clase 2. limite y continuidad
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nociones de limites y sus aplicacionesTRANSCRIPT
1
Calculo y geometría analítica I
UNIDAD 2Clase 2
“Limite y continuidad”
Prof. Ing. José Rodríguez
2
Objetivos de aprendizaje
• Calcular limites de funciones algebraicas• Determinar la continuidad o discontinuidad de una
función• Calcular asíntotas horizontales y verticales • Aplicar el concepto de limite a situaciones problemáticas
Contenido de la unidad
• Dominio y rango de una función• Graficas de funciones de variable real• Limites laterales. (izquierdo y derecho)• Concepto de limite. (épsilon – delta). Calculo de delta.• Teoremas sobre limite• Formas indeterminadas de limites• Limites de funciones trigonométricas• Continuidad o discontinuidad de una función• Asíntotas horizontales y verticales • Limites al infinito
3
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
Se define dominio de una función como el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente (x), para que la función esté definida.
DOMINIO DE FUNCIONES POLINÓMICAS: ( axn + bxn – 1 + …….. + cx + d)
El dominio de una función polinómicas son todos los números reales: )(xDomf
DOMINIO DE FUNCIONES RACIONALES:)(
)()(
xg
xfxh
Donde f(x) y g(x) son funciones polinómicas
El dominio de una función racional son todos los números reales excepto aquellos valores de la variable independiente que hacen que el denominador se anule:
0)(/)( xgxxDomh
4
DOMINIO DE FUNCIONES IRRACIONALES: )()( xfxh
El dominio de una función irracional son todos los números reales excepto aquellos valores de la variable independiente que hacen que el radicando sea negativo:
0)(/)( xfxxDomh
DOMINIO DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS: f(x)logh(x) a
El dominio de una función logarítmica son todos los números reales excepto aquellos valores de la variable independiente que hacen que el argumento del logaritmo sea menor o igual que 0:
0)(/)( xfxxDomh
DOMINIO DE FUNCIONES EXPONENCIALES DE BASE > 0: )( xfah(x)
El dominio de una función exponencial de base > 0, coincide con el domino de la función que se encuentra en el exponente.
)()( xDomfxDomh
5
Determine el dominio de:
b) 1)( 2 xxf
c)4
1)(
2
xxf
d) 5
1)(
xxf
a) 1)( xxf
Ejercicios:
6
Alguna vez ha estado Usted en un estacionamiento en el que puede “aproximarse” al automóvil de enfrente, pero no quiere tocarlo ni golpearlo. Esta noción de estar cada vez más cerca de algo, pero sin tocarlo, es muy importante en matemáticas y en la cual está involucrada el concepto de límite, en el que descansa el fundamento del cálculo.
Noción de límite
7
Cuando una variable “se aproxima” a un valor particular, examinaremos el efecto que tiene sobre los valores de la función.
Noción de límite
8
Acercamientos Laterales
Por izquierda Por derecha
9
Gráfica de un acercamiento por derecha
Matemáticamente: x 3+
Gráficamente:
Cuando x se aproxima a 3 por medio de valores mayores que el 3, se dice que x se aproxima a 3 por la derecha
3
5
x
10
Matemáticamente: x 3-
Gráficamente:
Cuando x se aproxima a 3 por medio de valores menores que el 3, se dice que x se aproxima a 3 por la izquierda
3
5
x
Gráfica de un acercamiento por la izquierda
11
Si realizamos ambas aproximaciones al mismo tiempo, obtenemos:
3
5
x x
12
5)(3
xfLímx
Observando los slides anteriores, se puede decir que si x tiende a 3 por la izquierda, la función tiende al valor de 5.
13
5)(3
xfLímx
Mientras que, si x tiende a 3 por la derecha, la función tiende al valor de 5.
14
Nótese que para que el límite exista, cuando la variable tiende a un número “a” (en nuestro ejemplo a = 3) tanto por la izquierda como por la derecha, la función tiende a adoptar un único valor “L” (en nuestro ejemplo L = 5)
Condición para la existencia del límite
15
¡ Importante !
No es lo mismo decir “ x es igual a tres” , que decir “ x tiende a tres ”
16
¿qué ocurre con el valor de f(x)
cuando x 3 en esta grafica?
3
5
7
x x
17
Condición para la existencia del límite
Nótese que cuando x tiende a 3 por la izquierda, la función tiende al valor de 5.
Mientras que si x tiende a 3 por derecha, la función tiende al valor de 7
En este caso se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a 3, no existe
18
Graficar:
2;24
)(2
x
xx
xf
19
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x 1,88 1,90 1,99 --- 2,00 --- 2,01 2,10 2,12
f(x) 3,88 3,90 3,99 --- ? --- 4,01 4,10 4,12
2;2
4)(
2
x
x
xxf
20
En ambos casos la información apunta a la misma conclusión: los valores de f(x) se aproxima a 4 cuando los valores de x se aproximan a 2. Este comportamiento se denota por:
42
42
2
x
xLimx
2x
4x)x(f
2
Y se lee “ límite de la función en 2 es 4”
21
Definición
Una función f tiene límite L cuando x tiende a “a” por cualquier lado (derecha o izquierda); y se escribe:
LxfLimax
)(
Si todos los valores f(x) para f se encuentran cerca de L para todos los valores que se encuentran arbitrariamente cerca, pero que no son iguales a “a”.
22
Conclusión
LxfLímax
)( si y solo si :
LxfLímxfLímaxax
)()(
Nótese que para que el límite de una función (en un valor de a) exista, no es necesario que la función esté definida en este valor de a.
23
Si para cada , existe un correspondiente ,
tal que
Dada una función f(x) definida en un entorno de
Excepto posiblemente en
Decimos que el límite de la función cuando x tiende a
Definición formal de limite
24
Se quiere fabricar placas de acero de
8cm x 8cm.
8 cm
8 cm
Es decir, de 64 cm2 de superficie.
En la realidad, resulta imposible fabricar placas con 64 cm2 de superficie, siempre se elabora con cierta aproximación, o sea, que cumpla las especificaciones dentro de la tolerancia.
25
Para cualquier medida de los lados de la placa:A (L) = L2
Si consideramos las siguientes tolerancias:1) A (L) = 64 ±0.75 esto implica que 63.25< A (L) <64.752) A (L) = 64 ±0.50 63.5 < A (L) <64.5 3) A (L) = 64 ±0.25 63.75< A (L) <64.254) A (L) = 64 ±0.125 63.875< A (L) <64.1255) A (L) = 64 ±0.1 63.9< A (L) <64.1
Se debe encontrar un intervalo para L de tal manera que A ( L) esté dentro del intervalo de tolerancia.
Tolerancia de menos Tolerancia de más Tolerancia de menos Tolerancia de más
L L A(L) A(L) 8 64
26
Es decir:Si 7.96 < L < 8.04 → 63.25 < A (L) <64.75 ¡cumple!Si 7.97 < L < 8.03 → 63.5 < A (L) <64.5 ¡cumple!Si 7.99 < L < 8.01 → 63.75 < A (L) <64.25 ¡cumple!
Si se quiere más precisión de A (L), significa que L debe estar lo más cercano posible a 8. O sea, existe una pequeña diferencia de A (L) con 64, análogamente, existe también una pequeña diferencia de L con 8. Por la definición intuitiva de límite:
64)(lím8
LAL
27
Si esas pequeñas diferencias que existen de L con 8 y de A (L) con 64 les llamamos δ(delta) y ε(épsilon) respectivamente, tendríamos:8 – δ < L< 8 + δ ↔ 64 - ε < A (L) < 64 + ε ↔ Significa si y sólo si.También se puede escribir como:
– δ < L - 8 < δ ↔ - ε < A (L) - 64 < εLo anterior quiere decir que si L se encuentra en el intervalo (8- δ, 8+ δ), entonces A (L) se encuentra en el intervalo abierto (64- ε, 64+ ε)
28
a L
x f (x)
a – δ a + δ L – ε L + εPor propiedades del valor absoluto, las desigualdades
– δ < L - 8 < δ ↔ - ε < A (L) - 64 < ε Se pueden escribir como:
Como el valor de L se aproxima a 8 sin llegar a ser 8, entonces L – 8 ≠ 0 y por lo tanto
64)(8 LAL
08 L
29
De lo anterior:
Ahora, generalizando para cualquier función f (x) cuando x → a, tenemos:
64)(80 LAL
Lxfax )(0
30
Interpretación geométrica:
L + ε
a - δ
L
ε
ε
a - δ a
δ δ
L - ε
31
Ejemplo:1. Sea la función f definida por f (x) = 4x – 7. Suponiendo que
a) Utilizando una figura, para ε = 0.01, determinar una δ > 0 tal que si 0 < | x – 3 | < δ entonces | f (x) – 5 | < 0.01
b) Usando las propiedades de las desigualdades, determinar una δ > 0 tal que si 0 < | x – 3 | < δ entonces | f (x) – 5 | < 0.01
Solución:
5)(lím3
xfx
f (x) =4 x - 7
5.01
4.99
5
3x1 x2
32
Solución a)4 x1 - 7 = 4.99 4 x2 – 7 = 5.01
Como 3 – 2.9975 = 0.0025Y 3.0025 – 3 = 0.0025Se elige δ = 0.0025, de tal forma que 0 < | x-3| < 0.0025 entonces | f (x) – 5 | < 0.01 Lo cual es verdadero.
33
Solución b)Para toda ε > 0 y δ > 0, se debe cumplir que:
Donde a = 3, L = 5 y f (x) = 4 x – 7, ε = 0.01Entonces:0 < | x - 3 | < δ si y sólo si | (4x – 7) - 5 | < 0.01
Tomando la segunda ecuación:
| (4x – 7) - 5 | < 0.01
| 4x – 7 - 5 | < 0.01
| 4x – 12 | < 0.01
| 4 (x – 3 ) | < 0.01
| 4 | | x – 3 | < 0.01
4 | x – 3 | < 0.01
𝟎<|𝒙−𝒂|<𝜹↔|𝒇 (𝒙)−𝑳|<𝜺
|𝑥− 3|< 0.014
34
¿Por qué las marcas de una taza de medir de un litro miden alrededor de un milímetro de ancho?
Si la taza es un cilindro circular recto de 6 cm de radio, el volumen es
V = p62h = 36ph
¿Con qué precisión se debe medir h para medir 1 L(1000 cm3) con un error no mayor de 1% (10 cm3)?
Para que valores de h se satisface
| V – 1000 | = | 36ph – 1000 | 10
| 36ph – 1000 | 10
–10 36ph – 1000 10
990 36ph 1010
990 /36p h 1010 /36p
8.8 h 8.9
8.9 – 8.8 = 0.1 cm = 1 mm
h
r = 6 cm
Ejemplo:
35
Reglas para calcular límites
Teorema #1
Las reglas siguientes son válidas si limxc f(x) = L y limxc g(x) = M (L y M son números reales)
1. Regla de la suma: limxc [f(x) + g(x)] = L + M
2. Regla de la resta: limxc [f(x) – g(x)] = L – M
3. Regla del producto: limxc f(x) ∙ g(x) = L ∙ M
4. Regla del producto: limxc k f(x) = kL
por una constante
5. Regla del cociente: limxc f(x) / g(x) = L / M, M 0
6. Regla de la potencia: limxc [f(x)]m/n = Lm/n
36
Límites de Polinomios
Teorema #2
Los límites de polinomios pueden ser calculados por sustitución
Si P(x) = anxn + an–1 xn–1 +...+ a0, entonces
limxc P(x) = P(c) = ancn + an–1 cn–1 +...+ a0
Teorema #3
Los límites de las funciones racionales pueden calcularse por sustitución si el
límite del denominador no es cero.
Si P(x) y Q(x) son polinomios y Q(c) 0, entonces
limxc P(x) / Q(x) = P(c) / Q(c)
37
Ejercicios:
Regla: Para resolver este tipo de indeterminación , se debe Factorizar tanto el numerador como denominador y simplificar luego remplazar el limites.
Límites indeterminados
0
22
lim22
2lim
42
lim2
2
22
2
2
xx
xxx
xx
xxx
41
21
lim22
2lim
42
lim2222
xxxx
xx
xxx
223
lim43
lim222 xx
xxx
xx
223
lim43
lim222 xx
xxx
xx
existenoxx
xxx
xx
223
lim43
lim222
223232 2
1lim
2
2lim
2
2lim
xx
x
x
xxxx 38
Estudio del
x 0
lim sen x
x . Se pone la calculadora en modo Rad para construir las siguientes tablas.
x 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,0000001sen x
x0,998334166468 0,999983333416 0,999999833333 0,999999998333 0,99999999998 0,999999999999
x - 0’1 - 0’01 - 0’001 - 0’0001 - 0’00001 - 0’0000001sen x
x0,998334166468 0,999983333416 0,999999833333 0,999999998333 0,99999999998 0,999999999999
Los resultados sugieren que x 0+lim
sen xx =1
Los resultados sugieren que x 0-lim
sen xx =1
En consecuencia: x 0lim
sen xx =1
Límites de funciones trigonométricas
39
El x 0lim
sen xx geométricamente
- 10 - 5 5 10
- 0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
• La función no está definida en 0.
• Pero está definida en las proximidades del punto 0
40
El límite fundamental trigonométrico
1sen
lim0
01cos
lim0
θ>0 en radianes
41
Problema
0
sen 3lim
6x
x
x
Solución
sen 3 sen 31Re-escribimos
6 2 3
x x
x x
0
senUsamos que lim 1.
21
33
21
63
que concluye ,13
3limlimlim
000
x
xsenx
xsense
xxsen
Comoxxx
42
43
Ejercicios:
x
xsen
x 24
lim0
xsenx
x2
2
0 63
lim
xsen
xsen
x 32
lim0
x
x
x
5cos1lim
0
1.
2.
3.
4.
5.
Calcule los siguientes límites:
xxtg
x 2lim0
44
45
tiempo(años)
clientes
f
¿Cuál es el máximo número esperado de clientes al cual se tiende en
el largo plazo?
Analicemos …
¿ ?
¿ ?
50
t
Entonces: 50)(lim
tft
Esto es un límite al infinito, que nos indica a qué valor se aproxima la función cuando t crece indefinidamente.
45
El límite cuando tiende al infinito
Límites al infinito
Si los valores de la función f (x) tienden al número L cuando x aumenta indefinidamente, se escribe:
lim ( )x
f x L
De manera similar, valores de la función f (x) tienden al número M cuando x disminuye indefinidamente, se escribe:
lim ( )x
f x M
46
y = f (x)y
y = L
y = M M
Llim ( )x
f x L
lim ( )x
f x M
x
Por ejemplo….
47
Sabemos que para n > 0, ,
¿cuál es el valor de los siguientes límites?
n
xxlim
nx x
1lim
nx x
1lim
Interrogante . . . . .
48
49
11 1 0
11 1 0
( )n n
n nm m
m m
a x a x a x af x
b x b x b x b
11 1 0
11 1 0
lim ( ) lim
n nn n
m
m mx xm m
m
a x a x a x a
xf xb x b x b x b
x
Divida el numerador y denominador entre el x elevado al mayor grado del denominador y calcule el límite de la nueva expresión:
Resolución:
límite al infinito para funciones racionales
49
Ejercicios:
3254
2
2
lim
xx
x
x
xxx 21
34
lim
x
xxx 21
34
lim
3
72lim
x
x
x
1.
2.
3.
4.
Calcule los siguientes límites al infinito:
50
Una función f(x) es continua en un punto x = a si cumple:
1. Existe f(a)
Si una función no cumple alguna de estas condiciones, decimos que la función es discontinua en x = a
limx a f (x) limx a
f (x) limx a f (x)2. Existe
limx a f (x)3. Se cumple que f(a) =
Continuidad de una función
51
Ejemplo: Estudiar la continuidad de la función
limx 2
x21x 2
50
52Continuidad de Funciones
f (x)x21
x 2
Tenemos que el dominio de la función es R-{2}, por lo tanto x = 2 será una punto de discontinuidad.
Estudiemos como no se cumple la definición de continuidad y que tipo de discontinuidad tenemos.
Evidentemente no existe f(2)No se puede dividir por 0
limx 2
x21x 2
50
Calculamos los limites a la izquierda y derecha de x=2
Números muy pequeños pero negativos:
1,90 – 2 = - 0,1
1,99 – 2 = - 0,01
Números muy pequeñospero positivos:1,90 - 2 = 0,11,99 - 2 = 0,01
Como los límites izquierda y derecha son distintos tenemos una función discontinua en x = 2 de 1ª especie con salto infinito (diferencia entre los límites laterales)
52
Veamos la gráfica de la función: f (x)x21
x 2
Cuando me acerco a 2-
la función va hacia -∞
Cuando me acerco a 2+
la función va hacia +∞
Aquí tendremos
Una Asíntota vertical
De ecuación x=2
53
Veamos el siguiente ejemplo con una funcióndefinida a trozos:
f (x)5 x2x2 6x10 2x54x 15 x5
Aquí tenemos una recta horizontal, paralela al eje de abcisas X. Siempre es continua en su intervalo de definición.
Aquí tenemos una parábola. Siempre es continua en su intervalo de definición.
Aquí tenemos una recta. Siempre es continua en su intervalo de definición.
Así que solo procederemos a estudiar la continuidad en los casos x = 2 y x = 5 . Que son los puntos donde puede ocurrir algún cambio respecto a la continuidad
54
Si nos fijamos en la gráfica de esta función
veremos que:
Discontinua
de 1ª especie
en x = 2 con
salto de 3 u.
Continua en
x = 5
55
56Continuidad de Funciones
Estudiamos analíticamente el caso de x = 2
limx 2
55
f (x)5 x2x2 6x10 2x54x 15 x5
limx 2
x2 6x102
f (2)5
Como tenemos que el limite por la izquierda y el limite por la derecha en x=2 son distintos tenemos que f(x) es discontinua de 1ª especie en x =2, donde se produce un salto de 3 unidades.
57Continuidad de Funciones
Estudiamos analíticamente el caso de x = 5
limx5
x2 6x105
f (x)5 x2x2 6x10 2x54x 15 x5
limx5
4x 155
f (5)5
Como tenemos que el limite por la izquierda y el limite por la derecha en x=5 son iguales tenemos que f(x) continua de en x = 5
Continuidad de Funciones
Veamos algún caso con una discontinuidad del tipo “Evitable”
f (x)x2 3x2
x 1Tenemos que Dominio de f = R - { 1 }
Solo tendríamos que estudiar el caso x = 1
1. f(1) no existe ya que x = 1 no está en el dominio
2. limx1
x2 3x2x 1
00 lim
x1
x 1 x 2 x 1
limx1
x 2 1
limx1
x2 3x2x 1
00 lim
x1
x 1 x 2 x 1
limx1
x 2 1
Como los límites izquierda y derecha son iguales tenemos que existe el límite x 1
limx 1
f (x) f (1) que no existe
58
Veamos ahora la gráfica de la función
Tenemos un agujero para x = 1
59
Ejercicios:
21
211
136
)( 2
xx
xx
xx
xf
29
2123
134
)(2
2
xx
xx
xxx
xf
1.
2.
Demuestre si es continua o discontinua las siguientes funciones
60
ASÍNTOTAS
61- 79
Definición de una asíntota Cuando la gráfica de una función se acerca a una recta cuando x o y tienden a
infinito, dicha recta se llama ASÍNTOTA de la función. No todas las funciones tienen asíntotas.
Las asíntotas de una función pueden ser:
Verticales Horizontales Oblicuas
62
Tipos de asíntotas
x = cy
x
Asíntotas Verticales
x = cy
x
63
y = L
y = f(x)
y
x
y = L
y = f(x)
y
x
Asíntotas Horizontales
Tipos de asíntotas
64
Asíntotas Oblicuas
y
x
y = ax + b
Tipos de asíntotas
65
)(lim xfcx
)(lim xfcx
)(lim xfcx
La recta x = c es una asíntota vertical de una función f(x) si se cumple alguna de las siguientes condiciones:
Ejemplo:
2
1lim
2 xx
2
1lim
2 xx
2
1)(
xxf
La recta x = 2 es una asíntota vertical
Asíntotas verticales
66
Asíntotas horizontales
Lxfx
)(lim Lxfx
)(lim
La recta x = L es una asíntota horizontal de una función f(x) si se cumple alguna de las siguientes condiciones:
Ejemplo:
1
2)(
x
xxf
21
2lim
x
xx
21
2lim
x
xx
La recta y = 2 es una asíntota horizontal
67
ax
xfx
)(lim
ax
xfx
)(lim
baxxfx
))((lim
La recta y = ax + b es una asíntota oblicua de una función f(x) si se cumple alguna de las siguientes condiciones:
a)
b) baxxfx
))((lim
Ejemplo:
1
2)(
2
x
xxf
22
lim)(
lim2
2
xx
x
x
xfxx
2)21
2(lim))((lim
2
xx
xaxxf
xx
La recta y = 2x+2 es una asíntota oblicua
Asíntotas oblicuas
68
Asíntotas de funciones racionales
Una función racional tiene una asíntota vertical cuando el denominador de la función simplificada es igual a 0.
Recuerda que se simplifica cancelando los factores comunes del numerador y denominador.
Asíntotas Verticales
69
Asíntota verticalx = -1
Ejemplo 1: Calcular las asíntotas verticales
x
xxf
22
52
Dada la función
Calculamos los valores de x que hacen 0 el denominador:
2 + 2x = 0 x = -1
La recta x = -1 es la única asíntota vertical de la función.
70
Primero simplicamos la función.
9
121022
2
x
xxxf
La(s) asíntota(s) aparecen cuando el denominator (después de simplificar) es igual a 0.
x – 3 = 0 x = 3La recta vertical x = 3 es la única asíntota vertical de esta función.
Ejemplo 2: Calcular las asíntotas verticales
Asíntota verticalx = 3
33
423
9
121022
2
xx
xx
x
xx
3
42
x
x
71
6
52
xx
xxg
32
5
6
52
xx
x
xx
x
El denominador es igual a 0 cuando
x + 2 = 0 x = -2o
x - 3 = 0 x = 3
Esta función tiene dos asíntotas verticales, una x = -2 y la otra x = 3
Ejemplo 3: Calcular las asíntotas verticales
Asíntota verticalx = - 2
Asíntota verticalx = 3
72
Asíntotas horizontales
Las asíntotas horizontales aparecen cuando ocurre una de las siguientes condiciones (ambas condiciones no pueden ocurrir en la misma función):
El grado del numerador es menor que el grado del denominador. En este caso, la asíntota es la recta horizontal y = 0.
El grado del numerador es igual al grado del denominador. En este caso, la asíntota es la recta horizontal y = a/b, donde a es el coeficiente de mayor grado del numerador y b es el del denominador.
Cuando el grado del numerador es mayor que el grado del denominador la función no tiene asíntota horizontal.
73
Ejemplo 4: Calcular las asíntotas horizontales
027
53lim
3
2
x
xxx
27
533
2
x
xxxf
027
53lim
3
2
x
xxx
Tiene una asíntota horizontal en la recta y = 0 porque el grado del numerador (2) es menor que el grado del denominador (3).
La recta horizontal y = 0 es la asíntota horizontal.
Asíntota horizontaly = 0
74
Ejemplo 5: Calcular las asíntotas horizontales
5
6
975
536lim
2
2
xx
xxx
975
5362
2
xx
xxxg
El grado del numerador (2) es igual al grado del denominador (2), luego la recta y = 6/5 es una asíntota horizontal.
La recta y = 6/5 es la asíntota horizontal.
Asíntota horizontaly = 6/5
75
Ejemplo 6: Calcular las asíntotas horizontales
1
9522
3
x
xxxf
No tiene asíntotas horizontales porque el grado del numerador es mayor que el grado del denominador.
76
Asíntotas oblicuas
• Las asíntotas oblicuas aparecen cuando el grado del numerador es exactamente una unidad mayor que el grado del denominador.
77
Ejemplo 7: Calcular las asíntotas oblicuas
1
9522
23
xx
xxxxf
Tiene una asíntota oblicua porque el grado del numerador (3) es uno más que el grado del denominador (2).
1952
lim)(
lim23
23
xxx
xxx
x
xfxx
31
943lim))((lim
2
2
xx
xxxxf
xx
La recta y = x + 3 es asíntota oblicua
Asíntota oblicuay = x + 3
78
Calcula las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de las funciones:
2
2
2 15
7 10
x xf x
x x
Vertical: x = -2Horizontal : y = 1Oblicua: no tiene
22 5 7
3
x xg x
x
Vertical: x = 3Horizontal : no tieneOblicua: y = 2x +11
Ejercicios:
79