coaxial cable losses

7/23/2019 Coaxial Cable Losses

http://slidepdf.com/reader/full/coaxial-cable-losses 1/20

εωρία και Εφαρμογές

Μικροκυμάτων

Υπολογισμός της μεταδιδόμενης ισχύος, ωμικών απωλειών και

του συντελεστή ωμικών απωλειών σε ομοαξονικό κυματοδηγό για

τυχαίο ρυθμό ΤΕ καθώς και των αντίστοιχων γραφικών

παραστάσεων για τη μεταβολή αυτών με τη συχνότητα λειτουργίας

και ανάπτυξη της αντίστοιχης εφαρμογής σε Matlab.

ΑΝΔΡΕΑΣ ΦΩΤΕΑΣ 2014118



1

Π ρι χόμ ν

1. Εξισώσεις Maxwell ................................................................................................................................................. 2

2. Ρυθμός TE ................................................................................................................................................................. 4

3. Συνοριακές Συνθήκες ........................................................................................................................................... 6

4. Μεταδιδόμενη Ισχύς και ωμικές απώλειες ................................................................................................. 6

5. Υλοποίηση Σε Μatlab ........................................................................................................................................... 8

6. Γραφικές Παραστάσεις ....................................................................................................................................... 9

7. Σχολιασμός Αποτελεσμάτων ......................................................................................................................... 17

8. Βιβλιογραφία ........................................................................................................................................................ 19



2

1. Εξισώσεις Maxwell

Θεωρούμε αρμονικά στον χρόνο πεδία με εξάρτηση και διάδοση κατά μήκος του z-άξονα. Το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο μπορεί να γραφεί:

,, , − (1)

,, ℎ , −

(2)

Ως κυματοδηγός χρησιμοποιείται ομοαξονικό καλώδιο, όπως φαίνεται στο σχήμα, όπου

η μικρή του ακτίνα είναι α και η μεγάλη είναι b. Θεωρείται ότι στο εσωτερικό του υπάρχει κενό,

συνεπώς δεν υπάρχουν πηγές φορτίου.

Για περιοχές χωρίς πηγές οι εξισώσεις Maxwell γράφονται:

∇ ×

(3)

∇ ×

(4)

Οι τρεις συνιστώσες μπορούν να εκφραστούν στις ακόλουθες σχέσεις: 1 +

(5)

1 +

(6)



3

(7)

(8)

1 () (9)

1 () (10)

Οι εξισώσεις (7), (8), (9) και (10) μπορούν να λυθούν για τα εγκάρσιες συνιστώσες

συναρτήσει των και προκύπτοντας οι παρακάτω σχέσεις:

1 + (11)

1 (12)

1 +

(13)

1 + (14)

Για τις παραπάνω εξισώσεις ισχύει + και ορίζεται ως κυματικός αριθμός

αποκοπής. To ορίζεται ως √ 2/ και είναι ο κυματικός αριθμός του υλικού που

βρίσκεται την περιοχή του κυματοδηγού. Στην περίπτωσή μας υλικό είναι το κενό, οπότε

ορίζεται: /

Από τις εξισώσεις Maxwell προκύπτει και η ακόλουθη κυματική εξίσωση:

[∇ρ,φ + ] , , 00

(15)



4

2. Ρυθμός TE

Τα εγκάρσια ηλεκτρικά, TE (transverse electric), κύματα χαρακτηρίζονται από τηνιδιότητα 0 και ≠ 0. Άρα η είναι η λύση στην κυματική εξίσωση,

∇ρ,φ + 0 (16)

Για να έχουμε διάδοση πρέπει η σταθερά διάδοσης να είναι μιγαδικός αριθμός, δηλαδή . Τότε ,, ℎ, − και η σχέση (16) σε κυλινδρικές συντεταγμένες μπορεί να

εκφραστεί:

+ 1 + 1 + ℎ, 0 (17)

Εφαρμόζουμε την μέθοδο χωριζομένων μεταβλητών, έστω ℎ, , καιαντικαθιστώντας προκύπτει:

1 + 1 + 1 + 0, (18)

ή

+ + 1 (19)

Το αριστερό μέρος της συνάρτησης (19) εξαρτάται μόνο από το ρ, ενώ το δεξί εξαρτάται

μόνο από το φ. Συνεπώς, κάθε πλευρά πρέπει να είναι ίση με μια σταθερά, που θα την

ονομάσουμε . Τότε:

1 ή

+ 0 (20)

Επίσης,

+ + ( ) 0 (21)



5

Η γενική λύση της εξίσωσης (20) είναι:

sin()+cos() (22)

Επειδή η λύση της ℎ πρέπει να είναι περιοδική στην φ διάσταση, η σταθερά πρέπεινα είναι ένας ακέραιος . Έτσι η σχέση (22) γίνεται:

s i n + co s (23)

και η (21) γίνεται:

+ + 0 (24)

που αναγνωρίζεται ως διαφορική συνάρτηση Bessel. Η λύση είναι :

+ (25)

όπου οι και είναι συναρτήσεις Bessel πρώτου και δευτέρου είδους αντίστοιχα. Το

γεγονός ότι απειρίζεται η για 0 δεν μας επηρεάζει καθώς στο ομοαξονικό δεν

ορίζεται ακτίνα μικρότερη από . Η λύση τελικά είναι:

,, sin + co s( + )− (26)

Στην εξίσωση (26) οι σταθερές Α , Β , C , D και ο κυματάρυθμος αποκοπής

καθορίζονται από την εφαρμογή των συνοριακών συνθηκών. Από τις σχέσεις (11), (12), (13), (14)

εφόσον 0 και προκύπτουν:

, sin( + ) (27)

, sin( + )

(28)

, + co s( + ) (29)

, + co s( + ) (30)



6

3. Συνοριακές Συνθήκες

Οι συνοριακές συνθήκες είναι ,, 0 για , . Εφαρμόζοντας τις συνοριακέςσυνθήκες στη σχέση (29) προκύπτει:

+ 0

+ 0 (31)

Η μόνη μη τετριμμένη λύση ( ≠ 0 , ≠ 0) προκύπτει όταν η ορίζουσα του συστήματος

είναι μηδενική. Δηλαδή:

(32)

Αυτή είναι η χαρακτηριστική εξίσωση για το και είναι μια υπερβατική εξίσωση, οπότε

για την επίλυσή της χρειάζεται αριθμητική μέθοδος . Για κάθε μία τιμή προκύπτουν ρίζες της

εξίσωσης (32), οπότε μπορούμε να αντικαταστήσουμε τον κυματάρυθμο με . Από τις

εξισώσεις (31) προκύπτει συσχέτιση των σταθερών C και D. Ορίζουμε:

(33)

4. Μεταδιδόμενη Ισχύς και ωμικές απώλειες

Έχοντας υπολογίσει τις λύσεις των πεδίων, μπορούμε να υπολογίσουμε την ισχύ που

διαδίδεται διαμήκους του κυματοδηγού καθώς και τις απώλειες της μετάδοσης. Η συνολική

ισχύς που μεταφέρεται από τα πεδία κατά μήκος του αγωγού υπολογίζεται ολοκληρώνοντας

την z-συνιστώσα του διανύσματος Pointing πάνω στην περιοχή της εγκάρσιας διατομής του

κυματοδηγού. Συνεπώς :

12 {∫ ∫ ( × ∗)=

= }

12 {∫ ∫ (∗ ∗)=

= } (34)



7

Κάνοντας χρήση των σχέσεων (27), (28), (29) και (30) καθώς και της σχέσης που

προκύπτει μεταξύ των και από τη σχέση (33), καταλήγουμε:

24 ∫ + =

+ +

(35)

Μονάδες μέτρησης της διαδιδόμενης ισχύος είναι Watt και είναι μη μηδενική μόνο όταν

το είναι πραγματικός αριθμός, αφού έχουμε κάνει την παραδοχή ότι έχουμε διάδοση. Για την

σταθερά ’ ισχύει: + . Θεωρούμε ότι η πηγή εκπέμπει ισχύ ίση με 1 Watt, οπότε η

σταθερά

’ υπολογίζεται ανάλογα για κάθε τιμή των ω και

.

Οι ωμικές απώλειες ανά μονάδα επιφανείας υπολογίζονται με τον ακόλουθο τρόπο.

12

(36)

όπου είναι η επιφανειακή αντίσταση του αγωγού με και το επιφανειακό ρεύμα

με

× όπου

το κάθετο στην επιφάνεια μοναδιαίο διάνυσμα με κατεύθυνση προς το

εξωτερικό της επιφάνειας. Στο ομοαξονικό καλώδιο έχουμε απώλειες τόσο στον εξωτερικό όσο

και στον εσωτερικό αγωγό. Για να υπολογίσουμε τις απώλειες ανά μονάδα μήκους χρειάζεται να

πάρουμε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα στον εσωτερικό και εξωτερικό αγωγό. Συνεπώς:

∮ 12 + ∮ 12

(37)

και

× + ⇒ + ||

(38)



8

Τελικά:

2 {∫ + ||

= + ∫ + ||

= } 2 2 4 + +

+ 4 + (39)

Η σταθερά ′ είναι ίδια με αυτή της μεταδιδόμενης ισχύος.

Στη συνέχεια μπορεί να υπολογιστεί η σταθερά απόσβεσης ή συντελεστής ωμικών

απωλειών, δηλαδή το πραγματικό μέρος της μιγαδικής σταθεράς διάδοσης . 2 (40)

Και μετριέται σε μονάδες Νp/m. Δίνεται ότι 1 l 8.68588963

5. Υλοποίηση Σε Μatlab

Για την προσομοίωση χρησιμοποιήθηκε το πρόγραμμα Matlab, έκδοση R2013b.

Θεωρούμε ότι έχουμε ομοαξονικό κυματοδηγό που τα τοιχώματά του είναι από χαλκό με

αγωγιμότητα 5 . 8 × 1 07/ και στο εσωτερικό του δεν υπάρχει διηλεκτρικό.

Θεωρούμε ότι αρχικά στον κυματοδηγό προσφέρεται ισχύς 1Watt. Η προσομοίωση γίνεται για

3 διαφορετικούς κυματοδηγούς με διαστάσεις =1,5 για τον εσωτερικό αγωγό και για τον

εξωτερικό αγωγό =1,5 στον πρώτο κυματοδηγό =2,5

στον δεύτερο και =3,5 στον τρίτο.

Αρχικά, υπολογίζουμε τις ρίζες της εξίσωσης

απ’ όπου

προκύπτουν οι ρυθμοί λειτουργίας και οι συχνότητες αποκοπής. Για την εύρεση των ριζών

κατασκευάστηκαν 2 συναρτήσεις οι rooter() και η r_find(). Στην πρώτη συνάρτηση βάζεις σανόρισμα την συνάρτηση, την αρχική τιμή, την τελική τιμή και το βήμα με το οποίο θα ψάξει η

συνάρτηση για ρίζες. Αυτή όταν σε ένα διάστημά της βρει ότι υπάρχει ρίζα θεωρώντας ότι σε

αυτό το διάστημα δεν υπάρχει άλλη ρίζα καλείται η r_find() όπου με μεγάλη ακρίβεια βρίσκει την

τιμή της ρίζας. Έπειτα βρίσκονται οι ρίζες με χρήση της συνάρτησης roots(). Για κάθε μία από τις

πρώτες 10 τιμές του δείκτη αποθηκεύονται σε πίνακα οι 10 πρώτες τιμές του κυματάρυθμου . Αυτοί οι πίνακες ενώνονται σε έναν πίνακα 100 στοιχείων ο οποίος στη συνέχεια



9

ταξινομείται και επιλέγονται τα 10 πρώτα στοιχεία του. Έτσι προκύπτουν οι 10 πρώτοι ρυθμοί

με τους αντίστοιχους κυματικούς αριθμούς αποκοπής,

Για τον υπολογισμό της μεταδιδόμενης ισχύος (σχέση 35) και για τον υπολογισμό των

απωλειών ανά μονάδα επιφάνειας (σχέση 39) γίνεται χρήση έτοιμων συναρτήσεων του Matlab

όπως, besselj(), bessely(), real(), integral(). Για την προσομοίωση χρησιμοποιούμε το εύρος

συχνοτήτων από 0 έως 40 GHz, με βήμα 10 MHz, οπότε προκύπτει πίνακας 4000 στοιχείων. Για

αυτές τις συχνότητες υπολογίζονται απώλειες ανά μονάδα μήκους σε Watt/m και dB/m, ο

συντελεστής απωλειών σε dB/m καθώς και η διασπορά του κάθε ρυθμού.

Οι 10 πρώτοι ρυθμοί λειτουργίας και οι συχνότητες αποκοπής τους για τους τρείς

κυματοδηγούς φαίνονται στον επόμενο πίνακα:

a = 1.5cm b = 2.25cm a = 1.5cm b = 3.75cm a = 1.5cm b = 5.25cm

f11 = 2.5609Ghz f11 = 1.8599Ghz f11 = 1.454Ghz

f21 = 5.1151Ghz f21 = 3.6166Ghz f21 = 2.7099Ghz

f31 = 7.6559Ghz f31 = 5.2271Ghz f31 = 3.8035Ghz

f41 = 10.177Ghz f41 = 6.7207Ghz f01 = 4.2051Ghz

f51 = 12.674Ghz f01 = 6.8595Ghz f12 = 4.6265Ghz

f61 = 15.140Ghz f12 = 7.2004Ghz f41 = 4.8298Ghz

f71 = 17.575Ghz f51 = 8.1471Ghz f22 = 5.7156Ghz

f81 = 19.977Ghz f22 = 8.1635Ghz f51 = 5.8301Ghz

f01 = 20.109Ghz f61 = 9.5389Ghz f61 = 6.8173Ghz

f12 = 20.283Ghz f32 = 9.5876Ghz f32 = 7.0568Ghz

Τέλος, κατασκευάζονται οι γραφικές παραστάσεις για τις απώλειες ανά μονάδα μήκους,

για τον συντελεστή απωλειών και για την διασπορά του κάθε ρυθμού. Για καλύτερη κατανόηση

της επίδρασης των διαστάσεων του κυματοδηγού εμφανίζονται σε ένα διάγραμμα οι απώλειες

σε dB ανά μέτρο για 3 κοινούς ρυθμούς και στις 3 διαστάσεις.

6.

Γραφικές Παραστάσεις

Στις επόμενες σελίδες παρουσιάζονται τα διαγράμματα που προέκυψαν με χρήση της

συνάρτησης plot() του Matlab :



10

Διαστάσεις κυματοδηγού a = 1.5cm και b = 2.25cm:



11




12




13




14




15




16

Συγκεντρωτικό διάγραμμα:



17

7. Σχολιασμός Αποτελεσμάτων

Στο παραπάνω σχήμα παρατηρούμε την μορφή του ηλεκτρικού πεδίου για διάφορους

ρυθμούς.

Με βάση τα διαγράμματα προκύπτουν οι ακόλουθες παρατηρήσεις:

Όσο μεγαλύτερος είναι ο λόγος / τόσο μικρότερη είναι η πρώτη συχνότητα αποκοπής.

Αυτό είναι λογικό αφού ποιοτικά όπως βλέπουμε και στο παραπάνω σχήμα η διαφορά b-a

για ρυθμούς με m=1 είναι συγκρίσιμη με το μισό μήκος κύματος (εξάρτηση από το ). Άρα

όσο μεγαλύτερη είναι η απόσταση των 2 αγωγών τόσο μεγαλύτερο είναι και το μέγιστο

επιτρεπτό μήκος κύματος δηλαδή η ελάχιστη επιτρεπτή συχνότητα.

Όσο μεγαλύτερος είναι ο λόγος

/ τόσο πιο κοντά είναι μεταξύ τους οι συχνότητες

αποκοπής του κάθε ρυθμού. Η εξήγηση είναι παρόμοια με πριν μόνο που τώρα παίζει ρόλοη εξωτερική περίμετρος. Η περίμετρος αυξάνεται πιο γρήγορα ( από την ακτίνα ( )

Όσο αυξάνει το m του ρυθμού χρειάζεται μεγαλύτερη περίμετρο για να μπορέσει να

σχηματιστεί η μορφή του εκάστοτε ρυθμού (εξάρτηση από ). Άρα για μικρό λόγο b/a η

εξάρτηση από το είναι πιο έντονη από αυτή του και επηρεάζει την συχνότητα

αποκοπής πιο έντονα. Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι οι ρυθμοί , , 4 όπου για

τον μικρό λόγο / o 4 έχει διπλάσια συχνότητα αποκοπής από τον ενώ για τον

μεγάλο λόγο / η διαφορά είναι σχεδόν αμελητέα



18

Όσο μεγαλύτερος είναι ο λόγος / τόσο μικρότερες είναι οι απώλειες. Αυτό είναι λογικό

μιας και οι απώλειες εξαρτώνται από την επιφάνεια του αγωγού ( μόνο ωμικές απώλειες).

Ποιοτικά, η ισχύς που μεταφέρεται από το καλώδιο είναι ανάλογη του τετραγώνου της

εξωτερικής ακτίνας (αν η εσωτερική διατηρείται σταθερή), αφού είναι ανάλογη τηςεπιφάνειας μεταξύ των αγωγών, ενώ οι απώλειες είναι ανάλογες της ακτίνας μιας και η

περίμετρος είναι ανάλογη με την ακτίνα. Άρα όσο αυξάνουμε τον λόγο / η μεταφερόμενη

ισχύς αυξάνεται πιο γρήγορα από τις απώλειες, με αποτέλεσμα να φαίνεται ότι έχουμε

περισσότερες απώλειες για μικρό λόγο / μιας και έχουμε κανονικοποιήσει την ισχύ.

Παρατηρείται πιο έντονη διασπορά για μικρούς λόγους /. Η εξήγηση είναι η ίδια με τις 2

πρώτες παρατηρήσεις μιας και η διασπορά εξαρτάται άμεσα με την συχνότητα αποκοπής.



8. Βιβλιογραφία

• Ιωάννης Τίγκελης, Θεωρία και Εφαρμογές Μικροκυμάτων (Σημειώσεις Μαθήματος)

• David M. Pozar, Microwave Engineering

• Sophocles J.Orfanidis, Electromagnetic Waves and Antennas

• Stephen F.Adam, Microwave Theory and Applications

• Kenneth L.Kaiser, Electromagnetic Compatibility Handbook

coaxial cable losses

Documents