cinemática

Departamento de Ingeniera Mecanica

Teora de Maquinas

Primera edicion

25 de julio de 2013

Universidad de Sevilla

VI

Nombre Apellido1 Apellido2Nombre Apellido1 Apellido2Nombre Apellido1 Apellido2Nombre Apellido1 Apellido2Nombre Apellido1 Apellido2Nombre Apellido1 Apellido2Nombre Apellido1 Apellido2Nombre Apellido1 Apellido2Nombre Apellido1 Apellido2Nombre Apellido1 Apellido2

Departamento de Ingeniera Mecanica y de los MaterialesEscuela Tecnica Superior de IngenierosCamino de los Descubrimientos s/n41092 [email protected]

Indice general

1. Cinematica de Maquinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Metodo de las velocidades y aceleraciones relativas . . . . . . . . . . . 3

1.2.1. Bases del metodo: cinematica del movimiento relativo . . 31.2.1.1. Movimiento de un triedro. Formulas de Poisson 31.2.1.2. Movimiento relativo. Definiciones . . . . . . . . . . . . 41.2.1.3. Movimiento relativo. Velocidades lineales . . . . . 51.2.1.4. Movimiento relativo. Velocidades angulares . . . 61.2.1.5. Movimiento relativo. Aceleraciones . . . . . . . . . . . 7

1.2.2. Aplicacion a mecanismos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.2.1. Aplicacion a dos puntos del mismo eslabon . . . . 81.2.2.2. Aplicacion a puntos de eslabones conectados por diversos pares cinematicos 91.2.2.3. Caso de articulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2.4. Caso de pares prismaticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.2.5. Caso de pares de rodadura sin deslizamiento . . 171.2.2.6. Caso de pares de rodadura con deslizamiento . . 241.2.2.7. Linealidad del problema de velocidades . . . . . . . 27

1.3. Analisis de posicion, velocidades y aceleraciones mediante las ecuaciones de lazo 281.3.1. Problema de posicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.3.2. Problema de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.3.3. Problema de aceleraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.4. Analisis de velocidades mediante los centros instantaneos de rotacion 321.4.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.4.2. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.4.3. Centros instantaneos de rotacion en diversos pares cinematicos 341.4.4. Analisis de velocidades usando centros instantaneos de rotacion 38

1.5. Bibliografa recomendada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1Cinematica de Maquinas

1.1. Introduccion

La determinacion de los parametros cinematicos de los elementos de unamaquina o de un mecanismo, puede tener dos objetivos distintos. En primerlugar, puede ser una especificacion del diseno de la maquina el que se ocupendeterminadas posiciones o que se realicen determinados movimientos en unostiempos establecidos. Por ejemplo, las especificaciones de la maquina puedenser alcanzar unas velocidades o aceleraciones en determinados puntos de lamisma y en determinados instantes. El segundo aspecto del analisis cinemati-co es como paso previo al analisis dinamico. Desde este punto de vista, pararealizar cualquier analisis dinamico de fuerzas se necesitan las fuerzas de iner-cia, para lo cual se necesitan conocer velocidades y aceleraciones. Tambien endeterminados metodos energeticos de analisis dinamico son necesarios el co-nocimiento de velocidades y aceleraciones de determinados puntos o eslabonesdel mecanismo.

En general, el analisis cinematico de mecanismos resuelve tres tipos deproblemas: posicion, velocidad y aceleracion. El problema de posicion consisteen la obtencion de la posicion de todos los eslabones de un mecanismo, para elque se conocen todas las dimensiones, la posicion del eslabon fijo y la posicionde tantas barras (barras de entrada) como grados de libertad tenga dichomecanismo. El analisis de posicion, que es el primer paso que hay que realizarantes de proceder a los de velocidad y aceleracion, aunque aparentementesencillo en su enunciado, no lo es tanto en su resolucion dado el caracter deno linealidad del mismo lo que conduce a una multiplicidad de soluciones.En la fig. 1.1 se muestra un ejemplo de las cuatro soluciones al problemade posicion de un mecanismo biela-manivela de dimensiones conocidas de lasbarras, tomando como elemento de entrada la manivela OAA. Es evidente,que para mecanismos con mayor numero de eslabones aumentara el numerode soluciones posibles y sera mayor el grado de dificultad para obtener lasolucion deseada.

2 1 Cinematica de Maquinas

Figura 1.1. Diversas soluciones del problema de posicion

El siguiente paso del analisis cinematico es la resolucion de los problemasde velocidades y aceleraciones, consistente en la obtencion de las velocidadesy aceleraciones de todos los eslabones y puntos del mecanismo a partir delconocimiento de la velocidad y aceleracion del (de los) eslabon (es) de entrada.Para resolver el problema de velocidades se requiere tener resuelto antes elproblema de posicion y para el de aceleraciones se necesita tener resueltoantes el problema de posicion y el de velocidad. Se trata de problemas linealesy constituyen el paso previo al analisis dinamico de mecanismos.

En cuanto a los metodos de resolucion, se puede distinguir entre metodosgraficos, metodos analticos y metodos numericos. Los metodos graficos sonmas intuitivos y permiten interpretar facilmente los movimientos de los esla-bones, ademas son rapidos en el caso de que se requiera una sola posicion.Por el contrario, tienen el inconveniente de su falta de precision y que para elanalisis de varias posiciones son lentos dado que para cada geometra hay queenfrentarse con un problema distinto. Dentro de estos metodos, puede con-templarse para el problema de posicion la resolucion geometrica, para el develocidades los metodos de las velocidades relativas y los centros instantaneosde rotacion y para aceleraciones el metodo de las aceleraciones relativas. Losmetodos analticos presentan ventajas e inconvenientes opuestos a los metodosgraficos, es decir, son precisos y permiten analisis del ciclo completo, ademasde permitir analizar el efecto de la geometra en la solucion. Por el contrario,requieren planteamientos especficos para el analisis de cada mecanismo y noson nada intuitivos. Dentro de estos metodos se pueden utilizar, de nuevo,el de las velocidades y aceleraciones relativas y el metodo de las ecuacionesde lazo del mecanismo. Los metodos numericos, aunque son de aplicacion ge-neral, rapidos y potentes, requieren la utilizacion especfica de programas deordenador, ademas de no ser intuitivos en absoluto. Se recurre a estos meto-

1.2 Metodo de las velocidades y aceleraciones relativas 3

dos cuando el sistema de ecuaciones analticas planteadas tiene un tamanosuficientemente grande.

A continuacion se van a estudiar los siguientes metodos para el analisis deposicion, velocidades y aceleraciones en mecanismos: metodo de las velocida-des y aceleraciones relativas, metodo de las ecuaciones de lazo y metodo delos centros instantaneos de rotacion.

1.2. Metodo de las velocidades y aceleraciones relativas

En primer lugar se va explicar brevemente las bases de la cinematica delmovimiento relativo. Posteriormente se van a particularizar las expresionesobtenidas para el caso particular del movimiento en mecanismos planos.

1.2.1. Bases del metodo: cinematica del movimiento relativo

1.2.1.1. Movimiento de un triedro. Formulas de Poisson

Considerese el solido rgido denominado solido 0, vease fig. 1.2, materia-lizado por un triedro trirrectangulo cuyo origen es O y tiene como vectoresunitarios i0, j0 y k0.

Figura 1.2. Solido rgido definido por un triedro trirrectangulo

Utilizando la notacion mostrada en fig. 1.2, los vectores unitarios se puedenexpresar como:

i0 = OP1, j0 = OP2, k0 = OP3 (1.1)

Se va a estudiar el movimiento relativo de dicho solido 0, con respecto a otroque se considera fijo con su origen en O1 y con vectores unitarios i, j y k, y que


en fig. 1.2 se ha etiquetado como solido 1. De la figura se deduce facilmentela igualdad vectorial:

i0 = O1P1 O1O (1.2)

que se puede derivar con respecto al tiempo, obteniendose:

di0dt

= vP101 vO01 (1.3)

cuyo segundo miembro es la diferencia de las velocidades de dos puntos de unsolido rgido, que estan relacionadas mediante la siguiente expresion:

vP101 = vO01 + 01 i0 (1.4)

De las dos igualdades anteriores se deduce:

di0dt

= 01 i0 (1.5)

Procediendo de identica manera para los otros dos vectores unitarios se llegafacilmente a:

dj0dt

= 01 j0dk0dt

= 01 k0 (1.6)

conocidas como formulas de Poisson. A partir de ellas se puede calcular laexpresion de la derivada con respecto al tiempo de cualquier vector ligado alsolido 0 con referencia al solido 1. A modo de ejemplo, se puede aplicar a unvector cualquiera A, que referido al solido 0 se expresa de la siguiente forma:

A = A1i0 +A2j0 +A3k0 (1.7)

dA

dt

]1

=dA1dt

i0 +dA2dt

j0 +dA3dt

k0 + 01 (A1i0 +A2j0 +A3k0) (1.8)

dA

dt

]1

=dA

dt

]0

+ 01 A (1.9)

En la ecuacion anterior el primer termino del segundo miembro es la derivadacon respecto al tiempo del vector generico A, considerando que el solido 0esta fijo.

1.2.1.2. Movimiento relativo. Definiciones

En este apartado se vera la nomenclatura que se va a seguir a lo largo detodo el tema, para lo cual se puede observar la fig. 1.3, en la que estan losmismos solidos que en el apartado anterior, pero a los que se ha anadido unnuevo solido, denominado 2, al que pertenece el punto P objeto de estudio.


Figura 1.3. Relaciones vectoriales entre 3 solidos

Para referir dicho punto al cuerpo 1, se utilizara el vector de posicion rP21,mientras que para referirlo al cuerpo 0 se utilizara el vector rP20.

Las variaciones con el tiempo del vector de posicion rP21 describen el movi-miento absoluto del punto P , de manera que la curva que describe el extremode dicho vector de posicion referida al cuerpo 1 es su trayectoria absoluta.Mientras que sus derivadas con el tiempo seran la velocidad y aceleracionabsolutas del punto P , es decir:

drP21dt

]1

= vP21dvP21dt

]1

= aP21 (1.10)

De forma analoga, las variaciones con el tiempo del vector de posicion rP20describen el movimiento relativo del punto P respecto al solido 0, de maneraque la curva que describe el extremo de dicho vector de posicion referida alcuerpo 0 es su trayectoria relativa, mientras que sus derivadas con el tiemposeran la velocidad y aceleracion relativas del punto P . Sus expresiones son lassiguientes:

drP20dt

]0

= vP20dvP20dt

]0

= aP20 (1.11)

1.2.1.3. Movimiento relativo. Velocidades lineales

De la fig. 1.3 puede deducirse facilmente la siguiente igualdad vectorial:

rP21 = rP20 + r

O01 (1.12)

Derivando la expresion anterior con respecto del tiempo, queda:


drP21dt

]1

=drP20dt

]1

+drO01dt

]1

(1.13)

que se puede escribir como

vP21 =drP20dt

]1

+ vO01 (1.14)

De la ecuacion anterior, el primer termino del segundo miembro puede desa-rrollarse teniendo en cuenta las expresiones anteriores:

drP20dt

]1

=drP20dt

]0

+ 01 rP20 = v

P20 + 01 r

P20 (1.15)

Reordenando los terminos queda la siguiente ecuacion de velocidades:

vP21 = vP20 + v

O01 + 01 r

P20 (1.16)

Los dos ultimos sumandos del segundo miembro representan la velocidad delpunto P considerandolo ligado al solido O, que se denomina vP01. De modoque finalmente queda la expresion compacta:

vP21 = vP20 + v

P01 (1.17)

Generalizando la expresion anterior para tres solidos cualesquiera i, j y k seobtiene:

vPij = vPik + v

Pkj (1.18)

que es la ecuacion de las velocidades relativas.

1.2.1.4. Movimiento relativo. Velocidades angulares

Si se toma un segundo punto Q y se aplica la relacion de velocidades de dospuntos de un solido rgido, para cada una de las velocidades de la expresion(1.18) se tendra la siguiente expresion:

vP21 = vQ21 + 21 QP (1.19)

vP20 = vQ20 + 20 QP (1.20)

vP01 = vQ01 + 01 QP (1.21)

que sustituidas en (1.18) conduce a:

21 = 20 + 01 (1.22)

Generalizando de nuevo para tres solidos i, j y k cualesquiera queda:

ij = ik + kj (1.23)


1.2.1.5. Movimiento relativo. Aceleraciones

Si se toma la ecuacion (1.16) obtenida anteriormente y se deriva con res-pecto del tiempo se obtiene:

aP21 =dvP21dt

]1

=dvP20dt

]1

+dvO01dt

]1

+dO01dt

]1

rP20+01drP20dt

]1

(1.24)

En la ecuacion anterior, hay terminos que se pueden transformar utilizandoalgunas de las ecuaciones mostradas anteriormente o bien aplicando directa-mente su definicion. Estas transformaciones son las siguientes:

dvP20dt

]1

=dvP20dt

]0

+ 01 vP20 = a

P20 + 01 v

P20 (1.25)

dvO01dt

]1

= aO01 (1.26)

d01dt

]1

= 01 (1.27)

Si se sustituyen estas tres ultimas expresiones en la ecuacion (1.24) y teniendoen cuenta la ecuacion (1.15), queda:

aP21 = aP20 +01 v

P20 + a

O01 +01 r

P20 +01 (v

P20 +01 r

P20) (1.28)

Reagrupando terminos queda:

aP21 = aP20 + a

O01 +01 r

P20 + 01 (01 r

P20) + 201 v

P20 (1.29)

Esta expresion se puede poner de forma mas compacta como:

aP21 = aP20 + a

P01 + 201 v

P20 (1.30)

siendo

aP01 = aO01 +01 r

P20 + 01 (01 r

P20) (1.31)

La ecuacion general de aceleraciones, (1.30), tiene una estructura similar a laecuacion general de velocidades, (1.17), con el anadido del termino de acele-racion de Coriolis. La ecuacion (1.30) puede generalizarse para tres solidoscualesquiera i, j y k, quedando:

aPij = aPik + a

Pkj + 2kj v

Pik (1.32)

Tambien se puede obtener la relacion entre aceleraciones angulares para tressolidos i, j y k cualesquiera. Para ello se deriva la ec. (1.23) en la referenciaj:


dijdt

]j

=dikdt

]j

+dkjdt

]j

ij =dikdt

]j

+kj (1.33)

siendo

dikdt

]j

=dikdt

]k

+ kj ik = ik + kj ik (1.34)

Finalmente queda:

ij = ik +kj + kj ik (1.35)

Para el caso particular del movimiento plano, que es el que se estudiara a lolargo del captulo, se tiene que los dos vectores del ultimo termino son paralelosy por tanto su producto vectorial sera 0. Queda una expresion similar a la delas velocidades angulares:

ij = ik +kj (1.36)

1.2.2. Aplicacion a mecanismos planos

Las ecuaciones anteriores son generales, tanto para sistemas en el planocomo en el espacio. A continuacion se van a tratar los procedimientos de apli-cacion de las expresiones anteriores al analisis de velocidades y aceleracionesde mecanismos planos.

1.2.2.1. Aplicacion a dos puntos del mismo eslabon

Considerese el eslabon etiquetado como 2 en la fig. 1.4, que se mueve en elplano OXY , y del que se conoce su geometra y su posicion, definida por larecta AB. Asimismo se conoce la velocidad y aceleracion angular del solido 2respecto del eslabon fijo 1, 21k y 21k, respectivamente. Tambien se conocela velocidad y la aceleracion del punto A respecto del eslabon fijo, es decir,vA21 y a

A21.

Aunque la ecuacion que conecta las velocidades de dos puntos de un soli-do rgido es conocida de la mecanica general, tambien se puede deducir de laecuacion general (1.16) del movimiento relativo que se obtuvo anteriormente.Para ello basta sustituir en esta ecuacion los puntos O y P por A y B res-pectivamente y considerar que los solidos 0 y 2 son el mismo eslabon, el 2. Eneste caso, el termino vP20 es nulo, por lo que queda la ecuacion ya conocida:

vB21 = vA21 + 21 AB (1.37)

De la misma manera, para el caso de aceleraciones, puede deducirse a partir dela ecuacion general del movimiento relativo para aceleraciones en su forma nocompacta (1.29). En este caso, se anulan los terminos vP20 y a

P20. Es habitual

desarrollar el doble producto vectorial, quedando la ecuacion siguiente:

aB21 = aA21

221AB +21 AB (1.38)


Figura 1.4. Aplicacion a dos puntos del mismo eslabon

1.2.2.2. Aplicacion a puntos de eslabones conectados por diversos

pares cinematicos

A continuacion se va a explicar la forma de transmitirse la velocidad yla aceleracion a traves de los distintos pares cinematicos que aparecen en unmecanismo. En los diversos apartados se estudiaran sucesivamente las arti-culaciones, los pares prismaticos, los pares de rodadura sin deslizamiento ylas levas (rodadura con deslizamiento). En cada uno de los casos se reali-zaran ejemplos de aplicacion con diversos mecanismos que contienen los parescitados, lo que ayudara a comprender el metodo.

1.2.2.3. Caso de articulaciones

En la fig. 1.5 se observan los eslabones 2 y 3 de un mecanismo conectadosmediante la articulacion A, par cinematico que restringe su movimiento rela-tivo a una rotacion. Evidentemente esta restriccion impone como condicionescinematicas:

vA21 = vA31 a

A21 = a

A31 (1.39)

o sus equivalentes

vA23 = 0 aA23 = 0 (1.40)

A continuacion se muestra como ejemplo el analisis cinematico de un me-canismo de 4 barras.

Problema 1.1 Analisis cinematico de un mecanismo de 4 barras

En la fig. 1.6 se observa el esquema de un mecanismo de cuatro barras. Como


Figura 1.5. Dos eslabones unidos por una articulacion

datos de partida se tiene la geometra del mecanismo y la posicion del mismo,definidos mediante los siguientes valores:O2A = 2 cm,AB = 7 cm, O4B = 3cm, 2 = 60

o, 3 = 343,6o y 4 = 80, 11

o. Ademas, la velocidad y aceleracionangular de la barra 2: 21 = 10k rad/s, 21 = 0k rad/s

2. Utilice el metodode las velocidades y aceleraciones relativas para obtener las velocidades yaceleraciones angulares de las barras 3 y 4.

Figura 1.6. Esquema del mecanismo de cuatro barras

Solucion:


Se comienza analizando las velocidades, para lo cual se obtendra la velo-cidad del punto A, considerado perteneciente al eslabon 2:

vA21 = vO221 + 21 O2A (1)

La ecuacion anterior relaciona las velocidades de dos puntos O2 y A de unmismo eslabon, el eslabon 2. Adicionalmente, en dicha ecuacion vO221 = 0 yaque se trata de una articulacion con el eslabon fijo. Por tanto, y haciendo lassustituciones: O2A = r2, AB = r3 y O4B = r4, se tiene:

vA21 =

i j k

0 0 21r2 cos2 r2 sin2 0

= 21r2 cos2j 21r2 sin2i =

21r2

( sin2cos2

) (2)

Sustituyendo los valores numericos se obtiene:

vA21 = 10 2

( sin 60o

cos 60o

)=

(17, 32

10

)cm/s (3)

A continuacion se aplica las restricciones cinematicas a la articulacion A:

vA31 = vA21 (4)

Ahora se pueden relacionar las velocidades de los puntos A y B del eslabon 3:

vB31 = vA31 + 31 AB (5)

ecuacion que no se puede resolver, ya que se desconoce 31 y vB31. No obstante,

se puede plantear una ecuacion para la articulacion B y ademas relacionar lospuntos B y O4 (articulacion con el eslabon fijo), pertenecientes al eslabon 4:

vB31 = vB41 (6)

vB41 = vO441 + 41 O4B = 41 O4B (7)

De las ecuaciones anteriores se deduce facilmente:

21 O2A+ 31 AB = 41 O4B (8)

Ahora ya se tiene un sistema de dos ecuaciones escalares con dos incognitasescalares, 31 y 41. Desarrollando la ecuacion anterior de la misma formaque se hizo anteriomente queda:

21r2

( sin2cos2

)+ 31r3

( sin3cos3

)= 41r4

( sin4cos4

)(9)


que expresado en su dos componentes resulta:

r2 sin221 r3 sin331 = r4 sin441 (10)

r2 cos221 + r3 cos331 = r4 cos441 (11)

Este sistema de dos ecuaciones es lineal en las incognitas, 31 y 41 y puederesolverse facilmente. Si se sustituyen los valores numericos queda:

31 = 0, 99k rad/s 41 = 6, 50k rad/s (12)

A continuacion se realiza el analisis de aceleraciones, que comenzara con laobtencion de la aceleracion del punto A, considerado como perteneciente aleslabon 2. Para ello se relacionan las aceleraciones de los puntos O2 y A, queson puntos de un mismo eslabon:

aA21 = aO221

221O2A+21 O2A (13)

en la que el primer termino del segundo miembro es nulo, ya que se tratade una articulacion con el eslabon fijo. Ahora se aplica a la articulacion A laecuacion de las aceleraciones correspondiente a dicha restriccion:

aA31 = aA21 (14)

Seguidamente se relacionan las aceleraciones de los puntos A y B del eslabon3:

aB31 = aA31

231AB +31 AB (15)

ecuacion que no se puede resolver, ya que se desconoce aB31 y 31. No obstante,de igual forma que se hizo en el analisis de velocidades, se puede plantear unaecuacion para la articulacion B y otra ecuacion entre los puntos B y O2 deleslabon 4:

aB31 = aB41 (16)

aB41 = aO441

241O4B +41 O4B (17)

A partir de las ecuaciones anteriores se puede construir la siguiente igualdad:

221O2A+21O2A231AB+31AB =

241O4B+41O4B (18)

que son dos ecuaciones escalares con dos incognitas escalares, 31 y 41. Laecuacion anterior se puede descomponer:

221r2 cos2 r2 sin221 231r3 cos3 r3 sin331 =

241r4 cos4 r4 sin441(19)


221r2 sin2 + r2 cos221 231r3 sin3 + r3 cos331 =

241r4 sin4 + r4 cos441(20)

Quedando un sistema lineal en las incognitas, 31 y 41, facilmente resoluble.Sustituyendo valores numericos se obtiene:

31 = 8, 6k rad/s2 41 = 23k rad/s

2 (21)

1.2.2.4. Caso de pares prismaticos

En la fig. 1.7 se muestra un eslabon corredera 3 y su gua 2, que en estecaso es recta. Estos eslabones estan conectados por un par prismatico. La res-triccion que impone este par cinematico consiste en que el movimiento relativode los dos eslabones debe realizarse en la direccion de la gua. Esto se traducecinematicamente en las siguientes ecuaciones de restriccion:

vA32 tiene la direccion de la gua 2.

aA32 tiene la direccion de la gua 2.

Figura 1.7. Par prismatico

En el caso de que la gua sea circular, como se muestra en la fig. 1.8, esnecesario incluir una componente normal en la aceleracion aA32. Sean t y n losvectores unitarios con direccion tangencial y normal al crculo en el punto A,respectivamente, y R, el radio del crculo. Ahora la expresion de la restriccioncinematica impuesta por el par prismatico queda de la siguiente manera:

vA32 = vA32t (1.41)

aA32 = aA32(nor) + a

A32(tan) =

(vA32)2

Rn+ aA32(tan)t (1.42)


Figura 1.8. Par prismatico con gua circular

Para entender mejor la aplicacion de las restricciones de un par prismaticose va a resolver el analisis cinematico de una inversion del mecanismo biela-manivela.

Problema 1.2 Analisis cinematico de una inversion del mecanismo

biela-manivela

En la fig. 1.9 se observa el esquema de una inversion del mecanismo biela-manivela. Como datos de partida, se tiene definida la geometra del meca-nismo y resuelto el problema de la posicion. Los valores son: O2A = 2 cm,O4A = 4, 59 cm, 2 = 20

o y 4 = 65, 81o. La velocidad y aceleracion angular

de la barra 2 son: 21 = 10k rad/s, 21 = 0k rad/s2. Utilice el metodo de

las velocidades y aceleraciones relativas para obtener las velocidades y acele-raciones angulares de la barra 4.

Figura 1.9. Esquema de una inversion del mecanismo biela-manivela


Solucion:

Se comienza analizando las velocidades, para lo cual se obtiene la velocidaddel punto A, considerado perteneciente al eslabon 2:

vA21 = vO221 + 21 O2A = 21 O2A (1)

Para la articulacion entre los eslabones 2 y 3 se tiene que:

vA21 = vA31 (2)

A continuacion se conectan los eslabones 3 y 4 con la ec. (1.16), que relacionala velocidad de dos puntos de dos eslabones diferentes. Se aplica al punto Aperteneciente al solido 3, denominado A3, y al punto A perteneciente al solido4, denominado A4. Se trata de dos puntos que se encuentran superpuestospero que pertenecen a dos solidos con movimientos y velocidades diferentes.La distancia entre ellos es cero y por tanto el vector que los une A4A3 tienede valor cero. De modo que la ec. (1.16) para este caso queda como:

vA31 = vA34 + v

A41 + 41 A4A3 = v

A34 + v

A41 (3)

Del termino vA34 se sabe que su direccion es paralela al eslabon 4, debido a larestriccion cinematica del par prismatico y por tanto puede expresarse como:

vA34 = vA34

(cos4sin4

)(4)

Por otro lado, es facil comprobar que tambien se cumple la ecuacion vA41 =vA43 + v

A31, lo que implica que se de la siguiente igualdad:

vA34 = vA43 (5)

Por ultimo, el eslabon 4 tiene una articulacion con el eslabon fijo en O4, porlo que se puede puede escribir la relacion siguiente:

vA41 = vO441 + 41 O4A = 41 O4A (6)

De las expresiones anteriores se deduce que:

21 O2A = vA34 + 41 O4A (7)

Haciendo las sustituciones: O2A = r2 y O4A = r4, se tiene:

21r2

( sin2cos2

)= vA34

(cos4sin4

)+ 41r4

( sin4cos4

)(8)

que contiene dos ecuaciones escalares con dos incognitas escalares, vA34 y 41,siendo resoluble. Introduciendo los valores del enunciado se obtiene finalmente:


41 = 3, 03k rad/s vA34 = 14, 35 cm/s (9)

donde el signo positivo obtenido para vA34 significa que la corredera se alejadel punto O4.

A continuacion se realiza el analisis de aceleraciones, que comenzara con laobtencion de la aceleracion del punto A considerado perteneciente al eslabon2. Para ello se relacionan las aceleraciones de los puntos O2 y A del mismoeslabon 2:

aA21 = aO221

221O2A+21 O2A =

221O2A+21 O2A (10)

Se aplica la ecuacion de la articulacion entre 2 y 3:

aA31 = aA21 (11)

Al igual que se hizo en velocidades, se conectan los eslabones 3 y 4 con laec. (1.29) para los puntos coincidentes A3 y A4. De nuevo el vector que losune, A4A3, vale cero, lo que hace que los dos terminos que incluyen al vectorposicion sean cero, quedando:

aA31 = aA34 + a

A41 + 241 v

A34 (12)

De la ecuacion anterior se conoce la direccion del termino aA34, que es paralelaal eslabon 4, y que puede expresarse como:

aA34 = aA34

(cos4sin4

)(13)

Para poder completar un sistema resoluble, se puede plantear la aceleraciondel punto A perteneciente al eslabon 4 y relacionado con el punto O4. Laecuacion es la siguiente:

aA41 = aO441

241O4A+41 O4A =

241O4A+41 O4A (14)

A partir de la ultimas ecuaciones se puede obtener:

221O2A+21 O2A = aA34

241O4A+41 O4A+241 v

A34 (15)

que constituye un sistema de dos ecuaciones escalares y dos incognitas escala-res: aA34 y 41. Operando de forma similar a como se ha hecho anteriormentey sustituyendo los valores del enunciado se tiene finalmente:

41 = 12, 22k rad/s2 aA34 = 97, 1k cm/s

2 (16)

donde el signo negativo de aA34 significa que la corredera se va frenando en sualejamiento del punto O4.


1.2.2.5. Caso de pares de rodadura sin deslizamiento

En la fig. 1.10 se muestra un mecanismo en el que los eslabones 2 y 3se encuentran conectados por un par de rodadura sin deslizamiento, comopodra ser el caso de dos engranajes o dos ruedas de friccion. El eslabon 4 dela figura es una barra articulada al centro de cada una de las ruedas en lospuntos C2 y C3. El punto T es el punto de contacto de las dos ruedas. Se vaa estudiar las restricciones que este par cinematico introduce en velocidadesy en aceleraciones. En el caso de velocidades, la condicion de rodadura puraen el contacto de dos cuerpos implica que no existe velocidad relativa entrelos puntos en contacto. Matematicamente esto puede expresarse como:

vT32 = 0 (1.43)

O lo que es lo mismo, las velocidades absolutas de los puntos en contactoperteneciente a cada uno de los cuerpos es la misma:

vT31 = vT21 (1.44)

Figura 1.10. Mecanismo con un par de rodadura sin deslizamiento

En lo que respecta al analisis de velocidades, cualquiera de las dos expre-siones anteriores es suficiente para pasar por un par cinematico del tipo derodadura pura. Para obtener la expresion de la restriccion en aceleracionesen dicho par cinematico es necesario hacer un desarrollo matematico. De laprimera de las dos expresiones anteriores se deduce que:

vT34 + vT42 = 0 (1.45)


Las dos velocidades del punto T de la anterior expresion se pueden poneren funcion de las velocidades de los centros de las ruedas C3 y C4, mediantela ecuacion que relaciona las velocidades de dos puntos del mismo eslabon,obteniendose:

vT34 = vC334 + 34 C3T = 34 C3T (1.46)

vT42 = vC242 + 42 C2T = 42 C2T (1.47)

donde son nulos los primeros terminos de los segundos miembros al tratarsede un par articulado comun a las dos barras. De las tres ultimas ecuacionesse obtiene:

34 C3T + 42 C2T = 0 (1.48)

Para desarrollan los productos vectoriales de la ecuacion anterior se conside-ran los vectores expresados en los ejes locales i y j, el primero tangente y elsegundo normal a las ruedas en el punto de contacto, como se muestra en lafig. 1.10. Esta consideracion simplifica notablemente el desarrollo matematicoque se va a realizar a continuacion, sin que se pierda generalidad en las con-clusiones que se obtendran. As, los productos vectoriales se expresan como:

i j k

0 0 340 R3 0

+i j k

0 0 420 R2 0

= 0 (1.49)o lo que es lo mismo:

(34 R3 42 R2)i = 0 (1.50)

de la que se obtiene una relacion de velocidades angulares que se usara poste-riormente. La expresion anterior se puede desarrollar para obtener una relacionentre las velocidades angulares de los tres eslabones moviles y el eslabon fijo:

(31 41)R3 (41 21)R2 = 0 (1.51)

Y derivando la ecuacion anterior se obtiene una relacion entre las aceleracionesde los citados eslabones:

(31 41)R3 (41 21)R2 = 0 (1.52)

A continuacion se realiza el analisis de aceleraciones. Se comienza planteandola ecuacion del movimiento relativo en aceleraciones al punto de contacto Tentre las dos ruedas, para lo cual se particulariza la ec. (1.32), con i = 3, j = 2y k = 4:

aT32 = aT34 + a

T42 + 242 v

T34 (1.53)


Los dos primeros terminos del segundo miembro se pueden transformar rela-cionando las aceleraciones de T con las aceleraciones de los puntos C3 y C2pertenecientes al mismo eslabon 4. Para los puntos T y C3:

aT34 = aC334

234C3T + 34 C3T =

234C3T +34 C3T (1.54)

Para los puntos T y C2:

aT42 = aC242

242C2T + 42 C2T =

242C2T +42 C2T (1.55)

Sustituyendo las dos ultimas ecuaciones en la anterior se tiene que:

aT32 = 234C3T +34 C3T

242C2T +42 C2T +242 v

T34 (1.56)

ecuacion en la que se puede anular los terminos segundo y cuarto del segundomiembro, ya que su suma es nula. Ello se deduce de derivar con respectoal tiempo la ec. (1.48). Ademas se pueden expresar los vectores posicion ensus componentes: C3T = R3(j), C2T = R2j. Y lo mismo con el vectorvelocidad vT34 = 34 C3T = 34R3j. Se puede desarrollar el productovectorial del termino de Coriolis:

242 vT34 =

i j k

0 0 4234R3 0 0

= 24234R3j (1.57)

Incorporando todas estas modificaciones en la ecuacion queda:

aT32 = 234R3(j)

242R2j + 24234R3j (1.58)

Agrupando los terminos en j:

aT32 = (234R3

242R2 + 24234R3)j (1.59)

Seguidamente, a partir de la ec. (1.50), se hace la sustitucion 34 = 42R2/R3,con lo que la ecuacion anterior queda en funcion de 42:

aT32 =(242

R22R3

242R2 + 24242R2R3

R3

)j = 242

(R22R3

+R2

)j (1.60)

Ahora solo resta expresar la ecuacion anterior en funcion de 32, para lo cualse realizan las siguientes transformaciones, cuya justificacion es inmediata:

42 = 34R3R2

= (32 + 24)R3R2

= 32R3R2

42R3R2

(1.61)

De la anterior se deduce facilmente:

42 = 32R3

R2 +R3(1.62)


expresion que sustituida en la ultima de las ecuaciones obtenidas para aT32,conduce a:

aT32 = 232

R23(R2 +R3)2

R2(R2 +R3)

R3j = 232

R2R3R2 +R3

j (1.63)

que es un vector dirigido desde el punto de contacto hacia el centro del eslabon3. La expresion anterior puede generalizarse para dos solidos cualesquiera i yj, y para superficies cualesquiera en contacto de doble convexidad o concavo-convexo:

aTij = 2ij

RiRjRi Rj

(1.64)

en la que el signo + corresponde al contacto doblemente convexo, como en elejemplo de la fig. 1.10, y el signo al contacto concavo-convexo. Ri y Rj sonlos radios de curvatura de las superficies en contacto en el punto de contacto, y es el vector unitario en la direccion que va desde el punto de contacto haciael centro de curvatura del cuerpo i. Como ejemplo, esta expresion se puedeaplicar al contacto de rodadura sin deslizamiento de la fig. 1.11, quedando:

aP32 = 232

R3R2R3 +R2

PC3 (1.65)

que es un vector que va dirigido desde el punto de contacto hacia el centrodel eslabon 3.

Figura 1.11. Ejemplo en el que se aplica la ec. (1.64)

A continuacion se realiza el analisis cinematico de un mecanismo con unpar de rodadura sin deslizamiento.

Problema 1.3 Analisis cinematico de un mecanismo pinon-cremallera

En la fig. 1.12 se muestra un mecanismo en el que el eslabon 4 es un pinon


cuyo movimiento sobre la cremallera fija es de rodadura sin deslizamiento. Seconoce la geometra del mecanismo y se tiene resuelto el problema de la posi-cion. Los valores son: O2A = 30 cm, AB = 50 cm, 2 = 60

o y 3 = 347, 31o,

R4 = 15 cm. La velocidad y aceleracion angular de la barra 2 son: 21 = 5krad/s, 21 = 10k rad/s

2. Utilice el metodo de las velocidades y aceleracionesrelativas para obtener las velocidades y aceleraciones angulares de las barras3 y 4.

Figura 1.12. Mecanismo pinon-cremallera

Solucion:

Se comienza analizando las velocidades. En primer lugar la velocidad delpunto A, considerado como perteneciente al eslabon 2:

vA21 = vO221 + 21 O2A = 21 O2A (1)

Para la articulacion entre los eslabones 2 y 3 se tiene que:

vA21 = vA31 (2)

Relacionando las velocidades de los puntos A y B del eslabon 3:

vB31 = vA31 + 31 AB (3)

Para llegar al punto B desde el eslabon 4, primero se aplica al punto P decontacto entre el pinon y la cremallera la condicion cinematica de rodadurapura:

vP41 = 0 (4)

La ecuacion que relaciona las velocidades de los puntos B y P del eslabon 4es:

vB41 = vP41 + 41 PB = 41 PB (5)


A partir de las ecuaciones anteriores se llega facilmente a:

41 PB = 21 O2A+ 31 AB (6)

La ecuacion vectorial anterior esta formada por dos ecuaciones escalares condos incognitas escalares: 31 y 41. Se trata de un sistema lineal facilmenteresoluble. Para el ejemplo numerico que se ha planteado se tiene:

i j k

0 0 410 15 0

=

i j k

0 0 520 cos 60o 20 sin60o 0

+

i j k

0 0 3135 cos 347, 31o 35 sin347, 31o 0

(7)

Desarrollando los determinantes queda:

41

(150

)=

(86, 650

)+ 31

(7, 334, 2

)(8)

de las que se despeja las incognitas, obteniendose:

31 = 1, 5k rad/s 41 = 5, 1k rad/s (9)

El analisis de aceleraciones comienza con la obtencion de la aceleracion delpunto A considerado perteneciente al eslabon 2:

aA21 = aO221

221O2A+21 O2A =

221O2A+21 O2A (10)

Se aplica la ecuacion a la articulacion A entre los solidos 2 y 3:

aA31 = aA21 (11)

Seguidamente se relacionan las aceleraciones de los puntos A y B del eslabon3:

aB31 = aA31

231AB +31 AB (12)

A continuacion se aplica al punto P la condicion de contacto de rodadura sindeslizamiento para aceleraciones, es decir, la ec. (1.64):

aP41 = 241

R4R1R4 +R1

j (13)

En este caso particular, al ser el eslabon 1 una cremallera, se tiene que suradio es infinito, y ello conduce a una indeterminacion del tipo /. Sepuede resolver dividiendo numerador y denominador entre R1, quedando:

aP41 = 241

R4R4R1

+ 1j (14)


Dado que R4/R1 0 se tiene finalmente la expresion:

aP41 = 241R4j (15)

Ahora se relacionan las aceleraciones de los puntos P y B del eslabon 4:

aB41 = aP41

241PB +41 PB (16)

Para esta geometra del mecanismo es facil ver que el primer miembro dela ecuacion anterior tiene direccion horizontal y los dos primeros terminosdel segundo miembro tienen direccion vertical, mientras que el tercer terminodel segundo miembro tiene direccion horizontal. Por tanto los dos primerosterminos del segundo miembro deben ser iguales y de signo contrario, por loque se cancelan, quedando:

aB41 = 41 PB (17)

Por ultimo, se aplica a la articulacion B la ecuacion de las aceleraciones co-rrespondiente a dicha restriccion:

aB31 = aB41 (18)

Incluyendo en la ecuacion anterior las expresiones obtenidas en las ecuaciones(10), (11), (12) y (17) queda:

221O2A+21 O2A 231AB +31 AB = 41 PB (19)

que es resoluble, ya que se trata de un sistema de dos ecuaciones escalares condos incognitas escalares 31 y 41. Para el ejemplo que se esta estudiando setiene:

i j k

0 0 1035 cos 60o 35 sin 60o 0

52

(30 cos 60o

30 sin 60o

)+

i j k

0 0 3130 cos 347, 31o 30 sin347, 31o 0

(1, 54)2

(50 cos 347, 31o

50 sin 347, 31o

)=

i j k

0 0 410 15 0

(20)

Desarrollando los determinantes y productos queda:(173, 2100

)

(250433

)+ 41

(7, 334, 2

)

(6, 616, 4

)= 41

(150

)(21)

Y despejando las incognitas se obtiene:

31 = 9, 3k rad/s2 41 = 24, 1k rad/s

2 (22)


1.2.2.6. Caso de pares de rodadura con deslizamiento

El ejemplo mas habitual de este tipo de par cinematico es el de las levas.En la fig. 1.13 se observan los eslabones 2 y 3 de un mecanismo ligados porun par de leva. Si el punto de contacto es T , la restriccion que impone estepar cinematico en lo que a velocidades se refiere es que la velocidad relativatiene la direccion de la tangente comun en el punto de contacto ya que si nofuera as, los solidos se separaran o penetraran uno en el otro. Es decir:

vT32 tiene la direccion de la tangente en T .

dir V23

3

2

T

T

Figura 1.13. Par de levas

En cuanto a la restriccion del par cinematico en lo referente a aceleraciones,su expresion general depende de las curvaturas de los solidos 2 y 3 en elpunto de contacto, y queda fuera del alcance de este estudio. S se van aestudiar los casos particulares de los bulones y de las levas circulares conseguidor de cara plana, ya que estos casos se pueden resolver de forma sencillamediante el concepto de mecanismo equivalente estudiado en el captulo 1.Como primer caso de estudio se puede observar en la fig. 1.14 un mecanismode tres eslabones en el que dos de ellos estan conectados por un bulon en A, quepermite la rotacion y el deslizamiento relativos. Para su analisis cinematicose puede usar el mecanismo equivalente de la fig. 1.15, en el que se sustituyeel par de leva por dos pares, uno de rotacion y otro prismatico, y se anadeuna barra corredera intermedia. El mecanismo equivalente resultante es unainversion del mecanismo biela-manivela, similar al de la fig. 1.9, del que ya sehizo un estudio de velocidades y aceleraciones.

Un segundo caso de estudio es el de la fig. 1.16, en el que se tiene unmecanismo de tres eslabones en el que una leva cilndrica (excentrica), es-labon 2, mueve a un seguidor de cara plana con movimiento de traslacion,denominado eslabon 3. Entre los dos eslabones hay un par cinematico de le-va. Para el analisis cinematico de este mecanismo de nuevo se puede usar un


2

A

3

O3 O2

Figura 1.14. Mecanismo con un bulon

2

A

3

O3 O2

4

Figura 1.15. Mecanismo equivalente con una corredera

mecanismo equivalente, como el mostrado en la fig. 1.17. Al igual que en elcaso anterior se sustituye el par de leva por dos pares, uno de rotacion y otroprismatico, y se anade una barra corredera intermedia. El analisis cinematicodel mecanismo equivalente de la fig. 1.17 es muy similar al de la fig. 1.15, conla salvedad de que el eslabon de salida tiene un movimiento de traslacion en ladireccion vertical en lugar de un movimiento giratorio. Esto hace su resolucionaun mas sencilla. A continuacion se va a realizar el analisis cinematico de unmecanismo de este tipo.

O2

C2 2

3

Figura 1.16. Mecanismo de leva con seguidor de cara plana


O2

C

22

34

Figura 1.17. Mecanismo equivalente del leva-seguidor

Problema 1.4 Analisis cinematico de un mecanismo leva-seguidor

En la fig. 1.16 se muestra un mecanismo de leva-seguidor. Los valores geometri-cos y de posicion son los siguientes: O2C = 5 cm, 2 = 30

o. La velocidad yaceleracion angular de la barra 2 son: 21 = 10k rad/s, 21 = 0k rad/s

2.Aplique el metodo de las velocidades y aceleraciones relativas a su mecanismoequivalente (fig. 1.16) para obtener las velocidades y aceleraciones de la barra3.Solucion:

Se comienza analizando la velocidad del punto C, considerado como per-teneciente al eslabon 2:

vC21 = vO221 + 21 O2C = 21 O2C (1)

Los eslabones 2 y 4 se encuentran articulados en C, por tanto:

vC41 = vC21 (2)

Aplicando la ecuacion del movimiento relativo a los puntos superpuestos enC de los eslabones 3 y 4:

vC41 = vC43 + v

C31 (3)

que queda como:

21 O2C =

i j k

0 0 21O2C cos2 O2C sin2 0

= vC43 + v

C31 (4)

El par prismatico entre los eslabones 3 y 4 impone que la direccion de vC43sea la de la gua, es decir, horizontal. Haciendo un razonamiento similar seconcluye que la velocidad del eslabon 3 es vertical. Por tanto la ecuacionanterior se puede expresar como:


(O2C21 sin2O2C21 cos2

)=

(vC430

)+

(0vC31

)(5)

Este sistema ya se puede resolver, al estar formado por dos ecuaciones esca-lares y tener dos incognitas escalares, vC43 y v

C31. Resolviendo con los valores

numericos del enunciado se obtiene:

vC31 = 43, 3 cm/s vC43 = 25 cm/s (6)

El analisis de aceleraciones comienza con la obtencion de la aceleracion delpunto A considerado perteneciente al eslabon 2, que segun los datos de entradatiene aceleracion angular 0, resultando:

aC21 = aO221

221O2c +21 O2C =

221O2C (7)

Se aplica la ecuacion a la articulacion C entre los solidos 2 y 3:

aC41 = aC21 (8)

A continuacion se aplica la ecuacion del movimiento relativo en aceleracionesa los puntos superpuestos en C de los eslabones 3 y 4:

aC41 = aC43 + a

C31 + 231 v

C43 = a

C43 + a

C31 (9)

donde la aceleracion de Coriolis se anula dado que la velocidad angular dela barra 3, 31, es 0, al moverse verticalmente. Combinando las ecuacionesanteriores se llega a:

221O2C = aC43 + a

C31 (10)

El vector aC43 solo tiene componente horizontal y el vector aC31 solo tiene

componente vertical. Expresando la ecuacion anterior en sus componentes:

(O2C

221 cos2

O2C221 sin2

)=

(aC430

)+

(0aC31

)(11)

Este sistema ya se puede resolver y da como resultado final:

aC43 = 433 cm/s2 aC31 = 250 cm/s

2 (12)

1.2.2.7. Linealidad del problema de velocidades

En el analisis de velocidades de un mecanismo de un grado de libertad degeometra y posicion conocidas, es posible expresar las velocidades de todaslas barras y de todos los puntos en funcion de la velocidad, angular o lineal,de la barra de entrada. Ademas, estas expresiones dependen linealmente de la


variable velocidad de la barra de entrada, es decir, el problema de velocidadeses un problema lineal. As, si se aumenta al doble la velocidad de la barra deentrada, aumentan al doble la velocidad de todas las barras y puntos. Ellotiene de utilidad que no haga falta resolver de nuevo el problema cuando semodifique la velocidad de la barra de entrada. O incluso si se decide conside-rar otra barra como la de entrada, tampoco haga falta resolver de nuevo elproblema, ya que las las relaciones entre las velocidades se mantienen aunquecambie la barra de entrada. Esta relacion lineal no se cumple para las acelera-ciones, ya que la aceleracion de los puntos y barras del mecanismo dependendel cuadrado de la velocidad angular (o lineal) y de la aceleracion angular (olineal) de la barra de entrada. Por tanto, si se modifica la velocidad o ace-leracion de la barra de entrada es necesario resolver de nuevo el problema.Solo hay una situacion en la que el problema de aceleraciones es lineal y escuando comienza el movimiento a partir de un estado de reposo, es decir,justo cuando se empieza a mover un mecanismo. En ese instante se tiene quelas velocidades son nulas, pero las aceleraciones son distintas de cero. Puesbien, en ese caso, en las expresiones de las aceleraciones valdran cero todoslos terminos que incluyan velocidades, es decir los terminos de aceleracionesnormales y de coriolis. Y solo seran distintos de cero los terminos de acelera-ciones lineales y angulares. En ese caso el problema de aceleraciones es linealrespecto a la aceleracion, angular o lineal, de la barra de entrada. Es mas, lasexpresiones del problema de aceleraciones seran iguales que las del problemade velocidades, sin mas que sustituir las variables de velocidades (lineales yangulares) por las de aceleraciones (lineales y angulares).

1.3. Analisis de posicion, velocidades y aceleraciones

mediante las ecuaciones de lazo

En este metodo, al igual que en cualquier metodo analtico, se realiza elplanteamiento, manipulacion y resolucion de las ecuaciones de posicion, ve-locidad y aceleracion de los elementos y puntos de interes de un mecanismo,para unos valores determinados de la variable de entrada y sus derivadas. Lasecuaciones necesarias para la solucion del problema de posicion se obtienenplanteando las ecuaciones vectoriales que representan los diferentes lazos for-mados por barras del mecanismo. Para obtener las ecuaciones de velocidadesbasta derivar las ecuaciones obtenidas en el problema de posicion. Y a lasecuaciones de aceleraciones se llega derivando las de velocidades.

Como ejemplo se va a desarrollar el metodo para el mecanismo de ungrado de libertad de la fig. 1.18, en el que se considera al eslabon 2 comoeslabon de entrada. Son conocidas las dimensiones de los eslabones, O2A = 2cm, O4B = 7, 5 cm, O2O4 = 3, 5 cm, BC = 5 cm, as como las variables deleslabon de entrada, 2 = 20

, 21 = 10k rad/s y 21 = 0k rad/s2. Ademas, la

distancia vertical desde O4 hasta C es de 8, 5 cm. En este mecanismo puedendefinirse dos lazos formados por las barras 1234 y 1456, como se

1.3 Analisis de posicion, velocidades y aceleraciones mediante las ecuaciones de lazo 29

O2

C

2

4

O4

B

A

3

5

6

Figura 1.18. Mecanismo de retorno rapido

muestra en la fig. 1.19. De esta manera se recorrera el mecanismo completo. Ellazo 1, formado por los eslabones 1, 2, 3 y 4, es una inversion del mecanismobiela-manivela con el eslabon 2 de entrada. Los datos numericos para estasubcadena se han tomado identicos a los del problema problema 1.2 basadoen la fig. 1.9, por lo que la resolucion por este metodo servira de comprobaciondel resultado obtenido en dicho apartado. El lazo 2 es otra inversion del biela-manivela formada por los eslabones 1, 4, 5 y 6. Para la resolucion de este lazose considerara como eslabon de entrada el eslabon 4, del que se conoceran susparametros cinematicos una vez resuelto el lazo 1.

1.3.1. Problema de posicion

Para la resolucion del problema de posicion se planteara la ecuacion decierre de cadena del lazo 1:

r3 = d+ r2 (1.66)

La ecuacion anterior es resoluble, ya que tiene las dos incognitas escalares r3y 4, para lo cual se descompone en sus proyecciones:

r3

(cos4sin4

)=

(0d

)+ r2

(cos2sin2

)(1.67)

Se trata de un sistema no lineal, cuya solucion es:

r3 = 4, 59 cm 4 = 65, 81 (1.68)


O2

C

O4

B

A

g

r6

r5

r4

r3

r2

d

Lazo 1

Lazo 2

Figura 1.19. Lazos del mecanismo de retorno rapido

Se completa la resolucion del problema de posicion, planteando la ecuacionde cierre de cadena del lazo 2:

r4 + r5 = g + r6 (1.69)

Una vez resuelto el lazo 1, las unicas incognitas de esta ecuacion, son r6 y5, por lo que se puede resolver descomponiendola en sus proyecciones:

r4

(cos4sin4

)+ r5

(cos5sin5

)=

(0g

)+

(r60

)(1.70)

Resolviendo este sistema no lineal se obtiene:

r6 = 1, 64 cm 5 = 160, 6 (1.71)

Notese que las ecuaciones que se obtienen para el problema de posicion son nolineales y su resolucion puede proporcionar varias soluciones. De las solucionesmatematicas posibles habra que escoger aquella solucion que sea apropiadapara cada problema concreto.

1.3.2. Problema de velocidades

Resuelto el problema de posicion, se obtienen las ecuaciones de las veloci-dades derivando las ecuaciones de posicion de cada uno de los lazos. Para elprimer lazo se deriva la ec. (1.67), teniendo en cuenta que el vector r3 varaen modulo y en direccion, el vector r2 vara solo en direccion, mientras que elvector d no vara con el tiempo:

1.3 Analisis de posicion, velocidades y aceleraciones mediante las ecuaciones de lazo 31

r3

(cos4sin4

)+ r34

( sin4cos4

)= r22

( sin2cos2

)(1.72)

El analisis de los terminos de esta ecuacion permite expresarla en formavectorial de la siguiente manera:

vA34 + 41 O4A = 21 O2A (1.73)

que no es otra cosa que la ecuacion obtenida para esta subcadena por elmetodo de las velocidades relativas:

vA34 + vA41 = v

A31 = v

A21 (1.74)

Sustituyendo valores numericos y resolviendo la ec. (1.72), que es lineal, adiferencia del problema de posicion, se obtienen las incognitas:

4 = 41 = 3, 03 rad/s r3 = vA34 = 14, 35 cm/s (1.75)

que coinciden con los obtenidos por el metodo de las velocidades relativas.Se completa el analisis de velocidades derivando la ecuacion de cierre de

cadena del segundo lazo, ec. (1.70). De los terminos de dicha ecuacion, r4 yr5 varan solo en direccion, r6 vara solo en modulo, mientras que el vector gno vara con el tiempo. Con ello se tiene:

r42

( sin4cos4

)+ r55

( sin5cos5

)=

(r60

)(1.76)

La ec. (1.76) puede expresarse en forma vectorial como:

vB51 + 51 BC = vC51 = v

C61 (1.77)

cuya veracidad es evidente si se tiene en cuenta que el segundo lazo de lafig. 1.19 es un mecanismo manivela-corredera, por lo que sera la ecuacion paravelocidades si se aplicara el metodo de las velocidades relativas de acuerdo conel apartado 1.2.2.3.

La ec. (1.76) se resuelve facilmente para las incognitas 51 y r6 obteniendo-se:

5 = 51 = 1, 97 rad/s r6 = vC61 = 24 cm/s (1.78)

1.3.3. Problema de aceleraciones

Una vez resueltos los problemas de posicion y de velocidades, para resolverel problema de aceleraciones se derivaran las ecuaciones de velocidades de cadauno de los lazos. Para el primer lazo se deriva la ec. (1.72):

r3

(cos4sin4

)+ r34

( sin4cos4

)+ r34

( sin4cos4

)+ r34

( sin4cos4

)+

r324

( cos4 sin4

)= r22

( sin2cos2

)+ r2

22

( cos2 sin2

)


(1.79)

Reagrupando terminos:

r3

(cos4sin4

)+ 2r34

( sin4cos4

)+ r34

( sin4cos4

)+ r3

24

( cos4 sin4

)=

r22

( sin2cos2

)+ r2

22

( cos2 sin2

)

(1.80)

La ec. (1.80) de aceleraciones para el primer lazo, se puede poner en formavectorial de la forma siguiente:

aA34 +41 O4A241O4A+241 v

A34 = 21 O2A

221O2A (1.81)

en la que se pueden reconocer los mismos terminos que para el ejemplo de lafig. 1.9 se obtuvo por aceleraciones relativas.

La ec. (1.80) es lineal y resoluble para las incognitas r3 y 4. Para el casodel ejemplo numerico del presente apartado, se obtiene:

4 = 41 = 12, 25 rad/s2 r3 = a

A34 = 97, 6 cm/s

2 (1.82)

Para el segundo lazo, derivando la ec. (1.76), se tiene:

r44

( sin4cos4

)+ r4

24

( cos4 sin4

)+ r55

( sin5cos5

)+

r525

( cos5 sin5

)=

(r60

) (1.83)

que escrita en forma vectorial queda:

41 O4B 241O4B +51 BC

251BC = a

C51 = a

C61 (1.84)

que se corresponde con la ecuacion del metodo de las aceleraciones relati-vas para el mecanismo biela-manivela para el segundo lazo de la fig. 1.19 deacuerdo con el apartado 1.2.2.3.

La ec. (1.83) se resuelve facilmente para las incognitas 5 y r6 obteniendosemediante la sustitucion de los valores numericos planteados en este apartado:

5 = 51 = 6, 72 rad/s2 r6 = a

C61 = 82,57 cm/s

2 (1.85)

1.4. Analisis de velocidades mediante los centros

instantaneos de rotacion

1.4.1. Introduccion

Este metodo de analisis esta basado en el hecho de que en el movimien-to relativo de dos cuerpos en movimiento plano, en cualquier instante existe

1.4 Analisis de velocidades mediante los centros instantaneos de rotacion 33

un punto comun a los dos cuerpos desde el cual, cada uno ve al otro cuerporealizar un giro puro. A este punto se le conoce con el nombre de centro ins-tantaneo de rotacion (CIR) y tambien como polo de velocidades. Este conceptoes extensible al movimiento espacial usando el concepto de eje instantaneo delmovimiento helicoidal tangente, como el eje comun a dos cuerpos en torno alcual puede considerarse que cualquiera de ellos gira con respecto al otro.

Mientras que el concepto de centro instantaneo de rotacion se ha mostradobastante util en el analisis de velocidades de mecanismos, no ha pasado lomismo con el centro instantaneo de aceleraciones, que aunque tambien existe,la dificultad en su localizacion hace que no merezca la pena su utilizacioncomo metodo de obtencion de aceleraciones de un mecanismo. Por ello, solose va a considerar el metodo de los centros instantaneos de rotacion para elanalisis cinematico.

La utilizacion de los centros instantaneos de rotacion, como metodo deanalisis de velocidades se vuelve particularmente util cuando solo hay interesen dos o tres velocidades (o velocidades angulares). Concretamente, puede serun metodo muy util para la obtencion de la relacion entre las velocidades desalida y entrada de un mecanismo muy complejo. Tambien se muestra util elmetodo cuando los mecanismos tienen pares superiores, como es el caso de losmecanismos de leva o trenes de engranajes.

En resumen, se trata de un metodo util solo para el caso de analisis develocidades en mecanismos y en el caso del calculo de aceleraciones, se de-bera acudir a algunos de los metodos estudiados en apartados anteriores.

1.4.2. Definiciones

El centro instantaneo de rotacion del movimiento relativo de dos eslabo-nes i, j se define como un punto comun a dos cuerpos en movimiento planoque tiene la misma velocidad instantanea en cada cuerpo. Analticamente, lacondicion para que Iij sea el centro instantaneo de rotacion de los eslabonesi y j, se expresara:

vIiji1 = v

Iijj1 (1.86)

A la vista de la definicion anterior, resulta evidente que la velocidad relati-va que cada punto observa en el otro es nula, por lo que el centro instantaneode rotacion es aquel punto perteneciente a los dos eslabones con velocidad re-lativa nula, es decir, para el centro instantaneo de rotacion Iij de los eslabonesi y j, se cumple:

vIijij = 0 (1.87)

Tambien, y en base a lo indicado en el apartado anterior, se puede definircomo el punto en el que instantaneamente un eslabon tiene un movimiento degiro respecto al otro eslabon.


Puede darse el caso de que los puntos esten ligados de forma permanente(como es el caso de una articulacion), pero en general esta propiedad es ver-dadera solo instantaneamente y al siguiente instante surgira un nuevo par depuntos coincidentes que se convertiran en el centro instantaneo. Puesto quese requieren dos eslabones para crear un centro instantaneo, se puede prede-cir con facilidad la cantidad de centros instantaneos que se puede esperar encualquier conjunto de eslabones. Dado que para el concepto de Iij , el orden delos numeros i y j carece de importancia, para un mecanismo con N eslabones,el numero de centros instantaneos sera:

NumeroCIR =N (N 1)

2(1.88)

1.4.3. Centros instantaneos de rotacion en diversos pares

cinematicos

Algunos centros instantaneos se pueden encontrar por inspeccion con solotener en cuenta la definicion que se ha dado en el apartado anterior, como esel caso de la fig. 1.20 en la que dos eslabones de un mecanismo estan unidosmediante una articulacion. La citada articulacion cumple las definiciones da-das para el centro instantaneo de rotacion, por lo que sera la ubicacion delmismo, I23.

Figura 1.20. Centro instantaneo de rotacion en articulacion

En el cuadrilatero articulado de la fig. 1.21, cuyo numero de centros ins-tantaneos es seis, se localizan cuatro de los centros en las cuatro articulaciones,como se indica en dicha figura. Un buen metodo para tener presente que cen-tros instantaneos se han localizado y cuales son los que faltan consiste encolocar los numeros correspondientes a los eslabones del mecanismo en tornoal permetro de un crculo, como se indica en el grafico que esta a la derechadel mecanismo en la citada figura. A continuacion, conforme se identifica ca-da centro, se traza una lnea que conecta los numeros de los dos eslabones dedicho centro. En este ejemplo se han dibujado 4 lneas para I12, I23, I34 e I14.


Figura 1.21. Centros instantaneos de rotacion en un cuadrilatero articulado

Con esta representacion grafica es facil ver que faltan las lneas que repre-sentan I13 e I24. Para localizar estos dos centros instantaneos que faltan, sepuede utilizar el teorema de los tres centros, que establece que los tres cen-tros instantaneos de rotacion que comparten tres eslabones en un movimientoplano se encuentran en una lnea recta. La fig. 1.22 muestra la construcciondetallada para obtener los centros I13 e I24. Para saber si uno de ellos, porejemplo el I13 se puede obtener por el teorema de los tres centros, se unenlos puntos 1 y 3 del crculo con una lnea de trazos. Si, como es el caso de lafig. 1.22, dicha lnea completa dos triangulos cuyos restantes lados son lneascontinuas, eso significa que hay informacion suficiente para obtenerlo. Paraobtenerlo se hace lo siguiente: se dibuja en el mecanismo una recta que pasepor los centros I12 e I23, donde debera estar el centro I13. A continuacion sedibuja en el mecanismo la recta que pasa por I34 e I14, donde tambien de-bera estar el centro I13. Entonces el centro I13 se encontrara en la interseccionde las dos rectas anteriores. Con un razonamiento similar se ha obtenido elcentro I24.

En la fig. 1.23 (a) se muestran dos eslabones de un mecanismo unidosmediante un par prismatico. En este caso la ubicacion del centro instantaneode dichos eslabones I23 no es tan obvia. De apartados anteriores se sabe quela direccion de la velocidad de deslizamiento es la dibujada en dicha figura,por lo que, por su definicion, el centro instantaneo estara en la perpendiculara dicha velocidad. Su ubicacion exacta a lo largo de dicha perpendicular hayque situarla en el infinito, ya que es el punto desde el que dicho deslizamientodel eslabon 3 a lo largo del eslabon 2 se observara como un giro.

En la fig. 1.23 (b) se tiene una corredera 3, que se esta moviendo apoyadaen una superficie circular 2. El centro de la superficie circular es la localizaciondel centro instantaneo I23 de dichos eslabones. Realmente, una corredera sobre


Figura 1.22. Centros instantaneos de rotacion en un cuadrilatero articulado

Figura 1.23. Centro instantaneo de rotacion en un par prismatico

una superficie circular es cinematicamente equivalente a una articulacion, cuyocentro es el centro de curvatura de la superficie, es decir, el centro instantaneo.Si la superficie no es circular, el centro instantaneo se ubicara en el centro decurvatura de la superficie en el punto de contacto.

En la fig. 1.24 se pueden observar los eslabones 2 y 3 de un mecanismoligados por un par de rodadura sin deslizamiento, como por ejemplo es el casode dos engranajes o dos ruedas de friccion. Puesto que ya se ha visto quela condicion cinematica de este tipo de contacto es que la velocidad relati-


va en el punto de contacto es nula, por definicion, el centro instantaneo I23esta ubicado en dicho punto de contacto.

Figura 1.24. Centro instantaneo de rotacion en un par de rodadura sin desliza-miento

En el caso del par de levas de la fig. 1.25, ya se vio anteriormente que larestriccion que impone este par cinematico en lo que a velocidades se refiere esque la velocidad relativa tiene la direccion de la tangente comun en el puntode contacto, ya que si no fuera as, los solidos se separaran o penetraran unoen el otro. A la vista de ello, el centro instantaneo I23 estara localizado en laperpendicular a dicha velocidad relativa en el punto de contacto. La ubicacionexacta a lo largo de esta perpendicular no puede saberse solo por la condi-cion del contacto, por lo que su localizacion se hara a partir de condicionesadicionales, tal como el teorema de los tres centros.

Figura 1.25. Centro instantaneo de rotacion en un par de levas


1.4.4. Analisis de velocidades usando centros instantaneos de

rotacion

En la fig. 1.26 puede verse un mecanismo de cuatro barras en la que sesupone conocida la velocidad angular 21 del eslabon de entrada 2.

Figura 1.26. Analisis de velocidades

Por observacion directa se encuentran los centros instantaneos I12, I23, I34e I14, en las articulaciones del mecanismo y se trazan las lneas continuas sobreel crculo de la figura, correspondientes a los centros conocidos. Mediante elteorema de los tres centros se localiza el centro I13 en la interseccion de laprolongacion de los eslabones 2 y 4.

Puede obtenerse la velocidad angular 31 del eslabon acoplador utilizandola definicion del centro instantaneo I23, es decir:

vI2321 = vI2331 = 21 I12I23 = 31 I13I23 (1.89)

La unica incognita de la ecuacion anterior es la velocidad angular 31, quepuede obtenerse facilmente.

Una vez calculada 31 se puede obtener la velocidad de cualquier puntodel eslabon 3, por ejemplo la del punto D:

vD31 = 31 I13D (1.90)

Se puede tambien calcular la velocidad angular del eslabon de salida 41aplicando la definicion del centro instantaneo I34:


vI3431 = vI3441 = 31 I13I34 = 41 I14I34 (1.91)

Ecuacion en la que la unica incognita es la velocidad angular 41, por lo quepuede despejarse de la misma.

Como puede observarse, para relacionar los eslabones i y j por este meto-do se necesitan los centros instantaneos Ii1, Iji, e Iij , es decir, el centro ins-tantaneo comun a los dos eslabones involucrados y el de cada uno de ellos conel eslabon fijo.

Problema 1.5 Analisis de velocidades mediante los centros ins-

tantaneos de rotacion

Como resumen del metodo de los centros instantaneos de velocidad que seacaba de estudiar, se va a aplicar dicho metodo para resolver el analisis de ve-locidades del mecanismo de la fig. ?? en el que el eslabon de entrada, eslabon2, esta doblemente articulado en O2 a la barra fija y en A a la corredera 3, lacual se mueve en el interior de una deslizadera circular realizada en el solido 4.El centro del crculo de la deslizadera esta en la esquina inferior izquierda deleslabon 4, el cual solo puede deslizar sobre el suelo horizontal. Para la resolu-cion del problema numerico, se suponen conocidos los valores de: O2A = 0, 45m; R = 0, 26 m; d = 0, 259 m; la barra 2 gira a una velocidad 21 = 2 rad/s ensentido horario. Para estos valores se quiere calcular la velocidad del eslabon4, es decir, v41.

O2

2

d

3

4

30R

A

Figura 1.27. Mecanismo del problema 1.5

Solucion:

Para resolver este problema se necesitan los centros instantaneos I12, I14y el comun a las barras 2 y 4, o sea, I24. Son de localizacion inmediata, I12,I23, I34 e I14, mientras que los I13 e I24 se obtienen mediante el teorema delos tres centros. En la fig. ?? estan localizados los seis centros instantaneosdel mecanismo.


O2

2

d

3

4

21

I14

8

I24

I13

I34I12

I23

V41

30

Figura 1.28. Localizacion de los centros

A continuacion, se plantea para el centro instantaneo comun la condicionde igualdad de las velocidades:

vI2441 = vI2421 (1)

Teniendo en cuenta que el eslabon 4 realiza una traslacion, es decir, quetodos sus puntos tienen la misma velocidad, y que el eslabon 2 gira alrededorde O2 se tendra:

vI2421 = 21 I12I24 =

(21I12I24

0

)= vI2441 = v41 (2)

Para calcular la distancia I12I24, se necesita la coordenada y de I24, lacual se obtiene facilmente a partir de la ecuacion de la recta que pasa por loscentros I23 (O2A cos 30

, O2A sin 30) e I34 (d, 0). La ecuacion de dicha recta

es: y = 1, 7214x 0, 4458, que particularizada para x = 0, permite locali-zar las coordenadas de I24(0,0, 4458). Sustituyendo los valores numericos seobtiene:

v41 =

(2 0, 4458

0

)=

(0, 8916

0

)m

s(3)

1.5 Bibliografa recomendada 41

1.5. Bibliografa recomendada

- Teora de maquinas. Autores: Salvador Cardona Foix y Daniel Clos Costa.Ediciones UPC, 2001.- Teora de mecanismos. Autores: Alfonso Hernandez, Charles Pinto, VctorPetuya y Josu Agirrebeitia. Editado por la Escuela Superior de Ingenieros deBilbao, 2002.- Problemas resueltos de teora de maquinas y mecanismos. Autores: J. C.Garca Prada, C. Castejon Sisamon y H. Rubio Alonso. Editorial Thomson,2007.- Fundamentos de mecanismos y maquinas para ingenieros. Autores: RoqueCalero Perez y Jose Antonio Carta Gonzalez. Editorial McGraw-Hill, 1999.- Cinematica de mecanismos. Analisis y diseno. Autor: Alfonso Hernandez.Editorial Sntesis, 2004.- Diseno de mecanismos. Analisis y sntesis. Autores: Arthur G. Erdman yGeorge N. Sandor. Editorial Prentice-Hall, 1998.

Referencias

44 Referencias

1.6. Problemas

Problema 1.

En el mecanismo de la fig. 1.29, el eslabon 4 esta formado por dos discosunidos. El disco menor tiene un contacto de rodadura sin deslizamiento con eleslabon fijo y el disco mayor tiene un contacto de rodadura sin deslizamientocon el eslabon 5. El eslabon 5 desliza horizontalmente respecto al eslabon fijo.El resto de pares cinematicos son articulaciones. O2 y B estan en la mismahorizontal y el plano del suelo por donde desliza el disco tambien es horizontal.Todos los solidos se mueven en el plano XY. Los datos geometricos, expresadosen coordenadas polares en el plano XY, son los siguientes: O2A = (10 cm,30), AB = (10 cm, 330). La barra de entrada es la 2 y tiene una velocidady aceleracion angular de valores: 21 = 10k rad/s, 21 = 0k rad/s

2. Losradios de los discos miden: R1 = 4 cm y R2 = 6 cm. Calcular:

1) La velocidad del solido 5.2) La aceleracion del solido 5.3) A continuacion se desea que la velocidad del solido 5 sea mucho mayor

que la del punto B. Para ello se van a modificar los radios de los discos R1y R2, pero manteniendo las longitudes y la posicion de las barras 2 y 3.Que relacion de radios R2/R1 se tendra que tener para que la velocidad de5 fuera 10 veces mayor que la de B?

4) Podra dar la expresion analtica de la velocidad del solido 5, v51, enfuncion del angulo que la barra de entrada forma con el eje OX, que deno-minaremos , y de los radios R1 y R2. Considere para este apartado que lavelocidad de la barra de entrada es constante, 21 = 10k, y las longitudesde las barras 2 y 3 son las dadas, es decir, 10 cm. A partir de esa expresioncalcule el valor maximo y mnimo de v51 (en modulo) para una rotacion com-pleta de la barra de entrada y con los valores de los radios dados, es decir,R1 = 4 cm y R2 = 6 cm. Indique tambien para que valores de angulo se dan.

Solucion:1) vB31 = 100i cm/s 31 = 10k rad/s 41 = 25k rad/s

v51 = 250i cm/s2) aB31 = 1732i cm/s

2 31 = 0k rad/s2 41 = 433k rad/s

2

a51 = 4330i cm/s2

3) R2/R1 = 93) v51 = 200 sin

R1+R2R1

i cm/s v51(max) = 500 cm/s, para = 900

v51(min) = 0 cm/s, para = 00, 1800

Problema 2.

1.6 Problemas 45

Figura 1.29. Problema 1

Dado el mecanismo de la fig. 1.30:1) Calcular la velocidad angular de la barra 5, 51, sabiendo que la barra deentrada 2 gira a una velocidad 21 = 1, 5k rad/s.

2) Para las velocidades obtenidas en el apartado anterior calcular la ace-leracion angular de la barra 5, 51, si la aceleracion de la barra 2 es 21 =0,5 rad/s2.

c) Obtener la velocidad de la barra de entrada, 21, si la velocidad angularde la barra 5, 51, alcanza un valor de 51 = 10k rad/s.

Datos:

En el punto A existe un bulon solidario al disco 2 y que desliza dentrode la gua que tiene la barra 3.

O2A = 30 cm (horizontal), O3A = 80 cm, AB = 50 cm, O2O3 vertical. O3, A y B estan en una lnea recta. Los eslabones 3 y 4 estan articulados en B; no existe contacto directo

entre los eslabones 3 y 5. Los eslabones 2, 3 y 5 estan articulados conel eslabon fijo.

El vector tangente a la varilla 5 en el punto B es horizontal La varilla 5 es circular con un radio de curvatura R = 150 cm y desliza

dentro de la corredera 4. El vector O5B tiene una longitud de 120 cm y forma un angulo con la

horizontal 5 = 135o.

Solucion:1) 31 = 0, 21k rad/s, 45 = 0, 1k rad/s, 51 = 0, 12k rad/s.2) 31 = 0, 53k rad/s

2, aB45(normal) = 0, 015j m/s2, 51 = 0, 045k

rad/s2.3) 21 = 125k rad/s

46 Referencias


Problema 3.

La fig. 1.31 muestra un mecanismo en el que la barra 2 rueda sin desliza-miento respecto a la 1. Ademas las barras 2 y 3 estan articuladas en el puntoA, la barra 4 esta articulada al eslabon fijo en O4 y las barras 3 y 4 estanconectadas mediante un par prismatico en B. Sabiendo que la velocidad de labarra 2 es de 21 = 3k rad/s y su aceleracion es 21 = 0k rad/s

2, calcular:1) La velocidad angular de la barra 4, 41.2) La aceleracion angular de la barra 4, 41.3) Considerando que el mecanismo se conduce desde la barra 2, indique

cual es el mejor y el peor angulo de transmision durante el movimiento delmecanismo. Justifique brevemente la respuesta.

Datos: r1 = 4 cm r2 = 2 cm PC = 2 cm CA = 1 cmAB = 3 cm

PC y O4B son lneas verticales. CA y AB son horizontales.

Solucion:1) vB34 = 12j cm/s 41 = 31 = 3k rad/s

1.6 Problemas 47

2) aP21 = 12j cm/s2 aB34 = 42j cm/s

2 41 = 31 = 18k rad/s2

3) Es siempre 900 durante todo el movimiento del mecanismo.


Problema 4.

En el mecanismo de la fig. 1.32 la corredera 2 desliza sobre el plano ho-rizontal y la corredera 4 sobre una superficie circular de radio R. Estas doscorrederas estan unidas por una barra biarticulada. En el instante mostrado,el centro del crculo, C, y el centro de la corredera, B, se encuentran en lamisma horizontal. Sabiendo que la velocidad de la barra 2 es de vA21 = vim/s y su aceleracion es aA21 = 0i m/s

2, calcular:1) La velocidad lineal del punto B de la barra 4, vB41.2) La aceleracion lineal del punto B de la barra 4, aB41.

Solucion:1) 31 =

vRk rad/s vB41 = 2vj m/s

2) 31 =6v2

R2k rad/s2 aB41 = (

4v2

R; 13v

2

R) m/s2

48 Referencias


Problema 5.

En el mecanismo de la fig. 1.33 el contacto entre las ruedas 3 y 4 esde rodadura sin deslizamiento. El resto de los pares son articulaciones y unpar prismatico. Se conoce la velocidad y la aceleracion de la corredera 5,siendo vC51 = 80i cm/s, a

C51 = 2500i cm/s

2. Los datos de longitudes son lossiguientes: O2A = 3 cm, AB = 1 cm, BC = 15 cm. Los puntos O2, A y Pestan en la misma vertical. Los radios de las ruedas miden: R1 = 4, 5 cm yR3 = 1, 5 cm. Se pide:1) Calcular los grados de libertad del mecanismo.

2) Obtener las velocidades angulares de las barras 3 y 2.3) Obtener las aceleraciones angulares de las barras 4 y 3.Nota: el modulo de la aceleracion relativa o de rodadura en el punto de

contacto P es |aP31| = 231|

r1r3r1r3

|.Solucion:1) G = 12) 41 = 4, 2k rad/s 31 = 61, 7k rad/s 21 = 30, 87k rad/s

3) aP31 = 8574, 75j cm/s2 41 = 138, 49k rad/s

2 31 =769, 89k rad/s2

Problema 6.

En el mecanismo de la fig. 1.34 la barra 2 esta unida a la barra fija me-diante una articulacion en O2 y a la barra 3 por una articulacion en A. Labarra 3 desliza dentro de la corredera 4, que esta articulada a la barra fija enel punto B. El punto C es un bulon, rgidamente unido a la barra 3, que semueve dentro de la gua del disco 5. El disco 5 rueda sin deslizar sobre la barra2, siendo P el punto de contacto, y G el centro del disco. En la figura aparecenlas cotas, en mm. Suponiendo un valor de 21 = 1k rad/s y 21 = 1k rad/s

2,

1.6 Problemas 49


y para la posicion representada, calcular:

1) La velocidad angular del disco 5.2) La aceleracion angular del disco 5.Solucion:

1) 31 = 41 = 2, 08k rad/s 51 = 2, 07k rad/s

2) 31 = 41 = 8, 62k rad/s2 51 = 9, 89k rad/s

2

Problema 7.

En el mecanismo de la fig. 1.35 se tiene un disco 2 sobre el que se han rea-lizado dos ranuras perpendiculares. Por dichas ranuras deslizan los bulones Ay B pertenecientes al solido 3. Un tercer bulon C, perteneciente tambien alsolido 3, desliza por una ranura fija vertical. En la posicion representada en lafigura, las coordenadas en metros de los tres puntos con respecto al sistema decoordenadas situado en O2 son: A = (0, 5; 0), B = (0;0, 8) y C = (0;2).Si la barra 2 gira con una velocidad 21 = 10k rad/s, obtener mediante elmetodo de los centros instantaneos de rotacion:

1) La velocidad angular de la barra 3.2) La velocidad del punto C.

50 Referencias


Solucion:

1) 31 = 4, 81k rad/s

2) vC31 = 2, 2j m/s


1.6 Problemas 51

Problema 8.

El mecanismo de la fig. 1.36 es un esquema de un mando de accionamientodel timon de un buque. O2B es la cana y AC es la barra de mando. Calcule lavelocidad y aceleracion angular de la cana para la posicion de la figura sabien-do que la velocidad de C es horizontal hacia la derecha y de valor constante0,033 m/s. La longitud de la figura esta en metros.

Solucion:

1) 21 = 0, 0495k rad/s 21 = 0, 0028k rad/s2


Problema 9.

En la fig. 1.37 se representa un puente levadizo de pequenas dimensiones.Se acciona a traves de la rueda 2, cuyo centro, O2, es un par de rotacioncon la barra fija. Esta rueda engrana con la cremallera 3 en el punto B, queesta unida a la barra 4 mediante un par de rotacion en A. Para estudiar elcontacto 2-3 considere la rueda de friccion equivalente, de radio R2 = 0, 2 my un espesor cero para la barra 3. Las barras 1-4-5-6 forman un cuadrilateroarticulado con los lados paralelos dos a dos (tipo paralelogramo) y en esteinstante la barra 4 esta en posicion horizontal. As que al girar la rueda 2 ensentido anti-horario y con la ayuda del contrapeso se lograra girar el puen-te en sentido tambien anti-horario y de ese modo se producira su apertura.Otros datos son: O4A = 1, 783 m, O4O2 = 1, 5 m, AB = 2, 321 m, 21 = 1krad/s, 21 = 0k rad/s

2. Calcular:

52 Referencias

1) Las velocidades angulares de todas las barras.2) La aceleracion angular de la barra 4.Solucion:

1) 31 = 0, 0862k rad/s 41 = 61 = 0, 1586k rad/s 51 = 0krad/s

2) 31 = 0, 005693k rad/s2 41 = 0, 011480k rad/s

2


Problema 10.

La fig. 1.38 muestra un mecanismo para inflar ruedas de bicicleta. Apli-cando fuerza en el pedal del eslabon 2 (punto B) se logra el deslizamientorelativo del cilindro 3 a lo largo del vastago 4 y de ese modo se comprime elaire. En el instante que se muestra en la figura la velocidad de deslizamientodel cilindro 3 en el vastago 4 es de 5 cm/s, constante y dirigiendose haciaO4. En la parte inferior de la fig. 1.38 se muestra un esquema del mecanismo.La distancia O2O4 es 25 cm, la distancia AC es 4,3 cm y CB es 19,04 cm.Calcular:

1) Las velocidades angulares de las barras 2 y 4 y la velocidad lineal delpunto B.

2) Las aceleraciones angulares de las barras 2 y 4.Solucion:

1.6 Problemas 53

1)21 = 0, 4k rad/s 41 = 31 = 0k rad/s vB21 = (7, 14;10, 86)j

cm/s

2) 21 = 0k rad/s2 31 = 41 = 0, 0924k rad/s

2


1 Cinemtica de Mquinas 1.1 Introduccin1.2 Mtodo de las velocidades y aceleraciones relativas1.2.1 Bases del mtodo: cinemtica del movimiento relativo1.2.1.1 Movimiento de un triedro. Frmulas de Poisson1.2.1.2 Movimiento relativo. Definiciones1.2.1.3 Movimiento relativo. Velocidades lineales1.2.1.4 Movimiento relativo. Velocidades angulares1.2.1.5 Movimiento relativo. Aceleraciones

1.2.2 Aplicacin a mecanismos planos1.2.2.1 Aplicacin a dos puntos del mismo eslabn1.2.2.2 Aplicacin a puntos de eslabones conectados por diversos pares cinemticos1.2.2.3 Caso de articulaciones1.2.2.4 Caso de pares prismticos1.2.2.5 Caso de pares de rodadura sin deslizamiento1.2.2.6 Caso de pares de rodadura con deslizamiento1.2.2.7 Linealidad del problema de velocidades

1.3 Anlisis de posicin, velocidades y aceleraciones mediante las ecuaciones de lazo1.3.1 Problema de posicin1.3.2 Problema de velocidades1.3.3 Problema de aceleraciones

1.4 Anlisis de velocidades mediante los centros instantneos de rotacin1.4.1 Introduccin1.4.2 Definiciones1.4.3 Centros instantneos de rotacin en diversos pares cinemticos1.4.4 Anlisis de velocidades usando centros instantneos de rotacin

1.5 Bibliografa recomendada

Referencias1.6 Problemas

cinemática

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