cinematica de una particula (movimirento curvilineo) sesion 3 ucv
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8/17/2019 CINEMATICA de UNA PARTICULA (Movimirento Curvilineo) Sesion 3 UCV
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MOVIMIENTO CURVILÍNEOOBJETIVOS
1. Describir el movimiento de
una partícula que viaja a lo
laro de una tra!ectoriacurva
". E#presar las cantidades
cinem$ticas en coordenadasrectanulares% componentes
normal ! tanencial% así
como radial ! transversal
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. MOVIMIENTO CURVILÍNEOSe dice que una partícula tiene un movimiento curvilíneo
cuando su trayectoria descrita esta es una línea curva.
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MOVIMIENTO CURVILÍNEO1. Vector Posición: Es aquel vector diriido desde el
orien de un sistema coordenado &acia el punto deubicaci'n instant$nea ( la partícula. Se representa por
r ) r*t+.
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. MOVIMIENTO CURVILÍNEO2. Vector Desplazamiento: Suponamos a&ora que la
partícula se mueve durante un peque,o intervalo detiempo ∆t &asta el punto (-% entonces su posici'n ser$ r’(t + ). El desplaamiento es vector diriido desde ( a
(- ! se e#presa
/* + * +r r t t r t ∆ = + ∆ −
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. MOVIMIENTO CURVILÍNEO3. Velocidad Media: Cuando la partícula se mueve de P a P’
experimenta un desplazamiento ∆r en un intervalo de tiempo∆t. la velocidad media se define como
/
/m
r r r v
t t t
∆ −= =
∆ −
r
0a velocidad media es un
vector que tiene la misma
direcci'n que el desplaamiento
es decir es secante a la curva.
0a velocidad media depende
del intervalo de tiempo.
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. MOVIMIENTO CURVILÍNEO4. Velocidad Instantánea: Si el intervalo de tiempo se hace
cada ves más pequeño (∆t→!" el desplazamiento tam#i$ntiende a cero. %levando al límite la velocidad media se o#tienela velocidad instantánea. &s decir.
0a velocidad instant$nea esun vector tanente a la
tra!ectoria.
/lim lim
/t t
r r r dr v
t t t dt ∆ → ∆ →∆ −= = =∆ −
r
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. MOVIMIENTO CURVILÍNEO3. Velocidad Instantánea:
'ultiplicando y dividiendo la expresin anterior por lalon)itud del arco ∆s * acrP+" o#tenemos
lim lim lim
t t t
r s r sv
s t s t ∆ → ∆ → ∆ →
∆ ∆ ∆ ∆= =
∆ ∆ ∆ ∆
r
2 medida que 3 se acerca a ( la
manitud de ∆r se apro#ima a ∆s%entonces se tiene
2dem$s se tiene
1lim t
t dr r eds s∆ →
∆= =∆
r
limt
s dsv
t dt ∆ →
∆= =
∆
t
dsv e
dt
=r r
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. MOVIMIENTO CURVILÍNEO5. Aceleración media: &n la fi)ura se o#serva lasvelocidades instantáneas de la partícula en P y +. &l cam#io develocidades durante ∆t es ∆v. %a aceleracin media es el cam#iode velocidades en el intervalo de tiempo. Es decir
0a aceleraci'n media es un
vector paralelo a ∆v !tambi4n depende de la
duraci'n del intervalo de
tiempo
Q P
m
Q P
v vva
t t t
−∆= =
∆ −
r
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. MOVIMIENTO CURVILÍNEO3. Aceleración media: &n la fi)ura se o#serva lasvelocidades instantáneas de la partícula en P y +. &l cam#io develocidades durante ∆t es ∆v. %a aceleracin media es el cam#iode velocidades en el intervalo de tiempo. Es decir
0a aceleraci'n media es un
vector paralelo a ∆v !tambi4n depende de la
duraci'n del intervalo de
tiempo
Q P
m
Q P
v vva
t t t
−∆= =
∆ −
r
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. MOVIMIENTO CURVILÍNEO6. Aceleración instantánea: Se o#tiene llevando al límitela aceleracin media es decir haciendo cada ves mas y maspequeños los intervalos de tiempo
0a aceleraci'n instant$nea
es un vector que tienemisma direcci'n que el
cambio instant$neo de la
velocidad es decir apunta
&acia la concavidad de la
curva
"
"
limt
v dva
t dt
d dr d r adt dt dt
∆ →
∆= =
∆
= = ÷
r
r rr
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1.1. COMONENTE! RECT"N#UL"RE! $E L"VELOCI$"$ % L" "CELER"CI&N
1. 2esplazamiento. Si una partícula se mueve de P a P en un
intervalo de tiempo ∆t. &l desplazamiento está dado por377 7/r r r xi yj zk ∆ = − = ∆ + ∆ + ∆
r r r
" " "* + * + * +r x y z ∆ = ∆ + ∆ + ∆r
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1.1. COMONENTE! RECT"N#UL"RE! $E L"VELOCI$"$ % L" "CELER"CI&N
4. 5elocidad media. Si una partícula se mueve de P a P’
experimenta un desplazamiento ∆r en un intervalo de tiempo∆t. %a velocidad media será
Es un vector secante a la
tra!ectoria
77 7m
r x y z v i j k
t t t t
∆ ∆ ∆ ∆= = + +
∆ ∆ ∆ ∆
r
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1.1. COMONENTE! RECT"N#UL"RE! $E L"VELOCI$"$ % L" "CELER"CI&N
6. 5elocidad instantánea. Se o#tiene llevando al límite cuando
∆t → " la velocidad media es decir3
Es un vector tanente a la curva !
tiene una manitud de5inida por
k v jviv
k z j yi xk dt
dz j
dt
dyi
dt
dxv
z y x
++=
++=++=
"""
z y x vvvv ++=
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1.1 COMONENTE! RECT"N#UL"RE! $E L"VELOCI$"$ % L" "CELER"CI&N
7. 8celeracin media. Cuando la partícula cam#ia de posicin
su velocidad tam#ien cam#ia. &ntonces la aceleracin mediaserá
Es un vector que se encuentra diriido
a lo laro del cambio de velocidades
77 7 y x z m
vv vva i j k
t t t t
∆∆ ∆∆= = + +
∆ ∆ ∆ ∆
rr
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1.1 COMONENTE! RECT"N#UL"RE! $E L"VELOCI$"$ % L" "CELER"CI&N
7. 8celeracin instantanea. Se o#tiene llevando al límite la
aceleracin media.
Es un vector que se encuentra diriido
&acia la concavidad de la curva ! su
manitud es
x y z
x x
y y
z z
dva a i a j a k
dt
donde
a v x
a v y
a v z
= = + +
= == =
= =
rr r
& &&
& &&
& &&
"""
z y x aaaa ++=
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E'e()lo&n cualquier instante la posicin horizontal del )lo#o
meteorol)ico está definida por x = (9t) m" donde t es else)undo. Si la ecuacin de la trayectoria es y = xª/30" dondea = 2: 2eterminar la distancia del )lo#o a la estacin 8" lama)nitud y la direccin de la velocidad y de la aceleracin
cuando t = 2 s
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!ol*ci+n Cuando t * 1 s" la posicin del
)lo#o es
%a distancia en línea recta será
%as componentes de la
velocidad son
%a ma)nitud y direccinde la velocidad parat * 1 s son" "
8 8 9 *" + 1:
1:* + 1% :
; ;
x t m s s m
x y m
= = =
= = =
" "1: 1%: "1r m= + =
( )
( )"
8 8 9
:1
9 ; 1.: 91< 1<
x
y
d v x t m s
dt
d x dx t
v y x m sdt dt
= = =
= = = = =
&
&
( ) ( )
" "
8 1.: 1=.1 9v m s= + =1tan
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!ol*ci+n%as componentes de la aceleracin
será
%a ma)nitud y direccin de laaceleracin son
"
:1
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E'e()lo&l movimiento de la ca9a : está
definida por el vector deposicin
donde t esta en se)undos y elar)umento para el seno y elcoseno está en radianes.
2etermine la localizacin de laca9a cuando t * ";7 s y lama)nitud de su velocidad yaceleracin en este instante
77 7>%< *" + %
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!ol*ci+n La posición de la partícula cuando t = 0,75 s es
La distancia medida desde el origen será
La dirección es
.@< A.
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!ol*ci+n La velocidad de la partícula cuando t = 0,75 s es
La aceleración de la partícula cuando t = 0,75s
a = 2 m/s2
A1cos*" + 1sin*" + ." B 9dr
v t i t j k m sdt
= = − −
rr rr
" " "
1." 9 x y z v v v v m s= + + =
"A " sin*" + " cos*" + B 9dv
a t i t j m sdt = = − −
r rr
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1.,. MOVIMIENTO CURVILINEO L"NO&s aquel movimiento que se realiza en un solo plano.
( ) ( ) ( )r t x t i y t j= +r r r
( ) ( )
( ) ( )
" 1
" 1 " 1
r r t r t
r x x i y y j
∆ = −
∆ = − + −
r
r rr
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
# !v t v t i v t j
v t x t i y t j
= +
= +
r r r& &
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
# !
# !
a t a t i a t j
a t v t i v t j
a t x t i y t j
= +
= +
= +
r r r& &
r r r&& &&
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1.3. MOVIMIENTO "R"-&LICO&s caso mas simple del movimiento plano" en el cual ax * y
ay
* < ) * < =">, m?s1 *
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.3.1. MOVIMIENTO "R"-&LICO: /i)+tesisPara analizar este movimiento se usa las si)uientes hiptesis
0a! &l alcance del proyectil es suficientemente pequeño como para poderdespreciar la curvatura de la superficie terrestre (la aceleracin)ravitatoria g es normal a dicha superficie!@
(#! %a altura que alcanza el proyectil es suficientemente pequeña comopara poder despreciar la variacin del campo )ravitatorio (aceleracinde la )ravedad! terrestre con la altura@
(c! %a velocidad del proyectil es suficientemente pequeña como parapoder despreciar la resistencia que presenta el aire al movimiento delproyectil y
(d! 0o tendremos en cuenta el efecto de rotacin de la Aierra que" comoveremos más adelante" tiende a desviar el proyectil hacia la derechade su trayectoria cuando el movimiento tiene lu)ar en el hemisferio0orte.
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.3., MOVIMIENTO "R"-&LICO: ec*acionesMovi(iento ori2ontal. $eido a *e a 5 6 7
"
" "
1
"
" * +
x
x
x
v v a t
x x v t a t
v v a x x
= += + +
= + −
* +
* +
* +
x x
x
x x
v v
x x v t
v v
== +
=
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1.3.,. MOVIMIENTO "R"-&LICO: ec*acionesMovi(iento vertical: $eido a *e a 8 6 9 6 9;
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.3.,. MOVIMIENTO "R"-&LICO: alcance alcan2ado )orel )ro8ectil
&l máximo alcance es lo)rado cuando el án)ulo de lanzamiento
es 67B
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E'e()lon saco desliza por una rampa saliendo de su extremo con
una velcoidad de ,1 m?s. Si la altura de la rampa es D m desdeel piso. 2etermine el tiempo necesario para que saco impactecontra el piso y la distancia horizontal E que avanza
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E'e()lo 0a pista de carreras de este evento 5ue dise,ado para que
los pilotos puedan saltar de la pendiente de ;G% desde una
altura de 1m. Durante la carrera% se observ' que el
conductor permaneci' en el aire 1%< s. Determine la
velocidad de salida de la pendiente% la distancia &oriontal
alcanada ! la altura m$#ima que se eleva el piloto ! sumoto. Desprecie el tama,o de ambos.
' l
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E'e()lo n 9u)ador de #asquet#ol lanza una pelota de #aloncestose)Fn el án)ulo de G * 7B con la horizontal. 2etermine larapidez v 0 a la cual se suelta la pelota para hacer el encesteen el centro del aro. HCon qu$ rapidez pasa la pelota a trav$sdel aro?.
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E'e()lon #om#ero desea sa#er la altura máxima de la pared a la
cual puede proyectar el a)ua mediante el uso de la man)uera.H8 qu$ án)ulo" G" respecto de la horizontal de#e inclinar la#oquilla para lo)rar el o#9etivoI
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E'e()lo&l esquiador sale de la rampa formando un án)ulo de G8 * 17B
y aterriza en el punto : de la pendiente. 2etermine lavelocidad inicial del esquiador y el tiempo que permanece enel aire
' l
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E'e()lo El om!re lan"a una pelota con una velocidad
inicial v 0 = #5 m/s . $etermine el ángulo % !a&o elcual podría lan"ar la pelota del tal manera 'ue
co'ue contra la valla en un punto de má(ima
altura posi!le. El gimnasio tiene una altura de 6 m.