ) ( 2 + 1 .ln ) 2 + 1 + 1 > 0 ⇒ Hàm số f (t) đồng biến trên » (3) . ● Từ
(1), (2), (3) ⇒ x + 1 = 2x ⇔ x = 1 . ● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 1 . Thí dụ 118. ( 3
Giải phương trình: 36. 2x + 3x 3 ) = 9.8 x + 4.27 x (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . (∗)
⇔ 2 x3 3 3 + 3x = 8 x 27 x + 4 9 3 ⇔ 2x + 3x = 23x−2 + 33x−2 (∗ ∗) ● Xét hàm số: f (t) = 2t + 3t,
∀t ∈ » . f ' (t) = 2t.ln 2 + 3 t. ln 3 > 0, ∀t ∈ » ⇒ y = f (x ) đồng biến trên » . x = −2 ● Phương trình
(∗ ∗) có dạng: f x 3 = f (3x − 2) ⇔ x 3 = 3x − 2 ⇔ . x = 1 ( ) ● Vậy phương trình có hai
nghiệm x = −2 ∨ x = 1 . Thí dụ 119. 2 Giải phương trình: 2x −3x+1 − 2x−2 + x2 − 4x + 3 = 0 (∗) Bài
giải tham khảo www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 80 -
83. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn ● Tập
xác định: D = » . 2 (∗) ⇔ 2x −3x +1 + x2 − 3x + 1 = 2x−2 + x − 2 ⇔ f (x2 − 3x + 1) = f (x − 2) (∗
∗) ● Xét hàm số f (t) = 2t + t xác định và liên tục trên » . f ' (t) = 2t ln 2 + 1 > 0, ∀t ∈ » ⇒ f (t) đồng
biến trên » . x = 1 (∗ ∗) ⇔ x2 − 3x + 1 = x − 2 ⇔ x2 − 4x + 3 = 0 ⇔ x = 3 . ● Vậy
phương trình có hai nghiệm x = 1 ∨ x = 3 . Thí dụ 120. Giải phương trình: 2013 x2 −3x +1 − 2013x−2
+ x2 − 3x − x + 3 = 0 (∗) Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x 2 − 3x ≥ 0 ⇔ x ∈ (−∞, 0 ∪ 3,
+∞) . ( x − 3x + 1) = 2013 ⇔ f ( x − 3x + 1) = f (x − 2) (∗ ∗) x2 −3x +1 (∗) ⇔ 2013 2 + x−2 + ( x
− 2) 2 ● Xét hàm số f (t) = 2013t + t xác định và liên tục trên » . f ' (t) = 2013t ln 2013 + 1 > 0, ∀t ∈ »
⇒ f (t) đồng biến trên » . x − 3 ≥ 0 x2 − 3x + 1 = x − 2 ⇔ x2 − 3x = x − 3 ⇔ 2 2 ⇔ x =
3. x − 3x = (x − 3) (∗ ∗) ⇔ ● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3 . Thí dụ 121. 2
Giải phương trình: 2013cos x 2 − 2013sin x + cos 2x = 0 (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » .
(∗) ⇔ 2013 cos2 x ( ) + cos2 x = 2013sin ( ⇔ f cos2 x = f sin2 x 2 x + sin2 x ) (∗ ∗) ● Xét hàm số
f (t) = 2013t + t liên tục và xác định trên 0,1 . f ' (t) = 2013t ln (2013) + 1 > 0, ∀t ∈
0,1 ⇒ f (t) đồng biến trên đoạn 0,1 . (∗ ∗) ⇔ cos 2 x = sin2 x ⇔ cos2 x −
sin2 x = 0 ⇔ cos 2x = 0 ⇔ x = ● Vậy phương trình có một tập nghiệm là x = Thí dụ 122. 2 2 Giải
phương trình: ecos x − esin x = cos 2x π kπ + , (k ∈ » ) . 4 2 (∗) www.DeThiThuDaiHoc.com Page -
81 - π kπ + , (k ∈ » ) . 4 2
84. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn Bài
giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . (∗) ⇔ e cos2 x 2 − e sin x = cos2 x − sin2 x 2 2 ⇔ ecos x −
cos2 x = esin x − sin2 x ( ) ( ⇔ f cos2 x = f sin2 x ) (∗ ∗) ● Xét hàm số f (t) = e t − t xác định và liên
tục trên đoạn 0;1 . f ' (t) = e t − 1 ≥ 0, ∀t ∈ 0;1 ⇒ f (t) luôn đồng biến trên
đoạn 0;1 . (∗ ∗) ⇔ cos 2 x = sin2 x ⇔ cos 2x = 0 ⇔ 2x = ● Vậy phương trình có một tập
nghiệm là x = Thí dụ 123. x ( Giải phương trình : 2 − 3 x ) ( + 2+ 3 ) π π kπ + kπ ⇔ x = + , (k ∈ » ) . 2
4 2 π kπ + , (k ∈ » ) . 4 2 = 4x (1) Học Viện Công Nghệ Bưu Chính Viễn Thông (đề số 2) năm 1998 Bài
giải tham khảo x x 2 − 3 2 + 3 (1) ⇔ 4 + 4 = 1
(2) ● Nhận thấy x = 1 là một nghiệm phương trình (2) . x x 2 − 3 + 2
+ 3 trên » . ● Xét hàm số y = 4 4 x 2 − 3 x 2
− 3 2 + 3 .ln .ln 2 + 3 < 0, ∀x ∈ » ⇒ Vế trái là hàm số y' = +
4 4 4 4 nghịch biến. ● Còn vế phải y = 1 là hàm hằng nằm ngang. Do đó, phương
trình (2) có nghiệm duy nhất và nghiệm đó là x = 1 . Thí dụ 124. Giải phương trình: 2x+1 − 4 x = x − 1
(∗) Đại học Ngoại Thương khối D năm 1997 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . t = 1 + 2 − x
● Đặt 2 = t > 0 . Lúc đó: (∗) ⇔ t − 2t − x + 1 = 0 ⇔ . t = 1 − 2 − x x 2 ● Trường hợp 1: t =
1 + 2 − x ⇔ 2x = 1 + 2 − x www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 82 - (1)
85. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn f x
= 2x : Là hàm tăng. ( ) Ta có: g (x) = 1 − 2 − x : Là hàm giảm ⇒ (1) : có một nghiệm duy
nhất là x = 1 . f 1 = g 1 () () (2) ● Trường hợp 2: t = 1 − 2 − x ⇔ 2x = 1 − 2 − x 2
− x ≥ 0 ⇔ 1< x ≤2. Điều kiện : 1 − 1 − x > 0 f (x ) = 2x > h (1) = 2 Ta có: ∀x
∈ (1;2 thì : ⇒ (2) : Vô nghiệm. h (x ) = 1 − 2 − x < h (2) = 1 ● Vậy phương trình
có nghiệm duy nhất x = 1 . Thí dụ 125. Tìm nghiệm dương của phương trình: x + x log2 3 =x log2 5
(∗) Đại học Ngoại Thương năm 1996 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x > 0 (do nghiệm dương). ● Đặt
log2 x = t ⇒ x = 2t > 0 . 2 t 3 t (∗) ⇔ 2 + 3 = 5 ⇔ 5 + 5 = 1
t t t (∗ ∗) ● Nhận thấy t = 1 là một nghiệm của phương trình (∗ ∗) . 2 t 3 t ●
Xét hàm số f (t) = + 5 5 2 t 2 3 t 3 Ta có: f '
(t) = ln + ln < 0, ∀t ∈ » ⇒ Hàm số f (t) nghịch biến. 5 5 5 5 Mặt
khác y = 1 là hàm hằng số ( // Ox) . ● Vậy t = 1 là nghiệm duy nhất của (∗ ∗) ⇒ x = 2t = 21 = 2 là
nghiệm cần tìm của (∗) . Thí dụ 126. Giải phương trình: (x + 4).9x − (x + 5).3x + 1 = 0 (∗) Bài giải
tham khảo ● Tập xác định: D = » . ● Đặt: t = 3x > 0 . (∗) ⇔ (x + 4).t2 − (x + 5).t + 1 = 0 2 2 ∆ = (x +
5) − 4 (x + 4) = x 2 + 6x + 9 = (x + 3) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 83 -
86. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn t
= x + 5 + x + 3 = 1 2 ( x + 4) ⇒ . t = x + 5 − x − 3 = 1 x+4 2 ( x + 4) ● Với t = 1 ⇒ 3x
= 1 ⇔ x = 0 . x > −4 x + 4 > 0 1 >0⇔ x ● Với t = 1 ⇔ x x+4 3 = 3 . (x
+ 4) = 1 x+4 (1) Phương trình (1) có một nghiệm là x = −1 . Xét hàm số: f (x) = 3x. (x +
4), ∀x ∈ (−4; +∞) Ta có: f ' (x) = 3x. (x + 4). ln 3 + 3x = 3x. (x + 4) .ln 3 + 1 > 0, ∀x ∈ (−4;
+∞) ⇒ f (x) đồng biến ∀x ∈ (−4; +∞) và g (x ) = 1 là hàm không đổi. ⇒ x = −1 là nghiệm duy
nhất của phương trình (1) . ● Vậy phương trình (∗) có hai nghiệm là x = 0 ∨ x = −1 . Thí dụ 127. ( 2 )
2 Giải phương trình: 4 x + x2 − 7 .2x + 12 − 4x2 = 0 (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . 2 ●
Đặt: t = 2x > 0 . (∗) ⇔ t 2 ( ) + x 2 − 7 .t + 12 − 4x 2 = 0 2 ( ) ( ∆ = x2 − 7 − 4 12 − 4x 2 2 2 t =
7 − x + x + 1 = 4 2 = x2 + 1 ⇒ 7 − x 2 − x2 − 1 = 3 − x2 t = 2 2 ) ( ) 2 ● Vớ i t = 4 ⇒ 2
x = 4 = 2 2 ⇔ x 2 = 2 ⇔ x = ± 2 . x ∈ − 3; 3 3 − x 2 > 0 ● Vớ i t = 3 − x 2 > 0 ⇔ x
2 ⇔ 2 x 2 2 = 3 − x2 2 + x = 3 ( ( 2 Xét hàm số f (x ) = 2x + x 2 , ∀x ∈ − 3;
3 2 ( 2 f ' (x ) = 2 x .2x.ln 2 + 2x = 2x 2x .ln 2 + 2 ) (1) . ) ) 2x = 0 Cho f ' (x ) = 0 ⇔ x2 ⇔ x
= 0. x2 2 .ln 2 + 2 = 0 VN do : 2 .ln 2 + 2 > 0, ∀x ∈ » ( Bảng biến thiên:
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 84 - )
87. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit x 0 − 3 −∞ 3 Ths. Lê
Văn Đoàn +∞ f ' (x ) 0 – + 11 11 f (x ) 1 ( ) Với x ∈ − 3; 0 ⇒ f ' (x ) < 0 : f (x ) nghịch biến. Nếu x <
−1 ⇔ f (x ) > f (−1) = 3 ⇒ (1) : vô nghiệm. Nếu x > −1 ⇔ f (x ) < f (−1) = 3 ⇒ (1) : vô nghiệm. ( )
⇒ x ∈ − 3; 0 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất là x = −1 . Với x ∈ (0; +∞) ⇒ f ' (x) > 0 : f (x)
đồng biến. Nếu x < 1 ⇔ f (x) < f (1) = 3 ⇒ (1) : vô nghiệm. Nếu x > 1 ⇔ f (x) > f (1) = 3 ⇒ (1) : vô
nghiệm. ⇒ x ∈ (0; +∞) thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất là x = 1 . ● Vậy phương trình (∗) có 4
nghiệm là: x = ±1 ∨ x = ± 2 . Thí dụ 128. x +4 Giải phương trình: 3 +2 2x +4 > 13 Bài giải tham khảo ●
x + 4 ≥ 0 x ≥ −4 ⇔ ⇔ x ≥ −2 Điều kiện: 2x + 4 ≥ 0 x ≥ −2 ● Xét
hàm số: f (x ) = 3 f ' (x ) = 3 x+4 ⇒ f (x ) = 3 Thí dụ 129. +2 1 .ln 3. 2x + 4 +2 xác định trên D =
−2; +∞) . 2x +4 x +4 +2 x+4 2x +4 +2 1 .ln 2. 2 x+4 Mà: f (x ) = 3 ● x +4 2x + 4 đồng biến ∀x ∈
(−2, +∞) . 2x + 4 > f (0) = 13 ⇒ x > 0 . Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x ∈
(0; +∞) . Giải bất phương trình: 3.2x + 7.5x > 49.10x − 2 Bài giải tham khảo ● > 0, ∀x ∈ (−2, +∞) .
Tập xác định: D = » . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 85 - (∗)
88. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit (∗) ⇔ 3.2 ⇔ x + 7.5 +
2 > 49.10x 3.2x + 7.5 + 2 > 49 10x x x x 1 1 1 ⇔ 3 + 7 + 2 > 49
5 2 10 x ● (1) x x 1 1 1 Xét hàm số: f (x ) = 3
+ 7 + 2 xác định trên » . 5 2 10 x x x
1 1 1 1 1 1 f ' (x ) = 3 ln
+ 7 ln + 2 ln < 0, ∀x ∈ » . 2 2 10 10 5
5 x x x 1 1 1 ⇒ f (x ) = 3 + 7 + 2 luôn
nghịch biến trên » . 2 5 10 x x x 1 1 1
Mà: f (x ) = 3 + 7 + 2 > f (−1) = 49 ⇔ x < −1 . 2 10 5
● Thí dụ 130. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (−∞; −1) . 32−x + 3 − 2x ≥0 4x − 2 Giải bất
phương trình: Bài giải tham khảo ● Tập xác định: 4 x − 2 ≠ 0 ⇔ 22x ≠ 2 ⇔ x ≠ ● 1 . 2 Xét hàm số: f (x
) = 32−x + 3 − 2x trên » . f ' (x ) = −32−x.ln 3 − 2 < 0, ∀x ∈ » . ⇒ f (x ) = 32−x + 3 − 2x là hàm số
luôn nghịch biến trên » . ● 1 Xét hàm số: g (x ) = 4 x − 2 trên » . 2
1 g ' (x ) = 4 x ln 4 > 0, ∀x ∈ » . 2 1 ⇒ g (x ) = 4 x − 2 là
hàm số luôn đồng biến trên » . 2 ● Lúc đó: (4) ⇔ f (x ) g (x ) ≥0
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 86 - Ths. Lê Văn Đoàn
89. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com f (x ) ≥ 0 = f
(2) f (x ) ≤ 0 = f (2) 1 ∨ 1 ⇔ g (x ) > 0 = g g (x ) < 0 = g
2 2 x ≤ 2 x ≥ 2 ⇔ ∨ x > 1
x < 1 2 2 ⇔ ● 1 < x ≤2. 2 1 Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất
phương trình là x ∈ ;2 . 2 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 87 - Ths. Lê Văn Đoàn
90. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn BÀI
TẬP TƯƠNG TỰ Bài tập 41. Giải các phương trình sau: 1/ 2x + x − 3 = 0 . 2/ 1 = x−1.
2 2 ĐS: x = 1 . 3/ 7 6−x = x + 2 . ĐS: x = 5 . 4/ 2x + 5x = 29 2 . ĐS: x = 2 . 5/ 4x + 7 x = 9x +
2 . ĐS: x = 0 ∨ x = 1 . 6/ 4 x + 6 x = 25x + 2 . ĐS: x = 0 ∨ x = 2 . 7/ 6 x + 2 x = 5x + 3x . ĐS: x = 0
∨ x = 1 . 8/ 3x + 5 x = 2.4 x . ĐS: x = 0 ∨ x = 1 . ĐS: x = 1 . x x x 2 x 9/ 4 = 9 + 7. ĐS: x = 2 . 10/ 8 x
(3x + 1) = 4 . ĐS: x = 11/ 3 x + 4 x + 12 x = 13 x . ĐS: x = 2 . 12/ 3x + 8 x = 4 x + 7 x . ĐS: x = 0 ∨ x
= 1 . 13/ 2x + 3x + 5x = 10x . ĐS: x = 1 . 14/ 2013x + 2014 x = 2.2012x . ĐS: x = 0 . 15/ 9 x = 5 x + 4
x + 2 20 x . ĐS: x = 2 . 16/ 1 1 1 5x +4x +3x +2x = x + x + x −2x3 +5x2 −7x +17. ĐS: x = 1 . 2 3 6 17/
2x+1 − 2.4 x = x . ĐS: x = 0 . 18/ 52x +1 − 53x − x + 1 = 0 . ĐS: x = 1 . 19/ 2x +3 cos x − 2x +4 cos
20/ 2 2 2 1−x2 +4 sin3 x 2 −2 12−x2 21/ 253 x2 7 + x2 x2 x = 2014 cos 3x . 1−x2 +3 sin x 12−8x x2 −
253 3 +3x2 ĐS: x = π kπ + . 6 3 ĐS: x = kπ . 3 = 1 1 − . 8 x ĐS: x = 8 . = 280 − 21x − 7x 3 . x 2 + 3x
ĐS: x = −8 ∨ x = 5 . 47 x +21 − 713 x = 2013 sin 3x . 1 . 3 22/ 713 23/ 3 x − 3−x + 2 x − 2−x − 6−x =
−2x + 6 . ĐS: x = 1 . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 88 -
91. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit 2x−5 −e x−1 1 1 Ths. Lê
Văn Đoàn 24/ e 25/ 22x−1 + 32x + 52x +1 = 2x + 3 x +1 + 5x +2 . 26/ 2x −x + 93−2x + x2 + 6 = 42x
−3 + 3x−x + 5x . ĐS: x = 1 ∨ x = 6 . 27/ 22 + 32 + 2x = 2x+1 + 3x +1 + x + 1 . ĐS: x = 0 ∨ x = 1 .
28/ 3 x.2x = 3 x + 2x + 1 . ĐS: x = 1 ∨ x = −1 . 29/ 2x −x − 2x+8 = 8 − 2x − x2 . ĐS: x = −2 ∨ x = 4 .
30/ x + x 2 + 1 = 3x . ĐS: x = 0 . 31/ (1 + x)(2 + 4 ) = 3.4 32/ ( 3− 2 ) +( 33/ ( 3− 2 ) +( 34/ (3 + 5 )
35/ ( 36/ 2 + 3 + 2 − 3 = 2x . 37/ x 4 −
15 + 4 + 15 = 2 2 . 38/ ( = − 2x − 5 ĐS: x = 2 ∨ x = 4 . . x −1 2
ĐS: x = 1 . 2 x x 2 x x ĐS: x = 0 ∨ x = . x x x ) = ( 5) . 3+ 2 ) = 10 2 . ) x ) ( + 3−2 2 ) x ĐS: x = 2 . =
2 x +3 . x ( + 16. 3 − 5 ĐS: x = ±2 . = 6x . ĐS: x = 1 . x x x x 2− 3 ĐS: S = ∅ . x x x 3+2 2 x 3+ 2 x 1
∨ x = 1. 2 x ) ( + 2+ 3 sin2 x ) ĐS: x = 2 . ( ) ĐS: x = 2 . = 4x . cos2 x ĐS: x = 1 . cos2x cos2x 1
= 1+ 2 π kπ + . 4 2 39/ (2+ 2) −(2+ 2) +(2− 2) 40/ 9 x + (x − 12) 3 x + 11 − x
= 0 . ĐS: x = 0 ∨ x = 2 . 41/ 3.25x−2 + (3x − 10).5x−2 = x − 3 . ĐS: x = 2 ∨ x = log5 42/ 8 − x.2x +
23−x − x = 0 . ĐS: x = 2 . 43/ 9x + x 2 − 3 .3x + 2 1 − x 2 = 0 . 44/ 6x + 2 x2 − 6x − 1 .6x + x2 − 6x −
1 = 0 . ĐS: x = 0 ∨ x = 1 . 45/ 32x − 2x + 9 3x + 9.2x = 0 . 2 ( ) ( 2 ( ( 2 ) 2 ) ( ) . ĐS: x = ĐS: x = 0
∨ x = ± log 3 2 . 2 ) ĐS: x = 0 ∨ x = 2 . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 89 - 25 . 3
92. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit 46/ 25x − 2 (3 − x ).5x +
2x − 7 = 0 . Ths. Lê Văn Đoàn ĐS: x = 1 . Đại học Tài Chính Kế Toán Hà Nội năm 1997 47/ 3.25x−2 +
(3x − 10).5x−2 + 3 − x = 0 . ĐS: x = 2 ∨ x = 2 − log5 3 . 48/ 3.9x−1 + (3x − 7).3x−1 + 2 − x = 0 . ĐS:
x = 0 ∨ x = 1 . 49/ 3.4 x + (3x − 10).2x + 3 − x = 0 . ĐS: x = 1 ∨ x = − log2 3 . 50/ 9x + 2 (x − 2).3x
+ 2x − 5 = 0 . ĐS: x = 1 . Đại học Thương Mại năm 1995 51/ 52/ x + 31+ ĐS: x = x 2 + 2 x − 3 x + 2 1
− 2x = 0 . ( ĐS: x = 0 ∨ x = 2 . 4 x + (x − 8) 2x + 12 − 2x = 0 . ĐS: x = 1 ∨ x = 2 . 54/ (x + 4).9 ĐS: x
= 0 ∨ x = −1 . 55/ 23x + 3x.22x + 1 + 3x 2 .2x + x 3 + x = 2 . 56/ 4 x + x 2 − 7 .2x + 12 − 4x 2 = 0 .
57/ x 2.3x − 1 = 3x + 2 . ĐS: x = 1 . 58/ 9−x − (x + 2).3−x − 2 (x + 4) = 0 . ĐS: x = −1 . ( x 3 ∨ x =
log2 2 . 3 2 = 2.3 x .x 2 + 2x + 6 . 53/ Bài tập 42. 4x 2 + 3 ) x − (x + 5).3x + 1 = 0 . ( 2 ( ) ( ) ) 2 ĐS: x
= 0 . ĐS: x = 1 ∨ x = 2 . ) Giải các bất phương trình sau: 1/ 2x+1 + 3 x+1 > 6 x − 1 . ĐS: x < 2 . 2/ 7 x
≤ 5x + 2.3x + 2 3 x . HD: Chia 7x ⇒ f (x) ≥ f (2) ⇔ x ≤ 2 . 3/ 2x + 3x + 5x ≥ 38 . ĐS: x ≥ 2 . 4/ 31−x
− 3x + 2 ≤ 0. 2x − 1 ĐS: x < 0 ∨ x ≥ 1 . Học Viện Quân Y năm 1996 5/ 6/ 7/ Bài tập 43. 3x + x − 4 > 0.
x2 − x − 6 (5 x−2 )( 3 ( ) ≥ 0. + x − 3 x 2 + 5x + 6 x−1 −1 ) 2x 22x+x + 1 + log2 x + 2x ≥ ( ) ĐS: x ∈
(−∞; −3 ∪ −2;1) ∪ 2; ∞) . 9x + 512 . x ( HD: f (x ) ≥ f (2) ⇔ x ≥ 2 . ) Giải phương
trình: x 2 − 3 − 2x x + 2 1 − 2x = 0 . Đề thi thử Đại học năm 2013 khối A và A1 – Sở GD & ĐT Vĩnh
Phúc www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 90 -
93. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn ĐS: x
= 0 ∨ x = 2 . Bài tập 44. Giải phương trình: 3x.2x = 3x + 2x + 1 . Đề thi thử Đại học năm 2010 –
TTBDVH & LTĐH Quang Minh ĐS: x = ±1 . 1−x2 Bài tập 45. Giải phương trình: 2 x2 1−2x x2 −2 = x
−2 . 2x HSG tỉnh Tiền Giang năm 2011 – 2012 (ngày thi thứ nhất 25/10/2011) ĐS: x = 2 . Bài tập 46.
Giải phương trình: 3sin 2 x−sin x x π − 3sin x−1 = −4 sin 4 − . 2 4 HSG tỉnh
Hưng Yên – Khối 12 – Năm học 2005 – 2006 ĐS: x = Bài tập 47. π + k2π, (k ∈ ») . 2 Giải phương trình:
2cos 2x−1 + 1 1 = cos 2x + log2 (3 cos 2x − 1) . 2 2 HSG tỉnh Thái Bình – Khối 12 – Năm học 2006 –
2007 ĐS: x = ± Bài tập 48. π + kπ, (k ∈ ») . 6 4 x + (x − 11).2 x − 8 (x − 3) Giải bất phương trình: log2
x − 1 ≥ 0. Đề thi thử Đại học năm 2010 lần 1 – THPT Đông Sơn 1 ĐS: x ∈ 1; 3 ∪ (4; +∞) .
Bài tập 49. x + 1 Giải bất phương trình: x ln x x +1 x x2 + 1
− x 3 ln 2 x x2 +1 x2 ≤ 1− x . Đề thi thử Đại học năm 2009 khối A – (Người ra đề: Đỗ
Bá Chủ – Thái Bình) ĐS: x ∈ 1; +∞) . Bài tập 50. 2 Giải phương trình: x ln x−5 ln x +7 2 = 1 x +1
−1 − 1 . x +1 +1 Đề thi thử Đại học năm 2009 khối A – Trường Đại học Hồng Đức Bài tập 51. Giải
phương trình: x + x log2 3 =x log2 5 . Đại học Ngoại Thương Tp. Hồ Chí Minh năm 1995 ĐS: x = 2 .
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 91 -
94. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn C –
PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Dạng 1. Giải phương trình logarit bằng cách đưa
về cùng cơ số I – LÍ THUYẾT CƠ BẢN Phương trình logarit (1) Với a > 0, a ≠ 1 : loga x = b ⇔ x = a
b Với a > 0, a ≠ 1 : f (x ) = g ( x ) loga f (x ) = loga g (x ) ⇔ f (x ) > 0 hay g (x ) > 0
Với a > 0, a ≠ 1 : loga f (x ) = g (x ) ⇔ f (x ) = a ( g(x ) (2) ) (3) (mũ hóa) Các bước giải: +
f (x ) > 0 ÐK → Đặt điều kiện cho biểu thức có nghĩa, chẳng hạn: loga f (x ) . 0 < a ≠
1 + Dùng các công thức biến đổi đưa về dạng (1), (2) hoặc (3) . Bất phương trình logarit Khi
giải bất phương trình logarit, ta cần chú ý đến tính đơn điệu của hàm số mũ, chẳng hạn giải phương trình:
loga f (x ) > loga g (x ) . + Nếu a > 1 thì loga f (x ) > loga g (x ) ⇔ f (x ) > g (x ) (cùng chiều). + Nếu
0 < a < 1 thì loga f (x ) > loga g (x ) ⇔ f (x ) < g (x ) (ngược chiều). Trong trường hợp cơ số a có
chứa ẩn thì: + loga B > 0 ⇔ (a − 1)(B − 1) > 0 . + loga A loga B > 0 ⇔ (A − 1)(B − 1) > 0 . Các công
thức thường dùng CT.1 loga b + loga c = loga (b.c) . b CT.2 loga b − loga c = loga .
c β. log b nếu β lẻ a CT.3 loga bβ = β. loga b nếu β chẳn CT.4 loga β b = 1 .
log b a CT.6 log b c = CT.5 loga b = a logb c = clogb a Với a, b, c > 0 và a, b, c ≠ 1 thì: . b
= a loga b www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 92 - 1 .loga b . β loga c loga b .
95. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn II –
CÁC THÍ DỤ Các thí dụ về giải phương trình logarit đưa về cùng cơ số Thí dụ 131. Giải phương trình:
log 3 (2x − 1) = −2 (∗) Bài giải tham khảo ● Điều kiện: 2x − 1 > 0 ⇔ x > 1 . 2 (∗) ⇔ 2x − 1 = 3 −2
⇔x= 5 . 8 ● So với điều kiện, nghiệm phương trình là x = Thí dụ 132. 5 . 8 Giải phương trình: log2 (x +
2) − log2 (x − 2) = 2 (∗) Bài giải tham khảo x + 2 > 0 x > −2 ● Điều kiện: ⇔ ⇔ x > 2.
x − 2 > 0 x > 2 (∗) ⇔ log (x + 2)(x − 2) = log 2 2 4 ⇔ (x + 2)(x − 2) = 4 ⇔ x2 = 8
⇔ x = ±2 2 . ● So với điều kiện, nghiệm phương trình là x = 2 2 . Thí dụ 133. ( ) Giải phương trình: log
x 2 + 2x − 3 + lg (x + 3) = lg (x − 1) (∗) Bài giải tham khảo x 2 + 2x − 3 > 0 ● Điều kiện:
x + 3 > 0 ⇔ x > 1. x − 1 > 0 (∗) ⇔ log (x 2 10 ( ) + 2x − 3 (x + 3) = log10 (x − 1) )
⇔ x2 + 2x − 3 (x + 3) = (x − 1) 2 ⇔ (x − 1)(x + 3) − (x − 1) = 0 ( ) ⇔ (x − 1) x2 + 6x + 8 = 0 ⇔ x
= 1 ∨ x = −2 ∨ x = −4 . ● So với điều kiện, phương trình đã cho vô nghiệm: S = ∅ . Thí dụ 134. Giải
phương trình: 2 log25 (3x − 11) + log5 (x − 27 ) = 3 + log5 8 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 93 -
(∗)
96. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Bài giải tham khảo
3x − 11 > 0 x > 11 ● Điều kiện: ⇔ 3 ⇔ x > 27 . x − 27 > 0 x > 27
(∗) ⇔ 2 log (3x − 11) + log (x − 27 ) = log 52 5 5 53 + log5 8 1 ⇔ 2. log5 (3x − 11) + log5 (x − 27) =
log5 125 + log5 8 2 ⇔ log5 (3x − 11)(x − 27 ) = log5 1000 ⇔ (3x − 11)(x − 27 ) = 1000 ⇔ 3x 2 −
92x − 703 = 0 ⇔ x =− 19 ∨ x = 37 . 3 ● So với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 37 . Thí dụ
135. Giải phương trình: log5 x 3 + log 0,2 x + log 3 25 x = 7 (∗) Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x > 0 .
(∗) ⇔ log 5 x 3 + log5−1 x + log 2 x = 7 53 ⇔ 3 log5 x − log5 x + 3 log5 x = 7 2 3 ⇔
3 − 1 + log5 x = 7 2 ⇔ 7 log5 x = 7 2 ⇔ log5 x = 2 ⇔ x = 25 . ● So với điều kiện,
phương trình có nghiệm duy nhất: x = 25 . Thí dụ 136. Giải phương trình: log2 x−5 + log2 x2 − 25 = 0
x+5 ( ) Bài giải tham khảo x − 5 > 0 ⇔ ● Điều kiện: x + 5 2 x − 25 > 0 (∗) ⇔
log ( x − 5) ( x 2 2 x < −5 x > 5 . )=0 − 25 x+5 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 94 -
(∗) Ths. Lê Văn Đoàn
97. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com 2 ⇔ log2 (x − 5) = 0 ⇔
x −5 = 1 x − 5 = 1 ⇔ x − 5 = −1 ⇔ x = 4 ∨ x = 6. ● So với điều kiện, phương trình có
nghiệm duy nhất x = 6 . Thí dụ 137. Giải phương trình: log 4 (log2 x ) + log2 (log 4 x ) = 2 (∗) Bài giải
tham khảo x > 0 ● Điều kiện: log2 x > 0 ⇔ x > 1 . log x > 0 4 (8) ⇔ log (log
x) + log (log x ) = 2 22 2 22 2 ⇔ 1 1 log2 (log2 x ) + log2 log2 x = 2 2 2 ⇔
1 1 log2 (log2 x ) + log2 (log2 x ) + log2 = 3 2 2 ⇔ 3 log2 (log2 x ) = 3 2 ⇔ log2 (log2 x ) = 2 ⇔ log2
x = 4 ⇔ x = 16 . ● So với điều kiện, phương trình: x = 16 . Thí dụ 138. ( ) (∗) Giải phương trình: log2
9 − 2 x = 3 − x Bài giải tham khảo ● Điều kiện: 9 − 2x > 0 ⇔ 2x < 9 . (∗) ⇔ log (9 − 2 ) = log (3−x )
x 2 2 2 (3−x) ⇔ 9 − 2x = 2 ⇔ 2x + 8 −9 = 0 2x (1) ● Đặt t = 2x > 0 . 8 (1) ⇔ t + t − 9 = 0
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 95 - Ths. Lê Văn Đoàn
98. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn ⇔ t2
− 9t + 8 = 0 ⇔ t = 1 ∨ t = 8. ● V ới t = 1 ⇒ 2 x = 1 ⇔ x = 0 . ● V ới t = 8 ⇒ 2 x = 8 ⇔ x = 3 . ●
Thay vào điều kiện, phương trình có hai nghiệm: x = 0 ∨ x = 3 . Thí dụ 139. ( ) (∗) Giải phương trình:
log 3 3 x+1 − 26 = 2 − x Bài giải tham khảo ● Điều kiện: 3x+1 − 26 > 0 ⇔ 3x > (∗) ⇔ (3 x +1 26 . 3 )
− 26 = 32−x ⇔ 3.3x − 9 − 26 = 0 3x (1) ● Đặt t = 3 x > 0 . 9 (1) ⇔ 3t − t − 26 = 0 ⇔ 3t2 − 26t − 9 =
0 ⇔ t=− 1 3 (L ) ∨ t=9 (N ) ● V ới t = 9 ⇒ 3 x = 9 ⇔ x = 2 . ● Thay vào điều kiện: 32 > Thí dụ 140.
26 : thỏa ⇒ Nhận nghiệm: x = 2 . 3 Giải phương trình: log 4 (x + 3) − log2 x − 1 = 2 − log4 8 Bài giải
tham khảo x + 3 > 0 x > −3 ● Điều kiện: ⇔ ⇔ x > 1. x − 1 > 0 x > 1
1 2 (∗) ⇔ log (x + 3) − log (x − 1) 4 1 42 = 2 log 4 4 − log 4 8 42 ⇔ log 4 (x + 3) − log 4 (x −
1) = log 4 8 x + 3 = log 8 2 ⇔ log 4 x −1 ⇔ x+3
=2 x −1 ⇔ x = 5. www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 96 - (∗)
99. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn ● So
với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 5 . 2 Thí dụ 141. x 4 Giải phương trình: log 4 −
log2 (4x ) + 10 = 0 4 (∗) Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x ≠ 0 . (∗) ⇔ log 4 x 2 − log
4 42 − log2 4 4 − log2 x 4 + 10 = 0 ⇔ log2 x − 2 − 8 − 4 log2 x + 10 = 0 ⇔ log2 x = 0 ⇔ x = 20 = 1
⇔ x = ±1 . ● So với điều kiện, nghiệm phương trình là x = ±1 . Thí dụ 142. 2 Giải phương trình: 2 log 3
(x − 2) + log 3 (x − 4) = 0 (∗) Bài giải tham khảo x − 2 > 0 x > 2 ● Điều kiện: . ⇔
2 (x − 4) > 0 x ≠ 4 (∗) ⇔ 2 log (x − 2) + 2 log 3 3 x−4 = 0 ⇔ log 3 (x − 2) x − 4 = 0
⇔ ( x − 2) x − 4 = 1 (x − 2)(x − 4) = 1 (x − 2)(−x + 4) = 1 ⇔ ∨ x > 4 2 < x <
4 x 2 − 6x + 7 = 0 x2 − 6x + 9 = 0 ⇔ ∨ x > 4 2 < x < 4
x = 3 ± 2 x = 3 ⇔ ∨ x > 4 2 < x < 4 ⇔ x = 3 + 2 ∨ x = 3.
● So với điều kiện, phương trình có hai nghiệm: x = 3 + 2 ∨ x = 3 . Thí dụ 143. Giải phương trình: log2
x − 2 + log2 x + 5 + log 1 8 = 0 2 Bài giải tham khảo x − 2 ≠ 0 x ≠ 2 ● Điều kiện: ⇔ .
x + 5 ≠ 0 x ≠ 5 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 97 - (∗)
100. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit (∗) ⇔ log (x − 2)(x +
5) = log 2 2 Ths. Lê Văn Đoàn 8 ⇔ (x − 2)(x + 5) = 8 (x − 2)(x + 5) = 8 ⇔ (x − 2)(x + 5) =
−8 x 2 + 3x − 18 = 0 ⇔ 2 x − 3x + 2 = 0 ⇔ x = −3 ∨ x = 6 ∨ x = 3 ± 17 . 2 ● So với điều
kiện, phương trình có ba nghiệm: x = −3 ∨ x = 6 ∨ x = Thí dụ 144. Giải phương trình: 2 2 + log2
(3x − 4) 2 6 1 log2 (3x − 4) .log2 x 3 = 8 log2 x 3 ( 3 ± 17 . 2 ) (∗) Bài giải tham khảo
3x − 4 6 > 0 ( ) 2 (3x − 4) > 0 ⇔ 3x − 4 ≠ 0 ⇔ 0 < x ≠ 4 . ● Điều kiện: x
3 > 0 x > 0 3 x>0 2 2 (∗) ⇔ 6 log2 3x − 4 .3 log2 x = 8 1
log2 x + 2 log2 3x − 4 2 3 2 ( ⇔ 6 log2 3x − 4 .log2 x = 2 (log2 x ) + 4 log2 3x
− 4 2 ( ⇔ 2 (log2 x ) − log2 3x − 4 . log2 x + 2 log2 3x − 4 ( ) 2 ) 2 ) − 2 log2 3x − 4 .log2 x = 0 ( )
⇔ log2 x log2 x − log2 3x − 4 − 2 log2 3x − 4 − log2 3x − 4 + log2 x = 0 ( ⇔ log2 x − log2 3x − 4 )
(log 2 ) x − 2 log2 3x − 4 = 0 log x − log 3x − 4 = 0 2 ⇔ 2 log2 x − 2 log2 3x − 4 = 0
log2 x = log2 3x − 4 ⇔ 2 log2 x = 2 log2 3x − 4 = log2 3x − 4 x > 0 ⇔ x =
3x − 4 2 x = 3x − 4 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 98 -
101. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn x >
0 x = 3x − 4 ⇔ x = − (3x − 4) 2 9x − 25x + 16 = 0
⇔ x =1 ∨ x =2 ∨ x = 16 . 9 ● So với điều kiện, nghiệm phương trình là: x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = Thí dụ
145. ( ) 16 . 9 (∗) Giải phương trình: log 3 8 − x + x 2 + 9 = 2 Cao đẳng Du Lịch Hà Nội khối A năm
2006 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: 8 − x + x 2 + 9 > 0 . (∗) ⇔ 8 − x + ⇔ x2 + 9 = 9 x2 + 9 = x + 1
x + 1 ≥ 0 x ≥ −1 ⇔ x = 4 . ⇔ 2 ⇔ 2 x + 9 = x + 2x + 1 x = 4 ●
Thay nghiệm x = 4 vào điều kiện và thỏa điều kiện. ● Vậy nghiệm phương trình là x = 4 . Thí dụ 146.
Giải phương trình: log 1 (x − 3) = 1 + log 4 4 1 x (∗) Cao đẳng Kinh Tế – Công Nghệ Tp. Hồ Chí Minh
khối D1 năm 2006 Bài giải tham khảo x > 3 x − 3 > 0 ● Điều kiện: 1 ⇔ ⇔ x > 3.
>0 x > 0 x (∗) ⇔ − log (x − 3) − log 4 ⇔ log 4 ⇔ 4 1 =1 x x−3 = −1 x x−3 1 =
⇔ x = 4. x 4 ● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 4 . Thí dụ 147. Giải phương trình:
log2 x + log2 (x − 6) = log2 7 (∗) Cao đẳng Marketing năm 1999 www.DeThiThuDaiHoc.com Page -
99 -
102. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn Bài
giải tham khảo x > 0 x > 0 ● Điều kiện: ⇔ ⇔ x > 6 ⇒ Tập xác định: D = (6; +∞) .
x − 6 > 0 x > 6 (∗) ⇔ log x (x − 6) = log 2 2 7 ⇔ x2 − 6x − 7 = 0 ⇔ x =
−1 ∨ x = 7 . ● Kết hợp với tập xác định, nghiệm cần tìm là x = 7 . Thí dụ 148. Giải phương trình: log 4
(x + 2).log x 2 = 1 (∗) Bài giải tham khảo ● Điều kiện: 0 < x ≠ 1 . 1 1 (∗) ⇔ 2 log (x + 2). log 2 2 =1 x
⇔ log2 (x + 2) = 2 log2 x ⇔ log2 (x + 2) = log2 x 2 ⇔ x + 2 = x 2 ⇔ x = −1 ∨ x = 2 . ● So với điều
kiện, nghiệm của phương trình cần tìm là x = 2 . Thí dụ 149. Giải phương trình: 3 log x 3 − 3 log27 x =
2 log3 x 4 (∗) Cao đẳng Điện Lực Tp. Hồ Chí Minh năm 2006 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: 0 < x ≠ 1
. 3 1 (∗) ⇔ 4 . log ⇔ x 3 − log3 x − 2 log 3 x = 0 3 1 . = 3.log 3 x 4 log 3 x ⇔ log2 x = 3 1 . 4 ⇔
log 3 x = 1 1 ∨ log 3 x = − 2 2 ⇔x= 3 ∨ x= 1 . 3 ● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là x
= 3 ∨ x = 1 . 3 Thí dụ 150. ( ) Giải phương trình: log2 x2 − 1 = log 1 (x − 1) (∗) 2 Đại học Huế khối D,
R, R – Hệ chuyên ban năm 2000 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 100 -
103. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn Bài
giải tham khảo x 2 − 1 > 0 ● Điều kiện: ⇔ x > 1 ⇒ Tập xác định: D = (1; +∞) . x − 1 > 0
(∗) ⇔ log (x 2 2 ) − 1 + log2 (x − 1) = 0 ( ) ⇔ log2 x 2 − 1 (x − 1) = 0 ( ) ⇔ x 2 − 1 (x − 1) =
1 ( ) ⇔ x x2 − x − 1 = 0 ⇔x=0 ∨ x= 1+ 5 1− 5 . ∨ x= 2 2 ● So với tập xác định, nghiệm của phương
trình là: x = Thí dụ 151. ( 1+ 5 . 2 ) Giải phương trình: log2 x 2 − 3 − log2 (6x − 10) + 1 = 0 (∗) Cao
đẳng Kỹ Thuật Cao Thắng năm 2006 Bài giải tham khảo 2 x − 3 > 0 ⇔ x > 5 . ● Điều kiện:
6x − 10 > 0 3 (∗) ⇔ log2 ⇔ ( ) = log 2 x2 − 3 6x − 10 ( 2 1 ) =1 2 x2 − 3 6x − 10 ⇔ x 2 −
3x + 2 = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 2 . ● So với điều kiện, phương trình có nghiệm duy nhất là x = 2 . Thí dụ
152. Giải phương trình: log2 x + log 3 x + log 4 x = log20 x Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x > 0 . Cách
giải 1 (∗) ⇔ log 2 x+ log2 x log2 3 + log2 x log2 4 = log2 x log2 20 1 1 1 = 0 ⇔ log2
x. 1 + + − log2 3 log2 4 log2 20 ⇔ log2 x = 0 ⇔ x = 1. www.DeThiThuDaiHoc.com
Page - 101 - (∗)
104. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn ●
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 . Cách giải 2 ln x ln x ln x ln x (∗) ⇔ ln 2 + ln 3 + ln 4 − ln
20 = 0 1 1 1 1 = 0 ⇔ ln x. + + − ln 2 ln 3 ln 4 ln 20 ⇔ ln x = 0 ⇔ x = 1. ●
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 . Nhận xét Trong cách giải 1, tôi đã sử dụng công thức biến
đổi cơ số: loga x = log c x log c a cách giải 2, tôi cũng sử dụng công thức ấy nhưng cụ thể với c = e ,
lúc đó ln x loga x = . ln a Thí dụ 153. (∗) Giải phương trình: log2 x + log3 x + log5 x = log2 x.log 3
x.log5 x Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x > 0 . (∗) ⇔ log 2 x + log 3 x + log5 x = log2 x.log 3 x.log5 x
⇔ log2 x + log 3 2 log2 x + log5 2 log2 x = log2 x (log 3 5.log5 x ). log5 x ( ) ⇔ log2 x 1 + log 3 2 +
log5 2 − log 3 5.log2 x = 0 5 log x = 0 ⇔ 2 2 1 + log 3 2 + log5 2 − log 3 5.log5 x = 0 x =
1 ⇔ 2 1 + log 3 2 + log5 2 log5 x = log 3 5 x = 1 ⇔ 1 + log 3 2 + log5 2 log5
x = ± log 3 5 x = 1 ⇔ ± x = 5 1+log 3 2+log5 2 . log 3 5 ± ● So với điều kiện, nghiệm
phương trình là x = 1 ∨ x = 5 Nhận xét www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 102 - 1+log 3 2+log5 2 log3
5 và trong .
105. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit log c x Trong bài giải
trên, tôi đã sử dụng công thức: loga x = log c a Ths. Lê Văn Đoàn ⇔ log c x = log c a.loga x để đưa về
log2 x nhằm xuất hiện nhân tử chung. Thí dụ 154. Giải phương trình: 8 ( log2 x2 −8 ) 3 = ( x − 2) (∗)
Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x 2 − 8 > 0 ⇔ x < −2 2 ∨ x > 2 2 . (∗) ⇔ 2 ( 3 log2 x2 −8 ) 3 = (x −
2) Nhận xét 3 3 log (x −8) = ( x − 2) ⇔ 2 2 2 ⇔2 ( log2 x2 −8 ( ⇔ x2 − 8 ) Trong
bài giải trên, tôi đã sử dụng công thức: với = x −2 log2 2 ) và . Ta có công thức trên là do: = x −2 (lấy
logb hai vế) ⇔ x2 − 8 = x − 2 (luôn đúng). ⇔ x2 − x − 6 = 0 ⇔ x = −2 ∨ x = 3 . ● So với điều kiện,
phương trình có nghiệm duy nhất: x = 3 . Thí dụ 155. ( ) ( ) (∗) Giải phương trình: 1 + log2 9x − 6 =
log2 4.3x − 6 Cao đẳng Kỹ Thuật Y Tế I năm 2006 Bài giải tham khảo 9x − 6 > 0 ● Điều kiện:
x . 4.3 − 6 > 0 (∗) ⇔ log 2 ( ) ( ) 2 + log2 9x − 6 = log2 4.3 x − 6 ⇔ log2 2. 9x − 6
= log2 4.3x − 6 ( ) ( ) ⇔ 2.9x − 12 = 4.3x − 6 2 ( ) ⇔ 2. 3x − 4.3x − 6 = 0 3 x = −1 ⇔ x
1 3 = 3 (L ) ⇔ x = 1 . ● Thay x = 1 vào điều kiện và thỏa điều kiện. Vậy nghiệm của phương trình là
x = 1 . Thí dụ 156. Giải phương trình: x2 log x 27.log9 x = x + 4 (∗) Đại học Huế khối D – Hệ chuyên
ban năm 1999 Bài giải tham khảo www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 103 -
106. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn ●
Điều kiện: 0 < x ≠ 1 . (∗) ⇔ x .log 2 9 x.log x 27 = x + 4 ⇔ x 2 log9 27 = x + 4 ⇔ x2 . 3 4 = x + 4
⇔ x = − ∨ x = 2. 2 3 ● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 2 . Thí dụ 157. Giải
phương trình: log x 4. log2 5 − 12x =2 12x − 8 (∗) Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Công Nghiệp I năm
2006 Bài giải tham khảo 0 < x ≠ 1 0 < x ≠ 1 ● Điều kiện: 5 − 12x . ⇔ 5
<x<2 >0 12x − 8 12 3 1 (∗) ⇔ log 2 ⇔ log2 ⇔ x .log2 5 − 12x =1 12x − 8 5 −
12x = log2 x 12x − 8 5 − 12x 1 5 =x⇔x= ∨ x =− . 12x − 8 2 6 ● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của
phương trình là x = Thí dụ 158. Giải phương trình: log9 x = log 3 ( ) 2x + 1 − 1 1 . 2 (∗) Cao đẳng Sư
Phạm Hưng Yên khối D1, M năm 2006 Bài giải tham khảo x > 0 ● Điều kiện: ⇔ x > 0. 2x +
1 − 1 > 0 (∗) ⇔ log 3 x = log 3 ( ) 2x + 1 − 1 ⇔ x = 2x + 1 − 1 ⇔ x = 2x + 2 − 2 2x + 1 ⇔
x + 2 = 2 2x + 1 ⇔ x 2 + 4x + 4 = 8x + 4 ⇔ x 2 − 4x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 4 . ● Kết hợp với điều kiện,
nghiệm của phương trình là x = 4 . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 104 -
107. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Thí dụ 159. www.MATHVN.com 2 Giải
phương trình: log2 (x + 1) + log2 x 2 + 2x + 1 = 6 Ths. Lê Văn Đoàn (∗) Đại học Huế khối R, T – Hệ
chưa phân ban năm 1999 Bài giải tham khảo x + 1 ≠ 0 x ≠ −1 ● Điều kiện: 2 ⇔ ⇔ x
≠ −1 . 2 x + 2x + 1 > 0 (x + 1) > 0 (∗) ⇔ 2 log 2 x + 1 + log2 x + 1 = 6 ⇔ 3
log2 x + 1 = 6 x = 3 ⇔ x + 1 = 4 ⇔ . x = −5 ● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương
trình là: x = −5 ∨ x = 3 . Thí dụ 160. Giải phương trình: 2 1 log2 (x − 1) + log 1 (x + 4) = log2 (3 − x )
2 2 (∗) Cao đẳng Sư Phạm Hải Phòng – Đại học Hải Phòng năm 2004 Bài giải tham khảo x
− 1 ≠ 0 x ≠ 1 −4 < x < 3 ● Điều kiện: x + 4 > 0 ⇔ x > −4 ⇔ . x ≠ 1
3 − x > 0 x < 3 (∗) ⇔ log 2 x − 1 − log2 (x + 4) = log2 (3 − x ) ⇔ log2 x − 1
= log2 (3 − x )(x + 4) ⇔ x − 1 = (3 − x )(x + 4) ⇔ x − 1 = −x2 − x + 12 2 −x − x + 12 ≥ 0
⇔ x − 1 = −x 2 − x + 12 2 x − 1 = x + x − 12 −4 ≤ x ≤ 3
⇔ x = −1 + 14 ∨ x = −1 − 14 x = − 11 ∨ x = 11 ⇔ x = − 11 ∨ x = −1 +
14 . ● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là: x = − 11 ∨ x = −1 + 14 . Thí dụ 161. Giải
phương trình: 2 3 3 3 log 1 (x + 2) − 3 = log 1 (4 − x ) + log 1 (x + 6) 2 4 4 4
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 105 - (∗)
108. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn Cao
đẳng Sư Phạm Lai Châu khối A năm 2005 Bài giải tham khảo x +2 2 > 0 ( ) x ≠ 2 3
● Điều kiện: (4 − x ) > 0 ⇔ . −6 < x < 4 3 (x + 6) (∗) ⇔ 3 log 1 4 x
+ 2 − 3.log 1 4 ( 1 = 3 log 1 (4 − x ) + 3 log 1 (x + 6) 4 4 4 ) ⇔ log 1 4 x + 2 = log 1 (4 − x )(x + 6) 4
4 ⇔ 4 x + 2 = (4 − x )(x + 6) ⇔ 4 x + 2 = −x 2 − 2x + 24 4x + 8 = −x 2 − 2x + 24 4x + 8 = x 2 +
2x − 24 ⇔ ∨ x + 2 ≥ 0 x + 2 < 0 x 2 + 6x − 16 = 0 x2 − 2x − 32
= 0 ⇔ ∨ x ≥ −2 x < −2 x = 2 ∨ x = −8 x = 1 ± 33 ⇔
∨ x ≥ −2 x < −2 ⇔ x = 2 ∨ x = 1 − 33 . ● Thí dụ 162. Kết hợp với điều kiện,
nghiệm của phương trình là x = 2 ∨ x = 1 − 33 . ( ) 2 Giải phương trình: 2 log3 x 3 + 1 = log3 (2x − 1)
+ log 3 (x + 1) (∗) Đề thi thử Đại học năm 2013 – THPT Hà Huy Tập – Hà Tỉnh Bài giải tham khảo x
3 + 1 > 0 x > −1 2x − 1 ≠ 0 ⇔ ● Điều kiện: . x ≠ 1 x + 1 > 0 2
(∗) ⇔ 2 log (x + 1)(x 3 2 − x + 1 = 2 log3 2x − 1 + 2 log3 (x + 1) ) ⇔ log3
(x + 1) x 2 − x + 1 = log3 (x + 1) 2x − 1 ( ( ) ) ⇔ (x + 1) x 2 − x + 1 = (x +
1) 2x − 1 ⇔ 2x − 1 = x 2 − x + 1 (do : x > −1 ⇒ x + 1 > 0) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 106 -
109. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn 2x
− 1 = x 2 − x + 1 1 − 2x = x2 − x + 1 ⇔ ∨ 2x − 1 ≥ 0 2x − 1 < 0
⇔ x = 0 ∨ x = 1 ∨ x = 2. ● Kết hợp với điều kiện, phương trình có ba nghiệm: x = 0 ∨ x = 1 ∨ x = 2 .
Thí dụ 163. 2 ( ) Giải phương trình: log9 x 2 − 5x + 6 = 1 log 2 3 x −1 + log3 x − 3 2 (∗) Học Viện
Công Nghệ Bưu Chính Viễn Thông năm 2000 Bài giải tham khảo x2 − 5x + 6 ≠ 0 x ≠ 2
● Điều kiện: x − 1 > 0 ⇔ x ≠ 3 ⇒ Tập xác định: D = (1; +∞) {2; 3} . x −
3 ≠ 0 x > 1 (∗) ⇔ log 3 x 2 − 5x + 6 = log3 ( x −1 + log3 x − 3 2 ) ⇔ log3 x − 2 . x
− 3 = log3 x −1 + log3 x − 3 2 ⇔ log3 x − 2 + log3 x − 3 = log3 ⇔ x −2 = x −1 + log3 x − 3 2 x −1 2
x ≥ 1 x − 1 ≥ 0 x = 5 5 2 x − 2 = −x + 1 ( ⇔ ⇔ x= ⇔
) 3. 3 2 x −2 = x −1 x=3 ) ( x = 3 ● Kết hợp với
tập xác định, nghiệm của phương trình là x = Thí dụ 164. Giải phương trình: 5 . 3 2012 1 1 log 3 3 (x +
1) + log81 (x − 3) = 5 log243 4 (x − 2) 3 503 (∗) Đề thi thử Đại học năm 2013 – THPT
Lương Ngọc Quyến – Thái Nguyên Bài giải tham khảo x + 1 > 0 x > 2 ● Điều kiện: x − 3
≠ 0 ⇔ . x ≠ 3 x − 2 > 0 (∗) ⇔ log (x + 1) + log 3 3 x − 3 = log 3 4 (x
− 2) ⇔ log 3 (x + 1) x − 3 = log 3 4 (x − 2) ⇔ (x + 1) x − 3 = 4
(x − 2) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 107 -
110. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn (x
+ 1)(x − 3) = 4x − 8 (x + 1)(x − 3) = 8 − 4x ⇔ ∨ x − 3 ≥ 0 x − 3 ≤ 0
x = 1 ∨ x = 5 x = −1 ± 2 3 ⇔ ∨ x ≥ 3 x ≤ 3 ⇔ x = 5 ∨ x = −1
± 2 3 . ● So với điều kiện, phương trình có hai nghiệm: x = 5 ∨ x = −1 + 2 3 . Thí dụ 165. 2 Giải
phương trình: log4 (x + 1) + 2 = log 3 4 − x + log8 (4 + x ) 2 (∗) Đại học Bách Khoa Hà Nội khối D
năm 2000 Bài giải tham khảo x +1 2 > 0 ( ) 4 − x > 0 ⇔ x ≠ − 1 ● Điều kiện:
⇒ Tập xác định: D = (−4; 4) {−1} . −4 < x < 4 3 (4 + x ) > 0 (∗) ⇔ log 2 x +
1 + log2 4 = log2 (4 − x ) + log2 (4 + x ) ⇔ log2 4 x + 1 = log2 (4 − x )(4 + x ) ⇔ 4 x + 1 = 16 − x 2
4 (x + 1) = 16 − x2 −4 (x + 1) = 16 − x 2 ⇔ ∨ x + 1 ≥ 0 x + 1 < 0
x < −1 x ≥ − 1 x = 2 x = 2 − 24 ⇔ (N ) ∨ x
= −6 ( L ) x = 2 + 24 (N ) (L ) ⇔ x = 2 ∨ x = 2 − 24 . ● Vậy nghiệm phương trình là x =
2 ∨ x = 2 − 24 . Thí dụ 166. ( ) ( ) Giải phương trình: (x − 1) log5 3 + log5 3x+1 + 3 = log5 11.3x − 9
(∗) Đại học Sư Phạm Vinh khối D, G, M năm 2000 Bài giải tham khảo x+1 3 + 3 > 0 . ● Điều
kiện: 11.3 x − 9 > 0 (∗) ⇔ log 5 ( ) ( ) 3x−1 + log5 3x+1 + 3 = log5 11.3x − 9 ⇔ log5
3x−1. 3x+1 + 3 ( ) = log (11.3 5 x ) −9 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 108 -
111. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn ⇔
32x + 3x = 11.3x − 9 2 ( ) ⇔ 3x − 10.3x + 9 = 0 3x = 1 x = 0 ⇔ x ⇔ . 3 = 9 x
= 2 ● So với điều kiện, nghiệm của phương trình là: x = 0 ∨ x = 2 . Thí dụ 167. Giải phương trình: ( ) ( )
( ) ( ) (∗) log2 x 2 + x + 1 + log2 x2 − x + 1 = log2 x 4 + x2 + 1 + log2 x 4 − x2 + 1 Học Viện Quan Hệ
Quốc Tế khối D năm 2000 Bài giải tham khảo x 2 + x + 1 > 0 2 x − x + 1 > 0 ● Điều
kiện: 4 ⇒ Tập xác định D = » . x + x 2 + 1 > 0 4 x − x 2 + 1 > 0 (∗) ⇔ log (x
2 2 + 1 + x x2 + 1 − x = log2 x 4 + x 2 + 1 + log2 x 4 − x 2 + 1 ) ( ) ( ) ( ) 2
⇔ log2 x 2 + 1 − x2 = log2 x 4 + x2 + 1 + log2 x 4 − x 2 + 1 ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ) ⇔
log2 x 4 + x2 + 1 = log2 x 4 + x 2 + 1 + log2 x 4 − x 2 + 1 ⇔ log2 x 4 − x 2 + 1 = 0 ⇔ x 4 − x2 + 1 =
1 ⇔ x 4 − x2 = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = ±1 ● Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: x = 0 ∨ x = −1 ∨ x = 1
. Thí dụ 168. ( 1 log 2 ) Giải phương trình: 2 log2 x + log 1 1 − x = 2 2 (x − 2 x +2 ) (∗) Đại học khối D
năm 2013 Bài giải tham khảo x > 0 x > 0 ● Điều kiện: 1 − x > 0 ⇔
x <1 ⇔ 0 < x < 1. 2 x − 2 x + 2 > 0 x −1 +1 > 0 ( (∗) ⇔ log ) ( 2
x − 1 + 1 x 2 − log2 1 − x = log2 2 ( ) ) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 109 -
112. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit ⇔ log2 x2 =
log2 1 − x 1 − x ( )( ⇔ x2 = 1 − x 1 − x ( ● )( ) + 1
2 2 Ths. Lê Văn Đoàn ) + 1 (1) Đặt t = 1 − x . Do 0 < x < 1 ⇒ 0 < t < 1 . 2 2 ⇒ x = 1 − t
⇔ x = (1 − t) ⇔ x 2 = (1 − 2t) + t2 = t4 − 4t3 + 6t2 − 4t + 1 . (1) ⇔ t 4 ( ) − 4t3 + 6t2
− 4t + 1 = t t2 + 1 (2) ⇔ t4 − 5t3 + 6t2 − 5t + 1 = 0 ● Do t ∈ (0;1) nên chia hai vế (2) cho t2 ≠ 0, ta
được: (2) ⇔ t 2 − 5t + 6 − 5 1 + =0 t t2 1 1 ⇔ t2 + 2 − 5 t + + 6 = 0
t t ● Đặt u = t + 1 t (3) Cauchy ≥ 2 ⇒ u2 = t2 + 2 + 1 1 ⇒ t2 + 2 = u2 − 2 . 2 t t
u = 4 (N ) 3) ⇔ u2 − 5u + 4 = 0 ⇔ ⇔ u = 4. ( u = 1 (L) 1 ⇒ t + = 4 ⇔ t2 − 4t + 1 = 0 ⇔ t
⇒ 1− x = 2 − 3 ⇔ ● Thí dụ 169. t = 2 − 3 t = 2 + 3 (N ) ⇔ t = 2 − (L ) 3. x = 3 −1 ⇔ x =
4 −2 3 . So với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 4 − 2 3 . Giải phương trình: log 3 3 x3 1 = +
log2 x . log2 x − log 3 x 2 3 (∗) Cao đẳng Y Tế Nghệ An năm 2004 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x >
0 . (∗) ⇔ (log 3 ( ) 3 − log 3 x ).log2 x − log 3 x 3 − log 3 3 = 1 1 + log2 x 2 2 1 1 1 ⇔ (1 −
log 3 x ). log2 x − 3 log 3 x − = + log2 x 2 2 2 ⇔ log2 x − log2 x.log3 x − 3 log 3 x
+ 1 1 1 − − log2 x = 0 2 2 2 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 110 -
113. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit ⇔ Ths. Lê Văn Đoàn 1
log2 x − log2 x.log 3 x − 3 log 3 x = 0 2 ⇔ log2 x − 2 log2 x.log 3 x − 6 log 3 x = 0 ⇔ log2 x − 2 log2
x.log 3 x − 6. log2 x log2 3 =0 ⇔ log2 x. 1 − 2 log 3 x − 6 log 3 2 = 0 log x = 0 x = 1
2 ⇔ 1 3 ⇔ 3. log x = − 3 log 2 = log 3 − log 8 = log x= 3 3 3 3 3 2 8 8 ● Kết
hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 1 ∨ x = Thí dụ 170. Giải phương trình: 3 + 89x 25
1 = log x − 2 log 32 x 2x 3 . 8 (∗) Cao đẳng Giao Thông Vận Tải III khối A
năm 2006 Bài giải tham khảo x ≠ 1 0 < x ≠ 1 0 < x ≠ 1 2 5 . ● Điều
kiện: 89x 25 ⇔ 89x − 25 ⇔ x ∈ ; +∞ − >0 >0 89 2
2x 2x (∗) ⇔ 3 + logx 32 = logx 89x2 − 25 2x ⇔ log x x 3 + log x 32 = log x ⇔ log
x 32x 3 = log x ⇔ 32x 3 = 89x2 − 25 2x 89x 2 − 25 2x 89x2 − 25 2x ⇔ 64x 4 − 89x 2 + 25 = 0 ⇔ x2
= 1 ∨ x2 = 25 64 5 ⇔ x = ±1 ∨ x = ± . 8 ● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là: x = Thí
dụ 171. 5 . 8 Giải phương trình: log 4 x − x 2 − 1 . log 5 x + x 2 − 1 = log20
x − x 2 − 1 (∗) Đại học Sư Phạm Vinh khối A, B năm 2001
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 111 -
114. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn Bài
giải tham khảo 2 x − x − 1 > 0 ● Điều kiện: x + x 2 − 1 > 0 ⇔ x ≥ 1 . 2 x − 1 ≥ 0
(∗) ⇔ log 4 ( ) ( − 1). log 20. log (x + ) ( − 1) − 1 = 0 ) 20.log20 x − x 2
− 1 .log5 x + x2 − 1 − log20 x − x2 − 1 = 0 ( ⇔ log20 x − x2 4 5 x2 2 log20 x − x − 1 = 0 ⇔
2 log 4 20.log5 x + x − 1 − 1 = 0 ( ) ( ) 2 x − x − 1 = 1 ⇔ 1 2 = log20 4 log5 x + x +
1 = log 4 20 ( ) 2 x −1 = x −1 ⇔ log20 4 2 x + x + 1 = 5 x − 1 ≥ 0 2
2 ⇔ x − 1 = x − 2x + 1 2 log20 4 −x x + 1 = 5 x ≥ 1 x = 1
⇔ x ≥ 5log20 4 = a 2 x + 1 = a 2 − 2ax + x 2 x = 1 ⇔ 2
2ax = a − 1 x = 1 ⇔ x = 1 a2 − 1 2a ( ) x = 1 ⇔ . 1 log 4 x = 25 20 − 1 log 4
2.5 20 ( ) ● So với điều kiện, nghiệm phương trình là: x = 1 ∨ x = www.DeThiThuDaiHoc.com
Page - 112 - 1 2.5 log20 4 (25 log20 4 ) −1 .
115. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn Các
thí dụ về giải bất phương trình logarit đưa về cùng cơ số Thí dụ 172. Giải bất phương trình: 5 log 3 x−2
x (∗) <1 Cao đẳng Kinh Tế – Công Nghệ Tp. Hồ Chí Minh khối A năm 2006 Bài giải tham khảo x −2 > 0
⇔ x < 0 ∨ x > 2. x ● Điều kiện : (∗) ⇔ log3 x −2 x −2 −2 <0⇔ <1 ⇔ < 0 ⇔ x > 0. x x x ● Kết hợp
với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (2; +∞) . Thí dụ 173. Giải bất phương trình: log 1
(x 2 − 3x + 2) ≥ −1 (∗) 2 Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1999 Bài giải tham khảo (∗) ⇔ − log
(x ) 2 − 3x + 2 ≥ 1 2 ( ) ⇔ log2 x 2 − 3x + 2 ≤ 1 x 2 − 3x + 2 > 0 x < 1 ∨ x > 2 0 ≤ x < 1
⇔ 2 ⇔ ⇔ . x − 3x + 2 ≤ 2 0 ≤ x ≤ 3 2 < x ≤ 3 ● Vậy tập
nghiệm của bất phương trình là x ∈ 0;1) ∪ (2; 3 . Thí dụ 174. Giải bất phương trình: log 3
3x − 5 <1 x +1 (∗) Cao đẳng Tài Chính – Hải Quan khối A năm 2006 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: 3x
− 5 5 > 0 ⇔ x < −1 ∨ x > . x +1 3 − (∗) ⇔ 3x+ 15 < 3 x ⇔ 3x − 5 −3< 0 x +1 ⇔ −8 <0 x +1 ⇔ x
+ 1 > 0 ⇔ x > −1 . 5 ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ ; +∞ .
3 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 113 -
116. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Thí dụ 175. Giải bất phương trình: log 1 2
www.MATHVN.com x 2 − 3x + 2 ≥0 x Ths. Lê Văn Đoàn (∗) Bài giải tham khảo ● Điều kiện: (∗) ⇔
x2 − 3x + 2 >0⇔ x 0 < x < 1 . x > 2 x2 − 3x + 2 ≤1 x ⇔ x 2 − 3x + 2 −1 ≤ 0 x ⇔ x2 −
4x + 2 ≤0 x 2 − 2 ≤ x < 1 . ⇔ 2 < x ≤ 2 + 2 ) ( ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất
phương trình là x ∈ 2 − 2;1 ∪ 2;2 + 2 . Thí dụ 176. x 2 + 8x − 1 ≤2 Giải bất
phương trình: log2 x +1 (∗) Đại học Quốc Gia Hà Nội – khối B năm 1999 Bài giải
tham khảo 2 x ∗) ⇔ 2 ( x + 8x − 1 >0 x +1 + 8x − 1 ≤4 x +1
−4 − 17 < −1 ⇔ x > −4 + 17 2 x + 4x − 5 ≤0 x +1 −4
− 17 < −1 x > −4 + 17 ⇔ x ≤ −5 −1 ≤ x ≤ 1
−4 − 17 < x ≤ −5 ⇔ . −4 + 17 < x ≤ 1 ● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: x ∈ −4 − 17;
−5 ∪ −4 + 17;1 . ( www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 114 - ( )
117. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Thí dụ 177. www.MATHVN.com x2 + x
Giải bất phương trình: log 0,7 log6 <0 x+4 Ths. Lê Văn Đoàn (∗) Bài giải tham
khảo Đại học khối B năm 2008 ● Điều kiện: (∗) ⇔ log x2 + x >0⇔ x+4 −4 < x < −1 . x >
0 x2 + x log6 < log 0,7 1 0,7 x+4 ⇔ log6 x2 + x >1 x+4 ⇔ x2 + x >6
x+4 ⇔ x 2 − 5x − 24 >0 x+4 −4 < x < −3 . ⇔ x > 8 ● Kết hợp với điề kiện, tập nghiệm của
bất phương trình là: x ∈ (−4; −3) ∪ (8; +∞) . Thí dụ 178. Giải bất phương trình: 2 log 3 (4x − 3) + log 1
(2x + 3) ≤ 2 (∗) 3 Bài giải tham khảo 4x − 3 > 0 3 ● Điều kiện: ⇔x> . 2x + 3 > 0 4 2
(∗) ⇔ log (4x − 3) 3 ≤ 2 + log3 (2x + 3) 2 ⇔ log3 (4x − 3) ≤ log 3 9 (2x + 3) 2 ⇔ (4x −
3) ≤ 9 (2x + 3) ⇔ 16x2 − 42x − 18 ≤ 0 3 ⇔ − ≤ x ≤ 3. 8 3 ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất
phương trình là x ∈ ; 3 . 4 Thí dụ 179. Giải bất phương trình: 1 1 log2 x 2 +
4x − 5 > log 1 x + 7 2 2 ( ) Bài giải tham khảo www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 115
- (∗)
118. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn 2
x + 4x − 5 > 0 ⇔ x ∈ −7; −5 ∪ 1 + ∞ . ● Điều kiện: ( ) ( ) x + 7 > 0 (∗) ⇔ log (x 2
2 + 4x − 5) > −2 log2 ( 1 x+7 2 ) ⇔ log2 x2 + 4x − 5 > log2 (x + 7) ⇔ x 2 + 4x − 5 > x 2 + 14x + 49
⇔ −10x > 54 ⇔ x <− 27 . 5 27 ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x
∈ −7; − . 5 Thí dụ 180. ( ) ( ) (∗) Giải bất phương trình: log5 4 x + 144 − 4 log5 2 <
1 + log5 2 x−2 + 1 Bài giải tham khảo (∗) ⇔ log (4 5 x + 144 − log5 16 < log5 5 2x−2 + 1
) ( ) ⇔ log5 4 x + 144 < log5 80 2 x−2 + 1 ( ) ( ( ) ) ⇔ 4 x + 144 < 80 2x−2 + 1 ⇔ 4
x − 20.2x + 64 < 0 ⇔ 4 < 2x < 16 ⇔ 2 < x < 4. ● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (2; 4) .
Thí dụ 181. Giải bất phương trình: ( ) x 2 − 4x + 3 + 1 log5 x 1 + 5 x ( ) 8x − 2x2 − 6 + 1 ≤ 0 (∗) Đại
học Kinh Tế Quốc Dân Hà Nội khối A năm 2000 Bài giải tham khảo 2 x − 4x + 3 ≥ 0
x ≤ 1 ∨ x ≥ 3 x = 1 −2x 2 + 8x − 6 ≥ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 3 ● Điều kiện: . ⇔
x = 3 x x > 0 >0 5 ● Với x = 1 : (∗) ⇔ 0 ≤ 0 : thỏa. Do đó, phương trình có
một nghiệm x = 1 . ● Với x = 3 : (∗) ⇔ log5 3 1 3 3 + = log5 ≤ 0 : không thỏa do log5 > log5 1 = 0 . 3
3 5 3 5 5 ● Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm là x = 1 . www.DeThiThuDaiHoc.com Page -
116 -
119. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Thí dụ 182. www.MATHVN.com Ths. Lê
Văn Đoàn (∗) Giải bất phương trình: 1 + log x 2000 < 2 Đại học Đà Nẵng năm 2000 Bài giải tham khảo
(∗) ⇔ −2 < 1 + log x 2000 < 2 ⇔ −3 < log x 2000 < 1 (∗ ∗) x > 1 ⇔ x > 2000 . x > 1 : (∗
∗) ⇔ 1 ● Trường hợp 1: < 2000 < x x3 0 < x < 1 1 ⇔0<x< ● Trường hợp
2: 0 < x < 1 : (∗ ∗) ⇔ 1 . 3 > 2000 > x 2000 3 x 1 ∪ (2000; +∞) . ● Vậy
tập nghiệm của bất phương trình là: x ∈ 0; 3 2000 Thí dụ 183. 1 1 > (x−1) 4 2 Giải bất
phương trình: log (∗) 2 Cao đẳng Sư Phạm Nhà Trẻ – Mẫu Giáo TWI năm 2004 Bài giải tham khảo 2 ●
Điều kiện: 0 < (x − 1) ≠ 1 ⇔ x ≠ 0 ∧ x ≠ 1 ∧ x ≠ 2 . 1 (∗) ⇔ 2 log x−1 ⇔ log x−1 1 1 > 4 2 1 > log
x−1 x − 1 4 (∗ ∗) 1 x −1 > 1 > x −1 ⇔ ● Nếu x − 1 > 1 thì (∗ ∗) ⇔ 4 (vô
lí) ⇒ Không có x thỏa. x −1 < 1 x −1 > 1 4 ● Nếu 0 < x − 1 < 1 thì 1 0
< x − 1 < 1 0 < x < 3 < x −1 1 4. ⇔ ⇔ 0 < x −1 < ⇔ (∗ ∗) ⇔ 4 x
−1 < 1 4 5 < x < 2 0 < x − 1 < 1 4 4 3 5 ● Kết hợp với
điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ 0; ∪ ;2 . 4 4 Thí dụ
184. Giải bất phương trình: log x2 (4x + 5) ≤ 1 (∗) Đại học Dân Lập Hùng Vương ban B năm 2000 Bài
giải tham khảo www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 117 -
120. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn
1 ≠ x 2 > 0 x ≠ 0 ∨ x ≠ 1 5 ● Điều kiện: ⇔ ⇒ Tập xác định: D = − ; +∞
{0;1} . 5 4 4x + 5 > 0 x > − 4 1 (∗) ⇔ 2 log (4x + 5) ≤ 1 x ⇔
log x (4x + 5) ≤ 2 0 < x < 1 x >1 ⇔ ∨ 4x + 5 ≥ x2 4x + 5 ≤ x 2
−1 ≤ x ≤ 5 . ⇔ x ≤ −1 ∨ x ≤ 5 5 ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm là: x ∈ − ;
−1 ∪ (−1; 0) ∪ (0;1) ∪ 5; +∞) . 4 Thí dụ 185. (1−x ) ( Giải bất phương trình: log 2
1 − x) ≥ 1 (∗) Đại học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh khối B năm 2001 Bài giải tham khảo 1 − x > 0
1 − x2 > 0 ⇔ −1 < x < 1 ⇒ Tập xác định : D = −1;1 0 . ● Điều kiện: ( ) {} x ≠ 0
1 − x2 ≠ 1 (∗) ⇔ log( 1−x2 ( )( )( 1 − x ) ≥ log 1−x2 1 − x 2 ( )( ) ) ⇔ 1 − x2 − 1 1 −
x − 1 + x2 ≥ 0 ( ) ⇔ x2 x2 − x ≤ 0 ⇔ x2 − x ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 1. ● Kết hợp với tập xác định, tập nghiệm
của bất phương trình là: x ∈ (0;1) . Thí dụ 186. ( ) Giải bất phương trình: log x 5x 2 − 8x + 3 > 2 (∗)
Cao đẳng Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh năm 2005 Bài giải tham khảo 0 < x ≠ 1 0 < x ≠ 1 3
● Điều kiện: 2 ⇔ ⇔ x ∈ 0; ∪ (1; +∞) . 3 5 ∨ x >1 5x − 8x + 3
> 0 x < 5 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 118 -
121. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn
x ∈ 0; 3 x ∈ (1; +∞) 5 ∗) ⇔ ∨ 2 ( 2 5x − 8x + 3 >
x 2 5x − 8x + 3 < x 2 x ∈ 0; 3 x ∈ (1; +∞) 5
⇔ ∨ 1 3 x ∈ −∞; ∪ ; +∞ x ∈ 1 ; 3
2 2 2 2 1 3 3 ⇔ x ∈
; ∨ x ∈ ; +∞ . 2 5 2 1 3 3 ● Vậy tập nghiệm của
phương trình là x ∈ ; ∪ ; +∞ . 2 5 2 Thí dụ 187. 5+x Giải bất
phương trình: x 5 − x < 0 2 − 3x + 1 lg (∗) Đại học Luật – Đại học Xây Dựng Hà Nội năm 2000 Bài giải
tham khảo −5 < x < 5 5 + x > 0 ⇔ ⇒ Tập xác định: D = (−5;5) {1; 3} . ● Điều kiện:
5 − x x x ≠ 1 ∨ x ≠ 3 2 − 3x + 1 ≠ 0 lg 5 + x > 0 lg 5 + x < 0
∨ 5−x (∗) ⇔ x 5 − x x 2 − 3x + 1 < 0 2 − 3x + 1 > 0 5 + x
> 1 5 + x < 1 ⇔ 5 − x ∨ 5 − x x x 2 < 3x + 1 2 > 3x + 1 2x
2x >0 <0 ⇔ 5 − x ∨ 5 − x x < 1 ∨ x > 3 1 < x < 3 0 < x
< 5 x < 0 ∨ x > 5 ⇔ ∨ . x < 1 ∨ x > 3 1 < x < 3 ● Kết hợp với tập xác
định, tập nghiệm của bất phương trình là: x ∈ (−5; 0) ∪ (1; 3) . 2 3 log 1 (x + 3) − log 1 (x + 3) Thí dụ
188. Giải bất phương trình: 2 3 x +1 >0 (∗) Cao đẳng Sư Phạm Bắc Ninh năm 2004 Bài giải tham khảo ●
Điều kiện: −3 < x ≠ 1 . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 119 -
122. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit ● x + 1 < 0 Trường
hợp 1. ⇔ −3 < x < −1 −3 < x ≠ 1 Ths. Lê Văn Đoàn (1) . Lúc đó: (∗) ⇔ 2 log (x + 3) − 3
log (x + 3) < 0 1 2 1 3 ⇔ −2 log2 (x + 3) + 3 log 3 (x + 3) < 0 ⇔ −2 log2 3.log 3 (x + 3) + 3 log 3 (x
+ 3) < 0 ⇔ log 3 (x + 3). (−2 log2 3 + 3) < 0 ⇔ log 3 (x + 3) > 0 (do : − 2 log2 3 + 3 < 0) ⇔ x+3>1
(2) ⇔ x > −2 (1), (2) ⇒ x ∈ (−2; −1) x + 1 > 0 ● Trường hợp 2. ⇔ 1 ≠ x > −1 −3 < x ≠ 1
(3) . Lúc đó: (∗) ⇔ 2 log (x + 3) − 3 log (x + 3) > 0 1 2 1 3 ⇔ −2 log2 (x + 3) + 3 log 3 (x + 3)
> 0 ⇔ −2 log2 3.log 3 (x + 3) + 3 log 3 (x + 3) > 0 ⇔ log 3 (x + 3). (−2 log2 3 + 3) > 0 ⇔ log 3 (x +
3) < 0 (do : − 2 log2 3 + 3 < 0) ⇔ x+3<1 (4 ) ⇔ x < −2 ( 3) , ( 4 ) ⇒ x ∈ ∅ . ● Vậy tập nghiệm của
bất phương trình là x ∈ (−2; −1) . Nhận xét: Khi giải bất phương trình loga có dạng tích số hay dạng
thương, ta có thể chia ra từng trường hợp về dấu của các thành phần để giải. Cụ thể, ta có một số dạng
như sau: f (x ) > 0 f (x ) < 0 f (x ).g (x ) > 0 ⇔ ∨ . g (x ) > 0 g (x ) < 0
f (x ) < 0 f (x ) > 0 f (x ).g (x ) < 0 ⇔ ∨ . g (x ) > 0 g (x ) < 0
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 120 -
123. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn f
(x ) > 0 f (x ) < 0 >0⇔ ∨ . g (x ) > 0 g (x ) < 0 g (x ) f (x ) f (x
) < 0 f (x ) > 0 <0⇔ ∨ . g (x ) > 0 g (x ) < 0 g (x ) f (x ) Suy luận
tương tự cho trường hợp có dấu " = " nhưng lưu ý, mẫu số khác 0 . Thí dụ 189. Giải bất phương trình: 1
log 1 2x2 − 3x + 1 > 1 log 1 (x + 1) (∗) 3 3 Đại học Kinh Tế Tp. Hồ Chí Minh khối A năm 1998 ● Nhận
xét 1 Dạng tổng quát của bài toán là loga f (x ) > 1 log b g (x ) . — Tìm điều kiện xác định của phương
trình. — Xét dấu các mẫu thức. — Nhân hai vế của bất phương trình với tích các mẫu thức. — Dựa vào
bảng xét dấu để giải bất phương trình. Bài giải tham khảo x < 1 ∨ x > 1 2x2 − 3x + 1 > 0
2 2 2x − 3x + 1 ≠ 1 3 ● Điều kiện: ⇔ x ≠ 0, x ≠ ⇔ 2 x + 1 > 0
x > − 1 x + 1 ≠ 1 x ≠ 0 (∗) ⇔ ⇔ 1 − log 3 2x 2 − 3x + 1 1 log 3 2x 2 −
3x + 1 < > −1 < x < 1 , x ≠ 0 2 . x > 1, x ≠ 3 2 1 − log 3 (x + 1) 1 (1) log 3 (x + 1) ●
Dựa vào điều kiện, ta có bảng xét dấu x 1 2 0 −1 3 2 1 log 3 (x + 1) − 0 + + log 3 2x2 − 3x + 1 + 0 − −
● Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy: Nếu −1 < x < 0 : VT > VP ⇒ Bất phương trình vô nghiệm.
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 121 - + 0 +
124. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Nếu 0 < x < 1 : VT <
VP ⇒ Bất phương trình được thỏa. 2 Nếu 1 < x < Ths. Lê Văn Đoàn 3 : VT < VP ⇒ Bất phương trình
được thỏa. 2 ● Nếu x > 3 thì 2 (1) ⇔ log 2x2 − 3x + 1 > log3 (x + 1) ⇔ 3 ( 1 log3 2x2 − 3x + 1 > log3
(x + 1) 2 ( ) 2 ) 2 ⇔ log 3 2x2 − 3x + 1 > log 3 (x + 1) ⇔ 2x 2 − 3x + 1 > (x + 1) ⇔ x > 5 . 1
3 ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là: x ∈ 0; ∪ 1; ∪ (5;
+∞) . 2 2 Thí dụ 190. Giải bất phương trình: 1 1 + >0 2 log 1 (2x − 1) log x − 3x + 2
2 (1) 2 Đại học Kiến Trúc Hà Nội năm 1998 Bài giải tham khảo 3 ± 5 1 . ●
Điều kiện: x ∈ ;1 ∪ (2; +∞) 2 2 (1) ⇔ 1
log2 x2 − 3x + 2 log2 ⇔ f (x ) = − 1 log2 (2x − 1) >0⇔ log2 (2x − 1) − log2 x2 − 3x + 2 log2 (2x −
1).log2 x2 − 3x + 2 2x − 1 2 x − 3x + 2 log2 (2x − 1). log2 x 2 − 3x + 2 >0 ● Xét dấu của: log2 (2x − 1)
log2 (2x − 1) < 0 ⇔ 0 < 2x − 1 < 1 ⇔ 1 < x < 1. 2 log2 (2x − 1) > 0 ⇔ 2x − 1 > 1 ⇔ x > 1 . ● Xét
dấu của: log2 x 2 − 3x + 2 Khi log2 x2 − 3x + 2 < 0 ⇔ ⇔ x 2 − 3x + 2 < 1 3− 5 3+ 5 <x< . 2 2 Khi
log2 x2 − 3x + 2 > 0 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 122 - (2) >0
125. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn ⇔ x
2 − 3x + 2 > 1 . ⇔x< 3− 5 3+ 5 . ∨x> 2 2 ● Xét dấu của: log2 log2 log2 2x − 1 x2 − 3x + 2 2x − 1 x2
− 3x + 2 2x − 1 x2 − 3x + 2 <0⇔0< 2x − 1 x 2 − 3x + 2 2x − 1 >0⇔ x 2 − 3x + 2 <1 ⇔ >1⇔ x> 1 1
+ 13 . <x< 2 6 1 + 13 . 6 ● Bảng xét dấu của f (x) : x −∞ 1 + 13 6 1 2 1 3+ 5 2 2 +∞ log2 (2x − 1) − −
+ + log2 x2 − 3x + 2 − − − + − + + + − + − + log2 2x − 1 x2 − 3x + 2 f (x) 1 + 13 3 + 5
∪ ;1 ● Do đó, tập nghiệm của (2) là x ∈ 2 ; +∞ . 6
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 123 -
126. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn BÀI
TẬP TƯƠNG TỰ Bài tập 52. Giải các phương trình sau 1/ log2 x + log2 (x − 1) = 1 . ĐS: x = 2 . 2/ log
3 7 + 2 log 3 (x − 2) = 2 . ĐS: x = 5 . 3/ log2 (x + 2) − log2 (x − 2) = 2 . ĐS: x = 2 2 . 4/
log5 x = log5 (x + 6) − log5 (x + 2) . ĐS: x = 2 . 5/ log 4 (x + 3) − log4 (x − 1) = 2 − log4 8 . ĐS: x = 5
. 6/ log2 x 2 − 3 − log2 (6x − 10) + 1 = 0 . 7/ log2 (x + 3) + log2 (x − 1) = 8/ ln x + ln (x + 1) = 0 . 9/
log x2 + 2x − 3 + lg (x + 3) = lg (x − 1) . ĐS: S = ∅ . 10/ lg 5x − 4 + lg x + 1 = 2 + lg 0,18 . ĐS: x = 8
. 11/ 1 log (x + 10) + log x2 = 2 − log 4 . 2 ĐS: x = −5 ∨ x = 5 2 − 5 . 12/ log5 x + log25 x = log0,2 3 .
ĐS: x = log2 (x − 2) − 6.log 1 3x − 5 = 2 . ĐS: x = 3 . 13/ ( ) ( ĐS: x = 2 . 1 . log5 2 ĐS: x = 2 . ĐS: x
= ) −1 + 5 . 2 1 3 . 3 8 14/ log5 (x − 1) − log 1 (x + 2) = 0 . ĐS: x = 5 13 − 1 . 2 15/ 2 log25 (3x − 11)
+ log5 (x − 27 ) = 3 + log5 8 . ĐS: x = 37 . 16/ log5 x 3 + log 0,2 x + log 3 25 x = 7 . ĐS: x = 25 . 17/
log5 x2 + 1 + log1 5 = log5 (x + 2) − 2log 1 (x − 2) . ĐS: x = ( ) 5 25 x−5 + log2 x 2 − 25 = 0 . x+5 ( )
18/ log2 19/ log9 (x + 8) − log 3 (x + 26) + 2 = 0 . 21 . 2 ĐS: x = 6 . ĐS: x = 1 ∨ x = 28 . Đại học Dân
Lập Kỹ Thuật Công Nghệ khối A, B năm 1999 20/ log 4 (log2 x ) + log2 (log 4 x ) = 2 . ĐS: x = 16 .
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 124 -
127. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit 21/ log 4 (x + 3) − log2
x − 1 = 2 − log 4 8 . ĐS: x = 5 . 22/ log 3 x + log Ths. Lê Văn Đoàn ĐS: x = 27 . 3 x + log 1 x = 6 . 3
23/ log2 x + log4 x + log8 x = 11 . ĐS: x = 64 . 24/ log3 x + log9 x + log27 x = 11 . ĐS: x = 729 . 25/
log 1 (x − 1) + log 1 (x + 1) = 1 + log 1 (7 − x ) . ĐS: x = 3 . 2 26/ 2 2 ĐS: x =−3 ∨ x = 6 ∨ x = log2 x
− 2 + log2 x + 5 + log 1 8 = 0 . 2 27/ x x log 1 1 − + log2 2 − = 0 . 2 4 2 28/
2 log2 x = log 3 x.log 3 9 29/ 2 log2 x = log2 x. log2 4 30/ 2 log3 (x − 2) + log3 (x − 4) = 0 . 31/ x 4
log4 − log2 (4x ) + 10 = 0 . 4 ( ( 3 ± 17 . 2 ĐS: x = −1 . ) 2x + 1 − 1) . ĐS: x = 1
∨ x = 4 . 2x + 1 − 1 . ĐS: x = 1 ∨ x = 4 . 2 ĐS: x = 3 ∨ x = 3 + 2 . 2 ĐS: x = ±1 . x = 61 − 1 2
ĐS: . 1 − 69 x = 2 2 32/ log9 (x + 1) = log3 (4 − x ) + log3 (4 + x ) . 33/ log 3 ( ) x + log 1 x
3 + log3 3x 4 = 3 . ĐS: x = 3 . 3 Đại học Mở Hà Nội khối A, B, R, V, D4 năm 1999 3 x3 1 .log2 x − log
3 = + log2 x . x 2 3 34/ log 3 35/ log4 (x + 1) + 2 = log 2 ĐS: x = 1 ∨ x = 3 . 8 3 2 4 − x + log8 (x + 4)
. ĐS: x = 2 ∨ x = 2 − 2 6 . 36/ 37/ Bài tập 53. log5 −4x2 + 13x − 5 − log25 (3x + 1) = 0 . x = 15 −
97 8 ĐS: . 11 + 73 x = 8 1 log4 2 log3 1 + log2 (1 + 3 log2 x ) = . 2 ĐS: x =
2 . ( ) { } Giải các phương trình sau www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 125 -
128. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit 1/ 2/ 3/ Ths. Lê Văn
Đoàn log2013 x + log2014 x = log2015 x . ĐS: x = 1 . log2 x + log3 x + log5 x = log2 x.log3 x.log5 x .
x = 1 ĐS: ± x = 3 log5 x.log3 x = log5 x + log3 x . ĐS: x = 1 ∨ x = 15 . log2 5+log3 5+1 .
log2 3 Cao đẳng Sư Phạm Kom Tum năm 2004 4/ Bài tập 54. x = 1 log6 2 − log 2 log2 x − x −1
.log3 x + x −1 = log6 x − x −1 . ĐS: +3 6 . x = 3 2 ( ) ( 2 ) 2 ( 2 ) Giải các phương trình sau (
) 1/ log2 9 − 2x = 3 − x . 2/ log 3 3 x+1 − 26 = 2 − x . 3/ log7 6 + 7−x = 1 + x . 4/ log 3 4.3x−1 − 1 =
2x − 1 . 5/ log2 9 − 2x = 5 6/ log2 3.2x − 1 − 2x − 1 = 0 . 7/ log2 12 − 2x = 5 − x . 8/ log5 26 − 3 x = 2
. 9/ log2 5 x+1 − 25x = 2 . 10/ log 4 3.2x +1 − 5 = x . 11/ log 1 5x +1 − 25x = −2 . ( ĐS: x = 0 ∨ x = 3
. ) ( ĐS: x = 2 . ) ( ĐS: x = 0 . ) ( ) log5 (3−x) ĐS: x = 0 ∨ x = 1 . ĐS: x = 0 . . ( ) ĐS: x = 3 ± 7 . ( )
ĐS: x = 3 ∨ x = 2 . ( ) ĐS: x = 0 . ( ) ĐS: x = 0 . ( ) ĐS: x = 0 ∨ x = log2 5 . ( ) ĐS: x = log5 3 ∨ x =
log5 2 . ( ) ĐS: x = log6 6 12/ log 1 6 x+1 − 36x = 2 . 5 13/ ( ) ( ) log2 25x+3 − 1 = 2 + log2 5 x+3 + 1 .
15 + 2 55 . 5 ĐS: x = −2 . Cao đẳng Cơ Khí Luyện Kim năm 2004 Bài tập 55. Giải các phương trình sau
( ) 1/ log5−x x2 − 2x + 65 = 2 . 2/ log x−1 x 2 − 4x + 5 = 1 . ( ) ĐS: x = −5 . ĐS: x = 2 ∨ x = 3 .
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 126 -
129. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit ( www.MATHVN.com ) Ths. Lê Văn Đoàn 1
3 ∨ x= . 2 2 3/ log x 5x 2 − 8x + 3 = 2 . 4/ log x+1 2x 3 + 2x2 − 3x + 1 = 3 . ĐS: x = 3 . 5/ log x−3 (x
− 1) = 2 . ĐS: x = 5 . 6/ log x (x + 2) = 2 . ĐS: x = 2 . 7/ log2x x 2 − 5x + 6 = 2 . 8/ log x +3 x 2 − x =
1 . 9/ log x 2x 2 − 7x + 12 = 2 . 10/ log x 2x 2 − 3x − 4 = 2 . 11/ log x x 2 − 2 = 1 . 12/ log 3x +5 9x2 +
8x + 2 = 2 . 13/ log2x+4 x 2 + 1 = 1 . 14/ log x 15/ log x2 (3 − 2x ) = 1 . ĐS: x = −3 . 16/ log x2 +3x (x
+ 3) = 1 . ĐS: x = 1 . 17/ log x 2x 2 − 5x + 4 = 2 . ĐS: x = 4 . 18/ log x2 16 + log x 64 = 3 . ĐS: x = 4 3
4 . 19/ log x+3 3 − 1 − 2x + x2 = ĐS: x = ( ) ( ) ( ) ( ĐS: x = −1 ∨ x = 3 . ) ( ĐS: x = 3 ∨ x = 4 . ) (
ĐS: x = 4 . ) ĐS: x = 2 . ( ) ( ĐS: x = − ) ĐS: x = ) ( 23 . 22 ĐS: x = −1 ∨ x = 3 . 15 = −2 . 1 − 2x ( 97
− 5 . 6 ĐS: x = ) 1 . 2 ĐS: x = 1 . 5 5 −3 9 − 29 . ∨x = 2 2 Bộ đề Tuyển sinh Đại học (Đề 88 câu III1)
20/ Bài tập 56. log(x+3) 6 + 2 log 0,25 (4 − x ) log2 (x + 3) = 1. ĐS: x = 1 ± 3 . Giải các bất phương
trình sau 1/ log5 x2 − x < 0 . 1 − 5 1 + 5 . ;0 ∪ 1; ĐS: x ∈
2 2 2/ 2x − 3 . log 2 x +1 ≥ 0 3 ĐS: x ∈ ;
4 . 2 ( ) 3 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 127 -
130. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com x −1 > 0. x −2 Ths. Lê
Văn Đoàn ĐS: x ∈ (2; +∞) . 3/ log 3 4/ log2 1 + log 1 x − log9 x < 1 . 9
5/ 1 + log 1 2 + x − x2 > 0 . ( ) 1 ĐS: x ∈ ; +∞ . 3 ĐS: x ∈ (−1; 0 ∪
1;2) . 2 6/ 7/ 2 lg 5x − 5 > lg (5 − x ) + 1 . ( log 3 35 − x 3 log 3 (5 − x ) ) > 3. ĐS: x ∈ (2; 3)
. 8/ log27 x + log9 x + log 3 x > 11 . 9/ log 3 ĐS: x ∈ (3; 5) . x + log 1 x 3 + log 3 3x 4 > 3 . ĐS: x ∈
(729; +∞) . ĐS: x ∈ (3; +∞) . 3 10/ ( ) log 1 1 + 3 x − 1 > 3 11/ 2 log2 x .3 log2 x−1 .5 log2 x−2 1 log 1
x . 2 3 ĐS: x ∈ (0;1) ∪ (9; +∞) . ĐS: x ∈ 4; +∞) . ≥ 12 . Đại học Thủy Sản Nha Trang năm 1999
12/ 1 ĐS: x ∈ 0; . 2 log 3 log 1 x ≥ 0 . 2 13/ ( ) ĐS: x ∈ 0; 3 5 . log2 log 1 log5 x
> 0 . 3 14/ x2 + x < 0. log 0,5 log6 x+4 15/ log 1 log 4 x 2 − 5
) > 0 . ( 3 16/ log 1 log2 (log x−1 9) > 0 . 2 17/ 1 + 2x log 1 log2 >
0. 1+ x 3 18/ log 1 log 4 x 2 − 5 > 0 . ( ĐS: x ∈ (0; +∞) . ) 3 19/ x − 1
≤ 0. log 3 log 0,2 log 32 x + 5 20/ log 0,1 log2 x2 + 1 x −1 <
0. www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 128 -
131. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit 21/ log 1 1 − x > ( ) 2 Ths. Lê Văn Đoàn 1
ĐS: x ∈ ; 3 . 3 log2 (1 − 2 log9 x ) < 1 . 1/ www.MATHVN.com 1 . 2 22/ log
3 (1 − 2x ) ≥ log 3 (5x − 2) . 2 3 ĐS: x ∈ ; . 5 7 23/ log2 (3x + 4) > log2 (5 − 2x
) . 1 5 ĐS: x ∈ ; . 5 2 24/ log5 (1 − x ) < log5 (x + 3) . ĐS: x ∈ (−1;1) . 25/
log 0,3 26/ log 1 5 − x < log 1 (3 − x ) . ( 1 + 21 ĐS: x ∈ ; 4 . 2 ) x
+ 5 − x +1 > 0. 3 3 27/ 1 log 3 x 2 − 9 − x + ≤ −1 . 3 28/ log 1 (x + 4) < log
1 x2 + 2x − 2 . ( 3 41 ĐS: x ∈ ; +∞ . 3 ) 3 29/ log2 (x + 3) ≥ 1 + log2 (x −
1) . 30/ log 0,5 9x−1 + 1 − 2 > log 0,5 3x−1 + 7 . ( ) ( ) ĐS: x ∈ (−∞;1) . Đại học Nông Nghiệp I năm
1999 x+7 < log 0,4 (5 − x ) . 2x + 3 31/ log 0,4 32/ log7 (2 − x ) ≤ log7 (3x + 6) . 33/ 2 log 8 (x − 2) +
log 1 (x − 3) > 8 ĐS: x ∈ (−1;2) . 2 . 3 2 14 − 6 1 ; . ĐS: x ∈ 5 2
34/ log5 (1 − 2x ) < 1 + log 35/ 4x − 1 x +1 . < log 1 log 1 log 3 log 4
4 4x − 1 x +1 3 36/ x − 1 x + 1 < log 0,5 log 0,3 .
log2 log 3 x + 1 x − 1 37/ log 1 log5 3 ( ) (x + 1) . 5 x2 + 1 + x > log3 log1 5
( ) x2 + 1 − x . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 129 -
132. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit 38/ log1 log7
4 39/ 2 4 3 2 1 7 27 2 3 ( x +1 + x) < log log ( x +1 − x) . ( 9x − x +
3) > log log1 9x − x2 + 5 − x2 −3. 40/ 1 log3 x2 − 5x + 6 + log 1 x − 2 > log1 (x + 3) . ĐS: x ∈ 2 3 3
41/ Bài tập 57. Ths. Lê Văn Đoàn log2 ( x −4x + 3) > log 2 2 1 2 ( ) 10; +∞ . +1 . ĐS: 2 x − 4x + x +1
+1 Giải các bất phương trình sau 1/ ĐS: x ∈ (1;2 . log x2 2x ≥ 1 . Đại học An Giang khối D năm
2001 2/ 1 log x x − ≥ 2 . 4 3/ log x 3x − 1 > 0. x2 + 1 4/ log x 1 ĐS: x
∈ ;1 . 4 3x + 2 > 1. x +2 ĐS: x ∈ (1;2) . Học Viện Quan Hệ Quốc Tế khối D năm
2001 5/ log x 3 − 5 1 3 + 5 . ĐS: ; ∪ 1; 2 2 2
2x − 1 > 1. x −1 Đại học Giao Thông Vận Tải năm 1995 6/ log x2 −2x+1 2x 2 − 2x − 1 < 1 .
2 1− 3 1+ 3 ∪ 1; . ĐS: −1; 3 3 Đại
học Xây Dựng năm 1996 7/ ( ĐS: x ∈ log 3 6 2;2 . log x log 3 9x − 72 ≤ 1 . ( ) Đại
học khối B năm 2002 8/ log x log 4 (2x − 4) ≤ 1 . 9/ log 3x−x2 (3 − x ) > 1 . 3 − 5 3 + 5
;1 ∪ ; 3 . ĐS: 2 2 Bộ Đề Tuyển Sinh Đại học
(Đề 90 câu II) 10/ ( ) log x x 2 − 8x + 16 ≥ 0 . 5 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 130 -
133. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit ( www.MATHVN.com ) Ths. Lê Văn Đoàn (
) 11/ log x x 2 + x − 2 > 1 . 12/ log2x x2 − 5x + 6 < 1 . ĐS: x ∈ (1;2) ∪ (3;6) . 13/ log x 3 < log x 3 .
ĐS: x ∈ (0;1) ∪ (3; +∞) . ( ĐS: x ∈ ) 2; +∞ . 3 ( ) 1 ĐS: x ∈ ;2 {1} . 3 14/
log x (3x − 1) > log x x 2 + 1 . 15/ log x−1 (x + 1) > log x2 −1 (x + 1) . 16/ log x 5x 2 − 8x + 3 > 2 .
17/ log9x2 6 + 2x − x2 ≥ 4 . 18/ log x 20 − x > 1 . 19/ log x+1 x 2 + x − 6 ≥ 0 . 20/ 2 5 > 0. log x 5 (1 −
x ) 21/ log x 22/ x log x x 2 − > 1 . 2 23/ log x2 24/ log x3 25/ log 3x−x2 (3 −
x ) > 1 . 3 − 5 3 + 5 ;1 ∪ ; +∞ . ĐS: 2 2
26/ log 2 3 − 3 . ĐS: x ∈ 0; 3 ( 1 3 3 ĐS: x
∈ ; ∪ ; +∞ . 2 5 2 ) ( ) ( ) 2x + Bài tập 58. ( 4x + 1 6 (x + 1) 4x −
5 x−2 x−5 6x x +2 − x ) < 0. 1 . 2 ĐS: x ∈ (2;5 ∪ 6 − 1;2 . 1 ≥− . 3 ĐS: x ∈ (0;1) ∪
11; +∞) . ≥ 2 ≤ log ) 2. x +1 Giải các bất phương trình sau 1/ log2 x + log 3 x < 1 + log2 x. log 3
x . ĐS: x ∈ (0;2) ∪ (3; +∞) . Đại học Ngoại Thương năm 1998 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 131
-
134. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit 2/ x log 3/ (x 1 2014 (x www.MATHVN.com
) 2 + x +1 > 0. ) 2 Ths. Lê Văn Đoàn ĐS: x ∈ (−∞; −1) . ĐS: x ∈ (1;2) . − 4 log 1 x > 0 . 2 4/ 5/ 6/
log2 (x + 1) > 0. log2 (x − 1) x−3 ĐS: x ∈ (−1; 0) ∪ (1; +∞) . ≤ 0. x −1 ĐS: x ∈ 2; 3) . x2 − 4 (
) log 1 x2 − 1 < 0. 2 7/ log2 (x − 3) x2 − 25 > 0. 8/ (x + 1) log (x + 4) < 0 . 9/ (x − 3) log (x + 8) ≥ 0 .
4 1 7 1 − log 1 (−x ) 2 10/ < 0. 2 − 6x 11/ x−5 ≥ 0. log 2 (x − 4) − 1 ( ) ĐS: x = 5 ∨ x ∈ 4 + 2; +∞ .
12/ x 2 − 4x log2 (1 − x ) − 3 < 0 . 13/ x + 1 ≤ 0. 4 − x 2 . 2 + log 3
x 14/ (4x 2 ) − 16x + 7 log 3 (x − 3) > 0 . 7 ĐS: x ∈ −3; ∪ (4; +∞) . 2
Đại Học Kinh Tế Quốc Dân năm 1999 15/ (4 x ) − 12.2x + 32 log2 (2x − 1) ≤ 1 . ĐS: x ∈ (−∞;1 ∪
2; 3 . Học Viện Quan Hệ Quốc Tế năm 1998 16/ 1 2 log2 (x − 1) ≥
log5 .log 1 (x − 1) . ĐS: x ∈ 2;5 . 25 2x − 1 − 1 5 Đại học Kiến Trúc Hà Nội
năm 1999 (hệ chưa phân ban) 17/ 1 log 4 (x + 3) > 1 . x +1 log 4 x +2 www.DeThiThuDaiHoc.com
Page - 132 -
135. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit 18/ 1 log 3 2x 2 − 3x +
1 > 1 log 3 (x + 1) Ths. Lê Văn Đoàn 3 ĐS: x ∈ (−1; 0) ∪ ;5 . 2 . Đại học
Nông Nghiệp I năm 1995 19/ log x +2 − x 2 ≤ log x +1 x > 1 4 ĐS: . 2 3 −1 0 < x ≤ 3
2. Học Viện Kĩ Thuật Quân Sự năm 1998 20/ 21/ 22/ 2 log 2 (x − 3) x2 − 4x − 5 log 3 (x + 2) log2 (x +
3) log2 x + 3 2 log2 x + 3 ≥ 0. < 0. 1 1 ĐS: x ∈ ; . 8 2 > 2. Cao đẳng Kinh
Tế Kĩ Thuật Công Nghiệp II năm 2004 3 + log 1 (15 − 2x ) 23/ 24/ 25/ 26/ 27/ 3 ≤ 0. 1 log 3 − 2x 2 2 ( )
< 1. lg x2 − 1 lg (1 − x ) 4 log 3 x + 5 < 0. 2 x − 2x + 7 log7
16 ( ) ( log2 x 2 − 2x − 7 − log 3 x 2 − 2x − 7 ≤0. 3x2 − 13x + 4 2 ( ) ( 3 ) log5 x2 − 4x −
11 − log11 x2 − 4x − 11 −3x2 − 5x + 2 2 28/ 8 ) ≥ 0. ( ) ĐS: (− ; 2) ∪ − − 15 ∪ 6;+ ) . ∞− 2;2 ∞
3 log2 (x + 1) − log 3 (x + 1) x 2 − 3x − 4 ĐS: x ∈ (−1; 0) ∪ (4; +∞) . > 0. Đại học Bách Khoa Hà Nội
năm 1997 ( log 1 (3x − 8) − log 1 x 2 + 4 29/ 7 7 ) ≥ 0. 10 − x www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 133
-
136. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit 30/ Bài tập 59. (log
1 ĐS: x ∈ 0; ∪ (1; +∞) . 2 ) 8 + log 4 x 2 log2 2x ≥ 0 . Giải phương trình: log 4 (x −
1) + ĐS: x = Bài tập 60. x Ths. Lê Văn Đoàn 1 log2x+1 4 = 1 + log2 x + 2 . 2 5 . 2 Giải phương trình:
log x 2 + 2 log2x 4 = log 2x 8. ĐS: x = 2 . Bài tập 61. 3 Giải phương trình: log x + 1 − log 1 (3 − x ) −
log 8 (x − 1) = 0 . 2 2 ĐS: x = Bài tập 62. 17 + 1 . 2 ( ) ( ) Giải phương trình: log2 x + log 1 x2 − 2x + 1
− log 4 x 2 − 4x + 4 − log 1 (x − 1) = 0 . 4 2 ĐS: x = 4 . Bài tập 63. Giải phương trình: 2 log5 (3x − 1) +
1 = log 3 5 (2x + 1) . Đề thi thử Đại học năm 2013 khối B, D – THPT Sầm Sơn – Thanh Hóa ĐS: x = 2 .
Bài tập 64. Giải phương trình: 1 log 2 1 2 8 (x + 3) + 4 log (x − 1) 4 = 3 log 8 (4x ) . Đề thi thử Đại học
năm 2013 lần 1 – THPT Cù Huy Cận – Hà Tĩnh ĐS: x = 3 ∨ x = 2 3 − 3 . Bài tập 65. 2 Giải phương
trình: log 3 (x − 1) + log 3 (2x − 1) = 2 . Đề thi thử Đại học năm 2011 – THPT Long Châu Sa – Phú
Thọ ĐS: x = 2 . Bài tập 66. 2 Giải phương trình: log9 (x + 1) + log 3 2 = log 3 3 4 − x + log27 (x + 4) .
Đề thi thử Đại học 2009 khối A – THPT Nguyễn Trung Ngạn ĐS: x = 2 ∨ x = 2 − 2 6 . Bài tập 67. Giải
phương trình: 2 3 1 log2 (x − 1) + log 1 (x + 4) = log 8 (3 − x ) . 2 2 Đề thi thử Đại học năm 2010 –
THPT Bố Hạ – Bắc Giang ĐS: x = − 11 ∨ x = 14 − 1 . Bài tập 68. Giải phương trình: log 1 x 2 − 20log
81x 3 + 40log 9 x + 7 = 0 . 3 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 134 -
137. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn Đề
thi thử Đại học năm 2013 khối A, A1 – Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc ĐS: x = 3 . Bài tập 69. ( ) Giải phương
trình: log 3−4x2 9 − 4x 4 = 2 + 1 ( log2 3 − 4x 2 ) . 1 ĐS: x = ± . 2 Bài tập 70. Giải phương trình: 2 log2
(5 − 2x) + log2 (5 − 2x).log2x+1 (5 − 2x) = log2 (2x − 5) + log2 (2x + 1).log 1 2 (5 − 2x) . 2 Đề thi thử
lần 1 khối A, B năm 2011 – THPT Nguyễn Trung Thiên ĐS: x = − Bài tập 71. 1 1 ∨ x= ∨ x = 2. 4 2 Giải
bất phương trình: log2 ( ) ( ) 3x + 1 + 6 − 1 ≥ log2 7 − 10 − x . Đề thi thử Đại học năm 2012 – Thầy
Văn Phú Quốc – Đại học Quảng Nam 369 . ĐS: x ∈ 1; 49 Bài tập 72. Giải bất
phương trình: log2 ( ) x 2 + 3 − x2 − 1 + 2 log2 x ≤ 0 . Đại học Y Hà Nội năm 2001 ĐS: x ∈ (0;1) . Bài
tập 73. 2 1 1 Giải bất phương trình: log 1 2x 2 − 3x + 1 + log2 (x − 1) ≥ . 2 2 2 Đề thi thử Đại học năm
2013 khối D lần 2 – THPT Ninh Giang – Hải Dương 1 1 ĐS: x ∈ ; . 3 2 Bài tập 74.
Giải bất phương trình: log x log 3 9x − 72 ) ≤ 1 . ( Đề thi thử Đại học năm 2011 – THPT
Liên Hà – Hà Nội ĐS: x ∈ (log9 72; 2 . Bài tập 75. ( ) Giải bất phương trình: log 3 16x − 2.12 x ≤
2x + 1 . Đề thi thử Đại học năm 2009 lần 2 – THPT Cao Lãnh 2 – Đồng Tháp ĐS: x ∈ 1;
log 4 3 . 3 Bài tập 76. 1 Giải bất phương trình: log2 (4x 2 − 4x + 1) − 2x > 2
− (x + 2)log 1 − x . 2 2 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 135 -
138. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn Đề
thi thử Đại học năm 2011 – THPT Lương Tài 2 – Bắc Ninh 1 1 ĐS: x ∈ (−∞; 0) ∪ ; .
4 2 Bài tập 77. ( Giải bất phương trình: log 1 log5 3 ) x 2 + 1 + x > log 3 log 1 5 ( ) x2 + 1 − x .
Đề thi thử Đại học năm 2011 khối A, B – THPT chuyên Lê Quý Đôn – lần 2 12 ĐS: x ∈ 0; .
5 Bài tập 78. Giải bất phương trình: 1 + log2 x + log2 (x + 2) > log 2 (6 − x ) . Đề thi thử
Đại học năm 2010 lần 1 khối D – THPT Phan Châu Trinh – Đà Nẵng ĐS: x ∈ (−∞; −18) ∪ (2; +∞) . Bài
tập 79. Giải bất phương trình: (x − 3) log2 x 2 − 2 < (x − 3) log2 (x + 11) + 2 . ( ) HSG tỉnh
Hưng Yên – Khối 12 – năm học 2008 – 2009 Bài tập 80. 2x + 3 > 0. Giải bất phương trình: log
1 log2 x +1 3 Đề thi thử Đại học số 1 năm 2013 khối A – Tuổi trẻ online ĐS: x ∈
(−∞;2) . Bài tập 81. Giải bất phương trình: log 1 log5 3 ( ) x 2 + 1 + x > log 3 log 1 5 ( ) x2 + 1 − x . Đề
thi thử Đại học năm 2010 khối A, B lần 2 – THPT chuyên Lê Quý Đôn 12 ĐS: x ∈ 0; .
5 Bài tập 82. Giải bất phương trình: log 3 ( 3 ) ( ) x + x + 4 + log 1 2 x + 1 ≥ log 1 3 3 1 . 2 Đề
thi thử Đại học năm 2013 lần 1 – THPT Lê Hữu Trát ĐS: x ∈ 0;1 . 2 Bài tập 83. Giải bất
phương trình: 3 log 3 (x + 1) − log 4 (x + 1) > 0. x 2 − 5x − 6 Đề thi thử Đại học khối B, D năm 2011 –
THPT Lê Văn Hưu – Thanh Hóa ĐS: x ∈ (0; 6) . Bài tập 84. Giải bất phương trình: ( 2 ) ( ) ≥ 0. log5 x 2
− 4x + 11 − log11 x 2 − 4x + 11 2 − 5x − 3x 2 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 136 -
139. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit ( Ths. Lê Văn Đoàn )
ĐS: x ∈ (−∞;2) ∪ −2;2 − 15 ∪ 6; +∞) . Bài tập 85. ( ) Giải bất phương trình: 4 x − 2.2x − 3 .log2
x − 3 > 4 x +1 2 − 4x . Đề thi thử Đại học năm 2010 – THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội 1 ĐS: x
∈ 0; ∪ (log2 3; +∞) . 2 Bài tập 86. Giải bất phương trình: ( log2 x 2 − 9x + 8 log2 (3 − x )
) <2. Đại học Tổng Hợp năm 1994 1 ĐS: x ∈ − ;1 . 3 Bài tập 87. Giải bất
phương trình: ( ) > 0. lg x 2 − 3x + 2 lg x + lg 2 Đại học Kiến Trúc Hà Nội năm 1997 1 33 − 3
. ĐS: x ∈ ; 2 6 Bài tập 88. Giải bất phương trình: log x 3 (5x 2 ) − 18x + 16 > 2
. Đại học Thương Mại năm 1997 ĐS: x > 8 ∨ 3 < x < 1. 3 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 137 -
140. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn Dạng
2. Giải phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ I – LÍ THUYẾT CƠ BẢN Thông thường, ta đi tìm mối
liên hệ giữa biến để đặt ẩn phụ, đưa về phương trình (bất phương trình) đại số hoặc hệ phương trình đại
số mà đã biết cách giải. Từ đó, tìm ra được nghiệm. Sau khi đặt ẩn phụ, ta cần đi tìm điều kiện cho ẩn
phụ, tức là đi tìm miền xác định cho bài toán mới. Tùy vào mục đích của ẩn phụ mà ta phải đi tìm điều
kiện cho hợp lý (dễ, không gây sai sót), chung qui, ta có hai cách tìm điều kiện: tìm điều kiện đúng và
tìm điều kiện thừa. II – CÁC THÍ DỤ Các thí dụ về giải phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ Thí
dụ 191. Giải phương trình: log2 x − 4 log2 x + 3 = 0 2 (∗) Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x > 0 . ● Đặt t
= log2 x . (∗) ⇔ t 2 − 4t + 3 = 0 t = log x = 1 2 ⇔ t = log2 x = 3 x = 2 ⇔ . x=8
● So với điều kiện, phương trình có hai nghiệm: x = 2 ∨ x = 8 . Thí dụ 192. Giải phương trình: 1 2
+ =1 5 − log x 1 + log x (∗) Bài giải tham khảo x > 0 x > 0 x > 0 5 −
log x ≠ 0 ⇔ log x ≠ 5 ⇔ x ≠ 105 ● Điều kiện: . log x + 1 ≠ 0 log x ≠ −1 1
−1 x ≠ 10 = 10 ● Đặt t = log x . 1 2 (∗) ⇔ 5 − t + 1 + t = 1 ⇔ t2 − 5t + 6
= 0 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 138 -
141. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn t
= log x = 3 ⇔ t = log x = 2 x = 103 = 1000 ⇔ . 2 x = 10 = 100 ● So với điều kiện,
phương trình có hai nghiệm: x = 100 ∨ x = 1000 . Thí dụ 193. Giải phương trình: log x 2 − log4 x + 7
=0 6 (∗) Đại học Ngoại Ngữ năm 1999 (hệ chưa phân ban) Bài giải tham khảo ● Điều kiện: 0 < x ≠ 1 . 1
(∗) ⇔ log 1 7 − log2 x + = 0 x 2 6 2 (1) ● Đặt t = log2 x ≠ 0 . 1 t 7 (1) ⇔ t − 2 + 6 = 0 ⇔ −3t2 + 7t
+ 6 = 0 t = log x = − 2 2 ⇔ 3 t = log2 x = 3 2 x = 2− 3 = 1 3 ⇔ 4. x = 8
● So với điều kiện, phương trình có hai nghiệm: x = Thí dụ 194. Giải phương trình: (2 − log 3 x ).log9x 3
− 4 =1 1 − log 3 x Bài giải tham khảo 0 < x ≠ 1 ● Điều kiện: 9. x ≠ 3 (∗) ⇔ ⇔
2 − log 3 x log 3 9x 2 − log 3 x 2 + log 3 x − 4 =1 1 − log 3 x − 1 3 4 =1 1 − log 3 x (1) ● Đặt t = log3
x, ∀t ≠ −2, t ≠ 1 . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 139 - ∨ x = 8. 4 (∗)
142. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn 2 4
(1) ⇔ 2 − t − 1 − t = 1 +t ⇔ t2 − 3t − 4 = 0 t = log x = −1 3 ⇔ t = log 3 x = 4 x = 1
⇔ . 3 x = 34 = 81 ● So với điều kiện, phương trình có hai nghiệm: x = Thí dụ 195. 1 ∨ x = 81
. 3 Giải phương trình: log2 x + log2 x + 1 − 5 = 0 3 3 (∗) Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x > 0 . ● Đặt t
= log2 x + 1 > 1 ⇒ t2 = log2 x + 1 ⇒ log2 x = t2 − 1 . 3 3 3 (∗) ⇔ t 2 + t−6 = 0 2 t = log 3 x + 1
= −3 ⇔ 2 t = log 3 x + 1 = 2 ( L) ⇔ log2 x + 1 = 4 3 ⇔ log 3 x = ± 3 ⇔ x = 3± 3 . ● Vậy
phương trình có hai nghiệm: x = 3− Thí dụ 196. Giải phương trình: x 2+log2 x 2 3 ∨ x = 3 3. (∗) =8
Cao đẳng Kinh Tế Tp. Hồ Chí Minh năm 2006 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x > 0 và x ≠ 1 . (∗) ⇔ 2
+ log 2 2 x = log x 8 ⇔ log2 x − 3. log x 2 + 2 = 0 2 ⇔ log2 x − 3. 2 1 +2 = 0 log2 x t = log x ≠ 0
2 ⇔ 2 3 t − + 2 = 0 t www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 140 -
143. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn t =
log x ≠ 0 2 ⇔ 3 t + 2t − 3 = 0 ⇔ t = log2 x = 1 ⇔ x = 2. ● So với điều kiện, phương
trình có một nghiệm x = 2 . Thí dụ 197. Giải phương trình: log2 3 x + 3 log2 x = 4 3 (∗) Đại học Công
Đoàn năm 2000 3 x>0 ● Điều kiện: ⇔ x > 0 ⇒ Tập xác định: D = (0; +∞) . x > 0 1
(∗) ⇔ 3 log 2 x + 3 log2 x − 4 =0 3 t = 3 log x ⇒ t3 = log x 2 2 ⇔ 1 3 4 t + t− = 0
3 3 3 log2 x = t ⇔ x = 2 . ⇔ t = 1 ● So với tập xác định, nghiệm của phương
trình là x = 2 . Thí dụ 198. ( ) 2 Giải phương trình: 2 log 4 x 2 − x + 3 log 4 (x − 1) − 2 log 4 x = 4 (∗)
Đề thi thử Đại học khối A lần 3 năm 2013 – THPT Lý Thái Tổ – Bắc Ninh Bài giải tham khảo 2 x
− x ≥ 0 ● Điều kiện: x ≠ 1, x > 0 ⇔ x ≥ 2. 2 log (x − 1) ≥ 0 4 (∗) ⇔ 2 log
x (x − 1) + 3 4 2 log4 (x − 1) − 2 log4 x − 4 = 0 ⇔ 2 log4 x + log4 (x − 1) + 3 2
log4 (x − 1) − 2 log4 x − 4 = 0 ⇔ 2 log4 (x − 1) + 3 2 log4 (x − 1) − 4 = 0 t = 2 log (x − 1) ≥
0 ⇒ t2 = 2 log (x − 1) 4 4 ⇔ 2 t + 3t − 4 = 0 t = 2 log (x − 1) ≥ 0 4 ⇔
t = 1 ∨ t = −4 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 141 -
144. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn ⇔ 2
log4 (x − 1) = 1 ⇔ 2 log 4 (x − 1) = 1 ⇔ log4 (x − 1) = 1 2 1 ⇔ x − 1 = 42 ⇔ x = 3. ● So với điều
kiện, phương trình có nghiệm x = 3 . Thí dụ 199. ( ) ( ) (∗) Giải phương trình: log2 2x + 1 .log2 2x +1
+ 2 = 2 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . (∗) ⇔ log (2 x 2 ) ( ) + 1 . log2 2.2x + 2 = 2 ⇔
log2 2x + 1 . log2 2. 2x + 1 = 2 ( ) ( ) ⇔ log2 2x + 1 . 1 + log2 2x + 1 = 2 (
) ( 2 ) ⇔ log2 2x + 1 + log2 2x + 1 − 2 = 0 ( ) ( ( ) (1) ) ● Đặt t = log2 2x + 1 . (1) ⇔ t
2 + t−2 = 0 t = log 2x + 1 = 1 2 ⇔ x t = log2 2 + 1 = −2 ( ( ) ) 2 x + 1 = 2 ⇔ x −2
2 + 1 = 2 2 x = 1 ⇔ x 2 = − 3 4 (L ) ⇔ x = 0. ● Vậy phương trình có nghiệm duy
nhất x = 0 . Thí dụ 200. ( ) ( ) (∗) Giải phương trình: log2 2x + 1 .log2 2x +1 + 2 = 6 Cao đẳng Hóa
Chất năm 2004 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . (∗) ⇔ log (2 2 x + 1 .log2 2. 2x + 1
= 6 ) ( ) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 142 -
145. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn ⇔
log2 2x + 1 . 1 + log2 2x + 1 − 6 = 0 ( ) ( ) t = log 2x + 1 > 0 2 ⇔ t (1 + t) − 6
= 0 ( ) t > 0 ⇔ 2 t + t − 6 = 0 t > 0 ⇔ t = 2 ∨ t = −3 (L )
⇔ t=2 ( ) ⇔ log2 2x + 1 = 2 ⇔ 2x + 1 = 4 ⇔ 2x = 3 ⇔ x = log2 3 . ● Vậy phương trình có nghiệm
duy nhất là x = log2 3 . Thí dụ 201. ( ) ( ) Giải phương trình: log3 3x + 1 .log3 3x +1 + 3 = 2 (∗) Cao
đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Nghệ An khối A năm 2006 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . (∗) ⇔
log3 (3x + 1).log3 3.(3x + 1) = 2 ⇔ log 3 3x + 1 . 1 + log3 3x + 1 = 2 ( ) ( )
t = log 3x + 1 > 0 3 ⇔ t. (t + 1) = 2 ( ) t = log 3x + 1 > 0 3 ⇔ 2 t +
t − 2 = 0 ( ) t = log 3x + 1 3 ⇔ t = 1 ∨ t = −2 ( ( ) ) ⇔ log3 3x + 1 = 1
⇔ 3x + 1 = 3 . ⇔ x = log3 2 . ● Vậy nghiệm của phương trình là x = log3 2 .
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 143 -
146. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Thí dụ 202. 2 3 Giải
phương trình: lg4 (x − 1) + lg2 (x − 1) = 25 Ths. Lê Văn Đoàn (∗) Đại học Y Hà Nội năm 2000 Bài giải
tham khảo 2 x − 1 ≠ 0 (x − 1) > 0 ● Điều kiện: ⇔ ⇔ x > 1 ⇒ Tập xác định D = (1;
+∞) . 3 (x − 1) > 0 x − 1 > 0 (∗) ⇔ 2 lg x − 1 4 2 + 3 lg (x −
1) − 25 = 0 ⇔ 16 lg 4 (x − 1) + 9 lg2 (x − 1) − 25 = 0 16t2 + 9t − 25 = 0 ⇔ t =
lg2 (x − 1) > 0 t = 1 ∨ t = − 25 (L) ⇔ 16 t = lg2 (x − 1) > 0 ⇔ lg2 (x
− 1) = 1 ⇔ lg (x − 1) = 1 ∨ lg (x − 1) = −1 ⇔ x = 11 ∨ x = 11 10 ● Kết hợp tập xác định, phương
trình có hai nghiệm: x = 11 ∨ x = Thí dụ 203. Giải phương trình: log2 x + log2 x2 = log x 4x 0,5 11 . 10
(∗) Cao đẳng Sư Phạm Vĩnh Phúc khối B năm 2006 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: 0 < x ≠ 1 . 2 (∗) ⇔
(− log2 x) + 2 log2 x = log x 4 + log x x ⇔ log2 x + 2 log2 x − 2 1 −1 = 0 log 4 x ⇔ log2 x + 2 log2 x
− 2 2 −1 = 0 log2 x t = log2 x ≠ 0 ⇔ 3 t + 2t2 − t − 2 = 0 t = log x ≠ 0 2 ⇔
t = 1 ∨ t = −1 ∨ t = −2 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 144 -
147. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn ⇔
log2 x = 1 ∨ log2 x = −1 ∨ log2 x = −2 ⇔x=2 ∨ x= 1 1 ∨ x= . 2 4 ● So với điều kiện, nghiệm của
phương trình là x = Thí dụ 204. 1 1 ∨ x= ∨ x = 2. 4 2 (∗) Giải phương trình: 4 log9 x + log x 3 = 3 Đại
học Dân lập Kỹ Thuật Công Nghệ năm 1998 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: 0 < x ≠ 1 ⇒ Tập xác định:
D = (0; +∞) {1} . (∗) ⇔ 2 log 3 x+ 1 −3 = 0 log 3 x t = log x ≠ 0 3 ⇔ 2 2t − 3t + 1 = 0
t = log x = 1 3 ⇔ t = log x = 1 3 2 x = 3 ⇔ . x = 3 ● So với tập xác
định, nghiệm của phương trình là x = 3 ∨ x = 3 . Thí dụ 205. Giải phương trình: log x2 (2 + x ) + log x
+2 x=2 (∗) Đại học Nông Nghiệp I khối B năm 2001 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: 0 < x ≠ 1 . 1 (∗)
⇔ 2 log (2 + x) + log x ⇔ log x x + 2 + x +2 x=2 1 −2 = 0 log x x + 2 t = log x + 2 ≠ 0 x
⇔ 1 t + − 2 = 0 t t = log x + 2 ≠ 0 x ⇔ 2 t − 2t + 1 = 0 ⇔ t =
log x x + 2 = 1 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 145 -
148. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn ⇔ x
+2 = x x ≥ 0 ⇔ x + 2 = x 2 x ≥ 0 ⇔ 2 x − x − 2 = 0 ⇔ x = 2. ●
So với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 2 . Thí dụ 206. Giải phương trình: log2 x + log2x3 x =
2x 1 2 (∗) Đề thi thử Đại học lần 1 năm 2013 – THPT Trần Phú – Hà Tĩnh Bài giải tham khảo 3 1 4 ●
Điều kiện: 0 < x; x ≠ ; x ≠ . 2 2 1 (∗) ⇔ log ⇔ 2 x 2x + 1 1 (do x = 1 không là nghiệm phương trình)
= 3 2 log x 2x 1 2 (1 + log 2) + x 1 1 = 3 + log x 2 2 t = log 2, (t ≠ −1, t ≠ −3) x 1 1 ⇔ 1
+ = 2 3+t 2 (1 + t) t = log 2, (t ≠ −1, t ≠ −3) x ⇔ 3 t + 3t2 + t − 5 = 0
⇔ t = log2 x = 1 ⇔ x = 2. ● So với điều kiện, phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 . Thí dụ 207.
( ) ( ) Giải phương trình: log(3x +7) 9 + 12x + 4x2 + log2x+3 6x2 + 23x + 21 = 4 (∗) Đại học Kinh Tế
Quốc Dân năm 2001 Bài giải tham khảo −2 ≠ x > − 7 1 ≠ 3x + 7 > 0 3 1 ≠
2x + 3 > 0 3 3 ● Điều kiện: ⇔ −1 ≠ x > − ⇔ −1 ≠ x > − . 2 9 + 12x + 4x 2 > 0 2
2 (2x + 3) > 0 6x + 23x + 21 > 0 (2x + 3)(3x + 7 ) > 0
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 146 -
149. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit (∗) ⇔ log( 2 3x +7 ) (2x + 3)
www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn + log(2x+3) (2x + 3)(3x + 7 ) = 4 ⇔ 2 log(3x+7) (2x + 3) +
log(2x +3) (2x + 3) + log(2x+3) (3x + 7 ) = 4 ⇔ 2 log(3x+7) (2x + 3) + 1 log(3x+7) (2x + 3) −3 = 0
t = log 2x + 3) ≠ 0 (3x+7) ( ⇔ 2t + 1 − 3 = 0 t t = log 2x + 3) ≠ 0
(3x+7) ( ⇔ 2 2t − 3t + 1 = 0 ⇔ t = log(3x +7) (2x + 3) = 1 ∨ t = log(3x+7) (2x + 3) =
⇔ 2x + 3 = 3x + 7 ∨ 1 2 3x + 7 = 2x + 3 2x + 3 ≥ 0 L) ∨ ( 9 + 12x + 4x2 = 3x + 7
⇔ x = −4 x ≥ − 3 1 2 ⇔ x =− . ⇔ 1 4 x = −2 ∨ x = − 4 1 ● Kết hợp với
điều kiện, nghiệm của phương trình là x = − . 4 Các thí dụ về giải bất phương trình logarit bằng cách đặt
ẩn phụ Thí dụ 208. Giải bất phương trình: 2 log5 x − log x 125 < 1 (∗) Cao đẳng Sư Phạm Tp. Hồ Chí
Minh năm 2002 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: 0 < x ≠ 1 . (∗) ⇔ 2 log 5 x− ⇔ 2 log5 x − 1 −1 < 0
log125 x 3 −1 < 0 log5 x t = log x ≠ 0 5 ⇔ 2t2 − t − 3 <0 t
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 147 -
150. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn t =
log x 5 ⇔ t < −1 ∨ 0 < t < 3 2 ⇔ log5 x < −1 ∨ 0 < log5 x < ⇔x< 3 2 1 ∨ 1<x
<5 5. 5 1 ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là: x ∈ 0; ∪ 1;5 5 .
5 ( Thí dụ 209. Giải bất phương trình: log 3 x + log 3x 27 ≤ 3 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: 0
< 3x ≠ 1 ⇔ 0 < x ≠ (∗) ⇔ log 3 x+ ⇔ log 3 x + log 3 27 log 3 (3x ) 1 . 3 ≤3 3 ≤3 1 + log 3 x (1) ●
Đặt t = log 3 x ≠ −1 . 3 (1) ⇔ t + 1 + t ≤ 3 ⇔ t2 − 2t ≤0 1+ t t ≠ 1 ⇔ 2 t − 2t (1 + t) ≤ 0
( ) t ≤ −1 ⇔ 0 ≤ t ≤ 2 log x < −1 ⇔ 3 0 ≤ log 3 x ≤ 2 log x < log 1
3 ⇔ 3 3 log 3 1 ≤ log 3 x ≤ log 3 9 x < 1 . ⇔ 3 1≤ x ≤9
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 148 - (∗) )
151. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn
1 ● So với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ 0; ∪ 1; 0 .
3 Thí dụ 210. Giải bất phương trình: log2 (x + 1) + log x +1 2 ≥ 5 2 (∗) Cao đẳng SP Hà Nam khối
B năm 2005 – Cao đẳng SP Lai Châu khối B năm 2005 x + 1 > 0 x > −1 . ● Điều kiện: ⇔
x + 1 ≠ 1 x ≠ 0 (∗) ⇔ log2 (x + 1) + 1 log2 (x + 1) − 5 ≥0 2 t = log (x + 1) ≠ 0
2 ⇔ 1 5 t + − ≥ 0 t 2 t = log (x + 1) ≠ 0 2 ⇔ 2 2t − 5t + 2 ≥ 0
t = log (x + 1) ≠ 0 2 ⇔ 1 t ≤ ∨ t≥2 2 ⇔ log2 (x + 1) ≤ 1 ∨ log2 (x + 1) ≥ 2 2
⇔ log2 (x + 1) ≤ 1 ∨ log2 (x + 1) ≥ 2 2 1 ⇔ x + 1 ≤ 2 2 ∨ x + 1 ≥ 22 ⇔ x ≤ 2 −1 ∨ x ≥ 3. ( ) ● Kết
hợp với điều kiện, tập nghiệm là: x ∈ −1; 2 − 1 ∪ (3; +∞) {0} . Thí dụ 211. ( ) Giải bất phương trình:
log4 3x − 1 . log 1 4 3x − 1 3 ≤ 16 4 (∗) Cao đẳng Sư Phạm Vĩnh Phúc khối A năm 2006 Bài giải tham
khảo ● Điều kiện: 3 x − 1 ≥ 0 ⇔ 3 x ≥ 1 ⇔ x > 0 . 3 (∗) ⇔ log4 (3x − 1). − log4 (3x − 1) +
log4 16 − 4 ≤ 0 ( ) ( ) ⇔ − log2 3x − 1 + 2 log4 3x − 1 − 4 3 ≤0 4 www.DeThiThuDaiHoc.com
Page - 149 -
152. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn t =
log 3x − 1 4 ⇔ 2 4t − 8t + 3 ≤ 0 ( ) t = log 3x − 1 4 ⇔ 1 3 t ≤ ∨
t≥ 2 2 ( ( ) ) ⇔ log4 3x − 1 ≤ 1 3 ∨ log 4 3x − 1 ≥ 2 2 ( ) ⇔ 3x − 1 ≤ 2 ∨ 3x − 1 ≥ 8 ⇔ 3x
≤ 3 ∨ 3x ≥ 9 ⇔ x ≤1 ∨ x ≥ 2. ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x ∈
(0;1 ∪ 2; +∞) . Thí dụ 212. log2 x + 3 2 Giải bất phương trình: log2 x + 3 >2 (∗) Cao đẳng
Kinh Tế Kỹ Thuật Công Nghiệp II năm 2004 Bài giải tham khảo x > 0 x > 0 x > 0 ●
Điều kiện: ⇔ ⇔ 1. log2 x + 3 ≠ 0 log2 x ≠ −3 x ≠ 8 (∗) ⇔ ⇔
log2 x + 3 2 log2 x + 3 −2 > 0 log2 x − 2 log2 x − 3 2 log2 x + 3 >0 t = log x 2 ⇔ t2 − 2t −
3 >0 t+3 t = log x 2 ⇔ −3 < t < −1 ∨ t > 3 ⇔ −3 < log2 x < −1 ∨ log2 x
> 3 ⇔ 1 1 <x< ∨ x>8 8 2 1 1 ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x ∈
; ∪ (8; +∞) . 8 2 Thí dụ 213. Giải bất phương trình: log2 x + log2x 8 ≤ 4 (∗) Đại học
Y Thái Bình năm 2000 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 150 -
153. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn Bài
giải tham khảo x > 0 1 1 ● Điều kiện: ⇔ 0 < x ≠ ⇒ Tập xác định: D = (0; +∞) .
0 < 2x ≠ 1 2 2 (∗) ⇔ log 2 x+ ⇔ log2 x + 1 −4 ≤0 log 8 2x 1 1 (1 + log2
x) 3 −4 ≤ 0 2 t − 3t − 1 ≤ 0 ⇔ t +1 t = log2 x t < −1 ∨ 3 − 13 ≤ t ≤ 3
+ 13 ⇔ 2 2 t = log x 2 log2 x < −1 ⇔ 3 − 13 3 + 13 ≤ log2 x ≤ 2 2
⇔x< 1 ∨ 2 2 3− 13 2 ≤x≤2 3+ 13 2 . 1 3− 13 3+ 13 ● Kết hợp với tập xác định, tập
nghiệm của hệ là x ∈ 0; ∪ 2 2 ; 2 2 . 2 Thí dụ 214. Giải
và biện luận bất phương trình: loga loga2 x + loga2 loga x ≥ 1 loga 2 2 (∗) Đại học Nông Nghiệp I khối
A năm 2001 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x > 0 . ● Cơ số a phải thỏa mãn điều kiện: 0 < a ≠ 1 . (∗)
⇔ log a ⇔ loga 1 1 1 .loga x + loga loga x ≥ loga 2 2 2 2 1 1 1 + loga loga x
+ loga loga x ≥ loga 2 2 2 2 ⇔ − loga ⇔ 1 3 1 + loga loga x ≥ loga 2 2 2 2 3 3 loga loga x ≥ loga 2 2 2
⇔ loga loga x ≥ loga 2 (∗ ∗) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 151 -
154. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn ●
Nếu 0 < a < 1 : (∗ ∗) ⇔ 0 < loga x ≤ 2 ⇔ a 2 ≤ x < 1 . ● Nếu a > 1 : (∗ ∗) ⇔ loga x ≥ 2 ⇔ x ≥ a 2
. Thí dụ 215. (∗) Giải phương trình: log2 x + log 3 x < 1 + log2 x. log 3 x Đại học Ngoại Thương khối D
năm 1998 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x > 0 ⇒ Tập xác định: D = (0; +∞) . (∗) ⇔ log 2 x+ log2 x
log2 3 − 1 − log2 x. log2 x log2 3 <0 t = log x 2 ⇔ t t2 t + −1− <0 log2 3 log2 3
t = log x 2 ⇔ 2 t − (1 + log2 3) t + log2 3 > 0 t = log x 2 ⇔ t < 1 ∨
t > log2 3 ⇔ log2 x < 1 ∨ log2 x > log2 3 ⇔ x < 2 ∨ x > 3. ● Kết hợp với tập xác định, tập
nghiệm của bất phương trình là x ∈ (0;2) ∪ (3; +∞) . Thí dụ 216. Giải bất phương trình: ( ) ( ) log9 3x2
+ 4x + 2 + 1 > log 3 3x2 + 4x + 2 (∗) Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh khối A, B năm 2000 Bài giải
tham khảo ● Điều kiện: 3x2 + 4x + 2 > 0, ∀x ∈ » ⇒ Tập xác định: D = » . ( ) ● Đặt t = log 3 3x 2 + 4x
+ 2 , lúc đó: (∗) ⇔ 1 t +1> t 2 ⇔ 1 t > t −1 2 t − 1 < 0 t − 1 ≥ 0 ⇔ 1 ∨ 1 2
t>0 t > (t − 1) 2 2 ⇔ 0≤t<2 ( ) ⇔ 0 ≤ log 3 3x 2 + 4x + 2 < 2
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 152 -
155. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
3x2 + 4x + 2 ≥ 1 ⇔ 2 3x + 4x + 2 < 9 3x2 + 4x + 1 ≥ 0 ⇔ 2 3x + 4x − 7
< 0 ⇔− 1 7 ≤ x < 1 ∨ − < x ≤ −1 . 3 3 7 1 ● Vậy tập nghiệm của bất phương trình
là x ∈ − ; −1 ∪ − ;1 . 3 3 Thí dụ 217. Giải phương trình: (x + 1) log2
x + (2x + 5).log 1 x + 6 ≥ 0 1 2 (∗) 2 Đại học Luật Hà Nội – Đại học Dược Hà Nội năm 2001 Bài giải
tham khảo ● Điều kiện: x > 0 ⇒ Tập xác định D = (0; +∞) . (∗) ⇔ (x + 1) log x − (2x + 5) log2 x + 6
≥ 0 2 2 (1) ● Đặt t = log2 x . (1) ⇔ (x + 1).t − (2x + 5).t + 6 ≥ 0 (2) 2 2 2 Lập ∆ = (2x + 5) − 24 (x +
1) = 4x 2 − 4x + 1 = (2x − 1) . ⇒ t1 = 2x + 5 + 2x − 1 2 (x + 1) ● Xét: t1 − t2 = 2 − x + t1 − t2 ● N ếu
0 < x ≤ 2 (x + 1) = 3 . x +1 1 2 0 0 − 0 +∞ + 1 ⇒ t1 − t2 < 0 ⇔ t1 < t2, lúc đó tập nghiệm của (2) là :
2 log x ≤ 2 t = log x ≤ t 2 2 1 ⇔ t = log x ≥ t log x ≥ 3 2 2 2 x +1 Do đó,
khi 0 < x ≤ ● N ếu x > 2x + 5 − 2x + 1 3 2x − 1 = x +1 x +1 −1 −∞ = 2 ∨ t2 = (a) (b ) 1 1 thì (a )
thỏa , (b) không thỏa nên tập nghiệm (2) là 0; 2 2 1 ⇒ t1 − t2 > 0 ⇔ t2 < t1, lúc đó
tập nghiệm của (2) là 2 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 153 - (3)
156. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
log x ≥ 2 x ≥ 4 t = log x ≥ t 2 2 1 t = log x ≤ t ⇔ log x ≤ 3 ⇔ 1 <x≤2 2 2
2 x +1 2 Do đó, khi x > 1 1 thì tập nghiệm của (2) là ;2 ∪ 4; +∞) 2 2
(4 ) ● Từ (3), (4) ⇒ Tập nghiệm của phương trình là: x ∈ (0;2 ∪ 4; +∞) . BÀI TẬP
TƯƠNG TỰ Bài tập 89. Giải các phương trình sau 1 . 2 1/ 4 log2 x + 2 log 4 x 2 + 1 = 0 . 4 2/ log2 x +
2 log4 2 3/ − log3 x + 2 log2 x = 2 − log x . ĐS: x = 4/ log2 x − 4 log2 x + 3 = 0 . 2 ĐS: x = 2 ∨ x = 8 .
5/ log2 2 x + 3 log2 x + log 1 x = 2 . ĐS: x = 1 ∨ x = 2. 2 ĐS: x = 1 ∨ x = 2. 128 1 = 0. x ĐS: x = ĐS:
x = 1 ∨ x = 2 . 2 6/ log2 4x + log2 1 2 7/ x2 = 8. 8 log2 (2 − x ) − 8 log 1 (2 − x ) = 5 . 2 1 ∨ x = 10 ∨
x = 100 . 10 ĐS: x = 0 ∨ x = 63 . 32 ĐS: x = 5 ∨ x = 1 . 125 4 8/ log2 x + 4 log25 5x − 5 = 0 . 5 9/
log2 (x − 1) = 5 + log2 (x − 1) . 2 ĐS: x = 3 ∨ x = 1 + 24 2 . 2 10/ x2 31 . 3 log (8x ) + 2 log 2 (4x ) +
log 4 = 2 2 ĐS: x = 1 . 2 11/ 2 log2 1 2 2 1 4 ĐS: x = 4 . x2 + 2 log2 (3x ) + log9 (27x ) = 8 . 9 3 4 x2
x3 3 + log 4 8x − 3 log2 =− . 4 16 2 ĐS: x = 3 . 12/ log2 3 13/ log 3 3x − 1 .log 3 3 x+1 − 3 = 6 . 14/
log ( 3 ) ( (x − 2).log 5 ) x = 2 log3 (x − 2) . ĐS: x = log3 10 ∨ x = log3 28 . ĐS: x = 3 ∨ x = 5 .
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 154 -
157. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit 15/ Bài tập 90. ( ) ( www.MATHVN.com )
log2 2x + 1 .log2 2x+1 + 2 = 2 . Ths. Lê Văn Đoàn ĐS: x = 0 . Giải các phương trình sau 1/ 1 2 + = 1. 4
− lg x 2 + lg x ĐS: x = 10 ∨ x = 100 . 2/ 1 3 + = 1. 5 − lg x 3 + lg x ĐS: x = 10 ∨ x = 1000 . 3/ 1 2 + =
1. 4 + log2 x 2 − log2 x ĐS: x = 4/ 2 lg x 2 = − lg x + . lg x − 1 lg x − 1 ĐS: x = 10 ∨ x = 5/ 2 4 26 . +
= 3 1 + log 3 x 2 − log 4 16x 3 ĐS: x = 9 . 6/ 7/ 1 ( ) 3 + log2 4x 2 − 2 +1 = 0. 2 − log4 16x 3 log 1 x −
2 + 3 = log 1 x + 1 . 3 Bài tập 91. 1 1 ∨ x= . 2 4 ĐS: x = 1 . 2 ĐS: x = 1 . 100 1 . 9 3 Giải các phương
trình sau 1 . 5 1/ 2 log5 x − 2 = log x 2/ log7 x − log x 1 = 2. 7 ĐS: x = 7 . 3/ log x2 3 + log9 x = 1 . ĐS:
x = 3 . 4/ log 5/ log4 4x 2 + logx (8x ) = 6/ log2 2 7/ 1 21 3 log3 9x 2 + log x (3x ) = . 2 2 8/ log25
125x2 + 2 log x2 (5x ) = 5 . ĐS: x = 5 . 9/ log2 x + log2 x 2 = log x (4x ) . 1 ĐS: x = 2 ∨ x = 3 (9x) +
log x ĐS: x = 5 . 27 + log9 (3x ) + 3 = 0 . x2 ( ) 11 . 2 x 57 + 3 log 4 x 8x 2 = . 16 4 ( ) ( ) ( ) ĐS: x =
ĐS: x = 4 . ĐS: x = 4 . ĐS: x = 3 . 4 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 155 - 1 . 3 1 1 ∨ x= . 2 4
158. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn 1 log
3 10 + log2 10 − 6 log x 10 = 0 . x x ĐS: x = 10 ∨ x = 11/ log x 5 5 − 1,25 = log2 5 . x ĐS: x = 5 5 ∨ x
= 5 . 12/ log2 5x − 1 . log2 5x − 1 = 2 . 4 13/ log2 3 x + 3 − 4.log 3x +3 2 = 0 . ĐS: x = 0 . 14/ log 2 2
+ log2 4x = 3 . ĐS: x = 1 ∨ x = 4 . 10/ ( ) ( ( ) ) 3 . 10 ĐS: x = 1 . x 15/ log x 3.log x 3 + log x 3 = 0 . 3
ĐS: x = 9 ∨ x = 81 1 . 9 log2x x 2 − 14 log16x x 3 + 40 log 4x x = 0 . ĐS: x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = 17/
log2 x + 1 − log x+1 64 = 1 . 3 ĐS: x = 7 ∨ x = − . 4 18/ log x2 16 + log2x 64 = 3 . ĐS: x = 16/ 9 +
log2 5 . x 4 1 3 ĐS: x = 5 ∨ x = 5 5 . 19/ log x 5 + log x 5x = 20/ x4 14 log x 4x + 2 log x3 (2x) + log2x
=− . 4 3 2 8 ĐS: x = 1 . 21/ 1 x 65 logx3 4x2 + 4 log x2 2x − log16x2 = . 2 4 12 2 ĐS: x = 2 . 22/ log x
9x 2 + ( ) 2 ( ) ( ) 3 Bài tập 92. ∨ x = 4. 2 1 1 log 3x3 (27x ) + = 0 . 2 2 ĐS: x = 1 . 3 Giải các phương
trình sau 1/ 3 log2 x − log2 4x = 0 . ĐS: x = 2 ∨ x = 16 . 2/ log 3 (27x ) − 3 log 3 x − 1 = 0 . ĐS: x = 3
∨ x = 81 . 3/ log 4 2x + log2 4x + 3 = 2 . ĐS: x = 4/ log2 x + log2 x + 1 − 5 = 0 . 3 3 ĐS: x = 3± 3 . 5/
3 log 3 x − log 3 3x − 1 = 0 . ĐS: x = 3 ∨ x = 81 . 6/ log 1 x − 3. log 1 x + 2 = 0 . ĐS: x = 3 3
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 156 - 1 . 2 1 1 ∨ x= . 3 81 1 5 64 .
159. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com 4 . 3 Ths. Lê Văn Đoàn
7/ log2 3 x + 3 log2 x = 8/ 2 log2 3 x − 3 log2 x = − . 3 ĐS: x = 1 ∨ x = 2. 256 9/ log x 5x = − logx 5 .
ĐS: x = 1 . 25 2 − lg x = 1 − lg x − 1 . ĐS: x = 10 ∨ x = 100 ∨ x = 10000 . log 3 9x + 2 + log9 3x + 1
= 5 . ĐS: x = 32 . 10/ 3 11/ ĐS: x = 2 . 1± 5 1 ∨ x = 1∨ x = 2 2 . 2 12/ ĐS: x = 13/ Bài tập 93. log2 x +
log2 x + 1 = 1 . 2 4 log 3 x − 1 − log 3 x = 4 . ĐS: x = 324±8 7 . Giải các phương trình sau 1/ 3 log2 2x
−2 −9 log2 x +2 = 0. ĐS: x = 2 . Cao đẳng sư phạm Hưng Yên năm 2001 2/ 4 log9 x − 6.2 log9 x +2 3/
4 log3 x − 5.2 4/ 4 log2 2x −x log3 x +2 log2 6 log3 27 = 2.3 ĐS: x = 9 ∨ x = 81 . = 0. log3 9 = 0. ĐS:
x = 1 ∨ x = 9 . log2 4x2 ĐS: x = . 1 . 4 Đại học Luật Tp. Hồ Chí Minh năm 2001 log2 x +1 2 ĐS: x =
2± 3 . 2 6/ 2 7/ 4lg10x − 6lg x = 2.3log100x . log2 x +1 2 =x 2 log2 x 5/ − 48 . + 224 = x 2 log2 x ĐS: x
= 4 ∨ x = . 2 ĐS: x = 1 . 4 1 . 100 Đại học Bách Khoa Hà Nội năm 1999 8/ 27 log2 x +x log2 3 = 30 .
ĐS: x = 2 . Đại học Dân lập Hải Phòng năm 2001 2(log5 2+x ) 9/ 5 10/ 4 lg(10x) −2 = 5 log5 2+x − 6lg
x = 2.3 ( ĐS: x = 0 . . lg 100x2 ) ĐS: x = 0, 01 . . Đại học Bách Khoa Hà Nội năm 1999 log2 x 4 11/ 64
12/ 2x log2 x = 3.2 + 2x 2 log2 x + 3.4 −3 log8 x log2 x 4 +4. −5 = 0. ĐS: x = 1 ∨ x = 4. 4 ĐS: x = 1 ∨
x = 2. 2 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 157 -
160. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn Đại
học Tổng hợp Hà Nội khối A năm 1994 log2 x 2 − x2 . ĐS: x = 2 ∨ x = 2 1 1−log3 2 2.9 14/ Bài tập 94.
=x log2 6 13/ log2 x − log2 x + log3 x − log2 x.log3 x = 0 . ĐS: x = 1 ∨ x = 2 . 2 . Giải các phương
trình sau 1/ log2 x + (x − 12) log 3 x + 11 − x = 0 . 3 ĐS: x = 3 ∨ x = 9 . 2/ lg2 x − lg x.log2 4x + 2
log2 x = 0 . ĐS: x = 1 ∨ x = 100 . 3/ x.log2 x − 2 (x + 1) log2 x + 4 = 0 . 2 ĐS: x = 4 ∨ x = 2 . 4/ (x +
3) log (x + 2) + 4(x + 2) log (x + 2) = 16 . ĐS: x = 1 ∨ x = − 2 3 3 161 . 81 Đại học Luật Hà Nội năm
1995 80 ∨ x = 2. 81 5/ ĐS: x = − 6/ log2 x + (x − 1) log2 x = 6 − 2x . 2 ĐS: x = 7/ Bài tập 95. (x + 2)
log (x +1) + 4(x +1) log (x +1) = 16 . log2 (x + 1) + (x − 5) log 3 (x + 1) = 2x − 6 . ĐS: x = 8 ∨ x = 2 .
3 2 3 3 1 ∨ x = 2. 4 Giải các bất phương trình sau 1/ ĐS: x ∈ (4;16) . log2 x − 6 log2 x + 8 ≤ 0 . 1 2 2/
ĐS: x ∈ (1;2) . log2 x + log 1 x2 < 0 . 1 2 4 ( ) 3/ log2 2 8x2 + 3log16 (4x) − 2 log 4/ 3 log2 1 4 5/ (2x )
< 51 . 4 3 2 x 29 . + 2 log 8 4x2 + 2 log2 2 16 ≥ 16 3 ( ) ( ) 2 log2x 4x 2 + 3 log x 2 6/ x2 log 2 (4x ) +
3 log 1 + log2 (8x ) > 40 . 4 2 7/ 3 log2 1 8/ x2 16 1 − 2 log 8 − < 0. 4 x 3 ( 38 ĐS: x ∈
0; 4 ∪ 2 9 ; +∞ . 8 x3 − 16 log x2 (4x ) ≤ 0 . ĐS: x ∈ 2 5 ; 4 . 4
2 4 − 83 1 ĐS: x ∈ 2 64 ; . 2 ) 2 log2 (3x ) − 2 log 1 27x 2 − 10
< 0 . 9 −9 ĐS: x ∈ 0;2 16 ∪ (2; +∞) . 16 ĐS: x ∈ 1;2 9 .
3 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 158 - ( ĐS: x ∈ 2−9−4 6 ;2−9+4 6 ).
161. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit 9/ Bài tập 96. www.MATHVN.com x3
32 4 log2 x − log2 + 9 log2 2 < 4 log2 x . 1 1 x 8 2 2
Ths. Lê Văn Đoàn 1 1 ĐS: x ∈ (4; 8) ∪ ; . 8 4 Giải các bất phương trình sau
1/ 1 log x 100 − log100 x > 0 . 2 ĐS: x ∈ 100− 2 ;100 2/ log2 x + 2 log x 4 − 3 ≤ 0 . ĐS: 1 ≠ x > 0 . 3/
x 4/ 2.x 5/ 6 6/ log x 2.log2x 2. log2 4x > 1 . 1 1 ĐS: x ∈ 2 ; ∪ 1;2 2 2 7/ 6 4
+ > 3. log2 2x log2 x2 1 1 ĐS: x ∈ ; ∪ (1; 4) . 2 3 2 8/ 1 2 + < 1. 5 −
log5 x 1 + log5 x 1 ĐS: −∞; ∪ (25;125) ∪ (3125; +∞) . 5 9/ 1 2 + ≤ 1. 4 +
log2 x 2 − log2 x ĐS: 10/ log4 x log2 x 2 . + > 2 1 − log2 x 1 + log2 x 1 − log2 x 1 ĐS: x ∈
(−∞;2) ∪ (16; +∞) . 2 11/ 1 + log2 x 3 1 ĐS: x ∈ −∞; ∪ (3;
+∞) . 3 12/ log3 x.log2 x − 2 log3 x − log2 x − 2 < 0 . 13/ log2 2x − 1 .log 1 2x +1 − 2 > −2 .
log x +1 ( x−1) ( ) 2 lg(x−1) log2 x 6 +x log x +1 x + (x − 1) ( ) lg x ≥ 1 + (x − 1) log6 x 1 + log3 x ( ≤
2. ( 16/ 17/ −∞; 1 ∪ 1 ; 1 ∪ (4; +∞) . 4 2 16
ĐS: x ∈ (3; 4) . 3 ĐS: x ∈ log2 ; log2 5 . 2 ( ) ) 28 ĐS: x ∈ log
3 ; log 3 4 . 27 log 3 3x − 1 . log 1 3x+2 − 9 > −3 . ĐS: x ∈ 0; ( ) log x 2x ≤
log x 2x 3 . 1 − 9 log2 x > 1 − 4 log 1 x . 1 8 ). ) 3 15/ 2 ( ) ( ĐS: x ∈ (1;2 . 1 ĐS: x ∈ ;
6 . 6 ≤ 12 . 2 14/ ). ĐS: x ∈ 2; +∞) . . > 1. ( 2 8 log2 x − 4 log 3 x + 9 ≥ 2 log 3 x − 3
. 3 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 159 - 1 ∪ 2; +∞) . 3 2
162. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit ( ) Ths. Lê Văn Đoàn
1 ĐS: x ∈ 0; ∪ (8;16) . 2 18/ log2 x − log2 x 2 − 3 > 5 log4 x2 − 3 . 2 19/ log9 3x2 +
4x + 2 + 1 > log3 3x2 + 4x + 2 . 7 1 ĐS: x ∈ − ; −1 ∪ − ;1 . 3 3
20/ log2 x + 4 log2 x ≤ 4 − log16 x 4 . 0,5 1 ĐS: x ∈ 1;2 5 8 ∪ 0; .
4 21/ ( ) log x 2. log x 2 > 16 ( ) 1 . log2 x − 6 ĐS: x ∈ (−∞;1) ∪ (4; 8) ∪ (16; 64) . 22/ 6 log 3
1 − x + log2 (x − 1) + 5 ≥ 0 . 3 23/ log2 x > log3 x.log3 9 24/ 3x − 1 3 log4 3x − 1 log 1
16 ≤ 4 . 4 25/ Bài tập 97. ( ( ) 2x + 1 − 1 . ) log 8 x log2 (1 + 2x ) ≤ log2 3 1 + 2x log2 x
ĐS: x ∈ (0;1) ∪ 2; +∞) . 1 ĐS: x ∈ 0; ∪ (1; +∞) . 2 . Giải bất phương trình:
log2x 64 + log x2 16 ≥ 3 . Đại học Y Hà Nội năm 1997 1 1 ĐS: x ∈ ; ∪ (1; 4 .
2 3 2 Bài tập 98. Giải bất phương trình: log x (3x ) + log2 x < 11 . 3 3 Đại học Y Hải Phòng năm
2001 ( ) ( ĐS: x ∈ 3−1− 5 ; 3 ∪ 3 Bài tập 99. Giải phương trình: log 5 −1 ) ;27 . 2 x(24x +1) x + log x2
24x+1 x 2 = log(24x+1) x . ( ) Đề thi thử Đại học năm 2011 – THPT Liên Hà – Hà Nội ĐS: x = 1 ∨ x =
1 . 8 ( ) ( ) Bài tập 100. Giải phương trình: log1−2x 6x 2 − 5x + 1 − log1−3x 4x2 − 4x + 1 − 2 = 0 . Đại
học Thủy Sản năm 1999 ĐS: x = 1 . 4 ( ) ( ) Bài tập 101. Giải phương trình: 2log2 x2 − x + log2 x −
log2 x.log2 x2 − x = 2 . ĐS: x = 2 ∨ x = 4 . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 160 -
163. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Bài tập 102. Giải
phương trình: (2 − log 3 x ) log9x 3 − Ths. Lê Văn Đoàn 4 = 1. 1 − log 3 x Đề thi thử Đại học năm 2011
– THPT Long Châu Sa – Phú Thọ ĐS: x = 1 ∨ x = 81 . 3 Bài tập 103. Giải phương trình: ( ) ( ) 3 + log4
x2 − 4x + 2 5 − log4 x2 − 4x = 6 . ( log (x − ) ( − 1). log (x + ) Bài tập 104. Giải phương trình: log2 x −
x 2 − 1 + 3 log x + x2 − 1 = 2 . Bài tập 105. Giải phương trình: x2 2 ( ) x 2 − 1 = log6 x − x2 − 1 . 3 ) (
) Bài tập 106. Giải phương trình: 2 log2 x 2 − x + log2 x − log2 x.log2 x2 − x = 2 . x3 32 4
Bài tập 107. Giải bất phương trình: log2 x − log2 + 9 log2 2 < 4.log2 x . 1 1
x 8 2 2 Đại học Tài Chính Kế Toán Hà Nội năm 1999 1 1 ĐS: x ∈ ; ∪ (4;
8) . 8 4 Bài tập 108. Giải bất phương trình: ( log3 x ) 10 + 1 − ( log 3 x ) 10 − 1 ≥ 2x . 3
Đề thi thử Đại học khối B năm 2013 lần 2 – Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc ĐS: x ∈ 3; +∞) Bài tập 109.
Giải bất phương trình: 2 log2 2 x +x 2 log2 x − 20 ≤ 0 . Đề thi thử Đại học năm 2011 khối A – Tạp chí
Toán học và Tuổi Trẻ 1 ĐS: x ∈ ;2 . 2 Bài tập 110. Giải bất phương trình: x 4+log3 x
> 243 . Đề thi thử Đại học năm 2010 lần 1 khối A – THPT Phan Châu Trinh – Đà Nẵng 1
ĐS: x ∈ 0; 243 ∪ (3; +∞) . Bài tập 111. Giải bất phương trình: 2 (1 + log2 x ) log 4 x +
log 8 x < 0 . Đề thi thử Đại học năm 2010 lần 1 khối B – THPT Phan Châu Trinh – Đà Nẵng 1
ĐS: x ∈ ;1 . 3 2 2 Bài tập 112. Giải bất phương trình: ( ) log2 x − log2 x 2 − 3 > 5
log4 x2 − 3 . 2 Đề thi thử lần 1 khối năm 2011 – THPT Trần Hưng Đạo – Hưng Yên
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 161 -
164. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn
1 ĐS: x ∈ 0; ∪ (8;16) . 2 2x 1 + x2 > 2 . Bài tập 113. Giải bất phương trình: 2x 2 + lg
1 + x2 4 + lg2 Cao đẳng sư phạm Hà Nội năm 2001 ( ) ( ) ĐS: x ∈ 100 − 3 1111; 1 ∪ x ∈ 1; 100 + 3
1111 . 3 2 log2 1 − 2x ≤ − Bài tập 114. Giải bất phương trình: . log2 x log2 (1 − 2x ) 3 log 8 x Đề thi thử
Đại học năm 2013 khối A, B lần 2 – THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An HD: t = log2 x log2 (1 − 2x )
>0⇒x= 1 . 3 2 log x + 1 − 3 log x + 1 − 6 1 ) 2( 2 2 ≥ log2 (x + 1) . Bài
tập 115. Giải bất phương trình: 2 − log2 (x + 1) Đề thi thử Đại học năm 2013 khối D – THPT Chuyên Lê
Quý Đôn – Quãng Trị 1 ĐS: x ∈ −1; ∪ 3;15 . ( 5 64 ( Bài tập 116. Giải
phương trình: log2 x ) 3 +1 + x. ( log2 x ) 3 −1 = 1 + x2 . Đề thi thử lần 1 năm 2011 khối A, B – THPT
Nguyễn Huệ HD: u = ( log2 x ) 3 +1 > 0; v = ( log2 x ) 3 −1 > 0 ⇒ x = 1. www.DeThiThuDaiHoc.com
Page - 162 -
165. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn Dạng
3. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số & Phương pháp đánh giá I – LÍ THUYẾT CƠ BẢN Định lí 1.
Nếu hàm số y = f (x ) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì số nghiệm trên D của
phương trình f (x ) = a không nhiều hơn một và ∀u, v ∈ D : f (u) = f (v) ⇔ u = v . Định lí 2. Nếu
hàm số f ( x ) và g (x ) đơn điệu ngược chiều và liên tục trên D thì số nghiệm trên D của phương trình f
(x ) = g (x ) không nhiều hơn một. Định lí 3. Nếu hàm số f ( x ) luôn đồng biến trên D thì f (x ) > f (a
) ⇔ x > a , ∀ x, a ∈ D . Nếu hàm số f ( x ) luôn nghịch biến trên D thì f (x ) > f (a ) ⇔ x < a , ∀ x, a
∈ D . Định lí 4. Nếu f (x ) có đạo hàm đến cấp k và liên tục trên D, đồng thời f nghiệm phân biệt thì
phương trình: f (k (k ) (x) có đúng m ) ( x ) sẽ có không quá (m + 1) nghiệm. Một số dạng toán cơ
bản thường gặp: Dạng 1. loga f (x) g (x) = α. g (x ) − f (x ) (∗) Bước 1. Đặt điều kiện
(TXÐ : D) . Bước 2. (∗) ⇔ log f (x) − log g (x) = α.g (x) − α.f (x ) a a ⇔ loga f (x ) + α.f (x ) = loga
g (x ) + α.g (x ) ⇔ f f (x ) = f g (x ) Bước 3. (1) Xét hàm số f (t) = α.t +
loga t trên D . Nếu hàm số f (t) luôn đồng biến hoặc luôn nghịch (một chiều) thì theo định lí 1, ta có: (1)
⇔ f f (x ) = f g (x ) ⇔ f (x) = g (x) . Từ đó, giải ra tìm x. Dạng 2. loga f (x ) =
logb g (x ) (∗) (∗) ⇔ f (x ) = g (x ) : ● Nếu a = b : ● PP Nếu (a − 1)(b − 1) < 0 Dùng phương
pháp đoán nghiệm và chứng minh → đây là dạng toán khá quen thuộc đối với học sinh. nghiệm duy nhất
dựa vào phương pháp hàm số (định lí 1). www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 163 -
166. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit ● Ths. Lê Văn Đoàn PP
Nếu (a − 1)(b − 1) > 0 Dùng phương pháp mũ hóa bằng ẩn phụ. Cụ thể ta → làm theo các bước:
Bước 1. Đặt điều kiện. t f (x ) = a Bước 2. Đặt: loga f (x ) = log b g (x ) = t ⇒ . Biến đổi về
phương trình g (x ) = b t t t dạng f (t) = A + B = 1 (1) Bước 3. Giải phương trình (1) theo t
bằng phương pháp đoán nghiệm và chứng minh đó là nghiệm duy nhất (định lí 1). Bước 4. Lưu ý: Tìm x
khi có được t. Bài toán có dạng: α loga f (x ) = β log b g (x ) ta cũng làm tương tự bằng cách đặt α loga f
(x ) = β log b g (x ) = γ.t với γ là bội số chung nhỏ nhất của α và β . (∗) Dạng 3. log f (x) g(x) = loga b
● g (x ) = 1 Nếu a = b : (∗) ⇔ log f (x) g (x ) = 0 ⇔ . 0 < f (x ) ≠ 1 ● Nếu b ≠ 1,
ta làm theo các bước: Bước 1. f (x ) > 0 Đặt điều kiện: . 0 < g (x ) ≠ 1 Bước 2. Sử
dụng công thức đổi cơ số. Cụ thể: (∗) ⇔ log b f (x ) log b g (x ) = loga b ⇔ logb f (x ) = loga b.log b
g (x ) ⇔ log b f (x ) = loga g (x ) : Đây là dạng toán 2 ở trên, đã biết cách giải. Dạng 4. a αx+β = p loga
(λx + µ ) + qx + r (∗) PP Đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình đối xứng loại II và sử dụng
phương pháp → hàm số để tìm được x = y . Lưu ý: Một số bài toán, sau khi đặt ẩn phụ, vẫn còn biến x
(tôi gọi đây là dạng đặt ẩn phụ không hoàn toàn). Lúc đó, ta xem đó là phương trình bậc hai theo t, còn x
là hằng số. Giải phương trình bậc hai theo t bằng cách lập ∆. Tìm ra các nghiệm t theo x. Sử dụng tính
đơn điệu (đoán nghiệm và chứng minh đó là nghiệm duy nhất) để tìm nghiệm x. Các bài toán bất phương
trình logarit, ta cũng có thể giải tương tự. www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 164 -
167. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn II –
CÁC THÍ DỤ Các thí dụ về giải phương trình – bất phương trình logarit bằng phương hàm số Thí dụ
218. Giải phương trình: log 3 (x + 1) + log5 (2x + 1) = 2 (∗) Bài giải tham khảo 1 ● Điều kiện: x > − . 2
1 ● Xét hàm số f (x ) = log 3 (x + 1) + log5 (2x + 1) trên − ; +∞ . 2 f ' (x ) =
1 (x + 1) ln 3 + 1 > 0, ∀x ∈ − ; +∞ . 2 (2x + 1) ln 5 2 1 ⇒ f (x ) =
log 3 (x + 1) + log5 (2x + 1) đồng biến trên − ; +∞ . 2 ● Mặt khác: f (x ) = f (2) = 2
⇔ x = 2 . ● So với điều kiện, phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 . Thí dụ 219. ( ) Giải phương
trình: x + lg x2 − x − 6 = 4 + lg (x + 2) (∗) Bài giải tham khảo x + 2 > 0 x > −2 ● Điều kiện:
2 ⇔ ⇔ x > 3. x − x − 6 > 0 x < −2 ∨ x > 3 (∗) ⇔ x + lg (x + 2)(x − 3) − log
(x + 2) = 4 ⇔ x + lg (x + 2)(x − 3) x+2 =4 ⇔ f (x ) = x + lg (x − 3) = 4 . ● Xét hàm số f (x ) = x + lg
(x − 3) trên (3;+∞) . f ' (x ) = 1 + 1 (x − 3) ln 10 > 0, ∀x ∈ (3; +∞) . ⇒ f (x ) = x + lg (x − 3) : đồng
biến trên (3; +∞) . ● Mặt khác: f (x ) = f (4) = 4 ⇔ x = 4 . ● So với điều kiện, phương trình có nghiệm
duy nhất x = 4 . Thí dụ 220. x2 + x + 3 = x 2 + 3x + 2 Giải phương trình: log 3 2
2x + 4x + 5 (∗) Đại học Ngoại Thương Tp. Hồ Chí Minh khối D năm 2001 Bài giải tham khảo
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 165 -
168. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit x2 + x + 3 > 0, ∀x ∈ »
⇒ Tập xác định: D = » . 2x2 + 4x + 5 ● Điều kiện: (∗) ⇔ log (x Ths. Lê Văn Đoàn 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) + x
+ 3 − log 3 2x 2 + 4x + 5 = 2x 2 + 4x + 5 − x2 + x + 3 ) ( ) ( ) ( ) (1) ⇔ x 2 + x + 3 + log 3 x2 + x + 3
= 2x 2 + 4x + 5 + log 3 2x 2 + 4x + 5 ( ) ( ) ● Phương trình (1) có dạng: f x 2 + x + 3 = f 2x 2 + 4x + 2
(2) ● Xét hàm số: f (t) = t + log 3 t trên khoảng (0;+∞) . 1 > 0, ∀t > 0 ⇒ f (t) : đồng biến
trên khoảng (0; +∞) Ta có: f ' (t) = 1 + t ln 3 (3 ) ● Từ (1), (2), (3) ⇒ x2 + x + 3 = 2x
2 + 4x + 2 x = −1 ⇔ x 2 + 3x + 2 = 0 ⇔ . x = −2 ● Vậy phương trình có hai nghiệm là x =
−2 ∨ x = −1 . Thí dụ 221. Giải phương trình: 2x 2 − 6x + 2 = log2 2x + 1 2 (x − 1) (∗) Bài giải tham
khảo x ≠ 1 x − 1 ≠ 0 ⇔ ● Điều kiện: . 2x + 1 > 0 x > − 1 2
x + 1 (∗) ⇔ 2x2 − 6x + 2 = log2 2. x2 − 2x2+ 1
1 x+ 1 2 ⇔ 2 x − 2x + 1 − 2 x + + 1 = 1 + log2 2
2 x − 2x + 1 ( ) 2 1 1 ⇔ 2 x 2 − 2x + 1 + log2 x 2 − 2x + 1 = 2 x + +
log2 x + 2 2 ( ) ( ) 1 ⇔ f x 2 − 2x + 1 = f x + 2
( ) (1) ● Xét hàm số f (t) = 2t + log2 t trên (0; +∞) . f ' (t) = 2 + 1 > 0, ∀t ∈ (0; +∞) ⇒ f (t) : đồng biến
trên (0; +∞) t ln 2 (2) 1 1 3± 7 ● Từ (1), (2) ⇒ f x2 − 2x + 1 = f x + ⇔ x 2 − 2x + 1 = x +
⇔ x = . 2 2 2 ( ) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 166 -
169. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit ● So sánh với điều kiện,
phương trình có hai nghiệm: x = Ths. Lê Văn Đoàn 3− 7 3+ 7 ∨ x= . 2 2 Nhận xét: Trong hai thí dụ
trên, tôi đã sử dụng phương pháp giải dạng 1. Bạn đọc hãy kiểm tra lại và làm bài tập rèn luyện ở phần bài
tập tương tự. Thí dụ 222. Giải phương trình: log2 1 −x 2 x − 3x + 2 + 1 + 3 (
) 2 +3x−1 (∗) =2 Đề nghị Olympic 30/04 – THPT chuyên Lê Quý Đôn – Khánh Hòa Bài giải tham khảo
● Điều kiện: x2 − 3x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 ∨ x ≥ 2 . ● Đặt t = x 2 − 3x + 2 ≥ 0 ⇒ t2 = x 2 − 3x + 2 ⇒ −x2
+ 3x − 1 = 1 − t2 . 2 1 1−t (∗) ⇔ log2 (t + 1) + 3 = 2 2 ⇔ log2 (t + 1) +
3t −1 = 2 1 2 ⇔ f (t) = log2 (t + 1) + .3t = 2 3 (1) 1 2 ● Xét hàm số f (t) = log2 (t + 1) + .3t trên nửa
khoảng 0; +∞) . 3 f ' (t) = 1 2 1 + .2t.3t .ln 3 > 0, ∀t ∈ 0; +∞) ⇒ f (t) : đồng biến trên
0; +∞) . (t + 1) ln 2 3 1 ● Ta có: f (t) = f (1) = log2 (1 + 1) + .3 = 2 ⇔ t = 1 . 3 ● Với t = x 2 −
3x + 2 = 1 ⇔ x 2 − 3x + 1 = 0 ⇔ x = ● So với điều kiện, phương trình có hai nghiệm: x = Thí dụ 223.
( ) ( Giải phương trình: log 3 x 2 + 2x + 1 = log2 x 2 + 2x 3± 5 . 2 3− 5 3+ 5 ∨ x= . 2 2 ) (∗) Cao đẳng
Sư Phạm Hải Phòng – Đại học Hải Phòng năm 2004 Bài giải tham khảo x2 + 2x + 1 > 0 ⇔ x ∈
(−∞; −2) ∪ (0; +∞) . ● Điều kiện: 2 x + 2x > 0 x 2 + 2x + 1 = 3t > 0 ● Đặt: log 3 x2 +
2x + 1 = log2 x2 + 2x = t ⇒ 2 x + 2x = 2t > 0 ( ) ( ) x 2 + 2x = 3t − 1 ⇔ 2 x
+ 2x = 2t www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 167 -
170. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn ⇔
3t − 1 = 2t ⇔ 3t = 2t + 1 t t 2 1 ⇔ 1 = + = f (t) 3 3
(1) ● Nhận thấy t = 1 là một nghiệm của phương trình (1) . t t 2 1 ● Xét hàm số f (t) = +
trên » : 3 3 t t 2 2 1 1 f ' (t) = .ln + .ln < 0, ∀t
∈ » ⇒ f (t) nghịch biến trên » . 3 3 3 3 ● Do đó, t = 1 là nghiệm duy
nhất của phương trình (1) . ● Với t = 1 ⇒ x2 + 2x = 2 ⇔ x 2 + 2x − 2 = 0 ⇔ x = −1 ± 3 . ● Kết hợp
với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = −1 ± 3 . Thí dụ 224. Giải phương trình: log5 x = log7 (x +
2) (∗) Đại học Quốc Gia Hà Nội khối B năm 2000 Bài giải tham khảo x > 0 ● Điều kiện: ⇔ x >
0. x + 2 > 0 t x = 5 ● Đặt log5 x = log7 (x + 2) = t ⇒ x + 2 = 7 t t
x = 5 ⇔ x = 7 t − 2 x = 5 t ⇔ t t 5 = 7 − 2 x = 5 t ⇔ t t
5 + 2 = 7 t x = 5 t ⇔ 5 t + 2. 1 = 1
7 7 (1) (2) . ● Nhận thấy t = 1 là một nghiệm của phương trình (2) . t t 5 1
● Xét hàm số: f (t) = + 2. trên » . 7 7
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 168 -
171. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit t Ths. Lê Văn Đoàn t
5 1 5 1 f ' (t) = .ln + 2. .ln < 0, ∀t ∈ » ⇒ f (t) nghịch biến trên » và
7 7 7 7 f (t) = f (1) ⇔ t = 1 . ● Thay t = 1 vào (1) ⇒ x = 51 = 5 . Vậy phương trình
(∗) có một nghiệm là x = 5 . Thí dụ 225. Giải phương trình: 2 log6 ( ) x + 4 x = log 4 x (∗) Bài giải
tham khảo ● Điều kiện: x > 0 . ( x+4x = ⇔ log6 ( x + 4 x = log4 x . ● Đặt log6 ) 1 log4 x 2 6 (∗) ⇔
log ) ( ) 4 x + x = log 4 4 t x+ x =6 x = t⇒ x = 4t t t 2 1
⇔ 4 + 2 = 6 ⇔ f (t) = + = 1 3 3 t t (1) t ● Nhận thấy t = 1 là một nghiệm
của phương trình (1) . t t 2 1 ● Xét hàm số f (t) = + trên khoảng (0, +∞) .
3 3 t t 2 2 1 1 f ' (t) = ln + ln < 0, ∀t ∈ » ⇒ f (t) : nghịch
biến. 3 3 3 3 ● Ta có: f (t) = f (1) = 2 1 + = 1 ⇔ t = 1. 3 3 ● Với t =
1 ⇒ x = 4 ⇔ x = 16 . ● So với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 16 . Thí dụ 226. Giải phương
trình: log7 x = log3 ( ) x +2 (∗) Đại học Kiến Trúc Hà Nội – Hệ chuyên ban năm 2000 Bài giải tham
khảo x > 0 ⇔ x > 0 ⇒ Tập xác định: D = (0; +∞) . ● Điều kiện: x +2> 0 ● Đặt log7
x = log 3 ( t 7 = x x +2 = t⇒ t 3 = x + 2 ) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 169
-
172. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn t t
7 + 2. 1 = f (t) ⇔ 3 = 7 +2 ⇔1= 3 3 t (1) t
7 t 1 t ● Xét hàm số f (t) = + 2. trên » . 3 3
t 7 t .ln 7 + 2. 1 . ln 1 < 0, ∀t ∈ » ⇒ Hàm số f ( t) nghịch biến trên
» f ' (t) = 3 3 3 3 2 2 7 + 2. 1 = 1 . Vì vậy f
(t) = f (2) ⇔ t = 2 ⇔ x = 7 2 = 49 . và có f (2) = 3 3 ● So với tập
xác định, nghiệm của phương trình là x = 49 . Thí dụ 227. 3 Giải phương trình: 7 x − 1 = 2 log7 (6x + 1)
(∗) Bài giải tham khảo 1 ● Điều kiện: 6x + 1 > 0 ⇔ x > − . 6 (∗) ⇔ 7 x = 1 + 6 log7 (6x + 1) (1) ●
Đặt log7 (6x + 1) = y ⇒ 7 y = 6x + 1 (1) ⇔ 7 x = 1 + 6y (2) (3 ) 7 y = 6x + 1 2), (3) ⇒ x ⇔ 7
y − 7 x = 6x − 6y ( 7 = 6y + 1 ⇔ 7 y + 6y = 7 x + 6x ⇔ f (y) = f (x ) (4) ● Xét hàm số f
(t) = 7 t + 6t trên » . f ' (t) = 7 t.ln 7 + 6 > 0, ∀t ∈ » ⇒ f (t) : đồng biến trên » (4), (5) ⇒ f (x ) = f (y)
⇔ x = y . (2) ⇒ 7 x = 6x + 1 ⇔ 7 x − 6x − 1 = 0 (6) ● Xét hàm số f (x ) = 7 x − 6x − 1 trên » . f ' ( x
) = 7 x. ln 7 − 6 . Cho f ' (x ) = 0 ⇔ 7 x = 6 6 ⇔ x = log7 . ln 7 ln 7 Bảng biến thiên:
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 170 - (5)
173. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit x log7 −∞ f ' (x ) −
Ths. Lê Văn Đoàn 6 ln 7 +∞ + 0 f (x ) ● Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có tối đa hai nghiệm. ●
Ta có: f (0) = f (1) = 0 ⇒ x = 0 ∨ x = 1 là hai nghiệm của (6) ● So với điều kiện, phương trình có hai
nghiệm: x = 0 ∨ x = 1 . Thí dụ 228. Giải phương trình: log2 3 log2 (3x − 1) − 1 = x (∗) Bài
giải tham khảo 3 log (3x − 1) − 1 > 0 2 ● Điều kiện: . 3x − 1 > 0 (∗) ⇔ 3 log (3x −
1) − 1 = 2 x 2 . 2y = 3x − 1 2 y + 1 = 3x ● Đặt log2 (3x − 1) = y ⇒ ⇔ x x 3y − 1
= 2 2 + 1 = 3y ⇔ 2y − 2x = 3x − 3y ⇔ 2x + 3x = 2y + 3y ⇔ f ( x ) = f (y ) (1) ●
Xét hàm số f (t) = 2t + 3t trên » . f ' (t) = 2 t ln 2 + 3 > 0, ∀t ∈ » ⇒ f (t) : đồng biến trên » ● Từ (1),
(2) ⇒ f (x ) = f (y) ⇔ x = y . ⇒ 2x + 1 = 3x ⇔ f (x ) = 2x − 3x + 1 = 0 ( 3) ● Xét hàm số f (x ) = 2x
− 3x + 1 trên » . f ' (x ) = 2x ln 2 − 3 . Cho f ' (x ) = 0 ⇔ 2x = 3 3 ⇒ x = log2 . ln 2 ln 2 Bảng biến
thiên: www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 171 - (2)
174. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit x www.MATHVN.com log2 −∞ f ' (x ) 3 ln 2
+∞ + 0 − Ths. Lê Văn Đoàn f (x) ● Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có tối đa hai nghiệm. ● Mặt
khác: (3) ⇒ f (x ) = f (1) = f (3) = 0 ⇒ x = 1 ∨ x = 3 . ● Đối chiếu với điều kiện, phương trình có ha
nghiệm: x = 1 ∨ x = 3 . Thí dụ 229. Giải phương trình: (x + 1) log2 x + 4x log 3 x − 16 = 0 3 (∗) Bài
giải tham khảo ● Điều kiện: x > 0 . ● Đặt t = log3 x . (∗) ⇔ (x + 1) t 2 + 4x.t − 16 = 0 . 2 ∆ ' = 4x2 +
16 (x + 1) = 4 x 2 + 4x + 4 = 2 (x + 2) . t = −2x − 2 (x + 2) = −4 x +1 ⇒ .
−2x + 2 (x + 2) 4 t = = x +1 x +1 ( ) ● Với t = −4 ⇒ log 3 x = −4 ⇔ x = 3−4 . ● Với t = 4 4 ⇒
log 3 x = x +1 x +1 (1) Nhận thấy x = 3 là một nghiệm của phương trình (1) . Hàm số f (x ) = log 3 x :
đồng biến trên (0;+∞) . 4 : nghịch biến trên (0; +∞) . x +1 ⇒ x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình
(1) . Hàm số g (x ) = ● So với điều kiện, phương trình có hai nghiệm: x = Thí dụ 230. 1 ∨ x = 3. 81 Giải
phương trình: log2 x + (x − 7) log2 x + 12 − 4x = 0 2 (∗) Đề thi thử Đại học năm 2012 – Đề 12 – Thầy
Văn Phú Quốc – Đại học Quảng Nam Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x > 0 .
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 172 -
175. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn ●
Đặt t = log2 x . (∗) ⇔ t2 + (x − 7) t + 12 − 4x = 0 . t = 7 − x + x + 1 = 4 2 . ∆ = (x − 7) − 4
(12 − 4x) = (x + 1) ⇒ 7 − x − x −1 t = = 3−x 2 2 2 ● Với t = 4 ⇒ log2 x = 4 ⇔ x = 16 . (1) ●
Với t = 3 − x ⇒ log2 x = 3 − x Xét hàm số f (x) = log2 x + x − 3 trên khoảng (0; +∞) . f ' (x ) = 1 + 1 >
0, ∀x ∈ (0; +∞) ⇒ f (x) : đồng biến trên (0; +∞) . x ln 2 Ta lại có: f (x) = f (2) = 0 ⇔ x = 2 . ● Vậy
phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 2 ∨ x = 16 . Thí dụ 231. ( ) ( ) (∗) Giải bất phương trình: log2
2 x + 1 + log 3 4 x + 2 ≤ 2 Đại học Ngoại Thương khối A cơ sở 2 – Tp. Hồ Chí Minh năm 2000 Bài giải
tham khảo 2x + 1 > 0 ● Điều kiện: x đúng ∀x ∈ » ⇒ Tập xác định: D = » . 4 + 2 > 0
( ) ( ) ● Xét hàm số f (x ) = log2 2x + 1 + log 3 4 x + 2 trên » . f ' (x ) = 2x ln 2 (2 x ) + 1 ln 2 + 4 x
ln 4 (4 x ) + 1 ln 3 > 0, ∀x ∈ » ⇒ Hàm số f (x ) luôn đồng biến trên » và có f (0) = log2 2 + lo 3 3 = 2 .
Do đó: ∀x ≤ 0 ⇔ f (x ) ≤ f (0) ⇔ x ≤ 0 . ● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (−∞; 0 .
Các thí dụ về giải phương trình – bất phương trình logarit bằng phương pháp đánh giá Thí dụ 232. Giải
phương trình: log 3 2 ( ) (1) 4−x + x+5 =1 Bài giải tham khảo 4 − x ≥ 0 ● Điều kiện: ⇔ −5 ≤ x ≤
4 . x + 5 ≥ 0 B.C.S ● Ta có: 4 − x + x + 5 = 1. 4 − x + 1. x + 5 ≤ ⇔ 4−x + x +5 ≤3 2
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 173 - (1 2 + 12 (4 − x ) + (x + 5) )
176. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit ⇔ log3 2 ⇔ log3 2 ( (
) x + 5) ≤ 1 Ths. Lê Văn Đoàn 4 − x + x + 5 ≤ log3 2 3 2 4−x + 4−x = 1 ● Từ (1), (2) ⇔ (2) x+5 1 ⇔
x=− 1 2 1 ● So với điều kiện, phương trình có nghiệm duy nhất x = − . 2 Nhận xét Trong lời giải trên, tôi
đã sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki (B.C.S) ở dạng: (a ax + by ≤ 2 )( ) + b2 x 2 + y2 . Dấu " = " xảy
ra ⇔ x y a b = hay = . a b x y Do bất đẳng thức Bunhiacôpxki là bài đọc thêm trong SGK lớp 10, nên ta
có thể trình bày bài giải theo bất đẳng thức Cauchy như sau: 2 Ta có: ( Mà: (4 − x )(x + 5) ⇔2 4−x +
x+5 ( = 9+2 Cauchy ≤ (4 − x )(x + 5) . ( 4 − x ) + ( x + 5) 2 (Cauchy dạng: a.b ≤ a + b . 2
(4 − x)(x + 5) ≤ 9 ⇔ 9+2 ⇔ ) (4 − x)(x + 5) ≤ 18 2 4−x + x+5 ) ≤ 18 ⇔ 4−x + x+5 ≤2 3 ⇔ log 3
2 ( ) (2) 4−x + x +5 ≤1 ● Từ (1), (2) ⇔ 4−x = 1 x+5 1 ⇔ x=− 1 2 1 ● So với điều kiện, phương trình
có nghiệm duy nhất x = − . 2 Thí dụ 233. ( ) Giải phương trình: log2 2x2 + 4x + 2 − log2 x = 1 + 4x −
2x2 Bài giải tham khảo 2x 2 + 4x + 2 > 0 2 x + 1 2 > 0 x ≠ −1 ( ) ● Điều kiện:
⇔ ⇔ ⇔ x > 0. x > 0 x > 0 x > 0 (∗) ⇔ log 2x2 + 4x + 2 = −2 x 2 −
2x + 1 + 3 2 x ( ) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 174 - (∗)
177. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit 2 2 ⇔ log2
2x + + 4 = −2 (x − 1) + 3 x Cauchy 2x + 2 ≥ 4 ● Ta có: x (x −
1)2 ≥ 0 Ths. Lê Văn Đoàn (1) 2 2 (2) ⇔ 2x + x + 4 ≥ 8 ⇔ log 2x
+ x + 4 ≥ 3 4 () −2 (x − 1) ≤ 0 2 x −1 + 3 ≤ 3 (3) − )
( 2 2 2 ● Từ (1), (4) ⇒ phương trình có nghiệm khi dấu " = " trong (2) và (3) đồng thời xảy ra ⇔ x =
1. ● So với điều kiện, phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 . Thí dụ 234. Giải bất phương trình: log2 (
1 x − 2 + 4 ≤ log 3 + 8 x −1 ) (∗) Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x ≥ 2 .
∀x ≥ 2 ⇒ VT = log x − 2 + 4 ≥ log2 4 = 2 2 ● Ta có: . ∀x ≥ 2 ⇒ VP = log
1 + 8 ≤ log 9 = 2 3 3 x −1 ( ) ● Bất phương trình (∗) có nghiệm ⇔ VT
= VP = 2 ⇔ x = 2 . ● Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 . BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài tập
117. Giải các phương trình sau: 1/ x + 2.3 log2 x = 3. ĐS: x = 1 . 1− x . x 2/ 2x − 21−x = log2 3/ log2 x
2 − x − 6 + x = log2 (x + 2) + 4 . 4/ log2 x 2 − 4 + x = log2 8 (x + 2) . ( ) ( ) ĐS: x = 3 . 5/
log2013 x2 + x + 3 = 7x2 + 21x + 14 . 2x2 + 4x + 5 ĐS: x = −1 ∨ x = −2 . 6/ log 3 13x 2 + 13x + 9 =
2014x 4 + 2014x2 − 12084x − 16112 . 4 2 x + 14x + 7x + 1 ĐS: x = −1 ∨ x = 2 . 7/ 2x 2 +x + log2 x =
2 x+1 . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 175 -
178. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit ( Ths. Lê Văn Đoàn )
HD: PT ⇔ f x 2 + x = f (x + 1) ⇔ x = 1 . 8/ 1 2x + 1 log2 (x + 2) + x + 3 = log2 + 1 + 2 x
ĐS: x = −1 ∨ x = sin x 9/ 5 2 2 1 +2 x +2. x 3+ 3 . 2 cos x
5 .cos x = 2 .sin x . t HD: Hàm số f (t) = 5 2 nghịch
biến trên từng khoảng (−1; 0), (0;1) . t 2 10/ log 3 ( 1 3x−x −1 x − 3x + 2 + 2 + = 2.
5 ĐS: x = 11/ log 3 ) 2 3− 5 3− 5 ∨ x= . 2 2 2x − 1 2 (x − 1) = 3x 2 − 8x + 5 . 2 2 HD: ⇔
log2 (2x − 1) + (2x − 1) = log 3 3 (x − 1) + 3 (x − 1) ⇒ x = 2 ∨ x = 12/ 2x 2 − 8x = log2 2x + 1 2 (x −
1) . x = 0 2 2 HD: PT ⇔ 2 (x − 1) + log2 (x − 1) = 2 (2x + 1) + log2 (2x + 1) ⇒ . x = 4 13/
( ) log2 1 + x = log 3 x . ĐS: x = 9 . 14/ log5 (x + 2) = log 3 x . ĐS: x = 3 . 15/ 2log3 cot x = log2 cosx
. ĐS: x = ± 16/ 2π + k2π, 3 (k ∈ » ) . log7 (x + 2) = log5 x . ĐS: x = 5 . 17/ 2 log5 (x +3) =x.
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 176 - 2 . 3
179. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn Đại
học Thủy Lợi năm 1999 ĐS: x = 2 . 18/ 4 log7 (x +3) =x. ĐS: x = 4 . 19/ 2 log3 (x +5) = x+4. ĐS: x =
−2 . 20/ ( ) log2 1 + 3 x = log7 x . ĐS: x = 343 . 21/ log7 x = log3 ( ) x +2 . ĐS: x = 49 . Đại học Thái
Nguyên năm 1999 22/ 2 log6 ( 4 ) x + 8 x = log4 x . ĐS: x = 256 . 23/ ( log2 x + 3 ĐS: x = 24/ log6 x )
= log 6 x. 1 . 6 ( ) ( ) log5 3 + 3x + 1 = log 4 3x + 1 . ĐS: x = 1 . 25/ ( ) ( ) log 4 5 x2 − 2x − 3 = 2 log2
x 2 − 2x − 4 . ĐS: x = −2 ∨ x = 4 . 26/ ( ) 3log3 1 + x + 3 x = 2log2 x . ĐS: x = 64 . 27/ ( ) log 4 6 x 2
− 2x − 2 = 2 log 5 (x 2 ) − 2x − 3 . ĐS: x = −2 ∨ x = 4 . 28/ 3 7 x−1 = 1 + 2 log7 (6x − 5) . ĐS: x = 1
∨ x = 2 . 29/ 3x = 1 + x + log 3 (1 + 2x ) . ĐS: x = 0 ∨ x = 1 . 30/ 6x = 1 + 2x + 3 log6 (1 + 5x ) . ĐS:
x = 0 ∨ x = 1 . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 177 -
180. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit 31/ 5 x = 1 − x + 5 log5
(1 + 4x ) . ĐS: x = 0 ∨ x = 1 . 32/ 3x = 1 + 2x + 2 log 3 (1 + 4x ) . ĐS: x = 0 ∨ x = 2 . 33/ 5x + 2x = 2
− x 131x . + 44 log2 2 − 5x + 3 3 ĐS: x = 0 ∨ x = 3 . 34/ 1 2 sin
2 2 x + sin π = cos 2x + log 4 4 cos3 2x − cos 6x − 1 . 6 ( ) ĐS: x = kπ . 35/ (x + 2)
log (x + 1) + 4 (x + 1) log (x + 1) = 16 . 2 3 3 ĐS: x = 2 ∨ x = − 36/ log2 (x − 1) − 2 (x + 2) log2 (x −
1) = 2x + 5 . 2 ĐS: x = 37/ 80 . 81 3 . 2 log2 x + log3 (x + 1) = log 4 (x + 2) + log5 (x + 3) . ĐS: x = 2 .
38/ log 2 2+ 3 (x 2 ) − 2x − 2 = log (2+ 3) ( ) x2 − 2x − 3 . ĐS: x = 1 ± 11 + 4 3 . Bài tập 118. Giải các
bất phương trình sau: 1/ log2 x + 1 + log 3 x + 9 > 1 . ĐS: x ∈ (0; +∞) . 2/ log7 x < log3 ( ) x +2 . ĐS:
x ∈ (49; +∞) . 3/ log2 ( ) ( ) x2 − 5x + 5 + 1 + log 3 x 2 − 5x + 7 ≤ 2 . 5 − 5 5 + 5 ∪
ĐS: x ∈ 1; 2 ; 4 . 2 4/ (x + 1) log x + (2x + 5) log 2 1 2 1 2 x + 6 ≥ 0.
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 178 - Ths. Lê Văn Đoàn
181. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn ĐS:
x ∈ (0;2 ∪ 4; +∞) . 5/ 2 ( ) ( 3 ) log5 x 2 − 4x − 11 − log11 x 2 − 4x − 11 2 − 5x − 3x 2 (
≥ 0. ) ĐS: x ∈ (−∞; −2) ∪ −2;2 − 15 ∪ 6; +∞) . ( ) Bài tập 119. Giải phương trình: log 3 (x − 2) =
log 4 x2 − 4x + 3 . Đề thi thử Đại học năm 2013 khối B lần 2 – Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc ĐS: x = 2 + 3 .
Bài tập 120. Giải phương trình: 3 log2 x = x2 − 1 . Đề thi thử Đại học năm 2011 khối D – THPT Lương
Ngọc Quyến – Thái Nguyên ĐS: x = 2 . ( ) Bài tập 121. Giải bất phương trình: log5 3 + x > log4 x . Đề
thi thử Đại học năm 2010 ĐS: x ∈ (0; 4) . x Bài tập 122. Giải phương trình: log2 x + x log7 (x + 3)
= + 2 log7 (x + 3) log2 x . 2 2 Đề thi thử Đại học năm 2010 – THPT Bố Bạ – Bắc Giang
ĐS: x = 2 ∨ x = 4 . Bài tập 123. Giải phương trình: 3x + 1 + log2011 2 4x2 + 2 = x6 . 6 2 x + x +1 HSG
tỉnh Tiền Giang năm 2011 – 2012 (ngày thứ hai: 26/10/2011) ĐS: x = − 2 cos π π ∨ x = 2 cos . 9 9 ( )
Bài tập 124. Giải phương trình: 3x 2 − 2x 3 = log2 x 2 + 1 − log2 x . Cao đẳng Sư Phạm Bình Phước
năm 2004 ĐS: x = 1 . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 179 -
182. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn D –
HỆ PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT Không có một công cụ vạn năng
nào trong việc xử lý các hệ phương trình mũ và logarit. Ta phải căn cứ vào đặc điểm của hệ phương
trình để phân tích và tìm tòi ra lời giải. Một số ý tưởng để giải hệ là Phương pháp thế, phương pháp cộng
(biến đổi tương đương). Phương pháp đặt ẩn phụ. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số. Sử dụng bất đẳng
thức. Dạng 1. Giải hệ mũ & logarit bằng phương pháp biến đổi tương đương I – LÍ THUYẾT CƠ BẢN
Sử dụng các công thức mũ và logarit để biến đổi hệ đã cho thành những hệ cơ bản. Sau đó, dùng
phương pháp thế, phương pháp cộng,… để giải. II – CÁC THÍ DỤ Thí dụ 1. 2x + 2y = 12 Giải hệ
phương trình: x + y = 5 (1) (2) Bài giải tham khảo (2) ⇔ y = 5 − x . (1) ⇔ 2x + 25−x = 12
⇔ 2x + 2 ( ) ⇔ 2x 32 2x = 12 ( ) − 12. 2x + 32 = 0 ⇔ 2x = 8 ∨ 2x = 4 ⇔ x = 3 ∨ x = 2. ● Với x =
3 ⇒ y = 2 . ● Với x = 2 ⇒ y = 3 . ● Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = Thí dụ 2. {(2; 3), (3;2)} . 23x =
5y2 − 4y Giải hệ phương trình: 4 x + 2x+1 =y x 2 +2 (1) (2) Đại học khối D
năm 2002 Bài giải tham khảo 5y2 − 4y > 0 4 ● Điều kiện: ⇔ y> . y > 0 5
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 180 -
183. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit 2 (2 ) ⇔ x (2) + 2.2x =y 2x + 2 ⇔ (
www.MATHVN.com )=y 2 x 2x + 2 (2 ) x +2 ⇔ 2x = y 3 (1) ⇔ (2 ) x = 5y2 − 4y ⇔ y3 = 5y2 − 4y
(L ) ⇔y=0 ∨ y = 1 ∨ y = 4. ● V ới y = 1 ⇒ 2 x = 1 ⇔ x = 0 . ● V ới y = 4 ⇒ 2 x = 4 ⇔ x = 2 . (x;
y) = {(0;1), (2; 4)} . = 20 (1) = 50 (2) ● Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: Thí dụ 3. 2x.5y Giải hệ
phương trình: x y 5 .2 Bài giải tham khảo (1) 2 ⇔ (2) 5 x . x 5y 2 = y 5 2 x 5 2 . =
2 5 x 2 . 5 2 ⇔ 5 2 ⇔
5 y −y = 2 5 x−y 2 ⇔ 5 2 5 ⇔ x−y=1 ⇔ x = y +1 (1) ⇔ 2 =
y +1 .5y = 20 ⇔ 2 y.5 y = 10 ⇔ 10 y = 10 ⇔ y = 1 ⇒ x = 1. ● Vậy hệ phương trình có nghiệm duy
nhất (x; y ) = (1;1) . Thí dụ 4. x − 3 y + 2 = 0 Giải hệ phương trình: 54 x − 3y2 .18 x = 0
Bài giải tham khảo (2) ⇔ 2 54 x = 3y . .18 x x 54 2 ⇔ = 3y 18
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 181 - (1) (2) Ths. Lê Văn Đoàn
184. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit ⇔ 3x = 3y www.MATHVN.com Ths. Lê
Văn Đoàn 2 2 ⇔ 3x = 3y ⇔ x = y2 (1) ⇔ y 2 −3 y +2 = 0 ⇔ y =1 ∨ y =2 ● ● ● ● ⇔ y = −1 ∨ y =
1 ∨ y = −2 ∨ y = 2 . Với y = −1 ⇒ x = 1 . Với y = 1 ⇒ x = 1 . Với y = −2 ⇒ x = 4 . Với y = 2 ⇒ x = 4
. ● Vậy hệ đã cho có bốn nghiệm: (x; y) = Thí dụ 5. {(1;1), (1; −1), (4; −2), (4;2)} . x + y + a = 1
(1) Giải và biện luận theo tham số thực a hệ phương trình: a2 x+y−xy 2 .4 =2 (2) Đại học
Mỏ – Địa Chất Hà Nội năm 2000 Bài giải tham khảo ● Từ (1) ⇒ y = 1 − a − x . (2) ⇔ 2 a2 2 .4 x +1−a
−x−x(1−a −x) =2 2 ⇔ 2a .41−a−x+xa+x = 2 2 2(1−a −x + xa + x 2 ) ⇔2 = 21−a ⇔ 2 (1 − a − x + xa
+ x 2 ) = 1 − a 2 2 ⇔ 2x 2 + 2 (a − 1) x + (a − 1) = 0 2 2 (3) 2 ● Lập ∆ ' = (a − 1) − 2 (a − 1) = −(a −
1) ≤ 0 . ● Với a ≠ 1 : ∆ ' < 0 ⇔ (3) : vô nghiệm ⇔ hệ vô nghiệm. ● Với a = 1 : (3) ⇔ 2x 2 = 0 ⇔ x =
0 ⇒ y = 0 . Thí dụ 6. a ≠ 1 : Hệ phương trình vô nghiệm. ● Vậy a = 1 : Hệ phương trình
có nghiệm x 2 + y2 = 25 Giải hệ phương trình: 1 log 1 (y − x ) − log 4 = 1 y 4
. Bài giải tham khảo y > x ● Điều kiện: . y > 0 2 2 x + y = 25 (∗) ⇔ −
log y − x − log 1 = 1 ) 4( 4 y www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 182 - (∗)
185. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn 2
2 x + y = 25 ⇔ log 4 y − x = −1 y 2 2 x + y = 25 ⇔ y − x 1
= y 4 y = 4x 3 ⇔ 2 16x 2 x + = 25 9 x = 3 ∨ x = −3 (L ) .
⇔ y = 4 ● Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: (x; y) = (3; 4 ) . Thí dụ 7. 2 2
y + x = x + y Giải hệ phương trình: x 2 = 3 y+1 (1) (2) Bài giải tham khảo (1) ⇔ (y − x )
− (y − x) = 0 ⇔ (y − x )(y + x ) − (y − x ) = 0 ⇔ (y − x )(y + x − 1) = 0 2 2 y = x ⇔ . y =
1 − x Thí dụ 8. y = x y = x y = x x ⇔ x = y = log 2 3 . ● Với y = x thì
(2) ⇔ x x +1 ⇔ x x ⇔ 2 2 = 3 2 = 3.3 = 3 3 3
y = 1 − x y = 1 − x x = log 9 6 ● Với y = 1 − x thì (2) ⇔ x ⇔ x ⇔ .
2 = 32−x 6 = 9 y = 1 − log6 9 ● Vậy nghiệm của hệ là
(x; y) = log 2 3; log 2 3 , (log6 9;1 − log6 9) . 3 3 −x y
3 .2 = 1152 Giải hệ phương trình: (∗) log (x + y) = 2 5 Cao đẳng Sư Phạm Tp. Hồ
Chí Minh khối B, D năm 2006 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x + y > 0 . −x y 3 .2 = 1152 ∗) ⇔
( log5 (x + y) = 1 3−x.2y = 1152 ⇔ x + y = 5
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 183 -
186. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit y = 5 − x ⇔ −x
5−x 3 .2 = 1152 y = 5 − x ⇔ 5 −x 2 .6 = 1152 y = 5 − x ⇔ −x
6 = 36 x = −2 ⇔ . y = 3 ● So với điều kiện, nghiệm của hệ là S = (x; y) =
Thí dụ 9. Ths. Lê Văn Đoàn {(−2; 3)} . 2 2 log x + y = 5 Giải hệ phương trình: 2 (∗) 2
log x + log y = 4 4 2 Cao đẳng Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh năm 2004 ( ) Bài giải tham khảo x 2
+ y2 > 0 x > 0 ● Điều kiện: ⇔ . x > 0, y > 0 y > 0 x2 + y2 = 32
(∗) ⇔ log x + log y = 4 2 2 2 2 x + y = 32 ⇔ log2 (xy) = 4 x +
y 2 − 2xy = 32 ) ⇔ ( xy = 16 x + y 2 = 64 ) ⇔ ( xy = 16 x +
y = 8 x + y = −8 ⇔ ∨ xy = 16 xy = 16 x = y = 4 ⇔ . x = y
= −4 ● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của hệ là (x; y) = Thí dụ 10. {(4; 4)} . log x 2 + y2 = 1 + log xy
) 2 2( Giải hệ phương trình: 2 x −xy+y2 = 81 3 ( ) (∗), (x; y ∈ ») . Bài giải tham
khảo ● Điều kiện: x.y > 0 . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 184 - Đại học khối A năm 2009
187. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com log x 2 + y2 = log
(2xy) 2 2 (∗) ⇔ x2 −xy+y2 4 =3 3 x 2 + y2 = 2xy ⇔ 2 2 x − xy + y
= 4 x−y 2 = 0 ( ) ⇔ x − y 2 + xy = 4 ( ) x − y = 0 ⇔ xy = 4
x = 2 x = −2 ⇔ ∨ . y = 2 y = −2 ● So với điều kiện, nghiệm của hệ
là (x; y) = ( Thí dụ 11. Ths. Lê Văn Đoàn ) 2 x + 2y = 4x − 1 Giải hệ phương trình: 2 log3 (x
− 1) − log 3 {(−2; −2), (2;2)} . (∗) (y + 1) = 0 Đại học khối B năm 2013 Bài giải tham khảo x
− 1 > 0 x > 1 Điều kiện: ⇔ . y + 1 > 0 y > − 1 x2 + 2y = 4x − 1
(∗) ⇔ log x − 1 = log y + 1 3( ) ) 3( x 2 + 2y = 4x − 1 ⇔ x − 1 = y + 1
y = x − 2 ⇔ 2 x − 2x − 3 = 0 x = −1 x = 3 ⇔ ∨ . y = −3
y = 1 ● Kết hợp với điều kiện, cặp nghiệm hệ là (x; y) = (3;1) . ● Thí dụ 12. log (6x + 4y)
= 2 Giải hệ phương trình: x log y (6y + 4x ) = 2 (∗) Đại học Đà Nẵng khối A, B đợt 1
năm 2001 Bài giải tham khảo x > 0, x ≠ 1 ● Điều kiện: . y > 0, y ≠ 1 6x + 4y = x 2
(∗) ⇔ 6y + 4x = y2 (1) (2) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 185 -
188. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
(1)−(2) ⇔ 2 (x − y) = (x − y)(x + y) ⇔ (x − y )( x + y − 2) = 0 ⇔ x = y ∨ y =2−x x = y y = 2 −
x ⇔ ∨ 2 6x + 4y = x 6x + 4y = x2 x = y y = 2 − x ⇔ ∨
y = 0 ∨ y = 10 x = −4 ∨ x = 2 x = y = 0 x = 2 x = −4 ⇔ ∨ ∨
. x = y = 10 y = 0 y = 6 ● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của hệ là (x; y)
= Thí dụ 13. {(10;10)} . x log8 y + ylog8 x = 4 Giải hệ phương trình: (∗) log 4 x − log 4 y =
1 Đại học Tài Chính Kế Toán Hà Nội năm 2000 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x > 0, y > 0 .
x log8 y + ylog8 x = 4 (∗) ⇔ log x = 1 4 y x log8 y + y log8 x = 4
⇔ x =4 y x = 4y ⇔ log y (4y) 8 + ylog8 4y = 4 x = 4y
⇔ log8 4 y log 4y y +y 8 =4 x = 4y ⇔ log8 4y =2 y x = 4y ⇔
log 8 4y = log y 2 x = 4y ⇔ 1 log 8 4 + log 8 y = log2 y x = 4y
⇔ 2 1 1 + log2 y = 3 3 log2 y www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 186 -
189. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn x =
4y ⇔ log2 y = 1 ∨ log2 y = −3 y = 2 ∨ y = 1 ⇔ 8 x = 4y
y = 1 y = 2 8. ⇔ ∨ x = 8 1 x = 2 Thí dụ 14. 1 1
● Vậy tập nghiệm của hệ là (x; y) = ; , (8;2) . 2 8 lg2
x = lg2 y + lg2 (xy) Giải hệ phương trình: 2 (∗) lg (x − y) + lg x. lg y = 0 Đề thi thử
Đại học năm 2010 – Đề số 2 – TT. BDVH & LTĐH Thành Đạt Bài giải tham khảo Điều kiện: x, y > 0 .
lg2 x = lg2 y + lg x + lg y 2 ( ) ∗) ⇔ 2 ( lg (x − y) + lg x.lg y = 0 2 lg x − lg2 y
− lg x + lg y 2 = 0 ( ) ⇔ 2 lg (x − y) + lg x.lg y = 0 −2 lg2 y − 2 lg x.lg y = 0
⇔ 2 lg (x − y) + lg x.lg y = 0 lg y (lg x + lg y) = 0 ⇔ 2 lg (x − y) + lg x.lg y
= 0 lg y = 0 ⇔ 2 (1) ∨ lg (x − y) + lg x.lg y = 0 y = 1 x = 2 (1) ⇔
lg2 (x − 1) = 0 ⇔ y = 1 lg x = − lg y = lg y−1 = lg 1 y (2) ⇔ 2
lg (x − y) + lg x. lg y = 0 ● lg x + lg y = 0 2 lg (x − y) + lg x.lg y = 0
y = 1 ⇔ x 2 lg x − 1 + lg x.lg 1 = 0 x x
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 187 - (2)
190. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
y = 1 ⇔ x2 2 x − 1 lg = lg2 x x x = 2
y = 1 . ⇔ x ⇔ 2 y = 1 x = 2 2 1 Vậy nghiệm
của hệ là: (x; y) = 2; , (2;1) . 2 log9 y log9 x x +y =6
Giải hệ phương trình: 2 log x − log y = 6 3 1 3 ● Thí dụ 15. (∗) Bài giải tham khảo
Điều kiện: x, y > 0 . log9 x + ylog9 x = 6 y (∗) ⇔ 2 log x + 2 log y = 6 3 3 log9 x
y =3 ⇔ log3 x + log 3 y = 3 log x = log 3 y ⇔ 9 log3 x + log 3 y = 3
1 log x = 1 3 ⇔ 2 log 3 y log x + log y = 3 3 3 log x.log y = 2 3 ⇔
3 log3 x + log 3 y = 3 log x = 1 log x = 2 ⇔ 3 ∨ 3 log 3 y = 2 log 3 y
= 1 x = 3 x = 9 . ⇔ ∨ y = 9 y = 3 ● So với điều kiện,
nghiệm của hệ là (x; y) = ● Thí dụ 16. {(3; 9), (9; 3)} . 9x 2 − 4y2 = 5 Giải hệ phương trình:
(∗) log5 (3x + 2y) − log 3 (3x − 2y) = 1 Đại học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh năm 1998 Bài
giải tham khảo x > 0, y > 0 3x + 2y > 0 ⇔ ● Điều kiện: . x > 2 y 3x − 2y >
0 3 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 188 -
191. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn 9x
2 − 4y2 = 5 (∗) ⇔ log 3x + 2y − log 3x − 2y = 1 (1) ) ) 5( 3( (3x − 2y)(3x + 2y) =
5 1) ⇔ log5 (3x − 2y) ( log (3x + 2y) − =1 5 log5 3 (3x − 2y)(3x + 2y) =
5 ⇔ log5 3. log5 (3x + 2y) − log5 (3x − 2y) = log5 3 5 3x + 2y = 3x − 2y
⇔ 5 log 3.log − log5 (3x − 2y ) = log5 3 5 5 3x − 2y (3x − 2y )(3x + 2y ) = 5
⇔ log 3. log 5 − log5 (3x − 2y ) − log5 (3x − 2y ) = log5 3 5 5 (3x −
2y)(3x + 2y) = 5 ⇔ log5 3 − log5 3.log5 (3x − 2y) − log5 (3x − 2y) = log5 3 (3x − 2y)
(3x + 2y) = 5 ⇔ (log5 3 − 1) log5 (3x − 2y) = 0 (3x − 2y)(3x + 2y) = 5 ⇔
log5 (3x − 2y) = 0 (3x − 2y )(3x + 2y ) = 5 ⇔ 3x − 2y = 1 3x + 2y = 5
⇔ 3x − 2y = 1 x = 1 . ⇔ y = 1 ● So với điều kiện, nghiệm của hệ
phương trình là (x; y) = (1;1) . { Thí dụ 17. } x log 3 + log y = y + log 3x 2 2 2 2 Giải hệ
phương trình: (∗) x log 12 + log x = y + log 2y 3 3 3 3 Đại học Thủy Lợi Hà Nội –
Hệ chưa phân ban năm 2000 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x > 0, y > 0 . log 3 x + log y = log
2y + log 3x 2 2 2 2 2 (∗) ⇔ x y log 12 + log x = log 3 + log 2y 3 3 3 3 3
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 189 -
192. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit x y 3x
log2 3 .y = log2 2 . 2 ⇔ y 2y x log 3 12 .x = log2 3 .
3 x 3 .y = 2y. 3x 2 ⇔ y 2y 3 . = 12x.x 3 ( Ths. Lê
Văn Đoàn ) ( ) (1) (2) (1) (2) 3x 3 2y 3 . = x. 3y 2 12 2 ⇔ 36 x = 6 y ⇔ 62x = 6 y ⇔ y = 2x . ⇔ ●
Thay y = 2x vào (1), ta được: (1) ⇔ 3 .2x = 2 x 2x . 3x 2 ⇔ 3 x−1 = 4 x−1 x−1 3 =1 ⇔
4 ⇔ x −1 = 0 x = 1 . ⇔ y = 2 ● Vậy nghiệm của hệ là (x; y ) = (1;2) .
Thí dụ 18. 2 (1) x = 1 + 6 log 4 y Giải hệ phương trình: 2 x 2x +1 y = 2 y + 2 (2) Đề
thi thử Đại học – Đề 9 – Thầy Trần Sĩ Tùng – THPT Trưng Vương – Bình Định Bài giải tham khảo ●
Điều kiện: y > 0 . (2) ⇔ y 2 − 2x.y − 2.4 x = 0 và ta xem đây là phương trình bậc hai theo y. x x y
= 2 + 3.2 = 2.2 x 2 2 ∆ = 4 x + 8.4 x = 9.4 x = 3.2x ⇒ ⇒ y = 2x+1, (do : y > 0) . x x 2 − 3.2 =
−2 x y = 2 x +1 ● Với y = 2 thay vào (1), ta được: ( (1) ⇔ x 2 ) = 1 + 6 log 4 2 x+1 ⇔ x 2 = 1 +
6 (x + 1). log 4 2 x = −1 ⇒ y = 1 ⇔ x 2 − 3x − 4 = 0 ⇔ . x = 4 ⇒ y = 32 ● So với điều
kiện, nghiệm hệ là (x; y ) = {(−1;1), (4; 32)} . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 190 -
193. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 191 - Ths. Lê Văn Đoàn
194. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn BÀI
TẬP TƯƠNG TỰ Bài tập 1. Giải các hệ phương trình mũ sau: x + y = 1 1/ . x 2 − 2y = 1
2x + 2y = 3 2/ . x + y = 1 2x + 2y = 5 3/ . x +y 2 =4 2 x
= 4y 4/ . x 4 = 32y x − 3y = 1 5/ . 2 y x + 3 = 19 x y−1 = 8
6/ . 2y−6 =4 x x y2 −7y+10 = 1 7/ . x + y = 8, (x > 0) −2x 4 +
42y = 17 8/ . x + y = 1 256 x y 3 .2 = 1 9/ . y − x = 9 2 3x
+ 3y = 28 10/ x+y . = 27 3 11/ 12/ 13/ 14/ 15/ ĐS: (x; y) = (1; 0) . ĐS: (x; y) = {(0;1),
(1; 0)} . ĐS: (x; y) = {(0;2), (2; 0)} . ĐS: (x; y) = (3;2) . ĐS: (x; y) = (4;1) . ĐS: (x; y) = (2; 4) . ĐS:
(x; y) = {(1;7 ), (3; 5), (6;2)} . ĐS: (x; y) = (2; −1) . ĐS: (x; y) = (−2; 0) . ĐS: (x; y ) = {(0; 3), (3; 0)}
. x; y = 0; 5 , a; 5 − a ( ) 12
12 . ĐS: a = log 16 + 12 2 64 2y x 64 + 64 = 33
. x+y 64 =4 2 ( 2x.3y = 12 . x y 3 .2 = 18 x y 3 .5 = 75 . y
x 3 .5 = 45 2x.3y = 6 . x y 3 .4 = 12 (x−y)2 −1 4 =1 . 3x−2y
−3 5 = 125 ) ĐS: (x; y ) = (1;2) . ĐS: (x; y ) = (1;2) . ĐS: (x; y) = (1;1) . ĐS: (x; y) = {(−4;
−5), (8; 9)} . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 192 -
195. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Bài tập 2. Bài tập 3. www.MATHVN.com x
x2 −y2 −16 = 1 16/ . ĐS: x − y = 2, (x > 0) x y−2 = 4 17/ 2y−3 . ĐS: =
64; (x > 0) x Giải các hệ phương trình loga sau log x − log y = 1 4 4 1/ . ĐS: log y x
− log2 y2 = 1 log x + log y = 2 + log 2 3 3 3 2/ . ĐS: log (x + y ) = 2 27 3
y + lg x 2 = 2 3/ . ĐS: y + 4 lg x = 28 log (xy ) = log x 2 x y 4/ . ĐS:
2 logy x y = 4y − 3 x 2 + y .2y−x2 = 1 Giải hệ phương trình: . 2 9 x 2 + y = 6x
−y ( ( (x; y) = (3; 4) . (x; y) = (8;2), 2; 1 . 2
(x; y) = {(6; 3), (3;6)} . 1 (x; y) = 100 ; 36 . (x; y) = (3; 3) . ) (x;
y) = {(− )} )( 3;1 , − 3;1 . x 4 + y .3y−x4 = 1 Giải hệ phương trình: 4 . x 4 −y =0 8(x
+ y) − 6 ( ) ĐS: Bài tập 5. (x; y) = {(1; −1), (5; 3)} . ) ĐS: Bài tập 4. Ths. Lê Văn Đoàn (x; y) =
{(− 4 )( 15; 12 , 4 )} 15; 12 . x − 4 y + 3 = 0 Giải hệ phương trình: . log 4 x − log2 x =
0 Dự bị Đại học năm 2002 ĐS: (x; y) = (1;1), (9; 3) . { Bài tập 6. } x 1 1 .9 y = 9 2y
Giải hệ phương trình: 3 . x + 3y 2x = −4 x y 3 1 ĐS: (x; y) =
; , (−2; 4) . 2 2 Bài tập 7. 4 x+y + 3.42y = 8 Giải hệ
phương trình: x + 3y = 2 − log 4 3 (x, y ∈ ») . ĐS: www.DeThiThuDaiHoc.com Page -
193 - 1 + log 3 1 − log 3 4 4 ; . 2 2 (x; y) =
196. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Bài tập 8. Bài tập 9. Bài
tập 10. Ths. Lê Văn Đoàn log (2x − y + 2) + log x = 1 3 1 Giải hệ phương trình: . 3 2x +
2y = 5 Đề thi thử Đại học năm 2013 khối A, B – THPT Đoàn Thượng – Hải Dương ĐS: (x; y) =
(2; 0) . x − 3 y + 2 = 0 Giải hệ phương trình: . x y2 x 27 − 3 .9 = 0 ĐS: (x; y) =
{(1;1), (1; −1), (4;2), (4; −2)} . x −1 + 2 − y = 1 Giải hệ phương trình: . 3 log 9x 2 − log
y 3 = 3 9 3 ( ) Đại học B năm 2005 ĐS: (x; y) = (1;1), (2;2) . { Bài tập 11. 33x −2y − 5.6x +
4.23x −2y = 0 Giải hệ phương trình: x − y = y + 2y − x ( )( } 2 2y + x ) . 1
ĐS: (x; y) = log 3 4; log 3 2 2 2 Bài tập 12. Bài tập 13. Bài tập 14. log (3y − 1) = x
Giải hệ phương trình: x 2 x . 4 + 2 = 3y2 4 . Đại học khối B năm 2010
1 ĐS: (x; y ) = −1; . 2 y 3 . x + 1 − 1 = 3 4 − x Giải hệ phương trình:
. x y + log x = 1 3 Đề thi thử Đại học năm 2013 – THPT Tống Duy Tân – Thanh Hóa
ĐS: (x; y) = (3; 0) . ( ) x 2 − 4x + y + 2 = 0 Giải hệ phương trình: . 2 log2 (x − 2) − log 2
y = 0 Đại học khối D năm 2010 ĐS: (x; y) = (3;1) . Bài tập 15. Bài tập 16. 4x 2 − y2 = 2
Giải hệ phương trình: . log2 (2x + y) − log 3 (2x − y) = 1 3 1 ĐS: (x; y) = ; .
4 2 log (3x + 2y) = 2 Giải hệ phương trình: x . log y (2x + 3y) = 2 Đại
học Công Đoàn năm 1997 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 194 -
197. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com ĐS: Bài tập 17. Bài tập
18. Ths. Lê Văn Đoàn (x; y) = (5;5) . x 2 − y 2 = 3 Giải hệ phương trình: . log2 (x + y) −
log5 (x − y) = 1 ĐS: (x; y ) = (2;1) . log x 3 + 2x2 − 3x − 5y = 3 Giải hệ phương trình: x
3 . log y + 2y2 − 3y − 5x = 3 y ( ( ) ) Dự bị Đại học năm 2002 ĐS: (x; y) = (2;2) . Bài tập
19. 2 2 log 3 y = log 1 x − 1 Giải hệ phương trình: . 2 log y = log x − 1 . log 3 2 ( 2 ) 2
ĐS: (x; y ) = (2;1) . Bài tập 20. Bài tập 21. Bài tập 22. 2 6x − 3xy + x + y = 1 Giải hệ
phương trình: . 3 log x2 + 1 = log 8 4 − 2y2 − 1 2 Đề thi thử Đại học năm 2013 lần I –
THPT Đông Sơn I – Thanh Hóa 1 2 2 4 3 , − ; − , (0;1) . ĐS: (x;
y) = ; ± 3 3 5 5 log x + y = 3 log x−y +2
2 8 Giải hệ phương trình: . x 2 + y 2 + 1 − x 2 − y2 = 3 Đề thi thử Đại học năm 2011
khối A – THPT Minh Châu – Hưng Yên ĐS: (x; y) = (2;2) . ( ) ( ) log (y − x ) − log 1 = 1 4 y
Giải hệ phương trình: 1 . 4 2 x + y2 = 25 Đại học khối A năm 2004 ĐS: (x; y) = (4; 3),
(−4; −3), (3; 4) . { Bài tập 23. log xy = log y x Giải hệ phương trình: x y y . 2 + 2 = 3
ĐS: Bài tập 24. } (x; y) = log 2 3 ; log2 2 3 . 2 x log 3 + log y = y + log
x 2 2 2 Giải hệ phương trình: . x log 3 12 + log 3 x = y + log3 y Đề thi thử Đại học năm
2011 khối A – THPT Lương Ngọc Quyến – TP. Thái Nguyên ĐS: (x; y) = log 4 2; 2 log 4
2 . 3 3 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 195 -
198. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Bài tập 25. log x 2 +
y2 − log 2x + 1 = log x + 3y ) ) 4 4( 4( Giải hệ phương trình: . log (xy + 1) − log
4y2 + 2y − 2x + 4 = log x − 1 4 4 4 y Đại học Mỏ – Địa chất năm 1999
ĐS: (x; y) = (2;1), (a, a ) với a > 0 . ( ) ( ) { Bài tập 26. Bài tập 28. Bài tập 29. Bài tập 30. Bài tập 31. Bài
tập 32. Bài tập 33. } 2; 2 2 . log x + 2 log y = 3 2 Giải hệ phương trình: 2 2 4 .
x + y = 16 ĐS: Bài tập 27. Ths. Lê Văn Đoàn (x; y) = 2 log (3x + 1) − log y = 3
2 4 Giải hệ phương trình: x2 −4y . log9 4 2 +3 =0 ĐS: (x; y) = (5; 4) . log x 2014 +
2x 2 − 3x − 5y = 2014 Giải hệ phương trình: x 2014 . log y + 2y2 − 3y − 5x = 2014 y
ĐS: (x; y) = (4; 4) . ( ( ) ) x+y y x = 32 Giải hệ phương trình: 4 . log x − y = 1 − log x
+ y 3( ) ( ) 3 ĐS: (x; y) = (2;1) . log (x + 2y) + log (3x − 1) = 1 1 2 Giải hệ phương
trình: 2 . 3 x + 3−4y = 4 Đề thi thử Đại học năm 2013 lần 1 khối A, B – THPT Quốc Oai
ĐS: (x; y ) = (1; 0) . 2 y − 2xy + y − 2x + 2 = 0 Giải hệ phương trình: . 2 log2 (2x − y) + 3
log2 (y + 1) = 4 Đề thi thử Đại học năm 2013 lần I – THPT Thuận Thành số I 7 ĐS: (x; y
) = ; 3 . 4 2 6x − 3xy + x + y = 1 Giải hệ phương trình: . 3 log x2 + 1
= log 8 4 − 2y2 − 1 2 ( ) Đề thi thử Đại học lần I năm 2013 – THPT Đông Sơn I – Thanh Hóa
1 2 2 4 3 ĐS: (x; y) = ; ± , − ; − , (0;1) . 5
5 3 3 2 x+1.log y − 2 = 22x 9 Giải hệ phương trình: x .
9.2 . log27 y − 9 = log2 y 3 Đề thi thử Đại học năm 2013 lần I – THPT Ngô Gia Tự – Bắc
Ninh www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 196 -
199. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn ĐS: (
x; y ) = (1;27 ) . Bài tập 34. log x + log 16 = 4 − 1 2 xy log y 2 . Giải hệ phương trình:
3 4x + 2x 2 y + y = 16x 4x + y Đề thi thử Đại học năm 2013 lần III – THPT Hồng Quang –
Hải Dương ( ĐS: (x; y ) = 2 ) 3; 8 ± 4 3 . Dạng 2. Giải hệ mũ & logarit bằng phương pháp đặt ẩn số phụ
I – LÍ THUYẾT CƠ BẢN Thông thường thì ta lựa chọn một phương trình của hệ để biến đổi và đặt ẩn
phụ để tìm ra mối liên hệ giữa x, y và kết hợp với phương trình còn lại đối với bài toán đặt một ẩn phụ.
Đối với bài toán đặt hai ẩn phụ, ta tìm mối liên hệ bằng cách dùng công thức mũ, loga hay sự biến đổi
đơn giản để đưa hệ về hệ đại số cơ bản (đối xứng, đẳng cấp,….). Sau khi đặt ẩn phụ, ta cần đi tìm điều
kiện cho ẩn phụ, tức là đi tìm miền xác định cho bài toán mới. Tùy vào mục đích của ẩn phụ mà ta phải
đi tìm điều kiện cho hợp lý (dễ, không gây sai sót), chung qui, ta có hai cách tìm điều kiện: tìm điều kiện
đúng và tìm điều kiện thừa nhưng đặc biệt đối với bài toán chứa tham số, ta cần tìm điều kiện cho chính
xác. II – CÁC THÍ DỤ Thí dụ 1. log2 3 log2 (xy) 9 = 3 + 2. (xy) (1) Giải hệ phương trình:
2 x + y2 = 3x + 3y + 6 (2) Cao đẳng khối T, M năm 2004 – Đại học Hùng Vương Bài giải tham
khảo ● Điều kiện: xy > 0 . (1) ⇔ 3 2. log2 (xy) − 2.3 log2 ( xy) −3 = 0 t = 3log2 xy > 0 ⇔ 2
t − 2t − 3 = 0 t = 3log2 (xy) = −1 (L ) ⇔ t = 3log2 (xy) = 3 ⇔ log2 (xy) = 1 ⇔
xy = 2 2 − 3 (x + y) − 2xy − 6 = 0 2 ( 3) − 3 (x + y) − 10 = 0 (2) ⇔ (x + y) ⇔ ( x + y) x + y = 5 ⇔
x + y = −2 (4 ) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 197 -
200. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn xy
= 2 xy = 2 ∨ (VN) x + y = −2 x = 5 − 17 x = 5 + 17 y =
5 − x 2 2 ⇔ 2 ⇔ ∨ . −x + 5x − 2 = 0 5 + 17 5 − 17 y = y =
2 2 5 − 17 5 + 17 5 + 17 5 − 17 , . ● Vậy
nghiệm của hệ là (x; y) = ; ; 2 2 2 2 3x
+1 y−2 y +3x 2 + 2 = 3.2 (1) Giải phương trình: 2 3x + 1 + xy = x + 1 (2) Đề thi
thử Đại học năm 2011 – THPT Lương Tài II – Bắc Ninh (3), (4) ⇔ x + y = 5 Thí dụ 2. Bài giải
tham khảo x + 1 ≥ 0 (2) ⇔ 3x 2 + 1 + xy = x + 1 x ≥ −1 ⇔ x (3x + y −
1) = 0 x ≥ − 1 x ≥ − 1 ⇔ ∨ . x = 0 y = 1 − 3x ● Với x = 0 thì
(1) ⇔ 2 + 2 y−2 = 3.2y x = 0 8 8 . ⇔ 8 + 2 = 12.2 ⇔ 2 = ⇔ y = log2 ⇒ y = log 8 11
11 2 11 x ≥ −1 ● Với thì (1) ⇔ 23x+1 + 2−3x−1 = 6 y = 1 − 3x 1 ⇔
23x+1 + 3x+1 = 6 2 t = 23x +1 > 1 (do : x ≥ −1) ⇔ 4 2 t − 6t + 1 = 0 3x +1
= 3−2 2 (L) t = 2 ⇔ 3x +1 t = 2 = 3 + 2 2 (N ) x = 1 log 3 + 2 2 − 1
3 2 . ⇔ y = 2 − log2 3 + 2 2 8 1 ● Vậy (x; y) =
0; log2 , log2 3 + 2 2 − 1 ; 2 − log2 3 + 2 2 . 3 11
y y ( y ) ( ) ( ) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 198 - ( )
201. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Thí dụ 3. www.MATHVN.com Ths. Lê Văn
Đoàn log (x + 2y) + log (3x − 1) = 1 1 (1) 2 Giải hệ phương trình: 2 −4y x (2) 3 + 3
= 4 Đề thi thử Đại học lần 1 năm 2013 – THPT Quốc Oai Bài giải tham khảo x > 1 ● Điều kiện:
. 3 x + 2y > 0 (1) ⇔ − log (x + 2y) + log (3x − 1) = 1 2 2 3x − 1 =1 x + 2y 3x − 1 ⇔
=2 x + 2y ⇔ 3x − 1 = 2x + 4y ⇔ x = 4y + 1 ⇔ log2 (1) ⇔ 3 4y +1 + 3−4y = 4 1 −4 = 0 34y t =
34y > 0 ⇔ 1 3t + − 4 = 0 t t = 34y > 0 ⇔ 2 3t − 4t + 1 = 0
t = 34y = 1 ⇔ t = 34y = 1 3 ⇔ 3.34y + 4y = 0 ⇔ 4y = −1 1 y =
0 ∨ y = − . ⇔ x = 1 x = 0 4 ● So với điều kiện, hệ phương trình có nghiệm:
(x; y ) = (1; 0) . Thí dụ 4. 2x−y 2 2x−y 2 2 + 7. −6 = 0 Giải hệ
phương trình: 3. 3 (∗) 3 lg 3x − y ) + lg (y + x ) − 4 lg 2 = 0
( Cao đẳng Bán Công Hoa Sen khối A năm 2006 Bài giải tham khảo 3x − y > 0 ⊕ x > 0
y ● Điều kiện: ⇔ ⇔ x > > 0. y + x > 0 x > y > 0 3 3
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 199 -
202. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn 2x
−y 2x−y 2 2 3. (∗) ⇔ 3 + 7. 3 − 6 = 0
lg 3x − y )(y + x ) = log 16 ( 2x−y 2 3t + 7t − 6 = 0, t = 2 >0
⇔ 3 (3x − y )(y + x ) = 16 2x−y 2x−y 2 2 0 < t =
2 = ∨ t= = −3 3 3 ⇔ 3 2xy + 3x 2 − y2 = 16
2x − y = 2 ⇔ 2xy + 3x 2 − y2 = 16 y = 2x − 2 ⇔ 2 2x (2x −
2) + 3x 2 − (2x − 2) = 16 x = y = 2 y = 2x − 2 . ⇔ 2 ⇔ x = − 10 (L) 3x +
4x − 20 = 0 3 (L ) ● Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = (2;2) . Thí dụ 5. x+y
y x = 32 Giải hệ phương trình: 4 (∗) log x − y = 1 − log x + y 3( ) ) 3( Học Viện
Công Nghệ Bưu Chính Viễn Thông năm 1999 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x > y > 0 . 5 x+y 4
y x = 4 2 (∗) ⇔ log x − y + log x + y = log 3 3( ) ) 3( 3 x y 5 + = ⇔ y x
2 (x − y)(x + y) = 3 1 5 t + = t 2 ⇔ x 2 − y 2 − 3 = 0 t
= x y www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 200 -
203. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
1 t = ∨ t=2 2 2 2 ⇔ x − y − 3 = 0 t = x y x 1 x = y 2
∨ y = 2 ⇔ 2 x − y 2 − 3 = 0 y = 2x ∨ x = 2y ⇔ 2 x − y 2 − 3 = 0
y = 2x x = 2y ⇔ 2 ∨ 2 2 x − y − 3 = 0 x − y 2 − 3 = 0 y = 2x
x = 2y ⇔ (VN) ∨ y2 = 1 2 −3x = 3 y = −1 y = 1 ⇔ ∨
. x = −2 x = 2 ● Kết hợp với điều kiện, nghiệm hệ phương trình là (x; y) = Thí dụ
6. {(2;1)} . (1 + 2x + x ) = 4 2 log 1 − 2y + y2 + log1−y (1) Giải hệ phương trình: 1+x log 1
+ 2y) + log1−y (1 + 2x ) = 2 (2) 1+x ( Đại học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh – Đại học Kinh Tế
khối A năm 1997 ( ) Bài giải tham khảo 2 2 1 − 2y + y > 0 1 − y ≠ 0 (1 − y) > 0
2 2 x > −1 1 + 2x + x > 0 1 + x ≠ 0 ⇔ (1 + x ) > 0 ⇔ ⇔ ● Điều
kiện: . 0 < 1 + x ≠ 1 −1 < x ≠ 0 −1 < x ≠ 0 0 ≠ y < 1
0 < 1 − y ≠ 1 0 ≠ y < 1 0 ≠ y < 1 2 2 (1) ⇔ log (1 − y) + log (1 + x) = 4 ⇔
log (1 − y ) + log (1 + x ) = 2 t = log (1 − y) 1+x 1−y 1+ x 1−y 1+x ⇔ t + 1 = 2 t
t = log (1 − y) 1+x ⇔ 2 t − 2t + 1 = 0 ⇔ t = log1+x (1 − y) = 1 ⇔ 1− y = 1+ x
⇔ y = −x ● Thay (3) vào (2) ta được: log1+x (3 ) (1 − 2x ) + log (1 + 2x) = 2 1+ x
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 201 -
204. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn ⇔
log1+x (1 − 2x )(1 + 2x ) = 2 2 ⇔ 1 − 4x2 = (1 + x ) ⇔ 5x 2 + 2x = 0 2 x = 0 x = − 5.
⇔ ∨ y = 0 2 y = 5 Thí dụ 7. 2 2 ● So với điều kiện, nghiệm
của hệ là (x; y ) = − ; . 5 5 2 2 log (1) −xy + y − 2x + 2) + log2+y (x − 1) = 6
1−x ( Giải hệ phương trình: log (y + 5) − log (x + 4) = 1 (2) 1−x 2+ y Đề thi thử Đại học
năm 2012 – THPT Đoàn Thượng – Hải Dương Bài giải tham khảo 0 < 1 − x ≠ 1 0 ≠ x < 1 Điều
kiện: ⇔ . 0 < 2 + y ≠ 1 −1 ≠ y > −2 2 (1) ⇔ 2 log1−x y (1 − x) + 2 (1 −
x) + 2 log2+y (1 − x) = 6 ⇔ 2 log1−x (1 − x )(y + 2) + 2 log2+y 1 − x = 6 (1 − x
). (y + 2) + log (1 − x ) = 3 (do : 0 ≠ x < 1) ⇔ log1−x 2+ y ⇔ log1−x (y + 2) + log2+y (1
− x ) = 2 ● ⇔ log1−x (y + 2) + 1 =2 log1−x (y + 2) t = log (y + 2) 1−x ⇔ 1 t + = 2
t t2 − 2t + 1 = 0 ⇔ t = log1−x (y + 2) ⇔ t = log1−x (y + 2) = 1 ⇔ y + 2 = 1−
x. ● Thay vào phương trình (2), ta được: (2) ⇔ log (4 − x) − log (4 + x) = 1 1−x ⇔ log1−x 1−x 4−x
=1 4+x 4−x = 1− x 4+x ⇔ x 2 + 2x = 0 x = 0 x = −2 ⇔ ∨ . y = −1 y = 1
⇔ www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 202 -
205. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn ● So
với điều kiện, hệ có nghiệm duy nhất là (x; y ) = (−2;1) . Thí dụ 8. x x 2 + log2 y + 2 log2 y = 5
Giải hệ phương trình: x 4 + log2 y = 5 2 (∗) Cao đẳng Xây Dựng số 2 năm 2006 Bài giải
tham khảo ● Điều kiện: y > 0 . ● Đặt u = 2x > 0, v = log2 y . Lúc đó: u + v + uv = 5 (∗) ⇔ u
2 2 +v =5 2 (u + v) + 2uv = 10 ⇔ 2 (u + v) − 2uv = 5 (+) 2 ⇔ (u + v)
+ 2 (u + v) − 15 = 0 u + v = 3 u + v = −5 (vô nghiệm) ⇔ ∨ uv = 2 uv = 10
u = 1 u = 2 ⇔ ∨ v = 2 v = 1 x 2 = 1 2x = 2 ⇔
∨ log y = 2 log y = 1 2 2 x = 2 x = 4 ⇔ ∨ . y = 4 y = 2
● So với điều kiện, nghiệm của hệ phương trình là: (x; y) = Thí dụ 9. {(2; 4), (4;2)} . 4 log3
(xy) − 2 = 2log3 (xy) Giải hệ phương trình: log 4x 2 + 4y2 = 1 + log x + log (x + 3y) 4
4 2 4 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x > 0, y > 0 . ( ) log (xy) ● Đặt t = 2 3 > 0 . (1) ⇔ t2 − t −
2 = 0 ⇔ t = 2 ● Với t = 2 ⇔ 2 log3 (xy) (N ) ∨ t = −1 = 2 ⇔ log 3 (xy) = 1 ⇔ xy = 3 ⇔ y = 2 36
1 4x + = + log x + log x + 4 4 2 x 2 36 9
⇔ log4 4x2 + 2 = log4 2x x + x x 36 ⇔ 4x2 + 2 =
2x2 + 18 x 4 ⇔ x − 9x 2 + 18 = 0 (2) ⇔ log (L) . 4 9 x www.DeThiThuDaiHoc.com
Page - 203 - 3 . x (1) (2)
206. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit x2 = 3 x = 3 ⇒
y = 3 ⇔ 2 ⇔ 6. x = 6 x = 6 ⇒ y = 2 6; 6 . ● Vậy
nghiệm của hệ là (x; y) = 3; 3 , 2 log x + 3 5 − log y = 5
3 Giải hệ phương trình: 2 (∗) 3 log x − 1 − log y = −1 2 3 Cao đẳng Sư Phạm Tp. Hồ
Chí Minh khối A năm 2006 ( Thí dụ 10. Ths. Lê Văn Đoàn ) Bài giải tham khảo x > 0, y > 0 x > 0, y
> 0 x > 0, y > 0 x ≥ 2 5 − log y ≥ 0 ⇔ log y ≤ 5 ⇔ y ≤ 162 ⇔ ●
Điều kiện: . 3 3 0 < y ≤ 162 log x − 1 ≥ 0 log x ≥ 1 x ≥ 2 2 2
2 a = 5 − log 3 y ≥ 0 a = 5 − log 3 y ● Đặt: ⇒ 2 . b = log x − 1 ≥ 0
b = log2 x − 1 2 2 b + 1 + 3a = 5 (∗) ⇔ 3b + a2 − 5 = −1 b2
+ 3a = 4 ⇔ 2 a + 3b = 4 ⇔ b2 + 3a = a 2 + 3b ⇔ b2 − a 2 + 3a − 3b = 0 ⇔ (b − a )(b
+ a ) − 3 (b − a ) = 0 ⇔ (b − a )(b + a − 3) = 0 a = b ⇔ a + b = 3 a = b b = 3 − a
⇔ 2 ∨ 2 a + 3a − 4 = 0 a + 9 − 3a = 3 a = b b = 3 − a ⇔ ∨
2 a = 1 ∨ a = −4 (L) a − 3a + 6 = 0 a = 5 − log y = 1 3 ⇔ b =
log x − 1 = 1 2 5 − log y = 1 3 ⇔ log2 x − 1 = 1 log y = 4 ⇔ 3 log2
x = 2 (VN) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 204 -
207. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn y =
34 = 81 . ⇔ x = 4 ● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của hệ là (x; y) = Thí dụ 11. {(4;
81)} . 2x+y+2 + 3 x+2y = 27 x +y + 9 3 Giải hệ phương trình: log3 (x + 1) + log 3 (y + 1) =
1 (∗) Bài giải tham khảo Điều kiện: x > −1; y > −1 . 3.32x+y+1 + 3.3x +2y−1 = 33(x+ y) + 9
(∗) ⇔ log (x + 1)(y + 1) = 1 3 3.32x +y+1 + 3.3x+2y−1 = 33x+3y + 9 ⇔
(x + 1)(y + 1) = 3 a = 32x+ y+1 > 0 ⇒ a.b = 33x+3y . ● Đặt b = 3x +2y−1 > 0
(1) ⇔ 3a + 3b = ab + 9 ● (1) (2) ⇔ (3a − ab) + 3b − 9 = 0 ⇔ a (3 − b ) − 3 ( 3 − b ) = 0 a
= 3 ⇔ (a − 3)(3 − b) = 0 ⇔ b = 3 ● Với a = 3 ⇒ 32x+y+1 = 3 ⇔ 2x + y + 1 = 1 ⇔ y = −2x .
(2) ⇔ (x + 1)(−2x + 1) = 3 : vô nghiệm. Với b = 3 ⇒ 3x+2y−1 = 3 ⇔ x + 2y − 1 = 1 ⇔ x = 2 − 2y .
y = 1 y = 0 2 (2) ⇔ (3 − 2y)(y + 1) = 3 ⇔ −2y + y = 0 ⇔ x = 2 ∨ 2 . x = 1
1 ● So với điều kiện, nghiệm của hệ là (x; y) = (2; 0), 1; .
2 2 2 42x −2 − 22x +y + 4 y = 1 Giải hệ phương trình: 2y+2
(1) 2 2 − 3.22x +y = 16 ● Thí dụ 12. Bài giải tham khảo 2(x2 −1) 2 4 − 4.4 x −1.2y +
22y = 1 (1) ⇔ 2y 2 − 3.4x2 −1.2y = 4 (2) 2 Đặt a = 4 x −1 > 0; b = 2y > 0 . a 2 −
4ab + b2 = 1 (3) (2) ⇔ b2 − 3ab = 4 (4 ) ● www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 205 -
208. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn b2 −
4 3b 4 (3) ⇔ 2b − 31b2 − 16 = 0 (4 ) ⇒ a = y b = 4 ⇔ 2 = 4 ⇔ y = 2 . ⇔ b =
16 ⇔ x2 −1 = 1 x = ±1 a = 1 4 ● Vậy hệ có hai cặp nghiệm: (x; y) =
(−1;2), (1;2) . 2 { } BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài tập 35. Giải các hệ phương trình sau: 4x − 3y = 7
1/ . x y 4 .3 = 144 7 x − 16y = 0 2/ . x 4 − 49y = 0 y x 2 + 3 =
17 3/ . x 3.2 − 2.3y = 6 x + 3y−1 = 2 4/ . 3x + 9y = 18 x + 2y+1 = 3
5/ . y 4x + 4 = 32 y2 x 3 − 2 = 77 6/ . y2 x 2 3 − 2 2 = 7 x
3.2 + 2.3y = 11 4 . 7/ x 3 y 2 − 3 = − 4 32x+2 + 22y+2 = 17 8/ .
x+1 2.3 + 3.2y = 8 2x + 2.3x+y = 56 9/ . x x + y +1 = 87 3.2 + 3 3.2x +
2.3y = 2, 75 10/ x . 2 − 3y = −0, 75 (x + y).2y−2x = 625 11/ 1 . x + y
2x−y = 5 ) ( ĐS: (x; y) = (2;2) . ĐS: (x; y) = (0; 0) . ĐS: (x; y) = (3;2) . ĐS: (x; y) = 2 ; log
3 ĐS: (x; y) = (−17; log 3 4 . 2 10) . ( ) ĐS: (x; y ) = 2 log 3 2; ± 2 log2 3 . 17
ĐS: (x; y ) = log2 ; log 3 20 ĐS: (x; y) = (−1;1) . ĐS: (x; y ) = (1;2) . ĐS: (x; y) = (−2; 0) .
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 206 - 8 . 5
209. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn x
y +4 x 5(y− ) x =y 3 12/ . x 3 = y−1; x, y > 0 ( ) 3y−2x+1 4 2 + 2.22y−x =
−y 1 1 2 . ĐS: (x; y) = ; , (2;2) . 13/ 8 8
log x. (3 log y + 2) = 3 4 8 2 x+y x +y 2 3 + 2 6 = 6 14/ . ĐS: (x; y)
= (5;1), (3; 3) . x2 + 5y2 = 6xy x +y x +y 3 2 + 3 4 = 12 15/ . ĐS: (x; y) =
(3;1), (2;2) . x 2 + 3y2 = 4xy 4−y. log x = 4 1 2 16/ . ĐS: (x; y ) = 4; − .
−2y 2 log2 x + 2 = 4 Giải các hệ phương trình sau: x + y = 2 2 1/ .
(x + 1)y + y+2 = 1 y x = 9 2/ . 1 (324)y = 2x 2 2(x2 −1) 2 9 −
4.9x −1.5y + 52y − 1 = 0 3/ . ĐS: (x; y) = (−1; log 4 5), (1; log 4 5) . y 25 − 3.9x2 −1.5y = 4
92 tan x+cos y = 3 π 4/ . ĐS: (x; y ) = kπ; ± + k2π . cos y tan y
=2 3 9 − 81 1 y 2 = x −1 5/ . 28x−7 y x −y (xy) .x = y 2 1
1 = ( x + y) 6/ x−y. 2 3 (x + y).2y−x = 48 cos π x 2 + y2 = 1, y ≥ 0 ( )
7/ 2 . x2 + (1+y)2 2 x +(1+ y) − 32 = 31.2 4 3 5 − log 3 y = 5 − log5 x
Giải hệ phương trình: . 3 log x − 1 = log y − 1 5 3 ĐS: (x; y ) = (25; 81) . { { Bài tập 36.
} } { ( Bài tập 37. ) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 207 - }
210. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Bài tập 38. y x2
2 − 4.3 = −32 Giải hệ phương trình: . x2 y 2 − 2. 3 = −4 Đề thi thử Đại học lần 3
năm 2013 khối B, D – THPT Lý Thái Tổ – Bắc Ninh ( ) ĐS: (x; y) = Bài tập 39. Ths. Lê Văn Đoàn ( ) {(
2;2), (− 2;2)} . Giải các hệ phương trình sau: x + y = 2 3 1/ . log ( xy) = 1 3 log
y + log x = 2 x y 2/ . 2 x − y = 20 log x + log y = 1 + log 9 4 4 4 3/ . x + y
− 20 = 0 x log2 1 − = 2 − log2 y y . 4/ log x + log y
= 4 3 3 2 2 2 2 log2 x + y = 5 5/ . 2 log4 x + log2 y = 4 log xy = 5
2 6/ . x log 1 = 1 2 y ( 7/ 8/ 9/ 10/ 11/ 12/ 13/ ) xy = 64 . log x y = 5
log x − log y2 = 1 y 2 . log 4 x − log 4 y = 1 x log2 y + y log2 x = 16 .
log2 x − log2 y = 2 log x 2 + y2 + 6 = 4 2 . log3 x + log3 y = 1 x log3
y + 2.y log3 x = 27 . log3 y − log3 x = 1 3.x log2 y + 2.y log2 x = 10 . 2
log4 x + log2 y = 2 log (2x + y − 2) = 2 x . log y (2y + x − 2) = 2 ( )
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 208 -
211. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit 14/ 15/ 16/ 17/ 18/ 19/ 20/ 21/ 22/ 23/ 24/ 25/
26/ 27/ 28/ www.MATHVN.com log ( xy) = 4 2 x . log2 = 2 y
log x + log y = 5 y x 2. 2 2 log6 x + y = 1 log (x − y) = 5 − log
(x + y) 2 2 . lg x − lg 4 = −1 lg y − lg 3 log x y = 2 . log x+1 (y +
23) = 3 2 2 lg x + y = 1 + lg 8 . lg (x + y) − lg (x − y) = lg 3 log y −
log2 x = 1 xy y . x log2 (y − x ) = 1 log (x − y) = 1 xy . log xy (x + y) = 0
log x + log y = 2 y x . 2 x + y = 12 y + log x 2 = 2 . y + 4 lg x =
28 y + 2 lg x = 3 . y − 3 lg x 2 = 1 log (x + y) − log (x − y) = 1 3 .
2 x − y 2 = 1 x + 2 log . log x+y x + y = 1 xy 2 . x − y = 2 3 log
y − 1 2 + log x + 1 2 = 4 1+x ( ) ) 1−y ( . log (2y + 1) + log (2x + 1) = 2 1+x 1−y
log xy (x − y) = 1 . 2 log xy .log (x + y) = 1 5 xy 5 xy log x = x 2 y .
log y. log y − 3x = 1 4 ) y( ( ( ( ) ) ) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 209 - Ths. Lê Văn
Đoàn
212. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Bài tập 40. www.MATHVN.com 5 log x =
log y 3 − log 2 2 2 2 29/ . log2 x = 8 − log x 2 log xy.log x = −3 2 30/ 2 .
y 2 log x + log2 y = 5 2 2 2 log x + log y = 5 ( y x ) 31/ . xy = 8 x
− y = (log y − log x )(2 + xy) 2 2 32/ 3 . x + y 3 = 16 log x − log y2 = 1 2 . 33/
y log 4 x − log 4 y = 1 Giải các hệ phương trình mũ – logarit log x2 + y2 + 17 = 2 + log
(xy) 3 3 1/ . ĐS: (x; y) = x2 −2xy+y2 3 = 16 3x.2y = 18 2/ . log 1 (x
+ y) = −1 3 3x.2y = 972 3/ . log (x − y) = 2 3 ( 4/ 5/ 6/ 7/ 8/ 9/ 10/ )
{(−1; −3), (3;1), (1; 3), (−3; −1)} . log 2 x 2 = y4 . log x − log y = 1 2 2 lg y lg
x 3 = 4 . (4x)lg 4 = (3y)lg 3 y = 1 + log4 x . y x = 4096 xy =
40 . lg y x = 4 x log8 y + ylog8 x = 5 . log x − log y = 1 4 4 log0,5
(x + y) log ( x + y) 2 =5 5 . log x + log y = 1 2 2 2 y 2 log x − 3 = 15 2
. y 3 .log x = 2. log x + 3y +1 2 2 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 210 - Ths. Lê Văn
Đoàn
213. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit 11/ 12/ 13/ 14/ 15/ 16/ 17/ 18/ 19/ 20/ 21/ 22/
23/ 24/ www.MATHVN.com 2 log x (xy) = log y x . 2 log y x y = 4y + 3 x+y
y x 4 = 32 . log (x − y) = 1 − log (x + y) 3 3 x −y 1 x −2y 3 =
3 . log x + y + log x − y = 4 ) ) 2( 2( x y (x + y) = (x −
y) . log x − log y = 1 2 2 ( ) log 2 log3 (xy) 4 = 2 + (xy) 3 . 2 x + y2 − 3x
− 3y = 12 x log3 y + 2y log3 x = 27 . log y − log x = 1 3 3 2 log x xy
= log y x . 2 logy x y = 4y + 3 lg x + lg y = 4 . lg y x = 1000 x x
−2y = 36 . 4 (x − 2y) + log6 x = 9 (x + y) .3y−x = 5 . 27 3 log5 (x +
y) = x − y 4 y x + x = y 3 . 4 x+ y 3 y =x x + y = y12 x
, (x, y > 0) . x+y y = x3 x + y + a = 1 . a2 x + y−xy 2 .4 =2
log x + log y = 5 y x 2. 2 2 log6 x + y = 1 ( ) www.DeThiThuDaiHoc.com Page -
211 - Ths. Lê Văn Đoàn
214. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Bài tập 41. 5 2
25/ xy log y x = x . log4 y. log y (y − 3x) = 1 Giải các hệ phương trình logarit sau log
x − log y2 = 1 y 2 1/ . log4 x − log4 y = 1 ĐS: 2/ 2 log 6 − 3y + xy − 2x) +
log2−y x2 − 6x + 9 = 6 3−x ( . log (5 − y) − log (x + 2) = 1 3− x 2 −y ( ) ĐS: 3/
log2 1 + 3 1 − x2 = log3 1 − y2 + 2 . log 1 + 3 1 − y2 = log 1
− x2 + 2 2 3 ( ( ) ) ĐS: 4/ log (x − y) = 1 xy . 2 log5 xy . log xy (x
+ y) = 1 ĐS: 5/ 5 log x = log y 3 − log 2 2 log2 x = 8 − log x 2 2 2 . ĐS: 6/
log x + log y = −2 log 4 2 4 1 . 2 log x + log y = 5 lg10 4 2 ĐS: 7/ log2 1 +
3 sin x = log 3 (3 cos y) . log 1 + 3 cos y = log (3 sin x) 2 3 ĐS: 1 4 log 6 x + x
= log2 x 4 16π . +1 sin π x x < 1 − cos 4 cos πx 16 ( 8/ Bài tập 42.
) ĐS: Giải các hệ bất phương trình mũ – logarit 2x + 2y ≤ 1 1/ . x + y ≥ −2 4 x + y
−1 + 3.42y−1 ≤ 2 2/ . x + 3y ≥ 2 − log4 3 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 212 -
Ths. Lê Văn Đoàn
215. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit x2 −2x −2 −log3 5 −(y + 4) 3 =5
3/ . 2 4 y − y − 1 + (y + 3) ≤ 8 x2 −5x +6 −log3 2 3 = 2−y−1 4/ . 2 2
y − 2 − 5 y − (y − 3) ≥ −5 x2 −8x +12 −log4 7 4 = 72y−1 5/ . 2 y − 3 − 3 y
− 2 (y + 1) ≥ 1 x2 −5x + 4 −log5 2 5 = 2 y −3 6/ . 2 3 y − 5 y + 1 + (y − 2)
≤ 3 log2 x − log x2 < 0 2 2 3 7/ . x 2 − 3x + 5x + 9 > 0 3 log (x +2)
>2 x 8/ . log2 2x−1 +log2 2x+1 +1 <log2 7.2x +12 log (y − 4) < 0 7 −x 9/ .
logy −1 (3 − x) < 0 log2−x (2 − y) > 0 10/ . log4−y (2x − 2) > 0 log (5
− y) ≤ 0 . 11/ x −1 log4−y (2x − 2) ≤ 0 log 1 5 − x < log 1 (3 − x) 3 2 12/
. 1 x + ∈ » 3 x −1 lg2 +lg 2x+1 +1 < lg 7.2x +12 ( ) 13/ . log (x +2) > 2
x x2 + 4 ≥0 2 14/ x − 16x + 64 . lg x + 7 ≥ lg (x − 5) − 2 lg 2 2
3x 2 = 5y − 4y x Giải hệ phương trình: 4 + 2x+1 . =y x 2 +2 ĐS: (x; y ) =
(0;1), (2; 4) . ( ) ( Bài tập 43. www.MATHVN.com ( ) ) ( ) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 213 -
Ths. Lê Văn Đoàn
216. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Bài tập 44. Bài tập 45.
Bài tập 46. Bài tập 47. Bài tập 48. Bài tập 49. Bài tập 50. log x log y x 3 + 2y 3 = 27 Giải hệ
phương trình: . log y − log x = 1 3 3 1 1 ĐS: (x; y) = (3; 9), ; .
9 3 log xy = log y x Giải hệ phương trình: x y y . 2 + 2 = 3
Đề thi thử Đại học 2012 – Đề 17 – Thầy Văn Phú Quốc – Đại học Quảng Nam 3 3 ĐS:
(x; y) = log2 ; log2 . 2 2 log 3 x − log 3 y + 1 = 0 2y Giải hệ phương trình:
. 9.4 x − 2.4 3 = 4 Đề thi thử Đại học năm 2013 lần I – THPT Đức Thọ – Hà Tĩnh ĐS: (x;
y) = (1; 3) . x + log y = 3 3 Giải hệ phương trình: 2 . 2y − y + 12 3x = 81y Đề thi
thử Đại học 2012 – Đề 6 – Thầy Văn Phú Quốc – Đại học Quảng Nam ĐS: (x; y) = (2; 3) . ( ) lg2 x =
lg2 y + lg2 (xy) Giải hệ phương trình: 2 . lg (x − y) + lg x.lg y = 0 Đề thi thử Đại học
năm 2010 – TTBDVH & LTĐH Thành Đạt 2 ĐS: (x; y ) = (2;1), 2; .
2 x log 3 + log y = y + log x 2 2 2 Giải hệ phương trình: .
x log 3 12 + log 3 x = y + log3 y Đề thi thử Đại học năm 2011 khối A – THPT Lương Ngọc
Quyến – Thái Nguyên ĐS: (x; y) = log 4 2; 2 log 4 2 . 3 3 xy + 2x + y
= 6 Giải hệ phương trình: . log2 (x + 1). log2 (y + 2) = 2 Đề thi thử Đại học 2011 – Đợt 1
– TTBDVH Thăng Long – Tp. Hồ Chí Minh ĐS: (x; y) = (1;2), (3; 0) . { Bài tập 51. Ths. Lê Văn Đoàn }
3x +1 + 2y−2 = 3.2y+3x 2 Giải hệ phương trình: . 3x 2 + 1 + xy = x + 1 Đề thi
thử Đại học năm 2013 khối A – THPT Sầm Sơn – Thanh Hóa www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 214 -
217. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com −1 +
log2 3 + 2 2 . 0; log 8 , ;2 − log2 3 + 2 2 ĐS: (x; y) = 2 11 3
3x −2y − 5.6x + 4.23x −2y = 0 3 Giải hệ phương trình: 2. x − y = y + 2y
− x 2y + x Đề thi thử Đại học 2012 – Đề 20 – Thầy Văn Phú Quốc – Đại học Quảng Nam
ĐS: (x; y) = (0; 0), 2 log 3 2; log 3 2 . 2 2
log (xy) + log x2 = 4 y Giải hệ phương trình: x 2 (x, y ∈ ») . 2 log 4 y =
log2 x. log2 (6 − x ) Đề thi thử Đại học năm 2013 khối A, B – THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An
ĐS: (x; y) = (4; 4), (2; 4) . ( Bài tập 52. Bài tập 53. ) ( { Bài tập 54. Ths. Lê Văn Đoàn ( )( ) ) } y 2 +
x = x 2 + y Giải hệ phương trình: x . 2 = 3y+1 Đề thi thử Đại học năm 2010 lần 1 khối
D – THPT Phan Châu Trinh – Đà Nẵng Bài tập 55. log ; 3 , log 9;1 − log 9 .
( ĐS: (x; y) = 2 ) 6 6 3 2 2 23x +2y +8x−4y+8 + 2x2
+4y+5 = 33.22x2 +y2 +4x+4 Giải hệ phương trình: . 2x + y + 2 = 0 Đề thi thử Đại học
năm 2013 lần II – THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội −10 ± 2 5 10 4 5 −10 ± 3 5 10 6 5 ,
. ; ; ĐS: (x; y) = 5 5 5 5 www.DeThiThuDaiHoc.com
Page - 215 -
218. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn Dạng
3. Giải hệ mũ & logarit bằng phương pháp đơn điệu hàm số và bất đẳng thức I – LÍ THUYẾT CƠ BẢN
Xem lại lí thuyết giải phương trình và bất phương trình mũ – loga sử dụng tính đơn điệu và bất đẳng
thức. Thông thường, ta chọn một phương trình để thực hiện tính chất đơn điệu của hàm số, rồi kết hợp
với phương trình còn lại. Để giải phương trình còn lại, ta cần nắm vững các phương pháp giải phương
trình mũ, loga, đại số và thường gặp nhất là phương trình đại số. II – CÁC THÍ DỤ Thí dụ 1. 2x − 2y
= (y − x )(xy + 2) (1) Giải hệ phương trình: 2 x + y2 = 2 (2) Đại học Quốc Gia Hà Nội
khối A năm 1995 Bài giải tham khảo ● Thay (2) vào (1) ta được: (1) ⇔ 2 ( − 2y = (y − x ) xy + x 2 +
y2 x x y 3 ⇔ 2 −2 = y − x ) 3 ⇔ 2x + x 3 = 2y + y 3 ⇔ f (x ) = f (y) ● ( 3) Xét hàm số f (t) = 2 t +
t3 trên » . f ' (t) = 2t.ln 2 + 2t2 > 0, ∀t ∈ » ⇒ f (t) : đồng biến trên » ● Từ (3), (4) ⇒ f (x ) = f (y ) ⇔
x = y . (2) ⇔ 2x ● Thí dụ 2. 2 = 2 ⇔ x = y = ±1 . Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y ) = (1;1) . 2 x 3
+ 2x − y − 1 = x2 y + 1 ( ) ( ) Giải hệ phương trình: 3 y + 4x + 1 + ln (y2 + 2x) = 0
Bài giải tham khảo ● (4) Điều kiện: y2 + 2x > 0 . (1) ⇔ 2 (x ) ⇔ 2x (x + 2) − (y + 1)(2 + x ) = 0 ⇔ (x
+ 2)(2x − y − 1) = 0 ⇔ 2x − y − 1 = 0 (do : x + 2 > 0) 3 + 2x − 2 (y + 1) = x 2 (y + 1) 2 2 2 2 ⇔ y =
2x − 1 3 (2) ⇔ (2x − 1) 2 + 4x + 1 + ln (2x − 1) + 1 = 0
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 216 - (1) (2)
219. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit ● Ths. Lê Văn Đoàn 3 2
Xét hàm số f (x ) = (2x − 1) + 4x + 1 + ln (2x − 1) + 1 trên » . 2 (2x − 1) 2 f ' (x ) =
3 (2x − 1) + 4 + 2 (2x − 1) + 1 4 2 3 (2x − 1) + 7 (2x − 1) + 2 (2x − 1) + 4 f ' (x ) = 2 (2x − 1) + 1 3
(2x − 1) + 6 (2x − 1) + (2x − 1) + 1 + 3 f ' (x ) = > 0, ∀x ∈ » . (2x − 1) + 1 ⇒ f (x ) :
đồng biến trên » . ● Ta lại có: f (x ) = f (0) = 0 ⇔ x = 0 ⇒ y = −1 . ● So với điều kiện, nghiệm của hệ là
(x; y ) = (0; −1) . (1) 2 log (2x + 3y) = log (2 + 2x + 3y) Giải hệ phương trình: ln (4x + x +
1) + x + 21 = 9y (2) 4 2 2 2 Thí dụ 3. 7 3 2 3 2 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: 2x + 3y > 0 . ●
Đặt log 7 (2x + 3y ) = t ⇔ 2x + 3y = 7 t . (1) ⇔ log (2 + 7 ) = 2t t 3 ⇔ 2 + 7 t = 9t t t 1 7
+ = 1 ⇔ 2. 9 9 (3) t ● t 1 7 Xét hàm số f (t) = 2.
+ trên » . 9 9 t t 1 1 7 7 f ' (t) = 2.
.ln + .ln < 0, ∀t ∈ » . 9 9 9 9 ⇒ f (t) : nghịch biến trên » . ● Do đó, phương
trình (3) có nghiệm duy nhất và f (t) = f (1) = 1 ⇔ t = 1 . ⇒ 2x + 3y = 7 ⇔ 3y = 7 − 2x . (2) ⇔ ln
(4x ) ⇔ ln (4x + x + 1) + x + 6x = 0 Xét hàm số f (x ) = ln (4x + x + 1) + x 2 2 ● 2 + x + 1 + x 3 + 21
= (7 − 2x ) (4 ) 3 2 3 + 6x trên » . 8x + 1 24x 2 + 14x + 7 + 3x 2 + 6 = 3x 2 + > 0, ∀x ∈ » . 4x2 + x +
1 4x2 + x + 1 ⇒ f (x ) : đồng biến trên » ⇒ (4 ) có nghiệm duy nhất và f ' (x ) = f ( x ) = f (0 ) = 0 ⇔
x = 0 ⇒ y = 7 . 3 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 217 -
220. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit ● Thí dụ 4. Ths. Lê
Văn Đoàn 7 So với điều kiện, nghiệm của hệ là (x; y ) = 0; . 3 x +y x−y
= 2 (x + 1) e + e Giải hệ phương trình: x+y , (x, y ∈ » ) (∗) e = x −y +1 Đề thi thử Đại
học năm 2009 lần 1 – THPT Đông Sơn I Bài giải tham khảo ex−y = x + y + 1 ∗) ⇔ x+y ( e
= x − y +1 e v = u + 1 u = x + y ⇔ u , với e = v + 1 v = x − y
− ⇔ ev − eu = u − v ⇔ ev + v = eu + u ⇔ f ( v ) = f (u ) ● Xét hàm số f (t) = e t + t trên » . f ' (t)
= e t + 1 > 0, ∀t ∈ » ⇒ f (t) : đồng biến trên » . Thí dụ 5. y = 0 f ( v ) = f (u ) ⇔ u = v ⇔ x + y
= x − y ⇔ . x = 0 ● Vậy hệ có nghiệm duy nhất x = y = 0 . log 2y = x −
2y 2014 (1) x Giải hệ phương trình: 3 x + y3 = x 2 + y2 (2) xy
Đề thi thử Đại học năm 2010 – TTBDVH & LTĐH Quang Minh Bài giải tham khảo ● Điều kiện: xy > 0 .
(2) ⇔ x 3 ( ) + y 3 = xy x 2 + y2 > 0 ⇒ x > 0, y > 0 . 2y = 2014 x−2y x 2y 2014 x ⇔ = x 20142y ⇔
2y.20142y = x.2014x (1) ⇔ ⇔ f (2y ) = f (x ) ● (3 ) Xét hàm số f ( t) = t.2014 t trên khoảng (0; +∞) .
t > 0, ∀t ∈ (0; +∞) f ' (t) = 2014 t 1 + ln 2014 ● Từ (3), (4 ) ⇒ 2y = x . 3 ●
(4 ) Thay x = 2y vào (2), ta được: (2) ⇔ (2y) + y3 2y 2 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 218 - 2 =
(2y) + y2
221. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit x = 9 5 . ⇒
( L ) y = 9 10 9 9 ● Vậy nghiệm hệ là: (x; y ) = ; . 5 10 2
2013y2 −x2 = x + 2014 Giải hệ phương trình: y2 + 2014 3 log (x + 2y + 6) = 2 log
(x + y + 2) + 1 3 2 Ths. Lê Văn Đoàn y = 9 9 2 ⇔ y = 5y ⇔ 10 2 y=0 Thí dụ 6.
Bài giải tham khảo x + 2y + 6 > 0 Điều kiện: x + y + 2 > 0 x 2 + 2014 1) ⇔ y2 − x 2 =
log2013 2 ( y + 2014 (3 ) ● ( ) ( (x ) + 2014) ⇔ y2 − x 2 = log2013 x 2 + 2014 − log2013 y2 + 2014 (
) ⇔ y2 + log2013 y2 + 2014 = x 2 + log2013 ( ) ( ) (4 ) ⇔ f y2 = f x 2 ● 2 Xét hàm số f (t) = t + log
2013 (t + 2014 ) trên 0; +∞ ) . 1 f ' (t) = 1 + > 0, ∀t ∈ 0; +∞) . t + 2014) ln 2013 ( ⇒ f (t)
đồng biến trên 0; +∞ ) ● ● (5) y = x Từ (4), (5) ⇒ f y2 = f x2 ⇔ y2 = x 2 ⇔ . y = −x
Với y = x thì (2) ⇔ 3 log 3 (3x + 6) = 2 log 2 (2x + 2) + 1 ( ) ( ) ⇔ 3 log3 3. (x + 2) = 2 log2
2. (x + 1) + 1 1 + log (x + 2) = 2 1 + log (x + 1) + 1 ⇔ 3 3 2
⇔ 3 log 3 (x + 2) = 2 log2 (x + 1) (6) Đặt: 3 log 3 (x + 2) = 2 log2 (x + 1) = 6u . Khi đó: log (x +
2) = 2u 3 (6) ⇔ log 2 (x + 1) = 3u x + 2 = 32u ⇔ x + 1 = 23u x
= 9u − 2 ⇔ x = 8u − 1 ⇔ 9u − 2 = 8 u − 1 ⇔ 8 u + 1 = 9u
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 219 - (1) (2)
222. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit u Ths. Lê Văn Đoàn u
8 1 ⇔ f (u) = + = 1 . 9 9 u u 8 1 Xét hàm
số f (u) = + trên » . 9 9 u u 8 8 1 1 f ' (u) = .ln
+ .ln < 0, ∀u ∈ » . 9 9 9 9 ⇒ f (u ) nghịch biến trên » . Ta lại
có: f (u ) = f (1) = 1 ⇔ u = 1 . ● u x = y = 7 x = 9 − 2 ⇔ ⇔ x = y = 7. Với u = 1 ⇒
u x = 8 − 1 x = y = 7 Với y = −x thì (2) ⇔ 3 log (y + 6) = 2 log ⇔ log (y + 6) = 1
3 2 2+1 3 ⇔ y+6= 3 ⇔ y = −3 ⇒ x = 3 . ● Thí dụ 7. So với điều kiện (3), nghiệm của hệ là (x; y) =
{(3; −3), (7; 7)} . 2 y−1 x + x − 2x + 2 = 3 + 1 Giải hệ phương trình: y + y2 − 2y + 2 =
3x−1 + 1 (x, y ∈ ») (∗) Dự bị Đại học khối A năm 2007 Bài giải tham khảo (x − 1) +
(∗) ⇔ (y − 1) + 2 (x − 1) (y − 1) 2 (1) − (2) ⇔ u − v + + 1 = 3y−1 + 1 = 3x−1
u + u2 + 1 = 3v ⇔ v + v2 + 1 = 3 u u = x − 1 với . v = y − 1 u 2 +
1 − v 2 + 1 = 3 v − 3u ⇔ u + u 2 + 1 + 3u = v + v 2 + 1 + 3 v ⇔ f (u ) = f ( v ) ● (1) (2) (3) Xét hàm
số f (t) = t + t2 + 1 + 3t trên » . f ' (t) = 1 + t + 3 t ln 3 = 2 t + t2 + 1 t +1 ⇒ hàm số f ( t) đồng biến
trên » 2 + 3t ln 3 > 0, ∀t ∈ » . t +1 ● Từ ( 3 ) , ( 4 ) ⇒ f ( u ) = f ( v ) ⇔ u = v . ● Thay u = v vào
(1), ta được: (1) ⇔ 3 u = u + u2 + 1 ( ⇔ u = log 3 u + u2 + 1 ) www.DeThiThuDaiHoc.com Page -
220 - (4 )
223. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit ( www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn )
⇔ u − log 3 u + u 2 + 1 = 0 . ● ( ) Xét hàm số f (u ) = u − log 3 u + u2 + 1 trên » . u 1+ f ' (u ) = 1 −
(u + u2 + 1 ) 2 = 1− u + 1 .ln 3 1 > 0, ∀u ∈ » . 2 u + 1.ln 3 ⇒ f (u ) đồng biến trên » . ● ● Thí dụ 8.
u = x − 1 = 0 x = 1 ⇔ Ta lại có: f (x ) = f (0) = 0 ⇔ u = 0 ⇔ v = 0 ⇔ . v = y −
1 = 0 y = 1 Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y ) = (1;1) . x3 +x 3 x e + ln − e y +y = 0
y Giải hệ phương trình: 2 2y + 5x − 1 = 7 x 3 − 1 (1) (2) Bài giải tham khảo ● Điều
kiện: x > 1 và y > 0 . (1) ⇔ e x3 + x ⇔ ex 3 +x + ln x − ln y − e y + ln x = e y 3 +y 3 +y =0 + ln y ⇔
f (x ) = f (y ) ● 3 Xét hàm số f (t) = e t +t (3 ) + ln t trên khoảng (1; +∞) . 3 1 f ' (t) = 3t2 + 1 .et +t + >
0, ∀t ∈ (1; +∞) . t ⇒ f (t) : đồng biến trên (1; +∞) ( ● ) (4 ) Từ (3), (4) ⇒ f (x ) = f (y ) ⇔ x = y . (2)
⇔ 2x + 5x − 1 = 7 x − 1 ⇔ 3 (x − 1) + 2 (x + x + 1) = 7 (x − 1)(x 2 3 2 ⇔ 3 + 2. 2 ) + x +1 x2 + x +
1 x2 + x + 1 =7 x −1 x −1 (∗) (5) x2 + x + 1 , (t ≥ 0) . x −1 1 (5) ⇔ 2t2 − 7t + 3 = 0 ⇔ t = 2 ∨ t = 3
. Đặt t = ● Với t = x2 + x + 1 1 = ⇔ 4x 2 + 4x + 3 = 0 : vô nghiệm. x −1 2 ● Với t = x2 + x + 1 = 3 ⇔
x 2 − 8x + 10 = 0 ⇔ x = 4 ± 6 . x −1 ● So với điều kiện, nghiệm của hệ là (x; y) = {(4 −
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 221 - )( )} 6; 4 − 6 , 4 + 6; 4 + 6 .
224. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn ( )
Lưu ý: Ở (∗), tôi đã dùng đồng nhất: 2x 2 + 5x − 1 = α (x − 1) + β x2 + x + 1 tìm hai số Thí dụ 9. α =
3, β = 2 . Để tìm hiểu kĩ hơn về vấn đề này, các em học sinh nên đọc Chuyên đề phương trình, bất
phương trình, hệ phương trình đại số của cùng tác giả. 3 x + x + log x = 8y3 + 2y + 1 (1) 2
y Giải hệ phương trình: 2 y − xy + 1 = 0 (2) 4 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: (1) ⇔
x 3 x > 0, y ≠ 0 ⇔ xy > 0 . y + x + log2 x − log2 y = 8y 3 + 2y + 1 3 ⇔ x 3 + x + log2 x = (2y) + (2y)
+ log2 y + log2 2 3 ⇔ x 3 + x + log2 x = (2y) + (2y) + log2 2y ( ) ( ) ⇔ f x = f 2y ● Xét hàm số f (t)
= t3 + t + log2 (3 ) t trên các khoảng (−∞; 0) ∪ (0; +∞) . 2 2t + 1 + 1 > 0 khi t ∈ (0; +∞) 1 t
ln 2 = f ' (t) = 2t2 + 1 + t ln 2 2t2 + 1 − 1 > 0 khi t ∈ −∞; 0 ( ) t ln 2 ⇒ f ' (t) > 0,
∀t ∈ (−∞; 0) ∪ (0; +∞) ⇒ f (t) : đồng biến. x = 2y Từ (3), (4) ⇔ f x = f 2y ⇔ x = 2y ⇔ .
x = −2y y = 1 y = − 1 1 2 ● Với x = 2y thì (2) ⇔ −y + = 0 ⇔ ∨ 2 2. x
= 1 x = −1 4 1 ● Với x = −2y thì (2) ⇔ 2y2 + = 0 : vô nghiệm. 4 1
1 ● So với điều kiện, nghiệm của hệ là (x; y) = 1; , −1; − .
2 2 (1) (x − 3)(x + 4) = y (y − 7 ) Giải hệ phương trình:
log x−1 (2 − y) = x − 1 (2) y2 Đề thi thử Đại học năm 2013 lần 4 khối A – THTP Quế Võ số
1 – Bắc Ninh ( ) ● Thí dụ 10. (4 ) ( ) Bài giải tham khảo 1 < x ≠ 2 Điều kiện: . 0 ≠ y < 2
2 (1) ⇔ x + x − 12 = y2 − 7y ● 2 2 ⇔ (x − 1) + 3 (x − 1) = (2 − y) + 3 (2 − y)
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 222 -
225. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn ⇔ f
( x − 1) = f (2 − y ) ● (3 ) Xét hàm số f (t) = t2 + 3t trên (0;+∞) . f ' (t) = 2t + 3 > 0, ∀t ∈ (0; +∞) ⇒ f
(t) : đồng biến trên (0; +∞) (4 ) (5) Mà (x − 1) ∈ (0; +∞) và (2 − y ) ∈ (0; +∞) ● Từ (3), (4), (5) ⇔ f
(x − 1) = f (2 − y ) ⇔ x − 1 = 2 − y ⇔ x = 3 − y . y = 1 ⇒ x = 2 2−y ⇔ y2 + y − 2 = 0 ⇔ y =
−2 ⇒ x = 5 y2 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y ) = (5; −2) . (L ) . (N ) (2) ⇔ log2−y
(2 − y) = ● Thí dụ 11. 2 6 ln y + y + 5 = (x − y) x2 + xy + y2 − 2
x + x2 + 5 Giải hệ phương trình: 2 7x + 13y + 8 = 2x2 . 3 x 3y2 + 3x − 1
( ) ( (1) ) (2) Bài giải tham khảo ● 2 2 2 x + x + 5 > x + x ≥ x + x ≥ 0 ⇒ y + y + 5 > 0 Ta
có: y + y2 + 5 > y + y2 ≥ y + y ≥ 0 x + x2 + 5 ⇒ Tập xác định: D = » . (1) ⇔ 6 ln (y + ) (
) + 5 ) + x − 2x = 6 ln (y + y2 + 5 − 6 ln x + x2 + 5 = x 3 − 2x − y 3 + 2y ( ⇔ 6 ln x + x2 3 ) y2 + 5 +
y 3 + 2y ⇔ f ( x ) = f (y ) ● (3 ) ( ) Xét hàm số f (t) = 6 ln t + t2 + 5 + t3 − 2t trên » . f ' (t) = 6 t
1 + t2 + 5 f ' (t) t + t2 + 5 + 3t2 − 2 = 2 2 + 3t2 − 2 = 3 + t2 −
. 2 t +5 3 t2 + 5 6 ( ) 2 2 1 1 t2 + 5 26 t + 5 17 + ⇒ = +t − = + + − .
2 3 3 t +5 27 27 3 t2 + 5 t2 + 5 1 t2 + 5 Cauchy 1 1 t2 + 5 1 ≥ 3.
3 + + . . =1 27 t2 + 5 t2 + 5 t2 + 5 t2 + 5 27 Mà: . 26 t2 + 5 26.5
130 ≥ = 27 27 27 2 1 1 t2 + 5 26 t + 5 17 130 17 4 + ⇒ + + − ≥1+ − =
27 27 3 27 3 27 t2 + 5 t2 + 5 2 ( 2 ) ( 4 12 ⇔ f ' (t) ≥ > 0 ⇒ f (t) : đồng biến trên » . 3 27
27 Từ (3), (4) ⇒ f (x ) = f (y ) ⇔ x = y . ⇒ ● f ' (t) ) ≥ www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 223 -
226. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit (2) ⇔ 7x 2 ( Ths. Lê
Văn Đoàn ) + 13x + 8 = 2x 2 3 x 3x 2 + 3x − 1 7 13 8 3 1 + 2 + 3 = 2 3 3 + − 2 (do x = 0 không là
nghiệm phương trình) x x x x x 1 ⇔ 8α 3 + 12α 2 + 7α = 2 3 −α 2 + 3α + 3 với α = x ⇔ 3 ⇔ (2α + 1)
+ 2 (2α + 1) = ⇔ f (2α + 1) = f ● ( 3 ( 3 3 −α 2 + 3α + 3 −α 2 + 3α + 3 ) +2 3 −α 2 + 3α + 3 ) (5) Xét
hàm số f (β) = β 3 + 2β trên » . f ' (β) = 3β2 + 2 > 0, ∀β ∈ » ⇒ f (β) : đồng biến trên » ● Từ (5), (6)
⇒ f (2α + 1) = f ( 3 (6) ) −α 2 + 3α + 3 ⇔ 2α + 1 = 3 −α 2 + 3α + 3 3 ⇔ (2α + 1) = −α 2 + 3α + 3 ⇔
8α 3 + 13α 2 + 3α − 2 = 0 ( ) ⇔ (α + 1) 8α 2 + 5α − 2 = 0 −5 − 89 −5 + 89 ∨ α= 16 16 16 ⇒ x = y =
−1 ∨ x = y = . −5 ± 89 16 16 . ; ● Vậy nghiệm của hệ là (x; y) = (−1; −1),
−5 ± 89 −5 ± 89 x2 + 5x + 4 ≤ 0 (1) Giải hệ phương trình:
(2 + x) .3x < 1 (2) Cao đẳng Tài Chính Kế Toán IV năm 2004 ⇔ α = −1 ∨ α = Thí dụ 13. Bài
giải tham khảo ● Tập xác định D = » . (1) ⇔ −4 ≤ x ≤ −1 ⇒ x ∈ −4; −1 . 1 x (2)
⇔ x + 2 < 3 . ● Với x ∈ −4; −1 . Xét hàm số f (x ) = x + 2 đồng biến trên
−4; −1 . ⇒ max f (x) = f (−1) = 1 . −4;−1 x −4; −1 . Xét hàm số
g (x ) = 1 nghịch biến trên −4; −1 . ● Với x ∈ 3 ⇒ min g
(x) = f (−1) = 3 . −4;−1 ● Nhận thấy max f (x) < min g (x) , (1 < 3) nên g (x ) > f (x ) luôn
luôn đúng −4;−1 −4;−1 ∀x ∈ −4; −1 . Do đó tập nghiệm của bất
phương trìn là x ∈ −4; −1 . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 224 -
227. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Thí dụ 14. Ths. Lê Văn
Đoàn x+y−1 + 3.42y−1 ≤ 2 (1) 4 Giải hệ bất phương trình: x + 3y ≥ 2 − log4 3 (2)
Đại học Kinh Tế Tp. Hồ Chí Minh năm 1995 Bài giải tham khảo (2) ⇔ x + 3y − 2 ≥ − log 4 3 = log 4 1 .
3 Cauchy (1) ⇔ 2 ≥ 4x+y−1 + 3.42y−1 ≥ 2. 4x+y−1.3.42y−1 = 2. 3.4x+3y−2 ≥ 2. 3.4 log4 1 3 = 2. 4
x +y−1 + 3.42y−1 = 2 Do đó: x +y−1 4 = 3.42y−1 4 x+y−1 = 1 ⇔ 2y−1
3.4 =1 4 x +y−1 = 4 o ⇔ 2y−1 1 4 = 3 x + y − 1 = 0 ⇔
2y − 1 = log 1 4 3 x = 1 + 1 log 3 4 2 2 . ⇔ y = 1 − 1 log 3 4 2 2
Thí dụ 15. 1 1 1 1 ● Vậy hệ bất phương trình có nghiệm: (x; y) = + log4 3; − log 4 3
. 2 2 2 2 −(y+4) x2 −2x−3 −log3 5 5 =3 (1) Giải hệ bất phương trình: 2 4 y −
y − 1 + y + 3 ≤ 8 ( ) (2) Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 khối A năm 2000 Bài giải tham khảo −(y+ 4)
● Từ (1) ⇔ 5 =3 x2 −2x−3 −log3 5 − log3 5 ≥3 ⇔ − ( y + 4 ) ≥ −1 ⇔ y ≤ −3 = 5−1 (3) y ≤ −3
● Kết hợp với (2), (3), ta được: 2 −4y + y − 1 + (y + 3) ≤ 8 y ≤ −3 ⇔ ⇔ y = −3 .
−3 ≤ y ≤ 0 ● Thay y = −3 vào (1) ta được: (1) ⇔ 3 x2 −2x−3 −log3 5 ⇔ x 2 − 2x − 3 − log 3
5 = log 3 5−1 ⇔ x 2 − 2x − 3 = 0 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 225 - = 5−1
228. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn ⇔ x
2 − 2x − 3 = 0 x = −1 x = 3 ⇔ ∨ . y = −3 y = − 3 ● Vậy nghiệm của
hệ là S = Thí dụ 16. {(−1; −3); (3; −3)} . 2y−x + 2y = 2x +1 (1) 2 Giải hệ phương trình:
log x2 + 3y + 1 − log y = −2x2 + 4y − 1 (2) 5 5 Đề thi thử Đại học năm 2012 – đề số 4 – Thầy
Văn Phú Quốc – Đại học Quãng Nam ( ) Bài giải tham khảo ● Điều kiện: y > 0 . ● Chia hai vế (1) cho 2x
> 0, ta được: (1) ⇔ 22(y−x) + 2y−x = 2 t = 2 y − x > 0 ⇔ 2 t + t − 2 = 0 y −x
>0 t = 2 ⇔ t = −2 (L) ∨ t = 1 ⇔ 2y−x = 1 ⇔ y−x = 0 ⇔ y = x > 0. (2) ⇔ log5 (x2
+ 3x + 1) − log5 x = −2x2 + 4x − 1 x2 + 3x + 1 = −2 x2 − 2x + 1 + 1 x 2 1 ⇔ log5 x +
+ 3 = −2 (x − 1) + 1 (3) x Cauchy x + 1 ≥ 2 ⇔ x + 1 + 3 ≥ 5 ⇔ log x + 1 + 3
≥ 1 5 x x x ● Ta có: ∀x > 0 : 2 2 2 (x − 1) ≥ 0 ⇒ −2 (x − 1) ≤ 0
⇔ −2 (x − 1) + 1 ≤ 1 ● Từ (3), (4) ⇒ Dấu " = " trong các đánh giá (4) đồng thời xảy ra ⇔ x =
1 . ( ⇔ log5 ) ( 4) ● Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) = (1;1) . BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài tập 1.
Giải các hệ phương trình sau 2x − 2y = y − x a/ 2 . 2 2x + 4x − y = −3 3x = 2y + 1
b/ y . 3 = 2x + 1 ĐS: (x; y) = {(−1; −1), (−3; −3)} . ĐS: (x; y) = {(0; 0), (1;1)} .
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 226 -
229. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Bài tập 2. x 3 +
2x = y + 11 c/ y . 3 + 2y = x + 11 7 x−1 = 6y − 5 d/ y−1 . 7 = 6x − 5
2x + 2x = 3 + y e/ y . 2 + 2y = 3 + x x y x − y = e − e 2 Giải hệ phương
trình: log x + 3 log y = 2 . 2 1 2 ĐS: (x; y) = Bài tập 3. Bài tập 5. ĐS: (x; y) = (2;2) . ĐS: (x;
y) = {(1;1), (2;2)} . ĐS: (x; y) = (1;1) . {(2;2), (4; 4)} . x 2 − 21−y + log x = 0 2 Giải hệ
phương trình: . 1− y x (1 − y) + 5y + 1 = 0 Đề thi thử Đai học lần I năm 2013 – THPT
Đông Sơn I – Thanh Hóa ĐS: (x; y) = (2; −1), (3; −2) . { Bài tập 4. Ths. Lê Văn Đoàn } 1 2 8y2 +
x +1 2 = 3 2 y − x 2 −4 Giải hệ phương trình: . (x + y)2 3 7 2 + x+y = 2 2
4 1 ĐS: (x; y) = ; . 5 5 e x−1 − e y−1 = x − y Giải hệ phương trình:
log 3 + log 3 (xy − x − y + 1) = 5 (x−1) ( ) (x, y ∈ ») . Đề thi thử Đại học năm 2012 –
THPT chuyên Ngoại Ngữ – Đại học Sư Phạm Hà Nội ( ) ĐS: (x; y) = (4; 4), 1 + 4 3;1 + 4 3 . Bài tập 6.
Bài tập 7. 3 x − 3y = y − x 2y Giải hệ phương trình: 9 . =1 2 + x 2y2 + 9
3 2 3 2 − . ĐS: (x; y) = ;− 2 2 x
− y = ln (2 + x ) − ln (2 + y) Giải hệ phương trình: 2 . 2 2x − 6x + 4 = 3 x 3 + 8
ĐS: (x; y) = Bài tập 8. {(3 − )( )} 13; 3 − 13 , 3 + 13; 3 + 13 . x x 2 − 2 = 3y − 3 Giải hệ
phương trình: y . 3 − 2 = 3x − 2y www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 227 -
230. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn
Olympic 30 – 04 – 2008 ĐS: (x; y) = Bài tập 9. Bài tập 10. {(0; 0), (1;1)} . log x + 3 = 1 + log y
3 Giải hệ phương trình: 2 . log y + 3 = 1 + log x 2 3 ĐS: (x; y ) = (1;1) . y x e − e
= x − y Giải hệ phương trình: . log x + log 4y 3 = 10 2 2 2 HSG tỉnh Hưng Yên – Khối
12 – năm học 2007 – 2008 Bài tập 11. 2 2 x − y + 5x − 3y + 4 = 0 Giải hệ phương trình: .
log12 (x − 1) + log12 (y − 3) = 1 Đề thi thử Đại học năm 2013 – THPT Dương Đình Nghệ –
Thanh Hóa ĐS: (x; y ) = (5;6) . Bài tập 12. Bài tập 13. Bài tập 14. Bài tập 15. Bài tập 16. x 3 − 3x 2 =
y3 − 3y − 2 Giải hệ phương trình: 3 . logy x − 2 + logx y − 1 = (x − 3) y −1 x −2
Đề thi thử Đại học năm 2010 – Đợt 2 – TTBDVH Thăng Long – Tp. HCM ĐS: (x; y ) = (3;2) . 2x−y
51−2x+y = 1 + 22x−y+1 1+ 4 Giải hệ phương trình: 3 . y + 4x + 1 + ln y2 + 2x = 0
HSG tỉnh Tiền Giang năm 2011 – 2011 (ngày thứ hai: 26/10/2011) ĐS: (x; y ) = (0; −1) . ( ) ( )
(2014x + 2014y) x − y = x − 1 Giải hệ phương trình: . 2 + 32x−y .51−2x +y = 1 + 22x−y+1
ĐS: (x; y ) = (1;1) . ( ( ) ) x−y sin x e = sin y Giải hệ phương trình: . 1 +
1 − x2 = x 1 + 2 1 − y2 1 1 ĐS: (x; y) = ; ,
(1;1) . 2 2 2014 y−x = x + 9999 y + 9999 Giải hệ phương
trình: . y 4x2 + 1 + (y − 3) 5 − 2x = 0 21 − 1 21 − 1 . ; ĐS: (x; y) =
4 4 ( ) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 228 -
231. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Bài tập 17. Bài tập 18.
Bài tập 19. 3x log2014 = 3y − x y Giải hệ phương trình: .
3x 2 + y2 + 3 + 4y + 2 x2 + x + 1 + 1 = 0 3 1 1 ĐS:
(x; y ) = − ; − . 5 15 (x − y) x 2 + xy + y2 − 2 + 22 log4 x3 −8 = 6 ln y + 33
log27 Giải hệ phương trình: x 3 y − 15x 2 + 78y − 141 = 5 3 2y − 9 11 ± 5 11 ±
5 . ĐS: (x; y) = (4; 4), ; 2 2 7 y −
7 x = x − y x 2 + y2 + xy + x 3 − y 3 ( ) Giải hệ phương trình: . (x + 3) −y2 − 8x + 48 = y
− 24 ( Bài tập 21. {(−2 − 2 Bài tập 24. ) ) y3 −8 . ) )} )( 7; − 2 − 2 7 , −5 − 31; − 5 − 31 .
1 + 2014 x y = 1 + 2014 y x Giải hệ phương trình: . 2014 x−1 = y − 1 + y2 − 2y + 2
ĐS: (x; y ) = (1;1) . ( ) ( ) x2 + y2 + x + y = 18 Giải hệ phương trình: . log2 x. log 3 y = 1
ĐS: (x; y) = (2; 3), (3;2) . } 1 + 4 x−y .51−x +y = 1 + 3x−y+2 Giải hệ phương trình: .
2 x − 3y y − 1 = 1 − 2y x ( ĐS: x = y = Bài tập 23. ( ( { Bài tập 22. ) ( ĐS: (x; y) = Bài
tập 20. Ths. Lê Văn Đoàn ) 1± 5 ∨ x = y=2± 5. 2 log (2x − 1) − log (x − y) = 4x2 + 4x + 2 − 3
Giải: 3 log −2y − 2 + 4x2 − 4x2 + 1 = 1 − 2 3( ) 1 3 ĐS: (x; y ) = ; − .
2 2 2 (x − y) 2 (x − y) x 2 + xy + y2 − 2 = 6 ln y + y + 9
x + x2 + 9 . Giải hệ phương trình: 3 2 x − 2x + 1 = y ( ) π
π 3π 3π 5π 5π ĐS: (x; y) = 2 cos ;2 cos , 2 cos ;2 cos , 2 cos ;2
cos . 7 7 7 7 7 7
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 229 - 2 + 1 + (x − y) − 4x (x + 1) .
232. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn E –
BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ TRONG PT – BPT – HPT MŨ & LOGARIT I – KIẾN THỨC CƠ BẢN
Phương pháp giải bài toán có tham số thường ứng dụng kiến thức của tam thức bậc hai (rất ít) hoặc ứng
dụng của đạo hàm (phổ biến) sau khi chuyển về phương trình – bất phương trình đại số. Ứng dụng tam
thức bậc hai Xét tam thức bậc hai: f (x ) = ax 2 + bx + c, (a ≠ 0), ∆ = b2 − 4ac . S = x + x = − b
1 2 a. Gọi S, P là tổng và tích của hai nghiệm x1, x2 . Hệ thức Viét: c P = x x = 1 2 a
Điều kiện f (x ) = 0 có hai nghiệm trái dấu ⇔ P < 0 . ∆ > 0 Điều kiện f (x ) = 0 có hai
nghiệm phân biệt cùng dấu ⇔ . P > 0 ∆ > 0 Điều kiện f (x ) = 0 có hai nghiệm
phân biệt dương ⇔ S > 0 . P > 0 ∆ > 0 Điều kiện f (x ) = 0 có hai nghiệm
phân biệt âm ⇔ S < 0 . P > 0 Khi so sánh hai nghiệm với số α ≠ 0, ta thường đặt t =
x − α để chuyển về so sánh với số 0, cụ thể như sau: x > α ⇔ x1 − α > 0 ⇔ x1 +
x2 − 2α > 0 + x 2 > x1 > α ⇔ 1 . x 2 > α x 2 − α > 0 (x1 − α )(x2 − α ) > 0
x + x − 2α < 0 x < α x − α < 0 1 2 + x1 < x 2 < α ⇔ 1 ⇔ 1 ⇔ . x
2 < α x 2 − α < 0 (x1 − α )(x2 − α ) > 0 + x1 < α < x 2 ⇔ (x1 − α )(x 2 − α ) < 0
. Dấu của f (x ) : ∆ < 0 ∆ ≤ 0 f (x ) > 0, ∀x ∈ » ⇔ . + f (x ) ≥ 0, ∀x ∈ » ⇔ .
a > 0 a > 0 ∆ < 0 ∆ ≤ 0 + f (x ) < 0, ∀x ∈ » ⇔ . + f (x ) ≤ 0, ∀x ∈ » ⇔ .
a < 0 a < 0 Ứng dụng của đạo hàm Bài toán 1. Tìm m để phương trình f ( x; m ) = 0
có nghiệm trên D ? + Bước 1. Độc lập (tách) m ra khỏi biến số x và đưa về dạng f (x ) = A (m ) .
Bước 2. Lập bảng biến thiên của hàm số f (x ) trên D. Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên xác định giá
trị của tham số m để đường thẳng y = A (m ) nằm ngang cắt đồ thị hàm số y = f (x ) .
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 230 -
233. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
Bước 4. Kết luận những giá trị cần tìm của m để phương trình f (x ) = A (m ) có nghiệm trên D. Lưu ý:
Nếu hàm số y = f (x ) có GTLN và GTNN trên D thì giá trị m cần tìm là những m thỏa mãn: min f (x )
≤ A (m) ≤ max f (x ) . D D Nếu bài toán yêu cầu tìm tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân
biệt, ta chỉ cần dựa vào bảng biến thiên để xác định sao cho đường thẳng y = A (m ) nằm ngang cắt đồ
thị hàm số y = f (x ) tại k điểm phân biệt. Bài toán 2. Tìm m để bất phương trình f ( x; m ) ≥ 0 hoặc f (x;
m ) ≤ 0 có nghiệm trên D ? Bước 1. Độc lập (tách) m ra khỏi biến số x và đưa về dạng f (x ) ≥ A (m )
hoặc f (x ) ≤ A (m ) . Bước 2. Lập bảng biến thiên của hàm số f (x ) trên D. Bước 3. Dựa vào bảng
biến thiên xác định giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm: + Với bất phương trình f (x ) ≥
A (m ) đó là những m sao cho tồn tại phần đồ thị nằm trên đường thẳng y = A (m ), tức là A (m) ≤ max
f (x ) D (khi max f (x) ∃) D . Với bất phương trình f (x ) ≤ A (m ) đó là những m sao cho tồn tại phần
đồ thị + nằm dưới đường thẳng y = A (m ), tức là A (m ) ≥ min f (x ) D (khi min f (x) ∃) . D Bài toán 3.
Tìm tham số m để bất phương trình f (x ) ≥ A (m ) hoặc f (x ) ≤ A (m ) nghiệm đúng ∀x ∈ D ? Bất
phương trình f (x ) ≥ A (m ) nghiệm đúng ∀x ∈ D ⇔ min f (x ) ≥ A (m) . D Bất phương trình f (x )
≤ A (m ) nghiệm đúng ∀x ∈ D ⇔ max f (x ) ≤ A (m) . D Lưu ý: Khi đổi biến, cần quan tâm đến điều
kiện của biến mới. Ngoài những phương pháp trên, ta còn sử dụng điều kiện cần và điều kiện đủ để giải
quyết bài toán chứa tham số. Dựa vào đặc điểm hoặc tính chất đặc thù của đề bài mà ta tìm ra được điều
kiện cần của bài toán. Sau đó, kiểm tra lại bằng điều kiện đủ. Phương pháp này đòi hỏi các bạn phải có
trực quan tốt và một kinh nghiệm phong phú. II – CÁC THÍ DỤ Các thí dụ về phương trình mũ – bất
phương trình mũ chứa tham số Thí dụ 1. x ( Tìm m để phương trình: 2 + 3 x ) + (2 − 3 ) =m (∗) có hai
nghiệm ? Đại học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh năm 1996 Bài giải tham khảo ( (∗) ⇔ 2 + 3 x ) ( + 2− 3 x
) =m www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 231 -
234. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit x t = 2 + 3 > 0
⇔ (1) t + 1 = m t Cách 1. Sử dụng phương pháp hàm số 1 ● Xét hàm số f (t) = t +
trên (0;+∞) . t 2 1 t −1 f ' (t) = 1 − 2 = . Cho f ' (t) = 0 ⇔ t = ±1 . t t Bảng biến thiên: 0 1 t −∞ −1 (
Ths. Lê Văn Đoàn ) + f ' (t) − 0 − f (t) 0 +∞ + 2 ● Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có hai nghiệm
m > 2 . ● Vậy m ∈ (2; +∞) thỏa yêu cầu bài toán. Cách giải 2. Sử dụng tam thức bậc hai t > 0 ⇔
2 t − mt + 1 = 0 ∆ = m2 − 4 > 0 ⇔ S = m > 0 m < −2 ∨ m > 2
⇔ ⇔ m > 2. m > 0 ● Vậy m ∈ (2; +∞) thỏa yêu cầu bài toán. Thí dụ 2. Tìm giá trị m để
phương trình: log 1 (m + 6x ) + log2 (3 − 2x − x 2 ) = 0 (∗) có nghiệm 2 duy nhất ? Đề thi thử Đại học
năm 2011 lần V – THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội Bài giải tham khảo (∗) ⇔ log (m + 6x) = log (3 − 2x
− x ) 2 2 2 2 3 − 2x − x > 0 ⇔ m + 6x = 3 − 2x − x2 −3 < x < 1 ⇔ . m
= −x 2 − 8x + 3 ● Yêu cầu bài toán ⇔ tìm tham số m để phương trình f (x ) = −x 2 − 8x + 3 =
m có nghiệm duy nhất x ∈ (−3;1) . ● Xét hàm số f (x ) = −x 2 − 8x + 3 trên khoảng (−3;1) . f ' (x ) =
−2x − 8 . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 232 -
235. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn f ' (x
) = 0 ⇔ −2x − 8 = 0 ⇔ x = −4 . Bảng biến thiên −∞ x f ' (x ) −4 + 0 −3 1 − +∞ − 18 f (x ) −6 ● Thí
dụ 3. Dựa vào bảng biến thiên ⇒ m ∈ (−6;18) thỏa yêu cầu bài toán. ( ) Tìm giá trị của m để cho
phương trình x − m.3x .2 (1+x)(2−x) =0 (∗) có nghiệm ? Bài giải tham khảo ● Điều kiện: −1 ≤ x ≤ 2 .
(∗) ⇔ x − m.3x = 0 ⇔m= ● x = g (x) 3x Xét hàm số f (x) = x trên đoạn −1;2 . 3x 1 −
x.ln 3 1 ∈ −1;2 . . Cho f ' (x ) = 0 ⇔ x = x ln 3 3 Bảng biến thiên t 1 −1 −∞ ln 3 f ' (x) = 0
+ f ' (t) 2 +∞ − 1 e. ln 3 f (t) 2 9 −3 1 Để phương trình có nghiệm thì: m ∈ −3; . e.ln 3
Tìm m để phương trình (m + 3)16x + (2m − 1) 4 x + m + 1 = 0 ● Thí dụ 4. (∗) có hai nghiệm trái
dấu ? Đại học Ngoại Ngữ Hà Nội – Hệ chưa phân ban năm 2000 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D =
» . ● Đặt t = 4 x > 0 . (∗) ⇔ f (t) = (m + 3) t2 + (2m − 1) t + m + 1 = 0 ● Gọi x1, x2 là hai nghiệm của
(∗) và t1, t2 (∗ ∗) là hai nghiệm của (∗ ∗) ● Để (∗) có hai nghiệm trái dấu ⇔ x1 < 0 < x2
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 233 -
236. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit x ⇔ 0 < 4 1 <1< 4 ⇔
0 < t1 < 1 < t2 Ths. Lê Văn Đoàn x2 (m + 3).f (1) < 0 ⇔ (m + 3)(m + 1).f (0) > 0
(m + 3)(4m + 3) < 0 ⇔ (m + 3)(m + 1) > 0 3 ⇔ −1 < m < − . 4 3 ● Vậy m
∈ −1; − thỏa yêu cầu bài toán. 4 Thí dụ 5. Tìm giá trị của tham số m để bất phương
trình: 9 x − 2 (m + 1).3 x − 2m − 3 > 0 (∗) luôn có nghiệm đúng với mọi x ? Đại học Mỏ – Địa Chất
năm 1998 Bài giải tham khảo 2 (∗) ⇔ (3 ) x − 2 (m + 1).3x − 2 (m + 1) − 1 > 0 2 ⇔ 3x − 1
− 2 (m + 1) 3x + 1 > 0 ⇔ (3 x − 1)(3x + 1) − 2 (m + 1)(3x + 1) > 0 ( ) ( ( )( ) ) ⇔ 3x + 1 3x
− 2m − 3 > 0 ⇔ 3 x − 2m − 3 > 0 ⇔ 3x > 2m − 3 (∗ ∗) ● Để (∗) đúng ∀x ∈ » thì (∗ ∗) cũng đúng
∀x ∈ » ( ) ⇔ 2m − 3 < 0 do 3x > 0 ⇔ m ≤ 3 . 2 3 thỏa yêu cầu bài toán. 2 Tìm m để 9x − 5m.6x +
3m.4 x > 0 (∗) nghiệm đúng với mọi giá trị của x ? ● Vậy m ≤ Thí dụ 6. Đại học Dân Lập Văn Lang
năm 1998 Bài giải tham khảo x 3 ● Đặt t = > 0 . 2 (∗) ⇔ t 2 − 5m.t + 3m >
0, ∀t > 0 ⇔ t2 > m (5t − 3), ∀t > 0 ⇔m< 3 3 t2 = f (t), ∀t ∈ 0; ∪ ; +∞ .
5 5 5t − 3 3 3 t2 ● Xét hàm số f (t) = trên 0; ∪ ; +∞ .
5 5 5t − 3 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 234 -
237. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit 5t2 − 6t Ta có : f ' (t) = 2 (5t − 3)
www.MATHVN.com . Cho f ' (t) = 0 ⇔ t = 0 ∨ t = Ths. Lê Văn Đoàn 6 . 5 Bảng biến thiên t 3 5 0 −∞
0 + f ' (t) 6 5 − 0 − 0 +∞ + +∞ +∞ f (t) 12 25 −∞ 12 . 25 Xác định m để bất phương trình: 4 x − m.2x +
m + 3 ≤ 0 (∗) có nghiệm ? ● Dựa vào bảng biến thiên, giá trị m cần tìm là: 0 < m < Thí dụ 7. Đại học Y
Dược Tp. Hồ Chí Minh năm 1999 Bài giải tham khảo ● Đặt t = 2x > 0 . (∗) ⇔ t2 − mt + m + 3 ≤ 0, ∀t
∈ (0; +∞) ⇔ t2 + 3 ≤ m (t − 1), ∀t ∈ (0; +∞) t2 + 3 = f (t), ∀ t ∈ (0; +∞) {1} . t −1 t2 + 3 ● Xét
hàm số f (t) = trên (0; +∞) {1} t −1 t2 − 2t − 3 f ' (t) = , ∀ t ∈ (0; +∞) {1} . 2 (t − 1) ⇔m≥ Cho f ' (t)
= 0 ⇔ t = −1 ∨ t = 3 . Bảng biến thiên −∞ −1 0 + f ' (t) 0 t 1 − − −3 f (t) Thí dụ 8. 3 − 0 +∞ +∞ + +∞
6 −∞ ● Dựa vào bảng biến thiên, để bất phương trình có nghiệm: m < −3 ∨ m ≥ 6 . Tìm tất cả các giá trị
của m để bất phương trình sau có nghiệm đúng ∀x > 0 : (3m + 1).12x + (2 − m ) 6x + 3x < 0 (∗) ?
Học Viện Công Nghệ Bưu Chính Viễn Thông năm 1999 Bài giải tham khảo (∗) ⇔ (3m + 1).4 x + (2 −
m ) 2 x + 1 < 0 (1) x ● Đặt t = 2 . Do x > 0 ⇒ t > 1 . Lúc đó : (1) ⇔ (3m + 1).t2 + (2 − m).t + 1 < 0,
∀t > 1 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 235 -
238. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit ( www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn )
⇔ 3t2 − t m < −t2 − 2t − 1, ∀t ∈ (1; +∞) −t2 − 2t − 1 = f (t), ∀t ∈ (1; +∞) . 3t2 − t −t2 − 2t − 1 ●
Xét hàm số: f (t) = trên khoảng (1;+∞) . 3t2 − t 7t2 + 6t − 1 f ' (t) = > 0, ∀t ∈ (1; +∞) . 2 2 (3t − t)
⇔m< Bảng biến thiên −∞ t 1 +∞ + f ' (t) − f (t) 1 3 −2 Thí dụ 9. ● Dựa vào bảng biến thiên, ta được: m
< −2 thỏa yêu cầu bài toán. 2 Tìm tham số m để (x − 61−x ) (m − 1).6x − x + 2m + 1 ≥ 0, ∀x
∈ 0;1 ? 6 Đại học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh khối A – đợt 1 năm 2000 Bài giải
tham khảo ● Với m = 1 thì bất phương trình thỏa mãn không phụ thuộc m, nên ta chỉ cần tìm m để bất
phương trình thỏa ∀x ∈ 0;1) . 1−x ● Đặt g (x ) = x − 6 . Lúc đó cần tìm m để g (x ).f (x ) ≥ 0,
∀x ∈ 0;1) . x 1 ● Xét hàm số g (x ) = x − 61−x = x − 6. trên 0;1) . 6
x 1 1 g ' (x ) = 1 − 6. ln > 0, ∀x ∈ 0;1) ⇒ Hàm số g (x ) đồng biến trên
0;1) . 6 6 ⇒ ∀x ∈ 0;1) : x < 1 ⇒ g (x ) < g (1) ⇔ g (x ) < 0 . 2 ● Do đó, ta chỉ
cần tìm f (x) = (m − 1).6x − x + 2m + 1 ≤ 0 (∗), ∀x ∈ 0;1) . 6 x ● Đặt t = 6 . Do x ∈ 0;1)
⇒ t ∈ 1; 6) . (∗) ⇔ (m − 1).t − 2 + 2m + 1 ≤ 0, ∀t ∈ 1;6) t ⇔ mt + 2m − t − ⇔m≤ 2
+ 1 ≤ 0, ∀t ∈ 1;6) t t2 − t + 2 = h (t), ∀t ∈ 1;6) . t2 + 2t ● Xét hàm số h (t) = t2 − t + 2
trên 1; 6) . t2 + 2t www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 236 -
239. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit h ' (t) = 3t2 − 4t − 4 (t
2 Cho h ' (t) = ) + 2t , ∀t ∈ 1;6) . 3t2 − 4t − 4 (t 2 Ths. Lê Văn Đoàn ) + 2t t = 2 . =0⇔
t = − 2 3 Bảng biến thiên t − −∞ 1 2 3 2 − 0 h ' (t) 6 0 + 2 3 h ( t) +∞ 2 3 1 2 1 thỏa yêu cầu bài
toán. 2 Tìm tất cả các giá trị của tham số a sao cho bất phương trình sau được nghiệm đúng ● Dựa vào
bảng biến thiên, ta được m ≤ Thí dụ 10. ( ∀x ≤ 0 : a.2x +1 + (2a + 1). 3 − 5 x x ) + (3 + 5 ) <0 (∗) Học
Viện Công Nghệ Bưu Chính Viễn Thông năm 2001 Bài giải tham khảo (∗) ⇔ (2a + 1).(3 − x 5 x ) ( +
3+ 5 x ) + 2a.2x < 0 x 3 − 5 + 3 + 5 + 2a < 0 ⇔ (2a + 1).
2 2 (1) x x 3 − 5 3 + 5 = 1 ⇔
3 − 5 3 + 5 = 1x = 1 . Do đó, khi đặt ● Nhận xét: 2
2 2 2 x x 3 + 5 ⇒ 3 − 5 = 1 . Do x ≤
0 ⇒ 0 < t ≤ 1 . t= 2 2 t (1) ⇔ (2a + 1). 1 + t + 2a < 0,
∀t ∈ (0;1 t ⇔ t + 2at + 2a + 1 < 0, ∀t ∈ (0;1 ⇔ 2a (t + 1) < −t − 1, ∀t ∈ (0;1 2 2
−t2 − 1 = f (t), ∀t ∈ (0;1 (2) t +1 −t2 − 1 ● Xét hàm số f (t) = trên nửa khoảng đoạn (0;1 .
t +1 ⇔ 2a < f ' (t) = −t2 − 2t + 1 2 (t + 1) . Cho f ' (t) = 0 ⇔ t = 2 − 1 ∨ t = − 2 − 1 . Bảng xét dấu
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 237 -
240. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit t 2 −1 0 − f ' (t) 0 − 2
−1 −∞ Ths. Lê Văn Đoàn 1 0 + +∞ − 2−2 2 f (t) −1 −1 ● Dựa vào bảng biến thiên và (2) ⇒ 2a ≤ −1 ⇔
a ≤ − 1 thỏa yêu cầu bài toán. 2 Các thí dụ về phương trình logarit – bất phương trình logarit chứa tham
số Thí dụ 11. 2 Tìm m để phương trình: (m − 1).log2 (x − 2) + 4 (m − 5) log 1 1 2 2 1 + 4m − 4 = 0
(∗) x −2 5 có nghiệm thực trong đoạn ; 4 ? 2 Bài giải tham khảo 2 −1 (∗) ⇔
(m − 1). 2 log 1 (x − 2) + 4 (m − 5) log 1 (x − 2) + 4m − 4 = 0 2 2 2 ⇔ (m − 1).log 1
(x − 2) − (m − 5) log 1 (x − 2) + m − 1 = 0 (1) 2 ● 2 Đặt t = log 1 (x − 2) . 2 Do 5 1 ≤ x ≤ 4 ⇔ ≤ x −
2 ≤ 2 ⇔ 1 ≥ log 1 (x − 2) ≥ −1 ⇒ t ∈ −1;1 . 2 2 2 (1) ⇔ (m − 1).t 2 ⇔m= ● − (m − 5) t
+ m − 1 = 0 t2 − 5t + 1 = f (t) t2 − t + 1 t2 − 5t + 1 trên đoạn −1;1 . t2 − t + 1 Xét hàm số
f (t) = f ' ( t) = 4t2 − 4 ( 2 ) t2 − t + 1 . Cho f ' (t) = 0 ⇔ 4t2 − 4 = 0 ⇔ t = −1 ∨ t = 1 . Bảng biến
thiên −∞ t f ' (t) f ( t) ● −1 + 1 − 0 0 7 3 −3 7 Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm
thực khi m ∈ −3; . 3 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 238 - +∞ +
241. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Thí dụ 12. Ths. Lê Văn
Đoàn Tìm m để phương trình: log2 x + log2 x + 1 − 2m − 1 = 0 có nghiệm thuộc 1; 3 3 . 3 3
Đại học khối A năm 2002 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x > 0 . ● Đặt t = log2 x + 1 ≥ 1 ⇒ t2 = log2
x + 1 ⇔ log2 x = t2 − 1 . 3 3 3 ● Ta có: 1 ≤ x ≤ 3 ● Lúc đó, yêu cầu bài toán ⇔ tìm tham số m để
phương trình: t2 + t − 2 = 2m có nghiệm t ∈ 1;2 . Xét hàm số f (t) = t2 + t − 2 trên
1;2 . ● 3 ⇔ 1 ≤ log2 x + 1 ≤ 2 hay t ∈ 1;2 . 3 Ta có: f ' (t) = 2t + 1 > 0, ∀t ∈
1;2 ⇒ hàm số f (t) đồng biến trên 1;2 . Phương trình có nghiệm ⇔ f (1) ≤ 2m
≤ f (2) ⇔ 0 ≤ m ≤ 2 . ● Thí dụ 13. Vậy m ∈ 0;2 thỏa yêu cầu bài toán. Xác định a để bất
phương trình log2 x + a > log2 x (∗) có nghiệm ? Đại học Tây Nguyên khối A, B năm 2000 Bài giải
tham khảo ● Đặt t = log2 x . (∗) ⇔ (1) t+a > t t ≥ 0 t < 0 ⇔ ∨ t + a ≥ 0 t + a >
t2 t ≥ 0 t < 0 ⇔ 2) ∨ 2 ( (3 ) t − t − a < 0 t ≥ −a ● Để
bất phương trình (∗) có nghiệm ⇔ (1) có nghiệm ⇔ (2) hoặc (3) có nghiệm. t ≥ 0 ● Xét hệ
phương trình (3) : 2 t − t − a < 0 2 Ta có: (3 ') ⇔ f (t) = t − t < a . (3 ' ) Xét hàm số f (
t) = t2 − t trên 0; +∞) . 1 f ' (t) = 2t − 1 . Cho f ' (t) = 0 ⇔ t = . 2 Bảng biến thiên t −∞ 1 2 0 0 −
f ' (t) 0 f (t) +∞ + +∞ − 1 4 1 ● Dựa vào bảng biến thiên, để bất phương trình có nghiệm thì a > − . 4
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 239 -
242. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Thí dụ 14. ( Tìm m để
bất phương trình: x x + x + 12 ≤ m.log2 2 + 4 − x Ths. Lê Văn Đoàn ) (∗) có nghiệm ? Đại học Nông
Lâm Tp. Hồ Chí Minh năm 2001 Bài giải tham khảo x ≥ 0 ● Điều kiện: 4 − x ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤
4 ⇒ Tập xác định: D = 0; 4 . x + 12 ≥ 0 ● Ta có: ∀x ∈ 0; 4 thì log2
2 + 4 − x ≥ log2 2 = 1 > 0 . ( ● Lúc đó: (∗) ⇔ ) x x + x + 12 ( log2 2 + 4 − x ) ≤ m. f x = x x +
x + 12 : ( ) đạt min là 0; 4 thì ● Mặt khác: ∀x ∈ g (x ) = log 2 + 4 − x : 2
đạt max là ( f (x ) ● Do đó: đạt min là g (x ) f (0) g (0) . ) . = 3 ⇒ (1) có nghiệm khi và chỉ khi m ≥
3 . ● Vậy m ≥ 3 là giá trị cần tìm. Thí dụ 15. ( ) Tìm m để bất phương trình được nghiệm đúng ∀x :
logm x 2 − 2x + m + 1 > 0 (∗) ? Đại học Đà Nẵng khối A đợt 2 năm 2001 Bài giải tham khảo (∗) ⇔ log
(x m Thí dụ 16. 2 ) − 2x + m + 1 > log m 1 0 < m < 1 m > 1 ⇔ 2 ∨ 2 x − 2x + m
+ 1 < 1 x − 2x + m + 1 > 1 0 < m < 1 m > 1 ⇔ 2 ∨ 2 x − 2x +
m < 0 x − 2x + m > 0 0 < m < 1 m > 1 a = 1 < 0 (Sai) ∨ a = 1 >
0 ⇔ ∆ ' < 0 ∆ ' = 1 − m < 0 ⇔ m > 1. ● Vậy bất phương trình có
nghiệm đúng ∀x ⇔ m > 1 . Tìm a ∈ » để bất phương trình: 2 log 1 a − 3 + 2x log 1 a − x 2 < 0 2 2 với
mọi giá trị x ∈ » ? Bài giải tham khảo ● Điều kiện: a > 0 . ● Đặt t = 2 log 1 a . Khi đó : 2 t − 3 + xt − x
2 < 0 ∗) ⇔ , ∀x ∈ » ( t = −2 log2 a www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 240 - (∗)
được thỏa mãn
243. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn x 2
− t.x + 3 − t > 0 ⇔ , ∀x ∈ » t = −2 log2 a a = 1 > 0 ⇔ ∆ = t2 + 4t −
12 < 0 t = −2 log a 2 −6 < t < 2 ⇔ t = −2 log2 a ⇔ −6 < −2 log2 a < 2 .
⇔ −1 < log2 a < 3 1 < a < 8 (thỏa điều kiện a > 0 ). 2 ● Thỏa yêu cầu bài toán thì a ∈ {1;2; 3; 4;5; 6;7}
. ⇔ Thí dụ 17. Tìm m để ∀x ∈ 0;2 đều thỏa mãn bất phương trình: ( ) (∗) log2 x 2 − 2x
+ m + 4 log 4 x 2 − 2x + m ≤ 5 Đại học Sư Phạm Hà Nội khối A năm 2000 Bài giải tham khảo ● Điều
kiện: x 2 − 2x + m > 0 . ● Đặt t = log 4 (x 2 − 2x + m) ≥ 0 . t = log x 2 − 2x + m ≥ 0 4 ∗) ⇔
( 2 t + 4t − 5 ≤ 0 ( ) t = log x2 − 2x + m ≥ 0 4 ⇔ −5 ≤ t ≤ 1 ( ) ( ) ⇔
0 ≤ log 4 x 2 − 2x + m ≤ 1 x2 − 2x + m ≥ 1 ⇔ 2 x − 2x + m ≤ 4 x 2 − 2x ≥ 1 − m
⇔ 2 x − 2x ≤ 4 − m (∗ ∗) ● Xét hàm số f (x ) = x 2 − 2x, ∀x ∈ 0;2 . f
' (x ) = 2x − 2 . Cho f ' (x ) = 0 ⇔ x = 1 . Bảng biến thiên x −∞ 0 1 − f ' (x ) 0 0 2 + 0 −1 f (x)
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 241 - +∞
244. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn 1 −
m ≤ −1 ● Dựa vào bảng biến thiên và (∗ ∗) ⇒ 4 − m ≥ 0 m ≥ 2 ⇔ ⇔ 2 ≤ m ≤ 4.
m ≤ 4 ● Vậy m ∈ 2; 4 thỏa yêu cầu bài toán. Thí dụ 18. Cho phương trình: 2 log4
(2x 2 − x + 2m − 4m 2 ) + log 1 (x 2 + mx − 2m2 ) = 0 (∗) . 2 2 2 Xác định tham số m để phương
trình (∗) có hai nghiệm x1, x 2 thỏa: x1 + x 2 > 1 ? Đại học Y Dược Tp. Hồ Chí Minh năm 2001 Bài giải
tham khảo (∗) ⇔ log (2x 2 2 ) ( − x + 2m − 4m2 = log2 x 2 + mx − 2m2 ) x2 + mx − 2m2 > 0
⇔ 2 2x − x + 2m − 4m2 = x 2 + mx − 2m2 x 2 + mx − 2m 2 > 0 . ⇔ x = 2m
∨ x = 1 − m 2 2 ● Để (∗) có hai nghiệm x1, x 2 thỏa : x1 + x 2 > 1 x = 2m, x = 1 − m 1 2
2 x + x 2 > 1 2 ⇔ 1 2 x1 + mx1 − 2m2 > 0 2 x + mx − 2m2 > 0 2 2
4m2 > 0 ⇔ −2m2 − m + 1 > 0 2 5m − 2m > 0 m ≠ 0 1 ⇔
−1 < m < 2 m < 0 ∨ m > 2 5 2 1 ⇔ −1 < m < 0 ∨ <m< . 5 2 2 1 ●
Vậy m ∈ (−1; 0) ∪ ; thỏa yêu cầu bài toán. 5 2 Thí dụ 19. ( ) ( Tìm x để: log2 a 2 x 2
− 5ax + 3 + 5 − x = log2+a2 5 − x − 1 ) (∗) luôn đúng ∀a ∈ » ? Đại học Y Hải Phòng – Hệ chuyên ban
năm 2000 Bài giải tham khảo ● Điều kiện cần: Nếu hệ thức đúng ∀a thì phải đúng với a = 0 .
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 242 -
245. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit (∗) ⇔ log 2 (3 + ) www.MATHVN.com ( 5
− x = log2 5 − x − 1 Ths. Lê Văn Đoàn ) ⇔ 3 + 5 − x = 5 − x −1 ⇔ 5 − x + x −1 = 2 ⇔ 4 + 2 (5 − x
)(x − 1) = 4 ⇔ x = 5 ∨ x = 1. ● Điều kiện đủ: Khi x = 1 thì (∗) ⇔ log2 (a2 − 5a − 5) = log2+a2 5 .
Hiển nhiên không thỏa mãn với: 5− 5 5+ 5 <a< 2 2 (1) Khi x = 5 thì (∗) ⇔ log (25a 2 2 ) − 25a + 3 =
log2+a2 3 . 5 − 13 5 + 13 <a< 10 10 ● Từ (1), (2) ⇒ không có giá trị x thỏa yêu cầu bài toán. (2) Hiển
nhiên không thỏa mãn với Thí dụ 20. ( ) ( Cho bất phương trình: 1 + log5 x2 + 1 ≥ log5 mx 2 + 4x + m )
(∗) . Hãy tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình được nghiệm đúng với mọi x ? Đại
học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh khối D năm 1997 Bài giải tham khảo (∗) ⇔ log 5 (x 5 2 + 1
≥ log5 mx 2 + 4x + m ) ( ) 5 x2 + 1 ≥ mx 2 + 4x + m ⇔ 2 mx + 4x + m > 0
5x2 − 4x + 5 ≥ m (x2 + 1) ⇔ m (x 2 + 1) > −4x 2 f (x ) = 5x − 4x + 5 ≥ m
(1) x2 + 1 ⇔ g x = − 4x < m ( ) (2) (x2 + 1) 5x 2 − 4x + 5 ● Xét hàm số f
(x ) = trên » . x2 + 1 ( ) Ta có : f ' (x ) = 4x2 − 4 (x 2 Bảng biến thiên −∞ x f ' (x ) 2 ) +1 . Cho f ' (x )
= 0 ⇔ x = 1 ∨ x = −1 . −1 + 0 1 − 0 14 f (x) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 243 - 3 +∞ +
246. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Dựa vào bảng biến thiên
và (1) ta được : m ≤ min f (x ) = 3 Ths. Lê Văn Đoàn (3 ) » ● Xét hàm số g (x ) = Ta có: g ' (x ) = −4x
(x ) 2 +1 4x2 − 4 ( 2 ) x2 + 1 Bảng biến thiên −∞ x trên » . . Cho g ' (x ) = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = 1 . −1 0
+ g ' (x ) 1 0 − +∞ + 2 g (x ) 1 Dựa vào bảng biến thiên và (2) ta được: m > max g (x ) = 2 (4 ) . » ● Từ
(3), (4) ta được: m ∈ (2; 3 thỏa yêu cầu bài toán. Thí dụ 21. ( ) Tìm m để bất phương trình: log 1
x2 − 2x + m > −3 (∗) có nghiệm ? 2 Bài giải tham khảo −3 (∗) ⇔ log ( 1 2 1 x − 2x + m > log 1
2 2 ) 2 x 2 − 2x + m < 8 ⇔ 2 x − 2x + m > 0 f (x ) = −x2 +
2x + 8 < m (1) ⇔ g (x ) = −x 2 + 2x > m (2) ● Xét hàm số f (x ) = −x 2 + 2x + 8 trên
» . f ' (x ) = −2x + 2. Cho f ' (x ) = 0 ⇔ x = 1 . O Bảng biến thiên −∞ x 1 + f ' (x ) 0 +∞ − 9 f (x) −∞
+∞ Dựa vào bảng biến thiên và (1) ta được : m < max f (x ) = 9 ● Xét hàm số g (x) = −x2 + 2x trên » .
g ' (x ) = −2x + 2. Cho g ' (x ) = 0 ⇔ x = 1 . Bảng biến thiên −∞ x 1 +∞ www.DeThiThuDaiHoc.com
Page - 244 - (3)
247. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit 0 + g ' (x) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn
Đoàn − 1 g (x ) −∞ +∞ Dựa vào bảng biến thiên và (2) ta được m < max g (x ) = 1 (4 ) . ● Vậy m < 9
thì bất phương trình có nghiệm. Các thí dụ về hệ (bất) phương trình mũ – logarit chứa tham số Thí dụ
22. Xác định của mọi giá trị của tham số m để hệ sau hai nghiệm phân biệt: log (x + 1) − log (x − 1) >
log 4 (1) 3 3 3 log2 (x 2 − 2x + 5) − m log 2 2=5 (2) x −2x +5 Đại học Cần Thơ năm
2001 Bài giải tham khảo x > 1 1) ⇔ ( 2 log3 (x + 1) − 2 log 3 (x − 1) > 2 log 3 2 x
> 1 ⇔ log x + 1 > log 2 3 3 x −1 x > 1 ⇔ x + 1 >2 x −1
x > 1 ⇔ 3 − x >0 x −1 ⇔ 1 < x < 3. ● Đặt y = x2 − 2x + 5 và xét hàm y = x2 −
2x + 5 trên (1; 3) . y ' = 2x − 2. Cho y ' = 0 ⇔ x = 1 . −∞ 1 x 0 − y' 3 +∞ + 8 y 4 ● Do đó : ∀x ∈ (1;
3) ⇒ y ∈ (4; 8) . ( ) ● Đặt t = log2 x2 − 2x + 5 . ( ) Do : y = x 2 − 2x + 5 ∈ (4; 8) ⇒ t = log2 x 2 − 2x
+ 5 ∈ (2; 3) . (2) ⇔ t − m = 5 t ⇔ f (t) = t − 5t = m (∗), ∀t ∈ (2; 3) ● Xét hàm số f ( t) = t − 5t trên
khoảng (2; 3) . 2 2 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 245 -
248. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit f ' (t) = 2t − 5. Cho f '
(t) = 0 ⇔ t = Bảng biến thiên t −∞ 5 . 2 5 2 2 0 − f ' (t) Ths. Lê Văn Đoàn 3 +∞ + −6 −6 f (t) − 25 4 25
< m < −6 . 4 2x + 1 ln x + 1 − ln x = 2y + 1 ln y + 1 − ln y 1 ( ) ( ) ) ( ) (
( ) Tìm m để hệ có nghiệm ? y − 1 − 2 4 (y + 1)(x − 1) + m x + 1 = 0 (2) ● Dựa
vào bảng biến thiên, hệ có hai nghiệm phân biệt ⇔ − Thí dụ 23. Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x > 0, y
> 0 . (1) ⇔ (2x + 1).ln x + 1 = (2y + 1).ln y + 1 x y ⇔ f (x ) = f (y) ● (3) t+1 trên khoảng (0; +∞) . t
Giả sử t1 < t2 và t1, t2 ∈ (0; +∞) . Xét hàm số f (t) = (2t + 1). ln 2t + 1 > 2t + 1 > 0 2 2 t +1 t
+1 t +1 Ta có: 2 . ⇒ (2t2 + 1) ln 2 > (2t1 + 1) ln 1 t1 + 1 ln > ln >0 t2 t1 t2 t1 ⇒ t2
> t1 ⇔ f (t2 ) > f (t1 ) ⇒ f (t) : đồng biến (4) ● Từ (3), (4) ⇒ f (x ) = f (y) ⇔ x = y . (2) ⇔ ⇔ ● x −
1 − 2 4 (x + 1)(x − 1) + m x + 1 = 0 x −1 x −1 − 2. 4 +m=0 x +1 x +1 Đặt a = 4 (5) x −1 , với a ∈
0;1) . x +1 (5) ⇔ −a2 + 2a = m = f (a) . ● Xét hàm số f (a) = −a2 + 2a trên 0;1) . f ' (a ) =
−2a + 2 . Cho f ' (a ) = 0 ⇔ −2a + 2 = 0 ⇔ a = 1 ∉ 0;1) . ● Để phương trình có nghiệm ⇔ f
(0) ≤ m < f (1) ⇔ 0 ≤ m < 1 . ● Vậy m ∈ 0;1) . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 246 -
249. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Thí dụ 24. www.MATHVN.com Ths. Lê Văn
Đoàn x x 3 − 4 ≥ 5 2 (1) có nghiệm ? Tìm a sao cho hệ: 1 + log a − x ≥ log x 4 + 1 2 )
() 2( 2 Đại học Tổng Hợp Tp. Hồ Chí Minh năm 1995 ( ) Bài giải tham khảo x (1) ⇔ 3 x x ≥4+
( 5) x 1 + 5 ⇔ 1 ≥ 4. 3 3 (1') x x
1 + 5 trên » . ● Xét hàm số f (x ) = 4. 3 3 x x
1 ln 1 + 5 . ln 5 < 0, ∀x ∈ » ⇒ f (x ) nghịch biến trên » . f ' (x ) = 4.
3 3 3 3 (1') ⇔ 1 ≥ f (x ) ⇔ f (2) ≥ f (x) ⇔ x ≥ 2 . (2) ⇔ log 2 (a −
x ) ≥ log (x + 1) ⇔ 2 (a − x ) ≥ x + 1 4 2 2 4 1 4 x + 2x + 1 = g (x ) . 2 1 ● Xét hàm số g (x ) =
x 4 + 2x + 1 với mọi x ≥ 2 . 2 1 g ' (x ) = 4x 3 + 2 > 0, ∀x ∈ 2; +∞) ⇒ g (x ) đồng biến trên 2;
+∞) . 2 Bảng biến thiên 2 +∞ x −∞ + g ' (x) ⇔a≥ ( ) ( ( ) ) +∞ g (x) 21 2 ● Vậy hệ có nghiệm khi
a ≥ Thí dụ 25. 21 . 2 9x2 − 4y2 = 5 Tìm giá trị lớn nhất của tham số m sao cho hệ logm (3x
+ 2y) − log3 (3x − 2y) = 1 có nghiệm (x; y) thỏa 3x + 2y ≤ 5 ? Bài giải tham khảo (3x + 2y)
(3x − 2y) = 5 ● Ta có: ⇒ 3x − 2y ≥ 1 . 3x + 2y ≤ 5 5 ● Đặt t = 3x − 2y ⇒ 3x + 2y = .
t www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 247 - (1) (2)
250. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit (2) ⇔ log m www.MATHVN.com Ths. Lê
Văn Đoàn 5 − log t = 1 3 t 5 ⇔ log m 3.log 3 = 1 + log 3 t
t ⇔ log m 3 = ⇔ log m 3 = ● 1 + log3 t 5 log 3 t 1 + log 3 t (3)
log3 5 − log 3 t Đặt z = log 3 t, (z ≥ 0 do t = 3x − 2y ≥ 1) . (3) ⇔ log m 3= z +1 = f (z), ∀z ≥ 0 và z ≠
log3 5 . −z + log 3 5 ● Xét hàm số: f (z) = f ' (z ) = z +1 trên 0; +∞ ) {log 3 5} . −z + log 3 5 log
3 5 + 1 2 (−z + log 5) > 0, ∀z ∈ 0; +∞) {log 3 5} . 3 Bảng biến thiên z −∞ 0 log3 5 + 0 f ' (z )
+∞ + −1 +∞ f (z ) log5 3 −∞ ● Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình có nghiệm thỏa 3x + 2y ≤ 5 thì
logm 3 ≤ −1 ∨ logm 3 ≥ log5 3 ⇔ 1 1 1 ≤ −1 ∨ ≥ log 3 m log 3 m log5 3 ⇔ log3 m ≥ −1 ∨ log3 m ≤
log3 5 1 ∨ m ≤ 5. 3 ● Vậy giá trị lớn nhất của m là m = 5 . 5x + x +1 7 − 7 5+ x +1 + 2014x ≤
2014 Tìm m để hệ bất phương trình: 2 x − (m + 2) x + 2m + 3 ≥ 0 ⇔m≥ Thí dụ 26.
Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x ≥ −1 . (1) ⇔ 75x.7 ⇔7 x +1 x +1 (7 − 7 5.7 5x x +1 ≤ 2014 − 2014x
) − 7 5 ≤ 2014 (1 − x ) (3) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 248 - (1) (2) có nghiệm ?
251. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit x +1 5x 7 7 − 75 >
0 ● Với x > 1 ⇒ ⇒7 2014 (1 − x) < 0 3), (4) ⇒ (3) : Vô nghiệm khi x > 1 . ( ( ) x +1
(7 5x Ths. Lê Văn Đoàn ) − 7 5 > 2014 (1 − x) ● Với x ∈ −1;1 ⇒ (3) : luôn đúng. ● Hệ có
nghiệm ⇔ x2 − (m + 2) x + 2m + 3 ≥ 0 có nghiệm ∀x ∈ −1;1 ⇔m≥ x2 − 2x + 3 = f (x)
có nghiệm ∀x ∈ −1;1 ⇔ m ≥ min f (x) . −1;1 x−2 x2 − 2x + 3 trên
−1;1 . x −2 x2 − 4x + 1 f ' (x ) = , ∀x ∈ −1;1 . 2 (x − 2) ● Xét hàm số f (x) =
x = 2 + 3 ∉ −1;1 . Cho f ' (x) = 0 ⇔ x2 − 4x + 1 = 0 ⇔ −1;1 x = 2 − 3 ∈
f (−1) = f (1) = −2 ⇒ min f (x) = −2 . Tính −1;1 f 2 − 3 = 2 − 2 3
● Vậy m ≥ −2 thỏa yêu cầu bài toán. ( ) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 249 - ( 4)
252. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn BÀI
TẬP TƯƠNG TỰ Bài tập 25. Tìm tham số m để các phương trình sau có nghiệm ? 1/ 4 x + 5.2 x + m =
0 . 2/ 3/ 4/ 9x + 3x + m = 0 . 9x + m.3x − 1 = 0 . 4 x − 2 x +1 = m . 5/ 2x + (m + 1) .2−x + m = 0 . 6/
25 x − 2.5 x − m − 2 = 0 . 7/ 16x − (m − 1) .22x + m − 1 = 0 . 8/ 25x + m.5x + 1 − 2m = 0 . 9/ 81sin
10/ 3 2 x 4−2x2 2 + 81cos x = m. 2− x 2 − 2.3 x +1 + 3−x + 2m − 3 = 0 . − 14.2 x +1 + 3−x 11/ 4 12/
9x + 1−x2 − 8.3x + 13/ 91+ 1− x2 − (m + 2) .31+ 1−x2 + 8 = m. +4=m. 1− x2 x Bài tập 26. ĐS: m ∈
(−∞; 0) . + 2m + 1 = 0 . 48 ĐS: m ∈ 4; . 7 x 7 + 3 5 + m 7 − 3
5 = 8 . 14/ ĐS: m ∈ (−∞;16 . 2 3 Tìm tham số
m để các phương trình sau có nghiệm duy nhất ? 1/ ĐS: m = 0 ∨ m = 2/ m.16x + 2.81x = 5.36x . ( 4/
x x 7 + 3 5 7 − 3 5 + m. = 8. 2 2
ĐS: m = 4 . 5/ 4 x − 2x + 3 + 3 = m . ĐS: m ∈ (−13; 3) . 6/ 9x + m.3x + 1 = 0 . 25 . 4 ĐS: m = 3/ Bài
tập 27. m.2x + 2−x − 5 = 0 . ĐS: m ∈ (−∞; −4 ) . x ) 5 +1 + m. ( x ) 5 −1 = 2x . 25 . 8 1 ĐS: m = . 4
Tìm tham số m để các phương trình mũ sau có hai nghiệm phân biệt trái dấu ? 1/ 49x + (m − 1) .7 x +
m − 2m2 = 0 . ĐS: Không có m thỏa YCBT. 2/ (m + 1).4x + (3m − 2).2x +1 − 3m + 1 = 0 . 1
ĐS: m ∈ −1; . 3 3/ 9x + 3 (m − 1) .3x − 5m + 2 = 0 . 2 ĐS: m ∈ 0; .
5 4/ (m + 3).16x + (2m − 1).4x + m + 1 = 0 . 3 ĐS: m ∈ −1; − . 4
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 250 -
253. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit 5/ 4 x − 2x + 6 = m . (x
− 6 ) 1−x Bài tập 28. 8 ĐS: m ∈ ; 9 . 3 4 x − 2 (m + 1) .2x + 3m − 8 = 0 . 6/
Tìm m để bất phương trình: Ths. Lê Văn Đoàn ĐS: Không tồn tại m thỏa YCBT. (m − 1) 6x − 2
+ 2m + 1 x 6 ≥ 0 có nghiệm đúng 2 ex − πx + 2014 ∀x ∈ 0;1 ? 1 . 2 Tìm tham
số m để các phương trình ĐS: m ≤ Bài tập 29. 1/ 16x − m.8 x + (2m − 1) .4x = m.2x có ba nghiệm phân
biệt ? ĐS: m > 3 + 2 2 ∨ m < 3 − 2 2 . 2/ 2 4 x − 2x 2 +2 + 6 = m có ba nghiệm phân biệt ? ĐS: m = 3 .
3/ 2 2 9x − 4.3x + 8 = m có ba nghiệm phân biệt ? ĐS: m = 5 . Bài tập 30. Cho phương trình: 1 x2 −4x +
5 = 1 (∗) m +1 1/ 2/ Tìm m để (∗) có hai nghiệm trái dấu ? 3/ Bài tập 31. 4 2 Giải phương trình khi m =
0 . Tìm m để (∗) có hai nghiệm thuộc (1; 4) ? Cho phương trình: 2x 2 −5x + 6 2 + 21−x = 2.26−5x + m
1/ Tìm m để (∗) có 4 nghiệm phân biệt ? Cho phương trình: 3x 1/ 2/ 3/ Bài tập 33. 2 −2x +2 + 22x 2
−4x + 4 + x2 − 2x + 2 − m = 0 Giải phương trình với m = 8 . Giải phương trình với m = 27 . Tìm m để
phương trình có nghiệm ? Cho phương trình: 27 mx 3 −2x2 + 3x −2 = (∗) ĐS: x = 1 . ĐS: x = 0 ∨ x =
2 . ĐS: m > 8 . 1 9−mx 2 − x +2 (∗) 1/ Giải phương trình với m = −3 . 2/ Bài tập 34. (∗) ĐS: x = ±1 ∨
x = 2 ∨ x = 3 . 1 1 . ĐS: m ∈ (0;2) ; 8 256 Giải phương trình khi m
= 1 . 2/ Bài tập 32. ĐS: x = 1 ∨ x = 3 . 3 ĐS: m > . 2 1 ĐS: m ∈ − ; 0 . 2
Tìm m để (∗) có ba nghiệm dương phân biệt ? 1 2 ∨x= . 3 3 3 ĐS: m ∈ (0;1) .
4 ĐS: x = −1 ∨ x = Cho phương trình: (2m + 3).16x − (4m − 2) .4x + 3m − 8 = 0 (∗) 1/
Giải phương trình với m = 3 . ĐS: x = 0 ∨ x = − log2 3 . 2/ Tìm m để (∗) có hai nghiệm trái dấu ? 3
ĐS: m ∈ − ; 3 . 2 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 251 -
254. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Bài tập 35. Tìm m để
phương trình 4 x − m.2x + m + 3 ≤ 0 có nghiệm ? ĐS: m < −3 ∨ m ≥ 6 . Bài tập 36. Tìm m để phương
trình: 3 log27 2x 2 − x + 2m − 4m 2 + log Ths. Lê Văn Đoàn ( ) x 2 + mx − 2m 2 = 0 1 3 2 1 2 2 có hai
nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa: x + x > 1 ? Đề thi thử Đại học 2012 – Đề 18 – Thầy Văn Phú Quốc – Đại
học Quãng Nam 2 1 ĐS: m ∈ (−1; 0) ∪ ; . 5 2 Bài tập 37. 2 2 2 Tìm m để bất
phương trình: m.92x −x − (2m + 1).62x −x + m.42x −x ≤ 0 nghiệm đúng với mọi x thỏa mãn x ≥ 1 ? 2
ĐS: m ∈ (−∞;1 . Bài tập 38. Tìm m để phương trình: log2 x + 2 log2 x + 1 − m − 2 = 0 có ít nhất
một nghiệm thuộc 5 5 đoạn 1; 5 3 ? Đề thi thử Đại học năm 2009 khối A – THPT Nguyễn
Trung Ngạn ĐS: m ∈ 0; 5 . Bài tập 39. Tìm a để phương trình: log 3 x 2 + a log 3 x 8 + a +
1 = 0 có đúng hai nghiệm phân biệt ? Đề thi thử Đại học năm 2012 lần 3 – THPT Chuyên – Đại học Sư
Phạm Hà Nội Bài tập 40. 1− 5 ∨ a ∈ (−∞; −1) . 2 Tìm m để phương trình: 25 x + (m − 1) 5 x + 2m + 3
= 0 có nghiệm duy nhất ? Bài tập 41. Đề thi thử Đại học năm 2010 – TTBDVH Thăng Long – Tp. HCM
Tìm a để phương trình: log 5 25x − log5 a = x có nghiệm duy nhất ? ĐS: a = ( ) Đề thi thử Đại học năm
2010 – THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội ĐS: a = Bài tập 42. 1 4 ∨ a ≥ 1. 5 Tìm m để phương trình: log 1
(27x 3 + 1) + log 3 (x + m ) + 1 = 0 có nghiệm x ≥ 0 ? 27 Đề thi thử Đại học năm 2011 – Đợt 1 –
TTBDVH Thăng Long – Tp. HCM 1 ĐS: m ∈ 0; . 3 Bài tập 43. Tìm m để phương
trình: 4cos x + 2 − 4cos x − 1 = m có nghiệm ? HSG tỉnh Hưng Yên – Khối 12 – năm học 2008 – 2009
Bài tập 44. x2 + 1 > log 1 (ax + a ) có nghiệm ? Tìm a để bất phương trình: log 1 3 3 Đề thi thử lần 1
năm 2011 khối A, B – THPT Nguyễn Huệ 2 a ∈ (−∞; −1) ∪ ; +∞ . ĐS: 2
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 252 -
255. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Bài tập 45. Bài tập 46.
Bài tập 47. Ths. Lê Văn Đoàn 2x − 1 ln x + ln x − 1 − 2y + 1 ln y + 1 y = 0 ( ) ( )
( ) ( ) Tìm m để hệ có nghiệm ? y − 1 − 2 4 (y + 1)(x − 2) + m x = 0 0;1) .
ĐS: m ∈ log (x + 1) − log (x − 1) > log 4 3 3 3 Tìm m để hệ có hai nghiệm thực phân
biệt ? log x2 − 2x + 5 − m log 2 =5 2 x −2x + 5 Đề thi thử Đại học 2012 – Đề 6 – Thầy Văn
Phú Quốc – Đại học Quảng Nam 25 ĐS: m ∈ − ; −6 . 4 1 log x 2 −
log y = 0 3 3 Tìm m để hệ phương trình: 2 có nghiệm ? 3 x + y2 − my = 0 ( ) Đề
thi thử Đại học khối A năm 2011 – Đại học Sư Phạm Hà Nội ĐS: m ∈ (0; +∞) . Bài tập 48. Bài tập 49.
Bài tập 50. x x 3 − 4 x ≥ 5 2 Tìm a để hệ phương trình: ? 1 + log a − x ≥ log x 4 + 1 ( )
2 2 Đề thi thử Đại học năm 2010 – TTBDVH & LTĐH Quang Minh 21 ĐS: a ≥ . 2 x 2 + x =
x2 + y + m Xác định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất ? 2 x + y2 = 1 ĐS: m
= 0 . ( ( Bài tập 53. x ( ) ( x + 2− 3 ) =m. Giải phương trình khi m = 4 . Tìm m để phương trình có 2
nghiệm phân biệt ? Cho phương trình: m.16x + 2.81x = 5.36x . 1/ Giải phương trình khi m = 3 . 2/ Tìm
m để phương trình có nghiệm duy nhất ? 1 Cho hương trình: 3 1/ 2/ Bài tập
54. Giải phương trình khi m = 1 . Tìm m để phương trình có nghiệm ? Cho phương trình: 2 + 3 1/ 2/ Bài
tập 52. ) Cho phương trình: 4x − 4m 2x − 1 = 0 . 1/ 2/ Bài tập 51. ) x2 −2x (∗) = m2 + m + 1 Giải
phương trình khi m = − 1 . Tìm m để (∗) có bốn nghiêm phân biệt ? 1 Tìm tham số m để phương
trình 5 x2 −4x +3 = m 4 − m 2 + 1 có bốn nghiệm phân biệt ?
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 253 -
256. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn ĐS:
0 < m < 1 . Bài tập 55. Cho phương trình: 4 x − (2m + 1).2x + m 2 + m = 0 . Bài tập 56. 1 Giải phương
trình khi m = 1 và m = − . 2 2/ Tìm tham số m để phương trình có nghiệm ? Cho phương trình: m.4 x −
(2m + 1).2 x + m + 4 = 0 1/ 1/ (∗) Giải (∗) khi m = 0 và m = 1 . Tìm m để phương trình có nghiệm ?
Tìm m để phương trình có nghiệm x ∈ −1;1 ? x x +1 Cho phương trình: 4 − m.2 + 2m = 0
(∗) 2/ 3/ Bài tập 57. 1/ 2/ Bài tập 58. Giải (∗) khi m = 2 . Tìm m để (∗) có hai nghiệm thỏa x1 + x2 = 3
. Tìm tham số m để các phương trình logarit sau có nghiệm duy nhất ? log 3 (x + 3) = log3 mx . 1/ 2/ 2
lg (x + 3) = 1 + lg mx . 3/ lg x2 + mx = lg (8x − 3m + 3) . 4/ ( lg (x ) 5/ lg (2x − m − 1) + log 1 x 2 +
4mx = 0 . 2 ) + 2mx − lg (8x − 6m − 3) = 0 . ( ) 10 7/ log2+ 3 x2 − 2(m + 1) x + log2− 3 (2x +
m − 2) = 0 . log 2 (x − 2) = log2 (mx ) . 8/ log 9/ log 3 x 2 + 4mx = log 3 (2x − 2m − 1) . 6/ 5 +2
(x ( 2 ) + mx + m + 1 + log 5 −2 x = 0. ) Bài tập 60. (mx − x ) = 0 . Tìm tham số m để phương trình:
log (4 − m ) = x + 1 có hai nghiệm phân biệt ? Tìm tham số m để phương trình: log (9 + 9m ) = 2 có hai
nghiệm phân biệt ? Bài tập 61. Tìm tham số m để phương trình: log 2 x − (m + 2). log 3 x + 3m − 1 = 0
có hai nghiệm 3 10/ Bài tập 59. log2 2+ 7 (x − m + 1) + log 2 2 2− 7 x 2 x 3 3 phân biệt x1, x2 thỏa:
x1x2 = 27 ? Bài tập 62. Tìm m để phương trình ( ) log2 x + log 1 x2 − 3 = m log4 x2 − 3 có nghiệm x ≥
32 ? 2 2 Bài tập 63. Tìm m để phương trình (m − 1) log2 1 (x − 2) − (m − 5) log 1 (x − 2) + m − 1 = 0
có 2 2 nghiệm x1, x2 thỏa: 2 ≤ x1 ≤ x2 ≤ 4 ? Bài tập 64. Tìm m để phương trình: (m − 3) log2 (x − 4) −
(2m − 1) log 1 (x − 4) + m + 2 = 0 có hai 1 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa: 4 < x1 < x2 < 6 ?
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 254 - 2
257. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Bài tập 65. Ths. Lê Văn
Đoàn Tìm m để phương trình: (m − 4) log2 (2 − x ) − (2m − 1) log2 (2 − x ) + m + 1 = 0 có hai 2
nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa: 0 < x1 < x2 < 2 ? 2 ( ) − log ( ) x + m = 0 có nghiệm trên (0;1) ? Bài tập
66. Tìm m để phương trình 4. log2 x Bài tập 67. Tìm m để phương trình lg x 2 + 2mx − lg (2x − m − 1)
= 0 có duy nhất một nghiệm ? Bài tập 68. Tìm m để phương trình log Bài tập 69. nghiệm đó ? Tìm m để
tổng bình phương tất cả các nghiệm của phương trình 2 log m x − 1 − log m x = 1 bằng 34 ? Bài tập 70.
Tìm tham số m để phương trình (x − 2) x 1 2 x + log m x = log m2 4.log 2 m 2 . log m2 log2 4(x−2) x1,
x2 thỏa: x m có nghiệm và tìm 3 = 2m.(x − 2) có hai nghiệm phân biệt 5 ≤ x1 < x 2 ≤ 4 ? 2 cos πx−sin x
Bài tập 71. Bài tập 72. Bài tập 73. αx 3π 1 Tìm α ∈ (5;16), biết rằng phương trình: 1 +
cos có nghiệm + = 3 8 2 ∈ 1;2 ? π 5π
Tìm α ∈ (2;7 ), biết rằng phương trình: log3 1 + sin2 x + = cos αx − 1 có 2 2
nghiệm thuộc 1;2 ? Tìm tham số m để các bất phương trình mũ – logarit sau có
nghiệm ? 1/ 9 x + m.3x + 1 ≤ 0 . ĐS: m ≤ 2 . 2 2 2/ 3x ≥ 1 + m2 . 3/ 3 4/ 5 5/ 6/ = 2m − 1 . 4 4x −
m.2x + m + 3 ≤ 0 . 7/ 9x − m.3x + m + 3 ≤ 0 . x −1 −x ≤ 1 − m2 . ≥ 1 + m2 . 1 x −2 2x + 7 + 2x − 2 ≤
m . 8/ x2 ) ( 10/ 4x + m.2x + m − 1 ≤ 0 . 11/ 32x +1 − (m + 3) .3x < 2 (m + 3) . 12/ 4x − (2m + 1).2x
+1 + m2 + m ≥ 0 . 13/ 9x − (2m − 1) .3x + m2 − m ≥ 0 . 14/ 3.4x − (m − 1).2x − 2 (m − 1) < 0 . 15/
m.25x − 5x − m − 1 > 0 . 2 +1 + ( x2 −1 9/ ) 2 −1 ≥ −m . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 255 -
258. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit 16/ 17/ 18/ 19/ 32x − m.3x+ Bài tập 74. − 9.9
x +4 ĐS: m > <0. Ths. Lê Văn Đoàn 1 − 729 3 81 4 3 . 1 log x 100 − logm 100 > 0 . 2 1 2 + < 1. 5 −
log m x 1 + logm x 1 + log2 x m 1 + logm x > 1. log2 x + m > log2 x . 20/ 21/ x+4
www.MATHVN.com ( ) ( ) log x−m x2 − 1 > log x−m x2 + x − 2 . Tìm tham số m để các bất phương
trình mũ – logarit sau có nghiệm đúng với: 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ (3m + 1).12x + (2 − m).6x + 3x < 0, ∀x > 0 .
(m − 1).4x + 2x +1 + m + 1 > 0, ∀x . m.9x − (2m + 1) .6x + m.4x ≤ 0, ∀x ∈ 0;1 . x x
+2 m.9 + (m − 1) .3 + m − 1 > 0, ∀x . cos x cos x 4 + 2 (2m + 1).2 + 4m2 − 3 < 0, ∀x . 3x + 3 + 5 −
3x ≤ m, ∀x 6/ 7/ 8/ 4x−1 − m. 2x + 1 > 0, ∀x . 9/ 7 10/ 4sin x + 21+sin x > m, ∀x . 11/ 1 + log5 x2 +
1 ≥ log5 mx2 + 4x + m , ∀x . 12/ log2 7x2 + 7 ≥ log2 mx2 + 4x + m , ∀x . 13/ log 14/ Bài tập 75.
2.25x − (2m + 1) .10x + (m + 2).4x ≥ 0, ∀x ≥ 0 . m 2 m m x − 2 1 + log
x − 2 1 + log > 0, ∀x . 2 − log 1 1 1 m + 1 m + 1 m +
1 2 2 2 ( − x +3 ) − 4.7 1 − x +3 2 ( ) ( 1 m −1 ( ) (x − m > 0, ∀x . 2 ) ( ) )
+ 2 m > 0, ∀x . Tìm tham số m để mọi nghiệm của bất phương trình (1) đều là nghiệm của bất phương
trình (2) : 1/ 1 2 1 x 1 x +1 + 3 > 12 3 3
m − 2 2 x2 − 3 m − 6 x − m − 1 < 0 ( ) ( ) (1) . (2)
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 256 -
259. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ www.MATHVN.com 1 2
+1 x 2 − 2 x > 8 2 4x − 2mx − (m − 1)2 < 0 2x +1 − 9..2x + 4 ≤ 0 2
2 m + 1 x + m (x + 3) + 1 > 0 1 2 1 x 1 x +2 + 9. > 12
3 3 2 2x + (m + 2) x + 2 − 3m < 0 2 2 log 1 x
+ log 1 x < 0 4 2 2 x + mx + m2 + 6m < 0 2 log x 5x − 8x + 3 > 0 2 x −
2x + 1 − m 4 > 0 ( ) ( ) (1) . (2) (1) . (2) (1) . (2) (1) . (2) (1) . (2)
www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 257 - Ths. Lê Văn Đoàn
Follow us on LinkedInFollow us on TwitterFind us on FacebookFind us on Google+
Learn About UsAboutCareersOur BlogPressContact UsHelp & Support
Using SlideShareSlideShare 101Terms of UsePrivacy Policy
×
Improve your slideshare content browsing experience.Engage your content viewers better by removing ads.
See plans and pricing
Copyright & DMCACommunity GuidelinesSlideShare on Mobile
Pro & moreGo PROPRO Features
Developers & APIDevelopers SectionDevelopers GroupEngineering BlogBlog Widgets
LinkedIn Corporation © 2014
RSS Feed
ENGLISHEnglishFrançaisEspañolPortuguês (Brasil)Deutsch
Signup for SlideShare PRO account
Remove ads from all SlideShare pages with SlideShare PRO
×