clase 13

CLASE 13: INTRODUCCIN A LA SUPERPOSICIN MODAL Y ANLISIS MODAL

Profesor:LUIS AUGUSTO LARA VALENCIA

Medelln: Octubre 2014

Universidad Nacional de Colombia sede Medelln Departamento de Ingeniera CivilPostgrado en EstructurasDINAMICA DE ESTRUCTURAS

INTRODUCCIN A LA SUPERPOSICIN MODAL

SUPERPOSICIN MODAL

Una estructura con diversos grados delibertad presenta diversos modosposibles de vibracin.

En sistemas lineales, para determinarcomo una estructura respondedinmicamente a cargas externas, sedebe calcular antes que nada losmodos y las frecuencias naturales.

ANLISIS MODALEste tipo de anlisis refleja elcomportamiento dinmico bsico de laestructura y constituye una indicacin decmo responder a la carga dinmicaactuante sobre ella.

La clave de la determinacin de la respuesta dinmica se fundamenta en la hiptesis de lasuperposicin modal. La Figura 1, ilustra la idea de esta hiptesis. En esta Figura sepresenta una estructura y los diversos modos posibles de vibracin.

Figura 1. Hiptesis de la superposicin modal

*Modificado de Alves Filho, 2005


La estructura est sujeta a las cargasdinmicas F1(t), F2(t), F3(t) y F4(t) queactan en los nodos representados.

Objetivo: Determinar laconfiguracin deformada de laestructura en un instante tcualquiera.

Segn la hiptesis de la superposicin modal, la configuracin deformada en un momentodado puede ser obtenida sumando las configuraciones de cada modo de vibrar, resultandoas la configuracin deformada de la estructura.

La suma de las configuraciones es enrealidad una combinacin lineal de losmodos naturales de vibracin de laestructura .

En esa suma, cada modo de vibrar vienemultiplicado por un coeficiente querepresenta la importancia del respectivomodo en el clculo de la respuestadinmica.

Llamado de peso o factor de participacin del modo


Los factores de participacin asociados a cada modo varan de instante para instante, demodo que, al efectuar la combinacin lineal en cada instante se tendr una respuestadiferente.

Es posible de esta manera construir el histrico de la estructura a lo largo del tiempo.Resumidamente, se puede representar:

(1)(((( )))) (((( )))) (((( ))))1 2Respuesta dinmica 1 modo * 2 modo * ............. modo * ny y n y= + + + = + + + = + + + = + + +

(2)(((( ))))Respuesta dinmica modos* y====

As, la obtencin de la respuesta dinmica de un sistema estructural sometido a la accin decargas dinmicas externas pasa por la ejecucin de dos etapas:


Clculo de los modos y frecuencias naturales de vibracin de la estructura(Anlisis Modal).

Determinacin del factor de participacin de cada modo de vibrar en la respuestapor intermedio del desacople de las ecuaciones de equilibrio.

En relacin al clculo de los modos y las frecuencias naturales de vibracin de la estructura,se puede decir que el amortiguamiento no es considerado.

En vibraciones de estructuras, el amortiguamiento presente es pequeo.

Las frecuencias naturales y los modos de vibrar de una estructura sonprcticamente independientes del amortiguamiento cuando este es pequeo. Estoquiere decir que se tienen valores similares para las frecuencias naturales con o sinamortiguamiento.


Es claro, a partir de lo estudiado en SDUGL, que el tratamiento matemtico de lasvibraciones libres sin amortiguamiento es mucho ms simple de que las vibraciones libresamortiguadas.

Dato curioso: En varios paquetes de software de anlisis por elementos finitos, cuando secalculan las frecuencias naturales y los modos de vibrar de una estructura, los programasconsideran nulo el amortiguamiento*. Por otra parte, aunque el amortiguamiento presente enla estructura sea muy pequeo, este tiene fuerte influencia en la respuesta de una estructurasometida a la accin de cargas dinmicas .

*Tomado de Alves Filho, 2005

Figura 2. Factor de magnificacin dinmica*Modificado de Alves Filho, 2005

ANLISIS MODAL

ANLISIS MODAL

Del estudio de SDUGL se vio que la ecuacin diferencial representativa de las vibracioneslibres sin amortiguamiento esta dada por:

(3)(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) [[[[ ]]]]0 0 mv t kv t t t+ =+ =+ =+ = + =+ =+ =+ =Mv Kv&& &&

Clculo de los modos de vibrar y frecuencias naturales Autovalores y Autovectores

Cuando la estructura es apartada de su posicin de equilibrio con la configuracindeformada de uno de sus modos naturales de vibracin, el sistema vibrar con laconfiguracin de aquel modo y con una frecuencia caracterstica de aquel modo de vibrar.La Figura 3 ilustra el caso de una viga y las primeras configuraciones posibles devibraciones naturales con las respectivas frecuencias (Todos sus puntos vibran con la mismafrecuencia del modo correspondiente).

ANLISIS MODAL

El sistema es compuesto por n grados delibertad que pueden ser representadospor la rigidez y masa asociada de cadauno de los grados de libertad.

Cada grado de libertad presenta unmovimiento de vibracin libre

Se procesan armnicamente

Cada grado de libertad de la estructura durante una vibracin libre ejecuta un movimientoarmnico simple.

Figura 3. Ejemplo de vibraciones naturales en una viga

*Modificado de Alves Filho, 2005

ANLISIS MODAL

Cada grado de libertad describir encada modo de vibrar un movimientoregido por la funcin

(((( ))))0( )v t v sen t==== (4)Cada GL puede tener una amplitud diferente en suvibracin libre

As, para la estructura discretizada con n grados de libertad se puede establecer:

(5)(((( ))))(((( ))))(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( ))))

1

2

01

02

0

nn

v t sen tv t

v t sen tv tt t sen t

v t v t sen t

= == == == = ====

0v v vM M

La ecuacin matricial (5) corresponde a la solucin de las ecuaciones diferenciales de los ngrados de libertad del sistema (ecuacin (3)). Si se sustituye la ecuacin (5) y susrespectivas derivadas en la ecuacin (3) se obtendr:

ANLISIS MODAL

(((( ))))t sen t==== 0v v (5) (((( )))) cost t ==== 0v v& (6) (((( )))) 2t sen t = = = = 0v v&& (7)

20 0 0sen t sen t + = + = + = + =M v K v (8)

20 0 0 + = + = + = + =M v K v (((( ))))2 0 0 = = = =K M v (9)

La ecuacin (9) es conocida como la ecuacin de equilibrio dinmico de sistemas quevibran armnicamente.

Esta ecuacin representa el camino para determinar los modos y frecuencias naturales de unsistema estructural. Cada modo de vibrar de una estructura tiene un perfil propio y unafrecuencia propia. Cada una de las frecuencias asociadas a los respectivos modos esrepresentada por y el perfil asociado a cada modo es representado por la matriz v0.

ANLISIS MODAL

Ecuacin (9) solo se puederesolver para unos pocos valoresparticulares de y v0.

Estos valores particulares son,respectivamente, las frecuencias naturalesy los vectores asociados a cada modo devibrar.

EJEMPLO: Sustituyendo la frecuencia del primer modo, 1, y el vector correspondiente v0en la ecuacin (9), se debe obtener un resultado igual a cero.

Solucin no trivial 2 0 = = = =K M Relacin solo posible cuandoel DET( ) es nulo.2K M

Montando el determinante de la matriz sealada e igualndolo a cero, se generar unaecuacin que tendr a 2 como incgnita. El grado de esa ecuacin depende de lasdimensiones de las matrices y, como consecuencia, del nmero de grados de libertad de laestructura.

ANLISIS MODAL

En funcin del grado de esa ecuacin, se generarn varias races que permitirn definir lasdiversas frecuencias naturales de un sistema de varios grados de libertad.

Ecuacin de frecuencia del sistema (((( ))))2 0Det = = = =K M (10)

Autovalores y Autovectores

La expansin del determinante (ecuacin (10)) dar origen a una ecuacin algebraica den-esimo grado respecto al parmetro 2. Las n races de esa ecuacin (12, 22, 32, ..4

2) representan los cuadrados de las frecuencias de los n modos de vibraciones naturalesque son posibles en el sistema.

Es comn (((( )))) 0Det = = = =K M (11)2 ====

ANLISIS MODAL

Solamente algunos valores de satisfacen la ecuacin (11). Estos valores, que son loscuadrados de las frecuencias naturales de los diversos modos de vibrar de la estructura,estn asociados a las caractersticas propias de ella, que son sus frecuencias naturales.

son llamados AUTOVALORES Son las races del polinomio

(((( )))) (((( ))))p Det = = = = K M

Polinomio caractersticoAs, para una determinada frecuencia i devibracin de la estructura se tendr unautovalor i.

A cada autovalor i corresponde un modo de vibrar de la estructura, que est asociado a unperfil correspondiente a ese modo. El perfil del modo correspondiente puede serrepresentado por un vector que contiene los desplazamientos que definen ese perfil.

ANLISIS MODAL

Ese vector define una caracterstica propia de la estructura en ese modo (Autocaracterstica). Este perfil es comnmente conocido como AUTOVECTOR.

(((( )))) (((( )))) i AUTOVALOR AUTOVECTOR ====0 iv

(((( )))) 0i = = = =iK M

Para un modo i de vibrar

De esta manera:

(((( )))) (((( )))) (((( ))))* Races del polinomio i AUTOVALORES p Det = = = = K M* Frecuencias naturales no amortiguadasi i ====

* Modos naturales AUTOVECTORESi

(12)

ANLISIS MODAL

Ejercicio

Supngase el prtico plano idealizado de 3 grados de libertad mostrado en la Figura 4.Determnense las frecuencias y los modos de vibracin de la estructura.

W3=200 Ton K3=80 Ton/cm

W2=400 TonK2=200

Ton/cm

W1=400 TonK1=200

Ton/cm

Figura 4. Estructura idealizada

ANLISIS MODAL

Solucin

Las matrices de masa y rigidez de la estructura son:

[[[[ ]]]]1 2 2

2 2 3 3

3 3

0

0

k k kK k k k k

k k

+ + + +

= + = + = + = +

[[[[ ]]]]1

2

3

0 00 00 0

m

M mm

====

El valor de cada masa es igual a Wi/g. De esta forma se tiene:

2

1 2400 0,408981

T segm m

cm

= = == = == = == = =

2

3200 0,204981

T segm

cm

= == == == =

Sustituyendo los respectivos valores en las matrices de masa y rigidez se tiene:

ANLISIS MODAL

[[[[ ]]]]400 200 0200 280 800 80 80

K

= = = =

[[[[ ]]]]0, 408 0 0

0 0,408 00 0 0,204

M

====

(((( )))) 0 = = = =K MDe la expresin:

400 0,408 200 0200 280 0,408 80 00 80 80 0,204

= = = = = = = =

K M

Si se resuelve el determinante de la matriz anterior es posible obtener:

ANLISIS MODAL

3 20,034 69,91 34272 3200000 0 + + = + + = + + = + + =

1 121,87 ==== 2 563,27 ==== 3 1371,04 ====

1 11,04Hz ==== 1 0,569T s==== 2 23,73Hz ==== 2 0,265T s==== 3 37,03Hz ==== 3 0,170T s====

Para calcular los modos de vibracin, se remplazan los valores de i en la expresin (12).Procediendo as con 1 se llega al siguiente sistema homogneo de ecuaciones:

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))11

21

31

400 0,408 121,87 200 0200 280 0,408 121,87 80 00 80 80 0,204 121,87

= = = =

ANLISIS MODAL

Donde los ndices i y j del modo identifican, respectivamente, el nivel y el modo al que seesta haciendo referencia en la estructura.

11

21

31

11,7512,541

====

Escogiendo arbitrariamente algn ij, por ejemplo, 11 =1, entonces se encontrar que:

Para el siguiente modo de vibracin se obtiene:

Figura 5. Modo de vibracin 1

0

1

2

3

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

ANLISIS MODAL

12

22

32

10,8531,969

====

Finalmente, para el ultimo modo de vibracin se obtiene:

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))12

22

32

400 0,408 563,27 200 0200 280 0,408 563,27 80 00 80 80 0,204 563,27

= = = =

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5


ANLISIS MODAL

Las formas de estos tres modos de vibrar pueden ser apreciadas en las Figuras 5, 6 y 7. Esbueno recordar que cada uno de ellos puede multiplicarse por cualquier constante arbitraria.

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))12

22

32

400 0,408 1371,04 200 0200 280 0,408 1371,04 80 00 80 80 0,204 1371,04

= = = =

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5


13

23

33

10,8040,321

=

clase 13

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