circuitos electricos libro completo
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Libro de Circuitos Electricos escrito por el fallecido ingeniero Augusto Cano, profesor de planta de la Universidad Tecnològica de Pereira ColombiaTRANSCRIPT
Indice general
INTRODUCCION 5
1. REDES SUMERGIDAS EN DOS VARIABLES 7
1.1. Elementos Circuitales Transformados en s . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.1. Fuentes Ideales Transformadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2. Resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3. Inductancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.4. Capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2. Concepto de Funcion de Circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2. REDES DE DOS PUERTAS. 17
2.1. Parametros de un Cuadripolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2. Otras Funciones de Circuito de un cuadripolo . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3. Impedancia Caracterıstica de un cuadripolo . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4. Conexiones de los cuadripolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.1. Conexion serie y equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.2. Conexion paralelo y equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4.3. Conexion cascada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.4. Conexiones mixtas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1
INDICE GENERAL INDICE GENERAL
3. TECNICAS PARA REDUCCION DE CUADRIPOLOS 37
3.1. Equivalencia de un cuadripolo utilizando Millman . . . . . . . . . . . . 37
3.2. Reciprocidad aplicada a cuadripolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3. Teoremas de Thevenin y Norton en cuadripolos . . . . . . . . . . . . . 40
3.4. Equivalencia T, Π; Π, T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.5. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4. LA FUNCION DE TRANSFERENCIA H(S) 53
4.1. Polos y ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2. H(s) como funcion compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3. Respuesta forzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.4. Ejercicio Propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5. FILTROS ELECTRICOS 69
5.1. Tipos de filtros electricos pasivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.1.1. Filtro Pasa Bajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.1.2. Filtro Pasa Alto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.1.3. Filtro Pasa Banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.1.4. Filtro Eliminador de Banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.1.5. Modelos circuitales para filtros pasivos . . . . . . . . . . . . . . 72
5.1.6. Filtros pasa bajo tipo T y Π normalizados . . . . . . . . . . . . 73
5.1.7. Filtros pasa alto tipo T y Π normalizados . . . . . . . . . . . . 77
5.1.8. Filtros pasa banda tipo T y Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.1.9. Filtro eliminador de banda tipo T . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.2. Fundamentos de los filtros activos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.2.1. Filtro pasa bajo Butterworth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.2.2. Filtro pasa alto Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2
INDICE GENERAL 3
6. RESPUESTA EN FRECUENCIA 89
6.1. Diagramas de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.2. Casos generales para los diagramas de Bode . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.3. Criterio de estabilidad de Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.4. Polos referenciados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.5. Criterio de Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.5.1. Condicion suficiente de Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.6. Formulas de Vieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7. SERIES DE FOURIER 107
7.1. Consideraciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.2. Conceptos de aproximacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.3. La serie trigonometrica de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.4. Funciones periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.5. Propiedades generales de las series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . 114
7.6. La transformada continua de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
8. BIBLIOGRAFIA 123
4 INDICE GENERAL
INTRODUCCION
La secuencia en el area de los circuitos electricos de la Facultad de Ingenierıa Electrica
de la Universidad Tecnologica de Pereira parte de los mas simples conceptos y leyes
que los puedan modelar hasta la teorıa de los Circuitos Electricos III existiendo una
sustentacion valida de esta; esto es , la descripcion de ellos desde su genesis en la
variable tiempo y luego hacia la variable frecuencia en donde ambas son realidades
fısicas cualificables y cuantificables.
Para la primera variable, tiempo, los cursos de Circuitos I y II han demostrado llenar las
espectativas y niveles deseados existiendo libros guıas basicos y otros escritos en el seno
de la misma facultad pero, desafortunadamente para el curso de Circuitos Electricos
III no existe este y por una razon fundamental; los topicos tratados estan dispersos
en sus fuentes y ademas a traves de los anos la importancia del comportamiento en la
frecuencia de ellos es innegable; tratamiento con la utilizacion de herramientas como la
transformada de Laplace por ejemplo.
El texto se divide en dos apartes ası:
La primera, con los capıtulos 1,2 y 3, el estudiante avanza, apoyado en la Transformada
de Laplace, en conocimientos en el manejo de los teoremas y principios basicos de las
redes electricas desde y bajo el concepto de funciones de circuito hacia el entendimiento
de funcion de transferencia.
La segunda, capıtulos 4,5,6 y 7, se pasa, cualitativamente, a la frecuencia llegando
inclusive al terreno de las Series de Fourier, la antesala de las Transformadas Continuas
de Fourier continuas, base ineludible para el entendimiento y manejo de senales en
las comunicaciones modernas y por ultimo a manera de ayuda se agrega un programa
general hecho en Matlab.
5
6 INDICE GENERAL
Hasta aca es el proposito general de este texto; el veredicto de la practica docente y
con los estudiantes lo haran, ası se espera, madurar a traves de sus aciertos y errores.
Capıtulo 1
REDES SUMERGIDAS EN DOS
VARIABLES
El describrir una red electrica a traves del tiempo por medio de leyes y principios
simples como; la ley de Ohm, ley de Ampere, ley de Faraday, superposicion, linealidad,
etc.,es una sıntesis que permite una aproximacion de ellas del como se comportan en la
realidad.
Estas leyes y principios son invariantes y los modelos circuitales y ecuaciones generadas
son formulaciones basadas con consideraciones de tipo ideal. Son las mismas en la
frecuencia aunque no hayan sido formuladas bajo esta variable y su presentacion
matematica sea diferente.
Figura 1.1: Redes en t y en w.
La Transformada de Laplace permite lo anterior en la variable s.
Existen otras transformadas con las consideraciones anteriores, sea que se traten en
7
8 CAPITULO 1. REDES SUMERGIDAS EN DOS VARIABLES
forma continua o discreta, que desembocan en la frecuencia y ahı radica una de sus
utilidades.
Ademas, la Transformada de Laplace, permite resolver una serie de ecuaciones
diferenciales, integrodiferenciales bajo ciertas condiciones y la mayorıa de las veces
agiliza el manejo algebraico de estas; no sucediendo lo mismo en su manipulacion en el
tiempo, aun mas; escudrinar una senal en una red de una manera amplia a partir de
una referencia como el tiempo bajo sus condiciones iniciales y llegar a unas condiciones
finales. Ahora; con el cambio de variable s = jw (plano complejo) deja de ser una mera
formulacion matematica al llegar a la variable real y fısicamente medible; la frecuencia
w.
Figura 1.2: Redes en t en s y en w.
En los tres primeros capıtulos solo se tratan ciertas redes sumergidas en s.
1.1. Elementos Circuitales Transformados en s
Los elementos circuitales a tratar se consideran invariantes con el tiempo, concentrados,
donde se pueda aplicar el principio de la superposicion y la linealidad, no se transforman
los “elementos” lo que se va hacer es obtener de la Transformada de Laplace aplicada
a las senales de tension y/o de corriente que aparecen sobre ellos bajo una ley general.
1.1. ELEMENTOS CIRCUITALES TRANSFORMADOS EN S 9
1.1.1. Fuentes Ideales Transformadas
Figura 1.3: Fuentes transformadas en s.
1.1.2. Resistencia
v(t) = Ri(t) ←→ V (s) = RI(s)
Figura 1.4: Resistencia en t y en s.
Se define Impedancia resistiva transformada a
Z(s) =V (s)
I(s)= R (1.1)
o Admitancia transformada a
Y (s) =I(s)
V (s)=
1
R(1.2)
10 CAPITULO 1. REDES SUMERGIDAS EN DOS VARIABLES
1.1.3. Inductancia
v(t) = Ldi(t)
dt←→ V (s) = L [sI(s)− i(0)]
Figura 1.5: Inductancia con fuente de tension en s.
Hay una fuente de tension que depende exclusivamente de la inductacia L e i(0−) o
a la condicion inicial que existe en la inductancia ligada al flujo magnetico confinado
φ(t) = Li(t) en 0−
φ(0−) = Li(0−) (1.3)
Se considera que este en 0− ni en 0+ (elemento propio) no cambia
φ(0−) = φ(0) = φ(0+) (1.4)
Conservacion de flujo; ahora, si se hace i(0)=0 se define Impedancia inductiva
transformada a
Z(s) =V (s)
I(s)= Ls (1.5)
o Admitancia transformada a
Y (s) =I(s)
V (s)=
1
Ls(1.6)
Lo que indica que tanto Z(s) o Y(s) solo dependen de L y de s , propia de cada
inductancia de valor L, y no de i(0).
De la representacion circuital anterior, despejar a I(s)
Figura 1.6: Inductancia como fuente de corriente en s.
1.1. ELEMENTOS CIRCUITALES TRANSFORMADOS EN S 11
Es la transformacion a fuente de corriente, desde una fuente de tension, a su nueva
representacion.
No es mas que la transformada de la ecuacion;
i(t) =1
L
∫ t
−∞v(x)dx (1.7)
1.1.4. Capacitancia
i(t) = Cdv(t)
dt←→ I(s) = C [sV (s)− vc(0)]
Figura 1.7: Capacitancia en t.
Figura 1.8: Capacitancia como fuente de corriente.
Existe una fuente de corriente dependiente de C y de vc(0−), a la carga Q(0−), si esta
no cambia en 0− ni en 0+ (elemento propio),
Q(0−) = Q(0) = Q(0+) (1.8)
Si se hace vc(0) = 0, se define Admitancia capacitiva transformada a
Y (s) =I(s)
V (s)= Cs (1.9)
12 CAPITULO 1. REDES SUMERGIDAS EN DOS VARIABLES
O Impedancia capacitiva transformada:
Z(s) =V (s)
I(s)=
1
Cs(1.10)
Y(s) como Z(s) solo dependen de C y de s, son propias de cada capacitancia de valor
C, y no de vc(0).
La representacion anterior se puede llevar a
Figura 1.9: Capacitancia como fuente de tension.
Es la transformacion a fuente de tension de su nueva representacion y no es mas que la
transformada de la ecuacion
V (t) =1
C
∫ t
−∞i(x)dx (1.11)
Ejemplo de aplicacion:
Para el circuito mostrado llevarlo a su equivalente en s,
Figura 1.10: Ejemplo de red en t.
si K se pasa en t=0 de 1 a 2.
Este muestra las condiciones iniciales
1.2. CONCEPTO DE FUNCION DE CIRCUITO 13
Figura 1.11: Condiciones iniciales.
Figura 1.12: Red transformada en s.
E1(s) =1
2, E2(s) =
1
s
al encontrar cualquier senal de tension o de corriente sobre cualquier elemento de este
circuito tendra dos componentes; una provocada por la fuente E(s) y la otra por las
fuentes relacionadas con las condiciones iniciales. Ası por ejemplo
Vab(s) =2
12s2 + s + 2E(s) +
2
12s2 + s + 2E1(s) +
12s2
12s2 + s + 2E2(s)
aplicando el Principio de la Superposicion.
1.2. Concepto de Funcion de Circuito
Sea la red mostrada en la siguiente figura
14 CAPITULO 1. REDES SUMERGIDAS EN DOS VARIABLES
Figura 1.13: Red de n puertas en t y en s.
Esta puede estar conformada por fuentes dependientes ( no acoples externos que
involucren otra puerta de entrada) e independientes, elementos activos y ademas se
tiene acceso a n puntos o puertas (red de n puertas) con sus respectivas tensiones y
corrientes. Ahora, si se considera como una caja negra y sobre ella se hacen pruebas
de corto circuito o de circuito abierto, tensiones cero o eliminacion de corriente, por lo
general es posible encontrar un conjunto de n×n ecuaciones linealmente independientes
con el apoyo del principio de superposicion, que relacionan las tensiones, corrientes entre
sı y, ademas originan relaciones propias de la red; relaciones que solo pertenezcan a esta.
Si se tratara de plasmarlas en el tiempo, variable t, probablemente aparecerıan
ecuaciones integrodiferenciales y reducirlas de tipo algebraico, racionales, solo se puede
lograr en el plano s, sı y solo sı ,se hacen las condiciones iniciales nulas porque estas
no permitirıan obtener este conjunto de ecuaciones en forma independiente, ademas, de
forma unica y propia.
Existen posibilidades algebraicas como
[E] = [M ] [I] ; Tensiones contra corrientes.
[I] = [M ] [E] ; Corrientes contra tensiones.
Para [M ] matrices, en s, de n× n dimension, diferentes, conformadas por elementos
que solo dependen de la red y de su constitucion.
[E] = [M ] [I] ; [M ] matriz con elementos de impedancia.
[I] = [M ] [E] ; [M ] matriz con elementos de admitancia.
Para el caso de elementos de impedancia
1.3. EJERCICIOS PROPUESTOS 15
[E] = [M ] [I] ; [M ] = [Z]
E1
E2
.
.
En
=
Z11 Z12 Z1n
Z21 Z22 Z2n
.
.
.
.
.
.
.
.
Zn1 Zn2 Znn
I1
I2
.
.
In
(1.12)
E1 = Z11I1 + Z12I2 +−−+Z1nIn
E2 = Z21I1 + Z22I2 +−−+Z2nIn (1.13)...
...
En = Zn1I1 + Zn2I2 +−−+ZnnIn
con pruebas o ensayos de eliminacion de corriente (circuito abierto) en los puntos o
puertas se pueden encontrar cada uno de los elementos de [Z] , por ejemplo,
Z11 =E1
I1
, Z21 =E2
I1
, ........, Zn1 =En
I1
(1.14)
todas las anteriores con I2 = I3 = ...... = In = 0,
donde, por supuesto, [Z] depende de la red, no de las [E] ni de las [I] , sı de sus relaciones
y tendran forma racionales en s.
Estos elementos se definen como Funciones de Circuito de Impedancia y en su conjunto
permiten la superposicion en el sistema lineal de ecuaciones.
1.3. Ejercicios Propuestos
1. Para la red mostrada hallar a [Z],[Y].
16 CAPITULO 1. REDES SUMERGIDAS EN DOS VARIABLES
Figura 1.14: Ejercicio propuesto 1.
2. Transformar el siguiente arreglo
Figura 1.15: Ejercicio propuesto 2.
3. A una red de n puertas con acoples externos sera posible encontrarle sus funciones
de circuito? Explicar.
Capıtulo 2
REDES DE DOS PUERTAS.
Dentro de la teorıa de redes las de dos puertas son de las mas comunes entre otras cosas
porque, a traves de ellas, es posible modelar y analizar arreglos, por ejemplo, en las
areas de potencia y electronica.
Figura 2.1: Red de dos puertas en s.
A estas, ya transformadas, se les denomina cuadripolos. En cada una de sus puertas o
puntos de acceso se pueden realizar ensayos o pruebas de corto circuito y de circuito
abierto o eliminacion de corriente.
Notese que por ser cuatro senales operando en estos se pueden obtener veinticuatro
funciones de circuito como elementos de las seis matrices donde se relacionan estas
cuatro senales conformando sistemas de dos ecuaciones linealmente independientes con
dos incognitas solo sı estas redes se puedan configurar como cuadripolos.
Estas funciones de circuito se pueden encontrar con pruebas o ensayos y es necesario
hacer las condiciones iniciales cero tienendo en cuenta las restricciones generales de las
redes de n puertas expuestas en el Capıtulo 1.
17
18 CAPITULO 2. REDES DE DOS PUERTAS.
2.1. Parametros de un Cuadripolo
Para un cuadripolo existen los siguientes parametros o funciones de circuito que se
pueden obtener con pruebas.
Se evaluan, corto circuito,impedancia;
[V1
V2
]= [Z]
[I1
I2
](2.1)
[Z] =
[Z11 Z12
Z21 Z22
](2.2)
Determinante:
∆Z = Z11Z22 − Z12Z21, (2.3)
Z11 =V1
I1
∣∣∣∣I2=0
Z12 =V1
I2
∣∣∣∣I1=0
(2.4)
Z21 =V2
I1
∣∣∣∣I2=0
Z22 =V2
I2
∣∣∣∣I1=0
(2.5)
Se evaluan, eliminacion de corrientes, admitancia;
[I1
I2
]= [Y ]
[V1
V2
](2.6)
[Y ] =
[Y11 Y12
Y21 Y22
](2.7)
Determinante:
4Y = Y11Y22 − Y12Y21 (2.8)
Y11 =I1
V1
∣∣∣∣V2=0
; Y12 =I1
V2
∣∣∣∣V1=0
(2.9)
2.1. PARAMETROS DE UN CUADRIPOLO 19
Y21 =I2
V1
∣∣∣∣V2=0
; Y22 =I2
V2
∣∣∣∣V1=0
(2.10)
Se evaluan, corto circuito y eliminacion de corriente, transmision;
[V1
I1
]= [T ]
[V2
−I2
](2.11)
[T ] =
[A B
C D
](2.12)
Determinante:
∆T = AD −BC (2.13)
A =V1
V2
∣∣∣∣−I2=0
; B =V1
−I2
∣∣∣∣V2=0
(2.14)
C =I1
V2
∣∣∣∣−I2=0
; D =I1
−I2
∣∣∣∣V2=0
(2.15)
Se evaluan, eliminacion de corriente y corto circuito, transmision inversa;
[V2
I2
]= [T ]i
[V1
−I1
](2.16)
[T ]i =
[Ai Bi
Ci Di
](2.17)
Determinante:
∆Ti = AiDi −BiCi (2.18)
Ai =V2
V1
∣∣∣∣−I1=0
; Bi =V2
−I1
∣∣∣∣V1=0
(2.19)
Ci =I2
V1
∣∣∣∣−I1=0
; Di =I2
−I1
∣∣∣∣V1=0
(2.20)
Se evaluan, corto circuito y eliminacion de correinte,hıbridos;
20 CAPITULO 2. REDES DE DOS PUERTAS.
[V1
I2
]= [h]
[I1
V2
](2.21)
[h] =
[h11 h12
h21 h22
](2.22)
Determinante:
∆h = h11h22 − h12h21 (2.23)
h11 =V1
I1
∣∣∣∣V2=0
; h12 =V1
V2
∣∣∣∣I1=0
(2.24)
h21 =I2
I1
∣∣∣∣V2=0
; h22 =I1
V2
∣∣∣∣I1=0
(2.25)
Se evaluan,eliminacion de corriente y corto circuito,hıbridos inversos;[I1
V2
]= [g]
[V1
I2
](2.26)
[g] =
[g11 g12
g21 g22
](2.27)
Determinante:
∆g = g11g22 − g12g21 (2.28)
g11 =I1
V1
∣∣∣∣I2=0
; g12 =I1
I2
∣∣∣∣V1=0
(2.29)
g21 =V2
V1
∣∣∣∣I2=0
; g22 =V2
I2
∣∣∣∣V1=0
(2.30)
Casi siempre es posible realizar transformaciones algebraıcas y pasar de una matriz
a otra cuando los respectivos determinantes no sean cero teniendo en cuenta que los
elementos de una matriz no son los inversos de los de la matriz que se desea transformar.
Como ejemplo
2.1. PARAMETROS DE UN CUADRIPOLO 21
[Z] =
[Z11 Z12
Z21 Z22
](2.31)
[Z] [Z]i =
[1 0
0 1
](2.32)
[Z]i =1
∆Z
[Z22 −Z21
−Z12 Z11
](2.33)
si
[V1
V2
]= [Z]
[I1
I2
](2.34)
[Z]i[
V1
V2
]=
[1 0
0 1
] [I1
I2
](2.35)
se transforma en
[I1
I2
]= [Y ]
[V1
V2
]=
[Y11 Y12
Y21 Y22
] [V1
V2
](2.36)
Y11 =Z22
∆Z
; Y12 =−Z21
∆Z
(2.37)
Solo en casos generales, pero
Y11 6=1
Z11
; Y12 6=1
Z12
(2.38)
Y21 6=1
Z21
; Y22 6=1
Z22
(2.39)
ya que implicarıa
Z12Z21 = 0 Z11Z22 = Z212 (2.40)
ademas la pruebas son diferentes tanto para [Z] como para [Y ] .
Se presenta a continuacion la tabla de los diferente parametros de un cuadripolo.
22 CAPITULO 2. REDES DE DOS PUERTAS.
[z]
[y]
[T]
[T] i
[h]
[g]
[z]
z 11
z 12
z 21
z 22
y22
∆y−
y12
∆y
−y21
∆y
y11
∆y
A C∆
T C
1 CD C
Di
Ci
1 Ci
∆T
i
Ci
Ai
Ci
∆h
h22
h12
h22
−h21
h22
1h22
1 g11−
g12
g11
g21
g11
∆g
g11
[y]
z 22
∆z−
z 12
∆z
−z 2
1
∆z
z 11
∆z
Y11
Y12
Y21
Y22
D B−
∆T
B
−1 B
A B
Ai
Bi−
1 Bi
−∆
Ti
Bi
Di
Bi
1h11−
h12
h11
h21
h11
∆h
h11
∆g
g22
g12
g22
−g21
g22
1 g22
[T]
z 11
z 21
∆z
z 21
1 z 21
z 22
z 21
−y22
y21−
1 y21
−∆
y
y21−
y11
y21
AB
CD
Di
∆T
i
Bi
∆T
i
Ci
∆T
i
Ai
∆T
i
−∆
h
h21−
h11
h21
−h22
h21−
1h21
1 g21
g22
g21
g11
g21
∆g
g21
[T] i
z 22
z 12
∆z
z 12
1 z 12
z 11
z 12
−y11
y12−
1 y12
−∆
y
y12−
y22
y12
D ∆T
B ∆T
C ∆T
A ∆T
Ai
Bi
Ci
Di
1h12
h11
h12
h22
h12
∆h
h12
−∆
g
g12−
g22
g12
−g11
g12−
1g12
[h]
∆z
z 22
z 12
z 22
−z 2
1
z 22
1 z 22
1 y11−
y12
y11
y21
y11
∆y
y11
B D∆
T
D
−1 D
C D
Bi
Ai
1 Ai
−∆
Ti
Ai
Ci
Ai
h11
h12
h21
h22
g22
∆g−
g12
∆g
−g21
∆g
g11
∆g
[g]
1 z 11−
z 12
z 11
z 21
z 11
∆z
z 11
∆y
y22
y12
y22
−y21
y22
1 y22
C A−
∆T A
1 AB A
Ci
Di−
1 Di
∆T
i
Di
Bi
Di
h22
∆h−
h12
∆h
−h21
∆h
h11
∆h
g 11
g 12
g 21
g 22
Ejemplo de aplicacion:
Para el cuadripolo mostrado (denominado cuadripolo tipo T) encontrar [Z] , [T ] por
ensayos y [Y ] , [T ]i por transformaciones algebraıcas.
Para [Z]; se hace I2 = 0.
2.1. PARAMETROS DE UN CUADRIPOLO 23
Figura 2.2: Cuadripolo tipo T.
Figura 2.3: Ensayo de circuito abierto.
Z11 =V1
I1
= Z1 + Z3
Z21 =V2
I1
=I1Z3
I1
= Z3
Ahora para I1 = 0;
Z12 = Z3 Z22 = Z2 + Z3
queda la matriz [Z]
[V1
V2
]=
[Z1 + Z3 Z3
Z3 Z2 + Z3
] [I1
I2
]
para [T ] ; con −I2 = 0
A =V1
V2
=I1 (Z1 + Z3)
I1Z3
=Z1 + Z3
Z3
C =I1
V2
=I1
I1Z3
=1
Z3
24 CAPITULO 2. REDES DE DOS PUERTAS.
con V2 = 0
Figura 2.4: Ensayo de corto circuito.
B =V1
−I2
=Z1Z2 + Z1Z3 + Z2Z3
Z3
D =I1
−I2
=Z2 + Z3
Z3
Ahora se pide encontrar [Y ] y [T ]i por transformaciones algebraıcas.
Ya conocida la matriz [Z] , por ejemplo, se puede encontrar [Y ] y [T ]i ası:
V1 = Z11I1 + Z12I2
V2 = Z21I1 + Z22I2
despejando I1, I2
I1 =Z22
∆zV1 −
Z12
∆zV2 ∆z = Z11Z22 − Z12Z21
I2 = −Z21
∆zV1 +
Z11
∆zV2
luego: [I1
I2
]=
1
∆z
[Z22 −Z12
−Z21 Z11
] [V1
V2
]
y para [T ]i de la primera ecuacion de impedancia
I2 =1
Z12
V1 −Z11
Z12
I1
2.2. OTRAS FUNCIONES DE CIRCUITO DE UN CUADRIPOLO 25
y con esta I2 se lleva a la segunda de impedancia
V2 = Z21I1 + Z22
(1
Z12
V1 −Z11
Z12
I1
)
V2 =Z22
Z12
V1 −(
Z11Z22 − Z12Z21
Z12
)I1
[V2
I2
]=
1
Z12
[Z22 ∆z
1 Z11
] [V1
−I1
]
2.2. Otras Funciones de Circuito de un cuadripolo
Cada uno de los parametros de un cuadripolo son funciones de circuito pero pueden
existir otras como;
Ganancia de Tension: G21(s) =V2
V1
Ganancia de Corriente: α21 =I2
I1
Impedancia de Entrada: Zen =V1
I1
Impedancia de Salida: Zsa =V2
I2
Son funciones de circuito que relacionan dos senales donde no se ha eliminado ninguna
de las otras dos.
2.3. Impedancia Caracterıstica de un cuadripolo
Si al cuadripolo siguiente conocida su [T ] y es cargado con una ZX , que puede ser parte
de otra red, se evalua su Zen
26 CAPITULO 2. REDES DE DOS PUERTAS.
Figura 2.5: Cuadripolo cargado.
[V1
I1
]=
[A B
C D
] [V2
−I2
](2.41)
con
V1 = AV2 −BI2 (2.42)
I1 = CV2 −DI2 (2.43)
ademas
V2 = −ZXI2 (2.44)
aparece
Zen =V1
I1
=AZX + B
CZX + D(2.45)
Ahora, con la carga en el puerto de entrada
[V2
I2
]=
[T
]i
[V1
−I1
]=
[D B
C A
] [V1
−I1
](2.46)
con
V1 = −ZXI1 (2.47)
Zsa =DZX + B
CZX + A(2.48)
y comparando a Zen y Zsa ambas seran iguales si D = A ; se denomina Cuadripolo
Simetrico.
Si se supone que Zen = ZX , esto es, la impedancia vista desde la puerta de entrada
sea exactamente ZX o de carga, a esta se le denomina Impedancia Caracterıstica Z0 ;
Zen = ZX = Z0 (2.49)
2.4. CONEXIONES DE LOS CUADRIPOLOS 27
Z0 =AZ0 + B
CZ0 + D(2.50)
despejando a Z0 quedan dos soluciones
Z0(1,2) =A−D
2C± 1
2C
√(A−D)2 + 4BC (2.51)
si el cuadripolo es simetrico entonces
Z0(1,2) = ±√
B
C(2.52)
Y se puede encontrar con solo realizar dos pruebas en el punto de salida. O sea, si
V2 = 0 (corto circuito),
Zen =B
D(2.53)
y si −I2 = 0 (eliminacion de corriente),
Zen =A
C(2.54)
de la raız cuadrada del producto de las dos, si es simetrico, se obtiene;
Z0(1,2) = ±√
Zen(V2=0) × Zen(I2=0) = ±√
B
C(2.55)
esta impedancia puede garantizar, en ciertos cuadripolos, una maxima transferencia de
potencia de la fuente que lo alimenta hacia la carga de este.
2.4. Conexiones de los cuadripolos
Las posibilidades de conectar dos o mas cuadripolos son varias en donde se deben
cumplir ciertas condiciones para poder obtener unos cuadripolos equivalentes teniendo
en cuenta que no existe una teorıa solida que garantice esto, esto es, arreglos que
puedan reemplazar los originales en sus conexiones de tal forma que cada uno de ellos
no pierdan sus particularidades.
28 CAPITULO 2. REDES DE DOS PUERTAS.
En principio cualquier cuadripolo, por simple que sea, es un arreglo de dos o varios
cuadripolos, por ejemplo;
Una resistencia R puede ser un arreglo, como equivalente, de dos cuadripolos
conectados como se muestra a la derecha de la figura anterior, o viceversa, dos
resistencias generan un solo valor R.
Figura 2.6: Resistencias en serie.
2.4.1. Conexion serie y equivalencia
Si se dan dos cuadripolos con matrices [Z] conectados como
Figura 2.7: Conexion serie.
Se denomina Conexion Serie si se dan las siguientes condiciones;[V1
V2
]a
+
[V1
V2
]b
=
[V1
V2
]eq
(2.56)
[I1
I2
]a
=
[I1
I2
]b
=
[I1
I2
]eq
(2.57)
Es necesario que se cumplan para que el cuadripolo equivalente muestre la suma
matricial de las matrices [Z], el cual queda como tal o sea con todas las propiedades
2.4. CONEXIONES DE LOS CUADRIPOLOS 29
de un cuadripolo. Para asegurar lo anterior se recurre a la prueba de Brune para la
conexion serie;
Figura 2.8: Prueba de Brune.
Por la naturaleza de esta conexion las corrientes de entrada en cada lado deben ser
iguales y esto solo se garantiza si V=0.
Se pueden conectar dos o mas cuadripolos en serie y con las condiciones basicas ya
establecidas el cuadripolo equivalente tendra como matriz [Z] a la suma de las matrices
de cada una de ellos. Para evaluar a Brune, en este caso, se debe hacer primero para
dos y encontrar su equivalente y tratado como uno hacerle la prueba con el tercero y
ası sucesivamente donde la conexion es conmutativa, o sea, se puede cambiar la posicion
del cuadripolo [Z]a por [Z]b y lo contrario sin afectacion por la propiedad conmutativa
en la suma matricial.
2.4.2. Conexion paralelo y equivalencia
Se dan dos cuadripolos con matrices [Y ] conectadas como figura 2.9
Figura 2.9: Conexion paralelo.
30 CAPITULO 2. REDES DE DOS PUERTAS.
Se denomina Conexion Paralelo donde se dan las siguientes condiciones;
[V1
V2
]a
=
[V1
V2
]b
=
[V1
V2
]eq
(2.58)
[I1
I2
]a
+
[I1
I2
]b
=
[I1
I2
]eq
(2.59)
Es necesario que se cumplan para que el cuadripolo equivalente muestre la suma
matricial de las matrices [Y ] y para lo anterior, se recurre a la prueba de Brune para
la conexion paralelo;
Figura 2.10: Prueba de Brune.
Para garantizar que la tensiones queden inalteradas bajo esta conexion las tensiones V
deben ser cero al hacer el corto en las respectivas entradas y respecticvas salidas y para
cada caso.
Lo mismo que para la Conexion Serie, se pueden conectar dos o varios cuadripolos en
paralelo; resulta un cuadripolo equivalente cuya matriz [Y ] es la suma de las matrices
[Y ] de cada una de ellos siendo esta conmutativa.
Esta conexion, bajo ciertas restricciones, es usada, por ejemplo en los bancos de
transformadores monofasicos, para generar uno trifasico al modelarse estos como
cuadripolos.
2.4. CONEXIONES DE LOS CUADRIPOLOS 31
2.4.3. Conexion cascada
Se dan dos cuadripolos con matrices [T ] conectados como
Figura 2.11: Conexion cascada.
Se denomina Conexion Cascada si se dan las siguientes condiciones[V1
I1
]a
=
[V1
I1
]eq
(2.60)
[V2
I2
]a
=
[V1
−I1
]b
(2.61)
[V2
I2
]b
=
[V2
I2
]eq
(2.62)
Donde es necesario que se cumplan para que el cuadripolo equivalente muestre el
producto de las matrices [T ] .
Con la consideracion basica, que cada cuadripolo conserve su [T ], se pueden conectar
en cascada dos o mas cuadripolos, pero en este caso por ser la operacion multiplicacion
matricial no conmutativa no se pueden intercambiar; si hay mas de dos, se deben tomar
las dos primeros y encontrar su equivalente y este conectado en cascada con el tercero
y ası sucesivamente.
Existe la posibilidad de intercambiar en aquellos que tengan como matriz [T ] a la matriz
unidad y otros casos especiales.
Ejemplo de Aplicacion:
Demostrar que dos impedancias Z1, Z2 en serie se pueden tratar como el producto de
sus matrices de transmision.
32 CAPITULO 2. REDES DE DOS PUERTAS.
Del cuadripolo mostrado (puede ser para Z2 ).
Figura 2.12: Ejemplo de aplicacion.
A =V1
V2
∣∣∣∣−I2=0
= 1 B =V1
−I2
∣∣∣∣V2=0
= Z1
C =I2
V1
∣∣∣∣−I2=0
= 0 D =I1
−I2
∣∣∣∣V2=0
= 1
Ası, en cascada dos cuadripolos, con Z1 y Z2 respectivamente[V1
I1
]Eq
=
[1 Z1
0 1
] [1 Z2
0 1
] [V2
−I2
]Eq
[V1
I1
]Eq
=
[1 Z1 + Z2
0 1
] [V2
−I2
]Eq
En este caso es conmutativa la conexion, como era de esperarse, por el caracter de cada
una de las matrices de cada cuadripolo.
Ejemplo de descripcion de un sistema de potencia. Suponga un sistema de potencia.
Figura 2.13: Un sistema de potencia.
Describirlo como conexion cascada de cuadripolos entre los puntos 1 y 2.
Si la Zen es igual a ZX , en donde si ademas |Zg| = |Z0| se estarıa generando una maxima
transferencia de potencia a la carga ZX por parte del generador Vg .
2.4. CONEXIONES DE LOS CUADRIPOLOS 33
Figura 2.14: El sistema conformado por cuadripolos.
Figura 2.15: Sistema equivalente en s.
2.4.4. Conexiones mixtas
Conexion serie-paralelo
Figura 2.16: Conexion serie-paralelo.
Se denomina Conexion Serie Paralelo si se dan las siguientes condiciones;[I1
V2
]a
=
[I1
V2
]b
=
[I1
V2
]eq
(2.63)
[V1
I2
]a
+
[V1
I2
]b
=
[V1
I2
]eq
(2.64)
Es necesario que se cumplan para que el cuadripolo equivalente muestre la suma
matricial de las matrices [h].
34 CAPITULO 2. REDES DE DOS PUERTAS.
Conexion paralelo-serie
Se dan dos cuadripolos con matrices [g] conectadas como;
Figura 2.17: Conexion paralelo serie.
Se denomina Conexion Paralelo Serie si se dan las siguientes condiciones;[V1
I2
]a
=
[V1
I2
]b
=
[V1
I2
]eq
(2.65)
[I1
V2
]a
+
[I1
V2
]b
=
[I1
V2
]eq
(2.66)
Es necesario que se cumplan para que el cuadripolo equivalente muestre la suma
matricial de las matrices [g].
2.5. Ejercicios Propuestos1. Encontrar G2g(s) para el cuadripolo. Recomendacion; utilizar conexion cascada.
Figura 2.18: Ejercicio propuesto.
2. Demostrar que con un transformador ideal se pueden realizar conexiones cascada
conmutativas.
2.5. EJERCICIOS PROPUESTOS 35
3. Encontrar el equivalente de
Figura 2.19: Ejercicio propuesto.
4. Investigar el modelo de transformador real, como una aproximacion , como
cuadripolo.
5. Es posible con M=1 encontrar [Z] y [T ] del cuadripolo mostrado?
Figura 2.20: Ejercicio propuesto.
6. Encontrar la matriz Z del siguiente cuadripolo
Figura 2.21: Ejercicio propuesto.
7. Realizar entre los dos cuadripolos todas las conexiones posibles.
36 CAPITULO 2. REDES DE DOS PUERTAS.
Figura 2.22: Ejercicio propuesto.
Capıtulo 3
TECNICAS PARA REDUCCION
DE CUADRIPOLOS
En este capıtulo se tratara una serie de teoremas y principios, sobre cuadripolos
transformados, buscando simplificar el manejo o interpretacion de ellos con sus
equivalencias y restricciones.
3.1. Equivalencia de un cuadripolo utilizando
Millman
Sean n elementos en paralelo con fuentes de tension en serie que pueden incluir
condiciones iniciales, se conocen las fuentes V y las admitancias Y, se desea encontrar
tension vista desde a,b.
Figura 3.1: Cuadripolo en s con elementos en paralelo.
37
38 CAPITULO 3. TECNICAS PARA REDUCCION DE CUADRIPOLOS
La tension Vab en cada ramaVab = − I1
Y1
+ V1
Vab = − I2
Y2
+ V2 (3.1)
Vab =I3
Y3
+ V3
......
Vab =In
Yn
+ Vn
Las corrientes, sumandolas
− I1 = Y1Vab − V1Y1
−I2 = Y2Vab − V2Y2 (3.2)
I3 = Y3Vab − V3Y3
......
In = YnVab − EnYn
Para despejar Vab, con −I1 − I2 + I3 + .. + In = 0
Vab =V1Y1 + V2Y2 + ..... + Vn
Y1 + Y2 + ..... + Yn
(3.3)
Expresion conocida como equivalente Millman, como se muestra en la figura 3.2, para
la tension Vab que permite calcular las respectivas corrientes de rama o viceversa y
con representacion como la anteriror partirla en n ramas.
Figura 3.2: Equivalente de Millman en s.
3.2. RECIPROCIDAD APLICADA A CUADRIPOLOS 39
3.2. Reciprocidad aplicada a cuadripolos
Sea el cuadripolo mostrado en la figura 3.3 con condiciones iniciales iguales a cero. con
Figura 3.3: Cuadripolo para reciprocidad.
V2 = 0 y conectando en el puerto 1 con E se calcula la corriente en el puerto 2 que es
IX .
Figura 3.4: Concetado con E y corto en la salida.
si se realiza el corto en 1 y se alimenta con la misma fuente E en 2
Figura 3.5: Exitado con E y corto en la entrada.
si se produce la misma IX en ambos casos, el cuadripolo es Recıproco. Lo anterior
llevado a las ecuaciones de transmision y para el primer caso V2 = 0,
IX = −E
B(3.4)
y para el segundo caso
0 = AE −BI2 (3.5)
40 CAPITULO 3. TECNICAS PARA REDUCCION DE CUADRIPOLOS
IX = CE −DI2 (3.6)
reemplazando IX e I2 y con la ultima ecuacion se origina la Identidad de Transmision;
AD −BC = 1 (3.7)
A2 −BC = 1 (3.8)
si es simetrico.
No solo es la identidad sino es el determinante de [T ], ademas permite verificar si un
cuadripolo es recıproco o no.
3.3. Teoremas de Thevenin y Norton en cuadripolos
Se van aplicar los teoremas de Thevenin y Norton dentro de ciertas restricciones, en el
caso particular de cuadripolos sin considerar las condiciones iniciales y si existen fuentes
dependientes estan confinadas en estos.
Se parte de [V1
I1
]=
[A B
C D
] [V2
−I2
](3.9)
Figura 3.6: Cuadripolo para Thevenin.
Con una carga ZX ubicada en la puerta 2, se encontrara el equivalente Thevenin;
primero anulando a V1
3.3. TEOREMAS DE THEVENIN Y NORTON EN CUADRIPOLOS 41
Figura 3.7: Impedancia de Thevenin en s.
0 = AV2 −BI2 (3.10)
V2
I2
= ZTH =B
A(3.11)
y con −I2 = 0, V1 6= 0;
VTH =V1
A(3.12)
Circuito equivalente Thevenin.
Figura 3.8: Thevenin con la primera ecuacion de transmision.
a partir de este su Norton.
Figura 3.9: Norton de la anterior.
ahora, a partir de la segunda ecuacion de transmision el equivalente Norton
42 CAPITULO 3. TECNICAS PARA REDUCCION DE CUADRIPOLOS
Figura 3.10: Corriente de Norton con la segunda ecuacion de transmision.
I1 = −DI2 (3.13)
IN =I1
D(3.14)
Figura 3.11: Impedancia de Norton.
0 = CV2 −DI2 (3.15)
V2
I2
= ZN =D
C(3.16)
Circuito equivalente Norton
Figura 3.12: Norton con la segunda ecuacion de transmision.
y a partir de este se encuentra su equivalente Thevenin
3.3. TEOREMAS DE THEVENIN Y NORTON EN CUADRIPOLOS 43
Figura 3.13: Thevenin de la anterior.
Son distintos; ¿ no deberıan ser iguales debido a que se obtuvieron a partir de la
misma red?. Una posible respuesta podrıa ser porque para un caso se utilizo la primera
ecuacion de transmision y para el otro a partir de la segunda ecuacion.
Si de la primera ecuacion se despeja V2
V2 =V1 + BI2
A(3.17)
y de la segunda
V2 =I1 + DI2
C(3.18)
e igualando ambas, para I2
I2 =CV1 − AI1
AD −BC(3.19)
si la red es recıproca entonces ∆T = AD −BC = 1,
I2 = CV1 − AI1 (3.20)
I2 en la primera de transmision despejado V2
V2 = V11 + BC
A−BI1 (3.21)
Figura 3.14: Analisis de Norton.
44 CAPITULO 3. TECNICAS PARA REDUCCION DE CUADRIPOLOS
analizando para el Norton
V2 =B
A
(V1
B+ I2
)(3.22)
V2 =B
A
(V1
B+ CV1 − AI1
)(3.23)
V2 = V11 + BC
A−BI1 (3.24)
e igualando con el anterior V2 significa que las dos redes producen el mismo efecto
externo; V2, de ella
V2 =D
C
(I1
D+ I2
)(3.25)
Figura 3.15: Analisis con Norton.
V2 =I1 + D (CV1 − AI1)
C(3.26)
V2 = I11− AD
C+ DV1 (3.27)
Figura 3.16: Analisis con Norton.
3.3. TEOREMAS DE THEVENIN Y NORTON EN CUADRIPOLOS 45
y
V2 =D
CI2 +
I1
C(3.28)
V2 =D
C(CV1 − AI1) +
I1
C(3.29)
V2 = I11− AD
C+ DV1 (3.30)
E igualando con el anterior V2 significa que los dos cuadripolos producen el mismo efecto
externo V2
De la primera
V2 = V 11 + BC
A−BI1 (3.31)
D =1 + BC
A, B =
AD − 1
C(3.32)
de la segunda
V2 = I11− AD
C+ DV1 (3.33)
sı y solo sı son recıprocos, los dos presentan los mismos efectos externos, es decir, son
equivalentes.
Ejemplo de aplicacion:
Para la red mostrada en la siguiente figura encontrar su equivalente de Thevenin visto
desde el puerto 2. Suponer condiciones iniciales cero.
1. Utilizando los procedimientos comunes de circuitos.
2. Mediante la aplicacion de las ecuaciones de transmision.
Figura 3.17: Ejemplo de aplicacion.
46 CAPITULO 3. TECNICAS PARA REDUCCION DE CUADRIPOLOS
1. Con I2 = 0 en la figura 3.18
Figura 3.18: Ensayos.
IL =sV1
s2 + 1
VTH =IL
s=
V1
s2 + 1
y para hallar ZTH , con la fuente de prueba Vp.
Figura 3.19: Mallas.
Ip = −Vp
[s2 + 1
s
]ZTH =
s2 − s + 1
s3 + s=
Vp
Ip
Circuito equivalente de Thevenin.
Figura 3.20: Equivalente.
3.3. TEOREMAS DE THEVENIN Y NORTON EN CUADRIPOLOS 47
2. Como ZTH =B
Ay VTH =
V1
A.
con
A =V1
V2
∣∣∣∣−I2=0
; A = s2 + 1
y
B =V1
−I2
∣∣∣∣V2=0
; B = s− 2
Este cuadripolo no es recıproco.
Ejemplo de aplicacion:
Dado el cuadripolo
Figura 3.21: Ejemplo de aplicacion.
Encontrar la ganancia G2g(s) y su equivalente Thevenin visto desde la carga.
Se puede resolver por varios metodos.
1. Calculando la matriz [T ] de dos cuadripolos conectados en cascada, y encontrar
su equivalente;
Figura 3.22: Cuadripolos conectados en cascada.
El primero
48 CAPITULO 3. TECNICAS PARA REDUCCION DE CUADRIPOLOS
Figura 3.23: Primer cuadripolo.
[T ]a =
[1 1
0 1
]El segundo
Figura 3.24: Segundo cuadripolo.
[T ]b =
[2s2 + 1 s (2s2 + 2)
2s 2s2 + 1
]
el anterior cuadripolo es simetrico y recıproco.
[T ]eq = [T ]a [T ]b
V1 = Vg = AeqV2 + BeqV2
Aeq = 2S2 + 2S + 1
Beq = 2S3 + 2S2 + 2S + 1
G2g =V2
Vg
=1
Aeq + Beq
=1
2S3 + 4S2 + 4S + 2
2. Tambien se puede calcular G2g conocido [T ]b,
3.3. TEOREMAS DE THEVENIN Y NORTON EN CUADRIPOLOS 49
Figura 3.25: Determinacion de la ganancia.
para este circuito
Vg − V1 = I1
Vg − AbV2 −BbV2 = CbV2 + DbV2
G2g =V2
Vg
=1
Ab + Bb + Cb + Db
=1
2s3 + 4s2 + 4s + 2
3. Utilizando Millman en a,b.
Vab =Vg
2s2 + 2s + 2
con −I2 = V2 =Vab
s + 1
G2g =V2
Vg
=1
(s + 1)(2s2 + 2s + 2)=
1
2s3 + 4s2 + 4s + 2
Para su equivalente Thevenin
[T ]eq =
[A B
C D
]eq
ası,
Figura 3.26: Equivalente de Thevenin.
50 CAPITULO 3. TECNICAS PARA REDUCCION DE CUADRIPOLOS
VTH =V1
2s2 + 2s + 1
ZTH =2s3 + 2s2 + 2s + 1
2s2 + 2s + 1
3.4. Equivalencia T, Π; Π, T
Si se da el caso particular que dos cuadripolos o mas tengan la misma matriz [Z] o
[Y] se definen cuadripolos equivalentes y no como el producto de conexiones.
Los dos cuadripolos mostrados seran equivalentes
Figura 3.27: Cuadripolos equivalentes.
si [Z]T = [Z]Π y esto es posible para cuando
Z11T= Z11Π
(3.34)
Z12T= Z12Π
(3.35)
Z21T= Z21Π
(3.36)
Z22T= Z22Π
(3.37)
y se llega a
Z1 =ZAZB
(ZA + ZB + ZC)(3.38)
Z2 =ZAZC
(ZA + ZB + ZC)(3.39)
Z3 =ZBZC
(ZA + ZB + ZC)(3.40)
y para su equivalente al multiplicar cada una de las anteriores entre sı y sumando estos
productos se despeja
3.5. EJERCICIOS PROPUESTOS 51
ZA =(Z1Z2 + Z1Z3 + Z2Z3)
Z3
(3.41)
ZB =(Z1Z2 + Z1Z3 + Z2Z3)
Z2
(3.42)
ZC =(Z1Z2 + Z1Z3 + Z2Z3)
Z1
(3.43)
Impedancias o admitancias si es el caso; son equivalencias utilizadas ampliamente en
redes trifasicas; se pueden intercambiar sin afectacion ninguna.
3.5. Ejercicios Propuestos
1. Verificar si el cuadripolo de la figura es
a) Recıproco.
b) Encontrar su equivalente Thevenin y Norton. Explique.
Figura 3.28: Ejercicio propuesto.
2. Para el circuito de la figura encuentre vab(t).
Figura 3.29: Ejercicio propuesto.
52 CAPITULO 3. TECNICAS PARA REDUCCION DE CUADRIPOLOS
3. Utilizando Thevenin, evaluar la tension V2(s) si la carga es de 1 Henrio.
Figura 3.30: Ejercicio propuesto.
Capıtulo 4
LA FUNCION DE
TRANSFERENCIA H(S)
Las representaciones circuitales en s permiten no solo el facil manejo algebraıco
fundamentalmente con las funciones de circuito y realizar evaluaciones de sus variables
en el tiempo sino, tambien, en la frecuencia tal como se muestra
Figura 4.1: Funcion de transferencia.
A manera de ejemplo las funciones de circuito son el resultado de una relacion de dos
senales en el tiempo transformadas, como en un cuadripolo
Z11 =V1(s)
I1(s)
∣∣∣∣I2(s)=0
= s + 1 (4.1)
Z11 es una relacion racional de dos polinomios en s y al despejar V1(s)
(s + 1) I1(s) = V1(s), con I2(s) = 0 (4.2)
d
dti1(t) + i1(t) = v1(t), para i2(t) = 0 (4.3)
Origina una ecuacion diferencial sı y solo sı sus condiciones iniciales no se tienen en
cuenta pero el resolverla sı las exige.
53
54 CAPITULO 4. LA FUNCION DE TRANSFERENCIA H(S)
Ahora, no solo son las funciones de circuito las unicas que se pueden representar de
esta manera existiendo un concepto de mas amplia aplicacion y se define Funcion de
Transferencia H(s) de un Sistema y este como una combinacion de elementos reunidos
para obtener un resultado.
Sea un sistema donde se pueden realizar pruebas o ensayos, ademas, con elementos
invariantes en el tiempo y sea valido el principio de la superposicion.
Figura 4.2: Funcion de transferencia.
Se define H(s) como
H(s) =R(s)
E(s)(4.4)
Originada, H(s), de
e(t) ↔ E(s)
∗ ×h(t) ↔ H(s)
r(t) ↔ R(s)
(4.5)
H(s) =R(s)
E(s)(4.6)
entonces,
R(s) = H(s)E(s) (4.7)
R(s) es el producto de la funcion de transferencia que identifica al sistema y la
transformada de la entrada. Para el caso H(s) = 1 entonces
R(s) = E(s) (4.8)
La senal de salida es identica a la entrada en el tiempo
L−1 [R(s)] = r(t) (4.9)
r(t) = h(t) ∗ e(t) (4.10)
55
Operacion conocida como Convolucion en el tiempo entre h(t) y e(t) ( la transformada
inversa del producto de H(s) y E(s)).
Si E(s) = 1
R(s) = H(s) (4.11)
La respuesta es la funcion de transferencia del sistema.
En terminos generales las funciones de transferencia vienen expresadas ası
H(s) =R(s)
E(s)=
ansn + an−1s
n−1 + .......
bmsm + bm+1sm−1 + .......(4.12)
Como la relacion de dos polinomios ya reducidos y an,bn reales donde el grado n entero
del numerador es al menos menor o igual al grado m entero del denominador, en caso
contrario
H(s) = coc(s) +res(s)
E(s)(4.13)
coc(s) cociente y res(s) residuo de la relacionR(s)
E(s)
Figura 4.3: Caso de dos entradas.
y aunque aparezcan dos entradas, res(s) no puede tener como funcion polinomica en s
un grado mayor que cero lo que significa que el grado del denominador en E(s) a lo
sumo puede ser igual al grado del numerador R(s) de lo contrario no cumple el Teorema
del valor inicial en H(s).
Si se despeja(bmsm + bm−1s
m−1 + .....)R (s) =
(ans
n + an−1sn−1 + .....
)E(s) (4.14)
en el tiempo
bmdm
dtmr(t) + bm−1
dm−1
dtm−1r(t) + .... =
dn
dtne(t) +
dn−1
dtn−1e(t) + .... (4.15)
56 CAPITULO 4. LA FUNCION DE TRANSFERENCIA H(S)
ecuacion diferencial que relaciona r(t) contra e(t), ademas puede provenir de una
integrodiferencial.
Si se hace e(t) = 0
bmdm
dtmr(t) + bm−1
dm−1
dtm−1r(t) + .... = 0 (4.16)
La homogenea de la respuesta cuya solucion es la suma de las rj(1, 2, .....,m)
rh(t) = K1r1(t) + K2r2(t) + ......... + Knrm(t) t ≥ 0 (4.17)
y son necesarias las condiciones iniciales del sistema para evaluar K1,K2,.....,Km ,
constantes de integracion.
La total
r(t) = rh(t) + rlibre(t) (4.18)
para rlibre(t) dependiente de e(t).
Las rj(t) estan ligadas a las raıces del polinomio “operacional”(bmpm + bm−1p
m−1 + .....)r (t) = 0 (4.19)
si:
p =d
dt, p2 =
d2
dt2, ....., pm =
dm
dtm(4.20)
para m raıces, pueden ser complejas y ademas las an y bm solo dependen del como
esta conformado el sistema.
Pueden existir sistemas que aunque sean diferentes, por ejemplo, mecanicos,
electronicos, etc., originan la misma funcion de transferencia H(s) lo que ha permitido
hacer simulaciones con sımiles.
Por lo anterior , por ejemplo, el mostrar el equivalente de la admitancia transformada
(funcion de transferencia) de una inductancia
Figura 4.4: La inductancia con un sistema.
57
H(s) = Y (s) =I(s)
V (s)=
1
Ls(4.21)
Se utiliza esta inductancia como elemento almacenador de energıa magnetica.
Un arreglo que da la misma H (s) sin la particularidad de almacenar energıa en donde
su aplicacion permite reemplazar el inductor como elemento circuital esta basado en
Amplificadores Operacionales.
Un amplificador Operacional es representado como en la figura
Figura 4.5: Amplificador operacional.
Su modelo circuital es el mostrado en la figura siguiente
Figura 4.6: Circuito equivalente del amplificador.
Entre sus propiedades; puede generar altas ganancias de tension G, tener alta
impedancia de entrada, baja impedancia de salida y esto permite obtener diferentes
arreglos y funciones de transferencia.
Existen dos entradas; inversora(-), no inversora(+) referenciadas a una “tierra”.
Ahora; con el arreglo circuital siguiente y las anteriores propiedades del amplificador
operacional
58 CAPITULO 4. LA FUNCION DE TRANSFERENCIA H(S)
Figura 4.7: Una misma respuesta como una inductancia en s.
para este diseno se considera
v(+) ≈ v(−) (4.22)
con dos ecuaciones de nodo
i1 + i2 = 0 (4.23)
y2 (v1 − vg) + y3 (v2 − vg) = 0 (4.24)
y2v1 − y2vg + y3v2 − y3vg = 0 (4.25)
(y2 + y3) vg = y2v1 + y3v2 (4.26)
i3 + i4 = 0 (4.27)
y4 (v2 − vg) + y5 (0− vg) = 0 (4.28)
y4v2 − y4vg − y5vg = 0 (4.29)
(y4 + y5) vg = y4v2 (4.30)
en forma matricial [y2 + y3
y4 + y5
]Vg =
[y2 y3
0 y4
] [v1
v2
](4.31)
[v1
v2
]=
1
∆y
[y4 −y3
0 y2
] [y2 + y3
y4 + y5
]vg =
1
∆y
[y2y4 + y3y4 − y3y4 − y3y5
y2y4 + y2y5
]vg
(4.32)
4.1. POLOS Y CEROS 59
de la matriz antes de la inversion
∆y = y2y4 (4.33)[v1
v2
]=
1
∆y
[y2y4 − y3y5
y2y4 + y2y5
]vg v1, v2 = f(vg) (4.34)
por otro lado, la impedancia de entrada Zen
Zen =Vg
i1, i1 = (vg − v1) y1 (4.35)
v1 =1
∆y
(y2y4 − y3y5) vg (4.36)
i1 = y1
(1− y2y4 − y3y5
y2y4
)vg =
y1y3y5
y2y4
vg (4.37)
sustituyendo en Zen
Zen =y2y4
y1y3y5
(4.38)
Sıntesis del inductor, si
y1 =1
R1
, y2 =1
R2
, y3 =1
R3
(4.39)
y4 = C4s y y5 =1
R5
(4.40)
Se obtiene
Zen (s) =R1R3R5C4s
R2
(4.41)
Yen (s) =1
LsL =
R1R3R5
R2
C4 (4.42)
se observa una impedancia inductiva con solo colocar en y4 un capacitor, impedancia
vista entre los puntos a y tierra.
4.1. Polos y ceros
Para
H(s) =R(s)
E(s)=
an
n∏(s− Zi)
bm
m∏(s− Pj)
(4.43)
Se definen las raıces Zi de R(s) como Ceros y las de E(s), Pj, como Polos de la funcion
de transferencia:
60 CAPITULO 4. LA FUNCION DE TRANSFERENCIA H(S)
1. H(s) esta reducido sobre transformaciones algebraıcas que “esconden” el
origen de la conformacion del sistema. Se pueden cancelar del numerador y del
denominador iguales funciones factorizadas.
2. Son raıces que dependen del como esta conformando el sistema, de los an y bm.
3. Pueden ser complejas.
4. Los Pj son la mismas raıces del polinomio operacional de la respuesta homogenea
si E(s) = 0.
Tanto los polos y los ceros se pueden representar en el plano complejo.
Por ejemplo, tres ceros y cuatro polos, en la siguiente figura
Figura 4.8: Ubicacion de polos y ceros.
donde el sımbolo X corresponde a los polos y el a los ceros. Ademas, P1 muestra
una multiplicidad doble y P3, P4 deben ser complejos y conjugados.
Estos conllevan la respuesta homogenea del sistema y es
rh(t) = K1e−t + K2te
−t + K3e−2te
√3jt + K4e
−2te−√
3jt para t = 0 (4.44)
y para que esta respuesta sea estable (finita), causada por la condiciones iniciales,
todos sus polos deben estar ubicados en el semiplano izquierdo del plano complejo;
rh(t)t−→∞ −→ finito (4.45)
4.2. H(S) COMO FUNCION COMPLEJA 61
y si al menos hay un polo en el semiplano derecho
rh(t)t−→∞ −→ no finito (4.46)
4.2. H(s) como funcion compleja
Al realizar el cambio s=jw la variable s se referencia el sistema a la variable real
frecuencia, w, dada en radianes por segundo(
rads
)o
(ciclos
s
), hertz.
Para los elementos L, M y C de una red, sus funciones de Impedancia transformada se
convierten en funciones complejas con una magnitud y una fase.
Ası por ejemplo, para la inductancia L, es una relacion de magnitudes y un desfase
entre un voltaje y una corriente
Z(s) =V (s)
I(s)s = jw (4.47)
Z(w) =V (w)
I(w)= jwL (4.48)
Z(w) =|V (w)||I(w)|
∠90o
= |wL|∠90o
(4.49)
Para la capacitancia C
Z(w) =|V (w)||I(w)|
∠− 90o
=1
|wC|∠− 90
o
(4.50)
son funciones complejas de variable real w (fısica real), con magnitud y fase. Ahora
con
s = jw H(w) =R (w)
E(w)(4.51)
Todos los elementos dependientes de s, o sea jw, inclusive despues de transformaciones
algebraicas quedan referenciados a la frecuencia originando como resultado final una
H(w) funcion compleja de variable real dependiendo no solo de esta sino ademas
del como esta constiuıdo el sistema y ademas de la fuente que la origina ,una fuente
de alimentacion; no es posible s=jw sin existir una fuente externa que oblige a los
elementos de red o sistema a enclavarse con la frecuencia, no es ya un arreglo matematico
y tampoco es el caso particular de una frecuencia natural del sistema.
62 CAPITULO 4. LA FUNCION DE TRANSFERENCIA H(S)
Por lo tanto
Figura 4.9: Sistema referenciado a la frecuencia.
Es E(w) ,la fuente, que fuerza a H(w) y a R(w) a depender de la frecuencia.
Los polos y los ceros quedan referenciados a jw, por ejemplo
Figura 4.10: Polos y ceros refenciados a la frecuencia.
Con s = jw
H(w) =R(w)
E(w)=
an
n∏(jw − Zi)
bm
m∏(jw − Pj)
= |H(w)| ejFase(w) (4.52)
|H(w)| = an
bm
|jw − Z1| |jw − Z2| .......... |jw − Zn||jw − P1| |jw − P2| .......... |jw − Pm|
(4.53)
θi = Tan−1 Imag(jw − Zi)
Real(jw − Zi); αj = Tan−1 Imag(jw − Pj)
Real(jw − Pj)(4.54)
4.2. H(S) COMO FUNCION COMPLEJA 63
Fase(w) =∑
θi −∑
αj (4.55)
Cada una de las partes de H(w) conforman, tanto en magnitud y fase, este resultado
R(w)
E(w)=|R(w)||E(w)|
ejFase(w) (4.56)
donde se puede considerar a |E (w)| = constante, y referencia en frecuencia todo el
sistema o red.
Existen dos formas basicas de representar a H(w);
La forma hodografica (parametrica)
H(w) = Re(w) + jI(w) (4.57)
Re(w) Parte real, I(w) Parte Imaginaria
Figura 4.11: Parametrica de una funcion.
De esta, se pueden extraer |H(w)| como la Fase(w) directamente.
Por partes, la magnitud y la fase, como se muestra en la figura 4.12
64 CAPITULO 4. LA FUNCION DE TRANSFERENCIA H(S)
Figura 4.12: Representacion grafica por separado.
Cada una se elabora por separado.
4.3. Respuesta forzada
Si la fuente de alimentacion a la red es del tipo
E(w) = |E (w)|Cos(wt) (4.58)
Se define como fuente de audio o de frecuencia variable de tipo sinusoide. Ası, que,
para una frecuencia dada w la representacion en el tiempo de la respuesta r(t), si se
mantiene la magnitud de e(t) constante, es
r(t) = Real
(|E (w)| |H(w)| ejFase(w)ej(wt)
)(4.59)
porque H (w), para este caso, lo unico que le hace a la entrada es alterarle su magnitud
|E (w)| |H(w)| y su fase en Fase(w); no genera distorsion en la senal sinusoide de
entrada.
r(t) = |E (w)| |H(w)| (Cos(wt + Fase(w)) respuesta r(t) forzada (4.60)
O fasorialmente. Ver la figura
4.3. RESPUESTA FORZADA 65
Figura 4.13: Salida contra la entrada en w.
Ejemplo de aplicacion:
Para el cuadripolo mostrado encontrar:
1. H(s) =V2(s)
Vg(s), ganancia de tension
2. Localizacion de polos y ceros.
3. Respuesta en el tiempo homogenea para v2(t).
4. Respuesta forzada v2(t) si vg(t) = 10 cos(wt).
5. Respuesta v2(t) por Laplace y comparar con 4.
Figura 4.14: Ejemplo de aplicacion.
Con
V2(s)
Vg(s)=
1
Ab + Bb + Cb + Db
(4.61)
Parametros del cuadripolo entre 1 y 2, o segundo cuadripolo
Ab =s2 + 2
s2, Bb =
2s2 + 2
s3(4.62)
66 CAPITULO 4. LA FUNCION DE TRANSFERENCIA H(S)
Figura 4.15: Representacion en s.
Cb =2
s, Db =
s2 + 2
s2(4.63)
H(s) =1
2
s3
(s + 1)(s2 + s + 1)(4.64)
polos y ceros en la figura 4.16
Figura 4.16: Polos y ceros.
La respuesta v2(t) (forzada)
v2(t) = Real
[1
2
s3
(s + 1)(s2 + s + 1)
∣∣∣∣s=jw
10ejwt
](4.65)
si Real(10ejwt) = 10 cos wt (4.66)
4.3. RESPUESTA FORZADA 67
Para la magnitud
|v2(w)| = 10
2
w3
√1 + w2
1√(1− w2)2 + w2
(4.67)
v2(t) = 5w3
√1 + w2
√(1− w2)2 + w2
cos(wt− 90 − t−1j w − t−1
j
w
1− w2) (4.68)
para todo t
Figura 4.17: Magnitud ejercicio de aplicacion.
aparecen |v2(t)| y fase(w), o desfase, en la anterior expresion con respecto a vg(t) que
se considera a 0 (referencia).
Para la respuesta homogenea solo se toman los polos (ubicados en el semiplano
izquierdo) y con vg(t) = 0,
v2(t) = K1e−t + K2e
− t2 ej
√3
2t + K3e
− t2 e−j
√3
2t para t ≥ 0 (4.69)
para encontrar v2(t) con Laplace
V2(s)
Vg(s)= H(s) =
s3
2(s + 1)(s2 + s + 1)(4.70)
Se despeja
V2(s) =s3
2(s + 1)(s2 + s + 1)Vg (s) (4.71)
si
vg(t) = 10cos(wt)↔ 10s
s2 + w2; w constante (4.72)
68 CAPITULO 4. LA FUNCION DE TRANSFERENCIA H(S)
en este caso
V2(s) =5s4
(s + 1)(s2 + s + 1)(s + jw)(s− jw)(4.73)
Se puede encontrar v2(t) utilizando fracciones parciales y tambien se obtiene con el
apoyo del Matlab con los comandos
syms t s w
v2(t) = ilaplace
(5 ∗ s4
((s + 1) ∗ (sˆ2 + s + 1) ∗ (s + j ∗ w) ∗ (s− j ∗ w))
)(4.74)
se llega con pocas transformaciones a
v2(t) = 5w3
√1 + w2
√(1− w2)2 + w2
cos(wt−90−t−1j w−t−1
j
w
1− w2)+e−
t2 ϕ(w, t)+e−tα(w, t)
(4.75)
En este caso, con Laplace, aparece una componente “transitoria” debido al caracter
mismo de la transformada y la respuesta forzada; es una respuesta de regimen
permanente.
4.4. Ejercicio Propuesto
1. Describir la H(s) para el sistema mecanico de la figura siguiente que relaciona el
desplazamiento x y la fuerza externa F(t). Considere rozamiento de la superficie
diferente de cero, analizar;
Figura 4.18: Ejercicio propuesto.
a) Polos y ceros, respuesta homogenea y respuesta forzada, si F (t) = cos wt
b) Encuentre un sımil electrico.
Capıtulo 5
FILTROS ELECTRICOS
Existen dispositivos de amplia gama y aplicacion que estan en capacidad de discriminar
determinadas bandas de frecuencias y se les denomina FILTROS.
Hay filtros opticos, mecanicos, biologicos, electricos, etc; lo que realizan es un bloqueo,
de acuerdo con ciertas especificaciones, en la frecuencia para determinado fin, por
ejemplo; el ojo humano solo es sensible a cierto espectro de la radiacion de la luz,
la piel solo siente el espectro infrarojo, la radio esta en capacidad de seleccionar ciertas
bandas de la radiacion electromagnetica, etc.
Aca se trataran los filtros electricos pasivos partiendo desde los mas simples hasta llegar
a los basicos activos analogos.
Para dar un ejemplo si se estudia H (w) =V2(w)
V1(w)para el circuito mostrado
Figura 5.1: RC como filtro.
se encuentra
H(w) =1
1 + jw=
1√1 + w2
∠− tg−1w (5.1)
con la grafica y con |V1(t)| = constante
69
70 CAPITULO 5. FILTROS ELECTRICOS
Figura 5.2: Respuesta en w del RC.
la magnitud de v2(t) (como respuesta forzada si v1 (t) = cos(wt), como fuente )
disminuye a medida que crece w, v2(t) −→ 0; por lo tanto se puede considerar
un filtro electrico. Se dan a continuacion unas consideraciones sobre lo que se entiende
y debe cumplir un Filtro Electrico. Los filtros ideales son fısicamente imposibles de
construir porque no son causales para cierto tipo de excitacion como se vera en el
curso de Analisis, Filtrado y Transmision de Senales.
Estas son;
1. No hay distorsion a la salida de ellos.
2. Se cumple el principio de la superposicion.
3. Son causales, la salida nunca adelanta a la entrada en el tiempo.
5.1. Tipos de filtros electricos pasivos
5.1.1. Filtro Pasa Bajo
Figura 5.3: Respuesta de un filtro pasa bajo.
5.1. TIPOS DE FILTROS ELECTRICOS PASIVOS 71
5.1.2. Filtro Pasa Alto
Figura 5.4: Respuesta de un filtro pasa alto.
5.1.3. Filtro Pasa Banda
Figura 5.5: Respuesta de un filtro pasa banda.
5.1.4. Filtro Eliminador de Banda
Figura 5.6: Respuesta de un filtro eliminador de banda.
Cada uno de ellos se clasifica de acuerdo a la banda o (bandas) que eliminan o dejan
pasar, bandas pasantes y de bloqueo, delimitadas por unas frecuencias de corte Wcorte.
72 CAPITULO 5. FILTROS ELECTRICOS
En estos∣∣V2(w)
∣∣ se hace igual a∣∣V1(w)
∣∣ o a cero en los filtros ideales. Los filtros con
buen diseno tratarıan de “seguir” cualquiera de los cuatro graficas ideales mostradas
anteriormente, dependiendo del tipo, como se muestra con las lıneas punteadas.
5.1.5. Modelos circuitales para filtros pasivos
Se tienen los siguientes cuadripolos:
Modelo Tipo T
Figura 5.7: Modelo tipo T.
Modelo Tipo Π
Figura 5.8: Modelo tipo π.
Ambos son cuadripolos recıprocos y simetricos, cargados con sus respectivas
impedancias caracterısticas Zo que son funciones de s. Si se calcula para cada uno
de ellos esta Zo
ZoT = +
√BT
CT
=√
Z1Z2
√1 +
Z1
4Z2
(5.2)
Zoπ = +
√Bπ
Cπ
=
√Z1Z2√
1 +Z1
4Z2
(5.3)
se cumple ZoT .Zoπ = Z1Z2
5.1. TIPOS DE FILTROS ELECTRICOS PASIVOS 73
Y ademas se establece Z1Z2 = constante y en los disenos se espera que las Zo(w) traten
de permanecer constantes en cada una de las bandas pasantes y anularse en las bandas
de bloqueo, como para un pasa bajo ideal; constante hasta una frecuencia de corte
Figura 5.9: Impedancia caracterıstica de un filtro pasa bajo ideal.
Lo anterior para garantizar una maxima transferencia de potencia y permitir un acople
perfecto de impedancias con otros dispositivos o filtros (Si de una conexion cascada se
trata).
5.1.6. Filtros pasa bajo tipo T y Π normalizados
El filtro pasa bajo tipo T con s=jw es
Figura 5.10: Circuito T de un pasa bajo.
ZoT =
√L
C
√1− w2LC
4(5.4)
y para el filtro pasa bajo tipo π con la mismas Z1, Z2
Zoπ =
√LC√
1− w2LC
4
(5.5)
74 CAPITULO 5. FILTROS ELECTRICOS
se ve que ZoT .Zoπ =L
C=constante
las graficas que se obtienen para ambas Zo contra w reales y positivas son
Figura 5.11: Impedancia caracterıstica de los dos circuitos.
ambas con wcorte =2√LC
, entre este valor y cero dan unas Zo reales positivas pero
no son constantes en esta banda, por lo tanto, se opta para un diseno practico cargarlos
con Ro =
√L
Cy considerar que estos valores para las Zo(w) permanecen constante
aproximadamente hasta el 50% de la banda pasante; lo anterior hace que estos filtros
no sean por supuesto ni ideales, ni garanticen un perfecto acople de impedancias, ni
una maxima trasferencia de potencia.
Ası, para el primer filtro conectado a una fuente vg(t) con una Rg interna
Figura 5.12: Un pasa bajo T conectado a un generador.
Para su diseno se necesita conocer L y C que aparecen en
wcorte =2√LC
; Ro =
√L
C(5.6)
5.1. TIPOS DE FILTROS ELECTRICOS PASIVOS 75
O viceversa dadas wcorte, Ro encontrar L ,C.
Por lo general lo que se da es la frecuencia hasta donde se desea “dejar pasar” y luego
escoger Ro para evaluar L y C ,desde luego, serıan infinitos disenos y por lo anterior se
opta por partir del filtro Pasa Bajo Normalizado con
wcorte = 1, Ro = 1 (5.7)
Los valores L=2, C=2 permiten lo anterior; el diseno
Figura 5.13: Circuito normalizado de un pasa bajo T.
Ejemplo de aplicacion:
Se pide disenar un filtro que solo deje pasar aproximadamente frecuencias hasta 2000rad
s.
El filtro a disenar, como pasa bajo, tendra una banda pasante de 2000 y del normalizado
se saca de la norma 1 y se lleva hasta 2000
wcorte =2√
2× 2
(2000)2
= 1× 2000
Figura 5.14: Pasa bajo T llevado a un frecuencia de corte de 2000.
76 CAPITULO 5. FILTROS ELECTRICOS
wcorte = 2000 , Ro = 1
Se puede llevar a una Ro = 500Ω, se saca de la norma a la resistencia de carga
Ro =
√√√√2× 5002
500
= 1× 500
Figura 5.15: Pasa bajo T.
wcorte = 2000 , Ro = 500
Este tendra una “respuesta aceptable” hasta un 50% de la banda pasante; si por ejemplo
vg(t) = 10 cos(300t)
v2(t) w 5 cos(300t + Fase(300))
Calculando a v2(t) como Respuesta forzada a una frecuencia de 300 teniendo en cuenta
que esta es con respecto a vg(t) y no con v1(t) y en este caso su magnitud serıa de 10
aproximadamente.
El filtro pasa bajo tipo Π normalizado es
Figura 5.16: Circuito normalizado para un pasa bajo Π.
5.1. TIPOS DE FILTROS ELECTRICOS PASIVOS 77
Filtro Pasa Bajo tipo Π normalizado
wcorte = 1 , Ro = 1
Para el mismo ejemplo anterior se saca de la norma en frecuencia, de 1 a 2000rad
sy
Ro = 1 a 500Ω.
Figura 5.17: Pasa bajo Π llevado a un corte de 2000 y una carga de 500.
5.1.7. Filtros pasa alto tipo T y Π normalizados
Se propone para s = jw, al cambiar L por C y C por L en el pasa bajo
Figura 5.18: Circuito T de un filtro pasa alto.
ZOT =
√L
C
√1− 1
4w2LC(5.8)
ZOT .ZOΠ =L
C= constante
y las graficas
78 CAPITULO 5. FILTROS ELECTRICOS
Figura 5.19: Impedancias caracterısticas de los dos circuitos.
ambos con wcorte = 12√
LC, dentro de este valor e infinito se toman unas Zo reales
positiva donde no son constantes en esta banda, por lo tanto, se opta para disenos
practicos cargarlos con Ro =√
LC
, se considera que valores de Zo(w) permanecen
aproximadamente constantes hasta un 50% por encima de la frecuencia de corte.
El modelo tipo T y conectado a la fuente vg(t) con una Rg interna
Figura 5.20: Un pasa alto T conectado a un generador.
para su diseno se necesita conocer L y C con
wcorte =1
2√
LC, Ro =
√L
C(5.9)
Con las mismas consideraciones del filtro pasa bajo respecto a los infinitos disenos
posibles se opta por partir del Filtro Pasa Alto Normalizado
5.1. TIPOS DE FILTROS ELECTRICOS PASIVOS 79
wcorte = 1 , Ro = 1 (5.10)
Los valores L = 12, C = 1
2permiten lo anterior y el diseno queda
Figura 5.21: Circuito normalizado para un pasa alto T.
Ejemplo de aplicacion:
Se desea calcular un filtro que solo deje pasar frecuencias encima de 3000rad
s.
Como pasa alto, teniendo una banda pasante desde 3000 hasta el infinito.
Del normalizado se saca de la norma 1 en frecuencia y se lleva hasta 3000.
wcorte =1
2
√1
2× 1
2× 1
(3000)2
= 1× 3000
Figura 5.22: Pasa alto T llevado a un corte de 3000.
wcorte = 3000; Ro = 1
Se puede llevar a una Ro = 1000Ω y se saca de la norma para la resistencia
80 CAPITULO 5. FILTROS ELECTRICOS
Ro =
√√√√√√1
2× 1000
1000
2
= 1× 1000
Figura 5.23: Pasa alto T llevado a un corte de 3000 y a una carga de 1000.
wcorte = 3000 , Ro = 1000
El filtro tendra una respuesta aceptable desde un 50% por encima de wcorte.
Para el filtro Π pasa alto normalizado.
Figura 5.24: Circuito normalizado para un pasa alto Π.
Para el mismo ejemplo del anterior se saca de la norma en frecuencia, de 1 a 3000 y Ro
de 1 a 1000.
Figura 5.25: Pasa alto llevado a un corte de 3000 y a una carga de 1000.
5.1. TIPOS DE FILTROS ELECTRICOS PASIVOS 81
5.1.8. Filtros pasa banda tipo T y Π
Se parte del modelo tipo T con s = jw.
Figura 5.26: Circuito T de un filtro pasa banda.
ZOT =√
Z1Z2
√1 +
Z1
4Z2
(5.11)
Z1 = jwL1 −j
wC1
= j
(w2L1C1 − 1
wC1
)(5.12)
Z2 =
L2
C2
j(w2L2C2 − 1)
wC2
= −jwL2
(w2L2C2 − 1)(5.13)
si se establece la condicion L1C1 = L2C2
ZOT =
√L1
C2
√√√√1− (w2L1C1 − 1)2
4w2L1C1
(L2
L1
) (5.14)
con el cambio w2L1C1 = W y se grafica ZoT contra w y se toman solo los valores
reales y positivos ademas
ZOT .Zoπ = Z1Z2 = constante (5.15)
ZOΠ =
√L1
C2√1− (w2L1C1 − 1)2
4w2L1C1(L2
L1)
(5.16)
82 CAPITULO 5. FILTROS ELECTRICOS
Figura 5.27: Impedancias caracterısticas de los filtro pasa banda T y Π.
para calcular las frecuencias de corte inferior y la superior solo (del tipo T y π) se
resuelve la ecuacion cuadratica (de cuarto grado en w) para
wL1C1 = wL2C2 = W (5.17)
(W − 1)2
4WL2
L1
= 1 (5.18)
y encontrar los valores w1, w2
W1,2 =
(2 + 4
L2
L1
)2
± 1
2
√16
(L2
L1
)+ 16
(L2
L1
)2
(5.19)
ası √L1C1wcorte1 =
√W2 (5.20)
√L1C1wcorte2 =
√W1 (5.21)
Para cargarlos (como se ve en las graficas de las ZoT , Zoπ) se opta que sea con Ro =√L1
C2=
√L2
C1en donde para un diseno se deben dar, por lo general, las dos frecuencias
que delimitan la banda pasante y la Ro. Aproximadamente se tendra una buena
respuesta solo para un valor de w de la mitad de la banda pasante. Un buen filtro
pasante y selectivo es aquel de banda estrecha.
5.1. TIPOS DE FILTROS ELECTRICOS PASIVOS 83
Para el Π
Figura 5.28: Circuito Π de un filtro pasa banda.
no es posible hablar de filtros normalizados como en los dos filtros anteriores.
Ejemplo de aplicacion:
Se desea disenar un filtro pasa banda tipo T de tal forma que
wcorte1 = 732rad
s
wcorte2 = 2731rad
s
Ro = 5000Ω
de la formula L1C1 = L2C2 y con Ro = 5000
asumiendo C1 = 0,10× 10−6 entonces L2 = 2,5;
L1C1w2corte1 = W2
L1C1w2corte2 = W1
con L1 = 5 y
R2o =
L1
L2
=C2
C1
= (5000)2
C2 = 2× 10−7
Figura 5.29: Ejemplo de aplicacion.
84 CAPITULO 5. FILTROS ELECTRICOS
Figura 5.30: Impedancia caraterıstica del ejemplo anterior.
Para el tipo Π se sigue el mismo procedimiento.
5.1.9. Filtro eliminador de banda tipo T
Con solo cambiar las disposiciones del anterior filtro, serie por paralelo y paralelo por
serie serie, se origina;
Figura 5.31: Circuito T de un filtro eliminador de banda.
para
ZOT =√
Z1Z2
√1 +
Z1
4Z2
(5.22)
Z1 =−jwL1
(w2L1C1 − 1), Z2 = j
(w2L2C2 − 1
wC2
)(5.23)
5.2. FUNDAMENTOS DE LOS FILTROS ACTIVOS 85
y se establece la condicion L1C1 = L2C2
ZOT =
√L1
C2
√1− w2L1C1
4C1
C2(w2L1C1 − 1)2 (5.24)
con el cambio w2L1C1 = W y se grafica ZOT contra w y se toman solo los valores
reales,positivos y ademas
ZOT .ZOΠ = Z1Z2 = constante (5.25)
ZOΠ =
√√√√√√√L1
C2
1− w2L1C1
4C1
C2(w2L1C1 − 1)2
(5.26)
Figura 5.32: Impedancias caracterısticas de filtros eliminador de banda T y Π.
Para calcular las frecuencias de corte inferior y superior (del filtro tipo T y Π) solo se
debe resolver la ecuacion cuadratica (de cuarto grado en w) en W = wL1C1
w2L1C1
4C1
C2
(w2L1C1 − 1)2= 1 (5.27)
5.2. Fundamentos de los filtros activos
Con el apoyo del amplificador operacional tratado en el capitulo 4, esto es;impedancia
de entrada alta por lo tanto corriente de entrada baja e impedancia de salida baja la
ganancia de voltaje en s se puede encontrar para
86 CAPITULO 5. FILTROS ELECTRICOS
Figura 5.33: Ganancia de tension de un amplificador operacional.
con
V r = E + Vy (5.28)
al considerar que
Vy ' Vr (5.29)
Por tener una ganancia de tension alta
Vr E (5.30)
con esta condicion y la primera ecuacion
Ve − Vx
Z1
=
(1
Z4
+1
Z2
)(Vx − Vr) (5.31)
y la corriente despreciable a la entrada
Vx − Vr
Z2
=Vr
Z3
(5.32)
la ganancia de tension es
Gre(s) =V r(s)
Ve(s)=
Z2Z3Z4
(Z2 + Z3) (Z1Z2 + Z1Z4 + Z2Z4)− Z1Z3 (Z2 + Z4)(5.33)
5.2. FUNDAMENTOS DE LOS FILTROS ACTIVOS 87
5.2.1. Filtro pasa bajo Butterworth
Es del tipo
Figura 5.34: Filtro pasa bajo Butterworth.
Denominado Filtro Pasa Bajo de 5 polos, con una mejor respuesta en la frecuencia que
su similar pasivo.
Entre mayor sea el grado del denominador en Gre(s) mayor sera su atenuacion como
se vera mas adelante en los Diagramas de Bode. Para calcular la ganancia total tan
solo es encontrarla en cada etapa mostrada, Gba(s), luego Grb(s), con su producto, (y
el apoyo de la ganancia de un amplificador operacional ) y por ultimo entre Gae(s).
Se garantiza acople perfecto de impedancias por tener estos amplificadores impedancia
de entrada altas y son mas estables en la frecuencia.
5.2.2. Filtro pasa alto Chebyshev
Es del tipo
Figura 5.35: Filtro pasa alto Chevyshev.
Denominado Filtro Pasa Alto de 5 polos, se ha logrado este con solo intercambiar
las resistencias por capacitancias del modelo anterior dando como efecto que en el
88 CAPITULO 5. FILTROS ELECTRICOS
numerador de la funccion de trasferencia del Pasa Bajo aparezca un polinomio de grado
5 , conservando el grado 5 en el denominador, convirtiendolo en un Pasa Alto. Para
calcular su ganancia total es similar a el tratamiento del filtro anterior.
5.3. Ejercicios propuestos
1. Es posible conectar dos filtros pasivos pasa bajo tipo T y pasa bajo tipo Π en
cascada? Justifique.
2. Demostrar que un circuito RLC paralelo se puede comportar como un filtro pasa
banda.
3. Porque no es posible establecer filtros normalizados pasivos pasa banda y
eleminador de banda?
4. Encontrar la ganancia de tension para el filtro pasa bajo Butterworth si todas las
resistencias y las capacitancias valen 1.
Capıtulo 6
RESPUESTA EN FRECUENCIA
El manejo de las respuestas en la frecuencia, para ciertos circuitos, permite conocer
si estos dan respuestas estables en esta; que las senales de salida sean medibles para
ciertos rangos de frecuencia o hacerse inconmensurable en otros.
Hay metodos graficos que ayudan a estudiar la H(s), funcion de transferencia, de un
sistema en el dominio de la frecuencia y como se trata de una funcion “compleja” de
variable real w el estudio de su magnitud como de su fase permite establecer si un
sistema es estable o no y el rango de frecuencia en que lo sea.
Se retoma a
H(s) =R(s)
E(s)=
an
n∏1
(s− Zi)
bm
m∏1
(s− Pj)(6.1)
y su magnitud y fase con s = jw
|H(w)| = an
bm
|jw − Z1| |jw − Z2| .......... |jw − Zn||jw − P1| |jw − P2| .......... |jw − Pm|
; (6.2)
θi = Tan−1 Imag(jw − Zi)
Real(jw − Zi), αj = Tan−1 Imag(jw − Pj)
Real(jw − Pj)(6.3)
Fase(w) =∑
θi −∑
αj (6.4)
tanto la magnitud como la fase se pueden estudiar como hodograma o por separado.
La magnitud
89
90 CAPITULO 6. RESPUESTA EN FRECUENCIA
|H (w)| =∣∣∣∣R(w)
E(w)
∣∣∣∣ =|R (w)||E (w)|
(6.5)
E(w) entrada, R(w) respuesta
Es ver el comportamiento de la respuesta |R (w)| frente a la senal de entrada |E (w)|si esta magnitud anterior permanece constante, al variar la frecuencia, desde el punto
de vista la estabilidad.
6.1. Diagramas de Bode
Los Diagramas de Bode muestran a H (w) y su estabilidad desde un punto de vista muy
simple; realizar graficas de las partes de H (w) por separado. Esto es en forma de suma,
usando la funcion logarıtmica y aunque esto se haga bajo esta funcion la informacion
fundamental de su estabilidad no se pierde.
Si a
H(w) = |H(w)| ejFase(w) (6.6)
se le aplica esta funcion (log base 10)
log H(w) = log |H (w)|+ jFase (w) log (e) (6.7)
quedan separadas las magnitud y la fase.
Para la magnitud
log |H(w)| = log
(an
bn
)+
n∑1
log |jw − Zi| −m∑1
log |jw − Pj| (6.8)
graficadas sus partes en escala semilogarıtmica, ordenadas en escala lineal, abscisas en
escala logarıtmica, de su suma total se extrae informacion sobre la estabilidad de H(w).
Inclusive por supuesto “devolverse” y llegar hasta H(w) a su forma original.
La fase es simplemente ella misma ya que en H(w) esta en forma exponencial.
6.2. CASOS GENERALES PARA LOS DIAGRAMAS DE BODE 91
Para la magnitud se opta universalmente las unidades de los “decibeles” (db) al
multiplicar por 20, en las ordenadas (escala lineal) yradianes
segundoen escala logarıtmica
o sea en “decadas” (dec).
6.2. Casos generales para los diagramas de Bode
1.
H (s) = K Kconstante real positiva (6.9)
H(w) = K , Fase(w) = 0 (6.10)
20 log |H (w)| = 20 log K (6.11)
Figura 6.1: Bode de una constante real.
la respuesta permanece constante con las variaciones de w y la fase es cero con
respecto a la entrada. Si se tratara de una entrada sinusoidal fasorialmente esta
es
92 CAPITULO 6. RESPUESTA EN FRECUENCIA
Figura 6.2: Respuesta contra la entrada para el caso anterior.
2.
H(s) = s (6.12)
H(w) = jw Fase(w) = +90 (6.13)
20 log |H(w)| = 20 log w (6.14)
Figura 6.3: Bode para s.
la respuesta es menor que la entrada entre 0 y 1 y es mayor entre 1 y el infinito,
la frecuencia en donde cambia de signo los decibelios respecto a cero se denomina
frecuencia de quiebre Wq y para este caso es 1 ademas la fase permanece constante,
si se toma fasorialmente
6.2. CASOS GENERALES PARA LOS DIAGRAMAS DE BODE 93
Figura 6.4: Respuesta para el caso anterior.
3.
H(s) = −s (6.15)
para este caso no se altera la magnitud si se tratara para H(s) = s, solo la Fase(w)
H(s) = −s = sejπ (6.16)
Por lo tanto a la Fase(w) de H(s) = s se le suma π.
4. H(s) = s2, es simplemente, H(s) = s · s
H(w) = jw · jw que se puede generalizar con H (s) = sn, para n entero.
20 log |H(w)| = 20 log w2 = 40 log w ; Fase(w) = 90 + 90 = 180
(6.17)
Figura 6.5: Bode para s al cuadrado.
94 CAPITULO 6. RESPUESTA EN FRECUENCIA
5.
H(s) =1
s(6.18)
20 log |H(w)| = 20 log |1| − 20 log w , Fase(w) = (0 − 90) = −90 (6.19)
Figura 6.6: Bode para el inverso de s.6.
H(s) =1
s2(6.20)
que se puede generalizar para:
H(s) =1
snpara n entero (6.21)
20 log |H(w)| = 20 log 1−20 log w−20 log w; Fase(w) = (0−90−90) = −180
(6.22)
Figura 6.7: Bode para el inverso de s al cuadrado.
6.2. CASOS GENERALES PARA LOS DIAGRAMAS DE BODE 95
Es estable a partir de 1, se atenua la respuesta.
7. H(s) = αS + β; (α, β); reales; β > 0, si se transforma en H(s) = β
(α
βs + 1
)ademas se supone
β
α> 0
|H(w)| = β
∣∣∣∣1 + jα
βw
∣∣∣∣ , Fase(w) = tan−1 αw
β(6.23)
20 log |H(w)| = 20 log β + 20 log
∣∣∣∣1 + jα
βw
∣∣∣∣ (6.24)
para la segunda expresion de la derecha se hacen las siguientes aproximaciones
tendientes a obtener la asıntota de la funcion exacta en w.
a. Siα
βw 1; 20 log |1| = 0
b. Siα
βw 1; 20 log
α
βw = 20 log α + 20 log w − 20 log β
c. Siα
βw = 1; wq =
β
α(wqse denomina frecuencia de quiebre.
la grafica aproximada (asıntota) queda en cada una de sus partes y su total, con
su Fase(w).
Figura 6.8: Bode para una funcion lineal en s.
96 CAPITULO 6. RESPUESTA EN FRECUENCIA
Es inestable el sistema a partir de la wq
8. H(s) =1
αs + β; con las mismas consideraciones del caso anterior la grafica es
Figura 6.9: Bode para una funcion lineal en s inversa.
9. H(s) =1
s2 + αs + β, donde las raıces de (s2 + αs + β) no son reales sino
complejas.
En este caso y para todo H(s) en donde existan raıces complejas (polos o ceros)
se debe proceder a buscar las graficas de Bode de manera directa; manipulando
H(s) queda
H(s) =1
β(1
βs2 +
α
βs + 1)
20 log H(w) = −20 log β − 20 log
√(1− w2
β
)2
+
(α
βw
)2
Fase(w) = tan−1 αw
β − w2
generando unas graficas aproximadas
6.2. CASOS GENERALES PARA LOS DIAGRAMAS DE BODE 97
Figura 6.10: Bode para una funcion cuadratica en s e inversa.
Ejemplo de aplicacion
Estudiar Bode magnitud para el filtro pasa alto normalizado tipo T.
Se sabe
H(s) =V2(s)
Vg(s)=
1
2
s3
s3 + 2s2 + 2s + 1(6.25)
H(s) =s3
2(s + 1)(s2 + s + 1)(6.26)
20 log |H(w)| = 20 log|V2(w)||Vg(w)|
= 201
2
|(jw)3||1 + jw| |(1− w2) + jw|
(6.27)
20 log |H (w)| = 20 log1
2+ 60 log w − 20 log
√1 + w2 − 20 log
√(1− w2)2 + w2 (6.28)
98 CAPITULO 6. RESPUESTA EN FRECUENCIA
Figura 6.11: Bode magnitud para un filtro pasa alto normalizado.
como se puede ver, wq = wcorte = 1.Para frecuencias inferiores a wq = wcorte, existe atenuacion.Se pueden utilizar comandos del Matlab para obtener directamente las graficas de Bode
al digitarse:syms s
H = 0,5 ∗ tf([
1 0 0 0],[
1 2 2 1])
ENTER
0,5s3
s3 + 2s2 + 2s + 1bode(H)
Para los demas filtros no ideales, de cualquier tipo, las graficas de magnitud en Bode
son aproximadamente
Figura 6.12: Asıntotas para filtro pasa bajo.
6.2. CASOS GENERALES PARA LOS DIAGRAMAS DE BODE 99
Figura 6.13: Asıntotas para un filtro pasa banda.
Figura 6.14: Asıntotas para un filtro eliminador de banda.
Un filtro entre mas atenuacion tenga (en los cortes respectivos) mas se aproxima al
filtro ideal y para el caso del pasa bajo ideal
Figura 6.15: Asıntotas para filtro real e ideal pasa bajo.
Si se tiene una funcion de transferencia de grado cinco en el denominador generara mas
atenuacion que una de grado tres como en uno activo.
100 CAPITULO 6. RESPUESTA EN FRECUENCIA
6.3. Criterio de estabilidad de Hurwitz
En una funcion de transferencia de un sistema lineal es indispensable que las raıces del
polinomio denominador, los polos, esten en el semiplano izquierdo del plano complejo
para garantizar respuestas estables.
El criterio de Hurwitz establece que no solo no es necesario conocer el valor de estas
sino que permite examinar de manera sencilla su ubicacion.
Para H(s)
H(s) =E(s)
R(s)=
ansn + an−1s
n−1 + .......
bmsm + bm+1sm−1 + .......(6.29)
Interesa donde estan las raıces de R(s) no su evaluacion.
El hacer s=jw necesariamente el sistema o red es excitado por una fuente, por ejemplo,
sinusoide de frecuencia variable.
6.4. Polos referenciados
Se opta por
P (s) = bm(s− P1)(s− P2).............(s− Pm) (6.30)
si bm > 0 y se hace s = jw (frecuencia)
P (w) = bm
m∏i=1
(jw − Pi) (6.31)
Son referenciados todos los polos a la variable w en el plano complejo
6.4. POLOS REFERENCIADOS 101
Figura 6.16: Polos referenciados a la variable w.
con w con valores desde -∞ < w <∞ el argumento de P (jw) queda incrementado en
(N1 −N2) π (6.32)
si N1 son los polos ubicados a la derecha, N2 en la izquierda respectivamente en el plano
complejo
N1 + N2 = m (6.33)
Y si todos los polos estan a la izquierda este incremento es −mπ
Por el principio del argumento (fase) que establece; el numero de raıces de P(w) dentro
de una region limitada por una curva cerrada c es igual al numero de vueltas que da
P(w) alrededor del origen cuando w recorre una vez el contorno c en direccion positiva,
sentido contrario al giro de las manecillas del reloj.
Figura 6.17: Principio del argumento.
ahora
Fase(w) = arg(bm) + arg(jw − P1) + arg(jw − P2) + . . . (6.34)
102 CAPITULO 6. RESPUESTA EN FRECUENCIA
El incremento de la fase Fase(w) como
∆Fase(w) = ∆arg(bm) + ∆arg(jw − P1) + ∆arg(jw − P2) + . . . (6.35)
cuando se da una revolucion en C
∆arg(jw − P1) = 2π , P1 esta adentro (6.36)
∆arg(jw − P1) = 0 , P1 esta afuera (6.37)
Si todos los polos estan dentro de esta region ∆Fase(w) = 2πm y este caso que se trata
en la figura 6.16, si todos los polos estan en el semiplano izquierdo el incremento del
argumento o fase es
−mπ para −∞ < w <∞ (6.38)
6.5. Criterio de Hurwitz
Se propone el polinomio
P1(w) = (j)−m P (jw) (6.39)
por lo tanto
arg(P1(w)
)= −m
π
2+ arg
(P (w)
)(6.40)
si jw sobre el eje imaginario hacia abajo, en el plano complejo,
∆arg(P1(w)
)= ∆arg
(P (w)
)= −mπ (6.41)
ası,
P1 (w) = bmjm
jmwm + bm−1
jm−1
jmwm−1 + . . . (6.42)
P1(w) funcion compleja de variable real w
P1 (w) =[bmwm − bm−2w
m−2 + . . .]− j
[bm−1w
m−1 − bm−3wm−3 + . . .
](6.43)
P1 (w) = λ (w)− jβ (w) (6.44)
las m raıces de λ (w) como las m− 1 de β (w) , con la condicion de bm,bm−1 mayores
que cero, deben ser reales y alternadas ya que R1 (jw) debe “girar” en el sentido de
6.5. CRITERIO DE HURWITZ 103
las manecillas del reloj mostrando m veces un semiciclo (−mπ), alrededor del origen, y
esto si la curva P1(w) viene del cuarto cuadrante
Ejemplo de aplicacion
Un filtro pasa banda tipo T con C1 = C2 = L1 = L2 = 1 y carga de 1 conectado a
una fuente de impedancia interna de 1, muestra su funcion de transferencia de ganancia
de tension
H(s) =V2(s)
Vg(s)= 4s3/(s6 + 4s5 + 11s4 + 16s3 + 11s2 + 4s + 1) (6.45)
m = 6
Figura 6.18: Hurwitz para filtro pasa banda
6 raıces del polinomio real λ (w) de Hurwitz y alternadas.
5 raıces del polinomio imaginario β (w) de Hurwitz y alternadas.
−6Π incremento del argumento.
P1(w) debe provenir desde el cuarto cuadrante y P (w) tiene sus seis raıces (parte real
si hay complejas) en el semiplano izquierdo.
Mas para el caso
H(s) =s
(2s5 + 2s4 + 2s3 − 5s2 + s + 3)(6.46)
no se cumple.
104 CAPITULO 6. RESPUESTA EN FRECUENCIA
6.5.1. Condicion suficiente de Hurwitz
Con
λ(w)
bm
=
[wm − bm−2
bm
wm−2 + ........
]= 0 (6.47)
las m raıces x1, x2, x3, ......, xm; deben cumplir con la Formulas de Vieta.
6.6. Formulas de Vieta
Sea el polinomio con Am > 0
Q = AmQm + Am−1Qm−1 + ....... + A0 (6.48)
la descomposicion para Q1,Q2, .....Qm m raıces reales o complejas
Q = Am(Q−Q1) + (Q−Q2)...........(Q−Qm) (6.49)
El desarrollar Q y comparando los terminos de igual potencia aparecen las identidades
Q1 + Q2 + ........ + Qm = −Am−1
Am
(6.50)
Q1Q2 + Q1Q3 + .... + Q2Q3 + .... =Am−2
Am
(6.51)
Q1Q2Q3 + Q1Q2Q4 + ........... = −Am−3
Am
(6.52)
Q1Q2Q3 + ........................... = (−1)m A0
Am
(6.53)
Llevado esto a lo anterior, las m raıces del λ(w)/bm,
x1 + x2 + x3 + .... + xm = 0
x1x2 + x1x3 + ... + x2x3 + x2x4 + ... = −bm−2
bm
x1x2x3 + x1x2x4 + ... + x2x3x4 + x2x3x5 + ... = 0...
x1x2x3......................xn = (−1)m b0
bm
(6.54)
deben se raıces reales y alternadas.
6.6. FORMULAS DE VIETA 105
Por supuesto b0 > 0 y lo debe ser bm tambien.
Las (m− 1) raıces y1, y2, ....ym−1, de
β(w)
bm−1
=
[wm−1 − bm−3
bm−1
wm−3 + ........
](6.55)
Cumplen con
y1 + y2 + ..... + ym−1 = 0
y1y2 + y1y3 + ...... = − bm−3
bm−1
:
:
(6.56)
deben ser raıces reales y alternadas
Si las raıces son reales y alternadas y ademas se organizan en forma descendente
x1 > x2 > x3............ > xm (6.57)
y1 > y2 > y3............ > ym−1 (6.58)
por supuesto
x1 > y1 (6.59)
x2 > y1 (6.60)
...
se debe cumplir
x1 > y1 > x2 > y2 (6.61)
Por lo tanto
x1x2 > y1y2
x1x3 > y1y3 (6.62)
...
Con lo anterior, para los bm coeficientes, cumplen con las inecuaciones
bm−2
bm
>bm−3
bm−1
(6.63)
106 CAPITULO 6. RESPUESTA EN FRECUENCIA
bm−1bm−2 > bmbm−3 (6.64)
para
bm > 0, bm−1 > 0 (6.65)
Se pueden construır los determinantes de Hurwitz que garantizan que: si todos son
mayores que cero P(s) tendra raıces (en sus partes reales) en el semiplano izquierdo y
estos son
bm−1 > 0 ,
∣∣∣∣∣ bm−1 bm
bm−3 bm−2
∣∣∣∣∣ > 0,
∣∣∣∣∣∣∣∣bm−1 bm 0
bm−3 bm−2 bm−1
bm−5 bm−4 bm−3
∣∣∣∣∣∣∣∣ > 0, etc
6.7. Ejercicios propuestos
1. Encontrar diagrama de Bode magnitud para el filtro pasa alto Chevyshev.
2. Obtener el diagrama de Bode para el siguiente arreglo y analizarlo como un filtro.
Explique.
Figura 6.19: Ejercicio propuesto
3. Aplicar el criterio de Hurwitz para el ejercicio anterior.
4. Desarrollar un programa en Matlab que incluya el criterio de estabilidad Hurwitz.
Capıtulo 7
SERIES DE FOURIER
7.1. Consideraciones generales
Para la interpretacion de ciertos hechos de la realidad como; la cuerda oscilante,
transferencia de calor y otros fenomenos naturales, las Series de Fourier han permitido
una solucion satisfactoria a esta y en el caso de las redes electricas es innegable su
importancia.
7.2. Conceptos de aproximacion
Una funcion real f(t) dentro de intervalo cerrado a, b y cumple con las siguientes
condiciones
1. Continua para a ≤ t ≤ b.
2. Si no lo es y si hay discontinuidades estas son en numero finito y son finitas.
Se puede aproximar dentro de este intervalo por una serie de funciones que cumplan
con 1 y 2.
El error para una aproximacion, e(t)
e(t) = f(t)−Koφo(t)−K1φ1(t)− . . .−Kiφi(t) (7.1)
Para K0, K1, ..., Ki constantes deben de cumplir la desigualdad de Bessel
107
108 CAPITULO 7. SERIES DE FOURIER
K20 + K2
1 + ... + K2i ≤
∫ b
a
|f(t)|2dt, lımi→∞
Ki → 0 (7.2)
y las funciones φ0(t), φ1(t), ... verifican las condiciones para f(t), entonces el error e(t)
Figura 7.1: Error real para una aproximacion.
en su error medio em(t)
em(t) =1
b− a
∫ b
a
e(t)dt (7.3)
Debe ser mınimo pero puede arrojar un valor bajo y en realidad se puede ocultar un
error grande (es una sumatoria de areas) para este intervalo cerrado, por lo anterior,
se recurre al emc error medio cuadratico definido como
emc =1
b− a
∫ b
a
e2(t)dt (7.4)
que no “permite” cancelaciones de areas en este intervalo.
Si no se conocen las constantes K0,K1.., Ki pero sı φ0(t), φ1(t), φ2(t), ..φi(t) se propone
que este error sea mınimo si Knφn(t) son en numero finito.
El mınimo error medio cuadratico es
∂emc
∂Kn
= 0 n(0, 1, 2, ...., i) (7.5)
para cualquier n
∂emc
∂Kn
=1
b− a
∫ b
a
[−2f(t)φn(t) +∂
∂Kn
[K20φ
20(t) + .. + K2
nφ2n(t) . . . + (7.6)
7.2. CONCEPTOS DE APROXIMACION 109
+2K0K1φ0(t)φ1(t) + ... + 2KnKlφn(t)φl(t) + ..]]dt = 0
quedando
− 2
∫ b
a
f(t)φn(t)dt + 2
∫ b
a
Knφ2n(t)dt + 2
∫ b
a
Klφn(t)φl(t)dt = 0 (7.7)
Constituıda por funciones que tienen la particularidad, como otra condicion
∫ b
a
φn(t)φl(t)dt = 0 n 6= l (7.8)
∫ b
a
φn(t)φl(t)dt 6= 0 n = l (7.9)
denominadas funciones ortogonales dentro del intervalo cerrado [a, b]; se pueden
despejar las Kn
Kn =
∫ b
af(t)φn(t)dt∫ b
aφ2
n(t)dt(7.10)
con esta evaluacion de las constantes de la aproximacion se garantiza que el emc es
mınimo.
Para f(t)
f(t) wi∑0
Knφn(t) , emc mınimo (7.11)
f(t) =∞∑0
Knφn(t) , emc es mınimo y cero (7.12)
f(t) QUEDA TOTALMENTE DETERMINADA cuando i −→ ∞, si y solo si
las φn(t) son ortogonales.
Las Kn son utilizadas en la obtencion de series en f(t) y la de Fourier Trigonometrica,
como caso particular, cumplen con todo lo anterior.
110 CAPITULO 7. SERIES DE FOURIER
7.3. La serie trigonometrica de Fourier
Como consecuencia de la ortogonalidaden a ≤ t ≤ b, las funciones que la componen de
forma trigonometrica son
f(t) =a0
2+
∞∑1
(an cos(nw0t) + bn sen(nwot)) (7.13)
Los coeficientes an, bn, se evaluan partiendo de que cos(nw0t), sen(nw0t) son ortogonales
en el intervalo a ≤ t ≤ a + t0 donde t0 es el perıodo de w0 definido w0 = 2πt0
como la
frecuencia de oscilacion de las funciones sinusoidales que cumplen
∫ a+t0
a
sen(nw0t) sen(lw0t)dt, 6= 0 si n = l ; 0 si n 6= l (7.14)
∫ a+t0
a
cos(nw0t) cos(lw0t)dt, 6= 0 si n = l ; 0 si n 6= l (7.15)
∫ a+t0
a
sen(nw0t) cos(lw0t)dt, 6= 0 si n = l ; 0 si n 6= l (7.16)
y con la expresion de las Kn, an, bn son
an =
a+t0∫a
f(t) cos(nw0t) dt
a+t0∫a
cos2(nw0t) dt
=2
t0
a+t0∫a
f(t) cos(nw0t)dt (7.17)
an =
a+t0∫a
f(t) sen(nw0t) dt
a+t0∫a
sen2(nw0t) dt
=2
t0
at0∫a
f(t) sen(nw0t)dt (7.18)
a0
2=
1
t0
∫ a+t0
a
f(t)dt (7.19)
dependen exclusivamente de n y de w0; el valor a0
2se define como el valor medio de la
funcion en este intervalo.
7.4. FUNCIONES PERIODICAS 111
El termino, para n = 1, o sea w0, es el primer armonico o fundamental de la serie, 2w0
el segundo armonico, 3w0 tercer armonico, etc.
Es importante anotar que dada f(t) y su intervalo de expansion es posible encontrar
an y bn y viceversa; f(t) solo depende del tiempo y an, bn solo dependen de n y de w0,
de la frecuencia en forma discreta, en multiplos de wo.
Figura 7.2: Espectro discreto obtenido por series de Fourier.
f(t) es una funcion real que puede describir un fenomeno fısico real para un intervalo
en t finito,
an = a−n funcion par en n (7.20)
bn = −b−n funcion impar en n (7.21)
Ademas b0 es cero.
7.4. Funciones periodicas
Se define funcion periodica aquella que f(t) = f (t± pt0) si w0 = 2πt0
, esto es, se repite
a intervalos regulares t0, en valores enteros de p.
Figura 7.3: Funcion periodica.
112 CAPITULO 7. SERIES DE FOURIER
Esta se puede expandir en Series Trigonometricas de Fourier aunque sean periodicas ya
que la periodicidad finita de ellas lo permite, por ejemplo
f(a) = f(a + t0) = f(a− t0) (7.22)
f(a) = f(a± pt0) , p(0, 1, 2, ....) (7.23)
La expansion se hace para ese perıodo t0 o en el intervalo a ≤ t ≤ a + t0 y se cumplen
las condiciones de existencia de ella.
Si por ejemplo
f(t) =a0
2+
∞∑1
(an cos(nw0t) + bn sen(nw0t)) (7.24)
Es una senal de tension que alimenta una red cada uno de los terminos es una fuente
particular con su propia frecuencia de oscilacion.
En principio toda f(t) para un intervalo finito contiene armonicos y a0
2es la fuente de
frecuencia cero (fuente D.C), n=0, y las demas senales oscilatorias como sus respectivos
armonicos o fasores.
Figura 7.4: Superposicion.
7.4. FUNCIONES PERIODICAS 113
Existe otra forma de presentar estas series; es la Serie Compleja de Fourier
f(t) =a0
2+
∞∑1
an
2(ejnw0t + e−jnw0t) +
∞∑1
bn
2j(ejnw0t − e−jnw0t) (7.25)
Reorganizando y definiendo
Fn =an − jbn
2(7.26)
con an y bn en su forma integral en Fn
f(t) =+∞∑−∞
Fnejnw0t (7.27)
Fn =1
t0
∫ a+t0
a
f(t)e−jnw0tdt (7.28)
Se necesita f(t) para evaluar Fn y viceversa. La una queda sumergida en la variable
continua tiempo, la otra en la variable frecuencia discreta en w0
Intervalo finito en t, f(t) ←→ Fn espectro discreto.
Ahora, en la forma fasorial en f(t) periodica, se propone una funcion rectangular con
perıodo to
Figura 7.5: Diagrama fasorial.
Para que f(t) sea REAL se deben considerar valores negativos en n pero no en la
frecuencia w0.
114 CAPITULO 7. SERIES DE FOURIER
7.5. Propiedades generales de las series de Fourier
1. Sia0
2= 0 valor medio de f(t) , a ≤ t ≤ a + t0, en el caso particular
Figura 7.6: Funcion con valor medio cero.
las areas A1, A2 se cancelan, la integral∫ a+t0
af(t)dt no genera componente de
valor medio.
2. Si f(t) = f(−t) se denomina funcion par, por ejemplo
Figura 7.7: Funcion par.
en este caso
f(t) =a0
2+
∞∑1
(an cos(nw0) t + bn sen(nw0 t)
)(7.29)
f(−t) =a0
2+
∞∑1
(an cos(nw0 t)− bn sen(nw0 t)) (7.30)
Igualando ambas
∞∑1
bn sen(nw0t) = 0 (7.31)
La contribucion de la parte sen(nw0 t) y de los coeficientes bn es cero.
3. Si f(t) = −f(−t) se denomina funcion impar, por ejemplo
7.5. PROPIEDADES GENERALES DE LAS SERIES DE FOURIER 115
Figura 7.8: Funcion impar.
− f(−t) = −a0
2−
∞∑1
(an cos(nw0t)− bn sen(nw0t)) (7.32)
igualando∞∑1
an cos(nw0t) = 0 (7.33)
La contribucion de la parte cos(nw0t), y de los coeficientes an es cero.
4. Si f(t) = −f(t± t02
) se denomina funcion con simetrıa de media onda, ejemplo
Figura 7.9: Simetrıa de media onda.
Desplazar medio perıodo la funcion (a la derecha o a la izquierda) e invertirla y
ser exactamente la misma
−f(t± t02
) = −a0
2−
∞∑1
(an cos nw0(t±
t02
) + bn sen nw0(t±t02
)
)= f(t) (7.34)
Al hacer el desarrollo de cada una de las partes y cambiando de signo (por menos)
e igualando con f(t), tan solo es necesario realizar la integral para Fn dentro del
intervalo a≤ t ≤ a + t0/2 y multiplicar por dos.
116 CAPITULO 7. SERIES DE FOURIER
Fn =2
t0
∫ a+t0/2
a
f(t)e−jnw0tdt , solo n impar (7.35)
5. Propiedad diferencial.
Para f(t), f′(t), f”(t), .........., hasta n derivada en a ≤ t ≤ a + t0 y recurriendo a
la forma compleja
f(t) =∞∑−∞
Fne−jnw0t (7.36)
f′
(t) =∞∑−∞
(jnw0t)Fne−jnw0t (7.37)
...
f (n)(t) =∞∑−∞
(jnw0)nFne
−jnw0t (7.38)
Para cada nueva serie, de las derivadas, aparece un nuevo espectro en w0
f(t) ↔ Fn (7.39)
f′(t) ↔ (jnw0)Fn (7.40)
f”
(t) ↔ (jnw0)2Fn (7.41)
......
... (7.42)
f(n)(t) ↔ (jnw0)
nFn (7.43)
hasta llegar a funciones con discontinuidades finitas que aunque sigue siendo valida la
propiedad diferencial, aca no se utilizan funciones singulares como lo es la funcion Delta
de Dirac, δ(t) que aparece en las discontinuidades finitas en sus derivadas.
Ejemplo de aplicacion:
Para la f(t) mostrada encontrar su espectro Fn ademas aplicarla como senal de
tension a un filtro Pasa Bajo con wcorte = 2.
f(t) = t2 − 1, −1 ≤ t ≤ t + 1 (7.44)
f(t) = −(t− 2)2 + 1, 1 ≤ t ≤ 3 (7.45)
7.5. PROPIEDADES GENERALES DE LAS SERIES DE FOURIER 117
Figura 7.10: Ejemplo de aplicacion.
Es dificultoso realizar directamente la integral en Fn, pero en este caso no lo es si se
utiliza la propiedad diferencial
Figura 7.11: Propiedad diferencial.
Se llega hasta derivadas que muestren discontinuidades finitas
f ”(t); w0 =π
2, jnw0 =
jnπ
2simetrıa de media onda (7.46)
118 CAPITULO 7. SERIES DE FOURIER
(jn
π
2
)2
Fn =
∫ 1
−1
e−jn π2tdt (7.47)
Fn = − 16
n3π3sen(n
π
2) (7.48)
Pero
Fn =an
2− j
bn
2(7.49)
an = − 32
n3π3sen(n
π
2) (7.50)
f(t) tiene simetrıa media onda, valor medio cero, es par, por lo tanto
f(t) = −32
π3d∞∑1
sen(nΠ2)
n3cos(n
π
2t) solo n impar (7.51)
Sea para el valor t = 0, hay convergencia
f(0) = −32
π3(1− 1
33+
1
53− 1
73+ .......) = −1 (7.52)
Esta f(t) tiene un espectro del tipo
Figura 7.12: Espectro del ejemplo anterior.
Aparecen componentes negativas para nw0 , por n, y solo esto garantiza que f(t) sea
real.
Si f(t) alimenta a un filtro Pasa Bajo con wcorte = 2 y es una fuente de tension
aproximadamente aparecera la componente en v2(t) del primer armonico
v2(t) w −16
π3cos(
π
2t + Fase(w)) (7.53)
donde Fase(w) se puede calcular con la respuesta forzada.
7.6. LA TRANSFORMADA CONTINUA DE FOURIER 119
7.6. La transformada continua de Fourier
Partiendo de f(t) con su espectro Fn
Figura 7.13: Espectro discreto generado por Series de Fourier.
con la condicion ∫ a+t0
a
f(t)dt = Finito (7.54)
para a = −t02
y la variable de integracion λ
an =2
t0
∫ t02
− t02
f(λ) cos (nw0 λ) dλ (7.55)
bn =2
t0
∫ t02
− t02
f(λ) sen (nw0 λ) dλ (7.56)
a0
2=
1
t0
∫ t02
− t02
f(λ)dλ (7.57)
Llevadas a la serie Trigonometrica de Fourier
f(t) =w0
2π
∫ πw0
− Πw0
f(λ)dλ +∞∑1
w0
π
∫ πw0
− πw0
f(λ) cos[nw0 (t− λ)]dλ (7.58)
El hacer t0 →∞, w0 → 0, implica:
1. Se considera todo el intervalo en t −∞ < t <∞.
120 CAPITULO 7. SERIES DE FOURIER
2. El espectro Fn, an, bn tienden a volverse continuos.
3. a0 debe de ser finito y an → 0, bn → 0 (condicion suficiente) con t0 →∞.
Figura 7.14: Espectro continuo generado por la transformada de Fourier.
4. nw0 → w para este lımite.
5. Se diferencia con el tratamiento, entre otras cosas, con la Transformada de Laplace
precisamente por el intervalo en t.
Se denomina perıodo infinito (aperiodica); f(t) se “repite” cada perıodo infinito aunque
ella puede ser de perıodo finito.
Con lo anterior
f(t) =1
π
∫ ∞
0
dw
∫ ∞
−∞f(λ) cos[w(t− λ)]dλ (7.59)∫ ∞
−∞f(λ)dλ = Finita (7.60)
Condicion suficiente pero no necesaria y obtener
a(w) =
∫ ∞
−∞f(λ) cos(wλ)dλ , a(w) = a(−w) (7.61)
b(w) =
∫ ∞
−∞f(λ) sen(wλ)dλ , b(w) = −b(−w) (7.62)
b(0) = 0 (7.63)
Entonces, en Fn con t0 →∞
F (w) =
∫ ∞
−∞f(t)e−jwtdt (7.64)
7.6. LA TRANSFORMADA CONTINUA DE FOURIER 121
f(t) =1
2π
∫ ∞
−∞F (w)ejwtdw (7.65)
o
F (w) =√
a2(w) + b2(w) ejφ(w) = a(w)− jb(w) (7.66)
si
Figura 7.15: Magnitud y fase en la transformada de Fourier.
φ(w) = − tan−1 b (w)
a (w)(7.67)
el par
f(t) ↔ F (w) (7.68)
Son las Transformadas Continuas de Fourier; para evaluar F (w) (espectro continuo) se
necesita f(t) y viceversa.
Figura 7.16: Series frente transformadas de Fourier.
Para uno u otro caso, Serie y Transformada, una de las diferencias es el intervalo en t
considerado.
122 CAPITULO 7. SERIES DE FOURIER
7.7. Ejercicios propuestos
1. Que valor o valores pueden tomar L y C para que v2(t) muestre
fundamentalmente el tercer armonico? Verificar con Bode; asuma un valor de
t0.
Figura 7.17: Ejercicio propuesto.
2. Que consideraciones se deben tener en cuenta para obtener la serie de Fourier de
la corriente de excitacion de un transformador en vacıo.
Capıtulo 8
BIBLIOGRAFIA
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GABEL,Robert A. y Roberts, RICHARD A. “Senales y sistemas lineales”Limusa.
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