cinematica de miguel

8/16/2019 Cinematica de Miguel

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Universidad José CarlosMariátegui

Facultad de IngenieríasCarrera de Ingeniería Civil

Tema : Instrumentos de Laboratorio

Curso : QuímicaDocente : Lic. Hubert

Alumno : RIOS COLQUE !iguel "ngel#$#%%#'(

Ciclo : II

Grupo : )"*

Moquegua – Per

!"#$


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U%&'()*&DAD J+*, CA)-+* MA)&AT(GU&CA))()A P)+.(*&+%A- D( &%G(%&()&A C&'&-

&%T)+DUCC&+%

El +resente traba,o consta del desarrollo de estudio de la carrera

+ro-esional de Ing. Civil +or lo ue el +resente consta del traba,o de

investigaci/n con res+ecto al tema de )CI0E!"1IC"* este traba,o

consiste en e,ercicios 2 +roblemas adecuados seg3n el tema +ara dar

origen del tema 2 con el convencimiento de ue una guía de

+roblemas resueltos 2a ue esto constitu2e uno de los me,oresm4todos de a+licar ideas b5sicas en este tema

Es +or esto ue le damos a conocer nuestro traba,o de )CI0E!"1IC"*

+/J(T&'+*

#


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+/J(T&'+* G(%()A-(*:

El siguiente traba,o se reali6/ con 7nes de asignatura deinvestigaci/n 2 +roducci/n +ara el me,oramiento de nuestros

ideales de in-ormaci/n

La 7nalidad del +resente traba,o +r5ctico es la de a+licar

nuestros conocimientos te/ricos aduiridos en el aula a+o2ados

con di-erentes -uentes te/ricas +ara una buena +resentaci/n del

tema.

+/J(T&'+* (*P(C0.&C+*:

Cum+lir con la +resentaci/n de dic8o traba,o en el 5rea

asignada de nuestra carrera +ro-esional.

Investigar el tema asignado en di-erentes -uentes te/ricas o

+r5cticas.

"+licar 2 +ro-undi6ar lo investigado +ara +oder dar soluci/na dic8os +roblemas.

&1 .U%DAM(%T+* T(+)&C+*

#1 M+'&M&(%T+ )(CT&-&%(+ U%&.+)M(

&


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El !ovimiento Rectilíneo Uni-orme es un movimiento contra2ectoria rectilínea 2 est5 caracteri6ado +or tener

una velocidad constante. O sea el m/vil con !.R.U.2recorre

distancias iguales en tiempos iguales31

En la siguiente a+licaci/n interactiva se ilustra las característicasdel !.R.U. 2 se gra7can sus ecuaciones 8orarias.

Esta ecuaci/n +ermite +redecir en un momento -uturo determinadocual ser5 la +osici/n del m/vil con !.R.U. conociendo su velocidad la+osici/n inicial del mismo 2 el instante inicial del movimiento.

En la ma2oría de los e,ercicios se toma +ara ma2or sim+licidad elinstante inicial igual a cero lo cual euivale a usar un cron/metro 2+onerlo en cero al inicio del e9+erimento. La ecuaci/n 8oraria setrans-orma entonces en:

#1#1 )(P)(*(%TAC&+%(* G)A.&CA* D(- M1)1U1

$


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Esta 3ltima -/rmula se +uede re+resentar gr57camente en un sistemade coordenadas cartesianas. La variable inde+endiente es )t* 2 sere+resenta en el e,e 8ori6ontal 2 la -unci/n es )* ue se re+resentaen el e,e de ordenadas ;vertical tiene ma2or velocidad ue el " +ues

+ara incrementos de tiem+o iguales ;+or e,em+lo #;s esma2or ue la de la recta ".

El m/vil C arranca con una +osici/n inicial distinta i ? Am m5s le,osdel origen +ero regresa a 4l +ues su velocidad es negativa. " medidaue transcurre el tiem+o este m/vil se 8alla cada ve6 m5s cerca delorigen o sea ue su-re des+la6amientos )@9* negativos 8asta llegaral origenB cosa ue ocurre a los ;s< de iniciado el movimiento. Luegode llegar al origen contin3a con !.R.U. dirigi4ndose a8ora 8acia+osiciones negativas.

A


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El m/vil @ est5 en un estado de re+oso +ues se 8alla en la misma+osici/n ? #m en todo momento. =emos ue su +endiente es cerocorres+ondiendo a una recta 8ori6ontal: velocidad nula.

Las gr57cas de las velocidades de estos m/viles ser5n:

Como la velocidad es constante estas gr57cas corres+onden a rectas8ori6ontales 2 +or esto no es mu2 interesante esta re+resentaci/n.

En este movimiento unidimensional si bien la velocidad es un vectorvamos a traba,ar con 4l como si -uera un escalar +ositivo o negativo.O sea ue mediante el signo indicaremos el sentido del vector.

1odo vector ser5 +ositivo si est5 en el sentido de crecimiento del e,ede re-erencia. D ser5 negativo si va en sentido contrario. Esto sea+lica tanto a velocidades como a des+la6amientos o cualuier otrovector ;aceleraci/n -uer6a etc. como veremos m5s adelante


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ale,ando del origen 2 si su velocidad es negativa se estar5 acercandoal origen. (ero si el m/vil se 8alla con una +osici/n negativa ;a lai6uierda del origen en este e,em+lo


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Como en este caso los cambios de velocidad son +ro+orcionales altiem+o transcurrido +odemos construir la siguiente tabla:

@e esta tabla concluimos ue el cambio de velocidad es igual al+roducto de la aceleraci/n +or el tiem+o transcurrido.

En el e,em+lo vemos ue el m/vil se mueve cada ve6 m5s r5+ido 2+or tanto las distancias recorridas +or el m/vil en cada segundo ser5ndi-erentes. En este caso:

Como el valor de la velocidad aumenta o disminu2e de manerauni-orme el valor medio de la velocidad en un cierto intervalo detiem+o es igual al +romedio de la velocidad inicial 2 7nal en estetramo es decir la velocidad media ser5:

2 la distancia recorrida se +uede determinar multi+licando suvelocidad media +or el tiem+o transcurrido es decir:

Seg3n esto la distancia recorrida +or el m/vil en el #er segundo seobtiene multi+licando el valor de la velocidad media en este intervalo

de tiem+o ;=m ? # mGs< +or el tiem+o de # s. Evaluando tenemos ued# ? # m.


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@el mismo modo la distancia recorrida en el &do segundo se obtienemulti+licando el valor de la velocidad media en este tramo ;=m ? $

mGs< +or el tiem+o de # s. Evaluando tenemos ue d& ? $ m.@e manera an5loga se demuestra ue d$ ? m.

En general si un m/vil +arte del re+oso 2 se mueve con !RU= lasdistancias recorridas en cada segundo aumenta en la -orma ue seindica en la 7gura:

Seg3n esto cuando un m/vil +arte desde el re+oso las distanciasrecorridas en cada segundo son +ro+orcionales a los n3meros #B $B B 2 así sucesivamente. Estos n3meros se les conocen como n3merosde galileo.

Cuando el m/vil no +arte del re+oso es decir cuando la velocidadinicial es di-erente de cero las distancias recorridas en cada segundoaumentan en la -orma ue se indica en la 7gura:

!1#1 (CUAC&+%(* D(- M)U'

E9isten -/rmulas b5sicas +ara este ti+o de movimiento. En cada-/rmula a+arecen cuatro magnitudes 2 en cada -/rmula no a+areceuna magnitud -ísica. "sí +or e,em+lo en la #ra -/rmula no interviene ladistancia d. En la &da no a+arece la velocidad 7nal '6 . En la $ra noa+arece la velocidad inicial 'o. En la Ata no a+arece el tiem+o t 2 enla ta no a+arece la aceleraci/n a.


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En estas -/rmulas la aceleraci/n a tendr5 signo +ositivo cuando elvalor de la velocidad aumenta 2 signo negativo cuando disminu2e.

Finalmente la le2 del movimiento del !RU= es:

@onde 4o es la +osici/n del m/vil +ara t 5 " ;+osici/n inicial


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libre lo constitu2en las tra2ectorias geod4sicas en el es+aciotiem+odescritas en la teoría de la relatividad general.

$1#1 CA&DA -&/)( C+M+ *&*T(MA D( )(.()(%C&A

Un sistema de re-erencia ligado a un cuer+o en caída libre +uedeconsiderarse inercial o no inercial en -unci/n del marco te/rico ueest4 utili65ndose.

En la -ísica cl5sica la -uer6a gravitatoria ue se e,erce sobre una

masa es +ro+orcional a la intensidad del cam+o gravitatorio en la+osici/n es+acial donde se encuentre dic8a masa. La constante de+ro+orcionalidad es +recisamente el valor de la masa inercial delcuer+o tal 2 como establece el +rinci+io de euivalencia. En la -ísicarelativista la gravedad es el e-ecto ue +roduce sobre las tra2ectoriasde los cuer+os la curvatura del es+aciotiem+oB en este caso lagravedad no es una -uer6a sino una geod4sica. (or tanto desde el+unto de vista de la -ísica cl5sica un sistema de re-erencia en caídalibre es un sistema acelerado +or la -uer6a de la gravedad 2 como tales no inercial. (or el contrario desde el +unto de vista de la -ísicarelativista el mismo sistema de re-erencia es inercial +ues aunue

est5 acelerado en el es+acio no est5 acelerado en el es+aciotiem+o.La di-erencia radica en la +ro+ia de7nici/n de los conce+tosgeom4tricos 2 cinem5ticos ue +ara cada marco te/rico soncom+letamente di-erentes.

$1!1 (CUAC&+% D( M+'&M&(%T+

@e acuerdo a la segunda le2 de 0eton la -uer6a ue act3a sobreun cuer+o es igual al +roducto de su masa +or la aceleraci/n ueaduiere. En caída libre s/lo intervienen el +eso ;vertical 8aciaaba,o< 2 el ro6amiento aerodin5mico en la misma direcci/n 2sentido o+uesto a la velocidad. @entro de un cam+o gravitatorioa+ro9imadamente constante la ecuaci/n del movimiento de caídalibre es:

#%

http://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Newtonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Newton


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La aceleraci/n de la gravedad lleva signo negativo +orue se tomael e,e vertical como +ositivo 8acia arriba.

$1$1 T)A=(CT+)&A (% CA&DA -&/)(

$1$1#1 CA&DA -&/)( T+TA-M(%T( '()T&CA-El movimiento del cuer+o en caída libre es vertical con velocidadcreciente ;a+ro9imadamente movimiento uni-ormemente aceleradocon aceleraci/n g< ;a+ro9imadamente +orue la aceleraci/n aumentacuando el ob,eto disminu2e en altura en la ma2oría de los casos lavariaci/n es des+reciable


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+ro+orcional a la velocidad siendo la constante de+ro+orcionalidad el llamado ro6amiento aerodin5mico k w:

En este caso la variaci/n con el tiem+o de la velocidad 2 el es+aciorecorrido vienen dados +or la soluci/n de la ecuaci/n di-erencial ;&


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La soluci/n analítica de la ecuaci/n di-erencial ;$< de+ende del signorelativo de la -uer6a de ro6amiento 2 el +eso +or lo ue la soluci/n

analítica es di-erente +ara un cuer+o ue sube o +ara uno ue cae. Lasoluci/n de velocidades +ara ambos casos es:

@/nde: .

Si se integran las ecuaciones anteriores +ara el caso de caída libredesde una altura 2 velocidad inicial nula 2 +ara el caso delan6amiento vertical desde una altura nula con una velocidadinicial se obtienen los siguientes resultados +ara la altura delcuer+o:

Caída libre ; 2


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Si laaltura es auella en ue la velocidad vertical se 8ace ceroentonces el tiem+o transcurrido desde el lan6amiento 8asta elinstante en ue se alcan6a la altura +uede calcularse como:

Se +uede demostrar ue el tiem+o ue tarda un cuer+o en caer desdeuna altura 8asta el suelo a trav4s del aire es ma2or ue el uetarda el mismo cuer+o en alcan6ar la altura m59ima de si eslan6ado desde el suelo. (ara ello basta con +robar la desigualdadsiguiente:

$1$1!1 CA&DA -&/)( PA)A/+-&CA = CA*& >PA)A/+-&CA

Cuando un cuer+o cae en caída libre +ero no +arte del re+oso +oruetiene una velocidad no nula entonces la tra2ectoria de caída no esuna recta sino una curva a+ro9imadamente +arab/lica. La ecuaci/nde la tra2ectoria en coordenadas cartesianas viene dada +or:

#A


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@onde x es la coordenada 8ori6ontal ;e,e de abscisas< e y lacoordenada vertical ;e,e de ordenadas


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gravedad. La gravedad act3a +arainJuenciar el movimiento vertical del+ro2ectil. El movimiento 8ori6ontal del+ro2ectil es el resultado de la tendencia

de cualuier ob,eto a +ermanecer enmovimiento a velocidad constante.

El t4rmino+ro2ectilse a+lica +or e,em+lo a una baladis+arada +or un arma de -uego a unco8ete des+u4s de consumir su

combustible a un ob,eto lan6ado desdeun avi/n o en muc8as actividadesde+ortivas ;gol- tenis -3tbol b4isbolatletismo etc.


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Palileo reali6/ un e9+erimento con dosob,etos: im+uls/ uno 8ori6ontalmentedesde una mesa 2 de,/ caer otro cuer+odesde el borde verticalmente. "l de,ar caer

un cuer+o " verticalmente ? % 2lan6ando 8ori6ontalmente en el mismoinstante un ob,eto > con una velocidad8ori6ontal ; tardan lo mismo encaer Palileo conclu2/ ue la velocidad8ori6ontal debido al movimiento uni-orme 2aue el cuer+o no +osee aceleraci/n noinJu2e en el movimiento de caída del

cuer+o > o sea ue las velocidades 2act3an simult5neamente sobre > +ero en-orma inde+endiente la una de otra. Quieredecir ue el cuer+o > se mueve comoconsecuencia de la acci/n de dosmovimientos: uno uni-ormemente acelerado;vertical


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movimientos se 8ubiesen cum+lido sucesiva einde+endientemente uno de otro 2 cada uno de ellosdurante el mismo tiem+o t* .

?1#1 A%A-&C&* D(- M+'&M&(%T+ D( P)+=(CT&-(*

Se e9amina s/lo tra2ectorias su7cientementecortas +ara ue la -uer6a gravitacional se +uedaconsiderar constante en magnitud 2 direcci/n.

1ambi4n 8a2 ue anali6ar no tener en cuenta lose-ectos de la resistencia del aireB Estas 8i+/tesissim+li7cadas constitu2en la base de un modeloideali6ado del +roblema -ísico. Como en estecaso ideali6ado la 3nica -uer6a ue act3a sobreel +ro2ectil es su +eso considerado constante enmagnitud 2 direcci/n es me,or re-erir elmovimiento a un sistema de e,es coordenadasrectangulares. Se toma el e,e 9 8ori6ontal 2 el e,e 2 verticalmente8acia arriba.

La com+onente 9 de la -uer6a ue act3asobre el +ro2ectil es nula 2 lacom+onente 2 es el +eso del +ro2ectil

mg. Esto es la com+onente 8ori6ontalde la aceleraci/n es nula 2 lacom+onente vertical 8acia aba,o esigual a la de un cuer+o ue caelibremente. (uesto ue la aceleraci/nnula signi7ca velocidad constante elmovimiento +uede de7nirse como una

combinaci/n de movimiento 8ori6ontal con velocidad constante 2movimiento vertical con aceleraci/n constante.

Estos dos movimientos 8acen ue elmovimiento resultante sea de tra2ectoria+arab/lica . @ic8os movimientos soncom+letamente inde+endientes uno del otro.

Consid4rese un +ro2ectil sencillo

#


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La com+onente 8ori6ontal del movimientode un +ro2ectil es igual al movimiento8ori6ontal de una +elota ue ruedalibremente sobre la su+er7cie +lana de la

mesa. Si +odemos des+reciar el e-ecto dela -ricci/n la bola se mueve a velocidadconstante recorriendo distancias igualesen intervalos de tiem+os iguales.

La com+onente verticaldel movimiento de un

+ro2ectil ue describe una tra2ectoria curva ese9actamente igual ue el movimiento de un ob,eto encaída libre. El movimiento del +ro2ectil de una +elotaue se de,a caer tiene una com+onente vertical en ladirecci/n de la gravedad terrestre el +ro2ectil seacelera 8acia aba,o. El aumento de la ra+ide6 en ladirecci/n vertical 8ace ue el ob,eto recorradistancias cada ve6 ma2ores a intervalos de tiem+osiguales. Es interesante notar ue la com+onente8ori6ontal del movimiento de un +ro2ectil estotalmente inde+endiente de la com+onente vertical.Cada uno de ellas act3a de manera inde+endiente.Sus e-ectos combinados +roducen toda la gama de

tra2ectorias curvas ue describen los +ro2ectiles.

!5s consideraciones del !ovimiento de(ro2ectiles

Consid4rese una bala de caM/n ue sedis+ara con determinado 5ngulo deelevaci/n. Su+onga +or un momento ue no8a2 gravedadB entonces a causa de la inerciala bala de caM/n seguir5 la tra2ectoria

rectilínea re+resentada +or la líneadiscontinua. (ero la gravedad e9iste +or loue esto no sucede. Lo ue realidad ocurre esue la bala cae continuamente +or deba,o de la línea imaginaria8asta ue +or 3ltimo llega al suelo.

#K


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Es im+ortante notar ue la distanciavertical ue un ob,eto cae +or deba,o de

cualuier +unto de la línea discontinua esla misma distancia vertical ue caería sise soltara desde el re+oso en el mismotiem+o.

?1!1 -A%AM&(%T+ +)&+%TA-

Una +elota de b4isbol se +ro2ecta8ori6ontalmente en el vacío desde un +unto Ocon velocidad . Si la tierra no e,ercieraninguna atracci/n sobre la +elota 2 se su+onenula la resistencia del aire la +elota semovería en el vacío 2 en tiem+os t# t&t$ocu+aría +osiciones tales como " > C @ 2el movimiento sería rectilíneo uni-orme develocidad constante . Sin embargo como la+elota est5 sometida a la atracci/ngravitatoria a la ve6 ue se mueve

8ori6ontalmente cae verticalmente conaceleraci/n constante 2 al 7nal de lostiem+os indicados las +osiciones de la +elota son res+ectivamente" >C@ La curva ue une a estos +untos corres+onde a una+ar5bola.

La tra2ectoria seguida +or la +elota +uede considerarse como elresultado de dos movimientos: Uno 8ori6ontal uni-orme a lo largo dele,e 9 2 de velocidad constante 2 otro vertical de caídauni-ormemente variado a lo largo del e,e 2 de aceleraci/n constante

.

Ecuaciones de la velocidadLa com+onente 8ori6ontal de la velocidad ser5de magnitud constante a trav4s de todo elrecorrido e igual a . Esto se debe a ue elmovimiento en esta direcci/n es con velocidadconstante. En toda la tra2ectoria la com+onente8ori6ontal ; < ser5 la misma velocidad inicialBesto es . En m/dulo:

&%


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La com+onente vertical en un instante de tiem+o cualuiera vienedada +or:

La magnitud de la velocidad resultante = viene dada en m/dulo +orla e9+resi/n:

(ara determinar la direcci/n del vector es decir el 5ngulo a ue-orma con el e,e 9 basta con a+licar la relaci/n trigonom4trica

Ecuaciones del des+la6amiento

Como se +uede notar el movimiento tiene simult5neamente undes+la6amiento 8ori6ontal ; < 2 un des+la6amiento vertical ; < en uninstante de tiem+o cualesuiera.

La ecuaci/n de des+la6amiento8ori6ontal;< en m/dulo es lamisma del movimiento rectilíneouni-orme +uesto ue la ra+ide6en ese sentido es constante

El des+la6amiento vertical ;2< enm/dulo se calcula como si el cuer+ose moviese en caída libre

La +osici/n a lo largo del e,e 2en el tiem+o.

El des+la6amiento total ;d< en m/duloviene dado +or:


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La direcci/n deldes+la6amiento se obtienea+licando la de7nici/n detangente

El tiem+o de vuelo ; <Es el tiem+o transcurrido desde el momento del lan6amiento 8astatocar el suelo.

Recuerde ue la cantidad subradical ser5siem+re +ositiva

El alcance 8ori6ontal ; R < es eldes+la6amiento 8ori6ontal en el tiem+o

de vuelo. La ecuaci/n +ara calcular elalcance 8ori6ontal +ero con

Ecuaci/n de la 1ra2ectoriaLa idea consiste en demostrar ue la tra2ectoria del +ro2ectil es+arab/lica. En e-ecto el des+la6amiento 8ori6ontal +ara un ciertotiem+o t viene dado +or:

de donde : ;a<

(or otra +arte el des+la6amiento vertical al mismo tiem+o t es:

;b<

Como el tiem+o +ara ambos des+la6amientos es el mismo +odemossustituir t de la ecuaci/n ;a< en toda la ecuaci/n ;b< uedando:

Como 2 g son constantes se +ueden sustituir lo ue est5 dentrodel +ar4ntesis +or T ado+tando la e9+resi/n la -orma siguiente:

ue corres+onde a la ecuaci/n de una+ar5bola.

(or lo tanto las coordenadas ; 9 2 < ue determinan la +osici/n de la+artícula en el +lano ser5n:

&&


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?1$1 -A%AM&(%T+ &%C-&%AD+Consiste en estudiar el caso de una +artícula o+ro2ectil ue se lan6a con una velocidad inicial-ormando un 5ngulo % con la direcci/n 8ori6ontal. Suvelocidad cambia constantemente debido a la acci/ndel cam+o gravitatorio.

Los com+onentes rectangulares de la velocidad inicial2. ;Los subíndices se utili6an +ara indicar los valoresiniciales de en cada uno de los e,es


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cuando el +ro2ectil em+ie6a a ba,ar comien6a un movimientouni-ormemente acelerado ? g luego lacom+onente de la velocidad cambia desentido 2 aumenta en magnitud a medida

ue el cuer+o contin3a su caída libre. Senota ue durante todoel movimiento la com+onente 8ori6ontal dela velocidad a lo largo del e,e 8ori6ontal ;e,e9<se mantiene constante 2 +or consiguienteel movimiento a lo largo de este e,ees rectilíneo uni-orme.

@e acuerdo con lo anterior como la +artícula describe un movimientoue resulta de la su+er+osici/n de un movimiento rectilíneo uni-orme; ? constante< 2 un movimiento uni-ormemente variado ; ?constante< a lo largo de los e,es 9 2 2 res+ectivamente +odemosencontrar las coordenadas de +osici/n ; 92 < del +ro2ectil en cualuierinstante t a +artir de las siguientes ecuaciones.

Ecuaciones de la velocidad en el momento del lan6amiento ; t ? %<

Se su+one ue se dis+ara un +ro2ectil con una velocidad inicial -ormando con la 8ori6ontal un 5ngulo %.Las com+onentes del vector en las direcciones de los e,es vienendadas en m/dulo +or:

Ecuaciones de la velocidad +ara un instante des+u4s del lan6amiento

Cuando el +ro2ectil ocu+a una determinada +osici/n en uninstante t des+u4s de 8aber sido lan6ado la velocidad tendr5 unacom+onente 8ori6ontal ue se llama 2 una com+onente vertical uese llama .

Ecuaciones del des+la6amientoEl movimiento 8ori6ontal lo reali6a el +ro2ectil con velocidad constante+or lo ue el des+la6amiento 8ori6ontal 9 viene dado +or la ecuaci/n:

La magnitud de la com+onente

&A


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8ori6ontal de la velocidad semantiene constante a trav4s detodo el recorrido 2 vendr5 dada +or:

La magnitud de la com+onentevertical en cualuier instante vienedada +or:

La magnitud de la velocidad encualuier instante viene dadacomo:

El 5ngulo ue dic8o vector -ormacon el e,e 8ori6ontal re+resenta ladirecci/n de la velocidad 2 vienedado +or:

El movimiento vertical lo reali6a con aceleraci/n constante dirigida8acia aba,o +or lo ue la ecuaci/n del des+la6amientovertical 2 vendr5 dada +or:

Si la anterior ecuaci/n se resuelve +ara se obtiene:

Esta ecuaci/n es v5lida +ara 5ngulos de lan6amientos ubicados dentrodel rango % % + G &. La ecuaci/n es v5lida +ara cualuier +unto;92< a lo largo de la tra2ectoria del +ro2ectil. Esta e9+resi/n es de la-orma 2 ? a9b9& ue es la ecuaci/n de una +ar5bola ue +asa +or elorigen. Se advierte ue la tra2ectoria est5 com+letamente es+eci7cadasi se conoce tanto la ra+ide6 inicial como el 5ngulo de

lan6amiento %.Ecuaci/n del tiem+o m59imoSe llama tiem+o m59imo al tiem+o em+leado +or el +ro2ectil enalcan6ar la altura m59ima ;


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Ecuaci/n de la altura m59ima ; <

La altura m59ima se obtiene 8aciendo en la ecuaci/n

Ecuaci/n del tiem+o de vuelo ; <El tiem+o de vuelo es el tiem+otranscurrido +or el +ro2ectil desde su

+unto +artida.

"lcance 8ori6ontal ; R <Es el des+la6amiento 8ori6ontalen el tiem+o de vuelo.

E1 M+'&M&(%T+ C&)CU-A) U%&.+)M(

En -ísica el movimiento circular uni6orme describe el movimiento

de un cuer+o atravesando con ra+ide6 constante una

tra2ectoria circular.

"unue la ra+ide6 del ob,eto es constante su velocidad no lo es: La

velocidad una magnitud vectorial tangente a la tra2ectoria en cadainstante cambia de direcci/n. Esta circunstancia im+lica la e9istencia

de una aceleraci/n ue si bien en este caso no varía al m/dulo de la

velocidad sí varía su direcci/n.

El m/dulo del vector velocidad es constante en un movimiento

circular uni-orme.

&'

http://es.wikipedia.org/wiki/Rapidezhttp://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_(vector)http://es.wikipedia.org/wiki/Rapidezhttp://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_(vector)


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C&%(MAT&CA D(- MCU (%M(CA%&CA C-A*&CA

Fngulo velocidad angularEl 5ngulo abarcado en un movimiento

circular es igual al cociente entre la longitud del arco decircun-erencia recorrida 2 el radio.

La longitud del arco 2 el radio de la circun-erencia son magnitudes delongitud +or lo ue el des+la6amiento angular es una magnitudadimensional llamada radi5n. Un radi5n es un arco de circun-erenciade longitud igual al radio de la circun-erencia 2 la circun-erencia

com+leta tiene radianes.La velocidad angular es la variaci/n del des+la6amiento angular +orunidad de tiem+o:

(artiendo de estos conce+tos se estudian las condiciones del

movimiento circular uni-orme en cuanto a su tra2ectoria 2 es+aciorecorrido velocidad 2 aceleraci/n seg3n el modelo -ísicocinem5tico.

(- )AD&A%

Si tenemos un 5ngulo 2 uieres saber cu5nto mide vas lo midescon el trans+ortador. Esto te da el 5ngulo medido en grados. Estem4todo viene de dividir la circun-erencia en $'% V. (ara usar lacalculadora en grados tienes ue +onerla en D(G ; @egrees ue

uiere decir grados en ingl4s


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El sistema de grados se9agesimales es U% A manera de medir5ngulos. Ha2 otros m4todos. (or e,em+lo tienes el sistema-ranc4s ue divide la circun-erencia en A%% grados. Este sistemano se usa.

"8ora uiero ue veas el asunto de medir los 5ngulos en R"@I"0ES.Este es el sistema nuevo ue tienes ue a+render +orue es el uese usa ac5 en movimiento circular. Fí,ate.

(ara medir un 5ngulo en radianes se 8ace así: Se mide el largo delarco abarcado +or el 5ngulo. Esto lo +uedes 8acer con un

centímetro con un 8ilito o con lo ue sea.

Se mide el radio del círculo. (ara tener el valor del 5ngulo medido enradianes 8ago esta cuenta:

Fí,ate ue 8acer la divisi/n del arco sobre radio signi7ca ver cuantasveces entra el

radio en el arco. Como el radio se mide en metros 2 el arcotambi4n el radi5n resulta ser un n m ero sin un id ade s.

'ector de posici;n

&


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Se considera un sistema dere-erencia en el +lano xy con vectores unitarios en el sentido deestos e,es . La +osici/n de la +artícula en -unci/n del 5ngulo

de giro 2 del radio r es en un sistema de re-erencia cartesiano xy :

"l ser un movimiento uni-orme a iguales incrementos de tiem+o lecorres+onden iguales des+la6amientos angulares lo ue se traduceen:

@e modo ue el vector de +osici/n de la +artícula en -unci/n deltiem+o es:

Siendo:

: es el vector de +osici/n de la +artícula.

: es el radio de la tra2ectoria.

: es la velocidad angular ;constante


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El vector velocidad es tangente a la tra2ectoria lo ue +uedecom+robarse -5cilmente e-ectuando el +roducto escalar 2com+robando ue es nulo.

Aceleraci;n

La aceleraci/n se obtiene a +artir del vector velocidad mediantederivaci/n:

de modo ue

"sí +ues vector aceleraci/n tiene la misma direcci/n 2 sentidoo+uesto ue el vector de +osici/n normal a la tra2ectoria 2a+untando siem+re 8acia el centro de la tra2ectoria circular. +or loue acostumbramos a re-erirnos a ella como aceleraci/n normal ocentrí+eta.

El m/dulo de la aceleraci/n es el cuadrado de la velocidad angular+or el radio de giro aunue lo +odemos e9+resar tambi4n en -unci/n

de la celeridad de la +artícula 2a ue en virtud de la relaci/n resulta

Esta aceleraci/n es la 3nica ue e9+erimenta la +artícula cuando semueve a velocidad constante en una tra2ectoria circular +or lo uela +artícula deber5 ser atraída 8acia en centro mediante una -uer6acentrí+eta ue la a+arte de una tra2ectoria rectilínea comocorres+ondería +or la le2 de inercia.

P()&+D+ = .)(CU(%C&A

El +eriodo re+resenta el tiem+o necesario +ara ue el m/vilcom+lete una vuelta com+leta 2 viene dado +or:

$%

http://es.wikipedia.org/wiki/Producto_escalarhttp://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza_centr%C3%ADpetahttp://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza_centr%C3%ADpetahttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_escalarhttp://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza_centr%C3%ADpetahttp://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza_centr%C3%ADpeta


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La -recuencia mide el n3mero de revoluciones o vueltascom+letadas +or el m/vil en la unidad de tiem+o 2 viene dada +or:

Obviamente la -recuencia es la inversa del +eríodo:

M+'&M&(%T+ C&)CU-A) (% M(CA%&CA )(-AT&'&*TA

Si bien la teoría es+ecial de la relatividad +ermite ue una +artículano cargada est4 en movimiento circular uni-orme esto en general noresulta +osible +ara una +artícula cargada a la ue no se lesuministra energía adicional. Esto se debe a ue una +artículacargada acelerada emite radicaci/n electromagn4tica +erdiendoenergía en ese +roceso. Eso es +recisamente lo ue sucede en unsincrotr/n ue es un ti+o de acelerador de +artículas ;de 8ec8o laradicaci/n de sincrotr/n emitida +or +artículas aceleradas en unanillo +uede usarse con 7nes m4dicos<

.

M+'&M&(%T+ C&)CU-A) D( M(CA%&CA CUA%T&CA

En mec5nica cu5ntica si bien no +uede 8ablarse de tra2ectoriacon +recisi/n +ueden ser anali6ados los estados cu5nticosestacionarios de unas +artículas ue debe moverse a lo largo deun anillo. Los estados estacionarios de una +artícula en un anilloson el an5logo cu5ntico del movimiento circular uni-orme.

Un 8ec8o interesante es ue las +redicciones +ara una +artícula

cargada es ue esta no tiene +oru4 emitir -otones de lamisma manera ue el electr/n orbitante alrededor del n3cleo noemite energía +or ser el valor resultante de la aceleraci/nvectorial nula al ser la distribuci/n sim4trica res+ecto al n3cleoat/mico.

'(-+C&DAD A%GU-A) (% M+'&M&(%T+

C&)CU-A) U%&.+)M(

$#

http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_especial_de_la_relatividadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cu%C3%A1nticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Fot%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAcleo_at%C3%B3micohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAcleo_at%C3%B3micohttp://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_especial_de_la_relatividadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cu%C3%A1nticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Fot%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAcleo_at%C3%B3micohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAcleo_at%C3%B3mico


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La velocidad angular es la ra+ide6 con la ue varía el 5ngulo en eltiem+o 2 se mide en radianes G segundos.

;& W XradianesY ? $'%Z<

(or lo tanto si el 5ngulo es de $'%grados ;una vuelta< 2 se reali6a +ore,em+lo en un segundo la velocidadangular es: & W Xrad G sY.

Si se dan dos vueltas en # segundo la

velocidad angular es A W Xrad G sY.

Si se da media vuelta en & segundos es #G& W Xrad G sY.

La velocidad angular se calcula como la variaci/n del 5ngulo sobrela variaci/n del tiem+o.

Considerando ue la -recuencia es la cantidad de vueltas sobre eltiem+o la velocidad angular tambi4n se +uede e9+resar como:

En !CU la velocidad angular es constante.

'(-+C&DAD TA%G(%C&A- D(- MCU

La velocidad tangencial es la velocidad del m/vil ;distancia ue recorreen el tiem+o


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(or e,em+lo si se recorre todo el +erímetro de una circun-erencia deradio metros en # segundo la velocidad tangencial es:

(cuaci;n de la velocidad tangencial

La ecuaci/n ue se utili6a +ara calcular la velocidadtangencial se e9+resa como la velocidad angular+or el radio.

(ara el e,em+lo anterior la calculamos como:

En !CU la velocidad tangencial es constante ;en m/dulo< +ara un mismo+unto. " ma2or distancia del e,e la velocidad tangencial aumenta. Sudirecci/n varía continuamente teniendo siem+re la misma direcci/n ue larecta tangente al +unto en donde se encuentre el m/vil.

MAG%&TUD(* A%GU-A)(*

En el movimiento circular la +osici/n del ob,eto usando coordenadas+olares ueda +er-ectamente de7nida conociendo el 5ngulo 2aue la distancia al origen tomando 4ste en el centro de giro esconstante e igual al radio de giro ).

$$

http://enciclopedia.us.es/index.php?title=Coordenadas_polares&action=edit&redlink=1http://enciclopedia.us.es/index.php?title=Coordenadas_polares&action=edit&redlink=1http://enciclopedia.us.es/index.php?title=Coordenadas_polares&action=edit&redlink=1http://enciclopedia.us.es/index.php?title=Coordenadas_polares&action=edit&redlink=1


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En un la+so de tiem+o Ht la +artícula 8abr5 girado un 5ngulo H.La velocidad angular media se de7ne como el cociente entre el5ngulo girado 2 el tiem+o em+leado +ara ello 2 la velocidad

angular instantánea I como el límite del cociente anteriorcuando Ht tiende a cero es decir la derivada de:

"n5logamente en un la+so de tiem+o Ht la +artícula 8abr5 variado

su velocidad en HI. La aceleraci;n angular media es el cocienteentre la variaci/n de la velocidad angular 2 el tiem+o em+leado +araello 2 la aceleraci;n angular instantánea como el límite delcociente anterior cuando Ht tiende a cero es decir la derivadade I 2 segunda derivada de :

La unidad de velocidad angular es el radi5n +or segundo ;radGs


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2 I la velocidad angular constante el 5ngulo girado en un tiem+o tser5 integrando la ecuaci/n ;#


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La aceleraci/n del +unto es la variaci/n de su velocidad a lo largo deltiem+o así ue derivando de nuevo obtenemos:

"l igual ue en el caso anterior el m/dulo de la aceleraci/n )IL esconstante 2 su direcci/n es la contraria del vector de +osici/n: radial2 8acia el centro de rotaci/n la aceleraci/n centrí+eta de7nida conanterioridad. "n5logamente al caso anterior +odremos escribir laecuaci/n del modo siguiente:

En virtud de la relaci/n e9istente entre el vector de +osici/n 2 susegunda derivada ;la aceleraci/n< +odemos escribir la ecuaci/ndi-erencial del movimiento circular uni-orme:

Obtenida la aceleraci/n el m/dulo de la -uer6a centrí+eta ue act3asobre el ob,eto ;cu2a direcci/n ser5 la de la aceleraci/n< +uedededucirse de la segunda le2 de 0eton:

P()&+D+

El movimiento circular uni-orme es un movimiento +eri/dico 2a ue la+artícula +asa +or la misma +osici/n a intervales de tiem+oregulares dic8o la+so de tiem+o se denomina perBodo 2 sere+resenta usualmente +or T. 1omando la +osici/n de la +artícula en

un instante inicial cualuiera deber5 cum+lirse ue 4sta recorre un5ngulo ! en un tiem+o T matem5ticamente:

La inversa del +eriodo se denomina 6recuencia ;6


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indica ue la +artícula tarda dic8o tiem+o en dar una vueltacom+leta mientras ue si la -recuencia es de #% H6 signi7ca ue dadie6 vueltas en un segundo.

0O1"CIO0 CO!(LE\"

La +osici/n del +unto utili6ando n3meros com+le,os +uedeescribirse N5Oi donde i la unidad imaginaria es la raí6 cuadradade >#B en esencia el +lano de la tra2ectoria se com+one entonces dedos dimensiones una real 2 otra imaginaria euivalentes a las ueantes denot5bamos O e . Em+leando la -/rmula de Euler

la posición compleja vendría re+resentada +or la ecuaci/n:

La derivada de la ecuaci/n anterior es la velocidad compleja:

Como +uede a+reciarse la velocidad est5 multi+licada +or el-actor i lo ue signi7ca ue la velocidad es +er+endicular a la+osici/n ;tangencial


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"celeraci/n constante

@e la ecuaci/n ;&


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" di-erencia del caso anterior a8ora los vectores varían a medida uese mueve el ob,eto si los derivamos en -unci/n del tiem+o:

Res+ecto de dic8o sistema de re-erencia la +osici/n del ob,eto ser5:

@erivando obtenemos la velocidad:

La velocidad en un movimiento circular s/lo tiene com+onentetangencial. @erivando de nuevo:

Como vemos e9iste siem+re un aceleraci/n centrí+eta +ro+orcional ala velocidad angular 2 en auellos casos ue el movimiento seaacelerado una aceleraci/n tangencial con su valor.

@in5mica del movimiento circular uni-orme

(ara unobservadorsituado en elecuador el sat4litea+arentar5 nomoverse 2a ue suvelocidad derotaci/n es la

misma ue la de la 1ierra ;radios de la 1ierra 2 de la /rbita a escala


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Rrita geoestacionaria

Es auella en la ue el sat4lite girando a la misma velocidad angularue la 1ierra se mantiene sobre el mismo +unto de la línea delecuador sobre el mismo meridiano. Sustitu2endo en ;##< el valor dela -uer6a gravitatoria ue act3a sobre el sat4lite:

@es+e,ando el radio de la /rbita:

Siendo:

S ? GM ? $K'%%AA# Tm$Gs& la constantegravitacional geoc4ntrica.

I ? &KE radGs la velocidad de rotaci/n de la 1ierra calculadaconsiderando un +eríodo de rotaci/n igual al día sid4reo.

Sustitu2endo valores se obtiene un radio orbital R a+ro9imado de

A& Til/metros lo ue euivale una ve6 descontado el radio de la 1ierra a una altitud de $KA Tm sobre el nivel del mar.

TraNado de una curva

Imaginemos un ve8ículotra6ando una curva en-unci/n de su velocidad 2radio de giro e9istir5 unaaceleraci/n centrí+eta ;a< devalor IL). La -uer6acentrí+eta ue mantiene alve8ículo en su tra2ectoria es

el ro6amiento entre los neum5ticos 2 el as-alto ;.)


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ve8ículo en la tra6ada +ero si 4sta es tal ue se su+era laaceleraci/n centrí+eta m59ima del ro6amiento el ve8ículo se sale dela curva. El valor m59imo vendr5 dado +or la -uer6a de ro6amiento

m59ima:

@es+e,ando:

Em+leando la ecuaci/n anterior +uede bien determinarse la velocidadm59ima en una curva de radio conocido e indicarla mediante laadecuada seMali6aci/n o bien diseMarse la curva determinando elradio mínimo necesario +ara tra6ar la curva con seguridad a lavelocidad de diseMo de la vía. (or e,em+lo su+oniendo uncoe7ciente de ro6amiento de % ;as-alto 83medo< 2 una velocidadde circulaci/n de #&% Til/metros +or 8ora el radio de curvaturamínimo debería ser de unos &$% metros.

En el caso de curvas +eraltadas se logra aumentar la -uer6a dero6amiento incrementando el valor de % 2a ue en este caso +or la-orma geom4trica de la curva el coc8e tiende a _a+lastarse` sobre elas-alto.

Evidentemente cuanto ma2or sea el radio de curvatura ma2or ser5 lavelocidad a la ue se +odr5 circular 4sta es la ra6/n de ue losconductores tienden a _cortar` la curva invadiendo el arc4n encurvas a la derec8a o el carril contrario en curvas a la i6uierda en+aíses donde se circula +or la derec8a 2a ue de este modo siguenuna tra2ectoria cu2o radio de curvatura es ma2or.

1 M+'&M&(%T+ )(-AT&'+ D( GA-&-(+

El movimiento de una +artícula +uede ser observado desde distintossistemas de re-erencia. Un sistema de re-erencia est5 constituido +orun origen 2 tres e,es +er+endiculares entre sí 2 ue +asan +or au4l.Los sistemas de re-erencia +ueden estar en re+oso o en movimiento.E9isten dos ti+os de sistemas de re-erencia:

Sistema de re-erencia inercial: es au4l ue est5 en re+oso o se

mueve con velocidad constante ;es decir no tiene aceleraci/n


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Sistema de re-erencia no inercial: es au4l ue tiene aceleraci/n.

Los vectores +osici/n velocidad 2 aceleraci/n de una +artículatendr5n en general distinto valor de+endiendo del sistema dere-erencia desde el ue est4n calculados.

Es interesante dis+oner de ecuaciones ue relacionen los valores dedic8os vectores calculados desde distintos sistemas de re-erencia+orue de este modo una ve6 calculados con res+ecto a uno de ellos2 conociendo el movimiento relativo de ambos sistemas dere-erencia +odremos obtener los vectores medidos +or el segundo.

En esta secci/n vamos a obtener dic8as ecuaciones +ara variassituaciones concretas: cuando los dos sistemas de re-erencia seencuentran en movimiento relativo de traslaci/n ;uni-orme 2uni-ormemente acelerado< 2 cuando se encuentran en movimientorelativo de rotaci/n uni-orme.

1#1 Movimiento relativo de traslaci;n uni6orme

Las trans-ormaciones de Palileo son las ecuaciones ue relacionan losvectores de +osici/n velocidad 2 aceleraci/n medidos desde dossistemas de re-erencia di-erentes cuando uno de ellos est5 en re+oso2 el otro se mueve con velocidad constante con res+ecto al +rimero.

Es im+ortante resaltar ue en esta situaci/n ambos sistemas dere-erencia son inerciales.

A&


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En la 7gura anterior est5 re+resentada la tra2ectoria de una+artícula ;en a6ul< 2 los dos sistemas de re-erencia ,unto con losvectores unitarios ue de7nen los sentidos +ositivos de sus e,es.Como +uede observarse

=ector de +osici/n

@erivando

=ector velocidad

@onde ' es la velocidad de O' con res+ecto a O.

@erivando de nuevo

=ector aceleraci/n

Como se observa de la 3ltima ecuaci/n todos los sistemas dere6erencia inerciales miden la misma aceleraci;n1

'.& !ovimiento relativo de traslaci/n uni-ormementeacelerado

A$


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Consideremos a8ora una situaci/n seme,ante a la anterior +ero en laue el sistema ue se traslada lo 8ace con una aceleraci/nconstante A con res+ecto al ue +ermanece en re+oso.

Seg3n las relaciones del movimiento uni-ormemente acelerado ladistancia recorrida +or O´ en un tiem+o t es a8ora:

@e -orma an5loga al caso anterior obtenemos las siguientesrelaciones:

=ector de +osici/n

@onde A es la aceleraci/n de O' con res+ecto a O.

@erivando

=ector velocidad

@erivando de nuevo

=ector aceleraci/n

Es decir las aceleraciones mediadas +or ambos sistemas nocoinciden.

Un sistema ue se encuentra en movimiento relativo acelerado conres+ecto a otro es un sistema de re6erencia no inercial1

Un sistema de re-erencia no inercial se denomina así +orue en 4l nose cum+le lale2 de inercia o (rimera Le2 de 0eton.

'.$ !ovimiento relativo de rotaci/n uni-orme

Cuando dos sistemas de re-erencia se encuentran en movimientorelativo de rotaci/n uni-orme cada uno de ellos mide un vector

AA

http://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/fisica/cinematica/cinematica2.htmhttp://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/fisica/dinam1p/dinam1p_1.htmlhttp://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/fisica/cinematica/cinematica2.htmhttp://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/fisica/dinam1p/dinam1p_1.html


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aceleraci/n distinto cuando observan el movimiento de un mismocuer+o.

En la siguiente animaci/n se muestra la tra2ectoria ue describe una

+elota lan6ada desde el centro de un tiovivo ue rota con velocidadangular constante desde el +unto de vista de un sistema dere-erencia inercial en re+oso en el suelo ;en a6ul< 2 desde el +unto devista de un observador ue se encuentra en la +eri-eria del tiovivo ;enro,o


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En la 7gura anterior est5 re+resentada la tra2ectoria de una +artícula;en a6ul< 2 los dos sistemas de re-erencia con sus vectores unitarios.

Como +uede observarse

=ector de +osici/n

(ara encontrar la relaci/n entre las velocidades medidas +or ambosobservadores debemos derivar la ecuaci/n anterior. "l 8acer estaderivada es necesario tener en cuenta ue los vectores unitariosasociados a O' giran con velocidad angular ] con res+ecto a O +or loue no son constantes. Sus derivadas est5n re+resentadas en la +artederec8a de la 7gura anterior.

1eniendo en cuenta este 8ec8o

(or lo ue

A'


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=ector velocidad

@erivando de nuevo re+itiendo el mismo +rocedimiento

=ector aceleraci/n

El segundo t4rmino del segundo miembro de la ecuaci/n anteriorse denomina aceleraci/n de Coriolis 2 el tercert4rmino aceleraci/n centrí-uga.

)elatividad de Alert (instein

Los ob,etos 2 observadores situados en sistemas de re-erenciainerciales ue son auellos ue +ermanecen en re+oso o se muevencon movimiento rectilíneo uni-orme las le2es de la -ísica deben seriguales. Einstein e9+lica con esto ue si estamos uietos o nosmovemos a velocidad constante ;+or e,em+lo en un tren un barco unavi/n...


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u 5 v uV

\uan est5 de nuevo en el tren 2 en ve6de lan6ar una +elota enciende unalinterna en la misma direcci/n 2

sentido del movimiento del tren.

En este caso tanto \uan como "naobservan ue la lu6 via,a a la mismavelocidad c 2a ue la velocidad de lalu6 es igual +ara todos losobservadores. Esto ue en +rinci+io+arece ue no es l/gico se 8ademostrado en numerosose9+erimentos reali6ados.

C/mo se e9+lica esta a+arente contradicci/n Esto ocurre +orue aba,as velocidades los e-ectos relativistas son im+erce+tibles encontra de lo ue sucede a velocidades cercanas a c donde lasvelocidades no se suman tan -5cilmente sino ue cum+len lasiguiente relaci/n:

A


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Este +ostulado es el causante de los e9traMos resultados de laRelatividad Es+ecial como la dilatación del tiempo y la contracción dela longitud.

• Explicación desdeel punto de vistade un observador situado en laTierra: Dilatación del tiempo.

Lo ue nosotrosobservamos es ue losmuones ue se mueven auna velocidad +r/9ima a lade la lu6 poseen una vidamedia mayor que la que

presentan en reposo 2 +ortanto +ueden recorrer unama2or distancia antes dedesintegrase:

t es la vida de los muonesmedido +or el observador

en la 1ierra 2 t es e ltiem+o ue mide un

AK


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observador ue se muevecon los muones.

• Explicación desdeel punto de vistadel sistema dereferencia de losmuones:

Contracción de laLongitud

(ara los muones su vidamedia sigue siendo lamisma su tiem+o 8atranscurrido de -ormanormal +ero su camino através de la atmósera secontrae +orue desde su

sistema de re-erencia es laatm/s-era la ue se muevecon una velocidad cercanaa c de -orma ue +uedenllegar 8asta la su+er7cieterrestre un ma2or n3merode muones de lo es+erado.

%


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! es la longitud deltra2ecto ue recorren los

muones a trav4s laatm/s-era desde elsistema de re-erencia delos muones 2 ! es lalongitud de la atm/s-eraue mediría un observadorsituado en la su+er7cieterrestre.

(quivalencia masa energBa

El & de Se+tiembre de #K% Einstein aMade como una +osdata alartículo de la Relatividad Es+ecial un corto traba,o de tres +5ginastitulado "#$epende la inercia de un cuerpo de su contenido enenerg%a&" en el ue muestra una deducci/n de la 1eoría de laRelatividad Es+ecial estableciendo una equivalencia entre masa y energ%a 2 en el ue +resenta la -/rmula m5s c4lebre de toda laFísica: ( ) mc*. Esta ecuaci/n im+lica ue la energía de un cuer+o en

re+oso ;E< es igual a su masa ;m< multi+licada +or la velocidad de lalu6 en el vacío ;c< al cuadrado.

La masa de un cuer+o est5 vinculada a su contenido de energía: si elcuerpo a+sor+e energ%a su masa aumenta, si la pierde su masadisminuye.

.& T(+)0A D( -A )(-AT&'&DAD G(%()A-

#


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(ero lo m5s di-ícil estaba aun +or 8acer. C/mo insertar la gravitaci/nen su 1eoría de la Relatividad Es+ecial C/mo dar cuenta de esamisteriosa -uer6a ue seg3n 0eton act3a instant5neamente entrecada dos cuer+os del Universo C/mo generali6ar el +rinci+io de larelatividad a sistemas uni-ormemente acelerados Einstein nodescansar5 en los siguientes die6 aMos 2 tras laboriosos traba,os en

matem5ticas consigue su 1eoría de la Relatividad Peneral ue esuna teoría de la gravitaci/n 2 ue se basa en el -rincipio de(quivalencia ue se le ocurre a trav4s de un e9+erimento mentalseg3n el +ro+io Einstein la idea m5s -ructí-era de su vida: "si una

persona se encuentra en ca%da li+re no notar su propio peso".

El motivo ue im+uls/ a Einstein a -ormular la Relatividad Peneral -uela necesidad de e9tender el (rinci+io de Relatividad a todos lossistemas de re-erencia inde+endientemente de ue se encuentrenacelerados o no. @e esta -orma las le2es con las ue describimos los

-en/menos de la naturale6a las le2es de la -ísica deben tener lamisma -orma sin im+ortar ue el observador est4 uieto o se muevade cualuier -orma acelerada o no.

El +roblema radica en ue nosotros sí notamos cuando nosencontramos en un sistema acelerado 2 cuando no lo estamosdebido a la inercia: +or e,em+lo nos com+rimimos contra el asientocuando un coc8e acelera o nos acercamos 8acia el cristal delantero si4ste -rena.

La genial idea de Einstein -ue ue reconoci/ el gran +arecido entre

la inercia 2 la gravedad debido a la euivalencia ue e9iste entre lamasa gravitacional ue a+arece en la Le2 de Pravitaci/n Universal 2la masa inercial ue a+arece en la Segunda Le2 de 0eton. Einsteinestableci/ ue esta igualdad era un +rinci+io de la naturale6adenomin5ndolo -rincipio de (quivalencia.

Masa inicial masa Gravitacional

La masa gravitacional mgrav es la res+onsable de la -uer6a de lagravedad +or la ue dos cuer+os se atraen 2 a+arece descrita en laLe2 de Pravitaci/n Universal de 0eton:

&


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La masa inercial minercial es la ue a+arece en la Segunda Le2 de0eton:

D 4sta mide la resistencia ue o-rece un cuer+o a los cambios en suestado de movimiento. 0eton 2a tenía conocimiento de estaigualdad +ero +ara 4l era una e9traMa coincidencia de la naturale6a.

Precesi;n del peri@elio del Mercurio

Seg3n la Le2 de Pravitaci/n de 0eton las /rbitas de los +lanetasdeben ser elí+ticas 2 7,as +ero debido a la inJuencia de otros+lanetas dic8as /rbitas son +erturbadas +roduci4ndose undes+la6amiento conocido como +recesi/n del +eri8elio ;el +eri8elio esel +unto de la /rbita del +laneta m5s +r/9imo al Sol 2 su +recesi/ntiene el sentido de la /rbita del +laneta<

(ara !ercurio dic8o des+la6amiento seg3n 8an medido los

astr/nomos es de A* +or siglo +ero la gravitaci/n de 0eton s/lo+redecía $#* +or siglo. Esta di-erencia se trat/ de e9+licar diciendoue debía e9istir un +laneta cercano a !ercurio al ue los cientí7cosllamaron =ulcano ue +roducía esta +erturbaci/n +ero este +lanetano a+arecía +or ning3n sitio. Einstein nada m5s concluir su 1eoría de la Relatividad Peneral la+uso a +rueba a+lic5ndola a este -en/meno obteniendo+r5cticamente los A$* ue -altaban. "dem5s e9+licaba ue dic8a+recesi/n debería e9istir aunue no estuvieran +resentes el resto de+lanetas siendo este -en/meno +roducto de ue !ercurio orbita

dentro de un es+aciotiem+o curvo.

-a Curvatura de la -uNUno de los e-ectos m5s sor+rendentes ue descubri/ Einstein cuandodesarrollaba su 1eoría de la Relatividad Peneral -ue ue la lu6 securva en un cam+o gravitatorio +ero +ara ue sea a+reciable este-en/meno la lu6 tiene ue +asar cerca de una gran masa.

(ero la luN no tiene masa +or tanto no se curva +orue sea atraída+or una gran masa de la manera ue dice la gravitaci/n de 0eton

sino ue 4sta se curva +orue tiene ue seguir el camino ue lemarca la curvatura del es+aciotiem+o +roducido +or esa gran masa.

$


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En #K#K Eddinton reali6/ un e9+erimento a+rovec8ando ue ese aMo8abría un ecli+se de Sol. @e esta -orma le sería +osible ver lasestrellas cercanas al Sol en +leno día. Com+arando las +osiciones delas estrellas cuando el Sol ecli+sado estaba +resente 2 cuando no lo

estaba se +udo ver como se +roducía un ligero des+la6amiento de lasestrellas a+ro9imadamente # tal 2 como Einstein +redecía en suteoría.

Cuando la gravedad se 8ace e9ce+cionalmente intensa la curvaturadel es+acio +uede 8acerse tan +ronunciada ue nada en absoluto nisiuiera la lu6 +uede tre+ar 8acia -uera de esa escar+ada curvatura.Eso es lo ue llamamos un aguWero negro.

A


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(J(MP-+* AP-&CAT&'+*

# M+'&M&(%T+ )(CT&-&%(+ U%&.+)M( 'A)&AD+#1#

Un auto marc8a a una velocidad de K% TmG8. El conductor a+lica los-renos en el instante en ue ve el +o6o 2 reduce la velocidad 8asta#G de la inicial en los A s ue tarda en llegar al +o6o. @eterminar au4 distancia del obst5culo el conductor a+lico los -renos su+oniendoue la aceleraci/n -ue constante.

Resoluci/n del +roblema:

@atos:v% ? K% TmG8 ? ;K% TmG8


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@atos:

v% ? #%% TmG8 ? ;#%% TmG8


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9 ? v%.t a.t [G&9 ? a.t [G&9 ? ;#K' mGs [


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a ? ;$& mGs#9!Y m


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!1!

Se de,a caer una +elota desde una altura de &% m. Cu5nto tardar5 enllegar al sueloCon u4 velocidad llega

8?&%m.t? =-?

=o?%g?#% mG s&8?=o.t f g.t&&%? % f .#%. t&&%? . t&

A? t&&s ?t tardar5 en llegar al suelo

= -?=og.t=- ? % #%.&=- ?&%mGs llega al suelo

!1$Un cuer+o cae libremente desde el re+oso durante ' segundos.Calcular la distancia ue 8a recorrido.

SOLUCIO0@atos:=elocidad inicial . =o ? %

1iem+o de caída .... t ? ' s"celeraci/n de caída ... g ? #% mGs&"ltura de caída ...8 ?

"+licaremos:

8 ? =o . t f g . t&

rem+la6ando valores :8 ? % f ; #% < ; '


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¿Con u4 velocidad se debe lan6ar 8acia arriba una +iedra +ara uelogre una altura m59ima de $.& m

SOLUCIh0.@atos:=elocidad inicial ............. =o ? =elocidad 7nal ................ =- ? %altura m59ima alcan6ada .. 8 ? $& maceleraci/n actuante ........ g ? #% mGs&

"+licaremos :; =-


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$1#

El gr57co ue se muestra corres+onde a la velocidad en -unci/n deltiem+o de un cuer+o lan6ado verticalmente 8acia arriba.

@etermine los instantes t# 2 t&. Considere g ? #% mGs&

.

La aceleraci/n ue e9+erimenta el cuer+o es la aceleraci/ngravitatoria ue es la +endiente del gr57co.

'#


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$1!Un avi/n suelta una bomba en )o*. @edu6ca la ecuaci/n de la tra2ectoria de la bomba res+ecto alsistema re-erencial +lanteado su+oniendo ue la velocidad del avi/n

es conocida.

La tra2ectoria es el con,unto de +osiciones de7nidas +or suscoordenadas ;9B2


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'$


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Sabemos ue un +ro2ectil ue se mueve libremente tiene unmovimiento ue resulta de la suma de un movimiento rectilíneouni-ormemente acelerado con aceleraci/n cero en el e,e 8ori6ontaltambi4n llamado movimiento rectilíneo uni-orme 2 un movimiento

rectilíneo uni-ormemente acelerado con aceleraci/n )g* en el e,evertical. Eligiendo un sistema re-erencial como el ue se re+resenta en elesuema nos ueda:

sabemos ue:

Sustitu2endo el tiem+o de la ecuaci/n I +or la e9+resi/n 8allada en II:

'A


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(or lo tanto la velocidad inicial es:

2 su argumento:

El alcance es la distancia 8ori6ontal recorrida +or el m/vil desde uela abscisa curvilínea en )2* es cero 8asta ue vuelve a ser cero.

$1?

Un proectil es lanNado verticalmente @acia arria9 en el vacBo9con una velocidad inicial de " m


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y = y o + v o ( t t o ! + " a ( t t o !#

v = v o + a ( t t o !

Las constantes del modelo las reem+la6o +or lasconstantes iniciales del +ro2ectil ;el globito deaba,o


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$1E

Una +elota de b4isbol sale con una velocidad de $ mGs inclinada $&Vcon la 8ori6ontal

... =amos a descom+oner la velocidad inclinada en sus doscom+onentes rectangulares :.........=2.... ......... $ m Gs..........j ........ .... k............. ....... k............. .... k............... k............ k

......... k ..$&V.......... =9

Com+onente =ertical ... .... =2 ? $ sen $&V ? $ ; %$% < ? #m Gs Com+onente Hori6ontal ..... =9 ? $ cos $&V ? $ ; %A < ? &K'm Gs

b< =amos al estudio del !ovimiento =ertical +ara calcular la altura

m59ima alcan6ada :

=ER1IC"L!E01E ; !RU= <

@"1OSvelocidad inicial ............ ... =o ? # m Gs jvelocidad 7nal ... ....... ....... =- ? %aceleraci/n actuante .......... g ? K m Gs[ altura m59ima alcan6ada .... 8 ?

"+licaremos :

.......... ; =-


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.................. #K'

................... ..........8 ? #' metros

'


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? M+'&M&(%T+ C&)CU%.()(%C&A-

?1#Que tan r5+ido +uede girar

Una bola de % Tg. @e masa esta unida al e9tremo de una cuerdacu2a longitud es # metros. La 7gura '.& muestra como gira la bolaen un círculo 8ori6ontal. Si la cuerda +uede so+ortar una tensi/nm59ima de % 0eton Cual es la velocidad m59ima ue la bola+uede alcan6ar antes de ue la cuerda se rom+a

Soluci/n Como en este caso la -uer6a central es la -uer6a 1 e,ercida

+or la cuerda sobre la bola de la ecuaci/n '.# se obtiene

@es+e,ando v

v ? #&&A mGseg.

E,ercicio Calcule la tensi/n en la cuerda si la ra+ide6 de la bola es mGseg.

1 ? $$ 0eton

?1!

Cu5l es la ra+ide6 m59ima de un autom/vil SERp"D

Un autom/vil de #%% qg. ue se mueve sobre un camino 8ori6ontal+lano recorre una curva cu2o radio es $ metros como en la 7gura'.A. Si el coe7ciente de -ricci/n est5tico entre las llantas 2 el

+avimento seco es % encuentre la ra+ide6 m59ima ue el autom/vil+uede tener +ara tomar la curva con 49ito

'K

http://www.monografias.com/trabajos11/tebas/tebas.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/sirisaac/sirisaac.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/cinemat/cinemat2.shtml#TEORICOhttp://www.monografias.com/trabajos12/eleynewt/eleynewt.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/llave-exito/llave-exito.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/tebas/tebas.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/sirisaac/sirisaac.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/cinemat/cinemat2.shtml#TEORICOhttp://www.monografias.com/trabajos12/eleynewt/eleynewt.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/llave-exito/llave-exito.shtml


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La -uer6a de -ricci/n est5tica dirigida 8acia el centro del arcomantiene el auto movi4ndose en un círculo.

*oluci;n: En este caso la -uer6a central ue +ermite al autom/vil

+ermanecer en su tra2ectoria circular es la -uer6a de -ricci/n est5tica.En consecuencia de la ecuaci/n '.# tenemos:

La ra+ide6 m59ima ue el autom/vil +uede alcan6ar alrededor de lacurva corres+onde a la ra+ide6 a la cual esta a +unto de +atinar 8acia-uera. En este +unto la -uer6a de -ricci/n tiene su valor m59imo.

FR ? 0 FD ? %

% – m g 5 "

0 ? m g

FR ? 0 ? m g

.) 5 S m g

FR ? % #%% K

.) 5 $E" %e\ton

@es+e,ando v

v 5 #$9# m


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FD ? %

% – m g 5 "

0 ? m g

FR ? 0 ? m g

.) 5 S m g

? %#'

?1$

-a rampa de salida peraltada *()]A=

Un ingeniero desea diseMar una ram+a de salida curva +ara uncamino de +ea,e de manera tal ue un auto no tenga ue de+enderde la -ricci/n +ara librar la curva sin +atinar. Su+onga ue un autoordinario recorre la curva con una velocidad de #$A mGseg 2 el radiode la curva es % metros. Con ue 5ngulo debe +eraltarse la curva

)aNonamiento: Sobre un camino nivelado la -uer6a central debe sersuministrada +or la -uer6a de -ricci/n entre el auto 2 el suelo. Sinembargo si el camino esta +eraltado a un 5ngulo u como en la7gura '. la -uer6a normal 0 tiene una com+onente 8ori6ontal % senu a+untando 8acia el centro de la tra2ectoria circular seguida +or elauto. Su+/ngase ue solo la com+onente % sen u +ro+orciona la-uer6a central. (or tanto el 5ngulo de +eralte ue calculemos ser5uno +ara el cual no se reuiere -uer6a -riccionaste. En otras +alabrasun autom/vil ue se mueve a la velocidad correcta ;#$A mGseg <+uede recorrer la curva incluso sobre una su+er7cie con 8ielo.

#

http://www.monografias.com/trabajos6/elsu/elsu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos6/elsu/elsu.shtml


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F ? m aC +ero: %4 5 % sen u

0 ? m aC

0 sen u ? m aC

(cuaci;n #

FD ? %

%= – m g 5 " (ero: 0D ? 0 cos u0D ? m g

0 cos u ? m g

(cuaci;n !

"l dividir # entre & se cancela 0 ;normal< 2 la masa m

&


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1an u ? %$''AA

• ? arc tan ;%$''AA<

u ? &%#&%

?1?

Un carro de ,uguete ue se mueve con ra+ide6 constante com+letauna vuelta alrededor de una +ista circular ;una distancia de &%%metros< en & seg.

a< Cual es la ra+ide6 +romedio

b< Si la masa del auto es de # Tg. Cual es la magnitud dela -uer6a central ue lo mantiene en un circulo

a< Cual es la ra+ide6 +romedio

b< Si la masa del auto es de # Tg. Cual es la magnitud de la -uer6acentral ue lo mantiene en un circulo L ? &%% metros ? & W r

@es+e,amos el radio

F ? $%# 0eton

$

http://www.monografias.com/trabajos12/eleynewt/eleynewt.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/eleynewt/eleynewt.shtml


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?1E

En un ciclotr/n ;un ti+o acelerador de +artículas


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A%A-&*&* )(-AT&'+ D( GA-&-(+

1#

Un autom/vil via,a a ra6/n de '% TmG8 2 +asa a otro ue marc8a a ATmG8. Cu5l es la velocidad del +rimero res+ecto del segundo.

$atos:

v# ? '% TmG8

v& ? A TmG8

vr ? v# v&vr ? '% TmG8 A TmG8vr ? # TmG8

1!

Una lanc8a cru6a el río en -orma +er+endicular a la corriente con unavelocidad de #& mGs. Si la velocidad de la corriente de agua es de AmGs cu5l es la velocidad de la lanc8a res+ecto de la orilla.

$atos:

v lanc8a ? #& mGs

v rio ? A mGs

(or la acci/n de la corriente del rio la lanc8a se mueve siguiendo unadiagonal.


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1$

Calcular el tiem+o em+leado en el caso del +roblema anterior si el ríotiene % m de anc8o.

$atos:

9 rio ? % m

v ? 9Gtt ? 9Gvt ? ;% m


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v- ? A$ mGs

1E

Un barco ue avan6a con rumbo sur a una velocidad de # mGs esatacado +or otro con un tor+edo dis+arado con una velocidadconstante de $ mGs en sentido esteoeste con u4 velocidad elbarco ve acercarse el tor+edo.

$atos:

v barco ? # mGs

v tor+edo ? $ mGs


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C+%C-U*&+%(*

Luego de llevada a cabo la +resente investigaci/n al desarrollar cadauno de sus +asos con el constante es-uer6o entregado a la misma se8a llegado al 7nal de este interesante 2 enriuecedor +rocesoB +orello merece mencionar ue dado el car5cter del traba,o sudemostraci/n va im+lícita en la misma e9+eriencia ue como autor 8econseguido tal cual en la 8istoricidad 2 an5lisis +revios adiagnosticar el tema se 8a subido un +ar de escalones en relaci/n a

la conce+ci/n de la ciencia -ísica la cual bien vista 2 sin reba,arse asu instrumentabilidad medieval +or sí sola es mas ue un ue8acerde asignar n3meros ue codi7uen a los -en/menos naturalesB es+ilar 2 es -rontera da la6os 2 abre +uertas es un laberinto 2 escaminoB 8o2 +or todo ello ue engloba esto2 en ca+acidad de emitirel criterio ue 8a nacido al rondar +or los +asa,es ue se 8anrecorrido en el +resente +roceso de investigaci/n.

1al como se 8a mani-estado el criterio del autor sin ser verdadabsoluta ni +aradigma sin +ar las siguientes son conclusionesv5lidas ue se interrelacionan como a continuaci/n se e9+oneres+ecto a las 8i+/tesis ue durante este -ormal avance se 8an+retendido demostrar:

• El tema Cinem5tica de la +artícula tratado en el +rimer aMode bac8illerato se 8a reducido a una sim+le instrumentaci/n dede7niciones a+licables casi mec5nicamente sin llevar alestudiante en la ma2oría de los casos a un verdadero +rimeran5lisis ue en base a su +ro+io es-uer6o le +ermita generar unacultura entorno al tema la cual le libraría de m5s de un grave errorue se cometen al momento de emitir un ,uicio ue +ermita elevaruna idea en el instante de resolver un e,ercicio de a+licaci/n.

• Se conclu2e ue cualuier estudiante ue desee +ro-undi6arres+ecto al tema estudiado deber5 +rimero anali6ar su entornomatem5tico la estructura sobre la cual a -undamentado elconocimiento de la FísicaB +ero sin lugar a duda sea cual -ueredic8o antecedente todo estudiante se encuentra en ca+acidad deasumir el retoB m5s a3n cuando 8o2 e9iste como se demostr/in7nita gama de +osibilidades bibliogra-ía -oros virtuales motoresde b3sueda en la red I01ER0E1B E1C. lo ue siguen siendoactual es ue uien +aga el +recio del es-uer6o dedicaci/n asumeun m4todo 2 es sistem5tico en su intento seguro obtendr5 buenos

2 /+timos resultados.


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• Es evidente ue actualmente guiar 2 ser guiado van de lamano la in-ormaci/n via,a en +rogresi/n geom4trica se conclu2eentonces ue todo lo ue nos rodea en relaci/n al tema tratadoenriuece 2 da m3lti+les matices 5ngulos 2 -ormas de inter+retar

el -en/meno de la cinem5tica de traslaci/nB mas todos convergenen la estructura establecida ue vuelve a sus bases 2 se +otenciacuando se la reconoce dentro de la a+licaci/n del c5lculomatem5tico

• Una consecuencia del an5lisis reali6ado a bibliogra-ía t4cnicaactuali6ada 2 autori6ada +or su reconocimiento a nivel mundial esel ado+tar como +ro+ios varios modelos 2 esuemas de +lanteo+asos secuencia l/gicaB 2 muc8os otros as+ectos al momento deresolver un +roblema.

)(C+M(%DAC&+%(*

• Una recomendaci/n clara 2 sencilla es incentivar a la ,uventud ala auto consulta lo cual da como resultado la +ersonali6aci/n de laeducaci/n +ara en-rentar el mundo ue esta lleno de cambios 2enigmas ue los debemos com+render +ara estar actuali6ados losmismos ue nos +ermiten vivir en un siglo globali6ado en el cual lain-ormaci/n via,a de una manera vertiginosa 2 +uede ser-5cilmente modi7cada.

• La recomendaci/n +ara el lector es ue no 8emos reali6ado unsolucionarlo ni tam+oco se +ro+one el 3nico camino +ara elestudio del tema tratado se debe recordar ue este -ue un traba,ode nivel intermedio ue conlleva al conocimiento b5sico necesario+ara el tratamiento del tema ob,eto de la investigaci/n

• Es im+ortante recalcar ue a la ciencia -ísica se la debe tratarsin creer ue es el sim+le 8ec8o de a+licar -ormulas o memori6aresuemas de7niciones conce+tosB sino mas bien asumir la

+ostura de autocrítica continua en b3sueda de la creaci/n de unra6onamiento l/gico +ro+io.

K


81/81


/&/-&+G)A.&A

8tt+:GG.7sicanet.com.arG

8tt+s:GGsites.google.comGsiteGtimesolarGgra7casGintroducciongra7cas8tt+:GG.matematicas7sicauimica.comGe,ercicios7sica2uimicaAesoG#Ke,erciciosgra7casmovimientosmrumruaG##&e,erciciosresueltosgra7casmovimientorectilineouni-ormeuni-ormementeaceleradomrumrua.8tml

8tt+s:GGsites.google.comGsiteGtimesolarGgra7cas

8tt+:GGacer.-orestales.u+m.esGbasicasGud7sicaGasignaturasG7sicaGcinematicaGcinem+robl#7lesGcinem+robl#.8tm

8tt+:GGrecursostic.educacion.esGnetonGebGmaterialesdidacticosGrelatividadGaularelatividad.+d- 8tt+:GGbibliotecadigital.ilce.edu.m9GsitesGcienciaGvolumen#Gciencia&G##G8tmGsec #$ 8tml
http://www.fisicanet.com.ar/https://sites.google.com/site/timesolar/graficas/introducciongraficashttp://www.matematicasfisicaquimica.com/ejercicios-fisica-y-quimica-4-eso/198-ejercicios-graficas-movimientos-mru-mrua/1172-ejercicios-resueltos-graficas-movimiento-rectilineo-uniforme-uniformemente-acelerado-mru-mrua.htmlhttp://www.matematicasfisicaquimica.com/ejercicios-fisica-y-quimica-4-eso/198-ejercicios-graficas-movimientos-mru-mrua/1172-ejercicios-resueltos-graficas-movimiento-rectilineo-uniforme-uniformemente-acelerado-mru-mrua.htmlhttp://www.matematicasfisicaquimica.com/ejercicios-fisica-y-quimica-4-eso/198-ejercicios-graficas-movimientos-mru-mrua/1172-ejercicios-resueltos-graficas-movimiento-rectilineo-uniforme-uniformemente-acelerado-mru-mrua.htmlhttp://www.matematicasfisicaquimica.com/ejercicios-fisica-y-quimica-4-eso/198-ejercicios-graficas-movimientos-mru-mrua/1172-ejercicios-resueltos-graficas-movimiento-rectilineo-uniforme-uniformemente-acelerado-mru-mrua.htmlhttps://sites.google.com/site/timesolar/graficashttp://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/fisica/cinematica/cinem_probl1_files/cinem_probl1.htmhttp://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/fisica/cinematica/cinem_probl1_files/cinem_probl1.htmhttp://recursostic.educacion.es/newton/web/materiales_didacticos/relatividad/aularelatividad.pdfhttp://recursostic.educacion.es/newton/web/materiales_didacticos/relatividad/aularelatividad.pdfhttp://bibliotecadigital.ilce.edu.mx/sites/ciencia/volumen1/ciencia2/11/htm/sec_13.htmlhttp://bibliotecadigital.ilce.edu.mx/sites/ciencia/volumen1/ciencia2/11/htm/sec_13.htmlhttp://www.fisicanet.com.ar/https://sites.google.com/site/timesolar/graficas/introducciongraficashttp://www.matematicasfisicaquimica.com/ejercicios-fisica-y-quimica-4-eso/198-ejercicios-graficas-movimientos-mru-mrua/1172-ejercicios-resueltos-graficas-movimiento-rectilineo-uniforme-uniformemente-acelerado-mru-mrua.htmlhttp://www.matematicasfisicaquimica.com/ejercicios-fisica-y-quimica-4-eso/198-ejercicios-graficas-movimientos-mru-mrua/1172-ejercicios-resueltos-graficas-movimiento-rectilineo-uniforme-uniformemente-acelerado-mru-mrua.htmlhttp://www.matematicasfisicaquimica.com/ejercicios-fisica-y-quimica-4-eso/198-ejercicios-graficas-movimientos-mru-mrua/1172-ejercicios-resueltos-graficas-movimiento-rectilineo-uniforme-uniformemente-acelerado-mru-mrua.htmlhttps://sites.google.com/site/timesolar/graficashttp://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/fisica/cinematica/cinem_probl1_files/cinem_probl1.htmhttp://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/fisica/cinematica/cinem_probl1_files/cinem_probl1.htmhttp://recursostic.educacion.es/newton/web/materiales_didacticos/relatividad/aularelatividad.pdfhttp://recursostic.educacion.es/newton/web/materiales_didacticos/relatividad/aularelatividad.pdfhttp://bibliotecadigital.ilce.edu.mx/sites/ciencia/volumen1/ciencia2/11/htm/sec_13.htmlhttp://bibliotecadigital.ilce.edu.mx/sites/ciencia/volumen1/ciencia2/11/htm/sec_13.html

cinematica de miguel

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