RAICES DE ECUACIONES NO LINEALES DE UNA VARIABLE

f(x) = 0

Lic. WALTER ANTONIO HUALLPA GUTIERREZ

INTRODUCCION

El clculo de las races de las ecuaciones es un problema que se ha tenido que enfrentar para eso se han elaborado diversos mtodos que al determinar las races de una ecuacin tambin lograremos hallar mximos y mnimos, valores propios de matrices, resolver sistemas de ecuaciones lineales y diferenciales, etc.

Un mtodo consiste en graficar la funcin y ubicar el punto donde la grfica intercepta al eje de las abscisas o eje x. El punto ubicado x es el valor de la raz donde f(x)=0.

Pero el mtodo grafico no es preciso por eso se necesita otros mtodos ms efectivos.

Mtodos cerrados Estos mtodos encierran la funcin en un intervalo donde dicha funcin cambia de signo para tener una raz dentro de este intervalo y luego empezar reducir por medios de algoritmos el tamao del intervalo. Mtodo de la Biseccin Mtodo de Regula falsi (regla falsa) o Falsa posicin

Mtodos abiertos Estos mtodos solo necesitan un valor inicial, pues no encierran la raz. En algunos casos la operacin diverge (se aleja de la raz) y otros converge (se acerca a la raz) hallando de manera ms efectiva la raz. Mtodo de Punto fijo Mtodo de Newton Raphson Mtodo de la Secante

METODO DE NEWTON Newton utiliza un mtodo para hallar la raz del polinomio

p(x) = x3 2x 5 = 0 . . . . . (1) Se puede ver que x = 2, es una solucin aproximada de la ecuacin. Debe existir un p, tal que sumado( o restado) a 2 de una mejor solucin. Entonces sea x = 2+p . . . . (2) Reemplacemos en el polinomio (1) original,

(2+p)3 2(2+p) 5 = 0 . . . . (3) p3 + 6p2 + 10p - 1 = 0, . . . . . (4)

como p es pequeo, no se toma en cuenta los trminos mayores o iguales al cuadrtico.

10p 1 0, p = 0.1 . . . . .(5) Una mejor solucin ser x = 2 + p = 2.1 . . . (6)

Recordemos que p es solucin a la ecuacin (4), es decir debe existir un q, que sumado a la raz hallada en (5), nos de una mejor raiz que 0.1,

Entonces sea un p = 0.1 + q . . . . (7)

reemplacemos (7) en la ecuacin (4)

(0.1+q)3 + 6(0.1+q)2 + 10(0.1+q) -1 = 0 . . . . (8)

q3 + 6.3q2 + 11.23q + 0.06 = 0 . . . . . (9)

como q es pequeo, no se toma en cuenta los trminos mayores o iguales al cuadrtico.

q = -0.06/11.23 = -0.005342 . . . . (10)

Una segunda mejor solucin es x = 2 + p + q = 2.094657 . . . (11)

Una siguiente aproximacin para x, ser a travs de tomar un r, tal que q = -0.00534 + r es una mejor solucin para la ecuacin (9), despreciando los trminos cuadrticos y superiores se halla el valor de r, el cual se debe sumar a la relacin (11).

TEOREMAS DE BOLZANO

Sea f C [a, b] tal que f(a).f(b) < 0 entonces existe un c tal que f(c) = 0

c c

xa xb xa

xb

Los mtodos que se utilizan para hallar la raz, se diferencian en el modo en que se aproximan a c.

MTODO DE BISECCIN

Sea f(x) una funcin continua y que cambia de signo en los extremos de [a; b]. Basndonos en el teorema de Bolzano, podemos aproximar una solucin de la ecuacin f(x) = 0 dividiendo el intervalo inicial en dos sub intervalos iguales. Se elige un nuevo intervalo que es la mitad de anterior, teniendo en cuenta que siga encerrando a la raz.

Se repite el proceso hasta que se cumpla con el criterio de parada.

El valor de la primera aproximacin es c y est en el punto medio entre a y b. En el grfico, a toma el valor de c, de modo que otra vez la raz est entre a y b.

c

a b

ERROR ABSOLUTO MAXIMO DEL METODO DE BISECCION

Sea {mn}n=0,1 la sucesin de aproximaciones de x obtenidas mediante el mtodo de Biseccin y en = |x - mn|, para n = 0, 1, . . ., para aproximar f(x) a cero

Entonces

Esquema de demostracin

ALGORITMO BISECCION

1. Definir el error 2. Elegir a y b de modo que f(a).f(b)

MTODO DE REGULA-FALSI

Es refinamiento del mtodo de Biseccin, eligiendo la aproximacin m a distancias de a y b proporcionales a f(a) y f(b).

El mtodo consiste en encontrar dos valores a y b de modo que f(a).f(b) < 0.

Trazar una recta entre los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).

El valor aproximado (c) de la raz es el punto donde la recta corta al eje x.

Si el error de la aproximacin no es el deseado, se asigna el valor de c a a o a b, de modo que la raz est encerrado entre a y b.

El primer valor de la iteracin es c, que es el valor donde la recta cruza al eje x.

En la grfica, a toma el valor de c, de modo que la raz se encuentra entre a y b c

a b

f(a)

f(b)

METODO REGULA FALSI MODIFICADO

La recta L1 es la recta definida por el mtodo de Regula falsi. A fin de acelerar la convergencia se utiliza una recta con menor pendiente, el punto c es la interseccin de la recta L2 con el eje horizontal. Se puede presentar dos casos:

c

a b

f(a)

f(b)

L1

c

a b

f(a)

f(b) L1

En el primer caso, la nueva recta se toma con el nuevo valor (b, 0.5f(b)). Es decir f(a).f(c) > 0.

En el segundo caso, la recta se toma con el nuevo valor (a, 0.5f(a)). Es decir f(a).f(c) < 0.

c

a b

f(a)

f(b)

f(b)/2

L1 L2

c

a b

f(a)

f(b)

f(a)/2

L1 L2

Se deja de iterar cuando c cambia de signo o es menor que el error.

El calculo de c es el mismo que de la regula falsi, pero se debe detener en cuenta el nuevo valor de f(a) o de f(b) segn sea el caso.