colegio universitario boston geometría - matemáticas · b c 8 6 h a b c h b a ... circulo: el...

Colegio Universitario Boston Geometría

342

Geometría


343

Geometría

Conceptos Básicos

Triángulo:

Se define como la figura geométrica plana, cerrada de tres lados.

Triángulo equilátero:

Es el triángulo que tiene sus tres lados iguales y sus tres ángulos

internos iguales, donde cada uno de sus ángulos mide 60º.

Triángulo isósceles:

Es el triángulo que tiene dos lados y dos ángulos de igual medida y

cuyos lados opuestos a los ángulos de igual medida son congruentes.

Triángulo escaleno:

Es el triángulo que tiene sus tres lados de diferente medida.

La suma de los ángulos internos de cualquier triangulo es igual a

180º.

Ángulo agudo:

Es el ángulo que mide menos de 90º

Ángulo recto:

Es el ángulo que mide exactamente 90º

Ángulo obtuso:

Es el ángulo que mide más de 90º pero menos de 180º

Ángulo llano:

Es el ángulo que mide exactamente 180º


344

A

B C

8

6

h

A

B C

h

b

a

Teorema de Pitágoras

Dado un triángulo rectángulo:

“El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los

catetos”

Para observar la aplicación de este teorema veamos los siguientes ejemplos.

Ejemplo.

De acuerdo con los datos de la grafica, calcule el valor de la hipotenusa.

Aplicando el teorema de Pitágoras tenemos

que:

Planteamos lo que dice el teorema.

Resolvemos las potencias dadas.

Sumamos los números.

Para despejar la h aplicamos raíz

cuadrada al resultado de la suma.

Y finalmente este es el valor de la

hipotenusa.

Por lo tanto la hipotenusa es


345

45

45

x

xx 2

A

B C

30

60

x

2

x 3

2

x

A

B C

30

60

30

CB

A

El teorema de Pitágoras posee un reciproco, el cual es usado para el cálculo

de de la medida de cualquiera de los catetos de un triángulo rectángulo. Este

resultado se muestra a continuación:

Para calcular el cateto a se aplicaría:

Para calcular el cateto b se aplicaría:

Triángulos Especiales

Existen dos triángulos rectángulos que se consideran especiales puesto que sus

medidas mantienen una forma a pesar que estas sean aumentadas o

disminuidas. Estos son conocidos como el triángulo semiequilátero o 30 – 60

y el triángulo rectángulo isósceles o 45 – 45.

Ejemplos

1. De acuerdo con los datos de la figura calcule el valor de y :


346

7

45

45

CB

A

6

60

30

CB

A


En ocasiones averiguar las medidas de los lados de un triangulo especial

requiere de que apliquemos ecuaciones como lo haremos en el siguiente

ejemplo, esto lo aplicamos cuando nos dan como información el lado que está

compuesto por la :


Entonces hasta este punto podemos afirmar que por las definición

del triangulo especial. Ahora retomando la ecuación podemos determinar el

valor de

Por lo tanto el valor de .

De forma similar se puede trabajar para el triangulo especial isósceles.


347

Área y Perímetro de figuras básicas planas

Cuadrado

Área : 2lA

Perímetro: lP 4

l

l

Rectángulo

Área : alA

Perímetro: laP 22

l

a Rombo

Área : 2

dDA

Perímetro: lP 4

D

d

l

Trapecio

Área : 2

hbBA

Perímetro: cabBP

b

c

B

ah

Triángulo

Área : 2

hbA

Perímetro: lados lossumar P

b

h h

b

Triángulo

Formula de Heron

Nota: esta formula se aplica cuando

NO se tiene la altura del triángulo.

Semi-perimetro : 2

cabS

Área : csbsassA

c

b

a


348

Círculo y Circunferencia

Circunferencia: Dado un punto fijo llamado centro, el conjunto de puntos coplanares que se

encuentran a la misma distancia de éste, forman una curva cerrada llamada

circunferencia.

Circulo: El conjunto de puntos que forman la circunferencia unidos con todos los

puntos del plano que ésta encierra, se llama círculo.

Nota: toda circunferencia mide 360º

Elementos de la circunferencia.

Radio:

Es segmento de recta que une el centro con cualquier punto de la

circunferencia .

r =radio


349

Cuerda:

Es segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia.

B

AB =cuerdaA

Diámetro:

Es la cuerda que pasa por el centro. Divide a la circunferencia en dos partes

iguales de 180º.

d =diametro

Tangente:

Es la recta que corta a la circunferencia en un único punto.

A

K = tangente

K

Secante: Es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos.

A

B

m= secante

m


350

Arco: Es una porción de la circunferencia definida entre dos puntos.

A

AC= arco

C

Relaciones en la circunferencia

Definiremos varios resultados que nos permitirán realizar de manera mas

sencilla los ejercicios planteados.

Teorema 1. En una misma circunferencia o en circunferencias congruentes

dos cuerdas congruentes equidistan del centro.

C

O

A B

D

F

E

Teorema 2. Toda recta tangente a la circunferencia es perpendicular al

radio trazado por el punto de tangencia.

O

B

A

C

DFAB Entonces

COEO

OC = radio

AC = tangente

Entonces

ABOC


351

Teorema 3. Si un radio de una circunferencia interseca a una cuerda en su

punto medio, entonces el radio y la cuerda son perpendiculares.

E

O

A B

D

Teorema 4. En una circunferencia si dos cuerdas son congruentes entonces

los arcos que comprenden también son congruentes.

C

O

A

BD

Teorema 5. Las dos tangentes a una circunferencia desde un punto exterior

N, forman con los radios trazados desde el punto de tangencia, y la recta que

une al punto exterior y al centro, dos triángulos congruentes.

O

P

N

M

Teorema 6. En una circunferencia, si dos cuerdas son paralelas, entonces

los arcos comprendidos entre dichas cuerdas son congruentes.

O

A B

D C

EBAE Entonces

ODAB

DCAB Entonces

DCAB

DCllAB entonces

BCAD


352

Ángulos en la circunferencia

Ángulo Central: Está formado por dos radios y su vértice es el centro de la circunferencia. Su

medida es igual al arco que él comprende.

ABmAOBm

O

A

B

Ángulo Inscrito: Está formado por dos cuerdas y su vértice es un punto cualquiera de la

circunferencia.

Su medida es la mitad de la medida del arco que el comprende.

2

NPmNMPm

O

P

M

N

Ángulo Semi-inscrito: Está formado por una cuerda y una tangente, además su vértice es un punto

cualquiera de la circunferencia.

Su medida es la mitad de la medida del arco que el comprende.

2

EFmDEFm

D

O

E

F


353

Ángulo Circunscrito: Está formado por dos rectas tangentes y su vértice

es un punto exterior a la circunferencia.

Su medida es la mitad de la diferencia del arco mayor y arco menor que el

comprende.

2

BCCEBmCABm

C

OE A

B

Relación entre dos circunferencias.

Circunferencias exteriores La distancia D, entre sus centros es mayor que la suma de sus radios.

rRD

DrR

O O1

Circunferencias Tangentes exteriormente La distancia D, entre sus centros es igual que la suma de sus radios.

rRD

D

rR

O O1


354

Circunferencias Tangentes interiormente La distancia D, entre sus centros es igual a la diferencia de sus radios.

rRD

D r

R

O O1

Circunferencias interiores La distancia D, entre sus centros es menor a la diferencia de sus radios.

rRD

D

r

R

O O1

Circunferencias Secantes La distancia D, entre sus centros es menor que la suma de sus radios y mayor

que la diferencia.

rRDrR

D

rR

O O1


355

Circunferencias Concéntricas La distancia D, entre sus centros es igual a cero.

0D

r R

D

OO1

Práctica

1. Si en la circunferencia de centro O, OC =20 y AB = 32 ¿cuál es la medida

de EC?

A) 414

B) 12

C) 10

D) 8

2. En una circunferencia de diámetro 20cm, si la distancia de una cuerda al

centro es de 6cm, ¿cuál es la medida de la cuerda?

A) 8cm

B) 12cm

C) 16cm

D) 10cm

3. De acuerdo con los datos de la figura. ¿Cuál es la medida del arco ABC?

A) 90

B) 76

C) 180

D) 104

P: centro del círculo.


356

4. De acuerdo con los datos de la figura, si AB es tangente a la circunferencia

en B, la media del arco que subtiende, el ángulo seminscrito representado es

A) 20

B) 40

C) 80

D) 160

O: centro del círculo.

5. De acuerdo con los datos de la figura, el valor de corresponde a

A) 15

B) 30

C) 75

D) 150

6. De acuerdo con los datos de la figura, el valor de corresponde a

A) 168

B) 84

C) 54

D) 24

7. De acuerdo con los datos de la figura, si AB es diámetro y BC=30° entonces

la medida de DOB

A) 60°

B) 90°

C) 120°

D) 150°



357

8. De acuerdo con los datos de la figura, la medida de BAO es

A) 20°

B) 40°

C) 70°

D) 120°


9. De acuerdo con los datos de la figura, si AB y AC son congruentes y la

medida del arco BMD es 70° ¿cuál es la medida del ángulo ABD?

A) 23°

B) 32°

C) 46°

D) 58°


10. De acuerdo con los datos de la figura, si m AOC=96°, entonces ¿cuál es

la medida del ABC?

A) 84°

B) 132°

C) 168°

D) 264°


11. De acuerdo con los datos de la figura, la medida de corresponde a

A) 140°

B) 130°

C) 100°

D) 25°



358

12. De acuerdo con los datos de la figura, la medida del arco corresponde a

A) 40°

B) 50°

C) 80°

D) 100°


13. En la figura XY es tangente en B a la circunferencia de centro O, entonces

ROS mide

A) 30°

B) 90°

C) 60°

D) 120°


14. De acuerdo con la figura adjunta en la que BK es tangente a la

circunferencia en K, el valor de es

A) 170°

B) 120°

C) 85°

D) 60°

15. De acuerdo con la figura en la que BC es tangente a la circunferencia en B

¿cuál es el valor de ?

A) 58°

B) 32°

C) 29°

D) 26°


359

16. De acuerdo con los datos de la figura, si CD es un diámetro y la medida

del arco (menor) DB es la mitad de la medida del arco (menor) AC, entonces

m COB es

A) 170°

B) 140°

C) 120°

D) 160°


17. De acuerdo con los datos de la circunferencia de centro O con certeza se

cumple que

A) m ABE = M ACE

B) m ACE = M ADE

C) m ABE = M BEC

D) m CAD= M BEC


18. De acuerdo con los datos de la figura, si AB es tangente a la circunferencia

de centro O y DC es un diámetro, entonces ¿cuál es la medida del BCD?

A) 10°

B) 75°

C) 120°

D) 300°


19. De acuerdo la figura, si MO=NO y m ABO=42°, la medida del arco

menor DC es

A) 48°

B) 84°

C) 96°

D) 21°


360

20. Considere la siguiente figura.


De acuerdo con los datos de la figura, si AM=MD, la medida de ADB es

A) 42°

B) 60°

C) 48°

D) 96°

21. En una circunferencia, la longitud de una cuerda es 10. Si la distancia de

esa cuerda al centro de la circunferencia es 4, entonces ¿Cuál es la longitud del

radio

A) 292

B) 41

C) 9

D) 3

22. De acuerdo con los datos de la figura, si DC es tangente al círculo en C,

AB es un diámetro y m DCB=116° entonces ¿cuál es la medida de EAC?

A) 32°

B) 74°

C) 148°

D) 190°


361

23. De acuerdo con los datos de la figura, si CD es tangente a la circunferencia

en el punto C, entonces la medida del arco (menor) AB es

A) 56°

B) 86°

C) 43°

D) 60°

24. De acuerdo con los datos de la circunferencia de centro O, ¿cuál es la

medida del arco (menor) AM?

A) 65°

B) 70°

C) 40°

D) 80°

25. De acuerdo con los datos de la figura, si AB=12 y AC = 54 , entonces la

distancia de AC al centro O del círculo es

A) 4

B) 52

C) 58

D) 142

26. Si BD=50º y los círculos con centros en O y O1 son tangentes, entonces la

medida de m CAE es

A) 25°

B) 40°

C) 50°

D) 100°


362

27. Si dos circunferencias tangentes interiormente tienen diámetros cuyas

medidas son 12 y 8, respectivamente, entonces la medida del segmento de

recta que une los centros de las circunferencias es

A) 2

B) 4

C) 10

D) 20

28. De acuerdo con los datos de la figura; si R y S son puntos de tangencia,

entonces m RMS

A) 100°

B) 160°

C) 260°

D) 280°

29. De acuerdo con los datos de la figura, si m CD=118º y m BOC=106º,

entonces, ¿cuál es la medida del BOD?

A) 22°

B) 44°

C) 68°

D) 136°

30. De acuerdo con los datos de la figura, si AB y AC son dos cuerdas

congruentes de la circunferencia de centro P, AM =MP y AC=8, entonces la

medida del diámetro de la circunferencia corresponde a

A) 8

B) 16

C) 24

D) 28


363

31. Si AM es tangente a la circunferencia en M, m AMB=60º y MB= 18 ,

entonces la medida del radio es

A) 6

B) 2

6

C) 62

D) 2

18

32. De acuerdo con los datos de la figura, Si AB║DC , m AB=108º y m

DC=68º, entonces la m DEC es

A) 46°

B) 68°

C) 88°

D) 92°

33. De acuerdo con los datos de la figura, si BC es tangente a la circunferencia

en B, m AB=96º, entonces m ABO es

A) 42°

B) 45°

C) 48°

D) 84°


34. En un mismo plano, la distancia entre los centros de dos circunferencias es

10. Si R representa la medida del radio de una de ellas y 10-R representa la

medida del radio de la otra, entonces se cumple que las circunferencias son

A) secantes.

B) concéntricas.

C) tangentes interiormente.

D) tangentes exteriormente.

A-E-C B-E-D


364

C

E

B

D

AO

DC

BA

O

35. En la circunferencia dada, AM y MB son cuerdas equidistantes del centro,

m AMB=60º y AB= 62 ¿cuál es la medida del radio?

A) 2

B) 6

C) 22

D) 62

36. Si AC y AB son rectas tangentes a la circunferencia en C y B,

respectivamente, AC AB y la medida del diámetro es 12, entonces BC es

igual a

A) 6

B) 12

C) 26

D) 224

37. De acuerdo con los datos de la figura, si es perpendicular a la cuerda

. Si , entonces la medida en grados del es:

A)

B)

C)

D)

38. De acuerdo con los datos de la figura, es un diámetro y

, entonces el valor en grados del es:

A)

B)

C)

D)


365

B

C

A

3x

4x

2x

O

C

E

D

O

B

A

39. De acuerdo con los datos de la figura, la medida del ángulo es de:

A)

B)

C)

D)

40. Según la siguiente figura

O: centro de la circunferencia

Si se cumple que, CEOD y ambos miden 8cm, entonces la distancia del

centro de la circunferencia a la cuerda CE en centímetros corresponde a

A)

B)

C)

D)

41. Si dos circunferencias exteriores tienen radios de 12cm y 15cm, y entre

ellas hay una distancia de 5cm, la longitud del segmento que une los centros

corresponde a

A) 3cm

B) 22cm

C) 27cm

D) 32cm


366

16cm24cm

A B

42. Considere la siguiente figura

A y B son los centros.

De acuerdo con los datos de la figura la distancia entre A y B corresponde a

A) 0cm

B) 8cm

C) 40cm

D) 48cm

43. Si dos circunferencias son tangentes interiores cuyos radios corresponden

a 17cm y 14cm, entonces la distancia que hay entre los centros corresponde a

A). 0cm

B) 3cm

C) 12cm

D) 31cm


367

16cm

5cm

8cmx

B

F

DA

C

E

C

E

D

O

B

A


Si AC y AB CB, , son tangentes a la circunferencia en los puntos E, D y F

respectivamente, entonces el valor de x corresponde a

A). 3cm

B) 8cm

C) 11cm

D) 16cm


O: centro de la circunferencia

Si se cumple que, CEOD y ambos miden 16cm, entonces la distancia del

centro de la circunferencia a la cuerda CE corresponde a

A) cm4

B) cm34

C) cm8

D) cm38


368

AO

C

B

CO

A

B

46. Según los datos de la siguiente figura

O: Centro de la

circunferencia

Si se cumple que º40CABm , AC y AB son segmentos tangentes a la

circunferencia, entonces COAmide

A) 20º

B) 70º

C) 90º

D) 140º

47. Si tenemos que la distancia de los centros de dos circunferencias es 20cm

y los radios corresponden a 12cm y 10cm respectivamente, según la posición

de estas circunferencias se clasifican en

A) tangentes interiores

B) tangentes exteriores

C) secantes

D) concéntricas

48. Según los datos de la siguiente figura

cmOA 12

cmCB 8

O: Centro de la circunferencia

Si se cumple que AB es tangente a la circunferencia, entonces AB mide

A. cm12

B. cm312

C. 16cm

D. cm54


369

AO

C

B

mDB=80º

mBC=220ºD

O

C

A

B

49. En una circunferencia se tiene un ángulo central de 80º, entonces la

medida del arco que lo subtiende corresponde a

A) 20º

B) 40º

C) 80º

D. 160º


Si O es el centro de la circunferencia, entonces la ABCm corresponde a

A) 45º

B) 90º

C) 180º

D) 360º


El valor de corresponde a

A) 60º

B) 80º

C) 150º

D) 160º


370

45º

B

O

D

A

C

A

E

C

D

B

A

E

D

C

B


El valor de corresponde a A) 45º

B) 90º

C) 135º

D) 180º

53. En la figura, tenemos que: .¿Cuánto

mide el arco menor ?

A) 80° B) 90° C) 100°

D) 120°

54. En la figura, considérese que:

. ¿Cuánto mide el ángulo <

BAD ?

A ) 30° B) 43°

C) 45°

D) 86°


371

Áreas en el círculo.

A continuación les brindaremos las formulas para calcular áreas en el círculo.

r

Circunferencia

rLc 2

Círculo 2rA

Anillo o Corona Circular 22 rRA

r

O

B

A

Sector Circular

360

2 o

sc

nrA

r

O

B

A

Longitud de arco AB

180

o

arco

nrL

r

O

B

A

Segmento Circular

2360

2 hbnrA

o

sgc


372

Práctica. 55. En la figura AC y BD son diámetros de la circunferencia de centro O,

AC = 8, entonces el área total de las regiones destacadas en gris es

A) 388

B) 3816

C) 31616

D) 33264


56. De acuerdo con los datos de la figura, AB=16cm, entonces el área en

centímetros cuadrados de la región destacada es

A) 12864

B) 64256

C) 6464

D) 3264


57. En la figura ABCD es un cuadrado inscrito en una circunferencia de

diámetro 10cm, entonces, el área en metros cuadrados en la región destacada

en gris corresponde a

A) 50100

B) 5025

C) 5025

D) 5010

58. De acuerdo con las datos de la figura, OA es un radio del círculo de centro

O y un diámetro del circulo de centro B. Si OA=10cm. ¿Cuál es el área de la

región destaca con gris?

A) 300

B) 75

C) 20

D) 10 O: centro del círculo.


373

59. El área de un anillo circular determinado por dos circunferencias

concéntricas cuyos diámetros son 4

5 y

2

1 respectivamente es

A) 2

4

3cm

B) 2

2

3cm

C) 2

64

21cm

D) 2

16

21cm

60. De acuerdo con los datos de la figura, formada por un rombo y una

circunferencia donde el radio del círculo es 4, la diagonal AB mide el doble de

lo que mide la otra diagonal, ¿cuál es el área total de las regiones destacadas

en gris?

A) 328

B) 1616

C) 3216

D) 1664


61. De acuerdo con los datos de la figura, CB mide 12cm y la medida del

AOB=50º, el área sombreada corresponde a

A) 5

B) 3

5

C) 10

D) 8



374

62. ¿Cuál es el área de un sector circular determinado por un ángulo central de

80º en un círculo de radio 6?

A) 16

B) 3

4

C) 3

8

D) 8

63. ¿Cuál es el área de la región determinada por un ángulo central de medida

3 en una circunferencia de radio 6?

A) 6

B) 12

C) 30

2

D) 5400

3

64. En la figura OM=AM y OM=2cm. Por lo tanto el área de la región

destacada en gris corresponde a

A) 2

B) 6

C) 2

D) 2

3 O: centro del círculo.

65. De acuerdo con los datos de la figura, si el área del círculo es 30cm2, ¿cuál

es el área de la región destacada en gris?

A) 220 cm

B) 210 cm

C) 220cm

D) 210cm

O: centro del círculo


375

66. Si en la figura adjunta OM=AM y OM=2cm. Por lo tanto el área de la

región sombreada es

A) 6

B) 7

C) 2

7

D) 24


67. De acuerdo con los datos de la figura determinada por un triángulo

isósceles inscrito en una circunferencia de radio `r´, el área destacada es

A) 22

22

rr

B) 22

2r

r

C) 22 rr

D) 22 2r

68. Si ABDC es un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 4cm,

entonces el área de la región destacada en gris es

A) 3216

B) 816

C) 644

D) 84

69. En la figura adjunta O es el centro del círculo de radio 2, entonces el área

sombreada es

A) 2,19

B) 2,46

C) 3,19

D) 3,32

70. En la figura adjunta AB = 34 y º120AOBm , entonces el área

sombreada corresponde a

A) 343

16

B) 31216

C) 343

32

D) 31232


376

O

r

A

O

71. En la figura AB = 4 y BO=4, entonces el área de la región destacada en

gris corresponde a

A) 816

B) 164

C) 84

D) 88

72. ¿Cuanto mide el área en centímetros de la región sombreada, si la diagonal

del cuadrado mide cm?

A)

B)

C)

D)

73. Según los datos de la siguiente figura, el valor del área sombreada si

cmr 6 y º60m corresponde a

A) 2392 cm

B) 2396 cm

C) 2392 cm

D) 2396 cm

74. ¿Cuanto mide el área en centímetros de la región sombreada, si la diagonal

del cuadrado mide cm?

A)

B)

C)

D)


377

r

A

75. Según los datos de la siguiente figura, el valor del área sombreada si

cmr 4 y º60m corresponde a

A.2342 cm

B.234

3

16cm

C.2342 cm

D.234

3

8cm

76. ¿Cual el área del sector circular que tiene como ángulo central a 120° y

cuyo diámetro es de 18 centímetros?

A) B) C) D)

77. Si el área de un sector circular cuyo ángulo central es 10° es entonces

¿cual es la longitud de la circunferencia?

A)

B)

C)

D)

78. Si un segmento circular está determinado por un radio de 10 unidades y

por un triangulo equilátero cuya área es de unidades cuadradas

entonces su área aproximada es de:

A) 15.43

B) 9.06

C) 7.12

D) 6.36

79. Si el radio de una circunferencia se aumenta en tres unidades, entonces ¿en

cuántas unidades aumenta la circunferencia?

A) B)

C)

D) 6


378

80. ¿Cuánto mide el radio de un círculo si un arco de longitud determina

en él un sector circular de área ?

A) 9

B)

C)

D)

81.Un cuadrado se circunscribe en una circunferencia de radio cm24 ,

entonces el lado de dicho cuadrado corresponde a

A) 4cm

B) 8cm

C) 24 cm

D) 28 cm

82. Si una circunferencia inscrita a un cuadrado tiene longitud cm 18 ,

entonces el área de dicho cuadrado

A) 29cm

B) 218cm

C) 281cm

D) 2324cm

Polígonos Regulares e Irregulares.

Polígono Irregular:

Un polígono es irregular si todos sus lados y todos sus ángulos internos son

distintos.

Polígono Regular:

Un polígono es regular si todos sus lados tienen igual medida y todos sus

ángulos internos son congruentes, es decir es equilátero y equiángulo.


379

Clasificación de polígonos

Cantidad de lados Nombre

3 Triángulo

4 Cuadrilátero

5 Pentágono

6 Hexágono

7 Heptágono

8 Octágono

9 Eneágono

10 Decágono

11 Endecágono

12 Dodecágono

15 Pentadecágono

20 Icoságono

Ángulos.

n = cantidad de lados del polígono

Medida de cada ángulo interno

n

nm i

2º180

Suma de las medidas de los ángulos

internos

2º180 n

Medida de cada ángulo externo

nm e

º360

Suma de las medidas de los ángulos

externos

360º

Medida de cada ángulo central

nm c

º360

La suma del ángulo interno con el

ángulo externo es igual a 180º

º180ei mm


380

Segmentos.

Diagonal:

Una diagonal de un polígono es el segmento de recta que une dos vértices No

consecutivos.

El número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice es: 3n

El número total de diagonales desde todos los vértices es: 2

3nn

Radio: Es el segmento de recta que une el centro con un vértice.

Apotema: Es el segmento de recta que va desde el centro a un lado en forma

perpendicular.

Área y Perímetros:

Área

2

aPA

P = perímetro = apotema

Perímetro

lnP l = longitud del lado n = cantidad de lados


381

Polígonos regulares especiales.

Cuadrado

2

2

2

2

2

la

dl

ld

lA

A = área, l = lado, d = diagonal, a = apotema

Triangulo Equilátero

4

3

3

2

3

2

3

2lA

hr

ha

lh

A = área, l = lado, r = radio, h = altura, a = apotema

Hexágono

2

33

2

3

2lA

lr

la

A = área, l = lado, r = radio, a = apotema


382

Polígonos regulares y circunferencia.

Circunferencia inscrita:

Los lados del polígono son tangentes a la circunferencia y el radio del circulo coincide con

la apotema del polígono.

Circunferencia circunscrita:

Los vértices del polígono están en la circunferencia y el radio del circulo coincide con el

radio del polígono.

Circunferencia inscrita

al hexágono.

Circunferencia

inscrita al

cuadrado.

Circunferencia inscrita al triángulo.

Circunferencia

circunscrita al

hexágono.

Circunferencia

circunscrita al

cuadrado.

Circunferencia circunscrita al triángulo.


383

Práctica

83. De acuerdo con los datos de la figura, el área destacada corresponde a

A) 5315

B) 30

C) 24

D) 15

84. De acuerdo con los datos de la figura, si EB║DC ¿cuál es el área del

pentágono ABCD?

A) 54,7

B) 34,7

C) 45,0

D) 35,0

85. De acuerdo con los datos de la figura ABCD el área de aproximada es

A) 96,26

B) 184,55

C) 278,15

D) 92,25

86. De acuerdo con los de la figura si AC=8 y DE=2 entonces ¿cuál es el área

del ݝABCDA?

A) 16310

B) 8310

C) 310

D) 20


384

E

DB

C

13

4 4

69

A

87. De acuerdo con los datos de la figura, ¿Cuál es el área en centímetros

cuadrado del polígono ABCDE?

A)

B)

C)

D)

88. ¿Cuál es el número de lados de un polígono regular que tiene 20

diagonales?

A) 18

B) 10

C) 8

D) 5

89. Si ángulo interno de un polígono regular mide 135° ¿cuál es el número

total de diagonales de ese polígono?

A) 5

B) 8

C) 20

D) 40

90. Si el ángulo central de un polígono regular mide 45°, entonces el polígono

regular es un

A) cuadrado

B) octágono

C) hexágono

D) decágono

91. El polígono regular cuyo ángulo interno mide 144° se llama

A) dodecágono

B) eneágono

C) decágono

D) endecágono


385

92. La suma de los ángulos internos de un heptágono corresponde a

A) 450°

B) 900°

C) 720°

D) 2700°

93. La suma de los ángulos externos de un polígono regular de 36 lados

corresponde a

A) 6120°

B) 594°

C) 181°

D) 360°

94. En un polígono regular de 10 lados la medida de un ángulo externo es

A) 144°

B) 36°

C) 35°

D) 18°

95. La medida de un ángulo externo de un pentadecágono corresponde a

A) 36°

B) 24°

C) 108°

D) 126°

96. El lado de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de 12cm

de radio, mide en centímetros

A) 12

B) 312

C) 36

D) 324

97. El radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo equilátero de 9cm

de altura mide en centímetros

A) 6

B) 3

C) 36

D) 37


386

98. La apotema de un cuadrado de 18cm de lado mide en centímetros

A) 9

B) 18

C) 29

D) 218

99. ¿Cuál es la longitud de un lado de cuadrado circunscrito a una

circunferencia de radio 23 ?

A) 3

B) 6

C) 12

D) 26

100. El área de una circunferencia inscrita en un cuadrado de radio 10 es

A) 144

B) 48

C) 72

D) 24

101. El área del hexágono regular de la figura adjunta corresponde a

A) 24

B) 12

C) 312

D) 36

102. La longitud de la apotema de un hexágono regular circunscrito en una

circunferencia de radio 4 es

A) 34

B) 32

C) 4

D) 2


387

103. Si un hexágono regular tiene perímetro 12, entonces la medida del

diámetro de la circunferencia inscrita en el hexágono es

A) 32

B) 3

4

C) 3

D) 4

104. Un hexágono regular está inscrito en una circunferencia de 32 radio. El

área del hexágono es aproximadamente

A)48,50

B)62,35

C)41,57

D)31,18

105. La apotema de un hexágono regular mide 32

3 entonces la medida de

cada lado es

A) 3

B) 6

C) 33

D) 39

106. Si la longitud de una circunferencia circunscrita a un triángulo equilátero

es 12 , entonces la altura de dicho triángulo es

A) 9

B) 18

C) 3

18

D) 3

36

107. En un polígono regular la medida de cada ángulo interno es 135°, si el

perímetro es 48, entonces la medida de cada lado del polígono es

A) 3

B) 4

C) 6

D) 8


388

108. El área de un hexágono regular es 324 , su perímetro es

A) 24

B) 48

C) 34

D) 324

109. ¿Cuál es la longitud del lado de un triángulo equilátero inscrito en una

circunferencia de radio 4?

A) 8

B) 34

C) 38

D) 32

110. Considere los datos de la figura, para el hexágono regular ABCDEF el

área de la región destacada en gris es

A) 2

B) 4

C) 32

D) 34

111. ¿Cuál es la longitud aproximada de la circunferencia circunscrita a un

decágono regular si la medida de su apotema es 12?

A) 79,25

B) 93,13

C) 128,92

D) 243,92

112. Considere el siguiente pentágono regular. Si el perímetro del pentágono

es 50, entonces la medida aproximada de la diagonal AB es

A) 9,51

B) 11,76

C) 16,18

D) 34,03


389

113. Considere el siguiente hexágono regular, si AB=2, entonces la medida de

CD es

A) 4

B) 8

C) 32

D) 34

114. ¿Cuál es el área total en decímetros de un prisma de altura 8 y cuyo lado

de la base es un triángulo equilátero de lado 10?

A) 240,0

B) 283,3

C) 326,6

D) 166,6

115. Un triangulo equilátero se inscribe en una circunferencia de radio 4 cm.

¿Cuánto mide la altura de este triangulo?

A)

B)

C)

D)

116. ¿Cuál es la medida de lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia

de radio ?

A)

B)

C)

D)


390

117 ¿Cual es la medida en grados de un ángulo interno de un polígono que

posee 21 diagonales desde cualquiera de sus vértices?

A)

B)

C)

D)

118. Si la apotema de un octágono regular mide 6dm entonces el área de dicho

polígono corresponde aproximadamente a

A) dm8,29

B) dm6,59

C) dm3,119

D) dm6,238

119. Si un polígono tiene 15 diagonales desde un vértice, entonces la medida

del ángulo central de dicho polígono corresponde a

A) 20º

B) 24º

C) 30º

D) 360º

120. El polígono regular que tiene en total 20 diagonales corresponde a

A) pentágono

B) heptágono

C) octágono

D) dodecágono

121. La medida de un ángulo interno de un pentadecágono regular

corresponde a

A) º24

B) º36

C) º144

D) º156

122. En un polígono regular se cumple que la medida del ángulo interno es

igual a la medida del ángulo central, entonces dicho polígono debe ser

A. triángulo equilátero

B. cuadrado

C. hexágono

D. octágono


391

123. La suma de los ángulos externos de un polígono de 20 lados corresponde

a

A) 18º

B) 36º

C) 162º

D) 360º

124. Si el número de diagonales desde un vértice de un polígono regular es 17,

entonces el ángulo central de dicho polígono corresponde a

A) 18º

B) 36º

C) 162º

D) 360º

125. Se inscribe en una circunferencia un triangulo equilátero de 6cm de altura

¿Cuánto mide el radio de la circunferencia?

A) B)

C)

D)

126. Si la apotema de un hexágono regular mide entonces la medida

de cada lado es de:

A) B)

C)

D)

127. Un ángulo externo de un polígono regular mide 15° entonces el numero

de diagonales que se pueden trazar desde un vértice es de:

A) 15

B) 12

C) 21

D) 24

128. ¿Cuánto mide un de los ángulos externos de un polígono regular que

posee 135 diagonales en total?

A) 24°

B) 20°

C) 150°

D) 160°


392

129. La suma de los ángulos internos de un polígono regular de 15 lados es de:

A) 156°

B) 312°

C) 2224°

D) 2340°

130. Si las diagonales totales de un polígono regular son 54 entonces este

polígono tiene:

A) 15 lados

B) 25 lados

C) 12 lados

D) 18 lados

Sólidos Geométricos

Cubo Poliedro regular formado por seis caras cuadradas.

Área total: 26aAT

Volumen: 3aV

a

a

a

Prisma Poliedro limitado por dos polígonos iguales, llamados bases, situados en

planos paralelos, y por varios paralelogramos, llamados caras laterales.

Área total: LBT AAA

Volumen: hAV b

h


393

Pirámide Poliedro limitado por una base, que es un polígono cualquiera, y varias caras

laterales, que son triángulos con un vértice común llamado vértice de la

pirámide.

Área total: LBT AAA

Volumen: hAV b3

1

aH

L

Cilindro Es el cuerpo en revolución generado por un rectángulo al girar alrededor de

uno de sus lados. El cilindro consta de dos bases circulares y una superficie

lateral que, al desarrollarse, da lugar a un rectángulo.

Área total: hrrAT 2

Volumen: hrV 2

Cono Es el cuerpo de revolución engendrado por un triángulo rectángulo al girar

alrededor de uno de sus catetos.

Área total: grrAT

Volumen: hrV 2

3

1


394

Esfera Cuerpo de revolución que se obtiene al girar un semicírculo alrededor de su

diámetro. El centro y el radio de la esfera son los del semicírculo que la

genera.

Área total: 24

TA r

Volumen: 34

3V r

r

Práctica

131. El volumen, en decímetros cúbicos de un prisma hexagonal de altura

45dm y cuyo lado de la base mide 3dm corresponde a

A) 35607,

B) 360750

C) 37560,

D) 310125

132. El volumen en decímetros cúbicos de un paralelepípedo cuyas

dimensiones son 5cm, 2cm y 6cm corresponde a

A) 60

B) 6

C) 0,06

D) 0,00060

133. Si la diagonal de un cubo mide 37 entonces la medida de su arista mide

en centímetros

A) 3

B) 3

C) 7

D) 2


395

134 . ¿Cuál es él área total en centímetros cuadrados de un cubo de 16cm de

arista?

A) 1536

B) 4096

C) 1280

D) 1024

135. Si el volumen de un cubo es 327cm , entones el área basal del cubo en

centímetros cuadrados es

A) 3

B) 6

C) 12

D) 18

136. ¿Cuál es el área lateral de una pirámide recta, de base cuadrada, si el lado

de la base mide 10m y la altura de la pirámide es 12m?

A) 65

B) 240

C) 260

D) 624

137. Si la altura de una pirámide es 20cm y su base en un cuadrado de 18cm

de lado, entonces el área lateral de la pirámide es aproximadamente es

A) 789,54

B) 394,74

C) 324

D) 1578,96

138. ¿Cuál es el área total de una pirámide regular de base hexagonal, si se

sabe que el lado de base mide 5cm y la apotema de la pirámide mide 4,4cm?

A) 196,95

B) 130,95

C) 64,95

D) 11

139. Si la base de una pirámide es un hexágono regular de 36 cm de

apotema y su altura es 15cm, entonces la medida de su arista corresponde a

A) 18,25

B) 16,00

C) 10,54

D) 19,21


396

140. Si el lado de la base de una pirámide hexagonal mide 6cm y la altura de

la pirámide es 8cm, entonces el volumen en centímetros cúbicos de la

pirámide es

A) 72

B) 372

C) 324

D) 3144

141. Si el área lateral de un cilindro es 260 cm ¿cuál es el área del rectángulo

destacado?

A) 30

B) 60

C) 90

D) 30

142. ¿Cuál es el área lateral en centímetros cuadrados de un cilindro cuya

altura es 18cm y el diámetro de la base es 10cm ?

A) 450

B) 230

C) 180

D) 50

143. El volumen de un cilindro circular recto de 12cm de altura es 3192 cm ,

¿cuál es el área total del cilindro?

A) 96

B) 128

C) 384

D) 896

144. En un cilindro circular recto el área de la base es 25 m2. Si su generatriz

mide 10m, entonces su volumen es

A) 2500

B) 250

C) 83

D) 25 .


397

145. En un cilindro circular recto cuya altura es 10, si el área de la base es

36 , entonces ¿cuál es el área lateral?

A) 120

B) 180

C) 240

D) 60 .

146. ¿Cuál es el volumen de un cono de diámetro 6cm y de altura mide 9cm?

A) 108

B) 81

C) 27

D) 18 .

147. El diámetro de un cono circular recto mide 10cm y la altura mide 12cm

¿Cuál es el área total del cono?

A) 85

B) 90

C) 100

D) 230 .

148. ¿Cuál es el área lateral aproximada de un cono de 36 cm3 de volumen y

12cm se altura?

A) 251,116 cm

B) 29,423 cm

C) 204,113 cm

D) 212,339 cm .

149. En un cono circular recto, la altura mide 16cm y la generatriz 20cm.

¿Cuál es el área de la base?

A) 24

B) 240

C) 768

D) 144


398

150. ¿Cuál es la altura de un cono circular recto si el volumen es 24 y el

diámetro es 6?

A) 3

8

B) 3

8

C) 8

D) 2

151. El volumen de un cono inscrito en un cilindro, cuyo volumen es 300cm3

es

A) 100

B) 180

C) 200

D) 300

152. El volumen de un cono circular recto de generatriz 13 y de altura 12 es

A) 300

B) 150

C) 100

D) 50

153. Si un cubo de arista 12 se inscribe en una esfera, entonces la longitud del

radio de la esfera es

A) 26

B) 26,0

C) 36

D) 36,0

154. ¿Cuál es el área total de una esfera cuyo diámetro mide 1,2m?

A) 44,1

B) 76,5

C) 29,0

D) 30,2


399

155. ¿Cuánto material se necesita para construir la superficie de un globo

esférico de diámetro 10m?

A) 25

B) 100

C) 167

D) 400

156. ¿Cuál es en centímetros cúbicos el volumen de una esfera de diámetro

10cm?

A) 3

4000

B) 3

500

C) 3

100

D) 100

157. El volumen de un cubo es 216. ¿Cuál es la longitud de la diagonal del

cubo?

A) 6

B) 36

C) 26

D) 36

158. Se tienen dos esferas cuyos radios miden 6 y 3 respectivamente. Si dichas

esferas se unen para formar otra esfera, entonces, ¿cuál es la medida radio es

la esfera formada?

A) 9

B) 2

9

C) 36

D) 3 93


400

159. En un cilindro circular recto el radio de una de las bases es 6cm y la

altura del cilindro es 8cm, ¿Cuál es el área total en centímetros cuadrados del

cilindro?

A)

B)

C)

D)

160. Si la genetriz de un cono mide 15cm y su altura es 9cm, calcule el área de

la base del cono.

A)

B)

C)

D)

161. Un cubo tiene un área total de ¿cuánto mide su arista?

A)

B)

C)

D)

162. Si la diagonal de cubo mide , entonces su volumen es:

A)

B)

C)

D)

163. Cual es el volumen del paralelepípedo rectangular que tiene por medidas

12 cm 5.5 cm y 10 cm de largo ancho y alto respectivamente:

A)

B)

C)

D)


401

164. Calcule el volumen en centímetros cúbicos de una pirámide de base

cuadrada cuyo lado de la base es y cuya arista lateral es de 26 cm.

A) 200

B) 1600

C) 4800

D) 5200

165. Si el lado de la base de una pirámide hexagonal mide 6cm y la altura de

la pirámide es 8cm, entonces el volumen en centímetros cúbicos de la

pirámide es

A) 72

B) 372

C) 324

D) 3144

166. El volumen de una pirámide de base hexagonal regular es de 18

centímetros cúbicos y su altura de , halle su lado de la base.

A)

B)

C)

D)

167. Halle el volumen de un cono circular recto en función de radio sabiendo

que su diámetro tiene la misma medida de la altura.

A)

B)

C)

D)

168. En un cilindro circular recto el área lateral es de y la altura del

cilindro es de 10cm ¿Cuál es el volumen en centímetros cúbicos del cilindro?

A) 1960

B) 2800

C) 1960

D) 2800


402

169. Halle el volumen de un cono circular recto de radio 3, sabiendo que el

área de la base es un tercio de su área lateral.

A) 6

B) 8

C)

D)

170. Un cono circular recto tiene un volumen de . Sabiendo que su

diámetro es 12cm halle la medida en centímetros de su altura.

A) 6

B) 9

C) 12

D) 15

171. En un cono circular recto, la altura mide 12cm y la generatriz 13cm.

¿Cuál es el área de la base?

A) 25

B) 240

C) 768

D) 144

172. ¿Cuál es el área total de una esfera cuyo diámetro mide 2,3m?

A) 44,1

B) 76,5

C) 29,5

D) 30,2


403

Soluciones.

Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta

1 D 26 A 51 B 76 D

2 C 27 A 52 A 77 D

3 D 28 C 53 D 78 B

4 D 29 D 54 B 79 A

5 C 30 D 55 B 80 D

6 B 31 A 56 C 81 D

7 C 32 C 57 B 82 C

8 A 33 A 58 B 83 D

9 C 34 D 59 C 84 B

10 B 35 C 60 D 85 D

11 C 36 C 61 A 86 B

12 D 37 B 62 D 87 C

13 C 38 B 63 A 88 C

14 D 39 C 64 B 89 B

15 D 40 A 65 C 90 C

16 D 41 D 66 B 91 B

17 A 42 C 67 B 92 D

18 A 43 B 68 B 93 B

19 C 44 B 69 B 94 B

20 A 45 D 70 A 95 B

21 B 46 D 71 C 96 A

22 B 47 C 72 B 97 A

23 D 48 C 73 B 98 D

24 C 49 C 74 B 99 C

25 A 50 B 75 D 100 D


404

101 D 126 A 151 A

102 A 127 B 152 C

103 D 128 C 153 D

104 A 129 D 154 A

105 A 130 C 155 B

106 A 131 A 156 B

107 C 132 C 157 D

108 A 133 C 158 D

109 B 134 A 159 B

110 C 135 B 160 A

111 A 136 C 161 C

112 B 137 A 162 C

113 D 138 B 163 B

114 C 139 D 164 D

115 A 140 D 165 C

116 B 141 B 166 C

117 D 142 C 167 C

118 B 143 B 168 D

119 C 144 B 169 D

120 C 145 A 170 A

121 A 146 C 171 C

122 B 147 B 172 C

123 D 148 A

124 A 149 D

125 B 150 C

colegio universitario boston geometría - matemáticas · b c 8 6 h a b c h b a ... circulo: el...

Documents